Nevezetes f¨ uggv´ eny-hat´ ar´ ert´ ekek Az al´abbiakban a k sorsz´am´ u f¨ uggv´eny-hat´ar´ert´ek(ek)re az FHk r¨ovid´ıt´essel, a kompoz´ıci´o hat´ar´ert´ek´er˝ol sz´ol´o els˝o, illetve m´asodik t´etelre a KL1, illetve a KL2 r¨ovid´ıt´essel, m´ıg a ,,Nevezetes sorozat-hat´ar´ert´ekek” c´ım˝ u jegyzetr´eszletben tal´alhat´o k sorsz´am´ u sorozat-hat´ar´ert´ek(ek)re az SHk r¨ovid´ıt´essel fogunk hivatkozni. 1. Minden negat´ıv α sz´ am eset´ en az α kitev˝ oj˝ u hatv´ anyf¨ uggv´ eny (id ) hat´ ar´ ert´ eke a r +∞-ben nulla. Ha r olyan negat´ıv racion´ alis sz´ am, amelyre id a negat´ıv sz´ amok halmaz´ an is ´ ertelmezett, akkor e f¨ uggv´ enynek a −∞-beli hat´ ar´ ert´ eke is nulla. Bizony´ıt´ as. g := idα |(0,+∞) monoton fogy´o, emiatt van hat´ar´ert´eke a +∞-ben (´es ez a hat´ar´ert´ek egyenl˝o a g ´ert´ekk´eszlet´enek als´o hat´ar´aval). Ezek ut´an a hat´ar´ert´ekre vonatkoz´o ´atviteli elv szerint el´eg megadnunk egyetlen olyan +∞-hez tart´o (pozit´ıv tag´ u) xn sorozatot, amelyre lim(g(xn )) = 0. E c´elb´ol r¨ogz´ıts¨ unk egy olyan m pozit´ıv eg´eszt, amelynek reciproka 0 ´es −α k¨oz´e esik ´es legyen xn := 2mn . Az e sorozathoz tartoz´o f¨ uggv´eny´ert´ek-sorozat pozit´ıv tag´ u ´es — amint az a 2 alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´eny monoton n¨ov˝o volt´ab´ol k¨ovetkezik — fel¨ ulr˝ol becs¨ ulhet˝o a 2−n sorozattal, teh´at val´oban 0-sorozat (SH7). A m´asodik ´all´ıt´as p´aros vagy p´aratlan f¨ uggv´enyr˝ol sz´ol, teh´at k¨ovetkezik az els˝ob˝ol. 2. Minden pozit´ıv kitev˝ oj˝ u hatv´ anyf¨ uggv´ eny hat´ ar´ ert´ eke a +∞-ben +∞; minden pozit´ıv eg´ esz m ´ es n eset´ en 2m
lim x 2n
x!
1
1
= +∞
´ es
2m
lim x 2n
x!
1
1 1
= −∞ .
Bizony´ıt´ as. Egy u ∈ R pontnak valamely pontozott k¨ornyezet´eben pozit´ıv [negat´ıv] ´ert´ekeket felvev˝o, ´es az u helyen 0-hoz tart´o f¨ uggv´eny reciprok´anak hat´ar´ert´eke +∞ [−∞], teh´at az el˝oz˝o pontban bizony´ıtott ´all´ıt´asok k¨ovetkezm´enyeir˝ol van sz´o. 3. B´ armely negat´ıv kitev˝ oj˝ u hatv´ anyf¨ uggv´ eny jobb oldali hat´ ar´ ert´ eke a 0 helyen +∞; minden pozit´ıv eg´ esz m ´ es n eset´ en lim x
x!
0
2m 2n 1
= +∞
´ es
lim x
x!
0
2m 1 2n 1
= −∞ .
