RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA
Sumardyono, M.Pd.
Topik luas bangun datar telah dipelajari sejak di Sekolah Dasar hingga SMA. Bila di SD, dipelajari luas segitiga dan beberapa bangun segiempat maka di SMP dipelajari lebih lanjut mengenai beberapa luas segiempat, sementara di SMA dipelajari luas sebarang bangun datar asalkan diketahui persamaan kurvanya lewat penggunaan prinsip dan aturan kalkulus. Dalam artikel sederhana ini, akan dibahas mengenai luas segitiga dan luas segiempat talibusur. Apa yang dimaksud segibanyak tali busur? Segibanyak atau poligon disebut segibanyak tali busur bila semua titik sudut segibanyak tsb dapat ditempatkan pada sebuah lingkaran. Dengan kata lain, sisi-sisi segibanyak tsb dapat menjadi tali busur-tali busur sebuah lingkaran. Oleh karena itulah mengapa disebut segibanyak “tali busur”. Berikut contoh beberapa segibanyak tali busur.
Bagaimana dengan segitiga? Mudah dipahami bahwa semua segitiga merupakan segitiga tali busur. Dengan teorema “sebarang tiga titik berbeda menentukan tepat sebuah lingkaran” maka hal tersebut dapat dibuktikan. Salah satu hal menarik pada segitiga (tali busur) dan segiempat tali busur terletak pada rumus luasnya. Bila di SD, dikenal frasa “alas kali tinggi” sehingga masih menggunakan ukuran tinggi maka di SMA sudah dikenal dikenal rumus yang hanya menggunakan sisi-sisi segibanyak.
Untuk segitiga, rumus luas yang hanya menggunakan sisi-sisi segitiga dikenal dengan nama “rumus Heron”. Bila segitiga sembarang ABC memiliki panjang sisi a, b, dan c, maka luas segitiga tersebut dapat dinyatakan dengan rumus L =
s ( s − a )( s − b)( s − c) , di mana s = ½
( a + b + c ) disebut semiperimeter. Bukti : L = ½ c.ta
dengan ta = tinggi segitiga dari titik sudut A.
= ½ c.b.sin A = ½ c.b.
1− cos 2 A
2
4.L = b2.c2 ( 1 − cos2A ), dengan Aturan Kosinus maka
(b 2 + c 2 − a 2 ) 2 4 2 2 2 2 16.L = (2bc) − ( b + c − a2 )2 = b2.c2 −
= = = = = 2 L = L =
,
( 2bc + b2 + c2 − a2 ).( 2bc − b2 − c2 + a2 ) ( ( b + c )2 − a2 ).( a2 − (b − c)2 ) ( b + c + a ). ( b + c − a ). ( a + b − c ). ( a − b + c ) (2s). 2 (s − a). 2(s − b). 2(s − c) 16. s(s − a) (s − b) (s − c) s (s − a) (s − b) (s − c) ( terbukti )
s ( s − a )( s − b)( s − c)
Contoh penggunaan. Segitiga PQR dengan panjang sisi-sisi p = 5 m, q = 7 m dan r = 8 m, maka luas PQR dapat dihitung sebagai berikut. s = ½ (5 + 7 + 8) = 10 L=
s ( s − p )( s − q )( s − r ) =
10(5)(3)( 2) = 10 3
Jadi, luas segitiga PQR adalah 10 3 m2. Walaupun dikenal dengan rumus Heron, namun menurut Al-Biruni (973-1048) rumus tersebut telah dikenal oleh Archimedes (225 SM) jauh sebelum Heron (150 – 250 M) menggunakannya. Dari Heron sendiri diketahui dari bukunya, “Metrica” (sekitar 60 M). Heron (10 – 75 M)
Rumus serupa yang hanya menggunakan sisi-sisi segibanyak terdapat pula untuk rumus luas segiempat tali busur. Rumus ini dikenal dengan nama rumus Brahmagupta. Bila diketahui sisi-sisinya a, b, c, dan d dengan semiperimeter s = ½ (a + b + c + d) maka luas dapat dinyatakan dengan: L
=
( s − a )( s − b )( s − c)( s − d )
C c
D
b B
d a A Bukti dapat ditunjukkan sebagai berikut:
LABCD = LDBC + LDAB = ½ bc.sin C + ½ ad.sin A
= ½ bc.sin A + ½ ad.sin A , ∠ A + ∠ C = 180o = ½ (bc + ad). sin A = (bc + ad). sin ½ A. cos ½ A. Selanjutnya, dalam ∆ DBC : (DB)2 2 bc cos C − 2 bc cos A 2 bc cos A
..........
