Rugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása III. rész

Rugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása – III. rész Bevezetés Az előző két részben olyan típusú feladatokkal foglalkoztunk, ahol az aktív külső erők és a rugalmas megtámasztó elemek által a merev testre kifejtett reakcióerők a test egy jellemző egyenesére, ill. síkjára merőlegesen működtek. Most egy olyan tipikus feladatot veszünk elő, melyre az jellemző, hogy a testre ható erők a test egy jellemző síkjában, esetleg ezzel párhuzamosan működnek. A probléma vizsgálatához felhasználjuk az [ 1 ], [ 2 ] szakirodalmi forrásokat is.

Síkjában terhelt csavar-, ill. szegecskép erőjátéka A továbbiakban feltesszük, hogy a pontszerűen működő támasztó elemek rugómerevsége rugónként eltérő lehet, azonban egy rugalmas támasztó elem a sík minden irányában ugyanakkor rugómerevséget mutat. Ez azt jelenti, hogy e modell jó közelítés lehet csavarozott, ill. szegecselt fémkötések számítására, azonban egy szegkép esetében már lényeges hibák forrása lehet a szegeket megtámasztó faanyagok anizotrop viselkedése. Ha ettől eltekintünk, akkor szegezett kötések közelítő vizsgálata is szóba jöhet. A teherviselő kapcsolatot az 1. ábrán szemléltetjük. A kék színű merev lemezt egy aljzatra erősítettük, csapok segítségével. A lemezt az adott „A” pontban egy F külső / aktív erő terheli. Ez az erő lehet egy tetszőleges ( xy ) síkbeli erőrendszer eredője is. A külső / aktív erőt a Pj pontokban működő Rj reakciók erőrendszere egyensúlyozza, ahol j = 1,…, m. A feladat: az Rj - k meghatározása. A csap - pontok megadása az ( Oxy ) koordináta - rendszerben történik, melyet tetszőlegesen vettünk fel. 1. ábra A külső F erő a kék lemezt olyan merevtest - szerű mozgásra kényszeríti, amilyet a rugalmas támasztó elemek megengednek. Ez a mozgás összetehető egy síkbeli eltolódásból és egy a síkra merőleges tengely körüli elfordulásból.

2

Mindkét mozgás - fajtához tartozik egy - egy reakcióerő - rendszer, melyek összege adja a keresett végeredményt. Tehát a feladat megoldását a szuperpozíció elvére alapozzuk. Most tekintsük a 2. ábrát! Itt bevezettük azt az ( O*x’y’z’) új koordináta - rendszert, melynek O* kezdőpontján átmenő z’ tengelye körül történik a merev lemez forgása. A 2. ábrán szemléltettük az F erő O*ra redukálását is. Az ekkor fellépő erőpár nyomatéka: F M O*  Fy   x A  x *  Fx   y A  y *,

(1) ahol Fx  F  cos  ,

Fy  F  sin .

(2)

2. ábra A most már az O* pontban működőnek képzelt F erő a merev lemezt az eredeti helyF zetével párhuzamos eltolódásra, az M O* forgatónyomaték pedig z’ körüli elfordulásra készteti. Az O* forgáspont ( x* , y* ) koordinátái egyelőre még ismeretlenek. Először: az eltolódáshoz tartozó RjF rész - erőrendszert határozzuk meg. Ehhez tekintsük a 3. ábrát! Az első reakció - erőrendszer jellemzése:

R Fj  b j  U,

(3)

ahol bj: a j - edik rugó merevségi tényezője; U: a párhuzamos eltolódás vektora. Az erők egyensúlyi egyenlete: m

F   R Fj  0; j1

(4)

Figyelembe véve, hogy

F  F  e, U  U  e,

a ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) képletekkel: 3. ábra

(5) (6)

3 m

F  e   b j  U  e  0.

