Pengantar Proses Stokastik

Ruang Sampel dan Kejadian Peubah Acak Parameter Distribusi Proses Stokastik Diskusi Pustaka

611.22.033 Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

611.22.033 Pengantar Proses Stokastik


Ruang Sampel dan Kejadian Peluang

Ruang Sampel dan Kejadian

Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Contoh: dari pelemparan sebuah dadu diperoleh keluaran S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasa dinotasikan dengan huruf kapital. Contoh: munculnya bilangan genap pada pelemparan sebuah dadu: A = {2, 4, 6}.





Gabungan Kejadian A ∪ B = {a ∈ S : a ∈ A atau a ∈ B}

Irisan Kejadian A ∩ B = {a ∈ S : a ∈ A dan a ∈ B}





Kejadian A dan B bersifat ’mutually exclusive (saling asing)’ jika A ∩ B = φ. Komplemen ¯ = {a ∈ S : a ∈ Ac = A / A}





Partisi Ruang Sampel Sebuah himpunan kejadian {A1 , A2 , . . .} merupakan partisi dari ruang sampel S jika 1

2

Kejadian-kejadian tersebut bersifat ’mutually exclusive’, Ai ∩ Aj = φ jika i 6= j. ∪i Ai = S





Peluang Peluang kejadian A adalah n(A) n→∞ n

P(A) = lim

n(A) : banyaknya keluaran A n : banyaknya percobaan atau P(A) =

n(A) n(S)

n(A) : banyaknya keluaran A n(S) : banyaknya anggota ruang sampel S Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Sifat-sifat peluang 1 2 3

0 ≤ P(A) ≤ 1 P(S) = 1 P(φ) = 0 Untuk himpunan kejadian A1 , A2 , . . . yang ’mutually exclusive’, ! ∞ ∞ [ X P An = P(An ) n=1

4 5 6

n=1

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(Ac ) = 1 − P(A) Jika A ⊆ B maka P(A) ≤ P(B)





Contoh 1

Misalkan P(A ∪ B) = P(A ∪ B c ) = 0.6. Hitung P(A)!





Jawab: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.6 P(A ∪ B c ) = P(A) + P(B c ) − P(A ∩ B c ) = 0.6 Jumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh 2P(A) + P(B) + P(B c ) − (P(A ∩ B) + P(A ∩ B c )) = 1.2 2P(A) + 1 − P(A) = 1.2 P(A) = 0.2 Note: P(B) + P(B c ) = 1 P(A ∩ B) + P(A ∩ B c ) = P(A) Atina Ahdika, S.Si, M.Si



Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Peubah Acak Kontinu

Peubah Acak Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota ruang sampel S ke bilangan real. X : S 7→ R Contoh: Misalkan dua buah koin dilemparkan. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul, maka X adalah peubah acak yang bernilai 0, 1, dan 2 dengan peluang munculnya 1 P(X = 0) = P(BB) = 4 1 P(X = 1) = P(MB, BM) = 2 1 P(X = 2) = P(MM) = 4 Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Peubah Acak Diskrit

Peubah acak diskrit merupakan peubah acak yang terdefinisi pada barisan terhitung dari bilangan {xi , i = 1, 2, . . .} sedemikian hingga ! [ X P {X = xi } = P(X = xi ) = 1 i


i




Fungsi peluang ( pi , p(x) = P(X = x) = 0,

jika x = xi . lainnya

Fungsi distribusi FX (x) =

X

p(xi )

i





Distribusi Binomial

Misalkan sebuah percobaan yang keluarannya berupa sebuah sukses atau sebuah gagal. Misalkan X = 1 jika hasilnya sukses dan X = 0 jika gagal, maka fungsi peluangnya p(0) = P(X = 0) = 1 − p p(1) = P(X = 1) = p di mana p merupakan peluang sukses dan 0 ≤ p ≤ 1. Maka X merupakan peubah acak Bernoulli.





Jika terdapat n percobaan independen dengan keluaran berupa sukses dan gagal dan X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh, maka X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, p) dan fungsi peluangnya n x p(x) = p (1 − p)n−x , x = 0, 1, 2, . . . x





Contoh 2

Misalkan sebuah mesin pesawat akan rusak dalam penerbangannya dengan peluang 1 − p, saling bebas antara mesin satu dengan lainnya. Misalkan pesawat akan terbang dengan sukses jika setidaknya 50% mesinnya dapat bekerja dengan baik. Untuk p berapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin?





