PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si) Program Studi Matematika

Disusun oleh : Sihwanto NIM : 003114045

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2007




PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Maret 2007

Penulis

iv


HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini ku persembahkan kepada: Kedua orang tuaku Almamaterku dan wiwin

v


ABSTRAK Skripsi ini membahas tentang penggunaan Teorema Taylor dalam penyelidikan nilai ekstrem untuk fungsi dari satu dan dua variabel. Jika fungsi satu variabel f (x ) mempunyai turunan pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik c, dan f ( n+1) ( x) kontinu di c dengan f ( n +1) (c) ≠ 0 maka terdapat bilangan θ dengan 0 < θ < 1 sehingga f (c + h) − f (c) =

h n +1 f ( n +1 (c + θh) . (n + 1)!

Apabila n gasal maka: a. f (x ) mencapai maksimum di c jika f ( n +1) (c) < 0 b. f (x ) mencapai minimum di c jika f ( n +1) (c) > 0 Apabila n genap maka tidak terjadi ekstrem di c. Untuk fungsi dua variabel f ( x, y ) jika semua turunan parsialnya mulai order pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka f (a + h, b + k ) − f (a, b) = Rn +1 (a + θh, b + θk ) untuk suatu bilangan θ dengan 0 < θ < 1 dan n +1

1 ⎡ ∂ ∂⎤ Rn +1 ( x, y ) = h + k ⎥ f ( x, y ) . ⎢ (n + 1)! ⎣ ∂x ∂y ⎦ Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa apabila untuk nilai-nilai h dan k cukup kecil dan tanda dari Rn +1 (a + θh, b + θk ) tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk mengadakan penyelidikan pada keadaan Rn +1 (a + θh, b + θk ) untuk n > 1 . Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan n = 1 , yaitu untuk: 1 R2 (a + θh, b + θk ) = h 2 f xx + 2hkf xy + k 2 f yy (a + θh, b + θk ) 2! dengan f xx , f xy dan f yy tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini

[

]

tanda dari R2 (a + θh, b + θk ) ditentukan oleh tanda dari R2 (a, b) , karena pada pembahasan ini diasumsikan bahwa R2 ( x, y) kontinu di titik (a,b). Jika H (a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) , maka : i. ii. iii. iv.

Jika H (a, b) > 0 dan f xx (a, b) > 0 terjadi minimum di (a,b) Jika H (a, b) > 0 dan f xx (a, b) < 0 terjadi maksimum di (a,b) Jika H (a, b) < 0 tidak terjadi ekstrem di (a,b) Jika H ( a, b) = 0 belum ada keputusan, mungkin terjadi atau mungkin tidak terjadi ekstrem di (a,b).

Dalam skripsi ini dibahas penyelidikan apakah ada ekstrem atau tidak untuk kasus H (a, b) = 0 dengan menggunakan contoh-contoh soal.

vi


ABSTRACT

This thesis study concerning usage of Theorem of Taylor in investigation of value of extreme for function from one and two variabe. If function one variable f (x ) have first derivative up to nth derivative the valuableness zero at point of c, and f ( n+1) ( x) continuous at c with f ( n +1) (c) ≠ 0 , hence there are number θ with

0 < θ < 1 so that f (c + h) − f (c) =

h n +1 f ( n +1 (c + θh) . (n + 1)!

If n is odd then: a. f (x ) achieve maximum at c if f ( n +1) (c) < 0 . b. f (x ) achieve minimum at c if f ( n +1) (c) > 0 . if n is even then f (x ) hasn’t extreme at c. For function with two variable f ( x, y ) , if all of the partial derivatives begin to first order up to nth order the valuableness zero at point of (a,b), then f (a + h, b + k ) − f (a, b) = Rn +1 (a + θh, b + θk ) for a number θ with 0 < θ < 1 and n +1

1 ⎡ ∂ ∂⎤ Rn +1 ( x, y ) = h + k ⎥ f ( x, y ) ⎢ (n + 1)! ⎣ ∂x ∂y ⎦ Theoretically there is or inexistence extreme value at point of (a,b) can be checked if for values of h and k small enough and sign from Rn +1 (a + θh, b + θk ) remain to or erratic. In practice do not easy to perform a to investigation in the situation Rn +1 (a + θh, b + θk ) to n > 1 . In this thesis only studied for situation n = 1 , that is to

with f xx , f xy

[

]

1 2 h f xx + 2hkf xy + k 2 f yy (a + θh, b + θk ) 2! and f yy not all valuable zero at point of (a,b). In this case sign from

R2 (a + θh, b + θk ) =

R2 (a + θh, b + θk ) determined by sign from R2 (a, b) , because at this solution is assumed that continuous at point of (a,b). If H (a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) , then: If H ( a, b) > 0 and f xx (a, b) > 0 , f ( x, y ) has minimum at point of (a,b) If H ( a, b) > 0 and f xx (a, b) < 0 , f ( x, y ) has maximum at point of (a,b) If H ( a, b) < 0 , f ( x, y ) hasn’t extreme at point of (a,b) If H ( a, b) = 0 there is no decision, happened possible or might not happened extreme at point of (a,b). In this thesis is studied by investigation what is there extreme or not to case H ( a, b) = 0 by using problem of examples. i. ii. iii. iv.

vii


KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadiran Tuhan Yang Maha Esa karena atas limpahan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat kembali ke bangku kuliah untuk menyelesaikan tugas akhir ini, meskipun harus menempuh perjalanan yang cukup panjang. Untuk itu penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan memberi dukungan materiil maupun spiritual selama masa perkuliahan serta penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Drs. A. Tutoyo, M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan sangat sabar membimbing, memberi motivasi serta saran dalam penyusunan tugas akhir ini. 2. Bapak Y.G. Hartono, S. Si, M. Sc, selaku ketua program studi Matematika. 3. Bapak Ir. Aris Dwiatmoko, M. Sc dan Ibu M.V. Any Herawati, M. Si yang telah memberikan semangat dan saran dalam penyusunan tugas akhir ini. 4. Bapak dan ibu dosen FMIPA yang telah memberikan begitu banyak ilmu dan pengalaman yang sangat berguna sebagai bekal penulis dalam menyongsong masa depan. 5. Seluruh staf karyawan sekretariat FMIPA, bu Warni, pak Tukijo yang telah membantu penulis dalam pelayanan administrasi perkuliahan. 6. Bapak Ngadul Wiyardi beserta ibu selaku orang tua atas doa, kasih sayang, pendidikan, sarana maupun prasarana yang telah diberikan selama ini.

viii


7. Winarti Harjo Wiyono, SE (Wiwin) atas kasih sayang , cinta serta doa. 8. Sahabat-sahabat yang selalu bersama melewati masa perkulihan: Fery, Heru’su timbul’, Ayuk adikku, Lina, Bunga, Tatik, Vincent, Wiwid, Lissa, Mira, Tika, Dewi, Wahyu, Feliks, Willy, Pras, Toni, Sunarto, Prihanto, Andi, Susiantoro. 9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang bermanfaat bagi kesempurnaan skripsi ini. Dan akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini memberikan manfaat dan berguna bagi semua pihak.

Yogyakarta, Maret 2007

Penulis

ix


DAFTAR ISI Halaman

HALAMAN JUDUL ......................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ...............................................

ii

HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................... iii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...........................................................

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................

v

ABSTRAK ........................................................................................................

vi

ABSTRACT ...................................................................................................... vii KATA PENGANTAR ......................................................................................

viii

DAFTAR ISI ..................................................................................................... x DAFTAR GAMBAR ........................................................................................

xii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................

1

A. Latar Belakang .................................................................................

1

B. Rumusan Masalah ............................................................................

4

C. Pembatasan Masalah ........................................................................

4

D. Manfaat Penulisan ............................................................................ 4 E. Tujuan Penulisan .............................................................................. 5 F. Metode Penulisan .............................................................................

5

G. Sistematika Penulisan ......................................................................

5

BAB II EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL ..

7

A. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Satu Variabel ................

7

B. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel ................. 26

x


BAB III TEOREMA TAYLOR ........................................................................

52

A. Deret Pangkat ..................................................................................

52

B. Deret Taylor ....................................................................................

60

C. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel .....................

62

D. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel ...................... 65 BABIV PENGGUNAAN TEOREMA TAYLOR UNTUK MENENTUKAN EKSTREM SUATU FUNGSI .............................................................

70

A. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus f ′′(c ) = 0 .................... 70 B. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus H (a, b) = 0 .................. 73 BAB V PENUTUP ........................................................................................... 78 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................

xi

80


DAFTAR GAMBAR Halaman

Gambar 2.1 .........................................................................................

9

Gambar 2.2 .........................................................................................

10

Gambar 2.3 .........................................................................................

10

Gambar 2.4 .........................................................................................

11

Gambar 2.5 .........................................................................................

13

Gambar 2.6 .........................................................................................

14

Gambar 2.7 .........................................................................................

15

Gambar 2.8 .........................................................................................

