PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN) 1. Objem a povrch tělesa 2. Mocniny s celým exponentem 3. Odmocniny, mocniny s racionálním exponentem 4. Algebraické výrazy 5. Lineární rovnice 6. Soustavy lineárních rovnic o dvou a třech neznámých 7. Lineární nerovnice 8. Kvadratická rovnice 9. Soustavy lineárních nerovnic, kvadratická nerovnice 10. Funkce 11. Logaritmická funkce, rovnice a nerovnice 12. Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice 13. Goniometrické funkce a rovnice 14. Řešení pravoúhlého trojúhelníku 15. Řešení obecného trojúhelníku 16. Aritmetická posloupnost 17. Geometrická posloupnost 18. Komplexní čísla 19. Variace, permutace, kombinace 20. Binomická věta 21. Pravděpodobnost a statistika 22. Rovnice přímky, vektor 23. Vzájemná poloha dvou přímek, odchylka dvou přímek 24. Vzájemná poloha bodů a přímky 25. Kuželosečky 26. Vzájemná poloha přímky a kuželosečky 27. Úloha z praxe 28. Ukázky přijímacích testů na VŠ
1. OBJEM A POVRCH TĚLESA
krychle, kvádr, válec, jehlan, kužel, koule
1) Prodlouží-li se hrana krychle o 5cm , zvětší se její objem o 485cm 3 . Určete povrch původní i zvětšené krychle. 2) Strana rotačního kužele měří 20cm a svírá s rovinou podstavy úhel α = 57°30´ . Vypočtěte poloměr, výšku, objem a povrch kužele. 3) Délky hran kvádru jsou v poměru 2:4:6, jeho povrch je 5632m 2 . Určete objem kvádru. 4) Objem kvádru je 480dm 3 , jeho hrany jsou v poměru 3:4:5. Vypočítejte povrch. 5) Vypočítejte povrch krychle, která je vepsána do koule o poloměru 5cm . 6) Vypočítejte objem krychle která má tělesovou úhlopříčku 75cm . 7) Kolikrát je větší poloměr koule opsané krychli, než poloměr koule této krychli vepsané. 8) Součet obsahů obou podstav rotačního válce o výšce 7cm je roven obsahu jeho pláště. Vypočtěte objem tohoto válce. 9) Vypočtěte objem rotačního kužele, který má délku površky i průměr podstavy roven 6cm . 10) Obsahy stěn krabice, která má tvar kvádru jsou 27,3cm 2 ;33,6cm 2 ;53cm 2 . Vypočtěte objem krabice. 11) Z plastelíny je vytvořen válec o výšce 12cm . Pak je přeměněn na kužel, jehož podstava je shodná s podstavou původního válce. Jaká je výška kužele? a) 4cm b) 6cm c) 24cm d) 36cm 12) Krychle má hranu 10cm . Kvádr má jednu hranu 10cm a druhou 6cm . Kolik cm měří třetí hrana kvádru c , je-li povrch krychle i kvádru stejný? a) c = 15cm b) c = 15,6cm c) c = 16,67cm d) jiné řešení 13) Krychli o hraně a je opsána koule. Vypočítejte povrch této koule. 14) O kolik procent se zvětší povrch koule, když se její poloměr zvětší o 50%?
2. MOCNINY S CELÝM EXPONENTEM a − n , pravidla pro počítání s mocninami
n-tá mocnina, základ mocniny, mocnitel,
1) Upravte a napište podmínky, za kterých má výraz smysl: a −3 b a) −1 2 c d
−3
c −2 d 3 ⋅ −1 5 a b −2
a 4 b −5 a −3 b −2 b) 2 −3 : −5 4 c d c d
−2
= −3
=
x −2 y 2 z −2 x 2 z 3 c) 0 −8 : − 4 7 = x y x y 2) Vypočtěte: a) (− 6 ) − 2 ⋅ 4 −1 − 3 ⋅ (− 2 ) − 7 ⋅ (− 5) = −3
0
0 5 b) 6 − 4 ⋅ 16
−2
−2
−1
3 2 + − = 4 3
6
3 2 ⋅ 5 3 35 ⋅ 5 9 ⋅ 11 c) 4 3 2 ⋅ 11 2 ⋅ 11
−2
=
3) Převeďte a vyjádřete ve tvaru a ⋅ 10 n , kde a ∈ 1,10 , n ∈ Z : a) 94,15km na cm
c) 81,6mm na m
b) 12,5cm 2 na m 2
d) 5,3m 3 na cm 3
4) Napište čísla ve tvaru a ⋅ 10 n , kde a ∈ 1,10 , n ∈ Z a vypočítejte: 0,00005 ⋅ 160000 a) 2 (0,000004 )
2
b)
29,6 ⋅ 620000 ⋅ 0,074 0,98 ⋅ 71500 ⋅ 0,0064
5) Vyjádřete čísla v desítkové soustavě a vypočtěte (bez kalkulačky) a) 3 ⋅ 10 3 + 4 ⋅ 10 + 9 ⋅ 10 −1 + 5 ⋅ 10 −3 = b) 5 ⋅ 10 6 + 2 ⋅ 10 2 + 3 ⋅ 10 0 + 7 ⋅ 10 −2 =
3. ODMOCNINY, MOCNINY S RACIONÁLNÍM EXPONENTEM n-tá odmocnina, základ odmocniny, odmocnitel, pravidla pro počítání s odmocninami
1) Upravte: a)
1− 2
b)
1+ 2 3− 2
c)
d)
3+ 2
19 6 9−2 6 5 2 +4 3 5 2−4 3
2) Upravte a výsledek částečně odmocněte: a)
3 4
x 7 ⋅ 3 x 19 , x ≥ 0
1 3 2 a a ,a f 0 a
b)
3) Převeďte na mocniny s racionálním exponentem a upravte. Výsledek zapište ve tvaru odmocniny:
a)
5
−3 x ⋅x 1 x3
−2
, xf0
6
a5 ⋅ b
5
1 a⋅ a ,a f 0 3 a
3
ab 3 : ,x f 0 c) a a ⋅ 4 ab 3 −3
a
b) a 4) Zjednodušte:
2 3
, af0
(
a) a ⋅ a ⋅ a ⋅ a 4
d)
)
3 2
− a ⋅ 6 a5 , a ≥ 0 1
2 13 2 3 x ⋅ x ⋅ x ⋅ x − x ⋅ 3 x 5 , x ≥ 0
b)
5) Vypočítejte: a) 103 5 − 73 40 + 53 135 − 43 320 − 23 625 1
b)
1
63 2 − 28 2 7
1 2
4. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY
výraz, člen výrazu, opačný výraz, rozklad podle vzorců: (a±b)2, (a-b)2, (a+b)(a-b), (a±b)3, a3±b3
1) Upravte: a)
2b(a − 1) a+b a−b − = 2 (a − 2 ) ⋅ b − 1 ab + a − 2b − 2 ab − a − 2b + 2
(
)
3a 2 a = b) + 1 : 1 − 2 a +1 1− a c)
2a − 1 2a 1 − − = 2a 2a − 1 2a − 4a 2
d) (3a + 1) − (3a + 1) − (2a + 1) = 3
2
e) (3x + 2 ) − (2 x + 3) − (3 x − 2 ) + (2 x − 3) − (6 x − 5) = 3