(7)

j1

Tovább alakítva: m

F  e  U  e  b j  0; majd j1

m   F  U   b j  e  0  e, innen  j1

m

F  U   b j  0,

ahonnan

j1

U

F

.

m

b

(8)

j

j1

Most a ( 3 ), ( 6 ), ( 8 ) képletekkel is:

R Fj  b j  U  b j  U  e  b j 

F m

 bj

e  bj 

j1

R Fj  b j 

F m

 bj

F m

 bj

 e  R Fj  e,

tehát

j1

.

(9)

j1

Az x - tengely menti összetevő előjeles nagysága, ( 2 ) és ( 9 ) felhasználásával:

R Fj,x  R Fj  i  R Fj  e i  R Fj  e  i    R Fj  cos   

bj m

b j1

R Fj,x  Fx 

bj m

 bj

.

 F  cos    Fx  j

bj

; tehát

m

b

j

j1

( 10 )

j1

Hasonlóan:

R Fj,y  Fy 

bj

.

m

b j1

j

( 11 )

4

Másodszor: az elforduláshoz tartozó RjM rész - erőrendszert határozzuk meg. Ehhez tekintsük a 4. ábrát!

4. ábra A második reakció - erőrendszer jellemzése:

R Mj  b j  Vj ,

( 12 )

ahol Vj: a j - edik csap elfordulásból származó elmozdulásának vektora. Kifejezése:

Vj  φ × ρ j ,

( 13 )

ahol φ : a merev lemez kis elfordulásának vektora, melyre

φ   k ,

( 14 )

továbbá

ρ j   j,x  i   j,y  j,

( 15 )

ahol

 j,x  x j  x*,

 j,y  y j  y *.

( 16 )

Most ( 13 (, ( 14 ), ( 15 ) - tel:

Vj  φ × ρ j    k ×  j,x  i   j,y  j     j,x  k × i      j,y  k × j      j,x  j     j,y  i     j,y  i     j,x  j, tehát

Vj     j,y  i     j,x  j. Most ( 12 ) és ( 17 ) szerint:

( 17 )

5

R Mj  b j  Vj  b j   j,y  i   j,x  j  b j  j,y  i  b j  j,x  j. ( 18 ) Minthogy

R Mj  R Mj,x  R Mj,y ,

( 19 )

ezért ( 18 ), ( 19 ) - ből:

R Mj,x  b j     j,y  i, vagyis R Mj,x  b j     j,y ,

( 20 )

majd

R Mj,y  b j    j,x  j, vagyis R Mj,y  b j   j,x .

( 21 )

Most határozzuk meg a  elfordulási szöget! A forgatónyomatékok egyensúlyi egyenlete: R M FO* + M O* = 0,

( 22 )

ahol F F M O*  M O*  k,

( 23 )

m

M

R O*

  ρj × RM j .

( 24 )

j1

Most a ( 15 ), ( 18 ) és ( 24 ) képletekkel: m

R M O*    j,x  i   j,y  j × b j     j,y  i  b j     j,x  j  j1 m

   b j     j,x   j,y  i × i    b j     2j,y   j× i    b j     2j,x  i × j  b j    j,x   j,y   j× j ; j1

rendezve: M

R O*

m

m

m

j1

j1

j1

  b j     2j,y  k  b j     2j,x  k    k    b j   2j,x   2j,y     k   b j   2j ,  

tehát

M

R O*

m        b j   2j   k.   j1

Most ( 22 ), ( 23 ), ( 25 ) - tel:

M

F O*

M

amiből

R O*

m m    F  2 2     M  k     b j   j  k   M O*     b j   j  k  0,     j1 j1 F O*

( 25 )

6 m

M    b j   2j  0, innen pedig F O*

j1

F M O*



m

 b j  2j

.

( 26 )

j1

Most ( 16 ), ( 20 ) és ( 26 ) - tal:

R

 b j     y   b j   y 

M j,x

M FO* m

 b j  2j

 b j  y  b j 

j1

R

M j,x

 bj 

F MO* m

 b j  2j

M FO* m

 b j  2j

  y j  y * ,

tehát

j1

  y j  y *.