16

Gambar 2.9 ........................................................................................... 27 Gambar 2.10 ......................................................................................... 33 Gambar 2.11 ......................................................................................... 35 Gambar 2.12 ......................................................................................... 48 Gambar 2.13 ......................................................................................... 51

xii


BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH Salah satu penggunaan derivatif yang menarik dan berguna adalah menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi. Banyak problema dalam teknik, sains, geometri dan ekonomi menuntut untuk memenuhi syaratsyarat perlu dan cukup supaya suatu fungsi itu mencapai nilai maksimum atau minimum. Selain menentukan daerah dimana fungsi itu mencapai nilai maksimum atau minimum juga untuk menentukan dimana suatu fungsi cekung ke atas atau ke bawah, penentuan titik belok, penentuan asimtot dan sebagainya. Grafik sebuah fungsi yang digambar dengan ketelitian yang tinggi dapat memberikan banyak informasi mengenai kelakuan fungsi tersebut. Tetapi untuk mendapatkan gambar grafik yang cukup tepat adalah sebuah pekerjaan yang membosankan. Di dalam penulisan ini akan dibahas tentang maksimum dan minimum fungsi satu variabel dan dua variabel yang

merupakan pendalaman tentang

maksimum dan minimum fungsi yang sudah diperoleh dibangku sekolah menengah maupun didalam bangku kuliah. Jadi bukan merupakan hal yang baru lagi. Nilai maksimum dan minimum dibagi menjadi dua yaitu nilai maksimum atau minimum mutlak dan nilai maksimum atau minimum relatif. Fungsi f disebut mencapai nilai maksimum mutlak pada suatu selang, jika terdapat bilangan c pada


2

selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) ≥ f (x) untuk setiap x pada selang. Sedangkan fungsi f disebut mencapai minimum mutlak pada suatu selang, jika terdapat bilangan c pada selang tersebut demikian sehingga berlaku f (c) ≤ f (x) untuk setiap x pada selang. Fungsi f disebut mencapai nilai maksimum relatif di x = c, jika ada selang terbuka yang memuat c, pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi f (c ) ≥ f ( x ) untuk semua x pada selang terbuka. Sedangkan fungsi f disebut

mencapai minimum relatif

di x = c, jika ada selang terbuka yang memuat c

pada selang terbuka ini f terdefinisikan dan memenuhi f (c ) ≤ f ( x ) untuk semua x pada selang terbuka. Suatu fungsi yang mencapai maksimum atau minimum (mutlak/relatif) disebut mencapai ekstrem (mutlak/relatif). Dalam penulisan ini yang menjadi pokok permasalahan yang akan dibahas adalah syarat-syarat apa saja yang harus dipenuhi agar suatu fungsi dapat mencapai maksimum atau minimum. 1.

Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan satu variabel Jika f ′(x ) ada dalam (a, b) maka syarat perlu adanya nilai ekstrem pada

titik x = c di mana c dalam interval (a, b) adalah f ′(c) = 0 . Sedangkan syarat cukup adanya nilai ekstrem pada titik x = c adalah f ′′(c ) ≠ 0 . Kemudian didapat bahwa 1. Jika f ′′(c) > 0 maka f (x ) mempunyai nilai minimum di c 2. Jika f ′′(c) < 0 maka f (x ) mempunyai nilai maksimum di c. Jika fungsi f (x ) dapat diturunkan dua kali dalam suatu interval yang memuat titik x = c dan didapat f ′′(c) = 0 maka uji turunan kedua tidak dapat


3

digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Sebagai contoh, diberikan fungsi f (x) = x 3 . Didapat turunan pertama dan keduanya berturut – turut adalah f ′( x) = 3 x 2 dan f ′′( x ) = 6 x . Satu-satunya bilangan kritis adalah titik nol,sehingga diperoleh

f ′′(0) = 0 . Jadi uji turunan kedua tidak dapat digunakan untuk

menyimpulkan soal tersebut. Oleh karena itu perlu dicari cara lain untuk menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan bantuan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel . 2. Syarat perlu dan cukup ekstremum fungsi dengan dua variabel Jika suatu fungsi f ( x, y ) beserta turunan parsial pertamanya kontinu dalam cakram terbuka B (( x 0 , y o ); r ) maka syarat perlu suatu fungsi adanya nilai ekstrem pada titik ( x, y ) = ( x0 , y 0 ) adalah f x ( x 0 , y 0 ) = 0 dan f y ( x 0 , y 0 ) = 0 . Titik ( x0 , y 0 ) disebut titik kritis. Jika fungsi f ( x, y ) dapat diturunkan dua kali dalam himpunan tersebut dan turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka B (( x 0 , y o ); r ) , maka syarat cukup adanya nilai ekstrim pada titik ( x, y ) = ( x0 , y 0 ) adalah

H ( x0 , y 0 ) = f xx ( x0 , y 0 ) f yy ( x0 , y 0 ) − f xy2 ( x0 , y 0 ) Kemudian didapat bahwa 1. Jika H ( x0 , y 0 ) > 0 dan f xx ( x 0 , y 0 ) > 0 terjadi minimum di (a,b) 2. Jika H ( x0 , y 0 ) > 0 dan f xx ( x 0 , y 0 ) < 0 terjadi maksimum di (a,b) 3. Jika H ( x0 , y 0 ) < 0 tidak terjadi ekstrem di (a,b)


4

Selanjutnya timbul masalah jika fungsi f ( x, y ) dapat diturunkan dua kali dalam suatu himpunan dan turunan parsial tingkat kedua kontinu dalam cakram terbuka B (( x 0 , y o ); r ) dan didapat nilai H ( x0 , y 0 ) = 0 maka uji turunan kedua tidak dapat digunakan untuk menyimpulkan kejadian tersebut. Oleh karena itu perlu dicari cara lain untuk menyelesaikan masalah tersebut, yaitu dengan menggunakan bantuan Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel.

B. RUMUSAN MASALAH Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah: 1. Bagaimana Teorema Taylor digunakan untuk menjelaskan pemecahan masalah ekstrem suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua variabel, yaitu dalam kasus f ′′(c) = 0 dan

H ( x0 , y 0 ) = f xx ( x0 , y 0 ) f yy ( x0 , y 0 ) − f xy2 ( x0 , y 0 ) = 0 ?

C. PEMBATASAN MASALAH Dalam penulisan ini pembahasan masalah hanya dibatasi tentang pembahasan masalah ekstremum fungsi dengan satu variabel dan dua variabel dengan menggunakan Teorema Taylor.

D. MANFAAT PENULISAN Manfaat yang diharapkan yaitu agar kita dapat menyelesaikan masalah ekstrem fungsi dengan satu variabel dan dua variabel

dengan menggunakan


5

bantuan turunan tingkat tinggi dan bantuan teorema Taylor, apabila dengan uji turunan kedua tidak bisa menarik suatu kesimpulan

E. TUJUAN PENULISAN Tujuan dari penulisan ini agar kita dapat menyelesaikan permasalahan seputar maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel maupun dua variabel, misalnya : 1. Dapat mengetahui syarat apa saja yang harus dipenuhi agar suatu fungsi mencapai maksimum atau minimum. 2. Dapat menggunakan teorema Taylor dalam membahas masalah maksimum atau minimum jika syarat-syarat suatu fungsi untuk mencapai maksimum atau minimum tidak dipenuhi.

F. METODE PENULISAN Dalam penulisan ini dilakukan dengan metode pustaka yaitu dengan menelaah buku-buku pustaka sebagai acuan untuk membuktikan teorema-teorema mengenai masalah Ekstremum dengan menggunakan Teorema Taylor, sehingga dalam penulisan ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.

G. SISTEMATIKA PEMBAHASAN Sebagai gambaran tentang hal apa saja yang dibahas dalam penulisan ini, berikut adalah sistematika pembahasan yang ada dalam skripsi ini.


6

BAB I Pendahuluan Bab ini berisi tentang gambaran umum tentang skripsi ini yang terdiri dari latar belakang masalah, rumusan masalah, pembatasan masalah, manfaat penulisan, tujuan penulisan dan metode penulisan. Bab II Ekstrem Fungsi Satu Variabel dan Dua Variabel Bab ini berisi pembahasan tentang ekstremum fungsi satu variabel dan dua variabel beserta sifat-sifatnya. Bab III Teorema Taylor Bab ini berisi tentang deret pangkat, deret Taylor serta Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel dan fungsi dengan dua variabel. Bab IV Penggunaan Teorema Taylor untuk Menentukan Ekstrem suatu Fungsi Bab ini berisi tentang penyelesaian masalah ekstremum fungsi satu variabel di mana

f ′′(c ) = 0 dan ekstremum fungsi dua variabel dimana

H ( x0 , y 0 ) = f xx ( x0 , y 0 ) f yy ( x0 , y 0 ) − f xy2 ( x0 , y 0 ) = 0 .

Untuk

mempermudah

pemahaman dalam bab ini disertai dengan contoh soal dan penyelesaiannya. Bab V Penutup Bab ini berisi tentang kesimpulan.


BAB II EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL

Ada dua hal mendasar yang muncul ketika berbicara tentang nilai maksimum atau minimum suatu fungsi f. Pertama, apakah fungsi f mempunyai nilai maksimum atau minimum. Kedua, jika fungsi f mempunyai nilai maksimum atau minimum, di titik-titik di mana f mencapai nilai maksimum atau minimum dan berapa nilai maksimum atau minimumnya. Dalam bab ini akan ditentukan titik tertinggi dan titik terendah dari grafik suatu fungsi. A.

Maksimum dan Minimum suatu Fungsi dengan Satu Variabel Definisi maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel

diberikan sebagai berikut. Definisi 2.1 Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada titik x = c jika untuk sebarang ε > 0 yang diberikan akan dapat ditentukan δ > 0 sedemikian hingga jika x − c < δ maka

f ( x ) − f (c ) < ε .

