TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op donderdag 7 augustus 2008, 14.00-17.00 uur.
1. Beantwoord de volgende vragen met “ja” of “nee” en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. Voor een correct antwoord zonder argumentatie wordt slechts een 12 punt toegekend. (1 pnt)
(a) Gegeven het stationaire twee-dimensionale stromingsveld v = (u, v) in het x, y-vlak: u = αx , v = −αy (α > 0) . Is de stroming rotatievrij?
(1 pnt)
(b) Is het waar dat de stroomfunctie ψ(x, y) die de stroming bij (a) beschrijft, gegeven wordt door: ψ = αxy + constante ?
(1 pnt)
(c) Beschouw een twee-dimensionale kanaalstroming v = (u, v) in het x, y-vlak tussen de wanden y = 0 en y = d. Op een bepaalde positie x blijkt het snelheidsveld in goede benadering te worden beschreven door: πy u(y) = U sin , v=0. d Is het waar dat de volumeflux QV gelijk is aan QV = U d/π?
(1 pnt)
(d) Gegeven een stationaire niet-viskeuze stroming in het x, y-vlak met het volgende stroomlijnenpatroon
A
B
Is het waar dat de druk pA in A hoger is dan de druk pB in het punt B? (1 pnt)
(e) Twee identieke vaten bevatten identieke hoeveelheden water met dichtheid ρ. Via een uitstroomopening in de bodem kan het water wegstromen: bij vat 1 direct in de vrije atmosfeer, bij vat 2 via een buis (met diameter D en lengte L) in de vrije atmosfeer. De stroming kan als niet-viskeus worden opgevat. 1
pa
pa H
H
D pa
D
V1
pa
L V2
Is het waar dat vat 1 eerder leeggestroomd is? (1 pnt)
(f) Is het waar dat in een volledig ontwikkelde laminaire stroming (Poiseuille) de convectieve versnellingen nul zijn?
(1 pnt)
(g) Een bol met diameter D0 = 6cm is geplaatst in een uniforme luchtstroom (aanstroomsnelheid V0 = 5cm/s), kinematische viscositeit van lucht ν0 = 15×10−6 m2 /s), en voert een oscillerende beweging uit in de richting loodrecht op de aanstroming. De periode van die oscillerende beweging is T0 = 3s, en de amplitude is D0 . Ter modellering van de resulterende stroming plaatst men een kleinere bol met diameter D1 = 2cm in een uniforme waterstroom (snelheid V1 = 1cm/s, kinematische viscositeit van water ν1 = 10−6 m2 /s), en laat deze op dezelfde wijze oscillaties uitvoeren met amplitude D1 en periode T1 = 5s. Zijn beide stromingen dynamisch gelijkvormig? (h) Beschouw een oscillerende stroming (als gevolg van een harmonisch-vari¨erende ∂p = A0 cos(ωt), met ω de frequentie) in lange cilindrische axiale drukgradi¨ent ∂z buis met diameter 2a. p Deze stroming kan worden gekarakteriseerd door het Womersley-getal α ≡ a ω/ν, met ν de kinematische viscositeit. Is het waar dat in de limiet α << 1 de snelheidsprofielen vz (r, t) van deze buisstroming (r is de straal; z is de axiale co¨ ordinaat) parabolisch zijn? (i) Beschouw een dunne grenslaag aan een vlakke plaat met lengte L. Buiten de grenslaag stroomt het medium (met kinematische viscositeit ν) met een uniforme snelheid V . Voor het Reynolds-getal geldt: VL >> 1 . ν Is het waar dat de snelheidscomponent v (loodrecht op de plaat) overal in de grenslaag gelijk is aan nul? Re ≡
(j) Men verandert de parti¨ele zuurstofspanning boven een stilstaande vloeistoflaag ter dikte d waardoor vanaf t = 0 de bovenzijde van de vloeistoflaag op een hogere zuurstofconcentratie c1 wordt gehouden. Voor t < 0 heerst overal een concentratie c0 . Het zuurstoftransport in de vloeistoflaag is op te vatten
2
als een diffusieproces beschreven door de 1D diffusievergelijking: ∂c ∂2c =D 2 , ∂t ∂x met D de diffusieco¨effici¨ent. Is het waar dat men pas vanaf t = d2 /D aan de andere zijde van de vloeistoflaag (op x = d) iets merkt van de concentratieverandering? c_1
x=0
y c_0
x
x=d
2. Een verticaal opgestelde lopende band beweegt met snelheid V omhoog, en sleurt vanuit een grote voorraadtank een viskeuze vloeistof (dichtheid ρ, kinematische viscositeit ν) mee, zie schets.
