Bab I Sistem Persamaan Linier
BAB I
Sistem Persamaan Linier TUJUAN PEMBELAJARAN: Mahasiswa memahami konsep-konsep tentang sistem persamaan linier, eksistensi dan keunikan sistem persamaan linier, keunikan sistem persamaan linier homogen, solusi sistem persamaan linier.
OUTCOME PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu membedakan SPL homogen dan nonhomogen, SPL yang mempunyai penyelesaian dan tidak mempunyai penyelesaian. Mahasiswa juga mempu menghitung penyelesaian SPL dengan metode eliminasi gaussian dan gaus-jourdan.
1.1.
DEFINISI SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan Linier Misalkan sebuah garis dalam sebuah bidang xy ditulis secara aljabar seperti dibawah ini : ax + by = c maka persamaan diatas disebut persamaan linier dalam peubah x dan y. Dengan demikian persamaan linier secara umum dapat ditulis seperti : a1x1 + a2x2 + ...........+ anxn = b Contoh persamaan linier x + 3y = 7
4x1 + 3x2 - 8x3 = 6
y = x + 3z + 4
x1 + x2 + ...........+ xn = 3
Untung Usada (U2)
1
Bab I Sistem Persamaan Linier Persamaan linier tidak memuat hasil kali, akar, atau fungsi-fungsi trigonometri, logaritma maupun eksponensial
Contoh yang bukan persamaan linier x + 4y2 = 0
3x + 2y – xy = 9
y – sin x = 0
√ +2y=2
Penyelesaian dari sebuah persamaan linier adalah sederet n angka s1,s2, ……sn sedemikian sehingga angka tersebut memenuhi persamaan linier tersebut. Contoh Cari himpunan penyelesaian dari a. 3x -6y = 2 Penyelesaian: Tentukan nilai sebarang x atau sebarang y. misal diambil sebarang nilai x=t maka 3t - 6y = 2. Dari persamaan tersebut didapat y = − . Jadi himpunan penyelesaiannya x = t dan y =
− . Dengan memberi nilai t
sebarang nilai, misal t = 2, maka x =2 dan y = b. x -3y + 5z = 8 penyelesaian: tentukan nilai sebarang dari dua variable/peubah, misal s untuk y dan u untuk z maka akan didapatkan himpunnan penyelesaian : x = 3s – 5u +8 , y = s dan z = u. Sistem Persamaan Linier Sistem persamaan linier adalah himpunan terhingga dari persamaan linier dalam peubahpeubah x1, x2, x3…..,xn . Sedangkan deretan s1 , s2,……sn disebut suatu penyelesaian sistem jika x1= s1, x2 = s2, …..,xn= sn merupakan penyelesaian dari setiap persamaan dalam sistem tersebut. Contoh 4x – y + 3z = -1 3x + y + 9z = -4 Sistem diatas mempunyai penyelesaian x = 1 , y = 2, z = -1. Dimana apabila nilai-ilai tersebut disubstitusikan kedalam kedua persamaan, maka akan terpenuhi. Setiap sistem persamaan linier mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai satu penyelesaian, atau mempunyai tak-hingga banyaknya penyelesaian. Sebuah sistem
Untung Usada (U2)
2
Bab I Sistem Persamaan Linier persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai tak-konsisten, jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka sistem tersebut disebut konsisten.
Secara ilustrasi, karena persamaan linier grafiknya berbentuk garis, maka penyelesaian suatu sistem persamaan linier dapat dilihat dari perpaduan garis–garis nya. a. Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai penyelesaian, maka garis-garisnya akan saling sejajar. b. Sistem persamaan linier yang mempunyai satu penyelesaian, maka garisnya akan saling memotong pada satu titik. c. Sistem persamaan linier yang mempunyai banyak penyelesaian, maka garisnya akan saling berimpitan. Y
y
y
x
a.
x
b. Satu penyelesaian
Tidak mempunyai penyelesaian
x
c. Banyak penyelesaian
Sebuah sistem persamaan linier dengan m persamaan linier dan n peubah dapat ditulis sebagai : a11x1 + a12x2 + ...........+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ...........+ a2nxn = b2 :
:
:
am1x1 + am2x2 + ...........+ amnxn = bm serta disingkat dengan hanya menuliskan susunan angka dalam bentuk segiempat yang disebut matriks yang diperbanyak.
a11 a 21 a m1
Untung Usada (U2)
a12
a1n
a 22
a2 n
am2
a mn
b1 b2 bm
3
Bab I Sistem Persamaan Linier
Matriks diperbanyak tersebut mempunyai elemen-elemen yang terdiri dari koefisien peubah dan nilai hasil persamaan. Contoh : 2x1 + 4x2 + 3x3 = 11 3x1 - 2x2 + 5x3 = 9 6x1 + 4x2 - x3 = 3 Sistem persamaan linier diatas dapat ditulis sebagai 2 4 3 11 3 −2 5 9 6 4 −1 3
1.2.
