1
PERSAMAAN DIOPHANTINE KUADRATIK −(
+ )
−(
+ ) +(
+
) =
( ≥ )
QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATION −(
+ )
− (16 + 4) + (16
+ 16 ) = 0 ( ≥ 1)
Orgenes Tonga Pascasarjana Matematika, Universitas Hasanuddin, Makassar
Alamat Korespondensi:
Orgenes Tonga SMAN 2 Binsus Tobelo Halmahera Utara, 97762 Email:
[email protected]
2
Abstrak Misalkan ≥ 1 merupakan bilangan bulat positif. Akan ditentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Pell − ( + ) = 1, yang dapat dipakai untuk menentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Pell − ( + ) = −32 + 4. Selanjutnya akan ditentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Diophantine − ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0. Diperoleh beberapa rumus dan hubungan rekurensi dalam solusi bilangan bulat positif ( , ) dari persamaan Diophantine Kata Kunci: Persamaan Pell, Persamaan Diophantine
Abstract Let ≥ 1 be positive integer. Will be determined of positive integer solution of Pell equation −( + ) = 1, which can weared to determine positive integer solution of Pell equation − ( + ) = −32 + 4. Hereinafter will be determined positive integer solution of Diophantine equation − ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0. Obtained some formula and recurrence relation in positive integer solution ( , ) of Diophantine equation Keyword: Pell equation, Diophantine equation.
3
PENDAHULUAN −
Pencarian solusi fundamental (mendasar) persamaan Pell klasik
= 1 telah
dilakukan sebelumnya dengan metode siklik oleh Bhascara (Edwards, 1977), dengan metode faktorisasi oleh Fermat dan dengan metode reduksi oleh Lagrange (Jacobson, 2009), namun prosesnya kurang efisien. Selanjutnya pencarian solusi dengan metode fraksi kontinu berhingga sederhana pada ekspansi (penjabaran) √ pencarian solusi fundamental ternyata lebih efisien (Baltus, 2007, dan Seung, 2008). Persamaan Diophantine memiliki berbagai generalisasi. Dalam pengembangan selanjutnya, telah dilakukan pencarian solusi persamaan Diophantine yang melibatkan fraksi + pada persamaan
kontinu dengan ekspansi bilangan real √ −(
2007), dan pada persamaan
+ )
− (4 + 2 ) + (4 −
Tekcan, 2010), serta ekspansi bilangan real √ ( 4 − 2) + ( 4 (
− )
−
= 2 (Tekcan dkk.,
+ 4 ) = 0 (Ozkoc and
pada persamaan
−(
− )
− 4 ) = 0 (Tekcan and Ozkoc, 2010) dan pada persamaan
− (16 − 4) + (16
− −
− 16 ) = 0 (Chandoul, 2011). Selanjutnya, akan dibahas
algoritma pencarian solusi persamaan Pell pada penyelesaian suatu persamaan Diophantine: −( −( −(
+ )
+ )
+ )
=1
(1.1),
= −32 + 4
(1.2),
− (16 + 4) + (16
+ 16 ) = 0 ( ≥ 1)
(1.3).
BAHAN DAN METODE Fraksi Kontinu Periodik dan Bilangan Berbentuk √
+
∈ merupakan suatu fraksi kontinu periodik jika
Dikatakan,
dimana bentuk
=[
;
,
,⋯,
,
,⋯,
,
,
]
,⋯,
(2.1)
menandakan bahwa barisan (
,
,⋯,
)
berulang periodik, dan disebut periode dari fraksi kontinu. Pendekatan fraksi kontinu pada bilangan real √
+
sebelumnya telah dibahas dalam pencarian solusi persamaan
= 2 dengan mengekpansikan √ = √
−
+ sebagai fraksi kontinu (Tekcan dkk., 2007).
Definisi 1 (Irasional Kuadratik): Anggap
merupakan bilangan irasional.
merupakan akar dari persamaan kuadratik
disebut irasional kuadratik jika +
Selanjutnya akar yang lain , disebut konyugat dari .
+ = 0 untuk
, , ∈ℤ.
4
Definisi 2 (Irasional Kuadratik Tereduksi): Anggap
adalah irasional kuadratik dan
kuadratik tereduksi jika
> 1 dan −1 <
adalah konyugatnya.
disebut irasional
< 0.