Peluang bahwa pesawat dengan 4 mesin akan terbang dengan sukses adalah P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) 4 2 4 3 4 4 2 = p (1 − p) + p (1 − p) + p (1 − p)0 2 3 4 = 6p 2 (1 − p)2 + 4p 3 (1 − p) + p 4 Peluang bahwa pesawat dengan 2 mesin akan terbang dengan sukses adalah P(X ≥ 1) = P(X = 1) + P(X = 2) 2 2 2 = p(1 − p) + p (1 − p)0 1 2 = 2p(1 − p) + p 2 Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Maka, peluang pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin adalah 6p 2 (1 − p)2 + 4p 3 (1 − p) + p 4 ≥ 2p(1 − p) + p 2 6p(1 − p)2 + 4p 2 (1 − p) + p 3 ≥ 2 − p 3p 3 − 8p 2 + 7p − 2 ≥ 0 (p − 1)2 (3p − 2) ≥ 0 2 p≥ 3





Distribusi Geometrik

Misalkan percobaan-percobaan yang saling bebas, masing-masing memiliki peluang sukses p, dilakukan hingga diperoleh sukses pertama. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mencapai sukses pertama, maka X dikatakan sebagai peubah acak Geometrik dengan parameter p dan fungsi peluangnya P(X = n) = (1 − p)n−1 p, n = 1, 2, . . .





Contoh 3

Sebuah koin dilemparkan dengan peluang muncul sisi muka sebesar p, sampai muka pertama muncul. Misalkan N menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan, asumsikan bahwa masing-masing pelemparan yang sukses saling bebas. Tentukan P(N)!





N merupakan p.a yang menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan sehingga muncul sisi muka yang pertama. Maka P(N = 1) = P(M) = p, P(N = 2) = P(B, M) = (1 − p)p, P(N = 3) = P(B, B, M) = (1 − p)2 p, .. . P(N = n) = P(B, B, . . . , B, M) = (1 − p)n−1 p, n ≥ 1 Note: muncul B sebanyak n − 1 kali





Contoh 4 Tiga mahasiswa akan menghadap dosen pembimbing TA. Untuk menentukan siapa yang akan maju duluan, mereka sepakat mengundi dengan melantunkan koin (mungkin karena sama-sama belum ada kemajuan TA-nya). Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib maju terlebih dahulu ke dosen pembimbing mereka. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan peluang bahwa seseorang akan maju ketika koin dilantunkan tepat tiga kali. Tentukan pula peluang seseorang akan maju setelah koin dilantunkan lebih dari 4 kali.





3 X ∼ Geo p = 4

Maka P(X = 3) = 1 −

3 2 3 4 4

=

3 64

P(X > 4) = 1 − P(X ≤ 4)





Distribusi Poisson

Sebuah peubah acak X yang bernilai 0, 1, 2, . . . dikatakan peubah acak Poisson dengan parameter λ, jika untuk λ > 0, P(X = x) = e −λ

λx , x = 0, 1, 2, . . . x!

Distribusi Poisson menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu selang waktu atau area tertentu.





Contoh 5

Pandang sebuah percobaan yang terdiri atas perhitungan banyaknya partikel-α yang dilepaskan dalam satu detik oleh satu gram bahan radioaktif. Jika diketahui dari percobaan-percobaan sebelumnya bahwa rata-rata 3.2 partikel-α yang dilepaskan, berapa pendekatan yang baik untuk peluang bahwa tidak lebih dari 2 partikel-α yang akan muncul?





X ∼ POI (λ = 3.2) Maka P(X ≤ 2) = e −3.2 + e −3.2

3.2 (3.2)2 + e −3.2 1! 2!

≈ 0.382





Peubah Acak Kontinu

X merupakan peubah acak kontinu jika terdapat fungsi nonnegatif f (x), terdefinisi untuk semua bilangan real x ∈ (−∞, ∞) sehingga Zx FX (x) =

fX (t)dt −∞

atau fX (x) =


d FX (x) dx




Distribusi Uniform

Sebuah peubah acak dikatakan berdistribusi Uniform (menyebar seragam) sepanjang interval (a, b) jika fungsi peluangnya diberikan ( 1 , a<x




Beberapa peubah acak kontinu dalam ilmu fisika, manajemen, dan ilmu biologi biasanya menggunakan pendekatan distribusi Uniform. Sebagai contoh, misalkan kita menghitung banyaknya kejadian yang berdistribusi Poisson, seperti banyaknya panggilan telepon yang masuk ke suatu operator. Jika diketahui tepat satu kejadian yang terjadi pada suatu interval, misal (0, t), maka waktu terjadinya kejadian adalah berdistribusi Uniform pada interval yang telah diberikan di depan.





Contoh 6

Kedatangan pelanggan pada suatu toko berdistribusi Poisson. Diketahui bahwa selama periode waktu 30 menit, seorang pelanggan tiba di dalam toko tersebut. Tentukan peluang bahwa pelanggan datang selama 5 menit terakhir dari periode waktu 30 menit.





