Práce s chybou jako strategie rozvoje klíčových kompetencí žáka

Práce s chybou jako strategie rozvoje klíčových kompetencí žáka

Milan Hejný Darina Jirotková Jana Kratochvílová

Studijní materiály k projektu Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě ŠVP č. projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem, státní rozpočtem České republiky a rozpočtem hlavního města Prahy v rámci Jednotného programového dokumentu pro cíl 3

© JČMF 2006 SU

∑

MA

Společnost učitelů matematiky JČMF

Obsah Předmluva 1. Úvod 2. Kořeny vnímání chyby 2.1 Příběhy 2.2 Z čeho pramení naše vnímání chyby? 2.3 Projekce získaných poznatků do prostředí školy 2.4 Názory některých učitelů 3. Pojmová chyba – příběhy 4. Jak se ve vědomí žáka vytváří pojmy? 5. Přirozená čísla 5.1 Sémantické modely 5.2 Strukturální modely 5.3 Diagnostické úlohy 5.4 Výzvy 6. Generické modely zlomků 6.1 Sémantické modely 6.2 Strukturální modely 6.3 Diagnostické úlohy 7. Záporná čísla a nula 7.1 Sémantické modely 7.2 Strukturální modely záporných čísel 7.3 Nula 7.4 Diagnostické úlohy 7.5 Výzvy Závěr Literatura Témata seminárních prací

strana 2 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Předmluva Předložený studijní materiál je určen k specificky vymezenému účelu: dát podněty (možná místy i provokační) k diskusím o tom, jak by bylo možné zlepšit výsledky vyučování matematice na 2. stupni ZŠ. Naše společná práce bude rozdělena do dvou, případně tří úrovní. • • •

První úrovní je individuální práce účastníka kurzu. Předložený materiál mu bude sloužit k tomu, aby si našel výzvu blízkou svému srdci a začal samostatně bádat o chybách svých žáků. Druhou úrovní, kterou patrně nebude vždy možné realizovat, je vzájemná diskuse dvou či tří kolegů, kteří se orientují na podobnou problematiku. Sdělování si názorů a zejména zkušeností vede ke kvalitativnímu posunu v bádání každého člena skupinky. Konečně třetí úrovní bude diskuse – dílna všech účastníků kurzu.

Materiál je rozdělen do sedmi kapitol. • • • • •

Úvodní kapitola deklaruje naše pedagogické přesvědčení. Druhá kapitola jde do hlubších vrstev naší psychiky a snaží se poznávat, proč se k chybě stavíme tak, jak se stavíme. Třetí kapitola je věnována příběhům. Jde o naši zkušenost, kterou nabízíme svým kolegům. Zároveň je tím chceme vybídnout k jejich vlastní evidenci svých zkušeností. Konečně čtvrtá kapitola, která uzavírá vstupní blok, popisuje nástroj, kterým lze zkoumat strukturu matematických znalostí žáka i příčiny jeho chybných představ. Poslední tři kapitoly jsou věnovány pojmu a před-pojmu číslo. Postupně zaměříme svou pozornost na číslo přirozené, zlomek a číslo záporné. Jsou to oblasti, v nichž lze chybu žáka dobře analyzovat. Při společné práci bude možné diskutovat další oblasti matematiky dle potřeb účastníků dílny.

Po sedmé kapitole již nic nenásleduje a soudný čtenář musí pocítit neukončenost textu. Je-li neukončen, je třeba jej ukončit. K tomu je ale potřebné doplnit jej o další a další kapitoly. Vždyť chyby žáků se nevyskytují pouze v uvedených oblastech, ale ve všech tématických celcích. Geometrie jsme se dotkli pouze okrajově v kapitole 3. Tedy celá tato veliká oblast zůstala nepokryta. To vše vybízí účastníka našeho kurzu k vlastnímu zkoumání tématu, jež si vybere podle svého zájmu. K samostatné nebo skupinové práci vyzývají čtenáře i speciálně zaměřené podkapitoly – diagnostické úlohy a výzvy.

O diagnostických úlohách Cílem diagnostiky není ohodnotit žáka známkou nebo body, ale poznat jistou oblast jeho matematické intelektuální výbavy. Především jde o žákovy schopnosti a o jeho styl myšlení (tzv. kognitivní a metakognitivní styl) a v druhé řadě o konkrétní vědomosti. Žák se ve škole naučil řešit standardní úlohy. U nich vlastně příliš neuvažuje, řemeslně realizuje nacvičené postupy. Takové úlohy nejsou diagnostické. Diagnostická úloha musí přinést něco, co žák ještě nemá zažito. Pro slabého žáka může i standardní úloha být diagnostická. strana 3 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Pro žáka, který bezpečně ovládá pravidlo na sčítání zlomků a rychle sečte 1/7 + 2/5 = 19/35, může být diagnostickou i otázka: „Uměl bys to vysvětlit bystrému příteli, který ještě neumí sčítat zlomky?“ Diagnostika může odhalit, že daný žák sice pravidlo pro sčítání zlomků dobře ovládá, ale vůbec mu nerozumí. Na druhé straně však diagnostická úloha může odhalit hluboký vhled žáka do problematiky, která „předbíhá“ jeho osnovami předepsané znalosti. Tato potence zůstává v našich úvahách mimo centrum zájmu, ale zvídavý čtenář může naše diagnostické úlohy (viz 5.3, 6.3 a 7.4) využít k odhalování talentovaných žáků. Přirozeným důsledkem diagnostiky je reedukace. Jestliže jsme zjistili, že žák něčemu nerozumí, co s tím máme dělat? Základní myšlenka reedukace zní: do žákova vědomí je nutno doplnit scházející zkušenosti. Jejich nositelem je to, co nazveme generický model (viz kap. 4-7) a co bude v našich úvahách hrát klíčovou roli.

O výzvách Cílem výzev je nabídnout čtenáři témata k zamyšlení a samostatné nebo skupinové práci. Předpokládáme, že každý účastník semináře si promyslí některé z těchto podnětů již v domácí přípravě a o tuto domácí práci bude pak naše společná diskuse bohatší a efektivnější. Věříme, že z těchto diskusí postavených na pedagogických zkušenostech mnoha učitelů vzejdou další myšlenky a další výzvy, jimiž pak bude materiál doplňován a obohacován.


SU

∑ MA


1. Úvod Předmětem našeho zájmu je chyba, které se dopustí žák (nebo i učitel) při „dělání“ matematiky, zejména při řešení matematických úloh. Hned v úvodu musíme říci, že chybě nebudeme spílat, budeme ji hájit a dokonce vítat. Vítat jako zprostředkovatele autentického poznání. Budeme se přimlouvat za to, aby se v našem vyučování (nejen v matematice) zakořenila stará moudrost uvedená v mottu našeho textu. Domníváme se, že náš současný herbartovský učitelský přístup1 k chybě je nasycen předsudky. My sami se chyby bojíme a zdráháme se k ní přiznat, když se jí dopustíme. Na žáka, který špatně vynásobí dva zlomky, hledíme jako na hříšníka, který zanedbal domácí přípravu a znesvětil naši krásnou matematiku. Ta je zde kladena na první místo, dítě, žák a student pak až na místo druhé nebo i třetí. Naše snaha o změnu tohoto pořadí je tedy přímou reakcí na naléhavou výzvu, kterou Zdeněk Helus adresoval učitelům i badatelům: Osobně jsem přesvědčen, že na prvém místě je zapotřebí uvažovati o dítěti jako o adresátovi všeho toho, proč zde učitel a škola jsou (Helus, 1996). K této obecně formulované myšlence přidáme dvě myšlenky, které si V. Hejný zapsal do svých pedagogických deníků, které nebyly publikovány. První je z roku 1943, kdy V. Hejný působil na obchodní akademii v Nitře. Úspěch povzbudí. Motivační sílu žákova úspěchu posilní učitel tím, že s ním jeho radost spoluprožívá. Chyba nemusí odradit. Chyba může a měla by být pro žáka užitečnou zkušeností, poučením. Úlohou učitele je pomoci žákovi z chyb se poučit. Naučit žáka učit se z chyb. Učitel, který žáka za chybu kárá, mu to znesnadňuje. Druhá pochází z padesátých let z doby jeho působení na Střední ekonomické škole v Martině. Bojí-li se žák své chyby, povzbudí jej učitel vlastním příkladem: ukáže, jak on chyboval a jak pak hledal příčinu svého omylu. Kdykoli je učitel žákem upozorněn na chybu, poděkuje za opravu a žáka odmění přinejmenším pochvalou. O třicet let později jsme tuto myšlenku doplnili následujícím poznáním: Ještě silněji na žáky působí, když učitel svoji chybu, na kterou byl žáky upozorněn, nebo kterou sám objevil, před žáky hlasitě analyzuje. Žáci vidí, jak se lze k chybě postavit, a tento příklad je přitahuje a usměrňuje. Hlavním cílem naší společné práce je snaha o změnu vlastního postoje k chybě žáka i chybě vlastní. Místo běžného vnímání chyby jako jevu nežádoucího se pokusíme vidět chybu jako výzvu k rozvoji. Tento hlavní cíl můžeme rozložit na několik dílčích cílů: 1. poznat kořeny toho, proč se v naší kultuře chyby tak bojíme 2. poznat cesty, jimiž my sami můžeme tradiční předsudky překonávat a výrazně tím zkvalitnit svou pedagogickou práci 1

Johann Friedrich Herbart (1886-1841) a jeho pokračovatelé výrazně ovlivnili pedagogické myšlení a školskou praxi zejména ve střední Evropě a v USA. Herbartovská teorie vyučování vychází z asocianistické psychologie a na chybu žáka i učitele hledí jako na jev nežádoucí. strana 5 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


3. blíže poznat typologii chyb, které se nejčastěji vyskytují v matematickém myšlení našich žáků 4. pro jednotlivé typy chyb poznat jejich kořeny a najít cesty, jimiž lze pomáhat žákovi při odstraňování chybných představ a stereotypů 5. vytvořit si portfolio obsahující jak výukové nástroje, jimiž lze v oblasti žákovských chyb získávat cenné informace, tak i technologii evidence a způsoby analýzy vlastní pedagogické zkušenosti s chybami žáků. Uvedeným dílčím cílům budou věnovány následující kapitoly.

Poznámka V letech 1975-1979 M. Hejný experimentálně učil matematice v jedné třídě od 5. do 8. ročníku. Jinou třídu vedl v letech 1984-1989, a to od 3. ročníku do poloviny 8. ročníku. Příběh 3.3 pochází z tohoto vyučování. Další příběhy lze najít v knížce (Hejný, Kuřina, 2001).

2. Kořeny vnímání chyby Dva všední příběhy nám nabídnou látku k hledání odpovědi, proč v naší kultuře vnímáme chybu tak, jak ji vnímáme. Záměrně volíme příběhy s mladšími dětmi, protože zde lépe uvidíme to, co vidět potřebujeme.

2.1 Příběhy Příběh 2.1 Změna postoje učitele Aleš (1. ročník) má sčítat 7 + 6. Hoch řekne 15 a učitelka Andrea jej kárá: „Aleši, Aleši, podívej, všichni to už znají, jen ty to ještě pořád neumíš.“ Hoch se rozpláče: „Když já to bez prstů neumím.“ Slzy Andreu obměkčí a začne hocha konejšit: „Jsi šikovný hoch, když se budeš učit, určitě se to naučíš.“ Podobná scéna se neodehrála poprvé, ale poprvé se u ní Aleš rozplakal. Dříve jen stál se skloněnou hlavou a mlčel. Doma se to snažil naučit, sám i s maminkou, ale nějak se mu nedařilo naučit se to zpaměti. Pomocí prstů zvládl počítání bezpečně, ale ne dostatečně rychle.

Komentář 2.1 Zajímá nás příčina změny chování učitelky. Nejprve přísná a kárající, pak chlácholivá a povzbuzující. Proč Andrea změnila svůj postoj? Asi proto, že předchozí hochovo mlčení učitelka vnímala jako paličatost a neochotu učit se. Pláč si vyložila jako přiznání si chyby a slibnou naději, že se začne učit. Učitelka chybně diagnostikovala hochův pláč. To nebyl pláč pokání, ale pláč beznaděje, pláč volání o pomoc. Tu mu poskytla jen povzbuzením, nikoli radou. Otázkou zůstává, proč si učitelka chybně vysvětluje hochův pláč. Najít odpověď na tuto otázku není lehké. Vyžaduje to hlubší zamýšlení se nad příčinami našeho vnímání chyby žáka (i chyby vlastní). K problému se vrátíme v paragrafu 2.4. strana 6 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Příběh 2.2 Neúspěch budí potřebu poučení. Pětileté děvčátko se na dětském hřišti snaží přejít kladinu. Nedaří se jí to. Dříve než dojde do poloviny, spadne. Jednou spadne tak nešikovně, že se uhodí. Pláče a běží k babičce. Ta ji polituje, ale dívka opět jde na kladinu. Když opět spadne a brečí, babička jí zakáže na kladinu chodit. Holčička brečí, protože si natloukla, a asi i proto, že nesmí na kladinu. Hraje si na písku. Pak po kladině přejde o něco starší dívenka. Má přitom rozpažené ruce. Bára to po ní ihned opakuje navzdory zákazu babičky. Tentokráte se jí to povede. S elánem opět skočí na kladinu a volá na babičku: „Babi, koukej, už to umím.“