Definisi 3 (Periodik Murni): Suatu fraksi kontinu [ , [
= ,
,
=
, ,⋯,
]=[ ;
,⋯,
,⋯,
] disebut periodik murni jika berlaku
=
,
,⋯,
=
. Dengan demikian maka fraksi kontinu ]=⋯=[ ;
,⋯,
,
,
,⋯,
].
Teorema 2.1(Teorema Galois): Anggap
adalah bilangan irasional. Suatu
jika
irasional kuadratik tereduksi.
Jika
=[ ,
,⋯,
] dan
adalah periodik murni jika dan hanya
adalah konyugatnya maka − = [
,⋯,
,
]. ∎
Teorema 2.2: (Niven, 1991) Setiap bilangan irasional kuadratik merupakan suatu fraksi kontinu periodik sederhana, dan setiap fraksi kontinu periodik sederhana merupakan suatu bilangan irasional kuadratik. ∎ Algoritma 2.1: Misalkan
merupakan suatu bilangan irasional kuadratik dengan
=
= √ , maka
dapat dijabarkan dengan algoritma sebagai berikut: 1.
Input:
= √ ( bukan kuadrat sempurna),
2.
=⌊
3.
=
ℎ −
=
,
4.
ℎ
5.
=
⌋,
√
= 0,1,2, ⋯
,
,
= 0, ℎ = 1. (2.2)
= 0,1,2, ⋯
(2.3)
= 0,1,2, ⋯
(2.4)
= 0,1,2, ⋯
(2.5)
Dari algoritma dapat disimpulkan √ ∈ , dan
, ℎ ∈ ℤ.
Lemma 2.1: Misalkan diberikan √ ∈ maka: √ =[ dengan √
=
;
,
untuk suatu
,⋯, ∈ ℕ.
,2
]
(2.6)
5
Bukti: Anggap bahwa
= √
+ √ > 1 dan −1 <
( − )( − ) = =
= √
− √ < 0 sehingga
−( + ) +(
− 2√
+( √
)
− )
merupakan persamaan kuadratik bilangan bulat (polinom bilangan bulat berderajat dua). Sehingga
dan
adalah irasional kuadratik dan salah satunya adalah konyugat. Selanjutnya
adalah irasional kuadratik tereduksi. Berdasarkan teorema Galois,
adalah periodik murni.
Sehingga = √ √
+√ = 2 √ ,
+√ = 2 √ ;
√ = 2√ ;
karena √
=
,
,
,⋯,
,
,⋯,
,⋯,
,2 √
,2 √
− √
√ = √ ;
,
,⋯,
,2 √
√ =[
,
,⋯,
,2
maka ;
] ∎
Berdasarkan Algoritma 2.1 untuk bilangan irasional
=√
terdapat
= 0 dan
ℎ = 1, dan dengan menghubungkan Lemma 2.1 untuk bilangan irasional √ sebagai fraksi kontinu periodik terdapat
∈ ℕ sebagai periode dari √ . Jadi ℎ = ℎ = ⋯ = ℎ = 1 untuk
setiap ∈ ℕ. Dengan demikian, jelas bahwa ℎ = 1 jika dan hanya jika | , dan ℎ ≠ −1 untuk semua . Sekarang, perhatikan bilangan berbentuk berikut sebagai bilangan irasional + Bentuk
( ∈ ℕ)
(2.7).
+ bukan merupakan suatu bentuk kuadrat. Dengan menggunakan algoritma 2.1,
diperoleh + = [ ; 2,2 ]
(2.8)
yang merupakan suatu bentuk fraksi kontinu dan menjadi patokan dalam penyelesaian persamaan Pell. Metode Pengkajian Pencarian solusi persamaan Diophantine dilakukan dengan mengkaji pencarian solusi bilangan bulat persamaan Pell, kemudian menghubungkan dengan pencarian solusi bilangan bulat persamaan Diophantine
6
−(
+ )
− (16 + 4) + (16
+ 16 ) = 0.
Hasil dari pengkajian merupakan solusi bilangan bulat positif (
,
) yang dijabarkan dalam
teorema-teorema.
