Pemetaan Linear Yang Mengawetkan Invers Drazin Matriks Atas Lapangan

Pemetaan Linear Yang Mengawetkan Invers Drazin Matriks Atas Lapangan

Sutopo Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada [email protected] Abstact Diberikan F lapangan dengan minimal lima elemen. M n ( F ) adalah himpunan semua

matriks nxn atas lapangan F . Pada penelitian ini dikaji tentang bentuk pemetaan linear dari M n ( F )

ke M m ( F ) yang mempertahankan invers Drazin matriks atas lapangan dengan ch F ≠ 2 dan

m, n > 1 .

Kata kunci : lapangan, invers Drazin.

Pendahuluan. Latar belakang Linear Preserver Problem merupakan masalah yang sampai saat ini masih aktif dikaji oleh matematikawan terutama yang bekerja pada teori matriks dan teori operator. Banyak hasil yang telah diperoleh pada Linear Preserver Problem ini antara lain pemetaan linear yang mengawetkan sifat idempoten, pemetaan linear yang mengawetkan rank matriks dan pemetaan linear yang mengawetkan detrminan matriks. Invers Drazin merupakan perumuman dari invers biasa dan pemetaan linear yang mengawetkan invers Drazin merupakan masalah yang sangat menarik untuk dijkaji. Perumusan Masalah Diberikan himpunan matriks nxn M n ( F ) dan himpunan matriks mxm M m ( F ) dan

Γ menotasikan hinpunan semua pemetaan linear dari M n ( F ) ke M m ( F ) yang

mempertahankan invers drazin matriks. Pada tulisan ini dikaji karakteristik dari elemen Γ .

Tujuan dan Manfaat Tujuan penelitian ini adalah mengkaji bentuk pemetaan linear yang mempertahankan invers Drazin matriks atas lapangan, sedangkan manfaat yang

Dipresentasikan dalam Seminar Nasional Aljabar, Pengajaran Dan Terapannya dengan tema Kontribusi Aljabar dalam Upaya Meningkatkan Kualitas Penelitian dan Pembelajaran Matematika untuk Mencapai World Class University yang diselenggarakan oleh Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 31 Januari 2009

Sutopo

diharapkan adalah memperkaya kajian tentang masalah pemetaan linear yang mempertahankan invers tergeneralisasi matriks dan merupakan salah satu kajian yang menarik khususnya dalam teori matriks. Pembahasan Pada tulisan ini F menyatakan lapangan, F * menyatakan semua elemen tak nol dari F. Himpunan semua matriks nxn dengan unsur‐unsurnya anggota F dinotasikan dengan M n ( F ) , Matriks X ∈ M nxn ( F ) disebut invers drazin matriks A ∈ M nxn ( F ) jika X adalah penyelesaian dari persamaan‐persamaan :

(i). AX = XA

(ii). XAX = X

(iii). Ak XA = Ak untuk suatu bilangan bulat positif k .

Apabila AD menotasikan invers Drazin dari matriks A untuk sebarang

A ∈ M nxn ( F ) , maka pemetaan linear T dari M n ( F ) ke M m ( F ) mempertahankan

invers Drazin dari matriks apabila T( AD )=T ( A) D untuk setiap A ∈ M nxn ( F ) , dan

himpunan semua pemetaan linear dari M n ( F ) ke M m ( F ) yang mempertahankan invers Drazin dinotasikan dengan Γ . Pada tulisan ini lapangan F diasumsikan

mempunyai paling sedikit lima elemen. Himpunan semua matriks nxn yang invertible dinotasikan dengan Gln ( F ) , sedangkan Eij menotasikan matriks dengan unsur 1 pada posisi (i,j) dan 0 pada yang lainnya, 0t menyatakan himpunan matriks 0 txt dan [1, n] = {1, 2,..., n} .

Matriks A dan B dikatakan similar jika terdapat matriks invertible P sedemikian sehingga A = PBP −1

Teorema berikut sangat penting untuk menghasilkan teorema utama pada

tulisan ini. Teorema 3.2

Diberikan T : M n ( F ) → M m ( F ) pemetaan linear yang mengawetkan idempoten

matriks, ch F ≠ 2 , 1 < n ≤ m , maka T mempunyai bentuk salah satu dari dua bentuk berikut.