( 27 )

j1

Majd ( 16 ), ( 21 ) és ( 26 ) - tal:

R

M j,y

 b j     x  

M FO* m

 b j   2j

b j  x  

j1

R

M j,y



M FO* j

m

 b j   2j

b j   x j  x * ,

tehát

j1

b j   x j  x *.

m

b  

M FO*

( 28 )

2 j

j1

Alkalmazva a szuperpozíció elvét:

F F M M R j  R Fj  R M j   R j,x  R j,y    R j,x  R j,y   F M F M F M  R Fj,x  R M j,x    R j,y  R j,y    R j,x  R j,x   i   R j,y  R j,y   j,

( 29 )

innen

R j,x  R Fj,x  R Mj,x ,

R j,y  R Fj,y  R Mj,y .

( 30 )

Most a ( 10 ), ( 27 ), ( 30 ) képletekkel:

R j,x  Fx 

bj m

 bj j1

 bj 

F M O*

  y j  y *;

m

 bj   j1

2 j

( 31 )

7

Majd a ( 11 ), ( 28 ), ( 30 ) képletekkel:

R j,y  Fy 

bj m

 bj j1



M FO*

 b j   x j  x *.

m

 bj  

( 32 )

2 j

j1

A reakcióerők nagysága, Pitagorász tételével:

Rj 

R j,x   R j,y  2

2

( 33 )

Ezután ( 31 ), ( 32 ), ( 33 ) - mal:         F    bj b  M FO* M  j O* R j  Fx  m  bj  m   y j  y *  Fy  m  m  b j   x j  x * ;     bj b j   2j b j  b j   2j            j1 j1 j1 j1 2

2

átalakítva:

  2      F F   F  F  M M R j  b j   m x  m O*   y j  y *   m y  m O*  x j  x *     2 2  b b   b b       j  j j   j  j j   j1   j1 j1 j1  j

2

( 34 ) A reakcióerők irányszögére:

R j,x

cos  j 

Rj

;

sin j 

R j,y Rj

.

(35 )

Majd ( 34 ), ( 35 ) - tel:

Fx  cos  j 

bj

 bj 

m

b j1

j

M FO*

  y j  y *

m

b   j

2 j

j1

        F   F F  F  M M b j   m x  m O*   y j  y *   m y  m O*  x j  x *     2 2    b j  b j   j    b j  b j   j  j1   j1  j1 j1

átalakítva:

2

2

;

8

Fx

F M O*



m

b b   j

cos  j  

j

j1

  y j  y *

m

2 j

j1

        F   F F  F  M M  m x  m O*   y j  y *   m y  m O*   x j  x *     2 2    b j  b j   j    b j  b j   j  j1   j1  j1 j1 2

2

;

( 36 ) ezután

Fy 

bj



m

F MO*

b b   j

sin j 

j

j1

 b j   x j  x *

m

2 j

j1

        F F   F  F  M M b j   m x  m O*   y j  y *   m y  m O*  x j  x *     2 2 b b   b b         j j j j j j    j1   j1  j1 j1 2

2

;

átalakítva:

Fy



m

sin j  

b j1

j

F M O*

  x j  x *

m

b   j

2 j

j1

        F F   F  F   M M  m x  m O*   y j  y *   m y  m O*  x j  x *     2 2    b j  b j   j    b j  b j   j  j1   j1  j1 j1 2

2

.

( 37 )

Adósok vagyunk még az x*, y* koordináták meghatározásával. E célból írjuk fel a vetületi egyensúlyi egyenleteket, még egyszer! Az x tengelyre vett vetületekre:

Fx  R j,x  0; ( 31 ) és ( 38 ) - cal:

( 38 )

9

    F m  b  M Fx   Fx  m j  b j  m O*   y j  y *  0;  j1   bj b j   2j      j1 j1 elvégezve a kijelölt összegzést: m

Fx  Fx 

b

j

j1 m

 bj



j1

M FO*

m

m

 b j   2j

  b j  y j  y *  0, j1

ahonnan

j1

m

 b  y  y *  0. j

j

j1

Kifejtve: m

b y j

y* 

j

j1 m

.