HASIL DAN PEMBAHASAN −(
Persamaan Pell
+ )
=
Persamaan Pell berbentuk −
persamaan Pell
= 1 dengan
−(
+ )
=(
+ ) adalah bilangan bulat positif nonkuadrat.
= 1 merupakan bentuk khusus dari
Persamaan (1.1) juga memiliki solusi bilangan bulat positif yang tak terhingga banyaknya dan ditulis sebagai (
) untuk
,
≥ 1. Solusi pertama ( ,
) yang merupakan bilangan bulat
positif (nontrivial) adalah solusi fundamental dari persamaan (1.1). Dikatakan bahwa fraksi kontinu
∈ adalah suatu fraksi kontinu periodik
dimana
jika =[ ,
dimana
,⋯,
;
,
,⋯,
,
,
,⋯,
]
menandakan barisan berulang {
,
,⋯,
} dan
adalah periode dari fraksi kontinu . −(
Persamaan Pell √ =√
+
+ )
= 1 menunjukan bahwa terdapat bilangan irasional
yang merupakan fraksi kontinu periodik, dengan menggunakan fungsi
pembulatan kebawah (floor function) dijabarkan sebagai berikut: Jika diambil = 1 maka √
+ diperoleh √2 = [1; 2].
Jika diambil > 1 maka diperoleh = = =
perulangan
√
+ −
= karena
1
1 √
=
+ − =
√
√
=
=
+ − =
=
=
√ =
= ⋯ = 2 dan
ditulis dalam bentuk fraksi kontinu
+ −
+ +
√
+ −
1
akibatnya =
+ = +
=2+
√
,
=
+ −
+ + =2 +
+ +
=2+
= ⋯ dan =
=
√ =
,
=2
+ −
+ − =
,
,
=2
=2
= ⋯ , maka diperoleh
= ⋯ = 2 . Sehinga √
+
dapat
7
1
+ = +
= [ ; 2,2 ].
1
2+
1
2 +
1
2+ 2 +
1 1 2 + 2 +⋱
+ sebagai fraksi kontinu adalah:
Sehingga, ekspansi dari √
+ =
[1; 2]
jika = 1
[ ; 2,2 ] jika > 1. +
Dengan demikian, maka ekspansi √
sebagai fraksi kontinu dipakai untuk
menentukan solusi persamaan (1.1). Teorema3.1: −(
Pada persamaan Pell berbentuk
+ )
= 1 dengan (
+ ) bulat positif
nonkuadrat, berlaku: −(
1) Solusi fundamental dari persamaan Pell
+ )
= 1 adalah ( ,
)=
(2 + 1,2). 2) Barisan solusi {(
,
)} persamaan Pell =
untuk
−(
= 1 dipenuhi oleh
+2
1
2 +1
0
2 +1 2 2
+ )
≥ 1.
3) Solusi (
) dari persamaan Pell
,
−(
+ )
=1
memenuhi
hubungan rekurensi = (2 + 1 ) =2 untuk
+ ( 2 + 1)
(
,
) dari persamaan Pell
oleh konvergensi fraksi kontinu: ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ; 2,2 , 2,2 , ⋯ , 2,2 , 2,2 , 2⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ pasangan
Bukti:
+2 )
≥ 1.
4) Solusi ke-
untuk
+ (2
≥1
−(
+ )
= 1 dapat di diberikan
8
(1) Perluasan bilangan real √
+ = [ ; 2,2 ] merupakan fraksi kontinu periodik, maka −(
solusi fundamental persamaan
+ )
−(
Dengan demikian, solusi fundamental dari ( ,
= [ ; 2] = + =
= 1 adalah + )
= 1 adalah
) = (2 + 1,2)
(2) Akan dibuktikan menggunakan induksi matematika. Untuk
= 1, maka 2 +1
= sehingga ( ,
2
1
2 +1
0
2 +1
=
2
) = (2 + 1,2) merupakan solusi, adalah benar. =
Asumsikan persamaan adalah benar untuk
+2
1
2
2 +1
0
+ )
= 1.