Bizony´ıt´ as. A pozit´ıv sz´amok, illetve a negat´ıv sz´amok H halmaz´an ´ertelmezett (vagy oda lesz˝ uk´ıtett) −p kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´eny egyenl˝o azzal a kompoz´ıci´oval, amelynek bels˝o f¨ uggv´enye a H halmazon ´ertelmezett x 7→ 1/x f¨ uggv´eny, k¨ uls˝o f¨ uggv´enye pedig az ugyancsak a H halmazon ´ertelmezett (vagy oda lesz˝ uk´ıtett) p kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´eny. ´Igy az itteni ´all´ıt´asok a KL2 t´etelb˝ol ´es az el˝oz˝o pontban szerepl˝o ´all´ıt´asokb´ol k¨ovetkeznek. 4. Minden pozit´ıv kitev˝ oj˝ u hatv´ anyf¨ uggv´ eny hat´ ar´ ert´ eke a 0 helyen 0. Bizony´ıt´ as. Az el˝oz˝o bizony´ıt´asban k¨ovetett m´odszerrel a jobb oldali hat´ar´ert´ek k´erd´es´et vissza lehet vezetni a negat´ıv kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´enyek +∞-beli hat´ar´ert´ek´enek k´erd´es´ere, s˝ot, ha a kitev˝o olyan, hogy a f¨ uggv´eny a negat´ıv sz´amok halmaz´an is ´ertelmezett, akkor a bal oldali hat´ar´ert´ek vizsg´alat´at ugyan´ıgy lehet visszavezetni a negat´ıv kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´enyek −∞-beli hat´ar´ert´ek´enek vizsg´alat´ara (KL2, FH1). 1
5. Legyen r tetsz˝ oleges pozit´ıv eg´ esz, b0 , . . . , br 1 tetsz˝ oleges val´ os sz´ amok, br tetsz˝ oleges null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o val´ os sz´ am, v´ eg¨ ul minden val´ os x-re legyen f (x) := br xr + br Ekkor
r
1x
½
1
+ . . . + b1 x + b0 .
+∞, ha br > 0, −∞, ha br < 0,
lim f (x) =
x!+1
tov´ abb´ a lim 1 f = lim+1 f illetve lim hogy r p´ aros, vagy p´ aratlan.
1f
= (−1) · lim+1 f — att´ ol f¨ ugg˝ oen,
Bizony´ıt´ as. Mind a n´egy ´all´ıt´as k¨ovetkezik a szorzat hat´ar´ert´ek´er˝ol sz´ol´o t´etelekb˝ol, FH2b˝ol, valamint abb´ol, hogy minden val´os x-re µ ¶ br−1 b1 b0 r f (x) = x br + + . . . + r−1 + r . x x x 6. Legyenek k ´ es m tetsz˝ oleges nemnegat´ıv eg´ eszek, c0 , . . . , ck 1 ´ es d0 , . . . dm 1 tetsz˝ oleges val´ os sz´ amok, ck ´ es dm tetsz˝ oleges null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o val´ os sz´ amok, v´ eg¨ ul minden olyan val´ os x-re, amelyre az al´ abbi nevez˝ o nem nulla, legyen f (x) :=
ck xk + ck
1x
dm xm + dm
Ekkor
lim f (x) =
x!+1
k
1x
0, ck , dm +∞, −∞,
m
1
+ . . . + c1 x + c0 1
+ . . . + d1 x + d0
.
ha k < m, ha k = m, ha k > m ´ es ck dm > 0, ha k > m ´ es ck dm < 0.
