SOAL LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan jelas ! 1. Suatu perusahaan mempunyai tiga lokasi gudang yaitu Fa, Fb dan Fc yang akan didistribusikan ke 3 kota yaitu W 1, W 2 dan W 3. Kapasitas gudang Fa, Fb dan Fc masing-masing adalah 30, 45 dan 75 ton. Sedangkan keperluan kota W1, W 2 dan W 3 masing-masing adalah 40, 35 dan 65 ton. Ongkos angkut per unit produk tersebut adalah Rp. 1.500,- per Kilo meter. Adapun tabel jarak antara lokasi gudang dengan kota tujuan adalah sebagai berikut: Kota Tujuan
Gudang Fa Fb Fc
W1
W2
W3
16 10 12
30 20 20
6 18 20
Tentukan : a. Tabel Transportasinya ! b. Model Matematika dari persoalan transportasi tersebut ! c. Ongkos Awal dengan Metode Pendekatan Vogel ! d. Jawab Optimalnya dengan Metode MODI ! 2. Sebuah perusahaan mempunyai 6 unit mesin, yaitu M1, M2, M3, M4, M5 dan M6 yang dioperasikan oleh 5 operator, yaitu O1, O2, O3 , O4 dan O5 yang memiliki kemampuan berbeda. Tabel berikut memperlihatkan biaya produksi per hari yang diperlukan setiap mesin dengan masing-masing operator. Tentukan penugasan masing-masing operator dan biaya produksi setiap harinya sehingga diperoleh hasil yang optimal. M1
M2
M3
M4
M5
M6
O1
9
10
9
8
7
8
O2
8
10
11
12
10
12
O3
8
8
5
6
5
7
O4
10
6
7
8
11
9
O5
8
7
5
0
5
6
Tentukanlah : a. Model Matematika dari Masalah Penugasan di atas ! b. Penugasan masing-masing operator dan berapa biaya optimalnya ! Perhatian ! Hasil pengerjaan soal di atas akan dijadikan sebagai nilai Kuis dan juga akan dihitung sebagai 1 kali hadir !
Selamat Mencoba ! G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc
Hal. 1 dari 10
JAWABAN SOAL LATIHAN 1. Suatu perusahaan mempunyai tiga lokasi gudang yaitu Fa, Fb dan Fc yang akan didistribusikan ke 3 kota yaitu W 1, W 2 dan W 3. Kapasitas gudang Fa, Fb dan Fc masing-masing adalah 30, 45 dan 75 ton. Sedangkan keperluan kota W 1, W 2 dan W3 masing-masing adalah 40, 35 dan 65 ton. Ongkos angkut per unit produk tersebut adalah Rp. 1.500,- per Kilo meter. Adapun tabel jarak antara lokasi gudang dengan kota tujuan adalah sebagai berikut: Kota Tujuan
Gudang
W1
W2
W3
Fa
16
30
6
Fb
10
20
18
Fc
12
20
20
Tentukan : a. Tabel Transportasinya ! b. Model Matematika dari persoalan transportasi tersebut ! c. Ongkos Awal dengan Metode Pendekatan Vogel ! d. Jawab Optimalnya dengan Metode MODI !
Jawab: a). Tabel Transportasi: Tujuan Gudang
W1
Fa
X11
Fb
X21
Fc
X31
bj
16 10 12 40
W2 X12 X22 X32
30 20 20 35
W3 X13 X23 X33 65
Dummy 6 18 20
0
X14
0
X24
0
X34 10
ai 30 45 75 150
b). Model Matematika: Meminimalkan : Z = (16X11 + 30X12 + 6X13 + 0X14 + 10X21 + 20X22 + 18X23 + 0X24 + 12X31 + 20X32 + 20X33 + 0X34 ) Rp. 1.500,Fungsi Kendala: 1). Keterbatasan Kapasitas Gudang: a. Gudang Fa : X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 30 b. Gudang Fb : X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 45 c. Gudang Fc : X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 75 2). Keterbatasan Kapasitas Kota Tujuan: a. Kota Tujuan W 1 : X11 + X21 + X31 ≥ 40 b. Kota Tujuan W 1 : X12 + X22 + X32 ≥ 35 c. Kota Tujuan W 1 : X13 + X23 + X33 ≥ 65 d. Kota Tujuan Dummy : X14 + X24 + X34 ≥ 10 3). Syarat non negative : Xij ≥ 0 untuk i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3, 4.
