PRIME ALGORITM ON MINIMUM SPANING TREE (Case Study: PDAM Pipe Installation in the Green Palm Resort Makassar) Syafruddin S1
Neldi2
1)
2)
Jurusan Matematika, FMIPA-, Universitas Negeri Makassar
[email protected]
Jurusan Matematika, FMIPA-, Universitas Negeri Makassar
[email protected]
ABSTRACT
Info: Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi: Januari – Juni 2014 Artikel No.: 6 Halaman: 35 - 44 ISSN: 2355-083X Prodi Matematika UINAM
Graph is one of choice application for the district problem in a true fact of PDAM, Specially at pipe installation problem of PDAM. By this script I will explaint about of Graph Application with the Spanning Tree Minimum with algorithm Prim at pipe installation of PDAM on Green Palm Real Estate Makassar, and determine minimum cost at PDAM Pipe installation. Method of this script is a Survey and investigation Method. The points of spanning tree minimum progressing with Algoritma Prim: (1) T is empty, (2) Put the new minimum capacity (u.v). connect the (u,v) with the new (u,v),and (3) repeat step 2 much as for n-1 times.The points to determine the minimum cost at the pipe installation of PDAM in Green Palm Real Estate Makassar : (1) Design first the graph installation, (2) determine the short paths at the Graph installation to make the minimum cost. By the explaint above, can we concluded if, many side in patent graph can make little capacity of spanning tree minimum and that working. Almost of minimum cost from the survey at pipe installation of PDAM in Green Palm real estate Makassar are, Rp 7.040.000,-. The Graph spanning tree minimum by algorithm Prim also can use to surveying with other spanning tree minimum graph with the other algorithm. Key word : Graph, Green Palm Real Estate Makassar, Spanning Tree Minimum, Algorithm Prim, Microsoft visual basic
1. PENDAHULUAN Tahun 1847, G.R. Kirchoff (1824-1887) berhasil mengembangkan teori pohon (Theory of trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik. Sepuluh tahun kemudian, A. Coyley (1821-1895) juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon.Pohon sudah lama digunakan sejak tahun 1857, ketika matematikawan Inggris Arthur Cayley menggunakan pohon untuk menghitung jumlah senyawa kimia (Munir, 2005:445).Namun pada graf pohon juga dapat digunakan untuk menghitung lintasan atau jaringan terpendek dengan biaya yang minimum. Masalah biaya minimum ini dapat diselesaikan dengan menggunakan pohon rentang minimum, dimana pada pohon rentang minimum ini memiliki sejumlah penerapan praktis yang penting. Sebagai contoh, menentukan jalur transportasi apa yang harus disediakan untuk melayani seluruh lokasi dengan total biaya yang
minimum dan menentukan persoalan minimasi jaringan. Contoh ini bisa berkaitan dengan jaringan kerja komunikasi dalam skala luas atau jaringan kerja distribusi (Hiller,1990:336). Dalam menentukan suatu perencanaan pelaksanaan pembuatan suatu proyek, utamanya pada perencanaan pemasangan pipa PDAM atau proyek lainnya diperlukan rencana yang baik, agar dalam menentukan biaya operasional atau estimasi biaya perencanaan proyek tersebut tidak hanya ditentukan begitu saja, namun dapat ditentukan dengan baik. Hal ini dimaksudkan karena estimasi biaya suatu proyek merupakan hal yang penting, mengingat ketidak-akuratan dalam estimasi biaya dapat memberikan efek negatif pada seluruh proses konstruksi dan semua pihak yang terlibat dalam proyek tersebut. Graf pohon adalah cara untuk mengaplikasikan masalah pohon rentang minimum, dimana graf pohon ini digunakan untuk membentuk pohon rentang minimum, sehingga menghasilkan hasil
35