86

Seminar Nasional Aljabar, Pengajaran Dan Terapannya


(i). T = 0

(ii). Terdapat matriks P ∈ Glm ( F ) dan bilangan bulat non negatif r , δ dan s sedemikian sehingga,

P −1T ( A) P = ( A ⊗ Iδ ) ⊕ ( At ⊗ I r −δ ) ⊕ 0 s

Untuk semua A ∈ M n ( F ) dengan m = nr + s dan δ ≤ r .

Selanjutnya sebelum pembahasan teorema utama diperlukan beberapa lemma

pendukung terlebih dahulu. Pada empat lemma berikut F diasumsikan lapangan sebarang dengan paling sedikit memuat lima elemen. Lemma 3.1 Diberikan

sebarang

A, B, C , D ∈ M n ( F ) .Jika

A = B = C = D = 0 .

x1 , x2 , x3 , x4

empat

elemen

berbeda

A + xk B + xk2C + xk3 D = 0 untuk semua

di

F

dan

k ∈ [1, 4] ,maka

Bukti.

Dengan memasukan indek k ∈ [1, 4] ,diperoleh sistem persamaan berikut. A + x1 B + x12C + x13 D = 0

A + x2 B + x22C + x23 D = 0 A + x3 B + x32C + x33 D = 0

A + x4 B + x42C + x43 D = 0 Karena x1 , x2 , x3 , x4 semua berbeda, maka dengan sifat yang ada dalam sistem

persamaan linear dapat disimpulan bahwa A = B = C = D = 0 . Lemma 3.2.

Diberikan T ∈ Γ maka T ( I n )T ( Eii ) = T ( Eii )T ( I n ) untuk sebarang i ∈ [1, 4] . Bukti. Dengan

menggunakan

kenyataan

AD A = AAD dan T ∈ Γ , maka diperoleh,

bahwa

( I n + ( x − 1) Eii ) D = ( I n + ( x −1 − 1) Eii ,

T ( I n + ( x − 1) Eii )T ( I n + ( x −1 − 1) Eii ) = T ( I n + ( x −1 − 1) Eii )T ( I n + ( x − 1) Eii )

Untuk sebarang i ∈ [1, n] dan x ∈ F ∗ .

ISBN : 978‐979‐16353‐2‐5

87

Sutopo

Karena F memuat lima elemen, maka dapat dipilih x ∈ F ∗ sedemikian sehingga x 2 ≠ 1 , dengan demikian akan diperoleh T ( I n )T ( Eii ) − T ( Eii )T ( I n ) = 0

T ( I n )T ( Eii ) = T ( Eii )T ( I n ) .

atau

Lemma 3.3.

Diberikan T ∈ Γ , maka T ( Eii ) = T ( Eii ) 2 T ( I n ) = T ( Eii )T ( I n ) 2 untuk sebarang i ∈ [1, n] . Bukti.

Dengan menggunakan kenyataan bahwa ( I n + ( x −1 − 1) Eii ) D = ( I n + ( x − 1) Eii , AD AAD = AD ,dan T ∈ Γ , diperoleh,

T ( I n + ( x − 1) Eii )T ( I n + ( x −1 − 1) Eii )T ( I n + ( x − 1) Eii ) = T ( I n + ( x − 1) Eii )

Untuk sebarang i ∈ [1, n] dan sebarang x ∈ F ∗ .