G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc
Hal. 2 dari 10
c). Ongkos Awal dengan Metode Pendekatan Vogel: Alternatif I: Tujuan Gudang
W1
W2
16
Fa
x
Fb
40
Fc
x
30
Dummy 6
30
x 10
W3
20
x
18 5
12
0 x
20 35
0 x
20 30
0 10
bj
40
35
65
10
Penalti Kolom
2 2 2 x x
10 0 0 0 20
12 2 2 2 20
0 0 x x x
Penalti Baris
ai 30
6
x
x
x
x
45
10
10
8
2
x
75
12
12
8
0
0
150
Zawal = (C13.X13 + C21.X21 + C23.X23 + C32.X32 + C33.X33 + C34.X34 ) x Rp. 1.500,= (6.30 + 10.40 + 18.5 + 20.35 + 20.30 + 0.10) x Rp. 1.500,= (180 + 400 + 90 + 700 + 600 + 0) x Rp. 1.500,= 1970 x Rp. 1.500,= Rp. 2.955.000,Alternatif II: Tujuan Gudang
W1
W2
16
Fa
x
Fb
x
Fc
40
W3
30
Dummy 6
30
x 10
20 10
18 35
12
20 25
0 x 0 x
20
0 10
x
bj
40
35
65
10
Penalti Kolom
2 2 2 x x
10 10 0 0 20
12 12 2 X X
0 x x x x
Penalti Baris
ai 30
6
10
x
x
x
45
10
8
8
2
2
75
12
8
8
0
0
150
Zawal = (C13.X13 + C22.X22 + C23.X23 + C31.X31 + C32.X32 + C34.X34 ) x Rp. 1.500,= (6.30 + 20.10 + 18.35 + 12.40 + 20.25 + 0.10) x Rp. 1.500,= (180 + 200 + 630 + 480 + 500 + 0) x Rp. 1.500,= 1990 x Rp. 1.500,= Rp. 2.985.000,G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc
Hal. 3 dari 10
d). Jawab Optimalnya dengan Metode MODI (Alternatif I) Tujuan Gudang
W1
W2
16
Fa
x
Fb
40
Fc
x
30 20
x
18
20 35
0 x
5
12
Dummy
6 30
x 10
W3
0 x
20 30
0 10
bj
40
35
65
10
vj
v1 = −2
v2 = 6
v3 = 6
v4 = −14
ai
ui
30
u1 = 0
45
u2 = 12
75
u3 = 14
150
1). Evaluasi Variabel Basis: *) c13 = u1 + v3, misalkan u1 = 0, maka: 6 = 0 + v3 → v3 = 6 *) c23 = u2 + v3 → 18 = u2 + 6 → u2 = 12 *) c21 = u2 + v1 → 10 = 12 + v1 → v1 = −2 *) c33 = u3 + v3 → 20 = u3 + 6 → u3 = 14 *) c32 = u3 + v2 → 20 = 14 + v2 → v2 = 6 *) c34 = u3 + v4 → 0 = 14 + v4 → v4 = −14 2). Evaluasi Variabel Non Basis: *) Z11−C11= u1 + v1 − c11 = 0 − 2 − 16 = −18 *) Z12−C12= u1 + v2 − c12 = 0 + 6 − 30 = −24 *) Z14−C14= u1 + v4 − c14 = 0 − 14 − 0 = −14 *) Z22−C22= u2 + v2 − c22 = 12 + 6 − 20 = −2 *) Z24−C24= u2 + v4 − c24 = 12 − 14 − 0 = −2 *) Z31−C31= u3 + v1 − c31 = 14 − 4 − 12 = −2 Karena semua nilai dari Zij−Cij ≤ 0, maka tabel sudah optimal dengan Zopt. = Rp. 2.955.000,Jawab Optimalnya dengan Metode MODI (Alternatif II) Tujuan Gudang
W1
W2
16
Fa
x
Fb
x
Fc
40
W3
30
6 30
x 10
20 10
12
0 x
18 35
20 25
Dummy
0 x
20
0 10
x
bj
40
35
65
10
vj
v1 = −6
v2 = 2
v3 = 0
v4 = −18
G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc
ai
ui
30
u1 = 6
45
u2 = 18
75
u3 = 18
150
Hal. 4 dari 10