Definisi 2. 2 Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval terbuka (a, b) jika f kontinu di setiap titik pada interval tersebut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 8

Definisi 2.3 Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup [a, b] jika f kontinu di setiap titik dari (a, b) dan jika lim+ f ( x ) = f ( a ) dan lim− f ( x) = f (b) atau disebut x→a

x →b

kekontinuan kanan di titik a dan kekontinuan kiri di titik b.

Definisi 2.4 Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c jika terdapat interval (c − δ , c + δ ) sedemikian hingga f (c ) ≥ f ( x ) untuk setiap x dalam interval (c − δ , c + δ ) . Jika hubungan f (c ) ≥ f ( x ) berlaku untuk setiap x dalam domain

f, maka f disebut mempunyai nilai maksimum mutlak di c.

Definisi 2.5 Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c jika terdapat interval (c − δ , c + δ ) sedemikian hingga

f (c ) ≤ f ( x ) untuk setiap x dalam interval

(c − δ , c + δ ) . Jika hubungan f (c ) ≤ f ( x ) berlaku untuk setiap x dalam domain f,

maka f disebut mempunyai nilai minimum mutlak di c.

Bila fungsi f mempunyai maksimum atau minimum relatif di c, maka dikatakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrem relatif di c dan bila fungsi f mempunyai maksimum atau minimum mutlak di c, maka dikatakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrem mutlak di c. Untuk lebih jelasnya perhatikan grafik di bawah ini.


y maks multak

f (c1)

maks relatif

y = f (x)

f (c3) f (c2)

min relatif

f (c4)

min multak

a

c1

c2

c3

c4

b

x

Gambar 2.1 Nilai-nilai maksimum dan minimum serta jenisnya dari suatu fungsi f (x) dalam interval [a, b] Dari grafik di atas tampak bahwa: •

nilai maksimum mutlak dicapai pada x = c1

•

nilai maksimum relatif dicapai pada x = c3 dan x = b

•

nilai minimum mutlak dicapai pada x = c4

•

nilai minimum relatif dicapai pada x = c2 dan x = a

Contoh 2.1 Tinjau fungsi f yang didefinisikan oleh f ( x) = ( x − 1) 3 . Sket dari grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 2.2. Karena

f ′( x) = 3( x − 1) 2 , maka

f ′(1) = 0 . Akan tetapi f ( x ) < 0 , jika x < 1 dan f ( x ) > 0 , jika x > 1 . Jadi f tidak

mempunyai ekstrem relatif di titik satu.


y

1 x

Gambar 2.2 Grafik fungsi f ( x) = ( x − 1) 3

Contoh 2.2 Misalkan diketahui fungsi f ( x) = 2 x . Keterangan dari grafik f

pada

selang [1, 4) diberikan pada Gambar 2.3. Fungsi f mempunyai nilai minimum mutlak sebesar 2 pada [1, 4) tetapi tidak mempunyai nilai maksimum mutlak pada interval [1, 4) karena untuk setiap x ∈ [ 1, 4) selalu ada nilai x yang memberikan nilai f (x ) yang lebih besar. y 8

2 1

4

Gambar 2.3 Grafik fungsi f ( x) = 2 x

x


11

Contoh 2.3

Diberikan fungsi f ( x) = − x 2 . Sket dari grafik f pada selang (-3, 2] diperlihatkan pada Gambar 2.4. Fungsi f mempunyai nilai maksimum mutlak sebesar 0 pada selang (-3, 2]. Fungsi f tidak mempunyai nilai minimum mutlak pada selang (-3, 2] karena untuk setiap x ∈ (−3, 2] selalu ada nilai x yang memberikan nilai f (x ) yang lebih kecil. y 2

-3

x

-4

-9 Gambar 2.4 Grafik fungsi f ( x) = − x 2

Bagaimana dapat ditentukan di mana terjadinya ekstrem relatif suatu fungsi f ? Ekstrem relatif dapat dipandang sebagai titik peralihan yang memisahkan daerah di mana grafik fungsi itu naik menjadi turun atau sebaliknya.


12

Teorema berikut dapat digunakan untuk melokalisir kemungkinan nilainilai c yang memberikan ekstrem relatif. Teorema 2.1

Jika fungsi f kontinu pada interval [a, b] dan terdeferensial pada interval (a, b) maka: 1. fungsi f naik pada interval [a, b] jika f ′( x ) > 0 untuk semua titik dalam interval (a, b) . 2. fungsi f turun pada interval [a, b] jika f ′( x ) < 0 untuk semua titik dalam interval (a, b) .

Ekstrem relatif dari suatu fungsi f terjadi pada titik-titik di mana fungsi f berturunan (pada titik-titik di mana garis singgung pada grafik adalah horisontal).

Definisi 2.6

Titik kritis suatu fungsi f adalah nilai x di dalam domain di mana f ′( x ) = 0 atau f tidak berturunan. Jika c adalah suatu titik di mana f ′(c) = 0 , maka c disebut titik stasioner. Dinamakan titik stasioner karena pada titik ini grafik fungsi f mendatar atau horisontal atau gais singgungnya mendatar.

Ekstrem relatif dapat terjadi pada titik kritis. Pertama, jika fungsi f mempunyai turunan pertama di titik ekstremnya, misal titik c, maka garis singgung di titik tersebut adalah mendatar atau f ′(c) = 0 . Namun titik stasioner


13

ini tidak selalu menjadi titik ekstrem, sebagai contoh fungsi f ( x) = x 3 . Dalam kasus ini f ′(c) = 0 , tetapi (0,0) bukan titik kritis dari grafik fungsi f ( x) = x 3 , seperti diperlihatkan dalam gambar di bawah ini.

Gambar 2.5 Grafik fungsi f ( x) = x 3

Keadaan di mana f ′( x ) = 0 atau f tidak berturunan belum menjamin terjadinya ekstrem suatu fungsi. Untuk diperlukan suatu teorema yang menyatakan syarat perlu adanya ekstrem suatu fungsi.

Teorema 2.2

Jika fungsi f mempunyai ekstrem pada c, maka f ′(c) = 0 atau f tidak berturunan. Bukti:

Pada kasus ini terdapat dua kemungkinan, yaitu f berturunan pada c atau f tak berturunan. Pertama, jika f tak berturunan , maka c adalah titik kritis untuk f . Kedua, jika f berturunan pada c, maka harus diperlihatkan bahwa f ′(c) = 0 .


14

Jika f (c ) adalah maksimum relatif dari f, maka terdapat interval

a.

[c − δ , c + δ ] sedemikian sehingga jika c + h dalam interval [c − δ , c + δ ] dengan c ≠ c + h maka f (c + h) < f (c) .

i.

Jika h > 0 maka

f (c + h ) − f (c ) <0 h

ii.

Jika h < 0 maka

f (c + h) − f (c ) >0 h

y

f(c)

h<0 c−δ

h>0 c

c+h

c+h

c+δ

x

Gambar 2.6

Jika

f (x )

berturunan pada x = c , maka

f ′(c ) ada dan

f +′ (c) = f −′ (c) = f ′(c) , yaitu: f +′ = lim+ h →0

f (c + h ) − f (c ) ≤ 0 dan h

f −′ = lim− h→0

Karena f −′ ≥ 0 dan f +′ ≤ 0 , maka f ′(c) = 0 .

f (c + h ) − f (c ) ≥0 h


15

Jika f (c ) adalah minimum relatif dari f, maka terdapat interval

b.

[c − δ , c + δ ] sedemikian sehingga jika c + h dalam interval [c − δ , c + δ ] dengan c ≠ c + h maka f (c + h) > f (c ) .

Jika

i.

Jika h > 0 maka

f (c + h) − f (c ) >0 h

ii.

Jika h < 0 maka

f (c + h ) − f (c ) <0 h

f (x )

berturunan pada x = c , maka

f ′(c ) ada dan

f +′ (c) = f −′ (c) = f ′(c) , yaitu: f +′ = lim+ h→0

f ( c + h ) − f (c ) ≥ 0 dan h

f −′ = lim− h→0

f (c + h ) − f (c ) ≤0 h

Karena f −′ ≤ 0 dan f +′ ≥ 0 , maka f ′(c) = 0 .

■

y

f(c)

h<0 c−δ

c+h

h>0 c

Gambar 2.7

c+h

c+δ

x


16

Sifat suatu titik kritis sering ditentukan dengan naik turunnya kurva di sekitar titik kritis.

Teorema 2.3 Teorema Nilai Rata-rata

Jika fungsi f kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada titik (a,b) maka terdapat titik c di dalam interval (a,b) sedemikian sehingga f ′(c) =

f (b) − f (a ) . b−a

Bukti:

Misal diberikan fungsi f (x ) dan g (x ) seperti gambar di bawah ini. y y = f(x)

s(x) f(b) y = g(x) f(a) a

x

b

x

Gambar 2.8

Pembuktian berdasarkan pada analisis fungsi s ( x ) = f ( x ) − g ( x) . Andaikan y = g (x) adala persamaan tali busur yang menghubungkan titik (a, f ( a )) ke (b, f (b)) . Karena garis ini mempunyai kemiringan

f (b) − f (a ) dan melalui b−a


17

( a, f (a )) ,

maka

g ( x) − f (a ) =

bentuk

kemiringan

untuk

persamaannya

adalah

f (b) − f (a ) f (b) − f ( a ) ( x − a ) atau g ( x) = ( x − a) + f (a) . b−a b−a

Kemudian ini menghasilkan rumus untuk s (x ) , yaitu: s ( x) = f ( x) − g ( x) = f ( x) − f (a ) −

f (b) − f (a ) ( x − a) b−a

Tampak bahwa s ( a ) = s (b) = 0 . Untuk setiap fungsi s (x ) yang kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada interval (a,b) dan s ( a ) = s (b) = 0 maka fungsi s (x ) terdapat titik c di dalam interval (a,b) sedemikan sehingga s ′(c) = f ′(c) − Jadi terbukti bahwa f ′(c) =

f (b) − f (a ) = 0. b−a

f (b) − f (a ) . b−a

■

Teorema 2.4 Teorema Uji Turunan Pertama untuk Nilai Ekstrem Relatif

Andaikan fungsi f kontinu dan terdeferensial pada interval terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c, maka: 1.

f (c ) adalah nilai maksimum relatif, jika f ′( x ) > 0 untuk semua x di dalam

interval (a, c) dan f ′( x ) < 0 untuk semua x di dalam interval (c, b) f (c ) adalah nilai minimum relatif, jika f ′( x ) < 0 untuk semua x di dalam

2.

interval (a, c) dan f ′( x ) > 0 untuk semua x di dalam interval (c, b) f (c ) bukan nilai ekstrem relatif jika f ′(x ) bertanda sama pada kedua pihak

3. c.


