Tartalomjegyzék GEOMETRIA 1. Vektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Irányított szakaszok. Vektorok . . . . . . 1.2. Műveletek vektorokkal . . . . . . . . . . 1.3. Kollineáris vektorok . . . . . . . . . . . 1.4. Helyzetvektor . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás 1.6. Skaláris szorzás . . . . . . . . . . . . . . 2. Analitikus geometria . . . . . . . . . . . . . . . 3. Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. A trigonometria elemei . . . . . . . . . . 3.2. Trigonometrikus egyenletek . . . . . . . 3.3. Trigonometria síkmértani alkalmazásai .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
1 1 2 5 6 7 10 13 19 19 24 28
MATEMATIKAI ANALÍZIS 1. Valós számok, valós számhalmazok . . . . . . . . 2. Valós számsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Valós sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Műveletek valós sorozatokkal . . . . . . . 2.3. Egyenlőtlenségek és határértékek . . . . . 2.4. Konvergencia, monotonitás, korlátosság . 2.5. Részsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Néhány fontos határérték . . . . . . . . . 2.7. Határozatlansági esetek feloldása . . . . . 3. Függvényhatárértékek . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Függvény határértéke . . . . . . . . . . . . 3.2. Határértékekkel végzett műveletek . . . . 3.3. Határértékek tulajdonságai . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
30 32 32 33 35 36 37 37 38 40 40 42 43
3.4. Fontos határértékek . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Folytonos függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. A folytonosság értelmezése . . . . . . . . . . . . . 4.2. Műveletek folytonos függvényekkel . . . . . . . . 4.3. Folytonosság és Darboux tulajdonság . . . . . . . 5. Deriválható függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. A derivált értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. A derivált mértani jelentése . . . . . . . . . . . . 5.3. Műveletek deriválható függvényekkel . . . . . . . 5.4. Elemi függvények deriváltjai . . . . . . . . . . . . 5.5. Összetett függvény deriváltja . . . . . . . . . . . . 5.6. Magasabb rendű deriváltak . . . . . . . . . . . . 5.7. A differenciálszámítás középértéktételei . . . . . 5.7.1. A Fermat-tétel . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2. A Rolle-tétel és a Rolle-sorozat . . . . . 5.7.3. A Lagrange-tétel . . . . . . . . . . . . . 5.7.4. A L’Hospital-szabály . . . . . . . . . . . 5.8. Függvény grafikus képe . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1. Aszimptoták . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.2. Konvexitás és konkavitás . . . . . . . . 5.8.3. Függvény ábrázolása . . . . . . . . . . . 6. A határozatlan integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Primitív függvény. A határozatlan integrál . . . . 6.2. Primitiválható függvények . . . . . . . . . . . . . 6.3. A parciális integrálás módszere . . . . . . . . . . 6.4. Első helyettesítési módszer . . . . . . . . . . . . . 6.5. Második helyettesítési módszer . . . . . . . . . . 6.6. Törtfüggvények integrálása . . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Az Euler-helyettesítések . . . . . . . . . 6.6.2. Trigonometrikus függvények integrálása 7. A határozott integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Riemann-integralható függvények . . . . . . . . . 7.2. Integrálható függvények tulajdonságai . . . . . . 7.3. A parciális integrálás módszere . . . . . . . . . . 7.4. Első helyettesítési módszer . . . . . . . . . . . . . 7.5. Második helyettesítési módszer . . . . . . . . . . 7.6. Középértéktételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. Az integrálszámítás alaptétele . . . . . . . . . . . 7.8. A határozott integrál alkalmazásai . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44 46 46 48 49 50 50 52 53 54 55 56 57 57 58 60 62 63 63 65 66 68 68 70 72 73 75 76 80 81 82 82 85 86 87 88 89 90 91
Tárgymutató abszcissza, 13 aszimptota függőleges, 63 ferde, 63 vízszintes, 63 áthajlási pont, 65 Bernoulli-egyenlőtlenség, 58 Cesaro tétele, 37 Darboux-tulajdonságú függvény, 49 derékszögű koordináta-rendszer, 13 derivált bal oldali, 50 jobb oldali, 50 magasabb rendű, 56 pontbeli derivált, 50 Descartes-féle koordináta-rendszer, 13
e, 36 egyenes általános egyenlete, 16 explicit egyenlete, 16 iránytényezője, 15 első helyettesítési módszer, 73, 87 Euler-egyenes, 8 Euler-helyettesítések, 80 függvény halmazon deriválható, 50 pontban deriválható, 50
