SISTEM PERSAMAAN LENGKAP UNTUK PEMODELAN MATEMATIKA ALIRAN FLUIDA SATU DIMENSI PADA PIPA JUDUL SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh Nur Endah Ardiyanti 12305141038
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2016
i
PERSETUJUAI\I
S*ripsi yang berjudul. *SISTEM PERSAMAAI\I LENGKAP PEMODELAN MATEMATIKA ALIRAN
PIPA' yang
O'ID}
disusun oleh Nur Endah Ardiyanti,
UNTT
SATU DIMENSI PADA
NIM
12305141038
ini
telah
disetqiui oleh pembimbing untuk diujikan.
&
t t
t
Yograkarta,AJuni 2016 ','
Dosen Pembimbing
I
Dosen Pembimbing
Wfr
tr
Binetrril M.Si NIP. 19841 019200Er22005 Nikene^cih
1109199mu001
K
HALAMAN PENGESAHAN
Slaipsi yang berjudul (SISTEM PERSAMAAN LENGKAP LIhITUK PEMODELAII MATEMATIKA ALIRAN FLTIIDA SATU DIMENSI PADA
PIPA" yang disusun oleh Nur Endah Ardiyanti, NIM 12305141038 ini telah dipertahankan di depan Derryan Penguji pada tanggal4luni 2016 dan dinyatakan
lulus.
'i
Tanggal
a2'?'Lo$ NIP. 196411 ze-.-.1.-.uor6.
NrP. 198410
\?l'.?.ori NIP. I9MO 2L-7-'-1916
dan Iknu Pengetaliuan AIam
{ffi
pffi NIP. I 95203291987 021002
ilt
HALAMAN PERNYATAAN Yang bertanda tangan dibawah ini: Nama
Nur Endah Ardiyanti
NIM
1230s141038
Prodi
Matematika
Jurusan
Pendidikan Matematika
Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alarn
Judul TAS
Sistem Persamaan Lengkap untuk Pemodelan Matematika Aliran
Fluida Satu Dimensi pada Pipa.
Dengan
ini
saya menyatakan bahwa slcripsi
ini
benar-benar karya saya
sendiri. Sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang
ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan
dengan
mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim.
Yogyakarta,z8Juni 201 6 Yang merryatakan,
$q,#
Nur Endah Ardivapti NIM. 12305141038
IV
MOTTO
Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya. (QS. Al Baqarah:286)
Hasil tidak pernah menghianati proses, maka dari itu bersungguhsungguhlah dalam setiap proses kehidupan.
Belajar, Berjuang, Berdoa !
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Alhamdulillahhirobbil ‘alamin. Terima Kasih Ya Allah, sungguh tiada daya dan upaya kecuali dengan pertolongan-Mu. Kupersembahkan karya tulis ini untuk: Kedua Orangtuaku, Surmanto dan Henny Kusumawati yang selalu memberi kasih sayang, doa dan motivasi, serta keluargaku yang selalu memberi semangat Sahabat-sahabatku Elna, Ayu, Avip, Sara, Arum, Mita, Sumar, Nunung, Susy dan Ari Setiyono yang telah memberi motivasi, dukungan, semangat, kebahagiaan dan doa untukku. Teman-teman Matsub 2012 yang memberikan kenangan dan kebahagian selama kuliah di UNY Semua pihak yang ikut membantu dan membimbingku dalam penulisan tugas akhir ini.