2 +1 2
= sehingga (
+2
2
) merupakan solusi, yaitu
,
−(
=
Selanjutnya, akan ditunjukan kebenaran untuk =
=
2 +1
2
2
2 +1
+2 2 +1
=
2 +1
0
2
+2
1
2 +1
0
2
2
2
+2
2 +1
(2 + 1) 2
1
2 +1
2 +1 =
+2
2
2
+ 1. Dari
+ (2
+2 )
+ (2 + 1)
diperoleh −(
+ )
= (2 + 1 )
+ (2
= ((2 + 1)
=1
+ )(4
(2 + 1 ) − 4 ( +
=
−(
−(
+ 2(2 + 1)(2 −(
=
+2 )
+ )
((2
+ )(2
+2 )
+ 4( 2 + 1)
+ ) + +2 ) −(
+ (2 + 1)
+ (2
+2 )
) )
+ (2 + 1 )
2(2 + 1)(2
+2 )−(
+ ) 4( 2 + 1 ) )
) + ) 4( 2 + 1)
.
9
−(
(3) Diketahui persamaan (
,
) adalah solusi ke-
+ )
= 1 memiliki solusi fundamental ( ,
maka (
) memenuhi persamaan
,
−(
) . Jika
+ )
= 1,
sehingga −(
+ )
= (2 + 1 )
+ (2
= ((2 + 1)
+2 )
+ 2(2 + 1)(2 −(
+ )(4
(2 + 1) − 4(
=
−(
+ )(2
+2 )
+ ( 2 + 1) )
+ (2
+ 4( 2 + 1 )
+ ) +
((2
+ =
−(
+2 )
+ (2 + 1)
)
+2 )−(
2(2 + 1)(2
+2 ) −(
)
+ )4(2 + 1)
+ )(2 + 1) )
+ )
=1 (4) Asumsikan bahwa ( (
+ )
) adalah solusi dari
−(
+ )
= 1 sehingga
−
= 1. Dengan menggunakan induksi matematika, jelas bahwa untuk
=1
diperoleh ( ,
,
) = (2 + 1,2). Selanjutnya dianggap benar untuk
ditunjukan kebenarannya untuk
=
+ 1 yaitu 1
= +
1
2+
1
2 +
1
2+
1
2 +
1
⋱+
1
2+
2 + 1
= +
1
2+
1
⋱+ 2+
1 1 2 +2
(2 + 1) + (2 + 2 ) . 2 + ( 2 + 1)
Dalam hal ini ( + )
1 +
1
2 +
(
1 2+
1
+ +
1 2
= +
1
2+
=
= , maka akan
,
) menunjukan solusi dari persamaan Diophantine
−
=1 ∎
10
−(
+ )
menentukan solusi lain persamaan Diophantine berbentuk
−(
Selanjutnya, solusi dari persamaan Pell −(
Persamaan Diophantine
+ )
−(
+ ) +(
= 1 akan dipakai untuk + )
= −32 + 4. ) =
+
Persamaan Diophantine berbentuk −(
+ )
− (16 + 4) + (16
+ 16 ) = 0
selalu memberikan dua solusi bilangan bulat yang merupakan solusi trivial, yaitu (0,0) dan (0,16) untuk setiap ≥ 1. Selain memiliki solusi trivial, persamaan Diophantine berbentuk (16 + 4) + (16
+ )
−
+ 16 ) = 0 dengan ≥ 1, juga memiliki solusi bilangan bulat positif
yang tak terhingga banyaknya dan ditulis sebagai ( ( ,
−(
,
) untuk
≥ 1 . Solusi pertama
) yang merupakan bilangan bulat positif (nontrivial) adalah solusi fundamental dari
persamaan (1.3). Bentuk persamaan (1.3) representatif dengan lengkungan (conics), yang diberikan oleh persamaan +
+
+
+
+
+
=0
adalah bilangan real. Nilai diskriminan (∆) dari bentuk lengkung
, , , , ,
dimana
+
= 0 dapat ditentukan dari ∆=
−4
. Jika ∆< 0 maka penyajian
lengkungan adalah elips, jika ∆> 0 maka penyajian lengkunagn adalah hiperbola, dan jika ∆= 0 maka penyajian lengkungan adalah parabola. Jika ditransformasikan lengkungan pada bidang sentripetal =
=
+ℎ
=
+
= 0, maka persamaan (1.3) dapat melalui transfomasi (3.1)
untuk beberapa nilai ℎ dan . Selanjutnya pasangan (ℎ, ) dinotasikan oleh [ℎ; ] = {ℎ, }. Melalui transformasi
yaitu
=
+ ℎ dan
=
+
, maka persamaan (1.3)
menjadi ( + ℎ) − (
+ )( + ) − (16 + 4)( + ℎ) + (16
+ 16 )( + ) = 0
selanjutnya, dijabarkan menjadi [
−(
+ )
+ (2ℎ − 16 − 4) + (−2 + [ℎ − (
+ )
−2
− (16 + 4)ℎ + (16
+ 16
+ 16 ) ]
+ 16 ) ] = 0.