primitiválható, 68 Riemann-integrálható, 83 függvény határértéke, 40 bal oldali, 41 jobb oldali, 41 féltengely, 13 Fermat tétele, 57 fogó-tétel, 43 folytonos függvény balról folytonos, 46 halmazon folytonos függvény, 46 jobbról folytonos, 46 pontbeli folytonosság, 46 forgástest, 93 térfogata, 93 Héron-képlet, 29 halmaz alsó határ, 30 alsó korlát, 30 alulról korlátos, 30 felülről korlátos, 30 felső határ, 30 felső korlát, 30 infimum, 30 szuprémum, 30 véges halmaz, 30 határozatlan integrál, 68 határozott integrál, 83 helyzetvektor, 6 adott szakaszt adott arányban osztó pont helyzetvektora, 6
háromszög súlypontjának helyzetvek- Rolle tétele, 58 tora, 6 Rolle-sorozat, 59 háromszögbe írt kör középpontjának sorozat, 32 helyzetvektora, 7 csökkenő, 32 szakasz felezőpontjának helyzetvekdivergens, 32 tora, 6 konvergens, 32 inflexiós pont, 65 korlátos, 32 intervallum felosztása, 82 növekvő, 32 egyenközű, 82 periodikus, 32 felosztás normája, 82 sorozat határértéke, 32 közbeeső pontrendszer, 82 összeg-sorozat határéréke, 33 osztópontok, 82 hányados-sorozat határéréke, 33 irányított szakasz, 1 szorzat-sorozat határéréke, 33 ekvipolens, 1 sorozatok izolált pont, 31 összege, 33 hányadosa, 33 környezet, 31 szorzata, 33 koszinusz, 19 stacionárius pont, 57 koszinusz-tétel, 29 szögfelező hossza, 12 kotangens, 20 szögpont, 51 kotangens-tengely, 20 szakadási pont, 47 elsőfajú, 47 L’Hospital szabály, 62 másodfajú, 47 Lagrange tétele, 60 megszüntethető, 47 lokális maximumpont, 57 szinusz, 19 lokális minimumpont, 57 szinusz-tétel, 29 lokális szélsőértékpont, 57 szubgrafikon, 92 területe, 92 második helyettesítési módszer, 75, 88 oldalfelező hossza, 12 ordináta, 13 origó, 6, 13 parciális integrálás, 72, 86 π , 19 primitív függvény, 68 részsorozat, 37 radián, 19 Riemann-összeg, 82
tétel Ceva tétele, 9 koszinusz-tétel, 12 Meneláosz tétele, 9 Papposz tétele, 6 Stewart tétele, 12 szögfelező tétele, 7 Thálész tétele, 7 fordítottja, 7 tangens, 20 tangens-tétel, 29
tangens-tengely, 20 torlódási pont, 31 trigonometria alapképlete, 21 trigonometrikus kör, 19 univerzális helyettesítés, 81 vektor, 1 azonos állású vektorok, 5 ellentétes vektor, 3 hossza, 1 modulusza, 1 nullvektor, 1 reprezentánsa, 1 skaláris négyzete, 11 vektorok összeadása, 2 egyenlősége, 2 különbsége, 3 kollineáris vektorok, 5 merőleges vektorok, 10 skaláris szorzata, 10 szöge, 10 visszatérési pont, 51 Weierstrass tétele, 36
1. Vektorok 1.1. Irányított szakaszok. Vektorok Irányított szakaszok
.
rtelmezés. Az (A, B) rendezett pontpárt irányított szakasznak nevezzük és így jelöljük: AB . rtelmezés. Az AB és CD irányított szakaszokat ekvipolenseknek nevezzük (jelölés: AB ∼ CD), ha az [AD] és [BC] szakaszok felezőpontjai egybeesnek. Megjegyzés. Ha AB ∼ CD, akkor az AB szakaszt párhuzamos eltolással a CD szakaszra lehet helyezni. Tulajdonság. Az irányított szakaszok halmazán az ekvipolencia egy ekvivalencia-reláció, azaz . AB ∼ AB (reflexív), . ha AB ∼ CD, akkor CD ∼ AB (szimmetrikus), . ha AB ∼ CD és CD ∼ EF , akkor AB ∼ EF (tranzitív). .
.
.
B
A. Vektorok
D AB és CD pontosan akkor ekvipolensek, ha ABDC egy paralelogramma vagy az A, B, C, D pontok kollineárisak és az [AD], [BC] felezőpontja megegyezik. C D C B A . .
rtelmezés. Egy adott irányított szakasszal ekvipolens irányított szakaszok halmazát vektornak nevezzük. −→ Jelölés. Az AB irányított szakasz által meghatározott vektort AB -vel (vagy egy kisbetűvel) jelöljük: } −→ { AB = CD| CD ∼ AB . −−→ −→ −−→ −→ → u = AB = CD jelöléssel Megjegyzés. Ha AB ∼ CD, akkor AB = CD. Az − → az AB (vagy a CD) az − u egy reprezentánsa. − → rtelmezés. Az u hossza (modulusza) az őt reprezentáló irányított szakaszok → közös hosszával egyenlő és |− u |-val jelöljük. −→ rtelmezés. A nulla hosszúságú AA vektort nullvektornak nevezzük.
1
−→ −−→ −→ −−→ rtelmezés. Az AB és CD vektorok egyenlőek (jelölés: AB = CD ), ha az AB és CD irányított szakaszok ekvipolensek. Megjegyzés. Két vektor akkor egyenlő, ha irányuk megegyezik (tartóegyeneseik . párhuzamosak), hosszuk egyenlő és ugyanaz az irányításuk. → Tétel. (Adott kezdőpontú reprezentáns létezése) Ha adott az − u vektor és egy −−−→ → ′ tetszőleges M pont, akkor létezik egyetlen olyan M pont, amelyre − u = M M ′. −−→ −−→ Következmény. Az egyértelműség alapján, ha M A = M B , akkor A = B . A mellékelt ábrán −→ −−→ → − u = AB = CD = . . ., − − → −−→ − → v = EF = GH = . . ., → CD az − u egy reprezentánsa, − → EF a v egy reprezentánsa, −→ −−→ AB = CD.
