A Y
A B A
MATEMATIKA STATISTIKA R U S (MATHEMATICAL STATISTICS) A GANGGA ANURAGA
P I N U A
K I T
S
S I T TA
Materi : • Distribusi variabel random • Teori Himpunan • Fungsi Himpunan • Fungsi Himpunan Peluang • Variabel Random • Fungsi Kepadatan Peluang • Fungsi Distribusi • Model Probabilitas • Ekspektasi Matematik
A Y
K I T
R U
S A
P I N U A
A B A
S I T Abersyarat dan kebebasan stokastik • Peluang T S
Materi : • Beberapa distribusi khusus • Distribusi binomial • Distribusi poisson • Distribusi Gamma dan Chi-square • Distribusi normal
A Y
S A
R U
A B A
P I N variabel • Distribusi Sampling dari U fungsi A • Teori pengambilan sampel K I T • Teknik fungsi pembangkit momen S I statistik • Distribusi order T A variabel random T • Transformasi S
Referensi : • • • •
A Y
A B A
• Introduction to Mathematical Statistics: Hogg and Craig.
(Recommended) Mood, A.M., Graybill,F.A. dan Boes, D.C. (1974). Introduction of the Theory of Statistics. 4th ed. Mc-Graw Hill. Tokyo. Rice, J.A. (1995). Mathematical Statistics and Data Analysis. Second Ed. Duxbury Press. Belmont, California. (Recommended) Rohatgi, V.K. (1976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. Wiley & Sons. New York. Bartoszynski, R dan Bugaj, M.N., (2008)., Probability and statistical inference. Second Ed. A John Wiley & Sons, Inc., Publication. New Jersey. (Recommended)
S A
R U
K I T
P I N U A
S
S I T TA
Evaluasi
A Y
A B A
• Nilai Tugas (30%) • Nilai UTS (20%)
P I N U A
K I T
S
S I T TA
R U
S A
• Nilai UAS (50%)
PENDAHULUAN
A Y
A B Dalam alam semesta pada dasarnya terdapat 2 aktivitas A R (percobaan). U a. Percobaan deterministik : percobaan yangS sudah pasti terjadi. A contoh : ………………… P I N / Statistik / Probabilistik : b. Percobaan Stokastik / Acak /U Random percobaan yang mempunyai sifat : A K I Semua hasil yang terjadi dapat diketahui T S I Hasil yang terjadi tidak dapat diketahui sebelum percobaan T Adilakukan. tersebut T S Matematika Statistik
Berikut adalah contoh-contoh dari percobaan random Contoh 1 : Percobaan yang dilakukan dengan melemparkan sebuah mata uang, terdapat 2 macam hasil A (angka) dan G (gambar). Jika diasumsikan bahwa mata uang tersebut dapat dilempar secara berulang-ulang maka pelemparan mata uang diatas adalah contoh dari percobaan random dengan ruang sampel { A, G}. Contoh 2 : Pelemparan dua buah dadu yang bewarna merah dan putih, Jika diasumsikan bahwa pelemparan tersebut dilakukan secara berulang-ulang. Ruang sampel terdiri dari.... Contoh 3 : Pada suatu proses produksi, pengamatan dilakukan terhadap proses produksinya. Xi menyatakan hasil produksi ke – i, i = 1,2,3,... Contoh 4 : memilih bilangan secara random pada selang 0 < X < 1
A Y
S A
R U
K I T
P I N U A
S
S I T TA
A B A
Akibat percobaan random : 1. Terdapat ruang sampel / S 2. Terdapat event (kejadian / peristiwa) A, B,C
A Y
A B A
- akibat dari (1) dan (2) muncul probabilitas suatu event / kejadian event A :
P A
n A disebut sebagai *"probabilitas klasik" n
P I N U A
* probabilitas aksiomatis
K I T
S I T TA
S
S A
R U
3. Terdapat variabel random - variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel ke bilangan real. * variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan bulat * variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan real Contoh :
A Y
R U
A B A
S A
P I Dokter mengobati 3 pasien : N U TTT TTS SST SSS A IK = TST T STS S I STT TSS T A misalkan ST X = banyaknya pasien yang sembuh, tentukan bahwa X adalah variabel random diskrit?
