Id˝of¨ugg˝o kvantumos sz´or´asi folyamatok Szab´o L´or´ant Zsolt SZTE Elm´eleti Fizikai Tansz´ek T´emavezet˝ok: Dr. Czirj´ak Attila tud. munkat´ars, c. egyetemi docens
Dr. F¨oldi P´eter egyetemi docens Elm´eleti Fizika Szemin´arium, 2015. december 17.
Tartalom 1
Bevezet´es Floquet-elm´elet
2
Relativisztikus elektrontranszport oszcill´al´o potenci´alg´aton Motiv´aci´ o, c´elkit˝ uz´es Transzmisszi´ os val´ osz´ın˝ us´egek Fano-t´ıpus´ u rezonanci´ak A folyamat t´erid˝ of¨ ugg´ese
3
L´ezer ´altal seg´ıtett elektronsz´or´as nanog¨omb¨on Motiv´aci´ o, c´elkit˝ uz´es G¨ ombi Volkov-´allapotok P m kernelf¨ uggv´enyek S˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny gyenge t´er k¨ ozel´ıt´esben Differenci´alis sz´ or´asi hat´askeresztmetszetek
4
¨ Osszefoglal´ as
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – Tartalom
Szab´ o L. Zs.
2 / 22
Bevezet´es: Floquet-elm´elet Floquet-t´etel Ha az A(t) n´egyzetes m´atrix τ periodikus ´es Φ(t) fundament´alis megold´asa az x˙ = A(t)x line´aris periodikus rendszernek, akkor Φ(t) is ugyan´ugy periodikus, tov´abb´a l´etezik P(t) n´egyzetes τ periodikus m´atrix u´gy, hogy Φ(t) = P(t) exp (Bt), ahol B is n´egyzetes m´atrix. ˆ ˆ + τ) Periodikus Hamilton oper´ator: H(t) = H(t Hull´amf¨uggv´eny: Ψ(X , t) = e −iEF t/~ F (X , t), Ψ(X , t) = e −iEF t/~
F (X , t) = F (X , t + τ ) ∞ X
e −inωt Fn (X )
n=−∞
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – Bevezet´ es
Szab´ o L. Zs.
3 / 22
Relativisztikus elektrontranszport oszcill´al´o potenci´alg´aton
Motiv´aci´o, c´elkit˝uz´es SiC szubsztr´aton epitaxi´alisan n¨ovesztett graf´enmint´ak ∆ = 0.26eV tiltott s´avval rendelkeznek, amely elv´alasztja a Dirac-egyenlet pozit´ıv ´es negat´ıv energi´as saj´at´allapotokat.a Ekkor a diszperzi´os rel´aci´o a massz´ıv relativisztikus Dirac-r´eszecsk´ej´ehez hasonl´o. a
S. Y. Zhou et al., Nature Materials 6, 770 (2007)
E tiltott s´avot egy konstans + oszcill´al´o potenci´allal befoly´asoljuka a
L. Zs. Szab´ o et al., Physycal Review B 88, 075438 (2013)
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – Relativisztikus elektrontranszport oszcill´ al´ o potenci´ alg´ aton
Szab´ o L. Zs.
4 / 22
Oszcill´al´o potenci´alg´at - relativisztikus modell
ψin (z, t) = e
ik0 z−i
E0 t ~
1 0
c~k0 E +mc 2 0
,
√ ~k0 = ±
E02 −m2 c 4 c
0
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – Relativisztikus elektrontranszport oszcill´ al´ o potenci´ alg´ aton
Szab´ o L. Zs.
5 / 22
Dirac-egyenlet megold´asa a 0 < z < L tartom´anyban "
∂ ∂ i~ ψ(z, t) = cα3 −i~ ∂t ∂z
!
# 2
+ βmc + V0 + ~Ω cos νt ψ(z, t)
Megold´asok " ±
ikz ±
ϕ (z, t) = e u (k) exp −i
1 0
c~k E + (k)−V0 +mc 2
u + (k) =
,
E ± (k)t Ω + sin νt ~ ν
!#
c~k E − (k)−V0 −mc 2
0 1 0
u − (k) =
0 √ E ± (k) = ± m2 c 4 + ~2 k 2 c 2 + V0 Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – Relativisztikus elektrontranszport oszcill´ al´ o potenci´ alg´ aton
Szab´ o L. Zs.