3
3
3
2
a 2 32 + 2 a = g) a 4 + −1 4 a
m 27 + +3 3 m f) = m 81 − 9 m2 u − v v(u − v ) h) v + : 1 − = 1 + uv 1 + uv
2)
a2 − b2 = a3 − b3 1 a) a−b
3) Pro x ≠ ± y je a) 1
b)
a+b a2 + b2
(x − y )2 y2 − x2
c)
a−b a2 − b2
d)
y−x y+x
e)
y+x y−x
c)
x− y x+ y
d)
y−x y+x
e)
y+x y−x
=
b) 0
4) Pro všechny přípustné hodnoty x, y platí: a) x − y
b) y − x
c)
1 y
x 2 − xy xy : 2 = 4 2 2 x − x y x y + xy 2 1 1 d) e) x+ y x
5. LINEÁRNÍ ROVNICE
lineární rovnice, počet řešení lin. rovnice
1) Řešte a proveďte zkoušku: a) ( x + 2)( x + 5) − 3(4 x − 3) = ( x − 5)
2
d)
2x − 5 4x − 5 − =0 3x − 4 6 x − 1
b)
1 1 5 − = 2 x−3 x+2 x +6
e) (9 − 5 x ) − 4 + 20 x = (5 + 4 x ) + (8 − 3x )
c)
12 1 − 3x 1 + 3x = + 2 1 + 3x 3 x − 1 1 − 9x
f)
2
2
2
3 + 4x 3 x −1 = − 2 x x +1 x +x
2) Kilogram jednoho druhu bonbonů se prodává za 130 Kč, kilogram druhého druhu bonbonů za 220 Kč, kilogram směsi obou druhů stojí 205 Kč. Poměr, ve kterém jsou levnější bonbony smíchány s druhými je? 3) Na večírek přišlo třikrát více chlapců než děvčat. Po odchodu 8 chlapců a 8 děvčat zbylo na večírku pětkrát více chlapců než děvčat. Kolik chlapců a kolik děvčat přišlo na večírek? 4) Učitel matematiky prohlásil: „ Šestinu života jsem žil jako chlapec, osminu života jako mladík, polovinu života jako muž v plné síle a posledních 15 let jsem v důchodu. Učitelův věk je v rozmezí: a) 55 - 60 let b) 60 - 65 let c) 65 – 70 let d) 70 – 75 let 5) Petr otevřel nahodile oblíbenou knihu a zjistil,že součet čísel stránek je 137. Na kterých stránkách knihu otevřel? 6) Nakladatelství připravuje vydání nové knihy. Náklady na každý z prvních 370 výtisků dosahují 480 Kč. Náklady na každý výtisk jsou však už jen 45 Kč. Nakladatelství se rozhodlo prodávat knihu po 230 Kč. Jaký nejmenší počet výtisků musí nakladatelství vydat, aby za předpokladu, že se všechny výtisky prodají, nebylo vydání ztrátové. 7) Na trasu dlouhou 182 km vyjelo v 8 hodin auto A, v 8:30 auto B a v 8:45 auto C. Do cíle dojela všechna tři auta najednou. Průměrné rychlosti aut A a B se lišily o 6,5Km/h. O kolik se lišily průměrné rychlosti aut B a C?
6. SOUSTAVA LIN. ROVNIC O DVOU A TŘECH NEZNÁMÝCH metody řešení soustav lin.rovnic, počet řešení soustav lin.rovnic
1) Řešte a proveďte zkoušku: a) 30( y − x ) + 100 = 5( x − 7 y ) − 13( x + y ) − 1 = −20( x − 1) b)
3x − 1 7 y + 2 + = 2x − y 4 6 2x + 1 3 y + 2 − = 2y − x 5 7
e) ( x + 3)( y + 5) = ( x + 1)( y + 8) (2 x − 3)(5 y + 7 ) = 2(5 x − 6 )( y + 1) f)
x+ y y + = −2 5 5 2 x − y 3x 3 − = 3 4 2
c) x + 2 y − 3 z = −8 − 3x + y + 2 z = 10 2x − 3 y + 2z = 5
g) 2 x − 3 y + 4 z = 5 3x + 4 y − 2 z = 0 − 4 x + 2 y + 3z = 8
d) x − 2 y + z = 1 2x − y + 5z = 5 − x + 3 y + 2z = 0
h) 2 x + 3 y + z = 15 7x − y + z = 9 x + 2y + z = 9
2) Do 26 plechovek máme uskladnit 100 l oleje. Jestliže máme jen dva druhy plechovek, a to třílitrové a pětilitrové, kolik plechovek každého druhu budeme potřebovat? 3) Na louce se pasou koně, ovce a husy. Ovcí je více než hus. Ovce a husy mají dohromady noh a hlav 100. Husí a ovcí je třikrát víc než koní. Kolik je koní?
7. LINEÁRNÍ NEROVNICE
lineární nerovnice, způsoby řešení lin. nerovnice
1) Řešte v R nerovnici: a)
1 − 3x ≥1 x+3
c)
10 f1 x+3
b)
2x + 5 ≤1 x −1
d)
x−2 ≥2 x+3
e) ( x + 1) + ( x − 3) p 2 x 2 − 6 x + 13 2
(
2
)
(
)
f) x x 2 − 9 − ( x − 2 ) x 2 + 2 x + 4 f g)
2x + 1 2x − 1 p 3 5
h) 3 − x ≤
i)
5 4
1 + 2x 2
3x 2 x − 2 x + 1 − ≥ +1 4 3 2
j) 2 x(8 x + 5) − 4(2 x − 3)(3 + 2 x ) ≤ −
2) Řešte v N: a)
7x −1 5 + 3x + 6 f 5x − 3 2
b)
2x − 3 x + p1 4 2
7 2
8. KVADRATICKÁ ROVNICE
předpis kvadratické rovnice, typy kvadratické rovnice a jejich řešení, diskriminant a kořeny kvadratické rovnice
1) Řešte rovnici, určete druh rovnice a proveďte zkoušku: a)
5 − 3x 3 − 5 x 5 + = 3 − 5 x 5 − 3x 2
b)
x + 11 x − 1 2(x + 7 ) −4 − = x +1 x2 −1 x +1
c) (2 x + 3) − (3 x − 2 ) = (4 x − 5) − (3 x − 2 )( x + 6) 2
2
2
d) ( x + 1) − (2 x + 3) = (2 x − 2 )( x + 4) 2
2
e)
1 4 x 2 − 20 − + 2 =0 x + 4 x − 4 x − 16
f)
x+7 3 5 − 2 = 3x − 1 3x − x 2 x
2) Pro která n má rovnice x 2 + 3 n x + n + 1 = 0 jeden dvojnásobný reálný kořen.
3) Sestavte kvadratickou rovnici, jejímiž kořeny jsou čísla: 1 b) 5, a) − 2,3 3
c) 0,
2 3
4) Pro která m má daná rovnice (m + 1)x 2 + (5m + 2 )x + (6m + 1) = 0 dvojnásobný kořen?
5) U daných kvadratických rovnic určete kořen x 2 a koeficient m , znáte-li kořen x1 : a) x 2 + mx + 24 = 0, x1 = 8
b) x 2 + 7 x + m = 0, x1 = −2
4) Když vezmete dvě čísla lišící se o osm, znásobíte je navzájem a výsledek pak dělíte osmi, dostanete výsledek, který je o osm větší než součet obou původních čísel. Která jsou to čísla?
