TEORI GELOMBANG AMPLITUDO KECIL DAN PERAMALAN GELOMBANG

Bahan Ajar

TEORI GELOMBANG AMPLITUDO KECIL DAN PERAMALAN GELOMBANG

Ahmad Zakaria,Ph.D.

JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS LAMPUNG

Januari 2009

Kata Pengantar Bahan Ajar ini dibuat dengan tujuan untuk memberikan penjelasan tambahan dan detail kepada mahasiswa yang mengambil matakuliah Rekayasa Pantai. Bahan Ajar ini terdiri dari 2 (dua) bagian, Bab I dan Bab II. Bab I membahas masalah penurunan persamaan gelombang amplitudo kecil, dan Bab II merupakan terjemahan yang membahas masalah peramalan gelombang angin. Dengan membaca Bahan Ajar ini diharapkan mahasiswa akan dapat lebih memahami tentang penurunan persamaan gelombang amplitudo kecil dan juga dapat lebih memahami tentang teori peramalan gelombang Angin. Bahan Ajar ini dibuat dengan menggunakan program LATEX. LATEX merupakan program sistem penulisan dokumen yang terbaik saat ini, baik dipergunakan untuk keperluan penulisan jurnal maupun untuk keperluan penulisan buku atau bahan ajar untuk mahasiswa. Bandar Lampung, 31 Januari 2009 Penulis, Ahmad Zakaria, Ph. D. email: [email protected]

i

Daftar Isi Kata Pengantar

i

Daftar Isi

ii

Daftar Gambar

iii

1 Teori Gelombang 1.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Asumsi dan Definisi Gelombang . . . . 1.3 Pendekatan Teori . . . . . . . . . . . . 1.4 Persamaan Bernoulli . . . . . . . . . . 1.5 Potensial Kecepatan . . . . . . . . . . 1.6 Klasifikasi kedalaman gelombang . . . 1.7 Cepat Rambat Kelompok Gelombang . 1.8 Fluktuasi Muka Air . . . . . . . . . . . 1.9 Kecepatan Partikel Zat Cair . . . . . . 1.10 Percepatan Partikel Zat Cair . . . . . . 1.11 Perpindahan Partikel Zat Cair . . . . . 1.12 Tekanan Gelombang . . . . . . . . . . 1.13 Energi Gelombang . . . . . . . . . . . 1.14 Tenaga Gelombang . . . . . . . . . . . 1.15 Perhitungan Tabel Panjang Gelombang

. . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 4 9 13 21 25 29 30 34 36 38 39 42 43

2 Peramalan Gelombang 2.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Metode Terdahulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Peramalan Model Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 58 60

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

Daftar Pustaka Lampiran A Algorithm untuk menghitung panjang gelombang A.1 program fortran 77 (wavelh-1.f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Input program fortran 77 (wavelh-1.inp) . . . . . . . . . . . . . .

66 66 67

B Tabel panjang gelombang

68

ii

Daftar Gambar 1.1 Sket definisi gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Fungsi kedalaman relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Distribusi kecepatan partikel zat cair . . . . . . . . . . . . . . . . Nomogram kurva peramalan tinggi gelombang (H = Hs ) untuk laut dangkal dan kedalaman konstan. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nomogram kurva peramalan periode gelombang (T = Ts ) untuk laut dangkal dan kedalaman konstan. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Nomogram kurva peramalan tinggi gelombang signifikan untuk laut dalam, sebagai fungsi dari kecepatan angin (UA ), panjang fetch (F ), dan durasi (td ) dalam satuan meter. . . . . . . . . . . . 2.4 Nomogram kurva peramalan tinggi gelombang signifikan untuk laut dalam, sebagai fungsi dari kecepatan angin (UA ), panjang fetch (F ), dan durasi (td ) dalam satuan inch. . . . . . . . . . . . . 2.5 Kurva peramalan gelombang SMB . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 23 34

2.1

iii

51 52

53

54 60

BAB 1 Teori Gelombang 1.1

Pendahuluan

Gelombang yang terjadi di laut sebenarnya dapat dibedakan menjadi beberapa jenis atau tipe gelombang. Perbedaan jenis atau tipe gelombang ini berdasarkan gaya yang membangkitkannya. Gelombang yang terjadinya karena dibangkitkan oleh angin disebut dengan gelombang angin. Angin yang bertiup dipermukaan laut selama waktu tertentu, baik angin yang bertiup ke arah darat maupun angin yang bertiup ke arah laut akan menimbulkan gelombang. Gelombang angin ini termasuk jenis gelombang pendek, karena besarnya periode gelombang ini adalah mulai beberapa detik sampai dengan beberapa menit. Gelombang pasang surut atau sering disebut juga dengan gelombang pasut, merupakan gelombang yang terjadinya disebabkan oleh gaya tarik-menarik benda-benda langit, terutama matahari dan bulan. Gelombang ini termasuk jenis gelombang panjang, karena periode gelombangnya adalah dari beberapa jam sampai dengan beberapa tahun. Gelombang tsunami adalah gelombang yang terjadinya karena adanya pergerakan massa air di laut, yang dapat disebabkan oleh letusan gunung berapi atau gempa yang terjadi di laut. Gelombang yang paling banyak dipergunakan dalam Perencanaan bidang teknik sipil adalah gelombang angin dan gelombang pasang surut. Gelombang angin yang selanjutnya disebut dengan gelombang, yang datang ke pantai, dapat menyebabkan terjadinya arus yang menimbulkan pergerakan sedimen pantai, baik yang bergerak dalam arah tegak lurus garis pantai, maupun yang bergerak dalam arah

1

Teori Gelombang

2

sejajar dengan garis pantai. Pergerakan sedimen ini dapat merubah bentuk dan posisi garis pantai dari bentuk dan posisi semula. Perubahan ini terjadi karena adanya penambahan dan pengurangan sedimen pantai yang bergerak atau berpindah tempat. Besarnya pengurangan dan penambahan sedimen pantai ini sangat tergantung pada besar dan sudut arah datangnya gelombang, karakteristik sedimen pantai serta karakteristik pantainya sendiri. Dalam bidang rekayasa sipil, gelombang merupakan faktor utama yang sangat menentukan dalam mendisain tata letak pelabuhan, alur pelayaran, serta bangunan-bangunan pantai lainnya seperti jetty, groin, dinding pantai (seawall) dan pemecah gelombang (breakwater). Gelombang pasang surut atau sering disebut juga dengan pasut merupakan gelombang yang juga sangat penting untuk perencanaan dalam bidang rekayasa sipil. Hal ini karena dalam perencanaan, elevasi gelombang saat pasang paling tinggi menentukan elevasi bangunan pantai agar tidak terlimpasi, dan elevasi gelombang saat surut diperlukan untuk menentukan kedalaman perairan dalam perencanaan pelabuhan dan lain sebagainya. Gelombang tsunami adalah gelombang yang terjadinya di laut karena adanya letusan gunung berapi atau disebut juga dengan gempa vulkanik yang terjadi di laut. Pola perambatan gelombang tsunami yang disebabkan oleh letusan gunung berapi berbeda dengan pola perambatan gelombang yang disebabkan oleh gempa bumi, yang penyebabnya adalah berupa patahan lempeng bumi atau yang disebut juga dengan gempa tektonik. Sumber gempa vulkanik dapat disimulasikan sebagai perambatan gelombang titik. Karena sumbernya biasanya pada satu koordinat tertentu. Sedangkan gempa tektonik biasanya disimulasikan sebagai perambatan gelombang garis, karena sumber gempa biasanya memanjang. Gelombang sebenarnya yang terjadi di alam adalah sangat kompleks dan tidak dapat dirumuskan dengan akurat. Akan tetapi dalam mempelajari fenomena gelombang yang terjadi di alam dilakukan beberapa asumsi sehingga muncul beberapa teori gelombang. Akan tetapi dalam bab ini hanya akan dibahas mengenai teori gelombang amplitudo kecil. Teori gelombang ini merupakan teori gelombang yang paling sederhana karena merupakan teori gelombang linier, yang pertama kali diperkenalkan oleh Airy pada tahun 1845.

Teori Gelombang

1.2

3

Asumsi dan Definisi Gelombang

Sebelum menurunkan persamaan gelombang, maka perlu diketahui asumsi-asumsi yang diberikan untuk menurunkan persamaan gelombang sebagai berikut, 1. Air laut adalah homogen, sehingga rapat massanya adalah konstan. 2. Air laut tidak mampu mampat. 3. Tegangan permukaan yang terjadi diabaikan. 4. Gaya Coriolis diabaikan. 5. Tegangan pada permukaan adalah konstan. 6. Zat cair adalah ideal dan berlaku aliran tak berrotasi. 7. Dasar laut adalah horizontal, tetap dan impermeabel. 8. Amplitudo gelombang kecil dibandingkan dengan panjang gelombang. 9. Gerak gelombang tegak lurus terhadap arah penjalarannya. Asumsi-asumsi ini diberikan agar penurunan teori gelombang amplitudo kecil dapat dilakukan. Untuk menurukan persamaan gelombang perlu difahami terlebih dahulu definisi dan notasi yang dipergunakan dalam persamaan yang akan diturunkan. Sket definisi gelombang dapat digambarkan sebagi berikut, Dari Gambar 1.1, notasi-notasi selanjutnya yang akan dipergunakan dalam menurunkan persamaan adalah sebagai berikut, h

: jarak antara muka air rerata dan dasar laut

η

: fluktuasi muka air

a

: amplitudo gelombang

H

: tinggi gelombang = 2.a

L

: panjang gelombang

T

: periode gelombang

C

: cepat rambat gelombang

k

: bilangan gelombang

σ

: frekuensi gelombang

Teori Gelombang

4

L

H

SWL

C

η

h

z = -h

Gambar 1.1: Sket definisi gelombang

1.3

Pendekatan Teori

Penyelesaian masalah nilai batas teori gelombang air linier untuk dasar horizontal dapat dimulai dari persamaan sebagai berikut,

φ(x, y, z) = X(x).Z(z).Γ(t)

(1.1)

Dimana, φ(x, y, z) merupakan fungsi yang hanya tergantung pada variabel x dan variabel z, dan juga merupakan fungsi yang bervariasi terhadap waktu t. Sehingga φ merupakan suatu fungsi periodik dan tergantung pada variabel x, z, dan t. Selanjutnya persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut,

φ(x, y, z) = X(x).Z(z). sin(σt)

Persamaan ini merupakan persamaan potensial kecepatan.

(1.2)

Teori Gelombang

5

Diketahui persamaam Laplace dua dimensi (2-D) sebagai berikut, ∂2φ ∂2φ + =0 ∂x2 ∂z 2

(1.3)

Dengan mensubstitusikan persamaan potensial kecepatan, Persamaan (1.2) kedalam persamaan Laplace atau Persamaan (1.3), maka akan didapat persamaan sebagai berikut, ∂2φ ∂2φ + = ∂x2 ∂z 2 ∂ 2 {X(x).Z(z). sin(σt)} ∂ 2 {X(x).Z(z). sin(σt)} + ∂x2 ∂z 2 ∂2φ ∂2φ + = ∂x2 ∂z 2 ∂ 2 Z(z) ∂ 2 X(x) Z(z). sin(σt) + X(x). sin(σt) ∂x2 ∂z 2

∂ 2 X(x) ∂ 2 Z(z) Z(z). sin(σt) + X(x). sin(σt) = 0 ∂x2 ∂z 2

(1.4)

∂ 2 X(x) ∂ 2 Z(z) Z(z) + X(x) = 0 ∂x2 ∂z 2

(1.5)

1 ∂ 2 X(x) 1 ∂ 2 Z(z) + =0 X(x) ∂x2 Z(z) ∂z 2

(1.6)

Dari persamaan di atas diketahui bahwa, persamaan akan dipenuhi bila penjumlahan dari penyelesaian untuk setiap bagian persamaan dari variabel x dan z menghasilkan nilai nol. Untuk dapat menyelesaikan persamaannya, Persamaan (1.6) ini dapat ditulis menjadi dua bagian persamaan, yaitu Persamaan (1.7) yang mengandung variabel x dan Persamaan (1.8) yang mengandung variabel z

Teori Gelombang

6

sebagai berikut, 1 ∂ 2 X(x) = −k 2 X(x) ∂x2

(1.7)

1 ∂ 2 Z(z) = k2 Z(z) ∂z 2

(1.8)

Solusi untuk Persamaan (1.7) adalah sebagai berikut,

X(x) = A. cos(k.x) + B. sin(k.x)

(1.9)

Sedangkan solusi untuk Persamaan (1.8) adalah sebagai berikut,

Z(z) = C.ek.z + D.e−k.z

(1.10)

Sehingga Persamaan (1.2) merupakan penjumlahan dari Persamaan (1.9) dan Persamaan (1.10) dan dapat ditulis menjadi persamaan sebagai berikut,

