PROSLULÉ ÚLOHY STAROV KU Pavel Leischner,
[email protected]
Kvadratura kruhu: K danému kruhu sestrojit tverec téhož obsahu. Trisekce úhlu: Rozd lit daný úhel na t i stejn velké úhly. Zdvojení krychle: K dané krychli sestrojit krychli s dvojnásobným objemem. Konstrukce musí být euklidovské: Pravítko bez rysek a kružítko, kterým nem žeme p enášet vzdálenosti.
-1-
Blízký Východ v 1. polovin 2. tisíciletí p . n. l.
7. - 6. stol. p . n. l. Milét, Athény, Korint, Tarent, Kroton První filozofové - kupci Kupec: nezávislý intelektuál s dostatkem volného asu Jónská p írodní filozofie
Thales z Milétu
-2-
Využíval podobnost trojúhelník k m ení vzdálenosti lodí a výšek pyramid
Toto tvrzení v n kterých zemích nazývají Thaletova v ta.
U nás termín Thaletova v ta ozna uje jeho jiné tvrzení: Obvodové úhly nad pr m rem kružnice jsou pravé.
P íbuzné tvrzení: Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku má st ed ve st edu p epony.
-3-
Pythagoras (6. stol. p .n.l.) a pythagorejci Omezíme se jen na jejich poznatky o íslech.
P irozená ísla: 1, 2, 3, 4, ...
Záporná ísla neznali.
Mystika ísel íslo 1 … základ všech dalších ísel, božská podstata Sudá ísla … ženská, lichá … mužská. 4 … spravedlnost, nebo 4 = 2 + 2 = 2 ⋅ 2.
10 = 1+2+3+4 … jsoucno a dokonalost
Matematika a hudba: Zákony harmonie - tóny které k sob ladí vznikají na stejných a stejn napjatých strunách, když jsou délky strun v pom ru malých celých ísel. Oktáva 1:2, kvinta 2:3, kvarta 3:4 íselné vztahy objevovali i v geometrii: Skládání kaménk do obrazc vedlo ke vztah m mezi p irozenými ísly. Tato metoda se nazývá pséfofórie. (Drobné kaménky = pséfós.) Figurální n-úhelníková ísla byla ur ována po tem kaménk , které se dají poskládat do tvaru n-úhelníka.
-4-
T2 = 1 + 2 = 3, T3 = 1 + 2 + 3 = 6, T3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Obecn : Tn = 1 + 2 +
+n
2Tn = n(n + 1) 1+ 2 +
-5-
+n=
n( n + 1) 2
-6-
Zlomky si pythagorejci p edstavovali jako pom ry p irozených ísel (proporce). Pomocí nich vyjad ovali i vztahy mezi délkami úse ek. Délka každé úse ky se dala zm it a byla vyjád ena zlomkem nebo p irozeným íslem. Každé dv úse ky byly soum itelné - m ly spole nou míru. Nesoum itelnost úhlop í ky a strany tverce. (Metoda nekone ného sestupu.)
Nesoum itelnost úhlop í ky a strany pravidelného p tiúhelníka.
u a = a u−a , odtud
u ⋅ (u − a) = a ⋅ a.
Jsou-li délky vyjád eny pomocí nejv tší spole né míry, mohou nastat jen t i situace: -7-
a) a je sudé, u liché, b) a, u jsou lichá, c) a je liché, u sudé. Všechny vedou ke sporu s poslední rovnicí. (Metoda zvaná prov rka parity.) Objev nesoum itelnosti vyvolal údiv a zd šení.
Nesoum itelnost úse ek objevil Hippasos (5. stol. p . n. l.).
Pravd podobn dokázal, že úhlop í ka tverce je nesoum itelná s jeho stranou. Podle pov sti byl za prozrazení objevu utopen v mo i.
Poznámka V dnešní dob užíváme tzv. reálná ísla a zapisujeme je nejast ji desetinným zápisem. Celá ísla nemají za desetinnou árkou žádné (nenulové) cifry. Racionální ísla jsou soum itelná s celými ísly. Taková, jež lze zapsat ve tvaru zlomku, jehož itatel i jmenovatel jsou ísla celá. Desetinný zápis racionálního ísla má za desetinnou árkou bu kone ný po et nenulových cifer, nebo se cifry za desetinnou árkou periodicky opakují. P íklady racionálních
ísel:
27
41; 53 ;
-2,352;
0,18532;
75,325325... = 75,325; ... Iracionální ísla jsou nesoum itelná s celými ísly. Tedy ta, která se dají zapsat ve tvaru zlomku, jehož itatel i jmenovatel jsou ísla celá. Desetinný zápis iracionálního ísla má za desetinnou árkou nekone n mnoho nenulových cifer a cifry se za desetinnou árkou periodicky neopakují.
