Reichardt András okt. 13 nov. 8

P´eld´ak ´es feladatok a H´ al´ ozatok ´ es rendszerek anal´ızise 2. t´argyhoz Reichardt Andr´as 2003. okt. 13 – nov. 8.

1. fejezet

Komplex frekvenciatartom´ anybeli anal´ızis Az al´abbiakban a komplex frekvenciatartom´anyban t¨orten˝ o h´ al´ozat anal´ızishoz vannak p´eld´ ak ´es gyakorl´ o feladatok.

1.1.

Laplace-transzform´ aci´ o

A Laplace-transzform´ aci´ o defin´ıci´ oja : F (s) =

Z

∞

f (t) e−st dt

(1.1.1)

−0

1.1.1.

P´ elda feladatok

1. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi jel Laplace-transzform´ altj´ at! L {ε(t)} =? A defin´ıci´ os integr´ al k¨ozvetlen alkalmaz´ as´ aval kapjuk  −st ∞ Z ∞ Z ∞ e 1 0 − (1) −st −st e dt = ε(t)e dt = F (s) = L {ε(t)} = = = −s 0 −s s 0 −0 2. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi jel Laplace-transzform´ altj´ at!  L e−αt ε(t) =?

Alkalmazzuk az (1.1.1) defin´ıci´ os integr´ alt : #∞ " Z ∞ 1−0 1 e−(s+α)t −αt−st = e dt = = −(s + α) s + α s + α −0 −0

2

(1.1.2)

´ O ´ 1.1. LAPLACE-TRANSZFORMACI

3

3. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi jel Laplace-transzform´ altj´ at!  L f (t)e−αt =?

Az el˝oz˝o feladat gondolatmenete alapj´an haladva a defin´ıci´os integr´ al kifejez´es´ere kapjuk Z ∞ Z ∞ −αt −st f (t)e−ξt dt = F (ξ) = F (s + α) f (t)e e dt = −0

−0

4. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi jel Laplace-transzform´ altj´ at! L {f (t − T )ε(t − T )} =? Az argumentumban l´ev˝o t − T alapj´an az integr´ aci´os v´altoz´oban t → ξ = (t − T ) transzform´aci´ ot hajtjuk v´egre, akkor a

Z

∞ −0

−st

ε(t − T )f (t − T )e

dt =

Z

∞ T −0

−s(t−T +T )

f (t − T )e

−sT

dt = e

·

Z

∞

f (ξ)e−sξ dξ = e−sT F (s)

−0

ahol F (s) = L {f (t)} jelenti az f (t) jel Laplace-transzform´ altj´at. 5. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi jel Laplace-transzform´ altj´ at! n o L e−α(t−T ) ε(t − T ) =?

Felhaszn´alva az el˝ oz˝ o p´elda eredm´eny´et (id˝ oben eltolt jel Laplace-transzform´ altj´anak kifejez´ese L

n o  e−sT e−α(t−T ) ε(t − T ) = e−sT · L e−α = s+α

6. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi jel Laplace-transzform´ altj´ at!  L e−αt ε(t − T ) =?

Az id˝ oben eltolt jel Laplace-transzform´ altj´ara vonatkoz´o t´etel alkalmaz´ as´ ahoz a megfelel˝o alakra kell hozni a transzfolm´ aland´ o jelet. Ez´ert e−αt = e−α(t−T +T ) m˝ uveletet v´egezz¨ uk el. ´Igy kapjuk a transzform´alt ´ert´ek´ere o o n n  e−sT L e−αt ε(t − T ) = L eα(t−T +T ) = e−αT L e−α(t−T ) = e−αT · s+α 7. Hat´ arozzuk meg az al´ abbi jel Laplace-transzform´ altj´ at! L {f (t)} =?

4

´ KOMPLEX FREKVENCIATARTOMANYBELI ANAL´IZIS

FEJEZET 1. ha a jel

  0 f (t) = t/T   1

t<0 0
Az (1.1.1) defin´ıci´ os integr´ alt szakaszonk´enti sz´ am´ıt´assal kapjuk meg. L {f (t)} =

Z

T

te−st dt +

0

Z

∞

e−st dt

T

A m´ asodik integr´ al sz´ am´ıt´ asa egyszer˝ ubb : Z

∞

T

−st

e

e−st dt = −s 

∞

=

T

e−sT − 0 s

Az els˝ o integr´ alt parci´ alis integr´ al´ assal sz´ am´ıtjuk ki, alkalmazva (12) ¨osszef¨ ugg´est. Ha f = t ´es ′ −st ′ −st g =e akkor f = 1 ´es g = e /(−s) Z

