Pénzügyi modellek stabilitásvizsgálata

Pénzügyi modellek stabilitásvizsgálata Szakdolgozat

Írta: Árendás Ákos Tuzson Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány

Témavezet®: Pröhle Tamás egyetemi tanársegéd Valószín¶ségelméleti és Statisztika Tanszék

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010

Köszönetnyilvánítás Ez úton szeretnék köszönetet mondani témavezet®mnek Pröhle Tamásnak, akinek a legvégs® tisztázásig terjed® rendszeres útmutatásai, tanácsai, értelmezést segít® példái segítették szakdolgozatom elkészülését.

Szeretnék

köszönetet mondani mindazoknak is akik segítettek kiküszöbölni a fogalmazásbeli összeférhetetlenségeket és a helyesírás ingoványos vizein is segítettek átevickélni.

Budapest, 2010. június 14.

Árendás Ákos Tuzson

Tartalomjegyzék

1. Bevezet®

3

2. Közgazdasági környezet

6

2.1.

Értékpapírok

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.

T®zsde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3.

Feltételes követelések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4.

Befektetések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3. Opciók

14

3.1.

Alaptulajdonságok

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.

Egyperiódusos opcióárazási modellek

. . . . . . . . . . . . . .

4. Binomiális modell

14 20

24

4.1.

Egyperiódusos binomiális modell

. . . . . . . . . . . . . . . .

24

4.2.

Több periódusos binomiális modellek . . . . . . . . . . . . . .

31

4.3.

Binomiális modell martingálokkal

40

. . . . . . . . . . . . . . . .

5. Konvergencia és stabilitás

51

5.1.

Binomiális modellek közelítése . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.2.

A CRR-t®l a Black-Scholes-ig

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.3.

Trinomiális modellek

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Irodalomjegyzék

60

1. fejezet

Bevezet®

Legyen

F1

egy búzatermel® farmer, aki már télen szeretné eladni a kilenc hó-

nap múlva megterm® búzáját (révén nem szereti a kockázatot), ezért elmegy a t®zsdére. Tegyük fel, hogy talál ott egy vev®t magának, egy molnárt (M1 ), aki úgy kalkulál, hogy nyárra éppen kiürül a raktára. Jó esetben megegyeznek,

T

id® bekövetkeztével a farmer szállít, a molnár zet, és az üzlet be

is fejez®dik. Azonban a való életben helyzet nem feltétlenül ennyire földhöz ragadt. A legtöbb esetben arról van szó, hogy a farmer nem is farmer és a molnár sem molnár, hanem t®zsdei spekulánsok, akik csak az említett pl.

gabona

árfolyamváltozásából ered® nyereségre játszanak. Az eladó az árak csökkenésében, a vev® pedig fordítva, az árak emelkedésében bízik. A farmer abban bízik, hogy lemennek az árak, mert akkor egy másik farmert®l (F2 ) olcsóbban tud ugyanannyi búzát venni a szállítási határid® a

T

T

teljesítési id®pontra, mint amennyi búzáról

ben szerepel. Tehát

F1 -nek

id®pontja el®tt, ugyanarra

M1 -gyel

kötött szerz®désé-

jelen pillanatban két szerz®dése van, egy eladási

és egy vételi, amelyek minden feltételükben megegyeznek csak az árukban nem. Ekkor az

F2 -vel kötött vételi szerz®dését (amely a búzaszállításra szóló 3

1. fejezet Bevezet®

követelés) átadja gondolta,

T

M1 -nek,

így kiszáll az üzletb®l (zárja a pozícióját). Ha jól

el®tt, hogy az árak csökkenni fognak, akkor nyereséggel száll ki

az üzletb®l. Azonban

M1

sem tétlenkedik, gondolván, hogy az árak majd emelkedni

fognak ® is köt egy szerz®dést, méghozzá egy eladási szerz®dést ugyanúgy szállítási határid®vel, ugyanannyi búzára, mint amennyir®l az szerz®dés szól, csak éppen magasabb áron, egy

M2

F1 -gyel

molnárral.

T

kötött

Ekkor ® is

olyan helyzetben van, hogy két szerz®dés van a kezében, egy eladási és egy vételi.

Így

M1

molnár is bezárta a pozícióját ebben az ügyletben, ha jól

kalkulált az áremelkedéssel, akkor nyereséggel. Ez a folyamat folytatódhat az új szerepl®kkel, akár a végtelenségig. Ez a kis történet egy tipikus példája a

t®zsdei spekulációs ügyleteknek.

A

határid®s t®zsdei ügyletek (akár valódi - amikor tényleg búzát adunk el, akár spekulációs) legfontosabb változatai az

opciók.

Az opciós ügyletek minden

t®zsdefajtánál megtalálhatók, és ezek esetében az egyik fél (az, hogy melyik, az függ az opció fajtájától) a határid®s ügylet lejártakor teljesíti-e az ügyletet, vagy eláll attól.

eszköz

hogy

Így a veszteség maximumát az op-

ció költsége korlátozza. Az opciós megállapodást köt®k egy vagy értékt®zsdei) termék/

eldöntheti, S

(lehet az áru-

(például egy részvény) kés®bbi árfolya-

mát tippelik meg, az elképzeléseiknek megfelel®en jogot vásárolnak, hogy egy meghatározott jöv®beli

S -t

(egy el®re rögzített

K

T

id®pontban eladhassák

S -t , vagy megvehessék

kötési áron).

A feltételes követelések (mint például az opciók, pontosabb deníció kés®bb) vizsgálatához szükséges apparátust a valószín¶ségszámítás biztosítja: az

(St ) kockázatos eszköz (pl.

részvény) árának alakulására vonatkozó tökéle-

tes informáltság hiányában bármely jöv®beli

(Ω, F, P )

T

id®pontban értékét valamely

valószín¶ségi mez®n értelmezett valószín¶ségi változóval lehet mo-

4

1. fejezet Bevezet®

dellezni (itt minden

St az eszköz értékét jelzi a t ∈ [0, T ] id®pontban).

(ST )

(vagy általánosabban

(St ))

Hasonlóképpen

függvényeként kifejezhet®

teles követelés nem-negatív valószín¶ségi változó

H

felté-

(Ω, F, P )-n.

Dolgozatomban bemutatom az európai típusú opciók méltányos árazására megalkotott

binomiális modellek

modell konvergenciáját.

CRR modellt, majd vizsgálom ezen

közül a

Ki fog derülni, hogy ez a folyamat konvergens és

határértéke a kés®bb bemutatásra kerül®

Black-Scholes formula.

Az opciókra vonatkozó árat több féle megközelítésben tárgyaljuk. Az els® megközelítésben a

fedezeti portfóliókon

alapuló közgazdasági környezetben

vezetjük le az opciók árára vonatkozó méltányos árat. Ekkor az említett sztochasztikus jelleg¶ folyamatot beleültetjük a közgazdasági fogalmak közé. A másik levezetésben a

martingálok játszanak nagy szerepet.

Ez a megközelítés

több szempont miatt is el®nyös. Az egyik, hogy a martingálok tulajdonsága miatt lineáris funkcionálokkal tudunk számolni, amik a múltra nézve mérhet®k. Természetesen régi információk alapján nem tudjuk a jöv®beli értéket. Azonban fontos, hogy a martingáloknak meg van az a tulajdonságuk, hogy a feltételes várható értéke az egymás utáni tagoknak konstans. Azzal, hogy a martingálok fogalomrendszerébe bele tudjuk ékelni a szóban forgó gazdasági problémát, azt is nyerjük, hogy az egyes állítások és tételek bizonyítása könyebbé válik. A martingálmértékkel megadott árazása az opcióknak alkalmas lesz arra, hogy vizsgáljuk a binomiális modell konvergenciáját. Az els® fejezet megírásához f®leg a [2], [3] és [4] forrásokból merítettem. A dolgozat második és harmadik fejezete f®leg az [1], [3] és [4] alapján készült. A jelölésrendszer a negyedik fejezetet kivéve az [1] könyvbeli jelölésekre épül. A negyedik fejezetben felhasználtam még [5] cikket. Az ábrákat f®leg a [4], [7], [1] alapján készítettem, kivéve a 4.2 ábrát.

5

2. fejezet

Közgazdasági környezet

Ebben a fejezetben alapvet® közgazdaságtani fogalmakat részletezünk, amelyek a szakdolgozat f® témájához, az opciók világához vezetnek el bennünket.

Azon keretekre összpontosítunk, amelyek között pillanatnyilag is

kereskednek az opciókkal, illetve segítik a szemléletalkotást, b®vebb kifejtés található [2], [3] és [4] könyvekben. Az

értékpapírok

alapvet® fontosságúak a közgazdasági fogalomalkotás-

ban, hiszen az ezekkel való kereskedelem az, ami a legtöbb számolásra okot ad (árazás, várható hozam stb.).

Az értékpapírokkal általában a

t®zsdén

kereskednek, azonban itt csak a legfontosabb tulajdonságait említjük ezen kereskedési helyszínnek.

Szót ejtünk még a

feltételes követelésekr®l,

hiszen

mint ahogy látni fogjuk az opciók is ilyen jelleg¶ értékpapírok. Mivel nagy részben a befektet®k igényei indukálják a különböz® értékpapírok, piacok létrejöttét, ezért fontos nagy vonalakban áttekinteni az alapvet® befektetési környezetet a

befektetések folyamatát.

6

2.1 Értékpapírok

2.1.

2. fejezet Közgazdasági környezet

Értékpapírok

Az értékpapírok az elmúlt évszázadban rengeteg változáson mentek keresztül és folyamatosan növeked® mértékben kereskedtek velük. Számtalan új formája jött létre, hatalmas vagyonok létrejöttét segítették el®. Az értékpapírok a

pénzb®l fejl®dtek ki,

és annak helyettesítésére szolgál-

nak, keletkezésük hátterében a hitelügylet áll, e révén vagyonhoz kapcsolódó jogokat testesítenek meg. Az értékpapírokat az áruforgalom, a kereskedelem szükségletei hívták életre, kés®bb a vagyongyarapodás eszközeiként jelennek meg, els®ként a vállalkozók és az állam hozták létre. A következ®kben az értékpapírok nagyon rövid történelmét tekintjük át, a teljesség igénye nélkül. Az

els®, mai értelemben vett értékpapírok

valószín¶síthet®en a fejlett ke-

reskedelemmel rendelkez® (észak-)itálilai városokban fejl®dtek ki már a XIIXIII. században. Ennek emlékét ®rzi a lombardhitel kifejezés, amely kézizáloggal (valós, dologi átadást jelent, ez rendszerint a keresked® áruja volt) és értékpapírral fedezett hitelt jelentett.

Ez volt a kés®bb igen elterjedtté

vált áruváltó (kereskedelmi váltó) ®se. Hátterében az állt, hogy az árucsere technikai problémái ne akadályozzák az áruforgalom b®vülését (pl. városok közötti valutakülönbségek, sokféle forgalomban lév® pénz, tilalmak, hiányos jogrend stb.).

Ilyen technikai problémát jelentettek még a rablók is, akik

ellen a keresked®k úgy próbáltak meg védekezni, hogy a városokban a pénzváltóknak (nemesfém-)pénzt adtak, ® err®l az összegr®l elismervényt kapott, ami egy másik városban jogot biztosított neki egy másik pénzváltónál a papír beváltására (ilyen szempontból a pénzváltók a mai bankok el®deinek tekinthet®k). A kés®bbiek során, a XVII-XVIII. században, ahogyan fejl®dtek a vállalkozások, a t®kéhez jutás lehet®ségei tovább b®vültek.

7

Ez id®kben jelentek

2.1 Értékpapírok


meg valószín¶síthet®en a

jelzálogok, melyek a hitelez®knek biztosítékul szol-

gáltak arra az esetre, ha az adós nem zetett a megállapodás szerint. Erre az id®szakra tehet®k az els®

részvények megjelenései is.

A már bankárként funk-

cionáló pénzváltók, illetve más vagyonos emberek a felmerül® problémákra egy új megoldást találtak ki, a jól men® vállalkozásoknak úgy adtak pénzt, hogy a vállalkozásokból részesedést kértek. Mai jelentése is hasonló, minden részvény felhatalmazza birtokosát arra, hogy a vállalatirányítás kérdéseiben szavazhasson, illetve, hogy osztozon a tulajdonjogból fakadó pénzügyi el®nyökön (osztalék). Végezetül az értékpapír születése vonatkozásában a XVII-XIX. század háborúskodó uralkodói hatalmas szerephez jutottak, ugyanis a háborúhoz Montecuccoli közismert megfogalmazása szerint három dolog szükséges: pénz, pénz, pénz.

A gond azonban abban áll, hogy az adók által besze-

dett állami vagyon véges. Megoldásképp az állam értékpapírt, ún.

kötvényt

bocstátott ki. Ezeket a bankokban, illetve a t®zsdén lehetett megvásárolni. A következ® történet méginkább segíti a helyes szemlélet kialakítását az értékpapírokkal kapcsolatban és mutatja azok valós erejét.