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014 jaringan terpendek dan estimasi biaya yang minimum. Peneliti sebelumnya, telah melakukan penelitian yang berhubungan dengan masalah algoritma Kruskal dalam pemecahan masalah pohon merentang minimum (Ya Yanti, 2013), dimana peneliti mencari jarak terpendek pada pendistribusian listrik dengan menggunakan algoritma Kruskal. Namun setelah peneliti mengkaji dan memahami algoritma lain yang digunakan dalam masalah pohon merentang minimum. Maka dalam hal ini peneliti tertarik untuk menggunakan algoritma lain yaitu algorima Prim untuk menyelesaikan masalah pohon merentang minimum pada pemasangan pipa PDAM dengan meneliti biaya minimumnya. 2. KAJIAN PUSTAKA Penelitian yang Berkaitan Pada pohon merentang minimum terdapat berbagai macam algoritma yang digunakan, diantaranya adalah algoritma kruskal yang digunakan oleh peneliti sebelumnya. Algoritma kruskal adalah salah satu algoritma yang digunakan untuk menentukan pohon merentang minimum, dimana peneliti sebelumnya menggunakan algoritma kruskal ini untuk mencari jarak terpendek pada pendistribusian listrik (Ya Yanti,2013). Selanjutnya, setelah peneliti mengkaji algoritma kruskal dalam pemecahan masalah pohon merentang minimum yaitu mencari jarak terpendek pendistribusian listrik maka, (Kodirun,2009) membandingkan algoritma kruskal dengan algoritma lainnya, yaitu algoritma prim pada pohon merentang minimum. Peneliti menjelaskan bahwa perbedaan prinsip antara algoritma prim dan algoritma kruskal adalah jika algoritma prim sisi yang dimasukkan ke dalam T harus bersisian dengan simpul di T, sedangkan algoritma kruskal sisi yang dipilih tidak perlu bersisian dengan sebuah simpul di T asalkan penambahan sisi tersebut tidak membentuk sirkuit. Hal ini mengakibatkan banyaknya jumlah proses perbandingan algoritma prim lebih sedikit disbandingkan dengan algoritma kruskal. Algoritma prim lebih berorientasi kepada pencarian simpul sedangkan
algoritma kruskal pada pencarian sisi, dengan sisi-sisi tersebut harus diurutkan dan ini memakan waktu yang cukup lama, apalagi pada saat menguji kasus untuk masukkan yang berbeda algoritma prim unggul saat graf memiliki banyak sisi. Namun saat simpul yang diberikan banyak tetapi sisi yang menghubungkan simpul itu hanya sedikit, algoritma kruskal bisa lebih unggul. Algoritma Prim Algoritma Prim adalah sebuah algoritma dalam teori graf yang bisa mendapatkan pohon merentang minimum dari sebuah graf yang diberikan. Algoritma ini ditemukan pada tahun 1930 oleh seorang metematikawan Voljtech Jarnik, dan lalu secara terpisah oleh ahli computer Robert C. Prim di tahun 1957 , kemudian dikembangkan lagi oleh Dijkstra di tahun 1959. Algoritma ini tergolong dalam algoritma greedy, dimana kita mencari nilai minimum perbagian, berharap itu juga merupakan nilai total minimum. Pada algoritma Prim, misalnya T adalah pohon merentang yang sisi-sisinya di ambil dari graf G. Algoritma Prim membentuk pohon merentang minimum langkah perlangkah. Pada setiap langkah kita mengambil sisi e dari graf G yang mempunyai bobot minimum dan berisian dengan simpul-simpul di dalam T tetapi e tidak membentuk sirkuit di dalam T. Perbedaan prinsip antara algoritma Prim dan algoritma Kruskal adalah jika pada algoritma Prim sisi yang dimasukkan ke dalam Tharus bersisian dengan semua simpul di T, maka pada algoritma Kruskal sisi yang dipilih tidak perlu bersisian dengan sebuah simpul di T asalkan sisi tersebut tidak membentuk sirkuit. (Munir, 2005:450). Adapun langkah – langkah Algoritma Prim : 1. 2. 3.
Isi Tdengan sisi e yang berbobot minimum di dalam E. k=0 Selama k < (n-1) lakukan: a. Tentukan jalur 𝑒 ∈ 𝐸 yang berbobot minimum dan bersisian dengan simpul di T.
37
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014 b. Jika e ditambahkan ke T yang bersisian dan tidak menghasilkan sirkuit, maka : i. Tambahkan e ke T ii. n = k + 1 c. Hapus e dari E.