Komentář 2.2 První bolavý pád Báru neodradil, neboť nutkání k nabývání zkušeností bylo větší než strach z bolesti. Po dalším úrazu a babiččině zákazu Bára pokusů zanechá. Stačí ale nový impuls a opět to jde zkusit. Starší dívenka dala Báře nejen podnět k novému pokusu, ale i radu, jak to dokázat. Bylo by krásné, kdyby i naši žáci, tak jako Bára, opakovaně usilovali o zdolání úlohy, která jim vzdoruje. Ale položme si otázku, zda i oni, podobně jako Bára, mají někoho, kdo jim ukáže, jak na to? V první ilustraci je chyba vnímána jako jev společensky nežádoucí, jako něco, čeho se nutno vyvarovat. Ukazuje též, že upřímná lítost nad vlastním pochybením může člověku přinést odpuštění. Druhá ilustrace ukazuje chybu jako přirozenou překážku, kterou nutno překonat, chce-li člověk dojít k úspěchu. V obou ilustracích chybující pláče. Aleš proto, že je mu vyčítáno, Bára proto, že ji bolí rozbité koleno. Aleše trestá společnost, Báru příroda. Aleš strádá psychicky, Bára somaticky. Aleš je bezradný, pomoci se mu nedostává. Bára dostane radu a okamžitě opět na kladinu skočí. Učitelka Alešovi radu nedá. Dá mu pouze povzbuzení a pokyn, aby se učil. Je její postup vzhledem k stanovenému edukačnímu cíli optimální? K tomu, abychom mohli odpovědět, potřebujeme poznat kořeny hodnot, které určují vnímání chyby, zejména školské chyby, v naší společnosti. 2.2 Z čeho pramení naše vnímání chyby? Chyba člověka (nejen ta žákova intelektuální) a její vnímání okolím je jev kulturněspolečenský. Různá společenství vnímala chybu rozličně. Do našeho vědomí nejhlouběji zasáhly čtyři výchozí proudy evropské kultury. Jsou to Starý zákon, Nový zákon, Judea a antika. Starý zákon zná dva typy chyb: první se týká lidské pospolitosti, druhý pak Božích příkazů. Překročení božího příkazu není chyba, ale hřích. Hřích má osudové následky a transcendentní ukotvení v Boží vůli. Chyby se dopustili Josefovi bratři, když jej prodali do otroctví. Josef, který se zvláštním řízením osudu stal nejmocnějším úředníkem Egypta, svým bratrům nakonec jejich velikou chybu odpustil (Genesis, 37 a 45). Jinak to bylo s Adamem a Kainem. Adam jedl ze zapovězeného stromu a dopustil se hříchu. strana 7 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Následný trest, vyhnání z ráje, osudově změnil život nejen Adama a Evy, ale celého lidského rodu (Genesis, 3). Nesmazatelná byla i vina Kainova. On sám to přiznává slovy: „Většíť jest nepravost má, než aby mi odpuštěna býti mohla“ (Genesis, 4,13). Chybující může svoji chybu odčinit. Hříšník nikoli. Chybující může být svým činem puzen k aktivitě. Hříšník nikoli. Jeho situace je beznadějná. Hříšník pozbývá energii, protože není cíle, k dosažení kterého by ji bylo možné použít. Podobný pocit známe, když nám zemře někdo milovaný. Vůči majestátu smrti jsme bezmocní. Stav beznaděje prožívá dítě, když trest, který za svoji chybu dostalo, nemá otevřené dveře k odčinění chyby. Chyba je trestána jako hřích. Nový zákon tlumí osudovost hříchu a dává i hříšníkovi naději získat upřímným pokáním odpuštění. Ježíš přichází jako spasitel a jeho spása spočívá v naději, které se člověku dostává od Všemocného. Hříšník může nabízenou naději naplnit pokáním, tj. hlubším, lepším a pravdivějším poznáváním. Jan Křtitel vyzývá: „Pokání čiňte, nebo přiblížilo se království nebeské“ (Matouš 3,2). Kromě toho Nový zákon žádá vzájemné tolerování chyb. „Nesuďte a nebudete souzeni. Nepotupujte a nebudete potupeni. Odpouštějte a budeť vám odpuštěno“ (Lukáš 6,37). Zde jsou Starý a Nový zákon v kontradikci. Na rozdíl od Starého zákona, kde trest za hřích bere člověku veškerou energii, je naděje daná Novým zákonem naopak dodavatelem energie. Judea. Kultura judaizmu vnímá chybu (nikoli hřích) jako přirozenou součást života. Hřích, jako narušení vůle Boží, vnímá stejně jako Starý zákon, ale k chybě se staví s porozuměním. Zvláště k chybě žáka. Je to totiž právě tato kultura, která jako vůbec první chápe dítě a žáka jako svébytnou osobnost, jako individuum vyžadující specifický přístup. Je dobře známo, že osobitostí této kultury je výjimečná schopnost nenechat následky chyby na sebe citově působit a nedovolit, aby neúspěch člověka ochromil. Ihned po chybě nutno pokračovat v konstruktivní práci. Chyba a neúspěch je zde dodavatel, a ne spotřebitel lidské energie. Obdivuhodná schopnost rozvoje této kultury, ke které nepochybně přispívá její vnímání chyby, je průkazným argumentem pro účinnost tohoto vnímání. Dodejme, že k úspěšnosti této kultury přispěla i promyšlená výchovná strategie. Antika vnímá chybu člověka jako součást lidského bytí. „Errare humanum est“ (Mýlit se je lidské) praví Seneka. Sofoklés v tragédii Antigoné vkládá do úst Teiresia následující slova: „Chybovat je společné všem lidem smrtelným; však chybí-li kdo, není bláhový ni bezhlavý, když, klesnuv v pohromu, se snaží chybu zhojit…; a je milé poučit se dobrou radou“ (Sofoklés, 1976). Klasik přesně odhaluje to místo, na které nutno při zkoumání fenoménu chyba zaostřit pozornost – na to, co po chybě následuje. Tedy na chování chybujícího a na reakci všech aktérů, kteří se k chybě vyjadřují.


SU

∑ MA


2.3 Projekce získaných poznatků do prostředí školy Uvedené čtyři způsoby vnímání chyby (hříchu) lze charakterizovat pomocí odpovědí na tři otázky: Jak chybu (hřích) vnímá daná kultura? Jak má podle zákonů této kultury na chybu reagovat chybující? Jak má na chybu člověka reagovat společnost a povolaný soudce? Tyto tři otázky jsou východiskem pro projekci získaných poznatků do prostředí školy. Přehledně je popisuje tabulka 1. Učitel, který vnímá chybu jako nežádoucí jev, vytváří klima, které žáka demobilizuje. Ten ze strachu před chybou raději nic nedělá. Ani učitel pro odstranění chyby nedělá nic kromě tlaku, který vytváří na žáky. Jestliže je učitel navíc přesvědčen, že chybu je třeba trestat, vychází z víry o nápravné a někdy i odstrašující síle trestu. Věří, že přiměřený a spravedlivý trest povzbudí žákovo úsilí učit se a povede k zlepšení jeho studijních výsledků. Avšak realita toto očekávání učitele nepotvrzuje. Je pravda, že žáci ze strachu vynakládají na daný předmět více energie, ale její značná část je věnována protetickým činnostem zaměřeným na ochranu před trestem: simulování nemoci, opisování, lhaní, absence, vymýšlení výmluv. Tab. 1 Kultura

Chyba je

Jak na chybu žáka reaguje žák

Starý zákon Nový zákon Antika

nežádoucí poklesek

součást života

Judea

Má strach, podvádí.

Učitel zatlouká,

lže,

Podezírá a trestá.

Brání se, někdy i zvýšeným Napomíná, konejší, povzbuzuje. úsilím. Hledá příčinu chyby, aby se jí Pomáhá žákovi najít příčiny vyvaroval. chyby. Hledá příčiny a napravuje.

Pomáhá žákovi najít příčiny chyby, povzbudí žáka.

2.4 Názory některých učitelů Počínání učitele vycházejícího z biblického vnímání chyby jsme poznali v příběhu 2.1 Komentář k příběhu jsme neukončili. Nyní se k němu vrátíme.

Komentář 2.1 a. Učitelka Andrea přechází mezi dvěma biblickými způsoby reakce na chybu Aleše. Nejprve jej přísně kárá, pak je mateřsky shovívavá. Ke změně dochází, když žák pláčem projeví lítost. M. Hejný: „Příběh 1 jsem vyprávěl na jedné dílně asi 20 učitelkám 1. stupně. Požádal jsem kolegyně o vyjádření svého stanoviska k počínání Andrey. Všechny s jejím chováním souhlasily. Říkaly, že by jednaly stejně. Jen jedna kolegyně cítila, že Aleš potřebuje pomoc. Neuměla ale upřesnit, jak by mu pomohla. Nakonec řekla: „Aspoň bych jej povzbudila – ale to vlastně ta kolegyně udělala též; jo, jednala bych stejně… .“ strana 9 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Dal jsem návrh, jak hochovi pomoci. Dovolil jsem mu používat prsty. S tím ale kolegyně nesouhlasily: „Když žák neumí sčítat zpaměti, nemůže pochopit další učivo a začne zaostávat,“ řekla jedna z nich. Řekl jsem, že ve třetí i čtvrté třídě jsem svým žákům povolil používat tabulky na násobení. Bylo to v sedmdesátých letech, kdy ještě kalkulačky nebyly běžnou věcí. Stejně se po nějaké době všichni naučili násobilce zpaměti. Kolegyně namítaly, že moje vyučování bylo experimentální a tam se to dalo dělat, ale v běžném vyučování to dělat nelze. Tři kolegyně mne podržely. Potvrdily, že mají stejnou zkušenost i v běžném vyučování. On též dovolí žákům používat tabulku násobilky nebo kalkulačku, a žáci se tabulku nakonec stejně naučí. Jejich argumentům kolegyně asi nevěřily, protože na ně nijak nereagovaly.

3. Pojmová chyba – příběhy Cílem příběhů je uvést čtenáře do problematiky. Předpokládáme, že příběhy budou čteny kriticky. To znamená, že čtenář bude a) ve své zkušenosti hledat ty jevy, které mu dovolí náš příběh doplnit nebo rozvést a přiložený komentář upravit nebo opravit b) usilovat o charakterizaci žákova selhání a odhalení jeho příčin c) hledat způsob, jak žákovi pomoci chybnou představu opravit Příběh 3.1 Geometrii umím pouze říct. Cecílie (5. ročník) má dobrou paměť, je spolehlivá, sešity má vzorné. Patří k primusům třídy. Matematika, zejména geometrie, je její slabinou. Její nová učitelka to ještě neví. Teď se to právě doví. U 1: „Máme tedy narýsovat tupoúhlý trojúhelník a rozdělit jej na dva pravoúhlé trojúhelníky. Tak kdo nám řekne, co je to tupoúhlý trojúhelník? Tak Cecílie.“ C 1 vstane, přimhouří oči a vychrlí: „Trojúhelník, jehož všechny tři úhly jsou tupé, se nazývá tupoúhlý.“ U 2: „Cecílie, tys to trochu uspěchala. Tak víš co, pojď k tabuli a ukaž, které trojúhelníky zde nakreslené jsou tupoúhlé.“ Na tabuli je 7 trojúhelníků, z nich 2 jsou tupoúhlé. C 2 jde k tabuli a oznamuje: „Já to neumím ukázat, umím to pouze říct.“ U 3 je překvapena otevřeným přiznáním dívky: „Tak víš co, tak mi řekni, co to je tupý úhel.“ C 3 suverénně: „Úhel, který je větší než pravý a menší než přímý, se nazývá tupý.“ U 4: „A to bys nakreslit uměla? Myslím ten pravý úhel, přímý úhel a tupý úhel.“ C 4 je vyvedena z míry: „Ne, já to umím pouze vysvětlit, ale neumím to kreslit.“ Spíše sebevědomě než se strachem se ptá: „Řekla jsem to snad špatně?“ strana 10 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


U 5: „To o těch úhlech bylo dobře, ale to o tupoúhlém trojúhelníku bylo špatně.“ C 5 nalistuje v učebnici text v rámečku: „Tady to je:“ Trojúhelník, jehož všechny tři úhly jsou ostré, je ostroúhlý. U 6: „To je dobře, ale to platí o ostroúhlém trojúhelníku, nikoli o tupoúhlém.“ C 6 uvědomila si chybu, zrudla: „Jo, to jsem to spletla. To je tady.“ Hned nalistuje jiný rámeček s vymezením pojmu tupoúhlý trojúhelník.

Komentář 3.1 Překvapena je jak učitelka, tak dívka. Učitelku nezaskočila odpověď dívky, vždyť podobné chyby se dopouští více žáků, ale postoj dívky ke geometrii – vše se učí verbálně, obrázky odmítá. Dívka je zaskočena tím, že učitelka nepřijímá její způsob učení se geometrii. Je totiž přesvědčena, že schopnost umět geometrii přes obrázky jí nebyla dána (viz C4). Ve vstupu C5 se dívka dovolává autority učebnice. Připomíná scholastiky ve sporech s nastupující renesancí. „Opozice proti Koperníkovi nedovedla dlouho argumentovat jinak než odkazy na autoritu Aristotela nebo dokonce Augustina a fundamentalistickým výkladem některých míst Starého zákona.“ (Kratochvíl, 1993, s. 262) Dodejme, že grafické zvýraznění důležitých myšlenek v učebnici napomáhá zapamatování a vyhovuje spíše povrchovému stylu učení než elaborovanému a hloubkovému (terminologie viz Mareš, 1998, s. 60).

Příběh 3.2 Jehlan a jeho vrchol. Derek (8. ročník) u tabule počítá objem pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV. Protože opakovaně používá nepřesné termíny, učitelka přeruší jeho počítání a ptá se ho, kolik má tento jehlan vrcholů. Hoch řekne, že jeden. Ukáže bod V. Učitelka se ptá třídy, zda to Derek řekl správně. Dana řekne, že i body A, B, C, D jsou vrcholy. Derek namítá, že to jsou vrcholy základny, nikoli jehlanu. Učitelka nakreslí jehlan v poloze, kdy leží na boční stěně, a ptá se, jak je to teď. Dana řekne „Teď to už není pyramida, tedy jehlan.“ Derek tvrdí, že to jehlan je. „To máš jako poražený strom; i když ten strom leží na zemi, je to strom a jeho vrcholek je vrcholkem, i když není nahoře, na vrcholu.“ Dana nic neříká, nemá proti Derkovi argument. Z její tváře lze vyčíst překvapení a úsilí opravit dosavadní představu pojmu jehlan. Učitelka ukáže na jeden vrchol podstavy ležícího jehlanu, na ten, který je teď nahoře, a ptá se Derka, zda je to vrchol jehlanu. Hoch chvíli váhá a pak řekne: „Jo, no jo, to je taky vrchol jehlanu; von má vlastně pět vrcholů; to je takové…“ (asi chtěl říct divné).

Komentář 3.2 Na první pohled se jeví znalosti obou žáků jako dosti chatrné: hoch neví, co je vrchol jehlanu, dívka neví, že jehlan zůstává jehlanem, i když „leží“. Když se ale nad neznalostí žáků zamyslíme hlouběji, ukáže se, že to s nimi není tak zlé. strana 11 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Oba žáci mají představy geometrických objektů, o nichž mluví, opřeny o životní zkušenost. Dana pod jehlanem vidí pyramidu, Derek pod vrcholem jehlanu vidí vršek stromu. Obě metafory jsou dobré, jediné, co jim schází, je neúplnost poznání. Učitelka tím, že nakreslí jehlan v nestandardní poloze, koriguje, upřesňuje představu obou žáků. Pro oba je toto poznání překvapením, které bývá spojeno s nelibými pocity. Následná úvaha, která probíhá ve vědomí Dany a Derka a která jejich představy daných pojmů mění, se nazývá restrukturalizace představy pojmu. O reedukaci mluvit nemusíme, protože ta se výborně povedla učitelce. Stačil jeden obrázek a vzájemná diskuse žáků a dotaz učitelky odkryly neúplnost představ jak Dany, tak Derka. Dodejme, že tak úspěšná reedukace se povede jen zřídka.

