Speltheorie in Wiskunde D Een uitdagende toepassing binnen de wiskunde

Speltheorie in Wiskunde D Een uitdagende toepassing binnen de wiskunde

Juli 2007 Door: Arjan Zaal Universiteit Utrecht Begeleider: Michiel Doorman Freudenthal Instituut

Voorwoord Deze scriptie is geschreven door Arjan Zaal als onderdeel van de master Science Teacher Education. In september 2006 heb ik mijn bachelor Wiskunde met een minor Econometrie behaald aan de Universiteit Utrecht (en deels aan de Vrije Universiteit Amsterdam). Hieruit blijkt mijn passie voor onderwerpen waarin wiskunde en economie met elkaar verbonden zijn. Zo is ook de speltheorie een specialiteit die zowel in de wetenschap van de wiskunde als ook in de wetenschap van de economie grondig is bestudeerd. Speltheorie is historisch gezien een vrij nieuwe discipline waarin nog veel onderzoek wordt verricht. Ook binnen het onderwijs heeft de afgelopen decennia de speltheorie zich sterk ontwikkeld. De speltheorie heeft vooral wereldwijd bekendheid gekregen vanaf het moment dat Nash zijn Nobelprijs won op dit gebied. Tot op heden wordt de theorie van de speltheorie vooral bestudeerd aan de universiteiten, terwijl het in het voortgezet onderwijs ook zeker niet zal misstaan hier aandacht aan te besteden. Op dit moment zijn er dan ook ontwikkelingen gaande binnen de economie en wiskunde om de speltheorie zijn intreden te laten doen op dit niveau. Gezien de ontwikkeling van de wiskunde in het voortgezet onderwijs, waarin vanaf september 2007 Wiskunde D zal worden geïntroduceerd, is het een uitgelezen mogelijkheid om de speltheorie hier aan bod te laten komen. Mijn onderzoek heb ik uitgevoerd aan het Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education (FIsme) dat zich ten doel stelt de kwaliteit van het onderwijs in rekenen, wiskunde en natuurwetenschappen te verbeteren. Mijn scriptiebegeleider is Michiel Doorman, die mij met veel plezier en energie heeft geholpen en gestuurd en hiervoor spreek ik uiteraard mijn grote dank aan uit.

2

Inhoudsopgave Hoofstuk

Pagina

1 1.1 1.2 1.3

Inleiding Doel onderzoek Fasebeschrijving onderzoek Opbouw scriptie

5 5 5 7

2 2.1

9 9 9 10 11

2.4

Literatuuronderzoek Plaats binnen onderwijs en criteria 2.1.1 Wiskunde D 2.1.1.1 Handreiking schoolexamen Wiskunde D havo en vwo 2.1.1.2 Examenprogramma wiskunde D (havo en vwo) 2.1.1.3 Criteria waaraan materiaal voor wiskunde D zo veel als mogelijk moeten voldoen 2.1.2 Overlapping met Wiskunde C 2.1.3 Overlapping met economie Ontwerpen studiemateriaal 2.2.1 Realistic Mathematics Eduction, The foundation for Mathematics in Context Inhoud Speltheorie 2.3.1 Microeconomic Theory 2.3.2 Speltheorie (deel 1 en deel 2) 2.3.3 Microeconomics 2.3.4 Spelen en delen 2.3.5 Prisoners Dilemma 2.3.6 Vraagstukken 2.3.6.1 Vraagstukken SLO 2.3.6.2 Vraagstukken op de internetsite www.econometrie.nl 2.3.6.3 Vraagstukken op de internetsite www.speltheorie.nl 2.3.7 Speltheorie en toepassingen 2.3.8 Boekbespreking Spelen en delen Doelgroep

3 3.1 3.2 3.3 3.4

Interviews Interview Prof. Dr. J.J. Siegers Interview Prof. dr. ir. E.J. Balder Interview Dr. A.V. Gnedin Interview Herbert Hamers

27 27 28 29 29

4 4.1 4.2 4.3

Ontwerp studiemateriaal Inhoud Opgaven Opbouw 4.3.1 Structuur 4.3.2 Opbouw van de inhoud Didactische elementen Lay-out Evaluaties 4.6.1 Interne evaluaties Freudenthal Instituut 4.6.2 Experiment testpersoon

30 30 40 44 44 44 45 45 46 46 53

2.2 2.3

4.4 4.5 4.6

12 13 13 14 14 15 16 18 20 22 24 24 24 25 25 25 26 26

3

4.7

Docentenhandleiding

56

5 5.1 5.2 5.3

5.5

Experiment Voorbereiding Methodologie Observatie lessenserie 5.3.1 Klas Erik Schmall 5.3.2 Klas Marianne Raaijmaakers 5.3.3 Klas Jos Mertens Resultaten ingeleverde opgaven 5.4.1 Opgave 2(a2) 5.4.2 Opgave 7(a,b en e) 5.4.3 Opgave 15 (a en b) 5.4.4 Opgave 18 5.4.5 Opgave 23 5.4.6 Opgave 25 5.4.7 Opgave 32 Enquête leerlingen

57 57 57 59 60 63 63 64 64 64 65 65 65 66 66 66

6. 6.1 6.2 6.3 6.4

Conclusie Conclusies lesobservaties Conclusies inleveropgaven Conclusie enquête Eindconclusie

68 68 71 72 72

7

Literatuurlijst

73

8

Discussie en aanbeveling

76

5.4

4

1

Inleiding

1.1

Doel onderzoek

Vanaf 2007 zal op de middelbare school een nieuwe verdeling plaatsvinden binnen de wiskundevakken in het Voortgezet Onderwijs. Het nieuwe vak Wiskunde D zal dan ook van start gaan. Wiskunde D moet zorgen voor zowel een verdieping als een verbreding van Wiskunde B en is daarmee bedoeld voor de leerling die enthousiast tegenover de wiskunde staat en wellicht de intentie heeft om zich hier in het Hoger Onderwijs verder in te ontwikkelen. Speltheorie is een vakgebied waarin toegepaste wiskunde aan bod komt en dat komt dan vooral tot uiting in de systematische manier om problemen aan te pakken en het gebruik van notaties bij het beschrijven van de theorie. Om deze twee belangrijke elementen (de systematisch probleemaanpak en het gebruik van wiskundige notaties) uit de speltheorie over te brengen op de leerling heb ik voor dit onderzoek lesmateriaal ontwikkeld 1. Dit materiaal valt binnen het domein Keuzeonderwerpen, is geschreven voor 5 vwo-leerlingen en zal 40 studielasturen beslaan. Dit gezegd hebbende komen we tot de volgende onderzoeksvraag: Is het ontworpen lesmateriaal voor speltheorie geschikt om gebruikt te worden binnen Wiskunde D? Om antwoord te kunnen geven op deze onderzoeksvraag richt het onderzoek zich op de volgende drie deelvragen: 1. 2. 3.

1.2

Is het lesmateriaal van het juiste niveau en sluit het daarmee aan op de doelstellingen van Wiskunde D? Zorgt het lesmateriaal ervoor dat de leerling beter in staat is om op een systematische manier problemen op te lossen? Zorgt het lesmateriaal ervoor dat de leerling beter in staat is om met wiskundige notaties om te gaan? Fasebeschrijving onderzoek

Om tot deze scriptie te komen is een waar traject afgelegd waarin naast de onderzoeksvraag ook het leerproces centraal heeft gestaan. Gezien het belang van fases die doorlopen zijn, alsmede om een overzicht te geven van de bewandelde wegen tijdens het onderzoek volgt hier een fasebeschrijving waarin chronologisch wordt weergegeven hoe deze scriptie vorm is gegeven: 1.

1

Bij het zoeken naar een geschikt onderwerp voor mijn scriptie heb ik overlegt met Joke Daemen waar mijn interesses liggen. Hieruit kwam naar voren dat ik graag onderzoek wilde doen naar iets dat te maken heeft met de populariteit van de bètavakken in het onderwijs. Het is veel in het nieuws geweest de afgelopen jaren dat de bètavakken in populariteit verliezen wat zorgt voor een daling in het aantal studenten die een technische studie volgen. Dit heeft weer tot gevolg dat er een tekort is op de arbeidsmarkt aan mensen met een achtergrond in de bètawetenschappen. Aangezien dit thema nogal breed is en niet zo concreet vorm te geven is heeft Joke Daemen contact opgenomen met Pauline Vos, op dat moment coördinator Wiskunde D. Wiskunde D, zo

Zie bijlage

5

2. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

werd mij uitgelegd, zou een nieuw vak worden binnen de wiskunde in het voortgezet onderwijs en er op gericht zijn om leerlingen meer te stimuleren bezig te zijn met wiskunde en de aansluiting op het Hoger onderwijs moeten verbeteren. Gezien de ontwikkelingen voor Wiskunde D zou hier ruimte zijn om hier een steentje aan bij te dragen. Uiteindelijk was het niet Pauline Vos, maar Michiel Doorman die er zin in had om tijd te steken in het begeleiden van mij en mijn studiegenoot Rogier Kok. Aangezien het niet makkelijk was een stageplek te vinden is er besloten om één stagebegeleider te zoeken voor mij én Rogier Kok. In een eerste bijeenkomst met Michiel en Rogier werd besproken wat de mogelijkheden waren om onderzoek in te doen (niet alleen binnen Wiskunde D). In eerste instantie zullen Rogier en ik samen hetzelfde traject volgen om eventueel later onze eigen weg te gaan. We kregen na de eerste kennismaking materiaal mee naar huis om te bestuderen en te bekijken waar we ons mee bezig wilden gaan houden. Rogier en ik besluiten ons te richten op Wiskunde D en we leggen de focus op de leerling en niet op de docent die natuurlijk ook goed moet worden voorbereid op de ontwikkelingen in het onderwijs. Nu waren er nog twee opties open: namelijk in de eerste plaats het evalueren en verbeteren van bestaand lesmateriaal dat nog niet volledig is getest en in de tweede plaats is er de optie om zelf materiaal te ontwikkelen. Om beide opties open te houden wordt besloten om ons vooral te verdiepen in het onderwerp Dynamische Modellen en deels ook in het onderwerp Analytische meetkunde. Door het lesmateriaal te analyseren en kritisch te bekijken zullen we meer bewust raken van het proces dat nodig is om lesmateriaal te maken en daarnaast raken we bekend met de eisen die gesteld worden aan materiaal voor Wiskunde D. Door ook te observeren tijdens een les over Dynamische Modellen en een les over Analytische Meetkunde krijgen we ook een beter beeld van de doelgroep en het niveau van de leerlingen. Ook houden we een kleine enquête onder de leerlingen om een resultaat te boeken. Zowel de vragenlijst als het resultaat en enige conclusies zijn te vinden op onze website: www.fi.uu.nl/~arjanz/home.htm Na deze oriënterende fase hebben we besloten om ons te richten op het ontwerpen van nieuw studiemateriaal. Al snel waren we het ermee eens dat we allebei een eigen onderwerp zouden kiezen. Na eerst nog getwijfeld te hebben over getaltheorie heb ik gekozen voor het onderwerp speltheorie en Rogier voor statistiek. Nu was het nodig om te bepalen hoe het lesmateriaal ontwikkeld moet worden. Het was duidelijk dat er naar twee elementen moest worden gekeken, namelijk hoe je degelijk lesmateriaal maakt en wat de inhoud moet worden van het materiaal. Hiervoor moet een literatuuronderzoek gedaan worden. Er is literatuur bestudeerd waarin onderzoek is gedaan naar de opbouw van lesmateriaal en deze literatuur kwam voor een groot deel overeen met de visie het FIsme heeft met betrekking tot het ontwikkelen van lesmateriaal. Daarnaast zijn boeken, hand-outs en teksten bestudeerd waarin de theorie van de speltheorie wordt behandeld. Ook moest worden bestudeerd wat Wiskunde D precies inhoudt, wat de doelstellingen zijn voor het vak Wiskunde D en welke eisen er worden gesteld voor nieuw te ontwikkelen studiemateriaal. Aangezien één van de doelstellingen voor Wiskunde D is om de leerling eerder kennis te laten maken met het Hoger Onderwijs heb ik contact gezocht met een aantal docenten van verschillende universiteiten en verschillende faculteiten. Hiervoor heb ik van de Universiteit Utrecht van de faculteit Economie contact gezocht met Dr. Siegers, van de faculeit Wiskunde met Dr. A. Gnedin en Prof. Dr. E.J. Balder en van de Universiteit Tilburg van de faculteit Econometrie met dhr. H. Hamers. Aangezien er ook nog een overlapping is met economie heb ik ook contact gehad met Eric Welp, docent Economie en leerplanontwikkelaar bij de SLO. Na al mijn bevindingen uit het literatuuronderzoek, de interviews en de mailings heb ik een eerste versie gemaakt van het lesmateriaal. 6

10.

20. 21.

Tussendoor zijn er enkele evaluaties geweest samen met Michiel en ook met Pauline Vos. Nadat deze evaluaties waren verwerkt heb ik een leerling uit 6 VWO van het Junior College Utrecht gevraagd om in een paar uur mijn materiaal door te nemen om vanuit het leerlingperspectief een eerste feedback te krijgen. Uit een laatste interne evaluatie binnen het FIsme met ervaren lesmateriaal ontwikkelaars zijn de laatste aanpassingen gedaan om het materiaal gebruiksklaar te maken voor een groter experiment in de klas. Voor het experiment in de klas uitgetest kon worden moest ook nog een docentenhandleiding worden geschreven waarin beschreven staat wat de opzet is van het materiaal, waar extra aandacht aan moet worden gegeven en een voorbeeld van een lessenserie waarin staat hoeveel tijd aan de stof dient te worden besteed. Ook moest voor het experiment worden bedacht op welke manier er de resultaten het beste verkregen kunnen worden om antwoord te krijgen op de onderzoeksvragen Er moest enige moeite worden gedaan om een school te vinden die bereid was om mijn materiaal te testen. De school waar ik eerder in het jaar stage had gelopen, het Goois Lyceum in Bussum, was uiteindelijk bereid om het materiaal te testen in drie klassen in 4 vwo. Eerst ben ik voor het experiment begon naar de school gegaan om met de betrokken docenten te praten over de opzet van het experiment en om te overleggen wat hun ideeën hierover waren. Aangezien ik niet bij alle lessen aanwezig kon zijn werd er besproken wanneer ik in welke lessen zou gaan observeren. Gekozen was om op de dinsdagen en woensdagen bij de lessen aanwezig te zijn, te evalueren met de docent en eventueel vragen van de docent en leerlingen over de stof te beantwoorden. Ook waren de leerlingen in de mogelijkheid om mij te mailen met vragen over de stof. Aangezien afgesproken was dat de leerlingen alle opgaven in moesten leveren heb ik enkele keren het huiswerk van de leerlingen na moeten kijken en daarnaast niet alleen in de klas geobserveerd maar heb ik ook vragen aan de leerlingen gesteld over de stof om te achterhalen hoe zij erover dachten. Als afsluiting van het experiment heb ik de leerlingen een vragenlijst in laten vullen. Tijdens en na het experiment moest het huiswerk met daarin alle gemaakte opgaven worden geanalyseerd. Daarbij was het ondoenlijk om naar alle opgaven te kijken en dus heb ik besloten te focussen op bepaalde belangrijke opgaven waar het beste conclusies uit te trekken zijn. Ook de enquêtes moeten worden bestudeerd om uit deze resultaten conclusies te kunnen trekken. In een overleg met Rogier en Michiel is een schets gegeven hoe het scriptie vormgegeven moet worden. Uiteraard zijn daar vrijheden in, maar dit gesprek was ook om een duidelijk beeld te schetsen wat er mag worden verwacht. Tot slot moet alles tot deze scriptie leiden. Om het vervolgens te bespreken met Michiel Voor september zal van deze scriptie een artikel worden geschreven voor de wiskrant.

1.3

Opbouw scriptie

11.

12.

13. 14.

15.

16. 17.

18. 19.

Deze scriptie legt de nadruk op twee elementen van het onderzoek. In de eerste plaats is dat het ontwerp van het studiemateriaal en ten tweede is dat het experiment dat is gedaan met dit materiaal. In dit eerste hoofdstuk is duidelijk gemaakt wat het doel is van deze scriptie en hoe het tot deze scriptie heeft kunnen komen. Het tweede hoofdstuk beschrijft het literatuuronderzoek op 4 gebieden, namelijk: 1. de plaats die het materiaal heeft binnen het onderwijs en de criteria die worden gesteld aan het studiemateriaal 2. het ontwerpen van studiemateriaal 7

3. de inhoud van speltheorie 4. de doelgroep Het derde hoofdstuk bevat interview die gehouden zijn met een aantal doctoren en professoren met betrekking tot de inhoud van speltheorie en de aansluiting op het WO. Het vierde hoofdstuk beschrijft uitvoerig de het ontwerp van het studiemateriaal en verantwoord de gemaakte keuzes. Het vijfde hoofdstuk beschrijft het experiment dat is uitgevoerd. Tot slot volgen de conclusies op dit onderzoek en een discussie.

8

2

Literatuuronderzoek

Als basis voor het studiemateriaal dient uiteraard het literatuuronderzoek. Het literatuuronderzoek geeft antwoord op vragen als: 1. Wat zijn belangrijke onderwerpen en begrippen in de speltheorie? 2. Welke onderwerpen en begrippen zijn meer van wiskundige aard? 3. Welke onderwerpen dienen als verbreding van Wiskunde B? 4. Welke onderwerpen dienen als verdieping van Wiskunde B? 5. Wat zijn moeilijke en wat zijn de makkelijke onderwerpen in de speltheorie? 6. Wat zijn klassieke problemen in de speltheorie? 7. Op welke manier is de inhoud opgebouwd? In welke volgorde komen onderwerpen en begrippen aan bod? 8. Welke onderwerpen en begrippen is voorkennis vereist? 9. Welke manier van het gebruikt van notaties is gebruikelijk? 10. Wat is het nut van de notaties? Wanneer zijn notaties noodzakelijk? Wanneer kunnen notaties worden voorkomen? 11. Welke voorbeelden en opgaven zijn interessant voor de beoogde doelgroep? Wat zijn pakkende voorbeelden? 12. Wat is het niveau in het wetenschappelijk onderwijs? 13. Hoe groot is het verschil in niveau vergeleken met het voortgezet onderwijs? 14. Op welke manier worden er vragen gesteld over de stof? 15. Hoe kun je variatie brengen in het stellen van vragen? Deze vragen zullen, sommige direct en anderen indirect, beantwoord worden in de uitleg over de inhoud van het materiaal, de gebruikte voorbeelden en de opgaven 2.1

Plaats binnen onderwijs en criteria

Speltheorie is een breed onderwerp dat zijn toepassingen heeft binnen vooral de economie, maar ook bijvoorbeeld in de biologie en psychologie. De speltheorie kan op een wiskundige maar ook op een omschrijvende manier worden behandeld. Gezien het doel van deze scriptie is, om goed materiaal voor Wiskunde D te schrijven, literatuuronderzoek gedaan naar documenten die het doel en de visie van Wiskunde D duidelijk maken. Hiervoor is gekeken naar de handreiking schoolexamen Wiskunde D havo en vwo. Tevens is bestudeerd wat er verwacht mag worden van de leerling die Wiskunde D volgt zoals dat omschreven is in het examenprogramma’s voor de havo en vwo. De doelgroep van het materiaal zijn 5 vwoleerlingen en daarom ligt de focus in eerste instantie op de inhoud die betrekking heeft op het vwo. Echter moet er in het achterhoofd gehouden worden dat dit een eerste experiment is voor speltheorie binnen de Wiskunde D, dus is er breder gekeken dan alleen het vwo om achteraf ook eventueel conclusies te kunnen trekken die betrekking hebben op speltheorie binnen Wiskunde D in de havo. Gezien het brede karakter van speltheorie en het feit dat een toepassing in de economie voor de hand ligt is er ook een blik geworpen op de criteria die worden gesteld binnen de sectie economie aan het onderwerp speltheorie. Omdat het (logisch) redeneren een van de vaardigheden betreft die de leerling door de speltheorie geoogd te ontwikkelen is er ook met een schuin oog gekeken naar een document dat betrekking heeft op de discipline redeneren binnen Wiskunde C. 2.1.1 Wiskunde D De gebruikte bronnen voor de verdieping in de Wiskunde D komen van de website van cTWO: www.ctwo.nl. De documentatie die zijn bestudeerd zijn de volgende: 1. Handreiking schoolexamen Wiskunde D havo en vwo 9

2. 3. 4. 2.1.1.1

Examenprogramma havo Examenprogramma vwo Criteria waaraan materiaal voor wiskunde D zo veel als mogelijk moeten voldoen Handreiking schoolexamen Wiskunde D havo en vwo

Wat is wiskunde D? Wiskunde D is een vak dat met ingang van het schooljaar 2007-2008 als profielvak aangeboden kan worden door de scholen aan leerlingen die wiskunde B als examenvak hebben gekozen. Niet alle scholen zijn verplicht om wiskunde D aan te bieden en het vak kan daarom ook niet als vereiste eis worden gesteld bij aanmelding aan de hogeschool of universiteit. Het vak dient te worden afgesloten met een schoolexamen. Wiskunde D is een nieuw vak, dat als doelstelling heeft voor verdieping en verbreding in de wiskunde te zorgen voor leerlingen die wiskunde B volgen en het moet gelegenheid bieden voor samenwerking met hogescholen en universiteiten. Het idee is dat de leerling die wiskunde D volgt voldoende wiskundige kennis (van concepten, procedures en wanneer die toe te passen) heeft of opbouwt om zelfstandig meerdere stappen bij de oplossing van complexere problemen te kunnen zetten. Het vak is bedoeld voor leerlingen die overwegen door te stromen naar een exacte opleiding waarin wiskunde een rol speelt. Door de verdieping en verbreding op wiskundig gebied wordt verwacht dat leerlingen die wiskunde D hebben gevolgd minder problemen hebben met de aansluiting bij exacte opleidingen. Inhoud wiskunde D Het programma van wiskunde D heeft een omvang van 320 slu voor het havo en 440 slu voor het vwo. Deze studielasturen zijn verdeeld over een aantal domeinen zoals in de onderstaande tabel is weergegeven: Domeinen wiskunde D havo Domein A Vaardigheden Domein B Kansrekening en statistiek Domein C Toegepaste analyse 2 Domein D Ruimtemeetkunde 2 Domein E Wiskunde in technologie Domein F Keuzeonderwerpen

Domeinen wiskunde D vwo Domein A Vaardigheden Domein B Kansrekening en statistiek Domein C Dynamische modellen 1 Domein D Meetkunde Domein E Complexe getallen Domein F Dynamische modellen 2 Domein G Wiskunde in wetenschap Domein H Keuzeonderwerpen

In het examenprogramma is 40 slu gereserveerd voor een of meerdere keuzeonderwerpen. Dit geeft scholen, docenten en leerlingen de mogelijkheid een eigen invulling aan wiskunde D te geven. De onderwerpen kunnen ter verdieping aansluiten bij de vaste domeinen, maar kunnen ook voor verbreding zorgen vanuit nieuwe en actuele perspectieven, ook in andere exacte vakken. De onderwerpen kunnen, indien de school daarvoor kiest, voor elke kandidaat verschillend zijn. In domein A “Vaardigheden” zijn er ogenschijnlijk geen verschillen tussen havo en vwo. Toch zal er binnen dit domein differentiatie tussen havo- en vwo-leerlingen moeten worden aangebracht. Verschillende vaardigheden zullen op het vwo op een hoger niveau moeten worden beheerst dan op het havo. Bovendien wordt bij de havo meer de nadruk gelegd op de technologische component en bij het vwo ligt de nadruk meer op bèta-onderzoek als context. Van vwo-leerlingen wordt meer verwacht op het gebied van formeel redeneren en bewijzen. Zowel voor het havo als het vwo kan wiskunde D een goede voorbereiding vormen op de wiskundige denktrant die in het hoger onderwijs wordt toegepast. 10

Reflectie is een belangrijk vormt een belangrijk onderdeel. Reflectie kan gestimuleerd worden door het stellen van gerichte vragen of door leerlingen schriftelijk te laten rapporteren. Het kost tijd om het aan te leren en zoals eerder opgemerkt heeft het slechts dan kans van slagen als de leerling nut en noodzaak er van inziet. Meer mogelijkheden binnen wiskunde D Docenten hebben bij wiskunde D meer dan bij andere wiskundeprogramma’s ruimte om keuzes te maken bijvoorbeeld op de volgende aspecten: • de specifieke inhoud van het onderwijsaanbod; • wel of niet aansluiting bij het context-concept model: uitgaan van een niet-wiskundige context en van daaruit de begrippen leren of beginnen met de begrippen en al of niet een niet-wiskundige toepassing laten bestuderen; • de gehanteerde werkvormen: frontaal, groepswerk, mate van zelfstandig werken; • leermiddelen: boeken, internet, GR, computersoftware. Aangezien wiskunde D wordt afgesloten met een schoolexamen heeft de docent meer vrijheid dan in de andere wiskunde- examenprogramma’s. Wiskunde D biedt ook de uitgelezen mogelijkheid om meer vakoverschrijdend te zijn en het is daarom aan te bevelen om, voor zover dat mogelijk is, met de gekozen leermiddelen voor wiskunde en andere vakken een zodanige volgorde te bepalen dat bij wiskunde D wiskundige begrippen geïntroduceerd kunnen worden die in programma's van andere vakken voorkomen. Tegelijkertijd bieden andere programma's contexten, waarop bij wiskunde D kan worden aangesloten en voortgebouwd. Ook is het zo dat wiskundige concepten veelal in andere bètavakken aan bod komen zonder dat leerlingen het verband zien. Omgekeerd komen in de wiskundeles contexten uit andere bètavakken aan de orde. Door de vaak afwijkende notatie en terminologie worden deze door leerlingen niet herkend. Beide situaties zijn verwarrend voor de leerlingen. Leerlingen zijn niet in staat zich zelfstandig een samenhangend beeld van de natuurwetenschappelijke vakken te vormen. Afstemming is belangrijk op het gebied van inhoud, vaardigheden en tijdsplanning. Het aanpakken van één centraal thema vanuit meerdere vakken in de vorm van projectonderwijs is een van de mogelijkheden. Leerlingen kunnen zo beter zicht krijgen op samenhang tussen kennis en vaardigheden die nu ondergebracht zijn in verschillende vakken. 2.1.1.2

Examenprogramma wiskunde D (havo en vwo)

Aangezien deze scriptie specifiek gericht is op het ontwerpen van materiaal voor het domein keuzeonderwerpen2 zal ik niet ingaan op andere domeinen die zijn opgenomen in het examenprogramma. Voor het onderwerp keuzeonderwerpen zijn geen richtlijnen bepaald wat de scholen de nodige ruimte biedt voor eigen inbreng, interesse en creativiteit. Wel dient er rekening te worden gehouden met domein A waarin de vaardigheden worden beschreven. Deze vaardigheden hebben betrekking op alle domeinen en een uitwerking van deze vaardigheden is te vinden in de bijlage. De belangrijkste vaardigheden die betrekking kunnen hebben op het studiemateriaal speltheorie zijn de volgende: 1. De kandidaat kan doelgericht informatie zoeken, beoordelen, selecteren en verwerken. 2. De kandidaat kan met gegevens van wiskundige en natuurwetenschappelijke aard consistente redeneringen opzetten van zowel inductief als deductief karakter. 3. De kandidaat kan een beargumenteerd oordeel over een situatie in de natuur of een technische toepassing geven, en daarin onderscheid maken tussen wetenschappelijke argumenten en persoonlijke uitgangspunten. 2

Voor de domeinbeschrijvingen zie 2.3.1

11

4.

De kandidaat kan correcte vakspecifieke taal en terminologie interpreteren en produceren, inclusief formuletaal, conventies en notaties. 5. De kandidaat kan een oplossingsstrategie kiezen, deze correct toepassen en gevonden oplossingen controleren op wiskundige juistheid. 2.1.1.3

Criteria waaraan materiaal voor wiskunde D zo veel als mogelijk moeten voldoen

In de bijlage zijn alle criteria opgenomen. De volgende criteria zijn het meest in het oog springend: Aspecten Thema

Criterium aansprekend voor doelgroep: havo en/of vwo; niet alleen voor de beste leerlingen uit NT maar voor álle leerlingen die Wiskunde B volgen is inhoudelijk verdiepend en/of verbredend ten opzichte van het examenprogramma Wiskunde B Uitwerking ontwikkeling in samenwerking tussen VO en HO of bedrijfsleven havo: HBO en overwegend MKB vwo: WO, bedrijfsleven en wetenschappelijke onderzoeksinstellingen context - concept: de contexten zijn ontleend uit de wetenschappelijke, technologische en maatschappelijke praktijk. havo: past verworven kennis en inzichten toe bij ontwikkeling van product of dienst. vwo: past verworven inzichten toe tijdens onderzoek. Leerlingenmateriaal geschikt voor doelgroep qua onderwerp, niveau, taalgebruik, opmaak enthousiasmerend en uitdagend, spreekt leerlingen aan op kennis, interesse en niveau van hun leeftijd Docentenmateriaal omvat: • Beschrijving concepten, vaardigheden en/of competenties die leerlingen nodig heeft voor het domein, • beschrijving concepten, vaardigheden en/of competenties die leerlingen met het domein geacht worden te verwerven • leerplan, toelichting werkvormen, benodigde middelen, aanwijzingen voor begeleiding, bronnen • aanwijzingen voor doorstroomrelevantie

Aandachtspunten

omvat bij voorkeur ook: achtergrondinformatie, alternatieve opdrachten, alternatieve werkvormen

12

2.1.2 Overlapping met Wiskunde C In het artikel Een oriëntatie op het onderwerp Redeneren schrijft Michiel Doorman over de rol van het onderwerp “logisch redeneren” binnen Wiskunde C. Hij refereert uit een Wiskunde C rapport (1998): “Logisch redeneren, of zelfs gewoon redeneren en argumenteren lijkt een bedreigende discipline te worden voor de gewone burger: de maatschappij lijkt steeds meer te vervlakken. In het voorgaande is reeds duidelijk geworden dat ‘rederenen’ een centrale plaats moet hebben binnen een wiskunde curriculum, en zeker ook voor studenten die het profiel Cultuur en Maatschappij kiezen.” Doorman haalt als oriëntatie op het onderwerp verschillende onderwerpen aan die passen binnen het onderwerp ‘redeneren’ waaronder: cirkelredenering, geldige redenering, argumenten, aanname, paradox en definitie, stelling en bewijs. Doorman benoemt als optie om deze onderwerpen aan bod te laten komen om “een wiskundig onderwerp nader te bekijken, maar dan strenger vanuit dit redeneer-perspectief”. Hij gaat verder niet in op de optie om hiervoor het onderwerp speltheorie te gebruiken, maar wellicht biedt het mogelijkheden. 2.1.3 Overlapping met economie Gezien het onderwerp bestaat er de mogelijkheid om speltheorie naast in het vak Wiskunde als vakoverschrijdend ook te behandelen in het vak Economie. In Domein F van het examenprogramma voor Economie worden eisen gesteld aan de leerling wat betreft het onderwerp samenwerken en onderhandelen waarin speltheorie een onderdeel is. De belangrijkste vaardigheden die betrekking hebben op speltheorie zijn3: Samenwerken: • aantonen dat sprake is van een gevangenendilemma en dit rekenkundig onderbouwen; • uitleggen waarom in een gevangenendilemma individuele of collectieve belangen worden geschaad; • verklaren dat herhaling van een spel invloed heeft op de uitkomsten; • met voorbeelden uitleggen dat het herhaaldelijk treffen van dezelfde spelers kan leiden tot meerdere evenwichtsuitkomsten; • uitleggen dat verschillen in sociale normen oorzaak kunnen zijn van meerdere evenwichtsuitkomsten en de gevolgen daarvan op het afsluiten van contracten verklaren; Onderhandelen: • uitleggen welke samenwerkingsdilemma’s ontstaan bij onderhandelingen als het gaat om de verdeling van het surplus en bepalen wat de consequenties zijn die hieruit voortvloeien voor beide partijen; Prijzenoorlog De kandidaat kan op markten voor goederen en diensten het gevangenendilemma analyseren in een situatie waar producenten door middel van omvangrijke en aanhoudende prijsverlagingen proberen marktaandeel te winnen ten koste van hun concurrenten. Cao-onderhandelingen De kandidaat kan analyseren welke rol collectieve dwang en zelfbinding spelen bij het collectieve overleg over arbeidsvoorwaarden tussen (vertegenwoordigers van) werkgevers en werknemers. 3

De gehele beschrijving van domein F: Samenwerken en onderhandelen is te vinden in de bijlage

13

Europese integratie De kandidaat kan met betrekking tot de gemeenschappelijke Europese markt (EU) analyseren dat het gevangenendilemma een rol speelt in transacties tussen lidstaten van de EU. 2.2

Ontwerpen studiemateriaal

Deze scriptie is geschreven op het Freudenthal Instituut en daarom is voor het bestuderen van literatuur voor het ontwikkelen van nieuw studiemateriaal gekeken naar een document waarin de visie van het Freudenthal instituut goed tot uitdrukking komt. In het document Realistic Mathematics Education, met als ondertitel The foundation for Mathematics in Context wordt naast de visie van het Freudenthal Instituut met betrekking op het ontwikkelen van studiemateriaal ook besproken welke fases er doorlopen zijn in het onderzoek dat in het document beschreven staat is gekomen. Dit kan bruikbaar zijn bij het opzetten van het eigen onderzoek en het ontwikkelen van het studiemateriaal. 2.2.1 Realistic Mathematics Eduction, The foundation for Mathematics in Context Dit document is geschreven door David C. Webb en Margaret R. Meyer naar aanleiding van het Mathematics in Context leerplan-project dat is opgestart in 1991 door het National Science Foundation voor het ontwikkelen van een uitvoerig wiskundig leerplan voor de leeftijdsklasse 10-14 jaar (groep 7 en 8 (PO) en klas 1 en 2 (VO)). Het onderzoek heeft zes jaar gekost en heeft de volgende stappen doorlopen: 1) Een internationale adviescommissie heeft een ontwerp voorbereid als gids voor het ontwikkelen van het materiaal 2) Het FI heeft een beginconcept ontworpen van individuele eenheden gebaseerd op het ontwerp van de adviescommissie. Onderzoekers van de universiteit van Wisconsin heeft het ontwerp bruikaar gemaakt voor studenten. 3) Een pilot-versie van de individuele eenheden zijn getest op een school in Wisconsin. 4) Een nieuwe versie is ontworpen op basis van de bevindingen uit de eerste test 5) De nieuwe versie is getest in verschillende staten en Puarto Rico. 6) Evaluaties op deze test zijn gebruikt om het uiteindelijke boek aan te passen voor commerciële publicatie. De beginselen voor het ontwerpen van Mathematics in Context komen voort uit Realistic Mathematics Education (RME). RME is een theorie waarin een bepaalde visie op de wiskunde staat beschreven, hoe leerlingen wiskunde leren en hoe wiskunde onderwezen moet te worden. Studenten worden hierin gezien als her-uitvinders, waarbij de leraar de leerlingen begeleidt en de leerlingen bewust maakt van het mathematiseren van de werkelijkheid en de leerlingen aanmoedigt om te reflecteren op het proces. Klassikale discussies spelen hierin een belangrijke rol. Het eerste principe van RME betreft het startpunt. Het startpunt van een leerproces moet beginnen bij een realistische situatie waarin leerlingen verband kunnen leggen met de wiskundige activiteit. Met behulp van experimenten/ voorbeelden kunnen delen van de wiskunde duidelijke worden voor de leerling. Het tweede principe van RME zegt dat het beginpunt ook rechtvaardig dient te zijn als we kijken naar het uiteindelijk bedoelde eindstadium van het leerproces. Het beginpunt zal moeten functioneren als een voorbeeld die een grote verbeelding bevat en, dus, de vergrotende abstracte activiteit van de leerling bevestigd. 14

Het derde principe van RME is dat realistische fenomenen waarin wiskundige structuur en concepten een rol spelen leiden tot tussenliggende verbanden tussen verschillende onderwerpen en ook met andere disciplines zoals bijvoorbeeld biologie, natuurkunde en sociologie. Het vierde principe van RME is dat de educatieve opbouw activiteiten moet bevatten waarin leerlingen modellen ontdekken en creëren van hun informele wiskundige activiteiten. Voor een leerling is een model eerst gevormd als een context-specifiek model van een bepaalde situatie, daarna wordt het model gegeneraliseerd over bepaalde situaties. De ontwikkeling van manieren om problemen te symboliseren en de overgang van informeel naar formele notaties zijn belangrijke aspecten van de selectie van context-problemen, de relatie tussen contexten en de educatieve aannames. Een belangrijke uitdaging in het ontwikkelen van lesmateriaal zit `m in het maken van een verzameling van problemen en het organiseren van deze problemen op een structurele manier die de leerlingen aangaan zo dat ze elk domein wordt ontdekt en ruimte biedt voor groei in wat geleerd moet worden. 2.3

Inhoud Speltheorie

Voor het inhoudelijk bestuderen van de speltheorie zijn meerdere studiematerialen bestudeerd. Aangezien wiskunde D is bedoeld voor leerlingen die overwegen door te stromen naar een exacte opleiding waarin wiskunde een rol speelt is het belangrijk dat juist dát studiemateriaal moet worden bestudeerd dat in het hoger onderwijs wordt gebruikt. Gekozen is om te kijken naar het volgende studiemateriaal4: • Microeconomic Theory • Speltheorie deel 1 en deel 2 • Microeconomics Aangezien het studiemateriaal dat gebruikt wordt op de universiteiten niet bedoeld is voor de beoogde doelgroep die wiskunde D volgt is ook gekeken naar de volgende studiematerialen: • Spelen en delen • Prisoners Dilemma Voor inspiratie voor de vraagstukken zijn naast de vraagstukken in het al genoemde bovenstaande materiaal de volgende bronnen bestudeerd: • Vraagstukken ontworpen door Eric Welp, leerplanontwikkelaar bij SLO (op gebied van economie) • Vraagstukken op de internetsite www.econometrie.nl • Vraagstukken op de internetsite www.speltheorie.nl Naast de studiematerialen is ook gekeken naar het volgende documenten: • Speltheorie en toepassingen • Boekbespreking Spelen en delen. Wat betreft het studiemateriaal is er gekeken naar: • De inhoud: o structuur 4

Voor de volledige bronvermelding zie de literatuurlijst aan het einde van deze scriptie

15

•

• •

o begrippen o opbouw, niveau en diepgang o opgaven o vereiste voorkennis De stijl: o Taalgebruik o volgorde van theorie, voorbeelden en opgaven o balans tussen theorie voorbeelden en opgaven De presentatie/ lay-out Bijzonderheden

Wat betreft het materiaal om geïnspireerd te raken voor de vraagstukken is gekeken naar de manier waarop de vragen worden gesteld, wat het niveau is van de vraagstukken, de variatie en andere bijzonderheden. Bij de bestudering van de boekbespreking van Spelen en delen is gekeken naar positieve punten behouden moeten worden in het materiaal en welke kritiekpunten gebruikt kunnen worden om het materiaal beter geschikt te maken voor de doelgroep. In de subparagrafen die nu volgen zijn de analyses van de bestudeerde literatuur te vinden. 2.3.1 Microeconomic Theory Dit boek wordt gebruikt bij meerdere vakken op de faculteit Econometrie aan de Vrije Universiteit Amsterdam. De hoofdstukken 7, 8 en 9 beslaat de theorie over speltheorie (pagina 217-301). • De inhoud: o structuur: - Hoofdstuk 7: Basic Elements of Noncooperative Games i. Definitie spel ii. Extensieve vorm iii. Strategieën iv. Normale vorm - Hoofdstuk 8: Simultaneous-Move Games i. Introductie ii. Dominante en gedomineerde strategieën iii. Rationele strategieën iv. Nash-evenwicht v. Incomplete informatie - Hoofdstuk 9: Dynamic Games i. Backward induction ii. Subgames o begrippen: De belangrijkste begrippen die aan bod komen zijn: spel, extensieve vorm, spelboom, beslispunt, perfect recall, perfecte informatie, common knowledge, strategie, normale vorm, (strikt) dominante strategie, gedomineerde strategie, minimax-strategie, gemixte strategieën, best-respons, rationele strategieën, Nashevenwicht, backward induction o opbouw, niveau en diepgang Het onderwerp speltheorie wordt ingeleid met een aantal voorbeelden. In eerste instantie zijn dat drie voorbeelden en aan de hand van deze voorbeelden wordt 16

•

duidelijk gemaakt uit welke elementen een spel bestaat. Afgezien van de inleidende paragraaf wordt steeds de volgende opzet aangehouden: i. Inleidende theorie ii. Definities en stellingen iii. Verdiepende theorie iv. Voorbeeld Het gebruik van de voorbeelden is heel secuur gekozen. De voorbeelden uit de inleidende paragraaf komen steeds terug bij nieuwe theorie. Het voordeel hiervan is dat de lezer het probleem al kent en ziet dat hetzelfde spel op verschillende manieren weergegeven kan worden, dat er meer informatie uit te halen is en dat het spel uitgebreid kan worden. Op deze manier wordt het voor de lezer duidelijk dat het in eerste instantie op een versimpeld voorbeeld gaat. Dit zorgt voor het besef dat we met een model te maken hebben waarin soms aannames gedaan zijn en gedaan moeten worden (zoals het geval is bij perfecte informatie). Elke keer als een voorbeeld weer wordt aangehaald komen er nieuwe begrippen en definities aan bod. Ook worden er nieuwe voorbeelden geïntroduceerd, zoals het geval is bij hoofdstuk 8 als het gevangenendilemma wordt behandeld, een voorbeeld dat eerder nog niet van toepassing was. De theorie heeft een behoorlijke diepgang en is heel uitgebreid in definities, stellingen en bewijzen. Dit uit zich vooral in de manier waarop er om wordt gegaan met notaties. Definities en bewijzen bevatten veel notaties en worden in een verdiepende tekst ook in woorden omschreven. De kracht van notaties komt goed naar voren doordat met behulp van de notaties op een overzichtelijke concrete manier de theorie wordt besproken. Door het gebruik van de notaties zijn duidelijk verbanden te zien en kunnen problemen verder worden uitgewerkt. De voorbeelden maken veel duidelijk en leggen een goede brug naar de theorie. Het niveau is duidelijk hoog en bedoeld voor universitaire studenten. o opgaven De opgaven staan aan het einde van elk hoofdstuk. Bij elke opgave staat dat het bij een bepaalde paragraaf hoort. De opgaven leggen een behoorlijke nadruk op de theorie en wil duidelijk voor nog meer diepgang zorgen. De opgaven met daarin een voorbeeld van een spel worden allemaal in tekst omschreven en gaan behoorlijk diep. Het komt ook voor dat er opgaven in de tekst staan. In de opgaven aan het einde van het hoofdstuk wordt verwezen naar de opgaven in de tekst. De vragen worden zo gesteld dat de student kennis van begrippen en definities moet hebben om de vragen te kunnen beantwoorden. Naast het toepassen van de theorie wordt er ook gevraagd om bewijzen te geven van een stelling. o vereiste voorkennis: i. Functie van meer variabelen ii. Kansrekening iii. Notatiegebruik iv. Nutsfuncties v. Ongelijkheden vi. Prooiroofdier-modellen vii. Spelboom De stijl: o Taalgebruik Het boek is in het Engels. Het is op een wetenschappelijke manier geschreven, waarmee wordt bedoeld dat het formeel overkomt en op een volwassen manier is geschreven. o volgorde van theorie, voorbeelden en opgaven 17

•

•

i. Inleidende theorie ii. Definities en stellingen iii. Verdiepende theorie iv. Voorbeeld o balans tussen theorie voorbeelden en opgaven Vooral in het begin van de hoofdstukken komen relatief veel voorbeelden voor. In de rest van de hoofdstukken worden voorbeelden gebruikt nadat een samenhangend geheel van theorie en notaties is behandeld. Ten opzichte van hele wiskundige boeken komen er relatief veel voorbeelden in voor. De voorbeelden zijn goed gekozen en hebben een toegevoegde waarde op de theorie. De presentatie/ lay-out: Bij definities, stellingen, lemma’s en dergelijke springt de tekst naar links uit de tekst. Erboven en eronder is er een witregel. Ze staan in hetzelfde lettertype en de woorden als “definitie” en “stelling” zijn dikgedrukt en doorgenummerd. Gedefinieerde begrippen zijn schuin gedrukt. Bij het gebruik van figuren wordt er rechts in de kantlijn een nummer met uitleg gegeven. Titels van een paragraaf zijn in een groter lettertype, maar niet dikgedrukt. Voorbeelden zijn niet heel duidelijk, ze staan in de tekst van de theorie, maar worden wel aangegeven met de dikgedrukte tekst “Example”. Paragrafen beginnen niet op een nieuwe pagina. De opgaven zijn in een aparte paragraaf aan het einde van het hoofdstuk te vinden. Tussen de opgaven is een witregel en zijn genummerd per paragraaf (de nummering loopt dus niet door over meerdere paragrafen). Alles is in zwart-wit gedrukt. Bijzonderheden: Geen.