φ(x, z, t) = {A. cos(k.x) + B. sin(k.x)}.{C.ek.z + D.e−k.z }. sin(σt)

(1.11)

Untuk mempermudah pemahaman, selanjutnya solusi potensial kecepatan φ(x) yang akan dijelaskan terlebih dahulu hanya untuk satu bagian persamaan yang dapat ditulis sebagai berikut,

φ(x, z, t) = A. cos(k.x).{C.ek.z + D.e−k.z }. sin(σt)

(1.12)

Sedangkan untuk bagian B. sin(k.x) dapat diturunkan dengan cara yang sama. Diketahui Persamaan untuk kondisi batas dasar horizontal adalah sebagai berikut, ∂φ w=− = 0 ∂z

(1.13) z=−h

Teori Gelombang

7

Berdasarkan kondisi batas pada dasar perairan, dimana kecepatan arah vertikal (w) pada dasar adalah sama dengan nol, sehingga Persamaan (1.13) dapat ditulis menjadi,

w=−

w=−

∂φ ∂ = − {A. cos(k.x).{C.ek.z + D.e−k.z }. sin(σt)} = 0 ∂z ∂z

∂φ = −{A. cos(k.x).{k.C.ek.h + k.D.e−k.h }. sin(σt)} = 0 ∂z

(1.14)

Persamaan (1.14) dapat diselesaikan hanya bila memenuhi persamaan berikut,

k.C.ek.h + k.D.e−k.h = 0

(1.15)

Sehingga berdasarkan persamaan di atas didapat persamaan sebagai berikut,

C = D.e2.k.h

(1.16)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (1.16) ke dalam Persamaan (1.12), persamaan ini dapat disusun menjadi persamaan sebagai berikut,

φ(x, z, t) =A. cos(k.x).{(D.e2.k.h ).ek.z + D.e−k.z }. sin(σt)

φ(x, z, t) =A. cos(k.x).{ek.h .D.ek.h .ek.z + ek.h .D.e−k.h .e−k.z }. sin(σt) (1.17) φ(x, z, t) =A.D.ek.h . cos(k.x).{ek.h .ek.z + e−k.h .e−k.z }. sin(σt)

φ(x, z, t) =A.D.ek.h . cos(k.x).{ek.(h+z) + e−k.(h+z) }. sin(σt)

Teori Gelombang

8

Diketahui bahwa,

cosh k(h + z) =

ek(h+z) + e−k(h+z) 2

Sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi,

2. cosh k(h + z) = ek(h+z) + e−k(h+z)

(1.18)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (1.18) ke dalam Persamaan (1.17) didapat persamaan sebagai berikut,

φ(x, z, t) =A.D.ek.h . cos(k.x).{ek.(h+z) + e−k.(h+z) }. sin(σt)

φ(x, z, t) =A.D.ek.h . cos(k.x).{2. cosh k(h + z)}. sin(σt)

(1.19)

φ(x, z, t) =2.A.D.ek.h . cos(k.x).{cosh k(h + z)}. sin(σt)

Dimana,

G = 2.A.D.ek.h

Sehingga Persamaan (1.19) di atas dapat ditulis menjadi,

φ(x, z, t) = G. cos (k.x).cosh k(h + z). sin(σt)

(1.20)

Persamaan di atas merupakan persamaan potensial kecepatan dengan konstanta baru G. Untuk dapat menurunkan persamaan ini selanjutnya diperlukan persamaan Bernoulli.

Teori Gelombang

1.4

9

Persamaan Bernoulli

Untuk mendapatkan persamaan Bernoulli, persamaan ini dapat diturunkan dari persamaan Euler 2 dimensi sebagaimana penyelesaian persamaan berikut ini,

Arah ⇒ x

∂u ∂u ∂u 1 ∂p +u +w =− ∂t ∂x ∂z ρ ∂x (1.21)

Arah ⇒ z

∂w ∂w ∂w 1 ∂p +u +w =− −g ∂t ∂x ∂z ρ ∂z

Asumsi aliran tidak berotasi, ini akan dipenuhi hanya apabila, ∂w ∂u = ∂z ∂x

(1.22)

Maka selanjutnya dengan mensubstitusikan Persamaan (1.22) ke Persamaan (1.21) didapat persamaan sebagai berikut, Untuk arah x:

Arah ⇒ x

∂u ∂u +u +w ∂t ∂x

Arah ⇒ x

∂u ∂u +u +w ∂t ∂x

Arah ⇒ x

∂u ∂ u2 ∂ w2 1 ∂p + + =− ∂t ∂x 2 ∂x 2 ρ ∂x

∂u ∂z

∂w ∂x

=−

1 ∂p ρ ∂x

=−

1 ∂p ρ ∂x

Arah ⇒ x

1 ∂p ∂u 1 ∂ 2 1 ∂ + u + w2 = − ∂t 2 ∂x 2 ∂x ρ ∂x

Arah ⇒ x

∂u 1 ∂ 2 1 ∂p + u + w2 = − ∂t 2 ∂x ρ ∂x

(1.23)

Teori Gelombang

10

Untuk arah z:

Arah ⇒ z

∂w +u ∂t

Arah ⇒ z

∂w +u ∂t

Arah ⇒ z

∂w ∂ u2 ∂ w2 1 ∂p + + =− −g ∂t ∂z 2 ∂z 2 ρ ∂z

Arah ⇒ z

∂w 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂p + u + w2 = − −g ∂t 2 ∂z 2 ∂z ρ ∂z

Arah ⇒ z

∂w 1 ∂ 2 1 ∂p + u + w2 = − −g ∂t 2 ∂z ρ ∂z

∂w ∂x

∂u ∂z

+w

+w

∂w 1 ∂p =− −g ∂z ρ ∂z

∂w 1 ∂p =− −g ∂z ρ ∂z

(1.24)

Dimana, ∂φ = kecepatan aliran dalam arah sumbu x ∂x ∂φ w=− = kecepatan aliran dalam arah sumbu z ∂z

u=−

Dengan mensubstitusikan u dan w kedalam Persamaan (1.23) dan Persamaan (1.24) maka akan didapat persamaan berikut, Untuk arah x: Arah ⇒ x

∂u 1 ∂ 2 1 ∂p + u + w2 = − ∂t 2 ∂x ρ ∂x

Arah ⇒ x

1 ∂p ∂φ 1 ∂ 2 ∂ − + u + w2 = − ∂t ∂x 2 ∂x ρ ∂x

Arah ⇒ x

1 ∂p ∂ ∂φ 1 ∂ 2 − + u + w2 + =0 ∂t ∂x 2 ∂x ρ ∂x

Teori Gelombang

11

1 ∂p 1 ∂ 2 ∂2φ + u + w2 + =0 ∂t∂x 2 ∂x ρ ∂x

Arah ⇒ x

−

Arah ⇒ x

∂ ∂x

(

1 ∂φ 1 2 − + u + w2 + p ∂t 2 ρ

(1.25)

) =0

Untuk arah z:

Arah ⇒ z

∂w 1 ∂ 2 1 ∂p + u + w2 = − −g ∂t 2 ∂z ρ ∂z

Arah ⇒ z

∂φ 1 ∂ 2 1 ∂p ∂ u + w2 = − −g − + ∂t ∂z 2 ∂z ρ ∂z

Arah ⇒ z

1 ∂p ∂ ∂φ 1 ∂ 2 = −g − + u + w2 + ∂t ∂z 2 ∂z ρ ∂z

(1.26)

1 ∂p ∂2φ 1 ∂ 2 + = −g u + w2 + ∂z∂t 2 ∂z ρ ∂z

Arah ⇒ z

−

Arah ⇒ z

( ) 1 ∂p ∂φ 1 ∂ 2 ∂ 2 − + = −g u +w + ∂z ∂t 2 ∂z ρ ∂z

Penyelesaian Persamaan (1.25) dan (1.26) ada hanya bila persamaan tersebut memenuhi persamaan sebagai berkut, untuk arah x:

Arah ⇒ x

∂ ∂x

(

1 ∂φ 1 2 − + u + w2 + p ∂t 2 ρ

) =0 (1.27)

Arah ⇒ x

−

1 ∂φ 1 2 + u + w2 + p = C 0 (z, t) ∂t 2 ρ

Teori Gelombang

12

Dimana, ∂ 0 C (z, t) = 0 ∂x

untuk arah z:

Arah ⇒ z

( ) ∂φ 1 2 1 ∂ − + u + w2 + p = −g ∂z ∂t 2 ρ (1.28)

Arah ⇒ z

−

1 ∂φ 1 2 + u + w2 + p = −g.z + C(x, t) ∂t 2 ρ

Dimana, ∂ − g.z + C(x, t) = 0 ∂z Berdasarkan Persamaan (1.27) dan Persamaan (1.28) maka didapat,

C 0 (z, t) = −g.z + C(x, t)

(1.29)

Dari Persamaan (1.27) dan Persamaan (1.28) diketahui bahwa konstanta C 0 tidak dapat menjadi fungsi terhadap x, sehingga Persamaan (1.29) menjadi,

C 0 (z, t) = −g.z + C(t)

(1.30)

Selanjutnya Persamaan (1.30) dapat ditulis menjadi,

−

p ∂φ 1 2 + u + w2 + = −g.z + C(t) ∂t 2 ρ (1.31)

−

p ∂φ 1 2 + u + w2 + + g.z = C(t) ∂t 2 ρ

Persamaan (1.31) merupakan persamaan Bernoulli.

Teori Gelombang

1.5

13

Potensial Kecepatan

Untuk menurunkan persamaan potensial kecepatan, persamaan untuk kondisi batas permukaan aliran, dimana aliran tak mantap dan tak berotasi, didapat dari persamaan Bernoulli seperti berikut,

−

1 ∂φ 1 2 + u + w2 + p + g.z = C(t) ∂t 2 ρ

Bila persamaan ini dilinierkan, yaitu dengan mengabaikan suku u2 dan w2 , dan pada batas permukaan z = η, dan diasumsikan bahwa tekanan permukaan (tekanan atmosfir) adalah sama dengan nol, sehingga persamaan Bernoulli di atas ditulis menjadi,

−

∂φ + g.η = C(t) ∂t (1.32)

1 ∂φ η= g ∂t

+ z=η

C(t) g

Teori gelombang amplitudo kecil mengasumsikan bahwa kondisi pada batas permukaan aliran. Dengan asumsi ini maka Persamaan (1.32) di atas dapat ditulis menjadi, 1 ∂φ η= g ∂t

+ z=0

C(t) g

(1.33)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (1.31) ke dalam Persamaan (1.33) maka didapat penyelesaian berikut, 1 ∂φ η= g ∂t

+ z=0

C(t) g

1 ∂φ(x, z, t) η= g ∂t

+ z=0

C(t) g

Teori Gelombang

14

1∂ η= G cos(kx) cosh k(h + z) sin(σt) g ∂t

Gσ cosh k(h + z) η= cos(kx) cos(σt) g

η=

+ z=0

+ z=0

C(t) g

C(t) g

(1.34)

Gσ cosh k(h) C(t) cos(kx) cos(σt) + g g

Karena η nilainya kecil sekali terhadap fungsi ruang (x dan z) dan waktu (t) maka konstanta C(t) juga kecil sekali atau sama dengan nol. Sehingga Persamaan (1.34) dapat ditulis menjadi,

η=

Gσ cosh k(h) cos(kx) cos(σt) g

(1.35)

Karena nilai η diasumsikan sebagai suatu nilai yang bergerak secara periodik terhadap fungsi ruang dan waktu maka Persamaan (1.35) ini dapat ditulis sebagai berikut,

( η=

Gσ cosh k(h) g

) cos(kx) cos(σt) (1.36)

( η=

H 2

) cos(kx) cos(σt)

Berdasarkan Persamaan (1.36) maka didapat konstanta G sebagai berikut,

G=

gH 2σ cosh(kh)

(1.37)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (1.37) ke dalam Persamaan (1.20), maka akan didapat persamaan berikut,

Teori Gelombang

15

φ(x, z, t) =

Hg cosh k(h + z) cos(kx) sin(σt) 2σ cosh k(h)

(1.38)

Persamaan (1.38) merupakan persamaan potensial kecepatan. Persamaan (1.38) juga dapat ditulis sebagai berikut,

φ(x, z, t) =

Hg cosh k(h + z) cos(kx) sin(σt) 2σ cosh k(h)

φ(x, z, t) =

H g cosh k(h + z) cos(kx) sin(σt) 2 σ cosh k(h)

φ(x, z, t) =

(1.39)

ag cosh k(h + z) cos(kx) sin(σt) σ cosh k(h)

Dimana a=

H = amplitudo 2

Dan selanjutnya dari Persamaan (1.11), bagian yang mengandung faktor B sin(kx) dapat ditulis sebagai berikut,

φ(x, z, t) = {B. sin(k.x)}.{C.ek.z + D.e−k.z }. sin(σt)

(1.40)