Apabila diambil A = T ( I n ), B = T ( Eii ) , maka diperoleh,

( A + ( x − 1) B)( A + ( x −1 − 1) B)( A + ( x − 1) B) = A + ( x − 1) B …………………..3.1

Dan dengan mengalikan persamaan ( 3.1 ) dengan x didapatkan, (A+(x‐1)B)(A(x‐1+1)‐(x‐1)B)(A+(x‐1)B)=A(x‐1+1)+(x‐1+1)(x‐1)B

( A + ( x − 1) B )( A + ( x − 1)( A − B ))( A + ( x − 1) B = A + ( x − 1)( A + B ) + ( x − 1)2 B …..(3.2)

Karena I nD = I n , EiiD = Eii dan T ∈ Γ , maka diperoleh AD = A, B D = B dan dengan

kenyataan bahwa A3 = A, B 3 = B , dan menggunakan lemma 3.2 , dari persamaan (3.2) diperoleh,

( x − 1)( BA2 − B) + ( x − 1) 2 (2 A2 B − B 2 A − B) + ( x − 1)3 ( B 2 A − B) = 0

Dan dengan lemma 3.1 disimpulkan bahwa B = B 2 A, B = BA2 . Lemma 3.4

Diberikan A3 = A ∈ M n ( F ) maka terdapat matriks P ∈Gl ( F ) dan matriks A1 ∈ M r ( F ) sedemikian sehingga A = P diag ( A1 , On − r ) P −1 dan A12 = I r dengan rank A=r.

Bukti. Matriks A dapat dinyatakan sebagai berikut,

88



⎛I A = P1 ⎜ r ⎝0

0⎞ ⎛ A1 −1 ⎟ Q1 P1 P1 = P1 ⎜ 0⎠ ⎝0

A2 ⎞ −1 ⎟ P1 , ……………………………………(3.3) 0⎠

Dengan P1 , Q1 ∈ Gln ( F ), A1 ∈ M r ( F ) dan rank A = rank ( A1 A2 ) = r ⎛A Diketahui A3 = A dan A = P1 ⎜ 1 ⎝0 ⎛A P1 ⎜ 1 ⎝0

⎛ A3 P1 ⎜ 1 ⎝ 0

A2 ⎞ −1 ⎛ A1 ⎟ P1 P1 ⎜ 0⎠ ⎝0

A2 ⎞ −1 ⎟ P1 0⎠

A2 ⎞ −1 ⎛ A1 ⎟ P1 P1 ⎜ 0⎠ ⎝0

A12 A2 ⎞ −1 ⎛ A1 ⎟ P1 = P1 ⎜ 0 ⎠ ⎝0

A2 ⎞ −1 ⎟ P1 0⎠

A2 ⎞ −1 ⎛ A1 ⎟ P1 = P1 ⎜ 0⎠ ⎝0

A2 ⎞ −1 ⎟ P1 0⎠

A12 ( A1 A2 ) = ( A1 A2 ) ………………………………………………..(3.4)

Karena matriks ( A1 A2 ) adalah mempunyai rank baris penuh, maka dari (3.4) didapatkan A12 = I r dan selanjutnya diperoleh ⎛ A A2 ⎞ −1 A = P1 ⎜ 1 ⎟ P1 ⎝0 0⎠ ⎛ I − A1 A2 ⎞ ⎛ A1 0 ⎞ ⎛ I r = P1 ⎜ r ⎟ ⎜ I n − r ⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎝ 0 ⎝0 ⎛ A 0 ⎞ −1 = P⎜ 1 ⎟P ⎝ 0 0⎠

⎛ Ir dengan P = P1 ⎜ ⎝0

A1 A2 ⎞ −1 ⎟P I n−r ⎠ 1

− A1 A2 ⎞ ⎟ I n−r ⎠

Selanjutnya pada lemma berikut diasumsikan karakteristik dari F tidak sama

dengan 2. Lemma 3.5

Diberikan T ∈ Γ , maka persamaan‐persamaan berikut berlaku:

(i). T ( I n )T ( Eij ) = T ( Eij )T ( I n ).

(ii). T ( Eij )T ( I n )2 = T ( Eij )

Untuk sebarang i,j yang berbeda dengan i, j ∈ [1, n] . Bukti.

ISBN : 978‐979‐16353‐2‐5

89

Sutopo

Untuk sebarang i, j yang berbeda dengan i, j ∈ [1, n] dan x ∈ F ∗ dan menggunakan

( I n + xEij ) D = ( I n − xEij ) dan T ∈ Γ ,diperoleh

T ( I n + xEij ) D = T (( I n + xEij ) D ) = T ( I n − xEij ) ,sehingga berlaku persamaan berikut T ( I n + xEij )T ( I n − xEij ) = T ( I n − xEij )T ( I n + xEij ).