Ha k ≤ m vagy k − m p´ aros pozit´ıv eg´ esz, akkor lim 1 f = lim+1 f , ha k − m p´ aratlan pozit´ıv eg´ esz, akkor lim 1 f = (−1) · lim+1 f . Bizony´ıt´ as. Az f (x) defin´ıci´oj´aban szerepl˝o t¨ortet mindegyik esetben egyszer˝ us´ıteni fogjuk m x -nel. A k < m esetben c´elszer˝ u bevezetni a ci := 0 jel¨ol´est minden k-n´al nagyobb ´es m-n´el nem nagyobb i-re, ennek k¨osz¨onhet˝oen ugyanis a k < m ´es a k = m eset egyszerre vizsg´alhat´o. Mindk´et esetben azt kapjuk, hogy az eml´ıtett egyszer˝ us´ıt´es ut´an mind a sz´aml´al´o, mind a nevez˝o egy konstans ´es m darab null´ahoz tart´o f¨ uggv´eny ¨osszege: f (x) =
cm + dm +
cm−1 x dm−1 x
+ ... + + ... +
c1 xm−1 d1 xm−1
+ +
c0 xm d0 xm
,
´ıgy az u ´j sz´aml´al´o hat´ar´ert´eke a +∞-ben ´es a −∞-ben egyar´ant cm , az u ´j nevez˝o´e dm (l´asd FH1-t). Tegy¨ uk fel most, hogy k > m, a m´ar el˝ore jelzett egyszer˝ us´ıt´es ut´an emelj¨ uk ki a sz´aml´al´ob´ol k−m az x t´enyez˝ot: c1 + . . . + xk−1 + xc0k ck + ck−1 x · xk−m . f (x) = dm−1 d1 d0 dm + x + . . . + xm−1 + xm Itt az els˝o t´enyez˝o hat´ar´ert´eke mind a −∞-ben, mind a +∞-ben ck /dm (FH1), a m´asodik t´enyez˝o´e pedig FH2 alapj´an tiszt´azhat´o, teh´at az ¨osszes hi´anyz´o eredm´enyt megkapjuk a szorzat hat´ar´ert´ek´er˝ol sz´ol´o t´etelekb˝ol. 2
7. Az 1-n´ el nagyobb alap´ u exponenci´ alis f¨ uggv´ enyek hat´ ar´ ert´ eke a −∞-ben 0, a +∞ben +∞, m´ıg az 1-n´ el kisebb alap´ uak´ e a −∞-ben +∞ ´ es a +∞-ben 0. Bizony´ıt´ as. Olyan monoton n¨ov˝o, illetve fogy´o f¨ uggv´enyekr˝ol van sz´o, amelyeknek az ´ert´ekk´eszlete az ¨osszes pozit´ıv sz´amok halmaz´aval egyenl˝o, ´ıgy mind a n´egy ´all´ıt´as k¨ovetkezik a monoton f¨ uggv´enyek egy oldali hat´ar´ert´ek´er˝ol sz´ol´o t´etelb˝ol. . 8. Az 1-n´ el nagyobb alap´ u logaritmusf¨ uggv´ enyek hat´ ar´ ert´ eke a 0 helyen −∞, a +∞ helyen +∞, m´ıg az 1-n´ el kisebb alap´ uak´ e a 0 helyen +∞, a +∞ helyen pedig −∞. Bizony´ıt´ as. Olyan monoton n¨ov˝o, illetve fogy´o f¨ uggv´enyekr˝ol van sz´o, amelyeknek az ´ert´ekk´eszlete az ¨osszes val´os sz´amok halmaz´aval egyenl˝o, ´ıgy mind a n´egy ´all´ıt´as k¨ovetkezik a monoton f¨ uggv´enyek egy oldali hat´ar´ert´ek´er˝ol sz´ol´o t´etelb˝ol. 9. Minden egyes u val´ os sz´ am eset´ en limu cos = cos u ´ es limu sin = sin u. Bizony´ıt´ as. Az (add´ıci´os k´epletekb˝ol levezethet˝o) ismert trigonometriai azonoss´agok felhaszn´al´as´aval a | cos x − cos u|, | sin x − sin u| elt´er´eseket a ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ x − u¯ ¯ ¯ x − u¯ ¯ x + u¯ x + u ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ sin cos , illetve 2 ¯sin 2 ¯sin 2 ¯¯ 2 ¯ 2 ¯¯ 2 ¯ alakra lehet hozni, s ha figyelembe vessz¨ uk a minden val´os t sz´amra ´erv´enyes | sin t| ≤ |t|, | cos t| ≤ 1, | sin t| ≤ 1 egyenl˝otlens´egeket is, akkor innen l´athat´o, hogy minden ε > 0 hibakorl´athoz megfelel a δ := ε v´alaszt´as. 10. limx!0 (sin x)/x = 1. Bizony´ıt´ as. Legyen ε tetsz˝oleges pozit´ıv sz´am. Az el˝oz˝o pontban bizony´ıtottak szerint lim0 cos = 1, ez´ert (´es cos 0 = 1 miatt) van olyan δ, melyre minden x ∈ (−δ, δ) eset´en 1 − ε < cos x. Az ´altal´anoss´ag megszor´ıt´asa n´elk¨ ul feltehet˝o, hogy ugyanerre a δ-ra minden x ∈ (0, δ) eset´en sin x < x < sin x/ cos x, ´ıgy minden x ∈ (0, δ) eset´en 1 − ε < cos x <
sin x < 1, x
´es minthogy a sin /id f¨ uggv´eny p´aros (l´ev´en k´et p´aratlan f¨ uggv´eny h´anyadosa), az (−δ, 0) intervallumban felvett ´ert´ekei szint´en az (1 − ε, 1) intervallumban vannak. 11. Minden egyes u val´ os sz´ am eset´ en lim
x!u
cos x − cos u x−u
= − sin u
´ es
lim
x!u
sin x − sin u x−u
= cos u.