4. Terdapat Fungsi distribusi probabilitas
: suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat dasar / karakter dari
A Y
suatu variabel random a) fungsi distribusi probabilitas diskrit b) fungsi distribusi probabilitas kontinu Definisi : a) F disebut fungsi distribusi probabilitas diskrit untuk variabel random x jika :
f x 0
f x 1 b)
K I T
S I T TA x
R U
S A
P I N U A
A B A
F disebut fungsi distribusi probabilitas kontinu untuk variabel random x jika :
S f x 0
f x 1
5. Terdapat Ekspektasi dan Variansi
a. E x
x f x
variabel random diskrit
A Y E x x f x dx variabel random kontinu A B A R b. Var x E x E x U S 6. Terdapat fungsi pembankit momentA (MGF) P I N M t E e U A K I e fT x variabel random diskrit S I T A T S = e f x variabel random kontinu x 1
2
tx
x
tx
x 1
tx
-
A Y
R U
A B A
S
T TA
S TERIMA KASIH A P I N U A K I T S I
A Y
A B A
R U
S DISTRIBUSI VARIABEL A RANDOM GANGGA ANURAGA
K I T
P I N U A
S
S I T TA
TEORI HIMPUNAN (SET THEORY)
A Y
Jika A adalah sebuah himpunan, dan a berada didalam A, maka dikatakan a sebagai anggota dari himpunan dan biasanya ditulis a A. Sebagai contoh, A adalah himpunan bilangan riil dimana 0 x 1 atau ditulis
S A
R U
x ; 0 x 1, maka
A B A
1 adalah anggota dari A ( 1 A), tetapi 2 2 1 1 1 bukan anggota dari A 1 A . 2 2
K I T
P I N U A
S
S I T TA
BEBERAPA DEFINISI PENTING PADA TEORI HIMPUNAN
A Y
A B A
Definisi I : Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan dengan huruf besar seperti S, , dll. Definisi II : Jika S merupakan himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S
S A
R U
P I N U A
K I T
maka komplemen A ditulis A c adalah himpunan yang memuat anggota-anggota dari S tetapi tidak termuat dalam A. contoh :
S I T TA
S
S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 dan A = x ; x = 0, 1 maka komplemen A atau A c = x ; x = 2, 3, 4
Definisi III : A1 merupakan himpunan bagian dari A 2 (ditulis A1 A 2 ) jika
A Y
dan hanya jika untuk setiap x anggota A1 maka x juga merupakan anggota
A B A
dari A 2 ditulis : A1 A 2 x A1 x A 2 contoh :
S A
R U
A1 = x ; 0 x 1 , A 2 = x ; 0 x 2 , maka A1 A 2
P I N U A
Gambarkan diagram Venn-nya ? Definisi IV : Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong
A =
S I T TA
K I T
S A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat , maka A =
contoh :
Definisi V : Gabungan dua himpunan A1 dan A 2 ditulis A1 A 2 yaitu
A Y
suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A1 dan A 2 , ditulis A1 A 2 = x | x A1 atau x A 2 .
R U
A B A
Gabungan dari himpunan-himpunan A1 , A 2 , A 3 ,.....adalah A1 A 2 A 3 ......
S A
P I N A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 U A K A = x ; x = 2, 3, 4,T5I atau 5 < x 10 S I Maka A A T = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10 A T S
contoh : 1
2
1
2
Definisi VI : Irisan dari dua himpunan A1 dan A 2 ditulis A1 A 2 adalah
A Y
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari
A B A
A1 dan juga dari A 2 ditulis : A1 A 2 = x | x A1 dan x A 2
R U
Irisan dari beberapa himpunan A1 , A 2 , A3 ......adalah A1 A 2 A 3 .....
S A
P I N U A = x, y ; x, y = 0,0 , 0,1 , 1,1 A K A = x, y ; x, y T = I1,1 , 1,2 , 2,1 S I maka A A T x, y ; x, y = 1,1 A T ContohS : Contoh : 1
2
1
A1 =
2
x,y ; 0
x+y 1 , A 2 =
maka A1 A 2 ....
x,y ; 1
x+y
Definisi VII : Selisih dua himpunan A1 dan A 2 ditulis A1 -A 2 adalah
A Y
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A1
A B A
tetapi bukan anggota dari A 2 A1 -A 2 = x | x A1 dan x A 2
Contoh : A1 = x | x bilangan asli
S A
R U
P I A = x | x bilangan bulat UN A A -A = K I T S A -A = x | x Ibilangan bulat tidak positif T A T S 2
1
2
2
1
Definisi VIII : Jumlah dari dua himpunan A1 dan A 2 ditulis A1 A 2 adalah
A Y
suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A1 atau anggota A 2 tetapi tidak termuat dalam A1 A 2 .
A
1
R U
A B A
+ A 2 = x | x A1 atau x A 2 dan x A1 A 2 .
S A
Khusus untuk A1 dan A 2 yang saling lepas, maka A1 A 2 = A1 A 2 .
P I N A = x | x bilangan cacahU A K I A = x | x bilangan bulat negatif T S I maka A + A T = x | x bilangan bulat A ST
Contoh : 1
2
1
2
BEBERAPA HAL PENTING DALAM TEORI HIMPUNAN
A Y
S A
R U
K I T
P I N U A
S
S I T TA
A B A
CONTOH :
A Y
Suatu ruang sampel S = s1 ,s 2 ,s3 ,s 4 ,s5 ,s6 ,s7 ,s8 dan himpunan
A B A
A1 , A 2 , dan A3 adalah sebagai berikut : A1 s1 ,s 2 ,s3 ,
R U
A 2 s 2 ,s3 ,s 4 ,s5 , A 3 s3 ,s 4 ,s5 ,s8 .
S A
Tentukan A1c , A c2 , A3c , A1 A 2 , A1 A 3 , A 2 A 3 ,
P I A A A , A A , A NA , A A A , U A - A , A - A , A - IA ,A A - A , A - A ,A . K T S I T A T S 1 1
2
2
3
2
1
1
1
2
3
1
3
3
1
2
1
2
3
c c 1
3
SOAL LATIHAN : 1. Carilah himpunan gabungan dari A1 A 2 dan interseksi A1 A 2
A Y
dimana A1 dan A 2 adalah :
a A1 x; x 0,1, 2 , A 2 x; x 2,3, 4 b A1 x;0 x 2 , A 2 x;1 x 3
A B A
S A
R U
2. Carilah A c dari himpunan A dengan ruang sampel S sebagai berikut :
P I N U A
5 S x;0 x 1 , A = x; x 1 8
K I T
3. Buktikan bahwa A1 A 2 A1c A c2 dan A1 A 2 A1c A c2 c
c
S I T A dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan k = 1, 2, 3,..., T S A A A . Carilah lim A jika :
4. Jika A1 , A 2 , A 3 ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A k A k+1 , k
1
2
3
k
k
k
A k x;1/ k x 3 1/ k , k 1, 2,3...;
FUNGSI HIMPUNAN (SET FUNCTION)
A Y
Fungsi-fungsi di dalam kalkulus misalnya :
1 f x 5 x 2 g x, y e x y
, x
A B A
R U
, 0 x , 0 y
S A
P I 1 x 1, maka f 1 5 N U A g 1,3 e e maka 2 x 1 dan y 3,IK Tfungsi dari sebuah titik, karena Fungsi diatas disIebut S T A sebuah titik. Fungsi yang dihasilkan oleh dihasilkanTpada semua S titik pada sebuah himpunan disebut "FUNGSI HIMPUNAN". Akan mempunyai nilai untuk x yang tertentu :
1 3
2
Contoh : Untuk setiap himpunan A yang berdimensi satu, didefinisikan Q A A
A Y
x
2 1 f x dimana f x , x 0,1, 2,... 3 3 0 , lainnya
S A
R U
Jika A1 x; x 0,1, 2,3 , maka Q A1 ...?