= b2 + c2 – 2 bc cos C = b2 + c2 − (DB)2 = b2 + c2 − (DB)2 = (DB)2 − b2 − c2 …….. (ii)
Dengan cara yang sama pada ∆ DAB : 2 ad cos A = a2 + d2 − (DB)2 ….... (iii) Persamaan ( ii ) + ( iii ) :
(i)
2 (ad + bc) cos A = a2 + d2 − b2 − c2 cos A =
a2 + d 2 − b2 − c2 2(ad + bc)
Lalu diperoleh: 1 + cos A = 1 +
a2 + d 2 − b2 − c2 2(ad + bc)
⇔ 2 cos ½A =
( a + d ) 2 − (b − c ) 2 2(ad + bc)
⇔ cos ½ A =
( s − b )(s − c) ad + bc
1 − cos A = 1 −
a2 + d 2 − b2 − c2 2(ad + bc)
2
............ (iv)
Juga
⇔ 2 sin ½ A =
(b + c ) 2 − ( a − d ) 2 2(ad + bc)
⇔ sin ½ A =
( s − a )(s − d ) ad + bc
2
........... (v)
Dengan (iv) dan (v) maka (i) menjadi LABCD = (bc + ad). sin ½ A. cos ½ A. ( s − a )(s − d ) . ad + bc
( s − b )(s − c) ad + bc
( s − a )(s − b )(s − c)(s − d )
( terbukti )
= (bc + ad). =
Tampak bahwa rumus Brahmagupta dapat dianggap sebagai perluasan rumus Heron. Jika pada segiempat tali busur ABCD panjang CD = 0, maka rumus Brahmagupta menjadi rumus Heron. Rumus tsb terdapat dalam buku karya Brahmagupta, Brahmasphutasiddhanta (sekitar 628 M).
Brahmagupta (598-670 M)
Contoh penggunaan. Segiempat ABCD dengan AB = 7 m, BC = 15 m, CD = 20 m dan DA = 24 m, maka luas ABCD dapat dihitung sebagai berikut. Pertama-tama, harus ditunjukkan bahwa segiempat ABCD merupakan segiempat tali busur. B
A 7
15 24
C 20
D Diperoleh BD2 = 7 2 + 24 2 = 25 juga BD2 = 15 2 + 20 2 = 25 Sehingga jelas bahwa segiempat ABCD merupakan segiempat tali busur, dengan diameter lingkaran luarnya adalah 25 m. Dengan demikian luas segiempat ABCD dapat dihitung menggunakan rumus Brahmagupta sebagai berikut s = ½ (7 + 15 + 20 + 24) = 33 L=
( s − a )(s − b)(s − c)(s − d ) =
(26)(18)(13)(9) = 234
Jadi, luas segitiga PQR adalah 234 m2.
Daftar Pustaka/bacaan
Indianetzone. 2011. Indian mathematics. dari http://www.indianetzone.com/43/indian_mathematics.htm (diakses 30 oktober 2012)
J
J O'Connor and E F Robertson.1999. Heron. dari http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron.html (diakses 30 oktober 2012)
J
J O'Connor and E F Robertson.2000. Brahmagupta. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Brahmagupta.html (diakses 30 oktober 2012)
dari
Weisstein, Eric W. 2012. "Brahmagupta's Formula." dari MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptasFormula.html (diakses 30 oktober 2012) Weisstein, Eric W. 2012. "Heron's Formula." dari MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html (diakses 30 oktober 2012) Wikipedia. 2012. Brahmagupta`s Formula. dari http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%27s_formula (akses 30 oktober 2012) Wikipedia. 2012. Heron`s Formula. dari http://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula (akses 30 oktober 2012)