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Metode dasar untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah dengan mengganti sistem yang ada dengan suatu sistem yang baru yang mempunyai penyelesaian yang lebih mudah. Untuk mendapatkan sistem yang baru dapat dilakukan dengan menerapkan operasi baris elementer. Operasi baris elementer meliputi tiga langkah, yaitu a. Kalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta ( dinotasikan cBi dimana c = konstanta ). b. Pertukarkan dua baris ( dinotasikan BiBj atau Bij). c. Tambahkan perkalian dari suatu baris ke baris lainnya ( dinotasikan Bi+cBj) . Dengan operasi baris elementer diatas, matriks yang sudah dibentuk bisa direduksi menjadi sebuah matriks yang berbentuk baris-eselon. Bentuk baris-eselon tersebut mempunyai sifat-sifat yang harus dipenuhi, yaitu : a. Jika baris tidak seluruhnya nol, maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah sebuah angka 1. ( atau utama 1) b. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya nol, maka baris dikelompokkan bersama dibagian bawah matriks c. Jika sebarang dua matriks yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari angka nol, utama 1 dalam baris yang lebih bawah terletak disebelah kanan utama 1 dalam baris yang diatasnya d. Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama 1 mempunyai nol ditempat lainnya.
Untung Usada (U2)
4
Bab I Sistem Persamaan Linier Suatu matriks yang memenuhi keempat sifat diatas dinamakan bentuk baris-eselon tereduksi, sedangkan apabilah hanya memenuhi sifat a,b dan c dinamakan bentuk bariseselon. Contoh: Matriks dalam bentuk baris-eselon tereduksi 1 0 0 1 0 0
0 4 0 7 1 −1
1 0 0 1 0 0
0 0 1
0 1 0 0 0 0
−2 0 1 0 1 3 0 0 0
Matriks dalam bentuk baris-eselon 1 4 0 1 0 0
3 7 6 2 1 5
1 0 0
1 0 1 0 0 0
0 0 0
1 2 6 0 0 1 −1 0 0 0 0 1
Prosedur untuk mereduksi suatu matriks yang diperbanyak menjadi bentuk baris-eselon dinamakan eliminasi gaussian, sedangkan jika matriksnya menjadi bentuk baris-eselon tereduksi dinamakan eliminasi gauss-jordan. Eliminasi Gauss-jordan Prosedur eliminasi gauss-jourdan adalah sebuah prosedur untuk mereduksi matriks yang diperbanyak menjadi bentuk baris-eselon tereduksi. Contoh Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan eliminasi gauss-jordan - x2 + 7x5 = 12 2x1 + 4x2 - 10x3 + 6x4 + 12x5 = 28 2x1 + 4x2 - 5x3 + 6x4 - 5x5 = -1
Penyelesaian Matriks yang diperbanyak dari sistem diatas: 0 0 2 4 2 4
−2 0 −10 6 −5 6
7 12 12 28 −5 −1
dengan menggunakan operasi baris elementer , matriks ini direduksi menjadi matriks baris eselon tereduksi.