11
Karena kelompok suku ke-dua adalah nol (ekivalen dengan persamaan (1.3)), maka kelompok suku ke-satu juga adalah nol. Berdasarkan penjabaran tersebut, perhatikan kelompok suku kesatu, dapat dinyatakan sebagai bentuk yang ekivalen dengan persamaan (1.1) maka diperoleh (2ℎ − 16 − 4) = 0 dan didapat ℎ = 8 + 2 dan
(−2
−2
+ 16
+ 16 ) = 0 dimana
,
≠ 0 sehingga
= 8. Selanjutnya substitusi nilai ℎ = 8 + 2 dan
= 8 ke dalam
kelompok suku ke-dua diperoleh 32 − 4 = 0 . Dengan demikian diperoleh persamaan Diophantine −(
+ )
= −32 + 4
yang merupakan persamaan Pell. Teorema 3.2: Misalkan
merupakan suatu persamaan Diophantine berbentuk
−32 + 4 dengan (
+ )
=
+ ) adalah bilangan bulat positif nonkuadrat, maka berlaku:
1) Solusi fundamental adalah ( 2) Barisan solusi {( =
) = (8 + 2,8).
,
)} dipenuhi oleh
,
2 +1 2
2
+2
(3.2)
2 +1
≥ 1.
untuk 3) Solusi (
) memenuhi hubungan rekurensi
,
= ( 2 + 1) =2 untuk
−(
+ (2
+2 )
+ ( 2 + 1)
≥ 2.
4) Solusi ke-
(
,
) memenuhi fraksi kontinu
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ; 2,2 , 2,2 , ⋯ , 2,2 , 4⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ pasangan untuk
≥ 1.
Bukti: 1) Akan dibuktikan bahwa ( , berbentuk
−(
+ )
) = (8 + 2,8) adalah solusi dari persamaan Diophantine
= −32 + 4.
Ruas kiri persamaan Diophantine ini adalah −(
+ )
= (8 + 2) − (
= + )(8)
12
= (64
+ 32 + 4) − (64
+ 64 )
= −32 + 4 2) Akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika. Untuk
= 1, maka =
2 +1
2
2
+2
2 +1
adalah solusi. Hipotesis induksi bahwa 2 +1
=
2
2
+2
2 +1
adalah solusi. Akan dibuktikan bahwa 2 +1
=
2
2
+2
2 +1
adalah solusi. 2 +1
=
Persamaan
2
2
+2
dapat ditulis sebagai
2 +1
= 2 +1 2 =
2 +2 2 +1 2 +1 2 2
2 +2 2 +1
+2
2 +1
( 2 + 1)
=
2 +1 2
2
+ (2
+2 )
+ (2 + 1)
adalah solusi. 3) Akan dibuktikan dengan induksi matematika: Untuk
= 2, maka pasangan solusi ( =
2 +1 2
2
+2
2 +1
,
) memenuhi persamaan =
(2 + 1) 2
+ (2
+ (2 + 1 )
sehingga jelas = ( 2 + 1) =2
+ ( 2 + 1)
adalah solusi. Pasangan solusi (
,
+ (2
) memenuhi persamaan
+2 )
+2 )
13
2 +1
=
2
2
+2
2 +1
= 1 jelas (diberikan).
dengan induksi matematika untuk Anggap bahwa
2 +1
=
2
2
+2
2 +1
adalah benar. Akan dibuktikan bahwa 2 +1
=
2
2
+2
2 +1
adalah solusi. Maka 2 +1
=
2
= 2 +1 2 +2 2 2 +1 = =
(2 + 1 ) 2
+2
2 +1 2 +1 2
2 +1 2 2
2
2 +2 2 +1
+2
2 +1 + (2
+2 )
.