2.3.2 Speltheorie (deel 1 en deel 2) Het dictaat Speltheorie bestaat uit twee delen en wordt gebruikt bij het vak Speltheorie op de faculteit Wiskunde aan de Universiteit Utrecht. Deel 1 is getiteld als Soft deel en deel 2 als Hard deel. Hiermee geeft de auteur aan dat in deel 1 vrij open zonder al te veel formaliteiten over de speltheorie wordt gesproken en in deel 2 worden de problemen wiskundig rigoureuzer aangepakt. • De inhoud: o structuur: Deel 1 - Hoofdstuk 1: Over speltheorie i. Wat is speltheorie? ii. Basisnotaties en basiselementen iii. Voorbeelden spelen iv. Rationaliteit en intelligentie v. Speltyperingen vi. Oplossingsconcepten vii. Nim- en hexspel viii. Historie van speltheorie - Hoofdstuk 2: Spelen in strategische vorm i. Strategie ii. Begrippenlijst iii. Verbanden iv. Antagonistische spelen - Hoofdtuk 3: Spelen in uitgebreide vorm 18

i. Strategie ii. Deelspel iii. Normaliseren iv. Terugwaartse inductie v. Eindig combinatorische spelen vi. Eindig strikt competatieve spelen - Hoofdstuk 4: Spelen in karakteristieke functievorm i. Karakteristieke vorm ii. Begrippenlijst - Hoofdstuk 5: Oligopolies i. Monopoliespel ii. Cournot-oligoliespel iii. Van oligopolie naar monopolie en volledige concurrentie iv. Von-Stackelberg-duopoliepspel v. Prijsleiderschal-duopoliespel Deel 2 Beslaat zelfde inhoud maar op wiskundig rigoureuzere en theoretischer manier uitgewerkt. o begrippen: De belangrijkste begrippen die aan bod komen zijn: speltheorie, spelers, uitbetaling, rationaliteit, intelligentie, algemene bekendheid, volkomen en volledige informatie, dynamica, (strikt) dominante strategie, nash-evenwicht, strategieverzameling, minimax-strategie, maximin-strategie, normale vorm, karakteristieke vorm, terugwaartse inductie, monopoliespel, Cournotoligoliespel, volledige concurrentie, Von-Stackelberg-duopoliepspel, Prijsleiderschal-duopoliespel o opbouw, niveau en diepgang De schrijver heeft ervoor gekozen om twee delen uit te geven die op elkaar aansluiten, maar deels ook overlappen. Het eerste deel wordt het “softe” deel genoemd en het tweede deel het “harde” deel. Deze delen worden zo genoemd omdat in het eerste deel zonder al te veel wiskundige definities en notaties de speltheorie wordt beschreven. Deze wiskundige definities, notaties inclusief stellingen en bewijzen komen in het tweede deel aan bod. Er wordt eerst een uitgebreide introductie gegeven over speltheorie. Deze introductie wordt gevolgd door een waslijst aan voorbeelden waar de spelregels van worden uitgelegd, ze worden nog niet gekoppeld aan theorie. Verschillen tussen de spelen worden aan de hand van verschillende eigenschappen van de spelen uitgewerkt. Wat volgt is een oplossingsconcept om te bepalen hoe een spel strategisch gespeeld moet worden. Hoofdstuk 1 bevat heel veel tekst en uitleg, maar is niet heel concreet in wat de kernbegrippen zijn. Ook in de andere hoofdstukken van deel 1 is veel tekst te vinden. Hoofdstuk twee geeft een begrippenlijst zonder dat er nog duidelijk is in welke context deze begrippen gebruikt zullen worden. Na de begrippenlijst volgen de verbanden tussen de begrippen en dit is een grote brok informatie in één keer. Deel twee beslaat dezelfde inhoud als deel 1 maar bestaat louter uit definities, proposities, stellingen en bewijzen. o opgaven De opgaven zijn te vinden aan het einde van elk hoofdstuk. Er wordt niet gerefereerd op welk deel uit het hoofdstuk het vraagstuk betrekking heeft. De opgaven zijn doorgenummerd door alle hoofdstukken heen. De vragen in deel 1 zijn er veelal op gericht om de begrippen goed onder de knie te krijgen. Naast de vragen die de begrippen duidelijk maken zijn er ook verdiepende opgaven bij die bepaalde verbanden tussen begrippen aangeven. In deel 1 zijn de opgaven nog 19

•

•

•

niet van een hoog niveau. In deel 2 ligt het niveau beduidend hoger en worden er meer verdiepende vragen gesteld, waaronder het geven van bewijzen. o vereiste voorkennis: i. stukje verzamelingleer ii. matrices Opmerking: het eerste deel vereist beduidend minder voorkennis en er is hier weinig voorkennis op wiskundig gebied vereist. Deel twee vereist meer kennis en voor de vaardigheid om beweringen en stellingen te bewijzen. De stijl: o Taalgebruik Het dictaat is in het Nederlands geschreven. Het eerste deel is luchtig en met veel bewoordingen geschreven. Het tweede deel is veel formeler opgesteld. o volgorde van theorie, voorbeelden en opgaven Alleen in het eerste hoofdstuk worden voorbeelden gegeven van speltheoretische spelen. In de theorie in dit hoofdstuk wordt er nog wel een koppeling gemaakt met begrippen en de spelen. In het vervolg van de hoofdstukken komen geen voorbeelden voor, slechts theorie. De opgaven staan aan het einde van elk hoofdstuk. o balans tussen theorie voorbeelden en opgaven De balans is nogal onevenwichtig aangezien er alleen in het begin voorbeelden worden gegeven en later wordt er geen gebruik gemaakt van voorbeelden. De opgaven zijn niet gekoppeld aan specifieke delen uit het hoofdstuk. De presentatie/ lay-out: Het boekwerk is gebonden in dictaat-vorm, dat wil zeggen met zachte kaft op A4 formaat. Begrippen worden schuingedrukt weergegeven en stellingen zijn omkaderd met een zwart lijntje. Nieuwe paragrafen beginnen niet op een nieuwe pagina en zijn in een groter lettertype in het vet gedrukt. Bijzonderheden: Er wordt veelvuldig gebruik gemaakt van voetnoten.

2.3.3 Microeconomics Dit boek wordt gebruikt bij het vak Micro-economie op de faculteit Economie aan de Universiteit Utrecht. Het boek is opgebouwd in vier delen waarbij in deel drie (Market structure and Competitive Strategy) een stuk speltheorie wordt gesproken. Dit derde deel bestaat uit de hoofdstukken 10 tot en met 15 (pagina 337-576). De hoofdstukken hebben betrekking op de economische markten, waaronder de theorie over monopolie, oligopolie en monopolistische concurrentie. Hoofdstuk 13 is genaamd Game Theory and Competitive Strategy en vormt het belangrijkste gedeelte dat betrekking heeft op de speltheorie. Het literatuuronderzoek heeft zich daarom op dit hoofdstuk gericht. • De inhoud: o structuur i. Introductie speltheorie: was is een spel ii. Uitbetalingen iii. Strategie iv. Niet-coöperatieve versus coöperatieve speltheorie v. Dominante strategieën vi. Evenwichtsituaties vii. Nash-evenwicht viii. Maximinstrategieën ix. Verwachte uitbetaling 20

•

x. Gevangenendilemma xi. Gemengde strategieën xii. Herhaalde spelen xiii. Dynamische spelen xiv. Extensieve vorm xv. Strategieposities en onderhandelingen xvi. Veilingen xvii. Samenvatting o begrippen De belangrijkste begrippen die aan bod komen zijn: spelen, uitbetalingen, strategie, optimale strategie, (non-)coöperatieve speltheorie, dominante strategie, Nash-evenwicht, Cournot-evenwicht, maximin-strategie, gevangenendilemma, gemengde strategieën, herhaalde spelen, dynamische spelen, extensieve vorm. o opbouw, niveau en diepgang Het boek is duidelijk bedoeld voor economiestudenten en begint met een inleiding en daarin de uitleg van het spel en is gefocust op de uitbetalingen. Het gaat in op het doel van het spelen van een strategie. Er wordt gelijk in de eerste paragraaf onderscheid gemaakt tussen coöperatieve speltheorie en nietcoöperatieve speltheorie. De theorie is gericht op het spelen van strategieën en het vinden van evenwichten. De theorie gaat gepaard met het toepassen in voorbeelden. Sommige voorbeelden zijn geïntegreerd in de tekst met theorie, andere voorbeelden zijn verder uitgebreid uitgewerkt en staan los van de tekst. Er wordt veel gebruik gemaakt van bi-matrices om de theorie te ondersteunen met voorbeelden. De voorbeelden zijn allen van economische aard en dienen ervoor om de begrippen duidelijk te maken. Er wordt geen aandacht besteed aan notaties en er komen geen stellingen en bewijzen voor. Het geheel is toepassingsgericht en beschrijft met de toepassingen vooral de speltheorie in de breedte en gaat niet de diepte in. o opgaven De opgaven die aan het einde van het hoofdstuk worden gegeven gaan niet de diepte in, maar toetsen vooral of de strategiemethoden en begrippen begrepen zijn. Alle voorbeelden zijn van economische aard en zijn praktisch en op kennis gericht, niet op inzicht. De opgaven worden in het boek per hoofdstuk opnieuw genummerd en geven geen verwijzing naar de tekst waar de theorie gevonden kan worden die gebruikt kan worden bij de opgave. o vereiste voorkennis i. basiskennis economische markten (producenten- en consumententheorie, vraag en aanbod op de markt) Opmerking: deze basiskennis is elders in het boek te vinden en waar dit het geval is wordt er ook nog naar verwezen door een opmerking in de kantlijn. De stijl: o Taalgebruik Het boek is geschreven in het Engels. Het is luchtig en uitgebreid geschreven. Er komen veel lange lappen tekst in voor. Het geheel is een goed lopend verhaal dat makkelijk wegleest. o volgorde van theorie, voorbeelden en opgaven Na het gebruik van een nieuw begrip wordt aan de hand van een voorbeeld uitgelegd wat er met het begrip wordt bedoeld. In de kantlijn is het begrip gedefinieerd. Door de gehele tekst komen toepassingen cq. voorbeelden voor. Meer uitgebreide en uitgewerkte voorbeelden krijgen meer aandacht en staan los van de tekst. Ze volgen als afsluiting van een paragraaf met theorie en zijn reële voorbeelden. De opgaven zijn te vinden aan het einde van het hoofdstuk. 21

•

•

o balans tussen theorie voorbeelden en opgaven De theorie wordt veelal uitgelegd met voorbeelden. De gehele tekst wordt vlot verteld aan de hand van toepassingen. De presentatie/ lay-out Het boek is heel commercieel opgezet. Dit uit zich in merknamen in de voorbeelden. Ook is er veel aandacht voor het design dat in kleur is met illustraties. Er is energie gestoken in het makkelijk gebruiken van het boek door onder meer aan het begin van het boek en aan het begin van een hoofdstuk is een lijst op te nemen met daarin genummerd alle voorbeelden en de pagina waarop het voorbeeld te vinden is. Aan het einde van elk hoofdstuk is een samenvatting te vinden. In de kantlijn wordt verwezen naar overlappende begrippen die ook elders in het boek voorkomen of waar voorkennis te verkrijgen is. Naast een uitgebreide index is ook een Glossary opgenomen met daarin alle belangrijke begrippen en de betekenis daarvan. Paragrafen beginnen niet op een nieuwe pagina en worden duidelijk aangegeven in een groter en vetgedrukt lettertype in een zandkleurig-gele balk. Belangrijke begrippen zijn vetgedrukt in de tekst en belangrijke zinnen met uitleg over een begrip zijn schuingedrukt. Nog meer belangrijke kernelementen zijn omkaderd. Er wordt ook duidelijk met titel in een groter lettertype en vetgedrukt een subparagraaf aangegeven. Het geheel is overzichtelijk gepresenteerd en ziet er attractief uit voor het oog. Bijzonderheden Geen.

2.3.4 Spelen en delen Dit is een boekje uit de Zebra-reeks. Belangrijk is dat de doelgroep van dit boekje overeen komt met de leerlingen die wiskunde D zullen volgen. Na een eerste bestudering van het boekje blijkt er ten opzichte van de eerder bestudeerde studiematerialen (zoals die hierboven beschreven staan) wat betreft de inhoud op het gebied van de niet-coöperatieve speltheorie niet veel toe te voegen. Ook spreekt het “bankroet probleem” in het eerste hoofdstuk mij niet aan. Ik ben van mening dat de toepassing van de speltheorie in dit probleem niet het beste tot uitdrukking komt omdat het in het dagelijkse leven niet relevant is en geen bijzondere waarde heeft in een algemenere context. Aangezien de manier van schrijven voor de beoogde doelgroep ook kan worden geanalyseerd aan de hand van één hoofdstuk is ervoor gekozen alleen hoofdstuk 2 “Coöperatieve Spelen” aandachtig te bestuderen en de andere hoofdstukken van het boekje alleen globaal te bestuderen. • De inhoud: o opbouw: i. coöperatief spel ii. verzamelingen en coalities iii. oplossingsmethode iv. rationaliteit v. core vi. Shapley-waarde vii. cucleolus o begrippen: De belangrijkste begrippen die aan bod komen zijn: coöperatief spel, coalities, grote coalitie, verzameling, complement van verzameling, karakteristieke fucntie, (pre-)imputaties, verdelingen, individueel rationeel, coalitioneel rationeel, core, dummyspeler, Shapley-waarde, nucleolus. o opbouw, niveau en diepgang 22

•

•

Het hoofdstuk begint met het behandelen van de basisbegrippen die nodig zijn voor het behandelen van de oplossingmethode. Er wordt gelijk uitgegaan van een verzameling met n spelers die coalities kunnen aangaan. Na de introductie van de nieuwe begrippen wordt een (simpel) concreet voorbeeld gegeven. Er wordt nog gerefereerd naar het eerste hoofdstuk om het voorbeeld uit het eerste hoofdstuk in een algemener kader te plaatsen. Voor de rest van het hoofdstuk wordt steeds voor de constructie gekozen om eerst nieuwe begrippen uit te leggen om deze vervolgens in een voorbeeld toe te lichten. Er wordt gebruik gemaakt van wiskundige notaties. Het gebruik van nieuwe notaties wordt soms kort toegelicht, maar moet veelal duidelijk worden door de theorie waarin het wordt gebruikt. De theorie is goed opgebouwd en bevat veel tekst en uitleg, maar behandeld wel relatief veel nieuwe begrippen ten opzichte van de hoeveelheid tekst. o opgaven Opgaven worden gegegeven door het hoofdstuk heen. Nadat er een bepaalde hoeveelheid theorie is besproken en er zich interessante vragen voordoen worden deze gesteld. Het zijn relatief weinig opgaven die niet de gehele theorie beslaan. Er worden slechts vragen gesteld over het bepalen van de Core, het berekenen van de Shapley-waarde en het berekenen van de nucleolus. De vragen zijn niet diepgaand en staan niet in verhouding met het niveau van de theorie die beschreven staat. Wel worden er aan het einde van het boekje een aantal eindopdrachten gegeven. o vereiste voorkennis Er is bijzondere voorkennis vereist aangezien de behandelde begrippen en vaardigheden worden uitgelegd. Het moet wel gezegd worden dat het tempo hoog ligt ten opzichte van het normale lesmateriaal als in “Getal en Ruimte” en “Moderne Wiskunde”. De stijl: o Taalgebruik: Het boekje is geschreven in het Nederlands. De beschrijvende tekst van de theorie is een goed lopende, goed opgebouwde tekst. o volgorde van theorie, voorbeelden en opgaven: 1. theorie 2. voorbeeld 3. opgaven De voorbeelden volgen na de uitleg van de nieuwe begrippen. Niet na alle nieuw geïntroduceerde begrippen volgen er ook opgaven. De opgaven volgen nadat er meer theorie is behandeld. o balans tussen theorie, voorbeelden en opgaven: De balans tussen de hoeveelheid voorbeelden en theorie is goed. Afhankelijk van het doel waarmee het boekje gelezen wordt is het zo dat er als lesmateriaal zijnde maar een gering aantal vragen gesteld wordt. De presentatie/ lay-out Het boekje heeft net als alle andere Zebra-boekjes een formaat van 17 x 24 cm. De inhoud is in zwart-wit. De hoofdstukken zijn in groter lettertype dikgedrukt. Nieuwe begrippen zijn dikgedrukt. Er worden geen losstaande definities gegeven. Ook zijn er geen stellingen, proposities, axioma’s of bewijzen te vinden. Er zijn geen paragrafen en het hele hoofdstuk wordt dus als één opbouwend verhaal gepresenteerd. De voorbeelden zijn verwerkt in de lopende tekst en niet duidelijk aangegeven. De opgaven zijn door de verschillende hoofdstukken doorgenummerd en zijn dikgedrukt, ze staan in de tekst. 23

•

Bijzonderheden Geen.

2.3.5 Prisoners Dilemma Dit document van de VWO-Campus beschrijft een experiment voor het maken van een profielwerkstuk over het prisoners dilemma, want een onderdeel is in de speltheorie. Er staat in een inleiding wat er wordt bedoeld met het gevangenendilemma. Na deze inleiding wordt uitgelegd hoe je een onderzoek kunt doen naar de keuzes die mensen maken als je ze een gevangenendilemma voorschotelt. Het experiment is heel toepassingsgericht en geeft een goed inzicht in de werking van het dilemma. Er worden tips gegeven hoe je het experiment aan kunt pakken. Het experiment kan natuurlijk ook in de klas worden uitgevoerd als introductie voor het begrip gevangenendilemma. Het document is te vinden op het internet via het website-adres www.vwocampus.net/leerling/experiment/sugdocs/66/66-Prisonersdilemma-ll.pdf. 2.3.6 Vraagstukken 2.3.6.1

Vraagstukken SLO

Eric Welp is leerplanontwikkelaar bij het SLO en heeft mij twee documenten toegestuurd die betrekking hebben op het onderwerp speltheorie. Beide documenten hebben betrekking op het gevangenendilemma. Het eerste document bevat een opgave dat wordt ingeleid met een krantenartikel. In dit krantenartikel wordt een situatie beschreven waarin drie fietsenverkopers zijn die twee fietsen met twee soorten fietsenmerken aanbieden. Deze fietsen zijn bijna identiek, maar je betaald voor de naam. De verkopers hebben de keuze om de klant op de hoogte te stellen van het feit dat de duurdere fiets eigenlijk dezelfde is als de goedkopere fiets. Het wel dan niet vertellen heeft invloed op de verkoop, maar niet alleen op de verkoop van jou, maar ook op de verkoop in de andere winkels. Dit spel wordt vervolgens gespeeld met twee fietsenverkopers. De vragen zijn nogal van economische aard en gaan in op de beoogde winst en om deze te maximaliseren. Hier is qua concept niks mis mee, hetzij dat er vanwege het gebruik van termen als winst, opbrengst, variabele kosten en constante kosten enige voorkennis wordt verondersteld op het gebeid van economie. Daarnaast wordt er geen gebruik gemaakt van wiskundige notaties. Het probleem kan zodoende wel als basis dienen voor een opgave, maar zal nog wel moeten worden aangepast. Een tweede opgave in het eerste document bevat een spel waarin twee scholieren een werkstuk in moeten leveren, maar dat op het laatste moment nog niet hebben gedaan. Ze hebben de keuze er één van internet te plukken of er op het laatste moment nog één zelf te maken. Het cijfer hangt af van de keuze van de andere scholier, want als ze allebei het werkstuk van internet halen vallen ze door de mand. Lijkt een geschikte opgave die ook nog eens betrekking heeft op de doelgroep. Het tweede document bevat een experiment waarin een kaartspel kan worden gespeeld in de klas. Alle leerlingen krijgen een rode en een zwarte kaart aan het begin van de les. Vervolgens wordt uitgelegd wat de opbrengsten zijn bij het spelen van een rode of een zwarte kaart. Dit is zo gedaan dat zwart een dominante strategie bevat, maar als beide rood spelen is de gezamenlijke opbrengst het grootst. Het experiment kan een leuke introductie zijn in het onderwerp en er kunnen tevens een aantal begrippen zoals dominante strategie en het verschil tussen coöperatieven en niet-coöperatieve speltheorie worden behandeld. 2.3.6.2

Vraagstukken op de internetsite www.econometrie.nl

24

Op de website www.econometrie.nl staan een aantal econometrische puzzels. De puzzels zijn echter niet van economische aard en zijn volledig gericht op de discipline ‘logisch redeneren’. Het aardige van het probleem Piratenpuzzel is dat het een mooie illustratie geeft hoe krachtig de oplossingsmethode ‘backward-induction’ is. In het probleem hebben piraten een kist met goudstukken buitgemaakt. Er wordt een spel gespeeld om de goudstukken onder de overgebleven piraten te verdelen. Daarbij mogen de piraten om-de-beurt een voorstel doen voor de verdeling. Het probleem is duidelijk geschetst, misschien iets aan de lange kant, maar behandeld wel naast het begrip backward-induction ook enkele aannames die gedaan worden. Het probleem kan dienen als voorbeeld in een inleidende paragraaf waarin ook aandacht wordt besteed aan de aannames die in het algemeen gedaan worden bij het spelen van een speltheoretisch spel. 2.3.6.3

Vraagstukken op de internetsite www.speltheorie.nl

Op de website www.speltheorie.nl worden naast opgaven ook theorie uitgelegd over begrippen die in de speltheorie aan bod komen. Begrippen die aan bod komen inclusief voorbeelden zijn: gevangenendilemma, matrixspelen, Nash-evenwicht, dominante strategie. Sommige voorbeelden zijn nogal onrealistisch van aard, maar onder andere het voorbeeld waarin een gevangenendilemma wordt behandeld is fraai gekozen. In het voorbeeld hebben twee spelers beide de keuze om €100.000 zelf te houden of €200.000 aan de ander te geven. Het probleem legt duidelijk het dilemma bloot. Ook een voorbeeld waarin een probleem wordt aangepakt uit de republiek van Plato is aardig. Het behandeld het probleem of je in een gevecht vlucht om in leven te blijven of met zijn allen blijft vechten om een overwinning te forceren met het risico de dood tegemoet te gaan. Het probleem geeft aan wat het verschil is tussen het individuele belang en het groepsbelang. Het behandeld tevens het begrip dominante strategie. Het voorbeeld is zeer realistisch en roept ook vragen op hoe het probleem opgelost kan worden. Naast de theorie en de voorbeelden is er ook een quiz op de site te vinden die vragen stelt over de theorie. De vragen over verbanden tussen de verschillende begrippen Nash-evenwicht, maximin-strategie en dominante strategie vragen niet alleen om kennis van het begrip maar ook om inzicht en zijn dus van aardig niveau. 2.3.7 Speltheorie en toepassingen Dit is een werkstuk van Han Long Li, een student, dat is gemaakt als onderdeel van de opleiding Bedrijfswiskunde en Informatica aan de Vrije Universiteit Amsterdam. Het gaat in op toepassingen in de speltheorie. Het materiaal is gebruikt om inspiratie op te doen naar toepassingen binnen de speltheorie. De schrijver van het werkstuk heeft duidelijk zelf les gekregen uit het boek Microeconomic theory en daarom is het ook interessant om te zien welke informatie en notaties overgenomen worden uit het boek. Het werkstuk bevat vier hoofdstukken: - Hoofdstuk 1: Inleiding - Hoofdstuk 2: Wat is speltheorie - Hoofdstuk 3: Niet-coöperatieve speltheorie - Hoofdstuk 4: Coöperatieve speltheorie De hoofdstukken 3 en 4 bevatten respectievelijk een toepassing in een gastarbeidersprobleem en toepassing in een politieke machtsindex. Vooral de toepassing in de coöperatieve speltheorie ziet er interessant uit. Hij beschrijft hierin een manier om aan de hand van het behalen van zetels na verkiezingen (vekiezingen in Nederland 22 januari 2003) de macht van de politieke partijen uit te drukken in een waarde. Hierin wordt duidelijk wat het nut is van het aangaan van coalities. Er komen begrippen in voor die worden behandeld in de theorie over coöperatieve speltheorie. Er komen wiskundige formules in voor om de waarde van de machtsindex te bepalen en in deze formules komen notaties waardoor het nut van notaties 25

duidelijk gemaakt kan worden. Het probleem is altijd actueel aangezien er in ieder geval om de vier jaar landelijke verkiezingen worden gehouden. De toepassing is verbredend en verdiepend en het lijkt mogelijk om het middelbare scholieren te leren in afzienbare tijd. Het werkstuk kan ook kunnen dienen als basis voor een profielwerkstuk of gebruikt kunnen worden als praktische opdracht. 2.3.8 Boekbespreking Spelen en delen Dit is een boekbespreking van Rob Bosch over het Zebra-boekje Spelen en Delen uit het wiskunde tijdschrift Euclides. De mening van Rob Bosch is dat het boekje naar inhoud een mooi, maar qua presentatie een moeilijk boekje is. Hij vindt dat het bankroet-probleem waarmee de schrijver Thuijsman het boekje begint “menig fraai werkstuk” kan opleveren, Bosch vervolgd: “De schrijver nodigt de lezer daartoe ook uit in een van de eindopdrachten”. Bosch vindt het goed dat het uitgebreide voorbeeld terugkomt in het tweede hoofdstuk over coöperatieve speltheorie in een algemener kader. Het hoofdstuk bevat belangrijke spelconcepten. De karakteristieke functie, de Shepley-waarde en de nucleolus van David Schmeidler komen aan bod, waarvan Bosch vindt dat dit basisbegrippen in de speltheorie zijn die niet “conceptueel eenvoudig zijn”. De vele begrippen die Thuijsman gebruikt zouden volgens Bosch “wel eens te veel van het goede kunnen zijn voor veel leerlingen”. Bosch vindt dat de rijke inhoud wordt geïllustreerd door het behandelen van veel onderwerpen en begrippen als rationaliteit, kennis, beslisbomen, strategische vormen, matrixspelen, Nashevenwicht, Prisoner’s Dilemma en de minimax-stelling. Gezien de diverse onderwrepen zegt Bosch “De schrijver heeft wel heel veel vertrouwen in het vermogen van de leerlingen om zich nieuwe begrippen eigen te maken. Bosch is het niet eens met de volgorde waarin de begrippen worden geïntroduceerd. Het lijkt Bosch didactisch de verkeerde volgorde om eerde de begrippen aan de orde te stellen om ze dan vervolgens pas te illustreren aan de hand van een voorbeeld. Tevens is Bosch kritisch over de volgorde van de hoofdstukken in het boekje en hij vindt dat de spelen in de uitgebreide vorm begripsmatig het eenvoudigst zijn en daardoor “een goede eerste kennismaking met het vakgebied” vormt. Hij vind het onderwerp wel goed geschikt voor de doelgroep aangezien er weinig voorkennis is vereist en het onderwerp zich goed voor eigen ondersoek leent. 2.4

Doelgroep

Wiskunde D is bedoeld voor de bovenbouw, dus voor de klassen 4 en 5 havo en 4, 5 en 6 vwo. Het materiaal voor speltheorie is geschreven voor de doelgroep 5 vwo, maar aangezien het vooral bedoeld is als verbreding en niet als verdieping in de wiskunde biedt het de mogelijkheid om ook in een andere doelgroep uit te onderwijzen. Aan de voorkennis worden niet veel eisen gesteld. Er is daarom voor gekozen om slechts naar de voorkennis te kijken aan de hand van de boeken Getal en Ruimte tot en met 4 vwo. Belangrijkste elementen die van belang kunnen zijn als voorkennis zijn: • Telproblemen visualiseren: boomdiagram, wegendiagram, rooster, systematisch de mogelijkheden noteren • Routes in een rooster • Vermenigvuldigingsregel • Functies van 1 variabele (f(x)) • Kansrekening • Theoretische/ empirische kansen

26

3

Interviews

Zoals in paragraaf 2.1.1.1 al is beschreven is Wiskunde D vooral gericht op leerlingen die overwegen door te stromen naar een exacte opleiding waarin wiskunde een rol speelt. Door verdieping en verbreding op wiskundig gebied hebben de leerlingen minder problemen met de aansluiting. Om te onderzoeken waar problemen kunnen liggen in de aansluiting en om een visie te krijgen van docenten in het Hoger Onderwijs heb ik een aantal kleine interviews gehouden. Deels zijn deze via de email gevoerd, deel mondeling. De docenten waar ik contact mee heb gehad zijn in de eerste plaats Prof. Dr. J.J. Siegers van de faculteit Economie op de Universiteit Utrecht, in de tweede plaats Prof. dr. ir. E.J. Balder van de faculteit Wiskunde van de Universiteit Utrecht, in de derder plaats Dr. A.V. Gnedin ook van de faculteit wiskunde van de Universiteit Utrecht en in de vierde plaats Dr. H. Hamers van de faculteit Econometrie van de Universiteit van Twente. De resultaten van besprekingen zijn de vinden in de nu volgende paragrafen. 3.1

Interview Prof. Dr. J.J. Siegers

Prof. dr. J.J. Siegers is onder andere onderzoeker en docent aan de faculteit Economie aan de Universiteit Utrecht. Persoonlijk heb ik in het studiejaar 2004-2005 het vak Micro-economie II bij Siegers gevolgd. Ik stuurde Siegers een email met daarin de vraag een afspraak te maken om te praten over speltheorie en hoe leerlingen van het vwo beter van voorkennis kunnen worden voorzien zodat de aansluiting op het WO beter wordt. Ik kreeg direct een email terug waarin hij zijn mening gaf over speltheorie in het voortgezet onderwijs. Zo schreef hij: “Ik las de rapporten Teulings; van de suggestie aldaar om met speltheorie te beginnen, d.w.z. om dat vooraan in het economie-onderwijs te zetten, ben ik overigens niet gecharmeerd. Het gevaar daarvan is dat economie-onderwijs op havo/vwo (nog meer) aan hetzelfde euvel gaat leiden als de andere vakken, namelijk systeemloosheid (geschiedenis zonder tijdbalk, rekenen/wiskunde zonder getalbegrip, taal zonder grammatica). Samen met het gebrek aan precisie vormt dat het grote euvel van het huidige havo/vwo (en, overigens, van het mbo en het hbo; met het vmbo in aantocht, nu ook daar het nieuwe leren verplicht wordt ingevoerd). Dat alles laat onverlet dat speltheorie als onderdeel van het economie-onderwijs op havo/vwo heel interessant kan zijn als aanvulling op de standaardbesluitvormingstheorie (waaronder begrepen het systeem van markten).” In deze eerste email zegt hij vervolgens dat Hoofdstuk 13 uit het boek Microeconomics van Pindyck “een van de toegankelijkste introducties in de speltheorie” is. Na verder contact mailt Siegers mij een week later de volgende informatie: “Wat betreft "om leerlingen op het VWO van meer voorkennis te voorzien zodat de aansluiting op het WO beter wordt.": cruciaal zijn met name de volgende algemene zaken: (a) systematiek (veel "zap"-leren (zie projectonderwijs, "nieuwe leren", e.d.) leidt tot "los zand'-kennis (taal zonder goede grammaticakennis, wiskunde zonder getalbegrip, geschiedenis zonder tijdbalk); (b) precisie (studenten zeggen vaak letterlijk "op de middelbare school was het al gauw goed", waaraan aantal zich overigens op het vwo gruwelijk ergerden); (c) niet los van het vorige punt: het geven van volledige afleidingen (en niet volstaan met praktisch alleen het eindresultaat). 27

Eerlijk gezegd: als ze deze drie punten onder de knie hebben, dan kan het me gestolen worden of ze economie op het vwo hebben gedaan (en vormt natuurkunde doorgaans de beste basis!).” Hij vervolgt over het gebruik van wiskunde in andere vwo-vakken dan het vak wiskunde zelf: “Bij economie was het rampzalig: de formules kwamen uit de lucht vallen en waren verworden tot invuloefeningen. Zie wat dat betreft de punten a t/m c hierboven. De opgave is dan hoe a t/m c te combineren met het wekken van belangstelling voor het vak economie. Mooi iets voor snijvlak van wiskundeen economie!” In een zeer aangename ontmoeting bij Siegers thuis verteld hij enthousiast over de speltheorie en andere zaken gerelateerd aan het onderwijs die voor deze scriptie misschien van minder belang zijn. Dat terzijde want Siegers had een legioen aan boeken klaar liggen om te bestuderen en om te bekijken wat relevant kan zijn voor studiemateriaal voor Speltheorie voor Wiskunde D. Dit leverde een volgende lijst met boeken op die meer dan de moeite waard zijn om te bestuderen5: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Brams, Steven J. & Taylor, D, The win-win solution, New York 1999 Dixit, Avinash K. & Nalebuff, Barry J., Thinking Strategically, 1991 Dixit, Avinash K. & Sheath, Susan, Games of Strategy Gibbers, Robert, A primer in Game Theory, 1992 McMillan, John, Games, Strategies & Managers, Oxford University 1992 Osborne, M.J., A course in Game Theory, Rubenstein Osborne, M.J., Bargaining and Markets, Rubenstein Rasmussen, Eric, Games & Information, derde druk, 1989/ 1994/ 2001 Schelling, T.C., The strategy of conflict, Harvard University 1960/ 1980

Al-met-al heeft Siegers mij zeer hartelijk geholpen door mij te voorzien van bruikbare informatie. Voor deze scriptie ben ik in verband met de tijd helaas niet in staat geweest de opgegeven literatuur te bestuderen. 3.3

Interview Prof. dr. ir. E.J. Balder

Prof. dr. ir. E.J. Balder is hoogeleraar wiskundige economie en besliskunde op de Universiteit Utrecht. Persoonlijk heb ik van Balder in het collegejaar 2003-2004 het vak Inleiding Economie gevolgd en op het moment van schrijven ben ik studentenassistent voor ditzelfde vak dat onder begeleiding staat van Balder. Het was in eerste instantie de bedoeling dat Balder ook commentaar zou leveren op het materiaal dat ik heb ontwikkeld, maar gezien de volle agenda van Balder is daar tot op heden helaas nog niet van gekomen. Wel heb ik enkele malen kort aspecten uit de speltheorie besproken. De belangrijkste bijdrage die Balder mij concreet heeft geleverd is een discussie geweest over het gebruik van notaties. Hij is van mening dat de notaties een onderdeel zijn van de wiskundige taal en belangrijk zijn bij het beschrijven van de theorie. Ook heeft hij didactisch aangegeven hoe de notaties met betrekking tot subscripts en underscripts bij studenten het duidelijkst overkomt. Ik heb deze notatie ook overgenomen in het studiemateriaal. 3.3 Interview Dr. A.V. Gnedin 5

Met de excuses voor het soms niet volledig vermelden van de bron door de tijdsdruk ivm met het uilopen van de tijd voor het interview

28

Dr. A.V. Gnedin is onderzoeker en docent aan de Universiteit Utrecht. Persoonlijk heb ik in het studiejaar 2004-2005 het vak Micro-Economie gevolgd bij Gnedin en in het studiejaar 2005-2006 heb ik mijn Bachelorscriptie onder zijn begeleiding geschreven. Gnedin adviseerde mij simpele combinatorische spelen op te nemen waar alleen inductie voor nodig is. Verder adviseerde hij 2 bij 2 nulsom matrix spelen te behandelen en de niet-coöperatieve speltheorie aan de hand van het gevangenendilemma te illustreren. Daarnaast werd het boek Games and Information: An introduction to Game Theory (4e editie) van Eric Rasmusen aangeraden te gebruiken omdat deze vrij makkelijk leesbaar moet zijn voor mensen die nog maar weinig voorkennis hebben in de speltheorie. 3.4

Interview Herbert Hamers

Herbert Hamers is werkzaam als docent op de Universiteit van Tilburg waar ze aan het begin het kalenderjaar 2007 bezig waren met het inventariseren van de mogelijkheden voor het schrijven van een stuk Speltheorie voor Wiskunde D. Aangezien ze op de Universiteit van Tilburg al studiemateriaal hadden geschreven voor speltheorie voor beginnende Econometriestudenten wilden ze dat materiaal aanpassen om ook bruikbaar te maken voor vwo-scholieren. Ik heb zowel het dictaat als het boekmateriaal per mail opgestuurd gekregen. Het niveau ligt vrij hoog en er wordt veel gebruik gemaakt van wiskundige notaties. Dit biedt perspectieven, echter een nadeel is dat de problemen die aan bod komen waarmee de begrippen worden uitgelegd vrij lang zijn. Dat hoeft nog geen obstakel te zijn, maar het gebruik van deze voorbeelden zou wel betekenen dat er minder toepassingen kunnen worden behandeld en het beeld dat speltheorie een breed onderwerp is zou daarmee verloren kunnen gaan.