A legen-

dás Rothschild-vagyont a Napoleon felett gy®zelmet arató brit birodalom nagy vállalkozása, a waterlooi csata alapozta meg. Nathan Rothschild nagyon jó információs kapcsolatai miatt nyolc órával hamarabb tudta meg a gy®zelem hírét, mint az angol t®zsde és az állami értékpapírt nem venni, hanem mintha az angolok vereséget szenvedtek volna eladni kezdte. Mivel megbecsült bankár hírében állt, ezért mindenki elkezdte szintén eladni értékpapírjait, és a bankár megbízottai nagyon alacsony áron fel tudták vásárolni azokat, így mire a valós hír, miszerint az angolok gy®zedelmeskedtek, megérkezett a t®zsdére, addigra az államkötvények többsége már a bankár tulajdonában voltak, ami a hirtelen bekövetkezett árfolyam-emelkedés miatt

8

2.2 T®zsde


hatalmas nyereséget biztosított neki. Az évszázadok során nagyon sok fajta értékpapír alakult ki igazodva a piac igényeihez, azonban lényegi tartalmuk nem változott, az értékpapír kifejezetten vagyonnal kapcsolatos jogot testesít meg, fogalmilag pedig forgalomképes okiratként, vagy számlán megjelen® összegként jelenhet meg. Kibocsátói az államkincstár a bankrendszeren keresztül, illetve a vállalkozói szféra a t®zsdén keresztül. Az értékpapírok és a pénzintézetek a befektet®i igényekre való reagálásként jöttek létre, ugyanekkor a piacok is fejl®dnek, hogy kielégítsék az igényeket. Manapság négyféle piacot küldönböztetünk meg. A

közvetít® nélküli

piac lényegében, amikor feladunk egy hirdetést a saját eszközünk (pl. tógép) eladására.

Ügynöki piacok

számí-

például az els®dleges piacok, ahol az új ér-

tékpapírkibocsátások kerülnek a nyilvánosság elé. A

keresked®i piacon, amit

másodlagos piacnak is nevezünk, a már kibocsájtott értékpapírokkal folyik a kereskedés. Legjobb példája a t®zsdén kívüli (OTC) piac. A legösszetettebb piac az

aukciós piac.

Ezek tulajdonképpen azok a piacok, amikben a keres-

kedés a t®zsdén zajlik. A közvetít® nélküli piacok kivételével mindegyiken árusítanak értékpapírokat.

2.2.

T®zsde

A t®zsde kifejezés kereskedési helyszínt jelent, ahol bármivel lehet üzletelni, ezek alapján megkülönböztetünk például áru-, értékpapír-, valuta-, nemesfém- stb. t®zsdéket. A t®zsde egy koncentrált piac, nagy mennyiség¶ kereslet és kínálat egymásra találásának színhelye. F®leg az értékpapírt®zsdei folyamatokkal fogunk foglalkozni. A t®zsdei ügyletek és m¶veletek célja kett®s, hosszabb lejáratú t®kebefek-

9

2.2 T®zsde


tetés illetve spekulációs nyereség elérése. E célok elérése érdekében a t®zsdén sokféle ügylettípus alakult ki, s®t a gazdaság igényei manapság is alakítanak ki új formájú ügyleteket. Ezeket az ügyleteket különböz®képpen csoportosíthatjuk, például az esedékesség szerint történik: vannak

azonnali és határid®s ügyletek.

Az azonnali

ügylet esetében a zetés és a szállítás a szerz®déskötéskor azonnal esedékessé válik. A határid®s ügyletkor a teljesítés egy kés®bbi x id®pontban történik, viszont ellenértékét a vev®nek a mostani, a szerz®déskötés napján jegyzett árfolyamon kell kiegyenlítenie.

A határid®s ügylet azonban lehet spekulá-

ciós ügylet is azon felül, hogy jelenthet valódi ügyletet is, mint az azonnali ügylet (pl. megállapodás alapján fél év múlva valóban elhozom a korábban megvásárolt tíz tonna gabonát). Érdemes szót ejteni a indexr®l.

t®zsdei indexr®l

vagy pontosabban a részvénypiaci

Ez a szám összevontan fejezi ki az adott piacon, t®zsdén végbe-

men® folyamatokat, a piac teljesítményét méri. Az els® ilyen index a Dow Jones Industrial Average (DJIA), amit 1896 óta számítanak és a New York-i értékpapírt®zsde, a New York Stock Exchange indexe. Eredetileg úgy számolták, hogy vették a 20 leger®sebb, legbiztosabb befektetést jelent® vállalat részvényeinek az árfolyamát és ebb®l átlagot számoltak. Manapság ez a szám 30-ra emelkedett és az átlagolási technikát is módosították valamelyest. Híresek még a Nikkei Average of Tokyo és a Financial Times Index of London indexek is. Magyarországon a legrégibb a BUX (1995 január 1-t®l) index, de számos más index is jelen van a Budapesti Értékt®zsdén. A részvények árának meghatározását nem tárgyaljuk, de sok folyamat egymásra hatásaként alakulnak ki.

10

2.3 Feltételes követelések

2.3. A


Feltételes követelések

feltételes követelés, derivatíva vagy származtatott értékpapír

(vagy ügy-

let) olyan eszköz, amely értékét egy vagy több alaptermék (áruk, kötvények, részvények vagy részvényindexek) értéke határozza meg. Az ilyen követelések helyes árára vonatkozó döntéseket az alaptermék árának viselkedését®l teszik függ®vé, és a származtatott termékek elmélete els®dlegesen ezekkel a kapcsolatokkal foglalkozik, nem pedig az alaptermék árát meghatározó közgazdasági folyamatokkal. Tehát a származtatott ügylet olyan pénzügyi megállapodás két fél között, amelynek jövedelme egy el®re rögzített dolog teljesítményén alapul, vagyis abból származik. A derivatívák tárgya lehet valuták, t®zsdei árucikkek, vállalati és államkötvények, lakásjelzálog-kötvények, részvények és más pénzügyi termékek árfolyama, illetve kamatlába, valamint ezek tetsz®leges kombinációja. Azonban az ilyen jelleg¶ szerz®déseket lehetetlen teljes kör¶en kategorizálni, mivel a pénzügyi innovációk olyan mértékben fejl®dnek, hogy azok nyomonkövetése is lehetetlen. Ezért itt a legismertebb származtatott ügyletek kerülnek felsorolásra.

Határid®s ügyletek:

Futures szerz®dések: t®zsdei határid®s ügylet; For-

ward: t®zsdén kívüli határid®s ügylet (OTC); Hedges

Opció:

Vételi (call), Eladási (put); más kategorizálás szerint: amerikai, eu-

rópai, ázsiai opciók

Opciószer¶ értékpapírok:

Visszahívható kötvények; Átváltható értékpa-

pírok; Opciós utalvány (warrant)

Csereügyletek (swap):

Kamatcsere; Devizacsere

Az imént felsorolt származtatott ügyletek mind értékpapírok.

11

2.4 Befektetések

2.4.


Befektetések

Mit is jelent az értékpapírokba való befektetés? A befektetés folyamatát két részre oszthatjuk: az

értékpapír-elemzésre,

amikor azt vizsgáljuk, hogy

az értékpapír piaci ára megfelel®-e, vagyis a tévesen árazott értékpapírokat keressük; illetve a

portfóliókezelésre

(portfólió:

a befektet® által birtokolt

befektetési eszközök összességét jelenti, szó szerinti jelentése: tárca), amely folyamatban az értékpapírokat a befektet® igényeinek megfelel®en kombináljuk portfólióvá, gyeljük a portfóliót és értékeljük a teljesítményét. A befektet®k több fajta stratégia közül választhatnak. Dönthet úgy, hogy minden pénzét bankbetétben tartja.

Ennek a megoldásnak számos el®nye

van, biztonságos, nem igényel túl sok szakértelmet és er®feszítést a befektet® részér®l. Azonban, ha úgy dönt, hogy vállal némi kockázatot, akkor felmerül a magasabb hozam lehet®sége. Ekkor a befektet® kockázat-hozam stratégiát választ, mely egy portfólió kialakítását jelenti. A portfóliókiválasztás a modern portfólióelmélethez tartozik, amely a hatékony diverzikáció fogalma köré épül, amely azt az alapelvet hordozza magában, hogy minden kockázatelutasító befektet® (aki magasabb hozamot vár el azért, hogy nagyobb kockázatot vállal) jobban jár, ha úgy alakítja portfólióját, hogy a várható hozam további kockázat vállalása nélkül is n®jön. A pénzügyi piacok jellemz®je, hogy az értékpapírok árfolyamai gyakran szoros kapcsolatban vannak egymással.

Ezek alapján beszélhetünk

piaci

egyensúlyról, a legismertebb egyensúlyi árazási összefüggések a következ®k:

Értékpapírpiaci egyenes (várható hozam-béta) Put-call paritás Black-Scholes opcióárazási modell Spot-határid®s paritás Nemzetközi-kamatláb paritás 12

2.4 Befektetések


Az a befektet®, aki felfedezi az összefüggés megsértését nagy protra tehet szert minimális, vagy nulla kockázat mellett. A származtatott ügyletek (pl.

opciók és határid®s ügyletek) piacának

létrejöttével rengeteg új befektetési stratégia vált megvalósíthatóvá.

A be-

fektetéseknél a felfedezés és a gyakorlati alkalmazás között nagyon rövid id® telik el. A Black-Scholes opcióárazási formulát 1973-ban fejlesztették ki és néhány év múlva már alkalmazták a gyakorlatban, a Chicago Board Option Exchange-en, ami a világ els® opciós t®zsdéje volt. A származtatott ügyletek a befektetési környezet (amely a három f® befektetési szektornak lakossági, üzleti és kormányzati az együttese) szerves részévé váltak. Els®dleges felhasználási területük a kockázatlefedés, ugyanakkor a származtatott ügyletekkel er®sen spekulatív pozíciókat is fel lehet venni. Egy fontos fogalomcsoport épül az egy megfogalmazása: kodásmód a t®zsdén.

arbitrázs

fogalma köré. Az arbitrázs

árfolyamkülönbségek kihasználására számító gondolNyerészkedést jelent, az arbitrazs®rök azok, akik

megvesznek egy eszközt egy bizonyos áron, majd azt vagy a megfelel®jét ugyanakkor el is adják egy magasabb áron. tesznek szert.

Ezzel kockázatmentes protra

Nagyon fontos a bemutatásra kerül® elméletekben az a fel-

tevés, miszerint a piacok

arbitrázs-mentesek.

Ez azonban nem azt jelenti,

hogy nincsenek olyanok, akik ne próbálnának meg kockázatmentesen protot realizálni számlájukon az adott piacon, hanem azt, hogy olyan piacokat tekintünk, ahol az arbitrazs®rök sem tudnak ilyen jelleg¶ jövedelemhez jutni. Dolgozatomban ezen gondolatmenetre alapozva mutatok be egy nagyon fontos opcióárazási modellt, a binomiális modellt, melyet általánosan, és egy bizonyos speciális esetben (Cox-Ross-Rubinstein modell) is tágyalok ([1] és [6] alapján).

13

3. fejezet

Opciók

A korábbiakban már többször említettük az opciókat. megvizsgáljuk az opciók

Ebben a fejezetben

alaptulajdonságait és megvizsgáljuk, hogy miben rej-

lik az opcióárazás problémája, illetve, hogy lehet-e és ha igen, akkor hogyan

racionális árat

felállítani egy opciónak.

1973-ban Chicagóban nyílt meg a világ els® opciós t®zsdéje és ugyanebben az évben jelent meg Black és Scholes forradalmi jelent®ség¶ cikke a preferenciáktól független opcióárazásról, melyet Merton továbbfejlesztve használható modellt adott a kereskedelemben részt vev® opciók racionális piaci árazására. A pénzügyi származtatott termékek piaca felé irányuló kutatások megn®ttek és még manapság is számos újító eredményt publikálnak.

3.1. Az

Alaptulajdonságok

opciós ügylet

(röviden:

opció) olyan szerz®dés, amely az egyik fél-

nek vételi/eladási jogot/kötelezettséget biztosít valamely mögöttes termékre (például deviza, értékpapír) vonatkozóan. Az opció vásárlója jogot kap, az eladója (kiírója) kötelezettséget a keletkezett megállapodás értelmében.

14

3.1 Alaptulajdonságok

3. fejezet Opciók

Put és Call opciók A részvényre szóló opció jogot biztosít tulajdonosának (de nem kötelezi) arra, hogy adott számú közkézen forgó részvénnyel, valamely jöv®beli pontban (lejárati dátum) rögzített árfolyamon kereskedjen. A vételi opció részvények vételére, a

put,

T

id®-

call, magyarul

magyarul eladási opció részvények

eladására biztosít jogot egy el®re rögzített

K

kötési árfolyamon.