18

Bukti:

a)

Akan dibuktikan bahwa f mempunyai maksimum relatif pada c dengan memperlihatkan bahwa f (c ) ≥ f ( x ) untuk semua x di dalam (a, b) •

Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (a, c). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (a, c) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c]. Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (x, c) sedemikian sehingga f (c ) − f ( x ) = f ′(ξ) atau f (c ) − f ( x) = (c − x ) f ′(ξ) c−x

c − x > 0 karena c > x dan f ′(ξ) > 0 karena f ′ positif dimana-mana pada interval (a, c). Jadi f (c) − f ( x) > 0 atau f (c ) > f ( x ) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (a, c). •

Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [c, x]. Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga f ( x ) − f (c ) = f ′(ξ) atau f ( x) − f (c) = ( x − c ) f ′(ξ) x−c

x − c > 0 karena x > c dan f ′(ξ) < 0 karena f ′ negatif dimana-mana pada interval (c, b). Jadi f ( x ) − f (c) < 0 atau f ( x ) < f (c ) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (c, b).


19

Jadi f ( x ) < f (c ) berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b). b)

Akan dibuktikan bahwa f mempunyai minimum relatif pada c dengan memperlihatkan bahwa f (c ) ≥ f ( x ) untuk semua x di dalam (a, b) •


c − x > 0 karena c > x dan f ′(ξ) < 0 karena f ′ negatif dimana-mana pada interval (a, c). Jadi f (c) − f ( x) < 0 atau f (c ) < f ( x ) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (a, c). •

Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [c, x]. Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga f ( x ) − f (c ) = f ′(ξ) atau f ( x) − f (c) = ( x − c ) f ′(ξ) x−c

x − c > 0 karena x > c dan f ′(ξ) > 0 karena f ′ positif dimana-mana pada interval (c, b). Jadi f ( x ) − f (c) > 0 atau f ( x ) > f (c ) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (c, b).


20

Jadi f ( x ) > f (c ) berlaku untuk setiap x di dalam interval (a, b). c)

Untuk membuktikan bagian ini akan ditinjau dalam dua kemungkinan, yaitu: i. Jika f ′( x ) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f ′( x ) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f (c ) bukan merupakan nilai ekstrem. •


c − x > 0 karena c > x dan f ′(ξ) < 0 karena f ′ negatif di manamana pada interval (a, c). Jadi f (c) − f ( x) < 0 atau f (c ) < f ( x ) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (a, c). • Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b). Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka Teorema Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x]. Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga f ( x ) − f (c ) = f ′(ξ) atau f ( x) − f (c) = ( x − c ) f ′(ξ) x−c


21

x − c > 0 karena x > c dan f ′(ξ) < 0 karena f ′ negatif di manamana pada interval (c, b). Jadi f ( x ) − f (c) < 0 atau f ( x ) < f (c ) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (c, b). Karena

f (c ) < f ( x ) untuk setiap

x di dalam interval (a, c). dan

f ( x ) < f (c ) untuk setiap x di dalam interval (c, b), maka f (c ) bukan

merupakan nilai ekstrem relatif. ii. Jika f ′( x ) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f ′( x ) > 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f (c ) bukan merupakan nilai ekstrem. •


c − x > 0 karena c > x dan f ′(ξ) > 0 karena f ′ positif di manamana pada interval (a, c). Jadi f (c) − f ( x) > 0 atau f (c ) > f ( x ) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (a, c). • Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval (c, b) . Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval (c, b) maka Teorema Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x].


22

Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval (c, x) sedemikian sehingga f ( x ) − f (c ) = f ′(ξ) atau f ( x) − f (c) = ( x − c ) f ′(ξ) x−c

x − c > 0 karena x > c dan f ′(ξ) > 0 karena f ′ positif di manamana pada interval (c, b). Jadi f ( x ) − f (c) > 0 atau f ( x ) > f (c ) dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval (c, b). Karena

f (c ) > f ( x )

untuk setiap

x di dalam interval (a, c) dan

f ( x ) > f (c ) untuk setiap x di dalam interval (c, b) , maka f (c ) bukan

merupakan nilai ekstrem relatif.

■

Teorema 2.5 Teorema Uji Turunan Kedua

Andaikan f berturunan dua kali pada titik stasioner c, maka : a. Jika f ′′(c) > 0 , maka f mempunyai minimum relatif pada titik c. b. Jika f ′′(c) < 0 , maka f mempunyai maksimum relatif pada titik c. Bukti :

Dengan menggunakan definisi turunan dapat dituliskan : lim x →c

a).

f i ( x ) − f i (c ) = f '' (c ), x ≠ c x−c

(2.1)

Menurut hipotesis f '' (c) > 0 sehingga dapat memilih ε > 0 dalam definisi limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari (2.1) ada δ > 0 sedemikian


23

f ' ( x ) − f ' (c ) − f ' ' (c ) < ε x−c

hingga

f ' ' (c ) − ε <

f ' ( x ) − f ' (c ) < f ' ' (c ) + ε x−c

x−c < δ ,

bilamana

,bilamana

x

x≠c

dalam

atau

interval

(c − δ , c + δ ), x ≠ c.

Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan diperlihatkan / ditunjukkan bahwa : -

f ' ( x) > 0, untuk semua x dalam (c, c + δ ) .

-

f ' ( x) < 0, untuk semua x dalam (c − δ , c ) .

Ini menyusul dari uji turunan pertama bahwa f memiliki minimum relatif pada c. Apabila ε > 0 yang dipilih kurang dari

f '' (c) maka

f ' ( x ) − f ' (c ) x−c

terletak antara dua bilangan positif, yang artinya : f ' ( x ) − f ' (c ) > 0 bilamana (c − δ , c + δ ), x ≠ c. x−c Selanjutnya dapat ditulis : f ' ( x) − f ' (c) > 0 atau f ' ( x) > f ' (c) untuk semua x dalam (c, c + δ ) dan f ' ( x) − f ' (c) < 0 atau f ' ( x) < f ' (c) untuk semua x dalam (c − δ , c ) . Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi f ' (c ) = 0 . Ini berarti : -

f ' ( x) > 0 untuk semua x dalam (c, c + δ ) .


24

b).

f ' ( x) < 0 untuk semua x dalam (c − δ , c ) .

Menurut hipotesis f '' (c) < 0 sehingga dapat memilih ε > 0 dalam definisi limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari (2.1) ada δ > 0 sedemikian hingga

f ' ( x ) − f ' (c ) + f ' ' (c ) < ε x−c

− f ' ' (c ) − ε <

bilamana

f ' ( x ) − f ' (c ) < − f ' ' (c ) + ε x−c

x−c < δ ,

,bilamana x

x≠c

atau

dalam interval

(c − δ , c + δ ), x ≠ c. Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan diperlihatkan / ditunjukkan bahwa : -

f ' ( x) > 0, untuk semua x dalam (c, c + δ ) .

-

f ' ( x) < 0, untuk semua x dalam (c − δ , c ) .

Karena ε yang dipilih merupakan bilangan positif yang sangat kecil maka f ' ( x ) − f ' (c ) terletak antara dua bilangan negatif, yang artinya : x−c f ' ( x ) − f ' (c ) > 0 bilamana (c − δ , c + δ ), x ≠ c. x−c Selanjutnya dapat ditulis : - f ' ( x) − f ' (c) < 0 atau f ' ( x)\ < f ' (c) untuk semua x dalam (c, c + δ ) . - f ' ( x) − f ' (c) > 0 atau f ' ( x) > f ' (c) untuk semua x dalam (c − δ , c ) . Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi f ' (c ) = 0 . Ini berarti : - f ' ( x) < 0 untuk semua x dalam (c, c + δ ) .


25

- f ' ( x) > 0 untuk semua x dalam (c − δ , c ) .

■

Contoh 2.4

Periksa nilai ekstrem untuk f ( x) = x 2 − 6 x + 5 untuk setiap x dalam ℜ ! Penyelesaian :

Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan f ' ( x) = 2 x − 6 = 2( x − 3) maka f ' ( x) = 0 untuk x = 3. Titik kritis fungsi di atas adalah x = 3 f '' ( x) = 2 maka f '' (3) = 2 > 0. Jadi f mempunyai nilai minimum relatif dengan nilai minimum relatif adalah f (3) = −4

Contoh 2.5 1 Untuk f ( x) = x 3 − x 2 − 3 x + 4, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali 3

ekstrem relatif fungsi tersebut! Penyelesaian :

Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan f ' ( x) = x 2 − 2 x − 3 = ( x + 1)( x − 3) maka f ' ( x) = 0 untuk x = -1 dan x = 3. f '' ( x) = 2 x − 2 . Karena f '' (−1) = −4 < 0 dan f '' (3) = 4 > 0 maka


26

f ( -1) adalah nilai maksimum relatif dan f (3) adalah nilai minimum relatif.