Dengan menggunakan cara yang sama, solusi pendekatan untuk Persamaan (1.40) dapat ditulis menjadi,

φ(x, z, t) =

H g cosh k(h + z) sin(kx) cos(σt) 2 σ cosh k(h)

(1.41)

Persamaan (1.41) merupakan persamaan potensial kecepatan dari bentuk gelombang lainnya yang arahnya berlawanan. Solusi fluktuasi muka air dari Persamaan (1.41) untuk kondisi batas permukaan dimana η=0, adalah sebagai berikut, 1 ∂φ η(x, t) = g ∂t

=− z=0

H sin(kx) sin(σt) 2

(1.42)

Teori Gelombang

16

Selanjutnya, potensial kecepatan total dari Persamaan (1.11) merupakan penjumlahan potensial kecepatan dari Persamaan (1.39) dan Persamaan (1.41) seperti berikut,

φ(x, z, t) =

H g cosh k(h + z) (cos(kx) sin(σt) − sin(kx) cos(σt)) 2 σ cosh k(h)

(1.43)

Karena,

cos(kx) sin(σt) − sin(kx) cos(σt) = − sin(kx − σt)

Maka Persamaan (1.43) dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut,

φ(x, z, t) = −

H g cosh k(h + z) (sin(kx − σt)) 2 σ cosh k(h)

(1.44)

Persamaan (1.44) merupakan total potensial kecepatan. Berdasarkan Persamaan (1.44) maka solusi untuk elevasi permukaan η yang merupakan penjumlahan dari Persamaan (1.36) dan Persamaan (1.42) dapat ditulis menjadi, 1 ∂φ η(x, t) = g ∂t

= z=0

H H cos(kx) cos(σt) − sin(kx) sin(σt) 2 2 (1.45)

1 ∂φ η(x, t) = g ∂t

= z=0

H 2

(

) cos(kx) cos(σt) − sin(kx) sin(σt)

Karena,

cos(kx) cos(σt) − sin(kx) sin(σt) = cos(kx − σt)

Persamaan (1.45) dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut, 1 ∂φ η(x, t) = g ∂t

= z=0

H cos(kx − σt) 2

(1.46)

Teori Gelombang

17

Diketahui bahwa komponen vertikal kecepatan partikel pada permukaan air w = ∂η adalah sangat kecil, dan η yang diberikan dari Persamaan (1.46) bukan meru∂t pakan fungsi dari z, sehingga kondisi batas aliran kinematik yang dilinierkan ini menghasilkan persamaan sebagai berikut,

w =−

∂φ ∂η = ∂z ∂t

∂φ ∂ 1 ∂φ − = ∂z ∂t g ∂t ∂φ 1 ∂ φ − = ∂z g ∂t2

(1.47) z=0

2

z=0

Selanjutnya Persamaan (1.44) disubstitusikan ke dalam Persamaan (1.47) sebagai berikut,

Teori Gelombang

18

∂φ 1 ∂ φ − = ∂z g ∂t2 2

z=0

( ) ∂ H g cosh k(h + z) − (sin(k.x − σ.t)) = − ∂z 2 σ cosh k(h)

( ) H g cosh k(h + z) 1 ∂2 − (sin(k.x − σ.t)) g ∂t2 2 σ. cosh k(h)

z=0

a.g.k. sinh k(h + z) (sin(k.x − σ.t)) = σ cosh k(h) cosh k(h + z) ∂ a (cos(k.x − σ.t)) cosh k(h) ∂t

z=0

(1.48) a.g.k. sinh k(h + z) (sin(k.x − σ.t)) = σ cosh k(h) cosh k(h + z) (sin(k.x − σ.t)) aσ cosh k(h)

z=0

g.k. sinh k(h + z) (sin(k.x − σ.t)) = σ cosh k(h) cosh k(h + z) σ (sin(k.x − σ.t)) cosh k(h)

z=0

g.k. sinh k(h + z) cosh k(h + z) =σ σ cosh k(h) cosh k(h)

z=0

Dengan memasukkan z=0 kedalam Persamaan (1.48), selanjutnya Persamaan (1.48) dapat ditulis menjadi,

Teori Gelombang

19

σ 2 = g.k.

sinh k(h) cosh k(h) (1.49)

σ 2 = g.k.tanh k(h)

Persamaan (1.49) merupakan persamaan untuk teori gelombang amplitudo kecil. Dimana,

σ=

2.π ; T

k=

2.π ; L

σ

= frekuensi gelombang (radian/detik)

η

= fluktuasi muka air (meter)

a

= amplitudo gelombang (meter)

H

= tinggi gelombang = 2.a

L

= panjang gelombang (meter)

T

= periode gelombang (detik)

C

= cepat rambat gelombang (meter/detik)

k

= bilangan gelombang (radian/meter)

C=

L T

Karena σ = kC maka Persamaan (1.49) dapat ditulis menjadi:

(kC)2 =g.k.tanh k(h)

g C = .tanh k(h) k 2

(1.50)

Jika nilai k = 2π L di substitusikan ke dalam Persamaan (1.50), maka akan didapat

Teori Gelombang

20

persamaan sebagai berikut,

g C = .tanh k 2

2πh L

g C = .tanh 2π L 2

gL C = .tanh 2π 2

2πh L

2πh L

(1.51)

Persamaan (1.51) menunjukkan kecepatan penjalaran gelombang (C 2 ) sebagai fungsi dari kedalaman air (h) dan panjang gelombang (L). Persamaan (1.51) dapat dirubah dalam bentuk persamaan sebagai berikut,

gL C= .tanh 2πC

gL .tanh C= L 2π T

gT C = .tanh 2π

2πh L

2πh L

2πh L

(1.52)

Persamaan (1.52) merupakan persamaan kecepatan penjalaran gelombang (C). L kedalam Persamaan (1.52), maka akan diperoleh Dengan memasukkan C = T bentuk persamaan sebagai berikut,

Teori Gelombang

21

L gT = .tanh T 2π

gT 2 L= .tanh 2π

2πh L

2πh L

(1.53)

Persamaan (1.53) merupakan persamaan panjang gelombang sebagai fungsi dari kedalaman h dan periode gelombang T . Dengan menggunakan Persamaan (1.53), apabila kedalaman air (h) dan periode gelombang (T ) diketahui maka dapat dihitung panjang gelombang (L).

1.6

Klasifikasi kedalaman gelombang

h ), gelombang dapat diklasifikasikan menjadi 3 Berdasarkan kedalaman relatif ( L tiga tipe gelombang yaitu, 1. gelombang di laut dangkal

jika

h 1 ≤ L 20

2. gelombang di laut transisi

jika

1 h 1 < < 20 L 2

3. gelombang di laut dalam

jika

h 1 ≥ L 2

Klasifikasi gelombang di atas dimaksudkan untuk memberikan gambaran panjang h gelombang untuk setiap variasi kedalaman. Apabila kedalaman relatif adalah L 2πh lebih besar dari atau sama dengan 0, 5, maka tanh( ) dapat ditulis menjadi L tanh(π), dan solusi untuk tanh(π) adalah sama dengan 1, maka Persamaan (1.52) dan Persamaan (1.53) dapat ditulis menjadi,

C=

gT = Co 2π

(1.54)

Teori Gelombang

22

L=

gT 2 = Lo 2π

(1.55)

Persamaan (1.54) merupakan persamaan cepat rambat gelombang di laut dalam (Co ) dan Persamaan (1.55) merupakan panjang gelombang di laut dalam (Lo ). Jika dimasukkan nilai g = 9, 8m/det2 dan π = 3, 14 maka Persamaan (1.54) dan Persamaan (1.55) dapat ditulis menjadi,

Co =

9, 8 × T = 1, 56 × T 2 × 3, 14

Lo =

9, 8 × T 2 = 1, 56 × T 2 2 × 3, 14

Untuk memahami karakteristik persamaan gelombang amplitudo kecil, dapat h dilakukan dengan mempelajari kurva hubungan antara dan tanh kh yang dapat L dilihat pada Gambar 2.5. 2πh 1 maka nilai dari tanh( ) Jika kedalaman relatif adalah lebih kecil dari 20 L 2πh lebih mendekati nilai , sehingga Persamaan (1.51) dapat ditulis menjadi benL tuk persamaan sebagai berikut,

C2 =

gL 2πh = gh 2π L

(1.56)

Selanjutnya Persamaan (1.56) dapat ditulis menjadi,

C=

p gh

(1.57)

Persamaan (1.57) merupakan persamaan cepat rambat gelombang di laut dangkal berdasarkan teori gelombang amplitudo kecil.

Teori Gelombang

23

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 h/L

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Gambar 1.2: Fungsi kedalaman relatif h Untuk cepat rambat gelombang di laut transisi, yaitu jika nilainya memenuhi L 1 h 1 < < , cepat rambat dan panjang gelombang dihitung dengan menggu20 H 2 nakan Persamaan (1.52) dan Persamaan (1.53). Jika Persamaan (1.52) dibagi dengan Persamaan (1.54) dan Persamaan (1.53) dibagi dengan Persamaan (1.55), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

gT C 2πh 2π = .tanh Co gT L 2π C =tanh Co

2πh L

(1.58)

Teori Gelombang

24

gT 2 2πh L 2π .tanh = Lo gT 2 L 2π L =tanh Lo

2πh L

(1.59)

Dari Persamaan (1.58) dan Persamaan (1.59) didapat bahwa, C L = = tanh Co Lo

2πh L

(1.60)

Apabila Persamaan (1.60) dikalikan dengan h/L. maka akan didapat persamaan berikut,

L =tanh Lo

2πh L

L h h = tanh Lo L L

h h = tanh Lo L

2πh L

2πh L

(1.61)

Dengan menggunakan perbandingan h/Lo dari Persamaan (1.61), maka dapat dihitung panjang gelombang untuk setiap kedalaman, apabila panjang gelombang di laut dalam (Lo ) diketahui atau periode gelombang (T ) diketahui dari Persamaan (1.55). Program untuk perhitungan tabel panjang gelombang dapat dilihat pada Lampiran A

Teori Gelombang

1.7

25

Cepat Rambat Kelompok Gelombang

Untuk dapat menurunkan cepat rambat kelompok gelombang maka dirumuskan bahwa cepat rambat gelombang merupakan solusi dari persamaan sebagai berikut,

Cg =

dσ dk

(1.62)

Dimana, σ = frekuensi gelombang k = bilangan gelombang

Cepat rambat kelompok gelombang merupakan perubahan frekuensi gelombang terhadap bilangan gelombangnya. Dari persamaan gelombang amplitudo kecil, Persamaan (1.49) diketahui sebagai berikut,


Bila diasumsikan σ 2 = g.k.tanh k(h) = A. Maka akan didapat, dA d σ2 = dk dk

(1.63)

Selanjutnya Persamaan (1.63) dapat ditulis menjadi, dA dσ = 2.σ. dk dk

(1.64)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (1.62) ke dalam Persamaan (1.64), maka selanjutnya akan didapat persamaan sebagai berikut, dA = 2.σ.Cg dk

(1.65)

Dari Persamaan (1.63) juga dapat diturunkan menjadi persamaan sebagai berikut,

Teori Gelombang

26

dA d = g.k. tanh(k.h) dk dk

(1.66)

Dari Persamaan (1.66) dapat disusun persamaan berikut, dA d = tanh(k.h). g.k + g.k. tanh(k.h) dk dk

(1.67)

Selanjutnya solusi untuk Persamaan (1.67) adalah sebagai berikut, dA 1 = g. tanh(k.h) + g.k.h. 2 dk cosh (k.h)

(1.68)

Dengan memasukkan persamaan ruas kiri maka Persamaan (1.68) menjadi,

2.σ.Cg = g. tanh(k.h) + g.k.h.