Az opció

európai, ha csak a lejárat napján lehet lehívni (beváltani - élni az általa nyújtott jogunkkal),

amerikai

típusú, ha a tulajdonos a lejárat napjáig bármikor

élhet kereskedési jogával. Ezeken kívül az opcióknak is rengeteg fajtája terjedt el (például ázsiai, egzotikus opciók). Egy opciós ügyletben két fél vesz részt. Az egyik az opció kiírója, a másik, aki megveszi az opciót. Vizsgáljuk meg a felek szándékait a különböz® opciók esetében. Vegyük el®ször a call opciót. Ha valakinek van egy részvénye és azt el akarja adni, akkor kiírhat rá egy call opciót (tehát a vételi jog nem a kiíróra vonatkozik). A másik fél pedig megveheti ezt az opciót, így jogot vásárol arra, hogy a jöv®beli

T

id®pontban megvehesse az opció kiírójától a

szóban forgó részvényt (más kifejezéssel élve lehívhatja az opciót). A put opció esetében hasonló a helyzet, csak ott az opció kiírójának a szándéka a vétel. Kiír egy eladási opciót egy részvényre (ami tehát nem az ® tulajdona a

0

pillanatban) és várja, hogy ezt valaki megvegye. Ebben a szerz®désben

a másik fél a put oció vételével jogot vásárolt magának arra az esetre, hogy

T -ben

eladhatja az opció kiírójának a részvényét.

15


3. fejezet Opciók

Kizetési függvények Vizsgáljuk meg, hogy mikor éri meg az opció tulajdonosának élni az opció adta jogával.

Ezeket olyan tekintetben vizsgáljuk, hogy mekkora az adott

opció esetében a különböz® pozíciókban lév® felek haszna, illetve vesztesége. Vezessük be a következ® jelöléseket:

S : ez K : az

jelöli a szóban forgó pénzügyi eszközt eszköz ára, lehívási árfolyam - kötési ár

(ennyi pénzért tudjuk megvenni, ezt a

T : az St : a

0

id®pontban rögzítjük)

eszköz szállítási id®pontja, a lejárat napja

részvény árfolyama a

t

id®pontban

A call opció esetében nyilván akkor fog élni jogával a lehívó, ha a részvény ár

T -ben,

magasabb, mint

K,

ellenkez® esetben nem hívja le az opciót. Ez

alapján megrajzolhatjuk az európai call opció vev®jének nyereség függvényét, amit a 3.1a ábra mutat.

Ennek megfelel®en az opció kiírója ugyanekkora

veszteséget könyvelhet el, amit a 3.1b ábrán láthatunk.

(a) Vev® (lehívó) szemszögéb®l

(b) Eladó (kiíró) szemszögéb®l

3.1. ábra. Európai call opció kizetési függvényei Megj. Fekete szín¶ függvény: ha nincs belépési díj; Kék szín¶ függvény: ha van belépési díj:

16

C0


3. fejezet Opciók

A put opciónál ugyanez a gondolatmenet, a vev® akkor él az opció adta lehet®ségével, ha

T -ben

az

St

részvényár alacsonyabb, mint a

K

kötési ár

(mert ekkor el tudja adni az opció kiírójának a részvényét magasabb áron, mint amennyit az ér).

Ekkor a nyereségét a 3.2a ábra mutatja és ennek

megfelel®en ekkor az opció kiírója ugyanekkora veszteséget szenved (3.2b).

(a) Vev® (lehívó) szemszögéb®l

(b) Eladó (kiíró) szemszögéb®l

3.2. ábra. Európai put opció kizetési függvényei Megj. Fekete szín¶ függvény: ha nincs belépési díj; Kék szín¶ függvény: ha van belépési díj:

P0

Az opcióárazás problémája Az opcióárazás problémája abból áll, hogy meghatározzuk mekkora értéket rendeljünk az opcióhoz egy adott pillanatban (pl.

t = 0-ban).

Az

nyilvánvaló, hogy a vev® kockázatmentes protra tehet szert (ha nincs ináció), ha nem zet belépési díjat azért a lehet®ségért, hogy a lejárat napján az opciót kedvez®en lehívhassa, tehát a kiírónak érdemes egy bizonyos árat kérni a

0

id®pillanatban az opció megvételéért.

Ha ez az ár túl magas, és

a részvényárfolyam nagy valószín¶séggel közel marad a kötési árfolyamhoz, akkor egyetlen értelmes piaci résztvev® sem venné meg az opciót ezért az árért. Legyen ez

C0

a call opció-, és

P0

17

a put opció árának esetében. Ekkor


3. fejezet Opciók

a kizetési függvények az 3.1, 3.2 ábrákon látható módon módosulnak (kék szín¶ függvények). A következ®kben az opció árának meghatározásával fogunk foglalkozni. Lényegében az opció árát úgy határozzuk meg, hogy megbecsüljük azt az összeget, amely racionálisan mindkét félnek kedvez®. Ezt az árat nevezzük

méltányos árnak.

A bevezet®ben említett fedezeti portfóliókon való opcióára-

zási megközelítést vizsgáljuk a következ®kben. Tehát a méltányos ár jellemzésének azt a módját nézzük, amikor azon portfólió árát adjuk meg, amely pontosan ugyanazt a jövedelmet adja hívjuk

fedezeti portfóliónak.

t

id®pillanatban, mint az opció és ezt

Általánosságban a vev® és az eladó opciójának

ára nem fog megegyezni, az egyezés csak a teljes piaci modellekre jellemz®. Olyan esetet vizsgálunk a következ®kben, amikor ez teljesül, tehát lehet az opció méltányos árára hivatkozni.

Ez a feltevés a kés®bbiekben pontosan

indokolva lesz.

Put-call paritás A következ® feltevés lehet®vé teszi számunkra, hogy csak a call opciókkal foglalkozzunk, az ezekre született tételekb®l egyértelm¶en következnek a put opcióval kapcsolatos problémák megoldásai.

Ehhez azonban fel kell

tenni egy fontos tényez®t, mely biztosítja a piaci egyensúlyt.

Ez pedig az

arbitrázs mentesség feltételezése, ami lényegében annyit takar, hogy olyan piacot képzelünk el, ahol az arbitrazs®rök nem tesznek szert kockázatmentes protra. Legyen

T

a lehetséges kereskedési id®pontok halmaza.

esetben vagy a

T = [0, T ]

T = {0, 1, 2, . . . , T }

intervalluma. Legyen

Ct

Ez a legtöbb

véges halmaz, vagy a számegyenes egy illetve

18

Pt

az

St

részvényre szóló európai


3. fejezet Opciók

call illetve put opció értéke a kockázatmentes kamatláb

0,

t∈T

id®pontban. Tegyük fel eleinte, hogy a

azaz a pénz értéke mindvégig konstans. Ve-

zessük be a következ® jelölést:

  x + x =  0

ha

x>0

ha

x≤0

Ezzel a jelöléssel az európai call opció kizetése: opcióé pedig:

(St − K)+ ,

a megfelel® put

(K − St )+ .

A deníciókból egyértelm¶en látszik (esetszétválasztással), hogy a

T

lejárati

id®kor:

CT − PT = (ST − K)+ − (K − ST )+ = ST − K Ahhoz, hogy ne keletkezzen arbitrázs, a call és put áraknak az egész

T-n

ki

kell elégíteniük ezt az összefüggést, azaz igaz a következ® összefüggés:

3.1. Tétel (Put-Call paritás). ∀t ∈ T − re

C t − Pt = S t − K

ahol: Ct a call opció -, Pt a put opció -, St a részvény t-beli ára, K pedig a kötési árfolyam.

Bizonyítás.

Azt mutatjuk meg, hogy ha ez nem lenne igaz, akkor a piacon

lehetséges lenne arbitrázs tevékenységre. Ha egy egy részvényt

St

értékben, egy put opciót

járatra, illetve egy eladunk egy call opciót és ugyanarra a

T

lejáratra. Ekkor a

vizsgálva kapjuk, hogy a

T −t

T

Mivel az

értékben

Ct -ért,

id®pontban veszünk

K

kötési áron

ugyanazon

K

T

le-

kötési áron

lejárati id®ben a különböz® eseteket

PT + ST − CT = K

id®szakot illet®en.

Pt

t∈T

r

19

kockázatmentes prothoz jutunk

kockázatmentes kamatláb az egész

3.2 Egyperiódusos opcióárazási modellek

id®intervallumon

0,

ezért minden

t

3. fejezet Opciók

id®pontra igaz az érvelés. Tehát, ha nem

állna fent a tétel, akkor lehet®ség lenne arbitrázsra, aminek nem létezését feltételeztük.

Feltettük, hogy az id®szakban a kockázatmentes kamatláb

r = 0.

A kö-

vetkez® állítás a put-call paritás egy természetes általánosítása, amikor ez az érték

r > 0.

3.2. Tétel. Legyen T = {0, 1, 2, . . . , T } ahol T ∈ N és tegyük fel, hogy az id®szakban érvényes kockázatmentes kamatláb r > 0, tehát az eszköz (a részvény) értéke β = (1+r)−1 diszkonttényez®vel diszkontálódik. Ekkor a put-call paritás a következ® bármely t ∈ T-re: Ct − Pt = St − β T −t K

3.2.

Egyperiódusos opcióárazási modellek

Vegyünk el®ször olyan piacokat, amelyek csak egyetlen kereskedési periódussal rendelkeznek, tehát a

H

T = {0, T }.

A bevezet®ben már említettük, hogy

feltételes követelés nem-negatív valószín¶ségi változó

(Ω, F, P )-n ((St )

függvényeként fejezhet® ki, ami szintén valószín¶ségi változó). A valószín¶ségi mez® lényegében a piac lehetséges állapotait írja le,

σ -algebra

az

Ω

hatványhalmaza és a

P

Ω

az eseménytér,

nemnegatív valószín¶ségi mérték

F

F-

en, ami tulajdonképpen azt fejezi ki, hogy a befektet®k milyen valószín¶nek tartják az egyes események bekövetkeztét. Az opcióárak valószín¶ségelméleti felfogása lehet®vé teszi számunkra, hogy más oldalról próbáljuk megtalálni az opció

H0

méltányos árát: mivel nem tudjuk el®re, hogy mi lesz az

téke, ezért célra vezet®

H -t E(βH)-val 20

becsülni, ahol

β

(ST ) ér-

egy diszkonttényez®


(lényegében, mivel

r

3. fejezet Opciók

függvénye, ami a pénz inációját fejezi ki, ezért ennek

a jelentése is hasonló), tehát

H -t

az átlagos diszkontált értékével becsüljük.

Ezt az átlagoló technikát évszázadok óta ismerik, és a biztosításmatematikai elméletben ekvivalencia elvnek nevezik. Ott azt az alapelvet tükrözi, hogy a jöv®beli bizonytalan bevételek diszkontált értékének meg kell egyeznie a jelenlegi kiadásokkal. Kérdés, hogy hogyan határozzuk meg a látszólag

P -t

P

valószín¶ségi mértéket. Mivel

az egyes befektet®k preferenciájától tettük függ®vé, ezért azt

gondolnánk el®ször, hogy a valószín¶ségi mérték függ a befektet® kockázati preferenciáitól (mennyire kockázatelutasító). Azonban vannak olyan esetek, amikor meg lehet adni az opció

preferencia független árát.

A Black és Scholes

munkája által (1973) kidolgozott matematikai modellb®l olyan elmélet született, melyben

P -nek

létezik természetes választása és ez egy olyan mérték,

amely szerint a (diszkontált) ár-folyamat martingál. Mint ahogy azt már említettük, egy opció árazásánál az opció méltányos árát keressük és fedezeti portfóliókon keresztül határozzuk azt meg. Vezessünk be néhány jelölést és elnevezést (már többet említettünk, de összefoglaljuk ®ket):

• β:

diszkonttényez®

• r:

kockázatmentes kamatláb (inátor)

• T = {0, T }:

kereskedési id®pontok halmaza (általánosan lehet

{0, 1, 2, . . . , T } • St : S

de akár

részvény ára a

• ∆S = ST − S0

T = [0, T ]

T =

zárt folytonos intervallum is).

t ∈ T = {0, T }-ben,

valószín¶ségi változó

(itt feltettük, hogy egyperiódusos a kereskedés, azonban

lehet általánosabban is értlemezni:

∆S = ST − ST −1

egymást követ® kereskedési id®pontok).

21

ahol

T

és

T −1


• Ht :

3. fejezet Opciók

egy feltételes követelés - opció ára a

t ∈ T = {0, T }-ben,

valószí-

n¶ségi változó

• (θ0 , θ1 ):

egy portfólió, amely csak készpénzb®l (ennek értéke:

részvényekb®l áll (ennek darabszáma

θ1 ).