Bizony´ıt´ as. Az FH9 bizony´ıt´asa k¨ozben egyszer m´ar alkalmazott trigonometriai formul´akat ism´et felhaszn´alva, a bizony´ıtand´o ´all´ıt´asok ´ıgy fogalmazhat´ok ´at: x−u µ ¶ x+u 2 = − sin u, − sin x−u 2 2
sin lim
x→u
x−u 2 cos x + u = cos u. x−u 2 2
sin ´es
lim
x→u
Az FH10 ´all´ıt´as ´es a KL2 t´etel szerint a k¨oz¨os els˝o t´enyez˝o hat´ar´ert´eke 1, m´ıg az els˝o t´enyez˝o elhagy´as´aval ad´od´o ´all´ıt´asok az FH9-ben bizony´ıtottakb´ol ´es a KL1 t´etelb˝ol k¨ovetkeznek.
3
12. limx!+1 x1=x = 1. Bizony´ıt´ as. Legyen ε tetsz˝oleges pozit´ıv sz´am; bizony´ıtjuk egy olyan K pozit´ıv sz´am l´etez´es´et, melyre minden x ∈ (K, +∞) eset´en x1/x ∈ (1 − ε, 1 +√ε). L´ev´en x ≥ 1 eset´en x1/x ≥ 1, ehhez el´eg a k¨ovetkez˝o k´et ´all´ıt´ast igazolni: a) lim( n n + 1) = 1, s ´ıgy van √ olyan K pozit´ıv eg´esz, amelyt˝ol kezdve minden n-re n n + 1 < 1 + ε, b) ha x > K, akkor x1/x ≤ ([x] + 1)1/[x] (ekkor ugyanis a vizsg´ alt f¨ uggv´eny¨ unknek a K-n´al nagyobb helyeken √ n felvett ´ert´ekei fel¨ ulr˝ol becs¨ ulhet˝ok az ( n + 1) sorozat olyan tagj´aval, amely kisebb, mint √ n 1 + ε). Az a) ´all´ıt´as bizony´ıt´asa c´elj´ab´ol induljunk ki abb´ ol, hogy ³q ´ lim( 2) = 1, ez´ert az √ n n n+1 azonosan 1 sorozat ´es az ( 2) sorozat ´altal k¨ozrefogott sorozat hat´ar´ert´eke is 1, n √ teh´at ha ez ut´obbi sorozatot megszorozzuk a szint´en 1-hez tart´o ( n n) sorozattal, akkor ism´et 1-hez tart´o sorozatot kell kapnunk. b) bizony´ıt´asa c´elj´ab´ol el˝obb az 1-n´el nagyobb alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´enyek monoton n¨ov˝o volt´at, majd a pozit´ıv kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´enyek monoton n¨ov˝o volt´at haszn´alhatjuk: x1/x ≤ x1/[x] ≤ ([x] + 1)1/[x] . 13. Ha p > 0 ´ es 1 6= c > 0, akkor lim
s!+1
logc s sp
= 0.
