PERSAMAAN DIOPHANTINE

http://muhammadalfaridzi.wordpress.com/2014/06/07/persamaan-diophantine/

PERSAMAAN DIOPHANTINE

A. Pendahuluan Persamaan Diophantine terdiri dari persamaan Diophantine Linier dan persamaan Diophantine non-Linier.persamaan ini pertama kali ditulis oleh Diophantus (250 M) didalam bukunya yang berjudul Aritmathica dan buku ini dikenal sebagai buku aljabar yang pertama kali.

B. Persamaan Diophantine Linier Persamaan Diophantine yang paling sederhana adalah memuat dua variable,pada umumnya dinyatakan dengan ax + by = c Dengan a,b,c  z

Dalil.7.1 Ditentukan a,b,c  Z dan d = ( a,b) a. Jika ( a,b) / c maka persamaan ax + by = c tidak mempunyai penyelesaian . b. Jika ( a,b) / c maka persamaan ax + by = c mempunyai penyelesaian bulat yang tak hingga banyaknya,yaitu pasangan ( x,y) dengan : x = xo + (b/d )n dan y = yo – ( a/d)n Dengan n  Z dan (xo ,yo ) adalah suatu penyelesaian bulat

Contoh soal 7.1 Selesaikan persamaan-persamaan Diophantine berikut : a. 4x +5y = 10 b. 9x +12y =21 c. 4x + 6y = 7


1


Jawab : a. (4,5 ) = 1 10 ,persamaan mempunyai penyelesaian . Sesuai dengan Dalil Algoritma Euclides, karena (4,5 ) = 1 maka tentu ada x1,y1  Z sehingga 4 x1,+ 5 y1 = 1 Karena 5 = 1.4 + 1 atau 4 (-1) + 5 ( 1) = 1, maka x1= -1 ,y1 = -1 4 (-1) + 5 ( 1) = 1 10 [ 4 (-1) + 5 ( 1)] = 10 .1 4 (-10) + 5 ( 10) = 10

( ingat 4x +5y = 10 )

Jadi : xo = -10 dan ,yo = 10 Penyelesaian Persamaan adalah x = -10 + 5k dan y = 10- 4k dengan k

b.

Z

( 9,12 ) = 3 10 ,persamaan mempunyai penyelesaian . Sesuai dengan Dalil Algoritma Euclides, karena (9,12 ) = 3 maka tentu ada x1,y1  Z sehingga 9 x1,+ 12 y1 = 3 Karena 12 = 1.9 + 3 atau 9 (-1) + 12 ( 1) = 3, maka x1= -1 ,y1 = -1 9 (-1) + 12 ( 1) = 3 7 [ 9 (-1) + 12 ( 1)] = 7 .3 9 (-7) + 12 ( 7) = 21

( ingat 9x +12y = 21 )

Jadi : xo = -7 dan ,yo = 7 Penyelesaian Persamaan adalah x = xo + (b/d )t = -7 + ( 12 /3 ) t = -7 + 4t , dengan t  Z y = yo – ( a/d)t = 7 – (9 / 3)t = 7 -3t , dengan t  Z

c. ( 4,6 ) = 2 , 2 7 ,persamaan tak mempunyai penyelesaian .


2


1. CARA REDUKSI Cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantine Linier adalah mereduksikoefisien ( bukan variabel ) melalui pembagian berulang ( serupa dengan pembagian Algoritma ) sehingga diperoleh bentuk tanpa pecahan . Contoh soal 7.2 a. selesaikan 4x + 5y = 10 dengan cara reduksi . jawab : 4x + 5y = 10