Az opció kiírója a

θ0 )

és

(θ0 , θ1 )

portfóliót arra használja, hogy tökéletesen biztosítsa, vagy fedezze magát az opcióval járó összes kockázat ellen. Ennek a helyes megválasztása a

fedezeti stratégia.

• Vt = θ0 +θ1 St :

a portfólió értéke

t ∈ T = {0, T }-ben (a portfólió értéké-

ben bekövetkez® változások egyedül a részvény értékében bekövetkez® változásból adódnak, ha feltesszük, hogy a diszkontráta

• X = βX :

itt

X

egy valószín¶ségi változó, tehát

X

0, azaz β ≡ 0).

jelöli

X

diszkontált

értékét.

Ha

St csak két értéket vehet fel T

id®pontban, akkor igen egyszer¶en talál-

hatunk fedezeti portfóliót. Azonban általánosan három vagy több lehetséges részvényérték mellett sem lehetséges fedezeti portfóliót találni. A fedezeti portfóliókon alapuló megközelítését vizsgáljuk most az opciók árazásának.

Tegyük fel, hogy a részvényár a

0

id®pontban

ami ismert, a kereskedési id®szak végén pedig az fel tudjuk írni diszkontált értékben is: szín¶ségi mérték ismert. Ekkor

H(ω)

S 1 = βS1 .

S1

S0 -at

veszi fel,

értéket. Ezt az értéket

Tegyük fel, hogy a

összeg kizetését (ami az

1

P

való-

id®pontra

vonatkozó kötelezettségünk) szeretnénk fedezni. Legyen most a fenti deníciók értelmében:

η0 := θ0

és

θ := θ1 .

olyan portfóliót szeretnénk amelyre:

Ezekkel a jelölésekkel

V0 = η0 + θS0

és

V 1 = H.

Ha van lehet®ségünk a kereskedési id®pontokban küls® forrás bevonására (azaz például el tudunk helyezni valamennyi pénzt a számlán), akkor a

(θ, η)

fedezeti stratégia teljesen meghatározott, hiszen ilyen esetben csak annyi a

22


dolgunk, ha mindenképpen

0-ra

akarjuk csökkenteni a kockázatot melyet a

rizikós befektetés ad, hogy elhelyezünk a portfólió értéke: és

V0

3. fejezet Opciók

η0

helyett

η1 = H − θS1

V1 = θS1 + η1 = θS1 + H − θS1 = H .

értéket, így

Így valóban csak

θ

konstansokat kell megválasztanunk.

Az általános modellekben azonban nem lesz minden

H

feltételes követelés

el®állítható (elérhet®) valamilyen kockázatkiküszöböl® fedezeti stratégiával (nem mindig fog teljesülni az egyenl®ség). modellt

teljesnek

nevezzük.

23

Ahol erre van lehet®ség, ott a

4. fejezet

Binomiális modell

A következ®kben bemutatásra kerül az egyik legfontosabb opcióárazási modell, a binomiális-modell. Összefoglalóan olyan modellekr®l lesz szó, ahol a valószín¶ségek bináris fából származnak.

4.1.

Egyperiódusos binomiális modell

Tegyük fel, hogy

η0 = η1 = η ,

tehát az induló perióduson kívül nincs

lehet®ség további küls® források igénybevételére.

Tehát a portfólió kezdeti

értéke:

V0 = η + θS0 (itt

θ

a részvények darabszáma), amib®l az els® id®pontra:

V1 = η + θS1 = V0 + θ∆S lesz. Egy teljes modellhez jutunk, ha nak tekintjük, azaz

S1

∆S = ST − S0 -t

olyan valószín¶ségi változó az

24

binomiális (bináris) fá-

(Ω, F, P )

valószín¶ségi

4.1 Egyperiódusos binomiális modell

4. fejezet Binomiális modell

mez®n, melyre:

  (1 + b)S p valószín¶séggel 0 S1 =  (1 + a)S 1 − p valószín¶séggel 0 ahol,

a, b ∈ R,

r > b,

(ha

melyekre:

a < r < b,

(4.1)

hogy az arbitrázs-lehet®séget elkerüljük

akkor az azt jelentené, hogy a pénz jobban inálódik, mint a

részvény árfolyama, így egy ügyes portfólió összeállítással kockázatmentesen prothoz jutnánk), és

0 < p < 1.

Mivel a modell amit vizsgálunk teljes (tehát minden származtatott ügylet el®állítható (elérhet®) valamilyen kockázatot kiküszöböl® fedezeti stratégiával), ezért bármely melyekre:

H

feltételes követelés esetén található olyan

P (H = V0 + θ∆S) = 1,

θ

és

V0 ,

azaz mindig találunk olyan diszkontált

portfóliót, ami a származtatott ügylet diszkontált értékét adja meg az els® kereskedési id®pontban. Az opció árának meghatározását így visszavezettük a fedezeti portfólió árának a meghatározására, így meg kell határoznunk

θ

és

V0

értékét.

Eh-

hez vezessük be e következ® jelöléseket (fedezeti portfólió létezése révén ezek értelmesek):

S i = (1 + i)S0 ahol

i ∈ {a, b}.

Tehát lényegében

hi = V0 + θ(S i − S0 )

és

hi

jelöli

H

értékét, amikor

S1 = S i .

Ezeket a jelöléseket megtartva igaz a következ®

4.1. Tétel. A következ® általános binomiális árazási formula tetsz®leges derivatívának, származtatott, feltételes követelésnek megadja a preferenciáktól független és arbitrázs-mentes árazását a V0 fedezeti (kezdeti) portfólió árának

25



megkonstruálásával. −1 b −1 S0 − S a S0 bβ aS − β V0 = β h +h Sb − Sa Sb − Sa

Bizonyítás.

Az eddigiek alapján úgy kell megválasztani

(4.2)

θ-t

és

V0 -t,

hogy

kielégítsék a következ®ket:

βhb = V0 + θ(β(1 + b)S0 − S0 ) = V1b

(4.3)

βha = V0 + θ(β(1 + a)S0 − S0 ) = V1a

(4.4)

Vonjuk ki egymásból a két egyenletet, több tag kiesik:

βhb − βha = θβS0 (b − a) Amib®l átrendezés után:

hb − ha hb − ha θ= = b (b − a)S0 S − Sa ahol az utolsó zárójeles kifejezés

V -nek,

. δV = δS

tehát a portfólió értékének a vál-

tozásának az ütemét mutatja a részvény árának változásához képest. Ezt a paramétert általában az opció deltájának nevezik (mi

θ-val jelöltük most ezt,

mert most a fedezeti portfólit szeretnénk megkapni). Ekkor, ha a kapott visszahelyettesítjük (4.4)-be és

V0 -ra

θ-t

rendezünk, akkor:

hb − ha V0 = βha − b (βS a − S0 ) = a S −S −1 b −1 β S0 − S a S0 b aS − β =β h +h Sb − Sa Sb − Sa Mivel a

θ

és

V0

fenti választásai tökéletes illeszkedés¶ lineáris becslést adnak,

26


ezért a

H


származtatott ügylet méltányos árát

V0 -t

nem kell semmilyen koc-

kázati prémiummal korrigálni, és az ár egyértelm¶en meghatározott, tekintet nélkül a befektet® kockázatviselési hajlandóságára. Tehát az így konstruált binomiális modell lehet®vé teszi a arbitrázs-mentes árazását.

H

feltételes követelés preferencia független,

4.1. Következmény. Speciálisan, amikor β = (1 + r)−1 , akkor a b 1 b (1 + r)S0 − S a S − (1 + r)S0 V0 = h +h 1+r Sb − Sa Sb − Sa

(4.5)

Európai call opció az egyperiódusos binomiális modellben Tekintsük tehát azt a speciális esetet, amikor a egy

K

kötési árfolyamú európai call opció:

fel, hogy:

(1 + a)S0 < K < (1 + b)S0

konstans, tehát

H

feltételes követelésünk

H = (S1 − K)+ .

Továbbá tegyük

és a kockázatmentes kamatláb

r>a

β = (1 + r)−1 .

4.2. Tétel. Az európai call opció esetében a feltételes követeléssel egyenrangú fedezeti portfólió ára: V0 =

Bizonyítás.

1 r−a (S0 (1 + b) − K) 1+rb−a

Egyszer¶ behelyettesítéssel

H = (S1 − K)+ -ba

hb = (1 + b)S0 − K ha = 0 ebb®l pedig szintén behelyettesítéssel:

θ=

hb − ha S0 (1 + b) − K = (b − a)S0 S0 (b − a) 27

(4.6)

kapjuk, hogy:



Végül (4.2)-b®l behelyettesítéssel és egyszer¶sítésekkel kapjuk az opció értékét:

V0 =

1 r−a (S0 (1 + b) − K) 1+rb−a

Volatilitás Ha az el®z® tételben kapott értéket deriváljuk külön-külön

a

és

b

szerint, ak-

kor látszik, hogy az érték el®ször (b szerinti deriválásnál) n®ni a másik esetben csökkenni fog. Ez egy fontos fogalom bevezetését indukálja. Esetünkben a

volatilitás

az árfolyamváltozás alsó és fels® lehetséges határ távolságát méri,

azaz a részvény következ® id®pontbeli feltételes szórását. Tehát értelemszer¶en, ha egy részvénynek nagy a volatilitása, akkor az azt jelenti, hogy a részvény ára nagy változékonyságot mutat. Az

S

részvény árfolyamának változékonyságát a következ® formulának a

szórásával mérjük:

S1 . S0

σ

Mivel binomiális modellt vizsgálunk, ezért

  (1 + b)S p valószín¶séggel 0 S1 =  (1 + a)S 1 − p valószín¶séggel 0 S1 = 1 + ξ , ahol a ξ valószín¶ségi változó Bernoulli-eloszlású, azaz S0 P (ξ = b) = p és P (ξ = a) = 1 − p. Ennek a hányadosnak a szórásából a tehát az

szórásnégyzet:

σ 2 = (b − a)2 p(1 − p),

ami tehát

(b − a)-val

n® a szóráshoz

képest. Az opció

V0

értéke nem feltétlenül n® a

σ

növekedésével.

példa is amely [1] szerint Marek Capinskit®l származik.

S0 = 1 = K .

Így a (4.6) képletbe behelyettesítve:

Ezt a következ® Legyen

r = 0,

ab . b−a

Ekkor,

V0 = −

ha: (1)

b = −a = 0, 05,

akkor

V0 = 0, 025

és

28

σ 2 = 0, 12 p(1 − p),

azonban ha


(2)

b = 0, 01

és

a = −0, 19,

akkor


V0 = 0, 0095

és

σ 2 = 0, 22 p(1 − p).

A következ® állítás általánosabban azt mondja, hogy végtelen sok ilyen példát lehet konstruálni.

4.1. Állítás. Az esetek nagy részében tudunk olyan példát konstruálni, amely esetében a V0 nem n® a volatilitás, azaz a σ növekedésével. Akkor találhatunk ilyet, ha V0 folytonosan függ σ-tól, azaz b 6= a és k (ahol K = 1 + k, a kötési árnak az inációja) nem a V0 maximumát adja és fontos feltevés, hogy a < r = 0 < k < b továbbá, hogy S0 = 1. Bizonyítás.

Vegyünk egy tetsz®leges

a, b

−a((1 + b) − K) −a(b − k) = =: V0,1 b−a b−a

is.

értéket. Tehát itt

V0

függ még

Ekkor a szórást hagyjuk változatlanul és vegyünk egy olyan

amire a

V0

rögzített értékekhez tartozó

V0

értéke n®ni fog (ha nem abban a

k -ban

V0,1 < V0,3 < V0,2 .

Megjegyzés.

(b − a)

Ez a folytonosság miatt megtehet®.

V0 ,

ha feltesszük, hogy

b 6= a

és

V0

értéket,

V0,2 .

Ezek

értékét úgy, hogy

Az állításnak lényegében az az egyszer¶ oka, hogy

tonos függvénye

k -tól

vagyunk éppen, ahol a

a maximumát felveszi, akkor biztosan találunk ilyet), legyen ez

után csökkentsük le a szórást, tehát lényegében

k

V0 =

nem csak a

σ -nak folyσ -tól

függ,

hanem más paraméterekt®l is.

A (θ, η) kereskedési stratégia A kereskedési stratégiát is könnyen meghatározhatjuk a következ® módon.