29

4

Ontwerp studiemateriaal

Het ontwerpen van het studiemateriaal heeft verreweg de meeste tijd en energie gekost van deze scriptie. Niet alleen het onderzoek om het antwoord te kunnen geven op de onderzoeksvragen, maar zeker ook het proces van materiaal ontwikkelen is heel belangrijk geweest. Door het beschrijven van het proces wordt duidelijk met welke doelen het resultaat er uitziet zoals het uiteindelijk is ontworpen. In de volgende paragrafen volgen daarom beschrijvingen van het proces. In de paragraaf inhoud zal op chronologische wijze de inhoud van het studiemateriaal worden behandeld. Er wordt zorgvuldig uitgelegd waarom deze inhoud in het materiaal is opgenomen. Indien er wijzigingen hebben plaatsgevonden ten opzichte van versies in eerdere stadiums van ontwikkeling dan wordt dat aangegeven en wordt ook beargumenteerd waarom deze veranderingen hebben plaatsgevonden. Op sommige veranderingen zal in de paragraaf evaluaties verder worden ingegaan. Voor het opzetten van de opgaven wordt in een aparte paragraaf aandacht besteed. Waarom gekozen is voor een bepaalde volgorde van onderwerpen en opbouw staat uitgelegd in de paragraaf opbouw. De lay-out is ook belangrijk gevonden en daar is zeker ook aandacht aan besteed, zoals te lezen in de paragraaf lay-out. Tot slot van dit hoofdstuk over het ontwerpen van het materiaal zijn twee paragrafen opgenomen over de docentenhandleiding en het antwoordenmodel. 4.1

Inhoud

Inhoudsopgave In de inhoudsopgave is naast de normale lijst met hoofdstukken en paragrafen ook een lijst met voorbeelden opgenomen. Deze voorbeelden zijn in de lijst voorzien van hun nummer die overeenkomt het nummer zoals ze in de hoofdstukken voorkomen en tevens is er te vinden in de lijst op welke pagina het voorbeeld te vinden is. Dit is ook op soortgelijke manier gedaan in het bestudeerde boek Microeconomics. Het is handig om een voorbeeld snel op te zoeken en dit kan nogal eens nodig zijn aangezien er vaak naar verwezen wordt in de opgaven. Het is altijd frustrerend als er verwijzingen staan in een boek en je moet bladeren om bij de verwijzing te komen. Voorwoord In het voorwoord dient aangegeven te worden waarvoor het studiemateriaal gebruikt kan worden. Er dient daarom aangegeven te worden binnen welk vak het gebruikt dient te worden, oftewel, welke plaats het materiaal heeft binnen het onderwijs. Daarnaast moet worden aangegeven wat de beoogde doelgroep is, in hoeveel studielasturen het materiaal behandeld kan worden, wat het doel is van het materiaal en wat de opzet en opbouw is van het materiaal. Aangezien het materiaal ontworpen is als keuzeonderwerp binnen Wiskunde D is ervoor gekozen om ook de globale opzet, oftewel de domeinen, van Wiskunde D op te nemen in het voorwoord. Op deze manier is ook duidelijk, gezien de studielast van 40 SLU, in welke verhouding het domein moet worden gezien ten opzichte van de andere domeinvakken. Onder het doel van het studiemateriaal ontbreekt een beschrijving van de doelstelling: Zorgt het lesmateriaal ervoor dat de leerling beter in staat is om op een systematische manier problemen op te lossen? Deze doelstelling wordt uiteraard bereikt door de leerling kennis te laten maken met de onderdelen niet-coöperatieve en coöperatieve speltheorie, maar mag bij nader inzien best nog concreet benoemd worden. Inleiding In de inleiding van het materiaal moet een algemeen beeld geschetst worden wat voor problemen je in de speltheorie kunt verwachten en op welke manier je al speltheorie 30

tegengekomen bent in je leven. Door bekende situaties te schetsen wordt de eerste indruk gegeven van de inhoud. Erkenning zorgt ervoor dat de aandacht wordt getrokken. Het moet breed georiënteerd zijn om de belangstelling te trekken van een brede doelgroep 6. Er is daarom in het materiaal gekozen voor een inleiding waarin bekende gezelschapsspellen worden aangehaald. Deze zijn: schaken, Stratego, Kolonisten van Catan, Machiavelli en pokeren. Daarnaast moet een bekend voorbeeld gegeven worden dat niet iets met gezelschapsspellen te maken heeft omdat anders het beeld wordt geschept dat de speltheorie gaat over het spelen van spellen (wat in een bepaald oogpunt natuurlijk wel waar is). In de eerste versie was gekozen voor het voorbeeld van het veilen van de ether- en UMTS frequenties, ook omdat er later besloten is om een hoofdstuk Veilingen toe te voegen (hierover later meer). Maar in een testfase met een leerling (hierover later ook meer) bleek dat dit voorbeeld niet zo bekend was en daarom is er gekozen voor het actuele en meer bekende voorbeeld van de prijsoorlog tussen de supermarkten. Ik wilde het voorbeeld er wel een laten zijn uit de economie omdat de speltheorie hier de meeste toepassingen in kent. Om ook de oren te laten spitsen van geïnteresseerden in andere wetenschappen wordt er aangekaart dat de speltheorie ook voorkomt in de biologie, politicologie en psychologie. Uiteraard kan in de inleiding geen overzicht ontbreken over de opbouw van het studiemateriaal. Op deze opbouw wordt uiteraard nog diep ingegaan. Inhoud Om te bepalen wat er inhoudelijk behandeld moet worden in het studiemateriaal is bekeken in de bestudeerde literatuur welke begrippen tot de basisstof behoren in de speltheorie. Het is voor het materiaal vooral belangrijk dat de basisbegrippen veel aandacht krijgen aangezien het materiaal als basis moet dienen voor het Wetenschappelijk Onderwijs. Door de nadruk te leggen op de basis is het makkelijker om in vervolgstudies speltheoretische aspecten te herkennen op meerdere gebieden en deze daar dan ook toe te passen. Het gevolg is ook dat leerlingen in vervolgstudies op het gebied van speltheorie meer op details en eventuele bewijsvoering kunnen letten en niet afgeleid zijn omdat het een nieuw onderwerp betreft. Bij het behandelen van begrippen en onderwerpen die specifiek zijn voor bepaalde situaties is het de vraag in hoeverre zo’n onderwerp relevant is te behandelen. Door zoveel mogelijk bij de basis te blijven is het voor de leerling mogelijk om verbanden en structuur te herkennen in verschillende situaties. Op deze manier kun je meer diepgang creëren in het studiemateriaal en ook meer aandacht besteden aan notaties. Wanneer sneller door de onderwerpen heen wordt gewandeld is het oog te veel gericht op de inhoud en de nieuwe begrippen en niet op de notaties die daarbij worden gebruikt. Aangezien in veel literatuur in introducties gebruik wordt gemaakt van klassieke problemen is het ook verstandig deze klassieke problemen te behandelen. Dit zorgt bij het bestuderen van nieuw materiaal voor herkenning. Het literatuuronderzoek levert de volgende lijst op van basisbegrippen die zeker de aandacht moeten krijgen: 1. Definitie spel 2. Uitkomstmogelijkheden 3. Uitbetalingen 4. Aannames 5. Gevangenendilemma 6. Niet-coöperatieve speltheorie 7. Normale vorm 8. Extensieve vorm 9. Strategieën 10. Dominante strategieën 11. Maximin-strategieën 6

Met doelgroep wordt in dit opzicht bedoeld: 5 vwo-scholieren met verschillende interesses.

31

12. Nash-evenwicht 13. Backward induction 14. Coöperatieve speltheorie 15. Verzamelingen 16. Core Wat is speltheorie? Het studiemateriaal wordt begonnen met een inleidende paragraaf Wat is speltheorie? Hierin wordt begonnen met een traditioneel gevangenendilemma dat licht is aangepast door De Cock en Vledder uit Baantjer hierin te introduceren. In eerste instantie was het gevangenendilemma helemaal traditioneel gehouden, maar aangezien verwacht wordt dat de meeste scholieren Baantjer wel kennen is het daarom leuk om het traditionele probleem op deze manier aan te passen. Op deze manier sluit het probleem beter aan bij de doelgroep. Er wordt direct na het voorbeeld de bekende term voor zo’n soort probleem gegeven, namelijk het prisoner’s dilemma. Hierdoor kan in het vervolg verwezen worden naar dit begrip en aangezien het voorbeeld ook daadwerkelijk een prisoner’s dilemma is zullen ze ook begrijpen waarom het zo heet. Het is belangrijk dat leerlingen weten waar een begrip vandaan komt omdat ze het anders in verkeerde gevallen kunnen gaan gebruiken. Een beschrijving van het woord speltheorie in de “Dikke van Dale” wordt aangehaald als introductie naar de formele definitie van de speltheorie, dit idee is gehaald uit eerder gelezen documentatie. Een standaard formele definitie voor speltheorie bestaat er echter niet. Daarom was in eerste instantie gekozen voor de definitie uit het dictaat Speltheorie (deel 1): Speltheorie houdt zich bezig met mathematische modellen van situaties van conflict en samenwerking uit de reële wereld tussen tenminste twee rationele en intelligente spelers. Maar deze bleek uit een interne evaluatie binnen het Freudenthal Instituut te ingewikkeld bevonden. In het boek Microeconomics wordt de volgende beschrijving van speltheorie gegeven: A key objective of game theory is to determine the optimal strategy for each player in a game. En een game wordt gedefinieerd als: Situation in which players (participants) make strategic decisions that take into account each other’s actions and responses. Om de definitie zo simpel mogelijk te houden en tevens te benadrukken dat het gaat om rationele en intelligente spelers heb ik gekozen voor de definitie: De speltheorie houdt zich bezig met spellen waarin tenminste twee rationele en intelligente spelers een strategie bepalen die voor deze speler zo gunstig mogelijk is. Om zeker te weten dat deze definitie wordt begrepen wordt hij in woorden nog onderbouwd. Tevens wordt vanuit deze definitie gelijk ingegaan op het doel van de speltheorie, namelijk zijn of haar uitbetaling maximaliseren door de juiste strategie te spelen. Er wordt tevens gereflecteerd met deze nieuwe begrippen naar Voorbeeld 1. De inleidende paragraaf in de speltheorie bevat nog een tweede voorbeeld, over een piratenschat. Dit probleem is afkomstig van www.econometrie.nl en is ligt aangepast omdat hij aan de lange kant was. Zoals al eerder in deze scriptie is geschreven wordt bij het oplossen gebruik gemaakt van backward induction. Tevens worden er een aantal aannames gedaan en bij het oplossen van de puzzel wordt gebruik gemaakt van deze aannames. In eerdere versies ontbrak dit voorbeeld in zijn geheel. Het is later toegevoegd aangezien het geven van een voorbeeld van een gevangenendilemma alleen de suggestie wekt dat speltheorie alleen dit soort problemen aanpakt. Het piratenprobleem is een probleem dat een heel ander oplossingsconcept vereist. Het geeft daarmee de diversiteit van de speltheorie aan en benaderd tevens beter het element van logisch redeneren. De inleidende paragraaf wordt afgesloten met een perspectief van wat de leerling in het vervolg van het hoofdstuk kan verwachten. Basiselementen en notaties Om de leerlingen overeenkomsten te ontdekken tussen verschillende spelen is er voor gekozen om een speltheoretisch probleem op te delen in vijf elementen, namelijk: spelers, 32

regels, strategieën, uitkomsten en uitbetalingen. In het boek Microeconomic Theory wordt onderscheid gemaakt tussen vier elementen aangezien het element strategieën onder het element regels valt. In eerste instantie heb ik ook deze vier elementen aangehouden, maar bij een evaluatie bleek dat met de vier-elementen-indeling het begrip strategie niet geheel duidelijk werd. Door het expliciet te benoemen krijgt het meer de aandacht en daarmee wordt duidelijker wat er wordt bedoeld met een strategie. Dit was ook nodig omdat de begrippen strategiekeuzes en strategiemogelijkheden nogal op elkaar lijken. Na de invoering van de vijf elementen worden deze toegepast op het voorbeeld van het Baantjers gevangenendilemma. Nadat het voorbeeld is uitgewerkt met de begrippen worden de definities ingevoerd voor: strategiekeuze, uitkomstmogelijkheden en uitbetaling. Elk begrip wordt weer specifiek toegepast op het gevangenendilemma zodat duidelijk is wat ermee wordt gedoeld. Vanuit het gevangenendilemma wordt met behulp van de geïntroduceerde begrippen met een tussenstap de stap gemaakt naar een matrix in de normale vorm (deze wordt echter expres nog niet zo genoemd). Door de stappen te maken van de vijf elementen, naar een tussenstap waarin een uitgebreide tabel is gegeven met alle gegevens en uiteindelijk naar de matrix is voor de leerling te achterhalen waar de matrix vandaan komt en is de betekenis van de elementen in de matrix volkomen duidelijk. Om het gevangenendilemma in een ander voorbeeld te bekijken en om gelijk de geïntroduceerde matrix te bekijken is het voorbeeld uit het document van Eric Welp met als titel Werkstuk van internet halen? gebruikt. Het is toepasselijk bij de doelgroep, bevat geen rariteiten en dus toepasselijk. Om niet de indruk te wekken dat er alleen spellen zijn die bestaan uit twee spelers met twee strategiemogelijkheden is er een voorbeeld over schaken opgenomen. Hierin is (misschien iets tè) duidelijk dat de speler Tineke meer dan twee strategiemogelijkheden heeft.. Tevens ben ik van mening dat schaken een heel mooi maar ingewikkeld speltheoretisch spel is en er dus aandacht aan moet worden besteed. Het voorbeeld van het schaakspel is een makkelijke en het is duidelijk in te zien hoe het spel uitgespeeld dient te worden (het doel van het schaakspel is niet om een heel moeilijk schaakprobleem op te lossen). Om het probleem vervolgens in een algemenere context te plaatsen is een figuur gegeven waarin het verband wordt weergegeven tussen een spel in matrixvorm en een spel in een boomdiagram. Dit is een algemene tabel voor 2 spelers met respectievelijk n en p strategiemogelijkheden. Het fraaie aan dit figuur is dat er ook notaties in worden toegepast. Het is daarom duidelijk wat de notaties betekenen aangezien specifieke voorbeelden al eerder zijn gegeven. Dit fraaie figuur is het resultaat van een aardige discussie over het gebruik van notaties (zie interne evaluatie). Er wordt ook nog een terugkoppeling gemaakt naar het schaakspel. Om de notatie goed onder de knie te krijgen is in een klein figuur nogmaals aangegeven wat de betekenis is van de notatie. Over de notatie wil ik los van de theorie in deze paragraaf een opmerking maken. Zoals hieronder in 4.6.1.1 is te lezen is er veel discussie geweest over het gebruik van notaties. Deze discussie over dit onderwerp is hier ook uitgewerkt. Uiteindelijk is er gekozen om geen verzamelingen van spelers noch van strategiemogelijkheden te behandelen. Wel worden er notaties gebruikt voor de strategie: s en het nut: u. Daarbij geven subscripts aan om welke spelers het gaat en superscripts tussen haakjes aan op welke strategiemogelijkheid het gaat. Dit idee is gegeven door Prof. dr.ir. Balder. Er zijn namelijk meerdere manier om gebruik te maken van subscripts en superscripts (één andere mogelijkheid is bijvoorbeeld alleen subscripts die gescheiden worden door (een) komma(‘s)). Balder is van mening dat door het gebruik van haakjes het voor de leerling duidelijk is dat het hier om iets ‘speciaals’ gaat. Daarmee wordt dus een duidelijk onderscheid gemaakt tussen het subscript en het superscript. Aangezien er eerst in woorden duidelijk werd gemaakt wat de strategiemogelijkheden waren is in stappen, zoals hierboven al beschreven staat, de overstap gemaakt naar het gebruik van de notaties. Met voorbeelden zoals die al eerder de revue hebben gepasseerd, toelichtingen en figuren is het gebruik van de notaties ondersteunt en is een goede basis gelegd voor het gebruik van deze notaties. Aannames 33

Hoofdstuk 1 wordt afgesloten met de drie algemene aannames die er in de speltheorie worden gedaan. Deze worden gegeven en in een tekst uitgelegd. Er ontbreekt een voorbeeld omdat de aannames min of meer vanzelfsprekend zijn. Wel is een figuur over Monopoly toegevoegd waarin de vraag wordt gesteld of Monopoly ook een strategisch spel is. Er zitten zeker strategisch elementen in, namelijk het maken van keuzes bij het wel dan niet kopen van straten, zodat andere deze straat niet meer of nog juist wel kunnen kopen. Het idee van dit voorbeeld is dat een spel soms sneller een strategisch spel is dan je denkt. Niet-coöperatieve speltheorie Het tweede hoofdstuk Niet-coöperateive speltheorie wordt ingeleid met een klassiek voorbeeld over twee ijsverkopers die zich op een strand bevinden van 100 meter breed en beide willen een zo groot mogelijk marktaandeel krijgen. Het model is onder andere beschreven in het boek Microeconomic Theory. Het aardige aan het voorbeeld is dat de uiteindelijke oplossing: dat de twee verkopers bij elkaar in het midden gaan zitten in eerste instantie niet de meest voor de hand liggende oplossing lijkt. Aan de hand van dit voorbeeld wordt aangehaald waarom er hier sprake is van niet-coöperatieve speltheorie en dat dit hoofdstuk volledig gericht is op deze niet-coöperatieve speltheorie. Normale vorm Aangezien de normale vorm, oftewel de tabel- of matrixvorm van een spel al eerder zonder het in woorden te benoemen behandeld is wordt er gelijk een definitie gegeven en gezegd dat deze ook al eerder is tegengekomen. Er had ook gekozen kunnen worden om het gewoon een tabel of matrix te noemen, maar aangezien in de speltheorie de term normale vorm wordt gebruikt is deze ook gebruikt. Formeel kun je de normale vorm ook in worden met behulp van een verzameling met strategiemogelijkheden weergeven, maar aangezien het begrip verzamelingen nog niet eerder is uitgelegd lijkt me dit te snel om in te voeren. Het is mogelijk om het later wel in te voeren, wat in dit studiemateriaal niet is gedaan. Door bij de tabelvorm te blijven is alle aandacht gericht op het oplossen van dit probleem en gaat geen aandacht verloren aan een nieuw begrip. In een nieuw voorbeeld over een bierbrouwerij komt deze normale vorm weer terug. Het is een klassiek model waarin twee bedrijven moeten besluiten om wel of niet een actie te ondernemen, vaak is dat een nieuw product wel dan niet op de markt te brengen. Het is in het algemeen zo dat degene die het eerste de actie onderneemt veel kosten kwijt is aan het ontwikkelingskosten en een volger op de markt profiteert van de kennis en zo goedkoper, maar als tweede, zijn product op de markt kan brengen. Aan de hand van dit voorbeeld wordt een eerste zet gemaakt naar het strategisch oplossen van zo’n spel in normale vorm. Er is uitvoerig besproken welke stappen er zijn gemaakt om tot de oplossing te komen en tevens is er in verwerkt dat er één speler is met een dominante strategie. Dit wordt nog eens in de tekst in woorden uitgewerkt en vervolgens wordt een nette definitie gegeven. Om gelijk te laten zien dat er ook andere strategieën zijn wordt de maximin-strategie behandeld in voorbeeld 8: Softwarebedrijf dat wederom een voorbeeld is van het klassieke model waarin twee bedrijven moeten besluiten om wel of niet een actie te ondernemen. Het idee van dit voorbeeld komt uit het boek Microeconomics waarin het voorbeeld bijna hetzelfde is en ook dient om de maximin-strategie te introduceren. Door weer een klassiek voorbeeld te nemen blijft het idee van het spel ongeveer hetzelfde waardoor de leerling begrijpt hoe het spel gespeeld wordt. Er is voor gekozen om de maximin-strategie te behandelen door ervan uit te gaan dat er ook sprake kan zijn van onzekerheid. Dit aangezien zo duidelijk wordt dat het spelen van de maximin-strategie gespeeld wordt om het risico te beperken en te gaan voor zekerheid. In een eerdere versie was een ander klassiek voorbeeld gekozen om de maximin-strategie te introduceren, namelijk met behulp van een kop-of-muntspel. Maar aangezien in dit voorbeeld de onzekerheid niet goed naar voren komt en misschien wel belangrijker: de oplossing is in klassieke versies een gemengde strategie. Dat zou betekenen dat er met een bepaalde kans p strategie A wordt gespeeld en met kans p-1 strategie 34

B wordt gespeeld. Op deze plaats is het niet het moment om ook nog eens het begrip gemengde strategie in te voeren. Daarnaast is het voorbeeld van het softwarebedrijf nog uit te breiden door de onzekerheid in percentages uit te drukken, hierover later meer. Na het voorbeeld wordt uitgelegd dat er door het spelen van de maximin-strategie geen optimale strategie wordt gespeeld. Na de definitie wordt uitgelegd wat het nut is van deze strategie omdat je misschien zou kunnen denken dat het het beste kan zijn om altijd de optimale strategie te spelen. In het geval je veel risico loopt kun je hier echter soms beter van afwijken. Spelboom Bij het introduceren van de spelboom, die eerder al kort voorbij is gekomen wordt gebruik gemaakt van het ondertussen bekende gevangenendilemma. Hierdoor hoeft het spel niet verder uitgelegd te worden, en is duidelijk het verband te zien tussen de normale vorm (tabelvorm) en de extensieve of karakteristieke vorm (spelboom). De keuze voor het woord spelboom is behouden omdat dit bij de leerlingen al een bekend begrip is. De termen uit de speltheorie, extensieve vorm of karakteristieke vorm zijn wel genoemd, maar in het verdere verloop van het hoofdstuk zal er worden gerefereerd met het begrip spelboom. In eerdere versies was wel gekozen voor de karakteristieke vorm maar uit een evaluatie bleek dat het niet verstandig is om een ‘moeilijk’ begrip in te voeren voor iets dat ze al kennen onder een andere naam. Het voorbeeld van het gevangenendilemma in de vorm van een spelboom wordt gekoppeld aan de algemene vorm en elementen van een spelboom. Een algemene spelboom met alle elementen (begrippen) wordt in een figuur weergegeven. Bij de uitleg van deze algemene figuur wordt verwezen naar het voorbeeld zodat de inhoud duidelijk is. Aangezien er vrij veel, vijf, nieuwe begrippen in één keer worden ingevoerd in de spelboom zijn deze ook nog opgesomd aan het einde van de beschrijving. In een gesimplificeerd voorbeeld over pokeren (gekozen vanwege de hype die er is rond pokeren onder de jeugd) worden de tabelvorm en spelboom weer aan elkaar gekoppeld. Echter is er een verandering ten opzichte van de eerdere spelen. Namelijk dat de twee spelers hun beslissing niet op hetzelfde moment nemen zoals eerder steeds het geval was. Dit heeft in de tabelvorm geen gevolgen voor de manier waarop de tabel er uitziet. Echter, in de spelboom heeft het wel gevolgen. Door het voorbeeld met pokeren te nemen is er de mogelijkheid voor speler 1 om zijn beurt te beëindigen en hierdoor is het verschil in de spelboom van het gevangenendilemma heel duidelijk te zien. Dit moet zorgen voor het besef dat er niet één soort spelboom past bij een tabelvorm van twee bij twee, maar dat het uiterlijk afhangt van de spelregels. Dit is één van de voordelen van de spelboom, dit wordt nog expliciet genoemd. In voorbeeld 11 is een vervolg gemaakt op het voorbeeld van het softwarebedrijf. Het doel van dit voorbeeld is om de begrippen dynamische en simultane spelen uit te leggen. Dit voorbeeld is hiervoor geschikt omdat voor Bedrijf I nogal sprake was van onzekerheid en dit geeft een argument voor deze speler om af te wachten en de andere speler de eerste zet te laten doen. Op deze manier wordt het probleem ook nog realistisch. Bij spelbomen zijn de begrippen (im-) perfecte informatie en simultaan/ dynamische spelen duidelijk uit te leggen. De begrippen volgen nar voorbeeld 11. Het nadeel bij de uitleg van deze begrippen is echter dat in spelen met twee spelers en twee strategiemogelijkheden de begrippen simultaan en imperfect equivalent zijn, net als de begrippen dynamisch en imperfect. Daarom is nog aangegeven dat het bij een dynamisch spel erom gaat dat het spel uit meerdere beslismomenten bestaat en tijd een rol speelt. (Im-) perfecte informatie slaat op de kennis van de spelers en is te herkennen aan de informatieverzamelingen. Om ook te laten zien dat een spel uit meer dan twee beslismomenten kan bestaan is het klassieke voorbeeld gegeven waarin een Euro (of Dollar) munt geveild wordt met de spelregel dat de op-één-na hoogste bieder ook zijn bod moet betalen. Dit voorbeeld is leuk om in de klas uit te proberen (alleen niet te veel geld laten bieden, want dan is hun zakgeld snel op). Het levert de aanbieder van de munt vaak een winst op. Het strategische element erachter is dat je beter niet kunt bieden of in ieder geval niet als 35

er al geboden is, want dan is het gevolg dat je tegen elkaar op gaat bieden om te voorkomen dat jij degene bent met het op-één-na hoogste bod. Met het voorbeeld wordt gelijk een toepassing gegeven in de speltheorie: de veiling. Nu de spelboom en normale vorm zijn besproken en al aangegeven is dat het voordeel van de spelboom is dat het duidelijker de spelregels uitbeeld wordt ook nog op een tweede voordeel ingegaan: het hangen van kansen aan strategiekeuzes door deze aan de strategielijnen te koppelen. Hiermee is het eenvoudig om het begrip verwachtingswaarde te introduceren. Verwachtingswaarde is voor 5 vwoleerlingen een bekend begrip en hiermee ontstaat een koppeling tussen Wiskunde B en speltheorie. Het is een berbreding omdat het een andere toepassing heeft dan in hun eigen schoolboek voor wiskunde en ook verdiepend aangezien er bij een spel met twee spelers en twee strategiemogelijkheden twee verwachtingswaardes worden uitgerekend die samen de strategiekeuze bepalen. Er is zelfs nog een verdere toepassing die betrekking heeft op de economische betekenis. Deze zal in de opgaven besproken worden. De algemene manier om de verwachtingswaarde te berekenen ontbreekt omdat als je deze heel algemeen wil opschrijven het er onnodig ingewikkeld uit komt te zien. Het is wel goed om zaken in algemene zin te kunnen zien maar moet ook niet de veel afleiden. Als afsluiting van de basistheorie over de niet-coöperatieve speltheorie wordt het Nash-evenwicht behandeld. Dit is wellicht een van de bekendste begrippen uit de speltheorie. Het aardige is dat met de behandelde theorie er voldoende basis is gelegd om direct het Nash-evenwicht te bepalen. Er is geen nieuwe voorkennis nodig en er is zelfs al enkele keren onbewust een Nah-evenwicht gevonden. Het enige inzicht dat nog wel nodig is, is dat een Nash-evenwicht wordt bereikt zodat twee spelers optimaal tegen elkaar spelen en wel zo dat jij het beste doet gegeven wat ik doe en ik het beste doe gegeven wat jij doet. Aangezien deze zin belangrijk is en dit even moet kunnen bezinken is gelijk de definitie gegeven. Ook wordt de definitie nog formeel met wiskundige notatie weergegeven voor de volledigheid. Een mooi voorbeeld van een Nashevenwicht met de ijsverkopers is al eerder behandeld aan het begin van hoofdstuk 2. Het voorbeeld illustreert dat zo mooi omdat de spelers letterlijk niet meer van hun positie willen wijzigen, die is het hele idee van het Nash-evenwicht omdat zo de situatie is bereikt dat als ik mijn strategie wijzig ik erop achteruit ga omdat ik weet wat mijn tegenstander doet als ik mijn strategie wijzig wat op hetzelfde neerkomt als dat is mijn beste strategie speel gegeven wat mijn tegenstander doet (of gaat doen als ik ervan afwijk). Aangezien dit voor beide spelers geldt komt dit overeen met de gegeven definitie. Nu is het alleen nog de taak om dit idee in twee bij twee matrices te vinden. Voorbeeld 14 is hiervoor een geschikt voorbeeld. Het bevat een variant op de klassieke battle of sexes. In voorbeeld 14 moet nog een opmerking worden geplaatst aangezien in de battle of sexes een bepaalde waarde wordt toegekend aan het wel dan niet samen bezoeken van een evenement. Dit een waarde die niet gemeten kan worden en dat is een verandering ten opzichte van de problemen waar het bijvoorbeeld over geld ging. Het gaat er nu om dat duidelijk wordt dat je je eigen welvaart of welzijn ook in een bepaalde waarde kunt uitdrukken, je nutswaarde. In de micro-economie is hier een hele theorie over ontwikkeld die niet behandeld wordt, maar het is wel de moeite waard om dat te vermelden aangezien er leerlingen misschien in geïnteresseerd kunnen zijn en er meer over willen weten. Om een koppeling te maken met het in de vorige paragraaf bestudeerde begrip dominante strategie wordt nog opgemerkt dat een dominante strategie een speciaal geval is van een Nash-evenwicht. Veilingen Om een toepassing te behandelen is gekozen voor het onderwerp veilingen. Er is hiervoor een afweging gemaakt tussen nog een andere toepassing, namelijk het gastarbeidersprobleem uit Speltheorie en Toepassingen. Hierin voert echter het aspect logische redeneren niet de boventoon, er is minder theorie bij betrokken en het is moeilijker om hier opgaven bij te verzinnen. Om deze redenen is gekozen voor het onderwerp veilingen. Het is een onderwerp 36

dat altijd leeft omdat het hele realistische voorbeelden en toepassingen heeft. Ook zijn de leerlingen er ongetwijfeld in hun leven mee in aanraking gekomen. Denk maar aan Marktplaats of Ebay waar je kunt bieden op producten die door andere worden aangeboden, en zelf kun je natuurlijk ook je spullen aanbieden. Eén van de bekendste veilingen, vooral in Nedeland, is de bloemenveiling. Veel leerlingen kennen het idee wel of hebben het langs zien komen in het journaal wanneer er weer een schaarste is en de prijzen voor bepaalde producten weer duur zijn. Het principe is uitgelegd in Voorbeeld 15. Je zou zeggen dat het misschien in eerste instantie niet zoveel met wiskunde te maken heeft maar het heeft alles te maken met strategie! Het merendeel van deze paragraaf over veilingen is geïnspireerd door de gelijknamige paragraaf uit het boek Microeconomics. Uiteindelijk is ook dezelfde volgorde aangehouden (zie meer in paragraaf 4.3: Opbouw). Om meer over veilingen te weten, maken we een onderscheid tussen drie veilingen: traditionele Engelse veiling, Nederlandse veiling en de gesloten-bod-veiling. Om veilingen te behandelen is het onderscheid tussen deze veilingen belangrijk. De informele definities worden van alle drie gegeven om als voorkennis te dienen voor het verdiepen in de veilingen. Een belangrijk onderscheid dient gemaakt te worden tussen het veilen van een persoonlijke-waarde object en een algemene-waarde object. Hiertoe dient Voorbeeld 16. Een klassiek voorbeeld met een pot met munten waar je op kunt bieden. Het is heel duidelijk dat de pot met munten een bepaalde waarde heeft, maar hoeveel biedt je nu voor deze pot met centen? In de tekst wordt ook nog een voorbeeld gegeven van een persoonlijke-waarde object. Gekozen is voor het voetbalshirt van Beckham te veilen, aangezien middelbare scholieren kunnen voorstellen dat je voor je een attribuut van je idool veel over hebt. Waar het uiteindelijk om gaat bij veilingen is dat je bepaald welke strategie je speelt: hoeveel biedt je voor het object. Om dit te bepalen is het belangrijk dat je het verschil inziet tussen het veilen van een persoonlijke-waarde object ten opzichte van een geslotenwaarde object. Om de leerling duidelijk te maken dat je in beide gevallen een andere strategie moet spelen worden ze beide afhankelijk toegelicht voordat er een voorbeeld komt. Voorbeeld 17 over een Penny uit 1930 houdt de leerling scherp omdat het hier gaat om een munt die eigenlijk de waarde heeft van een Penny, maar omdat het uniek is krijgt hij meer waarde. Door concreet in het voorbeeld getallen te gebruiken is heel duidelijk waarom een strategie de goede is en wanneer niet. Voor het bieden op een algemene-waarde object is een begrip voor de kans dat je te hoog biedt voor het voorwerp. Dit heet de vloek van de winnaar, die nog wel afhankelijk is van een aantal variabelen. Hiertoe zijn twee voorbeelden gegeven waarin een groot verschil is in de grootte van de vloek van de winnaar. Door de voorbeelden ontstaat het besef dat je liever in de situatie verkeerd dat de vloek van de winnaar klein is en kun je bij het bepalen van je strategie bekijken hoe je die zo klein mogelijk kan maken, of als verkoper van een object om deze juist zo groot mogelijk te maken. Coöperatieve speltheorie In de laatste fase bij het schrijven van het studiemateriaal is er voor pas voor gekozen om ook de coöperatieve speltheorie te behandelen. Aangezien het testen van het materiaal ten opzichte van de planning ongeveer drie weken later begon was er tijd over om het materiaal compleet te maken. Want zonder de coöperatieve speltheorie wordt er maar één aspect van de speltheorie behandeld, namelijk om als zelfstandige speler te zorgen voor optimaal nut. Het coöperatieve gedeelte waarin mag worden onderhandeld maakt het beeld van de speltheorie compleet. De vraag is alleen of het gedeelte nog wel pas binnen het aantal uren dat staat voor het materiaal, namelijk 40 slu. Onder het motto: ”iets extra’s kan nooit kwaad doen” zal uit de testfase in de klas moeten blijken of het hoofdstuk te veel tijd vergt. Om deze reden is er niet al te veel theorie in dit hoofdstuk geplaatst en bevat het maar twee paragrafen: een inleiding en een toepassing. Ook is gedacht om maar één paragraaf toe te voegen waarin gelijk in wordt gegaan op de toepassing. Hierdoor vond ik echter dat er een stukje basis ontbreekt en is er een inleidende paragraaf toegevoegd waarin begrippen uit de coöperatieve speltheorie wat meer 37

aandacht kunnen krijgen. Als basis voor dit hoofdstuk ligt het boekje Spelen en Delen. Het boekje, zoals in de boekbespreking Spelen en Delen wordt besproken, bevat echter in weinig tekst heel veel begrippen. Dit wil ik voorkomen, maar dat heeft tot gevolg dat er minder diep in kan worden gegaan op de stof. Maar om mij te richt op de basis van de coöperatieve speltheorie is er al voldoende basis om ook een toepassing te geven. Inleiding coöperatieve speltheorie Waar het allemaal om draait in de coöperatieve speltheorie is het aangaan van een coalitie/ samenwerking om er zo op vooruit te gaan ten opzichte van de situatie waarin je in je eentje het spel speelt. Om twee redenen wordt het voorbeeld van politieke partijen behandeld: ten eerste omdat het begrip coalitie zo mooi aansluit en ten tweede omdat in de toepassing in de tweede paragraaf ook het onderwerp verkiezingen (van politieke partijen) wordt behandeld. Het voorbeeld is daarnaast ook nog eens actueel en realistisch, wat zorgt voor een goed inlevingsvermogen. Het vorige hoofdstuk eindigde vóór de toepassing over veilingen met het vinden van een evenwicht in het spel, in het bijzonder het Nash-evenwicht. Nu is dit juist het grote verschil met de coöperatieve speltheorie: hier gaat het niet meer om het vinden van een evenwicht (indirect valt er wel wat voor te zeggen om de optimale coalitie als evenwicht te beschouwen aangezien in dit evenwicht iedere deelnemende partij van de coalitie het beste kiest gegeven de andere mogelijkheden hij heeft om coalities aan te gaan, inclusief de coalitie die uit alleen zijn individu/ partij bestaat). Om in dezelfde lijn door te gaan met betrekking tot het behandelen van notaties is bij de invoering van de verzamelingen geen definitie of formele notatie gegeven. De notatie is er wel degelijk maar wordt aan de hand van voorbeelden geïntroduceerd er krijgt zo door middel van de context een betekenis. Om een voorbeeld te kunnen geven zijn begrippen als lege verzameling en gezamenlijke uitbetaling nodig. Bij de uitleg wordt gebruik gemaakt van Voorbeeld 20 over de politieke partijen. Het vervolg is een voorbeeld waarin duidelijk op geordende wijze weergegeven wordt hoe de begrippen gebruikt en gelezen dienen te worden. Voorbeeld 21 geeft een driepersoons coöperatief spel weer waarin overzichtelijk in een tabel de elementen van het spel zitten. Dit voorbeeld sluit niet alleen aan op de nieuw geïntroduceerde begrippen, het geeft ook aanleiding tot het introduceren van de begrippen individueel- en coalitioneel rationeel. Het sluit aan om de theorie in het vorige hoofdstuk over rationeel handelen en wordt nu toegepast in de coöperatieve speltheorie. De definities worden nog toegelicht door een parallel te trekken met de situatie bij verkiezingen van politieke partijen. Dit geeft alvast een brug naar de volgende paragraaf en laat zien dat de begrippen niet alleen toepasbaar zijn in een abstract voorbeeld. Er wordt zelfs al kort aandacht besteed aan het begrip macht, het krijgt alleen nog geen aandacht in de zin dat het als een begrip wordt geïntroduceerd. Om te bepalen wat hoe er een verdeling plaats vindt en wat het nut is van de coalitie en het individu willen we een domein (gesloten ruimte) bepalen waarin onderhandeld kan worden. Dit kan in het geval er drie partijen zijn overzichtelijk worden weergegeven door te bekijken welke restricties er worden opgelegd aan de hand van de begrippen individueel- en coalitioneel rationeel. Aangezien er drie variabelen zijn is het bijbehorende probleem in een driedimensionaal assenstelsel te tekenen. Zo hebben we nu een toepassing gevonden van de speltheorie en het tekenen van restricties in een assenstelsel. Hoe het domein kan worden gevonden word in Voorbeeld 22 uitgebreid uitgelegd. Er is alleen enig inzicht nodig om de overstap te zien van het assenstelsel naar het platte vlak, hier word in een opgave verder op ingegaan. Dit domein waarin kan worden onderhandeld heeft de naam core (=kern). Het onderwerp kan zoals gezegd verder worden uitgediept, maar hiertoe wordt verwezen naar het boekje Spelen en Delen. Met de ontwikkelde basiskennis moet daar nu makkelijker doorheen te komen zijn. Door een aantal nog te behandelen begrippen te noemen wordt interesse gewekt over mogelijk vervolg.

38

Machtsindex In de tweede paragraaf van hoofdstuk 3 is een toepassing in de coöperatieve speltheorie te vinden. Het idee om een toepassing te bekijken bij verkiezingen van een nieuw kabinet komt uit Speltheorie en Toepassingen. Er is echter voor de inhoud geen gebruik gemaakt van het materiaal. In eerste instantie was dit wel de bedoeling. In Speltheorie en Toepassingen wordt aan de hand van de Banzhaf-waarde gekeken naar de machtsverdeling aan de hand van het aantal behaalde zetels. Een heel interessant onderwerp om te bestuderen, maar er komen aardig wat nieuwe begrippen bij kijken en ook weer nieuwe notaties. Dit is afgezien dat het daardoor te veel tijd zou kosten om het duidelijk uit te leggen niet de oorzaak geweest dat het niet in de uiteindelijke versie van het materiaal is opgenomen. Dit komt namelijk doordat voor het bepalen van de Banzhaf-waarde gesommeerd moet worden over de marginale waardetoevoeging van een willekeurige speler i voor de coalitie E. En vervolgens moet om er betekenis aan te kunnen geven, oftewel de waarde van een partij uitdrukking in een hoeveelheid macht, de absolute Banzhaf-waarde weer worden gesommeerd. Zo ontstaat dus een dubbel sommatieteken waarbij gesommeerd moet worden over alle deelverzamelingen. Dit lijkt me nog iets te ver gaan voor leerlingen van 5-vwo. De opzet om de Banzhaf-waarde te introduceren is wel gegeven in de bijlage. Maar het neemt niet weg dat het onderwerp interessant is en de leerling door zijn intuïtie al een heel eind kan komen voor het bepalen van de macht van een politieke partij aan de hand van het aantal behaalde zetels. Daarom is gekozen voor een korte introductie over de machtsindex. Hierbij is ook nog maar een hele korte samenvatting gegeven over de tweede kamer en haar zetels, om de algemene ontwikkeling op pijl te houden. Twee begrippen met bijbehorend Voorbeeld 23 worden nog gegeven, namelijk de begrippen machtsindex en Essentiële partij om de leerling vervolgens door middel van oefening met opgaven zelf het idee van de Banzhaf-waarde te ontdekken. Er wordt aan het einde van de tekst aanleiding gegeven tot het verder bestuderen van de Banzhaf-waarde, bijvoorbeeld voor een profielwerkstuk of praktische opdracht. Spellen en hun spelregels Om volledig te zijn en voor leerlingen die niet de behandelde spellen kennen is er een lijst met spellen en hun spelregels opgenomen in het studiemateriaal. Iedereen moet ten slotte boterkaas-en-eieren kunnen spelen, kunnen schaken en Yathzee kunnen spelen. Dit is toch de algemene basiskennis op het gebied van spellen die je moet hebben. Naar mijn mening als spellenfanaat is moet deze basiskennis eigenlijk groter zijn (denk aan Monopoly en Risk), maar voor dit studiemateriaal is het niet van belang deze spellen met hun spelregels ook toe te voegen Begrippenlijst Het materiaal wordt afgesloten met een begrippenlijst. Dit is onder andere ook te vinden in het boek Microeconomics, maar ook in ander studiemateriaal. Het is altijd heel prettig om snel een begrip op te kunnen zoeken, als je niet meer precies weet waar deze te vinden is in de tekst. Het is ook handig waneer je voor een proefwerk moet leren. Zodat je weet dat je allen begrippen kent.

4.2

Opgaven

39

Er is voor gekozen om de opgaven in een aparte paragraaf te behandelen, los van de theorie. Hierover meer in paragraaf 4.3: Opbouw. Omdat het de bedoeling is dat de leerlingen wel de gehele theorie doornemen is er bij het maken van de opgaven vaak gerefereerd aan een voorbeeld. Bij (bijna) elk voorbeeld die te vinden is in de theorie is een bijbehorende opgave te vinden die hier naar refereerd. Hiermee wordt bereikt dat alle voorbeelden zijn doorgenomen door de leerlingen. Het idee erachter is dat door het lezen van de voorbeelden meer inzicht wordt verkregen in de theorie, dat er bekend is wat er wordt verwacht in de opgaven en het materiaal goed leesbaar en leefbaar maakt. Sommige opgaven dienen om dieper in de theorie te gaan, andere dienen om vaardigheden aan te leren. Er is nog het idee geweest om de meer verdiepende opgaven extra te markeren met een andere kleur of aan te geven met een sterretje. Hier is uiteindelijk niet voor gekozen omdat hiermee de indruk kan worden gewekt dat bepaalde opgaven belangrijker zijn dan andere en daarmee gaat er minder tijd zitten in opgaven die daarmee minder belangrijk worden geacht. Dit is niet de bedoeling, niet alleen de verdiepende opgaven zijn belangrijk, juist ook de vragen met betrekking tot het aanleren van vaardigheden en vragen waarin de kennis van begrippen en notaties wordt getest zijn van belang om de speltheorie goed onder de knie te krijgen. Een antwoordenmodel is te vinden in de bijlage. Opgaven 1.1 De opgaven die bij paragraaf 1.1 horen zijn bedoeld om de leerling kennis te laten maken met speltheoretische elementen. Hier is het nog zeker niet de bedoeling om dieper op de stof in te gaan, maar wel om de leerling te prikkelen om enthousiast met het materiaal aan de slag te gaan. Opgave 1 sluit aan bij het gevangenendilemma. In het voorbeeld staat in een tekst het probleem uitgelegd. In de opgave wordt door middel van het invullen van de gegeven tabel geleerd hoe de tekst overzichtelijk kan worden gepresenteerd. Door elementen uit de tabel te wijzigen wordt inzicht gevraagd van de leerling. Door elementen te wijzigen moet de leerling weten hoe de tabel gelezen moet worden en kunnen redeneren wat dat voor gevolgen heeft. In opgave 1d wordt de wijziging gemaakt dat er wel mag worden overlegd. Het idee hierachter is dat er wordt stilgestaan bij het verschil tussen coöperatieve en niet-coöperatieve speltheorie. Het gaat er ook om dat de afspraken afhankelijk zijn van vertrouwen. Om samen te werken zijn bindende afspraken nodig, anders kun je de ander alsnog verlinken (letterlijk). Opgave 2 behandeld het spel boter-kaas-en-eieren, een spel waarvan verwacht wordt iedereen het kent (zo niet achterin het dictaat staat de uitleg). Het is een simpel spel waarin enkele logische stappen moeten worden gedaan om het spel te spelen als een rationeel spelende speler. Het kan ook makkelijk geoefend worden. Het laat de leerling kennis maken met het logisch redeneren en ook met een stukje backward induction. Opgave 3 vraagt de leerling na te denken waar je afspreekt met een vriend of vriendin als je geen contact meer met elkaar kunt krijgen en je hebt afgesproken een dagje naar Amsterdam te gaan. De leerling moet nadenken over wat de tegenspeler denkt, dit is een patroon dat bij elk speltheoretisch spel wordt gehanteerd. Opgave 4 sluit aan bij het gevangenendilemma, maar laat zien dat het ook mogelijk is om in plaats van een tabel een spelboom te gebruiken om informatie uit een tekst te ordenen. Voorbeeld 5 wordt kennis gemaakt met het feit dat de nutswaarde niet altijd een waarde is die kwantificeerbaar is. Het is een licht verdiepende opgave omdat de tabel moet worden ingevuld terwijl er geen getallen gegeven staan in de tekst. Deze moeten door vergelijkingen met ongelijkheden worden gevonden. Een kwestie van logisch redeneren dus. Opgaven 1.2 Opgave 6 laat de leerling de uitbetalingen voor speler 2 uitrekenen zoals dat al voorgedaan is voor speler 1.