K I T
P I N U A
S
S I T TA
A B A
Contoh : Untuk setiap himpunan A berdimensi satu, Q A f x dx A
dimana f x 6 x 1 x , 0 x 1 0
, lainnya
S A
3 1 1 jika A1 x; x , A 2 x; x 4 2 4 Tentukan Q A1 dan Q A 2 ...?
P I N U A
K I T
S
S I T TA
R U
A B A
A Y
A Y
R U
A B A
S A
S
T TA
P I N TERIMA KASIH U A K I T S I
A Y
A B A VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI R U KEPADATAN PELUANG A S P I N U A K I T S I T A T S GANGGA ANURAGA
VARIABEL RANDOM - variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang
A Y
A B * variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan A R U bulat S A * variabel random kontinu : variabelPrandom yang menjalani I N bilangan real U A K Catatan : didalam statistikI kita selalu lebih tertarik pada fungsi himpunan T S I random X dari ruang sampel peluang dari variabel T A T S sampel ke bilangan real.
FUNGSI KEPADATAN PELUANG (f.d.p) Bahwa x yang bertipe kontinu maupun diskrit dengan
A Y
peluang P( X A) ditentukan sepenuhnya oleh fungsi f x .
A B A R (f.d.p / probability density function) dari variabel random x. U S A P I N U A K I T S I T A T S
Dalam hal ini f x disebut sebagai "fungsi kepadatan peluang"
DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM Variabel Random Diskrit
A Y
f x 0 f x 1 xA
P( x A) f x
S
T TA
A IP
N U A
xA
K I T S I
A B A R U S
DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM Variabel Random Diskrit Soal X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel
A Y
A B A S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 .P( A) f x dimana R U S A 4! 1 P I f ( x) , x S. N x !(4 x)! 2 U A P(x A) ? Jika A = x ; x = 0,1 Imaka K T S I T A T S A
4
X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan x
1 ruang sampel x ; x 1, 2, 3, ...... dan f x ; x 2
A Y
A B A R U S
Jika 1 x ; x 1, 3, 5, 7,...... merupakan himpunan bagian dari ruang sampel maka tentukan P A1 .
A IP
N U A
Diketahui suatu variabel random X dengan fungsi kepadatan peluang
K I T S I x 1
9 (f.d.p) : f x c , x 1, 2,... dan 0 untuk x lainnya. 10 Tentukan nilai konstanta c.
S
T TA
Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y 1 , 52 x, y S x, y ; x, y 0,1 , 0, 2 ,..., 0,13 , 1,1 ,..., 1,13 ,..., 3,13 P A A f x, y dimana f ( x, y )
Hitunglah P A P X , Y A
x,y ; x, y 0, 4 , 1,3 , 2, 2 b). A = x,y ; x y 4, x,y S PA I
a). A =
N U A
S
T TA
K I T S I
A B A R U S
A Y
Variabel random kontinu Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan sebagai : P(A) = P(X A) =
f x
A IP
A
N U A
S
T TA
K I T S I
A B A R U S
A Y
Soal : Fungsi himpunan peluang P(A) dari variabel random X adalah : P(A) =
A
3x 2 f x dx, dimana f x 8
A IP
X x ; 0 x 2
A Y
A B A R U S
, A U xN ;1 x 2 2 A K I dari , maka tentukan adalah himpunan bagian
A1 x ; 0 x 1
2
T S P A , P A T , PI A A dan P A A . A T S 1
2
1
2
1
2
x, y ; 0 x y 1 adalah ruang sampel dari dua variabel random x dan y. Fungsi himpunan peluang adalah P A 2 dx dy A
Jika A1
x, y ; 1 2 x y 1
maka tentukan P A1 .
A IP
N Jika A x, y ; x y A 1, 0U x 1 2 K I T maka tentukan P A . S I T A T S 2
2
A B A R U S
A Y
Variabel random kontinu Soal: Dua variabel random X dan Y dengan ruang sampel A=
A Y
A x , y ;0 x y 1 . Dan fungsi himpunan peluang B A
R 1U P(A) = 2 dx dy. Tentukan A x, y S ; x y 1 PA 2 I N A. dimana A himpunan bagianU dari A Soal : K I Variabel randomIS XT mempunyai f.d.p : T 2 xA ;0 x 1 T f x S 1
A
1
0
Tentukan P(
; untuk x yang lain
1 3 1 1 x ) dan P(- x ) 2 4 2 2
A Y
S
A B A R U S A P TERIMA KASIH I N U A K I T S I T TA
A Y
A B A R FUNGSI DISTRIBUSI (CUMULATIVE DISTRIBUTION U S FUNCTION) A P I N U A K I T S I T A T S GANGGA ANURAGA
FUNGSI DISTRIBUSI (CDF)
A Y / • Suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat A dasar B A karakter dari suatu variabel random R U S • Fungsi distribusi probabilitas diskrit A P I • Fungsi distribusi probabilitas kontinu N U A K I T S I T A T S
Jika variabel random x dengan f.d.p f(x), x A Definisi :
A Y
F(x) = Pr(X x) 1) Variabel Random X diskrit F(x) =
f t t x
N U A
2) Variabel Random X Kontinu
K I ST I T Afungsi distribusi F(x) disebut T S x
F(x) =
-
f t dt
A IP
A B A R U S
Soal : x , x A 1, 2,3 1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 6 0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?
