PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA
PONCO BUDI SUSILO
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul “Perbandingan Beberapa Model Binomial untuk Penentuan Harga Opsi Eropa” adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan oleh penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, 27 Agustus 2008 Ponco Budi Susilo NIM G55106011
ABSTRACT PONCO BUDI SUSILO. Comparison of the Convergence of Some Binomial Models for European Option Valuation. Under direction of I GUSTI PUTU PURNABA and DONNY CITRA LESMANA. Binomial models, which describe the asset price dynamics of the continuous time model in the limit, serve for approximate valuation of option, especially where formula cannot be derived analytically due to properties of the considered option type. To evaluate results, one inevitably must understand the convergence properties. The objectives of this thesis are: to explore convergence behaviour and speed of binomial models for determining European call option valuation, and to compare several binomial models with respect to speed and accuracy. The binomial models under consideration are CRR, JR, Tian, PP1, and PP2. The results show that the computed option price of CRR, JR, and Tian models oscillate and wavily converge to the Black-Scholes solution with order of convergence one, whereas option price of PP1 and PP2 models also oscillate but non wavily converge with order two. Keywords: binomial models, option valuation, order of convergence, convergence behaviour.
RINGKASAN PONCO BUDI SUSILO. Perbandingan Kekonvergenan Beberapa Model Binomial untuk Penentuan Harga Opsi Eropa. Dibimbing oleh I GUSTU PUTU PURNABA dan DONNY CITRA LESMANA. Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu. Terdapat dua jenis opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Berdasarkan waktu eksekusi maka terdapat dua tipe opsi, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Untuk menentukan besarnya premi opsi maka dirumuskan dua cara yaitu dengan solusi analitik dan solusi numerik. Solusi analitik telah ditemukan oleh Black-Scholes pada tahun 1973. Metode numerik yang sering digunakan adalah metode beda hingga dan metode binomial dan trinomial. Beberapa model binomial hanya mendasarkan pada perbedaan faktor naik dan turun dari perkembangan harga saham. Metode binomial terutama digunakan untuk penentuan nilai opsi yang tidak dapat diturunkan secara analitik. Di antara modelmodel binomial tersebut adalah model CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2. Model ini konvergen ke solusi Black-Scholes. Untuk melihat kevalidan masing-masing model perlu diketahui sifat-sifat kekonvergenannya, maka perlu melihat pendekatan numeriknya. Tujuan penelitian ini adalah mengeksplorasi perilaku dan kecepatan kekonvergenan dari model-model binomial dan membandingkan akurasi beberapa model binomial untuk menentukan harga opsi Eropa. Metode penelitian yang digunakan adalah kajian literatur dan eksplorasi penghitungan numerik dengan langkah-langkah sebagai berikut: pertama merumuskan metode penentuan solusi analitik dengan formula Black-Scholes, dan menentukan penurunan rumus pada metode binomial. Langkah yang kedua adalah menguji sifat-sifat kekonvergenan model binomial, yang meliputi perilaku dan kecepatan kekonvergenan dengan definisidefinisi dan teorema yang ada. Selanjutnya menentukan perbaikan kekonvergenan model binomial dengan mempertimbangkan sifat-sifatnya. Penghitungan numerik dilakukan untuk menampilkan gambar-gambar perkembangan harga opsi serta nilai error sesuai dengan perbaikan n pada banyaknya periode binomial. Penghitungan besarnya harga opsi dengan n yang berbeda dilakukan untuk melihat error-relatif masing-masing model. Langkah akhir, dengan menggunakan RMS ( relative rootmean-squared error ), akurasi dari tiap model binomial akan dibandingkan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa model CRR, JR, dan Tian konvergen ke solusi Black-Scholes dengan pola osilasi dan bergelombang, dengan derajat kekonvergenan satu. Sedangkan model PP1 dan PP2, pola kekonvergenannya adalah osilasi dan tidak bergelombang dengan derajat kekonvergenan dua. Dengan menggunakan RMS terlihat bahwa akurasi terbaik diperoleh model PP2 dan PP1. Sedangkan model CRR, JR, dan Tian tidak terdapat urutan yang konsisten.
Kata kunci: Model binomial, penentuan harga opsi, perilaku dan kecepatan kekonvergenan, akurasi model..
© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a
b
Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.
Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA
PONCO BUDI SUSILO
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Ir. Retno Budiarti, M.S.
Judul Tesis Nama NIM
: Perbandingan Kekonvergenan Beberapa Model Binomial untuk Penentuan Harga Opsi Eropa : Ponco Budi Susilo : G551060111
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA Ketua
Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
Tanggal Ujian: 27 Agustus 2008.
