Statisztika I. 7. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre
STATISZTIKAI INDEXEK
STATISZTIKAI INDEXEK Index: latin eredetű szó, egyszerűen mutatót
jelent A statisztikai indexszám: - komplexebb tartalmú, - többet fejez ki a viszonyszámoknál,
A viszonyszámok azt mutatják meg, hogy egy
jelenség hogyan változik időben vagy térben.
Statisztikai index: alkalmas annak kifejezésére,
hogy több, különböző fajta jelenség együttesen hogyan változik.
STATISZTIKAI INDEXEK Az indexszámok olyan összetett (komplex)
viszonyszámok, amelyek mindig több, egymással kapcsolatban levő, de különnemű, közvetlenül nem összesíthető mennyiség (jelenség) együttes, átlagos időbeli változását fejezik ki. Csak az összetett indexek tekinthetők, tényleges indexeknek. Az egyes résztényezők változását kifejező dinamikus vagy egyéb összehasonlító viszonyszámok az egyedi indexek, de csak az összetett indexszámítás keretén belül nevezhetők annak. A statisztikai indexek tehát átlag jellegű komplex viszonyszámok.
AZ INDEXEK CSOPORTJAI Abszolút számokból számított indexek: Értékindex, Árindex, Volumenindex. Viszonyszámokból számított indexek: Változó állományú index, Változatlan állományú index, Összetétel index.
Abszolút számokból számított index
a
termelés természetes mértékegységében történő számbavétele tájékoztatást nyújt arról, hogy az egyes termékek mennyisége külön-külön hogyan változott, de legtöbbször nem ad választ arra, hogy egészében, vagy a termékek bizonyos körénél együttesen, hogyan alakult a termelés. Oka: a termékek különbözősége miatt az azokra vonatkozó adatok közvetlenül nem összesíthetők.
Abszolút számokból számított index Az indexeknél azonban több jelenség többféle
termék együttes változását kell megállapítanunk (pl. ha egy vállalat különböző fajta termékeinek együttes alakulását akarjuk vizsgálni, olyan mértékegységet kell keresni, amellyel az egymástól eltérő minőségű és értékű termékek közösen kifejezhetők. Ez a közös nevező általában az egyes termékek pénzben kifejezett értéke, vagyis ára, melynek segítségével a különböző termékek egymással, vagy az előző időszakok adataival összehasonlíthatókká válnak.
Értékindex különböző
fajta, de valamilyen szempontból összetartozó termékek vagy termékcsoportok termelési értékének együttes átlagos, rendszerint időbeli alakulását kifejező összetett dinamikus viszonyszám, az értékváltozásokban a mennyiség és az árváltozás együttesen jut kifejezésre, a termelési értéket itt szélesebben értelmezzük és értékindexszel mérjük, nemcsak a termelt, hanem az eladott, értékesített, felvásárolt vagy fogyasztott mennyiségek értékének alakulását is,
Értékindex
Ié - q (quantum) - p (prix)
Σ q1 p1 = Σq0p0 mennyiség ár
Értékindex az értékindex mindig az érvényben lévő,
folyóárakon számítva fejezi ki a termelés értékének változását, mivel az értékindex a termékek mennyiségének és a termékek egységárának változását együttesen fejezi ki, ez a sajátossága lehetővé teszi, hogy belőle kiindulva az árindexet és a volumenindexet is meghatározzuk.
Az indexeket kétféle formában számíthatjuk ki a) b)
aggregát formában, átlag formában: súlyozott számtani átlaggal, súlyozott harmonikus átlaggal
Árindex a termékek bizonyos csoportja árainak együttes
átlagos időbeli változását, az árszínvonal egészének alakulását fejezi ki.
Iá 0
Σq0 p1 = vagy Σq0 p0
Σq1 p1 Iá 1 = Σq1 p0
Volumenindex a termékek meghatározott csoportjára
vonatkozóan, azok termelt vagy eladott mennyiséginek együttes átlagos időbeli változását fejezik ki.
