1. Mˇejme tabulku ˇc´ısel rozmˇer˚ u 4 × 4. Pro kaˇzd´e pol´ıˇcko plat´ı, ˇze souˇcet ˇc´ısel na sousedn´ıch pol´ıˇck´ ach je roven 1 (dvˇe pol´ıˇcka soused´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz maj´ı spoleˇcnou hranu). Jak´ y je souˇcet vˇsech ˇc´ısel v tabulce? ˇ sen´ı 1 Staˇc´ı vhodnˇe zvolit nˇekolik pol´ıˇcek, jejichˇz soused´e budou (bez pˇrekr´yv´ Reˇ an´ı) pokr´yvat celou tabulku. Takov´ych pol´ıˇcek n´ am vyjde 6, proto souˇcet vˇsech ˇc´ısel bude 6.1 = 6 2. Pokud je ˇc´ıslo v dev´ıtkov´e soustavˇe, je to abc. Pokud je v ˇsestkov´e, je to cba. Jak´e je v des´ıtkov´e soustavˇe? ˇ sen´ı 2 Staˇc´ı abychom rozvinuli dan´e dva polyadick´e z´ Reˇ apisy a dali je do rovnosti, kdyˇz (napˇr´ıklad zkoum´ an´ım zbytkov´ych tˇr´ıd) vylouˇc´ıme vˇsechny ostatn´ı moˇznosti, z˚ ustane n´ am jedinˇe 212. √ 3. Najdˇete vˇsechna re´ aln´ a a, b tak, aby ˇc´ısla a, 16, b, a2 b tvoˇrila v tomto poˇrad´ı geometrickou posloupnost. Zadejte souˇcet souˇcin˚ u ab pro vˇsechna ˇreˇsen´ı (a, b). ˇ sen´ı 3 Pod´ıl dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ Reˇ u geometrick´e posloupnosti je konstantn´ı (kvocient), na z´ akladˇe toho sestav´ıme dvˇe rovnice a z nich se dopracujeme k jedin´emu ˇreˇsen´ı: a = 14 , b = 1048576, v´ysledek tedy je a.b = 262144. 4. Necht’ abcdeabcdeabcdeabcdeabcde je decim´aln´ı z´apis nˇejak´eho ˇc´ısla. Kolik ˇc´ısel tohoto tvaru je dˇeliteln´ ych 2012? ˇ sen´ı 4 45 Reˇ 5. Kolik r˚ uzn´ ych obarven´ı pravideln´eho sedmi´ uheln´ıka m˚ uˇzeme vytvoˇrit, pokud jeho strany obarvujeme 2 r˚ uzn´ ymi barvami? Sedmi´ uheln´ık m˚ uˇzeme ot´aˇcet a pˇrevracet. ˇ sen´ı 5 18 Reˇ 6. Urˇcete zbytek po dˇelen´ı ˇc´ısla 100011 ˇc´ıslem 1111, kter´a jsou zaps´ana v soustavˇe se z´akladem 2012. ˇ sen´ı 6 4025 Reˇ 7. Digit´ aln´ı hodinky ukazuj´ı hodiny, minuty a sekundy (v 24-hodinov´em form´atu). Jak dlouhou dobu je bˇehem jednoho dne (24 hodin) na hodink´ach alespoˇ n jedna jedniˇcka? V´ ysledek zadejte v sekund´ ach. ˇ sen´ı 7 62100=12.3600 + 12.15.60 +12.45.15 Reˇ 8. M´ ame pˇrirozen´e ˇc´ıslo n. Urˇcete nejvˇetˇs´ı moˇznou posledn´ı ˇc´ıslici ˇc´ısla n2 , pokud je 7 pˇredposledn´ı ˇc´ıslice n2 . ˇ sen´ı 8 6 Reˇ 9. Mˇejme ˇctverec ABCD, oznaˇcme S pr˚ useˇc´ık jeho u ´hlopˇr´ıˇcek. Osa u ´hlu SAB protne BS a BC v bodech K a L. D´elka KS je 18. Jak´a je d´elka LC? ˇ sen´ı 9 36 Reˇ
1
10. Urˇcete nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y n´ asobek ˇc´ısel v magick´em ˇctverci (souˇcet ˇc´ısel v ˇr´adc´ıch, sloupc´ıch a na diagon´ al´ ach je stejn´ y, doplˇ nujeme pˇrirozen´a ˇc´ısla). ? ? ?
