Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése Előadó: Dr. Ertsey Imre
A társadalmi - gazdasági jelenségek időbeli alakulásának törvényszerűségeit kell vizsgálni ⇒ a változás, a fejlődés tendenciáját. Ezek a tendenciák
tisztán
idősorokban
az
ritkán adatok
jelentkeznek, szabályos
szabálytalan hullámzása észlelhető.
az vagy
Az idősorok típusai: 1. Az adatok jellegét tekintve: ¾
származtatott számokból,
¾
abszolút számokból: 9 tartalom, 9 állapot
Az idősorok típusai: 2. Az időbeli alakulás iránya szerint: ¾ Növekvő ¾ Csökkenő ¾ Stagnáló ¾ Lineáris ¾ Progresszív (gyorsuló) ¾ Degresszív (lassuló)
Az idősorok adatainak összehasonlíthatósága, az elemezni kívánt idősorokkal szemben támasztott követelmények:
¾ az idősor hosszú időszakot öleljen fel. ¾ az adatok azonos tartalmúak legyenek, ¾ tényleges
becslést).
adatokkal
dolgozzunk
(kerüljük
a
Az idősorok adatainak összehasonlíthatósága, az elemezni kívánt idősorokkal szemben támasztott követelmények: Nehezíti az összehasonlítást: ¾ területi változások, ¾ szervezeti változások, ¾ ha az adatok nem az év azonos időszakára
vonatkoznak, ¾ a vizsgálat tárgyának megváltozott értelmezése, ¾ értékelési adatok összehasonlítása esetén az
árszínvonal változása, ¾ a mértékegységek változása (ECU, EURO),
Az idősorok elemzésének egyszerűbb eszközei: ¾ dinamikus viszonyszámok, ¾ grafikus ábrázolás, ¾ kronologikus átlag, ¾ mértani átlag, ¾ indexek,
¾ a változás abszolút mértéke ( az idősor
adatainak különbsége).
Az átlagos alapirányzat vagy trend meghatározása ¾ Az idősorok alakulására számos tényező hat: 9 alapirányzat vagy trend,
9 idényszerű vagy szezonális hullámzás, 9 véletlen ingadozás, 9 konjunktúra ciklus.
¾ A trend meghatározásához a többi hatást ki
kell szűrni! ¾ A trend megállapításának módszerei: 9 a valószínű trendvonal becslése, 9 mozgó átlagolás módszere, 9 a közelítő analitikus függvény meghatározása.
A mozgó átlagolás Mozgóátlagolás: az idősor adataiból láncszerűen továbbhaladó
átlagolással
újabb
idősorokat
képezünk. Az új idősor értékei a trend értékek.
y1 + y2 + y3 y2 + y3 + y4 ; 3 3 1 / 2 y1 + y2 + y3 + y4 + 1 / 2 y5 1 / 2 y2 + y3 + y4 + y5 + 1 / 2 y6 ; 4 4
Idényszerű hullámzás esetén a mozgó átlag tagszáma azonos legyen a ciklus adatainak számával. Minél nagyobb a tagszám annál jobban kiszűrjük a véletlen hatásokat. Hátránya: ¾ az idősor lerövidülése, ¾ nem ad matematikailag elemezhető trendvonalat.
A trend analitikus meghatározása ¾ az
idősor tartós irányzatát analitikusan meghatározott függvénytípussal fejezzük ki,
¾ a
valamilyen
legkisebb négyzetek elve alapján meghatározzuk az idősor adataihoz legszorosabban illeszkedő trend vonalát.
∑ (y − y )
' 2
⇒ min .
A trend analitikus meghatározása
Általában alkalmazott függvénytípusok: ¾ lineáris, ¾ exponenciális, ¾ másodfokú parabola, ¾ logisztikus.