B.

Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel

Dalam subbab sebelumnya telah dibahas tentang salah satu penggunaan turunan fungsi dengan satu variabel dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Dalam subbab ini, akan dibahas tentang perluasan untuk fungsi dengan dua variabel. Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada fungsi dengan satu variabel. Pada fungsi dengan dua variabel peranan interval terbuka digantikan dengan cakram terbuka dan peranan interval tertutup digantikan dengan cakram tertutup. Definisi nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel diberikan sebagai berikut: Definisi 2. 7

Misalkan z = f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada suatu daerah di bidang yang memuat titik (a, b) . Jika terdapat suatu cakram terbuka B (( a, b); r ) sedemikian sehingga f ( a, b) ≥ f ( x, y ) yang terletak pada cakram terbuka yang berpusat di titik (a, b) dengan jari-jari r, maka fungsi f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a, b) dengan nilai maksimum f ( a, b) .

Jika hubungan f ( a, b) ≥ f ( x, y ) berlaku untuk setiap titik ( x, y ) yang terletak dalam daerah definisi fungsi z = f ( x, y ) , maka fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di titik (a, b) dengan nilai maksimum f (a, b) .


27

Definisi 2. 8

Misalkan z = f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada suatu daerah di bidang yang memuat titik (a, b) . Jika terdapat suatu cakram terbuka B (( a, b); r ) sedemikian sehingga f ( a, b) ≤ f ( x, y ) yang terletak pada cakram terbuka yang berpusat di titik (a, b) dengan jari-jari r, maka fungsi f dikatakan mencapai minumum relatif

di titik (a, b) dengan nilai minimum

f ( a, b) .

Jika hubungan f ( a, b) ≤ f ( x, y ) berlaku untuk setiap titik ( x, y ) yang terletak dalam daerah definisi fungsi z = f ( x, y ) , maka fungsi f dikatakan mencapai minimum mutlak di titik (a, b) dengan nilai minimum f (a, b) . Kedua definisi di atas dapat diperlihatkan dalam ilustrasi di bawah ini.

Gambar 2. 9 Nilai-nilai ekstrem dari fungsi dengan duavariabel z = f ( x, y )


28

Dari grafik tampak bahwa fungsi z = f ( x, y ) terdefinisi di dalam domainnya yaitu bidang persegi tertutup pada bidang –xy yang titik-titiknya memenuhi ketaksamaan

0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 . Fungsi z = f ( x, y ) mempunyai

maksimum relatif di titik B dan minimum relatif di titik A dan titik C. Fungsi z = f ( x, y ) juga mempunyai minimum mutlak di titik A dan maksimum mutlak di

titik D. Jika f mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik (a, b) maka dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem relatif di titik (a, b) dan jika

mempunyai nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak di titik (a, b) maka dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem mutlak di titik (a, b) .

Teorema 2.6

Misal

z = f ( x, y )

terdefinisi pada semua titik pada cakram terbuka

B (( a, b); r ) dan f mencapai mempunyai nilai ekstrem relatif pada titik (a, b) serta

turunan parsial tingkat pertama dari f ada pada titik (a, b) , maka f x (a, b) = 0 dan f y ( a, b) = 0 . Bukti:

Akan dibuktikan dalam dua kasus, yaitu jika f (a, b) adalah nilai maksimum relatif dan f (a, b) adalah nilai minimum relatif. i. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada (a, b) dan f x (a, b) ada, maka f x (a, b) = 0 .


29

Jika f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel ( x, y ) maka turunan parsial f terhadap x pada titik (a, b) adalah f x ( a, b) = lim h →0

f ( a + h, b ) − f ( a , b ) h

Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di (a, b) maka dengan memakai Definisi 2.7 didapat f (a + h, b) − f (a, b) ≤ 0 .

Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga ( a + h, b) ada di dalam B (( a, b); δ ) . Jika h → 0 + , h > 0 maka

f ( a + h, b ) − f ( a , b ) ≤0 h

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat: f x ( a, b) = lim h →0

f ( a + h, b) − f (a, b) ≤0 h

Jika h → 0 − , h < 0 maka

f ( a + h, b ) − f ( a , b ) ≥0 h


f ( a + h, b) − f (a, b) ≥0 h

Karena f x (a, b) ≥ 0 dan f x (a, b) ≤ 0 maka f x (a, b) = 0 .

Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada (a, b) dan f y ( a, b) ada, maka f y ( a, b) = 0 .

Jika f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel ( x, y ) maka turunan parsial f terhadap y pada titik (a, b) adalah f y ( a, b) = lim k →0

f ( a, b + k ) − f ( a, b) k


30

Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di (a, b) maka dengan memakai Definisi 2.7 didapat f (a, b + k ) − f ( a, b) ≤ 0 .

Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga ( a, b + k ) ada di dalam B (( a, b); δ ) . Jika k → 0 + , k > 0 maka

f (a , b + k ) − f ( a, b) ≤0 k

Dengan memakai definisi turunan parsial didapat: f y ( a, b) = lim k →0

f ( a, b + k ) − f ( a, b) ≤0 k

Jika k → 0 − , k < 0 maka

f (a , b + k ) − f ( a, b) ≥0 k


f ( a, b + k ) − f ( a, b) ≥0 k

Karena f y ( a, b) ≥ 0 dan f y ( a, b) ≤ 0 maka f y ( a, b) = 0 .

ii. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada (a, b) dan f x ( a, b) ada, maka f x (a, b) = 0 . Jika f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel ( x, y ) maka turunan parsial f terhadap x pada titik (a, b) adalah f x ( a, b) = lim h →0

f ( a + h, b ) − f ( a , b ) h

Karena f mempunyai nilai minimum relatif di (a, b) maka dengan memakai Definisi 2.8 didapat f (a + h, b) − f ( a, b) ≥ 0 .


31

Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga ( a + h, b) ada di dalam B (( a, b); δ ) . Jika h → 0 + , h > 0 maka

f ( a + h, b ) − f ( a , b ) ≥0 h


f ( a + h, b) − f (a, b) ≥0 h

Jika h → 0 − , h < 0 maka

f ( a + h, b ) − f ( a , b ) ≤0 h


f ( a + h, b) − f (a, b) ≤0 h

Karena f x (a, b) ≥ 0 dan f x (a, b) ≤ 0 maka f x (a, b) = 0 .

Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada (a, b) dan f y ( a, b) ada, maka f y ( a, b) = 0 . Jika f ( x, y ) adalah fungsi dengan dua variabel ( x, y ) maka turunan parsial f terhadap y pada titik (a, b) adalah f y ( a, b) = lim k →0

f ( a, b + k ) − f ( a, b) k

Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di (a, b) maka dengan memakai Definisi 2.8 didapat f (a, b + k ) − f (a, b) ≥ 0 .

Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga ( a, b + k ) ada di dalam B (( a, b); δ ) . Jika k → 0 + , k > 0 maka

f (a , b + k ) − f ( a, b) ≥0 k


32


f ( a, b + k ) − f ( a, b) ≥0 k

Jika k → 0 − , k < 0 maka

f (a , b + k ) − f ( a, b) ≤0 k


f ( a, b + k ) − f ( a, b) ≤0 k

Karena f y ( a, b) ≥ 0 dan f y ( a, b) ≤ 0 maka f y ( a, b) = 0

.

■

Definisi 2.9.

Titik (a, b) disebut titik kritis dari fungsi f, jika berlaku f x (a, b) = 0 dan f y ( a, b) = 0 .

Teorema 2.6 mengatakan bahwa syarat perlu agar suatu fungsi dengan dua variabel mencapai nilai ekstrem relatif di suatu titik, di mana turunan parsialnya ada di titik tersebut, adalah bahwa titik tersebut merupakan titik kritis dari z = f ( x, y ) . Namun hal ini belum menjamin terjadinya nilai ekstrem relatif

apabila turunan parsialnya di suatu titik sama dengan nol. Keadaan ini terjadi pada suatu titik yang disebut dengan titik pelana (saddle point), yaitu titik kritis di mana fungsi z = f ( x, y ) tidak mempunyai nilai ekstrem. Hal ini ditunjukkan pada contoh 2.6


33

Contoh 2.6

Diketahui fungsi f yang didefinisikan oleh persamaan f ( x, y ) = 6 x − 4 y − x 2 − 2 y 2 Tentukan apakah f mencapai nilai ekstrem! Penyelesaian:

Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik ( x, y ) , maka Teorema 2. 6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:

f x ( x, y ) = 6 − 2 x Dari persamaan-persamaan

dan

f y ( x , y ) = −4 − 4 y

f x ( x, y ) = 6 − 2 x = 0 dan

f y ( x , y ) = −4 − 4 y = 0

didapat x = 3 dan y = -1 sebagai titik kritis fungsi. Grafik persamaan z = f ( x, y ) = 6 x − 4 y − x 2 − 2 y 2 tampak pada gambar 2.10 yaitu berupa paraboloida dengan titik puncak (3, -1, 11) dan terbuka ke bawah. Dapat disimpulkan bahwa: f ( x, y ) < f (3, − 1) untuk semua ( x, y ) ≠ (3, − 1)

Menurut Definisi 2.7, maka f (3, − 1) = 11 merupakan nilai maksimum mutlak f.