-8-
17;
P íklady iracionálních ísel: 3 ; 7
15,010010001...;
3
5;
π = 3,1415 ; ...
1. krize matematiky. Jak p esn se íst nap íklad 3 + 2 ? Neumíme to dodnes, protože íslo 2 = 1, 414213562 je iracionální (nesoum itelné s íslem 3). Má v dekadickém zápisu za desetinnou árkou nekone n mnoho nenulových cifer a neznáme pravidlo, které by je všechny ur ilo. Konstrukcí lze odmocniny "p esn " sestrojovat.
Theodoros z Kyrény Snaha vy ešit tyto problémy: ecká geometrická algebra. ekové za ali pohrdat aritmetikou a výpo ty p evád li na geometrické konstrukce. Rozlišovali veli iny t í ád : délky, obsahy a objemy.
Princip homogenity: s ítat, od ítat a porovnávat m žeme jen veli iny téhož ádu. Nap íklad rovnice ax = b nemá smysl - nelze srovnávat obsah s délkou. Smysl však mají rovnice cx = ab, ax = b 2 , x 2 = ab, x 2 + ax = b 2
-9-
S ítání obsah je obdobou s ítání úse ek, pokud jde o obsahy dvou pravoúhelník , které se shodují ve stran délky c:
S ítání obsah mnohoúhelník také ne inilo problémy. Každý mnohoúhelník lze totiž roz ezat na trojúhelníky:
- 10 -
Každý trojúhelník m žeme p em nit na pravoúhelník o stejném obsahu:
A ke každému pravoúhelníku dovedli ekové sestrojit pravoúhelník se stejným obsahem a stranou délky c. Využívali toho, že barevné pravoúhelníky sestrojené podle obrázku mají pro každý bod C úhlop í ky EG stejný obsah.
Pravoúhelník ABCD p evád li na pravoúhelník se stejným obsahem a s jednou stranou délky c takto: 1. Na polop ímku opa nou k polop ímce umístili bod E tak, aby BE = c.
- 11 -
2. Doplnili na trojúhelník AEG podle obrázku.
3. Doplnili na pravoúhelník AEFG
4. Prodloužením stran DC a BC dokon ili konstrukci hledaného pravoúhelníka.
Jak s ítat obsahy kruh ? Tak vznikl problém kvadratury kruhu.
- 12 -
První známé a slibné pokusy o kvadraturu kruhu: Hippokrates z Chiu (5. stol p .n.l.) (Neplést s léka em Hippokratem z Kósu - 5. až 4. stol p .n.l.) Zjistil, že sou et obsah mod e vybarvených m sí k je roven obsahu trojúhelníka ABC. Zdálo se, že je kvadratura kruhu tém vy ešena. Kvadratura kruhu je ekvivalentní sestrojení úse ky o velikosti π . Nelze p esn sestrojit.
Rozd lit úse ku AB na n shodných díl není problém. Úhel umíme rozp lit, ale rozd lit jej na t i shodné úhly je eukleidovsky neproveditelné. P esto ji dodnes n kte í lidé - "t eti i" provád jí. Nev dí, že již ekové nalezli n kolik p esných ešení.
- 13 -
Trisekce metodou vkládání (5. stol. p . n. l.)
(Podobnou, ale jednodušší konstrukci podal Archimedes.)
Hippiova kvadratrix Hippias z Elidy (5. stol. p . n. l.) Dinostrates (4. stol. p . n. l.) ji využil kvadratrix k trisekci.
- 14 -
Tomahavk
Zdvojení krychle - Délský problém Délos je ostrov. M sto Delfy se nachází na pevnin . V Delfách byla proslulá v štírna, jejíž trosky jsou na obrázku.
- 15 -
x 3 = 2a 3
x = a⋅ 3 2
Hippokrates z Chiu:
a x y = = =k x y b
a x
3
= k3 = k ⋅ k ⋅ k =
když zvolíme
a x
3
a 1 = = , 2a 2
a3 1 = , 3 x 2
- 16 -
x 3 = 2a 3 .
a x y a ⋅ ⋅ = x y b b
b = 2a, máme
Archytas z Tarentu
(5. stol. až 4. stol. p . n. l.)
Platón v k ižák
- 17 -
Menaichmos (též Menaechmus)
(4. stol. p . n. l. - byl Dinostrat v bratr)
objev kuželose ek a x y = = : x y 2a
a x = , x y
f : x 2 = ay,
x y = , y 2a
g : y 2 = 2ax,
a y = x 2a
h : yx = 2a 2
Menaichmos byl první, kdo zavedl kuželose ky a popsal je jako ezy kuželové plochy s rovinou.
- 18 -
