Pendahuluan Aljabar Vektor Matrik Definisi: Matrik A berukuran mxn ialah suatu susunan angka dalam persegi empat ukuran mxn, sebagai berikut: a11 a 21 A= M a m1
a12 a 22 M am2
L a1n L a2n atau A = (aij) M L a mn
Untuk menyatakan elemen matrik A yang ke (i,j), yaitu aij, digunakan notasi (A)ij . Ini berarti aij = (A)ij. Bila m = n, matrik dinamai matrik bujur sangkar berukuran m. Matrik berukuran mx1 disebut vektor kolom dan berukuran 1xn disebut vektor baris. a1 a Contoh: a = 2 , suatu vektor kolom, ai menyatakan komponen a ke i. M am b = [b1 , b2 , L , bn ] , suatu vektor baris, bi menyatakan komponen b ke i.
(A)i. menyatakan vektor baris ke i matrik A. (A).j menyatakan vektor kolom ke j matrik A. Latihan 1 Berdasarkan matrik A seperti yang tercantum pada definisi, sebutkan elemen-elemen matrik berikut: (A)i. , (A)1. , (A)2 , (A)m. , (A).j , (A).1 , (A).2 , (A).n
Berbagai jenis matrik dan vektor : Matrik Diagonal Elemen diagonal matrik A ialah a11, a22, ... , amm , khusus untuk matrik bujur sangkar; dan vektor a dengan m komponen adalah sebagai berikut : a1 a a = 2 M an Bila semua elemen selain a11, a22, ... , amm bernilai 0, A disebut matrik diagonal. A = diag (a11, a22, ... , amm) menyatakan matrik diagonal dengan elemen diagonal a11, a22, ... , amm. Bila aii = 1 untuk i = 1, 2, ... , m, maka A disebut matrik identitas berukuran m, dinotasikan Im atau I. 1
DA = diag (a11, a22, ... , amm) dan Da = diag (a1, a2, ... , am) a11 0 L 0 0 a L 0 22 DA = Da = M M O M 0 L amm 0
a1 0 M 0
[
Bila A = diag (a1, a2, ... , am) dan b skalar, maka Ab = diag a1b
0 a2 M 0
0 L 0 O M L am L
]
a 2b L a mb .
Matrik Segitiga Matrik segitiga ialah matrik dengan elemen di atas atau di bawah diagonal bernilai 0. Matrik segitiga terdiri dari dua macam, segitiga atas dan segitiga bawah. Segitiga atas bila yang bernilai 0 adalah elemen di bawah diagonal, dan segitiga bawah bila yang bernilai 0 di atas diagonal. Contoh matrik segitiga atas (misal dinamai P) dan segitiga bawah (misal dinamai Q) adalah sebagai berikut : a11 0 P= M 0
a12 a22 M 0
L a1m L a2m O M L a mm
a11 a Q = 21 M am1
0 a22 M am2
0 L 0 O M L amm L
Bila A = Im , maka terdapat vektor e1, e2, ... em, masing-masing menyatakan suatu vektor dengan komponen ke 1, 2, ... m bernilai 1 dan komponen yang lain bernilai 0, dinyatakan sebagai berikut : 1 0 e1 = M 0
0 1 e2 = M 0
0 0 em = M 1
Vektor 0, Vektor 1 dan Matrik 0 0 menyatakan skalar bernilai 0. 0 menyatakan vektor dengan semua komponen bernilai 0. (0) menyatakan matrik dengan semua elemen bernilai 0. 1 menyatakan vektor dengan semua komponen bernilai 1. 1m menyatakan vektor berukuran m komponen yang semuanya bernilai 1. Latihan 2 1 2 3 4 11 13 23 34 , Diketahui : A = 5 18 28 31 4 14 25 37
2 5 a= , 9 14
b = 6.