4x = 10 -5y x

10  5 y 4

x=

8  4y  2  y 4

x =

8  4y 2  y  4 4

x = (2  2 y )  ambil t =

2 y 4

2 y atau 2-y = 4t atau y = 2 -4t dari y = 2- 4t diperoleh : 4

x = (2  2 y )  = 2- (2 -4t) +

2 y 4 2  (2  4t ) 4

= 4t + t = 5t

Penyelesaian persamaan adalah : x = 0 +5t y = 2 - 4t


3


jika dibandingkan dengan penyelesaian pada contoh didepan maka hasil yang diperoleh nampak berbeda,sebetulnya dua jawaban itu sama x = -10 + 5k = 5 (-2 + k ) = 5t dengan t = -2 + k atau k = t + 2

y = 10- 4k = 10 -4 ( t + 2 ) =10 – 4t – 8 = 2 – 4t

Contoh soal 7.3 Selesaikan 3x + 8y = 11 dengan cara reduksi Jawab : 3x + 8y = 11

3x = 11 -8y

x

11  8 y 3

x=

9  6y  2  2y 3

x =

9  6y 2  2y  3 3

x = (3  2 y )  ambil t = u

2  2y 3

2  2y 2  3t 2  2t  t t atau 2-2y = 3t atau y  dari y  (1  t )  y 3 2 2 2

t  2u 2

t = 2u → y = ( 1- 2u) – 4

= 1-3u


4


x = 3-2y + t = 3- 2( 1-3u ) + 2u =1+8u Penyelesaian persamaan adalah : x = 1+8u dan y = 1- 3u

Contoh 7.4 selesaikan x + 2 y + 3 z = 1 dengan cara reduksi jawab : x + 2y + 3z = 1 → 2y = - x – 3z + 1 y =

 x  3z  1 2

y= z t=

 x  z 1 2

 x  z 1 2

2t = - x –z + 1 Z = -x – 2t + 1 u = x – 2t + 1 → x = - u + 2t +1 z = x – 2t + 1 → z = u y = - z + t → y = -u + t

penyelesaian perrsamaan adalah : x = - u + 2t +1 y = -u + t z=u


5


sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( x + 2y + 3z ) sebagai berikut : u

t

x

2y

3z

x + 2y + 3z

1

1

-2

0

3

1

2

1

-3

-2

6

1

2

3

-7

2

6

1

Dari tabel nilai diatas dapat diketahui bahwa beberapa triple ( x ,y,z) yang memenuhi persamaan adalah ( -2 ,0,3), (-3 ,-2 ,6) ,(-7,2,6)

2.CARA KONGRUENSI Contoh soal : Selesaikan persamaan-persamaan Diophantine linier berikut dengan cara kongruensi a. 2x + 5y = 11 b. 2x + 3y + 7z = 15 c. 6x + 15y = 8 d. 35x + 14y = 91

Jawaban a) 2x +5y = 11→ 5y = 11- 2x 5y  11 (mod 2) y  1 (mod 2) y  1 (mod 2) → y = 1 + 2t 2x +5y = 11 → 2x = 11 – 5y 2x = 11 – 5 ( 1 + 2t ) 2x = 11 -5 -10t x = 3 – 5t


6


Penyelesaian kongruensi adalah x = 3 – 5t dan y = 1 + 2t

sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai (2x + 5y) sebagai berikut : t

x

y

2x

5y

2x + 5y

1

2

1

4

5

11

2

-7

5

-14

25

11

4

-17

9

-34

45

11

Jawaban b) 2x +3y + 7z = 15→ 3y + 7z = 15- 2x 3y + 7z  15 (mod 2) y + z  1 (mod 2) y

 (1- z) (mod 2)

Ambil z = t ,maka y  (1- z) + 2u = (1- t) + 2u y = 2u – t + 1 2x +3y + 7z = 15 → 2x = 15 -3y – 7z = 15 -6u + 3t -3 – 7t =-6u -4t + 12 x = 3u -2t + 6

Penyelesaian kongruensi adalah x = 3u -2t + 6 dan y = 2u – t + 1


7


Jawaban c) 6x + 15y = 8 → 6x = 8 – 15y → 6x  8 ( mod 15 ) Karena ( 6,8 ) = 2

15 maka kongruensi ini tidak nenpunyai penyelesaian , berarti pula

persamaan 6x + 15y = 8 tidak nenpunyai penyelesain

Jawaban d) 35x + 14y = 91 → 14y = 91 – 35x → 14y  91 ( mod 35 ) 14y  21 ( mod 35 ) Karena ( 14 ,21 ) 7

35 , maka kongruensi mempuyai penyelesaian.

