Proslulé úlohy starov ku, ešení úloh zadaných jako cvi ení P ipomínky m žete sd lit na adresu autora:
[email protected]
1. Lo na mo i má stožár vysoký 6 m. Byla zam ena podle obr. 1. Ur ete její vzdálenost x. ešení. Z podobnosti trojúhelník OA1 B1 a OAB na obr. 1a zjistíme x=
6 ⋅ 0,8 = 1200 m. 0, 004
Záv r. Lo byla vzdálena 1,2 km od b ehu.
Obr. 1
Obr. 1a
2. P dorys pyramidy je tverec s délkou strany 190 m. V dob , kdy svislá ty délky 1m vrhá stín o délce 1, 4 m, vytvá ela pyramida na povrchu poušt stín ve tvaru rovnoramenného trojúhelníka s rameny délky 114 m (obr. 2). Ur ete výšku pyramidy. ešení. P i ozna ení na obr. 2 vrhá pyramida stín délky d = AS = SC + CA ,
190 = 95 m. 2 Délku úse ky CA ur íme z trojúhelníka ABC pomocí Pythagorovy v ty: p itom SC = BC =
CA =
2
Obr. 2
2
AB − BC = 1142 − 952 = 63, 02 m.
Je tedy d = 95 + 63, 02 = 158, 02 m.
-1-
x 6 = a odtud 0,8 0, 004
Výšku x pyramidy ur íme z podobnosti trojúhelník ASV a KLM na obr. 2a. Platí
x 158, 02 = a odtud x = 112,87 m. 1 1, 4
Záv r. Pyramida m la výšku 113 m.
Obr. 2a
3. P dorys pyramidy je tverec s délkou strany 200 m. V dob , kdy svislá ty délky 1m vrhá stín o délce 1, 4 m, vytvá ela pyramida na povrchu poušt stín znázorn ný na obr. 3. Ur ete výšku pyramidy. ešení. P i ozna ení podle obr. 3 má Pythagorova v ta pro pravoúhlý trojúhelník KLS tvar 2m 2 = 2002. Odtud m 2 = 20 000 m 2 . Délku stínu pyramidy ur íme z trojúhelníka KSA pomocí Pythagorovy v ty: d = AS =
2
KA − m 2 = 2252 − 20 000 = 175 m.
Obr. 3
Výšku pyramidy již ur íme analogicky jako v úloze 3 (využijeme obr. 2a, kde za d dosadíme 175 = 125 m. 175 m): x = 1, 4
Záv r. Pyramida m la výšku 125 m.
-2-
4. P dorys pyramidy je tverec s délkou strany 230 m. V dob , kdy svislá ty délky 1m vrhá stín o délce 1, 6 m, vytvá ela pyramida na povrchu poušt stín znázorn ný na obr. 4. Ur ete výšku pyramidy. ešení. Nejprve ur íme délky y = PM a h = PA na obrázku 4. Z Pythagorovy v ty pro trojúhelníky AMP a ALP dostává2 2 2 2 me AM − PM = h 2 = AL − PL . Odtud 1952 − y 2 = 1162 − (230 − y ) 2 a po úprav 460 y = 1952 + 2302 − 1162 ,
Obr. 4
y = 168, 4 m a h = 195 − y = 98,3 m. 2
2
Dále pomocí obrázku zjistíme, že SQ = y − a d = AS =
2
KN
2
= 53, 4 m, AQ = h +
MN
2
= 213,3 m
2
SQ + AQ = 219,9 m.