Dan dengan penyederhanaan diperoleh,

2 x[T ( I n )T ( Eij ) − T ( Eij )T ( I n )] = 0 , karena karakteristik F tidak sama dengan 2 dan x ∈ F ∗ , maka 2x ≠ 0 , sehingga didapat T ( I n )T ( Eij ) = T ( Eij )T ( I n ) ,terbukti (i).

Dengan menggunakan T ( I n + xEij ) D = T ( I n − xEij ) kembali , diperoleh, T ( I n − xEij )T ( I n + xEij )T ( I n − xEij ) = T ( I n − xEij ) …………………………(3.5) T ( I n ) D = T ( I n ) ,

karena

diperoleh

T ( I n )3 = T ( I n )T ( I n )T ( I n ) = T ( I n ) D T ( I n )T ( I n ) D = T ( I n ) D = T ( I n ) .Dari (i) yang telah

dibuktikan, T ( I n )3 = T ( I n ) dan persamaan (3.5) diperoleh,

x(T ( Eij ) − T ( Eij )T ( I n )2 ) − x 2T ( Eij )2 T ( I n ) + x3T ( Eij )3 = 0 dan dengan lemma 2.1

diperoleh

T ( Eij ) − T ( Eij )T ( I n )2 = 0 atau T ( Eij ) = T ( Eij )T ( I n ) 2

Lemma 3.6.

Diberikan A2 = I n , A ∈ M n ( F ) , maka terdapat matriks P ∈ Gln ( F ) dan bilangan bulat

nonnegatif

p, q

sedemikian

sehingga

p = rank ( A + I n ) , rank ( A) = p + q = n .

A = Pdiag ( I p , − I q ) P −1

dengan

Bukti. Diketahui A2 = I n , dibentuk matriks

1 1 ( A + I n ) ,Matriks ( A + I n ) adalah matriks 2 2

1 1 1 1 1 idempoten karena ( ( A + I n )) 2 = ( ( A + I n ))( ( A + I n )) = ( A + I n ) 2 = ( A + I n ) . Dan 2 2 2 4 2

90



selanjutnya karena

1 ( A + I n ) idempoten maka terdapat matriks P ∈ Gln ( F ) 2

sedemikian sehingga

⎛I 1 ( A + In ) = P ⎜ p 2 ⎝0

⎛ I 0 ⎞ −1 ( A + In ) = 2P ⎜ p ⎟P ⎝ 0 0⎠ ⎛ I 0 ⎞ −1 A = 2P ⎜ p ⎟ P − In ⎝ 0 0⎠

0 ⎞ −1 ⎟ P dengan p = rank ( A + I n ) , sehingga didapatkan 0⎠

⎪⎧ ⎡⎛ I 0 ⎞ 1 ⎤ −1 ⎪⎫ = 2 ⎨ P ⎢⎜ p ⎟ − In ⎥ P ⎬ ⎪⎩ ⎣⎝ 0 0 ⎠ 2 ⎦ ⎪⎭ ⎧⎪ ⎡⎛ I 0 ⎞ 1 ⎛ I p 0 ⎞ ⎤ −1 ⎫⎪ = 2 ⎨ P ⎢⎜ p ⎟⎥ P ⎬ ⎟− ⎜ ⎪⎩ ⎣⎢⎝ 0 0 ⎠ 2 ⎝ 0 I q ⎠ ⎦⎥ ⎪⎭ 1 ⎧ ⎛ ⎫ ⎞ 0 ⎟ ⎪⎪ ⎜ I p − 2 I p ⎪⎪ = 2 ⎨P ⎜ ⎟ P −1 ⎬ 1 ⎪ ⎜⎜ ⎪ − I q ⎟⎟ 0 ⎪⎩ ⎝ ⎪⎭ 2 ⎠ 0 ⎞ −1 ⎛ Ip = P⎜ ⎟P − I 0 q ⎝ ⎠ , dengan q = n − r .