Příběh 3.3 Pětivrcholník šestistranný. (Vypráví M. Hejný) Již v pátém ročníku jsme konstatovali, že trojúhelník má 3 strany a 3 vrcholy, čtyřúhelník 4 strany a 4 vrcholy a tak to jde dál. V šestém ročníku se na tabuli objevil útvar nakreslený na obr. 1 a já jsem provokativně řekl, že to je pětivrcholník šestistranný. Třída to vzala jako vtip a Eva řekla: „To není Obr. 1 pětivrcholník, to jsou dva líbající se trojúhelníky.“ Žáci se učili němčině, a tak jsem jim dal za úkol zjistit, jak se to řekne německy. Zjistili, že je to „sechsseitige Fünfeck“ a že Němci neříkají trojúhelník, ale „Dreieck“, tedy trojvrcholník, což se některým žákům jevilo jako přiléhavější. Po několika dnech přinesla Eva obrázek pětivrcholníku šestistranného (obr. 2a). Objev vyvolal ve třídě diskusi. Eda nakreslil na tabuli čtverec s úhlopříčkou a řekl, že to je čtyřvrcholník pětistranný. Třída Edův nápad zamítla, že to jsou slepené trojúhelníky. Edův obrázek připomněl Emilovi pojem „úhlopříčka“. Emil si vzpomněl, jak loni počítal, kolik má mnohoúhelník úhlopříček. Řekl, že Evin obrázek není pětiúhelník, protože ten má mít 5 úhlopříček, ale ten Evin má jen čtyři (BD, BE, CD, CE). Erika řekla, že to vlastně není mnohoúhelník, protože z vrcholu A nevychází žádná úhlopříčka. Eva se ptala, proč musí z každého vrcholu vycházet úhlopříčka. Třída neměla jednotný názor na to, zda je Evin útvar mnohoúhelník, nebo není. Nakonec jsem shrnul diskusi konstatováním: „Dosud jsme pracovali pouze s mnohoúhelníky, které měly stejný počet vrcholů i stran. Eva navrhla takový mnohoúhelník, který má více stran než vrcholů. Kdo chce, může Evin útvar považovat za mnohoúhelník, kdo nechce, ten jej za mnohoúhelník považovat nebude.“ Problém legalizace Evina „mnohoúhelníku“ zůstal otevřen, a to v budoucnu vedlo k dalším objevům. Obr. 2a Eman řekl, že Evin útvar je vlastně sedmiúhelník, protože má 7 úhlů: BAD, DAE, EAC, ADE, AED, ABC a ACB. Hoch označoval ostré úhly. Erika vyšrafovala Evin obrázek (obr. 2b) a ukázala, že Evin útvar je jen šestiúhelník. Ještě v šestém ročníku bylo nakresleno několik dalších útvarů podobného typu: 6vrcholník 7stranný (obr. 3a), 7vrcholník 8stranný (obr. 3b) i 8-vrcholník 10-stranný (obr. 3c).


SU

∑ MA


Obr. 2b

Obr. 3a

Obr. 3b

Obr. 3c

V sedmém ročníku žáci objevili vzorec pro součet úhlů v n-úhelníku. Eva hned hlásila, že pro její šestiúhelník vzoreček platí. Emil objevil jiný zajímavý šestiúhelník (obr. 4). Tvrdil, že to je šestiúhelník, protože má 6 vrcholů, 6 stran a 9 úhlopříček. Eda ukázal, že součet úhlů v Emilově 6úhelníku je 6π a ne 4π jako v normálním 6úhelníku. Podle něj Emilův 6úhelník je nekorektní. V osmém ročníku se opět začalo uvažovat o pojmu mnohoúhelník. V té době jsme byli na výletě, a když jsme na zpáteční cestě čekali na autobus, Erika najednou zvolala: „Už to mám,“ a vysvětlila svůj nápad. Nástupiště bylo pokryto dlaždicemi. Byly šedivé, jen několik z nich bylo hnědých. Erika se na to dívala jako na obdélník, z něhož je vyříznuto několik čtvercových děr. Dodala, že vznikne útvar, který bude mít „tolik děr, kolik se mi zachce.“ Většina dětí uznala: „To přeci nemůže být mnohoúhelník.“ Nakonec jsem žákům řekl, že matematici se domluvili na takovém vymezení pojmu mnohoúhelník, při kterém ani Evin útvar, ani Emilův není považován za mnohoúhelník. Zdůraznil jsem, že to je dílem Obr. 4 domluvy, konvence.

Komentář 3.3 Podstata představy pojmu mnohoúhelník nespočívá ve znalosti definice pojmu, ale v poznání modelů mnohoúhelníku, ale též, ba zejména, v poznání zdánlivých modelů a ne-modelů mnohoúhelníku. Jestliže má žák představu tohoto pojmu dosti bohatou, dokáže víceméně samostatně vytvořit i dobrou definici pojmu. Zná-li pouze definici, bude jeho představa pojmu silně neúplná. Cílem příběhu bylo ukázat, jak se ve vědomí žáků náročný pojem buduje postupně a dlouhodobě, jak důležitá je v té souvislosti spolupráce žáků a jejich vzájemné diskuse. Pojem mnohoúhelníku a jeho jevů průvodních patří k nejnáročnějším pojmům matematiky na druhém i třetím stupni. K této problematice se vztahují úlohy I41 – I44.

Příběh 3.4 Objem krychle bez víka. Františka, studentka učitelství pro první stupeň ZŠ, je u zkoušky z geometrie. Řeší úlohu pro šestý ročník. Zjišťuje objem vody, která se dá nalít do krychlové nádoby bez víka. Františka napsala vzorec: V = a3 – a2.


SU

∑ MA


Komentář 3.4 Podstata chyby leží v pojmové rozostřenosti tří představ. První představa se týká pojmu objem, druhá pojmu obsah. Obě tyto představy jsou vázány pouze na příslušné vzorce a postrádají sémantické uchopení opřené o manipulativní životní zkušenost dívky. Třetí představa se týká jevu míra, který je střešním pojmem pro pojmy délka, obvod, obsah, povrch a objem. Představa jevu míra ve vědomí Františky je deformována, protože dva pojmy, které pod ni patří (objem a obsah), propojuje protetickým způsobem na úrovni kalkulace. Dívka určitě ve svém životě při šití, vaření, nákupech a jiných činnostech všedního dne měří délky, obsahy i objemy. Je ale velice pravděpodobné, že obě uvedené oblasti jevu míra, tedy oblast vzorců a oblast činností, jsou zcela oddělené. Lokální reedukace je nasnadě. Stačí vzít krabici od mléka a zeptat se, kolik se tam vejde vody, když je zavřená, a kolik, když je otevřená (bez víka). Důmyslnější reedukační zásah je nechat Františku zjistit, jak to bude s objemem krychle o hraně a = 0,5 dm. Zde dívce vyjde objem záporný. Globální reedukace se musí orientovat na před-pojem míra. Je třeba pomocí manipulativní činnosti budovat pojmy a) délka (obvod) – porovnávání a měření pomocí stop, provázků, metru b) obsah (povrch) – porovnávání a měření překládáním papíru, stříhání, použití čtverečkového papíru, milimetrového papíru, dlaždic,… c) objem – porovnávání a měření pomocí sestavování těles z krychlí, plnění objemu vodou, pískem apod.

Příběh 3.5 Dělí přímka rovinu? (Převzat od J. Rybárové) Žáci učňovské školy (16 let) měli v testu otázku: Na kolik částí dělí rovinu číselná osa? Gita napsala: „To závisí na tom, co se roztahuje rychleji. Zda rovina, nebo přímka.“ Svoji představu vysvětlila v rozhovoru. Na tác položila pletací jehlici, která tác přesahovala, a řekla: „Toto (tác) je jako ta rovina a toto (jehlice) je jako přímka. Ta dělí ten tác na půlky, protože jde do nekonečna rychleji. Kdyby to ale bylo takhle (Gita místo jehlice položila na tác krátkou tužku), tak by se ta přímka dala obejít a nic by nedělila. Přímka by byla pomalá a rovina rychlá.“

Komentář 3.5 Gita chápe přímku i rovinu procesuálně, jako rozpínající se objekty. Myšlenka, že se tento proces odehrává právě teď, když o tom uvažuji, je pozoruhodná. Učitel má dvě cesty, jak dívčinu představu pojmů přímka a rovina přiblížit k učebnicové představě: 1. odmítnout představu Gity a vyložit jí, „jak to je“; nebo 2. položit dívce podnětnou otázku. Druhá možnost je v duchu konstruktivistického přístupu. Problém tkví v tom, jakou otázku dívce dát?


SU

∑ MA


Příběh 3.6 Hela chce jen pravidlo. (Vyprávěl J. Perenčaj) Hela, sedmačka, je naše sousedka. Je to šikovná holka. Z matematiky má vydřenou jedničku. Teď na pololetí jim změnili učitele. V závěru první hodiny dal mladý učitel třídě úkol, který prý ihned vyřešil suverén Hugo a též, překvapivě, slabý dvojkař Herbert. Ostatní si mají úlohu doma promyslet. Holka, která mne občas přišla požádat o pomoc v matematice, přišla i tentokrát. Byla mimořádně aktivní. Zjevně na ni mladý učitel silně zapůsobil. Šlo o úlohu: Kolik šestin nutno přidat ke dvěma třetinám, abychom dostali čtyři čtvrtiny? Hela žádala, abych jí ukázal pravidlo, kterým se to řeší. Řekl jsem, že na to pravidlo neexistuje, a jal se věci dívce vysvětlovat, malovat, znázorňovat. Nebylo to nic platné. Pak ale náhle Hela zazářila a zvolala: „To je na odčítání zlomků. To je jako 4/4 mínus 2/3 a to jsme vypočetli jako 4/12.“ Teď ale dívka zvýšila hlas: „To musíme krátit dvěma, abychom dostali šestiny. Tedy dvě šestiny. Je to tak?“ Bylo mi jasné, že dívka situaci nerozumí. Přesto ale radost děvčete a moje nemohoucnost mne přiměly zbaběle s Helou souhlasit. Odcházela šťastna a spokojena. V důsledku poznávací metastrategie, kterou dívka získala ve škole, chápe slova „rozumět úloze“ nikoli ve smyslu pochopit soubor vazeb úlohou daný, ale správně určit známý algoritmus, jímž z daných údajů lze získat daný výsledek.

Komentář 3.6 Je zajímavé všimnout si změny motivační dominanty Hely. Dosud se matematice učila kvůli známce, teď chce zapůsobit na mladého učitele. Důležitý moment příběhu se týká Herberta, který vyřešil náročnou úlohu, ale byl předchozí učitelkou hodnocen jako slabý dvojkař.

4. Jak se ve vědomí žáka vytváří pojmy? Následující paragraf má pro naše zkoumání rozhodující význam. Popisuje mechanizmus procesu tvorby pojmů a umožňuje nám a) lépe porozumět žákovu myšlenkovému procesu, ve kterém se objevila chyba, b) hledat účinné možnosti, jak žákovi pomoci jeho chybné představy opravit, c) diagnostikovat kvalitu žákova poznání toho kterého pojmu. Proces tvorby pojmu ve vědomí člověka rozložíme do pěti etap a dvou mentálních zdvihů, znázorněných na následujícím schématu. motivace

→

vznik izolovaných modelů ↓ zobecnění vznik generických modelů ↓ abstrakce vznik abstraktního poznatku

→

krystalizace

Schéma ukazuje, že poznávací proces začíná motivací. strana 15 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Motivace k poznávání pramení z rozporu mezi ‘nevím‘ a ‘chtěl bych znát‘. Kořeny motivace mohou ležet v oblasti kognitivní (potřeba něco zjistit nebo pouhá zvídavost) nebo sociální (potřeba seberealizace, potřeba uspět nebo vyhnout se neúspěchu). Například když chci obdélníkový balkón o rozměrech 296 cm × 111 cm vydláždit co největšími čtvercovými kachlíky, potřebuji znát stranu takového kachlíku a tato potřeba mne vede k hledání největšího společného dělitele čísel 296 a 111. Zkušenost, kterou tímto řešení nabudu, je před-pojmem poznatku největší společný dělitel. Dítě je motivováno vším, co vnímá. Tříleté dítě za den položí tři sta otázek typu „Proč má pes ocas?“ Žádá dospělého, aby mu o psovi a jeho ocase popovídal. Tato zvídavost po nástupu do školy bohužel rychle klesá a bývá vytěsněna sociální motivací. Existují však učitelé, kteří dovedou zvídavost dětí udržet, dokonce znovu povzbudit, když upadá. Proč je to tak? V čem tkví tajemství motivace? Motivace je vázána na seberealizaci člověka. U dítěte to platí ve zvýšené míře. Dítě chce být aktivní. Dívka chce pomáhat mamince mýt nádobí a hoch chce tátovi pomoci zatlouct hřebík. Dospělý, který nechápe, že cílem takové činnosti jsou zkušenosti, jež dítě získá, nikoli výsledek práce, kterou dítě udělá, pomoc odmítne. Žáci, přinejmenším na prvním stupni, rádi řeší přiměřeně náročné úlohy. Každá vyřešená úloha, kterou žák přijme jako výzvu, jej povzbudí do další práce. Stereotypní nácviky nejsou pro většinu žádnou výzvou, jsou spíše otravné. K jejich řešení žáka nevede zvídavost, ale potřeba sociální seberealizace nebo někdy strach. Zvídavost vede člověka k nabývání zkušeností jistého typu. První zkušenosti, které jedinec získává, nazveme izolované modely příštího poznání. Izolované modely přichází do vědomí člověka postupně. Například když se dítě učí počítat, zjistí, že 2 míče a 3 míče je 5 míčů, 2 prsty a 3 prsty je 5 prstů,... Ze začátku dítě nevidí, že je zde hluboká souvislost a že všechny tyto zkušenosti jsou jen reprezentace poznání 2 + 3 = 5. Jestliže již dítě cítí, že objekty 2 míče, 2 bonbóny a 2 prsty mají něco společného, jestliže se v jeho mysli tyto tři jevy seskupují a navzájem na sebe poukazují, vzniká ve vědomí dítěte před-pojem čísla dvě. V okamžiku, kdy dítě zjistí, že při počítání lze tyto modely navzájem nahrazovat, že dvě nepřítomná jablíčka může zpřítomnit dvěma prsty, stávají se dva prsty generickým modelem pro před-pojem dvě, vzniká pojem. Podobně když žák sedmého ročníku zjistí, že složením osových souměrností podle dvou navzájem kolmých přímek vzniká středová souměrnost podle průsečíku daných přímek, vytváří se v jeho vědomí izolovaný model příštího silného poznatku, že složení dvou osových souměrností podle různoběžek svírajících úhel ϕ je otočení kolem průsečíku těchto různoběžek o úhel 2ϕ. Je jasné, že uvedený izolovaný model je nutno doplnit mnoha dalšími izolovanými modely, jestliže chceme, aby se žák k obecnému poznání dopracoval sám. Generický model je poznatek, který vychází z konkrétní zkušenosti – izolovaných modelů a směřuje k abstraktnímu poznání. Z izolovaných modelů vzniká zobecněním, sám se pak procesem abstrakce stává abstraktním poznatkem. Kvalitní generický model je reprezentantem i prototypem svých izolovaných modelů. Je nástrojem, pomocí něhož lze řešit úlohy o jiných, momentálně třeba nepřístupných objektech, i nástrojem, který je schopen najednou v mysli uchopit celý soubor izolovaných jevů. Nepřítomná 2 jablka a 3 jablka může dítě spočítat pomocí prstů a jeho zjištění „když dám dohromady 2 prsty a 3 prsty, dostanu 5 prstů“ se netýká pouze použitých prstů a nepřítomných jablek, ale jakýchkoli objektů. strana 16 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Generický model je klíčový prvek celého poznávacího procesu. Proto se mu v dalším textu velmi intenzivně věnujeme. Generický model je nejdůležitějším, nikoli ale konečným produktem poznávacího procesu. Poznávání pokračuje abstrakcí. Abstraktní poznatek má vyšší kvalitu než generický model. Není vázán na konkrétní objekty, je uchopen novým jazykem. Generický model je stejně konkrétní, jako byly izolované modely, z nichž vznikl. Prsty jsou stejně konkrétní jako jablka. Když ale výše popsanou situaci zapíši vztahem 2 + 3 = 5, změním generický model na abstraktní poznatek. Myšlenkový proces, který změnu uskuteční, se nazývá abstrakce. Stejně jako u čísel, i u jiných abstrakcí dochází často ke změně jazyka. Nový jazyk zpřetrhá pouta poznatku a jeho kořenů vnořených do reality. V zápise 2 + 3 = 5 není přítomen žádný předmět, nic, co poukazuje na 2 prsty a 3 prsty, které dány dohromady dají 5 prstů. Propast mezi generickým modelem s prsty a abstraktním poznatkem 2 + 3 = 5 je obrovská. Měřeno historií je to přes 30 tisíciletí2. Již v paleolitu používali lidé k počítání vrubovky – primitivní počitadla, kosti, do nichž dělali soubory zářezů. Číslice a desítková soustava jsou velice silný nástroj pro práci s počtem. Tento nástroj používáme v Evropě pouhých 400 let. Podobně jako u zobecnění, může mít i abstrakce dvojí podobu. Buď žák samostatně abstraktní poznatek objeví, nebo jej převezme. Pak je na žákovi, do jaké míry si jej zvnitřní. Když ke zvnitřnění nedojde, nebo dojde, ale jen v malé míře, zůstává tento poznatek uchováván pamětí jako poznatek mechanický, bez porozumění. Na rozdíl od objevu, který bývá někdy dílem krátkého okamžiku, bývá zvnitřnění obvykle dlouhodobým procesem. Žák si jen postupně zjednává porozumění pro jednotlivé prvky nového abstraktního poznatku a pouze po čase se dopracuje k celkovému pochopení. V této etapě poznávacího procesu se abstrakce prolíná s krystalizací. Krystalizace. Získáním abstraktního poznání poznávací proces nekončí. Nový poznatek se musí v již existující matematické struktuře zabydlet, domestikovat. Tomuto procesu budeme říkat krystalizace. Jedná se vlastně o vložení nového prvku do existující struktury. Někdy to vyvolá zásadní změny v existující struktuře. Tak objevení se záporných čísel mění mnohá pravidla platná v přirozených číslech (například že 5 + x > 5). V těchto případech dojde k restrukturalizaci značné části matematických znalostí žáka. Nejen při objevu záporných čísel, ale i zlomků, desetinných čísel nebo později písmen (algebra). Didaktické důsledky. Popsaný pětietapový mechanismus pojmotvorného procesu je v mnoha případech možné aplikovat i na jiné procesy, jakými jsou odhalování zákonitostí, hledání argumentace nebo strukturace poznatku. Naším hlavním cílem není ale konstrukce edukačních strategií pro pojmy, vztahy, argumentace nebo strukturace, ale hledání příčin chyb, jichž se žáci dopouští. Jak již bylo dříve zmíněno, většina nejzávažnějších chyb vzniká v důsledku mechanického poznání, které se do vědomí žáka dostává v ucelené finální podobě a je udržováno pamětí. Takové poznání není opřeno o žákovi osobní zkušenosti, o izolované a generické modely. Hlavním cílem naší vzájemné práce je hluboce porozumět chybám žáků, naučit se hledat jejich příčiny, způsoby, jak je redukovat, a zejména pak způsoby, jak jejich výskytu předcházet. K tomu je nutné zvolit konkrétní oblasti matematiky, ve kterých je možné tyto záměry realizovat. Zde jsme se rozhodli pro 3 oblasti: přirozená čísla (kapitola 5), zlomky (kapitola 6) a záporná čísla (kapitola 7). 2