219,9 = 137, 4 m. 1, 6 Záv r. Pyramida m la výšku 137,4 m. (To odpovídá výšce Chufuovy pyramidya - nejvyšší z egyptských pyramid.) Když v obr. 2a, zm níme hodnotu d na 219,9 m, ur íme x =
5. Metodou pséfofórie dokažte, že pro libovolná p irozená ísla platí: a) Kladný rozdíl dvou sudých ísel je íslo sudé. b) Kladný rozdíl dvou lichých ísel je íslo sudé. c) Kladný rozdíl sudého a lichého ísla je íslo liché. d) 1 + 3 + 5 + + (2n − 1) = n 2 . (n je p irozené íslo.) ešení uvádím jen pro úkol d):
-3-
6. P tiúhelníková ísla: 5, 12, 22 …
1 n (3n − 1). 2 Je totiž p tiúhelníkové íslo složené ze t í trojúhelníkových, které se p ekrývají na sousedících stranách (viz obrázek pro n = 4). Obecn získáme p tiúhelníkové íslo pomocí vztahu c5,n =
c5, n = 3Tn − 2n =
3n(n + 1) 4n 1 − = n (3n − 1). 2 2 2
Analogicky odvo te obecný p edpis pro utvo ení n-tého n m-úhelníkového ísla cm ,n = ( 2 + (n − 1)(m − 2) ) , který se p ipisuje 2 alexandrijskému matematiku a astronomovi Hypsiklesovi (190? – 120? p .n.l.). ešení. Obecné úvahy sledujte na obr. 5, kde je znázorn no n-té m-úhelníkové íslo pro m = 7 a n = 4. V souladu s obrázkem rozd líme íslo cm, n na m − 2 trojúhelníko-
vých ísel Tn −1 a zbývá nám ada obsahující n kaménk . Na n(n + 1) p ednášce jsme pomocí pséfofórie dokázali, že Tn = , proto 2 (n − 1)n a odtud platí Tn −1 = 2 2n (n − 1)n n cm ,n = n + (m − 1)Tn −1 = + (m − 2) = ( 2 + (n − 1)(m − 2) ) . 2 2 2
Obr. 5
7. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s p eponou AB, má-li odv sna BC délku 5 cm a t žnice CS délku 4 cm. (S je st ed p epony AB.)
-4-
ešení. Využijeme faktu, že kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku (m žeme ji nazvat Thaletova kružnice) má st ed ve st edu S p epony. Pro její polom r platí (obr. 6) r = CS = AS = BS =
AB 2
.
Je tedy AB = 2 CS = 8 cm.
Konstrukce. Sestrojíme kružnici k se st edem S, polom rem 4 cm a k ní pr m r AB. Vrchol C nalezneme jako pr se ík kružnice k s kružnicí l ( B,5 cm).
Obr. 6
8. Na každém obrázku je obdélník (a v posledním p ípad lichob žník) rozd len úse kami na ásti. ísla ozna ují obsahy t chto ástí (v cm2). Ur ete obsah x. a)
b)
d)
c)
e)
f)
8a) ešení - algebraický p ístup. P i ozna ení podle obr. 7a mají trojúhelníky ADE a BEC stejnou výšku v k základnám DE a EC, jejichž velikosti jsou ozna eny z1 a z2 .
Obr. 7a Platí
S1 + S2 =
Obr. 7b
1 1 1 1 1 1 z1v + z2 v = ( z1 + z2 )v = CD v = S ABCD = AB v = x, 2 2 2 2 2 2
-5-
kde S ABCD je obsah obdélníka ABCD. Pro zadané hodnoty dostaneme x = 8 + 6 = 14 cm 2 . 8a) Jiné ešení - geometrický p ístup. Na obr. 7b rozd luje kolmice z bodu E na stranu AB obdélník ABCD na obdélníky AFED a FBCE. Každý z nich je rozd len úhlop í kou na dva trojúhelníky stejného obsahu a proto platí x = S AFE + S FBE = 8 + 6 = 14 cm 2 . (Vnímavý tená možná nemusel ešení íst. Pochopil je z pohledu na obrázek.) 8b) ešení. Trojúhelníky ABC a DCA na obr. 8 mají stejný obsah. Platí 5 + x + 3 = 12 a odtud x = 4 cm 2 . 8c) ešení - algebraický p ístup. Podobn jako p i prvObr. 8 ním ešení úlohy 8a) zjistíme pro obsahy na obr. 9a: 1 S1 + S3 + S5 = S ABCD = S 2 + S4 . Odtud pro zadané hodnoty snadno vypo teme x = 5 cm 2 . 2
Obr. 9a
Obr. 9b
8c) Jiné ešení - geometrický p ístup. Je z ejmé z obr. 9b, x = 3 + 2 = 5 cm 2 . Promyslete! Pokud jste nepochopili, prostudujte si geometrické ešení úlohy 8d). 8d) ešení - algebraický p ístup. P i ozna ení na obr. 10a platí
S1 + S2 =
1 1 1 1 av1 + av2 = a(v1 + v2 ) = S ABCD = S3 + S4 . 2 2 2 2
Odtud po dosazení zadaných hodnot získáme vztah 4 + x = 10 + 6, tedy x = 12 cm 2 . 8d) Jiné ešení - geometrický p ístup. P í ky KM a NL vedené na obr. 10b bodem E rovnob žn se stranami obdélníka ABCD rozd lí obdélník na pravoúhelníky s úhlop í kami AE, BE, CE a DE. Ozna íme y obsah trojúhelníka KBE a postupn vyjád íme obsahy ostatních trojúhelník , jak uvádí obrázek. (Postupujeme od trojúhelníka KBE proti sm ru pohybu
-6-
hodinových ru i ek a využíváme faktu, že každé dva trojúhelníky vzniklé roz íznutím pravoúhelníka podle úhlop í ky mají stejný obsah.)