29


Helyettesítsünk vissza a

4.3

és

4.4


egyenletbe:

βhb = V0 + θ(β(1 + b)S0 − S0 )

/:β

hb = V0 β −1 + θ((1 + b)S0 − S0 β −1 ) = = θ(1 + b)S0 + (V0 − θS0 )β −1 Itt használjuk fel, hogy

V0 = η +θS0 , így kapjuk az alábbi egyenleteket (ha -ra

ugyanígy):

θ(1 + b)S0 + ηβ −1 = hb θ(1 + a)S0 + ηβ −1 = ha amib®l

θ-ra

azt az eredményt kapjuk, mint korábban (kivonjuk egymásból a

két egyenletet):

hb − ha (b − a)S0

θ= Ugyanígy behelyettesítéssel kapjuk:

η=β θ

és

η

(1 + b)ha − (1 + b)hb . b−a

meghatározásánál nem játszottak meghatározó szerepet

S1

valószín¶-

ségi változó értékére vonatkozó valószín¶ségek (4.1), azaz nem szerepel ebben a

P

valószín¶ségi mérték. Vezessük be a következ® jelöléseket:

q=

β −1 S0 − S a Sb − Sa

és

1−q =

S b − β −1 S0 Sb − Sa

Ezt behelyettesítve (4.5)-be:

V0 = β(hb q + ha (1 − q)). 30

(4.7)

4.2 Több periódusos binomiális modellek


Ekkor egyszer¶en a várható érték denícióját használva:

V0 = EQ (H) ahol

Q

a

Q(S1 = S b ) = q

ségi mérték. Ekkor

EQ (S 1 ) = S0 ,

Q

és

(4.8)

Q(S1 = S a ) = 1 − q

által deniált valószín¶-

szerint a diszkontált ár várható értéke konstans, azaz

tehát a diszkontált ár ingadozás

Q

szerint martingál.

Megmutattuk, hogy ebben a modellben minden feltételes követelést tudunk az arbitrázs elv (arbitrázs-mentesség feltételezése) segítségével árazni, azaz létezik olyan egyértelm¶

(θ, η)

önnanszírozó stratégia (nem kell küls®

er®forrsáokat igénybe venni az 1 id®pontban a fedezeti portfólió el®állításához), amelyik reprodukálja

H

értékét, tehát az árazási modellünk teljes.

Teljes modellben az optimális stratégia tökéletesen elt¶nteti a kereskedésben rejl® kockázatot, és rozza az optimális stratégia számolni

H -nak

a

Q

V0

H

H -val

való

méltányos árát egyértelm¶en meghatá-

kezdeti értéke, amit explicit módon ki lehet

kockázat-semleges mértékre vonatkozó várható értéke-

ként.

4.2.

Több periódusos binomiális modellek

Ebben a fejezetben általánosítjuk a modellt olyan irányban, hogy több kereskedési id®pontot veszünk be, tehát legyen dési id®pontok halmaza, ahol

S0 , S1 , S2 , . . . , ST

T ∈ N+ .

T = {0, 1, 2, . . . , T }

Ez azt jelenti, hogy a részvény az

értékeket veszi fel és minden

31

a kereske-

t ≤ T -re St

értékei a követke-



z®k lehetnek:

  (1 + b)S t−1 p valószín¶séggel St =  (1 + b)S t−1 1 − p valószín¶séggel El®ször megvizsgájuk az egylépéses kockázat-semleges mértéket, majd két periódusos kereskedésben megnézzünk az opció értékének alakulását, végezetül ezeket rekurzíve felhasználva bebizonyítjuk az európai call opciókra vonatkozó Cox-Ross-Rubinstein-féle binomiális opcióárazási képletet. Legyen most is a kockázatmentes kamatláb

β = (1 + r)−1 amit a

T

- melyre

a < r < b.

r>0

Legyen most is

H

- így a diszkonttényez® egy feltételes követelés,

id®pontban értékelünk.

Egylépéses kockázat-semleges mérték Vizsgáljuk meg

H

értékét a

T −1

id®pontban, tehát egy periódussal a lejá-

rat el®tt. Erre gondolhatunk most úgy, mint ha egy egyperiódusos modellt vizsgálnánk, melynek

T −1-ben van a kezdeti értéke.

vizsgáltuk, hogy létezik

{T − 1, T }

(θ, η)

fedezeti stratégia, amely el®állítja/lemásolja a

id®pontokban, és létezik

ki tudjuk számolni

βH

Erre az esetre már meg-

Q

kockázatsemleges-mérték is; ezáltal

pillanatnyi értékét mint a

Q

szerinti várható értéket

(4.8) alapján. Vizsgáljunk azt az esetet, amikor

H = (ST − K)+ ,

ahol

K

Ekkor

egy európai call opció, tehát legyen

a kötési árfolyam,

rábbi jelölésekkel élve jelölje ugyanígy

H

hb H

T

értékét, ha

pedig az opció lejárata. A ko-

ST = (1 + b)ST −1

és deniáljuk

ha -t. H

pillanatnyi értéke:

úgy, mint ahogy (4.7)-ban.

EQ (βH) = EQ

H , 1+r

ahol

Q = (q, 1 − q)

A (4.5)-ban megadtuk a fedezeti stratégiához

32


szükséges

V0


kezdeti befektetés összegét, melyet a

lószín¶ségi mértékkel felírva kaptuk, hogy

Q

kockázat-semleges va-

V0 = β(hb q + ha (1 − q)).

Ebb®l

most:

VT −1 =

1 (qhb + (1 − q)ha ). 1+r

Ugyanúgy (4.7)-be helyettesítve, felhasználva

q=

Si

(4.9)

denícióját kapjuk, hogy:

(1 + r)ST −1 − (1 + a)ST −1 r−a = (1 + b)ST −1 − (1 + a)ST −1 b−a

Ez újra szemlélteti, hogy

Q-t

miért hívjuk kockázat-semleges mértéknek.

Ugyanis az a kockázat-semleges befektet®, akinek közömbös, hogy egy befektetés adott hozama biztos, vagy bizonytalan, feltéve, ha a két lehet®ség várható értéke azonos. Ez pedig a martingál tulajdonság miatt egyértelm¶:

EQ (ST |ST −1 = S) = q(1 + b)S + (1 − q)(1 + a)S = (1 + r)S Ez pedig nem függ sem

a

sem

b

(4.10)

paraméterekt®l.

Két periódusos kereskedés Az el®z® módszert iterálhatjuk, lépjünk vissza még egy id®pontot, vizsgáljuk meg a Az

T

S

H

európai call opciónak a

eszköz (jelen esetben részvény)

VT −2

ST −2

értékét a

T −2

id®pontban.

értéke a két periódussal kés®bbi

id®pontban a következ® három lehetséges értéket veheti fel:

(1 + b)2 ST −2 Emiatt a

H

vagy

(1 + b)(1 + a)ST −2

vagy

(1 + a)2 ST −2

call opció is három lehetséges értéket vehet fel ebben az id®pont-

33


ban, jelöljék ezeket az értékeket

hbb , hab


haa

és

(tehát ugyanúgy deniáljuk

ezeket az értékeket, mint korábban az egylépéses kereskedésnél). Ekkor használjuk ismét az általános

q -t

a

(4.7)

(4.5)

képletet, ahova helyettesítsük be

denícióból. Ebb®l leolvashatjuk

V b = β(qhbb + (1 − q)hab )

és

VT −1

lehetséges értékeit:

V a = β(qhab + (1 − q)haa )

Mind a három esetben megtaláltuk az opció értékét a

T −1

id®pontban, és

ezért a korábbihoz hasonlóan ki tudjuk választani a fedezeti portfóliónkat. A

θ

és

η

paraméterek értékét minden egyes lépésben úgy kell meghatározni,

mint az egyperiódusos modellben. Tehát megkaptuk a ki tudjuk számolni a

(T − 1)-beli

(T − 2)-beli

lehetséges árait az opciónak. Ebb®l már

árat:

VT −2 = β(qV b + (1 − q)V a ) = = β qβ(qhbb + (1 − q)hab ) + (1 − q)β(qhab + (1 − q)haa ) = + + 2 = β q 2 (1 + b)2 ST −2 − K + 2q(1 − q) (1 + a)(1 + b)ST −2 − K + + + (1 − q)2 (1 + a)2 ST −2 − K Ebb®l a formulából kiderül, hogy a feltételes követelés értékét tökéletesen meghatározzák a befektet® által a

(T − 2)

id®pontban ismert mennyiségek.

A CRR-féle binomiális modell Az el®z®kben meggyelt rekurziót folytathatjuk, így minden kiszámolhatjuk a

V = (Vt )

fenti feltételezések.

t≤T

id®pontra

értékfolyamatot. Legyenek érvényesek most is a

Tehát a

H

európai call opció lemásolásához szükséges

34



kezdeti befektetés nagysága:

V0 = β

T

T X T t=0 T X

t

q t (1 − q)T −t (1 + b)t (1 + a)T −t S0 − K

+

=

! t T −t (1 + b) (1 + a) T t = S0 q (1 − q)T −t − T t (1 + r) t=A T X T t −T q (1 − q)T −t − K(1 + r) t t=A ahol

A

máshol

az els® olyan

0

k

egész, amelyikre

(1 + b)k (1 + a)T −k S0 > K

(4.11)

(mert

a kifejezés értéke).

Meg kell említenünk a következ®t. Azt tudjuk az el®z®ekb®l, hogy

q =

r−a (Q mérték kozkázatsemlegessége). Vezessük be a következ® jelölést: b−a 1+b 0 q 0 := q . Ekkor, mivel a < r < b, ezért q ∈ (0, 1), hiszen egyrészt 1+r pozitív, mert (r − a), (b − a), (1 + b) és (1 + r) is mindegyike pozitív, másrészt (r − a)(1 + b) pedig < 1 egyenl®séget átrendezve kapjuk, hogy (b − r)(a + (b − a)(1 + r) 1) > 0, ami pedig igaz. Ezekkel a jelölésekkel igaz a következ®

4.3. Tétel (CRR-féle binomiális opcióárazási képlet). A több periódusos binomiális árazási modellben az európai call opció értéke: 1. a 0-ik id®pontban: V0 = S0 Binom(A; T, q 0 ) − K(1 + r)−T Binom(A; T, q)

(4.12)

ahol: S0 a részvény ára a T = 0 id®pontban, K az opció kötési ára, T a lejárati id®, lényegében a periódusok száma, r a kockázatmentes

kamatláb, q a Q kockázat-semleges valószín¶ségi mértékb®l származó valószín¶ség és Binom a binomiális eloszlás függvény komplementere, azaz: 35


Binom(m; n, p) =

Pn

j=m


j p (1 − p)n−j .

n j

2. általában Vt érték a t ≤ T id®pontban: Vt = St Binom(At ; T − t, q 0 ) − K(1 + r)−(T −t) Binom(At ; T − t, q)

(4.13)

ahol At = {k ∈ Z : St (1 + b)k (1 + a)T −t−k > K} (máshol 0). A

(4.12)

formulát John Carrington Cox, Stephen Ross és Mark Edward Ru-

binstein javasolták el®ször 1979-ben az opciók méltányos árazására. Ehhez a képlethet fedezeti portfóliókon keresztül jutottunk el, azonban, a képlethez más útonis el lehet jutni.

A

H

opció értékét közvetlenül a

Q

kockázat-

semleges mérték szerinti várható érték kiszámolhatjuk, felhasználva, hogy a diszkontált részvényár eszerint a mérték szerint martingált alkot. A 4.1 ábrán meggyelhetjük a részvényekárak viselkedését a CRR modellben. Az eseményfában minden nyíl felfelé

(1 − q) az

y

q

valószín¶séggel mutat. Az ábrán az

valószín¶séggel, lefelé pedig

x

tengely az id®nek felel meg,

tengely pedig egy logaritmikus tengelyként fogható fel (nyilván a kocká-

zatmentes részvényár növekedés is egy hatványsor, ami az ábrán egy lineáris egyenesként szerepel).

Elhanyagoljuk az ábrán azt, hogy

a 6= b.

Minden

csomópontban csak két ág van, ez fontos, mert ez a tulajdonság biztosítja a modell teljességét, hiszen lehet®vé teszi, hogy minden csomópontnál a

θ

és

η

mennyiségek alkalmas megválasztásával lefedjük a két véletlen kimenetet. A fában a kék pontok a lehetséges részvényárakat mutatják az adott

Q

mérték

szerint. A piros csúcsok a kockázatsemleges részvényárat jelölik (x

r >0

ináció mellett), a (4.10)-ben beláttuk, hogy ez a kockázatmentes növekedés. Az opció értékével ekvivalens fedezeti portfólió árának meghatározásához a fában visszafele kell elindulnunk.

36



4.1. ábra. A CRR modell eseményfája

(θ, η)

kereskedési stratégia

Mivel ez a modell teljes, ezért megadható egy olyan fedezeti portfólió, amely pont az itteni feltételes követelés (opció)

(θ, η)

t ∈ T -beli

értékét adná meg.

A

kereskedési stratégiát a binomiális fában visszafele haladva kell meg-

határozni. Felhasználva az egyperiódusos binomiális modelleknél megkapott b a a b

(θ, η) stratégiát (θ =

h −h Sb − Sa

és

η=β

(1 + b)h − (1 + b)h b−a

) és hasonló gon-

dolatmenetet, mint ahogy a fedezeti portfólió értékét megkaptuk (iterálva az egy periódusra vonatkozó állításokat), kapjuk a következ®t.