Untung Usada (U2)
5
Bab I Sistem Persamaan Linier 0 0 2 4 2 4
−2 0 −10 6 −5 6
7 12 12 28 −5 −1
1 2 0 0 2 4
−5 3 6 14 −2 0 7 12 −5 6 −5 −1
1 0 0
6 2 −5 3 0 1 0 − 0 5 0 −17
1 0 0
2 −5 3 6 0 1 0 − 0 0 0 1 −5 3 0 1 0 0 0 0 1
1 2 0 0 0 0
14 −6 −29
⎯⎯⎯⎯
4 −10 6 12 28 0 −2 0 7 12 4 −5 6 −5 −1 2 −5 3 0 −2 0 0 5 0
1 0 0
⎯⎯⎯⎯
14 −6 2 2 1 2
2 0 2
⇔
⎯⎯⎯
1 2 0 0 0 0
⎯⎯⎯⎯
6 14 7 12 −17 −29
3 6 −5 0 − 1 0 0
1 2 −5 3 6 14 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2
⎯⎯⎯⎯
1 2 0 0 0 0
0 3 0 1 0 0 0 0 1
⎯⎯⎯
14 −6
⎯
1
⎯⎯⎯⎯
7 1 2
Matriks terakhir berbentuk matriks baris eselon tereduksi. Dengan demikian persamaan yang sepadan adalah x1 + 2x2 + 3x4 = 7 ⇒ x3 = 1 x5 = 2
x1 = 7- 2x2 - 3x4
misalkan x2 = s dan x4 = t maka x1 = 7- 2s – 3t Jadi himpunan penyelesaian umumnya x1 = 7- 2s – 3t, x2 = s, x3 = 1, x4 = t , x5 = 2 Eliminasi Gaussian Prosedur eliminasi gaussian adalah sebuah prosedur untuk mereduksi matriks yang diperbanyak menjadi bentuk baris-eselon. Sistem persamaan yang sudah dalam bentuk baris-eselon tersebut, bisa diselesaikan dengan teknik yang disebut subsitusi-balik. Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan eliminasi gaussian x + y +2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y -5z =0
Untung Usada (U2)
6
Bab I Sistem Persamaan Linier
Penyelesaian Matriks yang diperbanyak dari sistem diatas adalah 1 1 2 4 3 6
2 9 −3 1 −5 0
Dengan operasi baris elementer, matriks tersebut diubah menjadi bentuk baris-eselon. 1 1 2 4 3 6
2 9 −3 1 −5 0
1 0
1 2 1 −
9 −
0
0 −
−
⎯⎯⎯⎯
1 0 0
1 1 2 9 0 2 −7 −17 0 3 −11 −27 1 0 0
1 2 1 − 0 1
9 − 3
9 1 2 1 − − 3 −11 −27
⎯⎯⎯⎯
(bentuk baris eselon)
Setelah matriks sudah dalam bentuk baris eselon maka dilakukan substitusi terbalik x + y + 2z = 9 y− z = −
x = 9 – y – 2z
x=1
y= z−
y=2
z=3 Jadi himpunan penyelesaian : x = 1 , y = 2 , z = 3
1.3.
SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN Sistem persamaan linier yang mempunyai semua konstantanya nol disebut sistem homogen. Sistem persamaan linier homogen mempunyai sifat konsisten, karena semua sistem seperti ini mempunyai penyelesaian x1=0,x2=0,....xn=0. Jika sistem hanya mempunyai penyelesaian seperti diatas , maka penyelesaiannya disebut penyelesaian trivial. Sebaliknya jika ada penyelesaian lainnya, maka penyelesaiannya dinamakan penyelesaian tak-trivial. Contoh : a1x + b1y = 0 a2x + b2y = 0 Teorema
Untung Usada (U2)
7
Bab I Sistem Persamaan Linier ” Sebuah sistem persamaan linier homogen yang mempunyai peubah lebih banyak dari jumlah persamaan mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian” Contoh Selesaikan SPL homogen berikut ini: 2x1 + 2x2 - x3
+ x5 = 0
-x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0 x1
x2 - 2x3
+
- x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0 Penyelesaian Matriks yang diperbanyak untuk sistem diatas 2 −1 0 0
2 −1 0 1 0 −1 0 −3 1 0 1 −2 0 −1 0 0 1 1 1 0
Dengan mereduksi matriks menjadi matriks baris eselon tereduksi, didapatkan: 1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 0 0
0 0 0 0
Sistem yang sepadan adalah x1 + x2
+ x5 = 0 x3
+ x5 = 0 x4
=0
sehingga didapatkan x1 = -x2 - x5
;
x3 = -x5
;
x4 = 0
Jadi penyelesaian umumnya: x1 = -s – t , x2 = s , x3 = -t, x4 = 0 , x5 = t.
SOAL-SOAL LATIHAN 1 1. Cari himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan linier berikut ini :
Untung Usada (U2)
8
Bab I Sistem Persamaan Linier a. 7x – 5y = 3 b. 3x -5y + 4z = 7 c. -8x1 + 2x2 - 5x3 + 6x4 = 1 2. Selesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) berikut dengan menggunakan metode eliminasi gauss- Jordan :
2 x 5 y 2 z 7 a). x 2 y 4 z 3 ; 3x 4 y 6 z 5
2 x 3 y z 11 b). x y z 6 2 x y z 3
x yz 6 c). x 2 y 3z 14 x 4 y 9 z 36
3. Selesaikan SPL berikut dengan menggunakan metode eliminasi Gaussian dan substitusi terbalik :
3x 2 y z 4 a). 2 x y 2 z 10 x 3 y 4 z 5
2x y 7 b). y 3z 0 x z 3
4x 9 y 8 c). 8 x 6 z 1 6 y 6 z 1
4. Selesaikan masing-masing sistem berikut dengan metode eliminasi gauss-jordan dan eliminasi gaussian a.
x1 + x2 + 2x3 = 8 - x2 - 2x2 + 3x3 = 1 3x1 - 7x2 + 4x3 = 10
b.