5) Určete reálné číslo m tak, aby rovnice x 2 + 4m = 0 neměla reálné kořeny: a) m f 0 b) m p 0 c) m ∈ (− 2,0) d) m p −2 e) m = −4
9. SOUSTAVY LIN. NEROVNIC, KVADRATICKÁ NEROVNICE metoda řešení lin. a kvadratických nerovnic
1) Řešte soustavu lin. nerovnic o jedné neznámé v R, řešení znázorněte na číselné ose: 5 a) 2(3x − 1) p 3(4 x + 1) + 16 c) x + 5(4 − x ) p 2(4 − x ) 3 7 − x 3 + 4x 4(2 + x ) p 3 x + 8 p −1 2 5
b)
2 x − 11 19 − 2 x + p 2x 4 2 2 x + 15 1 x f (x − 1) + 9 5 3
d) 2 − ( x + 2) ⋅ ( x − 3) ≥ 4 x − x( x − 5) x 2x − 1 x − p2+ 2 3 6
2) Řešte v R nerovnici: a) x 2 − 5 x + 6 p 0
d) − 4 x 2 + 2 x − 3 f 0
b) x 2 − 5 x − 14 f 0
e) − 9 x 2 + 3 x − 2 ≥ 0
c) x 2 + 2 x − 15 ≤ 0
f) − x 2 + 9 p 0
3 7 15 3) Na intervalu 〈 − ;2 ) řešte nerovnici x 2 − x − p 0 . 2 2 2
1 4) Na intervalu − ∞;− řešte nerovnici 6 x 2 + 7 x + 2 ≤ 0 . 2
10. FUNKCE
Definice funkce, Df , Hf, funkční hodnota v bodě, graf funkce, monotónnost, prostá fce., sudá a lichá fce.
1) Určete druh funkce, načrtněte graf, stanovte D ( f ), H ( f ) , rozhodněte zda funkce roste nebo klesá a) f1: y = −3 x + 1 , x ∈ − 2;3
)
b) f2: y = −2x 2
c) f3: y = 2 x
d) f4: y =
3 x
e) f5: y = −3
Jak se nazývá funkce inverzní k funkci y = a x ?
2) Určete v oboru R definiční obory funkcí: d) f4: y = x( x − 4)
a) f1: y = 2 x 2 + 4 x b) f2: y =
10 +2 x
e) f5: y = 1 − x 2
c) f3: y =
x 2 + x+3 x
f) f6: y =
x x+2
3) Reálné funkce f1 až f3 jedné proměnné jsou dány svými předpisy. Ke každé funkci přiřaďte odpovídající graf a určete její D ( f ), H ( f ) . a) f1: y = 2 − x 2
b) f2: y = 2 − x
c) f3: y =
1 x
11. LOGARITMICKÁ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE logaritmická funkce,
Df
, graf, dekadický a přirozený logaritmus, definice logaritmu, věty o logaritmech, úprava logaritmu
na jiný základ
1) Načrtněte graf funkce a stanovte D ( f ), H ( f ) .
d) f4: y = log 2 ( x + 2)
a) f1: y = log 2 x
e) f7: y = log 0,5 x
e) f5: y = log 2 ( x − 2 )
b) f2: y = log 2 x + 2
f) f6: y = log 2 ( x + 2 ) + 2
c) f3: y = log 2 x − 2
2) Určete v R definiční obory funkcí: 1 a) f1: y = log c) f3: y = log 4 − x 2 2x x −1 x +1 b) f2: y = log d) f4: y = log 6−x 6
(
)
f) f8: y = log 0, 5 x + 2
g) f9: y = log 0,5 ( x − 2)
e) f5: y =
1 log (3 − x ) 2
f) f6: y = 2 log (5 − x )
3) Upravte: 3
a) log 4
b) log 3 (log 3 3)
5 5
4) Řešte nerovnice: a) log (1 − 2 x ) ≥ 0
5) Řešte rovnice: a) 2 log ( x − 2 ) = log (14 − x )
(
)
)
log x 2 − 9 d) =2 log ( x + 1) 6) Vypočtěte: 1 1 + 2 log 10 10 + log 5 a) log 0,1 125 c) 4 log 6 3 + 5 log 6 2 − log 6 12
)
7) Množina řešení rovnice log x log x = 1 je: a) 10
b) − 1
f) 3 log ( x + 1) = log x − 1 g) log x 3 + 1 = log x − 1 h) log x +
(
9
e) log ( x + 2) + log ( x − 3) = log ( x + 9)
c) log( x + 3) − log x 2 − 1 = 1 − log ( x + 1) − log 2
(
3
c) log 3 x p 1 x d) log p 1 3
b) log( x + 3) f log(2 x − 4 )
b) log( x − 1) − 1 = log x
c) ln 3
c) − 1;1
1 =2 log x
2 2 − 4 log 4 + 2 25 5 d) log 3 9 + log 0, 25 0,25 + log 3 (log 3 3)
b) 2 log 4
d) {1;0,1}
e) {0,1;10}
12. EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE exponenciální funkce,
Df , H f
, graf
1) Načrtněte graf funkce a stanovte D ( f ), H ( f ) . a) f1: y = 3 x
y = 3 x+ 2 y = 3 x−2
b) f2: c) f3:
d) f4: y = 3 x + 2
g) f7: y = 0,3 x
e) f5: y = 3 x − 2
g) f8: y = 0,3 x +3
y = 3 x−2 + 2
f) f6:
i) f9: y = 0,3 x + 3
2) Určete v R definiční obory funkcí: a) f1: y = 2
1 b) f2: y = 2
x −3
x
c) f3: y = 4 x +1
3) Řešte nerovnice: a) 3
x −3
1 c) 2
b) 2 f 1
≤1
x
x+2
≥1
4) Řešte rovnice:
3 a) 5 1− x
b) 2
x +1
x
2 c) = 1 3
25 = 9
3 d) 4
= 16 g) 3 2 x + 3 x + 2 − 36 = 0 i) 9 ⋅ 3 x +
5x 4 e) x = 25 2
x −1
f)
=0
2 2
=1
5− 2 x
h) 25 2 x − 3 ⋅ 25 x = 10
81 = 90 3x
j) 3 x + 3 x +1 = 7 ⋅ 4 x − 4 x +1 10
5) Definičním oborem funkce y = 3 2 x +3 je: a) x f 3 b) x ≤ −3
c) x ≥ 0
d) x ∈ R
e) x ∈ R, x ≠ −
3 2
6) Oborem funkčních hodnot funkce y = 2 x −3 je množina y ∈ R , pro niž platí a) y f 3
b) y f 0
7) Určete řešení rovnice a) 3
b)
c) y p 3
d) y ∈ R
e) y p 0
d) 1
e) 4
d) y f 1
e) y p 1
d) 0
e) 2 / 3
3 x−6 =3 35 −2 x
1 3
c) 5
8) Všechna řešení y nerovnice 3log 3 y p 1 jsou 3
a) y p 1
b) 0 p y p 1
c) y p −1
9) Jestliže 2 x = 3 , pak platí x = a) 3 / 2 b) log 2 3 c) log 3 2
13. GONIOMETRICKÉ FUNKCE A ROVNICE
jednotková kružnice, základní vlastnosti funkcí: sinus, kosinus, tangens a kotangens, významné hodnoty goniometrických funkcí, periodičnost, sudost a lichost funkcí
1) Načrtněte graf funkce a stanovte D ( f ), H ( f ) .