A Y
A B A R x U 0 S
1, 2. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 0, untuk x lainnya
A IP
N U A
Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?
K I T S I
1/3, x 1, 0,1 3. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 0, untuk x lainnya
T TA
Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?
S x/15, 4. Variabel Random X dengan f.d.p f(x)
x 1, 2,3, 4.5
0, untuk x lainnya Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?
Soal: k 3 ,1 x 1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) x 0, untuk x lainnya Carilah k agar memenuhi sifat f.d.p ?
A Y
A B A R U S Tentukan Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya ? A P I 3 1-x , 0 x 1 N 2. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) U A 0, untuk x lainnya K I T Tunjukkan bahwa f(x) memenuhi sifat f.d.p ? S I T TentukanA Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya ? T S 2
Soal: 0, x 0 x 1 3. Variabel Random X dengan F(x) , 0 x 1 2 , x 1 1 Hitung Pr -3 < x 1 dan Pr x 0 ? 2 , x 1 0 x 2 4. Variabel Random X dengan F(x) , 1 x 1 4 ,1 x 1 Hitung Pr 1 < x 1 , Pr x 0 , Pr x 1 , Pr 2 < x 3 ? 2 2
A Y
S
T TA
A IP
N U A
K I T S I
A B A R U S
sifat-sifat fungsi distribusi 1. F lim F x 1 x
F lim F x 0 x
2. 0 F x 1
A B A R U S
3. suatu fungsi yang tak monoton turun A
P I N x 4. F x kontinyu ke kananU setiap A K I T S I T A T S
A Y
A Y
• Distribusi binomial • Distribusi poisson
A IP
N U A
S
T TA
K I T S I
A B A R U S
A Y
• Distribusi uniform • Distribusi normal
A IP
N U A
S
T TA
K I T S I
A B A R U S
A Y
A IP
A B A R U S
N TERIMA U KASIH
A K I T
S
S I T TA
A Y
A IP
N U A
A B A R U S
K I DISTRIBUSI GABUNGAN T S I DAN MARGINAL T
A T S
GANGGA ANURAGA
DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT DISTRIBUTION FUNCTION
A Y
A B maka distribusi peluang terjadinya X danA Y R U f (x, y). secara serentak dinyatakan denganS fungsi A Fungsi f (x, y) disebut dengan Distribusi P I N Bersama / Distribusi PelU uang Gabungan / A K I Joint Distribution Function X dan Y. T S I T A T S Jika terdapat dua variabel random X dan Y,
DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRET BERDIMENSI DUA
A IP
N U A
S
T TA
K I T S I
A B A R U S
A Y
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit : 1. f x, y 0 untuk semua x, y 2. x y f x, y 1
A Y xy. 3. P X , Y A f x, y . untuk setiap daerah A diA bidang B AY. A merupakan himpunan bagian dari daerah asal X dan R U Contoh 5.1: S A Jika diketahui fungsi peluang gabunganP dari variabel random X dan Y I N adalah : U A k x y xK 1, 0,1,3 , y 1, 2,3 I f x, y T S 0, untuk x dan y yang lain I T Akonstanta k ? a. Carilah T nilai S b. Hitunglah P X = 0, Y 2 ? A
2
2
DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINYU BERDIMENSI DUA
A Y Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu A B berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilaiA R U nilai yang berupa interval. S A P I N U A K I T S I T A T S
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu : 1. f x, y 0, untuk semua x, y
2.
f x, y dx dy 1
A Y
A B 3. P x, y A f x, y dx dy A R U untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan S A himpunan bagian dari daerah asal XIdan Y. P N Contoh 5.2 : U A Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan K I variabel random X S danTY adalah : I T 1 f x, y TA x y S8
A
Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ?
DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT
A Y
Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y,
A B maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y. A R U g x f x, y S A P I h y f x, y N U A Berdasarkan contoh 5.1, tentukan distribusi peluang marginal X K I T S dan distribusi peluang marginal Y? I T A T S y
x
DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU
A Y
Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y,
A B A R U S
maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y . g x f x, y dy
A IP
y
N U A
h y f x, y dx x
K I T S I
Berdasarkan contoh 5.2, tentukan distribusi peluang marginal X dan distribusi peluang marginal Y?
S
T TA
A Y
EKSPEKTASI MATEMATIK A GANGGA ANURAGA
P I N U A
S
T TA
K I T S I
A B A R U S
Definisi :
A Y
A B A R suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga : U S A untuk variabel random kontinu P u x f x dx I N E u x U u x f xA untuk variabel random diskrit K I T S I T Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u x A T S disebut ekspektasi dari u x . Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah
x
Sifat - sifat dari ekspektasi matematik : 1. E (k) = k, k = konstanta 2. E [k u(x)] = k E[u(x)]
A IP
A Y
A B A R U S
n n 3. E k i u i (x) k i E[u i (x)] , n hingga ekspektasi bersifat linier i=1 i1
N U A
K I T Var u x Var(x) = E(x - E(x)) S I T TA untuk variabel random kontinu (x - E(x)) f x dx S = 2
2
2
(x - E(x)) 2 f x x
untuk variabel random diskrit
Contoh 1. Misal X dengan f.d.p
A B 2 1 x , 0 x 1 A f x R , untuk x yang lainnyaSU 0 A P maka E 6x + 3x ....? I N U A K I Contoh 2. T S If.d.p Misal X dengan T A T , x 1, 2,3 x / 6 S f x
A Y
2
, untuk x yang lainnya 0 maka E (x 3 ) ...?