37



4.4. Tétel. A (θt , ηt ) fedezeti stratégia explicit képlete a következ®: T −t X T −t θt = (q 0 )k (1 − q 0 )T −t−k k k=At T −t X T −t −(T −t) (q)k (1 − q)T −t−k ηt = −K(1 + r) k k=A

(4.14)

(4.15)

t

ahol At a szokásos módon értelmezzük.

Az iterált logaritmus, a nagy számok törvény és a centrális határeloszlás tétel Tegyük, fel hogy a valószín¶ségekre igaz, hogy egyenl®k, tehát

1/2 eséllyel

megyünk a fában fel és le egyaránt. Ekkor a fán bejárt út felfogható egy vé-

ξ1 , ξ2 , . . . valószín¶ségi változók, Pn legyen ηn = i=1 ξi. Ekkor igazak a

letlen bolyongás trajektóriájának. Legyenek melyere:

E(ξi) = 0

és szórásuk 1 és

következ®k:

4.2. Állítás. Egy bolyongás lényegében minden trajektóriája tetsz®leges, origó csúcspontú szög tartomány esetén egy, a tartománytól és a trajektóriától függ® index után a szögtartományon belül halad. A szögtartományon belül p a ± 2n log log(n) szinteket még végtelen sokszor eléri, és a trajektóriáknak a T = n-ben húzott függ®leges egyenessel való metszéspontja ezen a függ®leges √ tengelyen, közelít®leg a N (0, n) eloszlást követi. Az állításban szerepl® állítások a nagy számok törvényének, az iterált logaritmus tételnek és a centrális határeloszlás tételének a következményei. Ugyanis, legyen a

0) = 1. melyre

Eszerint

|ηω < nε|

ηn , ekkor a nagy számok törvénye miatt P ( lim αn = n→∞ n bármely ε > 0 esetén létezik olyan n > Nω küszöbindex, αn =

minden

ω

esetén

1

valószín¶séggel.

38


A centrális határeloszlás tétel szerint a Ez azt jelenti, ha felrajzoljuk a

√ (n, ± n)

nagy T értéket és vizsgáljuk, hogy az


ηn βn = √ ∼ N (0, 1) n

ha

n → ∞.

pontokat, és választunk egy elég

(n, ηn ) bolyongás a T -ben húzott függ®-

leges egyenest hol metszi át, illetve vesszük az átmetszések egyes pontokbeli gyakoriságát, akkor egy normális s¶rüségfüggvénynek megfelel® gyakorisággörbe alakul ki. A görbe két inexiós pontja a

√ √ (− T , T )-ben van (hiszen a

normális s¶rüség inexiós pontja éppen a szórásával egyenl® abszolútértékü pontokban található). Ezeket az összefüggéseket a 4.2 ábrán jól láthatjuk.

4.2. ábra.

Iterált logaritmus tétel, Nagy számok törvénye, Centrális határeloszlás

A piros függvények az iterált logaritmus, a kék fv-ek a nagy számok , a zöld fv-ek pedig a centrális határeloszlás tételéb®l származnak

Ez az ábra arra az esetre vonatkozik, amikor a valószín¶ségek egyenl®k.

Ha a valószín¶ségek nem egyenl®k, hanem például a

1/2, 1/2-del q > 1 − q,

tehát a binomiális fában nagyobb arra a valószín¶ség, hogy a részvényár a

39

4.3 Binomiális modell martingálokkal


nagyobb értéket vegye fel az egyes id®közök végén, akkor ez egy torzultságot fog okozni az ábrán, de ez a torzítás számolható. A normális eloszlás s¶r¶ségfüggvényéne eltolódik a nagyobb valószín¶ség¶ esemény irányába. Tehát ez alapján egy analógiát állíthatunk fel ezen állítás és a CRR-felé binomiális modell binomiális fája között. Így jó eséllyel meg tudjuk becsülni az opció árát egy távoli

4.3.

T

id®pontban (ami egy kereskedési id®pont).

Binomiális modell martingálokkal

Ebben a részben a már sokat említett másik úton, martingálokkal fogunk eljutni egy európai call opció méltányos árának meghatározásához.

Általánosított diszkrét piaci modellek Legyen a kereskedési (diszkrét) id®pontok halmaza

T

a gazdasági tevékenység befejezési id®pontja.

összes lehetséges állapota leírható a

(Ω, F, P )

T = {0, 1, 2, . . . , T },

ahol

Tegyük, fel, hogy a piac

valószín¶ségi mez®vel, ugyan-

olyan jelentéssel, mint ahogy azt a 3.2 szakaszban bevezettük. Ez egy általánosabb modell, sokszor azonban elég, ha csak olyan esetet vizsgálunk, amikor

F σ -algebra végesen generált, tehát Ω-nak létezik egy P = A1 , . . . , An tása, amely teljes eseményrendszert alkot.

modelleknek

re

Jelölje ezt

Itt feltettük, hogy

1

információk rendszere

Deníció szerint egy

Fn ⊆ Fn+1 .

vagy

véges piaci

nevezzük.

Vezessük be az

ltrációja.

Az ilyen modelleket

felosz-

és, hogy

F0

foglamát.

{Fn : n ∈ N}halmaz

Ez az

(Ω, F, P )

mez®

ltráció, ha minden

F = (Ft )t∈T , ami tehát a (Ω, F, P ) mez® ltrációja.

csak olyan halmazokat tartalmaz, amik mértéke

(Ω, F0 )

n-

0

teljes, azaz a nulla halmazok részhalmazai nulla

40


halmazok és

F0

tartalmaz minden

piaci modellekben is, mindegyik


P -nulla

halmazt. Ugyanez az eset véges

Ft σ -algebra

Ω

el®állítható

egy véges

Pt

felosztásával. Legyen

d ∈ N, melyet nevezzünk el a piaci modell dimenziójá nak.

S = {Sti : t ∈ T, 0 ≤ i ≤ d}

továbbá

egy

(d + 1)

dimenziós sztochasztikus

folyamat, amely az értékpapírok árának mozgását írja le. Itt

d

minisztikus áralakulású, kockázatmentes kötvény, a többi

S0

egy deter-

db értékpapír

pedig sztochasztikus áralakulású (kockázatos értékpapírok). Ez az

adaptált F-hez, ami azt jelenti, hogy minden i ≤ d-re Sti Fi Az imént deniált komponensekb®l el®áll egy Azt a modellt amit ezzel a rendszerrel jellemezhet®

Legyen

S

legyen

mérhet®.

(Ω, F, P, T, F, S)

rendszer.

értékpapír piaci modell nek

nevezzük. Ebben a modellben bevezethetük egy viszonyítási alapot, az kötvényt (célszer¶ ezt), melyet Ezekkel az

S 0, S 1, . . . , S d

ármércé nek hívunk.

értékpapírokkal a

kednek. Ez alapján egy befektet®nek a

(d + 1)

dimenziós

θt = (θti )0≤i≤d

amelyhez kapcsolódik egy

Vt (θ)

S0

t ∈ T

portfóliója

a

id®pontokban keres-

t≥1

id®pontban egy

valószín¶ségi vektorváltozóval adható meg, értékfolyamat:

V0 (θ) = θ1 · S0 Vt (θ) = θt · St =

(4.16)

d X

θti Sti

(t ∈ T, t ≥ 1)

(4.17)

i=0 Itt és a kés®bbiekben a

·

szimbólummal jelölt szorzás skaláris szorzást jelöl,

hiszen a mennyyiségek amikkel számolunk többnyire vektorok. Az értékfolyamat jelentése: a befektet®nek az induló készlete portfóliókat a befektet®k a

{Sti ,

A

t ≥ 1 id®pontbeli

(t − 1) id®pontbeli részvényárak alapján alakítják

ki és ezt nem változtatják a zett

V0 (θ).

[t − 1, t)

intervallumban,

t-ben

pedig a megszer-

i = 0, 1, . . . , d} árinformációk alapján változtathatnak, majd ezt a 41


korrigált

θt+1

portfóliót a


[t, t + 1) id®intervallumban szintén nem bolygatják.

Önnanszírozó stratégiák Az önnanszírozó stratégiák hasznosak, a teljes piaci modellek deniálásánál is használjuk ®ket. Lényegében olyan stratégiát jelölnek, amelyek nem igénylik az opció id®tartama alatt t®ke hozzáadását vagy kivételét.

Most

több ekvivalens deníciót adunk rájuk. A jelenlegi terminológiával a pontosabb deníció most következik. A diszkrét id®kre lebontott portfóliók megadják a kereskedési stratégiát:

θ = {θt : t = 1, 2, . . . , T }.

Azokat a befektetési stratégiákat, amelyek

Vt (θ)

értéke kizárólag a befektetésekb®l származó nyereségt®l (vagy veszteségt®l) függ,

önnanszírozó stratégiá nak nevezzük.

intervallumon a portfólió értéke

θt+1 · St .

Ez azt is jelenti, hogy a

[t, t + 1)

Ez által, ha nem vonunk ki t®két

és nem is b®vítjük a portfóliót, akkor bármely

t = 1, 2, . . . , T − 1 esetén igaz,

hogy

θt+1 · St = θt · St

(4.18)

A már korábban bevezetett jelölésekkel élve ezt az összefüggést át tudjuk írni a következ® alakra:

∆Vt (θ) = θt · St − θt · St−1 = θt · ∆St . A szorzás itt is skaláris szorzást jelöl

∆St

pedig az árnövekmény vektor.

(Rd+1 -ben), θt

∆Vt (θ)

(4.19)

az új portfólió vektor,

értelemszer¶en a portfólióértéké-

nek megváltozását jelenti az egymást követ® kereskedési id®pontokban (folytonosnak tekintve a

[t − 1, t]

szakaszon).

42


Legyen ekkor a


nyereséget megadó folyamat (θ függvényében):

G0 (θ) = 0

és

Gt (θ) =

t X

θt · ∆St .

(4.20)

i=1 Ezt és az önnanszírozó folyamat denícióját felhasználva kapjuk a következ® állítást:

4.3. Állítás. θ akkor és csak akkor önnanszírozó folyamat, ha minden t ∈ T-re: Vt (θ) = V0 (θ) + Gt (θ) ahol tehát

V0 (θ) az indulókészlet/indulót®ke és Gt (θ) pedig a nyereséget meg-

adó folyamat. Ebb®l az állításból következik egy újabb ekvivalens deníció az önnanszírozó stratégiára:

4.4. Állítás. θ akkor és csak akkor önnanszírozó folyamat, ha minden t ∈ T-re: ∆θt · St−1 = 0

Bizonyítás.

Minden

t ∈ T-re

igaz 4.17. Ekkor minden

θ

befektetési straté-

giára:

∆Vt = Vt − Vt−1 = θt · St − θt−1 · St−1 = = θt · (St − St−1 ) + (θt − θt−1 ) · St−1 = = θt · ∆St + ∆θt St−1

(4.21)

Ekkor fel kell használni (4.19) összefüggést, ami pont az állítást jelent. Itt mindenhol a jelölt szorzás skaláris szorzást jelöl és

∆θt

az állítás azt mondja, hogy önnanszírozó stratégia esetén a

43

θ

is vektor. Ez

portfólió meg-



változásának vektora ortogonális az egy id®ponttal korábbi

St−1

Rd+1 -beli

árvektorra. Ez azért jó, mert sokszor könnyeb ezt a tulajdoságot leelen®rizni, mint a (4.18)-et. Ha gyelembe vesszük a diszkonttényez®t (amely megadja egy

St

részvény árát,

S t = βt St ),

akkor a

θ

Rd+1 -beli

önnanszírozó voltára az alábbi

állítások tehetjük (4.18) és (4.20) alapján:

4.5. Állítás. θ akkor és csak akkor önnanszírozó folyamat, ha minden t = 1, 2, . . . , T − 1-re: θt+1 · S t = θt · S t

(4.22)

4.6. Állítás. θ akkor és csak akkor önnanszírozó folyamat, ha minden t ∈ T-re: Vt (θ) = V0 (θ) + Gt (θ). Ezek alapján a deniáljuk

osztálya

Θ-t,

ami legyen az

(4.23)

önnanszírozó stratégiák

lesz. Deniálunk még egy fogalmat: azokat az önnanszírozó stra-

tégiákat, melyekre

stratégiáknak

Vt (θ) ≥ 0, ∀t ∈ {0, 1, . . . , T }-re lehetséges/megengedett

nevezzük. Jelölésük

Θa .

Ezen keretek között is tudjuk deniálni az

arbitrázs

fogalomkörét, ehhez

kapcsolódnak a következ® deníciók, amelyeket a kés®bbiekben fel fogunk használni.