Az irányított szakaszok halmaza − → u = G D C H
A
B
− → v
E = F
.
1.2. Műveletek vektorokkal Vektorok összeadása
.
→ → Az − u és − v vektorok összegét a következőképpen szerkesztjük meg. . (Háromszög-szabály): egy tetszőleges M pontból kiindulva megszer−−→ → −−→ → → → kesztjük az M N = − u majd az N P = − v vektorokat. Ekkor az − u és − v −−→ összege az ⃗ u + ⃗v = M P vektor. . (Paralelogramma-szabály): ha ⃗ u és ⃗v nem kollineárisak, egy tetszőleges −−→ → −−→ → M pontból kiindulva megszerkesztjük az M N = − u és az M P = − v vek→ → torokat, majd az M N QP paralelogrammát. Ekkor az − u és − v összege −−→ az ⃗ u + ⃗v = M Q vektor. .
.
⃗v
N
N
⃗v P
⃗ u .
⃗ u
⃗u +
⃗v
M Háromszög-szabály
2
⃗ u
⃗u +
⃗v
Q
P M ⃗v Paralelogramma-szabály
A vektorok összeadásának tulajdonságai .
−→ −→ −→ rtelmezés. Az AB vektor ellentétes vektora a −AB = BA vektor. Tulajdonság. A vektorok összeadásának tulajdonságai (⃗a, ⃗b, ⃗c tetszőleges vektorok): . asszociatív: (⃗a + ⃗b) + ⃗c = ⃗a + (⃗b + ⃗c); . kommutatív: ⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a; ( ) . a nullvektor ⃗0 az összeadás semleges eleme: ⃗a + ⃗0 = ⃗0 + ⃗a = ⃗a; .
.
.
. minden ⃗a vektornak van ellentettje (−⃗a): ⃗a + (−⃗a) = (−⃗a) + ⃗a = ⃗0. .
Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az ABCD paralelogramma síkjának bármely M −−→ −−→ −−→ −−→ pontja esetén M A + M C = M B + M D. −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ M. Az ABCD paralelogrammában AB = DC = −CD és AD = BC = −CB . −−→ −−→ B C MA + MC = −−→ −→ −−→ −−→ = (M B + BA) + (M D + DC) = M −−→ −−→ −→ −−→ = M B + M D + BA + DC = −−→ −−→ . = M B + M D. A D Vektorok kivonása
.
→ → u −⃗v = ⃗ u + (−⃗v ) vektort értjük és a követAz − u és − v vektorok különbségén az ⃗ kezőképpen szerkesztjük meg: egy tetszőleges M pontból kiindulva felvesszük −−→ → −−→ − −−→ az M N = − u és M P = → v vektorokat. Ekkor ⃗ u − ⃗v = P N .
⃗v ⃗ u
Tetszőleges M, N, P pontok esetén −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ MN − MP = MN + P M = P N.
N ⃗ u
⃗u −
M
⃗v
⃗v
.
P
−→ −→ −→ −→ Feladat. Az ABC háromszögben az AB + AC és AB − AC vektorok modulusza egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög derékszögű! −→ −→ M. Az AB + AC megszerkesztése érdekében megrajzoljuk az ABDC paralelogram−→ −→ −−→ −→ −→ −−→ mát: AB + AC = AD, így |AB + AC| = |AD| = AD. −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −→ A C AB − AC = AB + CA = CA + AB = CB , így −→ −→ −−→ |AB − CA| = |CB| = CB . −→ −→ −→ −→ |AB + AC| = |AB − AC| ⇒ AD = BC , va. gyis az ABCD paralelogramma egy téglalap. Tehát B D \ = 90◦ . m(BAC)
3
1.5. Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás Tétel. Legyen A, B, C, D négy nem kollineáris pont. Az AB és CD egyenesek −→ −−→ pontosan akkor párhuzamosak, ha létezik olyan α ∈ R, amelyre AB = αCD. Tétel. (Thálész tétele) Az ABC háromszög valamely oldalával húzott párhuzamos a másik két oldalon arányos szakaszokat határoz meg: ha DE||BC , AD AE . D ∈ AB , E ∈ AC , akkor = . DB EC AD AE DB EC Következmény. A tétel feltételei mellett = , = . AB AC AB AC Tétel. (Thálész tételének fordítottja) Ha a D és E pontok az ABC háromszög AB és AC oldalát arányos szakaszokra osztják, akkor DE||BC .
A
E
A
D . B
D A
E C
B .
C
. E B
D
C
A háromszög szögfelezőinek tulajdonságai . \ szögének szögfeTétel. (Szögfelező tétele) Ha (AD az ABC háromszög BAC BD AB lezője, D ∈ (BC), akkor = . DC AC Tétel. A háromszögbe írt kör kör középpontja a háromszög szögfelezőinek I metszéspontja. Tétel. Ha O a sík egy tetszőleges pontja, a háromszögbe írt kör középpontjának −→ −−→ − − → −→ aOA + bOB + cOC helyzetvektorát az OI = képlet adja meg, ahol a = BC , a+b+c b = AC , c = AB . Kollinearitás
.