Green Palm Makassar dengan menggunakan algoritma Prim. Berikut ini merupakan lokasi penelitian yang dilakukan oleh penulis untuk mengadakan penilitian dengan menggunakan bantuan internet yang tampak pada gambar berikut:
3. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang akan digunakan adalah kajian pustaka yakni dengan mengkaji literaturliteratur yang berkaitan dengan teori graf terkhusus pada masalah yang berhubungan pohon rentang minimum dan Algoritma Prim. 4. Hasil dan Pembahasan Pohon Merentang Minimum Pemasangan Pipa PDAM
pada
Persoalan pohon merentang minimum yaitu menentukan sisi-sisi yang menghubungkan simpul-simpul yang ada pada sumber sehingga diperoleh panjang sisi total yang minimum. Maka persoalan pohon merentang minimum pertama pada pemasangan pipa air bersih adalah menentukan pola pemasangan pipa air dimana, pipa harus dihubungkan dari sumber air utama (pipa induk) ke pengguna. Namun proses tersebut harus melalui sumber-sumber air. Dimulai dari sumber air utama (pipa induk) yang dihubungkan ke sumber air, kemudian dari sumbe air tersebut dihubungkan ke rumah-rumah warga atau perumahan, dengan jarak yang minimum dengan menggunakan algoritma Prim sehingga menghasilkan biaya pemasangan yang minimum. Menentukan pohon merentang minimum pada pemasangan pipa PDAM di perumahan Green Palm Makassar Dari hasil penelitian yang dilakukan oleh penulis maka penulis dapat menentukan biaya minimum pada pemasangan pipa PDAM di perumahan
38
Berdasarkan gambar perumahan diatas dan hasil penelitian yang dilakukan oleh peneliti maka dapat dimodelkan dalam bentuk graf atau jaringan seperti tampak pada gambar 4.14 dibawah ini, dimana setiap simpul melambangkan titik-titik air dari sumber air utama ke rumah pada perumahan sedangkan setiap sisi melambangkan pipa yang menghubungkan setiap titik air. Sedangkan bobot melambangkan biaya pemasangan pipa PDAM ke setiap rumah. Dari gambar 2 diketahui distribusi air memiliki 15 simpul dan 23 sisi.Akan didapat pohonmerentang minimum yang memiliki 15 simpul dan 14 sisi (n-1). Langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan pohon merentang minimum dengan menggunakan algoritma Prim adalah sebagai berikut: Langkah 1 : Pilih sebarang titik awal yaitu A lalu dilanjutkan mengambil sisi berbobot minimum dari graf G2, misalkan sisi AC dengan bobot 48 kemudian tandai dengan warna merah.
No
Nama Tempat
Jarak (m)
Biaya/meter
Sisi
Bobot
1
Sumber air A – rumah C
3 meter
Rp. 160.000.,
(A,C)
48
2
Sumber air A – sumber air B
6 meter
Rp. 160.000.,
(A,B)
96
3
Sumber air B – sumber air D
4 meter
Rp. 160.000.,
(B,D)
64
4
Sumber air B – rumah L
8 meter
Rp. 160.000.,
(B,L)
128
5
Rumah C – rumah E
4 meter
Rp. 320.000.,
(C,E)
128
6
Sumber air D – rumah E
3 meter
Rp. 160.000.,
(D,E)
48
7
Sumber air D – sumber air F
2 meter
Rp. 160.000.,
(D,F)
32
8
Sumber air F – rumah L
3 meter
Rp. 160.000.,
(F,L)
48
9
Sumber air F – rumah M
3 meter
Rp. 160.000.,
(F,M)
48
10
Rumah E – rumah M
2 meter
Rp. 325.000.,
(E,M)
65
11
Rumah M – rumah N
2 meter
Rp. 325.000.,
(M,N)
65
12
Sumber air F – sumber air G
2 meter
Rp. 160.000.,
(F,G)
32
13
Rumah L – rumah K
2 meter
Rp. 325.000.,
(L,K)
65
14
Rumah K – rumah J
2 meter
Rp. 325.000.,
(K,J)
65
15
Sumber air G – rumah K
3 meter
Rp. 160.000.,
(G,K)
48
16
Sumber air G – rumah N
3 meter
Rp. 160.000.,
(G,N)
48
17
Sumber air G – sumber air H
2 meter
Rp. 160.000.,
(G,H)
32
18
Rumah N – rumah O
2 meter
Rp. 325.000.,
(N,O)
65
19
Sumber air H – rumah J
3 meter
Rp. 160.000.,
(H,J)
48
20
Sumber air H – rumah O
3 meter
Rp. 160.000.,
(H,O)
48
21
Rumah J – rumah I
2 meter
Rp. 325.000.,
(J,I)
65
22
Sumber air H – rumah I
4 meter
Rp. 160.000.,
(H,I)
64
23
Rumah O – rumah I
8 meter
Rp. 160.000.,
(O,I)
128
A
48
Langkah 2 :Pilih sisi dengan bobot minimum berikutnya dan bersisian dengan titik sebelumnya. Misalkan sisi yang dipilih adalah AB dengan bobot 96.