Iv 0
Σq1 p0 = vagy Σq0 p0
Σq1 p1 Iv 1 = Σq0 p1
A vágóállat-termelés alakulása az 1992-1999-es években Magyarországon 1992
Megnevezés
Mennyiség ezer t q0
1999
Értékesítési ár, Ft/kg p0
Mennyiség ezer t q1
Értékesítési ár, Ft/kg p1
Vágómarha
261
69,8
102
201,2
Vágósertés
947
79,9
790
192,8
28
179,6
16
476,1
Vágójuh
Megnevezés
q0 p 0
q1 p 1
q0p1
q1p0
Vágómarha
18217,8
20522,4
52513,2
7119,6
Vágósertés
75665,3
152312,0
182581,6
63121,0
Vágójuh
5028,8
7617,6
13330,8
2873,6
Összesen
98911,9
180452,0
248425,6
73114,2
q p 180452 ∑ IÉ = = = 1,8244 = 182,44% ∑ q p 98911,9 q p 73114,2 ∑ IV = = = 0,7392 = 73,92% ∑ q p 98911,9 q p 180452 ∑ IV = = = 0,7264 = 72,64% ∑ q p 248425,6 1* 1
0*
0
1*
0
0*
0
0
1* 1
1
0* 1
IÁ 0
q ∑ = ∑q
IÁ 1
q ∑ = ∑q
p 248425,6 = = 2,5116 = 251,16% 98911,9 0* p0 0* 1
p 180452 = = 2,4681 = 246,81% 73114,2 1* p0 1* 1
IV = IV * IV = 0,7392 * 0,7264 = 0,7328 0
1
I Á = I Á * I Á = 2,5116 * 2,4681 = 2,4897 0
1
I É = I Á * IV = 2,4897 * 0,7328 = 1,8244 IÉ = IÁ0 * IV1= 2,5116 * 0,7264 = 1,8244
Indexsorok két időszak helyett időszakok egész sorát is
összehasonlíthatjuk
Számíthatunk:
érték-indexsorokat, volumen-indexsorokat, ár-indexsorokat. Mindhárom lehet: bázis indexsor, lánc indexsor.
Indexsorok Állandó súlyú indexsor: esetén a súlyokat az
indexsor vesszük.
minden
tagjánál
változatlannak
A változó súlyú indexsorban: az indexsor egyes
tagjainak meghatározása során más-más időszak súlyait alkalmazzuk.
A
gyakorlatban az állandó súlyú indexsorok alkalmazása terjedt el.
Alkalmazási területek Üzemgazdasági elemzésekben:
volumenindex a legjelentősebb, értékindexnek több év összehasonlításában nincs nagy jelentősége (árváltozás miatt), az árindexet nem üzemi szinten kell vizsgálni.
Alkalmazási területek Nemzetgazdasági elemzésekben:
árindex
Reálbérindex=
munkabér index fogyasztói árindex
A fogyasztás volumenindexeként tekinthető, amely azt fejezi ki, hogy a keresetért, mennyivel lehet több vagy kevesebb fogyasztási cikket vásárolni egy adott időszakban valamely bázisidőszakhoz képest.
Alkalmazási területek Nemzetgazdasági elemzésekben:
volumenindex alkalmazható a tervteljesítés mérésére
értékindex alkalmazható területi összehasonlításra
Alkalmazási területek Agrárolló= mezőgazdasági termelői árindex mezőgazdasági
Külkereskedelmi cserearány mutató =
ráfordítások
export árindex import árindex
árindexei
Viszonyszámokból vagy átlagokból számított index Több viszonyszám vagy átlag együttes változását fejezik ki. Változó állományú index vagy főátlag index, Változatlan állományú vagy részátlag index, Összetételindex.
A változatlan állományú vagy részátlag index és az összetétel index számítása az un. standardizálás módszerén alapszik.
Standardizálás alkalmazására heterogén ill. különböző összetételű sokaságok átlagos színvonalának időbeli vagy térbeli összehasonlításakor van szükség. A heterogén sokaság egészére vonatkozó átlagos színvonal alakulását két tényező befolyásolja:
a részsokaságok átlagos színvonalának változása ill. különbözősége, a részsokaságok nagyságának ill. súlyainak az aránya.
A standardizálás célja, hogy az általános színvonal mutatókban csak az egyik befolyásoló tényező hatása jelentkezzen.
Standardizálás lényege A heterogén sokaság egészére vonatkozó átlagos színvonal változását ill. különbözőségét kifejező mutatókat összetett viszonyszám formájában, a sokaságot alkotó részcsoportok átlagos színvonalát kifejező részviszonyszámok súlyozott átlagaként számítjuk ki úgy, hogy a részviszonyszámok eredeti súlyai helyett változatlan (standard) súlyokat feltételezünk.
Változó állományú index vagy főátlagindex megkapjuk, ha a heterogén és a változó összetételű sokaság tényleges átlagszínvonalának mutatóit két időszakra kiszámítjuk és a két mutatószámból dinamikus viszonyszámot számítunk Értékét befolyásolja: a csoport vagy részsokaságok színvonalának változása, a csoportok összetételének változása, ill. az összetétel eltolódása a nagyobb vagy kisebb színvonalú csoportok felé.
