PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovin v ČR. Sklizeň z několika posledních let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Indexy základní, řetězové a tempo přírůstku v příkladu 7.1 jsme počítali index základní, index řetězový a tempo přírůstku, které jsou je uvedené v tabulce 10.10. Připomínáme, že index řetězový v tomto příkladě porovnává, na kolik procent se změnila sklizeň obilovin v každém roce vždy oproti předchozímu roku. a) Vypočteme průměrnou roční výrobu obilovin a formulujeme odpověď. b) Vypočítáme průměrný index řetězový. c) Pro průměrný index řetězový formulujeme odpovědi typu na kolik %, o kolik % a kolikrát. d) Do tabulky 10.10 doplníme, jaká by byla v uvedených letech výroba obilovin, kdyby se vyvíjela podle průměrného indexu řetězového. Vypočteme odhad na rok 2012. e) Formulujeme odpověď pro odhad výroby obilovin v roce 2012.
Tabulka 10.10: Sklizeň obilovin v ČR Ukazatel
2006 6,4 100,0 1,000 x x x x
Výroba v mil. tun Index základní v % Index základní Index řetězový v % Index řetězový Tempo přírůstku v % Tempo přírůstku Výroba dle průměrného indexu řetězového
2007 7,1 110,9 1,109 110,9 1,109 10,9 0,109
2008 8,4 131,3 1,313 118,3 1,183 18,3 0,183
Rok 2009 7,8 121,9 1,219 92,9 0,929 -7,1 -0,071
2010 6,9 107,8 1,078 88,5 0,885 -11,5 -0,115
Pramen: http://www.czso.cz
Řešení: Výpočty a slovní popis Ad a) Vypočteme průměrnou roční výrobu obilovin a formulujeme odpověď. Výpočet prostého aritmetického průměru: • sečteme hodnoty číselných statistických znaků souboru x 1 , x 2 , ... x n • a výsledek vydělíme počtem prvků souboru n Aritmetický průměr prostý
x
z číselných statistických znaků se tedy počítá podle vztahu: n
x
x i 1
n
i
x1 x2 ... xn n
2011 8,2 128,1 1,281 118,8 1,188 18,8 0,188
2012 x x x x x x x
U nás: • Hodnoty x 1 , x 2 , ... x n jsou výroby obilovin v jednotlivých letech, • a počet let je n = 6. Vztah má v našem příkladě tvar: n 6
x
x i 1
n
i
x1 x2 x3 x4 x5 x6 6,4 7,1 8,4 7,8 6,9 8,2 7,47 mil. t 6 6
V období 2006 až 2011 byla průměrná roční výroba obilovin 7,47 mil. tun. Výpočet v Excelu je =PRŮMĚR(B19:G19) Výjde: 7,46667
Ad b) Vypočítáme průměrný index řetězový.
7 8 , , 1 4 6 6 , , 4 4
m m i l i l . . t t m m i i l l . . t t
1 1 , 1 , 3 0 1 9 3
1 1 1 3 0 1 ,
, 9 3
% %
Víme, že index řetězový jako poměrné číslo v našem případě říká, kolikrát se změnila sklizeň obilovin v každém roce vždy oproti předchozímu roku. Průměrný index řetězový jako poměrné číslo bude říkat, kolikrát se průměrně změnila sklizeň obilovin v každém roce oproti minulému roku. Geometrický průměr lze použít ke stanovení průměrného koeficientu růstu neboli průměrného indexu řetězového a počítá se podle vztahu: Gn
n
x
i
n x1.x2 . ... .xn
i 1
Hodnoty x 1 , x 2 , ... x n jsou jednotlivé indexy řetězové ve tvaru poměrného čísla. Povšimněme si, že indexů řetězových je pouze 5, tj. o jedno méně, než je hodnot výrob obilovin! Průměrný index řetězový se počítá v našem případě podle vztahu: G5
5
x
i
5 x1 .x 2 .x 3 .x 4 .x 5
i 1
G 5 1,109.1,183.0,929.0,885.1,188 5 1,281 1,0508 Poznámka: • Všimněme si, že součin indexů řetězových je roven indexu základnímu v posledním uvedeném roce, u nás 1,109.1,183.0,929.0,885.1,188 = 1,281. • To není náhoda, to je zákonité. • Dokázali byste odvodit, proč tomu tak je?