2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 -2x1 + 5x2 + 2x3 = 1 8x1 + x2 + 4x3 = -1
5. Selesaikan masing-masing sistem dengan menggunakan eliminasi gauss-jordan a.
5x1 - 2x2 + 6x3 =0 -2x1 + x2 + 3x3 =1
b.
x1 + 2x2 + x3 - 4x4 = 1 x1 + 3x2 +7x3 +2x4 =2 x1 -12x2 -11x3-16x4=5
6. Selesaikan sistem persamaan linier homogen menggunakan eliminasi gauss-jordan a. 3x1 + 2x2 + x3 - 4x4 = 0 5x1 - x2 + x3 - 4x4 = 0
1.4.
b.
x1 +3x2 + 4x4= 0 x1 +4x2 +2x3 =0 -2x2 - 2x3 - x4 = 0 2x1- 4x2 + x3 + 4x4 = 0 x1 - 2x2 - x3 + x4 = 0
MATRIKS , JENIS-JENIS MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Definisi Matriks
Untung Usada (U2)
9
Bab I Sistem Persamaan Linier Matriks adalah susunan berbentuk persegipanjang dari elemen-elemen bilangan yang diatur berdasar baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut.
Amxn
a11 a 21 ... a m1
a12 a 22 ... am2
... a1n ... a 2 n adalah matriks berukuran / berdimensi mxn. ... ... ... a mn
Ukuran sebuah matriks diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. m adalah banyak baris dari matriks A, n adalah kolom dari matriks A. Sehingga matriks diatas dapat ditulis sebagai :
Amxn aij mxn . Anggota pada baris ke-i dan kolom ke-j dari sebuah matriks A pada umumnya juga dapat dinyatakan sebagai ( A) ij atau a ij . Contoh: A1 x n (matriks baris, vektor baris).
A1x 4 3 1 2 4 .
B n x 1 (matriks kolom, vektor kolom). B3 x 1
2 3 . 3
Jenis-jenis Matriks 1. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar dengan a ij 0 untuk i j .
A3 x 3
a11 0 0
0 a 22 0
0 0 a33
2. Matriks Skalar Matriks skalar adalah matriks diagonal dengan a11 a 22 ... a nn k .
Contoh: A3 x 3
Untung Usada (U2)
2 0 0 0 2 0 . 0 0 2
10
Bab I Sistem Persamaan Linier 3. Matriks Satuan (Matriks identitas) Matriks identitas adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal utama sama dengan satu.
Contoh: I 3 x 3
1 0 0 0 1 0 0 0 1
4. Matriks Segitiga Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar dengan aij 0 untuk i j . Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar dengan aij 0 untuk i < j.
A3 x 3
a11 0 0
a12 a 22 0
a13 a 23 a33
Matriks segitiga atas
B3 x 3
a11 a 21 a 31
0 a 22 a32
0 0 a33
Matriks segitiga bawah
Operasi-operasi Matriks 1. Dua Matriks Sama Dua matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran sama dan elemenelemen anggotanya yang seletak sama. Dalam notasi matriks, jika A=[ a ij ] dan B=[ b ij ] mempunya ukuran sama maka A=B jika dan hanya jika a ij = b ij .
Contoh: A3 x 3
2 1 5 2 1 5 3 1 1, B3 x 3 3 1 1 A B . 4 0 6 4 0 6
2. Jumlah / Selisih Dua Matriks Jika A dan B adalah matriks-matriks yang mempunyai ukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota B dengan anggota-anggota A yang sepadan, dan selisih A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B yang sepadan. Matriks-matriks yang berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan . a.
Am x n Bm x n C m x n .