Gambar 2.10. Grafik fungsi f ( x, y ) = 6 x − 4 y − x 2 − 2 y 2 dengan (3,−1,11) sebagai titik puncaknya.


34

Contoh 2.7

Tentukan nilai ekstrem relatif dari fungsi f ( x y ) = 2 x 2 + y 2 − xy − 7 y ! Penyelesaian:

Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik ( x, y ) , maka Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:

f x ( x, y ) = 4 x − y dan f y ( x, y ) = 2 y − x − 7 Kemudian dengan menyelesaikan f x ( x, y ) = 4 x − y = 0 f y ( x, y ) = 2 y − x − 7 = 0

didapat x = 1 dan y = 4 sebagai titik stasionernya. Sekarang akan dibandingkan nilai f pada (1, 4) dengan nilai f pada (1 + h, 4 + k ) . f (1, 4) = 2 + 16 − 4 − 28 = −14

f (1 + h, 4 + k ) = 2 (1 + h) 2 + (4 + k ) 2 − (1 + h)(4 + k ) = 2 + 4h + 2h 2 + 16 + 8k + k 2 − 4 − 4h − k − hk − 28 − 7 k = 2h 2 + k 2 − hk − 14

(

)

f (1 + h, 4 + k ) − f (1, 4) = 2h 2 + k 2 − hk = 2 h 2 − 12 hk + k 2

= 2 (h − 14 k ) + 98 k 2 > 0 untuk semua h, k di dalam ℜ . 2

Jadi f mempunyai minimum relatif pada titik (1, 4) dengan nilai minimum relatifnya -14.


35

Contoh 2.8

Selidiki apakah fungsi f ( x, y ) = x 2 − y 2 mempunyai nilai ekstrem relatif! Penyelesaian:

Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik ( x, y ) , maka Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:

f x ( x, y ) = 2 x f y ( x , y ) = −2 y

Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x ( x, y ) = 2 x = 0 dan f y ( x, y ) = −2 y = 0 . Kemudian diperoleh titik (0,0) sebagai titik kritisnya.

Pada bidang y = 0 ,

f ( x, y ) = x 2 bernilai positif, dan pada bidang x = 0 ,

f ( x, y ) = − y 2 bernilai negatif. Jadi titik (0,0) bukan merupakan nilai ekstrem dari f ( x, y ) = x 2 − y 2 . Hal ini ditunjukkan pada grafik di bawah ini.

Gambar 2.11 Grafik fungsi f ( x, y ) = x 2 − y 2 dengan titik (0,0) sebagai titik pelananya


36

Seperti halnya pada fungsi dengan satu variabel bahwa syarat f ′(c) = 0 belum cukup menjamin bahwa f mempunyai ekstrem pada c. Demikian

pula halnya bahwa syarat f x ( x, y ) = 0 dan f y ( x, y ) = 0 belum cukup menjamin bahwa fungsi dengan dua variabel mempunyai ekstrem pada titik (a, b) . Untuk itu diperlukan syarat cukup yang menjamin bahwa fungsi dengan dua variabel mempunyai ekstrem pada titik (a, b) .

Teorema 2.7

Misalkan f adalah fungsi dengan dua variabel dengan turunan-turunan parsial tingkat

dua

yang

kontinu

pada

cakram

terbuka

B (( a, b); r )

dan

f x ( a, b) = f y (a, b) = 0 . Misalkan H (a, b) = f xx (a, b). f yy (a, b) − f xy2 (a, b) .

Maka berlaku: 1. f mencapai nilai minimum relatif di titik (a, b) jika H ( a, b) > 0 dan f xx (a, b) > 0 2. f mencapai nilai maksimum relatif di titik (a, b) jika H ( a, b) > 0 dan f xx (a, b) < 0 3. f tidak mempunyai nilai ekstrem relatif di titik (a, b) jika H ( a, b) < 0 4. jika H (a, b) = 0 , f belum dapat disimpulkan apakah mempunyai nilai ekstrem atau tidak.


37

Bukti:

1. Misalkan φ( x, y ) = f xx ( x, y ). f yy ( x, y ) − f xy2 ( x, y) . Diketahui φ( a, b) > 0 dan f xx (a, b) > 0 , akan dibuktikan bahwa f (a, b) adalah nilai minimum relatif. Karena f xx , f yy dan f xy adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada cakram terbuka B (( a, b); r ) , maka φ( x, y ) juga kontinu di B (( a, b); r ) . Akibatnya terdapat cakram terbuka

B ′ (( a, b); r ′) , dengan

r ′ ≤ r , sedemikian

sehingga φ( x, y ) > 0 dan f xx ( x, y ) > 0 untuk setiap ( x, y ) di cakram terbuka B ′ (( a, b); r ′) . Misalkan h dan k adalah konstanta-konstanta yang tidak keduanya nol, sedemikian sehingga titik ( a + h, b + k ) di B ′ (( a, b); r ′) . Maka dua persamaan berikut :

x = a + ht dan y = b + kt , 0 ≤ t ≤ 1 mendefinisikan semua titik pada segmen garis yang menghubungkan titik (a, b) dan ( a + h, b + k ) . Misal F adalah fungsi dengan satu variabel yang

didefinisikan oleh: F (t ) = f ( a + ht , b + kt )

(2.2)

Dengan rumus Maclaurin untuk fungsi F dengan satu variabel didapat: F (t ) = F (0) + F ′(0) t +

F ′′(ξ) 2 t 2!

dengan 0 < ξ < t untuk t = 1 pada persamaan (2.3) berlaku:

(2.3)


38

F (1) = F (0) + F ′(0) + 12 F ′′(ξ)

(2.4)

dengan 0 < ξ < 1 Karena F (0) = f ( a, b) dan F (1) = f ( a + h, b + k ) maka dengan persamaan (2.3) didapat: f (a + h, b + k ) = f (a, b) + F ′(0) + 12 F ′′(ξ)

(2.5)

dengan 0 < ξ < 1 Untuk mendapatkan F ′(t ) dan F ′′(ξ) digunakan aturan rantai pada persamaan (2.2), maka didapat: F ′(t ) = hf x ( a + ht , b + kt ) + kf y ( a + ht , b + kt )

(2.6)

Jika fungsi f dengan dua variabel dalam x dan y terdefinisi pada cakram terbuka B (( a, b); r ) dan f xx , f yy , f xy dan f yx terdefinisi di B serta f xy , f yx kontinu B, maka diperoleh: f xy ( x, y ) = f yx ( x, y ) untuk setiap titik ( x, y ) di B1 .

Jadi berlaku:

F ′′(t ) = h 2 f xx 2hkf xy + k 2 f yy

(2.7)

di mana setiap turunan parsial di ruas kanan persamaan (2.6) dihitung di titik ( a + ht , b + kt ) . Dengan memasukkan t = 0 pada persamaan (2.5) dan t = ξ pada persamaan (2.6) didapat:

F ′(0) = hf x (a, b) + kf y ( a, b) = 0

(2.8)

dan

F ′′(ξ) = h 2 f xx + 2hkf xy + k 2 f yy

(2.9)


39

di mana setiap turunan parsial kedua persamaan (2.9) dihitung di titik ( a + ht , b + kt ) dengan 0 < ξ < 1 .

Dengan memasukkan persamaan (2.8) dan (2.9) ke dalam persamaan (2.5) akan diperoleh:

f (a + h, b + k ) − f (a, b) = 12 (h 2 f xx + 2hkf xy + k 2 f yy )

(2.10)

bentuk-bentuk di dalam tanda kurung pada persamaan (2.9) dapat ditulis sebagai:

h f xx + 2hkf xy + k f yy 2

2

2 2 ⎡ f xy ⎛ f xy ⎞ ⎛ f xy ⎞ f ⎤ 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ k ⎟⎟ + k 2 yy ⎥ = f xx ⎢h + 2hk + ⎜⎜ k f xx ⎝ f xx ⎠ ⎝ f xx ⎠ f xx ⎥ ⎢⎣ ⎦

sehingga persamaan (2.10) dapat ditulis:

f f (a + h, b + k ) − f (a, b) = xx 2

2 ⎡⎛ f xy ⎞ f xx f yy − f xy2 2 ⎤ ⎟ + ⎢⎜⎜ h + k ⎥ f xx ⎟⎠ f xx2 ⎢⎣⎝ ⎥⎦

(2.11)

Karena f xx f yy − f xy2 dihitung di titik ( a + ht , b + kt ) , maka nilainya sama dengan φ( a + hξ, b + kξ) > 0 . Jadi akan diperleh bentuk di dalam kurung pada persamaan (2.10) akan bertanda positif. Selain itu karena f xx (a + hξ, b + kξ) > 0 , maka dari persamaan (2.11) didapat bahwa f ( a + h, b + k ) − f ( a, b) bertanda positif.

Terbukti

bahwa

f ( a + h, b + k ) > f ( a , b )

untuk

setiap

( a + h, b + k ) ≠ ( a, b) pada B1 . Kemudian dengan memakai Definisi 2.8

akan diperoleh bahwa f (a, b) merupakan nilai minimum relatif dari f. 2. Diketahui φ( a, b) > 0 dan f xx (a, b) < 0 , akan dibuktikan bahwa f (a, b) adalah nilai maksimum relatif. Langkah-langkah pembuktian merupakan


40

analogi

dari

langkah

pembuktian

pada

kasus

pertama.