X adalah p.a. yang menyatakan waktu kedatangan pelanggan, X ∼U





Contoh 7

Jika X ∼ U(−1, 1). Tentukan P |X | >


1 2

!



fX (x) =


1 1 = , −1 < x < 1 1 − (−1) 2

Maka

1 P |X | > 2


=




Distribusi Eksponensial

Sebuah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi peluang sebagai berikut, untuk suatu λ > 0, ( λe −λx , jika x ≥ 0 fX (x) = . 0, jika x < 0 disebut sebagai peubah acak Eksponensial dengan parameter λ.





Peubah acak Eksponensial muncul pada pemodelan waktu antar kejadian. Contoh: Waktu panggilan antar pelanggan pada suatu provider Masa hidup dari suatu alat dan sistem





Contoh 8

Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrian di Bank berdistribusi Eksponensial dengan mean 10. Berapa peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani?





Distribusi Gamma

Sebuah peubah acak kontinu X dengan fungsi peluang fX (x) =

1 −x x α−1 e β , x ≥ 0 α Γ(α)β

untuk suatu β > 0, α > 0 dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter (α, β)





Definisi fungsi Gamma: Z∞ Γ(α) =

e −x x α−1 dx

0

Note: Γ(n) = (n − 1)! Γ(n + 1) = nΓ(n), n > 0





Peubah acak Gamma merupakan hasil penjumlahan dari peubah acak-peubah acak Eksponensial. Misalkan kita mempunyai api unggun Misalkan waktu untuk masing-masing api unggun terbakar berdistribusi Eksponensial dengan laju β β = λ1 . Misalkan masa hidup masing-masing api unggun saling bebas Waktu sampai api unggun ke-α berhenti terbakar adalah berdistribusi Gamma dengan parameter α dan β.





Contoh 9

Tiga buah lampu mempunyai masa hidup X1 , X2 , dan X3 secara berturut-turut berdistribusi Eksponensial dengan mean 200 jam. Misalkan masa hidup sebuah lampu saling bebas dengan masa hidup lampu yang lain. Tentukan distribusi peluang dan ekspektasi waktu sampai ketiga lampu mati.





Misalkan Y = X1 + X2 + X3 menyatakan total masa hidup ketiga lampu. Y berdistribusi Gamma dengan parameter α = . . . dan β = ... Maka





Contoh 10

Apa yang dapat kita katakan tentang disribusi Gamma jika α = 1?





Misalkan X ∼ Gamma(α = 1, β) maka





Distribusi Normal

X merupakan peubah acak Normal dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang X diberikan 1 x−µ 2 1 fX (x) = √ e − 2 ( σ ) , ∞ < x < ∞ σ 2π





Contoh 11

Jumlah (dalam ons) sereal MILO berdistribusi Normal dengan mean 16.5 dan standar deviasi σ. Jika si pengemas MILO disyaratkan harus mengisi minimal 90 % kotak sereal MILO dengan 16 ons atau lebih, berapa nilai maksimal dari σ?





X ∼ N(16.5, σ 2 ) P(X ≥ 16) . . . 0.9




Ekspektasi Variansi Kovariansi Fungsi Pembangkit Momen

Ekspektasi

Distribusi Kontinu Z∞ E (X ) =

x fX (x)dx −∞

Distribusi Diskrit E (X ) =

X

x i pi

i





Karakteristik ekspektasi: R∞ g (x)f (x) (untuk distribusi kontinu) E (g (X )) = −∞

E (cX ) = cE (X ), c konstan E (aX + b) = aE (X ) + b E (X1 + X2 + . . . + Xn ) = E (X1 ) + E (X2 ) + . . . + E (Xn ) E (X · Y ) = E (X ) · E (Y ), hanya jika X dan Y saling bebas





Contoh 12

Misalkan X menyatakan lama (jam) mahasiswa belajar Pengantar Proses Stokastik dan fungsi peluang X adalah sebagai berikut: ( x − 2, 2 ≤ x < 3 fX (x) = 1 4<x <6 4, Berapa rata-rata lama waktu mahasiswa belajar Pengantar Proses Stokastik?





Z∞ E (X ) =

x f (x) dx −∞

=





Variansi Variansi: ¯ )2 ] = E (X 2 ) − [E (X )]2 Var (X ) = E [(X − X Karakteristik variansi: Var (cX ) = c 2 Var (X ), c konstan n P Var (X1 + X2 + . . . + Xn ) = Cov [Xi , Xj ] i,j=1

Var (X1 + X2 + . . . + Xn ) = Var (X1 ) + Var (X2 ) + . . . + Var (Xn ), hanya jika Xi saling bebas





Contoh 13

Tentukan Var (X ) ketika X menyatakan keluaran yang mungkin ketika sebuah dadu dilemparkan.