Obr. 10a
Obr. 10b
Záv r. x = (12 − y ) + y = 12 cm 2 . 8e)
ešení. Podobn jako p i ešení úlohy 8b) zjistíme x + 12 = 18 a odtud x = 6 cm 2 .
8f)
ešení. x = 20 − 14 = 6 cm 2 .
9. Lichob žník ABCD má základny AB a CD. Obsah trojúhelníka ABC je 7 cm 2 . Ur ete obsah trojúhelníka ABD. ešení. Trojúhelníky ABC i ABD mají spole nou základnu AB a k ní stejnou výšku v. 1 Proto platí S ABD = AB ⋅ v = S ABC = 7 cm 2 . 2
Obr. 11
10. Lichob žník ABCD má základny AB a CD. Jeho úhlop í ky se protínají v bod E. Obsah trojúhelníka BCE je 7 cm 2 . Ur ete obsah trojúhelníka ADE. ešení. Pomocí obr. 11 a výsledku p edchozí úlohy snadno zjistíme, že
S ADE = S ABD − S ABE = S ABC − S ABE = S BCE = 7 cm 2 . Užite ný post eh: K idélka ADE a BCE "motýlka" AEBCED v lichob žníku ABCD mají stejný obsah.
11. Lichob žník ABCD má základny AB a CD. Jeho úhlop í ky se protínají v bod E. Obsahy trojúhelník CDE a EDA jsou po ad 3cm 2 a 6 cm 2 . Ur ete obsah lichob žníka ABCD.
-7-
ešení. Snadno zjistíme, že S BCE = S ADE = 6 cm 2 . Trojúhelníky AEB a ECB mají stejnou výšku ze spole ného vrcholu B. Analogické tvrzení platí i pro trojúhelníky AED a ECD, a tak pomocí obr. 11 dostáváme 1 AE ⋅ v AE S AEB 2 S = = = AED . S ECB 1 EC ⋅ v EC S ECD 2 Odtud
S AEB 6 = , S AEB = 12 cm 2 . 6 3
Obsah lichob žníka je
S AEB = 6 + 3 + 6 + 12 = 27 cm 2 .
Obr. 12
Užite ný post eh: Když mají dva trojúhelníky stejnou výšku, je pom r jejich obsah roven pom ru délek p íslušných základen.
12. Lichob žník ABCD má základny AB a CD. Ozna me E pr se ík jeho úhlop í ek. Obsahy trojúhelník ABE a CDE jsou po ad 8cm 2 a 2 cm 2 . Ur ete obsah lichob žníka ABCD. S S 8 x ešení. Ozna me x = S AED = S BCE . Ze vztahu AEB = ADE plyne = . Odtud dostaneme S ECB S ABD x 2 x = 4 cm 2 a S ABCD = 8 + 4 + 2 + 4 = 18cm 2 .
13. Lichob žník ABCD má základny AB, CD a obsah 48cm 2 . Ozna me E pr se ík jeho úhlop í ek. Trojúhelník CDE má obsah 3cm 2 . Ur ete obsah trojúhelníka ABC. ešení. Nejprve si doplníme a zobecníme poznatky z ešení úloh 10 až 12. Položme x = SCDE , y = S AED = S BCE , z = S ABE (obr. 13a). Na základ výsledk p edchozích úvah m žeme dále ozna it
k=
AE EC
=
y BE z = = . x ED y
Obr. 13a
(13.1)
Obr. 13b
-8-
Ze vztah (13.1) plyne y = kx , z = ky = k 2 x, a tak m žeme obsahy všech ty ástí lichob žníka p ehledn znázornit obrázkem 13b. Z vlastností st ídavých úhl navíc dostáváme ∠ABE = ∠EDC a ∠BAE = ∠ECD a to znamená, že jsou trojúhelníky ABE a CDE podobné podle v ty uu. Koeficient podobnosti, která p evádí trojúhelník CDE na trojúhelník ABE je íslo k ze vztah (13.1):
AB CD
=
AE EC
=
BE ED
= k.