Contoh:
Untung Usada (U2)
11
Bab I Sistem Persamaan Linier 1 1 2 2 4 2 3 3 0 2 2 3 1 2 4 1 0 7 b. Am x n Bm x n Dm x n . Contoh: 1 1 2 2 4 2 1 5 4 2 2 3 1 2 4 3 4 1 3. Hasil kali Matriks dengan Skalar Jika A adalah sebarang matriks dan k adalah sebarang skalar, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota A dengan k. Contoh: 1 1 2 2 2 4 2 A A 2 2 3 4 4 6 4. Hasil kali Dua Matriks Jika A adalah sebuah matriks m x p dan B adalah matriks p x n, maka hasil kali AB adalah matriks berukuran m x n yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikiut: Untuk mencari anggota dalam baris ke-I dan kolom ke-j dari AB, pilih baris ke-I dari matrik A dan kolom ke-j dari matriks B. Kalikan anggota-anggota yang sepadan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan jumlahkan hasilnya. Syarat untuk bisa menggandakan dua matriks adalah jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua. Am x p . B p x n C m x n
Contoh:
2 0 (1)(2) (1)(1) (2)(3) (1)(0) (1)(2) (2)(1) 7 4 1 1 2 1 2 2 2 3 3 1 (2)(2) (2)(1) (3)(3) (2)(0) (2)(2) (3)(1) 7 1 Pada umumnya: AB BA . 5. Transpose Matriks
Untung Usada (U2)
12
Bab I Sistem Persamaan Linier AT (matriks transpose dari matriks A) : baris-baris dari matriks A dijadikan kolom-kolom dan kolom-kolom dijadikan baris-baris. Am x n aij m x n ATn x m a ji n x m .
Sifat-sifat transpose : a. ((A)T)T = A b. (A B)T = AT BT c. (kA)T = kAT , dengan k adalah sebarang skalar d. (AB)T = BTAT Contoh:
A2 x 3
2 1 2 3 0 A T3 x 2 3 1 . 1 1 3 0 3
Sifat-sifat operasi matriks Dengan asumsi bahwa ukuran-ukuran matriks dibawah ini adalah sedemikian sehingga operasi-operasi matrik dapat dilakukan, maka aturan-aturan yang berlaku pada operasi matriks adalah sebagai berikut: a. A + B = B + A
b. A + (B + C) = (A + B) + C
c. A(BC) = (AB)C
d. A(B + C) = AB + AC
e. (B + C)A = BA + CA
f. A(B - C) = AB - AC
g. (B - C)A = BA – CA
h. a(B C) = aB aC
i. (a b)C = aC bC
j. a(bC) = (ab)C
k. a(BC) = (aB)C = B(aC) Invers Matriks Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika matriks yang berukuran sama bisa didapatkanr ( A n x n , B n x n ) sedemikian hingga maka A n x n .Bn n I n
B n x n An1x n ; A. A 1 I . Maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A
Untung Usada (U2)
13
Bab I Sistem Persamaan Linier Syarat suatu matriks A n x n mempunyai invers An1x n jika A 0 .
Sifat-sifat invers : a. JIka B dan C keduanya adalah invers matriks A, maka B = C. b. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka i. AB dapat dibalik ii. (AB)-1 = B-1A-1 Ada beberapa cara untuk mendapatkan invers dari suatu matriks: a.
A. A 1 I .
Contoh: 2 3 . Dapatkan A 1 dari A 3 5 A
2 3 (2)(5) (3)(3) 1 0 mempunyai invers. 3 5
a b A. A 1 I . Misal: A 1 c d 2 3 a b 1 0 3 5 c d 0 1 2a 3c 2b 3d 1 0 3a 5c 3b 5d 0 1 2a 3c 1 a 5, c 3 3a 5c 0
2b 3d 0 b 3, d 2 3b 5d 1
5 3 . Jadi: A 1 3 2
b. Operasi Baris Elementer (OBE)
Untung Usada (U2)
14
Bab I Sistem Persamaan Linier Suatu matriks n x n disebut matriks dasar(elementer) jika matriks ini bisa diperoleh dari matriks identitas n x n, I m dengan melakukan suatu operasi baris elementer. Jika operasi baris elementer diterapkan pada suatu matriks identitas I untuk menghasilkan suatu matriks dasar E, maka ada operasi baris elemnter kedua yang jika diterapkan pada E, menghasilkan I lagi. Misalnya, jika E diperoleh dengan mengalikan baris ke-i dengan konstanta tak-nol c, maka I bisa didapatkan kembali jika baris ke-i dari E dikalikan dengan 1/c . Untuk mendapatkan invers matriks yang dapat dibalik A, kita harus menemukan serangkaian operasi baris elementer yang mereduksi A menjadi matriks identitas dan kemudian melakukan rangkaian operasi yang sama pada I untuk memperoleh A 1 . Untuk itu, kita bisa memposisikan matriks seperti berikut : OBE
A
3x3
| I3 ~
OBE
|
~ I 3 | A 1
(OBE : Operasi Baris Elementer)
Contoh:
Dapatkan invers dari A 3 x 3
1 2 1 2 5 4 . 3 7 4
Penyelesaian:
0 0 B B 1 2 1| 1 0 0 B 2 B 1 2 1| 1 0 0 B B 1 2 1| 1 2 1 3 2 1 3 2 5 4 | 0 1 0 0 1 6 | 2 1 0 0 1 6 | 2 1 0 ~ ~ ~ 3 7 4 | 0 0 1 B3 3B1 0 1 7 | 3 0 1 0 0 1 | 1 1 1 B2 6 B3
1 2 0| 0 1 1 B 2B 1 0 0| 8 15 13 1 2 7 6 ; 0 1 0| 4 7 6 ~ 0 1 0| 4 0 0 1| 1 1 1 0 0 1| 1 1 1
8 15 13 7 6 . Jadi: A 4 1 1 1 1
c.