40

Opgave 7 is een verdiepende opgave. Er is vooral aandacht besteed aan het 2dimensionale probleem waarin twee spelers actief zijn met twee strategiemogelijkheden. Er wordt in deze opgave verder ingegaan op de figuur op pagina 14. De leerling moet inzien op welke manier het aantal uitkomstmogelijkheden afhangt van het aantal spelers en het aantal strategiemogelijkheden. De vragen a tot en met e zijn opbouwend en moet de leerling een formule laten produceren die het aantal uitkomstmogelijkheden bepaald. De opgave is ook bedoeld de leerling duidelijk te maken dat wanneer er sprake is van een groter probleem, dat het dan onvermijdelijk is om gebruik te maken van notaties. Het wordt anders wel heel veel schrijfwerk om allen uitkomstmogelijkheden op te schrijven. Met een notatie kan het veel korter. Opgave 8 kan makkelijk worden uitgevoerd in de klas en dat maakt de opgave levendig. Ik heb de proef eerder gezien in een lesobservatie van Eric Welp. Hij gebruikte het in een klas met 3-vwo-leerlingen om een inleiding te geven in het vinden van evenwichten. De opgave (vooral als je de proef ook daadwerkelijk uitvoert) laat de leerling inzien dat het wel dan niet overleggen grote gevolgen heeft voor het resultaat van de proef. Het laat de leerling nadenken over allen spelelementen. Het biedt enige verdieping door het vinden van de juiste formule, hierin wordt tevens de vaardigheid getoetst van het lezen van informatie uit een tekst om deze om te zetten in bruikbare gegevens. Tevens komt de rationaliteit aan bod. Opgave 9 laat de leerling nadenken over de spelelementen in Voorbeeld 4. Opgave 10 behandeld een situatie in het spel Yathzee, dat overigens niet echt een speltheoretisch spel is, maar toch speltheoretische elementen bevat. Het laat tevens een toepassing van de kansrekening zien in de speltheorie. In het stukje kansrekening moet overigens ook nog logisch worden geredeneerd. Dat maakt het een complete vraag. Opgaven 2.1 Opgave 11 is een verdieping in Voorbeeld 6: IJsverkopers In het geval met drie ijsverkopers is er namelijk geen evenwicht te vinden. Er kan wel op dezelfde manier als in het voorbeeld worden geredeneerd (tot op zekere hoogte) om tot deze conclusie te komen. Opgave 12 komt nog terug op paragraaf 1.2 door de spelelementen te vragen en test vervolgens de vaardigheid voor het vinden van een dominante strategie. De vraag is gekoppeld aan Voorbeeld 7: Bierbrouwerij, waarin de dominante strategie voor Bedrijf II al is gevonden. Opgave c is verdiepend door te vragen welke elementen er verander kunnen worden in de tabel om het voor mekaar te krijgen dat Bedrijf II ook een dominante strategie heeft. Opgave 13 heeft betrekking op de vaardigheid om een maximin-strategie te bepalen. Bij a wordt eerst ingegaan op de mate van het risico dat er genomen moet worden door de waarde van -100 naar -10 te veranderen. In b worden ook wijzigingen aangebracht om de leerling op zoek te laten gaan naar grenswaarden. Hiermee bedoel ik de waarde die op de grens ligt waarop de speler overgaat op een andere strategie gezien de spelsituatie. Om niet alleen trucjes toe te passen om de maximin-strategie te bepalen wordt in opgave 14 gevraagd deze strategie in eigen woorden te omschrijven. Opgave 15 behandeld 4 spelen die zijn weergegeven in de normale vorm. De spelen lijken op elkaar, maar telkens is een andere waarde uit de tabel gewijzigd. Om de dominante strategie en de maximin-strategie goed onder de knie te krijgen moeten voor alle vier de spelen deze twee strategieën worden bepaald. Opgave 16 is een verdiepende vraag. Het vraagt impliciet om een bewijs of een dominante strategie overeenkomt met de maximinstrategie. Het bewijs is eenvoudig aangezien er alleen een tegenvoorbeeld gegeven hoeft te worden. Deze kan gehaald worden uit opgave 15. Opgaven 2.2

41

Opgave 17 refereert naar een Voorbeeld 7: Bierbrouwerij uit paragraaf 2.1, hiermee wordt een brug geslagen tussen de normale vorm en de spelboom. In opgave 18 wordt Voorbeeld 8: Softwarebedrijf uit paragraaf 2.1 aangehaald. Voorbeeld 8 is gewijzigd in Voorbeeld 11. Er moet een belangrijk verschil worden gevonden tussen de gemaakte spelboom die slaat op Voorbeeld 8 en de gegeven spelboom in Voorbeeld 11. Het gaat om het aangeven van een informatieverzameling met één of meer beslispunten. Opgave 19 is een verdiepende opgave waarin moet worden nagegaan welke stellingen waar zijn over het verband tussen simultane of dynamische spelen en perfecte en imperfecte spelen. Opgave 20 geeft een schets van een spel waarin meerdere beslismomenten zijn, maar ook een informatieverzameling in zit met meer de twee beslispunten. Het voorbeeld is een verdieping op de gegeven theorie omdat er nu meer dan twee momenten zijn waarop wordt gekozen. Opgave 21 begint met een klassiek model waarin bedrijf 1 wel of niet besluit een actie te ondernemen en daarom moet bedrijf 2 reageren of vooraf een beslissing over nemen. Het spel wordt uitgebreid zodat de theorie uit Voorbeeld 13 kan worden gebruikt en verwachtingswaarden moeten worden berekend. Om af te wijken van de spelen met maar twee spelers met twee strategiemogelijkheden wordt in opgave 22 gevraagd een schets te geven van een spelboom die hoort bij de muntveiling uit Voorbeeld 12. Opgave 23 is verdiepend omdat het inzicht verlangt van de leerling op het gebied van verwachtingswaarde. De verwachtingswaarde moet gekoppeld worden aan het wel dan niet afsluiten van een bindend contract. Opgave 24 gaat door op het spel boter-kaas-en-eieren. Dit spel bevat veel uitkomstmogelijkheden. Er moet worden nagedacht over het uiterlijk van de spelboom en daarbij moet worden ingezien dat het een hels karwei is om al deze mogelijkheden uit te schrijven. Dit maakt dan duidelijk wat een nadeel is van de spelboom. Opgaven 2.3 Opgaven 24 haakt nog aan op de vorige paragraaf door een boomdiagram te laten geven van Voorbeeld 14 uit paragraaf 2.3. Opgave 25 geeft een koppeling met het allereerste voorbeeld uit paragraaf 1.1. Er wordt gevraagd om het Nash-evenwicht. Hiermee wordt verworven theorie toegepast op een voorbeeld uit een stadium waarin de leerling nog heel weinig wist over speltheorie. Het geeft een kleine evaluatie voor de leerling over hoe hij nu zo’n probleem uit het begin kan aanpakkenen. Opgave 26 gaat in op de belangrijkste begrippen uit alle voorgaande paragrafen. Er wordt gevraagd naar het Nash-evenwicht, dominante strategie, maximin-strategie en het aangaan van bindende contracten Opgave 27 vraagt Nash-evenwichten te bepalen voor twee gegeven spelen in de normale vorm. Opgave 28 gaat een stap verder door een drie bij drie tabel te behandelen. Hierin moet het Nash-evenwicht worden gevonden en tevens de maximin-strategie worden gespeeld. Opgave 29 is weer verdiepend en vraagt verbanden te vinden tussen maximin-strategie, dominante strategie en het Nash-evenwicht. Opgaven 2.4 Opgave 30 is een algemene vraag die de leerling laat nadenken over het voordeel van veilingen. Opgave 31 maakt een koppeling tussen de veiling en het begrip dominante strategie. De opgave vraagt de leerling dit begrip toe te passen op de Engelse orale veiling.

42

Opgave 32 vraagt om bewijs waarom twee verschillende veilingen dezelfde verwachtingswaarde hebben voor de opbrengst. Dit sluit aan bij het doel om te bepalen welke veiling het meeste oplevert voor de aanbieder. Opgave 33 sluit aan op opgave 32 en gaat in op de te bepalen strategie die de aanbieder moet spelen om zo veel mogelijk te ontvangen. De leerling moet inzien dat de aanbieder de verwachte waarde van de opbrengst van de veiling wil maximaliseren. Opgave 34 vraagt waarom de strategiekeuzen afhangt van het soort object dat wordt aangeboden: een persoonlijke waarde object of algemene waarde object. Deze opgave vraagt kennis over de begrippen en een toepassing met betrekking tot strategiekeuzen. Opgave 35 vraagt de leerling waarom er een verschil kan zijn in de grootte van de overschatting bij verschillende veilingen. Het laat de leerling nadenken over variabelen die de overschatting bepalen In opgave 36 moet vergeleken worden bij welke veiling de vloek van de winnaar het kleinste zal zijn. Er moeten vergelijkingen worden gemaakt en er moet voor het antwoord worden geredeneerd waarom er verschillen zijn. Opgave 37 vraagt de leerling kennis over de begrippen persoonlijke waarde object en de vloek van de winnaar. Opgave 38 geeft een voorbeeld van een veiling en de leerling moet nu door het beantwoorden van de vorige vragen in staat zijn te bepalen hoe de aanbieder de veiling aan moet pakken om er het maximale uit te halen. Opgave 39 laat zien dat algemene waarde en persoonlijke waarde van een object soms heel dicht bij elkaar kunnen liggen. Net als bij het veilen van een munt, nu is het alleen andersom: een object dat in eerste instantie een persoonlijke waarde object te zijn blijkt ook een algemene waarde object te zijn. De leerling moet ook weer bepalen wat de beste manier is om het object, de scooter, te veilen. Opgave 3.1 Opgave 30 maakt laat de leerling de restricties uit Voorbeeld 22: Driepersoons coöperatief spel uittekenen in het driedimensionale vlak. Dit maakt de leerling duidelijk hoe er in het voorbeeld is gekomen tot de gegeven driehoek met daarin de restricties als rechte lijnen aangegeven. Tevens moet de core worden aangegeven in de figuur. Opgave 31 laat de leerling nadenken over het 4-dimensionale geval, dat uiteraard nogal lastig tekenen is. Het maakt de leerling ervan bewust dat we in deze paragraaf te maken hebben met een special situatie waarin maar drie spelers zijn. Niet meer en niet minder. Opgave 32,33 en 34 bevatten dezelfde vragen, maar met een andere situatie gegeven in een tabel. Het verschil in de opgave zit ‘m in het gebied van de core. Deze kan namelijk uit meerdere punten bestaan (een gesloten gebied), een uniek punt zijn of helemaal leeg zijn. Opgave 3.2 Opgave 35 is een soort verwerkingsopdracht waarin een verkiezingsprobleem wordt bekeken. Aan de hand van de zetelverdeling wordt bepaald wat mogelijke coalities zijn. Het aardige is dat er een situatie is met vier partijen en dus een 4-dimensionaal probleem. Door de aanname dat het onwaarschijnlijk is dat de vier partijen allemaal één grote coalitie vormen is het mogelijk weer het 3-dimensionale geval te bekijken. Hier komt theorie uit paragraaf 3.1 bij kijken. Opgave 36 geeft een inleiding op het machtsprincipe. Met logisch redeneren kan worden bepaald welke partij de meeste macht heeft. Door een hertelling verschuift er maar één zetel, maar dat heeft grote gevolgen voor de machtsverdeling! Opgave 37 is overgenomen uit het eindexamen voor Wiskunde A1 (vwo). Het laat de leerling met logische stappen nadenken over de machtsindex. Opgave 38 gaat verder in op opgave 37 en vraagt om een genormaliseerde machtsindex.

43

4.3

Opbouw

4.3.1 Structuur De structuur van het materiaal is zo gemaakt dat het optimaal aansluit bij materiaal dat studenten gebruiken in het hoger onderwijs. Voor veel elementen van de structuur heeft dit geen invloed aangezien er altijd de volgende volgorde wordt aangehouden: inhoudsopgave, voorwoord, inleiding, theorie en opgaven, bijlage begrippenlijst en index. Maar het betekend ook dat er een aantal verschillen zijn op te merken ten opzichte van de normale schoolboeken die gebruikt worden in het voortgezet onderwijs. Wat gebruikelijk is bij de boeken die ik bestudeerd heb (en in het algemeen in het hoger onderwijs) is dat de theorie los staat van de opgaven. De theorie is een lopend verhaal met daarin vaak voorbeelden, definities, stellingen, proposities en bewijzen. De opgaven worden achteraf gegeven en kunnen over de gehele paragraaf of zelfs over een heel hoofdstuk gaan, maar ook over bepaalde begrippen en vaardigheden. Als student moet je in staat zijn om belangrijke informatie uit de tekst te halen om de opgaven te kunnen maken. Door de theorie los van de opgaven te geven staat de inhoud van het materiaal meer centraal. Omdat leerlingen van 5 vwo nog niet gewent zijn om opgaven los te zien van de theorie heb ik ervoor gekozen om in de opgaven veel te refereren naar gegeven voorbeelden in de theorie. Zo wordt de leerling gedwongen niet gelijk naar de opgaven te gaan, maar eerst het voorbeeld met bijbehorende theorie te lezen. Door de opgaven pas aan het einde van de paragraaf te geven leert de leerling bij het doornemen van de theorie de hoofdzaken van de bijzaken te onderscheiden. 4.3.2 Opbouw van de inhoud Wat betreft de inhoud is het nogal logisch om te beginnen met een inleiding. Deze inleiding bevat niet veel begrippen, maar zonder ze te noemen komen ze al wel op een bepaalde manier, bijvoorbeeld in voorbeelden, naar voren. De inleiding geeft een beeld wat er verwacht wordt in de rest van het materiaal en moet aantrekkelijk zijn om aan de rest van het materiaal te gaan werken. Om met de werkelijke theorie aan de slag te kunnen gaan moet er een bepaalde basiskennis worden ontwikkeld. Het is een gedachtegoed die aangeeft hoe er in de wereld van de speltheorie gekeken wordt naar de spelen. Om de speltheorie te bedrijven zijn de volgende basisbegrippen vereist: Strategiekeuze, uitkomstmogelijkheden, uitbetalingen en winstmaximalisatie. Deze worden in paragraaf 1.2.1 uitgelegd. Daarnaast worden er in het algemeen een aantal aannames gedaan in de speltheorie als we een spel spelen. Deze aannames zijn: de spelers zijn rationele beslissers, hebben een oneindig goed geheugen en optimaliseren hun uitbetalingen. Deze aannames worden gegeven in 1.2.2. De theorie die volgt heb ik opgedeeld in nog twee hoofdstukken, namelijk: Nietcoöperatieve speltheorie en coöperatieve speltheorie. De volgorde van het behandelen van deze twee richtingen is omkeerbaar, maar gekozen is om de niet-coöperatieve speltheorie eerst te behandelen. Dit heeft aan de ene kant te maken met mijn persoonlijke voorkeur voor de niet-coöperatieve speltheorie, aan de andere kant denk ik dat de niet-coöperatieve speltheorie meer theorie bevat over het logische redeneren, wat één van de doelstellingen is om de leerlingen aan te leren. Door het als eerste te behandelen krijgt het meer de nadruk. Voor beide hoofdstukken is gekozen voor de opzet om eerst theorie te behandelen en het hoofdstuk af te sluiten met een paragraaf waarin een toepassing wordt behandeld. Bij de nietcoöperatieve speltheorie is dit de toepassing veilingen, bij de coöperatieve speltheorie is die de toepassing machtsindex. Bij de niet-coöperatieve speltheorie wilde ik graag toewerken naar het behandelen van het Nash-evenwicht. Hiervoor is het nodig om een spel te kunnen lezen en om strategieën te kunnen bepalen. Daarnaast zijn er twee soorten waarin een spel kan woorden gepresenteerd: 44

de normale vorm en de karakteristieke vorm (spelboom). De volgorde van deze twee representaties is weer omkeerbaar, maar aangezien ik denk dat een weergave in een tabel in de kennismaking met strategieën het meest overzichtelijk is heb ik deze als eerste behandeld. De twee begrippen die heel handig met de normale vorm kunnen worden uitgelegd zijn de dominante strategie en de maximin-strategie. Bij de karakteristieke vorm is het weer handiger om de verwachtingswaarde te behandelen. Met de verworven kennis in de paragraven Normale vorm en spelboom is het mogelijk (Nash-) evenwichten te vinden. De coöperatieve speltheorie is gezien de korte tijd die eraan kan worden besteed gericht op het kunnen behandelen van de toepassing machtsindex. Hiervoor wordt uitgelegd wat coöperatieve speltheorie inhoudt en worden de basisbegrippen coalitie, individueel rationeel, coalitioneel rationeel en core uitgelegd. Met deze begrippen is het mogelijk een coöperatief spel te begrijpen. 4.4

Didactische elementen

Didactisch volgt de theorie van het materiaal de denkwijze van het Freudethal Instituut door gebruik te maken van Realistic Mathematical Education. Er wordt daarom eerst door de leerling zoveel mogelijk door realistische voorbeelden zelf ervaren wat voor problemen je tegenkomt. Aan de hand van de voorbeelden is het mogelijk de theorie met definities te behandelen (dit komt ook terug in paragraaf 4.6 van deze scriptie: Interne evaluaties). De klassieke voorbeelden zijn om deze reden meestal ook aangepast. Zo wordt in voorbeeld 1 gebruik gemaakt van de personen Baantjer en Vledder uit de serie Baantjer. Het materiaal is overigens begonnen in een inleiding die volledig aansluit bij de doelgroep. Er worden spellen genoemd die passen binnen de speltheorie en de spellen sluiten aan bij de belevingswereld van de leeling De voorbeelden die worden gesteld in de theorie zijn vaak niet volledig uitgewerkt. De didactiek die hier achter zit is dat op deze wijze de leerling geprikkeld wordt om langer over het voorbeeld na te denken. Niet alles hoeft de leerling voorgekauwd te worden. De leerling mag zelf aan het werk worden gezet om na te denken. Een toepassing heeft als functie te laten zien waar de geleerder theorie gebruikt kan worden in de praktijk. Dit helpt de leerling bij het besef dat de theorie nuttig is voor zichzelf. Als een leerling weet wat hij met de theorie kan is hij meer bereid zich in te zetten om de theorie tot zich te nemen. Een toepassing biedt tevens de mogelijkheid om meer in de breedte of diepte te gaan. Bij de toepassing over veilingen is er meer in de breedte gegaan, in de toepassing over de machtsindex is er meer in de diepte gegaan. Daarnaast is er door het hele materiaal rekening gehouden met didactische elementen. Zo wordt in Voorbeeld 2: Piratenschat een aantal aannames gedaan dat later in 1.2.2 weer terugkomt. Hiermee wordt opbouwend het besef gecreëerd dat aannames in een model belangrijk zijn. De nummering van de opgaven is door het hele boekje doorlopend zodat een leerling met dyscalculie ziet dat hij geen opgaven mist. 4.5

Lay-out

Al vanaf het begin van het ontwerpen van het materiaal vond ik het uiterlijk van het materiaal ook zeker belangrijk om goed te onderhouden. En vanaf het begin heb ik het materiaal in kleur gemaakt, maar daarbij wel rekening gehouden dat het ook eventueel in zwart-wit geprint kan worden. De voorkant moet aantrekkelijk zijn en de inhoud representeren. Er is gekozen om de inhoud te representeren door middel van zes foto’s van thema’s die te maken hebben met de speltheorie. Daarnaast moet de voorkant volgens de eisen die gesteld worden aan materiaal 45

voor Wiskunde D de naam van de auteur bevatten, de versie worden aangegeven en aangeven in welk domein het materiaal gebruikt kan worden. Aangezien het domein keuzeonderwerpen is, lijkt het mij niet noodzakelijk om het erbij te vermelden. Naar mijn idee is het de bedoeling dat bij de keuzeonderwerpen materiaal wordt gebruikt dat niet per se geschreven is voor Wiskunde D. Het is wel de bedoeling, maar kan ook voor andere doeleinden worden gebruikt. In de inhoudsopgave zijn de hoofdstukken met hun paragrafen omkaderd in de kleur die bij dat hoofdstuk hoort. De kleuren volgen ongeveer de kleuren van de regenboog, zodat het er geordend uit ziet. Aan de linkerkant van elke bladzijde is een strook in de kleur van het hoofdstuk te vinden. Zo is het makkelijk als je door het materiaal heen bladert de hoofdstukken van elkaar te onderscheiden. Het geeft het materiaal ook een speelser karakter. In het voorwoord zijn de titels in een blauw kader geplaatst en de bijbehorende uitleg in een blok eronder waarvan de achtergrond licht gekleurd is. De titels springen er zo mooi uit en de tekst komt iets uit de pagina en wordt niet opgezogen in het wit van het papier. Dit leest prettig en geeft het idee (en dat is ook zo) dat er bondig is weergegeven wat belangrijk is voor het gebruik van het materiaal. Deze omkadering van titels en een lichtgekleurd veld eronder met inhoud is ook toegepast op de voorbeelden en definities in het materiaal. Hierdoor springen de voorbeelden en definities duidelijk uit de tekst. Inhoudelijke theorie is zo duidelijk te onderscheiden van de voorbeelden. Als je snel de tekst wilt doorlezen en begrippen wil leren of opzoeken kun je makkelijk de definities vinden. Ook is aandacht besteed aan het invoeren van figuren in de tekst en voorbeelden. Zo was in een eerdere versie een figuur opgenomen met de definitie uit het Van Dale woordenboek. Dit stond toch een beetje onrustig en daarom is het in de tekst opgenomen. Tevens was in een eerdere versie een figuur opgenomen over een postzegelverzameling om verzamelingen uit te leggen. In een interne evaluatie op het Freudenthal Instituut bleek dat deze figuur ongeschikt was en zijn doel volledig misliep. Hij is daarom direct verwijderd, afgezien van het feit dat later de inhoud rond de verzamelingleer is gewijzigd en veel minder de nadruk heeft gekregen. De figuren zijn opgenomen om de tekst levendig te houden, maar het aantal figuren is ook beperkt omdat het niet de inhoud moet afleiden. 4.6

Evaluaties

4.6.1 Interne evaluaties Freudenthal Instituut Intern hebben zijn er verschillende momenten geweest waarop er het studiemateriaal is geëvalueerd. De eerste paar keer is dit samen met Michiel Doorman en Pauline Vos geweest. Zij hebben mijn materiaal van commentaar voorzien en aandachtspunten aangegeven. Daarnaast is er intern één keer met Michiel en twee ervaren materiaalontwikkelaars naar het materiaal gekeken. In deze paragraaf zullen alle belangrijkste evaluatiepunten aan bod komen die invloed hebben gehad op het uiteindelijke studiemateriaal. Algemene opmerkingen Het gebruik van het woord we en wij mag niet teveel worden gebruikt. Als auteur wil je de lezer iets nieuws overbrengen en ben je als auteur dus niet onderdeel van het publiek. Als de tekst gericht is op de lezer moet daarnaar worden verwezen met je, of helemaal worden vermeden door een andere zinconstructie te gebruiken. Dit laatste is eigenlijk formeel mooier, maar om toch als auteur niet al te grote afstand te creëren naar de lezer heb ik deze twee manieren van schrijven afgewisseld. Ik vind dat de lezer door het gebruik van je zich sneller aangesproken voelt en op deze manier meer actief bij het leerproces betrokken wordt. Aangezien de lezer van het mannelijke of vrouwelijke geslacht kan zijn wordt aangeraden niet alleen met hij te refereren, maar met hij/ zij. Anders voelt zij zich niet aangesproken. Ik vind 46

dit taalkundig geen correcte opmerking aangezien in het materiaal de woorden hij en zij net zoals de woorden zijn en haar worden gebruikt als verwijzing en dan is het afhankelijk van het zelfstandig naamwoord of de verwijzing mannelijk of vrouwelijk dient te zijn. Ik heb dus op deze manier in de tekst verwezen. Zoals in de normale wiskundeboeken zijn de leerlingen gewend om veel opgaven te krijgen. Om deze opgaven te maken, maken de leerlingen vaak gebruik van voorbeelden. Het aantal voorbeelden was in eerdere versies te gering. Niet alle definities en notaties kwamen ook in een voorbeeld voor. Om een wat breder beeld te geven op de speltheorie is bijvoorbeeld Voorbeeld 2: Piratenschap toegevoegd. In paragraaf 1.2 zijn Voorbeeld 4: Werkstuk van internet halen? en (zie literatuuronderzoek pagina Voorbeeld 5: Schaken toegevoegd en in paragraaf 2.2 is een uitbreiding op het Softwarevoorbeeld: Voorbeeld 11: Softwarebedrijf (versie II) toegevoegd. De tekst is hierdoor begrijpelijker gemaakt doordat het proces van herkenning sneller gaat op deze manier. Voorbeelden dienen om uitleg te geven bij de theorie. Door begrippen en methodes in een voorbeeld uit te werken krijgt het begrip een plaats hoe het toegepast moet worden en hoe een probleem gestructureerd opgelost dient te worden. Hierover zijn twee opmerkingen gemaakt. Ten eerste is het didactisch beter om eerst een voorbeeld te geven met uitleg en daarna pas eventuele definities. In eerdere versies was dit door het hele materiaal verkeerd om gedaan. Op een enkel voorbeeld na is de volgorde veranderd. Waar dat niet het geval is wordt deze keuze in deze scriptie toegelicht. Ten tweede hoeft niet bij elk voorbeeld het antwoord op gestelde vragen die in het probleem voorkomen gegeven en uitgeschreven te worden. Een vraag aan het einde van een voorbeeld laat de leerling nadenken over het voorbeeld in plaats van dat het snel gelezen wordt. Bij het maken van de opgaven is het ook niet de bedoeling om de voorbeelden precies na te doen, dan zit er geen diepte in, maar is het alleen maar trucjes toepassen. Zo was deze opmerking over het open laten van een voorbeeld in eerste instantie geplaatst bij het gevangenendilemma in paragraaf 1.1. Hier werd in de eerdere versie het voorbeeld helemaal uitgewerkt met een tabel erbij, terwijl in een latere de vraag open is gebleven en is gevraagd om het spel in de klas te testen. Het werkelijk doen van een voorbeeld in de klas draagt er ook aan bij dat het onderwerp meer leeft en zorgt ervoor dat dingen beter blijven hangen. In een opgave wordt vervolgens de tabel door de leerling zelf ingevuld. Het is gelijk een eerste stap om gegevens uit een tekst gestructureerd in een tabel weer te geven. Het spelen van een spel helpt ook bijvoorbeeld bij boter-kaas-en-eieren. Door het spel echt te spelen en eventueel de mogelijkheden af te gaan ontstaat er beter inzicht in het spel. Bij het maken van opgaven moet er op worden gelet dat er niet te veel, of het liefst helemaal niet, meerdere vragen worden gesteld in één vraag. Daarmee wordt uiteraard niet bedoeld dat er geen deelvragen mogen worden gesteld, maar bijvoorbeeld een voorbeeld hoe het niet moet is de volgende: Vraag 1b: Stel dat ze elkaar verlinken ze beide niet 10 maar 15 jaar de cel in moeten gaan, zullen ze dan hun oorspronkelijke strategie aanpassen? En als het veranderd naar 20 jaar? En 25 jaar? Daarnaast moet je oppassen met het door laten lopen van vraag a op vraag b etc. In de bovenstaande vraag wordt nog een tweede ‘fout’ gemaakt door te verwijzen naar de oorspronkelijke strategie. Nu is de vraag of hiermee de allereerste situatie wordt bedoeld uit het voorbeeld uit de tekst of de oorspronkelijke situatie uit vraag a. Dus duidelijk omschrijven wat er wordt gevraagd. Wanneer dezelfde soort vragen worden gesteld aangezien je een bijvoorbeeld van een leerling verwacht dat hij een probleem goed door heeft, moet je erop letten dat je de vragen op een levendige manier stelt. Dit betekend dat je niet steeds de vraag in dezelfde structuur moet stellen, maar dezelfde vraag op een andere manier. Anders krijgt de leerling het idee dat hij steeds hetzelfde doet en dan wordt het sneller saai gevonden door een leerling en denkt hij: “nu kan in het wel”. Dus creatief zijn bij het stellen van vragen om de leerling meer te 47

prikkelen. Oefening baart kunst, kunst zorgt voor creativiteit en creativiteit zorgt voor goede oefeningen. Bij het stellen van vragen moet tevens worden gelet om het stellen van ja/ nee-vragen. Is er hier sprake van dan moet er ook om een verklaring of toelichting worden gevraagd. Mooier is om de vraag zo te stellen dat je niet mee vanaf komt door alleen ja of nee te antwoorden. Het materiaal is bedoeld voor Wiskunde D en mag daarom een aantal verwerkingsopdrachten bevatten die dieper op de stof ingaan. Dit is gedaan door meer bewijsachtige vragen te stellen. Er is niet gekozen voor grotere verwerkingsopdrachten. Voorwoord In het voorwoord moet niet worden gerefereerd aan, onder andere het doel van, deze scriptie. Dit dient in de scriptie zelf te staan. Het materiaal is een onderdeel van de scriptie, maar staat daar los van. Het materiaal moet gericht zijn op de leerling. Het onderzoek is gericht op het materiaal, het onderzoek vormt je scriptie. In het voorwoord dient de opzet van het materiaal te staan, wat het niveau is, de doelgroep, het aantal slu, de vorm van het materiaal en hoe het geheel dient afgesloten te worden. Dit laatste kan bijvoorbeeld door middel van een toets, een praktische opdracht, een presentatie etc. Deze manier van hoe het materiaal afgesloten wordt kan ook (niet allebei natuurlijk) in de inleiding komen. Het voorwoord moet concreet en duidelijk worden geschreven. Hierdoor heb ik gekozen om met koppen duidelijk aan te geven wat de bedoeling is van het materiaal. Deze opzet is deels geïnspireerd door het wiskundeschoolboek Moderne Wiskunde. Dit om een idee te krijgen wat de inhoud van de opzet van het materiaal dient te zijn. Inleiding Het idee om de inleiding te beginnen met voorbeelden waarin de leerling speltheorie al is tegengekomen in het dagelijks leven was een goed idee, het spreekt de leerling aan. Wat is speltheorie? In eerste instantie begon het materiaal gelijk met de beschrijving zoals die in het VanDalewoordenboek staat. Hij was weergegeven als een figuur uit het woordenboek. De opmerking was dat het niet echt een figuur was. Bij het bedenken of ik het een afbeelding wilde noemen heb ik uiteindelijk besloten het gewoon in de lopende tekst op te nemen., dat leest makkelijker. Aangezien het om een inleidende paragraaf gaat kan bij het gevangenendilemma in de tekst dan wel in een opdracht het individuele belang worden afgewogen tegenover het collectieve belang. Hier had ik eventueel in het hoofdstuk over niet-coöperatieve spelen op willen terugkomen om een koppeling te maken, maar aangezien het coöperatieve hoofdstuk zeer kort en gericht is op coalitievorming in de politiek is het er niet van gekomen. Het is wel een idee indien er bijvoorbeeld meer slu voor staan om het toe te voegen. Ik vond dat het gevangenendilemma in eerste instantie juist gericht moest zijn op het eigen belang omdat dat belangrijk is bij het spelen van een spel tegen andere spelers. Het is ook één van de aannames om juist je eigen winst of nut te maximaliseren en niet die van het collectief. Tevens kan didactisch gezien het voorbeeld van het gevangenendilemma beter aan het begin komen te staan als inleiding. Dit past ook beter bij de visie van het Freudenthal Instituut die gebruik maakt van RME (zie literatuuronderzoek pagina 13). Het einde van paragraaf 1.1 moet worden afgesloten met iets over het belang van wat verder in het hoofdstuk en materiaal verwacht wordt. Deze opmerking werd gemaakt in een evaluatiegesprek voordat Voorbeeld 2: piratenschap in het materiaal was opgenomen. De opmerking heeft ertoe bijgedragen dat ik dit voorbeeld over de piratenschat wilde toevoegen 48

zodat de inhoud van de inleidende paragraaf meer wordt verbreed en waar het accent hierin ligt de nadruk meer op het logische redeneren. Misschien kan het begrip strategie meer de nadruk krijgen in de eerste paragraaf, in de opgaven komt het woord “strategie” niet voor. Maar hier is bewust voor gekozen. Het begrip wordt al wel in de tekst genoemd, maar ik wilde niet te snel te veel begrippen invoeren. Eerst moet er aan het onderwerp gesnuffeld worden, heel bewust zonder veel begrippen en definities. Het gebruik van definities en notaties kan, doordat ze in deze vorm nog niet gebruikelijk zijn voor de leerlingen aangezien in ‘normale’ wiskundeschoolboeken hier niet de nadruk op wordt gelegd, de leerling afschrikken en dat is niet de bedoeling. Het is ook een kwestie van vertrouwen krijgen van de leerling dat hij zich in wil zetten om de speltheorie onder de knie te krijgen. In opgave 4 is het mogelijk om naast een tabel ook al een spelboom in te voeren. Hierdoor creëer je een eerste kennismaking met de spelboom. Voor een inleidende paragraaf mag er best wel gesnuffeld worden aan vaardigheden die later pas netjes uitgewerkt terug komen. Basiselementen en notaties De deelvraag die de meeste kopzorgen en de meeste discussie heeft opgeleverd betreft het behandelen van de notaties. Dit Het doel was om leerlingen beter om te leren laten gaan met notaties. Eén van de soort notaties die je vaak tegen komt in de wiskunde zijn die waar en subscript of een superscript hangt aan een element of symbool. Dit is bijvoorbeeld handig als je iets in het algemeen wilt bewijzen voor meerdere elementen. Dan kun je een willekeurig element bijvoorbeeld i noemen en over i uit een verzameling of eventueel een willekeurige verzameling een uitspraak doen. Of je kunt het gebruiken bij het sommeren over meerdere elementen, als je bijvoorbeeld alle even getallen sommeert kun je dit opschrijven als Σ ai, a ε 2k met k ε Ν. Zo zijn er eindeloos veel toepassingen van deze soort notatie. Zo ook in de speltheorie, waar in zijn algemeenheid uitspraken worden gemaakt en stellingen en proposities worden gedaan over spelen met I spelers, waarin speler i een willekeurige speler is uit de verzameling I, waarbij I = {1,…,I}. Strategieën kun je zo aangeven met si en de uitbetaling met ui. Mijn idee was om de leerling vertrouwt te laten raken me deze notaties omdat deze heel bruikbaar zijn in beta-studies. Het commentaar op het gebruik van de notaties is dat je notaties alleen moet gebruiken als je ze nodig hebt, als ze een nut hebben. Anders vragen leerlingen zich af waarom ze die symbolen en notaties moeten kennen. Het gebruik moet op zo’n moment te verdedigen zijn. Nu is het nut er wel als je algemene uitspraken doet, stellingen geeft en bewijst of zo diep in de theorie duikt dat het onmogelijk is om notaties achterwegen te laten. In de theorie die in het materiaal wordt behandeld is van geen van deze zaken sprake. Het enige argument dat rest is dat door middel van notaties je problemen gestructureerder aan kunt pakken. Het is nu eenmaal een feit dat met het gebruik van notaties een uitleg of definitie overzichtelijker is. En laat het nu juist één van de doelstellingen zijn om problemen gestructureerder aan te pakken. De doffe ellende is nu de leerlingen juist dóór het gebruik van de notaties door de bomen het bos niet meer zien en juist het euvel dreigt dat ze deels, of erger nog helemaal, de structuur niet meer zien. Je moet verdomd goed weten hoe je de notaties moet gebruiken voordat je er het nut van hebt om het gestructureerder en overzichtelijker te krijgen. De vraag is geweest: in hoeverre kom je problemen tegen in de theorie bij het laten wegvallen van de notaties? Nu bestaat er gelukkig nog altijd zoiets als een middenweg of een compromis. Want aan de ene kant kunnen de notaties de boel in bewoordingen een stuk comprimeren, aan de andere kant is het niet zo nodig om te praten over verzamelingen en spelen met een verzameling spelers die een verzameling aan strategieën hebben. De meeste problemen blijven toch beperkt tot twee spelers, met twee strategiemogelijkheden. En daar waar het nodig is zal een oplossing moeten worden 49

gevonden. Daarnaast blijft het feit dat ik als auteur de leerling goed wil voorbereiden op het hoger onderwijs. Daarom heb ik er als tussenoplossing voor gekozen door wel aan te geven dat de strategie met de letter s wordt aangegeven en het subscript aangeeft om welke speler het gaat. Tevens wordt met een superscript tussen haakjes aangegeven om welke strategiemogelijkheid het gaat en dat wordt ook toegepast op de nutsfunctie u door met een subscript aan te geven om welke speler het gaat en deze functie is dan afhankelijk van de strategiekeuzes van de spelers. De notatie s en haar betekenis wordt nu als volgt uitgelegd met deze figuur:

Om toch een stap te maken in de richting van meerdere strategiemogelijkheden wordt tegelijk een brug geslagen met de spelboom. Door het introduceren van de spelboom worden er twee vliegen in één klap gevangen. Deze figuur ziet er dan als volgt uit:

Het idee erachter is ook nog dat met deze figuur bepaald kan worden uit hoeveel uitkomstmogelijkheden een spel bestaat uit twee spelers met respectievelijk n en p strategiemogelijkheden. Dit idee is uitgewerkt in opgave 7. Het idee hier weer achter is dat de leerling toch enigszins bewust wordt van het nut van notaties. Als je een situatie bekijkt met veel spelers en/ of strategiemogelijkheden wordt het een hoop geschrijf en biedt de notatie de oplossing! Er is ook nog sprake van geweest om de al geschreven theorie inclusief de notaties of de notaties alleen als een bijlage toe te voegen. Deze is uiteindelijk niet terecht gekomen in het dictaat, maar wel als bijlage in deze scriptie. Vanwege het feit dat er steeds wordt gemaximaliseerd moet er een opmerking komen bij het gevangenendilemma in voorbeeld 3. waarbij wordt geminimaliseerd. Als voetnoot is er daarom in paragraaf 1.1 al een opmerking gemaakt dat het gaat om beste resultaat en tevens is daaraan in de tekst toegevoegd dat de straf gezien wordt als de uitbetaling en dat je zo kort mogelijk de cel in wilt. In het boek Microeconomics worden bij het beschrijven van een spel het spel door middel van vier elementen besproken: de spelers, de regels de uitkomsten en de uitbetalingen. Maar bij deze indeling komen de strategiemogelijkheden "in" de regels terecht. Aangezien het belangrijk begrip betreft mag het best wel meer aandacht betreffen, tevens is een strategiemogelijkheid op zich geen spelregel. Daarom is er voor gekozen om een vijfde element toe te voegen: strategieën. Niet coöperatieve speltheorie Het voorbeeld waarmee de niet-coöperatieve speltheorie wordt ingeleid is een leuk voorbeeld dat op deze plaats in het materiaal goed tot zijn recht komt. Het is goed een inleidend