4.1. Deníció. Az arbitrázs olyan lehetséges θ stratégia, amelyre igaz, hogy V0 (θ) = 0 és ∀t ∈ T-re, és E(VT (θ)) > 0. Azaz megköveteljük, hogy θ ∈ Θa kezdeti érték 0 legyen , de értéke az id®szak végére pozitív valószín¶séggel pozitív legyen. 4.2. Deníció. A piaci modell életképes (megvalósítható), ha nincs benne olyan θ stratégia, amely arbitrázs lenne, azaz ha θ ∈ Θa és V0 (θ) = 0, akkor VT (θ) = 0 P − m − m. 44



4.3. Deníció. Legyen H egy T lejáratú származtatott termék. Ekkor a H az (Ω, FT , P ) valószín¶ségi mez®n értelmezett FT -mérhet® valószín¶ségi változó. A H derivatívát elérhet®nek (szintetizáló) mondjuk, ha van olyan θ ∈ Θa stratégia, amely létrehozza, vagyis amelyre VT (θ) = H , vagy ami ezzel ekvivalens, V T (θ) = βT H . Ehhez kapcsolódik egy állítás:

4.7. Állítás. Egy életképes piacon bármely elérhet® H derivatívához pontosan egy t id®pontbeli érték létezik. Megjegyzés.

Ha ez nem így lenne, akkor kockázatmentes prothoz lehetne

jutni az adott piacon.

Törvénnyel,

Ez az összefüggés összhangban van az

Egységes Ár

ami azt mondja, hogy egy hatékony piacon minden eszköznek

egy árának kell lennie.

Ekvivalens martingál-mérték A következ®kben az életképes piaci modelleket írjuk le és az arbitrázs ár meghatározására egy általános formulát adunk. piaci modelleket a diszkontált

S

A cél, hogy az életképes

ármeszhanizmus növekményei segítségével

jellemezzük. Ehhez szükséges apparátus a martingálelmélet. Ebben a pontban deniáljuk a

martingál

fogalmát.

4.4. Deníció. Legyen Xn egy Ω-n értelmezett valószín¶ségi változó (n ∈ N) és Fn σ-algebrája Ω-nak. Ekkor az (Xn , Fn ) sorozatot martingálnak nevezzük, ha • minden n-re Fn σ -algebra és az Xn valószín¶ségi változó Fn mérhet®. • minden n-re Fn ⊆ Fn+1 , amit úgy is szokás nevezni, hogy {Fn : n ∈ N}

halmaz egy ltráció. 45



• minden n-re E(|Xn |) < ∞, azaz Xn integrálható. • E(Xn+1 |Fn ) = Xn .

4.5. Deníció. Ha a negyedik tulajdonság helyett E(Xn+1 |Fn ) ≥ Xn , illetve E(Xn+1 |Fn ) ≤ Xn tulajdonság szerepel, akkor szubmartingálról, illetve szupermartingálról beszélünk. A negyedik tulajdonság miatt nagyon hasznos, ha valamir®l tudjuk, hogy martingál, hiszen ez azt jelenti, hogy minden tag várható értéke egyenl® és konstans. Az eddigi feltevéseink legyenek érvényben, annyi kivételével, hogy nem tesszük fel, hogy a piaci modell véges. Tegyük fel azonban plusszban, hogy az

S

diszkontált (βt

= 1/St0 ,

S i (1 ≤ i ≤ d)

és

kockázatmentes érték-

papírokat jelent) árvektorfolyamat martingál valamiylen E szerint

EQ = (∆S t |Ft−1 ) = 0

minden

θ = {θti : i ≤ d, t = 1, . . . , T } ∈ Θa

Q

t ∈ T, t ≤ 1-re.

mérték mellett. Legyen továbbá

egy lehetséges megengedett stratégia.

4.8. Állítás. A V (θ) diszkontált értékfolyamat martingál V0 (θ) kezdeti értékkel (ami konstans). Így E(V T (θ)) = E(V0 (θ)). Bizonyítás.

Számoljuk ki el®ször

(1)

d X

(3)

i=0 t X

V t (θ) = θt · S t = = θ1 · S0 +

θ

diszkontált értékfolyamatát.

i (2)

θti · S t = V0 (θ) + Gt (θ) θj ·

i (4) ∆S j =

j=0

Itt el®ször

d X i=0

θ1i

·

S0i

+

t X

i

θj ∆S j

j=1

(1)-ben felhasználtuk a (4.17) deníciót és a diszkontált megfelel®-

jére vonatkozó (4.22)-t. Majd felhasználtuk

(2)-ben a (4.23) az önnanszírozó

stratégia egy másik ekvivalens alakját. Ezután

46

(3)-ban (4.16) indulókészletre



és a (4.20) nyereségre vonatkozó (itt most diszkontált, de ez nem változtat semmin) deníciókat használtuk. Végezetül pedig náltuk (a skaláris szorzást bontottuk ki).

(4)-ben

a deníciót hasz-

4.2. Következmény. Az így felállított modellben nincs arbitrázs stratégia. Bizonyítás.

Le kell ellen®riznünk a (4.2) deníciót. Ha

0 (Q − m − m), (Q

akkor

E(V T (θ)) = 0,

amib®l pedig

V0 (θ) = 0 és VT (θ) ≥

VT (θ) = 0

következik

− m − m).

4.6. Deníció. (Ekvivalens mértékek) P és Q valószín¶ségi mértékek két osztálya ekvivalens, ha a P − 0-halmazok ugyanazok, mint a Q − 0-halmazok, azaz (P (A) = 0 ∀P ∈ P) ⇔ (Q(A) = 0 ∀Q ∈ Q). Jelölés: P ∼ Q. Az el®z® állítás nem csak

P ∼ Q.

Q − m − m,

hanem

P −m−m

is teljesül, így

Ekkor megállapíthatjuk, hogy ha létezik ilyen ekvivalens

akkor nem lehet

θ arbitrázs önnanszírozó stratégia a modellben.

Q

mérték,

Ezért ekkor

denícióból következ®en ez a piaci modell életképes.

4.7. Deníció. A Q ∼ P valószín¶ségi mérték S -hez tartozó ekvivalens martingál mérték (EMM), ha a diszkontált S ár(vektor)mechanizmus martingál a Q mérték és az F ltráció mellett. Ez azt jelenti, hogy minden i ≤ d i 0 esetén S diszkontált ármechanizmus (F, Q)-martingál (ahol S ≡ 1). A következ® tétel elégségességét lényegében már beláttuk.

4.5. Tétel. Egy értékpapírpiaci modell akkor és csak akkor életképes, ha létezik ekvivalens martingál mértéke S -nek.

47



Martingál árazás Az ekvivalens martingál mérték létezése általános módszert ad a származtatott termékek árazására. Tegyük fel, hogy adott egy életképes piacimodell és egy

Q

EMM. A

H

(Ω, F, P, F, S)

származtatott termék egy nemnegatív

mérhet® valószín¶ségi változó. Jelentése: olyan szerz®dés, melyre, ha akkor a

T

id®pontban

köznek, melyet a

0

H(ω)

pénzt zet. Legyen

π(H)

F-

ω ∈ Ω,

az az értéke az esz-

idpontban a befektet®k mindengyike méltányos árnak

tart. Ekkor igazak a következ®k:

4.6. Tétel. Bármely θ ∈ Θa -ra: Vt (θ) = β −1 EQ (βT H|Ft )

Bizonyítás. egy

Q

Tudjuk, hogy

H

elérhet® követelés (4.3) deníció alapján.

szerinti martingál, ezért bármely

t ∈ T-re V (θ) = EQ (βT H|Ft ).

pedig felhasználjuk a diszkontált forma denícióját és leosztunk az állításban szerepl® képletet adja.

V (θ)

β -val,

Itt ami

Ezek alapján egy speciális esetként a következ®t tételt kaphatjuk:

4.7. Tétel. Egy életképes piaci modellben π(H)értéke meghatározható és π(H) = EQ (βT H). Ez egy általános martingál árazást ad a származtatott termékek árának meghatározására. Azokat a piaci modelleket, amelyekben minden származtatott termék elérhet®, teljes piaci modellnek mondjuk. Ezek a modellek alkotják az opcióárazás legegyszer¶bb osztályát, mivel bármely származtatott termék ára a

48



diszkontált várható érték kiszámításával egyszer¶en származtatható egy modellbeli ekvivalens martingál mértékb®l.

A CRR modell martingálokkal kifejezve A CRR modellben

d = 1,

1 tehét egyetlen kockázatos értékpapír (S ) és egy

kockázat-mentes x kamatozású (r

> 0) S 0

kötvény van. Ha

S0t = (1 + r)t minden t ∈ T esetén, így βt = (1 + r)−t .

S00 = 1,

akkor

Az értékpapír egymást

követ® hányadosai Bernoulli-féle bolyongást követnek, vagyis:

  (1 + b)S 1 t−1 St1 =  (1 + a)S 1

t−1

ahol

−1 < a < b

és

S01

Ω = {1 + a, 1 + b}T\{0} . generálnak:

t>0

és

P

rögzített konstansok.

Az

F

Legyen az eseményterünk

ltráció legyen az, amelyet az értékpapír árak

F0 = {∅, Ω}, Ft = σ(Sj1 : j ≥ t) t > 0.

Legyen

Rt =

St , ahol St−1

olyan mérték, melyet ezek a hányadosok indukálnak. Ezekkel a

jelölésekkel érvényesek a következ®k

4.9. Állítás. A binomiális modellben az EMM létezéséhez a < r < b szükséges feltétel. 4.8. Tétel. b) Ha a binomiális modell életképes, akkor egyetlen Q EMM létezik S -re. S akkor és csak akkor Q-martingál, ha az (Rt ) valószín¶gi változó i.i.d (független, azonos eloszlásúak), és Q(R1 = 1+b) = q és Q(R1 = 1+a) = r−a 1 − q , ahol q = . b−a

Mivel

q ∈ (0, 1) ⇔ a < r < b,

ezért életképes binomiális modellben

egyetlen EMM létezhet és ez a tételben említett

49

Q

mérték.



Ekkor már le tudjuk vezetni a CRR-féle binomiális opcióárazási képletet (melyet (4.12)-ben kaptunk meg) az általános martingálformulából (4.7 tétel) úgy, hogy az értékpapírra (európai call opció) vonatkozó

Q-szerinti

várható

értéket számoljuk ki.

4.9. Tétel. Az X = (ST − K)+ európai call opció 0 id®pontbeli ára: −T

π(X) = (1 + r)

T X T u q (1 − q)T −u · (S0 (1 + b)u (1 + a)T −u − K) u u=0

ahol A = min{k ∈ Z+ : S0 (1 + b)k (1 + a)T −k > K}.

50

(4.24)

5. fejezet

Konvergencia és stabilitás

Az el®z®ekben kétféleképpen is levezettük ugyanazt a képletet, amellyel az európai call opció méltányos árát ki tudjuk számolni.

Ebben a fejezetben

megvizsgáljuk a binomiális modellek konvergeciáját, majd kimondjuk, hogy a binomiális modellek határértéke a Black-Scholes formula. Végezetül pedig kitekintünk a trinomiális modellekre, amelyekr®l kimondjuk, hogy lényegében ekvivalensek a bemen® adatok tekintetében a binomiális modellekkel. Ez által a trinomiális modellek is konvergálnak a Black-Scholes formulához, azonban ezek nem olyan gyorsan, mint a binomiálisak. A binomiális modell tartalmazza az össze olyan információt, amely szükséges a híres Black-Scholes képlet levezetéséhez.

A Black-Scholes formula

egy olyan folytonos piaci modellben adja meg egy európai opció árát, ahol az opció alaptermékéül szolgáló értékpapírok árának alakulása a Brown mozgásra épül (melynek matematikai modelljét a Wiener-folyamatok adják). A binomiális modellben létrejön egy véletlen bolyongás ahogy folyamatosan haladunk el®re a kereskedési id®pontok ütemében az eseményfában, ahol a csúcsok a részvényárak lehetséges értékeit jelzik.

Ennek a bolyongásnak a

megvizsgáltuk néhány diszkrét tulajdonságát, az iterált logatimus, nagy szá-

51

5.1 Binomiális modellek közelítése

5. fejezet Konvergencia és stabilitás

mok és centrális határeloszlás tételek segítségével. Azt fogjuk vizsgálni, hogy mi történik, ha ezeket a diszkrét id®közöket folyamatosan csökkentjük. Meg fogjuk mutatni, hogy ekkor a véletlen bolyngás a Brown mozgáshoz vezet, tehát bebizonyítjuk, hogy a CRR formula folytonos határértéke pontosan a Black-Scholes formula.

5.1.

Binomiális modellek közelítése T = [0, T ]

Egy véges, valós

id®intervallumon tekintsük az

S = (St )t∈T

árfolyamatot, és vegyünk egy erre a részvényre vonatkozó európai call opciót

fT = (ST − K)+

kizetési függvénnyel.