 bj

( 39 )

j1

Az y tengelyre vett vetületekre: m

Fy   R j,y  0;

( 40 )

j1

( 32 ) és ( 38 ) - cal:

    F m  b  M Fy   Fy  m j  m O*  b j   x j  x *  0;  j1   b j  b j   2j     j1 j1 elvégezve a kijelölt összegzést: m

Fy  Fy 

b

j

j1 m



F M O* m

b b   j

j1

ahonnan

m

j

j1

2 j

  b j   x j  x *  0, j1

10 m

 b x j

j

 x *  0.

j1

Kifejtve: m

b x j

x* 

j

j1 m

.

 bj

( 41 )

j1

Vizsgáljuk meg eredményeink alakulását a

bj  b

( 42 )

speciális esetben, vagyis amikor minden rugó merevsége ugyanakkora! ~ A merevségi középpont koordinátái, ( 39 ) és ( 41 ) szerint: m

b x j

xs* 

m

j1 m



m

b

b  x j

j

j1



b  1

j

j1

m

x j1

m

j

,

tehát

j1

b j b

m

xs * 

x

j

j1

m

.

( 43 )

.

( 44 )

Hasonlóan: m

ys * 

y

j

j1

m

~ A reakcióerők komponensei: először ( 31 ) és ( 42 ) - vel:

s

R j,x  Fx 

bj

 bj 

m

b

j

j1

b  Fx   b b m

F M O*

  y j  y *

m

b   j

j1



2 j b j b

M Fs O*

M Fs O* Fx   y j  ys *    m   y j  ys * , m m 2 2 b  sj  sj j1

j1

11

tehát

M Fs O* Fx  m   y j  ys * , s R j,x   m  s 2j

( 45 )

j1

ahol

MFs O*  Fy  x A  x s *  Fx   yA  ys *, m



( 46 )

2 2     x j  x s * +  y j  ys * .  j1  m

2 s j

j1

( 47 )

Másodszor: ( 32 ) és ( 42 ) - vel:

s

R j,y  Fy 

bj



m

F M O*

b b   j

j

j1

 b j   x j  x *

m



2 j

j1

Fy m



b j b

M Fs O* m



s



  x j  x s * , 2 j

j1

tehát s

R j,y  

Fy m



M Fs O* m



s

 2j

  x j  x s *.

( 48 )

j1

Az 5. ábrán a fenti speciális esetre mutatjuk meg a reakció részerőrendszerek összegzésének módját, ami az ismert paralelogramma - szabály szerinti. Az ábrabeli szerkesztés eredménye jóval könnyebben áttekinthető, mint a képletekkel adódó számításoké. Megjegyzések: M1. Az itteni esetben rugómerevségeknek pl. az egyes csapok nyírómerevségei választhatók:

b j  G  A j . 5. ábra

12

Itt:

G j : a j - edik csap anyagának csúsztató rugalmassági modulusa; A j : a j - edik csap keresztmetszeti területe. M2. A fentiekben az Rj reakcióerő a j - edik támasztócsap által a merev lemezre kifejtett erőt jelentette. A támasztócsapra ennek ellentettje működik, mely a csap méretezéséhez fontos adat. M3. A rugalmas támaszt megjelenítő rugók viselkedésének tanulmányozásához ajánlható a [ 3 ] mű is, ahol a szerző viszonylag részletesen tárgyalja a helyettesítő rugók elméletét.

Irodalomjegyzék:

[ 1 ] – Heinz Neuber: Technische Mechanik I. Statik II. Elastostatik und Festigkeitslehre Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1971. [ 2 ] – N. V. Butenin ~ Ja. L. Lunc ~ D. R. Merkin: Kursz teoreticseszkoj mehaniki Tom I.: Sztatika i kinematika Moszkva, Nauka, 1979. [ 3 ] – Sigurd Falk: Műszaki mechanika III. kötet: A rugalmas test mechanikája Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972.

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár

Sződliget, 2009. január 12.