? 12 ?
7 ? 9
15 4 17
14 12 10
7 20 9
ˇ sen´ı 10 21420 Reˇ
11. Necht’ XY Y Z je ˇc´ıslo zaps´ ano v des´ıtkov´e soustavˇe. Urˇcete rozd´ıl ZY Y X − XY Y Z = 7KLM , pokud 7KLM pˇredstavuje nˇejak´e ˇc´ıslo v des´ıtkov´e soustavˇe a Z > X > 0. ˇ sen´ı 11 7992 Reˇ 12. Najdˇete tˇri trojcifern´e ˇctverce tak, aby dohromady pouˇz´ıvali cifry 1, 2, 3 ..., 9 kaˇzdou pr´avˇe jednou. V´ ysledek zadejte jako jejich souˇcet. ˇ sen´ı 12 1674=361+529+784 Reˇ ˇ 13. Kouma s Noumou plavali pˇres ˇreku (kaˇzd´ y jinou, ale konstantn´ı rychlost´ı) kolmo na smˇer proudu. Vystartovali proti sobˇe z protilehl´ ych bˇreh˚ u a kdyˇz proch´azeli kolem sebe, byli vzd´aleni 6 metr˚ u od lev´eho bˇrehu. Oba se po doplut´ı k bˇrehu otoˇcili a plavali d´al. Kdyˇz se setkali podruh´e, byli vzd´ aleni 2 metry od prav´eho bˇrehu. Jak ˇsirok´a (v metrech) je ˇreka? ˇ sen´ı 13 16 Reˇ 14. Urˇcete posledn´ı dvojˇc´ısl´ı ˇc´ısla 1 + 1.2 + 1.2.3 + ... + 1.2.3...2012. ˇ sen´ı 14 13 Reˇ 15. Mˇejme ˇctvercovou mˇr´ıˇzku o rozmˇerech 2012 × 1024 (tedy mˇr´ıˇzka obsahuje 2012 × 1024 vrchol˚ u a 2011 × 1023 ˇctverc˚ u). Ze vˇsech vrchol˚ u je n zbarven´ ych modˇre, pˇriˇcemˇz plat´ı, ˇze ˇz´adn´e tˇri modr´e vrcholy nejsou vrcholy pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıku, kter´ y by mˇel odvˇesny rovnobˇeˇzn´e s hranami mˇr´ıˇzky. Jak´ a je maxim´ aln´ı moˇzn´ a hodnota n? ˇ sen´ı 15 3034=2012 + 1024 − 2 Reˇ
2
16. Loupeˇzn´ıci si rozdˇelili lup n´ asledovnˇe: 100 duk´at˚ u a desetina zbytku ˇsla prvn´ımu zbojn´ıkovi, 200 duk´ at˚ u a desetina zbytku druh´emu, 300 duk´at˚ u a desetina zbytku tˇret´ımu, atd.. Kdyˇz skonˇcili, prvn´ı a druh´ y zjistili, ˇze maj´ı stejn´ y poˇcet duk´at˚ u. Kolik duk´at˚ u mˇel posledn´ı zbojn´ık? ˇ sen´ı 16 900 Reˇ 17. Necht’ a(n) je rostouc´ı posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Pro vˇsechny pˇrirozen´e x, y plat´ı a(x + a(y)) = a(x) + y + 1. Najdˇete vˇsechny moˇzn´e hodnoty a(2012). V´ ysledek zadejte jako souˇcet vˇsech moˇzn´ ych rozd´ıln´ ych hodnot. ˇ sen´ı 17 2013 Reˇ 18. Kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme posadit do ˇrady 3 prv´aky, 3 druh´aky a 3 tˇret’´aky tak, aby ˇz´adn´ı tˇri studenti stejn´eho roˇcn´ıku nesedˇeli vedle sebe? ˇ sen´ı 18 283824 Reˇ 19. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce: v u u 4 f (x) = t
