Pertemuan 2
Operator Logika Tabel Kebenaran
Operator Logika Dalam logika dikenal 5 buah penghubung Simbol Arti ¬ Tidak/Not/Negasi Dan/And/Konjungsi Atau/Or/Disjungsi
Bentuk Tidak…………. ……..dan…….. ………atau…….
Implikasi
Jika…….maka…….
Bi-Implikasi
……..bila dan hanya bila……..
NEGASI (INGKARAN) Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.
KONJUNGSI Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “” Contoh : p : Fahmi makan nasi q : Fahmi minum kopi Maka pq : Fahmi makan nasi dan minum kopi Pada konjungsi pq akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka pq bernilai salah.
DISJUNGSI Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “”. Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu : a. INKLUSIF OR Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true” Contoh : p : 7 adalah bilangan prima q : 7 adalah bilangan ganjil p q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil. b. EKSLUSIF OR Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”. Contoh : p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV. q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan. p q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan. Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.
IMPLIKASI Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “”. Notasi p q dapat dibaca : 1. Jika p maka q 2. q jika p 3. p adalah syarat cukup untuk q 4. q adalah syarat perlu untuk p Contoh : 1. p : Pak Ali adalah seorang haji. q : Pak Ali adalah seorang muslim. p q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim. 2. p : Hari hujan. q : Adi membawa payung. Benar atau salahkah pernyataan berikut? a. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung. b. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung. c. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung. d. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.
BIIMPLIKASI Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p q” yang bernilai sama dengan (p q) (q p) sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernyataan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar. Contoh : p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus. q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat. p q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
Latihan Soal 1. Tentukan negasi dari kalimat berikut! a. Pankal pinang adalah ibukota negra Indonesia . b. Ayah tidak akan membelikan saya sepeda motor c. Saya tidak akan lulus ujian d. 15 bukan bilangan ganjil e. Saya pasti akan berhasil mendapatkan pekerjaan 2. Diberikan beberapa proposisi berikut. p : hari ini saya berangkat ke kampus q : hari ini saya ke pasar nyatakan kalimat di bawah ini dengan symbol logika a. Hari ini saya tidak berangkat ke kampus tetapi ke pasar b. Hari ini saya tidak berangkat ke kampus atau tidak ke pasar c. Tidak benar hari ini saya berangkat ke kampus dan ke pasar d. Jika saya tidak ke pasar maka saya berangkat ke kampus e. Saya ke pasar jika dan hanya jika saya tidak berangkat ke kampus.
3. Diberikan bebrapa proposisi berikut. p : Anto pintar membuat program q : Anto akan mengikuti kontes robotik Nyatakan symbol logika di bawah ini ke dalam proposisi. a. 𝑝 ⟹ 𝑞 b. ⇁ 𝑝 ∨⇁ 𝑞 c. ⇁ (⇁ 𝑞 ∧ 𝑝) d. ⇁ 𝑞 ⇔ 𝑝 e. ⇁ 𝑞 ∧⇁ 𝑝 4. Diberikan beberapa proposisi berikut. p : Mahasiswa senang q : Dosen tidak datang Nyatakan kalimat di bawah ini dengan symbol logika a. Mahasiswa senang jika dan hanya jika dosen datang b. Syarat cukup dan perlu agar mahasiswa senang adalah dosen tidak datang c. Jika dosen datang maka mahasiswa tidak senang, dan jika mahasiswa tidak senang maka dosen datang d. Mahasiswa senang atau dosen tidak datang e. Mahasiswa tidak senang tetapi dosen datang
Tabel Kebenaran Tabel Konjungsi P B B S S
q B S B S
𝑝 ∧ 𝑞 B S S S
Tabel Disjungsi P B B S S
q B S B S
𝑝 ∨ 𝑞 S S S B
Tabel Negasi P B B
q B S
∼ 𝑝 B S
Contoh : Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut: a. ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 b. 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ ∼ 𝑞 ∧ 𝑟 Penyelesaian: a. P B B S S
q B S B S
∼𝑞 S B S B
𝑝 ∧∼ 𝑞 S B S S
∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 B S B B
P
q
r
𝑝∧𝑞
∼𝑞
∼𝑞∧𝑟
𝑝∧𝑞 ∨ ∼𝑞∧𝑟
B B B B S S S S
B B S S B B S S
B S B S B S B S
B B S S S S S S
S S B B S S B B
S S B S S S B S
B B B S S S B S
b.