Bizony´ıt´ as. A logc f¨ uggv´eny folytonos az 1 helyen, ´ıgy a KL1 t´etel ´es az im´ent bizony´ıtott 12. ´all´ıt´as szerint limx→+∞ logc x1/x = limx→+∞ (1/x) logc x = logc 1 = 0. Ebb˝ol, a KL2 t´etelb˝ol, ´es abb´ol a t´enyb˝ol, hogy lim+∞ idp = +∞, k¨ovetkezik, hogy lim +∞
logc ◦ idp = 0, id
ez´ert ez ut´obbi f¨ uggv´eny 1/p-szeres´enek a hat´ar´ert´eke a +∞ helyen szint´en nulla (m´arpedig a hatv´any logaritmus´ara vonatkoz´o azonoss´ag szerint ´eppen ezt a f¨ uggv´enyt kellett vizsg´alnunk). q 14. Ha q > 0 ´ es a > 1, akkor limt!+1 at t = 0.
Bizony´ıt´ as. Alkalmazzuk az el˝oz˝o ´all´ıt´ast a p := 1/q, c := a szereposzt´assal, majd u ´jra 1/q a KL2 t´etelt, ez´ uttal arra a kompoz´ıci´ora, amelyet az s 7→ (loga s)/(s ) k¨ uls˝o, ´es az expa bels˝o f¨ uggv´enyb˝ol k´epez¨ unk, ekkor azt kapjuk, hogy lim
t
t→+∞
(at )1/q
= 0,
ha most ez ut´obbi f¨ uggv´enyb˝ol mint bels˝o f¨ uggv´enyb˝ol, ´es az x 7→ xq k¨ uls˝o f¨ uggv´enyb˝ol q k´epez¨ unk u ´jabb kompoz´ıci´ot, akkor 0 = 0 ´es FH4 miatt alkalmazhatjuk a KL1 t´etelt, s ebb˝ol ´eppen a k´ıv´ant eredm´enyt kapjuk. 15. Ha p pozit´ıv sz´ am, akkor
µ ¶ 1 lim exp − 2 = 0. x!0 xp x 1
4
Bizony´ıt´ as. A vizsg´alt f¨ uggv´eny olyan kompoz´ıci´o, amelynek k¨ uls˝o f¨ uggv´enye a pozit´ıv p/2 −t sz´amok halmaz´an ´ertelmezett t 7→ t e , bels˝o f¨ uggv´enye pedig a 0-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o val´os sz´amok halmaz´an ´ertelmezett x 7→ 1/(x2 ) f¨ uggv´eny. Az ut´obbi hat´ar´ert´eke a 0 helyen +∞ (FH3), az el˝obbi´e a +∞ helyen 0 (FH14), ´ıgy a kompoz´ıci´o´e a 0 helyen a KL2 t´etel szerint 0. 16. Ha p > 0 ´ es 1 6= c > 0, akkor limt!0+ tp logc t = 0. Bizony´ıt´ as. El´eg a vizsg´alt f¨ uggv´eny (−1)-szeres´er˝ol bizony´ıtani, hogy a hat´ar´ert´eke a 0 helyen (jobbr´ol) 0-val egyenl˝o; de ez a f¨ uggv´eny a FH13 ´all´ıt´asban szerepelt f¨ uggv´enynek, mint k¨ uls˝o f¨ uggv´enynek, ´es a pozit´ıv sz´amok halmaz´an ´ertelmezett t 7→ 1/t f¨ uggv´enynek, mint bels˝o f¨ uggv´enynek a kompoz´ıci´oja, az ut´obbi hat´ar´ert´eke a 0 helyen +∞, ez´ert ism´et a KL2 t´etelre t´amaszkodhatunk. 17. limt!0+ tt = 1. Bizony´ıt´ as. A pozit´ıv sz´amok halmaz´an ´ertelmezett t 7→ 1/t f¨ uggv´enynek, mint bels˝o 1/x f¨ uggv´enynek ez´ uttal az x 7→ x k¨ uls˝o f¨ uggv´ennyel k´epezve a kompoz´ıci´oj´at, ism´et a KL2 t´etelb˝ol (´es FH12-b˝ol) kapjuk, hogy µ ¶t 1 1 = lim t = 1, lim t→0+ t t→0+ t teh´at ez ut´obbi f¨ uggv´eny reciprok´anak hat´ar´ert´eke is 1. 18. limx!+1 (1 + 1/x)x = e. Bizony´ıt´ as. Minden 1-n´el nagyobb x sz´am teljes´ıti az µ