C
128
E
96
B
64
48
D
65
32
M 48
F
65
48 32
65
O 48
G
32
H
48
48 128
N
L
65
K
64
128
48 65
L
65
I
Gambar 3: Langkah 1 graf G2 39
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014 48
A
48
A
C 65
E
96 64
B
C
128
128
48
32
D
M 48
F
65
48 32
O
32
G 48
L
65
64
H
128
65
E
96
48
48 128
65
N
64
B
48
32
D
48 65
K
48
F
65
48 32
128
I
Gambar 4: Langkah 2 graf G2
65
N
O 48
32
G
L
65
128
48 65
K
64
H
48
48 65
L
M
65
L
I
Gambar 7: Langkah 5 graf G2
Langkah 3 :Selanjutnya sisi yang dipilih adalah sisi BD dengan bobot 64 yang bersisian dengan titik sebelumnya.
Langkah 6 :Selanjutnya sisi yang dipilih adalah sisi FG dengan bobot 32. 48
A
C
128
A
48
C
128
E
96
B
64
48
D
65
32
M 48
F
65
48 32
N
65
O
L
G
32
K
64
H
65
L
I
B
64
D
O 48
32
G 48
L
65
128
48 65
K
64
H
65
L
I
Langkah 7 :Karena masih terdapat sirkuit pada graf G2maka sisi selanjutnya yang dipilih adalah sisi GH yang bersisian dengan titik sebelumnya.
A
48
C
128
E
96 65
32
M 48
F
65
48 32
N
65
O
L
65
B
48
G
32
H
48
48 128
48 32
65
N
Gambar 8: Langkah 6 graf G2
128
48
F
65
48 65
C
E
32
48
128
Langkah 4 :DF adalah sisi yang dipilih selanjutnya dengan bobot 32.
96
D
M
48
Gambar 5: Langkah 3 graf G2
48
64
65
128
48
65
B
48
48
48 128
A
E
96
K
64
128
48 65
L
65
64
48
D
65
32
M 48
F
65
48 32
65
O 48
G
32
H
48
48 128
N
L
65
K
64
128
48 65
L
65
I
I Gambar 9: Langkah 7 graf G2
Gambar 6: Langkah 4 graf G2 Langkah 5 : Karena pada graf tersebut masih memiliki sirkuit maka di pilih sisi selanjutnya yang bersisian dengan titik sebelumnya, sisi DE adalah sisi yang bersisian dengan titik sebelumnya dengan bobot 48.
40
Langkah 8 :Selanjutnya sisi yang bersisian dengan titik sebelumnya adalah sisi FM yang memiliki nilai minimum.
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014 48
A
48
A
C
128
128 65
E
96 64
B
C
48
M 48
32
D
F
65
N
48 32
L
65
E
96
O 48
32
G K
64
H
48
48 128
65
B
128
48
64
D
65
L
32
M 48
F
65
48 32
N
128
I
65
O 48
G
32
L
65
K
64
H
48
48
48 65
65
128
48 65
L
65
I
Gambar 10: Langkah 8 graf G2
Gambar 13: Langkah 11 graf G2
Langkah 9 :FL adalah sisi yang dipilih selanjutnya dengan bobot 48.
Langkah 12 :Pilih garis dengan bobot minimum selanjutnya dan bersisian dengan titik sebelumnya. Sisi HO dan HI dengan bobot 48 dan 64. Karena sisi HO memiliki nilai yang minimum dan bersisian dengan titik sebelumnya maka HO yang dipilih.