Soal Latihan : 1. Variabel random x memiliki fungsi kepadatan peluang f.d.p f ( x)
x 2 , 2 x 4 dan 0 untuk x yang lain.
A B A R U 2. Variabel random x memiliki fungsi kepadatan peluang S A 1 P f.d.p f ( x) , x 1, 2,3, 4,5 dan 0 untuk x yang lain. I 5 N U Tentukan E ( x), E x dan A E ( x 2) . K I T 3. Variabel random xS memiliki fungsi kepadatan peluang I1 T f.d.p f ( x,T y )A , x, y 0, 0 , 0,1 , 1,1 dan 3 S
A Y
18 Tentukan E ( x) dan E ( x 2) 2 .
2
0 untuk x, y yang lain.
1 2 Tentukan E x y . 3 3
2
5. Variabel random x dan y memiliki fungsi kepadatan peluang f.d.p f ( x, y ) 2, 0 x y, 0 y 1 dan 0 untuk x, y yang lain. Didapatkan bahwa u x, y x,
A Y
A B v x, y y dan w x, y xy. A R Tunjukkan bahwa E u x, y E v x,S y U E w x, y A 6. Misalkan X merupakan variabelIrandom dengan f.d.p P N f(x) = 3x , 0 < x < 1 U A K maka tentukan E (x),I E(x ), dan Var (x). T S I Jika variabelTrandom y dengan y = 3x - 2 A T tentukan S E (y) dan Var (y) ? 2
2
A Y
A B A Fungsi Pembangkit Momen R U S (Moment Generating Function) A P I N U A K I T S I T A T S Gangga Anuraga
Diberikan variabel random X dengan fungsi distribusi probabilitas f x x , MGF dari X didefinisikan sebagai M t E etx
A Y
A B A R U S
tx Kontinu e f x tx M t E e etx f x Diskrit x Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan
A IP
N U A
distribusi sampling dari suatu variabel random.
K I t M ctIS TM t E e E e M ct T Ae M ct M t E e E e .e e M t T S
Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen M cx
M cx d
t cx
x
ct x
cx
dt
x
x
cx d
t cx d
dt
ct x
dt
x
ct
MGF dan Ekspetasi Matematik d E x M x t t 0 dt merupakan turunan pertama dari MGF dan
A IP
n d E x n n M x t t 0 , n 2,3, dt merupakan turunan ke-n dari MGF Catatan :
N U A
d Mx dt
K I T S I
T A d T St E e dt tx
t 0
A B A R U S
d tx E e t 0 t 0 dt
E xetx |t 0 E x
A Y
Soal Latihan 1. Diketahui variabel random x dengan fungsi kepadatan peluang f x e x , x 0. a) Carilah MGF M x t
A B A R c) Jika variabel random y didefinisikan sebagaiU S y 2 3 x. A - Tentukan MGF M t dan EN y IP U 2. Diketahui variabel randomA x dengan fungsi kepadatan K I 1 T peluang f x IS , x 1, 2,3..... 2 T A T a) Carilah MGF M t S
A Y
b) Tentukan E x , E x 2 dan Var x
y
x
x
b) Tentukan E x dan Var x
3. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi poisson dengan MGF M x t e
et 1
.
A Y
Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random x ?
A B A R U S
4. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi BIN n,p dengan MGF M x t pe q t
n
A IP
Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random x ?
N U A
S
T TA
K I T S I
A Y
A B A R U S
A P I DISTRIBUSI DAN EKSPEKTASI N U A BERSYARAT K I T S I GANGGA ANURAGA T A T S
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT DEFINISI :
A Y
A B A R U Sf x , x
f x1 , x2 f x2 | x1 , f1 x1 0 disebut f.d.p bersyarat f1 x1
A IP
dari x 2 bila diketahui X1 x1 , sejalan f x1 | x2
N disebut f.d.p bersyarat dari x bilaU diketahui X A K I T S I T A T S 1
2
1
2
f 2 x2
x2 .