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januri 2008 ini ialah masalah Penentuan harga opsi dengan metode binomial, dengan judul Perbandingan Kekonvergenan Beberapa Model Binomial untuk Penentuan Harga Opsi Eropa Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. selaku pembimbing, atas segala saran dan bimbingannya. Terima kasih juga disampaikan kepada Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S. yang telah banyak memberikan saran selaku penguji luar komisi. Ucapan terima kasih penulis disampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Tidak lupa juga, ucapan terimakasih kepada teman-teman seperjuangan dari BUD Depag atas kerjasama dan bantuannya sehingga bisa terselesainya tesis ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2008 Ponco Budi Susilo
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Sleman pada tanggal 13 April 1970 dari ayah Puja Hartono dan ibu Juwariyah. Penulis merupakan putra kelima dari lima bersaudara. Tahun 1988 penulis lulus dari SMA Negeri Kalasan dan pada tahun yang sama lulus seleksi IKIP Yogyakarta. Penulis memilih Jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program D2 dan selesai pada tahun 1990 serta lulus D3 pada jurusan yang sama di IKIP Yogyakarta. Penulis melanjutkan kembali pada jenjang S1 dan lulus pada tahun 1998 di IKIP Yogyakarta. Tahun 1999 penulis diterima sebagai PNS dan menjadi staf pengajar di MTs Negeri Nglipar Gunungkidul Yogyakarta. Pada tahun 2006 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.
DAFTAR ISI I
Halaman PENDAHULUAN ............................................................................................ 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Latar Belakang .......................................................................................... Rumusan Masalah ..................................................................................... Tujuan Penelitian ...................................................................................... Ruang Lingkup Penelitian......................................................................... Sistematika Pembahasan ...........................................................................
1 3 3 3 3
LANDASAN TEORI ....................................................................................... 2.1 Pengertian Opsi ......................................................................................... 2.2 Aset yang Mendasari Opsi ........................................................................ 2.3 Nilai Opsi .................................................................................................. 2.4 Tipe Opsi ................................................................................................... 2.5 Keuntungan Opsi ...................................................................................... 2.6 Faktor-fator yang Mempengaruhi Opsi ................................................... 2.7 Persamaan Black-Scholes ......................................................................... 2.8 Formulasi Harga Black-Scholes ............................................................. 2.9 Pengertian Model Binomial ...................................................................... 2.10 Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio) ......................................................... 2.11 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret .......................................... 2.12 Model Binomial dengan Suku Bunga Kontinu ...................................... 2.13 Kekonvergenan .........................................................................................
5 5 5 5 6 7 8 9 12 17 17 17 19 21
III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL .................................... 3.1 Model Kontinu dan Model Diskret Perkembanagn Harga Saham ........... 3.2 Uji Kekonvergenan Model Binomial ........................................................ 3.3 Model Binomial dengan Perbaikan Sifat-Sifat Kekonvergenan ............... 3.4 Perbandingan Kekonvergenan Lima Model Binomial ............................
22 22 25 32 35
IV PENGHITUNGAN NUMERIK ...................................................................... 4.1 Prosedur Penghitungan Numerik .............................................................. 4.2 Penghitungan Numerik ............................................................................. 4.3 Pembahasan...............................................................................................
37 37 38 40
II
V
KESIMPULAN DAN SARAN ........................................................................ 42 5.1 Kesimpulan ............................................................................................... 42 5.2 Saran ......................................................................................................... 42
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 43 LAMPIRAN ............................................................................................................. 44
x
DAFTAR TABEL Halaman 3.1 4.1 4.2 4.3
4.4 4.5
4.6
Definisi alternatif dari parameter tree pada pendekatan lattice oleh model CRR, model JR dan model Tian ........................................................... Harga opsi call yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 25 ....................................... Harga opsi call yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 35 ........................................ Harga opsi call yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 55 ........................................ Harga opsi put yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 25 ........................................ Harga opsi put yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 35 ........................................ Harga opsi put yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 55 ........................................
24 38 38 38 39 39 39
xi
DAFTAR GAMBAR 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
Halaman Grafik pola kekonvergenan model CRR ......................................................... 26 Grafik pola kekonvergenan model JR............................................................. 26 Grafik pola kekonvergenan model Tian ......................................................... 26 Grafik error dan batas error untuk model CRR ............................................... 27 Grafik error dan batas error untuk model JR ................................................... 28 Grafik error dan batas error untuk model Tian ................................................ 28 Grafik ilustrasi proposisi 1 untuk pilihan parameter berikut: S 100, K 90, T 1, r 0.05, 0.3, n 10,...,1000 .............................. 31
3.8
Grafik ilustrasi proposisi 2 untuk pilihan parameter berikut: S 100, K 110, T 1, r 0.05, 0.3, n 10,...,1000 ........................... 31
3.9
Grafik ilustrasi proposisi 3 untuk pilihan parameter berikut: S 100, K 100, T 1, r 0.05, 0.3, n 10,...,1000 .......................... 32
3.10 Grafik ilustrasi hasil perbaikan konstruksi binomial menggunakan pendekatan PP1 dan PP2 .................................................................................. 34 3.11 Perbandingan perilaku kekonvergenan lima model ........................................ 35 3.12 Perbandingan error dan derajat kekonvergenan lima model ............................ 36
xii
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Penurunan persamaan (2.8) .................................................................................. 44 2 Penurunan persamaan (2.15) ................................................................................ 45 3 Program gambar dan penghitungan numerik dengan Software Matlab 65........... 47
xiii