T

−st

te 0

te−st dt = −s 

T 0

−

Z

T 0

 −st T e e−st T e−sT e−sT − 1 + sT e−sT dt = − − = − −s s s2 0 s2

A r´eszintegr´ alokat ¨ osszeadva kapjuk a teljes integr´ al ´ert´ek´et : F (s) = L {f (t)} =

se−sT + 1 − e−sT − sT e−sT 1 − e−sT (1 − s + sT ) = s2 s2

Megjegyz´es : Mi t¨ ort´enik, ha T ´ert´ek´et minden hat´ aron t´ ul n¨ ovelj¨ uk? −sT Ebben az esetben limT →∞ (1 − s + sT )e = 0 ´es limT →∞ F (s) =

1 s2

ami az el˝ozetes v´arakoz´ asnak megfelel, mert limT →∞ f (t) = tε(t). 8. Hat´ arozzuk meg az jel Laplace-transzform´ altj´ at, ha ( t/T 0
1 s + jω

´ O ´ 1.1. LAPLACE-TRANSZFORMACI

5

10. Hat´ arozzuk meg az f (t) = ejωt jel Laplace transzform´ altj´ at! Hasonl´oan az el˝ oz˝ o feladathoz, csak α = −jω helyettes´ıt´es sz¨ uks´eges  L ejωt =

1 s − jω

11. Hat´ arozzuk meg az f (t) = cos(ωt) ´ es az f (t) = sin(ωt) jelek Laplace transzform´ altj´ at! Az Euler-¨osszef¨ ugg´es cos(ωt) =

ejωt + e−jωt ejωt − e−jωt ´es sin(ωt) = 2 2j

felhaszn´ al´ as´ aval kapjuk cos(ωt)ε(t) Laplace-transzform´ altj´ara   1 1 s 1 s + jω + s − jω L {cos(ωt)} = + = 2 = 2 s − jω s + jω 2(s + jω)(s − jω) s + ω2 illetve sin(ωt)ε(t) Laplace-transzform´ altja   1 ω 1 s + jω − (s − jω) 1 − = 2 = L {sin(ωt)} = 2j s − jω s + jω 2j(s + jω)(s − jω) s + ω2 12. Hat´ arozzuk meg az f (t) = tε(t) jel Laplace-transzform´ altj´ at! A defin´ıci´ os integr´ al alkalmaz´ as´ aval Z ∞ te−st dt L {tε(t)} = −0

Az integr´ al kisz´am´ıt´ asa a parci´ alis integr´ al´as m´ odszer´evel a legk¨onnyebb : Z b Z b b ′ ′ ′ ′ (f ′ g) (f g ) = [f · g]a − (f · g) = f g + f g −→ a

(1.1.3)

a

V´alasszuk f ´es g v´altoz´ ot az al´ abbi m´ odon : f = t ´es g ′ = e−st . Ekkor f ′ = 1 ´es g = e−st /(−s) a k´et m´ asik v´altoz´ o. /Bel´athat´ o, hogy az ellenkez˝o v´alaszt´ as eset´en az kisz´am´ıtand´ o integr´ al nem egyszer˝ us¨ odik./ A Laplace-transzform´ alt :  ∞ Z ∞ −st  ∞ Z ∞ t · e−st e 1 e−st 1 0−1 −st te dt = 1 dt = 0 − 0 − − =− 2 = 2 −s −0 −s −s −s −0 s s −0 −0

1.1.2.

Gyakorl´ o feladatok - kit˝ uz¨ ott probl´ em´ ak

Esetleg nehezebb vagy t¨ obb sz´ amol´ ast ig´enyl˝o feladatok ker¨ ultek ide. 1. Sz´ am´ıtsa ki az al´ abbi jel Laplace-transzform´ altj´ at! f (t) = ε(t) t e−αt

6

FEJEZET 1.

´ KOMPLEX FREKVENCIATARTOMANYBELI ANAL´IZIS

2. Sz´ am´ıtsa ki az al´ abbi jel Laplace-transzform´ altj´ at! f (t) = ε(t) t2 3. Adjon ´ altal´ anos k´ epletet az al´ abbi jel Laplace-transzform´ alj´ ara! f (t) = ε(t) tn 4. Adja meg az al´ abbi 2T hosszus´ ag´ u jel Laplace-transzform´ altj´ at! f (t) = ε(t)(U0 +U0 e−αt ) −U0 ε(t −T )(2+e−αt +e−α(t−T ) ) +U0 ε(t −2T )(1+e−α(t−T ) ) Transzform´aljunk tagonk´ent, majd adjuk ¨ossze a kapott tagokat :    1 2s + α 1 −αt + = U0 L ε(t)(U0 + U0 e ) = U0 s s+α s(s + α)   n o 2 e−αT 1 s(3 + e−αT ) + α −αt −α(t−T ) −sT L U0 ε(t − T )(2 + e +e ) = U0 e + + = U0 e−sT s s+α s+α s(s + α)   n o e−αT s(1 + e−αT ) + α 1 + L U0 ε(t − 2T )(1 + e−α(t−T ) ) = U0 e−s2T = U0 e−s2T s s+α s(s + α) ¨ Osszeadva a tagokat : F (s) =