(13.2)
Z obr. 13b odvodíme vztah pro obsah lichob žníka ABCD:
S ABCD = x + 2kx + k 2 x = (1 + k ) 2 x
(13.3)
Vztahy (13.1) až (13.2) zjednodušují ešení obtížn jších úloh o obsazích lichob žníka. P i ešení naší úlohy vyjdeme z obr. 13.b. Pro zadané hodnoty je x = 3 cm 2 , S ABE = k 2 x = 48 cm 2 a S ABC = 3 + 48 = 51 cm 2 . Ze vztahu 3k 2 = 48 navíc plyne k = 4.
14. Délky základen AB a CD lichob žníka ABCD jsou po ad 8cm a 2 cm. E je pr se ík jeho úhlop í ek. Ur ete obsah lichob žníka ABCD, má-li trojúhelník AED obsah 12 cm 2 . ešení. Pomocí vztahu (13.2) zjistíme k =
AB CD
=
8 = 4. Dále p i ozna ení podle obr. 13b 2
platí kx = 12 a po dosazení za k nalezneme x = 3 cm 2 . Nakonec pomocí (13.3) zjistíme S ABCD = 75 cm 2 .
15. Král Artuš uložil svému malí i, aby mu vyzdobil nový štít tvaru tvrtkruhu OAB. Malí sestrojil osu OC úhlu AOB a p lkružnici s pr m rem OA. Ob áry se protnuly v bod D. Vzniklé rovinné útvary vybarvil tak, jak je nazna eno na obrázku. Když své dílo odevzdával, ekl: "Milý králi, ervená barva zna í tvoji state nost, modrá moudrost a žlutá laskavost." Co byste králi odpov d li na jeho otázku: "Jsem tedy více moudrý než state ný, nebo jsem více state ný než moudrý?" Odpov zd vodn te. ešení. Polom r kružnice, která ohrani uje štít, ozna me r. Obsah kruhové výse e OBC je 2
1 1 r 1 S1 = π r 2 a obsah p lkruhu nad úse kou OA je S 2 = π = π r 2 . Ozna me P obsah 8 2 2 8 žlut vybarvené kruhové úse e nad t tivou OD. Obsah erven vybarvené ásti štítu je S 2 − P
-9-
a obsah mod e vybarvené ásti štítu je S1 − P. Obsahy modré a ervené ásti jsou stejné, nebo S1 = S 2 . Záv r. Král byl stejn state ný jako moudrý.
16. Na dalším obrázku je trojúhelník ABC rozd len úse kami AF, BG a CE na ty i trojúhelníky a dva ty úhelníky. Ur ete, co je v tší: Obsah trojúhelníka KLM, nebo sou et obsah trojúhelník AEK, BFL a CGM ? ešení. Je-li S obsah trojúhelníka ABC, pak
a tedy
1 S AEC = S BFA = SCGB = S 3 S AEC + S BFA + SCGB = S .
Obr. 14
Trojúhelníky AEC, BFA a GCB svými obsahy pokrývají obsah trojúhelníka ABC1. Samotné trojúhelníky jej však na obr. 14 nepokrývají, protože se p ekrývají v erven vybarvených trojúhelnících AEK, BFL a CGM. Jimi nepokrytá ást - žlut vybarvený trojúhelník KLM má tedy obsah rovný sou tu obsah p ekrývajících se ástí: S KLM = S AEK + S BFL + SCGM . Záv r. Obsah trojúhelníka KLM je roven sou tu obsah trojúhelník AEK, BFL a CGM.
17. Kouzelná jablo m la na po átku 70 zlatých jablek. Každou noc p iletí drak a odnese 5 jablek. Ihned po jeho odletu vždy t i nová jablka narostou. P es den se po et jablek na strom nem ní. M že mít jablo za t chto okolností v n kterém dni p esn 7 jablek? (Využijte prov rku parity - uvažuje zda se každou noc m ní sudost nebo lichost po tu jablek na jabloni.) ešení. Na po átku byl sudý po et jablek (sedmdesát) a každou noc zmenšil o 2. To znamená, že každý den musel být na jabloni sudý po et jablek. Nikdy jich tam nemohlo být sedm.