1 cosh (k.h) 2

(1.69)

Dari Persamaan (1.69) bisa didapat persamaan kecepatan kelompok gelombang sebagai berikut,

Cg =

g. tanh(k.h) g.k.h + 2σ 2.σ. cosh2 (k.h)

(1.70)

σ , maka Persamaan (1.70) dapat dituilis Dengan mengalikan ruas kanan dengan σ menjadi,

Cg =

g.σ. tanh(k.h) g.k.h.σ + 2 2 2σ 2.σ . cosh2 (k.h)

Dari Persamaan (1.49) diketahui bahwa,


Sehingga Persamaan (1.71) dapat disusun menjadi,

(1.71)

Teori Gelombang

Cg =

27

g.σ. tanh(k.h) g.k.h.σ + 2.g.k. tanh(k.h) 2.g.k tanh(k.h). cosh2 (k.h)

(1.72)

Dengan menghilangkan koefisien g Persamaan (1.72) menjadi,

Cg =

σ. tanh(k.h) k.h.σ + 2.k. tanh(k.h) 2.k tanh(k.h). cosh2 (k.h)

(1.73)

Dengan mengeluarkan konstanta σ dan 2.k maka Persamaan (1.73) dapat disusun menjadi bentuk persamaan sebagai berikut, σ Cg = 2.k

(

k.h tanh(k.h) + tanh(k.h) tanh(k.h). cosh2 (k.h)

) (1.74)

Selanjutnya Persamaan (1.74) dapat disederhanakan menjadi persamaan berikut, ( ) σ k.h Cg = 1+ 2.k tanh(k.h). cosh2 (k.h) Karena C = σ , maka Persamaan (1.75) dapat ditulis menjadi, k ( ) k.h C 1+ Cg = 2 tanh(k.h). cosh2 (k.h)

(1.75)

(1.76)

Persamaan (1.76) selanjutnya dapat ditulis menjadi, ( ) C k.h Cg = 1+ sinh(k.h) 2 . cosh2 (k.h) cosh(k.h)

(1.77)

Selanjutnya persamaannya menjadi, ( ) C k.h Cg = 1+ 2 sinh(k.h). cosh(k.h)

(1.78)

Dengan mengalikan ruas kanan dengan 22 , maka Persamaan (1.78) dapat ditulis

Teori Gelombang

28

menjadi, ( ) C 2.k.h 1+ Cg = 2 2. sinh(k.h). cosh(k.h)

(1.79)

Karena,

2. sinh(k.h). cosh(k.h) = sinh(2.k.h)

Maka Persamaan (1.79) dapat ditulis menjadi, ( ) C 2.k.h Cg = 1+ 2 sinh(2.k.h)

(1.80)

Persamaan (1.80) merupakan persamaan cepat rambat kelompok gelombang. Persamaan (1.80) juga dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut, ( ) 2.k.h 1 1+ .C = n.C Cg = 2 sinh(2.k.h)

(1.81)

2.k.h merupakan rasio cepat rambat kelompok gelomsinh(2.k.h) bang untuk perairan dangkal, yang mana n juga dapat dipresentasikan sebagai Cg . Sedangkan rasio cepat rambat kelompok gelombang untuk gelombang di laut C dalam dapat dipresentasikan sebagai berikut,

Dimana n =

1 2

1+

Cg C Cg = × = n tanh Co C Co

2πh L

(1.82)

Pada Tabel Panjang Gelombang yang dipresentasikan dalam Lampiran B ini juga diberikan beberapa keofisien sebagai berikut, Koefisien energi gelombang (M ) yang dipresentasikan sebagai, π2 M= 2 2 tanh(kh)

(1.83)

Teori Gelombang

29

Koefisien pendangkalan (shoaling coefficient) dipresentasikan sebagai, v u1 1 1 H =u = Ks . . Ho t 2 n C Co

(1.84)

Faktor respon tekanan dipresentasikan sebagai,

K=

1 cosh(kh)

(1.85)

Koefisien-koefisien dari persamaan di atas juga diberikan dalam SPM 1984.

1.8

Fluktuasi Muka Air

Profil pemukaan air laut dapat dihitung dengan menurunkan persamaan potensial kecepatan terhadap waktu dan dengan memasukkan syarat untuk kondisi batas permukaan. Untuk jelasnya dapat dilihat pada persamaan berikut,

η=

1 ∂φ g ∂t

di z = 0

(1.86)

Dengan memasukkan persamaan potensial kecepatan (φ) ke dalam Persamaan (1.86) untuk kondisi batas z = 0, maka akan didapat,

1∂ Hg cosh k(h + z) η= − sin(kx − σt) g ∂t 2σ cosh(kh)

1 Hg cosh k(h + z) ∂ η =− sin(kx − σt) g 2σ cosh(kh) ∂t

Penyelesaian untuk Persamaan (1.87) adalah sebagai berikut,

(1.87)

Teori Gelombang

30

η =−

1 Hg cosh(kh) (−σ) cos(kx − σt) g 2σ cosh(kh) (1.88)

η=

H cos(kx − σt) = a cos(kx − σt) 2

Persamaan (1.88) merupakan persamaan untuk fluktuasi muka air. Dari persamaan tersebut diketahui bahwa fluktuasi muka air (η) merupakan fungsi dari variabel x dan t.

1.9

Kecepatan Partikel Zat Cair

Berdasarkan potensial kecepatan yang didapat dari Persamaan (1.44), maka dapat dihitung kecepatan partikel zat untuk berbagai kedalaman h, pada posisi z dan waktu t. Komponen kecepatan partikel zat cair untuk arah x dan arah z dapat ditentukan berdasarkan persamaan

u=−

∂φ ∂x

w=−

∂φ ∂z

(1.89)

Dengan memasukkan nilai φ dari Persamaan (1.44), maka didapat persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah horizontal (u) sebagai berikut,

u=−

∂φ(x, z, t) ∂ H g cosh k(h + z) = − {− (sin(kx − σt))} ∂x ∂x 2 σ cosh k(h) (1.90)

u=−

∂φ(x, z, t) H g cosh k(h + z) ∂ = {sin(kx − σt)} ∂x 2 σ cosh k(h) ∂x

Diketahui bahwa, ∂ {sin(kx − σt)} = k cos(kx − σt) ∂x

(1.91)

Dengan memasukkan Persamaan (1.91) kedalam Persamaan (1.90), maka akan

Teori Gelombang

31

didapat persamaan berikut,

u=

H gk cosh k(h + z) cos(kx − σt) 2 σ cosh k(h)

(1.92)

Persamaan (1.92) merupakan persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah 2π horizontal (arah sumbu−x). Dengan memasukkan nilai k = dan nilai σ = L 2π ke dalam Persamaan (1.92), maka akan didapat bentuk persamaan sebagai T berikut,

2π Hg L cosh k(h + z) u= cos(kx − σt) 2 2π cosh k(h) T

Hg u= 2

u=

T cosh k(h + z) cos(kx − σt) L cosh k(h)

(1.93)

Hg cosh k(h + z) cos(kx − σt) 2C cosh k(h)

gT tanh(kx − σt), sehingga Per2π samaan (1.93) dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut, Dari Persamaan (1.52) diketahui bahwa C =

u=

u=

u=

cosh k(h + z) Hg cos(kx − σt) gT cosh(kh) tanh(kh) 2 2π Hg cosh k(h + z) cos(kx − σt) gT sinh(kh) cosh(kh) 2 2π cosh(kh)

(1.94)

πH cosh k(h + z) cos(kx − σt) T sinh(kh)

Persamaan (1.94) merupakan bentuk lain persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah horizontal, yang mengandung variabel periode gelombang T .

Teori Gelombang

32

Untuk mendapatkan persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah vertikal (w), dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan Persamaan (1.44) atau persamaan potensial kecepatan ke dalam Persamaan (1.89) sebagai berikut,

w =−

∂ H g cosh k(h + z) ∂φ(x, z, t) = − {− (sin(kx − σt))} ∂z ∂z 2 σ cosh k(h) (1.95)

w =−

∂φ(x, z, t) H g sin(kx − σt) ∂ = {cosh k(h + z)} ∂z 2 σ cosh k(h) ∂z

Diketahui bahwa, ∂ {cosh k(h + z)} = k sinh k(h + z) ∂z

(1.96)


w=

H gk sin(kx − σt) sinh k(h + z) 2 σ cosh k(h) (1.97)

w=

H gk sinh k(h + z) sin(kx − σt) 2 σ cosh k(h)

Persamaan (1.97) merupakan persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah 2π vertikal (arah sumbu−z). Dengan memasukkan nilai bilangan gelombang k = L 2π dan nilai frekuensi gelombang σ = ke dalam Persamaan (1.97), maka akan T didapat bentuk persamaan sebagai berikut,

Teori Gelombang

33

2π Hg L sinh k(h + z) w= sin(kx − σt) 2 2π cosh k(h) T

Hg w= 2

w=

T sinh k(h + z) sin(kx − σt) L cosh k(h)

(1.98)

Hg sinh k(h + z) sin(kx − σt) 2C cosh k(h)

gT tanh(kx − σt), sehingga Per2π samaan (1.98) dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut, Dari Persamaan (1.52) diketahui bahwa C =

w=

w=

w=

sinh k(h + z) Hg sin(kx − σt) gT cosh(kh) tanh(kh) 2 2π Hg sinh k(h + z) sin(kx − σt) gT sinh(kh) cosh(kh) 2 2π cosh(kh)

(1.99)

πH sinh k(h + z) sin(kx − σt) T sinh(kh)

Persamaan (1.99) merupakan bentuk lain persamaan kecepatan partikel zat cair dalam arah vertikal, yang mengandung variabel periode gelombang (T ). Distribusi kecepatan partikel zat cair untuk setiap kedalaman dapat dilihat pada Gambar 1.3.

Teori Gelombang

34

L z=0

u(z)

v(z)

z = - L/2 Gambar 1.3: Distribusi kecepatan partikel zat cair

1.10

Percepatan Partikel Zat Cair

Percepatan partikel zat cair dapat diperoleh dari Persamaan (1.94) dan Persamaan (1.99) dengan cara menurunkan persamaan tersebut terhadap variabel waktu t. Untuk percepatan partikel zat cair dalam arah horizontal dapat ditulis seperti persamaan berikut,

∂u ∂ πH cosh k(h + z) = cos(kx − σt) ax = ∂t ∂t T sinh(kh) (1.100) =

πH cosh k(h + z) ∂ cos(kx − σt) T sinh(kh) ∂t

Diketahui bahwa, ∂ cos(kx − σt) = σ sin(kx − σt) ∂t

(1.101)

Dengan memasukkan Persamaan (1.101) ke dalam Persamaan (1.100), maka akan didapat persamaan berikut,

ax =

πHσ cosh k(h + z) sin(kx − σt) T sinh(kh)

(1.102)

Teori Gelombang

35

Persamaan (1.102) merupakan persamaan percepatan partikel dalam arah hori2π zontal (arah sumbu −x) Dengan memasukkan nilai σ = ke dalam Persamaan T (1.102) maka akan didapat bentuk persamaan sebagai berikut,

πH ax =

T

2π T

cosh k(h + z) sin(kx − σt) sinh(kh) (1.103)

2

=

2π H cosh k(h + z) sin(kx − σt) T2 sinh(kh)

Persamaan (1.103) merupakan bentuk lain dari persamaan percepatan partikel dalam arah horizontal. Untuk percepatan partikel zat cair dalam arah vertikal dapat ditulis seperti persamaan berikut,

∂w ∂ πH sinh k(h + z) az = = sin(kx − σt) ∂t ∂t T sinh(kh) (1.104) =

πH sinh k(h + z) ∂ sin(kx − σt) T sinh(kh) ∂t

Diketahui bahwa, ∂ sin(kx − σt) = −σ cos(kx − σt) ∂t

(1.105)


az = −

πHσ sinh k(h + z) cos(kx − σt) T sinh(kh)

(1.106)

Persamaan (1.106) merupakan persamaan percepatan partikel dalam arah ver2π tikal (arah sumbu −z) Dengan memasukkan nilai σ = ke dalam Persamaan T

Teori Gelombang

36

(1.106) maka akan didapat bentuk persamaan sebagai berikut, πH az = −

2π T

T

sinh k(h + z) cos(kx − σt) sinh(kh) (1.107)

2

=−

2π H sinh k(h + z) cos(kx − σt) T2 sinh(kh)

Persamaan (1.107) merupakan bentuk lain dari persamaan percepatan partikel dalam arah vertikal.

