Modellek áttekintése

Modellek áttekintése

Összeállította: dr. Gerzson Miklós egyetemi docens PTE PMMIK Műszaki Informatika Tanszék

2015.12.06.

Intelligens rendszerek I. – PTE PMMIK Mérnök informatikus BSc szak

1

A rendszer fogalma • A rendszer kölcsönhatások és kölcsönös összefüggések által összekapcsolt objektumok halmaza • Kölcsönhatások: anyag-, energia- és információátadással járó folyamatok

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/2

Rendszerfogalmak általános jellemzői • A rendszer tagolt egész • A „rész – egész” viszony a szerkezetben és a tulajdonságokban • A rendszer kölcsönhatásban álló elemek összessége • kapcsolatok - relációk

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/3

Rendszerfogalmak általános jellemzői • A rendszer egység • rendszeralkotó tényező léte • autonóm - heteronóm • Hirerarchia • autonomitás  modularitás • heteronomitás  rendszerparadoxonok

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/4

Jel- és rendszermodellek • modellek segítségével: • a valóság egy részének kiemelése • jelenségek leegyszerűsítése • ismeretek rögzítése átadása • tudományos modellalkotás objektív • fizikai, kémiai, gazdasági törvények • matematikai formalizmusok

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/5

Jel- és rendszermodellek • Modellek típusai • funkcionális • fizikai • matematikai

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/6

Jel- és rendszermodellek • A matematikai modell ismeretanyaga • törvények • struktúra

statikus

• paraméterek • állapot

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

dinamikus

Modellek/7

Jel- és rendszermodellek • Modellezés alapfogalmai • szeparáció – körülhatárolás • szelekció – válogatás • egyszerűsítési hiba • gazdaságosság

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/8

Jel- és rendszermodellek • Modellalkotás módszerei • A felhasznált információ forrása • a priori • a posteriori • deduktív modellezés • induktív modellezés

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/9

Kálmán-féle rendszer definíció • „állapottér” definíciók  bemenet-kimenet modellek

rendszer

…

…

(térbeli) bemenetek

(térbeli) kimenetek

(időbeli) bemenetek - kimenetek

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./10

Kálmán Rudolf

Rudolf Emil Kalman was born in Budapest, Hungary, on May 19, 1930. He received the bachelor's degree (S.B.) and the master's degree (S.M.) in electrical engineering, from the Massachusetts Institute of Technology in 1953 and 1954 respectively. He received the doctorate degree (D. Sci.) from Columbia University in 1957. His major positions include that of Research Mathematician at R.I.A.S. (Research Institute for Advanced Study) in Baltimore, between 1958-1964, Professor at Stanford University between 1964-1971, and from 1971 to 1992 Graduate Research Professor, and Director, at the Center for Mathematical System Theory, University of Florida, Gainesville. Moreover, since 1973 he has also held the chair for Mathematical System Theory at the ETH (Swiss Federal Institute of Technology) Zurich. He is the recipient of numerous awards, including the IEEE Medal of Honor (1974), the IEEE Centennial Medal (1984), the Kyoto Prize in High Technology from the Inamori foundation, Japan (1985), the Steele Prize of the American Mathematical Society (1987), and the Bellman Prize (1997). He is a member of the National Academy of Sciences (USA), the National Academy of Engineering (USA), and the American Academy of Arts and Sciences (USA). He is a foreign member of the Hungarian, French, and Russian Academies of Science, and has received many honorary doctorates. He is married to Constantina nee Stavrou, and they have two children, Andrew and Elisabeth. Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./11

Kálmán-féle rendszer definíció Bevezető fogalmak 1. Idő • T - időhalmaz • folytonos – diszkrét • véges – végtelen (egyik vagy mindkét irányban)

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./12

Kálmán-féle rendszer definíció 2. Adott a • a lehetséges bemeneti értékek halmaza U, uU •

a lehetséges kimeneti értékek halmaza Y, yY

•

a lehetséges belső állapot értékek halmaza X, xX

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./13

Kálmán-féle rendszer definíció 3. Adott • a lehetséges bemenet-időfüggvények halmaza 

 = { : T  U } • a lehetséges kimenet-időfüggvények halmaza 

 = { : T  Y }

u(t )   Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

y(t )   Modellek./14

Kálmán-féle rendszer definíció • Axiómák 1. A bemenetek szétvághatósága • bemenetszegmens fogalma (t1, t2]  T időintervallum u(t )/ t  (t1, t2] u(t )(t1, t2] • szétvághatóság t1 < t ’
Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./15