50

voorbeeld te geven en daarbij aan te geven waar het hoofdstuk zijn plaats heeft in de speltheorie. Normale vorm In eerste instantie werd paragraaf 2.1 ingeleid met de definitie van normale vorm, dit is een vorm van "anti-didactische inversie". Het is echter zo dat we de normale vorm representatie eerder zijn tegengekomen. Het punt is alleen dat we deze toen nog niet zo hebben genoemd. Daarom wordt er aan het begin van de paragraaf verwezen naar paragraaf 1.2. Deze verwijzing moet ook concreet zijn met nummer en eventueel ook de pagina erbij vermeld. Met de verwijzing wordt er een link gelegd tussen het behandelde uit het vorige hoofdstuk en het nieuwe hoofdstuk. Een nieuwe definitie is dan niet meer zo nieuw als het lijkt. De term normale vorm levert op zich levert ook al discussie op aangezien er gewoon een representatie in een tabel mee wordt bedoeld. Maar formeel is de normale vorm niet alleen de tabel maar mag het ook formeel met verzamelingen en strategiemogelijkheden in notaties worden weergegeven. Maar er is voor gekozen om de notaties enigszins minder aandacht te laten krijgen en een weergave op deze manier zou alleen maar kunnen leiden tot onrust. Kortom, ik wil wel het formele begrip aangeven zoals die bekend is in de speltheorie, maar daar niet op al te formele manier op ingaan. Bij de verwijzing in de voorbeelden is het verstandig dan wel de term "normale vorm" te laten vallen. En niet alleen te verwijzen met "tabel". Want dat zorgt dan weer voor verwarring. Wel consistent blijven. Het gebruik van het woord representatie dat in eerdere versies vaak werd gebruikt kan beter weg worden gelaten. Het woord leest niet makkelijk en door in plaats van "normale vorm representatie" alleen "normale vorm" te gebruiken is het even duidelijk en lopen de zinnen vlotter. De definitie van maximin-strategie moet wel secuur gekozen worden en een goed lopende zin zijn (dat laatste moet natuurlijk altijd gelden). Hier mag zeker de opmerking bij komen dat je deze strategie speelt met het doel je risico te beperken (minimaliseren). Het lezen van de normale vorm moet duidelijk gestructureerd aangegeven worden. Daarom moet bij het als eerste gegeven voorbeeld Voorbeeld 7: Bierbrouwerij aangegeven worden wat de betekenis is van de elementen van de coördinaten. Duidelijk moet zijn welk element bij welke speler hoort en bij welke strategie. Dit is essentieel om de oplossing te zoeken. Door in Voorbeeld 4 te spreken van een marktleider, roept dit ook de vraag op wat dit voor betekenis heeft en hoe dit in de tabel te zien is. Ik heb specifiek uitgelegd hoe dit in de tabel te zien is, maar heb er wel voor gezorgd dat de speler die de marktleider is, Bedrijf II, dat deze als enige een dominante strategie heeft. Dat hij bij het maken van zijn keuze niet afhankelijk is van zijn tegenspeler geeft een gevoel voor het marktleiderschap van Bedrijf II. Er is gekozen om niet te veel in te gaan op de economische betekenis van het marktleiderschap aangezien het materiaal bedoeld is voor Wiskunde D. Ik heb het gelaten bij de opmerking dat het marktleiderschap betekend dat de marktleider meer macht heeft op de markt en minder gevoelig is voor veranderingen. In Voorbeeld 8: Softwarebedrijf (versie I) moet expliciet worden verwezen naar het risico dat Bedrijf I loopt als Bedrijf II van zijn optimale strategie afwijkt, want dit is de essentie van het spelen van een maximin-strategie. Spelboom De spelboom wordt in de speltheorie vaker aangeduid met de begrippen extensieve vorm of karakteristieke vorm. In tegenstelling tot het begrip normale vorm is er hier wel voor gekozen om het woord spelboom te gebuiken. Uit resultaten van het experiment in de klas zal nu kunnen blijken of het beter is om in beide gevallen te blijven bij de bekende begrippen tabel 51

en spelboom of dat er wel gebruik kan worden gemaakt van de speltheoretische begrippen normale- en karakteristieke vorm. In eerdere versies was alleen aan de hand van Voorbeeld 9 met tekst uitgelegd hoe de spelboom er in het algemeen uitziet. Maar visueel kan een stuk duidelijker worden gemaakt welke begrippen bij welke onderdelen in de spelboom horen. Daarom is er besloten om een algemeen figuur van een spelboom toe te voegen waarin alle begrippen staan vermeld. In eerste instantie was die ook nog in kleur en werd in de tekst gerefereerd aan de kleur. Deze referentie is gewijzigd zodat het materiaal ook zwart-wit gebruikt kan worden. De spelboom en normale vorm zijn twee manieren om een spel weer te geven. Dat roept de vraag op waarom er twee manieren zijn en er niet voor één manier is gekozen. Dit heeft te maken met het feit dat beide manieren zo hun voor- en nadelen hebben. Deze moeten worden aangehaald zodat dit voor de leerling ook bekend is. Het geeft de leerling inzicht in het gebruik van de twee representaties en moet de leerling sturen om te kunnen bepalen in welke gevallen het beter is de ene dan wel de andere vorm te gebruiken. Eén argument voor het gebruik van de normale vorm en één argument voor het gebruik van de spelboom zijn gegeven na Voorbeeld 10. Andere wordt besproken in opgave 24. Het was niet geheel duidelijk waarom de begrippen perfecte- en imperfecte informatie interessant zijn en aandacht krijgen. Er is voor gekozen om de begrippen niet met een volledige definitie op te nemen in de tekst, maar gewoon cursief te maken. Er ligt op die manier minder de nadruk op het begrip. Hiermee wordt een onderscheid gemaakt tussen belangrijke begrippen en iets minder belangrijke begrippen. Nash-evenwicht In de definitie wordt niet geheel duidelijk wanneer er nu sprake is van een evenwichtsituatie. De definitie is niet veranderd in de laatste versie, wel is een toelichting gegeven om het begrip meer kracht bij te zetten. De formele definitie van het Nash-evenwicht met notaties was eerst net als de definitie in woorden in een apart blok weergegeven waardoor het lijkt alsof het heel belangrijk is. Maar er is voor gekozen de notaties minder in de spotlights te laten staan, daarom is het in de uiteindelijke versie te vinden in de tekst onder de definitie in woorden. In de uitleg van het Nash-evenwicht met notaties is er onderscheid gemaakt tussen si en si', deze komma is niet heel duidelijk, maar wel een gebruikelijke methode. Aangezien het niet van groot belang is heb ik ervoor gekozen de originele notatie met komma te behouden. Veilingen De paragraaf over veilingen is niet geëvalueerd doordat deze bij een van de laatste veranderingen van het materiaal is toegevoegd. Coöperatieve speltheorie In een eerste definitie van coalitie staat: voor elke coalitie is er een uitbetaling als een speler voor die coalitie kiest. Dit is nogal vaak taalgebruik en past daarom niet in een definitie. De zin is gewijzigd in: elke gevormde coalitie levert de spelers een uitbetaling op. Het begrip "coalitie" wordt vervolgens duidelijk in Voorbeeld 20. Dit voorbeeld was in een eerdere versie pas gegeven nadat het begrip deelverzameling is gegeven. Nu is het zo dat dit begrip verwerkt is in het voorbeeld. Een coalitie wordt aangegeven met de letter 'S'. Dat is dus dezelfde letter die verbonden is met het begrip strategie. Aangezien er niet diep op in wordt gegaan en het een apart hoofdstuk betreft en de 's' van strategie verder niet aan de orde is in dit hoofdstuk is geen probleem dat ook hier dezelfde symbolen worden gebruikt. 52

De inleidende paragraaf is verder uitgewerkt om duidelijk te maken waar coöperatieve speltheorie voor dient. De coöperatieve speltheorie moest ook meer diepgang en inhoud krijgen omdat het anders een soort aanhangsel van het materiaal zou worden waarin niet veel nieuws wordt gemeld. De theorie wordt zo opgebouwd dat het begrip core kan worden behandeld. Dit begrip geeft inzicht in de onderhandelingsruimte en legt daarmee de basis voor het aangaan van een coalitie. Hiermee wordt de basistheorie over de coöperatieve speltheorie afgesloten. Machtsindex In een eerdere versie was de machtsindex maar een kleine paragraaf die voorbereide op de Banzhaf-waarde, maar door de korte behandeling van de machtsindex komt het idee over de machtsindex niet goed uit de verf. Daarnaast bleek het niet haalbaar om de theorie over de Banzhaf-waarde voldoende duidelijk uit te leggen in een niet al te lange paragraaf. De paragraaf over de machtsindex is daarom uitgebreid en het idee van de Banzhaf-waarde komt tot uiting in de opgaven. 4.6.2 Experiment testpersoon Er is één experiment gedaan met een testpersoon voordat het materiaal in de klas uitgetest kon worden. Aan de hand van dit experiment en nog een evaluatie zijn nog aanpassingen en toevoegingen gedaan aan het materiaal. Het materiaal dat is gebruikt bij dit experiment is te vinden in de bijlage. In deze paragraaf zal in de methodologie de opzet van het experiment worden weergegeven. De opmerkingen van de leerling zijn ten eerste ten vinden onder de kop algemene opmerkingen waar de opmerkingen van de leerling te vinden die betrekking hebben op het gehele materiaal. Ten tweede zijn onder de kop Opmerkingen theorie opmerkingen te vinden die betrekking hebben op de lopende tekst, de theorie. Ten derde zijn er onder de kop Opmerkingen Opgaven opmerkingen te vinden met betrekking tot de opgaven. Onder de aparte kop Resultaat ingeleverde opgaven is ingegaan op de ingeleverde opgaven van de leerling. Er is alleen ingegaan op opgaven die nuttig resultaat opleverde voor het materiaal. Tot slot is er nog toegevoegd wat de directe gevolgen zijn geweest van dit experiment op het materiaal. Methodologie Op maandag 8 maart is een leerling uit 6 vwo van het Junior College Utrecht bereid geweest om 3 uur lang (9.00u – 12.00u) de op dat moment meest recente versie van het studiemateriaal te testen. De leerling is een meisje van 17 jaar en gekozen omdat ze, naar zeggen van een medeleerling, redelijk kritisch kan zijn. Onder mijn begeleiding hebben we in een ruimte de tekst doorgenomen en de opgaven gemaakt. Hierbij heb ik haar zoveel mogelijk zelfstandig de tekst door laten lezen en zelfstandig de opgaven laten maken. Als ze vragen of opmerkingen had over tekst, inhoud, opgaven etc. dan kon ze die gelijk melden. De antwoorden diende ze op te schrijven en in te leveren. Waar zaken onduidelijk zijn is eventueel door mij een toelichting gegeven aangezien een docent dat in een normale les ook doet. De situatie sluit daarbij aan om een normale les, behalve dat er geen klassikale bespreking van de stof is. Voor er aan het materiaal is begonnen heb ik wel een korte introductie gegeven over speltheorie en het doel van mijn onderzoek. Aangezien drie uur niet genoeg is om het hele materiaal door te nemen is besloten om sommige opgaven over te slaan en het experiment te richten op de onderdelen waaruit in evaluaties bleek dat er knelpunten zouden kunnen liggen. Algemene opmerkingen

53

De belangrijkste opmerking is dat bij zowel het lezen van de tekst als het maken van de opgaven de leerling continu gericht bezig is met de vraag: “Is dit belangrijk voor de toets?”. Door middel van deze vraag wordt bepaald of de informatie aandachtig wordt doorgelezen of dat er snel langs wordt gelezen. Het wordt prettig ervaren dat de vragen in de opgaven vaak voor zijn gedaan in een voorbeeld. Op deze manier weet je op welke manier er van je verwacht wordt dat je antwoord geeft. Daarnaast mag er meer worden verwacht van de leerling dan alleen het reproduceren van de voorbeelden. Soms is er te veel voorgedaan en worden de hersenen niet op actief gezet om na te denken, er mag meer diepgang in. Opmerkingen theorie Voorbeeld 1 is duidelijk om mee te beginnen. De eerste paragraaf vrij kort en niet diepgaand. Paragraaf 1.2 is gelijk een stuk moeilijker. En mag nog wel een extra voorbeeld bevatten. Het is door het gebruik van de letter ‘s’ in meerdere situaties wat onduidelijk. Zo dienen in ieder geval het subscript en superscript uitgelegd te worden. Tevens moet er gelet worden op het gebruik van het woord strategiekeuze, dit begrip is niet helemaal duidelijk aangezien je ook de begrippen strategie en strategiemogelijkheden hebt. Daarnaast wordt er gesproken over uitkomstvectoren. Het begrip vectoren wordt gebruikt bij natuurkunde om de richting aan te geven die eventueel hoort bij een kracht. Hierdoor is het begrip vector een beetje onduidelijk. De overgang van de inhoud over uitbetalingsvectoren en aannames was niet duidelijk. De tekst liep door en het was niet duidelijk dat er een nieuw onderdeel uit de speltheorie werd behandeld. Een antwoordenboekje voor de leerlingen is ook handig. Aan de hand van antwoordenboekje wordt voor de leerling duidelijk wat er van zijn antwoorden mag worden verwacht, ook omtrent het gebruik van notaties. Een appendix met een toelichting op de symbolen is overbodig, want die leest toch (bijna) niemand. Opmerkingen opgaven Bij 1b is onduidelijk vanuit welke oorspronkelijk situatie moet worden uitgegaan: de situatie in vraag 1a of vanuit de tekst boven de opgave. De situatieschets in opgave 2 is nogal makkelijk en a en b aangeven voor twee spelsituaties is niet nodig, nu staat b in het midden van de pagina. Opgave 3 is een open vraag. Hier besteed je niet te veel tijd aan omdat zo’n vraag toch niet op de toets wordt gesteld. Opgave 5 levert een formule op hoe het aantal uitkomstmogelijkheden, deze formule kan in de opgave erbij. Resultaat ingeleverde opgaven Opgave Antwoord 1a Ja 2b Int midden; meer kans op remise: je kan de ander dan niet meer voor bekende blok zetten 3

Opmerking Denk aan het stellen van ja/nee-vragen. Er wordt dus vanuit gegaan dat de speler niet optimaal intelligent is. Hier kan naar worden verwezen bij het behandelen van aannames. Centraal station als we met de trein Ten eerste is er in de opgave niet komen, anders de Dam gerefereerd aan de plaatjes, deze worden toch gebruikt. Leerling:”Waarom zouden ze er anders bij staan”. Ten tweede wordt er niet stil gestaan bij wat de ander denkt, wat de essentie is van de 54

5a

6-8 9a 9b

10-12 13

14a

vraag Si = {1,2,3} {S ,S ,S } Er is dus toch twijfel geweest over het 3 2 opschrijven van de verzameling. Pas na 2 =83 =9 een klad te maken met de mogelijkheden wordt bepaald hoeveel uitkomstmogelijkheden er zijn. Nu dit duidelijk is, zijn b, c en d ook wel duidelijk. Hierbij heb ik wel uitleg moeten geven. Het duurde ook lang voordat de relatief korte tekst met veel nieuwe notaties goed werd begrepen. Het idee leek wel duidelijk, maar soms moet een notatie die hoort bij een begrip een paar keer gelezen worden om onderscheid te maken met de andere notaties. overgeslagen Het is ondoenlijk om alle uitkomstmogelijkheden te geven. Σ(u1, u2,… u10)/I x 2/3 De somnatie is op het JCU geleerd. Echter er moet rekening worden k=1 tot 10: Σ(Sk)/I x 2/3 = … gehouden met het feit dat het JCU vaak met S de strategiekeuze. notaties behandeld die niet tot de regulier stof behoren. Dit is nu geen probleem, maar kan bij andere leerlingen wel een probleem zijn. Overgeslagen Ja, als ze na ‘eerlijke’ verdeling naar Dit is niet juist. De redenering wordt elkaar toeschuiven wordt hun aandeel gestopt als ze in het midden zitten. Het groter, tot het midden. is overigens de vraag hoe ze in het midden komen, want als er iemand in het midden zit en de andere twee riching het midden bewegen ziet hij zijn aandeel kleiner worden waar hij het ongetwijfeld niet mee eens is en hij zal ook verplaatsen. Alle elementen worden netjes met goede notatie weergegeven. Er is gestoeid met notatie, maar heeft wel resultaat opgeleverd. 1

2

3

Gevolgen Het belangrijkste directe gevolg is dat het onderwerp over het gebruik van de notaties (paragraaf 1.2) als lastig werd beschouwd. Er is veel tijd in gaan zitten om het gebruik van de notaties met bijbehorende betekenis volledig te begrijpen. Leerling hierover: “alle begrippen en notaties lijken op elkaar”. Hierdoor wordt erg veel tijd gestoken in de notaties, wat wel één van de doelstellingen was om onder controle te krijgen, maar het ging wel ten koste van de tijd die gestoken werd in de rest van de inhoud en de manier om de optimale strategie te bepalen. Dit laatste is de essentie van de speltheorie en is bij het behandelen van de speltheorie belangijker dan het aanleren van notaties. Dit heeft tot gevolg gehad dat het tijdens een interne evaluatie weer moest worden besproken. Ik vond dat uit de resultaten van dit experiment bleek dat het wel een knelpunt is, maar geen overkomelijke situatie. Ik heb door 55

dit experiment niet de hoop opgegeven dat de speltheorie een aandeel kan hebben in het aanleren van het gebruik van notaties. Het uiteindelijke gevolg is dat ik een middenweg eb gezocht om wel notaties te behandelen, maar er minder de nadruk op te leggen om meer tijd te besteden in het behandelen van het bepalen van de optimale strategie in een spel. Ook heeft het experiment invloed gehad op de keuze van het weggelaten materiaal met betrekking tot de notaties in een appendix of bijlage. De verwachtingswaarde van de toegevoegde waarde is te gering om het toe te voegen in het materiaal. Mede doordat de leerling aangaf dat er niet naar word gekeken. Omdat er werd gevonden dat de tekst niet lekker doorliep met betrekking tot het bespreken van de aannames is er voor gekozen om een aparte paragraaf toe te voegen met betrekking tot de aannames die gedaan worden bij het spelen van een spel. Leerlingen uit 5 vwo hebben nog geen kennis gemaakt met de ruimte met meer dan drie dimensies. Ook kennen ze vectoren alleen als richting met eventueel een bepaalde kracht. Dus ze kennen niet het gebruik als plaatsaanduider in een n-dimensionaal assenstelsel. Aangezien er op een uitzondering na alleen gesproken wordt over het 2 dimensionale geval is neemt het geen problemen met zich mee door de genoemde vector in eerdere versies van het materiaal te vervangen door het bekende begrip voor de leerlingen: coördinaat. 4.7

Docentenhandleiding

Voor de docent is bij het materiaal een docentenhandleiding geschreven. Hierin staan toelichtingen op het materiaal en het gebruik daarvan. De bedoeling is dat de leraar met deze handleiding een idee krijgt hoe hij of zij met het materiaal aan de slag kan gaan. De opbouw van het mariaal, waarin eerst tekst wordt gegeven en in een aparte paragraaf pas de opgaven, is niet zoals gebruikelijk en daarom is toegelicht wat de bedoeling hiervan is. Er is aangegeven in de handleiding dat de leraar (uiteraard) vrij is in de invulling en behandeling van het materiaal. Zo is het ook aan de docent om te bepalen hoe het materiaal afgesloten dient te worden. Dit kan met een proefwerk of een praktische opdacht. Een aantal mogelijkheden voor een praktische opdracht zijn aangegeven. Tevens is een tabel opgenomen in de handleiding waarin een toelichting gegeven is bij elke paragraaf met tips en soms extra opgaven of problemen die in de les behandeld kunnen worden. Er wordt aangegeven welke voorbeelden goed in de klas behandeld kunnen worden en hoe er soms kan worden gerefereerd naar eerder behandelde stof om zo de samenhang tussen de hoofdstukken en paragrafen in te zien. Het totaalbeeld wordt hierdoor duidelijker. Als laatste is een lessentabel opgenomen met daarin een planning over de verdeling van het aantal slu over de paragrafen. Ook staat er aangegeven welke opgaven zelfstandig in de klas kunnen worden gedaan en het huiswerk. De opgaven met een * zijn belangrijke opgaven en zouden als inleveropgaven kunnen dienen. Het geven van *-opgaven is overigens een veel toegepaste methode op de universiteit (of in ieder geval op de Universiteit Utrecht bij de faculteit Wiskunde).

56

5

Experiment

5.1

Voorbereiding

Om leraren te vinden die bereid zijn het materiaal uit te testen is in eerste instantie contact gezocht met leraren die het Freudenthal Instituut bezochten op een middag die speciaal in het teken stond van Wiskudne D. Het contact leggen met leraren is gedaan in samenwerking met Rogier Kok, die studiemateriaal heeft geschreven voor Correlatie en Regressie. Hier hebben we verschillende contacten gelegd met leraren en uitgelegd wat de bedoeling is van ons onderzoek en wat de inhoud is van ons materiaal. We hebben namen en emailadressen genoteerd. De dag na de kennismaking hebben regelmatig de docenten op de hoogte gehouden van ons onderzoek. Het is op deze manier helaas niet gelukt een docent te vinden voor de periode waarin het materiaal klaar was voor gebruik. Ook een oproep in de Wiskunde D-krant leverde geen resultaat op. Een tweede verzoek aan het Goois Lyceum in Bussum waar ik eerder dit jaar stage heb gelopen leverde wel het gewenste resultaat op. Niet veel later na het mailen is een afspraak gemaakt met de docenten om het materiaal te bekijken en afspraken te maken over de opzet van het experiment. Tijdens het gesprek met de betrokken docenten Jos Mertens, Marianne Raaijmaakers en Erik Schmal heb ik mijn eigen voorkeur aangegeven over de invulling van de lessen aan de hand van mijn geschreven docentenhandleiding. De docenten hebben ook hun voorkeuren aangegeven en aan de hand hiervan is een lesseninstructie gemaakt door Erik Schmal, zie bijlage. Om goed voorbereid te zijn voor het experiment heb ik een document opgesteld waarin nog eens staat weergegeven met welk doel ik het experiment ga doen en op welke vragen ik zo goed als mogelijk antwoord wil vinden. Het is niet de bedoeling dat op alle vragen die ik mij hierin stel een antwoord te vinden, maar het is de bedoeling dat het mij op scherp zet waar ik mijn aandacht op kan richten tijdens de observaties. Dit document is te vinden in de bijlage. Om de observaties snel en efficiënt op de kunnen schrijven heb ik een standaard formulier gemaakt waarin staat wat tijdens de les moet worden geobserveerd, zie bijlage. De genoemde docenten hebben voor de leerlingen een zwart/wit-versie uitgeprint en uitgedeeld aan het begin van de lessenserie. 5.2

Methodologie

Het materiaal is in eerste instantie geschreven voor 5 vwo-leerlingen voor het domein Wiskunde D met een studielast van ongeveer 40 slu, wat overeenkomt met ongeveer 10 tot 15 lessen. Voor het experiment zijn echter drie klassen met 4vwo-leerlingen geobserveerd die Wiskunde B hebben. Voor het behandelen van het materiaal zijn 11 lessen gepland. Aangezien er voor het materiaal niet veel eisen worden gesteld aan de voorkennis is het mogelijk om het materiaal ook te testen in 4-vwo. Er hadden zich geen docenten gemeld die het materiaal wilden testen met 5-vwo leerlingen. De leerlingen die wiskunde D volgen hebben als basiskennis Wiskunde B, aan deze eis voldoet deze groep leerlingen. Het aantal lessen komt ongeveer overeen met het aantal studielasturen. Het is de materiaal is bedoeld om te behandelen onder begeleiding van een docent die ook klassikale uitleg geeft en ingaat op centrale vragen die er in de groep zijn. Aangezien er voor was gekozen op de school om tijdens de lessen de groep te splitsen in tweeën, waarin de ene helft heeft gekozen voor het onderwerp Speltheorie en de andere helft voor dynamische modellen, is er daarom voor gekozen om geen klassikale uitleg te geven bij het materiaal. Een klassikale uitleg zou de andere helft van de leerlingen storen en de andere helft zou de

57

klassikale uitleg kunnen storen. Uiteraard kunnen de leerlingen wel vragen stellen over de stof. Voor het onderzoek en tevens voor de motivatie van de leerlingen is ervoor gekozen dat de leerlingen al hun gemaakte opgaven moeten inleveren. Om te voorkomen dat de leerlingen buiten schooltijd antwoorden van elkaar overnemen is gekozen voor de opzet om de ene les de opgaven voor te bereiden door de tekst te bestuderen en in de volgende les de opgaven te maken. Voor een deel komt deze methode overeen met de methode zoals les wordt gegeven om de universiteit. Om de universiteit wordt weliswaar veelal de methode aangehouden om eerst een blokuur klassikaal les te geven om vervolgens in een blokuur opgaven te maken en te bespreken, maar de overeenkomst is dat er eerst een deel theorie wordt behandeld en vervolgens pas naar de vragen wordt gekeken. De lessen worden gegeven in drie verschillende klassen, maar ik ben niet in de gelegenheid geweest om alle lessen te observeren. Er is voor gekozen om twee dagen op het Goois Lyceum aanwezig te zijn, namelijk op de dinsdag en woensdag. Door op deze dagen te observeren ben ik in de gelegenheid geweest om het merendeel van de lessen van de klas van Erik Schmal te volgen (alleen de lessen op vrijdag kan ik niet observeren). Hierdoor heb ik van één klas in ieder geval een totaalbeeld hoe er met het materiaal om wordt gegaan. Van de klassen van Marianne Raaijmaakers en Jos Mertens ben ik alleen in staat geweest enkele lessen bij te wonen. Tijdens de observaties tijdens de les is gelet op welke vragen er worden gesteld over de inhoud, zowel naar de docent als tussen de leerlingen. Er is op gelet hoe de leerlingen aan de slag gingen, hoe lang ze erover doen om de tekst te lezen, hoe lang ze geconcentreerd zijn, of de tekst is begrepen, of de vragen serieus worden beantwoord en of de leerlingen geïnteresseerd zijn in het materiaal. Ik heb mij beschikbaar gesteld om ook vragen van leerlingen te beantwoorden, zowel in de les als via de e-mail. Hierdoor weet ik beter met welke vragen de leerlingen zitten en daarmee kan ik bepalen waar de problemen zitten. Met behulp van de observaties wil ik antwoord krijgen op de deelvragen: 1. 2. 3.

Is het lesmateriaal van het juiste niveau en sluit het daarmee aan op de doelstelling van Wiskunde D? Zorgt het lesmateriaal ervoor dat de leerling beter in staat is om op een systematische manier problemen op te lossen? Zorgt het lesmateriaal ervoor dat de leerling beter in staat is om met wiskundige notaties om te gaan?

Tijdens observaties kan antwoord gevonden worden op deze deelvragen door: - te beoordelen of de leerlingen genoeg gemotiveerd zijn. Bij een te laag of een te hoog niveau zullen er opmerkingen komen over het niveau. - de vragen die zullen worden gesteld over de stof. Uit de vragen moet blijken of de stof met behulp van het materiaal begrepen kan worden of dat er veel moeite is om de vaardigheden onder de knie te krijgen. Als de leerling niet op een systematische manier problemen kan oplossen zal de leerling bijvoorbeeld vragen een probleem voor te doen en in stukjes te hakken. Als er vragen komen over vaardigheden en begrippen die als voorkennis verondersteld zijn kan worden achterhaald of het materiaal goed aansluit op Wiskunde B. Voor het bestuderen van de opgaven zijn een aantal belangrijke vragen geselecteerd. Veelal komen deze opgaven overeen met de opgaven die in de docentenhandleiding zijn aangegeven met een *. Door de vragen te analyseren kan antwoord op de deelvragen gegeven worden door: - het wel dan niet goed antwoorden van de vragen inclusief het juiste gebruik van begrippen kan worden vastgesteld of het niveau te hoog of te laag is. 58

- de manier waarop een probleem wordt aangepakt kan worden bekeken of dit op een gestructureerde manier gaat of heel informeel door middel proberen er het beste van te maken - vast te stellen of de juiste notaties worden gebruikt en of ze überhaupt wel worden gebruikt of worden omzeild door het antwoord in zinnen te beschrijven. Aan het einde van het experiment is een enquête gehouden onder de leerlingen om achteraf te kunnen vragen hoe ze terugkijken op het materiaal. Ook dit helpt bij het beantwoorden van de deelvragen door de leerlingen vragen te stellen die betrekking op deze deelvragen. 5.3

Observatie lessenserie

Alleen díe observaties zijn opgenomen die van belang zijn voor het beantwoorden van de onderzoeksvraag. Om goed te kunnen observeren en beter toe kunnen werken naar de conclusies zijn voor de te observeren lessen de verwachtingen, cq. hypotheses, opgeschreven. Merk op dat niet alle lessen zijn geobserveerd en dus zijn sommige onderdelen van paragrafen ook niet voorbereid en zijn ook de verwachtingen daarvan niet opgeschreven: Theorie 1.1 Verwacht wordt dat de leerlingen de tekst in deze les bestuderen en vragen stellen over onduidelijkheden. Het is de vraag of ze begrijpen waar het gevangenendilemma om draait. Voorbeeld 2 zullen ze moeite mee kunnen hebben omdat een wellicht nieuwe denkwijze moet worden gevolgd: backward induction. Opgave 1.1 Verwacht wordt dat ze opgave 2 zullen gaan spelen om antwoord op 2a2 te krijgen en dat ze het niet allemaal gelijk doorhebben. Bij opgave drie is de verwachting dat als ze de tekst hebben gelezen de vraag zullen beantwoorden door na te denken over wat de tegenstander gaat doen. Opgave 5 zal ingewikkeld worden gevonden. De situatieschets lijkt bij nader inzien ook niet helemaal duidelijk. Opgave 1.2 Opgave 6 zal makkelijk te reproduceren zijn. Als de theorie op pagina 14 over het aantal strategiemogelijkheden wordt begrepen, dan zal opgave 7 niet al te veel problemen opleveren. Maar als ze dit niet aandachtig hebben gelezen kunnen ze het nog lastig vinden. Als a tot en met c is begrepen, dan zal het geven van de formule bij opgave d ook geen probleem zijn. Wel moet daar nagedacht worden over de notatie. Opgave e zal moeilijk worden gevonden aangezien ze nog niet de basis bezitten om elementen te nummeren door middel van een subscript. Als opgave 8 niet in de klas wordt gespeeld dan zal het gevoel voor de spelsituatie minder zijn en dan moet er langer over de situatie worden nagedacht. Als opgave 7 is gesnapt dan is het ook makkelijk om 8a4 te beantwoorden. Opgave 8b wordt lastig mooi op te schrijven als het sommatieteken nog geen bekend begrip is. Opgave 9 is een kwestie van reproduceren en zal geen problemen opleveren. Opgave 10 is bij nader inzien nog lastiger dan gedacht aangezien er met meer mogelijkheden rekening moet worden gehouden dan ik in eerste instantie bij het bedenken van de vraag had gedacht. Er zal een toelichting moeten worden gegeven om de vraag te richten op de logische strategieën, maar dat is speltheoretisch niet helemaal meer correct. Theorie 2.1 Er is ten opzichte van de vorige paragrafen meer tekst en dus zullen de leerlingen naar verwachting alle tijd nodig hebben om hier in één les doorheen te kunnen komen. Het begrip normale vorm zal wat raar worden gevonden als blijkt dat het gewoon een tabel betreft. De leerlingen zijn nog niet getraind in het lezen van de tabellen, dus het doornemen van voorbeeld 7 kan wat tijd en energie kosten om door te nemen en de strategie te ontdekken die nodig is om het probleem op te lossen. Dat zelfde zal gelden voor Voorbeeld 8. Opgave 2.1 Verwacht wordt dat opgave 11 moeilijk wordt gevonden. In de situatie met drie ijsverkopers kan niet meer dezelfde redenatie worden gevoerd zoals dat het geval is met 59

twee spelers. Toch zullen ze omdat dit aansluit bij dit voorbeeld dezelfde redenatie volgen. Als ze voor het eerst zelf de dominante strategie moeten vinden, zoals bij opgave 12 het geval is, dan zullen ze nog moeite hebben met het lezen van de tabel. Het horizontaal en vertikaal lezen dat nodig is om de dominante strategie te vinden vergt enige oefening. Verwacht wordt dat ze het wel snappen door in opgave 15 meerdere malen deze dominante strategie te bepalen. Hetzelfde geldt voor de maximin-strategie. Opgave 16 zal moeilijk worden gevonden omdat er vanuit de definitie een bewijs moet worden geleverd. Maar met opgave 15 is een tegenvoorbeeld te vinden. Aangezien ze geen voorkennis hebben over bewijzen is het de vraag of ze dit argument zullen gebruiken. Theorie 2.2 Het idee van een spelboom zal de leerling wel duidelijk zijn. Het begrip informatieverzameling zal het lastigste begrip zijn uit de spelboom. Er wordt verwacht dat door voorbeeld 11 hier meer duidelijkheid in verschaft. Aangezien dit experiment in een 4-vwo klas word uitgevoerd is er geen voorkennis over verwachtingswaarde, hierdoor het begrijpen van voorbeeld 13 extra tijd vergen. Opgave 2.2 Met voorbeeld 11 moet het idee van een informatieverzameling duidelijk zijn en kunnen opgaven 17 en 18 makkelijk worden gemaakt. Opgave 19 zal weer inzicht vereisen, aangezien er geen klassikale uitleg wordt gegeven zullen de begrippen op elkaar lijken en is het verschil tussen de begrippen wellicht niet duidelijk. Het bepalen van de dominante strategie zal bij opgave 21 wel lukken. Het berekenen van de verwachtingswaarde moet te reproduceren zijn uit voorbeeld 13. Het geven van een schets bij opgave 22 en 24 kan een beetje raar worden gevonden aangezien er heel veel mogelijkheden zijn. Het woord schets kan worden opgevat als vaag taalgebruik. Het bepalen van de waarde van een contract met behulp van verwachtingswaarden vergt enig inzicht. Ik verwacht niet dat iedereen dit inzicht heeft. De onderstaande observaties zijn ingedeeld op klas, aangezien ik veel lessen heb geobserveerd bij de klas van Erik Schmal is op deze observaties dieper ingegaan. Bij de klassen van Marianne Raaijmaakers en Jos Mertens kwamen veelal dezelfde problemen aan de orde als in de klas van Erik Schmal. Ik heb hieronder onder de observaties bij Marianne Raaijmaakers en Jos Mertens alleen afwijkende vragen opgenomen. Aangenomen mag worden dat in deze klassen soortgelijke situaties waren te observeren als beschreven bij de klas van Erik Schmal. 5.3.1 Klas Erik Schmall 23-05-2007: 4 leerlingen (3 meisjes, 1 jongen) De bijzonderheid aan deze les was dat in verband met het uitvallen van een aantal lessen het bijwonen van deze les niet verplicht was. De leerlingen hadden allemaal het dictaat meegekregen om thuis paragraaf 1.1 te bestuderen. De docent is bij deze les niet aanwezig. Toch waren 4 leerlingen bereid de les te volgen. Elissa kwam enthousiast de les binnen met de opmerking: ”het prisoner’s dilemma komt toch uit de psychologie? Ik heb ’t al eerder gehad!”. Elissa begint gelijk aan de opgaven, “ik heb prisoner’s dilemma toch al gehad”, terwijl het de bedoeling is dat in deze les de theorie wordt bestudeerd. Hierin trekt ze Paulette die naast haar zit in mee. Haye begint aandachtig inleiding te lezen en vraagt of Machiavelli een leuk spel is, hij heeft ’t thuis in de kast liggen maar nog nooit gespeeld. Elissa vraagt zich af of je opgave 1 met kansen kan berekenen: “dan kun je bepalen wanneer je voor zwijgen gaat”, Paulette: “doe niet zo moeilijk”. Als Haye Elissa en Paulette boter-kaas-en-eieren ziet spelen, wil hij dat ook en hij gaat naar de opgaven (terwijl hij de theorie nog niet helemaal heeft doorgelezen). Opgave 2a vind hij 60

makkelijk, maar opgave 2b moeilijk. Door het spel een aantal keer te spelen en een bijbehorende uitleg van mij om een denkpatroon te ontwikkelen ziet hij het antwoord. Steffie bladerd en leest door tekst heen, maar niet aandachtig en gaat dan ook met opgaven aan de slag. Elissa merkt op: “nu geen moeilijke formules”. Over opgave 3 zegt Elissa: “hoe bepaal je waar je heen gaat?”, Paulette: ”op de dam is het rustiger, maar als je met de trein gaat…”. Bij opgave 4 zegt Paulette: “ik zou €200.000 aan jou geven, dan kunnen we allebei €200.000 krijgen”, Elissa: “dan kies ik voor mezelf, dan heb ik €300.000”. Aangezien er bij voorbeeld 2 geen opgave hoort leest niemand dit voorbeeld door. Ik behandel de laatste 10 minuten van de les aan dit voorbeeld. Het duurt even voordat ze het doorhebben, maar als ze het door beginnen te krijgen vinden ze het leuk, helaas gaat de bel te vroeg om het helemaal uit te kunnen leggen. 30-05-2007: 9 leerlingen (5 meisjes, 4 jongens) In verband met een so van een andere klas in hetzelfde lokaal moest er in het begin helemaal stil worden gewerkt. De docent is niet aanwezig. Ik ben de aangewezen persoon voor vragen. Er werd nog wel gevraagd over Nash en de grondlegging van de speltheorie. Het is de bedoeling dat in deze les de opgaven van 1.1 worden gemaakt. Het lijkt erop dat ze zich hebben voorbereid aangezien ze niet naar voorbeelden kijken en opgaven uitschrijven. Olja (allochtoon) snapt de vraagstelling bij vraag twee niet. Om het antwoord op vraag 2b te krijgen wordt het spel met mij gespeeld. Door stapsgewijs het probleem aan te pakken wordt het gesnapt. Olja kan niet aangeven wat er nu onduidelijk was aan de vraag. Elissa vraagt zich wat er gebeurd als je opgave 4 herhaaldelijk speelt. Henk vindt opgave 3 een domme vraag, samen met Haye, Ewout en David vragen ze zich af wat ze zullen doen in de situatie van opgave 3: “op de Dam zijn veel mensen en op Centraal Station is een trefpunt”. Er wordt niet de redenatie gevolgd zoals die beschreven staat in de tekst. 05-06-2007: 9 leerlingen (6 meisjes, 3 jongens) In overleg met de docent beantwoord ik de vragen van leerlingen. Het is de bedoeling dat de leerlingen de opgaven maken van paragraaf 1.2. Elissa en Diewertje vragen zich af waar je informatie kunt krijgen voor het beantwoorden van vraag 7. Hieruit blijkt dat de tekst niet helemaal aandachtig is bestudeerd. Ik heb eerst verwezen naar voorbeeld 3 en gevraagd hoeveel uitkomstmogelijkheden er daar zijn waarop Diewertje antwoord: “maar dat is flauw, want daar zijn maar twee spelers en twee strategiemogelijkheden”. Door de stap te maken naar de informatie op pagina 14 zegt Elissa: “ik dacht dat de figuur onderaan betekende dat je de macht moest nemen”. Duidelijk is dat de bijbehorende tekst helemaal niet is doorgenomen aangezien er een duidelijke uitleg bij staat. Het antwoord is daardoor wel goed, maar dat is toevallig. Ik heb de bovenstaande figuur op pagina 14 uitgelegd, die figuur werd toch lastig gevonden. Olja vond alle keuzemogelijkheden naar eigen zeggen maar lastig onder de knie te krijgen. Er zijn veel vragen over opgave 10. Er is onduidelijk wat de strategieën zijn bij het spelen van Yathzee. Een enkeling weet niet wat Yathzee is, ik heb verwezen naar uitleg achterin dictaat. De leerling wist niet dat dit achterin te vinden was. De leerlingen hadden moeite met het berekenen van de kansen en de mogelijkheden te vinden. Er werd niet te lang stil gestaan bij het zoeken naar álle mogelijkheden. 06-06-2007: 10 leerlingen (6 meisjes, 4 jongens)

61

In overleg met de docent beantwoord ik de vragen van leerlingen. Het is de bedoeling dat de leerlingen in deze les de theorie van paragraaf 2.1 bestuderen en oriënteren op de opgaven. Henk kijkt naar de hoeveelheid opgaven die er deze keer bij zitten: “lijkt niet veel voor vandaag”, ik: “daar kan je je in vergissen, het is denk ik meer dan gisteren”, Henk: “nóg meer? Wel veel”, ik: “dan nu maar hard werken” en hij ging snel aan de slag. Het eerste kwartier wordt er vrij rustig zonder overleg de tekst doorgelezen, dan beginnen de eerste, en snel ook de anderen, met het maken van de opgaven. Ik krijg het idee dat ze de stof, die best veel is voor één les niet aandachtig is doorgelezen, maar meer wordt gedacht: “als we alles maar even gezien hebben, dan kijken we wel wat ze vragen”. Tijdens het lezen worden geen vragen aan elkaar gesteld, pas bij het beantwoorden van de vragen wordt er overlegt. Haye vraagt over opgave 11 wat de verkopers zullen doen, hij denkt dat ze naar het midden zullen lopen. Ik: “wat als ze allemaal in het midden zitten, heeft er één de neiging om van het midden af te wijken?”, Haye:”ja, dan heeft hij een groter stuk”. Bij een andere gegeven situatie zegt Haye dat ze ook gaan bewegen. Ik geef de hint: “wanneer zouden ze kúnnen gaan zitten voor een eerlijke verdeling, behalve in het midden, want die hebben we al besproken”, Haye: ”op 1/3, 1/2 en 2/3. Oh nee, dat is niet eerlijk”, ik help hem zoeken naar de verdeling 1/6, 1/2 en 5/6. Ik vraag wat er dan gebeurd. Haye: “dan gaan ze weer bewegen”. Ik laat hem nadenken wat hij nu heeft bewezen, maar hij heeft niet door dat hij nu informeel het bewijs gegeven heeft. Elissa leest bij opgave 12 de rij in plaats van de kolom af voor speler I doordat ze het idee te letterlijk kopieert uit het voorbeeld. Bij de vraag wat er moet gelden voor een dominante strategie heeft ze geen antwoord en komt ook niet op het idee te kijken naar de definitie. Na uitleg over het lezen van de tabel is het idee duidelijk. Bij opgave 12c is onduidelijk wat er precies aangepast mag worden. Ik heb de algemene opmerking gemaakt dat er maar één element mag worden veranderd, anders kun je gewoon een nieuwe tabel maken met een dominante strategie, dat is flauw. Door alle leerlingen wordt maar de mogelijkheid bekeken voor alleen speler 1. Er zijn wel een aantal varianten gegeven door verschillende leerlingen, zo draait Elissa de 8 en de 3 om en Haye en Olja veranderen de 3 in een 9 of een 10 zodat deze groter is dan 8. Olja maakt de opmerking liever formules te hebben dan logisch te redeneren. Niemand merkt op dat de economische betekenis in Voorbeeld 8 niet klopt: Bedrijf I is marktleider, maar heeft groter risico dan speler II. 06-06-2007: 10 leerlingen (6 meisjes, 4 jongens) In overleg met de docent beantwoord ik de vragen van leerlingen. Het is de bedoeling dat de leerlingen in deze les de opgaven uitwerken van paragraaf 2.1. Bij 12c komen nog meer mogelijkheden langs om één element te veranderen, Henk en Olja veranderen de -1 naar 2 of 3 zodat dit getal dan positief is. Ik vraag: ”dus 1 mag ook?”, Olja: “ja” en Henk beaamt. Ik vraag ze of een dominante strategie afhankelijk is van positieve en negatieve getallen en dat denken ze. Als een getal positief is dan vinden ze het al goed. Het gaat ze niet om hoe meer hoe beter, maar om het feit dat de winst positief is. Bij vrijwel alle leerlingen heb ik moeten uitleggen hoe je een tabel leest en hoe je daarbij een dominante en maximin-strategie moet bepalen. Vraag 15 heeft niemand zelfstandig kunnen maken. 12-06-2007:9 leerlingen (6 meisjes, 3 jongens) Erik Schmal is het niet eens over mijn uitleg die ik de vorige les heb gegeven over maximinstrategie in het geval er sprake is van een dominante strategie. Hij is van mening dat de definitie van een maximin-strategie is dat het risico wordt beperkt en dat deze strategie je verzekerd van een bepaalde uitbetaling. Dit houdt in dat als je een dominante strategie hebt, dat dit dan automatisch ook je maximin-strategie is. Ik was van mening dat de maximinstrategie gedefinieerd was als het maximum van de alle minimale strategieën. Na bronnen te 62

hebben bestudeerd blijkt dat Erik Schmal gelijk heeft. Hier moet op worden gelet bij opgave 15 en maakt de opgave net iets moeilijker, maar de vragen kunnen wel beantwoord worden. In overleg met de docent beantwoord ik de vragen van leerlingen. Het is de bedoeling dat de leerlingen in deze les de opgaven uitwerken van paragraaf 2.2. Olja vraagt zich af op welke speler het eerste element in opgave 21 slaat. Dit zou ze nu onderhand moeten weten. Bij opgave 19 denkt niemand verder dan twee momenten. Hierdoor wordt het lastig om het verschil in te zien tussen de begrippen en kunnen de uitspraken niet op waarheid worden getest. Ik heb algemene opmerking en kleine uitleg op het bord gegeven. Over het algemeen wordt opgave 20 als onduidelijk opgevat. Er is niet duidelijk of er sprake is van twee of drie spelers. Dit maakt voor het beantwoorden van de vraag niet uit, maar ik heb op het bord de situatie overgenomen en erbij gezet dat eerst speler 1 aan de beurt is, dan speler 2 en dan weer speler 1. Het spel over het veilen van de munt wordt niet begrepen. Door het te spelen werd het duidelijk, niet gelijk, maar op het moment dat de gedragen opliepen wel. Ewout meld mij dat het nadoen van een voorbeeld voor hem de beste methode is om de stof te begrijpen. Onder andere Haye beklaagt zich over de grote hoeveelheid opgaven. 5.3.2 Klas Marianne Raaijmaakers 05-06-2007: 10 leerlingen (6 meisjes, 4 jongens) Marianne Raaijmaakers is wel in het lokaal aanwezig, maar ik beantwoord de vragen van de leerlingen. Het is de bedoeling dat de leerlingen in deze les werken aan de opgaven uit 1.2. Doordat Marianne de vorige les niet aanwezig was hadden sommige niet hun huiswerk gedaan en waren daarom minder goed voorbereid Er werd een vraag gesteld over het formeel opschrijven van de formule bij opgave 7e. Ik heb uitleg gegeven met behulp van de figuur op pagina 14 en nog een extra toelichting gegeven over het gebruik van notaties als er spelers zijn met een verschillend aantal strategiemogelijkheden. In eerst instantie werd er heel vies gekeken naar de reeks k1, k2, … ki. Liever gebruikte de leerling de letters van het alfabet. Het idee was ondertussen wel duidelijk geworden, maar niet waarom dat “zo ingewikkeld” opgeschreven moest worden. Maar met de opmerking dat er maar 26 letters in ons alfabet zitten, werd het argument voor het gebruik geaccepteerd. Ik heb de leerling laten nadenken om nu zelf de formule op te schrijven. Toen ik later terugkwam was dat nog niet helemaal gelukt, met de uitwerking van het geval waarbij alle spelers evenveel strategiemogelijkheden hebben ging het lichtje branden. 11-06-2007: 10 leerlingen (6 meisjes, 4 jongens) Marianne Raaijmaakers is was niet in het lokaal aanwezig, ik beantwoord de vragen van de leerlingen. Het is de bedoeling dat de leerlingen in deze les werken aan de opgaven uit 2.2. Gevraagd werd naar de betekenis van de verwachte waarde aangezien er een antwoord uit komt waar je volgens de leerling niks aan hebt: “je kunt namelijk nooit de waarde van de verwachtingswaarde krijgen. Het is een soort gemiddelde, maar hoe kun je nu je strategie laten afhangen van een waard die je niet in het spel kunt krijgen”. Interessant om te zien hoe er wordt nagedacht over het begrip verwachtingswaarde. Het invoeren van de variabele p in opgave 23 werd niet door alle leerlingen direct ingezien. 5.3.3 Klas Jos Mertens 06-06-200710 leerlingen (8 meisjes, 2 jongens) Jos Mertens is was niet in het lokaal aanwezig, ik beantwoord de vragen van de leerlingen. 63