U0 2s − s(3 + e−αT )e−sT + s(1 + e−αT )e−s2T + α(1 − e−sT + e−s2T ) s(s + α)

Megjegyz´es : Az α param´eter ´ertelmez´ese alapj´an egy τ id˝ om´ert´ekegys´eg˝ u jellemz˝o rendelhet˝o −αt hozz´ a α = 1/τ m´ odon. Az e ε(t) exponenci´ alis f¨ uggv´eny ”megfelel˝o” m´ert´ekben 0-hoz k¨ozeli 3 τ id˝ o ut´ an (ekkor 5%-os az elt´er´ese 0-t´ol. Vizsg´aljuk meg mi t¨ort´enik, ha T > 5 · τ felt´etel teljes¨ ul? A Laplace-transzform´ altat ´ at´ırva τ megk¨ozel´ıt´es alapj´an (ξ = T /τ azaz T = ξ · τ ) α·T =

1 · ξτ = ξ τ

alkalmazva ezt F (s) =

  U0 2s − s(3 + e−ξ )e−sT + s(1 + e−ξ )e−s2T + α(1 − e−sT + e−s2T ) s(s + α)

´ O ´ 1.2. INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMACI

1.2.

7

Inverz Laplace-transzform´ aci´ o

1.2.1.

Elm´ eleti alap

Az inverz Laplace-transzform´ aci´ ora l´etezik egy ´altal´anos inverz k´eplet. Ennek haszn´alata, azonban nem egyszer˝ u. Az ”egyszer˝ u”, gyakorlatban el˝ofordul´ o esetekben azonban a r´eszlett¨ ortekre bont´ as m´ odszer´et ´es ´altal´ anos´ıt´ as´ at lehet egyszer˝ uen ´es hat´ekonyan alkalmazni. Mindenek el˝ ott tiszt´ azni kell, hogy az inverz Laplace-transzform´ aci´ o is line´ aris m˝ uvelet, azaz a szuperpoz´ıci´o elve ´erv´enyes r´ a. L −1 {aF (s) + bG(s)} = aL −1 {F (s)} + bL −1 {G(s)} = a · f (t) + b · g(t) ahol f (t) = L −1 {F (s)} ´es g(t) = L −1 {G(s)} a megfelel˝o inverz transzform´altak. ´ Altal´ anoss´agban racion´ alis t¨ ortf¨ uggv´enyek visszatranszform´al´as´ aval akad dolgunk. Ezek eset´eben el˝osz¨ or val´odi racion´ alis t¨ ortf¨ ugv´eny´e kell alak´ıtani a t¨ortf¨ uggv´enyt polinomoszt´as seg´ıts´eg´evel. ´Igy elmondhatjuk (hogy a gyakorlatban el˝ ofordul´ o esetekben) a kapott alak a k¨ovetkez˝o lesz : F (s) = A +

M (s) N (s)

(1.2.1)

ahol A konstans, M (s) ´es N (s) polinomok s-ben. M (s) = an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0 ´es N (s) = sn + bn−1 sn−1 + . . . + b1 s + b0

(1.2.2)

alapj´an a val´odi racion´ alis t¨ ortf¨ uggv´eny eset´en m < n. Az (1.2.1) egyenletb˝ ol a konstans visszatranszform´alva A · δ(t). A val´odi racion´ alis t¨ ortf¨ uggv´eny visszatranszform´al´as´ anak l´ep´esei : 1. Nevez˝o gy¨okeinek meghat´ aroz´ asa 2. R´eszlett¨ ortekre bont´ as 3. R´eszlett¨ ortek visszatranszform´al´ asa egyenk´ent A nevez˝o gy¨okeinek (a f¨ uggv´eny p´ olusainak) ismeret´eben lehet megmondani a r´eszl´ett¨ortekre bont´ashoz sz¨ uks´eges gy¨okt´enyez˝ os felbont´ ast. A p´ olusok az al´abbiak lehetnek (figyelembe v´eve, hogy val´os egy¨ utthat´ oj´ u n-ed fok´ u egyenlet megold´ as´ aval kapjuk) : 1. pi – Val´os, egyszeres gy¨ok

A s − pi

2. pi – Val´os, k-szoros gy¨ok k X Aj s − pi j=1

3. pi , pi+1 – Komplex, konjug´ alt gy¨okp´ar As + B (s − pi )(s − pi+1 )

8

FEJEZET 1.