18. V p epravce je 36 lahví, z nichž 19 je plných a ostatní jsou prázdné. Náhodn vyndáme dv láhve. Pokud je práv jedna z nich plná, vrátíme ji do p epravky. Pokud jsou ob prázdné, vrátíme jednu z nich do p epravky. Pokud jsou ob plné, jednu z nich vyprázdníme a vrátíme ji do p epravky. Tak pokra ujeme, až bude v p epravce zbývat jedna láhev. Bude plná nebo prázdná? (Úloha na prov rku parity.) ešení. Podle zadání úlohy nastává v každém kroku práv jedna z t chto situací: I. Vyndáme dv prázdné láhve a jednu z nich do p epravky vrátíme. Po et prázdných lahví v p epravce se zmenší o 1. Po et všech lahví v p epravce se zmenší o 1. 1
M žeme si p edstavit, že se dají roz ezat na ásti, ze kterých by se dal trojúhelník ABC složit jako puzzle.
- 10 -
II. Vyndáme jednu prázdnou a jednu plnou láhev. Vrátíme jen tu plnu. Po et prázdných lahví v p epravce se zmenší o 1. Po et všech lahví v p epravce se zmenší o 1. III. Vyndáme dv plné láhve. Jednu vyprázdníme a vrátíme ji do p epravky. Po et prázdných lahví v p epravce se zv tší o 1. Po et všech lahví v p epravce se zmenší o 1. P vodn bylo v p epravce 36 lahví a z toho 17 prázdných. V každém kroku se po et lahví v p epravce zmenší o 1. Je nutno u init 35 krok , to znamená lichý po et, aby v ní zbývala láhev jediná. Z možností I až III plyne, že každý krok zm ní paritu prázdných lahví v p epravce (lichý po et prázdných lahví zm ní na sudý, resp. sudý po et prázdných lahví zm ní na lichý). P vodn byl po et prázdných lahví lichý, po 35 krocích (lichém po tu) tedy je po et prázdných lahví sudý. Protože zbývá jediná láhev (liché íslo) je plná, nebo po et prázdných lahví na konci celého procesu roven nule (nejmenšímu sudému p irozenému íslu).
19. Na stole je umíst na ada stejných mincí, n které mají naho e líc jiné rub. Hrá A na chvíli odejde, hrá B mezitím odebere jednu minci a potom opakovan a tak, jak ho napadne, obrací zbývající mince. Vždy však musí obrátit dv mince naráz. Po n jaké dob zavolá hrá e A, který má uhodnout, která mince byla odebrána. Dokázali byste to vy, kdybyste byli na míst hrá e A? Pokud ano, vysv tlete jak. (Úloha na prov rku parity.) ešení. Vít zná strategie: P edpokládejme, že na po átku hry je v ad umíst no celkem n mincí a z toho je r mincí ( r ∈ {0, 1, 2, , n } ) obráceno rubem vzh ru - ada obsahuje r rub
a n − r líc . Hrá A si p ed odchodem zapamatuje paritu ísla r (nebo ísla n − r ). Když se navrátí, vidí v ad celkem n − 1 mincí, z toho r ′ rub . Jestliže mají ísla r a r ′ stejnou paritu (tzn. jsou nu ob sudá, nebo ob lichá), musel hrá B odebrat líc (minci obrácenou lícem vzh ru). Pokud mají ísla r a r ′ opa nou paritu (tzn. jedno je sudé a druhé liché), odebral hrá B rub. Strategie je založena na faktu, že každé spole né obrácení dvou mincí m že zm nit po et líc a rub , ale nem ní jejich paritu. Jsou totiž jen tyto možnosti:2 I. R, L → L, R ... po et líc a rub se nezm ní a tak i parita rub i líc z stane stejná. II. L, L → R, R ... po et líc se zmenší o 2 a po et rub vzroste o 2. Parita rub i líc z stane stejná. III. R, R → L, L ... po et se rub zmenší o 2 a po et líc vzroste o 2. Parita rub i líc z stane stejná.
21. V pohádkové zemi mají t i druhy pen z: modré, ervené a zelené. Kdo n co kupuje, zaplatí vždy dv bankovky r zných barev a prodava mu vrátí jednu bankovku barvy t etí. Alenka m la 20 ervených, 5 modrých a 4 zelené bankovky. Jaký nejv tší po et nákup m že uskute nit, kolik bankovek jí nakonec bude zbývat a jakou budou mít barvu? (Úloha na prov rku parity.) 2
P ed šipkou schematicky znázor ujeme vybranou dvojici mincí p ed oto ením, za šipkou po oto ení. R zna í rub, L zna í líc.