A folytonos modellt diszkrétté te-

hetjük, ha veszünk egy binomiális ármozgású és feltesszük, hogy

N

h = T /N

T = {0, h, 2h, . . . , N h} ⊂ [0, T ]

kezd®értékét jelöljük

részvényt

S0

db véges számú ármozgást végez adott

vallumban úgy, hogy az intervallumot hozva ezzel a

S

C0N -nel.

kezd®értékkel

(0, T ]

id®inte-

egyenl® részre bontja, létre-

id®ponthalmazt. A call opció

Alkalmazzuk árazására a martingál árazásnál

meghatározott (4.6 tétel) képletet a

(Vt (θ) = βt−1 EQ (βT H|Ft ) ∀θ ∈ Θa -ra)

mostani konkrét esetben (amihez (4.24)-at használjuk):

V0N

−N

= (1 + R)

EQ (S0

N Y

RnN − K)+

(5.1)

n=1

ahol

n≥1

esetén (ügyelve

RnN =

és

SN

az

N -edik

St1

korábbi deníciójára):

N Snh N S(n−1)h

  (1 + b) =  (1 + a)

binomiális árfolyamat.

Az

a, b

vagy

és

R

(most így jelöljük a

kockázatmentes kamatot) értékének meghatározásához használjuk

52

??

tétel

5.2 A CRR-t®l a Black-Scholes-ig

b)


részét:

Q(R1N = 1 + b) = q = Legyen

R=

rT , N

ahol

mentes kamatláb a Legyen

σ >0

0-hoz

rögzített. Így, ha

tart és

N → ∞,

akkor a kockázat-

limn→∞ (1 + R)N = limn→∞ (1 +

rT N ) N

N -edik S N

N

rögzített.

közelít® binomiális ár folyamat esetén:

√ T =σ h 1+R N r 1+a √ T = −σ = −σ h log 1+R N log

Ezekb®l a formulákból Legyen

a

1+b

és

b

0,N Snh = (1 + R)n

r

=σ

5.2. Legyenek

q

(5.2)

(5.3)

értéke meghatározható. a kockázatmentes kötvény ára (n

diszkontált értékpapír árak hányadosai

 √  h ξ1 =  −√h

= ert .

az értékpapír árának id®egységre jutó folytonosan számított

volatilitása és legyen Az

r≥0

R−a b−a

eσξ

érték¶ek, ahol

≤ N ).

A

(ξn ) i.i.d, melyekre

valószín¶séggel

1−q

valószín¶séggel

A CRR-t®l a Black-Scholes-ig (YkN )k≤N

i.i.d változók, melyeknek

nek továbbá ezek olyanok, amelyekre 2

µN

(N µN )N

a várható értékük. Legye-

véges, ha

N →∞

és legyen

σ 1 + o( ) alakú. Ekkor a centrális határeloszlás tétel PNN N N d 2 alapján a ZN = k=1 Yk → Z , amire Z ∼ N (µ, σ ) (ahol az o a hibatag és 1 jelentés: ha n → ∞ ⇒ an ∼ o( ) esetén an → 0). n N Ezt az eredményt szeretnénk a (5.1)-ben V0 árra kapott összefüggésre

a szórásnégyzetük

felhasználni. Az el®bb láttuk, hogy

(1 + R)−N = (1 +

53

rT −N ) . Vigyük ezt be N



a várható értékbe. Ezen kívül vezessük be a következ® jelöléseket:

YnN

RN n = log 1+R

és

ZN =

N X

YnN .

n=1

Így kapjuk a következ®t:

(1 + R)

−N

N Y

RnN = (1 + R)−N (1 + R)N e

PN

n=1

YnN

= eZn .

n=1

Ekkor ezeket az eredményeket behelyettesítve (5.1)-ba, kapjuk

V0N

V0N

h rT −N i+ Zn = EQ S0 e − (1 + ) K N

értékére:

(5.4)

Ezek alapján igaz a következ®

5.1. Tétel. Legyen Z ∼ N (− 12 σ2 T, σ2 T ), ekkor V0N értékére igaz: + V0N → E S0 eZ − e−rT K .

Black-Scholes formula A BS formulának van egy nagyon jó tulajdonsága, mégpedig nem tartalmazz az értékpapír

µ átlagos hozamát,

de értéke függ a kockázatmentes kamatláb-

tól és a volatilitástól. Az eddigiek alapján le tudjuk vezetni a sokat említett formulát. Jelölje a normális eloszlás elsozlásfüggvényét eloszlásfüggvényr®l, hogy szimmetrikus, azaz:

Φ.

Fontos tudni err®l az

Φ(−t) = 1 − Φ(t).

5.2. Tétel. Legyen S egy részvény , melynek 0 id®pontbeli ára S0 , t id®pontbeli ára St , és vegyük az erre a részvényre szóló európai call opciót a 54



fT = (ST − K)+ kizetési függvénnyel (K az opció lehívási ára). Ekkor a call

opció 1. nulladik id®pontbeli (méltányoys) ára: V0 (C) = V0 = S0 Φ(d+ ) − erT KΦ(d− )

ahol d± =

(5.5)

log( SK0 ) + (r ± 12 σ 2 )T √ σ T

2. t ∈ [0, T ] id®pontbeli ára: Vt (C) = Vt = St Φ(dt+ ) − er(T −t) KΦ(dt− ) log( SKt ) + (r ± 12 σ 2 )(T − t) √ σ T −t

ahol dt± =

Bizonyítás. kifejezzük

(5.6)

Standardizálujk

√

Z -t, így jutunk X =

Z -t: Z = σ T X − 12 σ 2 T .

Ekkor

Z+ 12 σ 2 T √ σ T

V0N -re

∼ N (0, 1).

Ebb®l

alkalmazzuk 5.1 tételt

(felhasználva a standard normális eloszlás s¶r¶ségfüggvényét és a várható érték denícióját):

Z

∞

S0 eσ

√

T X− 12 σ 2 T

− e−rT K

−∞

+

x2 1 · √ e− 2 dx 2π

Ennek a függvénynek a tartója a (γ, ∞) intervallum (ezen kívül mindenhol log( SK0 ) + ( 12 σ 2 − r)T . Ekkor az integrált kiszámítva kapjuk, 0), ahol γ =

σT

hogy

√ V0 = S0 1 − Φ(γ − σ T ) − Ke−rT 1 − Φ(γ) .

Egy ügyes trükkel észrevehetjük, hogy

log( SK0 ) − (r + 12 σ 2 )T √ γ−σ T = . σ T √

55

5.3 Trinomiális modellek

Ekkor felhasználjuk


Φ szimmetriáját és alkalmazzuk a d± -re adott deníciót,

amivel a tétel 1. részét igazoltuk. A második részhez pedig csak egy alkalmas helyettesítést kell elvégezni:

T −t

és

S0 := St .

Ezzel a tétel mindkét részét beláttuk.

T :=

Megjegyzés A Black-Scholes formula általánosabb (és a legtöbb helyen így szerepl®) alakja: dSt

= St µdt + σSt dWt

Ez egy sztochaszdikus dierenciálegyenlet, ahol

W

egy Brown-mozgással jel-

lemezhet® folyamat (egy Wiener-folyamat).

5.3.

Trinomiális modellek

Megismertük a binomiális modellek közül a CRR-féle binomiális modellt (1979). Azonban ez egy eléggé speciális modell volt (attól függetlenül, hogy nagyon hasznos és nagyon sok egyéb modell alapjául szolgál). Ezen a ponton érdemes megemlíteni, hogy a külföldi irodalomban a jelölések konvenciója más. A legtöbb helyen a

S0

uS0 -val

és

dS0 -val

jelölik azokat az értéket, amit az

részvény a következ® kereskedési id®pontban felvehet (

tékek). Itt hasonlóan

a

és

b

értékeihez, teljesül, hogy

up

u≥1

és

down

ér-

0 < u ≤ 1.

Ez

és

lényegében egy rövidített jelölés az ebben a dolgozatban használt (és [1]-b®l kölcsönzött)

(1 + b) = u, (1 + a) = d

jelölésekre.

Tegyük fel, hogy a részvény ár a következ® kereskedési id®pontban három lehetséges értéket is felvehet. Ezzel fogjuk kapni a bevezetett

trinomiális modellt

Kamrad és Ritchken

által

(1991). A valószín¶ségeket a következ®képpen

56



(már a máasik fajta jelöléssel felírva) deniáljuk.

   U S0 pU valószín¶séggel   S1 = S0 1 − pU − pD valószín¶séggel     DS p valószín¶séggel 0 D A folytonos modellb®l többféle módon le lehet vezetni a bináris fát.

Ezt

könnyen láthatjuk, vessük össze (5.5) (a folytonos opcióárazási Black-Scholes modellt) és (4.12) (diszkrét opcióárazási CRR-féle binomiális modell) által megadott opciók árára vonatkozó egyenleteket. Ez által az

a, b

és

r

értékek

meghatározhatók. A CRR féle modell paraméterezésénél azt kapjuk, hogy:

u = eσ

√

T

,

d=

1 , u

pu =

erT − d , u−d

pd = 1 − pu

Ezen kívül léteznek más fajta paraméterezés¶ binomiális modellek. például a

Jarrow-Rudd -féle binomiális modell (1983). 1

u = e(r− 2 σ

2 )T +σ

√

T

,

1

d = e(r− 2 σ

2 )T −σ

√

T

,

Ilyen

Itt a paraméterezés:

p=

1 2

A trinomiális modell általi paraméterezés:

U = eλσ

√

T

,

1 D= , U

√ λ2 + λ(r − 21 )σ T pU = , 2

√ λ2 − λ(r − 12 )σ T pD = 2

Az opciók árazására azonban nem csak ezekkel a binomiális és trinomiális módszerekkel adhatunk megoldást, hanem van egy ezekt®l eltér® árazási módszer is, a

véges dierenciák módszere.

Egy ilyen véges dierencia mód-

szer alapján felépített modell Brennan és Schwartz nevéhez köthet®. Itt Mark Rubinstein [5] cikke alapján igaz a következ® tétel.

5.3. Tétel. A Brennan és Schwartz-féle véges dierencia módszer és a Kam57



rad és Ritchken-féle trinomiális módszer ekvivalens, azaz ugyanazt az opció értéket fogják adni ugyanolyan bemeneti adatokra. A tételben nincs említve, de fontos megjegyezni, hogy a Brannan-Schwartz modell egy logaritmikus transzformáció révén jut el a Kamrad-Ritchken modellig, de ez az értékeken nem változtat. Igaz a következ® tétel is (melynek bizonyítás Rubenstein a [5] cikkében biznyított).

5.4. Tétel. A véges dierencia módszer egy logaritmikus transzformációval (ami a Kamrad-Ritchken trinomiális modellel ekvivalens) ekvivalens a binomiális modellel. Ekkor a következ® paraméterezés¶ binomiális modellhez jutunk: √ p 1 2 2 2 1 + 2(log r)h, u = e σ h−µ h , d = , u s 1 1 1 µ√ p= + p 2h 2 2 2 2 2(σ h − µ h ) σ 2 h − µ2 h2 σ R=

ahol h = T − t, µ = log( dr ) − 21 σ2 . Ezen tétel következménye, hogy a binomiális és trinomiális modellek is ebben az értelemben ekvivalensek egymással. Ennek ellenére sokszor alkalmazzuk a trinomiális modellt, mivel annak paraméterei néha könnyebben értelmezhet®k,például a momentumok egyenl®sége alapján. Emellett a trinomiális modellnek nem elhanyagolható el®nye, hogy kisebb lépésszámban konvergál a Black-Scholes forumlához, mint a binomiális modell. A binomiális modell lényegében csak minden második lépésben tart a BS modellhez a trinomiálissal összehasonlítva. A binomiális, trinomiális és általánosságban véve egyéb multinomiális modellek az opcióárazásban még mindig fontos és napjainkban is alkalmazott

58



gyakorlati szerepet töltenek be azon esetekben, amikor a Black-Scholes féle modellek (amik explicit megadják az opció értékét) nem alkalmazhatók. Ekkor ezen numerikus számítások nagyon hasznosak.

59

Irodalomjegyzék

[1] R. J. Elliott és P. E. Kopp:

[2] Kurtán Lajos:

Pénzpiacok matematikája

Piacgazdaságtan

[3] Bodie, Kane és Marcus:

, Typotex Kiadó, 2000

, ELTE Eötvös Kiadó, 2008

Befektetések

, Aula Kiadó, 2006

[4] Brealey és Myers:

Modern Vállalati Pénzügyek

[5] Mark Rubinstein:

On the Relation Between Binomial and Trinomial Option

Pricing Models

, PANAM Kft, 2005

, April 20, 2000

[6]

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_options_pricing_model

[7]

http://en.wikipedia.org/wiki/Option_(finance)

1

1 Az említett internetes hivatkozások a dolgozat elkészítése folyamán és a leadáskor elérhet®ek voltak.

60

Pénzügyi modellek stabilitásvizsgálata

Recommend Documents