Tétel. Az A, B, C pontok pontosan akkor helyezkednek el egy egyenesen, ha −→ −→ létezik olyan α valós szám, amelyre AB = αAC . Tétel. Az A, B, C pontok pontosan akkor helyezkednek el egy egyenesen, ha létezik olyan α valós szám, amelyre bármely O pont esetén − − → −→ −−→ OC = αOA + (1 − α)OB .
7
Feladat. Az ABCD paralelogramma oldalain vegyük fel az E és F pontokat úgy, −−→ −−→ 1 −→ −→ hogy BE = AB és AF = 3AD. Igazoljuk, hogy C, E, F kollineárisak. 2 −−→ −−→ −→ 1 −→ M. Az BE = AB feltétel alapján EA = 3EB (lásd az ábrát), így E az AB irányított 2 szakaszt λ = 3 arányban osztja. Kezdőpontnak a C pontot választva, a helyzetvektor −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ − − → CA − 3CB CB + BA − 3CB 2CB − BA képlete alapján CE = = = . 1−3 −2 2 −→ −→ −−→ 3 −−→ A Hasonlóan, AF = 3AD ⇒ F A = F D , 2 3 azaz F az AD irányított szakaszt λ = D 2 arányban osztja. B . E C F −→ 3 −−→ ) ( CA − 2 CD → −−→ −−→ −→ −−→ − − −−→ −−→ 3 −−→ CF = + DA − = CD − 2DA = BA − 2CB = = −2 CD CD 2 1 − 32 −−→ −→ − − → 2CB − BA −2 · = −2CE , azaz E, C, F kollineárisak. 2 Az ABC háromszögben jelölje O a háromszög köré írt kör középpontját, G a háromszög súlypontját, H a háromszög magasságpontját (a magasságvonalak metszéspontját). . −→ −−→ − − → −−→ Tétel. (Sylvester tétele) Az ABC háromszögben OA + OB + OC = OH . Tétel. Az ABC háromszögben az O, G, H pontok egy egyenesen helyezkednek −−→ − − → el, melynek neve a háromszög Euler-egyenese és OH = 3OG.
A
A
H O
O B .
C Sylvester tétele
8
G H B .
C
2. Analitikus geometria Derékszögű koordináta-rendszer
.
A síkban tekintsük az egymása merőleges xx′ és yy ′ egyeneseket, amelyek az O pontban metszik egymást és amelyeken kijelöltünk egy-egy pozitív irányt. rtelmezés. Az (xOx′ , yOy ′ ) rendszert derékszögű koorináta-rendszernek vagy Descartes-féle koordináta-rendszernek nevezzük. Az O pont neve origó. Az [Ox, [Oy félegyenesek a pozitív féltengelyek, [Ox′ , [Oy ′ a negatív féltengelyek. Jelölés. Az (xOx′ , yOy ′ ) koordináta-rendszert (xOy)-nal jelöljük. Az [Ox illetve az [Oy féltengelyek egységvektorait ⃗i, ⃗j -vel jelöljük.
Descartes-féle koordináták
.
Legyen M egy tetszőleges pont az xOy koordináta-rendszer síkjában. Jelölje xM az M pontnak az Ox-tengelyre eső vetületének koordinátáját, yM az M pontnak az Oy -tengelyre eső vetületének koordinátáját. rtelmezés. Az xM számot az M pont abszcisszájának, az yM pontot az M ordinátájának nevezzük. Az (xM , yM ) számpárt az M koordinátáinak nevezzük. Ezzel egyenértékű a következő értelmezés. −−→ ⃗ ⃗ rtelmezés. Az M pont − r→ M = OM helytevketorát az i és j vektorok szerint −−→ ⃗ ⃗ felbontva OM = xM · i + yM · j , ahol xM , yM ∈ R. Az (xM , yM ) számpárt az M pont koordinátáinak nevezzük. Jelölés. Ez utóbbi értelmezés alapján (formálisan) − r→ M = (xM , yM ).
Két pont távolsága
.
Az A(xA , yA ) és B(xB , yB ) pontok távolságát a √ AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 képlet adja meg.
Feladat. Határozzuk meg az AOB háromszög kerületét, ahol A(3, 4) és B(12, 5). √ √ √ √ M. OA = 32 + 42 = 5, OB = 122 + 52 = 13, AB = 92 + 12 = 82, így √ KAOB△ = 18 + 82.
13
Feladat. Határozzuk meg az m ∈ R számot úgy, hogy az A(2; m) és B(m; −2) pontok távolsága 4 legyen! √ M. AB = (m − 2)2 + (−2 − m)2 = 4 ⇔ 2m2 + 8 = 16 ⇔ m = ±2. Műveletek kötött vektorokkal
.