Kálmán-féle rendszer definíció 2. Az állapot-átmeneti függvény létezése

:TTXX x(t2)=  (t2, t1, x(t1), u(t )(t1, t2] ) •

tulajdonságok

1. t2  t1 -re igaz; 2. t2 = t1 esetén x(t2)= x(t1); konzisztencia Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./16

Kálmán-féle rendszer definíció

3. ha t1 < t ’< t2 , akkor x(t2) =  (t2, t1, x(t1), u (t )(t1, t2] ) = =  (t2, t’, x(t’ ), u (t )(t’, t2] ) ; 4. Egyértelműség: ha x(t1) = x’ (t1) és u(t ) = u’ (t ) / t  (t1, t2] akkor x(t2) = x’ (t2)

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./17

Kálmán-féle rendszer definíció 3. A kiolvasó (kimeneti) függvény létezése

:TXUY y(t1) =  (t1, x(t1), u (t1))

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./18

Kálmán-féle rendszer definíció • Rendszerdefiníció:  = (T, X, U, Y, , , , ) ahol • T – az időhalmaz • X – a lehetséges belső állapotok halmaza • U – a lehetséges bemeneti értékek halmaza • Y – a lehetséges kimeneti értékek halmaza •  – a lehetséges bemenet időfüggvények h.-a •  – a lehetséges kimenet időfüggvények h.-a •  – az állapotátmeneti függvény •  – a kiolvasó függvény Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./19

Kálmán-féle rendszer definíció • néhány elnevezés: • (t, xt) - esemény • T  X – eseménytér vagy fázistér •  állapotátviteli függvény  trajektória, pálya, folyam, megoldás, megoldási görbe

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./20

Kálmán-féle rendszer definíció • az  / u(t) bemenet vagy beavatkozás a rendszer x(t1) állapotát átviszi vagy áttranszformálja a (t2, t1, x(t1), u (t )(t1, t2] ) állapotba, azaz a rendszer működik • ha -nak egyetlen eleme van, akkor  -t szabadnak nevezzük • reverzibilis rendszer, ha az állapot-átmeneti függvény tetszőleges t1, t2 értékekre teljesül

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./21

Rendszerek osztályozása • A T időhalmaz alapján: folytonos idejű – diszkrét idejű • Az X, U, Y halmazok értékei alapján: számszerűek – nemszámszerűek • Az X állapothalmaz alapján: véges állapotú – végtelen állapotú Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./22

Rendszerek osztályozása • Az X, U, Y, ,  halmazok alapján: lineárisak – nemlineárisak • A  függvény alapján: időinvariáns – idővariáns • A , u(t), y(t) függvények alapján: determinisztikus - sztochasztikus Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./23

Rendszerek osztályozása • A  függvény értékeinek a helytől való függése alapján: véges dimenziós – végtelen dimenziós (koncentrált paraméterű – elosztott paraméterű) Véges állapotú, diszkrét idejű, időinvariáns rendszerek  automaták

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek./24

Kálmán-féle rendszer definíció • Rendszerdefiníció:  = (T, X, U, Y, , , , ) ahol • T – az időhalmaz • X – a lehetséges belső állapotok halmaza • U – a lehetséges bemeneti értékek halmaza • Y – a lehetséges kimeneti értékek halmaza •  – a lehetséges bemenet időfüggvények h.-a •  – a lehetséges kimenet időfüggvények h.-a •  – az állapotátmeneti függvény •  – a kiolvasó függvény Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/25

Állapottér modell • Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottér modell: x t   Axt   But 

yt   C xt   Dut  ahol x – a belső állapotok vektora u – a bemeneti vektor y – a kimeneti vektor A – az állapot-átmeneti mátrix B – a bemeneti mátrix C – a kimeneti mátrix D – a segédmátrix Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/26

Az állapottér modell • A modell elemeinek dimenziója dim(x) dim(u) dim(y) dim(A) dim(B) dim(C) dim(D)

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

SISO n 1 1 nn n1 1n 11 x  Ax  bu

MIMO n p r nn np rn rp x  Ax  Bu

y  cT x  du

y  C x  Du

x  Ax  Bu y  C x  Du

Modellek /27

Az állapottér modell • az állapottér modell blokkdiagramja

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek /28

Az állapottér modell • idővariáns, lineáris állapottér modell: x t   At  xt   Bt  u t  y t   C t  x t   Dt  xt 