Karena

( a + hξ, b + kξ) di dalam B (( a, b); r ) , maka f xx (a + hξ, b + kξ) < 0 dan

dari persamaan (10)

didapat bahwa f ( a + h, b + k ) − f ( a, b) bertanda

negatif. Jadi

terbukti

f ( a + h, b + k ) < f ( a , b )

bahwa

untuk

setiap

( a + h, b + k ) ≠ ( a, b) pada B1 . Kemudian dengan memakai Definisi 2.7

akan diperoleh bahwa f (a, b) merupakan nilai maksimum relatif dari f. 3. Diketahui H (a, b) = f xx (a, b). f yy (a, b) − f xy2 (a, b) < 0 Dari persamaan (2.9) andaikan bahwa

F = h 2 f xx + 2hkf xy + k 2 f yy

(2.12)

Atau dapat ditulis sebagai

(

)

F=

1 2 2 h f xx + 2hkf xy f xx + k 2 f yy f xx f xx

F=

1 (hf xx + kf xy ) 2 + k 2 f xx f yy − f xy2 f xx

[

(

, f xx ≠ 0

)]

, f xx ≠ 0

(2.13)

Tanda dari F bergantung pada nilai h dan k. Misalkan •

diambil k = 0, maka F = h 2 f xx dan F akan mempunyai tanda yang sama dengan f xx .

•

− hf xx k 2H k 2H diambil k = = 2 f xx , ,maka F = f xx f xy f xx


41

− hf xx k 2H < 0 , untuk nilai k = dan F mempunyai tanda yang 2 f xy f xx berlawanan dengan f xx . Dari dua contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa titik kritisnya merupakan titik pelana karena F tidak memberikan tanda yang sama untuk setiap ( h, k ) yang diberikan.

Jadi f (a, b) bukan merupakan nilai ekstrem. 4. Untuk

H (a, b) = f xx (a, b). f yy (a, b) − f xy2 (a, b) = 0

akan

dengan deret Taylor yang akan dibahas pada bab selanjutnya.

diselesaikan ■

Berikut merupakan langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrem fungsi dengan dua variabel: 1. Menentukan f x ( x, y ) dan f y ( x, y ) 2. Menentukan nilai-nilai x dan y di mana f x ( x, y ) = 0 dan f y ( x, y ) = 0 untuk mendapatkan nilai kritisnya. 3. Menentukan f xx ( x, y ) , f xy ( x, y ) , dan f yy ( x, y ) 4. Menentukan H (a, b) = f xx (a, b). f yy (a, b) − f xy2 (a, b) dan f xx ( x, y ) pada titik kritis.


42

Contoh 2.9

Diketahui fungsi f yang didefinisikan oleh: f ( x, y ) = 2 x 4 + y 2 − x 2 − 2 y Tentukan nilai ekstrem relatif dari f ! Penyelesaian:

Tururan parsial pertama fungsi f adalah: f x ( x, y ) = 8 x 3 − 2 x f y ( x, y ) = 2 y − 2

Dari persamaan f x ( x, y ) = 8 x 3 − 2 x = 0 didapat x = − 12 , x = 0 dan x =

1 2

Dari persamaan f y ( x, y ) = −2 y − 2 = 0 didapat y = 1 Diperoleh titik-titik kritis fungsi f yaitu (− 12 ,1), (0,1) dan ( 12 ,1) . Kemudian menentukan turunan parsial kedua dari f, yaitu; f xx ( x, y ) = 24 x 2 − 2 f yy ( x, y ) = 2 f xy ( x, y ) = 0

kemudian dihitung: f xx (− 12 ,1) = 4 > 0

H (− 12 ,1) = f xx (− 12 ,1) f yy (− 12 ,1) − f xy2 (− 12 ,1) = 4.2 − 0 = 8 > 0 . Karena H (− 12 ,1) > 0 , maka menurut Teorema 2.7 f mencapai minimum relatif di titik (− 12 ,1) . f xx (0,1) = −2 < 0


43

H (0,1) = f xx (0,1) f yy (0,1) − f xy2 (0,1) = (−2).2 − 0 = −4 < 0 Karena H (0,1) < 0 , maka menurut Teorema 2.7 f tidak mencapai minimum relatif di titik (0,1) . f xx ( 12 ,1) = 4 > 0

H ( 12 ,1) = f xx ( 12 ,1) f yy ( 12 ,1) − f xy2 ( 12 ,1) = 4.2 − 0 = 8 > 0 Karena H ( 12 ,1) > 0 , maka menurut Teorema 2.7 f mencapai minimum relatif di titik ( 12 ,1) . Jadi dapat disimpulkan bahwa f mencapai nilai minimum relatif di titik (− 12 ,1) dan titik ( 12 ,1) dengan nilai minimum relatif adalah − 89 .

Contoh 2.10

Tentukan nilai ekstrem relatif untuk fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2 x + 1 Penyelesaian:

Turunan parsial pertama dari fungsi di atas adalah f x ( x, y ) = 2 x − 2 f y ( x, y ) = 2 y

dengan menyelesaikan f x ( x, y ) = 0 dan f y ( x, y ) = 0 , maka akan didapat x = 1 dan y = 0. Kemudian turunan parsial kedua adalah f xx ( x, y ) = 2 > 0


44

f yy ( x, y ) = 2 f xy ( x, y ) = 0

pada titik (1,0) dipunyai H = 2.2 − 0 2 = 4 > 0 . Karena f xx ( x, y ) > 0 dan H > 0 , maka dengan menggunakan Teorema 2.7 f ( x, y ) mempunyai nilai minimum relatif dengan nilai minimum relatif sama dengan nol.

Contoh 2.11

Tentukan nilai maksimum dan minimum relatif dari fungsi f ( x, y ) = x 3 + y 3 − 3x − 12 y + 20 Penyelesaian :

Turunan parsial pertama dari fungsi di atas adalah f x ( x, y ) = 3 x 3 − 3

f y ( x, y ) = 3 y 2 − 12 f x ( x, y ) = 0 untuk x = ±1 f y ( x, y ) = 0 untuk y = ±2

Selanjutnya didapat empat titik kritis dari f ( x, y ) , yaitu: (1,2), (-1,2), (1,-2) dan (-1,-2) Kemudian turunan parsial kedua adalah f xx ( x, y ) = 6 x f yy ( x, y ) = 6 y f xy ( x, y ) = 0


45

Kemudian, Pada titik (1,2) f xx ( x, y ) = 6 > 0 dan H = 6 (1). 6(2) − 0 2 = 72 > 0 , yang berarti bahwa titik (1,2) merupakan titik minimum relatif dari f ( x, y ) . Pada titik (-1,2) f xx ( x, y ) = −6 < 0 dan

H = 6 (−1). 6(2) − 0 2 = −72 < 0 , yang berarti bahwa

f ( x, y ) tidak mempunyai nilai ekstrem pada titik (-1,2).

Pada titik (1,-2) f xx ( x, y ) = 6 > 0

dan

H = 6 (1). 6(−2) − 0 2 = −72 < 0

yang

berarti

bahwa

f ( x, y ) tidak mempunyai nilai ekstrem pada titik (1,-2).

Pada titik (-1,-2) f xx ( x, y ) = −6 < 0 dan H = 6 (−1). 6(−2) − 0 2 = 72 > 0 yang berarti bahwa titik (-1,-2) merupakan titik maksimum relatif dari f ( x, y ) .

Pada fungsi dengan satu variabel, biasanya fungsi yang ingin dicari nilai maksimum atau minimum terdefinisi pada interval tertutup [a,b] sehingga fungsi tersebut terdefinisi pada himpunan terbatas ℜ . Kemudian terdapat suatu teorema yang menjamin tentang adanya nilai ekstrem mutlak suatu fungsi dengan satu variabel yang kontinu pada interval tertutup [a,b]. Seperti halnya pada fungsi dengan satu variabel, teorema berikut, yang sangat sukar dibuktikan namun secara intuisi jelas, akan membantu dalam menentukan nilai ekstrem mutlak suatu fungsi dengan dua variabel.


46

Teorema 2.8 Teorema Nilai Ekstrem

Jika fungsi f kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas pada ℜ , maka f mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada titik-titik di dalam

ℜ.

Jika fungsi f ( x, y ) kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas ℜ , maka teorema di atas menjamin adanya nilai maksimum dan minimum mutlak fungsi f ( x, y ) pada ℜ . Ekstrem mutlak ini dapat terjadi pada batas ℜ atau dalam pedalaman ℜ1 , namun jika ekstrem mutlak yang terjadi pada titik pedalaman, maka hal itu terjadi pada suatu titik kritis.

Teorema 2.9

Jika fungsi f ( x, y ) mempunyai ekstrem mutlak pada suatu titik di pedalaman domainnya, maka ekstrem itu terjadi pada suatu titik kritis. Bukti:

Jika fungsi f ( x, y ) mempunyai ekstrem mutlak pada titik (a, b) dalam pedalaman domain f, maka f (a, b) merupakan nilai terbesar atau terkecil dalam pedalaman dmain f. Dengan demikian, ini dapat berarti bahwa nilai terbesar atau terkecil dari f berada di sekitar titik (a, b) . Atau dengan kata lain terdapat suatu kitaran yang berpusat di titik (a, b) yang menjadikan f (a, b) adalah suatu nilai terbesar atau terkecil dalam kitaran tersebut. Jadi f ( x, y ) mempunyai ekstrem relatif. Jika turunan-turunan parsial f ( x, y ) ada pada titik (a, b) , maka f x ( x, y ) = 0 dan


47

f y ( x, y ) = 0 . Menurut Teorema 2.8 maka titik (a, b) merupakan titik kritis dari

■

f ( x, y ) .