→ → v = (a2 , b2 ) két vektor és λ egy valós szám. Legyen − u = (a1 , b1 ) és − → → Tulajdonság. (Két vektor egyenlősége) − u =− v ⇔ (a1 = a2 és b1 = b2 ). − → − → Tulajdonság. (Két vektor összege) u + v = (a1 + a2 , b1 + b2 ). → Tulajdonság. (Vektor szorzata valós számmal) λ · − u = (λ · a1 , λ · b1 ). − → − → Tulajdonság. (Két vektor skaláris szorzata) u · v = a1 · a2 + b1 · b2 ∈ R. √ → → Tulajdonság. Az − u vektor hossza ∥− u ∥ = a21 + b21 . Következmény. Két vektor skaláris szorzatának értelmezéséből a1 a2 + b1 b2 √ d cos(u , v) = √ 2 . a1 + b21 · a22 + b22 → → v -re, ha a1 a2 + b1 b2 = 0. Következmény. − u pontosan akkor merőleges − a1 b1 − → − → Tétel. Az u és v vektorok pontosan akkor párhuzamosak, ha = , a2 b2 a1 , a2 , b1 , b2 ̸= 0 vagy a1 = a2 = 0 vagy b1 = b2 = 0. → − − → − → − → − → → − → − → → a = i + j , b = i − j és − u = 6 i + 2 j vektorok. HatáFeladat. Adottak az − − → → → rozzuk meg a p, r ∈ R számokat úgy, hogy fennálljon az − u = p− a + r b egyenlőség! − → − → → → → M. − a = (1, 1), − v = (1, −1), b = (6, 2).{p− a + r b = p · (1, 1) + r · (1, −1) = p+r =6 (p, p) + (r, −r) = (p + r, p − r) = (6, 2) ⇔ ⇔ p = 4, r = 2. p−r =2 − → − → − → − → Feladat. Számítsuk ki: (2 i + 5 j ) · (3 i − 4 j ). − →− → − → − → − → − → \ M. A skaláris szorzás értelmezéséből i · i = ∥ i ∥·∥ i ∥·cos( i , i ) = 1·1·cos 0 = 1, − → − → − → − → − → − → − → − → \ j · j = 1 · 1 · cos 0 = 1, i · j = ∥ i ∥ · ∥ j ∥ · cos( i , j ) = 1 · 1 · cos 90◦ = 0, így − − − − − − − − − − − − − −→ − → − → − → − → − → − → − →− → − → (2 i + 5 j ) · (3 i − 4 j ) = 6 i 2 − 8 i j + 15 j i − 20 j 2 = 6 − 20 = −14. Másképp: formálisan írhatjuk, hogy − → − → − → − → (2 i + 5 j ) · (3 i − 4 j ) = (2, 5) · (3, −4) = 2 · 3 + 5 · (−4) = −14. − → − → → Feladat. Határozzuk meg az m ∈ R azon értékét, amelyre az − u = 2 i − 5 j és − → − → − → v = 4 i + (2m − 1) j vektorok merőlegesek egymásra! 13 → → → → M. − u ⊥− v ⇔− u ·− v = 0 ⇔ 2·4+(−5)·(2m−1) = 0 ⇔ 8−10m+5 = 0 ⇔ m = . 10 − → − → − → − → − u = 4 i − 5 j és v = 3 i + 7 j vektorok tompaszöget Feladat. Igazoljuk, hogy az → zárnak be. → → M. − u ·− v = (4, −5) · (3, 7) = 12 − 35 = −23 < 0, így a két vektor által bezárt szög
14
koszinusza negatív, azaz a szög tompaszög.
− → − → → Feladat. Határozzuk meg az m ∈ R paraméter értékét úgy, hogy az − u = a i +3 j − → − → − → és v = 4 i + (a + 4) j vektorok párhuzamosak legyenek! a 3 → → M. − u ||− v ⇔ = ⇔ a2 + 4a − 12 = 0 ⇔ a1 = 2, a2 = −6. 4 a+4 Feladat. Az xOy koordináta-rendszerben adottak az O(0, 0), A(2, 1) és B(−2, 1) −→ −−→ pontok. Határozzuk meg az OA és OB vektorok által bezárt szög koszinuszát! √ √ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ M. OA = (2, 1), OB = (−2, 1), ∥OA∥ = 5, ∥OB∥ = 5; OA · OB = −3 ⇔ √ √ −→ −−→ \ = −3 ⇔ 5 · 5 · cos(AOB) \ = −3 ⇔ cos(AOB) \ = −3. ∥OA∥ · ∥OB∥ · cos(AOB) 5
− → − → Legyen − r→ A = (xA , yA ), rB = (xB , yB ), rC = (xC , yC ). −→ −→ Tétel. Az AB vektor koordinátái AB = (xB − xA , yB − yA ). −−→ −−→ Tétel. Ha M ∈ (AB) úgy, hogy M A = k · M B , akkor xA − k · xB yA − k · yB xM = és yM = . 1−k 1−k . Következmény. Az [AB] szakasz M felezőpontjának ) koordinátái ( xA + xB yA + yB , . 2 2 Következmény. Az ABC ( háromszög G súlypontjának koordinátái ) xA + xB + xC yA + yB + yC , . 3 3 Feladat. Legyen G az ABC háromszög súlypontja. Az A, B és G helyzetvektorai − → − → − − → − → − → − → − → − → r→ A = 4 i + 7 j , rB = 2 i − j és rG = 4 i + 4 j . Határozzuk meg a C pont helyzetvektorát! ( ) 4 + 2 + xC 7 − 1 + yC M. (4, 4) = , ⇔ xC = 6, yC = 6 ⇔ C(6, 6). 3 3 Egyenes iránytényezője
.
rtelmezés. Legyen d egy egyenes, mely nem párhuzamos az Oy -tengellyel. A d egyenes iránytényezője a d-nek az Ox-tengellyel bezárt szögének tangense: m = tg φ, ahol φ ∈ [0◦ , 180◦ ] \ {90◦ } (az Oy -nal párhuzamos egyeneseknek nincs iránytényezőjük). Tétel. Az A(xA , yA ) és B(xB , yB ) pontokon átmenő egyenes iránytényezője yA − yB mAB = . xA − xB a Tétel. A d : ax+by +c = 0, b ̸= 0 egyenletű egyenes iránytényezője md = − . b Tétel. Az y = mx + n egyenletű egyenes iránytényezője m.