Tabel Implikasi 𝑝 B B S S
𝑝 →𝑞 B S B B
q B S B S
Tabel Biimplikasi 𝑝 B B S S
𝑞 B S B S
𝑝 ↔𝑞 B S S B
Secara keseluruhan tabelnya adalah p B B S S
Q B S B S
p S S B B
q S B S B
pq B B B S
pq B S S S
pq S B B S
pq B S B B
pq B S S B
Tabel Kebanaran Logika Tambahan Ada jenis operator logika lain yang sering digunakan di dunia ilmu computer yaitu Not And (NAND), Not Or (NOR), dan Exclusive Or (XOR). Operator logika Not And (NAND) merupakan bentuk negasi kebenaaran dari konjungsi (dan). Tabel Not And (NAND) P B B S S
q B S B S
p|q S B B B
Operator logika Not Or (NOR) merupakan bentuk negasi kebenaaran dari disjungsi (atau). Tabel Not And (NOR) P B B S S
q B S B S
p↓q S S S B
Untuk mengetahui perbedaan antara Disjungsi dan XOR perhatikan contoh berikut. a. p : Anda boleh makan q : Anda boleh minum Jadi, 𝑝 ∨ 𝑞 : anda boleh makan atau minum. Contoh ini merupakan Disjungsi karena kita diperbolehkan makan sekaligus minum b. p : Anak saya lahir di London q : Anak saya lahir di Jakarta Jadi, 𝑝 ∨ 𝑞: anak saya lahir di London atau Jakarta. Contoh ini merupakan XOR karena tidak mungkin seseorang lahir di dua tempat yang berbeda dan sangat berjauhan, pastilah hanya di salah satu tempat saja.
Tabel Kebenaran XOR dan Disjungsi P B B S S
q B S B S
𝑝⨁𝑞 S B B S
𝑝∨𝑞 B B B S
Cara Alternatif Selain Tabel Kebenaran Jika p bernilai B dan q bernilai S maka akan ditentukan nilai kebenaran dari pernyataan 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ ⇁𝑝 Langkah 1 2 3
𝑝 B
∧
𝑞 S
⇒
S
⇁ S
B
𝑝 B
Latihan Soal 1. Tentukan tabel kebenaran untuk ekspresi logika berikut ini: a. 𝑝 ⇒⇁ 𝑞 b. 𝑝 ∨⇁ 𝑝 ⟺ ⇁ 𝑞 c. 𝑝 ∨ 𝑞 ∨⇁ 𝑝 d. 𝑝 ⟺⇁ 𝑞 ∧ 𝑝 e. 𝑝 ∧⇁ 𝑝 2. Tentukan tabel kebenaran untuk ekspresi logika berikut: a. 𝑝| ⇁ 𝑞 b. (𝑝⨁ ⇁ 𝑞) ⟺ 𝑞 c. 𝑝 ↓ 𝑞 ⇁ 𝑝 d. 𝑞 ⟺⇁ 𝑝 ⨁𝑝 e. 𝑝⨁𝑞 ∧⇁ 𝑝
3. Diberikan pernyataan berikut: p : Saya lulus ujian q : Saya akan mendapat hadiah motor r : saya akan mendapat tambahan uang jajan „ jika saya lulus ujian maka saya akan mendapat hadiah motor dan tambahan uang jajan.‟ Tentukan symbol dari ekspresi logika dan buatlah tabel kebenarannya. 4. Diketahui p bernilai S, q bernilai B dan r bernilai S. tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut. a. 𝑝 ∨⇁ 𝑟 b. 𝑞 ⟺⇁ 𝑝 c. 𝑝 ⇒ ⇁ 𝑟 ∨ 𝑞 d. 𝑝 ⇒ 𝑞 ∨ 𝑟 e. 𝑟 ⟺ (𝑝 ⇒⇁ 𝑞)