+ (2 + 1)
Sehingga jelas. = ( 2 + 1) =2 adalah solusi untuk
+ (2
+2 )
+ ( 2 + 1)
≥ 2.
4) Akan dibuktikan berdasarkan pendekatan induksi matematika. Untuk
= 1, maka =
8 +2 1 = + = [ ; 4] 8 4
adalah benar, merupakan solusi fundamental. Asumsi bahwa solusi ke- didefinisikan oleh ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ; 2,2 , 2,2 , ⋯ , 2,2 , 4⎥. ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ pasangan Selanjutnya, akan ditunjukan kebenaran yang juga memenuhi untuk solusi ke- + 1.
14
Dengan menggunakan teorema 3.2 (bagian ke-3), diperoleh =
( 2 + 1) + ( 2 + 2 ) 2 + (2 + 1) = +
= +
2
1 + (2 + 1) +
2
1
= +
1 +
2+
+ + (2 + 1) = +
1 2+
+
1
= + 2+
1 +
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ; 2,2 , 2,2 , 2,2 , 2,2 , ⋯ , 2,2 , 4⎥ ⎢ pasangan ⎥ ⎣ ⎦ pasangan ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ; 2,2 , 2,2 , 2,2 , ⋯ , 2,2 , 4⎥. ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ pasangan ∎ Dengan demikian, berdasarkan teorema 3.2, diperoleh tabel solusi persamaan −(
Diophantine
+ )
= −32 + 4 dengan (
+ ) adalah bilangan bulat positif
nonkuadrat (lihat Tabel 1). Teorema 3.3: −(
Jika ( , ) merupakan solusi persamaan (1.1) merupakan solusi persamaan (1.2) (
+ )
,
−(
+ )
= 1 dan ( , )
= −32 + 4 maka (
) adalah solusi lain dari persamaan
+
+ )
−(
+ )
+
= −32 + 4.
Bukti: Misalkan ( , ) adalah solusi dari (1.1) dan ( , ) adalah solusi dari (1.2), sehingga −(
+ ) + )
= 1 dan
−(
)(
+ )
(
−(
[(
) + ((
+ )
[(
) + 2(
+ )
−(
) ]−(
+ )
= −32 + 4. Maka
) = (1)(−32 + 4)
+ )[(
) +(
) ] = −32 + 4
+ )
) ]−(
+ )[(
+ ((
) +2
+(
) ]
= −32 + 4 [
+(
+ )
] −(
Dengan demikian (
+ )[ +(
+ )
+
] = −32 + 4 ), (
+
) merupakan solusi lain dari (1.2).
15
∎ −(
Selanjutnya, solusi dari persamaan Diophantine (
+ )
= −32 + 4 dengan
+ ) adalah bilangan bulat positif nonkuadrat, akan dipakai untuk menentukan solusi
persamaan
Diophantine
−(
berbentuk
+ )
− (16 + 4) + (16
+ 16 ) = 0
dengan ≥ 1. =
Berdasarkan transformasi 8 + 2 dan
= 8 , maka
=
+ ℎ dan
=
+ 8 + 2 dan
=
+
dimana diketahui bahwa ℎ =
+ 8 . Sehingga, dapat dikembalikan
semua hasil bentuk persamaan ( + ℎ) − ( −(
atau
+ )
+ )( + ) − (16 + 4)( + ℎ ) + (16 = −32 + 4 ke persamaan −(
melalui invers dari = 8 + 2 dan
+ 16 )( + ) = 0
+ )
− (16 + 4) + (16
+ 16 ) = 0 −(
. Diketahui solusi persamaan
+ )
= −32 + 4 adalah −(
= 8 maka diperoleh solusi persamaan Diophantine
(16 + 4) + (16
+ 16 ) = 0 adalah
=
+ ℎ = 16 + 4 dan
=
+
+ )
−
= 16.