15
y
y
y
d d
d .
O
φ x
φ = 0◦ , m = 0 Két egyenes szöge
.
x
O
φ ∈ (0◦ , 90◦ ), m > 0
.
O
φ x
φ ∈ (90◦ , 180◦ ), m < 0
.
Legyen m1 a d1 , m2 a d2 egyenes iránytényezője (d1 ̸= d2 , d1 ̸ ∥Oy , d2 ̸ ∥Oy ). Tétel. A d1 és d2 egyenesek akkor és csakis akkor párhuzamosak, ha m1 = m2 . Tétel. A d1 és d2 egyenesek akkor és csakis akkor merőlegesek, ha m1 ·m2 = −1. Tétel. A d1 és d2 egyenesek által tangense ( bezárt ) szög m1 − m2 \ tg d1 , d2 = . 1 + m1 · m2
Egyenes egyenlete
.
rtelmezés. Legyenek a, b, c ∈ R, a ̸= 0 vagy b ̸= 0. Azon (x, y) koordinátájú pontok, amelyekre ax + by + c = 0, egy d egyenesen helyezkednek el, melyet az ax + by + c = 0 egyenletű egyenesnek nevezünk és így jelölünk: d : ax + by + c = 0 (egyenes általános egyenlete). Tétel. Az Oy -tengelyt a (0, n) pontban metsző, m iránytényezőjű egyenes egyenlete y = mx + n (egyenes explicit egyenlete). Tétel. Az A(xA , yA ) ponton áthaladó és m iránytényezőjű egyenes egyenlete y − yA = m(x − xA ). Tétel. Az A(xA , yA ) és B(xB , yB ) pontokon áthaladó egyenes egyenlete y − yA yB − yA = , ha xA ̸= xB és x = xA , ha xA = xB . x − xA xB − xA x y 1 Megjegyzés. A fenti összefüggés xA yA 1 = 0 alakba is írható. xB yB 1 Következmény. Azon egyenes egyenlete, amely a tengelyeket az (a, 0) és (0, b) x y pontokban metszi, (a, b ̸= 0), + − 1 = 0. a b
16
3. Trigonometria 3.1. A trigonometria elemei Szög-mértékegységek
.
rtelmezés. Egy kör félkerületének és sugarának aránya állandó és π ≈ 3,1415tel egyenlő. rtelmezés. A kör sugarával megegyező hosszúságú körívhez tartozó középponti szög mértéke 1 radián. Megjegyzés. Egy szögnek fokban illetve radiánban való mértéke közt fennáll α 180 az = összefüggés, ahol α a szög fokban kifejezett, xr a szög radiánban xr π kifejezett mértéke.
II. P2π/3
Pπ/2
I.
Pπ/3
P5π/6
Pπ/6 A P0
.
Pπ
O
P7π/6 P4π/3 III.
P11π/6 P3π/2
P5π/3 IV.
Szinusz és koszinusz
A trigonometrikus kör . rtelmezés. Adott egy xOy derékszögű koordináta-rendszer. Az O középpontú, egységsugarú kört, amelyen kijelöltünk egy pozitív körbejárási irányt (az óramutató járásával ellentétes irányt), trigonometrikus körnek nevezzük. Jelölés. Legyen t ∈ R egy szám. Ekkor egyetlen olyan Pt -vel jelölt pont van a trigonomet\t ) = t. riai körön, amely m(AOP
.
Legyen t egy valós szám és Pt a hozzátartozó pont a körön. rtelmezés. A Pt pont ordinátáját a t valós szám szinuszának nevezzük és így jelöljük: sin t. rtelmezés. A Pt pont abszcisszáját a t valós szám koszinuszának nevezzük és így jelöljük: cos t.
19
T′
ctg t
Pt Pt
sin t . t O cos t
.
A
t
O
Tangens és kotangens
T tg t A
.
rtelmezés. Az x = 1 egyenletű függőleges egyenest tangens-tengelynek, az y = 1 egyenletű vízszintes{ egyenest pedig}kotangens-tengelynek nevezzük. π rtelmezés. Ha t ∈ R \ + kπ| k ∈ Z , Pt a t-nek megfelelő pont és T az 2 OPt egyenes és a tangens-tengely metszéspontja, akkor T ordinátáját t tangensének nevezzük és így jelöljük: tg t. rtelmezés. Ha t ∈ R \ {kπ| k ∈ Z}, Pt a t-nek megfelelő pont és T ′ az OPt egyenes és a kotangens-tengely metszéspontja, akkor T ′ abszcisszáját t kotangensének nevezzük és így jelöljük: ctg t. Fontosabb értékek
x
0
sin x
0
cos x
1
tg x
0
ctg x
|
.