Je uložena v Moravském muzeu a její stáří bylo určeno na 28 tisíc let (J. Folta, Dějiny matematiky I, Národní technické muzeum, Praha 2004). strana 17 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Vzhledem k tomu, že tento materiál je možné obohacovat o další témata, je pravděpodobné, že s přispěním kolegů, s nimiž budeme problematiku chyby řešit, vytvoříme materiály vztahující se k tématům z geometrie, analýzy, kombinatoriky, statistiky, … .

5. Přirozená čísla Tato kapitola, stejně jako následující, se skládá ze čtyř podkapitol.

5.1 Sémantické modely Dejte žákům v 6. až 9. ročníku následující úlohu: Vytvořte co možná nejvíce různorodých slovních úloh, jejichž matematické řešení povede na sčítání 17 + 5 = ?. Pravděpodobně všichni vymyslí úlohu typu „17 hochů a 5 dívek. Kolik je to dohromady dětí?“ Je otázkou, kolik žáků bude schopno vymyslit i jinou úlohu. Jestliže zjistíte, že většina vašich žáků není schopna vymyslit jinou úlohu, znamená to, že jejich zásoba generických modelů pro operaci sčítání je chudá. Projeví se to jejich sníženou schopností řešit slovní úlohy vyžadující jiný generický model než ten, který je dán idiomem „dát dohromady“. V našich sondách v 6. a 7. ročníku byla použita úloha „Mirek prohrál 5 kuliček. Zůstalo mu 17 kuliček. Kolik kuliček měl původně?“ Výsledky byly velice špatné. Většina řešitelů se orientovala na signální slovo „prohrál“ a odpovídala 17 – 5 = 12. Uvedená ilustrace ukazuje, že učitel, který chce zlepšovat schopnost svých žáků řešit slovní úlohy, potřebuje znát širokou paletu generických modelů čtyř základních aritmetických operací. Tato znalost předpokládá poznání sémantických modelů čísla. Sem zaměříme naši pozornost. Sémantické modely přirozeného čísla budeme dělit do dvou tříd (Hejný, Stehlíková, 1999): 1) číslo jako kvantita 2) číslo jako identifikátor Číslo jako kvantita Podíváme-li se na číslo jako kvantitu zblízka, uvidíme, že nejde o jeden druh čísla, ale přinejmenším o osm různých druhů. Přehledně jsou uvedené v tabulce 5.1. Tab. 5.1 ČÍSLO JAKO KVANTITA Stav (S) změny Operátor (OZ) (O) porovnání (OP)

počet (P)

veličina (V)

skalár (Sr)

Mám 7 kuliček. Vyhrál jsem 3 kuličky. Měl o 3 míče více než bratr.

Kniha stojí 20 Kč. Od ledna do září vyrostl o 6 cm. Meč váží o ½ kg více než kord.

Trenér zdvojnásobil tréninkové dávky. Rozloha Británie je trojnásobek rozlohy ČR.


SU

∑ MA


Ke každému ze sedmi tučně vyznačených termínů je v tabulce 5.1 připsána i jeho zkratka, kterou budeme později používat. Čísla (jako kvantity) jsou rozdělena podle dvou kritérií. Podle prvního kritéria na stav a operátor. Stav není nutno vysvětlovat. Operátor vyjadřuje vztah dvou stavů. Jedná-li se o dva různé objekty, mluvíme o porovnání, jedná-li se o týž objekt ve dvou různých časových okamžicích nebo obdobích, hovoříme o změně. Když je operátor vyjádřen pomocí sčítání nebo odčítání, mluvíme o aditivním operátoru, když je vyjádřen pomocí násobení nebo dělení (popřípadě zlomkem, desetinným číslem, procenty), mluvíme o multiplikativním operátoru. Podle druhého kritéria je číslo buď počet – počítáme-li kusy, nebo veličina – počítáme-li v jednotkách, nebo skalár – vyjadřuje-li číslo podíl nějakých dvou počtů nebo veličin. Ilustrace z tabulky jsou jasné. Avšak existují i případy, které jsou méně jasné, až ‘pomotané‘. Ty jsou didakticky důležité, protože bývají příčinou komunikačního šumu i žákovských chyb. Číslo jako identifikátor Zamysleme se nad tímto sdělením: „Milan sedí na tribuně na sedadle 318. Jeho bratr, brankář Eda, dnes hraje v dresu s číslem 8.“ Číslování sedadel na tribuně má systém, tvoří strukturu. Z ní víme, že divák na sedadle 317 sedí vedle Milana. Ale z informace „Eda má dnes číslo 8“ neumíme říci nic o hráči s číslem 7. Nevíme, zda to je obránce či útočník a zda vůbec hráč s číslem 7 hraje. Čísla dresů netvoří strukturu. Jsou to jen jména. Číslo jako identifikátor je buď adresa, nebo jméno. Adresy tvoří strukturu, jména nikoliv. Matematicky zajímavé jsou jen adresy. Ty jsou buď lineární, ubíhají-li stále vpřed, nebo cyklické, „chodí-li“ dokola. Celou situaci přehledně popisuje tabulka 5.2. Tab. 5.2 adresa (A)

jméno

lineární (AL)

Němcová zemřela roku 1862. Bydlím v pokoji č. 514.

cyklická (AC)

Pepa se narodil v 11.30 hod. Úterý je druhý den týdne. Jedu tramvají číslo 3. Telefonní číslo sekretářky je 853.

Sémantických modelů lineárního adresování je hodně: stupnice (zejména teploměr), číslování sedadel v divadle, pokojů v hotelu, domů v ulici, položek v seznamu (například seznam jmen žáků v třídní knize), ukazatelé kilometrů na dálnici, manuál ve výtahu, kalendář,… . Sémantických modelů cyklického adresování je podstatně méně. Hlavním modelem je ciferník hodin. Na něm jsou dva modely: hodinový, obsahující čísla od 1 do 12, a minutový či sekundový, obsahující čísla od 0 do 59 (resp. od 1 do 60). Dalšími modely jsou číselné nápisy pod kruhovými ovladači. Například na elektrickém sporáku máme ovladač, který je možné nastavit do poloh 0 až 5 a tato čísla jsou rozmístěna do vrcholů pravidelného šestiúhelníku. Dodejme, že pravidelné mnohoúhelníky jsou s kruhovými stupnicemi úzce propojeny. strana 19 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


5.2 Strukturální modely Číslo jako kvantita Představa přirozeného čísla je propojena na jeho zápis. Samozřejmě můžeme pracovat, a občas pracujeme, s čísly vyjádřenými jinak než zápisem: soubor teček na hrací kostce, počet měsíců v roce, počet dnů ve století apod. Základním generickým modelem přirozeného čísla je číslo zapsané pomocí číslic 0, 1, …, 9 v desítkové soustavě. Například číslo 7, 21, 904, 7 541. Problematickým strukturálním modelem přirozeného čísla je například číslo 05 nebo 007. V běžném životě taková čísla najdeme (např. čísla aut) a někdy se mohou objevit i ve školní úloze. Méně často se ve škole setkáváme se zápisy čísel v jiné než desítkové soustavě, například ve dvojkové nebo pětkové, popřípadě zápisy vyjádřené římskými číslicemi. Zřídlem chyb v této oblasti bývá odtržení číslicového zápisu od představy čísla. K tomu dochází zejména u velkých čísel. Žák s těmito zápisy manipuluje pomocí nacvičených algoritmů, ale představa o velikosti čísla mnohdy schází. O přirozeném čísle mluvíme, až když se objeví jiné typy čísel: záporná čísla, zlomky, desetinná čísla, procenta. Zvláštní postavení má číslo 0. To bývá někdy řazeno mezi čísla přirozená, jindy ne. Volba jedné nebo druhé z těchto možností závisí na domluvě tvůrců osnov a učebnic. Spor o to, zda nula je nebo není přirozeným číslem, je spor „politický“, nikoliv věcný. Ve školské matematice se obvykle nula za přirozené číslo nepovažuje. (Podrobněji viz kapitola 7.) Děti již na prvním stupni poznají slovo nekonečno a některé vědí, že se pro něj používá znak ∞. Tato skutečnost někdy vede k představě, že nekonečno je největší přirozené číslo. Na druhém stupni se občas setkáváme s tvrzením žáků: 1/0 = ∞. Ve své podstatě takový zápis je spíše výzvou k hlubšímu poznávání pojmu číslo než vyloženou nepravdou. Důležitou oblastí pro hlubší poznání pojmu přirozené číslo jsou jeho překvapivé modely. Nachází se na hranici s dalšími číselnými obory. Například mnozí žáci o čísle 51/17 prohlásí, že to je zlomek, nikoliv číslo přirozené, nebo o čísle 2,0 prohlásí, že to je číslo desetinné, nikoliv číslo přirozené. Musíme ještě zmínit dva druhy ‘choulostivých‘ modelů. První se týká vztahu 1% = 0,01. Když jej přijmeme za korektní, pak 100% = 1 je číslo přirozené. Matematicky je to přípustné, ale didakticky nevhodné. Za rozumnější považujeme omezit se při práci s procenty na sémanticky ukotvenou vazbu: „1% z celku je 0,01 z celku“, jak je uvedeno například v (Odvárko, Kadleček, 1999, s. 53). Další úvahy o procentech jsou obsažené ve výzvách 6.21 až 6.25. Druhý didakticky choulostivý model přirozených čísel jsou čísla typu 0,999…, 1,999…, 2,999… atd. Víme, že tato čísla, zapsaná ve tvaru čísla desetinného, jsou přirozená (jsou to 1, 2, 3 atd.), ale pro žáky to zdaleka není samozřejmé. Zde problém tkví v porozumění nekonečného rozvoje desetinného čísla (viz výzvy 6.14 až 6.15).


SU

∑ MA


Číslo jako identifikátor Omezíme se na číslo ve funkci adresy. Základním strukturálním generickým modelem lineárního adresování je číselná osa. Často bývá příčinou chybných představ, které pramení z dvojího chápání číslic připsaných k číselné ose. Například číslice 3 může znamenat jméno oné rysky, onoho místa, které se u číslice nachází, ale může to znamenat též veličinu (tedy nikoli adresu!), a to délku úsečky, která začíná u nuly a končí u trojky. K této chybě dochází zejména tam,

Obr. 5 kde se obě funkce čísla (adresa i veličina) žákům odhalují skoro současně. Když se žák například ve třetím ročníku setká s obrázkem 5, pak je dosti pravděpodobné, že se v jeho vědomí vytvoří tak silná asociace mezi adresou a veličinou, že ji žák nebude schopen překonat na druhém stupni ZŠ. V následujícím příběhu dokumentujeme, jak se špatné zavedení schématu číselná osa na 1. stupni může projevit v chybné práci žáka na druhém stupni, nebo i později.