14y  21 ( mod 35 ) → 2y  3 ( mod 7 ) y = 4 + 5t 35x + 14y = 91 → 35x + 14( 4 + 5t ) = 91 35x + 56 + 70t = 91 35 x = 35 – 70 t x = 1- 2t Penyelesaian persamaan adalah x = 1- 2t dan y = 4 + 5t


8


C. Persamaan Diophantine Non Linier

1. Triple Phytagoras Dalil phytagoras menyatakan bahwa didalam sembarang segitiga siku – siku ,kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi – sisi yang lain. Jika suatu segitiga siku-siku mempunyai sisi miring C maka sisi-sisi yang lain adalah a dan b maka hubungan antara a,b dan c menurut dalil Phytagoras adalah : c 2 = a2 + b2. Tiga bilangan bulat positif x , y dan z yang memenuhi hungan dalil Phytagoras disebut Triple Phytagoras Beberapa Triple Phytagoras 3,4,5

sebab 52 = 32+42

5,12,13 sebab 132 = 52 + 122

Definisi 7.4 Suatu tripel Pythagoras x,y,z disebut primitive Pythagoras jika ( x,y,z) =1

Contoh 7.9 1. triple Pythagoras 3,4,5 adalah primitive Pythagoras sebab ( 3,4,5) =1 dan 5 2 =32+ 42 2. triple Pythagoras 7,24,25 adalah primitive Pythagoras sebab ( 7,24,25) =1 dan 252 =72+ 242 3. triple Pythagoras 6,8,10 adalah bukan primitive Pythagoras sebab ( 3,4,5) =2 ≠1 Misalkan xo ,yo, zo adalah suatu primitive Pythagoras maka


9


zo 2= xo2 +yo2 jika masing- masing dikalikan k maka diperoleh triple kxo ,kyo, kzo perhatikan : zo 2

=

xo2 +yo2

k2zo 2= k2xo2 + k2yo2 (kzo )2 = (kxo ) 2 + (kyo ) 2 → Triple Pythagoras Misalkan x,y,z adalah suatu triple Pythagoras dan ( x,y,z) = d maka d x , d y , d z

x  z  x2 / d2 d

z

d y → y= d yo→

y  z  y2 / d2 d

z

d z → z = d zo→

z  z  z2 / d2 d

z

d x → x = d xo→

x2 + y 2= z2 → x2 + y 2 / d2 =

x2 y2 z2 1 2  → + z d2 d2 d2 d2 2

2

 x  y z →       d  d  d 

2

→ x02+ y02= z02

 x y x0 ,y0, z0 merupakan suatu triple pythagoras ,karena  ,   1 d d  dan

 y x  ,   1 maka jelaslah bahwa d d 

x y z  , ,   1 ,berarti x0 ,y0, z0 d d d 

merupakan suatu primitive Pythagoras .

Dalil.7.1 Jika x,y, z adalah suatu primitive triple Pythagoras maka ( x, y) = (x,z ) = (y,z ) =1

Dalil. 7.2 Jika x,y, z adalah suatu primitive triple Pythagoras maka x adalah suatu bilangan genap dengan y adalah suatu bilangan ganjil atau x adalah suatu bilangan ganjil dan y adalah suatu bilangan genap

http://muhammadalfaridzi.wordpress.com/2014/06/07/persamaan-diophantine/ 10


Dalil. 7.3 Jika x,y, z

 z maka penyelesaian primitif :

x2 + y 2= z2 adalah x = m2 - n2 y = 2mn dan z = m2 +n2 yang mana m > n > 0 , ( m,n ) = 1

Contoh 7.10 Carilah semua triple Pythagoras primitif yang mana selisihnya antara bilangan terbesar dengan satu dari bilangan yang lain berselisis (berbeda ) k Jawab Nilai –nilai k yang mungkin adalah k merupakan suatu bilangan ganjil atau k merupakan suatu bilangan genap.

1.k adalah suatu bilangan gnajil Jika

x2 + y 2= z2,y adalah suatu bilangan genap dan z adalah suatu bilangan genap.