- 11 -
ešení. S každým nákupem se hotovost Alenky zmenší o jednu bankovku. Na po átku m la 20 + 5 + 4 = 29 bankovek. P i rozumném hospoda ení s bankovkami m že uskute nit nanejvýš 28 nákup . (Zbude jí jedna bankovka a s tou už nem že uskute nit žádný nákup.) Navíc se p i každém nákupu po et bankovek stejné barvy bu zmenší o 1, nebo se zv tší o 1. To znamená, že každý nákup zm ní paritu bankovek od každé barvy a na konci (po sudém po tu nákup dvaceti osmi) bude parita po tu bankovek od každé barvy stejná na po átku. Zbude jen jedna bankovka, té barvy, od níž m la Alenka na po átku lichý po et bankovek. Našt stí tomu tak bylo pouze u jedné barvy (modré). Pokud se Alence poda í uskute nit 28 nákup , zbude jí modrá bankovka. ervených a zelených bude zbývat 0 bankovek, sudé íslo (stejné parity jako na po átku). Aby bylo ešení korektní, musíme ješt ukázat, že je uskute n ní 28 nákup p i rozumném nakupování možné. P íklad provedení 28 nákup uvádíme v tabulce:
Nákupy . 0 Situace na po átku 1-5 Po 5 nákupech, kdy platila bankovkami a M 6 -14 Po 9 nákupech, kdy platila bankovkami a Z 15 - 20 Po 6 nákupech, kdy platila bankovkami a M 22 -23 Po 3 nákupech, kdy platila bankovkami Z a M 24 - 25 Po 2 nákupech, kdy platila bankovkami a Z 26 Po 1 nákupu, kdy platila bankovkami a M 27 Po 1 nákupu, kdy platila bankovkami M a Z 28 Po 1 nákupu, kdy platila bankovkami a Z
M 20 5 15 0 6 9 0 3 3 0 1 2 0 1 1 0 0 1
Z 4 9 0 6 3 1 2 1 0
22. P edstavme si p dorys p ízemí n jakého domu, kde do každé místnosti vede sudý po et vchod . Dokažte, že pak musí mít i d m sudý po et vchod . (Úloha na prov rku parity.) ešení. Ozna íme:
n po et všech místností v p ízemí domu, e1 po et vn jších vchod do 1. místnosti, i1 po et vnit ních vchod do 1. místnosti, e2 po et vn jších vchod do 2. místnosti, i2 po et vnit ních vchod do 2. místnosti, . . . . . . . . . en po et vn jších vchod do n-té místnosti, in po et vnit ních vchod do n-té místnosti.
Když všechny tyto po ty vchod se teme, dostaneme sudé íslo S, protože po et všech vchod do každé místnosti je sudý. S = (e1 + i1 ) + (e2 + i2 ) +
+ (en + in ) = E + 2 I ,
kde E = e1 + e2 + + en je po et všech vn jších vchod do domu, I je po et všech vnit ních vchod v p ízemí
- 12 -
(22.1)
a
2 I = i1 + i2 +
+ in
je sou et po t vnit ních vchod do jednotlivých místností. Tento
sou et má opravdu hodnotu 2I, protože každý vnit ní vchod je v sou tu i1 + i2 + + in zapo ítán dvakrát (nakreslete si obrázek a promyslete!). Ze vztahu (22.1) vidíme, že E = S − 2 I je rozdíl dvou sudých ísel. Po et všech vn jších vchod do domu je tedy sudý.
23. Dokažte Archimédovu trisekci: Máme provést trisekci st edového úhlu AOB sestrojeného v kružnici k (O, r ) - viz obrázek. Na proužku papíru si vyzna íme body K a L tak, aby jejich vzdálenost byla rovna polom ru r kružnice k. Proužek umístíme tak, aby bod K ležel na p ímce OA, bod L na kružnici K, a aby p ímka KL procházela bodem B. Když ozna íme α velikost úhlu AOB a ϕ velikost úhlu AKB, platí ϕ =
α
3
.
Obr. 15 ešení. V rovnoramenném trojúhelníku KOL ozna íme
ϕ = ∠OKL = ∠KOL .
Pak
∠OLB = 2ϕ (vn jší úhel trojúhelníka KOL) a také ∠OBL = 2ϕ , nebo trojúhelník BLO je rovnoramenný. Dále je ∠COB = 4ϕ (vn jší úhel trojúhelníka BLO) a ∠AOC = ∠KOL = ϕ (vrcholové úhly). Tedy α = ∠AOB = ∠COB − ∠COA = 4ϕ − ϕ = 3ϕ .
- 13 -