g) f7: y = sin ( x − 30° )
a) f1: y = sin x
d) f4: y = cot gx
b) f2: y = cos x
e) f5: y = sin 2 x
h) f8: y = cos( x + 90°)
c) f3: y = tgx
f) f6: y = 2 sin x
i) f9: y = sin x + 2
2) Vypočítejte: π 5π 11π 5π sin ⋅ cos − sin ⋅ cos 6 3 3 6 = a) π π tg ⋅ cot g − 4 4 b) sin 30° ⋅ cos 30° − 2 ⋅ sin 45° + tg (− 60°) − 6 cos 720° = c) 3(cos 45°) − (sin 60° + tg 30°) − 2 cos 2
2
π + sin 2π = 2
3) Řešte v R rovnici: a) 2 sin 2 x − 5 cos x + 1 = 0
c) cos(2 x + 8°) =
b) 1 − 4 cos 2 x = 4 sin x
d) sin (3 x − 12°) =
1 2 2 2
4) Zjednodušte: a) (cos x − sin x )
d)
sin x − sin 3 x cos x − cos 3 x
b) 1 − cos 2 x
e)
sin 2 x 1 + cos 2 x
c) 1 − tg 2 x
f)
1 + cos 2 1 − cos 2 x
2
5) Je-li sin 3x =
π , pak 3
a) x = 1
b) x =
1 3
c) x =
2 3
d) x = 45°
e) neexistuje
d) − 1
e) neexistuje
6) Je-li tgα = 1, pak cot g 2α = a) 1
b) 2
c) 0
14. ŘEŠENÍ PRAVOÚHLÉHO TROJÚHELNÍKU
Pythagorova věta, Euklidovy věty, pravoúhlý trojúhelník
1) Pravoúhlý ∆ ABC má přeponu c = 20cm a výšku vc = 8cm . Jak velké úseky vytíná výška vc na přeponě c ? 2) Vypočítejte obsah trojúhelníka, je-li jeho obvod 364cm , nejkratší strana má délku 36cm . Trojúhelník je pravoúhlý. 3) Určete vzdálenost vrcholu obdélníka od jeho úhlopříčky, jsou-li jeho strany a = 16cm , b = 30cm . 4) Úseky přepony pravoúhlého trojúhelníku mají délky: c a = 2cm , cb = 8cm . Určete výšku trojúhelníku a délky jeho odvěsen. 5) Je dán trojúhelník o stranách 8,9,10 cm. O kolik cm je třeba zkrátit všechny strany, aby z nich bylo možno sestrojit trojúhelník pravoúhlý? 6) Výška pravoúhlého trojúhelníku ABC dělí přeponu AB na dvě části c a = 545mm , cb = 145mm . Jakou velikost má úhel β . 7) Ve čtverci ABCD se stranou a=12 cm je S střed strany AD a P pata kolmice sestrojené z bodu C k úsečce BS. Jak velká je úsečka CP?
8) Uprostřed válcové nádrže s průměrem dna 2,8 m roste rákos, který ční nad vodou délkou 28 cm. Nakloníme-li stéblo rákosu, dosahuje jeho konec hladiny vody právě u okraje nádrže. Vypočítejte hloubku nádrže a délku rákosu. 9) Jedna odvěsna pravoúhlého trojúhelníku se změní o 5% a druhá odvěsna se o 10% zvětší. Jak se změní obsah trojúhelníku? a) zmenší se o 4,5% b) zmenší se o 9%
c) zvětší se o 4,5% d) zvětší se o 5%
10) Urči, jaký je obvod pravoúhlého trojúhelníku s obsahem 6cm 2 , pro jehož vnitřní úhel α 3 platí tgα = 0,75 = : 4 a) 11,5cm b) 12,5 c) 10cm d) 12cm e) jiné řešení
15. ŘEŠENÍ OBECNÉHO TROJÚHELNÍKU
sinova a kosinova věta
1) Vypočtěte ostatní prvky ∆ ABC, je-li dáno: a = 165cm , β = 40°50´ , γ = 69°20´ .
2) Řešte ∆ ABC, je-li dáno: a = 10m , b = 12m , c = 11m .
3) Řešte ∆ ABC, je-li dáno: b = 8cm , c = 6cm , α = 120° .
4) V jakém zorném úhlu se jeví předmět 60m dlouhý pozorovateli, který je od jednoho konce vzdálen 40m a od druhého 70m ?
5) Vypočítejte nejmenší vnitřní úhel ∆ o stranách 13, 15 a 18.
6) Ve vzdálenosti v= 8 m od břehu řeky byly vytyčeny 2 A, B tak, že |AB|= c = 80 m. Z těchto bodů byl zaměřen na protějším břehu řeky pod úhly ∠CAB = α = 30° a
body bod C
∠CBA = β = 40° (viz obr.). Vypočtěte šířku řeky.
7) Letadlo letí ve výšce h= 2,5 km k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem α = 28°, při druhém měření pod výškovým úhlem β = 58°. Určete vzdálenost, kterou proletělo letadlo mezi oběma měřeními (viz obr.)
8) Je-li ω úhel sevřený stranami p, q trojúhelníka, pak pro zbývající stranu r platí: a) r = p + q − 2 pq cos ω
b) r 2 = p 2 − q 2
d) r 2 = p 2 + q 2 − 2 pq sin ω
c) r 2 = p 2 + q 2 − 2 pq cos ω
e) r = p + q − 2 pq sin ω
16. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST vztah pro n-tý člen, diference, součet n-členů
1) V aritmetické posloupnosti je dáno:
1 5
a) a18 = 4, d = − , určete s 8
c) a1 = 3, a5 = 5 , určete s 8
b) a1 = 6, a15 = 27 , určete s 25
d) a1 = 4, a 21 = 14, určete s 35
2) Aritmetická posloupnost má 11 členů. Poslední člen je 18, součet všech členů je 88. Vypočítejte první člen a diferenci v aritmetické posloupnosti. 3) Ve které aritmetické posloupnosti platí s 5 = s 6 = 60 ? 4) Kolik prvních členů aritmetické posloupnosti dává součet: a) 130, je-li a1 = 4, d = 2
c) 250, je-li a3 = 5, d = 1
b) 132, je-li a 4 = 15, d = 3
d) 180, je-li a 2 = −8, a 4 = −4
5) Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete délku přepony, když: a) kratší odvěsna je 6 cm b) rozdíl délek odvěsen je 5 cm 6) Plechovky jsou narovnány v deseti řadách nad sebou. Každá vyšší řada má o jednu plechovku méně. Ve spodní řadě je 24 plechovek. Kolik je všech plechovek? 7) Aby součet všech přirozených čísel od jedné do n přesáhl 1 000 000, musí být n rovno alespoň: a) 1 000 b) 1 212 c) 1 414 d) 1 415 8) V soutěži byly za prvních 6 míst vyplaceny odměny v celkové hodnotě 2400 Kč. Nejvyšší odměna byla za první místo, za další umístění se odměny postupně snižovaly, vždy o stejnou částku. Které tvrzení je pravdivé? a) součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 800 Kč b) součet částek pouze za 1. a 6. místo je roven 1 200 Kč c) součet částek pouze za 1. a 6. místo je větší než 1 200 Kč d) součet částek pouze za 1. a 6. místo nelze jednoznačně určit 9) Součet všech lichých čísel od 1 do 99 je: a) 1 250 b) 3 200 c) 5 500
d) 2 500
e) 1 800
10) Mezi čísla 15 a 27 je vloženo pět čísel tak, že těchto sedm čísel tvoří aritmetickou posloupnost. Prvním vloženým číslem je: a) 16 b) 17 c)18 d)20 e) 22
17. GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST vztah pro n-tý člen, diference, součet n-členů
1) V geometrické posloupnosti je dáno: a) a1 = 3, q = 2, určete a8 , s8
c) a1 = −2, q = −1, určete a5 , s 4
b)
1 , určete a6 , s 4 4 2) V geometrické posloupnosti je dáno a1 = 2, q = 3, s n = 2186. Určete n, a n . a1 = −1, q = 2, určete a10, s 5
d) a1 = 6, q =
3) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: a) a3 − a1 + 16 = 0
b)
a 4 − a 2 + 48 = 0
a5 = 40 − a3 a1 + a3 = 10
4) V geometrické posloupnosti s kvocientem 5 je první člen 2, poslední člen 1250. Kolik členů má daná posloupnost a jaký je součet jejich členů. 5) V geometrické posloupnosti je třetí člen 18 a šestý 486. Kolik členů má tato posloupnost, je-li její poslední člen 1458. 6) V geometrické posloupnosti je dán kvocient q =
a51 .