Aan het oppervlak van de lopende band stelt zich een laminaire filmstroming in met een zuiver verticale snelheid w(x). Op enige afstand boven de voorraadtank heeft de vloeistoffilm een uniforme dikte δ. Buiten de film heerst een uniforme atmosferische druk pa . Luchtwrijving aan het filmoppervlak is verwaarloosbaar klein. Randeffecten - zowel in de y-richting (loodrecht op vlak van tekening) als in de z-richting mogen eveneens verwaarloosd worden. (1 pnt)
(a) Toon aan (m.b.v. de x-component van de Navier-Stokes-vergelijking) dat ∂p binnen de vloeistoffilm ∂x = 0.
(1 pnt)
(b) Hoe verloopt de druk p binnen de vloeistoffilm als functie van z?
(1 pnt)
(c) Reduceer de z-component van de Navier-Stokes-vergelijking tot een vergelijking waarmee w(x) bepaald kan worden.
(2 pnt)
(d) Formuleer de randvoorwaarden en bepaal w(x). Schets het snelheidsprofiel.
3
(1 pnt)
(e) Bepaal het verticale volumetransport Q (per eenheid van breedte in de yrichting) in de vloeistoffilm. Hoe groot moet bandsnelheid V zijn, zodanig dat Q = 0?
(1 pnt)
(f) Bepaal de schuifspanningsverdeling τxz (x) in de film, en schets deze.
(1 pnt)
(g) Hoe groot is de kracht (per oppervlakte-eenheid) die de vloeistof op de band uitoefent?
(2 pnt)
(h) Verifieer dit resultaat door de impuls/krachtenbalans op te stellen over een element met afmetingen δ × L, zie schets.
3. Een vrouwelijk bolvormig micro-organisme met radius R0 leeft in stilstaand water en lokt mannelijke soortgenoten door een geurstof die met concentratie c0 in het water aanwezig is periodiek op te nemen en weer af te geven, met periodetijd T . Als gevolg van deze ’lokroep’ wordt de concentratie geurstof aan het oppervlak van het vrouwelijk organisme gegeven door: c(R0 , t) = c0 + c1 sin 2π
t . T
Tijdens de afgifte van de geurstof (sin 2π Tt > 0) roert het vrouwtje zich niet van haar plek. De diffusieconstante voor de geurstof bedraagt D. (2 pnt)
(a) Beredeneer dat de concentratie geurstof in de omgeving van het organisme wordt beschreven door de differentiaalvergelijking: µ
∂c 1 ∂ ∂c =D 2 r2 ∂t r ∂r ∂r
¶
en geef de bijbehorende randvoorwaarden indien het vrouwtje zich op locatie r = 0 bevindt.
4
(2 pnt)
(b) Substitueer de harmonische oplossing: c(r, t) = cˆ(r)eiωt + c0 en geef de differentiaalvergelijking voor cˆ(r) met bijbehorende randvoorwaarden.
(2 pnt)
(c) De gemiddelde afstand van de mannelijke soortgenoten bedraagt a >> R0 . Laat zien onder welke condities de differentiaalvergelijking voor cˆ(r) in goede benadering wordt gegeven door: µ
¶
∂ ∂ˆ c r2 =0. ∂r ∂r (2 pnt)
(d) Laat zien dat in dit geval geldt: R0 sin ωt . r (e) De mannelijke soortgenoten reageren onmiddellijk indien de concentratie een fractie k boven het gemiddelde uitstijgt, m.a.w. c(r, t) = (k + 1)c0 . Ze zoeken dan razendsnel een weg in de richting van de hoogste concentratie ³ ´ om het vrouwtje te bereiken. Hoe groot bedraagt de relatieve axiradius Ra0 c(r, t0 ) = c0 + c1
(2 pnt)
van de ’lokroep’ indien gegeven is dat c1 /c0 =
5
1 2
en k = 0.2?