1.2.2.

´ KOMPLEX FREKVENCIATARTOMANYBELI ANAL´IZIS

P´ elda feladatok

1. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot!   1 L −1 = ε(t) · e−a·t s+a

(1.2.3)

2. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot!   1 L −1 =? (s + a)(s + b) Tegy¨ uk fel, hogy a 6= b, akkor ( L −1

1 −a+b

s+a

+

1 −b+a

s+b

)

=

  1 ε(t) · e−at − e−bt b−a

Ha a = b akkor a k¨ovetkez˝ o feladatot kapjuk. 3. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot!   1 −1 L =? s2 + 2as + a2 A nevez˝o gy¨okei (p´ olusok ) : p1,2 = a. A k´et p´ olus egyenl˝ o ´es val´os ´ert´ek˝ u.     1 1 −1 −1 =L = ε(t)t · e−at L s2 + 2as + a2 (s + a)2

(1.2.4)

4. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot!     1 1 −1 −1 =L L = (s + α − jω0 )(s + α + jω0 ) s2 + 2αs + (α2 + ω02 ) A visszatrnaszform´aland´ o jel r´eszlett¨ ortekre bontott alakja : F (s) =

A2 A1 + s + α − jω0 s + α + jω0

Az egy¨ utthat´ ok kisz´am´ıthat´ oak a ”takargat´ asos m´ odszer” alkalmaz´ as´ aval. 1 1 1 −j A1 = = = = s + α + jω0 s=−α+jω0 −α + jω0 + α + jω0 2jω0 2ω0 1 1 j 1 = = = A2 = s + α − jω0 s=−α−jω0 −α − jω0 + α − jω0 −2jω0 2ω0     1 −αt jω0 t −1 αt −jω0 t e−αt ejω0 t e−jω0 t e−αt e e + e e − sin(ω0 t) f (t) = ε(t) = ε(t) = ε(t) 2jω0 2jω0 ω0 2j 2j ω0

´ O ´ 1.2. INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMACI

9

5. Adja meg az ´ altal´ anos alak´ u f¨ uggv´ eny inverz Laplace-transzform´ altj´ at! F (s) =

B s+C s2 + 2αs + (α2 + ω02 )

ahol

ω0 > 0

F (s) ´altal´ anos alakja : F (s) = Az egy¨ utthat´ ok : A1 =

A1 A2 + s + α − jω0 s + α + jω0

C − αB C − αB + jBω0 Bω0 − j(C − αB) B (−α + jω0 )B + C −j = = = −α + jω0 + α + jω0 2jω0 2ω0 2 2ω0

´es A2 =

C − αB −C + αB + jBω0 Bω0 + j(C − αB) B (−α − jω0 )B + C +j = = = −α − jω0 + α − jω0 2jω0 2ω0 2 2ω0

A sz´ am´ıt´as folyam´ an nem alkalmaztunk semmilyen megszor´ıt´ast, ez´ert a kapott eredm´enyb˝ol levonhatjuk az ´ altal´ anos k¨ovetkeztet´est, hogy az ilyen esetben ad´ od´ o egy¨ utthat´ ok egym´as komplex konjug´ altjai. Mindezt figyelembe v´eve az inverz transzform´altra kapjuk (γ = B/2 ´es ξ = (C − αB)/(2ω0 ) helyettes´ıt´esel) (γ − jξ)e−αt+jω0 t + (γ + jξ)e−αt−jω0 t = e−αt (γejω0 t + γe−jω0 t ) + innen


e−αt ξ jω0 t e − e−jω0 t j



B jω0 t e + e−jω0 t = B · cos(ω0 t) γ ejω0 t + e−jω0 t = 2
ξ ejω0 t − e−jω0 t C − αB ejω0 t − e−jω0 t C − αB = = · sin(ω0 t) j ω0 2j ω0

¨ Osszegezve az eredm´enyeket     C − αB B s+C −αt −1 = ε(t) e B · cos(ω0 t) + L · sin(ω0 t) ω0 s2 + 2αs + (α2 + ω02 )

(1.2.5)

6. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot!   s+3 =? L −1 s2 + 3s + 2 √

A p´ olusok : p1,2 = −3±2 9−8 = −3±1 olusok p1 = −1 ´es p2 = −2. ´Igy a r´eszlett¨ ortekre 2 . A p´ bont´as ´es a tagonk´enti inverz transzform´aci´o k¨onnyen elv´egezhet˝ o: ) (     −1+3 −2+3
2 −1 s+3 −1+2 −2+1 −1 −1 = L + + = L = ε(t) 2e−t − e−2t L −1 2 s + 3s + 2 s+1 s+2 s+1 s+2 (1.2.6)

10

FEJEZET 1.