6−x√ log2 (3− x) 1 log2 ((3 − x)(2 − x)) + log2 ( x−3 )
Jako odpovˇed’ zadejte souˇcin vˇsech cel´ ych ˇc´ısel, ve kter´ ych je funkce definov´ana. ˇ sen´ı 19 336 (pro x = 6, 7, 8) Reˇ 20. N´ aklad’´ ak cestuje mezi mˇesty X do Y. Do kopce jede rychlost´ı 56 km/h, po rovinˇe 63 km/h a z kopce 72 km/h. Cesta z X do Y mu trv´ a 5 hodin, z Y do X 4 hodiny. Jak´a je vzd´alenost z X do Y a zpˇet (v kilometrech)? ˇ sen´ı 20 567 Reˇ 21. Najdˇete nejmenˇs´ı pˇrirozen´e ˇcislo kter´e konˇc´ı ˇc´ıslic´ı 6 pˇriˇcemˇz po pˇrehozen´ı t´eto ˇc´ıslice z konce na zaˇc´ atek dostaneme ˇctyˇrn´ asobek p˚ uvodn´ıho ˇc´ısla. ˇ ıslo zpˇetnˇe rekonstruujeme - v´ıme ˇze na konci mˇelo 6, po vyn´ ˇ sen´ı 21 C´ Reˇ asoben´ı ˇctyˇrkou zjist´ıme pˇredposledn´ı ˇc´ıslici, atd., aˇz pˇrijdeme k v´ysledku153846 22. Necht’ K je mnoˇzina o 10 prvc´ıch. Kolik existuje ˇctveˇric (A, B, C, D) takov´ ych, ˇze A, B, C, D jsou podmnoˇziny K, A je podmnoˇzinu B, B podmnoˇzinou C a C podmnoˇzinou D? ˇ sen´ı 22 9765625=510 Reˇ 23. Urˇcete zbytek po dˇelen´ı ˇc´ısla 12012 + 82012 + 172012 − 32012 − 62012 − 72012 ˇc´ıslem 10. ˇ sen´ı 23 0 Reˇ ´ redn´ık se vˇsak spletl a vymˇenil ˇc´ısla, kter´e 24. Matˇej si byl na poˇstˇe nechat vyplatit ˇsek v eurech. Uˇ vyjadˇrovaly poˇcet eur a poˇcet cent˚ u. Matˇej pozdˇeji vytratil jednu 5-centovou minci a pak si uvˇedomil, ˇze akor´ at m´ a dvojn´ asobek ˇc´ astky, kterou mˇel p˚ uvodnˇe dostat. Jak´a byla p˚ uvodn´ı ˇc´astka na ˇseku? (Jedno euro m´ a 100 cent˚ u.) 3
ˇ sen´ı 24 31.63 Reˇ 25. Kolika r˚ uzn´ ych hodnot z intervalu h1, 44i m˚ uˇze nab´ yvat v´ yraz a3 + b3 + c3 + d3 + e3 pro nez´aporn´ a cel´ a a, b, c, d, e? ˇ sen´ı 25 31 Reˇ 26. Troj´ uheln´ık o d´elk´ ach stran a ≤ b ≤ c m´a obsah 18 cm2 . Jak´e nejmenˇs´ı d´elky (v centimetrech) m˚ uˇze nab´ yvat strana b? ˇ sen´ı 26 6 Reˇ 27. Najdˇete nejvˇetˇs´ı (ve smyslu nejvˇetˇs´ıho souˇctu p + q) dvojici prvoˇc´ısel p, q takovou, ˇze Jako v´ ysledek zadejte souˇcet p + q.
p 2
+
q 2
= p2 .