Příběh 5.1 Grafy funkcí (Vypravuje M. Hejný) Doučuji Viktora, kvartána osmiletého gymnázia. Má najít průsečík grafů funkcí f(x) = x + 3 a g(x) = (5/3)x + 1. Hoch si na čtverečkovaném papíru nakreslil číselné osy a na obou vyznačil body 1, 2, 3 i body -1, -2, -3. Pak se podíval na funkci f, zvýraznil bod [0;3] a řekl: „to jde takhle“ a správně zakreslil přímku, která je grafem funkce f. Pak se podíval na funkci g a zvýraznil bod [0;1]. Řekl: „Stoupá to odtud nahoru … tři doprava, pět nahoru.“ Od bodu [0;1] udělal hrotem tužky tři kroky doprava nad vyznačený bod [3;0] a zde, v místě [3;1], udělal tečku. Řekl: „Teď pět nahoru.“ Na y-ové ose vyznačil dílky 4 a 5 a od dílku 5, tj. od bodu [0;5], šel hrotem tužky tři dílky doprava nad vyznačený již bod [3;0] a výrazněji vyznačil bod [3;5]. Pak spojil body [0;1] a [3;5] úsečkou a tu prodloužil pravítkem. Pravítkem prodloužil i graf funkce f a s jistou dávkou nejistoty vyznačil bod [6;9] jako průsečík přímek. Požádal jsem hocha, aby výsledek prověřil výpočtem. Viktor lehce prověřil, že f(6) = 9, ale pak zjistil, že g(6) = 11. Začal hledat chybu. Nejprve prověřil graf funkce f a po chvíli s jistotou konstatoval, že to má dobře. Začal prověřovat graf funkce g. Když se mu to nedařilo, nakreslil nový obrázek, na kterém opakoval stejný postup kreslení grafu funkce g jako v předešlém případě. Chybu nedokázal najít. Opakovaně sám sebe přesvědčoval, že pravidlo „jmenovatele vodorovně a čitatele svisle“, které používal při řešení úlohy, je správné. Nakonec mne žádal o pomoc. Řekl jsem mu, aby do druhého obrázku zakreslil graf funkce h(x) = (5/3)x. Když to udělal, ihned svoji chybu objevil. Dodal, že tuto chybu dělá pokaždé.

Komentář 5.1 Jádrem Viktorovy chyby je nejasná představa o významu slov „pět nahoru“. Slova označují délku, ale on je interpretuje i jako „k číslu 5 na y-ové ose“. Je velice pravděpodobné, že uvedená představa vznikla v době, když se ve vědomí hocha budovalo schéma dvou kontextů číselné osy – kontextu adres a kontextu délek. strana 21 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Základním generickým modelem cyklického adresování je kružnice s vepsaným pravidelným núhelníkem, jehož vrcholy jsou číslovány 1, 2, …, n (popřípadě 0, 1, 2, …, n-1). Kreslíme-li tuto situaci, značíme pouze vrcholy onoho n-úhelníka, nikoli jeho strany. Vysoce sofistikovaným modelem cyklického adresování je funkce zlomková část čísla, kterou označujeme {}. Její vizuální představa je „namotání celé číselné osy na kružnici“, tedy zobrazení, které se pomocí komplexních čísel dá popsat předpisem f: R → S1; x → e2πxi.

5.3 Diagnostické úlohy O diagnostických úlohách jsme psali na straně 2. Teď budeme obecné výklady tam uvedené konkretizovat. Cílem diagnostických úloh je poznávání intelektuální výbavy žáka v jisté oblasti matematiky. Přitom věk žáka může být značně různý. Uvedené úlohy jsme sondovali u žáků od 6. ročníku až po posluchače vysoké školy. Pokaždé jsme analýzou odpovědí mohli poukázat na příčiny chyb a navrhnout reedukační postupy. DÚ5.1 Dána jsou dvě šestimístná čísla 352 091 a 432 502. V každém z nich škrtněte jednu číslici tak, aby pětimístná čísla, která jsou takto vytvořena, byla co možná a) nejmenší, b) největší. [Znalost desítkové soustavy.] DÚ5.2 Zjistěte, čeho je více: a) kapek v jednom litru vody, nebo všech obyvatel Prahy? b) vteřin v jednom roce, nebo všech písmen v 50ti stránkové knize? [Kompetence nabývání představy o velkém čísle daném sémanticky. Schopnost vést experiment.] DÚ5.3 Následující úlohu řešte s co nejmenším použitím zápisů, pokud možno jen v hlavě. V řadě čísel 3, 6, 9, 12, 15, … zvolím a) ta tři po sobě jdou čísla, která začínají číslem 297. Jaký je součet těchto tří čísel? b ) těch pět po sobě jdoucích čísel, které začínají číslem 2994. Jaký je součet těchto pěti čísel? [Schopnost pracovat s většími čísly strukturálně. Úroveň krátkodobé paměti.] DÚ5.4 Na ciferníku hodin označme dílky označující minuty čísly 0, 1, 2, …, 59. Body, které jsou označeny čísly 0, 15, 30 a 45, tvoří vrcholy čtverce. Najděte body, které tvoří vrcholy pravidelného a) pětiúhelníka, b) osmiúhelníka, jestliže jedním z nich je bod označený číslem 7. [Geometricko-aritmetická orientace v kružnicové stupnici.] DÚ5.5 Máme měřítko, na němž jsou vyznačeny rysky s čísly 0, 1, 2, 3, … 7, 8. Když z měřítka vymažeme tři čísla i příslušné rysky 1, 3, 4, dostaneme „neúplné měřítko“ nakreslené na obr. 6. Tímto měřítkem jsme schopni pomocí jediného měření změřit délky od 1 po 8. Například délku 4 změříme pomocí rysek 2 a 6. Vytvořte měřítko s co nejmenším počtem rysek, pomocí něhož lze jediným měřením naměřit každou z délek a) od 1 do 6, b) od 1 do 10. Zdůvodněte, proč měřítko s menším počtem rysek nelze najít. strana 22 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


[Geometricko-aritmetická orientace v lineární stupnici. Schopnost třídit jevy a argumentovat.]

0

2

5

6

7

8

Obr. 6

Komentáře k některým úlohám KDÚ5.2 První slovo úlohy je „zjistěte“, nikoli „odhadněte“. Podstatné je to, jakým způsobem žák čísla zjišťuje. Obyvatel Prahy je něco přes milion a přesnější číslo, bude-li třeba, lze najít na internetu. Počet kapek v litru vody zjistíme, když nakapeme malý známý objem, například 1 ml, a toto číslo vynásobíme tisíci. Zjistíme tak například, že do 1 ml se vejde 28 kapek, a tedy do litru 28 000 kapek. Jistě, toto číslo je nepřesné, ale určitě je menší než 1 milion. Počet vteřin v roce je 60×60×24×365, což je více než 3 miliony. Když to vydělíme číslem 50, dostaneme číslo 60 000, a to je určitě víc než písmen na jedné straně jakékoli normální knihy. KDÚ5.3 Když žák není schopen vyřešit úlohu zpaměti, napíše si něco na papír. Tyto poznámky nám mohou pomoci diagnostikovat jeho představy a způsob mentálního zacházení s většími čísly. Žák s velice dobrým strukturálním myšlením řeší případ b) ve třech krocích: 1) výsledek je 5násobek prostředního čísla; 2) prostřední číslo je 3 000; 3) součet je 15 000.

5.4 Výzvy V5.1 Popište situaci, ve které je výraz „9 korun“, případně výraz „6 kávových lžiček“ v sémantickém významu a) veličiny, b) počtu. Pokuste se najít další podobné výrazy. V5.2 Na příkladech ukažte, že hranice mezi adresou a jménem je neostrá a může výrazně záviset na situaci nebo na tom, kdo situaci posuzuje. V5.3 Ukažte, že hranice mezi číslem jako stavem, číslem jako operátorem změny a číslem jako operátorem porovnání jsou neostré. V5.4 Vytvořte sérii diagnostických úloh prověřujících schopnost žáků porovnávat velká čísla, ať již strana 23 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


daná sémanticky, nebo strukturálně. Úlohy zadejte v několika třídách a na základě výsledků zjistěte, která z vámi vytvořených úloh je nejnáročnější a která nejlehčí.

Komentáře k výzvám KV5.1 Zmrzlina stála 9 korun. Na stůl jsem rozložil 9 korun do tvaru čtverce 3×3. Koupil jsem 6 stříbrných kávových lžiček. Do směsi přidáme 6 kávových lžiček cukru. KV5.2 Ve větě „Michal má startovní číslo 14“ může číslo 14 značit jméno i adresu. O adresu jde, když se jedná například o závod ve slalomu a Michal startuje v prvním kole jako čtrnáctý. Tam na pořadí záleží. O jméno jde ve druhém kole, kde závodníci startují v pořadí podle časů dosažených v prvním kole.

6. Generické modely zlomků 6.1 Sémantické modely Dělení sémantických funkcí přirozeného čísla nelze použít u zlomků beze změn. Jednak zlomek je závislý na celku, jednak hranice mezi stavem a operátorem změny bývá neostrá. Činnost dělení je operátor (ukroj polovinu chleba), ale výsledek vnímáme spíše jako stav (zde leží polovina chleba). Jestliže zlomkem vyjadřujeme vztah mezi dvěma stavy, pak nastávají dvě možnosti: 1) zlomek je veličina ležící vně porovnávaných množství (do obchodu je o půl kilometru blíže než do školy). 2) zlomek je brán z jednoho, nebo obou z porovnávaných množství (Cihla váží 1 kg a půl cihly, kolik váží cihla? Adam má poloviční příjem než Boris.) Zde je zlomek ve funkci skaláru. Toto je asi nejobtížnější funkce zlomku v učivu ZŠ. Při práci se zlomky používáme nejčastěji čtyři sémantické modely. Jsou uvedeny v tab. 6.1. Tab. 6.1 Sémantický model kopa stejných objektů hůl/tyč/provázek čokoláda pizza/dort/ciferník

Jeho matematizace Počet Úsečka mřížovaný obdélník Kruh

Příklad Onemocněla čtvrtina žáků. Třetina sloupu je červená. Snědl polovinu čokolády. Dort rozdělil na pětiny.

Zlomek se jen zřídka vyskytne ve funkci adresy. Někdy tak můžeme vnímat časové údaje. Například když si pod slovy „čtvrt na pět“ představím ciferník a na něm velkou ručičku na čísle 3, pak má tato představa charakter nejen veličiny, ale i adresy. Zde ale adresa není označena číslem ¼, ale číslem 3. Vstupní branou k pojmu zlomek je kmenový zlomek. To je zlomek typu 1/n. Je spojen s představou spravedlivého dělení celku mezi n podílníků. Z manipulativního hlediska jsou modely strana 24 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


hůl a čokoláda dostupné pro všechna menší n, ale model pizza je pro některá n jen těžce dostupný. Například pro n = 7, 11 apod. Na druhé straně model ciferník je velice vhodný pro n = 2, 4, 12, 6, 3, 24, 5, 10. Porovnávat zlomky můžeme dobře pomocí každého modelu, na němž umíme dané zlomky znázornit. Jinak je to se sčítáním/odčítáním a s násobením/dělením zlomků. Pro ně bývá nejvhodnějším modelem čokoláda. Právě tyto operace bývají častým zdrojem chyb žáků. Většinou je příčinou chyby absence představy dané operace. Místo představy žák použije příslušné pravidlo nebo nacvičený algoritmus. Zajímavé ilustrace chybných představ žáků o zlomcích lze najít v (Tichá, 1998).

6.2 Strukturální modely Zlomkem na základní škole rozumíme výraz p/q, kde p, q jsou čísla přirozená a p může být i nula (později i záporné celé číslo). Uvedené vymezení termínu zlomek je užší, než je naše představa o pojmu. Podívejme se na čísla a =

(2 − 1) ; 3

b=

2, 5 (5 / 2) ; d = 2 . ; c= 3,5 (7 / 2) 2

Pouze první z těchto čísel lze považovat za zlomek ve smyslu horního vymezení. Číslo b (c) lze upravit na zlomek 5/7. Je ale b, resp. c zlomkem? A jak je to s číslem d? Běžně žádáme, aby žák „ve zlomku d odstranil ze jmenovatele odmocninu“, ale číslo d vůbec není racionální, a tedy by to neměl být zlomek. Z uvedeného vidíme, že termín zlomek používáme dosti volně, a domníváme se, že je to dobře. Kdybychom se zde snažili jazyk upřesňovat, bylo by to na úkor srozumitelnosti. Domníváme se, že má-li žák strukturální představu zlomku: „je to výraz p/q, kde p, q jsou nějaká čísla a q je různé od nuly“, lze ji považovat za představu korektní. 1 2 3 Desetinné číslo 0,5 může být vyjádřeno nekonečně mnoha různými zlomky: , , , …. . 2 4 6 Jinak řečeno, týž objekt má mnoho různých jmen. Tato skutečnost vede k různým nedorozuměním, která vzniknou, když si žák neuvědomí rozdíl mezi objektem, s nímž pracuje, a jménem, pomocí něhož objekt uchopuje. Nástrojem, jímž můžeme některá z těchto nedorozumění odstranit, je pojem zlomek v základním tvaru. Rozumíme tím racionální číslo p/q, kde p je celé číslo, q je přirozené číslo a čísla p, q jsou nesoudělná. Samozřejmě při běžném počítání se velice často objeví zlomek, který není v základním tvaru. Začneme-li o zlomcích p/q uvažovat v oblasti záporných čísel (připustíme, že p a/nebo q může být záporné), vzniknou některé nebezpečné situace, protože znaménko minus může být na třech různých místech. Například (–3) / 2 = 3 / (–2) = –(3 / 2). I když se jedná o týž objekt, tj. racionální číslo –1,5, jsou uvedená tři vyjádření dosti rozdílná. V prvním vyjádření je čitatel menší než jmenovatel, ve druhém je tomu naopak. Jestliže tedy budeme o zlomcích uvažovat v souvislosti s porovnáváním velikosti čitatele a jmenovatele, můžeme dospět k problematickým závěrům. Ilustrací takového případu je DÚ7.2e. strana 25 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


6.3 Diagnostické úlohy DÚ6.1 Kolik šestin musíme odebrat z celku, aby zbyla jedna třetina celku? [Porozumění textu se zlomky.] DÚ6.2 a) Kolik je polovina ze třetiny? b) b) Třetina z mých peněz je 8 Kč. Kolik je třetina z poloviny mých peněz? [Porozumění zlomku jako operátoru. Schopnost pracovat se zlomky v komplexních schématech.] DÚ6.3 a) Dva stejné kruhové dorty rozdělte pomocí co nejmenšího počtu úsečkových řezů zcela spravedlivě mezi 3 podílníky. (Rozdělení znázorněné na obrázku 7 není zcela spravedlivé, protože podílníci A a B dostanou svoji část v celku a podílník C ve dvou kusech.