´ KOMPLEX FREKVENCIATARTOMANYBELI ANAL´IZIS

7. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot! L

−1



s+2 2 s + 5s + 6



=?

√

−5 ± 1 25 − 24 = , azaz p1 = −2 ´es p2 = −3. L´ athat´ o, hogy a nevez˝ o 2 2 egyik gy¨oke ´es a nevez˝ o egyik gy¨oke azonosak −2, ez´ert ”kiejtik” egym´ast. ´Igy egy egyszer˝ ubb kifejez´est kell transzform´alni : A p´ olusok p1,2 =

−5 ±

L

−1



s+2 (s + 2)(s + 3)



=L

−1



1 s+3



= ε(t) e−3 t .

(1.2.7)

8. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot! L

−1



s2 + 2s + 3 s2 + 3s + 2



=?

Els˝o l´ep´esk´ent val´ odi racion´ alis t¨ ortf¨ uggv´eny´e kell alak´ıtani a kifejez´es´et, amelyet polinomoszt´ assal lehet el´erni. Ennek eredm´enyek´ent : s2 + 2s + 3 −s + 1 s−1 =1+ 2 =1− = 2 s + 3s + 2 s + 3s + 2 (s + 2)(s + 1) =1−

−2−1 −2+1

s+2

+

−1−1 −1+2

s+1

!

=1−



3 −2 + s+2 s+1



Innen az inverz transzform´alt :  2     2 3 −1 s + 2s + 3 −1 L − =L = δ(t) − ε(t) 3e−2t + ε(t) 2e−t 1− s2 + 3s + 2 s+2 s+1

(1.2.8)

(1.2.9)

9. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot! L

−1



s+2 s+1



=?

Elv´egezve a polinomoszt´ast : s+2 1 =1+ s+1 s+1 Ebb˝ol az inverz tramszform´alt :     1 −1 −1 s + 2 =L = δ(t) + ε(t) e−t 1+ L s+1 s+1

(1.2.10)

´ O ´ 1.2. INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMACI

11

10. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot!   2 s + 2s + 2 L −1 =? s2 + 2s + 1 A polinomoszt´as eredm´enye : 1

1

1 1 1 −1 s2 + 2s + 2 =1+ 2 =1+ = 1 + −1+2 + −2+1 = 1 + + 2 s + 2s + 1 s + 2s + 1 (s + 1)(s + 2) s+1 s+2 s+1 s+2 (1.2.11) Innen tagonk´ent k¨onnyen elv´egezhet˝ oen az inverz transzform´alt :  2    −1 1 −1 s + 2s + 2 −1 L + =L = δ(t) + ε(t) e−t − ε(t) e−2t (1.2.12) 1+ s2 + 2s + 1 s+1 s+2 11. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot!  −sT  −1 1 − e =? L s+1 Az e−sT tag id˝ oeltol´ ast jelent, ez´ert ezen tagok szerint kell sz´etszedni ´es tagonk´ent transzform´alni a tagokat, vigy´ azva az id˝ oeltol´ ast tartalmaz´ o tagokn´al az argumentumra.     e−sT 1 1 − e−sT − = L −1 = ε(t)e−t − ε(t − T ) e−(t−T ) (1.2.13) L −1 s+1 s+1 s+1 12. Adja meg az al´ abbi f¨ uggv´ eny inverz Laplace-transzform´ altj´ at! F (s) =

s − e−sT s+1

e−sT 1 e−sT s − =1− − s+1 s+1 s+1 s+1 innen tagonk´ent elv´egezve a transzform´aci´ot ut´ ana ¨osszegezve az eredm´enyt F (s) =

f (t) = δ(t) − ε(t)e−t − ε(t − T )e−(t−T ) 13. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot!   1 L −1 =? 2 s +1 √ A p´ olusok p1,2 = ± −1 = ±j, a nevez˝o gy¨okt´enyez˝os felbont´asa : s2 + 1 = (s + j)(s − j). Figyelembe v´eve ezt a r´eszlett¨ ortekre bontott alak a k¨ovetkez˝o : F (s) =

1 −j−j

s+j

+

1 j+j

s−j

=

1 1 1 1 + −2j s + j 2j s − j

12

FEJEZET 1.