Het is de bedoeling dat in deze les aan de opgaven wordt gewerk van paragraaf 2.1. Tunne merkt op dat de waarde van -100 economisch gezien raar is en dat klopt inderdaad. Toch heb ik haar geadviseerd de tabel te benaderen zoals die vermeld staat in het materiaal en dat het geen gevolgen heeft voor de theorie. Connor vraagt waarom er in voorbeeld 4 niet twee verschillende werkstukken van internet gehaald kunnen worden. Connor vind dat er te veel vragen in zitten met tabellen en spelbomen. Het is te veel van hetzelfde. 5.4

Resultaten ingeleverde opgaven

De volgende opgaven zijn met aandacht bestudeerd: 2(a2), 7(a, b en e), 15 (a en b), 19 en 23. Er is het ingeleverde huiswerk bekeken uit de klassen van Marianne Raaijmaakers en Erik Schmal. 5.4.1 Opgave 2(a2) Deze vraag is geanalyseerd om te beoordelen hoe de leerlingen in het begin van het materiaal zonder veel oefening een redelijk eenvoudig probleem gestructureerd oplossen om tot een antwoord te komen. Voorbeeld 2 uit het materiaal geeft een voorbeeld om met backward induction een speltheoretisch probleem op te lossen. In opgave 2(a2) wordt gevraagd waar je een kruisje neerzet als je aan de beurt bent in de volgende spelsituatie (en waarom):

×

Het antwoord is:

××

Van de 13 bestudeerde antwoorden was er maar één leerling die zonder hulp tot dit inzicht is gekomen. Bij géén van de antwoorden is er een redenatie gegeven hoe je tot het antwoord kunt komen. Geen van de leerlingen heeft een structuur kunnen ontdekken om dit probleem aan te pakken. Niemand heeft er aan gedacht de methode uit voorbeeld 2 te volgen. 5.4.2 Opgave 7(a,b en e) Deze vraag is geanalyseerd om te kunnen beoordelen of de leerlingen het niveau van dit soort vragen aankunnen. In het materiaal zijn voornamelijk problemen aangepakt met maar 2 spelers met 2 strategieën. Er wordt nu gevraagd om het spel uit te breiden naar meerdere spelers met meerdere strategieën. Een aanzet tot het oplossen van dit probleem wordt gegeven op pagina 14 van het materiaal waarin een figuur is opgenomen die weergeeft hoeveel strategieën er zijn bij 2 spelers met meerdere strategiemogelijkheden. Ook wordt een “hint” gegeven dat je door het schetsen van een spelboom makkelijk in kunt zien hoeveel uitkomstmogelijkheden er zijn in een spel met meerdere spelers en/ of strategiemogelijkheden. Bij vraag a wordt gevraagd hoeveel uitkomstmogelijkheden er zijn in een spel met 2 spelers met 3 strategiemogelijkheden. In vraag b wordt gevraagd hoeveel uitkomstmogelijkheden er zijn in een spel met 3 spelers en 2 strategiemogelijkheden.

64

Opvallend is dat in de klas van Marianne Raaijmakers beduidend meer mensen het goede antwoord hebben gegeven dan in de klas van Erik Schmal. Hierbij moet worden opgemerkt dat de leerlingen uit de klas van Raaijmakers in groepjes hebben gewerkt en in de klas van Schmal individueel. Vier van de acht geanalyseerde opgaven uit de klas van Schmal gaven het antwoord: 2 x 3 = 6 bij zowel onderedeel a als onderdeel b. Het goede antwoord is bij a: 32=9 en bij b: 23=8. Er wordt bij onderdeel b tevens gevraagd om een spelboom te tekenen, dit als hint om het antwoord te kunnen vinden. Opmerkelijk is dat ook onder de mensen die het juiste antwoord geven (in beide klassen) er niet een juiste spelboom kan worden getekend. In opgave 4 is toch al eerder een spelboom getekend en een spelboom zou tot de voorkennis van de leerling moeten behoren. Een voorbeeld van een spelboom wordt ook nog gegeven op pagina 14. In deze gegeven spelboom komt de notatie voor een strategie voor: si(p). Deze notatie wordt wel veelvuldig gebruikt in de klas van Schmal, en maar een enkele keer in de klas van Raaijmaakers. Wellicht ligt de oorzaak hiervan in het feit dat ik de notatie kort op het bord heb behandeld. In de klas van Raaijmakers worden wel een aantal pogingen ondernomen, maar deze zijn foutief: si of s(i). Toch staat de notatie duidelijk met uitleg in de tekst vermeld. In opgave e wordt gevraagd naar een formule voor het uitrekenen van het aantal uitkomstmogelijkheden als een spel wordt gespeeld met een willekeurig aantal spelers met verschillende aantallen strategiemogelijkheden. Eén leerling uit de klas van Marianne heeft de formule zelf gevonden. In de klas van Schmal is deze formule alleen samengesteld in samenwerking met mij, maar ook hier werden nog foutieve antwoorden gegeven. Een vaak gegeven antwoord is de strategiemogelijkheden van de verschillende spelers worden opgeteld: s1 + s2 +…+ sn , dit is echter foutief, de strategiemogelijkheden moeten met elkaar worden vermenigvuldigd. 5.4.3 Opgave 15 (a en b) In opgave 15a en 15b worden voor 4 verschillende spelen in de normale vorm respectievelijk gevraagd om te bepalen of er een dominante strategie aanwezig is en wat de maximinstrategie is. Met deze vraag kan worden beoordeeld of de leerlingen nu een probleem in de normale vorm gestructureerd aan kunnen pakken. Indien ze hiertoe in staat zijn houdt dit in dat ze een spel in de normale vorm kunnen lezen en kunnen oplossen. De helft van de leerlingen weet tot het goede antwoord te komen. Dit houdt in dat er nog steeds onder de helft van de leerlingen niet bekend is hoe een spel met een twee bij twee tabel gestructureerd aangepakt kan worden om tot de oplossing te komen. 5.4.4 Opgave 18 In opgave 18 wordt gevraagd om een spelboom te geven dat hoort bij voorbeeld 8 en een vergelijking te maken met de spelboom die gegeven is in voorbeeld 11. In beide voorbeelden wordt een versie van het probleem softwarebedrijf besproken. Gekeken is of in de spelbomen de informatieverzameling goed is toegepast in de spelboom en of er op de juiste manier gebruik is gemaakt van de notaties om de uitbetaling van de spelers weer te geven. Van de elf geanalyseerde opgaven zijn er 4 die de informatieverzameling vergeten zijn aan te geven. De leerlingen hebben dus exact dezelfde figuur opgenomen zoals die staat weergegeven in voorbeeld 11, terwijl er in de opgave al vermeld staat de hij daarvan moet verschillen. Er is geen onderscheid gemaakt tussen een simultaan spel en een dynamisch spel. In de klas van Raaijmaakers is maar 1 van de groepjes leerlingen die de verkorte notatie met haakjes gebruikt voor de uitbetaling van spelers, bijvoorbeeld (-100,0). In de klas van Schmal hebben 4 van de 5 leerlingen deze notatie wél gebruikt. 5.4.5 Opgave 23 65

In opgave 23a wordt de leerling gevraagd bij welke kansverhouding de verwachtingswaarde voor beide strategiemogelijkheden gelijk zijn. Er wordt hier gevraagd naar inzicht door de gegeven informatie in voorbeeld 13 en de definitie van de verwachtingswaarde om te zetten naar een vergelijking tussen twee verwachtingswaarde om deze vervolgens op te lossen. In opgave 23b wordt de leerling gevraagd het bedrag uit te rekenen dat Bedrijf I over heeft om zekerheid te krijgen over de keuze van Bedrijf II. Dit kan gedaan worden aan de hand van verwachtingswaarden. Met het beoordelen van de antwoorden moet antwoord worden gekregen of deze inzichtelijke vraag kan worden beantwoord door logisch te redeneren over het risico van Bedrijf I. Alleen de antwoorden uit de klas van Raaijmaakers zijn beoordeeld. Drie van de vijf leerlingen wist de goede vergelijking op te stellen bij vraag a en deze ook op te lossen. Twee leerlingen zijn niet in staat om verwachtingswaarden te berekenen en een vergelijking op te stellen. Geen van de leerlingen weet een zinnig antwoord te geven op vraag b. De vraag is te moeilijk. 5.4.6 Opgave 25 In opgave 25 wordt een terugkoppeling gemaakt naar het eerste voorbeeld dat is bekeken in dit materiaal: het gevangenendilemma van Baantjer. Er wordt gevraagd het Nash-evenwicht te vinden. Aan de hand van het beoordelen van de antwoorden moet blijken of begrepen is wat het Nash-evenwicht is en hoe die gevonden kan worden. Voor deze opgave zijn alleen antwoorden geanalyseerd uit de klas van Raaijmaakers. Maar één van de zes groepjes leerlingen was in staat het Nash-evenwicht te vinden. Er was bij de anderen niet duidelijk wat het Nash-evenwicht inhield en op welke manier deze kan worden gevonden in een spel dat is gegeven in de normale vorm. Twee maal wordt er zelfs het antwoord gegeven dat er geen Nash-evenwicht is om de reden dat de spelers niet kunnen reageren op wat de ander doet. Maar dat is natuurlijk altijd zo in een simultaan spel en daarin is wel (indien mogelijk) een Nash-evenwicht te vinden. 5.4.7 Opgave 32 In opgave 32c wordt gevraagd de core aan te geven in een figuur bij een gegeven tabel aan de hand van ongelijkheden die in onderdeel a opgestelde vergelijkingen van ongelijkheden. Aan de hand van deze vraag moet duidelijk worden of de theorie over de coöperatieve speltheorie voldoende is behandeld om de core te kunnen bepalen. In drie van de zes groepjes leerlingen is er geen stelstel van vergelijkingen met ongelijkheden opgesteld, wel is een poging gedaan de driehoek te tekenen met daarin de core gearceerd. Hoe dit arceren gedaan moet worden is voorgedaan in voorbeeld 22. In opgave 32 ontstaat echter niet zo’n mooi driehoek gearceerde core. Geen van alle groepjes heeft de juiste core weten te vinden. 5.5

Enquête leerlingen

Onder de leerlingen is een enquête gehouden. De enquête is te vinden in de bijlage. De resultaten staan in de tabel op de volgende pagina:

66

Vraag: Gem. tot. Gem. j Gem. m. Gem. NT Gem. EM Gem. NG Gem. CM 1 6,9 (1,1) 7,0 7,0 6,8 7,5 7,1 7 2 2,8 (2,6) 2,1 3,9 3,2 3,0 2,9 1 3 6,0 (2,6) 6,1 5,7 6,6 8,5 5,5 10 4 6,6 (1,7) 7,1 6,6 6,4 5,0 7,1 7 5 2,8 (2,6) 3,5 2,5 3,8 3,0 2,7 3 6 6,9 (1,7) 7,2 7,0 6,8 7,0 7,2 8 7 3,8 (2,5) 3,6 4,3 4,6 2,5 3,8 7 8 3,3 (1,8) 3,0 3,8 4,0 5,0 3,1 4 9 6,8 (2,2) 6,8 6,8 6,8 8,0 6,7 8 10 5,1 (2,4) 4,9 5,4 5,2 5,0 5,0 10 11 6,4 (2,0) 6,6 6,5 6,4 6,5 5,5 10 12 4,1 (2,9) 3,6 3,6 0,6 7,0 4,4 6 13 7,0 (2,3) 6,0 7,8 7,8 4,0 7,2 10 14 5,5 (2,4) 5,8 5,4 5,2 8,0 5,6 10 15 4,7 (2,3) 4,4 4,9 5,6 6,0 4,4 8 16 5,0 (3,1) 4,1 6,2 6,2 3,0 5,0 7 Lijst met afkortingen: 1. Gem. tot. = Gemiddelde van het totaal 2. Gem. j. = Gemiddelde onder de jongens 3. Gem. m. = Gemiddelde onder de meisjes 4. Gem. NT = Gemiddelde onder de leerlingen met het profiel Natuur en Techniek 5. Gem. EM = Gemiddelde onder de leerlingen met het profiel Economie en Maatschappij 6. Gem. NG = Gemiddelde onder de leerlingen met het profiel Natuur en Gezondheid 7. Gem. CM = Gemiddelde onder de leerlingen met het profiel Cultuur en Maatschappij Tussen haakjes is de standaard afwijking gegeven. De groep jongens is: De groep meisjes is: De groep NT-leerlingen is: De groep EM-leerlingen is: De groep NG-leerlingen is: De groep CM-leerlingen is:

10 12 5 2 16 1

leerlingen leerlingen leerlingen leerlingen leerlingen leerlingen

67

6. Conclusie Bij het lezen van de conclusies moet rekening worden gehouden dat het studiemateriaal is geschreven voor de doelgroep 5vwo-leerlingen. Het experiment is echter uitgevoerd in een 4vwo-klas. De conclusies zijn alleen te baseren op het experiment. Sommige conclusies zullen echter moeten worden afgezwakt als rekening wordt gehouden met het feit dat het niveau en de voorkennis van de leerlingen uit het experiment lager ligt dan de beoogde doelgroep. 6.1

Conclusies lesobservaties

Aan de hand van de lesobservaties zijn een aantal conclusies te trekken. De conclusies zijn verdeeld onder de deelvragen: 1.

Is het lesmateriaal van het juiste niveau en sluit het daarmee aan op de doelstelling van Wiskunde D

De eerste paragraaf wordt door de leerlingen als makkelijk ervaren, maar er wordt ook te makkelijk over gedacht. Veel leerlingen vonden opgave 2a makkelijk, maar hadden problemen met opgave 2b. In deze opgave wordt boter-kaas-en-eieren wordt gespeeld, maar zoals Haye op zoek ging naar het antwoord staat symbool voor de andere leerlingen: pas door het spel meerderen malen te spelen wordt er een conclusie getrokken. De leerlingen zijn in het begin niet in staat een probleem door logisch te redeneren op te lossen. Het materiaal biedt wel houvast om een probleem gestructureerd aan te pakken, maar de leerlingen maken te weinig gebruik van de kennis die beschreven staat in de theorie. Zoals Elissa opmerkte werd het voor sommige prettig ervaren om even geen formules tegen te komen bij wiskunde. Voor een deel van de leerlingen wordt de wiskunde waar formules aan te pas komen als moeilijk ervaren. Voor andere leerlingen zoals Olja ligt het juist andersom en wordt het logisch redeneren als moeilijk ervaren en wordt er liever wiskunde bedreven met formules. Er valt niet eenzijdig te concluderen dat leerlingen het materiaal makkelijker of moeilijker vinden dan het reguliere lesprogramma bij Wiskunde B. Op sommige punten sluit het materiaal niet helemaal aan op Wiksunde B met betrekking op de voorkennis. Uit de vragen bij opgave 10 blijkt dat de leerlingen niet voldoende kennis beschikken over de kansrekening om de vraag te kunnen beantwoorden. Er wordt ook niet naar alle mogelijke situaties gekeken. Er is onvoldoende voorkennis om deze vraag te beantwoorden. Tevens komt dit naar voren bij vragen die gesteld werden over de verwachtingswaarde. Er is nog geen gevoel ontwikkeld voor dit begrip en daarom vereist dit begrip meer aandacht. Het experiment wijst uit dat met het geven van klassikale uitleg problemen die eerst als moeilijk worden beschouwd toch kunnen worden begrepen. Na het stellen van de juiste vragen konden leerlingen op het juiste pad worden geholpen. Zoals bleek uit vragen waarin werd gevraagd om één element uit een tabel te wijzigen hadden leerlingen in eerste instantie niet door dat er meerdere mogelijkheden waren om de tabel aan te passen. Maar bij een kleine hint waren de leerlingen over het algemeen wel in staat om de wijziging zelf aan te brengen. Aangezien er regelmatig vragen waren over begrippen en vaardigheden die in de tekst van het materiaal werden besproken valt te concluderen dat de leerlingen de tekst niet serieus genoeg hebben genomen. Wellicht heeft dit te maken met de methode zoals het materiaal is opgemaakt waarin de tekst en de opgaven zijn gegeven in gescheiden paragrafen. Het is echter ook goed mogelijk dat de leerlingen niet voldoende ingelicht zijn over de nieuwe methode en te weinig begeleiding hebben gekregen om op een andere manier om te gaan met het materiaal dan ze gewend zijn. De klassikale uitleg is hierin een gemis. 68

Het niveau van de vragen waarin werd gevraagd een antwoord te reproduceren uit een voorbeeld waren van voldoende niveau. Het werd niet makkelijk ervaren om antwoorden te reproduceren aangezien er altijd nagedacht moest worden welke redenatie achter de oplossingsmethode zit die gebruikt wordt in een voorbeeld. Het horizontaal, dan wel vertikaal lezen van een spel in de normale vorm heeft aardig wat vragen opgeroepen (letterlijk) terwijl hier toch voorbeelden van te vinden zijn in het materiaal. Het materiaal heeft voor verbreding gezorgd op de onderwerpen die behandeld worden binnen Wiskunde B. Het onderwerp werd als nieuw ervaren en belichte andere vaardigheden uit de wiskunde dan bij de reguliere onderwerpen. Dat het materiaal voor verdieping heeft gezorgd in de wiskunde op het gebied van logisch redeneren valt niet te concluderen. Vanaf de eerste paragraaf hebben de leerlingen moeite gehad met het vinden van een oplossing door middel van logisch te redeneren. De leerlingen waren geconditioneerd om voorbeelden te reproduceren en waren niet creatief genoeg om een aantal stappen verder te denken als dat nodig was. Bij het probleem met drie ijscoverkopers werd de redenatie uit het voorbeeld gevolgd en vervolgens dezelfde conclusie getrokken. Er is geen rekening gehouden met een gewijzigde situatie en dat dit een andere oplossing kan geven. Het heeft er de schijn van dat de redenatie stopt op het moment dat de leerling op hetzelfde punt is gekomen als in een voorbeeld in plaats van dat de leerling zijn redenatie stopt als hij zijn antwoord heeft bewezen. De leerlingen waren niet in staat alle opgaven in de les af te krijgen. Er is daarom reden om te twijfelen of het aantal studielasturen wordt overschreden met dit studiemateriaal. Daarentegen heeft het er de schijn van dat de leerlingen niet veel tijd hebben besteed aan het maken van huiswerk. De oorzaak hiervan ligt in het feit dat de opgaven verplicht in de les dienden te worden gemaakt. De leerlingen begonnen over het algemeen in de les met het doornemen van de tekst en hadden thuis ook niet de vragen voorbereid. Dit is niet veranderd in de loop van het experiment, terwijl na de eerste paar lessen duidelijk was dat er wel enige tijd in gestoken moest worden om in inleveropgaven op tijd af te hebben. Het aantal effectieve studielasturen komt op 11 lessen maal drie kwartier wat een stuk minder is dan de beoogde 40 studielasturen. Dit is ten koste gegaan van het bereikte niveau en de diepgang. Het materiaal heeft overlappingen met de economie. Echter zijn een aantal economische elementen niet uitgelegd of uit bepaalde opgaven weggelaten om het materiaal ten goede te laten komen wat betreft het wiskundige niveau. Het economische niveau is daarom laag. 2.

Zorgt het lesmateriaal ervoor dat de leerling beter in staat is om op een systematische manier problemen op te lossen?

Er is geen duidelijke ontwikkeling te zien bij de leerlingen wat betreft het meer gestructureerd aanpakken van problemen. In de eerste paragraaf was het al een probleem een boter-kaas-eneieren probleem systematisch op te lossen. Later waren en bleven er onder andere vragen komen over de manier om in een tabel dominante strategieën en maximin-strategieën systematisch te vinden. Maar wellicht valt dit het materiaal niet aan te rekenen, maar de structuur waarop er les is gegeven tijdens het experiment. Bij het behandelen van voorbeeld 2 was bij aanvang van het probleem geheel onduidelijk hoe het probleem opgelost diende te worden. Door het geven van de eerste twee stappen wordt inzicht gecreëerd bij de leerling over de aanpak van de oplossing van het probleem. Hieruit blijkt dat de leerlingen onder begeleiding getraind kunnen worden om de problemen wel gestructureerd op de losen. Het experiment wijst uit dat leerlingen het lastig vinden om te redeneren over meerdere dimensies. Ze zijn volledig gewend aan de twee- en eventueel de driedimensionale ruimte. Zelfs de hulp van een tabel met meerdere strategiemogelijkheden heeft er niet aan kunnen bijdragen dat het rekenen in meerdere dimensies een rare gewaarwording is. Dit komt duidelijk naar voren bij vragen die betrekking hadden op de theorie die beschreven staat op pagina 14 van het materiaal. 69

3. Zorgt het lesmateriaal ervoor dat de leerling beter in staat is om met wiskundige notaties om te gaan? Het is niet gelukt om met het studiemateriaal extra aandacht te geven voor wiskundige notaties. Een groot deel van het gewicht in het materiaal was al verschoven van de kwesties die notaties aangingen naar de meer inhoudelijke kant van de speltheorie, waaronder met name het logisch redeneren. Enkel bij de vragen waarin een formule moest worden gegeven werden er vragen gesteld over het gebruik van notaties. 6.2

Conclusies inleveropgaven

Aan de hand van de inleveropgaven zijn een aantal conclusies te trekken. De conclusies zijn verdeeld onder de deelvragen: 1.

Is het lesmateriaal van het juiste niveau en sluit het daarmee aan op de doelstelling van Wiskunde D

Het is de bedoeling dat materiaal voor Wiskunde D op een hoer niveau ligt dan dat bij Wiskunde B het geval is. Uit de inleveropgaven blijkt dat er veel vragen nog van een te hoog niveau zijn voor 4-vwo leerlingen. Na meerdere voorbeelden en opgaven waren leerlingen nog steeds niet in staat om een spel met een twee bij twee tabel gestructureerd aan te pakken om tot de oplossing te komen. Bij het meerdimensionale geval was slechts één leerling uit de klas van Raaijmaakers in staat om een formule zelf vinden voor het berekenen van het aantal uitkomstmogelijkheden. Zelfs het aantal uitkomstmogelijkheden vinden in het geval met twee spelers met 3 strategiemogelijkheden was een probleem. Er wordt bij het antwoorden te veel letterlijk gereproduceerd uit een voorbeeld. Een verdiepende vraag waarin gebruik gemaakt wordt van verwachtingswaarden weet zelfs geen enkele leerling te beantwoorden. De vragen over het vinden van het Nash-evewicht waren ook te moelijk. Niet dat de vraag op zich moeilijk was, maar de theorie over het het Nash-evenwicht is te moeilijk bevonden. Dit blijkt uit de manier waarop de leerlingen vragen beantwoorden waarin werd uitgelegd wat het Nashevenwicht is. Als het gaat om het toepassen van trucjes zijn de leerlingen nog wel redelijk in staat een oplossing te geven. De coöperatieve speltheorie lijkt gezien de foute antwoorden bij het geven van de core een moeilijk onderwerp, maar tevens moet rekening gehouden worden met het feit dat dit de laatste les van het jaar was en de volledige theorie over de coöperatieve speltheorie in één blokuur is behandeld. 2.

Zorgt het lesmateriaal ervoor dat de leerling beter in staat is om op een systematische manier problemen op te lossen?

Uit de inleveropgaven valt enkel te concluderen dat uit het experiment geen significante verandering is waar te nemen in het systematisch oplossen van problemen. De leerlingen zijn wel in bepaalde, maar beperkte, mate bij het beantwoorden van de vragen bewuster geworden van het idee dat ze logisch moeten redeneren om tot een antwoord te komen. Maar aan de manier waarop kan nog een hoop in verbeteren. 3.

Zorgt het lesmateriaal ervoor dat de leerling beter in staat is om met wiskundige notaties om te gaan?

Het gebruik van notaties bij het beantwoorden van de vragen was sporadisch. Het belang van het gebruik van de notaties is niet tot uiting gekomen in de vragen 70

6.3

Conclusie enquête

Zeer opvallend is dat de leerlingen bij de vraag of ze klassikale uitleg hebben gemist een 2,7 scoren op een schaal van 1-10. De leerlingen geven zelf aan dat de klassikale uitleg niet is gemist. Daarentegen zeggen ze het niveau redelijk hoog ligt met een waardering van een 6,9. Maar het is dus niet heel moeilijk gevonden door de leerlingen, wat ook opmerkelijk is aangezien ze niet in staat zijn om alle vragen goed te beantwoorden. Wel geven ze met een 3,8 aan dat het materiaal in ieder geval niet gebruikt moet worden in lagere klassen en wellicht beter past in 5 vwo. De leerlingen geven met een 2,8 zoals verwacht aan dat ze minder huiswerk hebben gemaakt dan normaal. Belangrijk, maar teleurstellend voor het experiment is dat de leerlingen met een 5,1 aangeven niet beter in staat te zijn een wiskundig probleem gestructureerder aan te pakken. Ook teleurstellend, maar wel verwacht is dat de leerlingen met een 4,7 aangeven dat ze niet bewuster geworden zijn van het gebruik van wiskundige notaties. Wat betreft de vragen vinden de leerlingen deze goed passen bij de theorie (7,0), maar opvallend genoeg vinden ze deze vragen niet duidelijk gesteld: 4,1. Tot slot opmerkelijk dat ondanks dat er toch enthousiasme was te voelen onder de leerlingen ze met een 5,0 aangeven niet nog meer te willen leren over het onderwerp. Hierbij moet worden opgemerkt dat er een duidelijk verschil is tussen de jongens en de meisjes, waarbij een verschil is te constateren door de scores van respectievelijk 4,1 en 6,2. 6.4

Eindconclusie

Aan het begin van deze scriptie werd de volgende hoofdvraag gesteld: Is het ontworpen lesmateriaal voor speltheorie geschikt om gebruikt te worden binnen Wiskunde D? De conclusie luidt dat het lesmateriaal in deze vorm nog niet geschikt is om gebruikt te worden binnen Wiskunde D in 4 vwo. Daarvoor zijn de beoogde doelen met het materiaal niet bereikt. Het is tijdens het experiment niet gelukt de leerlingen te leren een probleem gestructureerd aan te pakken door middel van logisch redeneren. Het is daarbij ook niet gelukt de leerling bewuster te maken van wiskundige notaties. Dit is niet geheel te wijten aan het studiemateriaal, maar heeft ook te maken met de manier waarop het experiment is opgezet. Het is belangrijk om te weten dat door het gemis van klassikale lessen de leerlingen inhoudelijk niet voldoende zijn gesteund. Aangezien er geen voorkennis aanwezig was bij de docenten is dit hen ook niet aan te rekenen. Ten tweede is belangrijk om te weten dat het aantal besteedde uren in het materiaal voor de leerlingen in het experiment uitkomt op ongeveer een kleine 10 studielasturen, terwijl er 40 voor gepland staan. Ten derde en laatste is het materiaal getest in 4 vwo, terwijl het materiaal geschreven is voor 5 vwo-leerlingen. Deze variabelen hebben ongetwijfeld grote gevolgen gehad op de resultaten van het experiment.

71

7

Discussie en aanbeveling

Hoewel de conclusies niet geheel positief zijn is het materiaal gezien de omstandigheden van het experiment wel degelijk bruikbaar om op voort te bouwen zodat het geschikt is om gebruikt te worden binnen Wiskunde D. Daarvoor zullen wel aanpassingen worden doorgevoerd. Voor het verbeteren van het materiaal dienen de volgende punten in ogenschouw genomen worden: 1.

De hoofdvraag van deze scriptie wil een antwoord hebben op de vraag of het studiemateriaal geschikt is voor gebruik binnen Wiskunde D. Een aantal opmerkingen zijn op plaats wat betreft de criteria waaraan materiaal voor wiskunde D zo veel als mogelijk moet voldoen. o Ten eerste leek het in de klas zo te zijn dat de leerlingen enthousiast waren over het onderwerp. Er kwamen vragen over speltheorie die niet in het materiaal stonden, zoals over de geschiedenis en over de toepassingen in andere gebieden dan wiskunde en economie, maar ze hebben in de enquête duidelijk aangegeven dat ze niet meer over het onderwerp willen leren. Het is daarom de vraag of het thema speltheorie de gehele doelgroep aanspreekt. Gezien het enthousiasme lijkt me dat wel, maar de vraag is dan toch waarom ze niet meer over het onderwerp willen weten. o Ten tweede leent het onderwerp zich er wel voor om gebruikt te worden in een samenwerking met een Universiteit. Op veel bèta-faculteiten wordt onderwijs verzorgt op het gebied van speltheorie. Er zal gepolst moeten worden in hoeverre het misschien mogelijk is om op universiteiten een soort van “masterclass” te organiseren voor wiskunde D-leerlingen. o Ten derde lijkt wat betreft het taalgebruik en de opmaak van het materiaal het materiaal mij geschikt voor de doelgroep. Wat betreft het niveau zijn er enkele vraagtekens aangezien het lijkt alsof het niveau voor 4 vwo-leerlingen te hoog lag. Dit zal verder onderzocht moeten worden. Bij dit onderzoek is het belangrijk om de opzet ten opzichte van het experiment voor deze scriptie te veranderen en te zorgen voor een meer klassikale aanpak. Eén van de belangrijke aandachtspunten binnen RME is de rol van klassikale discussies. Dit element is tijdens het experiment volledig terzijde geschoven. Opvallend is dat uit de enquête blijkt dat de leerlingen vinden dat de klassikale uitleg niet is gemist. Wellicht houden de leerlingen bij het beantwoorden van de vraag niet genoeg rekening met de gevolgen van het ontbreken van de klassikale uitleg en hebben ze meer op gevoel geantwoord en de lessen niet onprettiger ervaren bij gebrek aan klassikale uitleg. o Ten vierde kunnen er meer alternatieve opdrachten worden gegeven aan de docent. Twee mogelijkheden zijn in de bestudeerde literatuur te vinden. In de eerste plaats kan het vraagstuk worden gebruikt over de toepassing van het gevangenendilemma bij fietsenhandelaren van Eric Welp. Gezien de economische interpretaties zal het voorbeeld wel aangepast moeten worden om het probleem uit een meer wiskundig oogpunt te bekijken. In de tweede plaats kan de toepassing over het gastarbeidersprobleem uit het document van Han Long Li worden gebruikt om een andere toepassing in de speltheorie te behandelen. 2. De handreiking schoolexamen Wiskunde D geeft een aantal vaardigheden die betrekking kunnen hebben op het studiemateriaal speltheorie en zijn gegeven in paragraaf 2.1.1.1. Wat betreft deze vaardigheden kunnen de enkele op- en aanmerkingen worden geplaatst: o De leerling zal meer moeten worden gestuurd in het doelgericht zoeken van informatie. Door middel van het studiemateriaal is er voldoende basis om de leerling te laten zoeken naar informatie die nodig is om de vragen te beantwoorden. Uit de ingeleverde opgaven en de vragen die gesteld werden in de les blijkt echter dat de 72

3.

4.

5.

6.

7.

8.

leerlingen niet altijd de moeite nemen om de juiste informatie te verzamelen, te beoordelen en te verwerken. Eventueel kunnen bij de opgaven meer hints gegeven worden met verwijzingen naar de theorie, maar naar mijn mening wordt er dan weer te veel “voorgezegd” aan de leerling. o De leerling is niet in staat gebleken consistente redeneringen op te zetten. Wellicht zullen nieuwe voorbeelden concreter moeten aangeven hoe de structuur eruit ziet bij consistente redeneringen. o In de voorbeelden zal nadrukkelijker gebruikt moeten worden gemaakt van de gebruikelijke terminologie uit de speltheorie. Het correcte gebruik van vakspecifieke taal inclusief het gebruik van notaties kan eventueel verbeterd worden door vanaf het begin bijvoorbeeld dezelfde notatie te gebruiken voor het weergeven van de uitbetalingen en strategieën. Doordat in het materiaal is gekozen om de begrippen en notaties niet te vlug formeel te geven heeft de leerling het idee dat het op die eerste manier ook correct is. Dat is ook wel zo, maar er wordt op deze manier niet voor gezorgd dat het gebruik van de terminologie en notaties tot de basisvaardigheden van de leerling behoort. De leerling is daardoor ook niet in staat deze toe te passen bij een verdieping in het onderwerp of te gebruiken in bewijzen. Voor het materiaal is vooral gebruik gemaakt van de klassieke voorbeelden uit de speltheorie. Aangezien is gebleken dat de voorbeelden voor de leerlingen een belangrijk onderdeel vormen van het materiaal zouden de klassieke voorbeelden kunnen worden aangevuld met voorbeelden en vraagstukken uit de opgegeven literatuur van Dr. Siegers. In verband met de tijd ben ik helaas niet in staat geweest om de literatuur aandachtig te bestuderen, maar het materiaal bevat interessante vraagstukken. Enkele vraagstukken en voorbeelden heb ik tijdens het gesprek met Dr. Siegers doorgenomen. Ze bieden de mogelijkheid om meer variatie in het materiaal aan te brengen en kunnen de inhoud ook verdiepen. De term backward induction ontbreekt in het studiemateriaal. Er wordt wel gebruik van gemaakt in voorbeeld 2 en bij een spel als boter-kaas-en-eieren kan het ook worden gebruikt. Door meer aandacht aan backward induction te besteden is het mogelijk meer te focussen op het oplossen van problemen door middel van logisch te redeneren. Het probleem aanpakken bij de staart is ook een veelgebruikte methode om een wiskundig bewijs aan te pakken. Veel leerlingen hebben voorbeeld 2 niet doorgenomen omdat er geen opgave bij hoort. Het is dus verstandig aangezien het einde van het probleem toch eindigt met een vraag om naar deze vraag te verwijzen in een opgave. Het is ook mogelijk, zoals in de lerarenhandleiding is aangegeven om voorbeeld 2 in de les klassikaal te doen. Een onderwerp dat ook valt onder speltheorie en waar geen aandacht aan is besteed en ook van wiskundige aard is, is de marktwerking in geval van een duopolie. Daarin zijn meerdere varianten te bespreken zoals het Stackelberg-evenwicht, het Baysiaansevenwicht en ook het Nash-evenwicht. Er kan in principe alleen ingegaan worden in het 2-dimensionale geval. Dit beperkt de verbreding en enigszins ook de diepgang in meerdimensionale gevallen. Maar daarentegen kan er wel meer diepgang worden gecreëerd in het 2-dimensionale geval. Op deze manier kan voor het 2-dimensionale geval ook meer aandacht besteed worden aan het gebruik van notaties. De problemen met notaties waren het grootst in het geval de problemen uit de speltheorie in zijn algemeenheid, en dus in meerdimensionale gevallen, werden behandeld. Het extra aandacht besteden aan notaties kan helpen bij het gestructureerd nadenken over een probleem, dit aangezien notaties helpen de theorie beter te ordenen en een overzicht creëren. Om het materiaal beter te laten aansluiten op de eisen die gesteld worden op de universiteit kunnen de vragen een meer wetenschappelijk karakter krijgen door concreet om bewijzen te vragen. Dit zal echter gepaard moeten gaan met het geven van hints en het 73

niveau van de bewijzen mag niet te hoog zijn aangezien er een zeer matige voorkennis is wat betreft het formuleren en geven van bewijzen. Ik denk dat de manier waarop het materiaal is opgesteld (eerst een paragraaf over theorie en daarna pas een paragraaf met opgaven) er toe kan bijdragen dat leerlingen op de universiteit beter in staat zijn met de literatuur om te gaan. Het gat tussen het materiaal op het voorgezet onderwijs en het materiaal op de universiteiten (vooral bij de bèta-wetenschappen) is op dit moment te groot. Door begeleiding te geven bij het aanpakken van het materiaal op de methode van het materiaal van de universiteiten zal een aansluiting kunnen bevorderen. 9. Door meer het accent te leggen op het logisch redeneren en dat ten koste te laten gaan van de wiskundige diepgang en notaties is het mogelijk om dit onderwerp binnen Wiskuknde C toe te passen. Hiervoor zal onderzoek moeten worden verricht hoe dit zijn invulling kan krijgen. 10. Wat betreft concreet advies om de voorbeelden te wijzigen kunnen de volgende op- en aanmerkingen worden geplaatst: o Voorbeeld 1: Er kan specifieker uitgelegd worden wat het gevangenendilemma inhoud. Misschien kan door het geven van de tabel beter het dilemma worden aangekaard. o Voorbeeld 2: Er kan een link gelegd kunnen worden met de aannames die gedaan worden in paragraaf 1.2.2. Of er kan een extra voorbeeld ingevoegd worden die past bij het behandelen van de aannames. o Voorbeeld 5: In het gegeven schaakspel heeft Bart maar één keuzemogelijkheid. Daardoor wordt het spel gekenmerkt door de vele mogelijkheden die Tineke heeft. Het doel om een voorbeeld te behandelen waarin naar voren komt dat spelers soms verschillende strategiemogelijkheden hebben komt niet helemaal uit de verf. Wellicht is meer een voorbeeld op zijn plaats waarin twee of misschien wel drie spelers drie of vier strategiemogelijkheden hebben. Dit is een betere voorbeschouwing op het aantal uitkomstmogelijkheden en de bijbehorende notaties die gegeven worden op pagina 14. o Voorbeeld 8: de economische betekenis moet worden gecorrigeerd. Niet bedrijf I, maar bedrijf II is de marktleider in het probleem. o Voorbeeld 9: De vorm waarin de uikomsten zijn weergegeven kan beter veranderd worden naar de haakjesnotatie. Tevens kan dit voorbeeld beter gegeven worden vóór definitie 9. Er is hier didactisch gezien sprake van de verkeerde volgorde. o Er dient een voorbeeld toe te worden gevoegd in de paragraaf over het Nashevenwicht. Wellicht door het ontbreken ervan is er onduidelijkheid over het oplossen van een spel in de normale vorm bij het zoeken naar een Nash-evenwicht. 11. Wat betreft concreet advies om de opgaven te wijzigen kunnen de volgende op- en aanmerkingen worden geplaatst: o Opgave 5: deze opgave behaald niet zijn doel om een verdiepende opgave te zijn wat betreft de introductie in de normale vorm. Het doel is om inzicht te creëren in spelen waarin de uitbetalingen geen winsten voorstellen maar een bepaalde nutswaarde die bepaald is aan de hand van ongelijkheden. De ongelijkheden zijn in dit geval te vaag en dit komt mede doordat er sprake is van een bijzondere situatie: het spel wordt gespeeld door twee spelers waarin één speler een groep representeert. Dit maakt het probleem onnodig moeilijk. De soort gestelde vragen zijn goed en het idee van de opgave ook, maar beter kan een opgave worden gegeven waarin de ongelijkheden duidelijk zijn en er sprake is van gewoon twee spelers. o Opgave 10: Het spel Yathzee is in de eerste plaats geen goed voorbeeld van een speltheoretisch spel en dient alleen om die reden al niet behandeld te worden in een inleidend hoofdstuk. Hierin moeten de opgaven zich richten op klassieke problemen. Ten tweede zijn er te veel mogelijkheden waardoor het probleem niet zuiver opgelost kan worden in beperkte tijd. Deze opgave wordt uit het materiaal worden verwijderd. 74

o Opgave 15: in c en d wordt gevraagd naar respectievelijk de hoogte en laagste uitbetaling. De oefening voor het vinden van de maximin-strategie is juist, maar de vergelijking om de hoogste en laagste waarde te vinden heeft geen betekenis. o Opgave 19 en 20 kunnen beter worden opgedraaid zodat er een voorbeeld is gezien van een spel dat dynamisch is en imperfect. o Opgave 20: in de figuur moet aangegeven worden hoeveel spelers er zijn en in welk beslispunt deze hun keuze maken. o Opgave 24: deze opgave maakt niet duidelijk wat het voordeel is voor de normale vorm. Het drie bij drie rooster voor boter-kaas-en-eieren is niet de normale vorm. De normale vorm bij dit spel is ook vrij complex. Bij een spel met meerdere spelers, beslismomenten en strategiekeuzes is duidelijker een verschil te zien tussen de begrippen simultane en dynamische spelen, terwijl dit in de 2-dimensionale situatie niet is. Hierdoor is dit niet een goed voorbeeld om aan te geven wat het voordeel is van de normale vorm. 12. In het algemeen moet er bij de vragen beter gelet worden op de manier waarop vervolgvragen worden gesteld (a, b, c, etcetra.). Soms is onduidelijk of er wordt gerefereerd aan een vorige deelvraag of aan de hoofdvraag. 10. De nummering van de opgaven en verwijzingen naar voorbeelden in opgaven zijn niet overal correct en dienen aangepast te worden. Door in latere versies voorbeelden en opgaven toe te voegen klopt niet overal de nummering en de verwijzingen. 11. In de begrippenlijst achterin is het handig om ook paginanummers te geven waar deze theorie te vinden is in het materiaal.