Lemma 3.7.

Diberikan A3 = A ∈ M n ( F ) maka terdapat matriks P ∈ Gln ( F ) dan bilangan bulat nonnegatif p, q dan s sedemikian sehingga ,

A = Pdiag ( I n , − I q , 0s ) P −1

Dengan rank ( A) = p + q, p = rank ( A + I n ) + rank A − n dan p + q + s = n Bukti. Dengan lemma 3.4 , terdapat matriks

P1 ∈ Gln ( F ) sedemikian sehingga

⎛ A 0 ⎞ −1 2 A = P1 ⎜ 1 ⎟ P1 , dengan rank A = r dan A1 = I r . Dengan lemma 3.6 , terdapat 0 0 ⎝ ⎠

matriks P2 ∈ Glr ( F ) sedemikian sehingga ,

⎛ Ip A1 = P2 ⎜ ⎝0

0 ⎞ −1 ⎟ P , dengan p + q = r dan p = rank ( A1 + I r ) . −Iq ⎠ 1

ISBN : 978‐979‐16353‐2‐5

91

Sutopo

Selanjutnya diperoleh,

⎛ ⎛ Ip 0 ⎞ −1 ⎞ −1 A = Pdiag ⎜⎜ P2 ⎜ ⎟ P2 , 0 s ⎟⎟ P1 1 I 0 − q ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ P2−1 ⎛P 0 ⎞ diag I I ( , , 0 ) = P1 ⎜ 2 − ⎟ p q s ⎜ ⎝ 0 Is ⎠ ⎝ 0 = Pdiag ( I p , − I q , 0 s ) P −1

⎛ P2 Dengan P = P1 ⎜ ⎝0 p = rank ( A1 + I r )

0 ⎞ −1 ⎟ P1 Is ⎠

0⎞ ⎟ , s = n − p − q , dan kemudian didapat, Is ⎠

0 ⎞ ⎛A +I = rank ⎜ 1 r ⎟ 0n − r ⎠ ⎝ 0 0 ⎞ ⎛A +I = rank ⎜ 1 r ⎟−n+r I n−r ⎠ ⎝ 0 0 ⎞ ⎛⎛ A ⎞ = rank ⎜ ⎜ 1 ⎟ + In ⎟ − n + r ⎝ ⎝ 0 0n − r ⎠ ⎠ = rank ( A + I n ) + rank A − n

Lemma 3.8 Diberikan T pemetaan linear dari M n ( F ) ke M m ( F ) yang mengawetkan idempoten

dan ch F ≠ 2 . Jika n > m ≥ 1 , maka T = 0 .

Dari lemma‐lemma diatas kemudian dibuktikan teorema utama berikut. Teorema 3.9

Diberikan ch F ≠ 2 , m, n > 1 dan F dengan paling sedikit lima elemen, maka T ∈ Γ jika dan hanya jika T mempunyai salah satu bentuk dari dua bentuk berikut: (i). T = 0

(ii).Terdapat matriks invertible P ∈ Gln ( F ) dan bilangan bulat nonnegatif

p1 , p2 , q1 , q2 dan s sedemikian sehingga ,

P −1T ( A) P = ( A ⊗ I p1 ) ⊕ ( At ⊗ I q1 ) ⊕ ( A ⊗ − I p2 ) ⊕ ( At ⊗ − I q2 ) ⊕ 0s , A ∈ M n ( F ) , dengan m = ( p1 + p2 + q1 + q2 )n + s .

untuk

semua

Bukti.

92



Karena T ( I n ) D = T ( I n D ) = T ( I n ) , maka T ( I n )3 = T ( I n ) .Menggunakan lemma 3.7 ,

terdapat matriks P ∈ Glm ( F ) sedemikian sehingga

T ( I n ) = P diag ( I t1 , − I t2 , 0t3 ) P −1 , dengan t1 + t2 + t3 = m . ……………………….3.6

Untuk sebarang X ∈ M n ( F ) , dari lemma 3.2 dan bagian (i) lemma 3.5 berlaku

T ( I n )T ( X ) = T ( X )T ( I n ) ……………………………………………………….3.7

Dari lemma 3.3 dan bagian (ii) lemma 3.5 berlaku ,

T ( X ) = T ( X )T ( I n ) 2 …………………………………………………………….3.8

Menggunakan persamaan (3.6), (3.7) dan (3.8) diperoleh,

T ( X ) = P diag ( X 1 , X 2 , 0t3 ) P −1 , X 1 ∈ M t1 ( F ), X 2 ∈ M t2 ( F ) .