6 / 22
Floquet-f´ele alak " ±
ikz ±
ϕ (z, t) = e u (k) exp −i
E ± (k)t Ω + sin νt ~ ν
!#
Jacobi-Anger azonoss´ag e
sin νt −i Ω ν
=
∞ X n=−∞
Megjelen˝o frekvenci´ak:
E ± (k) ~
Jn
Ω ν
e −inνt
+ nν
Fix E0 energia eset´en: E ± (k) = E0 ωn =
En E0 = + nν ~ ~
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – Relativisztikus elektrontranszport oszcill´ al´ o potenci´ alg´ aton
Szab´ o L. Zs.
7 / 22
Hull´amf¨uggv´enyek ±
E (k) = E0 ,
kn =
q
En2 −m2 c 4 , ~2 c 2
kn0
=
q
(En −V0 )2 −m2 c 4 ~2 c 2
1-es ´es 3-as tartom´any hull´amf¨uggv´enye P
Ψ1 (z, t) = ψin (z, t) +
rn e −ikn z u + (−kn ) e −iωn t + Ψ1r − (z, t)
ωn >0
Ψ3 (z, t) =
P
tn e
u (kn ) e −iωn t + Ψ3− (z, t)
ikn z +
ωn >0
2-es tartom´any hull´amf¨uggv´enye − Ψ2 (z, t) = Ψ+ 2 (z, t) + Ψ2 (z, t),
!
Ψ+ 2 (z, t) =
X X ωn >0 m
h
0
Jm
Ω −iωn+m t e ν 0
i
× an e ikn z u + (kn0 ) + bn e −ikn z u + (−kn0 ) Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – Relativisztikus elektrontranszport oszcill´ al´ o potenci´ alg´ aton
Szab´ o L. Zs.
8 / 22
Id˝ore ´atlagolt transzmisszi´os val´osz´ın˝us´eg hT i =
1 T
RT
T (t)dt
E0 = 1.1mc 2 , ν = 0.2, L = 1 [a.u.]
0
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – Relativisztikus elektrontranszport oszcill´ al´ o potenci´ alg´ aton
Szab´ o L. Zs.
9 / 22
Fano-t´ıpus´u rezonanci´ak
Ilyen cs´ucsokat m´ar figyeltek meg kor´abban nemrelativisztikus oszcill´al´o potenci´alg¨od¨or eset´en. Ezek az u´n. Fano-t´ıpus´u rezonanci´ak.
Rugalmatlan sz´or´asi folyamat: a bej¨ov˝o r´eszecske energi´aja lecs¨okken ~ν eg´esz sz´am´u t¨obbsz¨or¨os´evel, ´es a potenci´al k¨ot¨ott ´allapota popul´al´odik.
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – Relativisztikus elektrontranszport oszcill´ al´ o potenci´ alg´ aton
Szab´ o L. Zs.
10 / 22
A folyamat t´erid˝of¨ugg´ese E0 = 3mc 2 , L = 10, V0 = 1.85mc 2 ´es Ω = 0.5
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – Relativisztikus elektrontranszport oszcill´ al´ o potenci´ alg´ aton
Szab´ o L. Zs.
11 / 22
L´ezer ´altal seg´ıtett elektronsz´or´as nanog¨omb¨on Motiv´aci´o, c´elkit˝uz´es A. Zewail u´tt¨or˝o munk´ass´aga: 4D k´epalkot´as, ultragyors elektronmikroszk´opia, foton-induk´alt k¨ozeli t´er elektronmikroszk´opiaa a
S. T. Park et al., New J. Phys. 12 (12), 123028 (2010)
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – L´ ezer ´ altal seg´ıtett elektronsz´ or´ as nanog¨ omb¨ on
Szab´ o L. Zs.
12 / 22
Elektronsz´or´as ”kem´eny g¨omb”-¨on l´ezert´er jelenl´et´eben ψinc = exp{i [k0 · r − k0 cos θ0 a sin ωt] − iω0 t}
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – L´ ezer ´ altal seg´ıtett elektronsz´ or´ as nanog¨ omb¨ on
Szab´ o L. Zs.
13 / 22
Schr¨odinger-egyenlet megold´asa "
ˆ2 p e ∂ ˆ Ψ = i~ Ψ + A·p 2M Mc ∂t #
Kramers-Henneberger transzform´aci´o Ψ = exp [−a sin ωt∇z ]Φ(x , y , z; t)
−
~2 2 ∂Φ ∇ Φ = i~ 2M ∂t
Laborat´oriumi koordin´ata-rendszer Ψ = Φ(x , y , z − a sin ωt; t),
a = eA0 /Mωc
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – L´ ezer ´ altal seg´ıtett elektronsz´ or´ as nanog¨ omb¨ on
Szab´ o L. Zs.