π 6 1 2 √ 3 2 √ 3 3
√
3
π 4
√ 2 2 √ 2 2
1 1
π 3
√ 3 2 1 2
√
√ 3 3
Visszavezetés az első negyedbe
x ∈ N2 sin x = sin(π − x) cos x = − cos(π − x) tg x = −tg (π − x) ctg x = −ctg (π − x)
20
3
π 2 1 0 | 0
2π 3 √
3 2 − 21
√ − 3 √ − 33
3π 4 √
2 2 √ − 22
−1 −1
5π 6 −
1 2 √
3 2 √ − 33
√ − 3
π 0 −1 0 |
.
x ∈ N3 sin x = − sin(x − π) cos x = − cos(x − π) tg x = tg (x − π) ctg x = ctg (x − π)
x ∈ N4 sin x = − sin(2π − x) cos x = cos(2π − x) tg x = −tg (2π − x) ctg x = −ctg (2π − x)
A trigonometrikus függvények előjele.
x
0
N1
sin x cos x tg x ctg x
0 1 0 |+
+ + + +
π 2 1 0 +|− 0
N2
π
N3
+ − − −
0 −1 0 −|+
− − + +
3π 2 −1 0 +|− 0
N4
2π
− + − −
0 1 0 −|
A trigonometrikus függvények monotonitása .
x
0
N1
sin x cos x tg x ctg x
0 1 0
↗ ↘ ↗ ↘
|+∞
Alapösszefüggések
π 2 1 0 +∞ |−∞ 0
N2
π
N3
↘ ↘ ↗ ↘
0 −1 0 +∞ −∞ |
↘ ↗ ↗ ↘
3π 2 −1 0 +∞ |−∞ 0
N4
2π
↗ ↗ ↗ ↘
0 1 0 −∞ |
.
sin2 x + cos2 x = 1 (a trigonometria alapképlete) (π ) sin − x = cos x sin(−x) = − sin x ( 2π ) − x = sin x cos cos(−x) = cos x ( π2 ) tg − x = ctg x tg (−x) = −tg x (2π ) − x = tg x ctg ctg (−x) = −ctg x 2
sin x 1 = cos x ctg x sin(x + 2π) = sin x tg x =
cos(x + 2π) = cos x tg (x + π) = tg x ctg (x + π) = ctg x
21
3. Függvényhatárértékek 3.1. Függvény határértéke rtelmezés. Azt mondjuk, hogy az f : D → R, D ⊆ R függvény határértéke az x0 ∈ R torlódási pontban l ∈ R, ha az l bármely Vl környezete esetén létezik az x0 olyan Ux0 környezete, amelyre ∀x ∈ Ux∗0 ∩ D esetén f (x) ∈ Vl . Jelölés. Ha az f : D → R függvény határértéke az x0 ∈ R pontban l ∈ R, akkor ezt így jelöljük: lim f (x) = l. . x→x0
Tétel. (A határérték Heine féle értelmezése) Legyen f : D → R, x0 ∈ R, l ∈ R. Egyenértékűek a következő állítások: . lim f (x) = l, .
x→x0
. ∀(xn )n≥1 , xn ∈ D, xn ̸= x0 , lim xn = x0 sorozat ⇒ lim f (xn ) = l. .
n→∞
Feladat. Igazoljuk, hogy az f : R∗ → R, f (x) = sin értéke az x0 = 0 pontban!
n→∞
1 függvénynek nincs határx
M. Tekintsük az (xn )n≥1 és (x′n )n≥1 sorozatokat, ahol xn = Ekkor lim xn = lim x′n = 0 és n→∞ n→∞ 1 lim f (xn ) = lim sin = lim sin nπ = 0, n→∞ n→∞ n→∞ xn 1 (4n + 1)π lim f (x′n ) = lim sin ′ = lim sin = 1, n→∞ n→∞ n→∞ xn 2 így f -nek nincs határértéke 0-ban. Határérték az x0 ∈ R pontban
1 2 , x′n = . nπ (4n + 1)π
.
rtelmezés. lim f (x) = l ∈ R ⇔ x→x0
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 úgy, hogy ha |x − x0 | < δ(ε), x ̸= x0 akkor |f (x) − l| < ε. rtelmezés. lim f (x) = +∞ ⇔ x→x0
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 úgy, hogy ha |x − x0 | < δ(ε), x ̸= x0 akkor f (x) > ε. rtelmezés. lim f (x) = −∞ ⇔ x→x0
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 úgy, hogy ha |x − x0 | < δ(ε), x ̸= x0 akkor f (x) < −ε.