A 1
1 adj ( A) . A
Contoh:
Untung Usada (U2)
15
Bab I Sistem Persamaan Linier 3 7 . Dapatkan A 1 dari A 2 5 Penyelesaian: A
3 7 (3)(5) (7)(2) 1 . 2 5
5 7 5 2 Adj ( A) . Kofaktor (A) 2 3 7 3 A 1
5 2 1 . adj ( A) A 7 3
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Invers Matriks Jika A adalah suatu matriks n x n yang mempunyai invers, maka untuk setiap matriks b, nx 1, sistem persamaan Ax = b tepat mempunyai satu penyelesaian yaitu x = A-1b. Contoh Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan invers matriks x + 2y + 3z = 5 2x + 5y + 3z = 3 x + 8z = 17 Dalam bentuk Matriks, sistem ini bisa ditulis sebagai Ax = b, dengan
1 2 3 x A 2 5 3 x y 1 0 8 z
5 b 3 17
Dengan metode sebarang, didapatkan invers A-1 , yaitu
9 40 16 A 13 5 13 , maka penyelesaian system tersebut adalah 5 2 1 1
Untung Usada (U2)
16
Bab I Sistem Persamaan Linier
9 5 1 40 16 x A b 13 5 13 3 1 atau x = 1 , y = -1, z = 2 . 5 2 1 17 2 1
SOAL-SOAL LATIHAN 2
1 4 1 1 2 1 1. Diketahui: P 2 0 3 , Q 2 2 0 ; a = 4 , b = -3 4 1 2 4 1 3 ditanyakan: a). PQ
b). P + Q
c). QP
d). P – Q
3 2 1 1 1 0 2. Diketahui: A 2 1 0 , B 1 4 0 ; ditanyakan: 4 2 1 5 2 1
-1
3. Ditanyakan A , jika:
1 5 a). A 2 4
e). aP
a). AB
3 5 b). A 1 2
4 1 2 4. Dapatkan B dari: a). B 0 1 0 8 4 5
f). b(Q+P)
b). BA
1 2 0 1 5 c). A 3 1 2 3
1 1 0 b). B 1 1 1 0 2 1
-1
5. Dapatkan invers dari matriks A berikut:
a.
1 1 A 1 1
0 3 3 3
0 0 5 5
0 0 0 0
b.
0 0 1 0 A 0 1 2 1
2 0 0 1 3 0 5 3
k1 0 c. A 0 0
0 k2
0 0
0 0
k3 0
0 0 0 k 4
6. Selesaikan sistem berikut dengan menggunakan invers matriks: a.
x+ y=2 5x + 6y = 9
b. 4x – 3y = -3 2x – 5y = 9
c.
x + 3y + z = 4 2x + 2y + z = -1
d. 5x + 3y + 2z = 4 3x + 3y + 2z = 2
Untung Usada (U2)
17
Bab I Sistem Persamaan Linier 2x + 3y + z = 3 e.
- y – 2z – 3w x + y + 4z + 4w x + 3y + 7z + 9w -x – 2y - 4z – 6w
Untung Usada (U2)
y+ z=5 =0 =7 =4 =6
f.
x + y + z = b1 2x + 5y + 5z = b2 3x + 5y + 8z = b3
18