1.11

Perpindahan Partikel Zat Cair

Gelombang yang bergerak di dalam zat cair, selain akan memberikan kecepatan (u dan w) dan percepatan (ax dan az ) pada partikelnya, gelombang juga akan menimbulkan perpindahan partikel zat cair. Untuk mendapatkan persamaan perpindahan partikel zat cair baik, dalam arah horizontal maupun dalam arah vertikal dapat dilakukan dengan cara mengalikan kecepatan perpindahan (u dan w) dengan waktu (t) terjadinya perpindahan. Untuk jelasnya lihat hubungan dari persamaan berikut,

u=

∂ξ ∂t

w=

∂ε ∂t

(1.108)

Dari Persamaan (1.108) maka didapat persamaan perpindahan partikel zat cair dalam arah horizontal (arah x) dan arah vertikal (arah z) sebagai berikut, Z perpindahan horizontal

ξ=

udt (1.109) Z

perpindahan vertikal

ε=

wdt

Untuk mendapatkan persamaan perpindahan partikel zat cair dalam arah hori-

Teori Gelombang

37

zontal, dapat dilakukan dengan cara memasukkan Persamaan (1.94) ke dalam Persamaan (1.109) seperti berikut,

Z

Z ξ=

udt =

πH cosh k(h + z) cos(kx − σt) dt T sinh(kh) (1.110)

=

πH cosh k(h + z) T sinh(kh)

Z

cos(kx − σt) dt

Diketahui bahwa,

Z

1 cos(kx − σt) dt = σ

Z

1 cos(kx − σt) d(σt) = − sin(kx − σt) σ

(1.111)


ξ=−

πH cosh k(h + z) sin(kx − σt) T σ sinh(kh)

(1.112)

Persamaan (1.112) merupakan persamaan perpindahan partikel zat cair dalam 2π arah horizontal (arah sumbu −x). Dengan memasukkan nilai σ = ke dalam T Persamaan (1.112) maka akan didapat bentuk persamaan sebagai berikut,

ξ =−

πH cosh k(h + z) sin(kx − σt) 2π sinh(kh) T T (1.113)

ξ =−

H cosh k(h + z) sin(kx − σt) 2 sinh(kh)

Persamaan (1.113) merupakan persamaan perpindahan partikel zat cair dalam arah horizontal dengan bentuk persamaan yang lebih sederhana. Untuk mendapatkan persamaan perpindahan partikel zat cair dalam arah vertikal, dapat dilakukan dengan cara memasukkan Persamaan (1.99) ke dalam Persamaan (1.109)

Teori Gelombang

38

seperti berikut,

Z

Z ε=

wdt =

πH sinh k(h + z) sin(kx − σt) dt T sinh(kh) (1.114)

πH sinh k(h + z) = T sinh(kh)

Z

sin(kx − σt) dt

Diketahui bahwa, Z

1 sin(kx − σt) dt = σ

Z

1 sin(kx − σt) d(σt) = cos(kx − σt) σ

(1.115)


ε=

H sinh k(h + z) cos(kx − σt) 2 sinh(kh)

(1.116)

Persamaan (1.116) merupakan persamaan perpindahan partikel zat cair dalam arah vertikal dengan bentuk yang lebih sederhana.

1.12

Tekanan Gelombang

Tekanan akibat gaya gelombang merupakan tekanan yang diakibatkan gaya hidrostatis dan gaya hidrodinamis. Gaya tekanan gelombang dapat dicari dengan cara memasukkan Persamaan (1.44) atau persamaan potensial kecepatan ke dalam Persamaan (1.31) atau persamaan Bernoulli. Dengan mengabaikan suku u2 , w2 dan C(t) dari persamaan Bernoulli, maka dapat disusun persamaan tekanan gelombang sebagai berikut,

−

p ∂φ 1 2 + u + w2 + + g.z =0 ∂t 2 ρ (1.117) p =ρ

∂φ − ρgz ∂t

Teori Gelombang

39

Dengan memasukkan persamaan potensial kecepatan ke dalam Persamaan (1.117), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

p =−

ρH g cosh k(h + z) ∂ sin(kx − σt) − ρgz 2 σ cosh k(h) ∂t (1.118)

ρgH cosh k(h + z) cos(kx − σt) − ρgz p= |{z} 2 cosh k(h) | {z } hidrostatik hidrodinamik

Persamaan (1.118) merupakan persamaan untuk tekanan gelombang yang terdiri dari tekanan hidrostatik dan tekanan hidrodinamik.

1.13

Energi Gelombang

Gelombang yang bergerak selain menimbulkan pergerakan partikel, juga dapat memberikan energi gelombang. Energi gelombang terdiri dari 2(dua) jenis, yaitu energi kinetik dan energi potensial gelombang. Energi kinetik terjadi karena adanya kecepatan partikel akibat gerak gelombang. Sedangkan energi potensial terjadi karena adanya perpindahan muka air karena gerakan gelombang. Untuk teori gelombang amplitudo kecil, jika energi gelombang ditetapkan relatif terhadap muka air diam, dan semua gelombang menjalar dalam arah yang sama, maka akan didapat komponen energi potensial dan energi kinetik adalah sama. Untuk mendapatkan persamaan energi gelombang, diasumsikan suatu elemen dengan volume berukuran dx × dz × 1 dengan berat jenis ρ dan dengan massa dm. Karena adanya kecepatan partikel dalam arah u dan w, elemen tersebut akan menghasilkan energi kinetik sebagai berikut, 1 dEk = .dm.V 2 2 (1.119) 1 = . ρ × dx × dz × 1 .(u2 + w2 ) 2 Untuk menyelesaikan Persamaan (1.119), maka dapat dilakukan dengan cara

Teori Gelombang

40

mengintegrasikan persamaan sebagai berikut, L

Z

Z

0

Ek = −h

0

1 .ρ.(u2 + w2 ).dz.dx 2

(1.120)

Dengan memasukkan persamaan kecepatan partikel zat cair arah horizontal (u) dari Persamaan (1.94) dan arah vertikal (w) dari Persamaan (1.99) ke dalam Persamaan (1.120), maka selanjutnya persamaan ini dapat ditulis menjadi bentuk persamaan sebagai berikut,

ρ Ek = 2

Z 0

L

( πH cosh k(h + z) 2 cos(kx − σt) T sinh(kh) −h

Z

0

(1.121) )

πH sinh k(h + z) 2 + sin(kx − σt) dzdx T sinh(kh) Dari Persamaan (1.121) dapat disusun bentuk persamaan sebagai berikut,

ρπH Ek = 2T sinh(kh)

Z

ρπH 2T sinh(kh)

Z

L

Z

0

2 cosh k(h + z) cos(kx − σt) dzdx+

−h

0

(1.122) LZ

0

0

2 sinh k(h + z) sin(kx − σt) dzdx

−h

Selanjutnya Persamaan (1.122) disusun menjadi,

Ek =

ρπH 2T sinh(kh)

Z

"Z

L

0

# cosh2 k(h + z)dz dx+

cos2 (kx − σt)

−h

0

(1.123) ρπH 2T sinh(kh)

Z 0

L

"Z

0

sin2 (kx − σt)

# sinh2 k(h + z)dz dx

−h

Jika Persamaan (1.123) diselesaikan maka akan didapat persamaan sebagai berikut, ρgH 2 L Ek = 16

(1.124)

Teori Gelombang

41

Persamaan (1.124) merupakan persamaan energi kinetik gelombang untuk teori gelombang amplitudo kecil. Apabila energi potensial dari gelombang dikurangi dengan energi gelombang dari massa air diam, maka akan didapat energi potensial yang disebabkan oleh gerak gelombang. Dengan asumsi bahwa dasar laut sebagai bidang referensi maka energi potensial yang ditimbulkan oleh panjang gelombang untuk setiap satu satuan lebar puncak gelombang dapat dirumuskan sebagai berikut,

Z

L

Ep = 0

h+η h ρg(h + η)( ) dx − ρgLh( ) 2 2

(1.125)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (1.88) ke dalam Persamaan (1.125), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

ρg Ep = 2

Z 0

L

2 h H h + cos(kx − σt) dx − ρgLh( ) 2 2

(1.126)

Penyelesaian untuk Persamaan (1.126) adalah sebagai berikut, ρgH 2 L Ep = 16

(1.127)

Persamaan (1.127) merupakan persamaan energi potensial gelombang. Sehingga total energi gelombang dapat ditulis sebagai berikut,

E = Ek + Ep =

ρgH 2 L 8

(1.128)

Besarnya energi gelombang untuk setiap satu satuan panjang gelombang (L) dapat ditulis menjadi, E ρgH 2 E¯ = = L 8

(1.129)

Teori Gelombang

42

Persamaan (1.129) merupakan energi rerata gelombang untuk setiap satu satuan panjang gelombang.

1.14

Tenaga Gelombang

Tenaga gelombang merupakan energi gelombang untuk tiap satu satuan waktu yang bergerak dalam arah penjalaran gelombang. Tenaga gelombang merupakan gaya yang bekerja pada suatu bidang vertikal dalam arah penjalaran gelombang yang bergerak dengan kecepatan partikel zat cair yang melintas bidang tersebut. untuk tiap satu satuan lebar, tenaga gelombang dapat dihitung sebagai berikut, 1 P = T

Z 0

T

Z

0

(p + ρgz).u dzdt

(1.130)

−h

Dengan mensubstitusikan komponen dinamis dari tekanan gelombang atau Persamaan (1.118) dan komponen persamaan kecepatan horizontal zat cair atau Persamaan (1.94) ke dalam Persamaan (1.130), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

1 P = T

Z 0

T

Z

0

−h

ρgH cosh k(h + z) cos(kx − σt) 2 cosh(kh) (1.131)

πH cosh k(h + z) × cos(kx − σt) dzdt T cosh(kh) Jika Persamaan (1.131) diselesaikan maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

P =

ρgH 2 L 2kh 1+ 16T sin(2kh)

P =

2kh E 1+ T sin(2kh)

E P = n T

(1.132)

Teori Gelombang

43

Persamaan (1.132) merupakan persamaan tenaga gelombang (P ) dimana diketahui bahwa n merupakan rasio cepat rambat kelompok gelombang yang didapat dari Persamaan (1.81).

1.15

Perhitungan Tabel Panjang Gelombang

Untuk menghitung panjang gelombang yang didapat dari Persamaan (1.49) dapat dilakukan baik dengan menggunakan prosedur perhitungan biasa maupun dengan menggunakan tabel. SPM 1984 menyediakan tabel untuk perhitungan gelombang amplitudo kecil. Untuk membuat tabel perhitungan panjang gelombang dapat dilakukan dengan menggunakan berbagai bahasa pemrograman seperti fortran, C++, pascal, basic, java, python, php, javacsript dan lain sebagainya. Untuk dapat membuat tabel panjang gelombang seperti yang dipresentasikan dalam SPM 1984 diperlukan persamaan gelombang amplitude kecil seperti yang dipresentasikan dalam Persamaan (1.49),


2π Dengan memasukkan σ = 2π T dan k = L maka Persamaan (1.49) di atas dapat ditulis menjadi persamaan sebagai berikut,

2π T

2

2π = g. .tanh L

2πh L

(1.133)

Persamaan (1.133) dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagai berikut, gT 2 L= .tanh 2π

2πh L

(1.134)

Persamaan (1.134) dapat ditulis menjadi suatu persamaan yang merupakan fungsi dari variabel L seperti berikut, gT 2 .tanh f (L) = 2π

2πh L

−L

(1.135)

Teori Gelombang

44

Dari Persamaan (1.135) dapat dicari penyelesaian L untuk fungsi f (L) = 0. Penyelesaian Persamaan (1.135) di atas dapat dilakukan baik dengan cara coba-coba (try and error) atau dengan menggunakan metode numerik seperti metode Newton-Raphson. Metode Newton-Raphson dapat ditulis sebagai berikut,

Li+1 = Li −

f (Li ) df (Li ) dLi

(1.136)

Dengan memasukkan persamaan (1.135) ke dalam Persamaan (1.136), maka didapat persamaan sebagai berikut,

Li+1

gT 2 2πh − L .tanh i 2π 2 Li = Li − ∂ gT 2πh .tanh − Li ∂Li 2π Li

(1.137)

Untuk mendapatkan turunan pertama dari Persamaan (1.135), maka dapat diagT 2 2πh sumsikan = Q dan = R. Selanjutnya Persamaan (1.135) dapat disusun 2π L menjadi bentuk persamaan yang lebih sederhana seperti berikut,

f (L) = Q.tanh (R) − L

(1.138)

Sehingga turunan pertama Persamaan (1.138) terhadap L adalah sebagai berikut, ∂ ∂R ∂L ∂f (L) = Q. tanh R . − ∂L ∂R ∂L ∂L

(1.139)

Dari Persamaan (1.139) untuk turunan tanh R terhadap R dapat diselesaikan sebagai berikut,

Teori Gelombang

45

∂ ∂ tanh R = ∂R ∂R

sinh R cosh R

∂ cosh R ∂ sinh R cosh R − sinh R ∂R = ∂R (cosh R)2

(1.140)

=1 − (tanh R)2 Sedangkan untuk turunan R terhadap L adalah sebagai berikut, ∂R ∂ = ∂L ∂L

2πh L

(1.141)

=−

2πh L2

Diketahui juga bahwa turunan L terhadap L adalah sama dengan 1. Selanjutnya dengan mensubstitusikan Persamaan (1.140) dan Persamaan (1.141) ke dalam Persamaan (1.139) serta memasukkan nilai Q dan R. Maka turunan pertama dari f (L) dapat ditulis menjadi, ∂ f (L) = ∂L

gT 2 2π

2 2π 2πh 1 − tanh − 2 −1 L L

(1.142)

Selanjutnya penyelesaian akhir untuk turunan pertama dari Persamaan (1.135) dapat ditulis sebagai berikut, 2 ∂ g.h.T 2 2πh f (Li ) = − . 1 − tanh −1 ∂Li L2 Li

(1.143)

Dengan memasukkan Persamaan (1.143) ke dalam Persamaan (1.137), maka akan didapat persamaan sebagai berikut,

Li+1

gT 2 2πh − L .tanh i 2π Li = Li − 2 g.h.T 2 2πh − . 1 − tanh −1 L2 Li

(1.144)

Teori Gelombang

46

Dengan menggunakan Persamaan (1.144) dapat dibuat sebuah Program untuk membuat Tabel Panjang Gelombang untuk Teori Gelombang Amplitudo Kecil dengan menggunakan bahasa pemrograman fortran 77. Listing program dapat dilihat pada Lampiran A dan hasil running program dapat dilihat di Lampiran B.