vi
SISTEM PERSAMAAN LENGKAP UNTUK PEMODELAN MATEMATIKA ALIRAN FLUIDA SATU DIMENSI PADA PIPA Oleh Nur Endah Ardiyanti NIM 12305141038 ABSTRAK Fluida merupakan zat yang dapat mengalir. Contoh peristiwa mengalirnya fluida antara lain mengalirnya air di sungai dan proses keluarnya lava dari perut bumi hingga puncak gunung berapi. Aliran fluida tersebut mengalir dengan batas wilayah aliran tertentu dan berubah-ubah terhadap waktu. Pada tugas akhir ini, aliran fluida dianalisa untuk memperoleh sistem persamaan lengkap untuk pemodelan matematika aliran fluida satu dimensi pada pipa. Sistem persamaan lengkap terdiri dari persamaan kontinuitas, persamaan momentum, persamaan kesetimbangan energi mekanis, dan persamaan kesetimbangan energi total. Pada penelitian tentang aliran fluida ini, fluida dibatasi pada suatu ruang yaitu pipa. Pipa merupakan saluran tertutup yang biasanya berpenampang lingkaran yang digunakan untuk mengalirkan fluida. Pada penelitian tugas akhir ini, pipa yang digunakan dapat mengalami deformasi, yaitu luas penampang pipa dapat berubah-ubah menjadi lebih besar maupun menjadi lebih kecil. Hal ini sehubungan dengan aliran fluida mempunyai batas wilayah aliran yang berubahubah. Berdasarkan analisa tentang aliran fluida, diperoleh sistem persamaan lengkap dengan dipilih sebarang volume kendali yang diamati, kemudian aliran fluida dianalisa berdasarkan partikel-partikel berupa partisi-partisi yang menyusun fluida. Hukum Kekekalan Massa digunakan untuk memperoleh persamaan kontinuitas, Hukum Kedua Newton digunakan untuk mendapatkan persamaan momentum, persamaan kesetimbangan energi mekanis diperoleh dengan menganalisa Hukum Perubahan Energi Mekanis, dan Hukum Kekekalan Energi digunakan untuk memperoleh persamaan kesetimbangan energi total.
Kata kunci: aliran fluida, sistem persamaan lengkap, deformasi pipa.
vii
KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr. Wb Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat, nikmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir skripsi yang berjudul “Sistem Persamaan Lengkap untuk Pemodelan Matematika Aliran Fluida Satu Dimensi pada Pipa”. Tugas akhir ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Yogyakarta. Penulis mendapat dukungan dan bantuan dari banyak pihak selama proses penulisan tugas akhir skripsi ini. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan dukungan dan bantuan kepada penulis yaitu: 1.
Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan kemudahan dan kelancaran dalam urusan akademik.
2.
Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dan kelancaran dalam urusan akademik.
3.
Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang selalu memberikan dukungan dan arahan kepada penulis.
4.
Ibu Himmawati Puji Lestari M.Si selaku Pembimbing Akademik yang telah memberikan bimbingan, arahan dan nasehat selama masa studi di UNY.
viii
5.
Bapak Drs. Tuharto,
M.si
selaku Dosen pembimbing skripsi yang telah
memberikan bimbingan, pengarahan dan saran sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir Skripsi ini dengan baik.
6.
Ibu Nikenasih Binatari, M,si selaku Dosen pembimbing Skripsi yang telah memberikan bimbingan, pengarahan dan saran sehingga penuris dapat menyelesaikan Tugas Akhir Skripsi ini dengan baik.
7.
Bapak dan ibu dosen Jurusan Pendidikan Matematika yang telah memberikan
ilmu kepada penulis secara langsung maupun tidak langsung.
8.
Bapak, ibu dan keluarga yang tidak pernah lelah memberikan doa, dukungan, nasehat dan bimbingan untuk penulis.
9.
Sahabat-sahabat dan semua pihak yang telah menibantu dan memberikan
dukungan sehingga proses penulisan tugas akhir skripsi
ini
dapat ber.ialan
dengan lancar.
Penulis menyadari bahwa dengan keterbatasan kemampuan yang dimiliki t1
!
sehingga penulisan tugas akhir ini jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis sangat mengharap segala
kritik dan saran yang dapat membangun tugas akhir
I
skripsi ini menjadi lebih baik. Diharapkan semoga tugas akhir skripsi ini dapat bermanfaat tidak hanya kepada penulis tetapi juga bagi pembaca. Wassalamtt' alai kum Wr. Wb
Yogyakarta,lS Juni 20 I 6 Penulis
\r't*
Nur\Endah Ardiyanti NIM. 12305141038
tx
DAFTAR ISI
JUDUL ..................................................................................................................... i PERSETUJUAN ..................................................................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii HALAMAN PERNYATAAN ............................................................................... iv MOTTO .................................................................................................................. v HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ vi ABSTRAK ............................................................................................................ vii KATA PENGANTAR ......................................................................................... viii DAFTAR ISI ........................................................................................................... x DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xii DAFTAR SIMBOL.............................................................................................. xiii BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1 A.
LATAR BELAKANG ................................................................................. 1
B.
RUMUSAN MASALAH ............................................................................ 3
C.