´ KOMPLEX FREKVENCIATARTOMANYBELI ANAL´IZIS

Az inverz transzform´alt kifejez´ese  
1 jt 1 −1 e − e−j t = cos(t)ε(t) = L 2 s +1 2j Megjegyz´es : Ellen˝or´ızhetj¨ uk sz´ am´ıt´asunkat, ha ´eszrevessz¨ uk, hogy L {cos(ω0 t)} =

s2

ω0 + ω02

amib˝ ol ω0 = 1 alapj´an ´eppen a transzform´aland´ o komplex f¨ uggv´enyt kapjuk. Megjegyz´es : Alkalmazhat´ o lett volna az (1.2.5) ¨osszef¨ ugg´es is, α = 0, ω0 = 1, B = 0, C = 1 param´eterekkel. Ekkor kapjuk     1 1−0 −0 t L sin(1 · t) = ε(t) sin(t) = ε(t)e 0 · cos(1 · t) + s2 + 1 1 14. V´ egezze el az al´ abbi inverz Laplace-transzform´ aci´ ot!   1 −1 L =? s · (s + 1) R´eszlett¨ ortekre bont´ assal kapjuk 1

1

1 −1 1 = 0+1 + −1 = + s(s + 1) s s+1 s s+1 innen az id˝ otartom´ anmybeli jel f (t) = ε(t) − ε(t)e−t

´ O ´ 1.2. INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMACI

1.2.3.

13

Aj´ anlott feladatok az inverz Laplace-transzform´ aci´ o t´ emak¨ or´ eb˝ ol

Hat´ arozza meg az al´ abbi f¨ uggv´ enyek inverz Laplace-transzform´ altj´ at! i.

s−1

F (s) =

s(s + a)   0−1 −a−1 1 −1 1 + a F (s) = 0+a + −a = + s s+a a s s+a f (t) = ii.


ε(t) −1 + (1 + a)e−at a

F (s) = Ha a = b akkor F (s) = Ha a 6= b akkor

b a

s+b s(s + a)

1 −→ f (t) = ε(t) s b−a −a

1 F (s) = + = s s+a a f (t) = ε(t)

• Ha c = a 6= b akkor



s+1 s(s2

iv. F (s) =

b a−b + s s+a

b + (a − b)e−at a

iii. F (s) =



+ s + 1) s+c

(s + a)(s + b)

f (t) = L

−1



1 s+b



= ε(t)e−bt

f (t) = L

−1



1 s+a



= ε(t)e−at

• Ha c = b 6= a akkor

• Ha c 6= b ´es c 6= a akkor ha a = b then F (s) =

A2 A1 A1 (s + a) + A2 s+c + = = 2 2 (s + a) s + a (s + a) (s + a)2

14

´ KOMPLEX FREKVENCIATARTOMANYBELI ANAL´IZIS

FEJEZET 1. innen

A1 = 1 A1 a + A2 = c f (t) = L −1 ha a 6= b akkor

v.



c−a 1 + s + a (s + a)2 −a+c −a+b

vi.



A1 = 1 A2 = c − a

= ε(t)e−at + ε(t)(c − a)te−at

−b+c −b+a

  a−c c−b 1 F (s) = + = + s+a s+b a−b s+a s+b  ε(t)  f (t) = (a − c)e−at + (b − c)e−bt a−b 1 − e−sT

F (s) = F (s) =

)

(s + a)(s + b)

−e−sT

1/(b − a) −1/(b − a) e−sT /(b − a) e−sT /(b − a) 1 + = + − + (s + a)(s + b) (s + a)(s + b) s+a s+b s+a s+b     ε(t) ε(t) e−at − e−bt − e−a(t−T ) − e−b(t−T ) f (t) = b−a b−a F (s) =

s2 − e−sT · s

s2 + 3s + 2 e−sT s s2 − 2 F (s) = F1 (s) − F2 (s) = 2 s + 3s + 2 s + 3s + 2 3s + 2 3s + 2 −1 4 F1 (s) = 1 − 2 =1− =1− − s + 3s + 2 (s + 1)(s + 2) s+1 s+2   1 −1 + F2 (s) = e−sT s+1 s+2

f (t) = δ(t) + ε(t)e−t − 4ε(t)e−2t + ε(t − T )e−(t−T ) − ε(t − T )e−2(t−T ) vii. F (s) =

ω0 (1 − e−sT /2 ) (1 − e−sT )(ω02 + s2 )

Vegy¨ uk ´eszre, hogy a nevez˝ oben l´ev˝o (1− e−sT ) tag azt jelenti, hogy a f¨ uggv´eny ”marad´ek” r´esze egy periodikus jel egyetlen peri´ odus´at ´ırja le. Ez´ert az eg´esz f¨ uggv´eny egy T peri´ odus´ u jel. ) ( ω0 (1 − e−sT /2 ) = fT (t) L −1 s2 + ω02 ( )   −sT /2 ω e ω 0 0 − L −1 = ε(t) cos(ω0 t) − ε(t − T /2) cos(ω0 (t − T /2)) fT (t) = L −1 s2 + ω02 s2 + ω02 Azaz F (s) inverz transzform´altja egy f´eloldalasan egyenir´ any´ıtott koszinusz jel.