1). Evaluasi Variabel Basis: *) c13 = u1 + v3, misalkan v3 = 0, maka: 6 = u1 + 0 → u1 = 6 *) c23 = u2 + v3 → 18 = u2 + 0 → u2 = 18 *) c22 = u2 + v2 → 20 = 18 + v2 → v2 = 2 *) c32 = u3 + v2 → 20 = u3 + 2 → u3 = 18 *) c31 = u3 + v1 → 12 = 14 + v1 → v1 = −6 *) c34 = u3 + v4 → 0 = 14 + v4 → v4 = −18 2). Evaluasi Variabel Non Basis: *) Z11−C11= u1 + v1 − c11 = 6 − 6 − 16 = −16 *) Z12−C12= u1 + v2 − c12 = 6 + 2 − 30 = −22 *) Z14−C14= u1 + v4 − c14 = 6 − 18 − 0 = −12 *) Z21−C21= u2 + v1 − c21 = 18 − 6 − 10 = 2 *) Z24−C24= u2 + v4 − c24 = 18 − 18 − 0 = 0 *) Z33−C33= u3 + v3 − c33 = 18 − 0 − 20 = −2 Karena masih ada nilai dari Zij−Cij ≥ 0, maka tabel belum optimal, maka dapat ditentukan Entering Variable dan Leaving Variable. 3). Menentukan Entering Variable dengan memilih Max { Zij−Cij} = 2 → yang merupakan nilai dari Z21−C21, maka X21 masuk menjadi basis. 4). Menentukan Leaving Variable dengan: a). Loop yang melalui X21 adalah X22 − X23 + X31 − X21 b). Yang keluar basis adalah Min { X22 , X31 } = Min {10, 40} = 10 → yang merupakan nilai X22, maka X22 keluar basis. c). Penyesuaian nilai variabel dalam loop: X32 = 25 + 10 = 35 X22 = Keluar Basis, X31 = 40 − 10 = 30 X21 = 10, sehingga tabelnya berubah menjadi: Tujuan Gudang
W1
W2
16
Fa
x
Fb
10
Fc
30
W3
30
6 30
x 10
20
12
18
20 35
0 x
35
x
Dummy
0 x
20
0 10
x
bj
40
35
65
10
vj
v1 = −8
v2 = 0
v3 = 0
v4 = −20
ai
ui
30
u1 = 6
45
u2 = 18
75
u3 = 20
150
6). Evaluasi Variabel Basis: *) c13 = u1 + v3, misalkan v3 = 0, maka: 6 = u1 + 0 → u1 = 6 *) c23 = u2 + v3 → 18 = u2 + 0 → u2 = 18 *) c21 = u2 + v1 → 10 = 18 + v1 → v1 = −8 *) c31 = u3 + v1 → 12 = u3 − 8→ u3 = 20 *) c32 = u3 + v2 → 20 = 20 + v2 → v2 = 0 *) c34 = u3 + v4 → 0 = 20 + v4 → v4 = −20 7). Evaluasi Variabel Non Basis: *) Z11−C11= u1 + v1 − c11 = 6 − 8 − 16 = −18 G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc
Hal. 5 dari 10
*) Z12−C12= u1 + v2 − c12 = 6 + 0 − 30 = −24 *) Z14−C14= u1 + v4 − c14 = 6 − 20 − 0 = −14 *) Z22−C22= u2 + v2 − c22 = 18 + 0 − 20 = −2 *) Z24−C24= u2 + v4 − c24 = 18 − 20 − 0 = −2 *) Z33−C33= u3 + v3 − c33 = 20 + 0 − 20 = 0 Karena semua nilai dari Zij−Cij ≤ 0, maka tabel sudah optimal dengan Zopt. = (Zawal − (2 x 10)) x Rp. 1.500,= (1990 – 20) x Rp. 1.500,= (1970) x Rp. 1.500,= Rp. 2.955.000,-
Solusi dengan LINDO: MIN
16 X11 + 30 12 X31 + 20 SUBJECT TO 2) X11 + 3) X21 + 4) X31 + 5) X11 + 6) X12 + 7) X13 + 8) X14 + END
X12 + 6 X13 + 10 X21 + 20 X22 + 18 X23 + X32 + 20 X33 X12 X22 X32 X21 X22 X23 X24
+ + + + + + +
X13 X23 X33 X31 X32 X33 X34
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
+ X14 <= + X24 <= + X34 <= >= 40 >= 35 >= 65 >= 10
30 45 75
9
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 X34
ROW 2) 3) 4)
1970.000 VALUE 0.000000 0.000000 30.000000 0.000000 10.000000 0.000000 35.000000 0.000000 30.000000 35.000000 0.000000 10.000000
SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000