Tulislah elemen matrik berikut : - DA , Da , A = diag (a11, a22, ... , amm), dan Ab - matrik segitiga atas dan segitiga bawah yang berkaitan dengan A 2
- (A)1. , (A)2. , (A)4. , (A).1 , (A).2 , (A).3
Operasi Matrik Penjumlahan, Matrik yang dijumlahkan harus mempunyai ukuran yang sama, yaitu banyak baris dan kolom sama. A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) Perkalian matrik dengan skalar, Bila A matrik dan α skalar, maka :
α A = A α = ( α aij)
Perkalian matrik dengan matrik, Ada dua macam perkalian matrik, yaitu perkalian sebelum (premultiplication) dan perkalian sesudah (postmultiplication), dan hasilnya tidak sama. Matrik A dikalikan dengan cara sebelum dengan matrik B, dituliskan BA; dan dikalikan secara sesudah dituliskan AB. Hasil BA tidak sama dengan AB. Ukuran matrik yang dikalikan harus sesuai. Bila A berukuran mxn, maka matrik B yang akan dikalikan dengan A harus berukuran nxp, akan menghasilkan matrik baru, misal C berukuran mxp. Elemen ke (i,j) matrik C, yaitu cij, didapatkan dengan cara berikut : p
cij = (A)i. (B).j =
∑a k =1
Penjabaran :
ik
bkj
C =AB cij = (ab)ij = (A)i. (B).j = vektor baris ke i matrik A dikalikan vektor kolom ke j matrik B b1 j b2 j = (ai1 ai 2 L aip ) M b pj = ai1b1 j + ai 2b2 j + L + aip bpj p
=
∑a k =1
b
ik kj
Matrik A yang memenuhi sifat A A = A2 = A disebut matrik idempoten. Teorema 1 Bila α dan β skalar, sedang A, B, dan C matrik, maka berlaku beberapa sifat berikut : (a) A + B = B + A (b) (A+B) + C = A + (B + C) (c) α (A + B) = α A + α B (d) ( α + β ) A = α A + β A (e) A – A = A + (–A) = (0) (f) A(B + C) = AB + AC (g) (A + B)C = AC + BC (h) (AB)C = A(BC) 3
Transpose
Transpose matrik A dinotasikan AT atau A′ didapatkan dengan cara menukar elemen baris ke i matrik A menjadi elemen kolom ke i. Bila matrik A berukuran mxn, maka A′ berukuran nxm dan elemen A′ yang ke (i,j) adalah aji ; dapat pula dinyatakan ( A′ )ij = (A)ji . Berikut ini adalah contoh matrik A′ , 1 2 3 4 11 13 23 34 , A= 5 18 28 31 4 14 25 37 b11 b12 b b22 B = 21 M M bm1 bm 2
L b1n L b2 n , L M L bmn
1 2 A′ = 3 4
11 5 4 13 18 14 23 28 25 34 31 37
b11 b21 b b B′ = 12 22 M M b1n b2 n
L bm1 L bm 2 L M L bmn
Diketahui matrik A berukuran mxp dan matrik B berukuran pxn , maka elemen ke (i,j) matrik (AB)′ dinyatakan sebagai berikut : ((AB)′)ij = (AB)ji = (A)j. (B).i p
=
∑a k =1 p
=
b
jk ki
∑b a k =1
ki
jk
= b1i a j1 + b2i a j 2 + L + bpi a jp a j1 a j2 = (b1i b2i L bpi ) M a jp = (elemen baris ke i matrik B′ )(elemen kolom ke j matrik A′ ) = (B′ )i. ( A′ ).j = (B′ A′ )ij Jadi : ( AB )′ = B′ A′
Teorema 2 Diketahui α dan β skalar, sedang A dan B matrik, maka berlaku beberapa sifat berikut : (a) ( α A)′ = α A′ (b) (A′ )′ = A (c) ( α A + β B)′ = α A′ + β B′ (d) ( AB )′ = B′ A′
4
Bila A berukuran mxm maka A′ juga berukuran mxm. Pada kasus A = A′ , matrik A disebut matrik simetri; dan bila A = - A′ , A disebut matrik skew simetri. Transpose vektor kolom adalah vektor baris, dan ada matrik khusus (misal matrik Elementer dinotasikan E) merupakan hasil kali vektor kolom dengan vektor baris, eij = (E)ij = ei ej′. Dalam notasi lengkap, ei,m e′j,n menghasilkan matrik E berukuran mxn, dengan elemen yang tidak nol bernilai 1 dan terletak pada posisi atau elemen ke (i,j). Bagaimanakah bentuk matrik E ? Setiap matrik A berukuran mxn dapat dinyatakan sebagai persamaan berikut : m