Lineáris trend y = a + bx
∑ ∑
y = na xy
+ bΣx
= aΣx + bΣx
ha , a = b = S
y
Σx
2
= 0
∑
y
¾ Az idősor átlaga
∑ ∑
xy x 2
¾ Az
n
=
∑ (y
− y ')
n
2
időbeli
változás
átlagos abszolút mértéke ¾ Az illesztés hibája
A nyugdíjasok és járadékosok számának alakulása 1994-1998 között Magyarországon
Év
Létszám (millió fő) y
x
xy
x2
y'
y-y'
(y-y')2
1994
2,78
-2
-5,56
4
2,67
0,11
0,01
1995
2,83
-1
-2,83
1
2,83
0,00
0,00
2,98
0,13
0,02 0,03 0,04
1996
2,85
0
0,00
0
1997
2,96
1
2,96
1
3,14
0,18
1998
3,5
2
7,00
4
3,30
0,20
Összesen
14,92
1,57
10
14,92
0,10
y ∑ a= n
xy ∑ b= ∑x
2
14,92 = = 2,98 5 1,57 = = 0,16 10
y ′ = 2,98 + 0,16x
Sy =
∑ (y − y ′)
2
n
0,10 = = 0,144 5
Sy 0,144 Hr = *100 = *100 = 4,8% y 2,98
A nyugdíjasok és járadékosok számának alakulása 1994-1998 között Magyarországon 3,6
nyugdíjasok száma
millió fő
3,4
lineáris trend
3,2 3 2,8
y ' = 2,98 + 0,16 * x
2,6 2,4 2,2 2 1994
1995
1996 Évek
1997
1998
Exponenciális trend ¾ akkor alkalmazzuk, ha a vizsgált jelenség egyenletesen
gyorsulva vagy lassulva változik,
¾ a változás üteme állandó, ¾ ay
= a ⋅b
x
¾ a b együttható a fejlődés átlagos ütemét fejezi ki,
azaz egyik időszakról a másikra hány % volt átlagosan a növekedés,
¾ az a paraméter a középső kiindulási időszakban elért
színvonal (az eredeti idősor mértani átlaga).
¾ Az egyenlet logaritmussal lineárissá tehető:
Exponenciális trend ¾ log y = log a + X log b ¾ A számítást ugyanúgy végezzük, mint a lineáris
trend esetén, ¾ csak
az
y
számolunk.
log
helyett
annak
log ∑ a=
log b =
logaritmusával
y
n ∑ X ⋅ log 2 Χ ∑
y
A háztartások állampapírban történő megtakarítása Magyarországon 1987-1997 között Me.: milliárd Ft
Év
állampapírban történő megtakarítás
x
x2
log y
x * log y
1987
0,5
-5
25
-0,30
1,50
1988
1,2
-4
16
0,07
-0,31
1989
2
-3
9
0,30
-0,90
1990
5,2
-2
4
0,71
-1,43
1991
10,1
-1
1
1,00
-1,00
1992
13,2
0
0
1,12
0,00
1993
22,5
1
1
1,35
1,35
1994
40,1
2
4
1,60
3,20
1995
72,8
3
9
1,86
5,58
1996
121,2
4
16
2,08
8,33
1997
240,8
5
25
2,38
11,90
Összesen
529,6
110
12,20
28,23
Év
y’
y - y`
(y - y`)2
1987
0,7
-0,16
0,02
1988
1,2
-0,01
0,00
1989
2,2
-0,18
0,03
1990
3,9
1,25
1,57
1991
7,1
2,97
8,86
1992
12,9
0,33
0,11
1993
23,2
-0,72
0,53
1994
41,9
-1,84
3,41
1995
75,8
-2,95
8,73
1996
136,8
-15,60
243,55
1997
247,1
-6,25
39,15
Összesen
552,8
306,01
log y ∑ log a =
n
12,20 = = 1,109 11
log y * x ∑ log b = ∑x 2
a=12,86
28,23 = = 0,256 b=1,81 110
y ′ = 12,86 *1,81
x
Sy =
∑ (y − y ′)
2
n
306,01 = = 5,27 11
Sy 5,27 Hr = *100 = 10,96% *100 = y 48,145
Állampapírban történő megtakarítások 300
Milliárd forint
250 200
állampapírban történő megtakarítás
150
exponenciális trend
100 50 0 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Éve k
Parabolikus trend ¾ ha
az idősor adatai először növekednek, a
maximum elérése után csökkennek vagy fordítva, tehát a változás egy helyi szélső értékkel (maximummal vagy minimummal) írható le, akkor az adatsorhoz parabolát illesztünk. ¾ Y = a + bx + cx2
Logisztikus görbe
K y= a + bx 1+ e Három szakasza van: ¾ lassuló növekedés, ¾ gyorsuló növekedés, ¾ telítettség.