• nemlineáris, időinvariáns állapotér modell:

xt   f xt , ut  yt   g xt , ut 

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek /29

Az állapottér modell • diszkrét idejű, lineáris, időinvariáns állapottér modell: xk  1Th    xkTh    u kTh  y kTh   C xkTh   Du kTh 

• ahol Th a mintavételezési időköz

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek /30

Állapottér modell - példa • Példa

Fi

h1

Kv1

Kv2 h2

A1

A2 F1

Fo

ahol A1, A2 – az 1. ill. 2. tartály alapterülete h1, h2 – az 1. ill. 2. tartálybeli szintmagasság Kv1, Kv2– a szelep ellenállási tényezők Fi, F1, Fo – belépő, átfolyó, kilépő vízáram Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellekl/31

Állapottér modell - példa Fi

• a leíró egyenletek: h1

tartálybeli belépő kilépő mennyiség = áram - áram megváltozása

• 1. tartály • 2. tartály

1 1  h1  h2   h2 A2 h2  K v1 Kv2

Kv2 h2

A1

1 h1  h2  A1h1  Fi  K v1

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Kv1 A2 F1

Fo

Modellek/32

Állapottér modell - példa • legyen a két állapotváltozó h1 és h2  x vektor elemei a bemenő változó Fi  u (egy bemenet) a kimenő változó F1  y (egy kimenet) • az egyenletek átalakítása után:

h1   h2 

1 1 h1  h2   Fi A1 K v1 A1

 1 1 1  h2 h1     A2 K v1 A K A K 2 v2   2 v1

1 F1  h1  h2  K v1 Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/33

Állapottér modell - példa • ebből az állapottér modell: 1     h1  A1 K v1     h2   A21K v1



x =  1 F1    K v1

y = Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

1 A1K v 2 K v1  K v 2 A2 K v1K v 2

 h   1     1    A1   Fi  h2   0  



x + B

A



u

1   h1     K v1  h2 

C

x

+ D



u Modellek/34

Bemenet/kimenet modellek • Rendszerdefiníció:

 = (T, X, U, Y, , , , ) • hagyjuk el az állapotra vonatkozó elemeket • vezessük be az A indexhalmazt és az F függvénycsaládot: F = {f| f : T    Y, A} • F egyes tagjai: y(t) = f  (t, u(t)) ahol az y(t) az u(t) bemenetből a t időpillanatban kapott eredmény az  kísérlet esetében Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/35

Bemenet/kimenet modellek • az függvényeket input/output (bemenet/kimenet) függvényeknek nevezzük, melyekre igaz: • (az idő iránya) létezik az : A  T leképezés úgy, hogy f(t, u(t)) definiált t  () -ra • (okozatiság) Legyen , tT és  < t. Ha u(t),u’(t)   és u(t)(, t] = u’(t)(, t] akkor f(t, u(t)) = f(t, u’ (t)) -ra úgy, hogy  = () Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/36

Bemenet/kimenet modellek • Bemenet-kimenet modell definíciója

 I/O= (T, U, Y, ,  , F) • a dinamikus bemenet/kimenet modellek a kísérleti adatok összefoglalásai • az  absztrakt paraméterrel megcímkézett kísérletek egy alkalmazott bemenetből ( vagy u(t)) és egy megfigyelt kimenetből (y(t)) állnak.

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/37

Bemenet/kimenet modellek • A bemenet-kimenet modell alakjai: • általános alak: y(t) = F(u(), t0  t) + y(t0) • dinamikus rendszerek esetén ez az általános alak átírható differenciálegyenletté:

f (y(t), y(t)(1),…, y(t)(n), u(t), u(t)(1),…, u(t)(m), t) = 0

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellekl/38

Bemenet/kimenet modellek • Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű bemenetkimenet modell: an y n   an 1 y n 1    a1 y 1  a0 y  bm u m     b0u ahol u – a bemenő jel y – a kimenő jel an,…,a0,bm,…,b0 – paraméterek

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/39

Bemenet/kimenet modellek • Lineáris, idővariáns, folytonos idejű bemenetkimenet modell: a n t  y n  t   a n 1 t  y n 1 t     a1 t  y 1 t   a0 t  y t    bm t u m  t     b0 t u t 

az együtthatók (an,…,a0,bm,…,b0) időfüggők!