75

8

Literatuurlijst

1. R. Bosch, Boekbespreking Spelen en delen, Euclides, 2006 2. M. Doorman, Een oriëntatie op het onderwerp Redeneren, Freudenthal Instituut, Utrecht, 2007 3. H. L. Li, Speltheorie en toepassingen, Vrije Universiteit Amsterdam, Amsterdam, 2003 4. A. Mas-Colell, M.D. Whinston, J.R. Green, Microeconomic Theory, Oxford University Press, New York, Oxford, 1995 5. P. van Mouche, Speltheorie (deel 1 en deel 2), Universiteit Utrecht, Utrecht, 2005 6. R.S. Pindyck, D.L. Rubinfield, Microeconomics, Pearson Education Inc., New Jersey 2005, 6 editie 7. F. Thuijsman, Spelen en delenI, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2005 8. D. C. Webb, M. R. Meyer, Realistic Mathematics Education ( The foundation for Mathematics in Context), Freudenthal Instituut, Utrecht, 1992 9. E. Welp, vraagstukken voor speltheorie, SLO, 2006 10. www.ctwo.nl 11. www.econometrie.nl 12. www.slo.nl 13. www.speltheorie.nl 14. www.vwo-campus.nl

76

Bijlage: Deel van het examenprogramma wiskunde D: HAVO Domein A

Examenprogramma wiskunde D havo Het eindexamen Het eindexamen bestaat uit het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Kansrekening en statistiek Domein C Toegepaste analyse 2 Domein D Ruimtemeetkunde 2 Domein E Wiskunde in technologie Domein F Keuzeonderwerpen. Het schoolexamen Het schoolexamen heeft betrekking op domein A in combinatie met: de domeinen B en F, en van het domein C de subdomeinen C1 en C2 en één van de subdomeinen C3 of C4 of beide; één van de domeinen D of E; indien het bevoegd gezag daarvoor kiest, naast de keuzeonderwerpen bedoeld bij domein F: andere vakonderdelen, die per kandidaat kunnen verschillen. De examenstof Domein A: Vaardigheden Subdomein A1: Algemene vaardigheden 1. Informatievaardigheden De kandidaat kan doelgericht informatie zoeken, beoordelen, selecteren en verwerken. 2. Communiceren De kandidaat kan adequaat schriftelijk, mondeling en digitaal in het publieke domein communiceren over onderwerpen uit de wiskunde. 3. Reflecteren op leren De kandidaat kan bij het verwerven van vakkennis en vakvaardigheden reflecteren op eigen belangstelling, motivatie en leerproces. 4. Studie en beroep De kandidaat kan toepassingen en effecten van wiskunde en natuurwetenschappen in verschillende studie- en beroepssituaties herkennen en benoemen. Daarnaast kan de kandidaat een verband leggen tussen de praktijk van deze studies en beroepen en de eigen kennis, vaardigheden en belangstelling. Subdomein A2: Wiskundige en natuurwetenschappelijke vaardigheden 5. Onderzoeken De kandidaat kan een probleemsituatie in een wiskundige, natuurwetenschappelijke of economische context analyseren, gebruik makend van relevante begrippen en theorie vertalen in een vakspecifiek onderzoek, dat onderzoek uitvoeren, en uit de onderzoeksresultaten conclusies trekken.

77

6.

7.

8. 9.

Ontwerpen De kandidaat kan een ontwerp op basis van een gesteld probleem voorbereiden, uitvoeren, testen en evalueren en daarbij relevante begrippen en theorie gebruiken. Modelvorming De kandidaat kan een realistisch probleem in een context analyseren, inperken tot een hanteerbaar probleem, vertalen naar een model, modeluitkomsten genereren en interpreteren en het model toetsen en beoordelen. Redeneren De kandidaat kan met gegevens van wiskundige en natuurwetenschappelijke aard consistente redeneringen opzetten van zowel inductief als deductief karakter. Waarderen en oordelen De kandidaat kan een beargumenteerd oordeel over een situatie in de natuur of een technische toepassing geven, en daarin onderscheid maken tussen wetenschappelijke argumenten en persoonlijke uitgangspunten.

Subdomein A3: Wiskundige vaardigheden 10.

11. 12.

Algebraïsche vaardigheden De kandidaat beheerst de bij het examenprogramma passende rekenkundige en algebraïsche vaardigheden, heeft inzicht in de bijbehorende formules en kan de bewerkingen uitvoeren. Vaktaal, conventies en notaties De kandidaat kan correcte vakspecifieke taal en terminologie interpreteren en produceren, inclusief formuletaal, conventies en notaties. Oplossingsvaardigheden De kandidaat kan een oplossingsstrategie kiezen, deze correct toepassen en gevonden oplossingen controleren op wiskundige juistheid.

78

Bijlage: Deel van het examenprogramma wiskunde D: VWO Domein A

Examenprogramma wiskunde D vwo Het eindexamen Het eindexamen bestaat uit het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Kansrekening en statistiek Domein C Dynamische modellen 1 Domein D Meetkunde Domein E Complexe getallen Domein F Dynamische modellen 2 Domein G Wiskunde in wetenschap Domein H Keuzeonderwerpen. Het schoolexamen Het schoolexamen heeft betrekking op domein A in combinatie met: de domeinen B, C, D en H; domein G of de beide domeinen E en F; indien het bevoegd gezag daarvoor kiest, naast de keuzeonderwerpen bedoeld bij domein H: andere vakonderdelen, die per kandidaat kunnen verschillen. De examenstof Domein A: Vaardigheden Subdomein A1: Algemene vaardigheden 1. Informatievaardigheden De kandidaat kan doelgericht informatie zoeken, beoordelen, selecteren en verwerken. 2. Communiceren De kandidaat kan adequaat schriftelijk, mondeling en digitaal in het publieke domein communiceren over onderwerpen uit de wiskunde. 3. Reflecteren op leren De kandidaat kan bij het verwerven van vakkennis en vakvaardigheden reflecteren op eigen belangstelling, motivatie en leerproces. 4. Studie en beroep De kandidaat kan toepassingen en effecten van wiskunde en natuurwetenschappen in verschillende studie- en beroepssituaties herkennen en benoemen. Daarnaast kan de kandidaat een verband leggen tussen de praktijk van deze studies en beroepen en de eigen kennis, vaardigheden en belangstelling. Subdomein A2: Wiskundige en natuurwetenschappelijke vaardigheden 5. Onderzoeken De kandidaat kan een probleemsituatie in een wiskundige, natuurwetenschappelijke of economische context analyseren, gebruik makend van relevante begrippen en theorie vertalen in een vakspecifiek onderzoek, dat 79

6.

7.

8. 9.

onderzoek uitvoeren, en uit de onderzoeksresultaten conclusies trekken. Ontwerpen De kandidaat kan een ontwerp op basis van een gesteld probleem voorbereiden, uitvoeren, testen en evalueren en daarbij relevante begrippen en theorie gebruiken. Modelvorming De kandidaat kan een realistisch probleem in een context analyseren, inperken tot een hanteerbaar probleem, vertalen naar een model, modeluitkomsten genereren en interpreteren en het model toetsen en beoordelen. Redeneren De kandidaat kan met gegevens van wiskundige en natuurwetenschappelijke aard consistente redeneringen opzetten van zowel inductief als deductief karakter. Waarderen en oordelen De kandidaat kan een beargumenteerd oordeel over een situatie in de natuur of een technische toepassing geven, en daarin onderscheid maken tussen wetenschappelijke argumenten en persoonlijke uitgangspunten.

Subdomein A3: Wiskundige vaardigheden 10. Algebraïsche vaardigheden De kandidaat beheerst de bij het examenprogramma passende rekenkundige en algebraïsche vaardigheden, heeft inzicht in de bijbehorende formules en kan de bewerkingen uitvoeren. 11. Vaktaal, conventies en notaties De kandidaat kan correcte vakspecifieke taal en terminologie interpreteren en produceren, inclusief formuletaal, conventies en notaties. 12. Oplossingsvaardigheden De kandidaat kan een oplossingsstrategie kiezen, deze correct toepassen en gevonden oplossingen controleren op wiskundige juistheid.

80

Bijlage Wiskunde D, concept, dd. 02-12-2006 Criteria waaraan materiaal voor Wiskunde D zo veel als mogelijk moeten voldoen Aspecten Thema

Uitwerking

Omvang Doelgroep en niveau Theoretische kwaliteit Leerlingenmateriaal

Criterium Het onderwerp past binnen het (concept-) examenprogramma Wiskunde D en in één of meer domeinbeschrijvingen aansprekend voor doelgroep: havo en/of vwo; niet alleen voor de beste leerlingen uit NT maar voor álle leerlingen die Wiskunde B volgen is inhoudelijk verdiepend en/of verbredend ten opzichte van het examenprogramma Wiskunde B Bouwt maximaal voort op voorkennis die bereikt is met kerst in het examenjaar

Aandachtspunten

(sub-)domein moet vóór het laatste schoolexamen afgerond

samenwerking HO-VO of intra- of interscolair (alleen docenten VO) ontwikkeling in samenwerking tussen VO en HO of bedrijfsleven havo: HBO en overwegend MKB vwo: WO, bedrijfsleven en wetenschappelijke onderzoeksinstellingen context - concept: de contexten zijn ontleend uit de wetenschappelijke, technologische en maatschappelijke praktijk. havo: past verworven kennis en inzichten toe bij ontwikkeling van product of dienst. vwo: past verworven inzichten toe tijdens onderzoek. standaard is 40 SLU of een veelvoud ervan aangegeven en tenminste 4 havo - wiskundig correct - voorgelegd aan expert uit HBO of WO - doorstroomrelevantie is op enigerlei wijze herkenbaar Bevat een voorpagina met daarop: 1. naam van het Wiskunde D domein, 2. auteur(s), 3. versienummer (datum van de laatst gecreëerde versie); geschikt voor doelgroep qua onderwerp, niveau, taalgebruik, opmaak Gericht op vervolgopleidingen Gericht op verdieping en begripsvorming

Bijv met beroepssituaties en onderzoeksvragen Niet alleen “wat”- en “hoe”maar ook “waarom-vragen”

enthousiasmerend en uitdagend, spreekt leerlingen aan op kennis, interesse en niveau van hun leeftijd geëvalueerd in reële situatie met diverse scholen

Hiervoor is een evaluatieformat aanwezig

omvat:

Verwervingscomponent omvat

81

1. Voorkenniscomponent 2. Verwervingscomponent 3. Verwerkingscomponent Bij voorkeur een duidelijke verdeling over de drie componenten

Docentenmateriaal

Toetsmateriaal

Uitvoerbaarheid Rechten

Beschikbaar - zoveel mogelijk in pdf-vorm (is platform-onafhankelijk) - wie zijn/haar teksten wil blootstellen aan het bewerken door collega’s, levert een versie aan (in LATEX, Word, Framemaker, enz) Bevat een voorpagina met daarop: 1. naam van het Wiskunde D domein, 2. doelgroep (h4, h5, v4, v5, v6). 3. auteur(s), 4. versienummer (datum van de laatst gecreëerde versie); 5. voorzien aantal slu omvat: • Beschrijving concepten, vaardigheden en/of competenties die leerlingen nodig heeft voor het domein, • beschrijving concepten, vaardigheden en/of competenties die leerlingen met het domein geacht worden te verwerven • leerplan, toelichting werkvormen, benodigde middelen, aanwijzingen voor begeleiding, bronnen • aanwijzingen voor doorstroomrelevantie Omvat • toetsen/toetsvormen, passend bij gebruikte werkvormen • toelichting op wijze van beoordelen + beoordelingscriteria / uitwerkingen opschaalbaar: te gebruiken in meerdere scholen ontwikkeling en publicatie digitaal mogelijk geen belemmeringen wat betreft copyright op teksten, illustraties, software of anderszins

theorie, opdrachten, bronnen, verschillende werkvormen (incl. evt. practicum), leerdoelen en toetsingseisen. Verwerkingscomponent omvat opdrachten en toetsingseisen (inclusief procestoetsing) bij voorkeur enkele open opdrachten

omvat bij voorkeur ook: achtergrondinformatie, alternatieve opdrachten, alternatieve werkvormen

bij voorkeur: • vaardigheden via rubrics • diagnostische tussentoetsen + norm • eindtoets + norm • antwoordmodellen

82

Bijlage: Werkversie examenprogramma Samenwerken en onderhandelen

economie

havo

en

vwo:

Domein

F

De kandidaat kan in contexten analyseren dat, wanneer belangen van individuele actoren conflicteren, samenwerken en onderhandelen meer surplus oplevert voor (markt)partijen dan te vertrouwen op het nastreven van eigenbelang. Centralisatie, waarbij (collectieve) dwang het middel is om acties tot stand te brengen, kan een alternatief coördinatiemechanisme zijn voor individuele keuzes. Samenwerken De kandidaat kan in contexten: • aantonen dat sprake is van een gevangenendilemma en dit rekenkundig onderbouwen; • uitleggen waarom in een gevangenendilemma individuele of collectieve belangen worden geschaad; • verklaren dat herhaling van een spel invloed heeft op de uitkomsten; • met voorbeelden uitleggen dat het herhaaldelijk treffen van dezelfde spelers kan leiden tot meerdere evenwichtsuitkomsten; • positieve en/of negatieve externe effecten beschrijven; • aantonen dat sprake kan zijn van meeliftgedrag en met voorbeelden uitleggen waarom meeliftgedrag een vorm is van een extern effect; • uitleggen dat verschillen in sociale normen oorzaak kunnen zijn van meerdere evenwichtsuitkomsten en de gevolgen daarvan op het afsluiten van contracten verklaren; • verklaren dat zelfbinding, reputatie en geloofwaardigheid nieuwe toetreders en bestaande marktpartijen kan afschrikken; • het nut van collectieve dwang (sociale normen en contracten) uitleggen; • de invloed van zelfbinding concretiseren bij de totstandkoming van samenwerking. Onderhandelen De kandidaat kan in contexten: • uitleggen welke samenwerkingsdilemma’s ontstaan bij onderhandelingen als het gaat om de verdeling van het surplus en bepalen wat de consequenties zijn die hieruit voortvloeien voor beide partijen; • voorbeelden geven van verzonken kosten en uitleggen wat de mogelijke gevolgen kunnen zijn voor benadeelde partijen die verzonken kosten hebben bij onderhandelingen; • voorbeelden geven van kosten in geval van specifieke investeringen en deze in relatie brengen met het berovingsprobleem. Verplichte contexten: Prijzenoorlog De kandidaat kan op markten voor goederen en diensten het gevangenendilemma analyseren in een situatie waar producenten door middel van omvangrijke en aanhoudende prijsverlagingen proberen marktaandeel te winnen ten koste van hun concurrenten. Het belang van zelfbinding speelt een grote rol bij het voeren van een dergelijke prijzenoorlog. Ook kan de kandidaat analyseren dat een steeds terugkerende prijzenslag tussen concurrenten gezien kan worden als een herhaald spel, waarin de producenten rekening moeten houden met het reputatie-effect. In deze situatie kunnen concurrenten in de verleiding komen om prijsafspraken te maken hetgeen verboden is door de mededingingswet. Cao-onderhandelingen

83

De kandidaat kan analyseren welke rol collectieve dwang en zelfbinding spelen bij het collectieve overleg over arbeidsvoorwaarden tussen (vertegenwoordigers van) werkgevers en werknemers. In het jaarlijks terugkerende overleg, een herhaald spel, over een collectieve arbeidsovereenkomst (CAO) weten de onderhandelende partijen dat hun eigen belangen sterk gekoppeld zijn aan die van de andere partij. Dat maakt samenwerken aannemelijk. Europese integratie De kandidaat kan met betrekking tot de gemeenschappelijke Europese markt (EU) analyseren dat het gevangenendilemma een rol speelt in transacties tussen lidstaten van de EU. Verdere uitbreiding van de EU met nieuwe lidstaten zal een steeds grotere druk leggen op de effectiviteit van de Europese besluitvorming. Samenwerking op basis van vertrouwen tussen lidstaten kan negatieve externe effecten verkleinen of voorkomen en is daarmee essentieel om mogelijke welvaartsverliezen te beperken. Maatschappelijk verantwoord ondernemen De kandidaat kan analyseren dat maatschappelijk verantwoord ondernemen (MVO) kan bijdragen aan het verminderen van sommige negatieve externe effecten, door de duurzaamheid van produceren prioriteit te geven boven de winstgevendheid op korte termijn. Duurzaam produceren betekent productie nu combineren met behoud van productiemogelijkheden in de toekomst. MVO gaat uit van de 3 P’s: • People: de sociale kant van ondernemen: de gevolgen van ondernemen voor mensen, zowel binnen als buiten de onderneming. • Planet: de milieukant van ondernemen: de effecten van ondernemen op het natuurlijke leefmilieu. • Profit: de economische kant van ondernemen: de voorwaarde voor continuïteit van de onderneming.

84

Bijlage: Antwoordenmodel ANTWOORDENMODEL SPELTHEORIE 1.1 1.

Bij het lezen van voorbeeld 1 moet de leerling inzien dat het een groot risico met zich meebrengt om te zwijgen omdat er dan een kans is om 20 jaar de cel in te moeten. Bij het beantwoorden van de vragen gaat het erom dat de leerling bij het beantwoorden van de vraag de tabel goed kan opstellen, hem goed kan lezen en bij het bepalen van een strategie rekening houdt met de keuze van de tegenspeler.

a

b

c

d

2. a

Verdachte 2 verlinkt Verdachte 2 zwijgt Verdachte 1 verlinkt Verdachte 1: 10 jaar cel Verdachte 1: vrijuit Verdachte 2: 10 jaar cel Verdachte 2: 20 jaar cel Verdachte 1 zwijgt Verdachte 1: 20 jaar cel Verdachte 1: 1 jaar cel Verdachte 2: vrijuit Verdachte 2: 1 jaar cel - Als de situatie zo wijzigt dat je 15 jaar de cel in gaat als beide verlinken dan is het verstandig om de strategie te kiezen de ander te verlinken omdat als de ander verlinkt kun je het beste ook verlinken (10 jaar cel is beter dan 20 jaar cel). En als de ander zwijgt dan kun je ook beter verlinken (vrijuit is beter dan 1 jaar de cel in). - Als de situatie zo wijzigt dat je 20 jaar de cel in gaat als beide verlinken dan is de keuze moeilijker. Als de ander jou verlinkt dan maakt het voor jou niet uit of je verlinkt of zwijgt. Maar als de ander zwijgt dan is het beter om te verlinken. Aangezien je maar één keer kunt kiezen is de beste strategie de ander te verlinken. - Als de situatie zo wijzigt dat je vrijuit gaat als beide zwijgen dan is het verstandig om te verlinken. Want als de ander jou verlinkt kun jij het beste ook verlinken (10 jaar is beter dan 20 jaar cel). Als de ander zwijgt, maakt het voor jou niet uit of je zwijgt of verlinkt (beide gevallen vrijuit). Aangezien je maar één keer kunt kiezen is de beste strategie de ander te verlinken. - Als de situatie zo wijzigt dat je 10 jaar de cel in gaat als beide zwijgen dan is het verstandig te verlinken. Want als de ander verlinkt dan is het beter om ook te verlinken (10 jaar cel is beter dan 20 jaar cel). Als de ander zwijgt is het beter om te verlinken (vrijuit is beter dan 10 jaar cel). Ligt eraan of de ander te vertrouwen is. Als je de ander niet vertrouwt maakt het niet uit of je een afspraak maakt, de afspraak is dan immers niks waard. Als je elkaar heel goed kunt vertrouwen (misschien nog wel linker) of een goed bindend contract sluit beïnvloed het wél je strategiekeuze. situatie 1

×

situatie 2

× 85

×

b

c 3.

××

- In situatie 1 zet je het kruisje rechtsonder omdat je dan zelf twee mogelijkheden creëert en de ander verplicht zijn rondje in het midden te zetten - In situatie 2 zet je het kruisje linksboven omdat je zo de ander dwingt zijn of haar rondje rechtsboven te zetten. Dat geeft jou de mogelijkheid (en verplichting) om in een volgende beurt je kruisje in het midden te zetten. Je hebt dan weer twee mogelijkheden gecreëerd om te winnen in de volgende beurt. Je zet je kruisje nooit in het begin in het midden omdat je bij iedere volgende beurt je de tegenstander verplicht drie-op-een-rij te blokkeren door een rondje aan de overzijde te zetten van jou kruisje. Je creëert zo nooit twee mogelijkheden en je zal zo nooit winnen. In het midden, je kunt er dan voor zorgen dat er altijd maar één mogelijkheid is voor kruisje en deze mogelijkheid kun je blokkeren. Je kiest een plek die voor jullie allebei een bekende plek is. Je redeneert als volgt: Als ik mijn vriend(in) zou zijn, waar zou ik dan heen gaan? En je bedenkt dat de ander ook bedenkt waar jij heen zou gaan. Als je beide bijvoorbeeld met de trein gaat kies je logischerwijs voor het Centraal Station. Ben je in het centrum dan kies je voor de Dam. (mag ook een ander plek zijn natuurlijk)

4. a

b

De ander kiest voor De ander kiest voor €200.000 voor jou €100.000 voor zichzelf Jij kiest voor €200.000 Jij: €200.000 Jij: €0 voor de ander Tegenspeler: €200.000 Tegenspeler: €300.000 Jij kiest voor €100.000 Jij: €300.000 Jij: €100.000 voor jezelf Tegenspeler: €0 Tegenspeler: €100.000 Als de ander kiest voor €200.000 voor jou dan kies jij voor jezelf (€300.000>€200.000). Als de ander kiest voor €100.000 voor zichzelf, dan kies jij ook voor jezelf (€100.000>€0). De ander denkt ook zo en je kiest dus voor €100.000 voor jezelf.

c

86

5. a

b c

De anderen blijven De anderen vluchten vechten Jij blijft vechten Jij: 2 Jij: 0 Anderen: 2 Anderen: 1 Jij vlucht Jij: 3 Jij: 1 Anderen: 2 Anderen: 1 - Als jij vecht en de anderen vechten dan wordt het gevecht gewonnen, maar je hebt onzekerheid of je het gevecht overleeft, gegeven was dat beide een waarde van 2 toekennen aan deze strategie - Als jij vlucht en anderen blijven vechten ben jij zeker van je leven en aangezien jij als individu geen invloed hebt op het gevecht wordt het gevecht gewonnen. Je hecht hier veel waarde aan, dus zoals gegeven: waarde 3 voor jezelf (3>2). Als jij vlucht heeft dit geen invloed op de uitslag van het gevecht en dus zullen de anderen winnen en kennen hier een waarde 2 aan omdat ze deze waarde ook toekenden in het geval jij bleef vechten. - Als de anderen vluchten en jij blijft vechten ga je een zekere dood tegemoet. Hier hecht je geen waarde aan en je kent hier een 0 aan toe. Voor de anderen geldt dat als jij blijft vechten en de anderen vluchten, dan winnen ze het gevecht niet en zullen als verliezers door het leven gaan, dat levert hun een minder goed gevoel op dan wanneer ze als winnaar van het veld af lopen, maar ze kennen er meer waarde aan toe dan de dood. Dus de waarde is kleiner dan 2 en groter dan 0, dus 1. - Als jij vlucht en de anderen vluchten, dan wordt het gevecht verloren, maar iedereen blijft wel leven, dus geldt een waarde kleiner dan 2 en groter dan 0, dus 1. Jij vlucht, omdat als de anderen blijven vechten kun je beter vluchten (3>2) en als de anderen vluchten kun je ook beter vluchten (1>0). De anderen blijven vechten, omdat als jij blijft vechten kunnen zij ook beter blijven vechten (2>1) en als jij vlucht dan kunnen ze ook beter blijven vechten (2>1).

87

d

Ps. Jij hebt als individu geen invloed op het gevecht dus jou strategie is niet van invloed op hun waarde. “De anderen” is geen eenheid die een keuze kan maken. “De anderen” is een groep individuen die allemaal stuk voor stuk een keuze moeten maken. Bij het maken van die keuze hebben ze allemaal individueel een dominante strategie, namelijk “vluchten”.

88

1.2 6 Voor speler 1 gelden de volgende mogelijke uitbetalingen: (zwijgen, zwijgen) =1 (zwijgen, verlinken) = 0 (verlinken, zwijgen) = 20 (verlinken, verlinken) = 10 7 a

b

opm.: let op verschil strategiemogelijkheden en uitkomstmogelijkheden Speler 1 heeft de strategiemogelijkheden s1 (1), s1 (2) en s1 (3). En speler 2 heeft de strategiemogelijkheden s2 (1), s2 (2) en s2 (3). In totaal zijn er dan 32 = 9 uitkomstmogelijkheden. 23 = 8 uitkomstmogelijkheden Boomdiagram: I II III

c d

e

8 a

b c d 9

43 A = ni, met n het aantal strategiemogelijkheden en i het aantal spelers. Opm. meestal wordt met kleine i een willekeurige speler aangeduid en het totaal met een grote I. In de opgave had dan ook de i met een hoofdletter I moeten worden aangeduid. Voor drie spelers kan worden ingezien dat als speler I n1 , speler II n2 en speler III n3 strategiemogelijkheden heeft er dan n1 × n2 × n3 uitkomstmogelijkheden zijn. Als we I spelers hebben dan wordt de formule: A = n1 × n2 × n3 … nI-1 × nI 1. n = 24 (bijvoorbeeld) 2. - alle leerlingen maken keuze uit getallen 0-100 - alle keuzes worden tegelijk (simultaan) gemaakt 3. 101, namelijk 0 tot 100 4. 10124 5. - ui = 0 bonus als verliezer - ui = 1 bonus als winnaar 2/3 (Σ si)/n Met de verwachte keuze van anderen. Mate waarin anderen rationeel denken. 1. speler 1 (jij), speler 2 (ander) 2. - de twee spelers maken keuze uit €100.000 voor zichzelf of €200.00 voor ander - de twee spelers maken tegelijk (simultaan) hun keuze zonder overleg 3. s(1) := €100.00 zelf, s(2) := €200.00 voor ander 4. (s1(1),s2(1)), (s1(1),s2(2)), (s1(2),s2(1)), (s1(2),s2(2)), of (€100.000 zelf, €100.00 zelf),… 5. u1(s1(1),s2(1)) = €100.000, u1(s1(1),s2(2)) = €300.000,

89

u1(s1(2),s2(1)) = €0, u1(s1(2),s2(2)) = €200.000, u2(s1(1),s2(1)) = €100.000, u2(s1(1),s2(2)) = €0, u2(s1(2),s2(1)) = €300.000, u2(s1(2),s2(2)) = €200.000. 10 opm.: Yathzee lijkt bij vraag a-f geen strategisch spel. a twee zessen b opm.: bij de vraag is bedoeld om alleen de keuzes te geven voor een rationeel denkende speler, dit is één van de aannames die vermeld staat in 1.2.2. Het antwoord is dan: - s(1) = twee zessen laten liggen[voor three-of-a-kind] - s(2) = de 4,5,6 laten liggen [voor grote straat en mogelijkheid tot three-of-a-kind] Opm.: de 1,4,5 laten liggen is niet verstandig omdat 5 < 6 en als je drie stenen laat liggen is er ook een mogelijkheid om three-of-a-kind te gooien. Aangezien bij three-of-a-kind het aantal ogen wordt geteld is het niet verstandig 1,4,5 te laten liggen. Formeel heeft hij echter veel meer keuzes en deze behoren ook tot zijn strategiekeuzemogelijkheden: (ø), (1), (2), (4), (5), (6), (1,4), (1,5), (1,6), (4,5), (4,6), (5,6), (6,6), (1,4,5), (1,4,6), (1,5,6), (1,6,6), (4,5,6), (4,6,6), (5,6,6), (1,4,5,6), (1,5,6,6), (4,5,6,6), (1,4,5,6,6). c Formeel zijn alle mogelijkheden met 5 dobbelstenen uitkomsten omdat een speler alle stenen mag oppakken en opnieuw kan gooien. Maar een rationele speler maakt een afweging tussen s(1) en s(2). Opm.: de uitkomsten bestaan per definitie uit de strategiekeuzes en dus niet uit de mogelijkheden van de dobbelstenen na het gooien, je kunt namelijk niet kiezen welke dobbelstenen je bij de laatste worp op tafel wil hebben (dan is het spel ook niet meer leuk). d De uitbetalingen zijn voor de rationele speler: - u(s(1)) = som aantal ogen als three-of-a-kind wordt bereikt (1) - u(s ) = 0 indien geen three-of-a-kind - u(s(2)) = 40 als grote straat wordt bereikt (2) - u(s ) = som aantal ogen als three-of-a-kind wordt bereikt - u(s(2)) = 0 indien anders e indien (4,5,6) is laten liggen is de kans op grote straat: 2/6 x 1/6 = 2/36 = 1/18. f indien (6,6) is laten liggen is de kans op three-of-a-kind: - 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½ op drie zessen - 5/6 x 1/6 x 1/6 = 5/216 op drie willekeurig anderen ogen dan zessen Dus kans is dan ½ + 5/216 Indien (4,5,6) is laten liggen is de kans op three-of-a-kind: - ½ x 1/6 = 1/12 g - bij welke strategie is mijn verwachtingswaarde het hoogst: - (6,6)  ½ x 24 + 1/216 x 1 + 1/216 x 2 + 1/216 x 3 +1/216 x 4 +1/216 x 5 = 12,069444 - (4,5,6)  1/18 x 40 + 4/36 + 5/36 + 6/36 = 2,638889 - hoe groot is de kans op grote straat in volgende beurt - hoe groot is de kans op three-of-a-kind in volgende beurt - hoeveel punten hebben de andere spelers en hoeveel heb ik er - welke keuzes moeten de andere spelers maken - moet ik save spelen of risico nemen

90

2.1 11

Wanneer er drie ijsverkopers op het strand zitten is er geen evenwicht wanneer ze alledrie in het midden gaan zitten omdat ze de neiging hebben om naar een kant toe te bewegen om zo hun marktaandeel te vergroten. Maar is er een ander evenwicht te vinden? Allereerst moet worden ingezien dat áls er een ander evenwicht is, dat in dit evenwicht een eerlijke verdeling moet plaatsvinden, oftewel: allemaal 1/3 van het strand. Dit kan nu alleen als ze alledrie in hetzelfde punt gaan zitten (maar dan belanden we in de situatie zoals die hierboven beschreven is) of als ze of respectievelijk 1/6, ½, 5/6 van het strand gaan zitten. Maar ook hier hebben de spelers de neiging om van hun plaats af te wijken en richting een andere ijsverkoper te verplaatsen om hun marktaandeel te vergroten. Conclusie: er is geen evenwicht.

12.

Opm. fout in de opgave: het moeten 5 ipv 4 elementen zijn, nml. Spelers, regels, strategieën, uitkomsten en uitbetalingen. 1. er zijn twee spelers, namelijke bierbrouwerij I en bierbrouwerij II 2. - spelers mogen niet overleggen - spelers moeten op hetzelfde moment hun keuze maken 3. De strategiemogelijkheden zijn voor beide spelers hetzelfde. Nml.: - strategie 1 (=s1) = Wel nieuwe biersoort brouwen - strategie 2 (=s2) = Niet nieuwe biersoort brouwen 4. De uitkomsten zijn: (W,W), (W,N), (N,W), (N,N) 5. De uitbetalingen zijn: - u1(W,W)= -1 - u1(N,W)= 2 - u2(W,W)= 5 - u2(N,W)= 10 - u1(W,N)= 8 - u1(N,N)= 3 - u2(W,N)= 4 - u2(N,N)= 8 (i) als Brouwerij II voor W kiest, dan kiest Brouwerij I voor N (2>-1) (ii) als Brouwerij II voor N kiest, dan kiest Brouwerij I voor W (8>3) Er is voor Brouwerij I dus géén dominante strategie omdat hij afhankelijk is van de keuze van de ander. Voor een dominante strategie moet gelden voor Brouwerij dat hij onafhankelijk van Brouwerij II kiest voor W, of kiest voor N: (i) om de dominante strategie W te krijgen moet gelden: 2 > -1 (dat klopt al) 8 < 3 (dat klopt niet) - dus moet de 8 veranderen in x met x < 3 - of moet de 3 veranderen in y met y > 8 (ii) om de dominante strategie N te krijgen moet gelden: 2 < -1 (dat klopt niet) - dus moet de 2 veranderen in p met p < -1 - of moet de -1 veranderen in q met q > 2 Er zijn dus oneindig veel mogelijkheden.

a

b

c

13 a b

Nu is er geen risico meer om veel geld te verliezen. Het is zelfs zo dat de minima voor Brouwerij I bij keuzes van Brouwerij II gelijk zijn, nml. -10, dus er is geen reden meer op maximin-strategie te spelen en Brouwerij I kiest voor W. Bij verandering naar 0: Brouwerij I kiest voor W omdat: - als Brouwerij II kiest voor N, dan maakt het hem niet uit : 0 = 0 - als Brouwerij II kiest voor W, dan kiest Brouwerij I voor W omdat 20 < -10 91

c d

14

15 a b c

d

16

Opm.: hij kan hier dus maximin-strategie spelen: hij heeft min. 0 en misschien meer: 20. Komt eigenlijk op hetzelfde neer als dominante strategie, maar geen strikte dominante strategie. Bij verandering naar 20: Brouwerij I kiest voor W omdat: - als Brouwerij II kiest voor N, dan kiest Brouwerij I voor W omdat 20> 0 - als Brouwerij II kiest voor W, dan kiest Brouwerij I voor W omdat 20> -10 Nee, want Brouwerij II heeft een dominante strategie en dat betekend dat zijn keuze onafhankelijk is van de keuze van Brouwerij I. Maximin-strategie voor Brouwerij II: - als Brouwerij I kiest voor N, dan is minimale waarde voor bedrijf II gelijk aan 0 - als Brouwerij I kiest voor W, dan is minimale waarde voor bedrijf II gelijk aan 0 Dit overweegt Brouwerij II nooit, omdat hij bij dominante strategie verzekerd is van minimaal 10, dan is het zinloos om de maximin-strategie te spelen die minimaal 0 verzekerd. (het is ook niet voor niks natuurlijk een dominante strategie) De maximin-strategie verzekerd je van een bepaalde minimale uitbetaling in het spel. Dus deze strategie speel je als je zekerheid wil hebben. Of anders gezegd: in het geval van een risico. Bij kans op een groot verlies of onzekerheid van de keuze van de ander. spel 2: speler I kiest A want 4 > 2 en 3 > 2 spel 3: speler I kiest A want 4 > 2 en 3 > 2 spel 1: speler II kiest A want 5 > 3 en 6 > 4 spel 2: speler II kiest A want 4 > 3 en 6 > 4 maximin speler I in: spel 1: kiest voor A, want 3<6 en 2<3 en daaruit maximum is 3 voor keuze A want 3 > 2 spel 2: kiest voor B, want 2<4 en 2<3 en daaruit maximum is 2 voor keuze B spel 3: kiest voor B, want 2<4 en 2<3 en daaruit maximum is 2 voor keuze B spel 4: kiest voor B, want 1<6 en 2<3 en daaruit maximum is 2 voor keuze B want 2 > 1 dus spel 1 waarin speler 1 verzekerd is van 3 geeft hem de zekerheid op de hoogste waarde t.o.v. spellen 2,3 en 4, waar hij verzekerd is van een waarde van 2. maximin-strategie speler II in: spel 1: kiest voor B, want 3<5 en 4< 6 en daaruit maximum is 3 voor keuze B spel 2: kiest voor B, want 3<5 en 4< 6 en daaruit maximum is 3 voor keuze B spel 3: kiest voor A, want 3<5 en 0<4 en daaruit maximum is 3 voor keuze A want 3 > 0 spel 4: kiest voor A, want 2<5 en 0<4 en daaruit maximum is 2 voor keuze A want 2 > 0 dus laagste geeft laagste waarde, namelijk een waarde van 2 in het geval er sprake is van een dominante strategie bekijken we de volgende algemene tabel: (a,·) (b, ·) (c, ·) (d, ·) En er moet dan gelden dat: a > c en b>d maar als dit het geval is dan geldt voor de maximin strategie dat c < a en d < b, dus wordt het maximum genomen van c en d, beide zijn een andere strategie dan a en b, dus een dominante strategie is nooit een maximin-strategie.

92

2.2 17

18

Dit boomdiagram wijkt af van voorbeeld 11 doordat hier de keuzes tegelijk worden genomen en dus zitten de keuzes van bedrijf I in één informatieverzameling. In de figuur wordt dit kenbaar gemaakt door een ovaal te tekenen om de beslispunten van bedrijf I. 19 1. ja, want elk simultaan spel bevat een informatieverzameling bestaande uit meerderen punten en dus is dit spel imperfect.

2. nee, tegenvoorbeeld: 3. nee, tegenvoorbeeld zie 2 4. nee, zie 1 20 -

imperfect omdat er een informatieverzameling in zit die bestaat uit meer dan één punt dynamisch (dus niet simultaan) omdat er verschillende informatieverzamelingen zijn die uit één beslispunt bestaan

21 a

b

c d

Hubba Bubba (HB) Vechten Aanpassen Big Gum In (-3,-1) (2,1) (BG) Uit (0,2) (0,2) Big Gum: geen dominante strategie: - als HB vecht kiest BG voor Uit - als HB zich aanpast kiest BG voor In Hubba Bubba: dominante strategie: - als BG in de markt komt kiest HB voor aanpassen - als BG uit de markt blijft kiest HB voor aanpassen In de normale vorm is niet duidelijk dat er sprake is van een simultaan spel, in de extensieve vorm wel. E(vechten) = 0,3 x 2 + 0,7 x -1 = -0,1 E(aanpassen) = 0,3 x 2 + 0,7 x 1 = 1,3 93

e

Nee, wat voor kansen er ook aan worden gehangen aan de keuze van Big Gum om wel dan niet tot de markt toe te treden, de verwachtingswaarde voor aanpassen is altijd groter voor aanpassen dan voor vechten.

22 Er wordt een schets gevraagd:

Bij deze schets moet nog worden opgemerkt (of erin worden getekend) dat wanneer de volgende speler een bod doet, dat dit bod dan groter moet zijn dan bod van de vorige speler. De uitkomsten bestaan uit vectoren met lengte n, waarbij n het aantal spelers is dat een bod heeft uitgebracht. De uitbetaling is voor de eerste n-2 spelers gelijk aan nul. Voor speler n-1 geldt dat hij een uitbetaling heeft van minus zijn eigen bod. Voor speler n geldt dat zijn uitbetaling gelijk is aan één euro minus zijn eigen bod. 23 a Er moet gelden dat: E(N) = E(W)  p x (-100) + (1-p) x 20 = p x 0 + (1-p) x -10 haakjes uitwerken levert op: 130 p = 30, oftewel: p = 0,23 b Bij de afweging vergelijk je de verwachtingswaarde van de uitbetaling als je geen contract sluit met de verwachtingswaarde van de uitbetaling als je wel een contract sluit. - als je geen contract sluit dan zit je in onzekerheid over de keuze van Bedrijf II. Het enige wat je kunt doen is er voor 50% uitgaan dat Bedrijf II het niet doet, en 50% dat het wel doet. Bij een keuze van Bedrijf I voor N heeft een verwachtingswaarde van ½(0 – 10) = -5 en bij een keuze voor W heeft hij een verwachtignswaarde van ½(-100 + 20) = -40. Dus als hij niets weet over de keuze van bedrijf II kun je beter voor N gaan (omdat -5 > -40). - Als je het wel een contract sluit dan heb je zekerheid van een winst van 0 als Bedrijf II kiest voor N en een zekerheid van een winst van 20 als Bedrijf II voor W kiest, dit levert een verwachte waarde van ½(0 + 20) = 10 op. Nu heb je maximaal 15 over voor het contract omdat in het geval je het niet weet verwacht je -5 te krijgen en in het geval je het wel weet verwacht je 10 te krijgen.