Obr. 7

Náročnější varianty: b) 3 dorty dělíme mezi 5 podílníků, c) 2 dorty dělíme mezi 5 podílníků. [Porozumění zlomku pomocí kruhového modelu; experimentování.] Obr 8a DÚ6.4 a) Obdélníková lišta o rozměrech 11 cm × 71 cm je na líci rozdělena na tři stejné menší obdélníky a na rubu na dva stejné větší obdélníky (obr. 8a). Jakou část většího obdélníku by pokryl menší obdélník? Výsledek zapište zlomkem. Náročnější varianta: Obr. 8b b) Rozměry obdélníku na obr. 8b jsou 19 cm × 311 cm. Líc lišty je rozdělen na 7 stejných menších obdélníků a rub lišty na 3 stejné větší obdélníky. Jakou část většího obdélníku by pokryl menší obdélník? Výsledek vyjádřete zlomkem. [Porozumění zlomku v obdélníkovém modelu a širším geometrickém kontextu.] DÚ6.5 Aspoň dvěma různými způsoby znázorněte obrázkem vztah a) 2/5 > 1/3, b) 3/7 > 2/5. [Schopnost používat více modelů pojmu zlomek.] DÚ6.6 Tvůj mladší přítel tě žádá, abys mu vysvětlil, jak je možné sčítat zlomky 1/7 + 2/5. Co mu řekneš? [Porozumění podstatě sčítání zlomků.] strana 26 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


DÚ6.7 Na číselné ose jsou vyznačeny pouze dva body: 1/3 a 1/6. Najděte, kde je bod ¼. [Porozumění vazbě mezi zlomky a číselnou osou.]

Komentáře k některým úlohám KDÚ6.2 a) Žák, který nedokáže text uchopit, má nižší schopnost porozumět psanému textu v oblasti zlomků (a asi nejen zde). Žák, který k řešení použije některý sémantický model, demonstruje svůj způsob reprezentace zlomků. Žák, který vynásobí ½ a 1/3, má vybudované schéma: „vzít část z (z je zlomek) z čísla y znamená vynásobit z.y“. b) Dobrý vhled do zlomků i dobrou schopnost uchopit slovní text má žák, který dokáže úlohu řešit v pěti krocích: 1) protože 8 Kč je třetina jmění, je celé jmění 3-násobek 8 Kč. 2) Tedy jmění je 24 Kč. 3) Polovina z toho je 12 Kč. 4) Ještě mám vzít z této poloviny třetinu. 5) Třetina z 12 je 4 Kč. Tedy odpověď zní: 4 Kč. Vynikající vhled do struktury zlomků má žák, který vidí, že třetina z poloviny je totéž co polovina ze třetiny a protože třetina je 8 Kč, je polovina z toho 4 Kč. Žák nic nepočítá a rychle správně odpoví. KDÚ6.3 Podrobně je idea kmenového zlomku včetně řešení této a mnoha dalších podobných úloh popsána v (Hejný 2005). KDÚ6.4 Žák, který se pokusí počítat obsahy obdélníků, neumí smysluplně zacházet s modely zlomků. Ten, který si ihned uvědomí, že na uvedených rozměrech vůbec nezáleží, má dobrou představu zlomku. U úlohy a) je výsledek skoro vidět. U úlohy b) je nutná analýza. Žák, který se po různých pokusech dopracuje k tomu, že celou lištu rozdělí na 21 shodných částí, má dobrý vhled do porovnávání zlomků. Žák, který pouze zjistí, že v prvním případě je lišta dělena na 7 částí a ve druhém na 3 části a na základě toho řekne, že menší obdélník pokryje 3/7 většího, má vynikající vhled do struktury zlomků. Velice dobrý vhled má i žák, který uvažuje takto: hledám zlomek x/y. Vím, že tato část z 1/3 je 1/7. Tedy (x/y).(1/3) = 1/7. Odtud žák najde x/y = 3/7. KDÚ6.5 Někteří z námi diagnostikovaných žáků neměli vůbec představu o tom, že zlomek 3/7 lze znázornit obrázkem. Uvedli-li nějaké řešení, bylo to převedení zlomků na desetinná čísla pomocí kalkulačky, popřípadě uvedení zlomků na společného jmenovatele. Jediný vizuální model, který znali, byl kruh, ale vnímali jej spíše jako reklamní záležitost než jako nástroj, pomocí něhož lze něco zjišťovat. Odstranit tento nedostatek, tj. dobudovat v představě žáků generické modely úsečka a mřížovaný obdélník, to byl pak hlavní úkol navržené reedukace. KDÚ6.6 Tato úloha dobře diagnostikuje i metastrategii. Tedy to, jak žák vnímá vlastní znalost zlomků. Dobře je na tom žák, který začne situaci modelovat například tak, jak je uvedeno v komentáři k výzvě 6.1 (viz dále KV6.1) Hůře je na tom žák, který začne zlomky převádět na společného jmenovatele. Tomu žákovi pak řekneme, že takový výklad by byl pro jeho svěřence příliš náročný, že svěřenec by se dožadoval obrázků. Špatně je na tom žák, který by svému svěřenci ukázal křížové pravidlo. Takového žáka bychom ve jménu svěřence žádali, aby osvětlil podstatu toho, proč se to tak počítá. strana 27 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Poznámka Úlohy typu „vysvětli mladšímu příteli“ patří k účinným způsobům diagnostiky porozumění jakékoli oblasti matematiky.

6.4 Výzvy Výzvy 6.1 až 6.5 jsou zaměřeny na zlomky. Výzvy 6.11 až 6.15 jsou zaměřeny na desetinná čísla, jejichž zpracování, inspirované touto kapitolou, bude přenecháno čtenářům. Těm bude přenecháno i zpracování pojmu procento, k němuž se vztahují výzvy 6.21 až 6.25 Zatím neobsazená čísla výzev 6.6 až 6.1 a 6.16 až 6.20 budou postupně doplňována z myšlenek, jimiž přispějí kolegové učitelé. V6.1 Žák, se kterým řešíte slovní úlohu, má sčítat 1/7 + 1/5. Žák se vás ptá na pravidlo, jak se to sčítá (nedovede si na pravidlo vzpomenout). Jak budete reagovat? V6.2 Žáci počítají v lavici. Každý sám. Vidíte, že jeden žák má v sešitě napsáno 2/3 : 6/5 = 3/2 . 6/5 = 18/10 = 1,8. Jak budete reagovat? V6.3 Vytvořte gradovanou sérii úloh podobných těm, které jsou v DÚ6.3 Sérii odzkoušejte s žáky. V6.4 Vytvořte gradovanou sérii úloh podobných těm, které jsou v DÚ6.4 Sérii odzkoušejte s žáky. V6.5 Vytvořte gradovanou sérii úloh podobných těm, které jsou v DÚ6.7 Sérii odzkoušejte s žáky. V6.6 až 6.10 Rezerva V6.11 Najděte aspoň tři různé sémantické modely desetinného čísla a) 37,2; b) 0,15; c) 3,120; d) 3,14; e) 3,1416; f) 6,023. V6.12 Někteří žáci vnímají desetinné číslo jako dvojici čísel – jedno je před a druhé za desetinnou čárkou. Vytvořte aspoň tři různé úlohy, jimiž budete tuto chybnou představu diagnostikovat. V6.13 Úlohy v DÚ6.7. se vztahují ke zlomkům. Vytvořte gradovanou sérii úloh podobných, vztahujících se k desetinným číslům. Sérii odzkoušejte na žácích. V6.14 Najděte sérii úloh, jimiž své matematicky nejvyspělejší žáky dovedete k objevu převodu periodického desetinného čísla na zlomek. Například 0,2727… = 27/99 = 3/11. strana 28 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


V6.15 Uveďte aspoň dva různé argumenty, které používají žáci, když chtějí dokázat hypotézu 0,999…< 1. Pokuste se o matematickou i didaktickou analýzu hypotézy. V6.16 až 6.20 Rezerva V6.21 Najděte aspoň tři různé sémantické modely čísla a) 100%; b) 72%; c) 109,7%; d) – 50%; e) 0,04%. V6.22 Vytvořte gradovanou sérii slovních úloh, v nichž se vyskytují jak zlomky, tak i desetinná čísla a procenta. Sérii odzkoušejte se žáky. V6.23 Někteří žáci nerozumí podstatě procent a jejich znalosti se redukují na vzorce p = 100č/z, z = 100č/p a č = zp/100 (zde p = procenta, z = základ, č = část). Vytvořte aspoň tři různé úlohy, jimiž budete tuto okleštěnou představu diagnostikovat. V6.24 Dva žáci přišli učitele požádat o rozsouzení sporu. Jeden žák tvrdí, že 50% × 50% = 25%, neboť ½ × ½ = ¼. Druhý namítá, že výraz (50%)2 nemá smysl, protože pak bychom mohli psát i 1% = 10% . Jak zareagujete? V6.25 Tři žáci různě vyřešili následující úlohu: Ve dvou domech bydlí 990 lidí. Ve větším bydlí o 20% více lidí než v menším. Kolik lidí bydlí v menším domě? Žák A odpověděl 396 lidí, žák B odpověděl 440 lidí a žák C odpověděl 450 lidí. a) Vysvětlete, jak žáci uvažovali. b) Jak budete ve třídě na tuto rozdílnost názorů žáků reagovat?

Komentáře k některým výzvám KV6.1 Reakce samozřejmě závisí na okolnostech. Pokud je to možné, cílem rozhovoru bude vést žáka k porozumění zlomkům. Nejprve nutno diagnostikovat žákovy představy o zlomcích a žádat od něj, aby vyložil svoji představu zlomku 1/7 i 2/5. Jestliže představa schází, musí se nejprve dobudovat, a to pomocí životních zkušeností žáka. Důležitý je zejména model „čokoláda“. Jestliže žák s tímto modelem umí pracovat, vedeme jej k cíli posloupností úloh; další úlohu zadáme, až když předchozí úlohu žák dobře vyřeší. 1) Mám čokoládu o rozměrech 3 x 5. Mohu ji lehce rozdělit mezi dva (tři, čtyři, pět, šest,…) dětí? 2) Proč ji mohu lehce rozdělit mezi 3 i 5 dětí, ale ne mezi 2, 4 a 6 dětí? 3) Jaké rozměry má mít čokoláda, kterou budu moci lehce rozdělit mezi 2, 3, 4 i 6 dětí? 4) Jaké rozměry má mít čokoláda, kterou budu moci lehce rozdělit mezi 5 i 7 dětí? 5) Nakresli si tedy čokoládu o rozměrech 5 × 7 a zjisti, kolik má čokoláda čtverečků. 6) Jaká část čokolády je tedy jeden čtvereček? 7) Kolik čtverečků je 1/5 čokolády? 8) Kolik čtverečků je 2/5 čokolády? 9) Kolik čtverečků je 1/7 čokolády? 10) Kolik čtverečků je 1/7 + 2/5 čokolády? 11) Jaká část čokolády je 19 čtverečků? 12) Uměl bys samostatně najít součet ¼ + 2/5? strana 29 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Uvedený sled otázek se v konkrétní situaci bude modifikovat podle momentálních potřeb. Někde bude nutno zvolit pomalejší a jinde rychlejší postup. KV6.25 a) Rozdílnost výsledků je způsobená různou představou žáků o tom, co je základ z. Pro žáka A byli základem z všichni obyvatelé v obou domech. Pro žáka B byli základem z obyvatelé ve větším domě. Pro žáka C základem z byli obyvatelé v menším domě. b) Za nejvhodnější považujeme ukázat tři výsledky třídě a žádat autory o vysvětlení. V následné debatě pak žáci dojdou (případně s podněty učitele) k názoru, že úloha je dána nekorektně, že je potřebné v úloze říct, co považujeme za základ.

7. Záporná čísla a nula Představa záporného čísla patří k nejnáročnějším představám matematiky na ZŠ. Tato skutečnost nás nepřekvapí, jestliže víme, že jako plnohodnotné objekty je zavedl až Euler v roce 1770 a že ještě na začátku 19. století někteří známí matematici pociťovali k těmto číslům nedůvěru.

7.1 Sémantické modely Sémantická funkce stav, která je pro přirozené číslo nejtypičtější, se do záporných čísel přenáší obtížně. Není nic takového jako -5 jablek nebo –3 prsty. Zde bývá používán model „dluh“. Věta „mám –5 Kč“ znamená „mám 5 Kč dluhu“. Víme, že žákům počítání s dluhy dělá potíže. Je nelehké vidět, že záporný dluh je majetek, tedy že „minus z minusu je plus“. Ani operátor nedává pro záporná čísla dobrou sémantickou oporu. Zde zápor vyjadřujeme slovním spojením a záporné číslo nepoužijeme. Například řekneme, že „Slávie o 2 góly prohrála“, nikoli že „vyhrála o –2 góly“. Řekneme „dlužím ti 100 Kč“, nikoli „ty dlužíš mně –100 Kč“. Mimochodem, podle našich zkušeností se někteří žáci nadchnou pro tyto „matematické“, ale běžné komunikaci se zcela příčící výpovědi a s radostí je používají. Například výrokem „Slovan dal –1 gól“ mluvčí oznámil, že hráč Slovanu střelil míč do vlastní branky. Odhlédneme-li od společenských následků takové jazykové ekvilibristiky, je tento trénink dobrou cestou k přesnému chápání záporného čísla. Tito žáci ihned upozornili na nejasnost v předpovědi počasí: „bude –3°C pod nulou“. Ptají se oprávněně, kolik by bylo, kdyby bylo „–3°C nad nulou“. Jestliže tedy ani stav, ani operátor není vhodným sémantickým nositelem záporného čísla, zbývá adresa. Ta skutečně velice dobře záporná čísla unese. Vyjádření „dnes ráno bylo –5°C“, „Sokrates zemřel v roce –399“ nebo „garáže jsou v –2 patře“ jsou jasná a používaná. Jsou to ale pouze jednočíselná konstatování a nejsou vhodná na sémantizaci výrazů, jako je 3 – 5 + 1, –2 – (–4) apod. Chceme-li sémanticky takové výrazy modelovat, potřebujeme prostředí, které bude jednak dostatečně názorné, jednak dosti bohaté. Takovým prostředím je pohybování se po číselné ose. Příslušný model (nebo prostředí) nazveme „Panáček“. Přípravnou variantou daného prostředí je model „Tajná chodba“, vhodný na propedeutiku záporných čísel již ve druhém ročníku. I tento strana 30 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


model ve stručnosti uvedeme, protože podle našich zkušeností právě pomocí tohoto modeluněkteří žáci druhého stupně pochopili pojem záporného čísla i strukturu čísel celých.

Model Tajná chodba Učitel vypráví žákům dobrodružný příběh. Hrdina příběhu prochází tajnou chodbou, která někdy po schodech stoupá, jindy klesá. Hrdina ví, že až se dostane na úroveň, která leží 12 schodů pod úrovní vchodu, musí hledat tajné dveře. Žáci evidují pohyb hrdiny a upozorní učitele, když se hrdina dostane na úroveň tajných dveří. Obr. 9

vchod →

Podle diktátu učitele „Honza udělal 3 kroky po rovině, pak vystoupal 3 schody, pak udělal krok po rovině, pak 4 schody sestoupil dolů, pak…“ si žáci na čtverečkovaném papíru kreslí obrázek tajné chodby a evidují výškovou úroveň Honzy (viz obr. 9). Při dalších opakováních hry začnou žáci zápis zjednodušovat. Vypustí kroky po rovině a každý úsek vzestupný nebo sestupný nahradí úsečkou a číslem určujícím počet schodů. Tak postupně žáci dospějí k zápisu v jediné řádce. Například pomocí šipek: ↑3, ↓4, ↑2, ↓3, … . Žáci, kteří se dobře pohybují v prostředí tajné chodby, rychle porozumí i prostředí modelu Panáček.