Teorema 3.4: Misalkan
adalah persamaan Diophantine berbentuk −(
+ )
− (16 + 4) + (16
+ 16 ) = 0
untuk ≥ 1, maka berlaku: 1) Solusi fundamental adalah ( , 2) Barisan {(
,
solusi {(
,
) = (16 + 4,16).
)} dipenuhi
oleh {(
+ 8 + 2,
+ 8)} dimana
)} didefinisikan dalam teorema 3.2 persamaan (3.2), sehingga dapat
dinyatakan sebagai = untuk 3) Solusi (
2 +1 2
+2
+
2 +1
8 +2 8
≥ 1. ,
) memenuhi hubungan rekurensi = ( 2 + 1) =2
untuk
2
+ (2
+ (2 + 1)
+2 )
− 32
− 20
− 32 − 4
≥ 2.
Bukti: 1) Akan dibuktikan bahwa ( , (
+ )
− (16 + 4) + (16
) = (16 + 4,16) adalah solusi dari persamaan + 16 ) = 0.
−
16
Substitusi ( , −(
) ke ruas kiri persamaan ini, diperoleh
+ )
− (16 + 4)
+ (16
+ 16 )
= (16 + 4) − (
+ )16 − (16 + 4)(16 + 4) + (16
= (16 + 4) − (
+ )16 − (16 + 4) + (
+ 16 )16
+ )16
=0 2) Akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa 2 +1
= untuk
≥ 1.
Untuk
= 1 maka =
adalah benar, dimana ( ,
2
+2
8 +2
=
8
8 +2
+
2 +1
8 +2
+
2
8 +2
+
8
8
16 + 4
=
8
16
) = (16 + 4,16) merupakan solusi fundamental. = , maka
Asumsikan benar untuk
=
2 +1
2
2
+2
+
2 +1
8 +2 8
sehingga −(
+ )
− (16 + 4)
+ (16 =
Selanjutnya, akan dibuktikan kebenaran untuk 2 +1
=
=
=
2 +1 2 2
2 +1 2 2
2
2 +1 +2
=
2
2
+
+
+2
+2
+ (2
8
+2
+
2 +1 2
8 +2
2 +1
−
2 +1 2
+ )
2
2
( 2 + 1)
(
2
2 +1 2 +1
+2
2 +1
+2 )
+ (2 + 1 )
= 0.
+ 1,
2 +1
+2
2 +1
Akan dibuktikan
2
+ 16 )
32
8 +2 8
8 +2 8 −
32
+ 20
32 + 4
+ 20
32 + 4
− 32
− 20
− 32 − 4
.
di atas adalah solusi dari persamaan Diophantine
− (16 + 4) + (16
+ 16 ) = 0 sebagai berikut
−
17
−(
+ )
= [(2 + 1)
+ (2
− (16 + 4) +2 )
−(
+ (2 + 1)
− (16 + 4)[(2 + 1) + (16 −(
=
+ 16 )[2
+ )
+ 16 )
− 20 ]
− 32
+ )[2
+ (16
− 32 − 4]
+ (2
+2 )
+ ( 2 + 1)
− (16 + 4)
− 32
− 20 ]
− 32 − 4]
+ (16
+ 16 )
=0
3) Akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika. Untuk
= 2, maka pasangan solusi ( , 2 +1
=
2
2
+2
+
2 +1
(2 + 1)
=
) memenuhi persamaan
+ (2
+2 )
+ (2 + 1)
2
8 +2 8
+8 +2 +8
sehingga jelas bahwa = ( 2 + 1) =2
+ (2
+ (2 + 1 )
+2 )
+8 +2
+8
adalah solusi. Pasangan solusi (
,
) memenuhi persamaan =
dengan induksi untuk
2 +1
2
2
+2
+
2 +1
= 1 jelas
16 + 4
=
16
8 +2 8
.