Feladat. Igazoljuk, hogy lim
x→0
40
x−1 = ∞! x2
M. Igazoljuk, hogy ∀ε > 0 esetén ∃δ > 0 úgy, hogy ha √ f (x) > ( |x| <√δ , x ̸= 0, akkor ) ε. x−1 1 − 1 − 4ε 1 + 1 − 4ε 2 f (x) > ε ⇔ > ε ⇔ εx − x + 1 < 0 ⇔ x ∈ , . 2 2ε 2ε } √ { x √ 1 − 1 − 4ε 1 − 1 − 4ε , választással tehát |x| < δ ⇒ f (x) < ε. A δ = min 2ε 2ε Határérték +∞-ben
.
rtelmezés. lim f (x) = l ∈ R ⇔ x→∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x > δ(ε) akkor |f (x) − l| < ε. rtelmezés. lim f (x) = +∞ ⇔ x→∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x > δ(ε) akkor f (x) > ε. rtelmezés. lim f (x) = −∞ ⇔ x→∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x > δ(ε), akkor f (x) < −ε.
Határérték −∞-ben
.
rtelmezés. lim f (x) = l ∈ R ⇔ x→−∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x < −δ(ε) akkor |f (x) − l| < ε. rtelmezés. lim f (x) = +∞ ⇔ x→−∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x < −δ(ε) akkor f (x) > ε. rtelmezés. lim f (x) = −∞ ⇔ x→−∞
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x < −δ(ε), akkor f (x) < −ε.
Jobb és bal oldali határérték
.
rtelmezés. Azt mondjuk, hogy az f : D → R, D ⊆ R függvény bal oldali határértéke az x0 ∈ R torlódási pontban l ∈ R, ha az l bármely Vl környezete esetén létezik az x0 olyan Ux0 környezete, amelyre ∀x ∈ Ux∗0 ∩D, x < x0 esetén f (x) ∈ Vl . Jelölés. x→x lim f (x) vagy lim f (x). 0
x<x0
x↗x0
Tétel. x→x lim f (x) = l ⇔ 0
x<x0
∀(xn )n≥1 , xn ∈ D, xn < x0 , lim xn = x0 sorozat esetén lim f (xn ) = l. n→∞
n→∞
Megjegyzés. Hasonlóan értelmezhető a jobb oldali határérték is. Tétel. Az f : D → R függvénynek a D halmaz x0 torlódási pontjában akkor és csakis akkor van határértéke, ha van bal és jobb oldali határértéke és ezek egyenlők.
41
3.2. Határértékekkel végzett műveletek Összeg, szorzat határértéke
.
Tétel. Ha az f, g függvényeknek van határértéke x0 -ban és a határértékek összege illetve szorzata értelmezett, akkor az f + g illetve f · g függvénynek is van határértéke x0 -ban és lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x), x→x0
x→x0
x→x0
lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x).
x→x0
x→x0
x→x0
Határozatlan esetek: ∞ + (−∞), (−∞) + ∞, illetve 0 · (±∞), (±∞) · 0. Hányados határértéke
.
Tétel. Ha az f, g függvényeknek van határértéke x0 -ban és a határértékek háf nyadosa értelmezett, akkor az függvénynek is van határértéke x0 -ban és g ( ) lim f (x) f (x) x→x0 lim = . x→x0 g(x) lim g(x) x→x0
0 ±∞ . Határozatlan esetek: , 0 ±∞ Hatvány határértéke
.
Tétel. Ha az f, g függvényeknek van határértéke x0 -ban és a határértékek hatványa értelmezett, akkor az f g függvénynek is van határértéke x0 -ban és ( ) lim g(x) x→x0 g(x) lim f (x) = lim f (x) . x→x0
x→x0
Határozatlan esetek: 00 , 1∞ , ∞0 . Összetett függvény határértéke
.
Tétel. Ha g : D → E , f : E → R, x0 a D torlódási pontja, lim g(x) = x→x0
l0 , g(x) ̸= l0 , ha x ̸= x0 és lim f (u) = l, akkor az f ◦ g függvénynek van u→l0
határértéke x0 -ban és lim (f ◦ g)(x) = l. x→x0
Példa. Ha ∃ lim f (x) = l ∈ R, akkor ∃ lim sin f (x) = sin lim f (x) = sin l. x→x0
42
x→x0
x→x0
5.4. Elemi függvények deriváltjai A függvény
A függvény deriváltja
Deriválhatósági tartomány
f (x) = c, c ∈ R
f ′ (x) = 0
R
f (x) = xn , n ∈ N∗
f ′ (x) = nxn−1
R
f (x) = xa , a ∈ R
f ′ (x) = axa−1
(0, ∞)
√
1 f ′ (x) = √ 2 x
(0, ∞)
f (x) =
x
f (x) = loga x, a>0, a̸=1
f ′ (x) =
1 x ln a
(0, ∞)
f (x) = ln x
f ′ (x) =
1 x
(0, ∞)
f (x) = ax , a>0, a̸=1
f ′ (x) = ax ln a .
R
f (x) = sin x
f ′ (x) = cos x
R
f (x) = cos x
f ′ (x) = sin x
R
f (x) = tg x
f ′ (x) =
f (x) = ctg x f (x) = arcsin x f (x) = arccos x
1 cos2 x
1 f ′ (x) = − 2 sin x 1 f ′ (x) = √ 1 − x2 1 f ′ (x) = − √ 1 − x2 1 1 + x2
f (x) = arctg x
f ′ (x) =
f (x) = arcctg x
f ′ (x) = −
54
1 1 + x2
R\
{π
2
} + kπ|k ∈ Z
R \ {kπ|k ∈ Z}
(−1, 1) (−1, 1) R R