G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc
REDUCED COST 18.000000 24.000000 0.000000 14.000000 0.000000 2.000000 0.000000 2.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
DUAL PRICES 14.000000 2.000000 0.000000 Hal. 6 dari 10
5) 6) 7) 8)
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS=
9
-12.000000 -20.000000 -20.000000 0.000000
2. Sebuah perusahaan mempunyai 6 unit mesin, yaitu M1, M2, M3, M4, M5 dan M6 yang dioperasikan oleh 5 operator, yaitu O1, O2, O3 , O4 dan O5 yang memiliki kemampuan berbeda. Tabel berikut memperlihatkan biaya produksi per hari yang diperlukan setiap mesin dengan masing-masing operator. Tentukan penugasan masing-masing operator dan biaya produksi setiap harinya sehingga diperoleh hasil yang optimal. M1
M2
M3
M4
M5
M6
O1
9
10
9
8
7
8
O2
8
10
11
12
10
12
O3
8
8
5
6
5
7
O4
10
6
7
8
11
9
O5
8
7
5
0
5
6
Tentukanlah : a. Model Matematika dari Masalah Penugasan di atas ! b. Penugasan masing-masing operator dan berapa biaya optimalnya !
Jawab: a). Model Matematika dari Masalah Penugasan di atas adalah: *) Fungsi Tujuan : Meminimumkan Z = 9X11 + 10X12 + 9X13 + 8X14 + 7X15 + 8X16 + 8X21 + 10X22 + 11X23 + 12X24 + 10X25 + 12X26 + 8X31 + 8X32 + 5X33 + 6X34 + 5X35 + 7X36 + 10X41 + 6X42 + 7X43 + 8X44 + 11X45 + 9X46 + 8X51 + 7X52 + 5X53 + 0X54 + 5X55 + 6X56 + 0X61 + 0X62 + 0X63 + 0X64 + 0X65 + 0X66 *) Fungsi Kendala: Kapasitas Sumber (Operator) 1). Operator 1 : X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 = 1 2). Operator 2 : X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 = 1 3). Operator 3 : X31 + X32 + X33 + X34 + X35 + X36 = 1 4). Operator 4 : X41 + X42 + X43 + X44 + X45 + X46 = 1 5). Operator 5 : X51 + X52 + X53 + X54 + X55 + X56 = 1 6). Dummy : X61 + X62 + X63 + X64 + X65 + X66 = 1 Kapasitas Tujuan (Mesin) 1). Mesin 1 : X11 + X21 + X31 + X41 + X51 + X61 = 1 2). Mesin 2 : X12 + X22 + X32 + X42 + X52 + X62 = 1 3). Mesin 3 : X13 + X23 + X33 + X43 + X53 + X63 = 1 G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc
Hal. 7 dari 10
4). Mesin 4 : X14 + X24 + X34 + X44 + X54 + X64 = 1 5). Mesin 5 : X15 + X25 + X35 + X45 + X55 + X65 = 1 6). Mesin 6 : X16 + X26 + X36 + X46 + X56 + X66 = 1 *) Syarat Non Negatif : Xij = 0 atau 1 untuk i = 1, 2, …, 6, dan j = 1, 2, …, 6 b). Penugasan masing-masing operator dan berapa biaya optimalnya dapat ditentukan dengan menggunakan Metode Hungarian: Tabel 1
Tabel 2
M1
M2
M3
M4
M5
M6
2
3
2
1
0
1
O1
9
10
9
8
7
8
0
2
3
4
2
4
O2
8
10
11
12
10
12
3
3
0
1
0
2
O3
8
8
5
6
5
7
4
0
1
2
5
3
8
7
5
0
5
6
O4
10
6
7
8
11
9
0
0
0
0
0
0
O5
8
7
5
0
5
6
D
0
0
0
0
0
0
(Jumlah garis = 6) = (Jumlah baris = 6) Maka tabel sudah optimal.