´ OZ ´ ATSZ ´ ´ ´ITAS ´ LAPLACE-TRANSZFORMACI ´ OVAL ´ 1.3. HAL AM

1.3.

15

H´ al´ oz´ atsz´ am´ıt´ as Laplace-transzform´ aci´ oval

1.3.1.

Laplace-transzform´ aci´ o´ es differenci´ al egyenletrendszer

Laplace-transzform´ aci´ oval t¨ ort´en˝ o h´ al´ ozatsz´ am´ıt´as sor´ an kihaszn´ aljuk, hogy a differenci´ al-egyenletekb˝ ol illetve differenci´ alegyenlet rendszerekb˝ol a transzform´aci´o seg´ıts´eg´evel algebrai egyenletet illetve egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenlet(rendszer)nek a megold´ asa term´eszetesen sokkal egyszer˝ ubb elv´egezhet˝ o, mint a differenci´ alegyenlet(ek)´e. Tekints¨ uk az al´ abbi egyenletrendszert! Ez egy (tetsz˝ oleges) rendszer ´allapotv´altoz´os le´ır´ asakent is tekinthet˝ o. Az ´ allapotv´altoz´ ok x1 (t) ´es x2 (t), amelyek a t id˝ ot˝ol f¨ uggenek explicite. A keresett v´alasz y(t), a (k¨ uls˝ o) gerjeszt´es (forr´ as) s(t). x′1 = −2x1 + 4x2 + s

  

x′2 = 3x1 − 3x2 − s

(1.3.1)

 

y = x1 + 5x2 + 3s

Laplace-transzform´ aljuk az (1.3.1) egyenletet. A transzform´alt v´altoz´ok X1 (s), X2 (s), Y (s) ´es a gerjeszt´es S(s). sX1 (s) − x1 (−0) = −2X1 (s) + 4X2 (s) sX2 (s) − x2 (−0) = 3X1 (s) − 3X2 (s) Y (s) = X1 (s) + 5X2 (s)

+S(s) −S(s)

+3S(s)

  

(1.3.2)

 

Tegy¨ uk fel ebben az esetben, hogy a rendszer energiamentes t < 0 intervallumban, ez´ert a v´altoz´ ok ´ert´eke t = −0 pillanatban z´erus lesz (x1 (−0) = 0 illetve x2 (−0) = 0), ´ıgy (1.3.2) egyszer˝ us¨ odik. /Ha az energiamentess´eg nem ´ all fenn, akkor sincsen probl´ema, csak a kifejez´esek lesznek kicsivel bonyolultabbak./ sX1 (s) = −2X1 (s) + 4X2 (s) sX2 (s) = 3X1 (s) − 3X2 (s) Y (s) = X1 (s) + 5X2 (s)

 +S(s)  −S(s)   +3S(s)

(1.3.3)

Az esetek t¨ obbs´eg´eben az ´ allapotv´altoz´ok sz´ amunkra ´erdektelenek, csak a gerjeszt´es ´es a v´alasz k¨oz¨otti gerjeszt´est keress¨ uk. Ez´ert az egyenletrendszer els˝ o k´et egyenlet´eb˝ ol fejezz¨ uk ki X1 (s)-et ´es X2 (s)-t. X1 (s + 2) = 4X2 + S =⇒ X1 = X2 (s + 3) = 3X1 − S = 3 X2 =

S(1 − s) ; 2 s + 5s + 3

X2 + S s+2

X2 + S − S → X2 (s + 3)(s + 2) − 3 = S(3 − s − 2) = S(1 − s) s+2 1−s

X1 = S s

2 +5s+3

+1

s+2

=S

1 − s + s2 + 5s + 3 s2 + 4s + 4 = S (s + 2)(s2 + 5s + 3) s3 + 7s2 + 13s + 6

Ezut´an a v´alaszt kifejezhetj¨ uk az ´ allapotv´altoz´ok hely´er be´ırva azok gerjeszt´essel kapott alakj´ at.

16

Y =S

FEJEZET 1.

´ KOMPLEX FREKVENCIATARTOMANYBELI ANAL´IZIS

s2 + 4s + 4 1−s + 5S + 3S = + 5s + 3 (s + 2)(s2 + 5s + 3) 3s3 + 25s2 + 58s + 40 (1 − s)(s + 2) + 5(s2 + 4s + 4) + 3(s + 2)(s2 + 5s + 3) = S S (s + 2)(s2 + 5s + 3) s3 + 7s2 + 13s + 6

s2

(1.3.4)

´ OZ ´ ATSZ ´ ´ ´ITAS ´ LAPLACE-TRANSZFORMACI ´ OVAL ´ 1.3. HAL AM

1.3.2. H1.

17

P´ eld´ ak ´ es feladatok

Az al´abbi ´ abr´ an l´ athat´ o h´ al´ ozatban a kapcsol´ ot a t = 0 pillanatban z´arjuk. a. Hat´arozzuk meg a bejel¨olt i ´ aram id˝ obeli v´altoz´as´ at a t = 0 pillanatokra, ha a kapcsol´ o z´ar´ asa el˝ ott a h´ al´ ozat ´ alland´ osult ´allapotban volt. b. Hat´arozzuk meg az i ´ aram ugr´ as´ at a t = 0 pillanatban! 2R

t=0

i

L us

3R

R

1.1. ´abra. H2.