1 1+ [x] + 1
¶[x]
A)
≤
µ
1 1+ x
¶[x]
B)
≤
µ
1 1+ x
¶x
C)
≤
µ
1 1+ x
¶[x]+1
D)
µ
≤
1 1+ [x]
¶[x]+1
felt´eteleket: a B) ´es C) egyenl˝otlens´egeket az 1 + 1/x alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´eny monoton n¨ov˝o volta miatt, A)-t az [x] kitev˝oj˝ u, D)-t pedig az [x] + 1 kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´eny monoton n¨ov˝o volta miatt. Legyen ε tetsz˝oleges pozit´ıv sz´am; nyilv´an el´eg olyan M pozit´ıv eg´esz l´etez´es´et igazolni, amelyt˝ol kezdve minden n-re µ ¶n µ ¶n+1 1 1 e−ε< 1+ < 1+ < e + ε, n+1 n ami k¨ovetkezik abb´ol, hogy limn→∞ (1 + 1/(n + 1))n = limn→∞ (1 + 1/n)n+1 = e, hiszen ekkor x > M eset´en az [x] sz´am M -n´el nem kisebb pozit´ıv eg´esz. Az k¨ozismert (SH13), hogy limn→∞ (1 + 1/n)n+1 = e, ebb˝ol kapjuk, hogy limn→∞ (1 + 1/(n + 1))n+2 = e, ez ut´obbi sorozatot beszorozva az 1-hez tart´o n 7→ ((n + 1)/(n + 2))2 sorozattal (SH3), kapjuk az n 7→ (1 + 1/(n + 1))n sorozatot, teh´at ennek a hat´ar´ert´eke is e. 19. limx!
1 (1 + 1/x)x = e.
Bizony´ıt´ as. Az im´ent bizony´ıtott FH18 ´all´ıt´asb´ol k¨ovetkezik, hogy az ¶x+1 µ µ ¶x µ ¶¶ µ x+1 x+1 x+1 + = ; R 3 x 7→ x x x 5
f¨ uggv´eny +∞-ben vett hat´ar´ert´eke e-vel egyenl˝o, ez´ert ugyanez mondhat´o az µ ¶t µ ¶−t µ ¶−t t t−1 1 (1, +∞) 3 t 7→ = = 1+ , t−1 t −t f¨ uggv´enyr˝ol is, ´ıgy az ut´obbib´ol, mint k¨ uls˝o f¨ uggv´enyb˝ol, ´es a (−∞, −1) 3 x 7→ −x bels˝o f¨ uggv´enyb˝ol k´epezett kompoz´ıci´o hat´ar´ert´eke a −∞ helyen szint´en e (KL2). 20. limt!0 (1 + t)1=t = e. Bizony´ıt´ as. El´eg a (−1, 0) intervallumon, illetve a pozit´ıv sz´amok halmaz´an ´ertelmezett t 7→ (1 + t)1/t f¨ uggv´enyekr˝ol k¨ ul¨on-k¨ ul¨on bizony´ıtani, hogy hat´ar´ert´ek¨ uk a 0 helyen e-vel egyenl˝o. Ez a k´et ´all´ıt´as az FH19, illetve az FH18 hat´ar´ert´ek felhaszn´al´as´aval a KL2 t´etelb˝ol k¨ovetkezik: az el˝obbi esetben az FH19-ben szerepl˝o f¨ uggv´enynek mint k¨ uls˝o f¨ uggv´enynek a (−1, 0) 3 t 7→ 1/t bels˝o f¨ uggv´ennyel, az ut´obbi esetben pedig az FH18-ben szerepl˝o f¨ uggv´enynek mint k¨ uls˝o f¨ uggv´enynek az R+ 3 t 7→ 1/t bels˝o f¨ uggv´ennyel kell k´epezni