3 a člen a54 = 54 . Určete hodnoty členů a55 a 2
7) Geometrická posloupnost, která má a1 = 4, q = 3 má a n =
3 a) 4
n
b) 4 ⋅ 3 n −1
c) 3 ⋅ 4 n −1
d) 3 ⋅ 4 n +1
e) 1
8) Určete počet prvních n členů geometrické posloupnosti, pro kterou platí: a) a1 = 3, q = 5, a n = 9375, n = ? b) a1 = −2, q = 2, a n = −32, n = ? 9) Roční přírůstky dřeva v lese se odhadují na 2%. Objem dřeva v lese se zdvojnásobí přibližně za: a) 35 let b) 30 let c) 25 let d) 50let e) 60 let 10) Při testu nového antibiotika první dávka okamžitě zastavila množení bakterií a každá další dávka aplikovaná v osmihodinových intervalech okamžitě usmrtila 50% zbývajících bakterií. Na začátku experimentu bylo ve vzorku právě 1⋅ 10 6 bakterií. Kolik bakterií bude ve vzorku právě po 48 hodinách od aplikace první dávky? a)
1 ⋅ 10 6 6
b)
1 ⋅ 10 3 6
c)
1 ⋅ 10 6 32
d) 5 6
e) 4 6
18. KOMPLEXNÍ ČÍSLA
definice kompl.čísla, absolutní hodnota kompl.č., komplexní jednotka, opačné kompl. č., komplexní jednotka, algebraický a goniometrický tvar kompl. č., mocniny imaginární jednotky, Moivreova věta, umocnění kompl. č. v goniometrickém tvaru
1) Vyjádřete komplexní číslo a v goniometrickém tvaru: a) a =
b)
1 3 − i 2 2
a=−
c) a =
d) a = 5 3 + 5i
2 2 i − 7 7
e) a = 0,2 + 0, 2i 3
2 2 − i 2 2
2) Pomocí Moivreovy věty vypočítejte z 6 a výsledek zapište v algebraickém tvaru: a) z = −2 − 2i c) z = −1 + i b) z =
1 1 + i 2 2
d) z =
3) Vypočítejte: 4 2−i 2 a) + ⋅ (1 − 2i ) 1+ i 1− i
(
)
3
b) 1 + i 3 −
(
)
2 1 2 − i 6 ⋅ i 92 2
4) V oboru komplexních čísel řešte rovnici: a) x 2 + 2 x + 2 = 0 b) x 2 + 10 x + 29 = 0
c)
3 1 − i 6 6
2 − 4i 2 + (1 + 2i ) ⋅ i 7 1+ i
d) 1 + i + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 + i 6 + i 7 + i 8 =
c) x 2 − 6 x + 45 = 0 d) x 2 − x − 6 = 0
5) Sestavte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejichž jeden kořen je komplexní číslo x1 : a) x1 =
1 3 + i 2 2
6) Komplexní číslo cos π + i sin π je rovno: a) 1 b) i c) − 1 7) Komplexní číslo a) 1
1− i je rovno: 1+ i b) i c) − 1
b) x1 = −2 +
2 i 2
d) − i
e) 0
d) − i
e) 0
19. VARIACE, KOMBINACE, PERMUTACE n- faktoriál,permutace, variace, kombinace, vlastnosti kombinačních čísel
1) Řešte rovnici na množině celých čísel, proveďte zkoušku: 6 10 4 x − 1 x x −1 x − 2 − = − = 9 + a) c) x − 2 4 10 0 x − 3 x − 3 x − 4 x + 1 x + 1 − 15 + 3 = 10 b) 4 x x − 1 2) Zjednodušte: 1 3 n2 − 4 − = a) − n! (n + 1)! (n + 2)! (n + 1)! (n + 5)! (n − 5)! − − = b) (n − 1)! (n + 4)! (n − 7)! 3) Řešte rovnici: (n − 2)!+ n! a) = 1,5(n − 1)! 2 n!+ (n + 2)! b) 1 = 3,5(n + 1)!
(n + 1)! (n + 2)! n! + −2 = (n − 1)! n! (n − 2)! 3!+5! d) = 4! c)
c)
(n − 5)! (n − 3)! = 3− (n − 4)! (n − 4)!
4) Zákazník si vybírá materiál pro šatní skříně – jeden druh dřeva a jeden typ doplňků. V nabídce je 7 druhů světlého dřeva, 6 druhů tmavého dřeva, a dále 4 typy doplňků vhodných jen pro světlé dřevo, 5 typů vhodných jen pro tmavé dřevo a 2 univerzální typy pro jakýkoliv druh dřeva. Kolik vhodných dvojic (dřevo a doplňky) je možné nabídnout? 5) V pizzerii přidávají na základní pizzu podle přání zákazníka žampiony, nivu, olivy, sardele, cibuli, klobásu, šunku, papričky nebo ananas. Kolik různých způsobů ochucení pizzy alespoň jednou přísadou je? 6) Vlajka má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, k dispozici jsou barvy: červená, modrá, bílá, zelená a žlutá. a) Jaký je počet všech vlajek, které lze z těchto barev sestavit? b) Jaký je počet všech vlajek, které nemají modrý pruh uprostřed? 7) Jaký je počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu jsou každé 2 cifry různé? 8) Určete kolika způsoby lze z 8 chlapců a 5 dívek sestavit šestičlenné volejbalové družstvo, mají-li v něm být: a) právě 3 dívky b) alespoň 2 dívky 9) Jaký je počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer 1, 2, 3, 4 a 5 a které jsou větší než 40 000? 10) Kolika způsoby lze rozsadit 22 studentů na 22 míst v učebně? 11) Je dáno 6 bodů v rovině, z nichž žádné tři neleží na téže přímce. Kolik přímek je možné těmito body určit?