Oldjuk meg az el˝ oz˝ o feladatot arra az esetre, ha az eredetileg z´art kapcsol´ ot a t = 0 pillanatban kinyitjuk.

H3.

Hat´arozzuk az al´ abbi ´ abr´ an bejel¨olt ´aram i(t) id˝ of¨ uggv´eny´et, valamint a kondenz´ator uC (t) fesz¨ ults´eg´enek id˝ of¨ uggv´eny´et Laplace-transzform´ aci´o seg´ıts´eg´evel. t=0

R

i us

uC

C

2R

1.2. ´abra. H4.

Az al´abbi ´ abr´ an l´ athat´ o, kezdetben energiamentes h´ al´ozatra a t = 0 pillanatban U0 = 125 V egyenfesz¨ ults´eget kapcsolunk. Hat´arozzuk meg ´es ´abr´ azoljuk a kondenz´ator fesz¨ ults´eg´enek uC (t) id˝ of¨ uggv´eny´et az al´ abbi adatok eset´en : a) R = 250 Ω,

L = 667mH,

C = 2mF

b) R = 100 Ω,

L = 40 nH,

C = 1µF

c) R = 100 Ω,

L = 40 nH,

C = 5µF

18

FEJEZET 1.

´ KOMPLEX FREKVENCIATARTOMANYBELI ANAL´IZIS t=0

i1 u s =U0

R L i2

C i3

1.3. ´abra. H5.

Az al´abbi ´ abr´ an l´ athat´ o, vez´erelt forr´ast tartalmaz´ o h´ al´ozatban   2t us (t) = U0 1 − · (ε(t) − ε(t − T )) T a) Hat´arozzuk meg a bejel¨olt ´ aram i1 (t) id˝ of¨ uggv´eny´et. b) Az α param´eter mely ´ert´ektartom´any´aban stabilis a h´ al´ozat? α i1

R

5R us

i1

L

2R R

1.4. ´abra. H6.

Adott egy h´ al´ ozat fesz¨ ults´eg´ atvitelre vonatkoz´o ´atmeneti f¨ uggv´enye :  −2t  v(t) = ε(t) e + 2e−3t − e−4t ; [t] = s a) b) c) d)

Hat´arozzuk meg a h´ al´ ozat ´ atviteli f¨ uggv´eny´et. Hat´arozzuk meg a h´ al´ ozat s´ ulyf¨ uggv´eny´et. ´Irjuk fel a kimen˝ ojel kifejez´es´et adott u1 (t) bemen˝ ojel eset´en. Hat´arozzuk meg a kimen˝ ojel id˝ of¨ uggv´eny´et, ha a bemen˝ ojel u1 (t) = 10 [ε(t) − ε(t − 4)] ;

H7.

[u] = V.

Egy h´ al´ozat bemeneti jele u1 , kimeneti jele az u2 fesz¨ ults´eg. A h´ al´ozat s´ ulyf¨ uggv´enye  −4t  w(t) = δ(t) − ε(t) 4e + e−t ; [t] = ms, [w] = ms−1

a) Hat´arozzuk meg a h´ al´ ozat ´ atmeneti f¨ uggv´eny´et! ´ b) Irjuk fel a h´ al´ ozat fesz¨ ults´eg´ atviteli f¨ uggv´eny´et, v´azoljuk a p´ olus-z´erus elrendez´est.

Tartalomjegyz´ ek 1.

Komplex frekvenciatartom´ anybeli anal´ızis 1.1. Laplace-transzform´ aci´ o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. P´elda feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Gyakorl´ o feladatok - kit˝ uz¨ ott probl´em´ ak . . . . . . . . . . . . . 1.2. Inverz Laplace-transzform´ aci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Elm´eleti alap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. P´elda feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Aj´ anlott feladatok az inverz Laplace-transzform´aci´o t´emak¨or´eb˝ ol 1.3. H´al´oz´atsz´ am´ıt´ as Laplace-transzform´ aci´oval . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Laplace-transzform´ aci´ o ´es differenci´ al egyenletrendszer . . . . . . 1.3.2. P´eld´ ak ´es feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

2 2 2 5 7 7 8 13 15 15 17