a kompoz´ıci´oj´at. 21. Ha 1 6= c > 0, akkor limt!0 (1/t) logc (1 + t) = logc e = 1/ ln c. Bizony´ıt´ as. A vizsg´alt f¨ uggv´eny a(z e helyen folytonos) logc k¨ uls˝o f¨ uggv´enyb˝ol ´es az FH20 ´all´ıt´asban szerepelt f¨ uggv´enyb˝ol mint bels˝o f¨ uggv´enyb˝ol k´epezett kompoz´ıci´o, ez´ert (KL1 szerint) hat´ar´ert´eke a 0 helyen val´oban logc e. 22. Ha 1 6= c > 0 ´ es a > 0, akkor limx!a
logc x logc a
1 = aln c. Bizony´ıt´ as. Ez az ´all´ıt´as a KL2 t´etelb˝ol k¨ovetkezik: k´epezz¨ uk az FH21 ´all´ıt´asban szerepl˝o (k¨ uls˝o) f¨ uggv´enynek a kompoz´ıci´oj´at az (injekt´ıv) x 7→ x/a − 1 bels˝o f¨ uggv´ennyel, majd szorozzuk meg ezt a kompoz´ıci´ot 1/a-val!
x a
x 23. Ha c > 0, akkor limx!0 c x 1 = ln c. Bizony´ıt´ as. c = 1 eset´en az ´all´ıt´as nyilv´anval´o. Ha c 6= 1, akkor FH21-b˝ol k¨ovetkezik, hogy limt→0 (t/ logc (t+1)) = ln c, ha ebb˝ol a (k¨ uls˝o) f¨ uggv´enyb˝ol ´es az x 7→ cx −1 bels˝o f¨ uggv´enyb˝ol k´epez¨ unk kompoz´ıci´ot, akkor ´eppen a vizsg´alt f¨ uggv´enyt kapjuk, a bels˝o f¨ uggv´eny injekt´ıv, ´es hat´ar´ert´eke a 0 helyen 0, ´ıgy ism´et alkalmazhat´o a KL2 t´etel. x u 24. Ha c pozit´ıv ´ es u val´ os sz´ am, akkor limx!u cx cu = cu · ln c.
Bizony´ıt´ as. Ism´et a KL2 t´etelt alkalmazzuk: ez´ uttal az el˝oz˝o ´all´ıt´asban szerepl˝o f¨ uggv´eny legyen a k¨ uls˝o f¨ uggv´eny ´es az x 7→ x − u f¨ uggv´eny a bels˝o f¨ uggv´eny, v´eg¨ ul szorozzuk meg a kompoz´ıci´ot a cu sz´ammal. 25. limu (xc −uc )/(x−u) = c·uc 1 , ha A) c = 0, vagy B) u > 0, vagy C) u = 0 ´ es c ≥ 1, vagy D) u < 0 ´ es c el˝ o´ all egy eg´ esz ´ es egy p´ aratlan pozit´ıv eg´ esz h´ anyadosak´ ent. Bizony´ıt´ as. A) Az azonosan nulla f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke nulla. B) Most m´ar feltehet˝o, hogy c 6= 0, ekkor minden u-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pozit´ıv x eset´en ec ln x − ec ln u ln x − ln u x c − uc =c· · . x−u c ln x − c ln u x−u A m´asodik t¨ort hat´ar´ert´eke FH22 szerint 1/u, az els˝o´e pedig FH24 ´es KL2 szerint ec ln u = uc . C) c = 1: konstans f¨ uggv´eny, c > 1: l´asd FH4-t. D) A c ´es a c − 1 kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´enyek k¨oz¨ ul az egyik p´aros, a m´asik p´aratlan, ez alapj´an az ´all´ıt´as visszavezethet˝o az u > 0 esetre. 6