48
A
C
128
E
96 64
B
65
48
D
M 48
32
F
65
48 32
O 48
32
G
L
65
K
64
H
48
48 128
65
N
128
A
65
L
C
128
48 65
48
I
E
96
B
64
48
D
65
32
M 48
F
65
48 32
128
65
O 48
G
32
H
48
48
Gambar 11: Langkah 9 graf G2
N
L
65
K
64
128
48 65
L
65
I
Langkah 10 :Pilih sisi dengan bobot berikutnya dan bersisian dengan titik sebelumnya. Sisi yang dipilih adalah GN. A
48
Gambar 14: Langkah 12 graf G2
C
128
E
96
B
64
48
D
65
32
M 48
F
65
48 32
O 48
G
32
H
48
48 128
N
65
L
65
K
64
128
48 65
L
65
I
Gambar 12: Langkah 10 graf G2
Langkah 13 :Pilih sisi dengan bobot minimum selanjutnya dan bersisian dengan titik sebelumnya. Ada 3 sisi yaitu HJ, HI, dan IJ dengan bobot 48, 64, dan 65.Sisi IJ tidak dipilih karena memiliki bobot yang tidak minimum dan tidak bersisian dengan titik sebelumnya.Sisi HI dan HJ bersisian dengan titik sebelumnya tetapi sisi HI tidak dipilih karena memiliki bobot lebih tinggi dari pada sisi HJ, maka sisi HJ yang dipilih.
Langkah 11 : Selanjutnya sisi yang dipilih adalah sisi GK dengan bobot 48.
41
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
A
48
C
128
B
65
E
96 64
48
M
32
D
48
F
65
N
48 32
O 48
G
32
L
65
K
64
H
48
48 128
65
128
48 65
L
65
I
Gambar 15: Langkah 13 graf G2 Langkah 14 : Selanjutnya sisi yang dipilih adalah sisi HI yang bersisian dengan titik sebelumnya. Ini merupakan langkah terakhir karena setiap titik yang ada pada graf G2terhubung. A
48
C
128
E
96
B
64
48
D
65
32
M 48
F
65
48 32
65
O 48
G
32
H
48
48 128
N
L
65
K
64
128
48 65
65
L
I
Selain algoritma Prim ada masih banyak algoritma yang dapat digunakan untuk membuat pohon merentang minimum, diantaranya algoritma Sollin dan lainya dimana letak perbedaanya adalah pada langkah-langkah pencarian pohon merentang minimum.Namun untuk menentukan biaya suatu proyek pemasangan pipa atau yang lainnya lebih efektif menggunakan algoritma Prim karena pada saat kita ingin menentukan biaya suatu proyek tersebut namun hanya beberapa rumah atau desa yang ingin dikerjakan maka algoritma ini sangat efektif utamanya pada proyek yang sifatnya memiliki sumber utama seperti air PDAM atau Listrik PLN. Simulasi Algoritma Prim pada Pohon Merentang MinimumMenggunakan Bahasa Pemprograman Microsof Visual Basic 6.0 Pada bagian ini akan dibahas simulasi atau cara kerja program yang telah dibuat dengan menggunakan bahasa pemprograman Microsof Visual Basic 6.0, sebagai berikut : 1. Masukkan simpul-simpul pada graf
Gambar 16: Langkah 14 graf G2 Pada langkah 14 merupakan langkah terakhir yang dilakukan. Sehingga diperoleh pohon merentang minimum seperti pada gambar berikut: A
48
E
96
B
C
64
48
D
M 32
48
F
N 48 32
O
G
32
H
48
48
L
Gambar 18: Simpul-simpul pada graf
48
K
64
48
L
I
Gambar 17: Pohon merentang minimum G2 Berdasarkan gambar pohon merentang minimum diatas dengan total bobot 48 + 96 + 64 + 48 + 32 + 48 + 48 + 32 + 48 + 48 + 32 + 48 + 48 + 64 = 704, Maka biaya yang digunakan untuk pemasangan pipa PDAM di perumahan Green Palm Makassar yang menghubungkan setiap rumah yang ada pada perumahan tersebut adalah sebesar Rp. 7.040.000,-.