Dimisalkan f1 ( X ) = X 1 , f 2 ( X ) = − X 2 , maka

T ( X ) = P diag ( f1 ( X ), − f 2 ( X ), 0t3 ) P −1 …………………………………………3.9

Karena T adalah pemetaan linear , maka dari (3.9) didapat bahwa

f1 : M n ( F ) → M t1 ( F ) dan f 2 : M n ( F ) → M t2 ( F ) adalah pemetaan linear. Dari (3.6) dan

(3.9) diperoleh f1 ( I n ) = I t1 dan f 2 ( I n ) = I t2 . Menggunakan (3.9) kembali dipunyai

T ( X D ) = P diag ( f1 ( X D ), − f 2 ( X D ), 0t3 ) P −1 ………………………………….3.10

Dan

T ( X ) D = P diag ( f1 ( X ) D , − f 2 ( X ) D , 0t3 ) P −1 ………………………………….3.11

Dari persamaan (3.10), (3.11) dan T ( X D ) = T ( X ) D disimpulkan bahwa f1 : M n ( F ) → M t1 ( F ) dan f 2 : M n ( F ) → M t2 ( F ) adalah pemetaan linear yang

mengawetkan invers Drazin matriks. Selanjutnya dibuktikan bahwa f1 mengawetkan idempoten. Untuk sebarang M 2 = M ∈ M n ( F ) terdapat matriks Q ∈ Gln ( F ) sedemikian sehingga M = Q ( I r ⊕ 0)Q −1 , …………………………………………………………...3.12

dengan rank M = r .

Diambil T1 ( X ) = f1 (QXQ −1 ) , untuk semua X ∈ M n ( F ) , maka T1 adalah pemetaan linear dari M n ( F ) ke M t1 ( F ) yang mengawetkan invers Drazin matriks dan

ISBN : 978‐979‐16353‐2‐5

93

Sutopo

T ( I n ) = f1 (QI nQ −1 ) = f1 ( I n ) = I t1 . Menggunakan lemma 3.3 diperoleh

T1 ( Eii ) = T1 ( Eii )2 T ( I n ) = T1 ( Eii ) I t1 = T1 ( Eii )2 untuk sebarang i ∈ [1, n] ……….3.13

Karena ( xEii ± E jj ) D = x −1 Eii ± E jj untuk sebarang i ≠ j , i, j ∈ [1, n] dan sebarang x ∈ F ∗ , maka ( xT1 ( Eii ) ± T1 ( E jj )) D = x −1T1 ( Eii ) ± T1 ( E jj ) , selanjutnya jika diambil

T1 ( Eii ) = Ai dan T1 ( E jj ) = A j maka berlaku ( xAi ± Aj ) D = x −1 Ai ± Aj .Selanjutnya diperoleh

( x −1 Ai ± Aj )( xAi ± Aj )( x −1 Ai ± Aj ) = x −1 Ai ± Aj …………………………………3.14

Dari (3.13) dan (3.14) berlaku

Aj Ai + Ai Aj + x 2 Aj Ai Aj = 0 …………………………………………………..3.15

Dengan (3.15) dan lemma 3.1 didapatkan A j Ai A j = 0 , A j Ai + Ai A j = 0

Mengkombinasikan kedua persamaan diatas dan dengan (3.13) disimpulkan bahwa Ai A j = Ai A j = 0 ……………………………………………………………….3.16