V Excelu lze průměrný index řetězový G vypočítat několika způsoby: i) Pomocí součinu indexů řetězových a odmocniny. Pátá odmocnina je realizována jako mocnina (1/5). =(1,109*1,183*0,929*0,885*1,188)^(1/5) Kvůli vyšší přesnosti je lepší nabrat indexy řetězové jako buňky: =(C23*D23*E23*F23*G23)^(1/5) Znak mocniny se tvoří pomocí „^“, který se na české klávesnici udělá pomocí trojkombinace pravé Alt + š + mezerník. Místo součinu indexů řetězových lze dosadit rovnou index řetězový v posledním uvedeném období, tj. koeficient 1,281. ii) Pomocí funkce POWER, kde v argumentu je součinu indexů řetězových a mocnina 1/5. =POWER(1,109*1,183*0,929*0,885*1,188;1/5) Kvůli vyšší přesnosti je lepší načíst indexy řetězové jako buňky, například: =POWER(C23*D23*E23*F23*G23;1/5) iii) Pomocí funkce GEOMEAN: =GEOMEAN(C23:G23) Za argument funkce nutno nabrat oblast tabulky C23 až G23, kde jsou umístěné jednotlivé indexy řetězové ve tvaru poměrného čísla. Ve všech případech vyjde průměrný index řetězový: 1,05082
Ad c) Pro průměrný index řetězový formulujeme odpovědi typu na kolik %, o kolik % a kolikrát. Průměrný index řetězový je 1,0508, což znamená: V období 2006 až 2011 rostla výroba obilovin v ČR každý rok průměrně 1,0508 oproti minulému roku, neboli výroba rostla na 105,08 %, čili rostla o 5,08 %. Uvědomíme si: • Číslo 105,08 % je průměrný index řetězový vyjádřený v procentech. • Číslo 5,08 % je průměrné tempo přírůstku vyjádřené v procentech.
Ad d) Do tabulky 10.10 doplníme, jaká by byla v uvedených letech výroba obilovin, kdyby se vyvíjela podle průměrného indexu řetězového. Vypočteme odhad na rok 2012.
Postup: • Je nutné se ukotvit do nějaké hodnoty. • Proto v roce 2006 opíšeme hodnotu výroby podle skutečnosti, tj. 6,4 mil. t . • Hodnota výroby v roce 2007 podle průměrného indexu řetězového, tj. kdyby stoupala 1,0508 oproti minulému roku se spočítá: 6,40 mil. t 1,0508 = 6,73 mil. t V Excelu se vzorec napíše tak, že v řádku „Výroba dle průměrného indexu řetězového“ a ve sloupci rok 2007 nabereme buňku na stejném řádku vlevo a násobíme buňkou, ve které je vypočten průměrný index řetězový. =B224*$B124
• Hodnota výroby v roce 2008, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá: 6,73 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,05082 = 7,07 mil t V Excelu se vzorec napíše tak, že v řádku „Výroba dle průměrného indexu řetězového“ ve sloupci rok 2008 nabereme buňku na stejném řádku vlevo a násobíme buňkou, ve které je vypočten průměrný index řetězový. =C237*$B121 Je zřejmé že, tento vzorec můžeme zkopírovat do konce tabulky doprava.
• Hodnota výroby v roce 2009, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá: 7,07 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,05083 = 7,43 mil t • Hodnota výroby v roce 2010, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá: 7,43 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,05084 = 7,80 mil t • Hodnota výroby v roce 2011, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá: 7,80 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,05085 = 8,20 mil t Lze dokonce spočítat odhad výroby obilovin za další roky 2012 i 2013 (odhad na více než 2 roky dopředu již je nepřesný): • Hodnota výroby v roce 2012, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá: 8,2 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,05086 = 8,62 mil t • Hodnota výroby v roce 2013, kdyby stoupala 1,0508oproti minulému roku, se spočítá: 8,62 mil. t 1,0508 = 6,4 mil. t 1,05087 = 9,05 mil t
Uvědomíme si: • To, že podle průměrného indexu řetězového roční výroba obilovin roste průměrně o 5,08 %, neznamená stejný přírůstek výroby. Přírůstek výroby je zobrazen pod tabulkou 10.11. * Jde o nárůst o 5,08 % z hodnoty vždy vyšší. * Tím, že průměrný index řetězový je větší než 1, základ 100 % je stále vyšší číslo. * Roční výroba podle průměrného indexu řetězového stoupá podle geometrické řady s kvocientem q > 1 (u nás q = 1,0508, exponenciální nárůst). • Kdyby podle průměrného indexu řetězového sledovaná veličina klesala, * průměrný index řetězový by byl menší než 1, základ 100 % by se stále snižoval. * Veličina podle průměrného indexu řetězového by klesala podle geometrické řady s kvocientem q < 1 (exponenciální pokles).
Vyplněná tabulka 10.10, nyní tabulka 10.11, vypadá takto:
Tabulka 10.11: Sklizeň obilovin v ČR Ukazatel Výroba v mil. tun Index základní v % Index základní Index řetězový v % Index řetězový Tempo přírůstku v % Tempo přírůstku Výroba dle průměrného indexu řetězového
2006 6,4 100,0 1,000 x x x x
2007 7,1 110,9 1,109 110,9 1,109 10,9 0,109
2008 8,4 131,3 1,313 118,3 1,183 18,3 0,183
Rok 2009 7,8 121,9 1,219 92,9 0,929 -7,1 -0,071
6,40
6,73
7,07
7,43
2010 6,9 107,8 1,078 88,5 0,885 -11,5 -0,115
2011 8,2 128,1 1,281 118,8 1,188 18,8 0,188
7,80
8,20
Pramen: http://www.czso.cz
Meziroční rozdíly v mil t
0,33
0,34
Ad e) Formulujeme odpověď pro odhad výroby obilovin v roce 2012. V roce 2012 je odhad výroby obilovin v ČR asi 8,62 mil. t .
0,36
0,38
0,40
2012 x x x x x x x 8,62