BAB 2 Peramalan Gelombang 2.1

Pendahuluan

Gelombang yang merambat ke pantai atau ke perairan laut yang dangkal, berasal dari gelombang yang ditimbulkan oleh angin di laut dalam. Gelombang yang dihasilkan tersebut mempunyai periode gelombang yang cukup kecil bila diban-dingkan dengan gelombang yang dihasilkan gelombang oleh angin di laut dalam. Gelombang yang merambat tersebut akan mengalami peningkatan pengurangan panjang gelombang secara cepat. Hal ini karena gelombang yang merambat tersebut dipengaruhi oleh gesekan dari dasar laut yang dirambati oleh gelombang tersebut. Perubahan gelombang tersebut secara dominan terjadi pada daerah laut dangkal. Pengaruh gesekan dasar perairan dapat dilihat berdasarkan batasan nilai dari perbandingan kedalaman (h) terhadap percepatan gravitasi (g) dan periode gelombang (T ). batasan untuk laut dangkal adalah sebagai berikut, h < 0, 0025 g.T 2

(2.1)

batasan untuk laut dalam adalah sebagai berikut, h > 0, 08 g.T 2

dan batasan untuk laut transisi adalah sebagai berikut, 47

(2.2)

Peramalan Gelombang

48

0, 0025 <

h < 0, 0025 g.T 2

(2.3)

dimana,

h = d (depth) = kedalaman perairan (meter) g = 9,8 meter/detik2 T = periode gelombang (detik) Pengaruh dominan dari dasar perairan adalah memindahkan energi sistem gelombang, dimana untuk setiap variabel kecepatan angin, fetch, dan durasi menghasilkan tinggi gelombang dan periode gelombang signifikan, yang secara cepat akan berkurang dengan semakin berkurangnya kedalaman air. Metode yang dipergunakan untuk peramalan gelombang yang sangat tergantung dengan kedalaman laut, pertama kali dipresentasikan oleh Bretschneider (1954). Bretschneider mengkombinasikan hubungan peramalan gelombang laut dalam SMB untuk menentukan masukan energi ke gelombang, Bretschneider dan Reid (1954) menghubungkan peredaman energi oleh gesekan dasar perairan untuk mengembangkan suatu hubungan peramalan gelombang. Faktor gesekan dasar perairan adalah 0, 001 (Bretschneider dan Reid, 1954). Ini dinamakan Bretschneider sebagai faktor gesekan yang dikalibrasi. Hubungan peramalan gelombang yang tergantung pada kedalaman atau peramalan gelombang di laut dangkal dapat ditetapkan sebagai persamaan berikut. 1/2 gF # 3/4 gh UA2 = 0, 283 tanh [0, 53 ] tanh 3/4 UA2 gh tanh 0, 53 UA2

(2.4)

1/3 gF # 3/8 0, 0379 2 gTs gh UA = 7, 54 tanh [0, 833 ] tanh 3/8 2 UA UA gh tanh 0, 833 UA2

(2.5)

gHmo UA2

" 0, 00565

"

Peramalan Gelombang

49

gtd = 537 UA

gTs UA

7/3 (2.6)

Untuk peramalan gelombang di laut dalam dapat dipergunakan rumus sebagai berikut: gHmo = 0, 0016 UA2

gTp = 0, 286 UA

gtd = 68.8 UA

gF UA2

gF UA2

gF UA2

1/2 (2.7)

1/3 (2.8)

2/3 (2.9)

Diberikan, 1,23 UA = 0, 71U10

U10 =

10 z

(2.10)

1/7 Uz

Dimana,

Hs = Hmo = tinggi gelombang signifikan (meter) UA = faktor kecepatan angin (meter/detik) F = panjang fetch (meter) Ts = 0, 95Tp = periode gelombang signifikan (detik) td = durasi atau lama angin bertiup (detik)

(2.11)

Peramalan Gelombang

50

U10 = kecepatan angin pada ketinggian 10 meter (meter/detik) Uz = kecepatan angin diukur pada ketinggian z meter (meter/detik) Di SPM (Shore Protection Manual) 1984, persamaan yang sudah dijelaskan, dipresentasikan dalam bentuk grafik yang diplot untuk kedalaman bervariasi, untuk laut dangkal dapat lihat pada Gambar 2.1 dan Gambar 2.2, sedangkan untuk laut dalam dapat lihat pada Gambar 2.3 dan Gambar 2.4. Ini harus ditekankan bahwa hubungan peramalan gelombang yang dipresentasikan di Persamaan (2.4), Persamaan (2.5), dan Persamaan (2.6) berdasarkan pada data yang terbatas, dan harus digunakan dengan hati-hati. Vincent dan Hughes (1985), menggunakan metode yang dikembangkan terdahulu untuk menghitung batas atas dari energi di dalam suatu bidang gelombang angin yang dibatasi oleh kedalaman, selanjutnya dibadingkan dengan tinggi gelombang yang diprediksi oleh Persamaan (2.4), Persamaan (2.5) , dan Persamaan (2.6) diambil untuk batas perairan dangkal (shallow water). Hasil perhitungan yang ditunjukkan menggunakan rumus ini adalah sangat sesuai. Bagaimanapun juga suatu perbandingan dari rumus peramalan gelombang laut dalam (Persamaan (2.7) dan Persamaan (2.8)) dengan rumus yang tergantung dengan pengaruh kedalaman oleh Hudrle and Stive (1989) ditunjukkan bahwa rumus ini tidak sama pada daerah transisi. Juga dipertanyakan nilai dari Persamaan (2.6) untuk durasi yang terbatas. Bentuk-bentuk modifikasi dari pertanyaan berdasarkan pada gaya yang bekerja untuk membuktikan garis singgung yang lebih baik. Untuk dapat melihat pengaruh kedalaman terhadap pertumbuhan gelombang kita bisa melihat contoh untuk laut dalam. Untuk kecepatan angin 30 m/detik dan panjang Fetch (F ) = 20 km atau sama dengan 20.000 meter menghasilkan tinggi gelombang signifikan (Hs )=2, 2 meter dan periode gelombang signifikan (Ts ) = 5, 3 detik. Sedangkan untuk laut dangkal, jika kedalaman rata-rata untuk fetch adalah 5 meter, ini akan menghasilkan tinggi dan periode gelombang signifikan, Hs = 1, 4 meter dan Ts = 4, 3 detik. Untuk kondisi laut dalam, peramalan gelombang memerlukan pengetahuan kecepatan angin dekat permukaan, termasuk variasi spatial dan temporalnya. Untuk peramalan gelombang cara empiris lebih sederhana, dalam melakukan peramalan, cukup menggunakan nilai rata-rata yang mewakili dari kecepatan angin (U ), fetch (F ) dan durasi (td ). Seringkali pemilihan dari fetch diseder-

Peramalan Gelombang

51

Gambar 2.1: Nomogram kurva peramalan tinggi gelombang (H = Hs ) untuk laut dangkal dan kedalaman konstan.

Peramalan Gelombang

52

Gambar 2.2: Nomogram kurva peramalan periode gelombang (T = Ts ) untuk laut dangkal dan kedalaman konstan.

Peramalan Gelombang

53

Gambar 2.3: Nomogram kurva peramalan tinggi gelombang signifikan untuk laut dalam, sebagai fungsi dari kecepatan angin (UA ), panjang fetch (F ), dan durasi (td ) dalam satuan meter.

Peramalan Gelombang

54

Gambar 2.4: Nomogram kurva peramalan tinggi gelombang signifikan untuk laut dalam, sebagai fungsi dari kecepatan angin (UA ), panjang fetch (F ), dan durasi (td ) dalam satuan inch.

Peramalan Gelombang

55

hanakan dengan adanya batas pulau yang ditentukan batas dari fetch. Dan fetch boleh cukup pendek sehingga kondisi gelombang yang paling memungkinkan akan dibatasi oleh fetch. Jika tidak, ini akan menjadi sulit untuk menghitung rerata nilai U , F dan td yang mewakili kenyataan yang lebih kompleks. Sumber yang lebih baik dari data angin adalah pencatatan arah dan kecepatan angin yang sebenarnya atau yang aktual di lapangan. Ini harus dilakukan pengukuran di atas permukaan air untuk waktu yang cukup panjang untuk melakukan analisis frekuensi dan periode ulang yang dapat diekstrapolasi untuk menunjukkan periode ulang untuk peramalan gelombang yang didisain. Sumber-sumber data untuk data angin lokal seperti dari pelabuhan udara, Coast guard Stations, dan badan meteorologi yang pengukurannya dilakukan di atas permukaan tanah atau di darat. Beberapa data offshore sebagaimana dari US Naval Wheather Service Command Summary of Synopsic Meteorologi Observations (SSMO) atau observasi-observasi dari kapal-kapal kecil yang juga dapat dimanfaatkan, data ini perlu untuk dianalisis untuk mengembangkan kecepatan angin versus periode ulang atau probablititas dari exceedence plot. Untuk arah mata angin yang didekati sering hasil plots dan windrose memberikan prosentase kejadian untuk range kecepatan yang dipilih dan arah yang sudah dikembangkan sebagaimana hasil dari Corps of Engineering terdahulu. Sumber kedua dari data angin adalah kompilasi data angin yang dipresentasikan sebagai kontur kecepatan (isotachs) pada sebuah map untuk periode ulang yang diberikan ( Contoh lihat American national Standards Instutute, 1972 dan Thom, 1960). Untuk contoh, Thom (1960) mempresentasikan 2, 10, dan 50 tahun periode ulang isotachs untuk daerah kontinental U.S.A. Untuk lokasi yang dipilih. Nilai periode ulang kecepatan angin ini dapat diplot dan kecepatan angin untuk menunjukkan periode ulang yang dapat ditentukan. Bagaimanapun juga data ini tidak menentukan arah angin. Periode ulang untuk kecepatan angin yang diberikan dan arah kompas seharusnya secara signifikan lebih panjang dari pada untuk kecepatan yang tidak mempunyai arah yang sama. Jika windrose dimungkinkan untuk suatu lokasi studi, suatu koreksi pendekatan untuk arah dapat dibuat dengan melakukan asumsi bahwa kecepatan angin pada beberapa periode ulang didistribusikan dari kecepatan angin yang lebih tinggi di dalam

Peramalan Gelombang

56

windrose (e.g. lihat U.S. Army Coastal Engineering Research Center, 1984, Bab 8). Sumber ketiga dari data angin adalah untuk membuat peramalan dari peta cuaca yang menunjukkan kontur tekanan level yang lebih tinggi. Pertama, bagian kecepatan angin dari geostropic atmosphere yang lebih tinggi ditentukan dari gradien tekanan. Selanjutya kecepatan angin permukaan dan arah ditentukan dari bagian angin geostrophic. Diskusi umum masalah ini dipresentasikan di dalam Shore Protection ma-nual (U.S. Army Coastal Engineering Research Center, 1984). Bagaimanapun peramalan yang mungkin dilakukan hanya bisa dibuat oleh peramal-peramal yang berpengalaman dan pengembangan dari informasi yang cukup untuk mengembangkan suatu analisis periode ulang angin. Pendekatan ini tidak bisa secara khusus digunakan untuk teknik peramalan gelombang secara empirik yang lebih sederhana. Tetapi digunakan untuk model peramalan gelombang secara numerik dengan skala besar dan lebih kompleks. Nilai-nilai kecepatan angin individu yang dihasilkan memerlukan satu atau lebih ketetapan, sebelum digunakan untuk membuat peramalan-peramalan gelombang. Pengukuran-pengukuran dilapangan dari kecepatan angin tidak boleh dibuat pada elevasi standar 10 m di atas ground level, jika tidak nilai kecepatan angin harus dikoreksi untuk elevasi 10 meter. Hubungan hukum energi didekati untuk mengukur elevasi yang tidak lebih besar dari 20 meter (U.S. Army Coastal Engineering Research Center, 1984). Ini seharusnya diberikan sebagaimana Persamaan (2.11) berikut, U10 =

10 z

1/7 Uz

Dimana Uz adalah kecepatan angin yang diukur pada elevasi Z, dan U10 adalah kecepatan angin yang diukur pada referensi elevasi 10 meter. Untuk contoh dari persamaan di atas adalah sebagai berikut, U19,5 = 1, 10 U10

(2.12)