ˇ sen´ı 27 5 (2+3) Reˇ 100
28. Urˇcete nejvyˇsˇs´ı poˇcet ˇctverc˚ u, kter´ y se m˚ uˇze objevit v posloupnosti {an .n}n=1 pro vhodn´e pˇrirozen´e a. ˇ sen´ı 28 10 Reˇ 29. Najdˇete vˇsechny mnoˇziny takov´e, ˇze souˇcet prvk˚ u mnoˇziny je rovn´ y 200 a z´aroveˇ n jsou vˇsechny prvky po sobˇe jdouc´ı pˇrirozen´ a ˇcisla. Jako v´ ysledek zadejte souˇcin nejmenˇs´ıch prvk˚ u tˇechto mnoˇzin. ˇ sen´ı 29 38000=200*5*38 Reˇ 1 }. Z mnoˇziny vyberieme niektor´e dve ˇc´ısla x, y a nahrad´ıme ich 30. Nech M je mnoˇzina {1, 12 , 13 , 14 ... 299 ˇcislom x + xy + y. Tento postup potom opakujeme, aˇz k´ ym v mnoˇzine nezostane len jeden prvok. Ak´e hodnoty mˆ oˇze nadob´ udat’ tento posledn´ y prvok? V´ ysledok uved’te ako s´ uˇcet vˇsetk´ ych moˇzn´ ych rozdielnych v´ ysledkov.
ˇ sen´ı 30 299 Reˇ
4
31. Dobrodruh naˇsel kouzeln´ y pytel. S pravdˇepodobnost´ı 1/3 z nˇej vyt´ahne 3 zlat’´aky, s pravdˇepodobnost´ı 1/3 z nˇej nevyt´ ahne nic a s pravdˇepodobnost´ı 1/3 z nˇej vyt´ahne dalˇs´ı naprosto stejn´ y kouzeln´ y pytel. Pot´e, co dobrodruh dvakr´ at s´ ahne do pytle, pytel se vypaˇr´ı. Jak´ y je oˇcek´avan´ y zisk dobrodruha (Kdyby bylo dobrodruh˚ u nekoneˇcnˇe mnoho, kolik by si pr˚ umˇernˇe vydˇelali.)? ˇ sen´ı 31 6 Reˇ 32. Do obd´eln´ıku o rozmˇerech a = 2, b = 3 jsou veps´any dvˇe shodn´e kruˇznice, kter´e se navz´ajem dot´ ykaj´ı. Jak´ y nejvˇetˇs´ı mohou m´ıt polomˇer? V´ ysledek zadejte zaokrouhlen´ y na 4 desetinn´a m´ısta. √
ˇ sen´ı 32 0.7679= 5−2 Reˇ 2
3
33. Mˇejme posloupnost s0 (n) = n. Zaved’me obecnˇe posloupnosti sk+1 (n) = sk (1) + sk (2) + ... + sk (n) (tedy napˇr´ıklad s1 (n) = s0 (1) + s0 (2) + ... + s0 (n)). Najdˇete s2012 (3). ˇ sen´ı 33 2029105 = 2015 Reˇ 2013 34. Najdˇete vˇsechny trojice prvoˇc´ısel splˇ nuj´ıc´ı 11a2 +14b2 = 9c2 . Zadejte souˇcet souˇcin˚ u abc pro vˇsechna ˇreˇsen´ı (a, b, c). ˇ sen´ı 34 45 Reˇ 35. Najdˇete vˇsechna pˇrirozen´ a a, b takov´a, ˇze poˇcet moˇznost´ı, jak vybrat dva prvky z a prvk˚ u bez ohledu na poˇrad´ı, je b-tou mocninou ˇsestky. Zadejte souˇcet souˇcin˚ u ab pro vˇsechna ˇreˇsen´ı (a, b). ˇ sen´ı 35 22 Reˇ 36. Je d´ an 2012-bok´ y jehlan. Oznaˇcme A, B dva sousedn´ı vrcholy v podstavˇe. Kolika zp˚ usoby se m˚ uˇzeme po hran´ ach jehlanu pˇresunout z vrcholu A do vrcholu B, jestliˇze sm´ıme kaˇzd´ y vrchol navˇst´ıvit nejv´ yˇse jednou? ˇ sen´ı 36 2023068 Reˇ ´ cka |XY | = 2 je u 37. Useˇ ´hlopˇr´ıˇckou