, f
2
x2 0
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM DISKRIT
A Y
A B Jika diketahui fungsi peluang gabungan A R U dari variabel random x dan x dengan S f.d.p A sebagai berikut : P I N x x U f x ,x , x A 1, 2,3 ; x 1, 2 K 21 I T 0 IS, untuk x , x yang lain T A dahulu f.d.p marginal untuk x dan x cari terlebih T S Contoh :
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
kemudian tentukan f x1 | x2 dan f x2 | x1
2
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM KONTINU
A Y
A B Misalkan x dan x mempunyai f.d.p : A R U f x , x 2 ,0 x x 1 S A 0 , untuk yang lainIP N U cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya A K I kemudian tentukan f x | x dan f x | x T S I T A T S Contoh :
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
Ekspektasi Fungsi U(x) 1. U(x 2 ) = X 2 , maka mean dari variabel random X 2 | X1 : x2 f x2 | x1 dx2 E x2 | x1 x2 f x2 | x1 x2
A Y
A B A R diskrit U S A P I 2. Var u x | x = E x - E( x | x ) N U A K I (x E( x | x )) f x | x dx kontinu T IS = T A ( x - E( x | x )) f x | x T diskrit S kontinu
2
2
1
2
2
1
2
2
2
x2 | x1
2
1
2
1
2
2
x
2
1
2
1
2
A Y
A IP
N U A
FUNGSIIKDISTRIBUSI GABUNGAN T DAN MARGINAL S I
T TA
S
A B A R U S
GANGGA ANURAGA
FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT DISTRIBUTION FUNCTION
A Y maka distribusi peluang terjadinya X dan Y secara serentak A B dinyatakan dengan fungsi kepadatan peluang / f.d.p A f (x, y). R U Fungsi F (x, y) disebut dengan DistribusiS Bersama A /Distribusi Peluang Gabungan/Joint Distribution Function X dan Y P I N /Joint d.f . U A K I T S I T A T S Jika terdapat dua variabel random X dan Y,
FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRIT
A Y
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit : 1. f x, y 0 untuk semua x, y
A B 2. f x, y 1 A R U 3. P X , Y A f x, y . untuk setiap daerah A di bidang xy. S A A merupakan himpunan bagian dariIdaerah asal X dan Y. P N U A K I T S I T A T S x
y
A
Latihan Soal
A Y
Untuk setiap variabel random x dan y dengan nilai 0, 1, 2 dan 3. Dan peluang bersama / joint probability dari f.d.p antara variabel x dan y disajikan sebagai berikut :
A IP
N U A
A B A R U S
K I T S I
T Anilai peluang P x 2, y 1 ? T a. Tentukan S
b. Tentukan nilai peluang P 2 x 3, 0 y 2 ?
Diberikan tabel probabilitas dari f.d.p f x, y adalah sebagai berikut :
A IP
N U A
K I T S I
T A T F 1.5, 2S dan F 5, 7 .
A B A R U S
A Y
Tentukan Fungsi Distribusi gabungan / Joint d.f F 1, 2 ,
A Y
Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random X dan Y
A B k x y x 1, 0,1,3 , y 1, 2,3 A f x, y R U untuk x dan y yang S lain 0, A a. Carilah nilai konstanta k ? P I b. Hitunglah P X = 0, Y 2 ? UN A K I T S I T A T S adalah :
2
2
DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y, A maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h A y Y . B g x f x, y RA y
h y f x, y x
N U A
S
T TA
A IP
K I T S I
U S
FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINU
A Y
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinu : 1. f x, y 0, untuk semua x, y
2.
f x, y dx dy 1
A IP
3. P x, y A f x, y dx dy
N U A
A
S
T TA
K I T S I
A B A R U S
A Y
Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan variabel random X dan Y adalah :
A B A R U S
1 x y 8 Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ? f x, y
A IP
N U A
S
T TA
K I T S I
DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y, A maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y . Y A B g x f x, y dy RA y
h y f x, y dx x
N U A
S
T TA
A IP
K I T S I
U S
A Y
A B ARANDOM DISTRIBUSI FUNGSI VARIABEL R U DENGAN METODE MGFA S P I N U A K I T S I T A T S GANGGA ANURAGA
MOMENT GENERATING FUNCTIONS (MGF)
A Y • Merupakan salah satu metode yang digunakanA untuk B A dan membangun inferensi tentang parameterRpopulasi U S estimator yang mendapatkan distribusi samplingAdari P I distribusi populasinya diketahui. N U A K I T S I T A T S
SIFAT-SIFAT DARI MGF : a. jika a R maka M ax t M x at
A Y
A B b. jika variabel random X , X ,..., X saling independen A R U maka, S A P I M t M t N U A K c. jika a, b R maka : I T S M e IM at t T A T d. jika S variabel random X , X ,..., X independen identik maka : 1
2
n
1
2
n
n
n
Xi
i 1
xi
i 1
ax b
M
n
Xi i 1
tb
x
t M x t
n
Latihan Soal : Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean
A Y
dan varians 2 , maka MGF dari X addalah M x t A e Tentukan :
B A R U S
1 t t 2 2 2
a. MGF dan fungsi probabilitas variabel A random Y = X - .
P I X N b. MGF dan fungsi probabilitas variabel random W = U A K I T X- S c. MGF dan fungsi I probabilitas variabel random Z = T A T S
.
1. MGFdari distribusi Chi - Square M x t 1 2t
v 2
rata - rata v
A Y
A B 2. MGFdari distribusi Eksponensial M t 1 A t R U rata - rata S A Variance P I N U 1 A 3. MGFdari distribusi Gamma M t 1 t K I 1 t T S I rata - rata T A T Variance S Variance 2
1
x
2
x
2
Latihan Soal : Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan mean dan MGF dari X addalah M x t 1 t . 1
A Y
A 2X B A Y= . Tentukan : MGF dan fungsi probabilitas variabel random R U S A P I N U A K I T S I T A T S
A Y A
B A
MGF UNTUK VARIABEL RANDOM R U S DENGAN LEBIH DARI SATU A VARIABEL GANGGA ANURAGA
A T S
S I T
K I T
U A
P I N
Ingat kembali sifat - sifat MGF Misalkan X1 , X 2 ,..., X n variabel random independen
A Y A
dengan MGF M X i t , t R selanjutnya diberikan variabel random :
B A
Y = X1 + X 2 + ... + X n ,
R U a. Buktikan MGF dari Y adalah M M t S A IPidentik maka : b. Jika X , X ,..., X independenN dan U M M t ...M t A K I M t IST T A B n , p , i = 1, 2...., k dan X independen identik c. Jika X T S n
Y
i 1
1
Y
2
Xi
n
X
X
n
X
i
i
i
dengan MGF M Xi t pe q , dengan q = 1- p. Maka t
ni
dapatkan distribusi probabilitas Y = X1 + X 2 + ... + X n .