Kecepatan angin benar-benar tidak teratur dengan waktu. Kecepatan yang di-

Peramalan Gelombang

57

laporkan dapat menjadi nilai rata-rata meliputi secara relatif periode pendek dari 1 menit atau mil tercepat ( waktu ini diambil diudara dalam mil) atau ini dapat menjadi lebih panjang 10 atau 15 menit rata-rata. Panjang dari waktu yang melebihi dimana kecepatan angin secara rata-rata meningkat, nilai rata-rata menurun. Nilai kecepatan angin yang dipergunakan untuk peramalan gelombang seharusnya menjadi suatu nilai yang dirata-ratakan melebihi waktu yang diperlukan gelombang untuk berjalan sepanjang fetch ( F/Cg). Penyesuaian dapat dibuat menggunakan persamaan berikut: Ut 45 = 1, 277 + 0, 296 tanh 0, 9 log U3600 t

(2.13)

Persamaan (2.13) di atas berlaku untuk kondisi 1 detik < t < 3600 detik. Sedangkan untuk kondisi t lebih besar dari 3600 detik dapat mengikuti persamaan berikut, Ut = 1, 533 − 0, 15 log(t) U3600

(2.14)

Persamaan (2.14) berlaku untuk kondisi 3600 detik < t < 36, 000 detik. Dimana t adalah waktu rerata dalam detik ( U3600 adalah kecepatan angin rerata 1 jam). Untuk contoh, kecepatan angin rerata 1 menit dari 30 meter/detik, akan direduksi ke 24, 2 meter/detik ketika rerata 30 menit, dan dapat menjadi lebih dari 2, 1 meter/detik ketika rata-rata 2 jam. Jika angin yang diukur dari stasiun yang berada di darat dipergunakan, kecepatan angin yang berhubungan di atas air akan menjadi berbeda sebab batas atas atmosfir di atas permukaan tanah (didarat) tidak bisa secara langsung disesuaikan untuk karakteristik gesekan dari permukaan air sehingga penyesuaian diperlukan untuk perubahan lapisan batas ini akan bergantung pada keduanya. Kecepatan angin dan panjang fetch. Stabilitas lapisan batas di atas air adalah tergantung pada perbedaan temperatur antara udara-air dan ini dapat memberikan dampak pada kemampuan angin dalam menimbulkan gelombang. Diskusi dari beberapa petunjuk pada daratan air dan penyesuaian perbedaan tempe-ratur dan ini bisa menyebabkan timbulnya gelombang yang disebabkan

Peramalan Gelombang

58

oleh a-ngin. Pembahasan dan beberapa perhitungan secara empirik pada penyesuaian perbedaan temperatur antara daratan dan air diberikan oleh Resion dan Vincent (1977). Ketika peramalan gelombang ditunjukkan untuk danau dan reservoar di daerah pergunungan, ada kondisi yang memberikan pengaruh yang kuat yang bisa terjadi dan menyebabkan kecepatan angin tinggi di atas air yang tidak seperti biasanya. Saat arah angin menjadi variabel yang melebihi jarak terpendek relatif, saat kondisi ini harus hati-hati didalam membuat peramalan gelombang.

2.2

Metode Terdahulu

Selama abad 19 dan awal abad 20 rumus peramalan gelombang secara empirik dan sederhana dikembangkan dari pengamatan secara kasaran dari tinggi gelombang versus kecepatan angin dan fetch (e.g., Stevensen, 1886 and Nolitor, 1934). Selama perang dunia kedua Sverdrup and Munk (1947), menggunakan konsep pertumbuhan energi gelombang, dikembangkan suatu teori peramalan gelombang yang secara pendekatan dibuktikan oleh sejumlah kecil dari data yang ada pada waktu itu. Ini selanjutnya direvisi untuk beberapa kali oleh Bretschneider 1952a, 1958) didasarkan pada penambahan satu set dari angin dan data gelombang; sehingga metode peramalan gelombang ini sekarang menjadi acuan untuk Sverdrup-Munk-Bretschneider (SMB) method. Metode SMB bisa paling mudah dipresentasikan dengan menentukan suatu analisi dimensional dari dasar hubungan penimbulan gelombang air laut dalam. Ini dipresentasikan sebagai berikut,

Hs , Ts = f ct(U, F, td , g)

yang menghasilkan g.Hs g.Ts g.F g.td dan =f , 2 U 2πU U2 U

!

Disini 2π dimasukkan, sebab kecepatan gelombang laut dalam C =

(2.15)

gT dan 2π

Peramalan Gelombang

59

C , diketahui sebagai usia gelombang, adalah suatu parameter penting diU dalam mendefenisikan pertumbuhan gelombang. Persamaan (2.15) adalah benrasio

tuk nondimensi dari tinggi dan periode pertumbuhan gelombang dasar untuk fetch angin dan durasi yang tidak berdimensi. Hubungan yang didefenisikan oleh Persamaan (2.15) dipresentasikan didalam bentuk grafik (Sverdrup and Munk, 1947; Bretschneider, 1958) menggunakan parameter yang tidak berdimensi. Ini juga dipresentasikan didalam bentuk persamaan empirik dan plot yang berdimensi didalam Shore Protection manual (lihat U.S. Army Coastal Engineering Research Center, 1977). Gambar 2.5 adalah grafik dari Persamaan (2.15). (Ini harus dicatat bahwa kurva-kurva ini didasarkan pada data lapangan yang banyak, tetapi data tersebut menunjukkan sejumlah besar dari garis scatter, sebagaimana diharapkan ketika nilai kecepatan angin dan lamanya angin bertiup (durasi) ratarata digunakan untuk mempresentasikan kenyataan yang lebih kompleks.) Fetch yang tidak berdimensi yang diberikan, tinggi dan periode gelombang signifikan yang tidak berdimensi (garis tebal) dapat ditentukan. Garis yang sama dapat dikerjakan untuk durasi yang tidak berdimensi (garis putus-putus). Nilai yang terkecil dari dua nilai dapat menghasilkan tinggi dan periode gelombang. Untuk contoh, tentukan kecepatan angin yang disesuaikan dari 30 meter/detik bertiup di atas sebuah danau yang dalam dengan fetch = 20 km untuk suatu durasi 2 jam. Kecepatan angin dan fetch yang dihasilkan Hs = 3, 1 meter dan Ts = 6, 6 detik, dan kecepatan angin dan durasi yang dihasilkan Hs = 3, 9 meter dan Ts = 7, 4 detik. Sehingga Gelombang yang ditimbulkan adalah untuk fetch yang terbatas dan nilai-nilai yang lebih rendah harus disesuaikan. Di dalam contoh ini hanya menunjukkan contoh perhitungan, jika durasi atau waktu angin bertiup adalah kurang dari 1, 5 jam (durasi yang diperlukan untuk memberikan Hs = 3, 1 meter dan Ts = 6, 6 detik), gelombang yang dihasilkan mempunyai durasi yang terbatas. Untuk durasi yang lebih pendek, kecepatan gelombang rata-rata lebih dimungkinkan menjadi agak lebih besar. Ini harus menghasilkan nilai periode dan tinggi gelombang yang lebih besar. Masalahnya adalah, jika ini cukup diketahui perkiraan variasi kecepatan angin terhadap waktu, lebih dari satu set durasi dan kecepatan angin harus dievaluasi untuk melihat yang mana menghasilkan nilai periode dan kecepatan gelombang yang

Peramalan Gelombang

60

Gambar 2.5: Kurva peramalan gelombang SMB lebih tinggi.

2.3

Peramalan Model Spektrum

Sebagaimana catatan terdahulu, beberapa model spektrum gelombang air dalam satu dimensi dapat digunakan untuk peramalan gelombang. Seperti Bretschneider spectrum yang ditulis sebagai berikut, ¯ 2 3, 44.T 3 (H) ¯ 4 .e−0,675.(T /T ) S(T ) = 4 (T¯)

(2.16)

Dimana: T = 0, 77.Tp Ini ditulis dalam ukuran dari periode dan tinggi gelombang rata. Ini semua dapat ditentukan dari metode peramalan gelombang SMB, yang menghasilkan Hs dan Ts . Selanjutnya, dari distribusi Rayleigh, H100 /Hs = 0, 64 dan periode rata-rata secara pendekatan sama untuk periode signifikan. Spektrum Pierson-Moskowitz dapat dihitung dari Persamaan (2.17) sebagai berikut,

Peramalan Gelombang

61

αg 2 −0,74.(g/2πU f )4 .e S(f ) = (2.π)4 f 5

(2.17)

Dimana α = 8, 1 × 10−3 dan U adalah kecepatan angin yang diukur pada suatu elevasi 19,5 meter lebih baik dari pada elevasi standar 10 meter. Kecepatan angin pada elevasi 19,5 meter adalah 5 − 10% lebih tinggi dari pada elevasi 10 meter, sehingga suatu koreksi yang lebih mendekati yang menggunakan profil kecepatan logaritmik standar harus dilakukan. Koreksi kecepatan dapat dilakukan dengan menggunakan Persamaan (2.11). Spektrum ini tidak tergantung pada panjang fetch (F ) dan durasi (td ) dari angin. Hm0 dan fp dapat ditentukan secara langsung dari Persamaan (2.18) dan Persamaan (2.19) sebagai berikut,

Hm0 =

fp =

0, 21.U 2 g

(2.18)

0, 87g 2πU

(2.19)

Jika kondisi adalah fetch atau durasi yang terbatas, peramalan yang dihasilkan menjadi tidak benar. Ini dapat dilihat, untuk contoh, dengan menerapkan Persamaan (2.18) dan Persamaan (2.19) untuk menentukan Hm0 dan fp untuk contoh fetch yang terbatas dipresentasikan di dalam bagian yang terdahulu dan membandingkan nilai-nilai untuk ini ditentukan oleh metode SMB. Untuk kondisi-kondisi fetch terbatas, Spektrum JONSWAP dapat dipergunakan, yaitu dengan menggunakan persamaan berikut, 3, 5g fp = U

gF U2

!−0.33 (2.20)

Persamaan di atas dapat menghasilkan fp secara langsung dan selanjutnya spektrum tersebut dapat diplot dari persamaan berikut,

S(f ) =

αg 2 4 .e−1,25(fp /f ) .γ a 4 5 (2.π) f

(2.21)

Peramalan Gelombang

62

Dimana,

−

a =e

(f − fp )2 2α2 fp2

γ = 0, 07

jika f < fp

γ = 0, 09

jika f ≥ fp

g.F α = 0, 076 U2

−0,22

SPM 1984 merekomendasikan bahwa peramalan gelombang laut dalam dikerjakan menggunakan suatu model parametrik yang berdasarkan pada JONSWAP (Hasselmann et al., 1976) lebih baik dari pada metode SMB yang direkomendasikan di dalam versi manual terdahulu. Prosedur ini adalah dapat diaplikasikan untuk fetch (F ) atau durasi (td ) yang dibatasi kondisi-kondisi dan dipresentasikan oleh susunan-susunan dari keduanya, plot yang berdimensi dan yang tidak berdimensi. Sebagaimana Persamaan (2.7), Persamaan (2.8) dan Persamaan (2.9). Didalam persamaan ini, UA adalah suatu faktor kecepatan angin (disebut kecepatan yang disesuaikan). gHm0 = 0, 0016 UA2

gTp = 0, 286 UA

gtd = 68, 8 UA

gF UA2

gF UA2

gF UA2

1/2 (2.22)

1/3 (2.23)

2/3 (2.24)

UA diberikan oleh Persamaan ((2.10)) berikut, 1,23 UA = 0, 71.U10

(2.25)

Peramalan Gelombang

63

Dimana UA dan U10 diberikan dalam meter per detik. Mereka juga memberikan hubungan Ts = 0,95 Tp untuk konversi ke periode signifikan. Untuk mengaplikasikan prosedur ini, Persamaan (2.22) dan Persamaan (2.23) seharusnya dipergunakan untuk menghitung Hm0 dan Tp . Ini akan menggunakan hanya fetch dan kecepatan angin, dan menjadi nilai pendekatan untuk suatu kondisi fetch yang terbatas. Selanjutnya untuk batasan durasi harus dihitung dari Persamaan (2.24) Jika durasi yang sebenarnya adalah lebih kurang dari pada batasan durasi, gelombang yang ditimbulkan adalah durasi terbatas, suatu fetch baru dari Hm0 dan Tp dihitung dari Persamaan (2.22) dan Persamaan (2.23) Persamaan (2.22) sampai dengan Persamaan (2.25) hanya valid untuk kondisi, gHm0 = 0, 243 UA2

(2.26)

gTp = 8, 13 UA

(2.27)

gTd = 7, 15 × 104 UA

(2.28)

Selanjutnya, nilai-nilai akhir harus dicek dengan Persamaan (2.26), Persamaan (2.27) dan Persamaan (2.28).