ˇctverce a z´aroveˇ n (nejdelˇs´ı) u ´hlopˇr´ıˇckou pravideln´eho ˇsesti´ uheln´ıku. Jak´ y je obsah pr˚ uniku dan´eho ˇctverce a ˇsesti´ uheln´ıku? (V´ ysledek zaokrouhlete na 4 desetinn´a m´ısta.) ˇ sen´ı 37 1.9641 Reˇ 38. Kolik ˇclen˚ u obsahuje v´ yraz (a + b + c + d + e)2012 ? ˇ sen´ı 38 686210845320 = 2016 Reˇ 4 39. Kolik je posloupnost nez´ aporn´ ych cel´ ych ˇc´ısel {an }∞ nuj´ıc´ıch an+10 = an a an2 = a2n pro n=1 splˇ vˇsechna pˇrirozen´ a n? ˇ sen´ı 39 16 Reˇ ˇ 40. Kouma s Noumou st´ ali pˇri sobˇe otoˇcen´ı navz´ajem z´ady vedle kolejnice. Kdyˇz byl zaˇc´atek proj´ıˇzdˇej´ıc´ıho ˇ vlaku pr´ avˇe na jejich u ´rovni, oba zaˇcali kr´aˇcet vodorovnˇe s kolejnic´ı, Nouma ve smˇeru j´ızdy, Kouma ˇ proti smˇeru. Oba zastali ve chv´ıli, kdyˇz kolem nich proˇsel konec vlaku. Nouma proˇsel celkem 22 ˇ metr˚ u, Kouma 20. Kolik metr˚ u byl dlouh´ y vlak? (Pˇredpokl´ad´ame ˇze Kouma s Noumou kr´ aˇceli stejnˇe rychle a vlak ˇsel celou dobu stejnou rychlost´ı.) 5
ˇ sen´ı 40 440 Reˇ 41. Uvaˇzme ˇc´ıslo, kter´e vznikne zaps´ an´ım ˇc´ısel od 1 po 1024 za sebe, tedy 12345678910111213...10231024. Urˇcete ˇc´ıslici nach´ azej´ıc´ı na 2012. pozici. ˇ sen´ı 41 0 Reˇ ˇ ıslo 187k 3 m´ 42. C´ a 187 dˇelitel˚ u. Kolik dˇelitel˚ u m˚ uˇze m´ıt ˇcislo 22k 22 ? V´ ysledek uved’te jako souˇcet vˇsech rozd´ıln´ ych moˇznost´ı. ˇ sen´ı 42 30104=(67*112*2)+(68*111*2) Reˇ 43. K dispozici m´ ame mince o hodnotˇe 1, 5, 10, 25 a 50 cent˚ u a minci s hodnotou jednoho tolaru, pˇriˇcemˇz plat´ı ˇze jeden tolar je 100 cent˚ u. Jak´e je nejmenˇs´ı k takov´e, ˇze nelze vybrat k minc´ı, kter´e by dohromady d´ avaly tolar? ˇ sen´ı 43 77 Reˇ 44. Necht’ f je funkce, kter´ a pˇriˇrad´ı pˇrirozen´emu ˇc´ıslu souˇcin jeho cifer. Najdˇete f (1)+f (2)+...+f (2012). ˇ sen´ı 44 184320 Reˇ 45. Mˇejme lichobˇeˇzn´ık o d´elk´ ach stran 5, 5, 5, a (a ∈ N). Pro jakou hodnotu a m´a lichobˇeˇzn´ık nejvˇetˇs´ı obsah? ˇ sen´ı 45 10 Reˇ
Tato aktivita je realizov´ ana v r´ amci veˇrejn´e zak´azky Pilotn´ı ovˇeˇren´ı syst´emu popularizace technick´ ych a pˇr´ırodovˇedn´ ych obor˚ u vytv´ aˇren´ım vazeb vysok´ ych ˇskol na ˇskoly niˇzˇs´ıch stupˇ n˚ u, kter´a je souˇc´ast´ı IPN Podpora technick´ ych a pˇr´ırodovˇedn´ ych obor˚ u (PTPO), reg.ˇc. CZ.1.07/4.2.00/06.0005. Projekt je ˇ e republiky. spolufinancov´ an Evropsk´ ym soci´aln´ım fondem a st´atn´ım rozpoˇctem Cesk´ www.generaceY.cz; www.reformy-msmt.cz
6