Tabel Optimal
Tabel 1
2
3
2
1
0
1
0
2
3
4
2
4
3
3
0
1
0
2
4
0
1
2
5
3
8
7
5
0
5
0
0
0
0
0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
O1
9
10
9
8
7
8
O2
8
10
11
12
10
12
6
O3
8
8
5
6
5
7
0
O4
10
6
7
8
11
9
O5
8
7
5
0
5
6
D
0
0
0
0
0
0
Penugasannya adalah: O1 ditugaskan kepada M5 , O2 ditugaskan kepada M1 O3 ditugaskan kepada M3 , O4 ditugaskan kepada M2 O5 ditugaskan kepada M4, D ditugaskan kepada M6 Dengan Ongkos minimal : Z = C15 + C21 + C33 + C42 + C54 + C66 = 7 + 8 + 5 + 6 + 0 + 0 = 26 Satuan. Pemecahan dengan LINDO: MIN
9X11 + 10X12 + 9X13 + 8X14 + 7X15 + 8X16 + 8X21 + 10X22 + 11X23 + 12X24 + 10X25 + 12X26 + 8X31 + 8X32 + 5X33 + 6X34 +
G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc
Hal. 8 dari 10
5X35 + 7X36 + 10X41 + 6X42 + 7X43 + 8X44 + 11X45 + 9X46 8X51 + 7X52 + 5X53 + 5X55 + 6X56
SUBJECT TO 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) END
X11 X21 X31 X41 X51 X61 X11 X12 X13 X14 X15 X16
+ + + + + + + + + + + +
X12 X22 X32 X42 X52 X62 X21 X22 X23 X24 X25 X26
+ + + + + + + + + + + +
X13 X23 X33 X43 X53 X63 X31 X32 X33 X34 X35 X36
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
+ + + + + + + + + + + +
X14 X24 X34 X44 X54 X64 X41 X42 X43 X44 X45 X46
+ + + + + + + + + + + +
X15 X25 X35 X45 X55 X65 X51 X52 X53 X54 X55 X56
+ + + + + + + + + + + +
X16 X26 X36 X46 X56 X66 X61 X62 X63 X64 X65 X66
= = = = = = = = = = = =
+
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
13
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE X11 X12 X13 X14 X15 X16 X21 X22 X23 X24 X25 X26 X31 X32 X33 X34 X35 X36 X41 X42 X43 X44 X45 X46 X51 X52 X53 X54 X55
26.00000 VALUE 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000
G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc
REDUCED COST 2.000000 4.000000 2.000000 6.000000 0.000000 1.000000 0.000000 3.000000 3.000000 9.000000 2.000000 4.000000 3.000000 4.000000 0.000000 6.000000 0.000000 2.000000 3.000000 0.000000 0.000000 6.000000 4.000000 2.000000 3.000000 3.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Hal. 9 dari 10
X56 X61 X62 X63 X64 X65 X66
ROW 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000
SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS=
1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 5.000000 0.000000 0.000000
DUAL PRICES 0.000000 -1.000000 2.000000 0.000000 2.000000 7.000000 -7.000000 -6.000000 -7.000000 -2.000000 -7.000000 -7.000000
13
G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc
Hal. 10 dari 10