20. BINOMICKÁ VĚTA
Binomická věta, k-tý člen binomického rozvoje, Pascalův trojúhelník
1. Vypočítejte: a)
(1 − 5 ) 6 =
b)
(1 + 3 ) 7 =
c)
(x + 2)4 − ( x − 2) 4
d)
( x − 1) 5 − ( x + 1) 5 =
e)
(1 + i) 8 =
f)
(− k + 4) 3 + (1 − k ) 4 =
=
2. Určete šestý člen binomického rozvoje: 12
a)
3 2 5x − = x
b)
(− 2 + y )14 =
c)
m 1 − = 3
d)
6 x − x 13 =
11
e)
(b − b )
15
=
21. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA klasická definice pravděpodobnosti, jev: jistý, nemožný, opačný
1) Jaká je pravděpodobnost, že mezi čísly 1 až 30 je prvočíslo? 2) Délky výrobků v milimetrech: 854, 995, 996, 994, 1000, 998, 1002, 998, 998, 999, 1003, 998, 997, 899, 998. Určete variační šířku souboru, aritmet.průměr, modus, medián. 3) Mezi 35 výrobky jsou 4 zmetky. Vybereme 5 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi nebude zmetek? 4) Určete průměrnou známku z matematiky, znáte-li počet žáků a průměr.známku ve třídě. třída 1.A 1.B 1.C 1.D 1.E
počet žáků 32 30 24 29 30
průměrná známka z matematiky 2,63 3,01 2,21 2,56 2,83
5) Ze třiceti žáků jedné střední školy dosáhli ve fyzice výborného prospěchu 2 žáci, chvalitebného 10 žáků, dobrého 12 žáků, dostatečného 5 žáků a nedostatečného 1 žák. Jaká je pravděpodobnost, že žák náhodně dotázaný školním inspektorem byl ze skupiny: a) výborných b) chvalitebných nebo dobrých c) lepších než dostatečných? 6) Z balíčku 32 hracích karet (8 žaludů, 8 zelených, 8 červených, 8kulí) náhodně vytáhneme 5 karet. Jaká je pravděpodobnost, že a) všechny karty budou žaludy b) 3 budou žaludy a 2 červené karty? 7) Následující tabulka zachycuje měsíční příjem (v tisících Kč) zaměstnanců určité firmy. Určete průměrný měsíční příjem a medián. Která z obou charakteristik je vhodnější? měsíční příjem
7
10
15
20
40
50
80
četnost
2
3
4
2
2
1
1
8) Test všeobecných vědomostí psalo 25 žáků, 5 nejlepších žáků získalo ze 100 možných bodů průměrně 76,4 bodu, 5 nejhorších žáků získalo průměrně 22,8 bod. Jaký byl průměrný bodový zisk ostatních 15 žáků, jestliže všech 25 žáků získalo průměrně 47,8 bodu? 9) Jestliže aritmetický průměr dvanácti různých přirozených čísel je 12, potom největší z těchto čísel může být rovno nejvýše jakému číslu?
22. ROVNICE PŘÍMKY, VEKTOR
co je to vektor, směrový a normálový vektor, parametrická rovnice přímky, obecná rovnice přímky
1) Napište obecnou rovnici přímky, která je určena body: a) A = [5;−6] , B = [3;2]
b) A = [1;−4] , B = [− 2;−1]
2) Napište parametrické rovnice přímek, na kterých leží strany trojúhelníku s vrcholy A, B, C , je-li: a) A = [3;2], B = [− 7;4], C = [− 1;4]
b) A = [2;4], B = [4,9], C = [− 4;−2]
3) Jsou dány body A = [− 5;−4], B = [2;−3] . Vypočítejte souřadnice bodu C , který leží na ose x a spolu s body A a B tvoří rovnoramenný trojúhelník se základnou AB .
4) Je dána přímka p : 2 x − 3 y − 6 = 0 . Stanovte rovnici přímky:
a) m , která prochází bodem M = [1;2] a je rovnoběžná s přímkou p . b) r , která prochází bodem R = [− 3;4] a je kolmá k přímce p .
5) Vzdálenost bodu A[10, −2] od počátku souřadného systému je: a)
12
b)
104
c)
10
d) 12
e) 8
d) 0
e)
6) Přímka 7 x + 6 y = 0 vytíná na ose x úsek: a) 6
b) 7
c) − 7
7/ 6
7) Rovnice přímky, která prochází bodem A[− 2,3] a počátkem souřadného systému je: a) x + y − 1 = 0
b) 3 x + 2 y = 0
c) 2 x + 3 y = 0
d) x + 2 y − 4 = 0
e) 3 x − 2 y = 0
8) Přímka, která na ose y vytíná úsek q = −3 a 0,5 je hodnota její směrnice má rovnici: a) 2 x − y − 6 = 0
b) x − 2 y + 6 = 0
c) x − 2 y − 6 = 0
d) − 3 x = y
e) − 3 x + y = 0
9) Přímka, která svírá se záporným směrem osy x úhel 45° a na ose y vytíná úsek q=3 má rovnici: a) y = x + 3 b) y = 3 c) y = 2 x + 3 d) y = − x + 3 e) jiné řešení
10) Přímka o rovnici bx + cy − m = 0 má rovnici: a) − c / b
b) − b / c
c) − m / c
d) m / c
e) c / m
23. VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK, ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK odchylka dvou přímek, vzájemná poloha přímek v rovině
1) Napište rovnici přímky p , která prochází bodem A a je kolmá k přímce q : a) A[1;2], q : 5 x − 2 y − 3 = 0
b) A[− 2;7 ], q : 3x + 5 y − 8 = 0
2) Vypočítejte odchylku přímek p a q : a) p : x = 1 + 3t , t ∈ R q : x = 2r , r ∈ R y = −2 + 6t y = 3 + 9r b) p : x = 1 + t , t ∈ R y = −2 − t
q : y = 3x − 1
c) p : x + 3 y − 6 = 0
q : −2 x + y + 6 = 0
d) p : x = −1 + t , t ∈ R
q: y =−
y = −5 + 3t
x 7 + 3 3
3) Určete vzájemnou polohu přímek p a q : a) p : x + 2 y + 3 = 0
q: x =t, t∈R y = 3+t
b) p : 4 x − y + 11 = 0
q : − x − 4 y + 11 = 0
c) p : 2 x − 5 y + 2 = 0
q : 5x + 2 y + 5 = 0
d) p : 2 x − 5 y + 5 = 0
q : 8 x + 15 y + 10 = 0
e) p : x = 2 + t , t ∈ R y = 3 − 2t
q : x = 3 − 6t , t ∈ R y = 1 − 3t
5) Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A a je rovnoběžná s přímkou KL: b) A[3,−2], K [1,2], L[− 1,−6] a) A[1,−2], K [4,3], L[− 5,3]
6) Napište obecnou rovnici osy úsečky AB: a) A[2,5], B[− 4,3]
b) A[7,−3], B[− 3,1]
24. VZÁJEMNÁ POLOHA BODU A PŘÍMKY
vzdálenost bodu od přímky, postup při počítání vzdálenosti dvou rovnoběžných přímek
1) Určete vzdálenost rovnoběžek p, q : a) p : x + y + 6 = 0
q:x+ y−4 = 0
3 b) p : y = − x − 2 4
q : 1,5 x + 2 y − 4 = 0
c) p : x = 1 + 4t , t ∈ R y = 3t
q : 3x − 4 y + 2 = 0
2) Je dána rovnice přímky p : 2 x − y + 3 = 0 a body A[1;5] , B[− 3;2] , určete: a) který z bodů A, B leží na přímce p
b) chybějící souřadnice bodu D[d 1 ,9] , aby D ∈ p c) vzdálenost bodů A, B od přímky p
3) V trojúhelníku ABC , kde A[− 5;2], B[3;−4], C [− 1;−5] vypočítejte výšku vc a pak ji využijte k výpočtu obsahu trojúhelníku.