14 / 22
Hull´amf¨uggv´enyek Bej¨ov˝o hull´am: Gordon-Volkov ´allapot ψinc = exp{i [k0 · r − k0 cos θ0 a sin ωt] − iω0 t} Sz´ort hull´amok: kifel´e halad´o g¨ombi Gordon-Volkov ´allapotok ψscatt =
∞ X l X
∞ X
(1)
A(n, l, m)hl [kn r (t)]Plm [cos θ(t)]
l=0 m=−l n=−∞
× exp (imϕ) exp [−i(ω0 + nω)t] r (t) =
q
r 2 − 2r α(t) cos θ + α(t)2 ,
cos θ(t) = q
r cos θ − α(t) r 2 − 2r α(t) cos θ + α(t)2
α(t) = a sin ωt,
,
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – L´ ezer ´ altal seg´ıtett elektronsz´ or´ as nanog¨ omb¨ on
a=
eA0 Mωc Szab´ o L. Zs.
15 / 22
Hull´amf¨uggv´eny illeszt´ese ∀ θ, ϕ, t
[ψ(r , θ, ϕ, t) = ψinc + ψscatt ]r =R = 0,
ψinc =
X
Jn (k0 a cos θ0 )i l (2l + 1)
n,l,m
×Plm (cos θ0 )Plm (cos θ) exp [im(ϕ
ψscatt =
X
X
0
(l − m)! jl (k0 r ) (l + m)!
− ϕ0 )] exp (−iωn t)
00
0
i l −l (2l 00 + 1)A(n0 , l 0 , m0 )P m (l 0 , l 00 ; n00 |kn0 a)
n0 ,l 0 ,m0 n00 ,l 00 (1)
0
×hl 00 [kn0 r ]Plm00 [cos θ] exp (im0 ϕ) exp {−i [ω0 + (n0 + n00 )ω] t} Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – L´ ezer ´ altal seg´ıtett elektronsz´ or´ as nanog¨ omb¨ on
Szab´ o L. Zs.
16 / 22
P m szimb´olumok egzaktul megadhat´ok 1 1 (l 0 − m)! Z m P (l, l ; s|kn a) ≡ Pl (x )Plm0 (x )Js (−kn a x ) dx 2 (l 0 + m)! m
0
−1
Plm (x )Pjq (x ) =
l+j P
|m+q|
k=max (|m+q|,|l−j|) [l+k+j: even]
Plm (x ) = (−1)m (1 − x 2 )m/2
k Qlmjq Pk
(x )
l l+k−1 l P l 2 k! x k−m 2 k=0
x k Js (−kn ax ) integr´alja ⇒ 1 F˜2 =
k
l
(k−m)!
1 F2 (a1 ;b1 ,b2 ,z)
Γ(b1 )Γ(b2 )
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – L´ ezer ´ altal seg´ıtett elektronsz´ or´ as nanog¨ omb¨ on
Szab´ o L. Zs.
17 / 22
Val´osz´ın˝us´egi s˝ur˝us´egf¨uggv´eny logaritmusa k¨uls˝o t´er n´elk¨ul E0 = 0.25 eV, R = 5 nm
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – L´ ezer ´ altal seg´ıtett elektronsz´ or´ as nanog¨ omb¨ on
Szab´ o L. Zs.
18 / 22
Val´osz´ın˝us´egi s˝ur˝us´egf¨uggv´eny logaritmusa k¨uls˝o t´errel E0 = 0.25 eV, R = 5 nm, ~ω = 1.5 eV
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – L´ ezer ´ altal seg´ıtett elektronsz´ or´ as nanog¨ omb¨ on
Szab´ o L. Zs.
19 / 22
Tot´alis differenci´alis hat´askeresztmetszet θ sz¨ogeloszl´asa E0 = 4eV , ~ω = 1.5eV , F0 = 2.5711 × 107 V /m
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – L´ ezer ´ altal seg´ıtett elektronsz´ or´ as nanog¨ omb¨ on
Szab´ o L. Zs.
20 / 22
Tot´alis differenci´alis hat´askeresztmetszet Sz´ort elektron energi´aja: En = E0 + n~ω E0 = 4eV , ~ω = 1.5eV , F0 = 1.0284107 V /m ´es 2.5711 × 107 V /m
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – L´ ezer ´ altal seg´ıtett elektronsz´ or´ as nanog¨ omb¨ on
Szab´ o L. Zs.
21 / 22
K¨osz¨onetnyilv´an´ıt´as
K¨osz¨on¨om a figyelmet! Szeretn´em k¨osz¨onetemet kifejezni Benedict Mih´alynak, Czirj´ak Attil´anak, F¨oldi P´eternek ´es Varr´o S´andornak.
Id˝ of¨ ugg˝ o kvantumos sz´ or´ asi folyamatok – K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as
Szab´ o L. Zs.
22 / 22