Maka untuk nilai k yang ganjil diperoleh dari selisih bilangan terbesar dengan bilangan yang genap. m2 + n2 - k = 2mn m2 + n2 – 2mn = k (m – n ) 2 = k Jika t = m – n ,maka t2 = k atau k = t2 dan m = n + t x = m2 – n2 = ( n + t ) 2 – n2 = n2 + 2t + t2 – n2 = 2nt + t2 = t ( 2n + t) y = 2mn = 2 (n + t )n = 2n ( n + t ) z = m + n = ( n + t ) 2 + n2 = n2 + 2nt + t2 + n 2 = 2n2 + 2nt + t2

Sebagai contoh nyata untuk k= 9 dan t = 3 dari persamaan x = t ( 2n + t ) y = 2n ( n + t ) z = 2n2 + 2nt + t 2 http://muhammadalfaridzi.wordpress.com/2014/06/07/persamaan-diophantine/ 11


Dapat ditentukan bentuk umum triple Pythagoras yang dicari yaitu : x = 3 ( 2n + 3 ) y = 2n ( n + 3 ) z = 2n2 + 6n + 3

Beberapa unsure dalam barisan triple Pythagoras yang memenuhi adalah : ( 15,8,17 ) ,( 21,20 ,29 ) ,(27,36 ,45),…..

2) k adalah suatu bilangan genap.

Jika

x2 + y 2= z2, y adalah suatu bilangan ganjil dan z adalah suatu bilangan ganjil

Maka x dan z tentu keduanya merupakan bilangan – bilangan ganjil sehingga k merupakan selisih ( beda ) antara z dan x Z = x+k m2 + n2 = m2 - n2 + k 2n2 = k Ambil k = 2t2 ,maka 2n2 = 2nt2 sehingga n = t dengan m adalah sebarang bilangan lebih dari t dan mempunyai paritas yang berbneda dengan t

Dengan demikian dapat ditentukan bahwa X = m2 - n2

→ X = m2 - t2

Y = 2mn

→ Y = 2mt

Z = m2 + n2

→ Z = m2 + t2

Sebagai peragaan untuk k = 8 bentuk umum triple Pythagoras yang dicari untuk n = t = 2 adalah : X = m2 – 4 Y = 4m Z = m2 + 4 Beberapa unsure dalam barisan triple Pythagoras yang meemnuhi adalah ( 5,12,13 ) ,( 21,20 ,29 ) ,(45,28 ,53)

Contoh 7.11 http://muhammadalfaridzi.wordpress.com/2014/06/07/persamaan-diophantine/ 12


Carilah semua tiple Pythagoras yang membentuk suatu barisan aritmatika Jawab Misalkan x, y, z adalah triple Pythagoras yang membentuk barisan aritmatika maka tentu ada bilangan bulat yang positif sehingga: (y – t) 2 + y2 = (y + t) 2

→ t : beda barisan

y2 – 2yt + t 2+ y2 = y 2 + 2yt + t2 y2 = 4yt y2 – 4yt = 0 y ( y-4t) = 0 → y = 0 atau y = 4t karena y = 0 tidak menghasilkan triple Pythagoras ,maka y = 4t sehingga x = y – t = 4t – t = 3t z = y + t = 4t + t = 5t y = 4t jadi bentuk umum triple Pythagoras yang dicari adalah ( 3t, 4t ,5t ) sehingga barisan yang dicari adalah : ( 3,4,5), ( 6,8,10) , (12,16 ,20)

Contoh 7.12 Selesaikan persamaan x 2+ y2 = z4 dalam bentuk triple Pythagoras Jawab : x 2+ y2 = z4 → x 2+ y2 = (z2) 2 ini berarti bahwa ada m,n  z, m> n sehingga : z2 = m2 + n2 , x = m2 – n2 dan y = 2mn dengan m = r2 – s2 , n = 2rs ,dan z = r 2+ s 2 berikutnya dapat dicari nilai –nilai x ,y dan z : x=m–n = (r – s) – (2rs) = r – 2rs + s – 4rs x = r 4  6r 2 s 2  s 4

y = 2mn = 2( r2 – s2 )2rs = (2r2 -2s2 ) 2rs y = 4rs (r2 – s2 )



z = r 2+ s2

Bebrapa unsur dari barisan penyelesaian diperoleh dengan mengambil ( r,s) = 1 r > s > 0 dan r mempunyai paritas yang berbeda dengan s

r

s

x = r 4  6r 2 s 2  s 4

2

1

7

24

25

3

2

119

120

169

1 4

161 3

y = 4rs (r2 – s2 )