Model Panáček Podobně jako u Tajné chodby i zde jde o model adresově-operátorový. U Tajné chodby se začínalo s operátory (o kolik schodů Honza vystoupil/sestoupil). Adresy, tedy úrovně schodů, vstoupily do hry až později. Zde bude číselná osa dána hned na začátku. Po této ose chodí panáček P, který pohybem sčítá i odčítá. Přitom pracujeme s čísly dvou typů. Jsou to: • adresy čísla zobrazená na číselné ose a • operátory čísla určující počet kroků, které panáček P udělá: a) kladné číslo přikazuje počet kroků, které má panáček udělat vpřed b) záporné číslo přikazuje počet kroků, které má panáček udělat vzad3 Každý číselný nápis jako 5 + 3 nebo 3 – (–5) nebo 5 – (–3 – (2 – 4)) chápeme jako instrukci pro pohyb panáčka P. Instrukce se řídí 5 pravidly: 1. Nápis čteme zleva doprava. 2. První číslo nápisu je adresa, na kterou se P postaví tváří k + ∞. 3

Tyto kroky nazvali žáci v experimentálním vyučování M. Hejného „račí kroky“ a později „korky“ – slovo „krok“ je čteno pozpátku. strana 31 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


3. Každé další číslo nápisu je operátor určující počet kroků, které P udělá. 4. Objeví-li se v nápisu minus před závorkou, udělá P čelem vzad.4 5. Ukončení závorky, před kterou bylo minus, znamená opět příkaz čelem vzad.

Příklad Tab. 7.1 Ukážeme výpočet 3 – 1 – (–5 + 2) + 4 = 9. Rozklad Akce panáčka P nápisu 3 P se postaví na číslo 3 tváří k +∞ -1 P udělá krok vzad, je na čísle 2 tváří k +∞ –( P udělá čelem vzad, je na čísle 2 tváří k -∞ -5 P udělá 5 kroků vzad, je na čísle 7 tváří k -∞ +2 P udělá 2 kroky vpřed, je na čísle 5 tváří k -∞ ) P udělá čelem vzad, je na čísle 5 tváří k +∞ +4 P udělá 4 kroky vpřed, je na čísle 9 tváří k + ∞ Hru doporučujeme sehrát jako divadlo. Číselná osa je nakreslená na podlaze a vždy jeden žák po ní chodí. Začínáme s jednoduchými nápisy a postupně je prodlužujeme. Kritickým momentem je okamžik, kdy poprvé panáček vstoupí do záporných čísel a my musíme dokreslit čísla -1, -2, -3 atd. Druhý kritický okamžik nastane, když zavedeme povel „čelem vzad“. Bylo by výborné, kdyby jej objevili žáci sami.

Opozitní modely – speciální typ sémantických modelů Jedná se o modely, v nichž vystupují prvky dvou číselně opozitních kvalit: majetek – dluh, vpravo – vlevo, nahoru – dolů, vpřed – vzad apod. Výrok „Pepík dal dva vlastní góly“ byl v experimentálním vyučování M. Hejného změněn na „Pepík dal –2 góly“. Vůči tomu jeden hoch namítal: „Kdyby dal Pepa i dva normální góly, dal by pak 2 – 2 = 0 gólů, což je lež, neboť on dal 4 góly.“ Jiný hoch mínil, že z hlediska výsledku dal Pepa skutečně 0 gólů. Zajímavé byly i úvahy o domněle opozitních modelech jako noc – den, sudý – lichý, chytrý – hloupý. Do této linie patří výrok „3 hoši + 3 dívky = 0“, který jedna dívka interpretovala takto: „Když se vezmou, žádný nebude svobodný, hoši budou ženatí, dívky budou vdané.“ Oblast opozitních modelů nabízí různé hodně sofistikované modely a zejména je to výborné téma na třídní diskusi. 7.2 Strukturální modely záporných čísel Jestliže u sémantických modelů šlo o budování žákovy představy záporného čísla, u strukturálních modelů jde o budování struktury celých čísel, ve které nebudou záporná čísla v ústraní. V porovnání s dobou před 30 lety je současná situace značně příznivější. Dnes má každý žák 4

strana 32

Toto pravidlo umožňuje porozumění návodu „dva mínusy dají plus“.

Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


zkušenosti s kalkulátorem, a proto záporná čísla, která se občas objevují na displeji kalkulátoru, přestávají být pro žáka mystériem. Je jasné, že se zde nejedná o plnohodnotné porozumění záporným číslům, dokonce ani ne o porozumění strukturální, ale přinejmenším o generický model situace: když od menšího čísla odčítám větší, dostanu číslo záporné. Děti mluví o záporném čísle jako o čísle „s tím minusem“. Navzdory kalkulátorům některá tradiční úskalí struktury celých nebo racionálních čísel přetrvávají. Na pět takových choulostivostí se podíváme blíže. Tab 7.2

– (–a) = a a×(–b) = –ab

Jeho generický model – (–3) = 3 3×(–2) = –6

–a×b = –ab

–3×2 = –6

–a×(–b) = ab a < b => –a > –b

–3×(–2) = 6 2 < 5 => –2 > –5

Abstraktní poznatek

Způsob porozumění Čelem vzad a 3 račí kroky ≡ 3 kroky vpřed 3 krát po sobě 2 račí kroky ≡ 6 račích kroků Čelem vzad a třikrát 2 kroky vpřed ≡ Čelem vzad a 6 kroků vpřed Čelem vzad a třikrát 2 račí kroky ≡ 6 kroků vpřed Chci-li z 2 dojít na 5, udělám 3 kroky vpřed. Chci-li z -2 dojít na -5, udělám 3 kroky vzad.

Porozumění ve všech pěti případech vychází ze sémantiky, z modelu Panáček. Strukturální porozumění pro tyto vztahy lze získat sledováním zákonitostí, které uchopíme v tabulkách. Tomu musí předcházet poznávání aritmetických posloupností, protože na těchto je objevování zákonitostí založeno. První dva vztahy uvedeme, další přenecháme čtenáři. Vztah –(–a) = a odhalí žáci pomocí tabulky 7.3. Tab 7.3 a … –a …

4 –4

3 –3

2 –2

1 –1

0 0

–1 1

–2 2

–3 3

–4 4

… …

Vztah a×(–b) = –ab, reprezentovaný generickým modelem 3×(–b) = –3b, odhalí žáci pomocí tabulky 7.4. Tab 7.4 a … 3 …

4 12

3 9

2 6

1 3

0 0

–1 –3

–2 –6

–3 –9

-4 –12

… …

7.3 Nula Záporná a kladná čísla jsou dva protilehlé světy. Jsou odděleny jediným číslem, nulou. Ta, jak známo, patří k náročným objektům matematiky. V roli jmenovatele zlomku nebo dělitele je nula záludná. Ani mnohonásobné opakovaní pravidla o nepřípustnosti dělení nulou nedokáže odstranit hojně se vyskytující chyby v práci s nulou. strana 33 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Podle našeho názoru příčiny náročnosti nuly jsou dvě: 1. Nula nemá v představě žáka sémantické ukotvení. 2. Nula jako objekt aritmetické struktury stojí izolovaně; zejména v její multiplikativní podstruktuře. Každou z tezí blíže rozvedeme. (1) Svízel se sémantickým ukotvením čísla nula osvětluje běžný jazyk. V situacích, v nichž matematik použije termín nula, se v běžném životě používá vyjádření jiné. Neřeknu „mám nula korun“, ale „nemám nic“ nebo „jsem bez peněz“. Neřeknu „rychlost auta je nula km/h“, ale „auto stojí“. Neřeknu „nulté podlaží“ , ale „přízemí“, a to navzdory skutečnosti, že příslušné tlačítko ve výtahu je někdy označeno znakem „0“. V běžných situacích je nula vnímána spíše jako kvalita než kvantita, a tím se jakoby izoluje od světa čísel. Dokonce při počítání letopočtu se rok 0 ztratil. Po roce –1, tedy roce 1 př. Kr., následuje ihned rok +1, tedy rok 1 po Kr. Pojmu „nula“ budou žáci dobře rozumět pouze tehdy, když ji budou vnímat i jako nástroj pro popis reálných situací. Tuto schopnost získají, jestliže občas ve třídě zazní věta typu „letos je naše třída ve druhém patře, v příštím roce budeme v nultém“, nebo „mám nula korun“, nebo „před deseti lety měla Lenčina maminka nula dětí a teď již má tři“ apod. (2) Tezi argumentačně podpoříme dvěma experimenty. Asi 60 žáků druhého a třetího ročníku ZŠ řešilo písemně úlohu: Měl jsem 5 korun. Koupil jsem si bonbony za 5 korun. Kolik korun mám teď? Nejčastější odpověď zněla „nic“ nebo „teď nemám nic“. Jen devětkrát se v odpovědi objevilo číslo „0“. Ve čtyřech případech ji však žák škrtnul a napsal „Nemám nic“. Proti těmto odpovědím není možné nic namítat. Spíše obráceně, ukazují, že řešitel má vhled do celé situace. Na druhé straně ale nula vstupuje i do aritmetické struktury, a to nikoliv jako kvalitativní jev „nic“, ale jako číslo, například 5 – 5 = 0. O tomto vnímání nuly mluví naše dlouhodobé šetření. Mnoha žáků i studentů jsme se v posledních dvaceti letech ptali, jak vysvětlí pravidlo „nulou nelze dělit“. Drtivá většina tázaných se omezila na konstatování, že tak jim to řekli ve škole. Pokus o sémantické vysvětlení se objevil ojediněle a nikdy nebyl dotažen do konce. Jen zřídka došlo k pokusu pravidlo osvětlit a většinou se jednalo o konstatování „to prostě nejde“, nebo o myšlenku limity. Velice jasnou argumentaci tohoto typu uvedl jeden žák sedmého ročníku: „Když malé kladné číslo x klesá, roste číslo 1 : x do nekonečna, a kdybychom připustili, že x = 0, bylo by 1 : 0 = ∞. Takový znak ale není číslem, proto nulou dělit nelze.“

Naše zkušenosti V experimentálním vyučování na ZŠ jsme o dělení začali mluvit ve třetím ročníku, ale dělení nulou se neobjevilo. Ve čtvrté třídě se poprvé žáci ptali, kolik je 5 : 0. Učitel je žádal, aby to promyslili. Někteří žáci tvrdili, že to bude 0, jiní že 5, ale žádný argument neuvedli. Pak dva žáci ukázali, že to není ani 0, ani 5, protože nevychází zkouška: „Kdyby bylo 5:0 = 0 nebo 5, pak by bylo 0 . 0 = 5 nebo 0 . 5 = 5, a to není.“ Mezitím někteří žáci přišli s poznatkem, že to nejde, protože to od někoho slyšeli nebo četli v nějaké učebnici. Většinu žáků ale toto tvrzení neuspokojilo. Ptali se: „Ale proč to nelze?“, chtěli sémantický vhled. Po několika neúspěšných pokusech jsme nakonec objevili způsob, jak vnitřní rozpornost dělení nulou otevřít žákům. Trik spočíval v tom, že jsme úlohu „rozdělit spravedlivě 12 jahod mezi 0 dětí“ vložili do série dobře řešitelných úloh: „rozdělit spravedlivě 12 jahod mezi n dětí“, kde n bylo postupně 4, 3, 2 a 1. strana 34 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


Případy 4, 3 a 2 byly bez problémů. Případ n = 1 vyvolal diskusi, protože „jaképak dělení, když všechno dostane jedno dítě“. Ale případ n = 0 byl po kratší třídní diskusi všemi prohlášen za nesmysl. Asi po měsíci jeden žák přinesl učebnici, ve které bylo v rámečku napsáno NULOU SE NESMÍ DĚLIT. Řekl, že by tam mělo být DĚLENÍ NULOU JE NESMYSLNÉ. Právě poznání nesmyslnosti této operace je poznáním příčiny onoho často opakovaného pravidla o dělení nulou. Otázka dělení nulou se objevila opět v šestém ročníku u zlomků. Jednalo se o zlomek 0/0. Ten podle většiny žáků byl 1. Argument byl nasnadě: a/a = 1 pro všechna a, proč ne pro nulu? A navíc kontrola vychází: 0 . 1 = 0. Toto přesvědčení vládlo ve třídě až do sedmého ročníku. Až zde jeden žák objevil posloupnost, ze které vyplývalo, že 0/0 = 2. Byla to posloupnost rovností 10/5 = 8/4 = 6/3 = 4/2 = 2/1 = 0/0. Žáci nebyli ochotni tuto posloupnost akceptovat. Pak se objevily další podobné posloupnosti a žáci, kterým vadila poslední rovnost 2/1 = 0/0, začali hledat její jiný tvar. Nakonec souhlasili s tím, že nutno připustit i 0/0 = 2 i 0/0 = 5 i 0/0 = 3/2 apod. Pochopili, že když 0/0 může být cokoli, nelze s tímto číslem pracovat.

7.4 Diagnostické úlohy Poznámka V následujících úlohách diagnostikujeme míru porozumění žáka číslům v té obecnosti, jak jsou tyto pojmy prezentovány v 8. ročníku ZŠ. Proto termínem „číslo“ rozumíme jakékoliv reálné číslo, s nímž se už žáci setkali. Například √2, π, -3/11 jsou v tomto chápání čísla. Symbol π√2 číslem není, protože se žáci s něčím podobným nesetkali. DÚ7.1 Součin dvou po sobě jdoucích celých čísel je 6. Jaká to jsou čísla? [Správné chápání pojmu celé číslo.] DÚ7.2 Která z následujících tvrzení jsou pravdivá a která nepravdivá? Své rozhodnutí zdůvodněte: a) Každé číslo je větší než jeho polovina. b) Každé číslo je menší než jeho druhá mocnina. c) Když k číslu 3 přičteme jakékoliv číslo, dostaneme číslo větší než 3. d) Když jakékoliv číslo vynásobíme číslem 2, tak to číslo zvětšíme. e) Zlomek p/q, jehož čitatel p je větší než jmenovatel q, je větší než 1. f) Zlomek x/(x+1) je menší než 1 pro každé číslo x. g) Výraz √(-x) nemá smysl pro jakékoliv x. [Komplexnost představy pojmu číslo. Práce s kvantifikátory.] DÚ7.3 Na číselné ose zvolím dvě čísla, jejichž střed je číslo -1. Jaký největší může být součet těchto čísel? [Vazba mezi geometrickým a aritmetickým vnímáním číselné osy v oboru záporných čísel.] DÚ7.4 Součin dvou čísel x ≤ y je číslo 4. Jaké nejmenší může být a) číslo y; b) číslo x? [Součin ve struktuře kladných čísel i záporných čísel.] Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

strana 35 SU

∑ MA


DÚ7.5 Úlohy vhodné pro matematicky zdatné žáky: a) Druhá mocnina čísla x je aritmetickým průměrem čísla x a čísla 3. Najděte číslo x. b) Myslím si číslo. Přičtu k němu 2, pak výsledek umocním na druhou a od toho odečtu 2. Dostanu myšlené číslo. Jaké číslo jsem si myslel? [Hluboký vhled do struktury čísel.]