26. Legyen H ⊂ R, u ∈ H 0 , f : H → R+ , g : H → R, ´ es tegy¨ uk fel, hogy l´ etezik a limu f =: A ´ es a limu g =: K hat´ ar´ ert´ ek. Ekkor a H halmazon ´ ertelmezett x 7→ (f (x))g(x) f¨ uggv´ eny hat´ ar´ ert´ eke az u helyen egyenl˝ o AK -val, ha (A, K) ∈ R+ × R, egyenl˝ o 0-val, ha az (A, K) p´ ar a ([0, 1) × {+∞}) ∪ ({0} × R+ ) ∪ ((1, +∞] × {−∞}) ∪ ({+∞} × (−∞, 0)) halmazban van, ´ es egyenl˝ o +∞-nel, ha az (A, K) p´ ar az ((1, +∞] × {+∞}) ∪ ({+∞} × R+ ) ∪ ([0, 1) × {−∞}) ∪ ({0} × (−∞, 0)) halmazban van. Bizony´ıt´ as. Minden x ∈ H eset´en (f (x))g(x) = eg(x)·ln(f (x)) . Ha A pozit´ıv sz´am ´es K val´os sz´am, akkor a KL1 t´etelt alkalmazhatjuk, ´espedig k´etszer: el˝osz¨or az ln ◦f kompoz´ıci´ora, m´asodszor az exp k¨ uls˝o ´es a g · (ln ◦f ) bels˝o f¨ uggv´eny kompoz´ıci´oj´ara. A tov´abbi ´all´ıt´asok olyan esetekre vonatkoznak, amikor a kitev˝o hat´ar´ert´eke −∞, illetve +∞, ekkor a KL2 t´etel alkalmazhat´o. A r´eszletek v´egiggondol´as´at a Kedves Olvas´ora b´ızzuk. 27. Legyen H ⊂ R, u ∈ H 0 , f : H → R+ , g : H → R, limu f = 1, v´ eg¨ ul tegy¨ uk fel, hogy l´ etezik a limx!u (f (x) − 1)g(x) =: β hat´ ar´ ert´ ek. Ekkor 0, ha β = −∞, g (x) e , ha β ∈ R, lim (f (x)) = lim exp = x!u +∞, ha β = +∞. Bizony´ıt´ as. Az FH21 ´all´ıt´assal egyen´ert´ek˝ u az, hogy limt→1 (ln t)/(t − 1) = 1, az ut´obbival pedig az, hogy (l´asd a hat´ar´ert´ek ´es folytonoss´ag kapcsolatair´ol sz´ol´o egyik t´etelt) az ln t , ha t ∈ R+ \ {1}, F (t) := t−1 1, ha t = 1 utas´ıt´assal ´ertelmezett F : R+ → R f¨ uggv´eny folytonos az 1 helyen. F defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy minden x ∈ H eset´en ln f (x) = (f (x) − 1) F (f (x)), ez´ert (f (x))g(x) = e[g(x)(f (x)−1)]·F (f (x)) . A t´etel egyik felt´etele szerint a sz¨ogletes z´ar´ojelek k¨oz¨ott l´ev˝o els˝o t´enyez˝o hat´ar´ert´eke β, a KL1 t´etel szerint a m´asodik t´enyez˝o hat´ar´ert´eke 1, ´ıgy a kitev˝o hat´ar´ert´eke β. Innen β ∈ R eset´en a KL1, β ∈ / R eset´en KL2 t´etel alapj´an ´all´ıthatjuk, hogy a vizsg´alt f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke megegyezik az exponenci´alis f¨ uggv´enynek a β helyen vett hat´ar´ert´ek´evel. 28. Legyenek a1 , a2 ,...,am pozit´ıv sz´ amok (m > 1 eg´ esz), ekkor à lim
x!0
!1 m x X 1 √ = m a1 · a2 · . . . · am . axk m k=1
Bizony´ıt´ as. Az el˝oz˝o ´all´ıt´as alkalmazhat´o (l´asd az FH23 hat´ar´ert´eket). 7