(A) =
n
∑∑ a i =1 j =1
ij
ei ,m e′j ,n
Trace Trace terdefinisikan hanya pada matrik bujursangkar. Bila matrik A berukuran mxm maka trace A, dinotasikan tr(A), adalah jumlah elemen diagonal matrik A, m
tr(A) =
∑a i =1
ii
Matrik A berukuran mxn dan B berukuran nxm, maka matrik AB berukuran mxm. Berlaku : trace (AB) = trace (BA) Penjabaran : tr(AB) =
=
m
m
i =1
i =1
m
n
n
m
∑ ( AB )ii = ∑ ( A )i.( B ).i = ∑∑ aijb ji = ∑∑ b ji aij i =1 j =1
n
n
j =1
j =1
j =1 i =1
∑ ( B )j .( A ). j = ∑ ( BA )jj = tr( BA )
Jadi : tr(AB) = tr(BA) Teorema 3 Diketahui α skalar, sedang A dan B matrik. Dengan menganggap kedua matrik ukurannya sesuai bila dikalikan, maka berlaku sifat berikut : (a) tr(A′ ) = tr(A) (b) tr( α A) = α tr(A) (c) tr(A + B) = tr(A) + tr(B) (d) tr(AB) = tr(BA) (e) tr(A′A) = 0 bila dan hanya bila A = (0)
Determinan Sebelum diuraikan perhitungan determinan dengan cara lain lebih dulu akan diuraikan dua pengertian penting, yaitu minor dan kofaktor.
5
Minor aij, dengan aij elemen matrik A berukuran mxm, dinotasikan mij, adalah determinan matrik berukuran (m-1)x(m-1). Matrik ini didapatkan dengan cara menghilangkan baris ke i dan kolom ke j matrik A. Kofaktor aij dinotasikan Aij dinyatakan dengan persamaan berikut : Aij = (-1)i+j mij Determinan matrik A berukuran mxm didapatkan dengan dua cara, yaitu ekspansi menurut baris ke i dan menurut kolom ke j, masing-masing dinyatakan dengan persamaan berikut : m
m
|A| =
∑ aij Aij
dan
∑a
|A| =
i =1
j =1
ij
Aij
Bila elemen dan kofaktor tidak bersesuaian hasil ekspansi akan bernilai 0. Ini berarti, kalau k ≠ i didapatkan persamaan bernilai 0 sebagai berikut : m
∑ aij Akj = j =1
m
∑a j =1
ji
A jk = 0
Teorema 4 Bila α skalar, sedang A dan B masing-masing matrik berukuran mxm maka berlaku sifat berikut. (a) | A′ | = |A| (b) | α A| = α m |A| (c) Bila A matrik diagonal maka |A| = a11 a22 ... amm =
∏
m
i =1
aii
(d) Bila terdapat satu baris atau kolom matrik A yang semua elemennya bernilai 0 maka |A| = 0. (e) Bila terdapat dua baris atau kolom matrik A dengan elemen-elemen baris atau kolom yang satu merupakan kelipatan elemen-elemen baris atau kolom yang lain, maka |A| = 0. (f) Pertukaran elemen di dua baris atau kolom matrik A menyebabkan perubahan tanda |A|. (g) Bila semua elemen di satu baris atau kolom matrik A dikalikan α maka nilai determinannya menjadi α kali. (h) Determinan A tidak berubah bila kelipatan satu baris atau kolom ditambahkan kepada baris atau kolom yang lain. (i) |AB| = |A| |B|
Invers Matrik A berukuran mxm disebut matrik nonsingular bila |A| tidak nol. Matrik mempunyai invers tunggal, dinotasikan A-1, dan memenuhi sifat berikut, A A-1 = A-1A = I Teorema 4 Bila α skalar, sedang A dan B matrik nonsingular berukuran mxm, maka berlaku : (a) ( α A)-1 = α -1 A-1 (b) (A′ )-1 = (A-1)′ (c) (A-1)-1 = A (d) | A-1| = | A |-1 −1 −1 (e) Bila A = diag(a11, a22, ... ,amm), maka A-1 = diag( a11−1 , a 22 , ..., amm ). 6
(f) Bila A = A′, maka A-1 = (A-1 )′ (g) (AB)-1 = B-1 A-1
7