4) V trojúhelníku ABC , A[3;4], B[7;8], C [9;5], určete výšku v a , vypočítejte s její pomocí obsah ∆ABC.
5) Je dána přímka q : x = 3t , y = 12 − 4t , t ∈ R . Určete její vzdálenost od rovnoběžné přímky p procházející počátkem souřadnicového systému.
25. KUŽELOSEČKY
kružnice, elipse, hyperbola, parabola - nákres, popis, střed, délky poloos, excentricita, obecná a parametrická rovnice
1) Napište rovnici kružnice ve středovém i obecném tvaru, má-li střed S a prochází bodem A. a) S [− 5;1], A[− 6;−2]
c) S [6;−2], A[4;0]
b) S [− 3;2], A[− 1;4]
d) S [0;−2], A[4;0]
2) Napište rovnici elipsy ve středovém tvaru, která prochází body A, B, S [0;0]: a) A[8;3], B[6;4]
b) A[2;4], B[5;−2]
3) Zjistěte, zda rovnice je rovnicí elipsy. Je-li tomu tak, určete její střed a délky os. a) x 2 + 4 y 2 + 4 x − 8 y + 4 = 0 b) x 2 + 2 y 2 − 10 x + 12 y + 41 = 0 c) 9 x 2 + 2 y 2 − 18 x + 24 y + 75 = 0
4) Je dána kružnice o rovnici x 2 + y 2 = 25 a bod A[0,6]. Rozhodněte o poloze bodu A vzhledem ke kružnici: a) leží vně kružnice b) leží uvnitř kružnice d) leží na kružnici
c) nelze rozhodnout
26. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY
počet společných bodů, způsob řešení
1) Určete souřadnice společných bodů přímky a kuželosečky k : a) p : x + y − 1 = 0
k : x 2 + y 2 − 6x − 4 y − 3 = 0
b) p : x = 5 + 2t , t ∈ R y = −1 + t
k : 2x 2 + y 2 − 8x − 4 y − 6 = 0
c) p : 2 x + 3 y + 13 5 = 0
k : x 2 + y 2 = 65
d) p : y =
3 1 x− 5 5
k : ( x + 3) − ( y + 2 ) = 16 2
2
2) Určete číslo m tak, aby přímka 3 x + 4 y + m = 0 byla tečnou kružnice k : x 2 + y 2 = 25 .
27. ÚLOHA Z PRAXE Pro DN 1) Deska váží 74,6kg při vlhkosti 64,5% . Vypočtěte: a) kolik kg vody musíme odpařit, má-li se vysušit na vlhkost 0% . b) kolik vody musí takto vysušená deska přijmout, aby měla vlhkost 12% .
2) Pilařský výřez redukcí upravený na válec má průměr 46cm a délku 3,5m . Při redukci byla z obvodu odebrána vrstva dřeva o průměrné tloušťce 3mm . Vypočítejte % odpadu vzniklého redukcí.
3) Vypočítejte průměr průřezu a % výtěže pro výrobu hranolu čtvercového průřezu, jestliže vysušený hranol má být široký b = 360mm a dlouhý 2m (délka hranolu=délka výřezu). Přídavek na sesychání v šířce hranolu je 5,8mm .
Pro SP Na obr. je půdorys obvodové zdi. Konstrukční výška podlaží je 285cm . Vypočtěte objem zdiva a spotřebu obyčejných cihel a malty u zdi A a C a u celé zdi. Na 1m 3 počítejte 280ks cihel a 0,28m 3 malty.
28. UKÁZKY PŘIJÍMACÍCH TESTŮ NA VŠ u testu 1 a 2 je správná vždy pouze jedna odpověď
TEST 1 (FSI VUT v Brně) str.1
1) Je-li a > 0 , pak
5
12 −1 a ⋅a 3 a
−3
=
a) a
b)
a
c)
1 a
d)
3
a
e)
5
a
1b
1 1 + = 3+ 2 3− 2
2)
b) 2 3
a) 3 2 3) Nerovnice
2 3 c) 5
x 2 > 1 má řešení
d)
a) x < 1
2
1b
2 e) 3
2 3
b) x > 1 c) x < 1 d) x > 1
e) x > −1
1b
4) Řešením nerovnice x 2 − 3x ≤ 0 je a) x ∈ R
b) x ≤ 0
c) x ≤ 3
d) x ∈ 〈 0;3〉
e) nemá řešení
5) Rovnice x 2 + 2 x + y + 1 = 0 je rovnicí a) elipsy
b) hyperboly
1b
c) kružnice
d) úsečky
e) paraboly
6) Přímky o rovnicích p : 2 x − 5 y + 13 = 0 ; q : 2 x + 5 y + 13 = 0 mají společné a) dva body
1b
právě:
1b
b) jeden bod c) žádný bod d) všechny body e) nelze rozhodnout
7) Množina všech bodů v prostoru stejně vzdálených od dvou různých pevných bodů je a) osa souměrnosti b) rovina souměrnosti c) neexistuje d) koule e) kružnice
1b
8) Řešením rovnice sin x + sin( − x) = 0 jsou právě všechna x ∈ R , pro která platí ( k je celé číslo) 1b π o a) x ≠ π + 2kπ b) x ≠ + kπ c) x ∈ R d) rovnice nemá řešení e) x ≠ 360 2 9) Je-li sin x = cos x , x ∈ 0;π , potom π π a) x = 0 b) x = c) x = 4 2 10)
(73) − (37) =
()
a) 7 0
()
b) 1 0
d) x =
()
c) 7 4
d) 0
3π 4
e) x = π e) není definováno
1b
1b
str.2 Rovnice x 4 + 1 = 0 má v oboru komplexních čísel právě
11)
a) čtyři kořeny
b) tři kořeny
c) dva kořeny
1b
d) jeden kořen
e) žádný kořen
3
12) Nerovnice 3log 3 y < 1 má řešení a) y > 1
b) 0 < y < 1
1b c) y < −1
y >1
d)
e) y < 1
13) Řešeními nerovnice 3x − 2 ≤ 1 jsou právě všechna x ∈ R , pro která platí a) x ≥ 0
b) x ≥ 2
c) x ≤ 2
d) x ≤ −2
e) 2 ≤ x ≤ 3
14) n -tý člen geometrické posloupnosti a1 = 4; q = 3 je 4 a) an = 3
1b
1b
n
b) an = 4 ⋅ 3n −1 c) an = 3 ⋅ 4n −1 d) an = 3 ⋅ 4n +1
e) an = 3 ⋅ 4n
15) V desetilitrové nádobě je 8 litrů vody. Kolik procent objemu nádoby bude tvořit její prázdná část, jestliže z ní vylejeme 6 litrů? 1b a) 80 16)
b) 25
6
d) 75
e) 50
y ⋅ 3 y −2 ⋅ 6 y 3 je pro y > 0 roven
Výraz a)
c) 20
y
b)
3
y
2b
c) y y
2x − 4 je kladný pro 9 − 3x a) všechna x b) x ∈ ( −∞; 2 )
y −1
d)
e) − 6 y
17) Výraz
18)
c) x ∈ ( 2;3)
d) x > 0 e) není kladný pro žádné x
2b
Součet všech vnitřních úhlů pětiúhelníka je roven
a)180o
b) 270o
c) 360o
d) 540o
e) 720o
2b
19) Výraz 1 − cos 2x lze upravit na tvar a) 20)
0
b)
2sin x
Je-li log x +
a) ±0.1
c) 2sin 2x d) sin 2 x
e) 2sin 2 x
1 = 2 , pak x = log x
b) 1
c) 10
d) ±10
e)
1 10
2b
2b
1b), 2b), 3b), 4d), 5e), 6b), 7b), 8c), 9b), 10e), 11a), 12b), 13c), 14b), 15a), 16b), 17c), 18d), 19e), 20c)
TEST 2 (FAST VUT v Brně) str.1
1. tgx + cot gx = a) sin x ⋅ cos x b)
1 c) 1 sin x + cos x
2. Všechna řešení nerovnice log a) x p 0
d)
2 sin 2 x
e)
1 1 + . sin x cos x
x p 0 jsou 3 c) x ∈ (0;3)
b) x p 3
d) x ∈
1 ;3 3
3. Které reálné číslo je řešením rovnice 21− x = 16 x a) 0 b) 5 c) 1 / 5 d) nemá řešení
e) žádné reálné x .