240 527

z = r 2+ s2

4

289 336

625

Beebrapa unsur barisan penyelesaianya adalah : ( 7,24,25), ( 119,120,169) , (161,240 ,289), ( 527, 336,625 )

Dalil 7.4 Jika x,y,z

 N dan ( x,y,z) = 1 maka persamaan x2 + y2 = z2 mempunyai penyelesaian :

X = r 2  2s 2 Y = 2rs Z = r 2  2s 2

Dalil 7.5 Jika x,y,z

 N dan ( x,y,z) = 1 maka persamaan x2 + y2 = 2z2 mempunyai penyelesaian :

X = r2 – s2 + 2rs



Y = r 2  s 2  2rs Z = r2 + s2

Dalil .7.6 Jika y dan z adalah bilangan –bilangan genap maka penyelesaian persamaan : x2 + y2 + z2 = t2 ,adalah :

p2q2  r 2 x r y = 2p

z = 2q

t

p2q2  r 2 r

Dengan p , q  N , r < ( p2 + q2 ) dan r ( p 2  q 2 )



SOAL – SOAL PERSAMAAN DIOPHANTINE

2. selesaikan persamaan – persamaan linier Diophantine : a. 3x + 2y + 7z = 15 b. 3x + y -z = 5 c. 4x +2y +3z = 5 d. 5x + 2y – z = 12 e. x - 3y + 2z = 7 f. 3x +-3y + 9z = 10

3.selesaikan persamaan – persamaan linier Diophantine : a. 7x + 5y + 6z = 173 3x + 17y + 4z = 173 b. 5x +2y + 3z = 324 -4x + 6y + 14 = 190 c. x + y + z = 100 6x + 21y + z = 121 d. x + y + z = 4 9y + 5z + 6y = 18



JAWABAN

2.) Jawaban a)

3x + 2y + 7z = 15 2y = 15 – 3x – 7z y = 14 + 1 – 2x – x – 6z – z 2 y=(7–x–3z) + t=

1 x  z 2

1 x  z → 2t = 1 – x – z 2

z = 1- x – 2t

u = 1-x -2t

→ x = 1- 2t – u

z = 1- x – 2t → z = u y=(7–x–3z) +t y = ( 7 –(1- 2t – u )– 3 u) + t y = ( 7 –1+ 2t + u – 3 u + t y = 6 + 3t – 2u

Penyelesaian persamaan adalah x = 1- 2t – u y = 6 + 3t – 2u z=u



sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( 3x + 2y + 7z ) sebagai berikut : u

t

x

y

z

3x + 2y + 7z

1

1

-2

7

1

15

2

1

-3

5

2

15

1

0

0

4

1

15

Jawaban b)

3x + y -z = 5 3x = 5 – y +z x = 3 +2 – y + z 3 2 y z 3

x=1 + t=

2 y z 3

→ 3t = 2 – y + z z = 3t – 2 + y

u = 3t – 2 + y → y = u – 3t + 2 z = 3t – 2 + y → z = u x=1 +

2 y z 3

x = 1+ t

Penyelesaian persamaan adalah x = 1+ t y = u – 3t + 2 z=u

sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai (3x + y -z ) sebagai berikut : u

t

x

y

z

3x + y - z

1

1

2

0

1

5



2

1

2

1

2

5

1

0

1

3

1

5

Jawaban c) 4x +2y + 3z = 5→ 3y + 7z = 5- 2x 4x + 3z  5 (mod 2)

 1 (mod 2)

2x + z

 (1- 2x) + 2u

z

Ambil x = t ,maka z  (1- 2x) + 2u z = 1-2t + 2u substitusi nilai x dan z ke persamaan 4x +2y + 3z = 5 4t +2y + 3(1-2t + 2u) = 5 4t + 2y + 3 – 6t +6u = 5 2y = 5 + 2 – 6u – 3 2y = 2 + 2t – 6u y = 1 + t – 3u Penyelesaian kongruensi adalah x=t y = 1 + t – 3u z = 1-2t + 2u

sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( 4x + 2y - 3z ) sebagai berikut : u

t

x

y

z

4x + 2y -3z

1

1

1

-1

1

5

2

1

1

-4

3

5



1

0

0

-2

3

5

Jawaban d)