Komentář k některým úlohám KDÚ7.1 S velkou pravděpodobností na dvojici čísel –3, –2 žáci zapomenou. Když učitel naznačí spíše intonací než verbálně jisté pochybnosti s tvrzením „2 · 3 = 6 je jediné řešení”, podnítí u některých žáků činnost analýzy daného výroku. Žák, který objeví i řešení v záporných číslech, nabude metakognitivního poznání „na záporná čísla nesmím zapomínat“. Učitel, který žákům záporné řešení prozradí, jim neumožní nabýt uvedeného metakognitivního poznání. KDÚ7.2 Žádné z uvedených tvrzení není pravdivé. Žáci najdou jediný protipříklad (izolovaný model), který tvrzení vyvrátí. Například uvedou, že pro číslo –2 žádné z tvrzení a), c), d), f) a g) není pravdivé. Tvrzení b) je vyvráceno číslem ½. Tvrzení e) je vyvráceno příkladem p = 1, q = –1. Nalezením izolovaných modelů úloha není ještě zcela vyřešena. Učitel může od žáků žádat, aby u každého tvrzení našli generický model, tj. určili ta čísla, pro něž tvrzení platí, a ta, pro něž tvrzení neplatí. KDÚ7.3 Žáci budou nejprve uvažovat o kladných číslech x ≤ y. Zjistí, že a) y = 2 a b) x je jakékoli malé kladné číslo. Nejmenší x zde neexistuje. Diskuse o čísle x může být podnětná. Jsou-li žáci s výsledkem spokojeni, tváří se učitel trochu záhadně a provokuje další hledání. Když žáci odhalí, že mohou pracovat i s čísly zápornými, najdou řešení: a) y = –2, b) nejmenší x neexistuje, protože x může být jakékoli záporné číslo nepřesahující číslo –2. KDÚ7.4 Pro žáka, který umí řešit kvadratické rovnice, jsou obě úlohy dobře řešitelné. a) Situace vede k rovnici x2 = (x + 3)/2 s řešením x1 = –1, x2 = 3/2. b) Situace vede k rovnici (x + 2)2 = x + 2, kde x je myšlené číslo. Řešení je x1 = –1, x2 = –2. Žák, který kvadratickou rovnici řešit neumí, použije metodu pokus-omyl. Z toho, jak rychle z izolovaných modelů, které získá zkoušením různých čísel, objeví model generický a pak i řešení, lze hodně usoudit o jeho matematickém myšlení.

7.5 Výzvy V7.1 V novinách, v TV, reklamách, na zboží v prodejnách,… hledejte záporná čísla a udělejte si z těchto nálezů seznam. Ten didakticky zpracujte.


SU

∑ MA


V7.2 Seznam tvrzení uvedený v DÚ7.2. rozšiřte o aspoň jedno další podobné tvrzení. V7.3 Zvolte dvě či tři z tvrzení uvedených v DÚ7.2. a předložte je žákům šestého až osmého ročníku ZŠ. Žákovské řešení analyzujte nejprve z hlediska porozumění textu, pak z hlediska správnosti a úplnosti řešení. Dále sestrojte aspoň k jedné z testovaných úloh sérii úloh pomocných. Cílem pomocných úloh je usnadnit žákům, z jejichž řešení je vidět jejich chybná nebo neúplná znalost pojmu „číslo“, svoji znalost zlepšit. V7.4 Mezi matematicky nejzdatnějšími žáky své školy udělejte průzkum o tom, jak odpoví na jedinou otázku: „Proč minus krát minus je plus?“. V7.5 -7.10 Rezerva V7.11 Vytvořte úlohu, při řešení které žáci šestého ročníku sami objeví před-pojem absolutní hodnota. V7.12 Úlohy A a B uvedené níže jsou pouze různé formulace téhož matematického problému. Osmou třídu rozdělte na dvě části. Dejte jednu z úloh jedné části a druhou z úloh druhé části třídy. Pak porovnejte žákovská řešení a pokuste se z porovnání vyvodit didaktické poučení. Úloha A. Najděte všechna čísla x, pro která je |x – 1| = |x – 3|. Úloha B. Na číselné ose najděte všechna čísla x, pro která je |x – 1| = |x – 3|. V7.13 Jeden ze způsobů, jak žákům prezentovat pojem absolutní hodnota, je následující: Na číselné ose jsou dány body x a y (ztotožňujeme bod s jeho souřadnicí). Vzdálenost těchto bodů budeme označovat |x – y|. Speciálně když y = 0, je |x – 0| = |x| a toto číslo nazveme absolutní hodnota čísla x. Uvedené vymezení není na začátku našeho povídání. Začneme konkrétními případy a vymezení pojmu zavedeme po několika dnech. Pokuste se takovým způsobem zavést daný pojem skupince 3 až 4 žáků šestého ročníku a sledujte, jak budou řešit úlohy, které jim vymyslíte.

Komentáře k některým úlohám KV7.3 Jedná se vlastně o menší didaktický výzkum. Obyčejně se učitel při posuzování žákovských řešení zaměří na jejich věcnou správnost. Tentokráte nám jde o zkoumání způsobů myšlení jednotlivých žáků, hledání příčin jejich úspěchu, nebo častěji neúspěchu. V tomto případě pak hledáme cesty jak žákům pomoci, a to cestou pomocných úloh.


SU

∑ MA


KV7.11 V našem experimentálním vyučování byla v tomto směru nejúspěšnější následující úloha (viz obr. 10). Na úsečce AB dlouhé 13 cm je zvolen bod X tak, že délka úsečky AX je x cm, x je číslo přirozené. V jedné polorovině určené přímkou AB jsou sestrojeny čtverce AXEF a XBCD. Spojením čtverců vznikne šestiúhelník. Zjistěte obvod tohoto šestiúhelníku, když znáte číslo x. Žáci úlohu vyřešili pomocí tabulky 7.5. Obr. 10 Tab 7.5 x 1 o 50

2 48

3 46

4 44

5 42

6 40

7 40

8 42

9 44

10 46

11 48

12 50

Když dostali za úkol napsat slovy nebo symboly co nejjednodušeji, jak je možné z čísla x najít číslo o, objevili několik způsobů, ale ve všech bylo nutno rozlišit, zda je „X blíže k A nebo k B“, nebo rozlišit, zda je „x menší nebo větší než 6,5“. Popsaná situace vyvolala u žáků potřebu nástroje, kterým lze obě části výroků sjednotit. Když se pak dozvěděli o absolutní hodnotě, vítali tento nástroj a chápali jeho účinnost. KV7.13 Vhodné úlohy pro žáky z vašeho experimentu jsou například: 1) vypočti |5 – 3| a |3 – 5|; 2) Co je víc: |-2| nebo |2|? 3) Jak mám volit číslo x, aby bylo |x – 2| = 1? 4) Jak mám volit číslo x, aby bylo |x – 1| = 2? 5) Jak mám volit číslo x, aby bylo |1 – x| = 2? 6) Jak mám volit číslo x, aby bylo |x + 1| = 2? 7) Jak mám volit číslo x, aby bylo |1 + x| = 3?


SU

∑ MA


Závěr Již v předmluvě jsme zdůraznili specifické určení tohoto studijního materiálu. Poučit nebo informovat je pouze jeho druhořadým cílem. Prvořadým cílem je inspirovat, podněcovat, místy dokonce provokovat čtenáře k vlastní aktivní činnosti. Ta bude mnohavrstvová. Může se jednat o analýzu materiálů, které již čtenář má z předchozích let. Může jít o diskusi o žákovských chybách mezi kolegy v kabinetě, může jít o dialog s myšlenkami, které zde uvádíme, může jít o menší experimenty s jedním žákem nebo skupinou žáků, ale nejpravděpodobněji zřejmě půjde o reflektování vlastního běžného vyučování, které se v současné pedagogice nazývá akčním výzkumem. Je nutno zdůraznit jednu skutečnost, ke které se dosti často otáčí diskuse kolegů učitelů a nás autorů. Je to pochybnost učitelů o smyslu práce, kde se hodiny času věnují detailním analýzám malého počtu žákovských řešení, někdy dokonce řešení jediného. Proti této skepsi argumentujeme svou dlouholetou zkušeností. Učitel nebo student pedagogické fakulty, který hluboké analýze byť jediného žákovského řešení věnoval mnoho času a energie, získal nový pohled nejen na danou úlohu, ale vůbec na žákovu práci v oblasti matematiky. Svědectví tohoto typu máme desítky. Jsme přesvědčeni, že čtenář, který se s plným nasazením pustí do zkoumání žákovských chyb, mnohonásobně zúročí tuto práci. Bude lépe rozumět příčinám žákovských chyb a celkově zvýší kvalitu svého vyučování. Soubor výzev je nabídka, kterou vám zde v písemné podobě předkládáme. Očekáváme však, že náš vzájemný osobní kontakt, který bude orientován spíše na vaše zkušenosti a vaše žáky, bude pro vás motivačně silnější.


SU

∑ MA


Literatura Biblí Svatá, podle posledního vydání kralického z roku 1613. Praha: Nákladem britické i zahraničné společnosti biblické. 1923. Hejný, M., Stehlíková, N.: Číselné představy dětí. Praha: PedF UK. 1999. Hejný, M., Kuřina, F.: Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha: Portál, 2001. Hejný, M., Kuřina, F., Hejný, F.: Záporná čísla in Hejný, M., Novotná, J., Stehlíková, N. (Eds.). Dvacetpět kapitol z didaktiky matematiky. Praha: UK v Praze, PedF. 2005, sv.2., 327-356. Helus, Z.: Dítě jako zdroj proměn učitelského povolání in Hledání učitele. Praha: UK. 1996. Kratochvíl, Z.: Mýtus, filosofie, věda I a II. Praha: Hrnčířství a nakladatelství Michal Jůza & Eva Jůzová. 1993. Mareš, J.: Styly učení žáků a studentů. Praha: Portál. 1998. Odvárko, O., Kadleček, J.: Matematika pro 7. ročník [2]. Praha : Prometheus. 1999. Tichá, M.: Jak žáci chápou slovní úlohy se zlomky. in Ausbergerová, M., Novotná, J. (Eds.). 6. setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol. Plzeň: JČMF. 1998. 133-138.


SU

∑ MA


Témata seminárních prací Smysl V předloženém materiálu na s. 3 je uvedeno: Hlavním cílem naší společné práce je snaha o změnu vlastního postoje k chybě žáka i chybě vlastní. Místo běžného vnímání chyby jako jevu nežádoucího se pokusíme vidět chybu jako výzvu k intelektuálnímu i osobnostnímu rozvoji žáka. Smyslem seminární práce je přispět k změně vlastního postoje učitele – autora práce k chybě žáka i k chybě vlastní. Při tvorbě práce se její autor opakovaně zamýšlí nad posuzovaným příběhem, jho dílčími úseky, nad příběhy podobnými, nad názory svých kolegů. Veden duchem kurzu vstupuje do myšleného dialogu s tradičními názory pranýřujícími chybu jako jev nežádoucí. Hledáním argumentace pro přístupy konstruktivistické utvrzuje svoje přesvědčení a vyzbrojuje se pro případné další debaty s kolegy k účinnému hájení konstruktivistických přístupů. Témata Každý účastník si vybere jedno téma. Nejdříve stručně napíše hlavní myšlenku zamýšleného tématu a tu pak prodiskutuje s lektorem. Domluvené téma pak zpracovává. Rozsah práce bude na základě jejího charakteru určen lektorem (přibližně 5 stran původního textu). Vítána je dobrá dokumentace příběhu obsahujícího autentické záznamy žáka, fototdokumentaci použitých rekvizit, videozáznamy příběhů nebo jeho částí, atd. 1. Popište a dokumentujte svůj vlastní příběh o žákově matematické chybě. Popište reakci učitele (sebe, rodiče) na tuto chybu. Chybu analyzujte. 2. Udělejte porovnávací analýzu dvou či více odlišně chybných řešení jedné dané úlohy. 3. Navrhněte diagnostický test na zjištění žákovy citlivosti na přítomnost chyby. Test experimentálně prověřte. 4. Popište, jak učitel může zvyšovat u žáků citlivost na přítomnost chyby. Své úvahy argumentačně doplňte diagnostickými testy. 5. Na základě experimentálně získaného materiálu uveďte příklady komunikačního nedorozumění mezi dvěma anebo více žáky. Tato nedorozumění analyzujte. Lze popsanou situaci edukačně využít? 6. Jazykem eseje popište fenomén strachu z chyby v matematice. Popište vlastní zkušenosti o tom, jak lze daný strach žáků snižovat. Uveďte argumenty. 7. Popište a analyzujte nedorozumění mezi učitelem a žákem. Zejména jde o nedorozumění vzniklé v důsledku odlišné interpretace jisté matematické situace žákem a učitelem. 8. Ze své vlastní zkušenosti vyberte případ často frekventované nebo hromadné chyby a navrhněte reedukační scénář. Své názory podpořte argumenty. 9. Popište chybu, která se ve vaší třídě objevila ve zvýšené míře a navrhněte, jak v budoucím běhu budete daný tématický celek učit, abyste chybě předešli. Můžete použít případ již nabyté zkušenosti. 10. Zjistěte (dotazníkem, rozhovorem, nebo skupinovou diskusí) názory učitelů na jistou chybu žáka. jejich názory vzájemně porovnejte a kriticky zhodnoťte. 11. Z následující typologie chyb vyberte tři typy chyb a ke každému z nich napište příběh se stručnou analýzou. Typ chyby je určen jeho kognitivní lokalitou. Ta může být v: 1. pojmu, 2. procesu, 3. vztahu, 4. argumentaci, 5. schématu a 6. jazyku a symbolice. strana 41 Jednotný programový dokument pro Cíl 3 regionu NUTS 2 hlavní město Praha Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.3.07/3.1.01.1/0137

SU

∑ MA


12. Popište a analyzujte své zkušenosti s matematickou chybou, která vznikla v důsledku prolínání různých kulturních vlivů ve vědomí žáka. Analyzovat chybu žáka znamená: a) lokalizovat chybu z matematického hlediska a uvést její korekci, b) určit příčinu chyby – jak a proč ve vědomí žáka k chybě došlo, c) uvést možné další následky zkoumané chyby v případě, že tato bude ponechána bez povšimnutí učitele, d) kriticky posoudit reakci učitele (rodiče), tj. vysvětlit, proč učitel reagoval tak, jak reagoval a jak se tato reakce mohla promítnout do vědomí žáka, e) navrhnout případnou vhodnější reakci učitele. Zřídka je možné v analýze smysluplně diskutovat všech 5 uvedených bodů. Jejich seznam zde má pomoci upozornit na jevy, kterých je třeba si v analýze všímat.


SU

∑ MA


Práce s chybou jako strategie rozvoje klíčových kompetencí žáka

Recommend Documents