Misalkan X1 , X 2 ,..., X n variabel random independen berdistribusi poisson dengan parameter i , MGF M Xi t e
i et 1
A Y Diberikan pula suatu transformasi variabel randomB YA = X A R U a. Dapatkan MGF dari Y S A b. Tentukan distribusi dari Y P I N U A K I T S I T A T S n
i=1
i
.
n e d n e p e d n i m 2i o σ d ,i n μ a r N l e i s b u a b i r i r a t v i s nd X e r , b . . . , g 2n X s i , 1a X m n a g k n l i a s s a i M m 2 t 2 σi 12 + μi
t e = t
Xi
M h a l a d a . Y Xi i i r r a a d d i s F u G b i M r t . s Xi d i 1 n = n i a k u t n e T = Y n a d
A T S
S I T
R U P I N K I T
B A
S A U A
A Y A
︶
︵
: s u s u h k s u s a k s u s a K 2
σ = 2 σi n a d μ = μi a k i j i
*
Y 2 a σ k n a , m μ n X N = : * Xi Y 1m n = i o = d n Y a r a l k e a b m i a r a 2 σ v , n μ a k N r i : e b Xi i u d t a i a k i y j i i : i s u b i r t s i d r e b
n / 2 σ , μ N
T IS T A T S
A IK
A Y A B A R U S A P I N U
A Y
A IP
A B A R U S
DISTRIBUSI SAMPLING N DAN
U A 2
DISTRIBUSI XIK dan S
T S I T TA
GANGGA ANURAGA
S
PENGANTAR
A Y
A B (mengestimasi) suatu parameter populasi yang tidak diketahui A R dengan menggunakan sampel yang diambil dari U populasi tersebut. S A • Hasil estimasi dinamakan estimator dari parameter tersebut. P I N • Inferensi dari estimator, memerlukan distribusi dari estimator. U A • Estimator didapat dari proses pengambilan sampel, maka distribusi K I T sebagai distribusi sampling suatu yang diperoleh Idinamakan S T parameter.A T S • Distribusi sampling suatu estimator merupakan fungsi dari suatu • Inferensi statistika pada dasarnya adalah proses menduga
sampel X1 , X2 , ..., Xp
PENGANTAR
A Y
Jika diberikan suatu parameter populasi θ Ω,
A B maka estimator dari ditulis , dapat dinyatakan sebagai fungsi A R dari X , X , X , , X yaitu : U S X , X , X , , X X , X , XA , ,X P I dengan menyatakan fungsi dari N X ,X ,X , ,X . U A Oleh karena itu, distribusiKdari estimator sangat tergantung dari I T distribusi populasinya. S I T A T S 1
2
1
3
2
n
3
n
1
2
1
3
2
n
3
n
DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL
A Y
A B populasi berdistribusi F x, maka dapat diharapkan estimator A R diperoleh dari kombinasi linier sampel randomU X ,X ,X , ,X : S A X , X , X , , X P I a X a X a X aUXN dengan a R , i 1, 2, IK , nA . T S I T A T S Misalkan X 1 , X 2 , X 3 ,
, X n sampel random yang diambil dari
1
1
1
1
2
2
i
3
2
i
n
3
3
n
n
2
3
n
DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL
A IP
N U A
K I T S ii Jika a a TIa a 1, maka A T S X X X X 1
2
1
2
n
3
A Y
A B A R U S
Beberapa kejadian khusus yang penting dari kombinasi linier diatas adalah : 1 i Jika a a a a , maka 1 2 3 n n X1 X 2 X 3 X n n X (rata - rata sampel) n
3
n
X i (kombinasi linier dengan koefisien - koefisien satu) i1
Misalkan X 1 , X 2 , X 3 ,
A Y
, X n sampel random independen
A B mean dan , i 1, 2, , n. A R Berdasarkan suatu metode didapat estimatorU : S A X , X , X , , X P I N a X a X a X U a X ,a R A K dan I T S X X TXI X A T S distribusi sampling dari estimator dan . Tentukan yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan 2 i
1
1
2
1
2
3
2
n
3
3
n
n
i
*
1
2
3
n
*
A Y
A B yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan A R mean dan , i 1, 2, , n. U S A Dapatkan distribusi dari variabel random W P I N a. W X X 2 U X X X KA X I b.W T n S I T X X 2 A c. W T S n Misalkan X 1 , X 2 , X 3 , 2 i
, X n sampel random independen
2
i
1
1
2
1
2
1
2
2
3
3
n
Misalkan X 1 , X 2 , X 3 ,
A B A R U S
, X n sampel random yang diambil
dari populasi berdistribusi normal standar n
a. Tentukan MGF dari U ai X i , i 1
A IP
A Y
N U b. Tentukan syarat untuk a A agar U berdistribusi normal standar K I T S I T A T S kemudian dapatkan mean dan variansinya. i
A Y
A IP
A B A R U S
N DISTRIBUSI SAMPLING POPULASI U A K GAMA DANTCHI-KUADRAT I S I T TA
GANGGA ANURAGA
S
• Dalam beberapa kasus mungkin tidak ditemui bahwa asumsi populasi berdistribusi normal. • Mungkin saja populasi yang diselidiki berdistribusi agak menceng, misal Gama dan Chi-Kuadrat. MGF : Distibusi Chi - Kuadrat
A Y
M x t 1 2t
v 2
K I T 1 S I
N U A
Distribusi Gama
M x t 1 t Distribusi Eksponensial
T TA
S
M x t 1 t
1
A IP
A B A R U S
SOAL : Dapatkan distribusi probabilitas dari kombinasi linier Y X1 X 2
Xn
A B A R U S
A Y
Jika X i masing - masing berdistribusi Gama, Eksponensial, dan Chi - Kuadrat.