5x + 2y -z = 12 2y = 12 – 5x + z y = 12 – 4x – x + z 2 Y = ( 6 – 2x ) + t=

zx 2

zx 2

→ 2t = z – x z =2t + x

u = 2t + x

→ x = u - 2t

z = 2t + x → z = u y = ( 6 – 2x ) + t y = 6 – 2( u – 2t ) + t y = 6 – 2u + 4t +t y = 6 – 2u + 5t

Penyelesaian persamaan adalah x = u - 2t y = 6 – 2u + 5t z=u

sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( 5x + 2y – z ) sebagai berikut :



u

t

x

y

z

5x + 2y -z

1

1

-1

9

1

12

2

1

0

7

2

12

1

0

1

4

1

12

Jawaban e)

x -3y +2z = 7 2z = 7 – x + 3y z = 6 +1 –x + 2y +y 2 z = ( 3 +y ) + t=

1 x  y 2

1 x  y 2

→ 2t = 1- x + y y = 2t + x - 1

u = 2t + x - 1 → x = u – 2t + 1 y = 2t + x – 1 → y = u z = ( 3 +y ) +

1 x  y 2

z = ( 3 +y ) + t

z = (3 +u ) + t z=3+u+t

Penyelesaian persamaan adalah x = u – 2t + 1 y=u z=3+u+t



sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( x - 3y + 2z ) sebagai berikut : u

t

x

y

z

x -3y + 2z

1

1

0

1

5

7

2

1

1

2

6

7

1

0

2

1

4

7

Jawaban f)

2x - 3y +9z = 10 2x = 10 +3 y -9z x = 10 +2y + y -8-z 2 x = ( 5 + y – 4z ) +

yz 2

yz → 2t = y - z 2

t=

z = y – 2t u = y – 2t → y = u + 2t z = y – 2t → z = u x = ( 5 + y – 4z ) +

yz 2

x = ( 5 + y – 4z ) + t

x = ( 5 + u + 2t x = 5 + 3t

– 4u ) + t

– 3u

Penyelesaian persamaan adalah x = 5 + 3t

– 3u

y = u + 2t z=u



sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui nilai- nilai ( 2x - 3y + 9z ) sebagai berikut : u

t

x

y

z

2x -3 y + 9z

1

1

5

3

1

10

2

1

2

4

2

10

1

0

2

1

1

10

3.)

jawaban : a) 7x + 5y + 6z = 173→ 7x + 6z = 173- 5y 2x + z z

 3 (mod 5)  (3- 2x) + 5u

Ambil x = t ,maka z  (3- 2x) + 5u z = 3-2t + 5u substitusi nilai x dan z ke persamaan 7x +5y + 6z = 173 7t + 5y + 6(3-2t + 5u) = 173 7t + 5y + 18 – 12t +30u = 173 5y = 155 + 5t – 30 u y = 31 + t - 64

3x + 17y + 4z = 510 3t + 17 (31 + t - 64 ) + 4 (3-2t + 5u) = 510 3t + 527 + 17t – 102u + 12 – 8t + 204 = 510 12t – 82u + 539 = 510 12t – 82u = 510 – 539 82u 82u

 

29 + 12t 29 ( mod 12 )

10u  5 + 12 r



10u  5 ( mod 12 ) 12r  -5 ( mod 12 ) 2r  5 ( mod 10 ) 10r

 5 (mod 2) →tidak dapat diselesaikan

sehingga persamaan Diophantine diatas tidak dapat diselesaikan

jawaban : b)  5x +2y + 3z = 324 5x + 3z  324 ( mod 2 ) x + z  0 ( mod 2 ) x  0 – z ( mod 2) x  – z + 2u ambil