Daftar Pustaka American National Standards Institute 1972, ’American National Standards Building Code Requirements for Minimum Design Loads in Buildings and Other Structures’, Publication A58.1, New York. Bretschneider, C. L. 1954, ’Generation of Wind Waves Over a Shallow Bottom’, Technical Memorandum 51, U. S. Army Beach Erosion Board, Washington, DC. Bretschneider, C. L. 1958, ’Revisions in Waves Forecasting: Deep and Shallow Water’, Proceedings, Sixth Conference on Coastal Engineering, Council on Wave Research, University of California, Berkeley, pp. 1–18. Bretschneider, C. L. dan Reid, R. O. 1954, ’Modification of Waves Height Due to Bottom Friction, Percolation, and Refraction’, Technical Memorandum 45, U. S. Army Beach Erosion Board, Washington, DC. Dean, R. G. dan Dalrymple, R. A. 1994, Water wave mechanics for engineers and scientists, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore. Hasselmann, K., Ross, D. B., Muller, P., dan Sell, W. 1976, ’A Parametric Wave Prediction Model’, J. Phys. Oceanogr., 6, 200–228. Hurdle, D. P. dan Stive, R. D. H. 1989, ’Revision of SPM 1984 Wave Hindcast Model to Avoid Inconsistencies in Engineering Application’, Coastal Eng., 12, 339–351. Sverdrup, H. U. dan Munk, W. H. 1992, ’Wind, Sea and Swell: Theory of Relations for Forecasting’, Publication 601, U. S. Navy Hydrographic Office, Washington, DC. Sorensen, R. M. 1993, Basic wave mechanic: for coastal and ocean engineers, John Wiley Sons, Inc., Singapore. Thom, H. C. S. 1960, ’Distrubutions of Extreme Winds in the United States’, J. Struct. Div., Am. Soc. Civ. Eng., April, 11–22. Triatmodjo, B. 1992, Teknik Pantai, Beta Offset, Jakarta, Indonesia. U.S. Army Coastal Engineering Research Center 1977, Shore Protection Manual, U.S Goverment Printing Office, Washington, DC.

64

Daftar Pustaka

65

U.S. Army Coastal Engineering Research Center 1984, Shore Protection Manual, U.S Goverment Printing Office, Washington, DC. Vincent, C. L. dan Hughes, S. A. 1985, ’Wind Wave Growth in Shallow Water’, J. Waterw, Port Coastal Ocean Eng, Div., Am, Soc, Civ, Eng., July, 765–770.

Lampiran A Algorithm untuk menghitung panjang gelombang A.1 C C C C

C

C C

program fortran 77 (wavelh-1.f )

Tabel Panjang Gelombang oleh: Dr. Ahmad Zakaria Jurusan Teknik Sipil Universitas Lampung Double Precision d,dL,Delta,dpLo,dk,dkd,dLo,Y,DY1,DY2,DY3,DY4,dYa, +g,phi,TDd,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10,X11,X12,X13,X14,Xa1 Open (unit=1,file=’wavelh-1.out’,status=’unknown’) Open (unit=2,file=’wavelh-1.inp’,status=’unknown’) J = 0 LOMPAT = 0 phi = 3.1415926535897932384626433832795D+00 READ (2,*) READ (2,*)g,ITERASI,JITER,dpLo,Delta,TDd,BATAS WRITE(1,23) 23 FORMAT(143(’-’)) WRITE(1,24) 24 FORMAT( +’ h/Lo h/L k.h tanh(kh) sinh(kh) cosh(kh) H/Ho + K 2.k.h sinh(2kh) cosh(2kh) n Cg/Co + M’) write(1,23) 20 J = J + 1 dL = 1.0D+00 do 10 I=1,ITERASI dk = 2.0D+00*phi/dL dLo = g*((TDd)**2.0D+00)/(2.0D+00*phi) d = dLo*dpLo dkd = dk*d Y = dLo*tanh(dkd)-dL dY1 = (cosh(dkd)*cosh(dkd))+(sinh(dkd)*sinh(dkd)) dY2 = cosh(dkd)*cosh(dkd) DY3 = dY1/DY2 DY4 = -2.0D+00*phi*d*(dL**(-2.0D+00)) dYa = dLo*dY3*DY4-1.0D+00 dL = dL - (Y/dYa) write(*,*)dL write(1,*)dL 10 continue

66

algorithm panjang gelombang C C

C

c

X1 = TDd X2 = d/dL X3 = 2.0D+00*phi*d/dL X3 = 2.0D+00*phi*X2 X4 = tanh(2.0D+00*phi*d/dL) X4 = tanh(X3) X5 = sinh(2.0D+00*phi*d/dL) X6 = cosh(2.0D+00*phi*d/dL) Xa1 = d/(g*((TDd)**2.0D+00)/(2.0D+00*phi)) X8 = 1.0D+00/X6 X9 = 2.0D+00*X3 X10 = sinh(X9) X11 = cosh(X9) X12 = 0.5D+00*(1.0D+00+(X9/X10)) ! n X13 = X12*X4 X7 = dsqrt((2.0D+00*(X6**2.0D+00))/(X9+X10)) X14 = (phi**2.0D+00)/(2.0D+00*(X4**2.0D+00)) write(1,21)Xa1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10,X11,X12,X13,X14 write(*,21)Xa1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8 21 format(1X,F6.4,1X,F8.6,1X,F8.6,1X,F8.6,2(1X,F10.6),1X,F8.6, +1X,F8.6,1X,F9.6,2(1X,F13.6),1X,F8.6,1X,F8.6,1X,F11.6) LOMPAT=LOMPAT+1 IF(LOMPAT.EQ.5)THEN LOMPAT=0 WRITE(1,*) WRITE(*,*) ENDIF dpLo = dpLo + Delta IF(X4.GT.BATAS) GOTO 22 IF(Xa1.GT.1.0D+00) GOTO 22 IF(J.LT.JITER) GOTO 20 22 WRITE(1,23) STOP END

A.2

Input program fortran 77 (wavelh-1.inp)

9.81 200 10000 0.0001 0.0001 1 1

67

Lampiran B Tabel panjang gelombang

68

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------h/Lo h/L k.h tanh(kh) sinh(kh) cosh(kh) H/Ho K 2.k.h sinh(2kh) cosh(2kh) n Cg/Co M ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.0010 0.012629 0.079350 0.079184 0.07943 1.00315 2.515489 0.996860 0.158699 0.1594 1.0126 0.99791 0.079018 787.045857 0.0020 0.017879 0.112335 0.111865 0.11257 1.00632 2.118595 0.993723 0.224670 0.2266 1.0253 0.99582 0.111397 394.349541 0.0030 0.021920 0.137726 0.136862 0.13816 1.00950 1.917381 0.990590 0.275453 0.2789 1.0382 0.99373 0.136004 263.452620 0.0040 0.025338 0.159200 0.157869 0.15987 1.01270 1.787136 0.987460 0.318400 0.3238 1.0511 0.99165 0.156551 198.005552 0.0050 0.028358 0.178179 0.176317 0.17912 1.01592 1.692834 0.984333 0.356358 0.3639 1.0642 0.98957 0.174478 158.738430 0.0060 0.031097 0.195391 0.192942 0.19664 1.01915 1.619958 0.981210 0.390782 0.4008 1.0773 0.98750 0.190530 132.561284 0.0070 0.033625 0.211269 0.208181 0.21284 1.02240 1.561178 0.978090 0.422539 0.4352 1.0906 0.98543 0.205147 113.864127 0.0080 0.035984 0.226095 0.222320 0.22803 1.02567 1.512307 0.974974 0.452191 0.4678 1.1040 0.98336 0.218620 99.841965 0.0090 0.038207 0.240064 0.235556 0.24238 1.02895 1.470747 0.971861 0.480128 0.4988 1.1175 0.98129 0.231150 88.936470 0.0100 0.040317 0.253318 0.248035 0.25604 1.03226 1.434779 0.968751 0.506636 0.5286 1.1311 0.97923 0.242884 80.212643 0.0110 0.042330 0.265964 0.259866 0.26911 1.03558 1.403214 0.965645 0.531929 0.5574 1.1448 0.97718 0.253935 73.075485 0.0120 0.044259 0.278086 0.271133 0.28168 1.03892 1.375195 0.962542 0.556172 0.5853 1.1587 0.97512 0.264388 67.128332 0.0130 0.046115 0.289749 0.281904 0.29382 1.04227 1.350086 0.959443 0.579498 0.6125 1.1727 0.97307 0.274313 62.096567 0.0140 0.047907 0.301007 0.292234 0.30557 1.04565 1.327406 0.956347 0.602015 0.6390 1.1868 0.97103 0.283768 57.784039 0.0150 0.049641 0.311905 0.302169 0.31699 1.04904 1.306777 0.953254 0.623809 0.6651 1.2010 0.96899 0.292797 54.046900 0.0160 0.051324 0.322478 0.311746 0.32810 1.05245 1.287904 0.950166 0.644955 0.6906 1.2153 0.96695 0.301442 50.777267 0.0170 0.052960 0.332758 0.320997 0.33893 1.05588 1.270547 0.947080 0.665516 0.7157 1.2298 0.96491 0.309734 47.892640 0.0180 0.054554 0.342772 0.329950 0.34952 1.05932 1.254512 0.943999 0.685543 0.7405 1.2443 0.96288 0.317702 45.328852 0.0190 0.056109 0.352542 0.338628 0.35989 1.06279 1.239638 0.940920 0.705084 0.7650 1.2590 0.96085 0.325372 43.035245 0.0200 0.057628 0.362089 0.347052 0.37005 1.06627 1.225791 0.937846 0.724177 0.7892 1.2739 0.95883 0.332765 40.971294 0.0210 0.059115 0.371429 0.355241 0.38003 1.06978 1.212859 0.934775 0.742858 0.8131 1.2888 0.95681 0.339899 39.104191 0.0220 0.060571 0.380579 0.363210 0.38983 1.07330 1.200746 0.931707 0.761158 0.8368 1.3039 0.95480 0.346791 37.407095 0.0230 0.061999 0.389551 0.370973 0.39948 1.07684 1.189369 0.928643 0.779103 0.8603 1.3192 0.95278 0.353457 35.857831 0.0240 0.063401 0.398359 0.378544 0.40898 1.08040 1.178659 0.925583 0.796718 0.8837 1.3345 0.95077 0.359910 34.437921 0.0250 0.064778 0.407013 0.385933 0.41834 1.08398 1.168553 0.922527 0.814025 0.9070 1.3500 0.94877 0.366162 33.131844 0.0260 0.066132 0.415522 0.393151 0.42758 1.08758 1.158999 0.919474 0.831044 0.9301 1.3657 0.94677 0.372223 31.926466 0.0270 0.067465 0.423896 0.400207 0.43670 1.09120 1.149950 0.916425 0.847791 0.9531 1.3814 0.94477 0.378105 30.810599 0.0280 0.068778 0.432142 0.407110 0.44572 1.09484 1.141364 0.913379 0.864284 0.9760 1.3973 0.94278 0.383815 29.774652 0.0290 0.070071 0.440268 0.413867 0.45463 1.09849 1.133205 0.910337 0.880536 0.9988 1.4134 0.94079 0.389362 28.810360 0.0300 0.071346 0.448281 0.420485 0.46345 1.10217 1.125439 0.907299 0.896562 1.0216 1.4296 0.93880 0.394753 27.910558 0.0310 0.072604 0.456187 0.426971 0.47217 1.10587 1.118039 0.904265 0.912374 1.0443 1.4459 0.93682 0.399997 27.069004 0.0320 0.073846 0.463991 0.433331 0.48082 1.10959 1.110977 0.901235 0.927982 1.0670 1.4624 0.93485 0.405098 26.280239 0.0330 0.075073 0.471699 0.439571 0.48939 1.11333 1.104230 0.898208 0.943398 1.0897 1.4790 0.93287 0.410063 25.539465 0.0340 0.076285 0.479315 0.445695 0.49788 1.11709 1.097777 0.895185 0.958630 1.1124 1.4958 0.93090 0.414898 24.842448 0.0350 0.077484 0.486844 0.451708 0.50631 1.12087 1.091599 0.892166 0.973688 1.1350 1.5127 0.92894 0.419608 24.185437 0.0360 0.078669 0.494290 0.457615 0.51467 1.12467 1.085678 0.889150 0.988581 1.1577 1.5298 0.92697 0.424198 23.565099 0.0370 0.079841 0.501657 0.463420 0.52296 1.12849 1.079998 0.886139 1.003315 1.1803 1.5470 0.92502 0.428671 22.978462 0.0380 0.081002 0.508949 0.469126 0.53121 1.13233 1.074545 0.883131 1.017898 1.2030 1.5644 0.92306 0.433033 22.422866 0.0390 0.082151 0.516168 0.474737 0.53940 1.13620 1.069305 0.880128 1.032336 1.2257 1.5819 0.92111 0.437287 21.895922 0.0400 0.083289 0.523318 0.480257 0.54753 1.14008 1.064267 0.877128 1.046637 1.2485 1.5996 0.91917 0.441437 21.395484

Tabel panjang gelombang 69

















































TEORI GELOMBANG AMPLITUDO KECIL DAN PERAMALAN GELOMBANG

Recommend Documents