TUJUAN ..................................................................................................... 3
D.
MANFAAT PENULISAN .......................................................................... 4
BAB II KAJIAN PUSTAKA .................................................................................. 5 A.
PEMODELAN MATEMATIKA ................................................................ 5
B.
TURUNAN ................................................................................................. 7
C.
TURUNAN PARSIAL .............................................................................. 15
D.
ATURAN RANTAI .................................................................................. 17
E.
FLUIDA .................................................................................................... 19
x
1.
Definisi Fluida ........................................................................................ 19
2.
Klasifikasi Fluida ................................................................................... 19
3.
Parameter-Parameter pada Fluida........................................................... 24
4.
Hukum-hukum yang Digunakan dalam Penurunan Sistem Persamaan
Lengkap. ........................................................................................................ 42 F.
INTEGRAL TAK TENTU........................................................................ 44
G.
INTEGRAL TENTU ................................................................................. 44
H.
JUMLAH RIEMANN ............................................................................... 50
BAB III PEMBAHASAN .................................................................................... 52 A.
PENURUNAN PERSAMAAN KONTINUITAS FLUIDA ..................... 52
B.
PENURUNAN PERSAMAAN MOMENTUM (GERAK) FLUIDA ...... 61 1.
Momentum Fluida .................................................................................. 62
2.
Gaya-Gaya yang Bekerja pada Fluida .................................................... 63
3.
Persamaan Momentum Fluida ................................................................ 69
C.
PENURUNAN PERSAMAAN KESETIMBANGAN ENERGI MEKANIS FLUIDA ................................................................................. 73
1.
Energi Kinetik Fluida ............................................................................. 74
2.
Perubahan Usaha Eksternal pada Fluida terhadap Waktu ...................... 77
3.
Perubahan Usaha Internal Fluida terhadap Waktu ................................. 80
4.
Persamaan Kesetimbangan Energi Mekanis Fluida ............................... 82
D.
PENURUNAN PERSAMAAN KESETIMBANGAN ENERGI TOTAL 85
BAB IV PENUTUP ............................................................................................. 92 A.
KESIMPULAN ......................................................................................... 92
B.
SARAN ..................................................................................................... 92
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 94
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Ilustrasi Konsep Turunan .....................................................................7 Gambar 2.2 Aliran Laminar ..................................................................................20 Gambar 2.3 Aliran Turbulen.................................................................................20 Gambar 2.4 Ilustrasi Aliran Fluida Sejati dan Ideal .............................................21 Gambar 2.5 Resultan Gaya pada Benda ...............................................................32 Gambar 2.6 Gaya pada Benda A ..........................................................................32 Gambar 2.7 Sebuah Partisi dari [a,b] dengan Titik Sampel ̅ ............................50 Gambar 3.1 Ilustrasi Aliran Laminar dan Searah Absis Positif............................55 Gambar 3.2 Aliran Fluida pada Pipa ....................................................................56 Gambar 3.3 Ilustrasi Pengamatan Volume Kendali [a,b] untuk Persamaan Kontinuitas Fluida.............................................................................56 Gambar 3.4 Partisi Fluida pada Pipa di [a,b] .......................................................57 Gambar 3.5 Ilustrasi Pengamatan Volume Kendali [a,b] untuk Persamaan Momentum Fluida.............................................................................61 Gambar 3.6 Gaya-Gaya yang Bekerja pada Fluida ..............................................64 Gambar 3.7 Ilustrasi Pengamatan Volume Kendali [a,b] untuk Persamaan Kesetimbangan Energi Mekanis Fluida ............................................73
xii
DAFTAR SIMBOL
= Massa partisi aliran fluida. = Massa aliran fluida. = Kecepatan aliran fluida. = Percepatan aliran fluida. = Percepatan gravitasi. = Kepadatan/massa jenis fluida. = Volume aliran fluida. = Tekanan. = Tegangan Geser. = Viskositas. = Momentum Aliran Fluida. = Waktu. = Luas penampang pipa. = Daya. = Daya gesek. = Daya gravitasi. = Gaya. = Gaya gesek. = Gaya reaksi
xiii
= Gaya gravitasi. = Energi. = Energi kinetik. = Energi internal. = Usaha. = Usaha eksternal. = Usaha internal. = Kalor eksternal. = flux panas per satuan waktu.
xiv