z1 = t x1 = -t + 2u

2y = 324 -5x -3z 2y = 324 -5( -t +2t ) -3z 2y = 324 -5t -3t – 10u 2y = 324 +2t -10u y1 = 162 +t -5u  -4x + 6y + 14 = 190 6y + 14z  190 ( mod 4 ) 2y + 2z  2 ( mod 4 ) 2y  2 – 2z ( mod 4) y  1-z + 2u ambil

z2 = t y2 = 1- t + 2u 4x = 6y + 14 z – 190



4x = 6(1- t + 2u ) + 14t – 190 4x = 6- 6t + 12u + 14t – 190 4x = 8t + 12u – 184 x2 = 2t + 3u – 46

dari persamaan x, y dan z diatas maka dapat ditentukan 

x1 = x2 -t + 2u = 2t + 3u – 46 -3t – u = -46 ……………………………………………….(1)



z1 = z2 = t



y1 = y2 162 +t -5u = 1- t + 2u -2t + 7u = 161 ………………………………………………(2)



eliminasi persamaan 1 dan 2 -3t – u = -46

x7

-2t + 7u = 161

x1

- 21t – 7u = -322 -2t + 7u = 161 -23t

+

= -161

t =7 

Substitusi t ke persamaan ( 1) -3t – u = -46 -21 –u = -46 u = 25



Substitusi nilai u dan t kepersamaan x , y dan z Maka akan didapat :



x = -t + 2u = -7 + 2 ( 25) = 43 y = 1-t + 2u = 1-7 + 2 ( 25) = 44 z=7

Jadi himpunan penyelesaiannya dalah : Hp = { ( 43,44 ,7)}

jawaban : c) x + y + z = 100→ x + y = 100- z x+y x

 100 (mod 1)  (0- x) + u

Ambil y = t ,maka x  (0- y) + u x = -t + u substitusi nilai x dan z ke persamaan x +y + z = 100 z = 100 – x – y z = 100 + t – u – t z = 100 – u

6x + 21y + z = 121 6(- t + u ) + 21t + (100-u) = 121 -6t + 6u + 12t +100 – u = 121 15t + 5u + 100 = 121 15 t + 5u = 21 15t = 21 ( mod 5 ) → tidak dapat diselesaikan sehingga persamaan Diophantine diatas tidak dapat diselesaikan



jawaban : d )  9y + 5z + 6w = 18 9y + 6w  18 ( mod 5 ) 4y + w  3 ( mod 5 ) w  3– 4y ( mod 5) w  3 -4y +5 u ambil

y1 = t w1 = 3 -4t +5 u 5z = 18 -9y – 6w 5z = 18 -9t – 6(3 -4t +5 u) 5z = 18 -9t – 18 +24t -30 u) 5z = 15t – 30u z1 = 3t – 6u

 x+y+z+w =4 x + y + w  4 ( mod 1 ) x + y + w  0+u x +w = u-y x = u-y -w x = u – t – 3 + 4 t – 5u x = -4u + 3t -3



ambil

y2 = t x2 = -4u + 3t -3 w2 = 3 -4t +5 u

z =4–x–y–w z = 4 + 4u -3t + 3 –t -3 + 4t -5u

z2 = 4-u

dari persamaan x, y dan z diatas maka dapat ditentukan 

z1 = z2 3t – 6u= 4-u 3t – 5u = 4 ……………………………………………….(1)



y1 = y2 = t



w1 = w2 3 -4t +5 u -4t +5 u = -3………………………………………………(2)



eliminasi persamaan 1 dan 2 3t – 5u = 4 --4t +5 u = -3

+

-t=1 t = -1 

Substitusi t ke persamaan ( 1) 3t – 5u = 4



3(1) – 5u = 4 -3 – 5u = 4 -5u = 7 u= 



7 5

Substitusi nilai u dan t kepersamaan x , y dan z Maka akan didapat : x = -4u + 3t -3 x = -4( -7/5) + 3(-1) -3 =

2 5

y =t y = -1

z = 4-u z = 4-(-7/5) z=

27 5

w = 3 -4t +5 u w = 3 -4(-1) +5 (-7/5) = 3 +4 -7 =0

Jadi himpunan penyelesaiannya dalah :



Hp = { ( 

27 2 ,-1, ,0 )} 5 5


PERSAMAAN DIOPHANTINE

Recommend Documents