Kovariansi

Kovariansi: ¯ )(Y − Y¯ )] = E (XY ) − E (X )E (Y ) Cov (X , Y ) = E [(X − X Karakteristik kovariansi: Cov (X , X ) = Var (X ) Cov (X , Y ) = 0, jika X dan Y saling bebas Cov (X , Y ) = Cov (Y , X ) Cov (X + Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )





Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen MX (t) dari suatu peubah acak X untuk semua nilai t didefinisikan P tx jika X adl p.a. diskrit   e p(x), x tX MX (t) = E (e ) = R∞ tx  e fX (x)dx, jika X adl p.a. kontinu  −∞





Dikatakan fungsi pembangkit momen karena semua momen dari X dapat diperoleh dengan menurunkan fungsi tersebut pada saat t = 0, yaitu dk E (e tX )|t=0 E (X k ) = MXk (0) = dt Contoh: Momen Pertama d 0 E (X ) = MX (0) = E (e tX )|t=0 dt tX = E (Xe )|t=0 Momen Kedua 00

E (X 2 ) = MX (0) = =

d 0 M (t) dt X

d E (Xe tX )|t=0 = E (X 2 e tX )|t=0 dt





Contoh 14

Misalkan X ∼ Eksp(λ), maka fungsi pembangkit momen untuk X adalah




Proses Stokastik

Sebuah proses stokastik {Xt , t ∈ T } adalah sebuah kumpulan peubah acak, yaitu untuk setiap t ∈ T , Xt adalah sebuah peubah acak. Indeks t sering diinterpretasikan sebagai waktu dan sebagai hasilnya, Xt dinyatakan sebagai ”keadaan” dari suatu proses pada waktu t.




Sebagai contoh, Xt dinyatakan sebagai banyaknya pelanggan yang masuk ke dalam suatu supermarket sampai waktu t; banyaknya pelanggan di dalam supermarket pada saat t; atau total banyaknya penjualan yang tercatat di pasar sampai waktu t, dsb.




Himpunan T dikatakan sebagai himpunan indeks dari proses stokastik. Ketika T sebuah himpunan yang terhitung, maka proses stokastik dikatakan sebagai proses waktu-diskrit. Jika T adalah sebuah interval pada suatu garis bilangan real, maka proses stokastik dikatakan sebagai proses waktu-kontinu.




Singkatnya, {Xt , t = 0, 1, . . .} adalah suatu proses stokastik waktu-diskrit yang diindeks dengan bilangan bulat nonnegatif. Sedangkan {X (t), t ≥ 0} adalah proses stokastik waktu-kontinu yang diindeks dengan bilangan real nonnegatif.




Diskusi 1

Diskusi 1 1. Misalkan sebuah koin yang mempunyai peluang muncul muka sebesar 0.7, dilantunkan tiga kali. Misalkan X menyatakan banyaknya muka yang muncul pada tiga kali lantunan. Tentukan fungsi massa peluang dari X . 2. Diketahui

 1  2x, 0 ≤ x ≤ 2 fX (x) = 34 , 2 < x < 3   0, x yang lain

.

Tentukan: a. P X > 41 b. Tentukan FX (x) Atina Ahdika, S.Si, M.Si



Diskusi 1

3. Di dalam sebuah kantong terdapat n + m bola, dengan n bola merah dan m bola hitam. Bola-bola tersebut akan diambil dari kantong, satu kali pengambilan setiap waktu dan pengambilan dilakukan tanpa pengembalian. Misalkan X menyatakan banyaknya bola merah yang diambil sebelum bola hitam pertama terambil. Kita akan menentukan E (X ). Untuk mendapatkannya, beri nomor untuk bola merah dari 1 sampai n. Sekarang definisikan peubah acak Xi , i = 1, 2, . . . , n dengan ( 1, jika i bola merah terambil sebelum bola hitam Xi = 0, lainnya




Diskusi 1

a. Nyatakan X dalam bentuk Xi b. Tentukan E (X ) 4. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa 5% dari pemesan tiket tidak datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?




Diskusi 1

5. Medibank, perusahaan asuransi kesehatan terbesar di Australia, memiliki polis yang menanggung 100% biaya kesehatan hingga maksimal 1 juta dolar/th polis. Diketahui total tagihan kesehatan X /th memiliki fungsi peluang: fX (x) =

x(4 − x) ,0 < x < 3 9

Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, tentukan nilai yang mungkin untuk Y ! Tentukan ekspektasi dari Y !




Pustaka

Pustaka

Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.



Pengantar Proses Stokastik

Recommend Documents