94

Ps. Je gaat er bij deze opgave vanuit dat hij zijn keuze baseert op de hoogste verwachtingswaarde. 24 a Er wordt gevraagd om een schets. In eerste instantie is het veld van 3 x 3 helemaal leeg en heeft spelerX negen keuzes. Als spelerO dan vervolgens aan de beurt is heeft hij nog maar 8 mogelijkheden, spelerX daarna nog 7,…

b c

Als deze staart af is gemaakt is de schets klaar omdat de andere paden op soortgelijke wijze tot stand komen. Je mag ervan uitgaan dat in elk spel alle vakken gevuld worden. Dit is natuurlijk niet altijd zo, maar vanuit theoretisch oogpunt wordt het wel vaak zo gedaan. Dit levert dan uiteraard 9 x 8 x 7 x … x 1 = 9! = 362880 eindpunten op. neemt onnodig veel tijd (en papier) in beslag

95

2.3 24

25 gegeven is deze tabel , die eerder gemaakt is in opgave 1: Verdachte 2 verlinkt Verdachte 2 zwijgt Verdachte 1 verlinkt Verdachte 1: 10 jaar cel Verdachte 1: vrijuit Verdachte 2: 10 jaar cel Verdachte 2: 20 jaar cel Verdachte 1 zwijgt Verdachte 1: 20 jaar cel Verdachte 1: 1 jaar cel Verdachte 2: vrijuit Verdachte 2: 1 jaar cel - Als verdachte 2 kiest voor verlinken, dan kiest verdachte 1 voor verlinken (onderstreept in de tabel). - Als verdachte 1 kiest voor verlinken, dan kiest verdachte 2 voor verlinken(onderstreept in de tabel) Er is nu een Nash-evenwicht gevonden: verlinken, verlinken: want verdachte 1 kiest nu het beste wat hij kan gegeven wat zijn tegenspeler doet, namelijk gegeven dat verdachte 2 voor verlinken kiest, kiest verdachte 1 voor verlinken én verdachte 2 kiest nu het beste wat hij kan gegeven wat zijn tegenspeler doet, namelijk gegeven dat verdachte 1 voor verlinken kiest, kiest verdachte 2 ook voor verlinken. Is er nog een Nash evenwicht? - Als verdachte 2 kiest voor zwijgen, dan kiest verdachte 1 voor verlinken (wederom onderstreept in de tabel’ - Als verdachte 1 kiest voor verlinken, dan kiest verdacht 2 voor verlinken (dat hadden we al gezien), dus hier geen Nash-evenwicht. Om het verhaal compleet te maken (maar in theorie niet nodig, we weten nu dat er geen Nash-evenwichten meer zijn): - Als verdachte 1 kiest voor zwijgen, dan kiest verdachte 2 voor verlinken - Als verdachte 2 kiest voor verlinken, dan kiest verdachte 1 voor verlinken, dus geen Nash-evenwicht. Ook hadden we kunnen zien dat het spel symmetrisch is en er een dominante strategie is voor beide spelers en we kunnen bewijzen dat (zie opg 29) dat bij een strikt dominante strategie er een uniek Nash-evenwicht is. 26 a Bedrijf I H L Bedrijf H (-20,-30) (900,600) II L (100,800) (50,50) - Als Bedrijf I kiest voor H, dan kiest Bedrijf II voor L - Als Bedrijf II kiest voor L, dan kiest Bedrijf I voor H, gevolg: (L,H) is N-E - Als Bedrijf I kiest voor L, dan kiest Bedrijf II voor H 96

b

c d

- Als Bedrijf II kiest voor H, dan kiest Bedrijf I voor L, gevolg: (H,L) is N-E - Als Bedrijf I kiest voor H, dan is het min. voor Bedrijf II: -20 voor strategie H, - Als Bedrijf I kiest voor L, dan is het min. Voor Bedrijf II: 50 voor strategie L. Max(-20,50)= 50 voor strategie L, dus maximin-strategie is L met uitbetaling 50 Op equivalente manier voor bedrijf I: maximin-strategie is L met uitbetaling 50. Samen zullen ze voor de hoogste gezamenlijke winst gaan, dit is het geval bij (H,L). Merk op dat Bedrijf II dit niet zomaar doet, want 800>600, hiervoor is opgave d: Bedrijf I haalt meer voordeel uit de samenwerking omdat hij zekerheid kan hebben op 900 t.o.v. 100 (verschil 800) en Bedrijf II heeft maar verschil van 200. Om Bedrijf II over te halen om voor strategie H te kiezen moet Bedrijf I meer dan 200 bieden zodat het voor bedrijf II voordeliger is om voor H te kiezen. Bedrijf I doet dit omdat hij dan zekerheid heeft op 900 ipv 100. Dus er is onderhandelingsruimte tussen de 200 en 800 euro. Bij meer dan 800 heeft Bedrijf I geen voordeel meer voor zekerheid op een groot bedag.

27 Speler I

Speler II A A (10,10) B (-100,5)

B (3,3) (1,1)

Speler I

Speler II A A (20,30) B (15,15)

B (18,18) (30,10)

Dikgedrukte is NE 28 a

b

c

Bedrijf II A B C A (-10,-10) (0,10) (10,20) Bedrijf I B (10,0) (-20,-20) (-5,15) C (20,10) (15,-5) (-30,-30) - Bedrijf II voor A  Bedrijf I voor C - Bedrijf I voor C  Bedrijf II voor A, gevolg: (C,A) is NE - Bedrijf II voor B  Bedrijf I voor C, kan geen NE opleveren - Bedrijf II voor C  Bedrijf I voor A - Bedrijf I voor A  Bedrijf II voor C, gevolg: (A,C) is NE Maximin-strategie voor Bedrijf I: - Bedrijf II voor A  min. voor Bedrijf I is A, nml. -10 - Bedrijf II voor B  min. voor Bedrijf I is B, nml -20 - Bedrijf II voor C  min. voor Bedrijf I is C, nml -30 Max (-10, -20, -30) = -10, dus maximin-strategie voor Bedrijf I is A Merk op dat het spel symmetrisch is en dus geld dat de maximin-strategie voor Bedrijf II ook strategie A is. Spelen voor strategie C

29 - Als beide spelers een maximin-strategie spelen dan is dit nooit een Nash-evenwicht omdat vanuit de definitie volgt dat het niet de beste reactie is op de tegenspeler - Als beide spelers een strikt dominante strategie hebben, dan is er altijd een uniek Nashevenwicht 97

2.4 30 - Veilen gaat sneller - Veilen is transparanter -… 31 Ja, je bepaald wat je maximaal wilt bieden en de dominante strategie is dan om door te gaan als het opbod onder jouw bod blijft en als het er boven komt dan stop je. 32 - Bij een Engelse orale veiling is jouw bod gelijk aan die van de tweede hoogste bieder + beetje - Bij gesloten-bod tweede prijs veiling is de strategie je eigen bod op te schrijven en je betaald de prijs van de nummer twee Deze twee zijn op het “beetje” na evenveel. 33 a De verwachte waarde is in beide gevallen even groot omdat bij een gesloten-bod tweede veiling de verwachte waarde gelijk is aan het bod van de nummer twee. Bij een geslotenbod eerste prijs veiling is het complexer om te bepalen wat je moet bieden, maar je denkt na over wat je verwacht dat het tweede bod is en daar ga je misschien iets boven zitten om te winnen. Beide gevallen verwacht je het bod van de nummer twee. b omdat je weet dat als je wint dat je dan teveel hebt betaald, je had dan namelijk minder kunnen bieden en ook kunnen winnen (zie a) c zie a d bijvoorbeeld van het aantal mensen dat op komt dagen. Als er heel veel mensen zijn, dan verwachte de mensen dat het tweede bod hoger is omdat ze denk en dat er vast wel iemand tussen zit die er veel voor over heeft. Dit maakt de verwachting van het tweede bod hoger. Bij een gesloten-bod tweede prijs veiling zul je dichter bij je eigen bod gaan zitten om te winnen. Als iedereen dat doet is de verwachting hoger dan bij een eerste prijs veiling waar iedereen zijn hoogste bod uitbrengt en gewoon kijkt wat het tweede bod is. 34 Omdat je bij een algemene waarde object te maken hebt met de winner’s curse en dus moet je rekening houden met de verwachte fout, bij een persoonlijke-waarde object hoef je daar geen rekening mee te houden. 35 Een bouwbedrijf omdat deze minder informatie heeft over de verwachte fout. Oliehandelaren spelen het spel zo vaak dat ze kunnen inschatten wat het risico is. 36 Een open orale veiling zal over het algemeen een hogere verwachte waarde opleveren dan een gesloten. Bij een open orale veiling is er namelijk meer informatie bekend voor de bieders, dit zorgt ervoor dat de bieders sneller een bod uit brengen. Bij meer onzekerheid biedt je behoudender 37 nee, want je bepaald zelf wat het object voor waarde heeft voor jou zelf. 38 a Zoveel mogelijk aandacht vragen en zoveel mogelijk bieders regelen zodat deze tegen elkaar kunnen opbieden. b - Voordeel is dat hij een minimum bedrag ontvangt - Nadeel is dat mensen dit als waarde zien wat Horacio Elizondo ervoor wilt hebben en er niet te veel boven willen gaan zitten.

98

39 a Aangezien bekend is dat er een scooter onder zit en niet iedereen evenveel waarde hecht aan een scooter heeft de scooter (wel dan niet onder een doek) voor iedereen een persoonlijke waarde. Maar aangezien de scooter onder een doek is kan je ook van mening zijn dat het een algemene waarde object is aangezien de scooter een bepaald bedrag waard is en niemand weet wat die waarde is. b Doordat er weinig informatie is over de scooter is de onzekerheid over de waarde en dus de verwachte fout groot. Daardoor zal iedereen in gesloten-bod veiling voorzichtig bieden. Het is beter een open veiling te houden om zo via het bieden informatie te geven over de waarde van de scooter, of beter: welke waarde anderen hechten aan de scooter. Het lijkt om deze reden ook beter een Engelse ipv een Nederlandse veiling te houden omdat bij een Nederlandse veiling nog steeds geen informatie wordt gegeven (behalve dan dat tot het moment dat er niks wordt geboden dat niemand er zo veel voor over heeft). c Hans moet eerst afwachten hoeveel er geboden wordt en als het bod laag blijft dan kan hij het beste het doek van de scooter halen om zo informatie te geven over de scooter (en het vertrouwen geven dat er écht een scooter onder staat, die het waarde is om op geboden te worden).

99

3.1 30

100

Bijlage: Theorie over verzamelingen met betrekking tot speltheorie. Deze theorie is uiteindelijk na discussie niet in het studiemateriaal terecht gekomen. Vaak geven we het aantal spelers dat deel neemt aan het spel aan met de letter I. Zo kunnen we de spelers nummeren met 1,…, I. De gehele groep spelers kunnen we weergeven als een verzameling van spelers noteren. Deze verzameling noemen we I. Notatie 1 Een verzameling van spelers noteren we als I = {1, 2, …, I}. Merk op dat een verzameling met een hoofdletter wordt aangegeven en met er een schuine letter wordt gebruikt voor een letter als element van een verzameling. Een verzameling geven we weer tussen accolades { en }. Het is een logische keuze dat wanneer er een spel wordt gespeeld waarbij er één speler begint deze het nummer 1 te geven. Wanneer we in het vervolg spreken over speler i, dan bedoelen we daarmee een willekeurige speler die tot de verzameling behoort, oftewel: i ∈ {1, 2,…, I}. Een speler kan tijdens een spel meerdere keuzes maken en zo uit verschillende strategieën kiezen. Een strategie geven we aan met de letter s. De verschillende strategieën die een speler i heeft kunnen we ook in een verzameling weergeven. Deze verzameling noemen we Si. Definitie 2De verzameling van strategieën voor speler i kan worden weergegeven in een strategieverzameling en noteren we als Si = {s(1) , s(2),…, s(n)}. Speler i heeft dus de keuze uit n strategiemogelijkheden. Er wordt voorlopig vanuit gegaan dat alle spelers dezelfde strategiemogelijkheden hebben. Het komt echter ook voor dat de spelers een verschillend aantal mogelijkheden hebben. In dat geval geldt bijvoorbeeld S1 = {s(1), s(2),…, s(n)} en S2 = {s(1), s(2),…, s(p)}, met n ≠ p. Definitie 3De keuze die speler i maakt uit zijn strategiemogelijkheden noemen we de strategiekeuze en noteren we als si, met si ∈ Si. Als speler 1 bijvoorbeeld kiest voor strategie 2 en speler 2 voor strategie 5 dan volgt: s1 = s(2) en s2 = s(5). Definitie 4De keuzes van alle spelers kunnen worden weergeven in een uitkomstenvector die we noteren als s = (s1, s2 ,…, sI). Hier valt op te merken dat er I aantal spelers zijn en er dus in totaal I aantal keuzes worden gemaakt. Er zijn meerdere uitkomstvectoren in een spel aangezien elke speler n strategiemogelijkheden tot zijn beschikking heeft. Definitie 5De waarde die een speler i hecht aan de uitkomst is gedefinieerd als de uitbetaling en noteren we als ui. De uitbetaling van speler i is afhankelijk van de strategiekeuzes . Daarom is u een functie van s: ui(s1, s2, …, sI). De uitbetalingen van speler 1 én speler 2 worden zoals in de tabel in het bovenstaande voorbeeld vaak in een vector weergegeven.

101

Definitie 6De uitbetalingen van alle spelers worden weergegeven in een uitbetalingsvector die we noteren als u = (u1, u2, …, ui). Er valt op dat het woord uitbetalingen niet altijd tot zijn recht komt. In Voorbeeld 2 wordt met uitbetalingen de hoogte van de straf bedoeld. Vaak wordt er dan ook gesproken van het ‘nut’ in plaats van ‘uitbetaling’. De u komt uit het Engels van het woord ‘utility’.

102

Bijlage: Lerarenhandleiding Lessenopzet: 40 SLU = 10 tot 15 lessen Opzet van het materiaal: er is eerst (theoretische) tekst en dan opgaven. Dit betekend niet dat het hoofdstuk ook in deze volgorde moet worden doorgewerkt. Het doel van de opzet is de leerling ermee vertrouwd te laten raken dat informatie niet altijd voorgeschoteld word. Hij zal bij het antwoorden van de vragen zijn informatie moeten verzamelen uit de tekst. Enige uitleg hierover aan de leerling is aan te raden. Er zitten tussen de vragen die bij het bijbehorende hoofdstuk horen ook altijd vragen die verwijzen naar een voorbeeld in de theorie. Hiermee wordt bereikt dat in ieder geval alle voorbeelden in de theorie zijn doorgewerkt. Deze opgaven en voorbeelden kunnen ook gebruikt worden tijdens klassikale les. De begrippen die worden gebruikt zijn meestal in een kader duidelijk zijn weergegeven. Hiermee wordt de leerling niet helemaal in het diepe gegooid, maar leert wel te zoeken naar antwoorden. Daarnaast is aan het einde van het materiaal een begrippenlijst te vinden.Vaak nemen leerlingen niet de tijd de gehele tekst door te lezen. De methode moet er voor zorgen dat ze hier wel in getraind raken. Om de leerling zelfstandig lezen en leren aan te leren is goede begeleiding essentieel. Daarom is het verstandig de leerlingen bepaalde opgaven die belangrijk worden geacht in te laten leveren voor een cijfer. In Tabel 2 zijn deze opgaven aangegeven met een *. Door het werk nagekeken terug te geven aan de leerling is er een goede reflectie op zijn werk en wordt hij gedwongen voor bepaalde opgave de tekst te hebben gelezen. Veelgemaakte fouten kunnen klassikaal worden behandeld. Het beoordelen van de opgaven stimuleert de leerling actief bezig te zijn met de stof. Het geheel kan op twee manieren worden afgesloten: 1. een proefwerk 2. een praktische opdracht Voor de praktische opdracht kan gedacht worden aan: o een verdieping die aansluit bij paragraaf 3.2: andere machtsindices indices (mogelijke bron: Spelen en delen uit de Zebrareeks). o een verdieping in het onderwerp nutsfuncties (utility functions). o een verdere overlapping met economie: cournot, stackelberg en bertrand evenwichten onderzoeken o verdere verdieping in onderwerp backward induction (bijvoorbeeld bekijken van nim- of hex-spel [http://www.pythagoras.nu]) o onderzoeken van strategieën en kansen op het winnen van een strategisch spel als Kolonisten van Catan, Stratego of andere spellen. o zelf een strategisch spel ontwerpen In Tabel 1 staat bij elke paragraaf een toelichting over de behandeling van de stof. In tabel 2 staat een lessentabel die als basis kan worden gebruikt. Toelichting: Paragraaf: Toelichting 1.1 Bij het zelfstandig doorwerken van de tekst kunnen de begrippen als rationele spelers(zie ook 1.2.2), strategie en uitbetaling nieuw zijn. Bij een inleiding van het onderwerp is het daarom handig om (door middel van een voorbeeld) duidelijk te maken wat hiermee wordt bedoeld. Later zullen de begrippen nog uitgebreid worden behandeld en komen steeds terug, dus aan de ene kant 103

1.2

belangrijk om te behandelen aan de andere kant zullen ze door het gebruik in verdere hoofdstukken ermee vertrouwd raken. Bij Voorbeeld 2 valt op te merken dat hier sprake is van backward induction, oftewel: het probleem bij het einde aanpakken en dan terug redeneren. Een ander voorbeeld is het Nim spel zie: http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/artikelpagina177_1.html. Maar dit is geen eenvoudig spel, wel een goed voorbeeld om duidelijk te maken hoe krachtig de methode backward induction kan zijn. Stil staan bij notaties en het waarom van notaties. o Deze paragraaf vormt de basis voor de rest van het boekje en het is belangrijk dat er voldoende tijd aan wordt besteed. Het gevangenendilemma uit paragraaf 1.1 wordt verder uitgewerkt en bevat de basisbegrippen. Hiermee kunnen de begrippen duidelijk aan bod komen. o Eventueel kunnen de uitkomstmogelijkheden en uitbetaling ook in een grafiek worden getekend, zodat de leerling het van een andere invalshoek bekijkt. Dit kan verbredend een toevoeging zijn, maar kan misschien ook verwarrend werken voor de leerling. Een verdieping kan worden gegeven door in een uitgebreider voorbeeld te werken met isolijnen die het nut van een individu weergeven, maar hier wordt niet op ingegaan in het materiaal. Het is belangrijk dat de leerling weet waar hij mee bezig is bij het lezen van een tabel en niet alleen naar getallen kijkt. Het is daarom van belang stil te staan bij de stappen die gemaakt worden van de tabel op pagina 11 naar de vervolgtabel op pagina 12. o De notatie die gebruikt wordt op pagina 14 is waarschijnlijk nieuw, het “vervelende” is dat er niet alleen een index hangt onder het symbool s voor de speler, maar ook boven aan de s voor de strategie. De figuur op pagina 14 geeft het verband aan tussen de normale vorm (tabel) en de karakteristieke vorm (spelboom). Hier kan naar worden verwezen in paragraaf 2.2. o Bij 1.2.2 stilstaan bij het feit dat er aannames worden gedaan. Aannames worden gedaan omdat we een spel in een model gieten om de werkelijkheid zo goed mogelijk te kunnen nabootsen. In werkelijkheid wordt niet altijd voldaan aan de drie aannames, een duidelijke illustratie wordt gegeven bij opgave 8. Door dit spel te spelen zul je zien dat niet iedereen gelijk volledig rationeel handelt. o Extra opgaven als huiswerk: Kwik, Kwek en Kwak staan op een trap, alle drie op een andere trede en kunnen alleen de pet zien van degene die voor hun staat/ staan: Kwik ziet Kwek en Kwak, Kwek ziet alleen Kwak en Kwak ziet niemand. Er zijn 5 petjes: drie blauwe en twee rode en deze worden willekeurig zonder dat ze het weten op hun hoofd gezet. Het spel gaat als volgt: Als je weet welke kleur jouw pet op jouw hoofd is moet je het zeggen. De vraag: wie weet altijd welke kleur pet hij op zijn hoofd heeft? Antwoord: degene die onderaan de trap staat (Kwek). Want Kwik weet het alleen als Kwek en Kwak beide een rode pet hebben, dan heeft hij namelijk een blauwe. Als Kwik het niet weet, dan weet Kwek dat Kwik een rode en een blauwe of twee blauwe petten heeft gezien. Als hij ziet dat Kwak een rode pet heeft dan weet hij dat hij een blauwe pet heeft. Als hij een blauwe pet ziet dan weet hij nog niet welke pet hij zelf op heeft. Kwek weet ook welke pet hij heeft als Kwik weet welke pet hij op heeft. Kwak weet altijd welke pet hij op heeft: als Kwik of Kwak weten welke pet zij op 104

2.1

o

o

o

2.2

o

o

o

2.3

o

hebben dan weet hij het ook, als Kwik en Kwak het allebei niet weten dan weet hij dat Kwek een blauwe pet heeft gezien op zíjn hoofd, dus weet hij het. Introductie niet-coöperatieve speltheorie: vb ijsverkopers. Dat beide speler in het midden gaan zitten lijkt op het eerste gezicht niet de meest ideale oplossing, maar vanwege de rationaliteit van de spelers is dit toch het (Nash-)evenwicht: Een situatie waarin geen van beide spelers zijn strategie wil wijzigen. Het geval met drie ijsverkopers is lastiger dan je in eerste instantie denkt als je het geval met twee ijsverkopers door hebt, uiteindelijk is hier dan ook niet het evenwicht waar ze met zijn drieën in het midden zitten, maar op resp. 1/6, 1/2 , 5/6. De normale vorm geeft heel overzichtelijk weer wat de uitkomstenmogelijkheden zijn van een spel. Het is daarom belangrijk om één voorbeeld klassikaal te bespreken. Wanneer vb. 7 klassikaal wordt behandeld lijkt het een logische stap om de leerlingen opgave 12 zelfstandig te laten maken in de les. Duidelijk moet zijn dat er niet in elk spel een dominante strategie te vinden is. Duidelijk moet ook zijn hoe je een tabel leest en hoe je het probleem in een tabelvorm gestructureerd aanpakt. Zo’n aanpak moet voor alle tabellen gelden zodat vele problemen op dezelfde wijze bekeken kunnen worden. Pas wanneer de leerlingen door hebben hoe je de tabel moet lezen en een dominante strategie hierin kunt herkennen moet het begrip maximin strategie ingevoerd worden. Vraag 16 zal duidelijkheid geven of de leerling de begrippen begrijpt. Voor het introduceren van de spelboom kan nog eventueel verwezen worden naar de figuur op pagina 14. Zo kan een bruggetje geslagen worden tussen paragraaf 2.1 en 2.2. Ondanks de figuur kan er onduidelijkheid ontstaan bij het omschrijven van het probleem van een tabel naar een spelboom. Dit heeft te maken met het moment waarop de spelers hun strategiekeuze maken. Voorbeeld 9 maakt dit duidelijk. De figuur op pagina 23 moet een duidelijk algemeen beeld geven van een spelboom. De begrippen imperfecte informatie en simultaan kunnen leerlingen op elkaar vinden lijken. Daarom moet hier bij stil worden gestaan wat het verschil is. Eerst kunnen opgaven 19 en 20 gemaakt worden om deze vervolgens door middel van voorbeelden klassikaal te behandelen en duidelijk te maken. Het bepalen van de verwachtingswaarde is een toepassing in een spelboom die minder overzichtelijk is in een tabel. Het geeft aan hoe onzekerheid over bepaalde uitkomsten kunnen worden toegepast in een spel. Deze paragraaf is de kern van de stof over niet-coöperatieve speltheorie. Het draait allemaal om het bereiken van een evenwicht, waar de spelers optimaal tegen elkaar spelen. Evt. kan worden gerefereerd aan de film “A beautiful mind” waarin het verhaal wordt verteld over Nash. Wanneer Nash in deze film met drie vrienden in een pub zit komt er een groep dames binnen: één knappe blonde en vier brunettes. Nu kunnen alle vrienden en Nash zelf allemaal de blonde vrouw benaderen, maar dat zal deze vrouw afschrikken en als ze dan nog een brunette benaderen zullen deze de heren ook afwijzen omdat ze geen tweede keus willen zijn, zo behalen alle mannen geen 105

o

o

o 2.4

o

o

o o o o

3.1

o

o

o o

resultaat. Wanneer ze zich allemaal op een brunette richten hoeft niemand zich tweede keus te voelen en zijn ze allemaal tevreden. Klein detail: Nash speelt vervolgens zelf niet het Nash-evenwicht en benadert toch de blonde vrouw. Voor het vinden van een Nash-evenwicht is het belangrijk om veel te oefenen om het lezen van de tabellen onder de knie te krijgen. Ondertussen moet voor de leerlingen al wel duidelijk zijn wat de getallen in de tabel betekenen. Vb. 14 geeft een goed voorbeeld waarin er twee Nash-evenwichten zijn te vinden. Maar voor er naar dit voorbeeld wordt gekeken is het handig om een standaardvoorbeeld te bekijken met maar één evenwicht, hiervoor kan opgave 26 dienen. Opgave 26a) kan klassikaal besproken worden, de rest van de opgave zelfstandig. Opgave 29 geeft aan of de leerlingen de begrippen maximin-, dominante strategieën en het Nash evenwicht goed begrijpen. Eén van de toepassingsvelden van de speltheorie zijn veilingen. Leuk voor de leerlingen, omdat je in het dagelijks leven altijd wel veilingen tegenkomt in het nieuws, in de krant, maar ook op internet (denk aan Marktplaats.nl). Gevoelsmatig hebben de leerlingen we een idee over veilingen, daarom zal het iets makkelijker zijn om discussie te voeren over dit onderwerp. Vb. 15 is een leuk voorbeeld die iedereen een keer gezien moet hebben. Dit soort figuren zie je nogal eens voorbij komen, maar lang niet iedereen weet hoe het werkt, het is tevens een uitleg voor het begrip Nederlandse veiling. Vb. 16 is een voorbeeld voor een gesloten-bod veiling. Een Engelse orale veiling zal iedereen wel kennen, maar dient ook nog kort toegelicht te worden, eventueel met voorbeeld. Belangrijk is het onderscheid te maken tussen twee soorten veilingen: persoonlijke-waarde veiling en algemene-waarde veiling. Vb. 17 is een voorbeeld van een persoonlijke-waarde veiling, vb. 18 en 19 zijn voorbeelden van algemene-waarde veilingen. Niet alle voorbeelden dienen per se behandeld te worden als blijkt dat het wel duidelijk is. Geef een inleidend voorbeeld waarin duidelijk wordt wat het verschil is tussen een coöperatief spel en een niet-coöperatief spel en waarom dit verschil zo belangrijk is. Gedacht kan worden aan voorbeelden 7 en 8 om discussie met klas aan te gaan. Je kunt je afvragen wie er het meeste voordeel haalt uit een kartelvorming en hoe de tegenspeler met deze macht om moet gaan. Vb. 21 en de definities 15 en 16 slaan een brug naar eerder behandelde stof uit de niet-coöperatieve speltheorie. Vb.22 is het vervolg van vb. 21 en geeft weer hoe e situatie in een 2-dimensionaal vlak weergegeven kan worden dit helpt de leerling te begrijpen hoe je de driehoek komt en wat de betekenis is van de getallen die daarin aangegeven worden. Belangrijke begrippen hierbij zijn coalitioneel rationeel en individueel rationeel. Er is voor gekozen om de tekst voor een deel te richten op de coalitievorming na de verkiezingen omdat hier in 3.2 verder op in zal worden gegaan door het verdiepen in de machtsindex. 106

3.2

o Een uitgelezen voorbeeld van een toepassing van de coöperatieve speltheorie is de vorming van een nieuwe coalitie nadat er verkiezingen zijn gehouden. Om te bepalen wie er, nadat de stemmen zijn geteld, de meeste macht heeft kun je een machtsindex maken. Opg. 37 is een opgave uit het Wiskunde A1 VWO 2005 en het mooie van deze opgave is dat er geen voorkennis nodig is om deze opgave te maken, evt. begrippen worden uitgelegd. Na een korte inleiding inclusief vb. 23 kan deze opgave het beste als eerste worden gemaakt. Tabel 1

Les 1

Paragraaf 1.1

2

1.2

3

2.1

4 5

2.1 2.2

6

2.2

7

2.3

8

2.3 2.4

9

2.4

10

3.1

11

3.1 3.2

Klassikaal Vb.1 + opg.1(a,b) Vb.2 Vb.3 + opg.6 Opg.8 spelen Vb.6 + opg.11 Vb.7 Vb. 8 Vb. 9 Vb.10 Vb. 12 Vb. 13 Opg.26*(a) Vb.14 Vb.15 Vb.16 Vb.17 Vb.19 Vb.21 Vb.22 Vb.23

Zelfstandig Opg. 1(c,d),2,3,4*

Huiswerk Opg. 5*

Opg. 7*,8

9*,10

Opg. 12*

13*,14

Opg. 15,16* Opg. 17, 18, 19, 20

Opg. 21*

Opg. 22, 23*, 24

Lz. 2.3

24,25,26*(b,c,d)

27

28,29 30,31

32,33*

34,35,36,38

37,39*

30,31,32

33*

34 37,35

36,38* Tabel 2

107

Bijlage: Lesseninstructie experiment

Speltheorie (opdracht experimenteel materiaal Freudenthal Instituut voorWB) Dit boekje bevat de omschrijving van de opdracht Speltheorie (experimenteel lesmateriaal Freudenthal Instituut) WB1 en WB12 in het leerjaar 4vwo van het schooljaar 2006/2007. Het resultaat van de opdracht heeft, zoals vastgelegd in het PTA, gewicht 1 in het eindcijfer van dit schooljaar, tevens het T1cijfer van je examendossier. De opdracht maak je in groepjes van twee leerlingen. De groepsindeling is door mij gedaan en staat in dit boekje vermeld. De opdracht bestaat uit zeven verschillende deelopdrachten: 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 en 3.1/3.2. Het materiaal (de syllabus) vind je op intranet. Voor de eerste vijf deelopdrachten is er eerst een oriënterende les en daarna een uitvoerende les. Voor de zesde opdracht is er alleen een uitvoerende les. De laatste (dubbele) opdracht doe je in een aaneengesloten blok op dinsdag 26 juni van 09.00 – 13.00 uur in lokaal 234. De deelopdrachten worden in een uitvoerende les gemaakt en aan het eind van diezelfde les ingeleverd. Je mag de deelopdrachten niet vooraf al thuis of in de oriënterende les uitwerken. Alles wat je aan het eind van een lesuur inlevert, moet je dus ook daadwerkelijk in dat lesuur gemaakt hebben. Het kan voorkomen dat je de deelopdracht niet helemaal af hebt; dat is niet erg, maar het is natuurlijk beter als je zo veel mogelijk af hebt. Het is wel toegestaan om de opdrachten vooraf te bestuderen, in eerste instantie in de oriënterende les en zo nodig ook nog thuis. Het is zelfs verstandig om dat te doen; het kan tijdnood en stress voorkomen en de kwaliteit van je werk aanzienlijk verbeteren. Als je thuis vastloopt kun je eventueel per email vragen stellen aan Arjan Zaal, de schrijver van het materiaal: [email protected]. De uitwerkingen van de deelopdrachten worden in principe handgeschreven ingeleverd. Ieder groepje krijgt voor iedere ingeleverde deelopdracht een cijfer. Dit cijfer wordt bepaald door 4 pnt. de juistheid van de antwoorden 2 pnt. de kwaliteit van de berekeningen/uitleg/toelichtingen en de gebruikte wiskundige taal (waaruit ook moet blijken dat de stof echt wordt begrepen) 2 pnt de leesbaarheid, de netheid en de overzichtelijkheid van de uitwerking 2 pnt het proces (is de tijd goed besteed; doet iedereen mee; is de samenwerking goed, is er serieus, prettig en rustig gewerkt, etc.) De docent hanteert voor de beoordeling telkens bovenstaande verdeling en stelt de leerlingen daarvan (desgewenst met tekst en uitleg) op de hoogte, in principe meteen de volgende les zodat je weet waar je aan toe bent. Het voorlopige eindcijfer is het gemiddelde van de zeven behaalde resultaten, afgerond op één decimaal, waarbij het resultaat van de tiende opdracht dubbel telt. Alle leerlingen van een groepje krijgen individueel dit cijfer, eventueel gecorrigeerd met maximaal één punt omhoog of maximaal één punt naar beneden indien de observaties door de docent daar aanleiding toe geven; bijvoorbeeld als de inbreng van een leerling duidelijk achter blijft bij de rest van een groepje of als een leerling een storende bijdrage heeft geleverd of meerdere keren te laat is gekomen, etc.

108

Iedere leerling mag bij één deelopdracht afwezig zijn (als hij of zij ten minste op correcte wijze om een geldige reden door de ouders vooraf is af- of ziek gemeld), zonder dat dit consequenties heeft voor de beoordeling. Indien een leerling meer dan één keer afwezig is geweest zal hij in z’n eentje een vervangende opdracht moeten doen, waarvoor hij een beoordeling krijgt die in de plaats komt van het groepscijfer voor de desbetreffende deelopdracht. Het eindcijfer voor deze leerling kan dan (los van eventuele andere correcties) afwijkend zijn van de overige leerlingen van het groepje. Het schema Woensdag

23 mei

3e lesuur

CP H.8

Woensdag

23 mei

7e lesuur

oriëntatie deelopdracht 1.1

Vrijdag

25 mei

2e lesuur

bespreken CP H.8

Dinsdag

29 mei

5e lesuur

voorbereiden herkansing/inhalen CP7/CP8

Woensdag

30 mei

3e lesuur

herkansen/inhalen CP7/CP8

Woensdag

30 mei

7e lesuur

uitvoerende les deelopdracht 1.1

Vrijdag

01 juni

2e lesuur

oriëntatie deelopdracht 1.2

Dinsdag

05 juni

5e lesuur

uitvoerende les deelopdracht 1.2

Woensdag

06 juni

3e lesuur

oriëntatie deelopdracht 2.1

Woensdag

06 juni

7e lesuur

uitvoerende les deelopdracht 2.1

Vrijdag

08 juni

2e lesuur

oriëntatie deelopdracht 2.2

Dinsdag

12 juni

5e lesuur

uitvoerende les deelopdracht 2.2

Woensdag

13 juni

3e lesuur

oriëntatie deelopdracht 2.3

Woensdag

13 juni

7e lesuur

uitvoerende les deelopdracht 2.3

Vrijdag

15 juni

2e lesuur

uitvoerende les deelopdracht 2.4

Dinsdag

26 juni

09.00 – 13.00 uur

uitvoerende les deelopdracht 3.1/3.2

De groepsindeling Groep A: Groep B: Groep C: Groep D: Groep E: Erik Schmal, 23 mei 2007

109

Bijlage: Document voorbereiding observaties Onderzoeksvraag: Is het ontworpen lesmateriaal voor speltheorie geschikt om gebruikt te worden binnen wiskunde D? Deelvragen: 1. Welke vaardigheden hebben de leerlingen ontwikkeld (o.a. gebruik van notaties)? 2. Wordt het juiste niveau gehaald (was het te makkelijk/ te moeilijk)? 3. Ontlenen sommige onderwerpen binnen de speltheorie zich beter voor wiskunde D dan anderen? Welke? 4. Sluiten de opgaven aan bij de vaardigheden die de leerling moet ontwikkelen? 5. Is de animo van de leerlingen representatief voor een groep wiskunde D leerlingen? 6. Toelichting deelvragen: 1. De volgende vaardigheden dienen behaald te worden: - De leerling kan op een gestructureerde manier problemen aanpakken - De leerling kan zonder problemen de opgaven aan de theorie te koppelen - De leerling kan geconcentreerd een relatief langere tekst (langer dan ze gewend zijn) doorlezen en de kern uit deze tekst halen - De leerling gebruikt de juiste notaties waar dat van hem wordt verwacht - De leerling ziet het nut in van het gebruik van de notaties - De leerling is vertrouwd geraakt in het lezen van notaties en definities 2. Het niveau moet aansluiten op de doelgroep. Het moet uitdagend zijn en mag, aangezien het bedoeld is voor wiskunde D leerlingen, tot op zeker niveau veel eisen van de leerling. - Het niveau sluit aan op het niveau dat verwacht wordt bij de reguliere onderwerpen in Wiskunde B en vraagt net wat meer van de leerling - Kunnen de leerlingen zich aan de lessentabel houden en het materiaal binnen 10-15 lessen voldoende onder de knie krijgen? - Sluit het materiaal aan op de voorkennis van de leerling? - Wordt het niveau makkelijk gehaald omdat er te veel voorkennis is? Welke voorkennis? - Wordt het niveau maar moeizaam gehaald omdat leerlingen nog vaardigheden missen? Welke vaardigheden? 3. Zijn gezien de doelen die gesteld zijn door CTwo sommige onderwerpen meer geschikt voor wiskunde D dan andere? - Hebben de leerlingen bij sommige onderwerpen meer/ minder moeite. - Worden de vaardigheden bij sommige onderwerpen makkelijker/ moeizamer behaald dan bij andere? - Dienen specifieke onderwerpen meer aandacht te krijgen (meer uitgewerkt te worden)? - Ontbreekt er een onderwerp binnen de speltheorie zodat het materiaal beter geschikt is voor wiskunde D? 4. De opgaven dienen ervoor om vaardigheden aan te leren en om te controleren of de theorie wordt begrepen - Zijn de vragen op een uitdagende manier gesteld? Zijn ze uitdagend genoeg? - Zetten de vragen de leerlingen aan tot actief nadenken? - Zit er genoeg afwisseling in de vragen? - Zijn de vragen zo gesteld dat de vaardigheden kunnen worden bereikt? - Is de hoeveelheid vragen voldoende? Zijn er te veel of te weinig vragen? 110

- Ontbreken er vragen bij een bepaald stuk theorie? - Zijn er te veel vragen over een bepaald onderwerp? 5. Het materiaal is geschreven voor de doelgroep wiskunde D leerlingen uit 5 vwo. - Is er een groot verschil tussen het niveau van 4 en 5 vwo leerlingen? Waarin zit het verschil? - Zijn wiskunde B leerlingen representatief als zijnde wiskunde D leerlingen? Waarin zit het verschil? - Hebben de leerlingen allemaal hetzelfde profiel? Zijn leerlingen binnen een bepaald profiel representatiever als doelgroep?

111

Bijlage: Standaard observatieformulier Observatie les: … Datum: Tijd: Docent: Aantal leerlingen: Jongens: Meisjes: Opstelling klas:

Hoe was de introductie?

Hoe was de reactie op introductie?

112

Hoe gingen de leerlingen aan de slag? Waar beginnen ze met lezen?

Hoe lang doen ze over de tekst lezen? Hoe lang zijn ze geconcentreerd?

Wordt de tekst begrepen? Welke vragen worden er aan elkaar gesteld?

113

Zijn de leerlingen geïnteresseerd? Waar blijkt dat uit?

Beantwoorden de leerlingen serieus de vragen in de voorbeelden?

Losse opmerkingen:

114

Bijlage: Enquête leerlingen

Enquête Wiskunde D Rapportage van de experimentele lessen Schooljaar 2006/2007 Vragenlijst voor leerlingen De lessen voor Wiskunde D zijn geschreven als voorbereiding op de onderwijsvernieuwingen. We willen weten of het materiaal bruikbaar is. Jouw school behoort tot de scholen waar geëxperimenteerd wordt. Wil je zo vriendelijk zijn de onderstaande vragen te beantwoorden? Met behulp van jouw antwoorden kunnen we de lessen verbeteren. Het invullen gebeurt anoniem. Lever de ingevulde vragenlijst bij je docent in. Alvast hartelijk bedankt voor je medewerking! Naam van de lessenserie: Speltheorie Geef aan wat je bent:

Meisje

Jongen

Omcirkel in welke klas je zit:

4havo 4vwo

5havo 5vwo

6vwo

E&M

N&G

N&T

Omcirkel je profiel: (indien van toepassing)

C&M

De vragen gaan over de inhoud en opzet van de lessen die je in de afgelopen weken bij wiskunde hebt gehad. Geef een cijfer van 1 - 10 (of een 0 als de vraag niet van toepassing is) door in de juiste kolom een kruis te zetten.

1

Vraag Geef de moeilijkheidsgraad van de lessenserie aan.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(1 = veel te makkelijk, 6 = precies goed en 10 = veel te moeilijk)

2 3

4

Heb je klassikale uitleg gemist? (1=helemaal niet, 10=ja) Was er voldoende afwisseling tussen het doorlezen van de tekst en maken van de opdrachten? Kon je goed zelfstandig werken? (1 = geen enkele opgave zelfstandig, 6 = precies goed en 10 = 100% helemaal zelf)

5

Huiswerk: had je meer of minder huiswerk dan gewoon?

(1 = nee, juist minder huiswerk, 6 = precies even veel en 10 = meer)

6 7

Welk rapportcijfer geef je de makers van het lesmateriaal? Is het materiaal ook

115

Vraag bruikbaar in een lagere klas?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(1 = nee, juist in een hogere klas, 6 = precies goed passend in mijn klas en 10 = zeker, dit had een lagere klas ook gekund)

8

Sloot de lesstof aan bij eerdere wiskundelessen? (1 = geen enkele aansluiting, 6 = precies goed en 10 = alles overlapte met eerdere lessen)

9

Heb je iets nieuws geleerd? (1 = niets nieuws, 10 = 100% was totaal nieuw)

10

11

12

Ben je nu in staat een wiskundig probleem meer gestructureerd aan te pakken? Als je terugkijkt op het lespakket, vind je dan dat je er iets aan hebt gehad, met andere woorden: was het de moeite waard? Was je docent(e) bij deze lessen enthousiaster dan bij andere wiskundelessen van hem/haar?

(1 = duidelijk minder enthousiast, 6 = gelijk en 10 = veel enthousiaster)

13

Vond je de vragen goed bij de theorie passen?(1=helemaal niet, 10 = ja, heel goed)

14 15 16

Waren de vragen duidelijk? Ben je bewuster geworden van het nut van het gebruik van wiskundige notaties Zou je nog meer van over dit onderwerp willen leren? Bedankt voor het invullen! Wil je nog iets 'kwijt' schrijf dit dan hieronder.

116