Változó állományú index vagy főátlagindex kiszámítása súlyozott számtani átlaggal történik
I
fő
=
Σf1 X 1 Σf1 Σf0 X 0 Σf0
Változó állományú index vagy főátlagindex az egyes sokaságok átlagszínvonal mutatóinak súlyai a tárgyidőszakban Χ 1 az egyes csoportok vagy részsokaságok átlagszínvonal mutatói a tárgyidőszakban f az egyes sokaságok átlagszínvonal 0 mutatóinak súlyai a bázisidőszakban Χ az egyes csoportok vagy részsokaságok 0 átlagszínvonal mutatói a bázisidőszakban
f1
Változatlan állományú index vagy részátlagindex
A
standardizálással kiküszöböljük az összetétel változásnak hatását. A sokaság egyes csoportjaiban mutatkozó színvonalváltozások átlagos mértékét fejezi ki. Az index a két időszakra standard összetétellel számított átlagos színvonalmutatókból képzett dinamikus viszonyszám. súlyarányok állandóságát megszabhatjuk: a tárgyidőszak alapján, a bázis időszak alapján, aggregát forma
a tárgyidőszak alapján:
Σ f1 Χ Σ f1 I változatlan = Σ f1 Χ Σ f1 a bázis időszak alapján:
I változatlan = aggregát forma:
I változatlan =
Σ f1 Χ 1 = Σ f1 Χ 0
Σ f0 Χ Σ f0 Σ f0 Χ Σ f0
1
0
1
0
Σf1 Χ1 Σf1 ⋅ Σf1 Σf1 Χ 0
Egyedi indexek alapján
Ha az egyedi indexek mellett a tárgyidőszak adatai
szerepelnek súlyként, súlyozott harmonikus átlaggal: Σ f1 Χ 1 f1 Χ 1 ∑ Χ I változatlan = 1 Χ0 Ha az egyedi indexek mellett a bázisidőszak adatai szerepelnek súlyként, súlyozott számtani átlaggal:
Χ1 Σ f0 Χ 0 Χ0 I változatlan = Σ f0 Χ 0
Összetétel index
kifejezi, hogy a vizsgált heterogén sokaság
összetételében történt változás hatása milyen mértékű volt a sokaság egészének átlagszínvonalára
Összetétel index Általában a részsokaságok bázisidőszaki mutatóit vesszük változatlannak:
I
ö 0
=
Σ f1 Χ Σ f1 Σ f0 Χ Σ f0
a tárgyidőszak alapján:
0
0
I
ö 1
Σ f1 Χ Σ f1 = Σ f0 Χ Σ f0
1
1
Összetétel index
Az összetétel megváltozása a magasabb
színvonalú csoport vagy csoportok javára történt abban az esetben, ha a változó állományú index nagyobb, mint a változatlan állományú és az összetételindex értéke a 100%-ot meghaladja
A három index közötti összefüggés
Ha a változatlan állományú index számításakor a
tárgyidőszak súlyait, és az összetételindex esetén pedig a bázisidőszak részszínvonal mutatóit vesszük változatlannak, akkor:
Változó állományú index =
változatlan állományú index * összetétel index
A három index közötti összefüggés
Σf1 Χ1 Σf1 Χ0 Σ f1 Χ 1 Σf1 Σf1 Σ f1 = * Σ f0 Χ 0 Σf1 Χ0 Σf0 Χ0 Σ f0 Σf1 Σf0
Egy vállalat dolgozóinak nettó kereseti viszonyai állománycsoportok szerint 1996 Állománycsoport Szakmunkás
fő
2000 ezer Ft/hó/fő
fő
ezer Ft/hó/fő
12
35000
13
49500
Betanított munkás
6
26800
4
38400
Adminisztrátor
2
38400
2
52400
Diplomás
3
63500
2
87600
Összesen
23
-
21
-
Megnevezés
f0 x0
f1 x1
f 0 x1
f1 x 0
Szakmunkás
420000
643500
594000
455000
Betanított munkás
160800
153600
230400
107200
Adminisztrátor
76800
104800
104800
76800
Diplomás
190500
175200
262800
127000
Összesen
848100
1077100
1192000
766000
∑f x f ∑ = ∑f x ∑f 1
Ifő
1
1
0
0
0
1077100 51290,5 21 = = = 1,3909 = 139,09% 848100 36873,9 23
∑f x f ∑ = ∑f x ∑f 0
Ivt ln 0
1
0
0
0
0
∑f x f ∑ = ∑f x ∑f 1
Ivt ln1
1
1
1
1
0
1192000 51826,1 23 = = = 1,4055 = 140,55% 848100 36873,9 23
1077100 51290,5 21 = = = 1,4061 = 140,61% 766000 36476,2 21
∑f x f ∑ = ∑f x ∑f ∑f x f ∑ = ∑f x ∑f 1
Iö 0
0
1
0
0
0
1
1
Iö 1
1
1
0
0
766000 36476,2 21 = = = 0,9892 = 98,92% 848100 36873,9 23 1077100 51290,5 21 = = = 0,9897 = 98,97% 1192000 51826,1 23
IVt ln = IVt ln * IVt ln = 1,4055 *1,4061 = 1,4058 0
1
IÖ = IÖ * IÖ = 0,9892 * 0,9897 = 0,9894 0
1
Ifő = IVt ln * I Ö = 1,4058 * 0,9894 = 1,3909 Ifő =IVtln1*IÖ0=1,4061*0,9892=1,3909=139,09%
Alkalmazási területeik
munkatermelékenység vizsgálatakor, önköltség, munkabér, térbeli összehasonlításra.