e) − 1 / 5 .
4. Střed kružnice vepsané obecnému trojúhelníku je v průsečíku a) výšek b) os stran c) os úhlů d) těžnic
e) neexistuje.
5. Přímka o rovnici bx + cy − m = 0 má směrnici
c b
b) −
b c) c
1 ln 2 3
b) −
1 ln 2 6
a) −
6. ln
2 3
4
m c
d) −
m c
e)
m . b
=
a)
2
c)
d)
1 ln 2 6
d)
3
e) − 2 .
7. Je-li cos 2 x = 0,5; x ∈ 0; π / 2 , pak tgx = a) − 3
b) 1
c)
3 3
e) není definován.
8. Kvadratická rovnice 3 x 2 − 12 x + 15 = 0 má jeden kořen 2 + i , druhý kořen je a) 5 b) 2 + i c) − 2 − i d) 2 − i e) − 2 + i .
9.
3
x2 ⋅ 6 x3 ⋅ x = 5
a) x 3
1
b) x
c) 0
d) 1
e) x 2 .
10. Všechna řešení nerovnice x − 3 p 0 jsou reálná čísla,pro něž platí a) x f 3
b) x p 3
c) x ≥ 3
d) x ∈ R
e) nerovnice nemá řešení.
1− i dostaneme i b) 1 + i c) −1 + i
str.2
11. Dělení komplexních čísel a) 1 − i
d) −1 − i
e) 1 .
d) 15 / 13
e) 210 .
15 14 14 ⋅ ⋅ 14 14 13
12.
a) 2730
15 13
c)
b) 0
13. Poměr obsahu kruhu o poloměru r k délce jeho hraniční kružnice je b) r ⋅ π c) 2 : r d) r : 2 e) r : 2π . a) π : r
14. Usměrněte zlomek a)
3− 2
3− 2
, výsledek
3+ 2 b) 3 − 2
c) 1
d) 3
e) 5 − 2 6 .
15. Objem krychle o hraně (a + 1) je roven a) a 3 + 1
b) a 2 + 2a + 1 c) a 3 + 2a 2 + 1 d) a 3 − 1
e) a 3 + 3a 2 + 3a + 1 .
16. Přičteme-li k číslům 2,7,17 stejné číslo, vzniknou první tři členy geometrické posloupnosti, jsou to a) 5,10,20 b) 3,9,18 c) 3,8,15 d) 4,9,6 e) 2,7,14.
2 17. 3
−2
−1
0
4 6 − − = 5 7 a) 5 / 3 b) 1 / 5
c) 0
d) − 1 / 7
e) 1 .
18. Na souřadné ose y určete všechny body, které mají od bodu A = [0;2] vzdálenost rovnou 5 . a) [6;0]
b) [− 2;2]
c) [0;7]
d) [0;7 ], [0;−3]
e) [0;−3] .
19. V aritmetické posloupnosti je a 4 = 0, a 6 = −4 , první člen této posloupnosti je a) 0
b) 2
c) − 2
d) − 6
20. V oboru reálných čísel řešte rovnici 3 x − 6 = 4 − x, x = a) 19;2 b) 10;7 c) -10;-7 d) 6
e) 6 .
e) nemá řešení
1d), 2c), 3c), 4c), 5b), 6b), 7c), 8d), 9a), 10e), 11d), 12e), 13d), 14e), 15e), 16a), 17c), 18d), 19e), 20e).
TEST 3 (MZLU v Brně) 2 x 2 x x −1 je pro přípustné hodnoty proměnných roven: 1. Výraz − 2 : y y y xy x x −1 x x B. C. D. E. . A. 2 x −1 x −1 x 1− x (x − 1)
2. Rovnice 5 x 2 − 12 x + 8 = 0 má v oboru komplexních čísel řešení: A. x1, 2 = −
6 2 ± i 5 5
B. x1, 2 =
D. x1, 2 =
6 2 ± i 5 5
3. Množina všech řešení nerovnice
8 3
A. − ∞, ∪ (5, ∞ )
D. − ∞,
8 3
6 ± 4i 5
C. nemá řešení
E. nekonečně mnoho.
x+2 ≤ 2 v oboru R je: 5− x 8 , 5) B. C. (− ∞, ∞ ) 3 8 E. − ∞, ∪ (5, ∞ ) . 3
4. Rovnostranný kužel má výšku v . Jeho povrch je: A. πv 2
B. 3πr 2
C. 3πv 2
D.
πv 2 2
E. 4πv 2
5. Funkce y = log 4 − x 2 má v množině reálných čísel definiční obor: A. (− ∞,2 )
B. (− ∞,−2) ∪ (2, ∞ )
C. (− 2,2 )
D. − 2, 2
6. Součet všech dvojciferných sudých přirozených čísel je: A. 2376 B. 2430 C. 2700 D. 2916
E. (− ∞, − 2 ∪ 2, ∞ ) .
E. 2970.
n n −1
je pro přípustné hodnoty přirozeného čísla n roven: 7. Výraz ⋅ 2 n − 3 A. 2n 2 − 4n
(
B. n 2 − 3n + 2
)
C. (n − 1)
2
D.
(n − 1)2 2
E. n 2 + 1
8. Rovnice 2 1 − sin 2 x = 2 + 3 cos x má v oboru R pro přípustné hodnoty x řešení:
π 2π π 5π + 2kπ , x 2 = + 2kπ B. x1 = + 2kπ , x 2 = + 2kπ 3 3 6 6 π 11π 4π 5π C. x1 = + 2kπ , x 2 = + 2kπ D. x1 = + 2kπ , x 2 = + 2kπ 6 6 3 3 2π 4π E. x1 = + 2kπ , x 2 = + 2kπ 3 3 A. x1 =
9. Přímka, která prochází bodem A[1,−2] a je kolmá na přímku p = KL, K [4,−3], L[− 5,3] , má obecnou rovnici: B. 2 x − 3 y − 4 = 0 C. 3 x + 2 y + 1 = 0 D. 2 x + 3 y + 8 = 0 A. 3 x − 2 y − 7 = 0 E. 3 x − 2 y + 1 = 0
10. Rovnice A. 1
x 2 + 3 x = x + 1 má v oboru R řešení: 2 4 B. ,1 C. 0, 3 3
D.
1 ,1 4
E.
5 4 , 6 3