Dengan persamaan (3.11)‐(3.13) dan (3.16) diperoleh

f1 ( M ) = f1 (Q ( I r ⊕ 0)Q −1 ) = T1 ( I r ⊕ 0) = ∑ T1 ( Eii ) r

i =1

= ∑ T1 ( Eii ) 2 r

i =1

= (∑ T1 ( Eii )) 2 r

i =1

= (T1 ( I r ⊕ 0)) 2 = f1 ( M ) 2 Hal ini berarti bahwa f1 mengawetkan idempoten.Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa f 2 juga mengawetkan idempoten. Karena f1 dan f 2 keduanya mengawetkan idempoten , maka dengan lemma 3.8 dan teorema 3.1 didapat kasus berikut:

Jika n > t1 maka dengan lemma 3.8 disimpulkan bahwa f1 =0, dan jika n ≤ t1 maka f1 mempunyai bentuk salah satu dari(i) atau (ii) pada teorema 3.2.Secara sama , jika

94



n > t2 maka dengan lemma 3.8 disimpulkan bahwa f 2 = 0 dan jika n ≤ t2 maka f 2 mempunyai bentuk salah satu dari (i) atau (ii) pada teorema 3.2. Dengan pertimbangan tentang f1 dan f 2 diatas disimpulkan bahwa T mempunyai bentuk salah satu dari (i) atau (ii) pada teorema 3.9. Kebalikan teorema 3.9, Jika T mempunyai bentuk salah satu dari (i), (ii) pada teorema 3.9 maka dapat ditunjukkan bahwa T merupakan pemetaan linear dari M n ( F ) ke

M m ( F ) yang mempertahankan invers Drazin matriks. Dengan demikian terbukti teorema di atas.

Berikut diberikan contoh untuk memperjelas teorema di atas untuk kasus T

bukan pemetaan 0.

Diambil pemetaan T : M 2 ( Z 5 ) → M 3 ( Z 5 ) , untuk setiap A ∈ M 2 ( Z 5 ) , didefinisikan

T ( A) = P [ ( A ⊗ I1 ) ⊕ 01 ] P −1 dengan

pemetaan sebagai berikut

⎛1 0 4⎞ ⎟ ⎜ P = ⎜ 0 2 0 ⎟ dan dengan operasi baris elementer diperoleh invers dari matriks P ⎜0 0 3⎟ ⎝ ⎠

⎛1 0 2⎞ ⎜ ⎟ yaitu P −1 = ⎜ 0 3 2 ⎟ . ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠

⎛1 3⎞ ⎛3 4⎞ D D Jika diambil A = ⎜ ⎟ dan A = ⎜ ⎟ , maka diperoleh T ( A) dan T ( A ) sebagai ⎝ 2 4⎠ ⎝1 2⎠ berikut.

⎛1 4 2⎞ ⎛3 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ D T ( A) = ⎜ 4 4 3 ⎟ dan T ( A ) = ⎜ 2 2 4 ⎟ , setelah dilakukan pengecekan dengan ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

definisi invers Drazin diperoleh bahwa T ( AD ) = T ( A) D yaitu memenuhi kondisi berikut

ISBN : 978‐979‐16353‐2‐5

95

Sutopo

T ( A)T ( AD ) = T ( AD )T ( A)

T ( AD )T ( A)T ( AD ) = T ( AD ) T ( A)T ( AD )T ( A) = T ( A)

Kesimpulan Berdasarkan uraian di atas diperoleh kesimpulan bahwa telah diperoleh bentuk dari pemetaan linear yang mempertahankan invers Drazin matriks seperti pada teorema 3.9. Daftar pustaka 1.Ben –Israel, a & Greville, T.N.E, 2003, Generalized Inverses: Theory and Applications, John Wiley & Sons,inc 2.Bu Changjiang, 2005, Linear maps Preserving Drazin inverses of matrices over field,Linear Algebra and Its Applications, vol 390, page 159‐173. 3.C.G.Cao, X.Zhang. Additive Operators Preserving idempotent matrices over field and applications, Linear Algebra Appl.248 (1996)327‐338 4.Radhakrishna Rao,C,1971, Generalized Inverse of Matrices and Applications , John Wiley & Sons,inc.

96


Pemetaan Linear Yang Mengawetkan Invers Drazin Matriks Atas Lapangan

Recommend Documents