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/40

Bemenet/kimenet modellek • Diszkrét időtartomány – differenciaegyenlet modell • előrefelé vett differenciák cn y k  n T   cn 1 y k  n  1T     c1 y k  1T   c0 y kT    d m u k  m T     d 0u kT 

• visszafelé vett differenciák c0 y kT   c1 y k  1T     cn 1 y k  n  1T   c n y k  n T    d 0 u k  d T   d1u k  d  1T     d m u k  d  m T 

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/41

Bemenet/kimenet modellek an yn  a1 y1  a0 y  bmum  b0u • I/O modell jelzői: • lineáris • időinvariáns • folytonos idejű • y(t0), …, y(n-1)(t0) – kezdeti feltételek • n-ed rendű • n  m – oksági szabály • inhomogén • SISO

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/42

Átviteli függvény • Az átviteli függvény:

bmsm  bm1sm1  b0 L y(t) Gs   n n1 Lut  z.k. f . ans  an1s  a0 • • • •

lineáris rendszerek független a konkrét bemenettől rendszer tulajdonságainak hordozója felírható az állapottér modell alapján is!

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek /43

Átviteli függvény • szokásos jelölései: Y (s) b(s) z(s) G( s)    U (s) a( s) p(s)

• számláló gyökei: zérushelyek • nevező gyökei: pólusok • alkalmazása adott bemenet esetén a kimenet meghatározására: Y(s) = G(s)U(s) Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/44

Tipikus vizsgálójelek • Egységimpulzus függvény:  (t)

 t  0  t    0 t  0 • válaszfüggvény: súlyfüggvény

t

• Egységugrás függvény: 1(t)

1 t  0 1t    0 t  0 • válaszfüggvény: átmeneti függvény Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek /45

Tipikus vizsgálójelek • Egység sebességugrás függvény: v(t) 0 t  0 vt    t t  0

• Egységgyorsulás függvény: a(t) • Szinuszos jellegű bemenet: Asint • Random jellegű (véletlenszerű) bemenet: • normális eloszlású, • egyenletes eloszlású, • PRBS zaj bemenetek Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek /46

Tipikus jelátviteli tagok • Nulladrendű tag • n = 0, m = 0 • I/O modell: a0 y t   b0 u t 

• átviteli függvény:

G s   K

• jellemző paraméterek: K - erősítés

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek /47

Tipikus jelátviteli tagok • Elsőrendű tag • n = 1, m = 0 • I/O modell: a1 y 1 t   a0 y t   b0u t 

• átviteli függvény:

K G s   s  1

• jellemző paraméterek: K – erősítés  – időállandó

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/48

Tipikus jelátviteli tagok • Integráló tag • n = 1, m = 0 de a0 = 0 • I/O modell: a1 y 1 t   b0u t 

1 KI • átviteli függvény: G ( s)   TI s s

• jellemző paraméterek: TI – integrálási időállandó KI – integráló erősítés

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/49

Tipikus jelátviteli tagok • Deriváló tag • n=0, m=1 nem megvalósítható eset • I/O modell: a0 y t   b1u (1) t  • átviteli függvény: G ( s )  TD s • jellemző paraméterek: TD – deriválási időállandó • n=1, m=1 megvalósítható eset (1) (1)     t  a y t  a y t  b u • I/O modell: 1 0 1 • átviteli függvény: TD s G ( s)  T1s  1 Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/50

Tipikus jelátviteli tagok • Másodrendű tag • n = 2, m = 0 • I/O modell: a2 y 2 t   a1 y 1 t   a0 yt   b0ut 

• átviteli függvény: G( s ) 

K 2 2

T s  2Ts  1



Kn2 s 2  2n s  n2

• jellemző paraméterek: K – erősítés  - csillapítási tényező T – időállandó / n - természetes frekvencia Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/51

Tipikus jelátviteli tagok • n-ed rendű tag • n > 0, m = 0, a0 ≠ 0 • I/O modell: an y n t   an1 y n1 t    a1 y 1 t   a0 yt   b0ut 

• átviteli függvény: G( s ) 

K Tnn s n  Tnn11s n1   T1s  1

• jellemző paraméterek: K – erősítés Ti – időállandók Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/52

Tipikus jelátviteli tagok • n-ed rendű integrálótag • n > 0, m = 0, a0 = 0 • I/O modell: n  n1 1 an y t   an1 y t    a1 y t   b0ut  • átviteli függvény: 1 1 G(s)  n n  n1 n1 TIn s  TIn1s   TI1s s TInn s n1  TInn11s n2   TI1





• jellemző paraméterek: TIi – integrálási időállandók Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Modellek/53