N U A
A IP
S
T TA
K I T S I
A Y
A B 1 A M t E e e f x dx e e R dx 2 U S A 1 1 2t e dxIP N 1 2t 2 U A 1 K 1 TI 1 2t S I T 1 1 1 1 2t ,A , T 1 2t 1 2t S jika X~N(0,1) maka X ~ 2
2 1
tx 2
tx 2
x2
tx 2
2
2
maka X 2 ~ 12
x2 1 2 t 2
1 x2 2
SOAL a. Jika Yi ~ 2vi , i 1, 2, V = Yi ~ 2 n vi i 1 i 1
A IP
N U A
A B A R U S
, n independen, buktikan
n
A Y
b. Jika diketahui variabel - variabel random saling independen
K I T Tentukan distribusi Z=X+Y S I T A c. Misalkan diberikan variabel random U ~ T S dan V U Z ~ . X ~ m2 dan Y ~ n2 , m > n
2 m
2 mn
Tentukan distribusi dari variabel random W = V - U ?
Misalkan X 1 , X 2 ,..., X n ~ N , n
(i)
Xi
n X
2
~ 21
S
T TA
A IP
N U A
2
K I T S I
A Y
. Buktikan bahwa A B
~ 2n
2
i=1
(i)
2
2
A R U S
A Y
A IP
N U A
S
T TA
K I T S I
A B A R U S
DISTRIBUSI t, F GANGGA ANURAGA
PENGANTAR
Distribusi sampling yang sangat penting peranannya dalam A inferensi statistika, khususnya distribusi sampling yang Y A B diperoleh dari populasi berdistribusi normal, yaitu A R distribusi t (Student t), dan F (Snedecor’sUF). S Distribusi t diperoleh dari ratio A antara dua variabel P I random independen yang berdistribusi normal standar N U dan chi-kuadrat. A K I Distribusi F diperoleh dari ratio dua variabel random T S I independen yang T masing-masing berdistribusi chi-kuadrat.
A T S
Distribusi Student t
A Y
Beberapa pengertian berikut, yang berkaitan dengan distribusi t :
i jika variabel random X ~ N , 2 maka variabel random Z
X
~ N 0,1
A B A R U S
ii jika Z ~ N 0,1 maka W = Z 2 ~ 21 A P I N indepeden identik berdistribusi 21 iii jika Z1 , Z 2 ,..., Z n variabel random U
A K I T
maka variabel random :
S I T TA n
W Z i ~ 2n *
S
i 1
Tiga pernyataan diatas menjadi landasan dasar dari pembentukan distribusi sampling t dan F.
A Y
Teorema :
Jika X variabel random yang berdistribusi N(0,1) dan A
B A independen Y variabel random berdistribusi , X dan Y saling R U S maka variabel random : A P I N X U T ~ t A Y K I T k IS T A T S 2 k
k
Misalkan X 1 , X 2 ,
N , 2 dan Y1 , Y2 ,
, X n variabel random independen berdistribusi
A Y
A B A R U SX
, Yn variabel random independen berdistribusi
N , 2 .
A IP
a. Tentukan distribusi probabilitas dari Z
N U Y b. Tentukan distribusi probabilitas dari W A K / n I T S Z I T c. TentukanAdistribusi probabilitas dari U W T S
Distribusi F
A Yrandom berkaitan dengan pembentukan distribusi F. Jika variabel A B X ~ dan Y ~ . X dan Y independen maka A variabel random : R U S X /n F ~ F n, m A P Y /m I N U A K I T S I T A T S Berikut diberikan komponen - komponen variabel random yang 2 n
2 m
Teorema : 2 n -1 S 2 , X n berdistribusi N , 2 maka ~ 2 n 1
jika X 1 , X 2 ,
A Y
n 1 S 2 ~ 2 2 n 1
A B A X X X R X X X n U X S A n X I P n 1 1 X X n 1 N U n X A n 1 1 K I S , dengan S X X T n 1 S I Misalkan : T V V V TA S
Bukti :
2
2
n
n
i
i
2
i 1
2
n
2
i 1
2
i
2
i 1
2
2
n
2
i 1
2
i
2
2
n
2
2
1
2
n
V1 i 1
2
2
2
i
i 1
3
Xi 2
2
~ 2n , V2
n 1
2
Untuk selanjutnya gunakan MGF
S 2 , V3
n X
2
2
~ 21
A Y
Contoh :
A B berdistribusi N , , X dan Y saling independen.A R U a. Tentukan distribusi dari : S A P n -1 S dan n -1 S I N U A S 1 K I b. Tentukan distribusi dari F = dengan S X X T S n 1 S I T A 1 T dan SS Y Y n 1 Misalkan X 1 , X 2 ,
, X n dan Y1 , Y2 ,
, Yn variabel random independen
2
2 X
2 Y
2
2
2 X 2 Y
n
2 Y
i 1
2
i
n
2 X
i 1
i
2
Diberikan sampel random X 1 , X 2 , N ,
2
. Dapatkan :
, X n berdistribusi
a. Distribusi dari X
A IP
X X b. Distribusi dari : dan / n / n
2
A Y
A B A R U S
N U A K I n X T c. Distribusi dariI:S F , dengan S S T A T S 2
2
2
1 n Xi X n 1 i 1
2