42
gambar 18 merupakan proses dimana kita memasukkan simpul-simpul pada graf yang nantinya akan dihubungkan. 2. Buat sisi pada graf dan masukkan bobot pada sisi tersebut.
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014 Gambar 19: Buat sisi pada graf Dari gambar 19 merupakan proses dimana setelah memasukkan simpul-simpul yang akan dihubungkan, selanjutnya adalah menghubungkan simpul-simpul tersebut dengan garis, dimana garis yang menghubungkan simpul-simpul tersebut disebut sisi. Kemudian menginput nilai bobot pada sisi tersebut. 3. Hasil dari pohon merentang minimum.
Dengan menggunakan bantuan komputer yaitu Program Visual Basic 6.0 kita dapat dengan cepat menemukan biaya minimum suatu proyek pemasangan pipa dan masalah lainnya. 6. DAFTAR PUSTAKA Budayasa, IK. 2007, Teori Graf dan Aplikasinya,Surabaya: University Press UNESA. Harary, Frank. 1972, Graph Theory, United States Of American: Addson Wesley Publishing Company. Hillier, Frederick S, 1990, Pengantar Riset Operasi Edisi Kelima Jilid 1. Bandung Informatika
Gambar 20: Hasil Pohon Merentang Minimum . Dengan bantuan program komputer, yaitu perangkat lunak Microsoft Visual Basic 6.0, telah dihasilkan dan dibentuk pohon merentang minimum dengan menggunakan algoritma Prim setelah mengklik CARI JALUR. 5. KESIMPULAN Algoritma Prim adalah salah satu algoritma untuk permasalahan pohon merentang minimum dimana langkah yang dilakukan adalah sisi-sisi di dalam graf diurutkan terlebih dahulu berdasarkan bobotnya dari kecil ke besar dengan syarat bahwa harus bersisian dengan titik sebelumnya dan tidak membentuk sirkuit (siklus), sehingga T adalah pohon. Sisi pada suatu pohon merentang minimum adalah (n-1), dimana n merupakan jumlah simpul pada suatu graf. Proyek pemasangan pipa PDAM di perumahan Green Plam Makassar dapat dipresentasikan ke dalam teori graf dengan sumber air sebagai simpul dan pipa adalah sebagai sisi sedangkan bobotnya melambangkan biaya pekerjaan pemasangan beserta pipanya. Sehingga biaya minimum yang dihasilkan dengan menggunakan algoritma Prim pada studi kasus di perumahan Green Palm Makassar adalah Rp. 7.040.000,-.
Kodirun, Kodirun. 2009, Perbandingan Algoritma Prim Dan Kruskal Dalam Menentukan Pohon Rentang Minimum, Vol 6, No. 2,http://jurnal.untad.ac.id/jurnal/index. php/JIMT/article/view/22. Tanggal akses: 02 February 2014. Lipshteyn, Marina. 1998. Graph Theory, Computational Intelligence and Thought. New York: Springer. Liptchutz, seymor dan lipson, marc lars. 1992/2002.Matematika Diskrit (Jilid Dua). Jakarta: Salemba Teknika. Munir, Rinaldi. 2001, Matematika Diskrit, Bandung: Informatika. Munir, Rinaldi. 2005, Matematika Diskrit, Bandung: Informatika. Munir, Rinaldi. 2005, Matematika Diskrit Revisi Kelima, Bandung: Informatika Bandung. Pradhana, BA,. 2009, Studi dan Implementasi Persoalan Lintasan Terpendek Suatu Graf Dengan Algoritma Dijkstra dan Algoritma Bellman – Ford, Bandung: ITB. Putro, HP. 2006 – 2007, Perbandingan Algoritma Pencarian Pohon Merentang Minimum. http://informatika.stei.itb.ac.id/rinaldi.munir/Matdis/2006
43
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014 2007/Makalh/Makalah0607-11.pdf. akses: 02 Februari 2014
Tanggal
Sutarno, Heri , Priatna, Nanang dan Nurjanah. Common Textbook Matematika Distrik. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.
44
Ya Yanti. 2013. Algoritma Kruskal dalam Pemecahan Masalah Pohon Merentang Minimum. Makassar: Jurusan Matematika UNM.