Anggap bahwa =
2 +1
2
2
+2
+
2 +1
8 +2 8
adalah benar. Akan dibuktikan bahwa =
2 +1
2
2
+2
+
2 +1
8 +2 8
adalah solusi. Maka =
=
2 +1 2
2
2 +1
+2
2 +1
2
2
+2
+
2 +1 2 +1 2 2
+2
2 +1
8 +2 8 +
8 +2 8
18
=
2 +1
2
2
+2
2 +1 2
2 +1 =
2 2 +1 2
+2
+
2 +1 2
+2
−
2 +1
( 2 + 1) 2
+ (2
+2 )
+ (2 + 1)
32
8 +2
32
−
8
+ 20
32 + 4
+ 20
32 + 4
− 32
− 20
− 32 − 4
.
sehingga jelas bahwa = ( 2 + 1)
+ (2
+2 )
+ ( 2 + 1)
=2
− 32
− 20
− 32 − 4
adalah solusi. ∎ Dengan demikian, berdasarkan teorema 3.4 diperoleh tabel solusi persamaan Diophantine
−(
+ )
− (16 + 4) + (16
+ 16 ) = 0 untuk
≥ 1 (lihat Tabel
2)
KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa Solusi persamaan Pell
−
(
+ )
= 1 dapat dipakai untuk menentukan setiap solusi lain persamaan Pell
−
(
+ )
= −32 + 4 untuk
∈ ℕ. Dan setiap solusi persamaan Pell
−(
+ )
−32 + 4 dapat dipakai untuk menentukan setiap solusi persamaan Diophantine (
+ )
− (16 + 4) + (16
+ 16 ) = 0 untuk
= −
≥ 1. Persamaan Diophantine dapat
digeneralisasi sehingga peneliti selanjutnya dapat mengkaji metode lain dalam pencariam setiap solusi persamaan Diophantine.
19
DAFTAR PUSTAKA
Baltus, C. 2007. Notes On Euler’s Continued Fractions. SUNY College At Oswego, New York. 1-13. Chandoul, A. 2011. On Quadratic Diophantine Equation (16
−(
− )
− (16 − 4) +
− 16 ) = 0. International Mathematical Forum. 6: no.36 1777-1782.
Edwards H. 1977. Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory (Graduate Texts in Mathematics), Springer, New York, 25-33. Jacobson,M and Williams, H. 2009. Solving Pell Equation. Springer. New York. 31-39. Ozkoc, A. and Tekcan, A. 2010. Quadratic Diophantine Equation ( 4 − 2) + ( 4
−(
− )
−
− 4 ) = 0. Bulletin of the Malaysia Mathematical Science Society.
33:2 273-280. Seung, H Y. 2008. Continued Fractions And Pell’s Equation. REU paper. 1-12. Tekcan, A. and Ozkoc, A. 2010. The Diophantine Equation (4
−(
+ )
− (4 + 2) +
+ 4 ) = 0. Rev Mat Complut. Springer. 23: 251-260.
Tekcan, A., Gezer. and Bizim. 2007. On The Integer Solutions of the Pell Equation
−
= 2 , International Journal of Computational and Mathematical Science. 1:3 204-208.
20
Tabel 1. Tabel solusi persamaan Diophantine
=1
−(
+ )
=−
Solusi persamaan Diophantine − ( + ) = −32 + 4 adalah ( , ) ( , ) = (10,8) ( (
) = (362,256)
,
(
) = (2110,1492)
,
(
) = (62,44)
,
) = (12298,8696)
,
dan seterusnya =2
( ,
) = (18,8)
,
) = (186,76)
( ( ( (
) = (1842,752)
,
) = (18234,7444)
,
) = (180498,73688)
,
dan seterusnya =3
( ,
) = (26,8)
,
) = (374,108)
( ( ( ( …
, ,
,
) = (5210,1504) ) = (72566,20948)
) = (1010714,291768) dan seterusnya
+
21
Tabel 2. Tabel solusi persamaan Diophantine −(
+ )
−(
−(
=1
+ ) +(
+
) =
Solusi persamaan Diophantine + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 adalah ( , ) ( , ) = (20,16) ( , ( ,
) = (72,52) ) = (372,264)
( ,
) = (2120,1500)
( ,
) = (12308,8704) dan seterusnya
( ,
) = (36,16)
( ,
) = (204,84)
=2
( ,
) = (1860,760)
( ,
) = (18252,7452)
( ,
) = (180516,73696) dan seterusnya ( ,
=3
( , ( , ( , ( , …
) = (52,16) ) = (400,116) ) = (5236,1512)
) = (72592,20956) ) = (1010740,291776) dan seterusnya