Berikut merupakan langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrem mutlak dari fungsi f ( x, y ) yang kontinu pada himpunan terbatas ℜ : 1. Menentukan titik-titik kritis dari f ( x, y ) yang terletak di dalam ℜ . 2. Menentukan semua titik perbatasan. 3. Menghitung nilai f ( x, y ) pada titik-titik perbatasan dan titik-titik kritis, nilai terbesar akan menjadi nilai maksimum mutlak dan nilai terkcil akan menjadi nilai minimum mutlak.

Contoh 2.12

Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak fungsi yang didefinisikan oleh f ( x, y ) = 3 xy − 6 x − 3 y + 7

Pada daerah segitiga tertutup ℜ dengan koordinat-koordinat (0,0), (3,0) dan (0,5) Penyelesaian:

Daerah ℜ tampak pada gambar di bawah ini


48

y (0,5)

(0,0)

(3,0)

x

Gambar 2. 12 Domain fungsi f ( x, y ) = 3 xy − 6 x − 3 y + 7

Turunan parsial pertama f ( x, y ) = 3 xy − 6 x − 3 y + 7 f x ( x, y ) = 3 y − 6 f y ( x, y ) = 3 x − 3

Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x ( x, y ) = 3 y − 6 = 0 dan f y ( x, y ) = 3 x − 3 = 0 kemudian didapat x = 1 dan y = 2.

Kemudian ditentukan lokasi titik-titik pada batas ℜ di mana ekstrem mutlak terjadi. Batas-batas ℜ terdari dari tiga buah ruas garis, yaitu: Ruas garis di antara titik (0,0) dan titik (3,0)


49

Pada ruas garis ini dipunyai y = 0 dan f ( x, y ) dapat diubah menjadi fungsi dengan satu variabel dalam x, yaitu u ( x) = f ( x, 0) = −6 x + 7 dengan 0 ≤ x ≤ 3 . Fungsi u ( x ) = −6 x + 7 tidak mempunyai titik kritis karena u ′( x) = −6 ≠ 0 untuk semua x. Jadi nilai ekstrem u ( x ) = −6 x + 7 terjadi pada titik-titik ujung ruas garis di antara titik (0,0) dan titik (3,0).

Ruas garis di antara titik (0,0) dan titik (0,5) Pada ruas garis ini dipunyai x = 0 dan f ( x, y ) dapat diubah menjadi fungsi dengan satu variabel dalam y, yaitu v ( y ) = f (0, y ) = −3 y + 7 dengan 0 ≤ y ≤ 5 . Fungsi v ( y ) = −3 y + 7 tidak mempunyai titik kritis karena v ′( x) = −3 ≠ 0 untuk semua y. Jadi nilai ekstrem v ( y ) = −3 y + 7 terjadi pada titik-titik ujung ruas garis di antara titik (0,0) dan titik (0,5).

Ruas garis di antara titik (3,0) dan titik (0,5) Persamaan garis yang melalui titik (3,0) dan titik (0,5) adalah y = − 53 x + 5 dengan 0 ≤ x ≤ 3 . Kemudian fungsi f ( x, y ) diubah menjadi fungsi dengan satu variabel dalam x, yaitu: w( x) = f (x, − 53 x + 5) = 3x(− 53 x + 5) − 6 x − 3(− 53 x + 5) + 7 = −5 x 2 + 14 x − 8 ,

dengan 0 ≤ x ≤ 3

Kemudian turunan pertama dari w( x ) adalah


50

w′( x ) = −10 x + 14

Persamaan w′( x ) = −10 x + 14 = 0 akan menghasilkan sebuah titik kritis yaitu x = 75 . Nilai ekstrem w( x ) terjadi pada titik kritis x =

7 5

atau titik-titik ujung,

yaitu x = 0 dan x = 3. Dengan memasukan x = y = 83 . Titik

7 5

ke dalam persamaan y = − 53 x + 5 , maka akan di dapat

( 75 , 83 ) merupakan titik kritis dari

y = − 53 x + 5 .

Kemudian mendaftar semua nilai f ( x, y ) pada titik kritis dan pada titik-titik batas di mana ekstrem mutlak terjadi. ( x, y )

f ( x, y )

(0,0)

7

(3,0)

-11

(0.5)

-8

( 75 , 83 )

9 8

(1,2)

1

Dari tabel tampak bahwa nilai maksimum mutlak adalah 7 dan terjadi pada titik (0,0) dan nilai minimum mtlak adalah -11 dan terjadi pada titik (3,0). Gambar berikut merupakan daerah domain f ( x, y ) = 3 xy − 6 x − 3 y + 7 dan nilai kritisnya.


51

y (0,5)

⎛7 8⎞ ⎜ , ⎟ ⎝ 5 3⎠

(1,2)

(0,0)

(3,0)

Gambar 2. 13 Domain fungsi f ( x, y ) = 3 xy − 6 x − 3 y + 7 beserta nilai kritisnya

x


BAB III

TEOREMA TAYLOR

Salah satu awal penerapan kalkulus adalah perhitungan nilai- nilai fungsi seperti sin x, ln x, dan e x .Ide ini muncul untuk mendekati fungsi yang diketahui dengan suatu polinomial sedemikian rupa sehingga kesalahan dalam menentukan hasilnya cukup kecil atau masih dalam suatu batas toleransi tertentu.

A. Deret Pangkat Di dalam perkuliahan sudah dikenal dan dipelajari deret dengan suku – suku konstan. Dalam penulisan ini akan diperhatikan sebuah deret yang suku – sukunya berkaitan dengan variabel. Deret seperti ini merupakan dasar penting dalam banyak cabang matematika. Jika a 0 , a1 , a 2 , a3 ,.... merupakan konstanta – konstanta dan x adalah suatu variabel maka deret : ∞

∑a n=0

n

x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L + a n x n + L

(3.1)

disebut deret pangkat dalam x. Andaikan akan bermaksud mendekati fungsi f dengan polinomial

ρ (x ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + L + a n x n pada suatu interval

(3.2)

yang berpusat di x = 0 . Karena ρ (x ) memiliki ( n + 1)

koefisien, maka ( n + 1) merupakan syarat pada polinom ini. Dianggap bahwa n


turunan yang pertama dari f ada di x = 0 dan dipilih ( n + 1) syarat sebagai berikut : f (0) = ρ(0), f ' (0) = ρ' (0), f " (0) = ρ " (0),L, f ( n ) (0) = ρ n (0)

(3.3)

Persyaratan ini menuntut bahwa nilai ρ (x ) dan n turunan pertamanya bersesuaian dengan nilai f (x ) serta n turunan pertamanya di x = 0 . Diharapkan bahwa f (x ) dan ρ (x ) hasilnya akan cukup dekat dalam suatu interval yang berpusat di x = 0 . Karena diketahui ρ (x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + L + a n x n maka

ρ ' ( x) = a 1 +2a 2 x + 3a 3 x 2 + L + na n x n −1 .

Sehingga jika diteruskan diperoleh :

ρ "( x ) = 2a 2 + 3.2a 3 x + L + n( n − 1) a n x n − 2 , ρ "' ( x ) = 3.2a 3 + L + n( n − 1)( n − 2) a n x n −3 , M

ρ ( n ) ( x ) = n( n − 1)(n − 2) La n = n! a n . pada x = 0 diperoleh

ρ (0) = a 0 , ρ ' (0) = a1 , ρ " (0) = 2a 2 , ρ "' (0) = 3.2a 3 , M

ρ ( n ) (0) = n! a n .


Jadi menurut persamaan (3.3) didapat f (0) = a 0 , f ' (0) = a1 , f " (0) = 2!a 2 , f ''' (0) = 3! a 3 , L , f

(n)

(0) = n! a n .

Sehingga diperoleh a 0 = f (0), a 1 = f ' (0), a2 =

f " (0) , 2!

f ''' (0) a3= , 3! M an=

f

(n)

( 0) . n!

Jika nilai – nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan (3.2), maka akan diperoleh suatu polinom Maclaurin untuk fungsi f.

Definisi 3.1 Jika fungsi f berturunan n kali x = 0 , maka polinomial Maclaurin ke-n untuk f didefinisikan sebagai f " (0) 2 f "' (0) 3 f ( n ) (0) n ρ n (x) = f (0) + f (0) x + x + x +L+ x 2! 3! n! '

(3.4)

Polinom tersebut bersifat bahwa nilainya dan nilai – nilai n turunan pertamanya bersesuaian dengan nilai f (x) dan n turunan pertamanya pada x = 0 .


Contoh 3.1 Tentukan polinomial Maclaurin untuk e x ! Penyelesaian: Andaikan

f (x ) = e x , maka

f ' ( x) = f " ( x) = f

"'

( x) = L = f

(n)

( x) = e x dan

f (0) = f ' (0) = f " (0) = f "' (0) = L = f ( n ) (0) = 1. Jadi didapat polinomial Maclaurin ke-n untuk e x adalah

ρ n ( x) = 1 + x +

1 2 1 3 1 x + x + L+ xn. 2! 3! n!

Contoh 3.2 Tentukan polinom Maclaurin untuk sin x ! Penyelesaian: Andaikan f ( x) = sin x maka f ' ( x) = cos x , f " ( x ) = − sin x, f ' ' ' ( x ) = − cos x. Sehingga f (0) = 0, f ' (0) = 1, f " (0) = 0, f "' (0) = −1 . Karena f ( 4) ( x) = sin x = f ( x) , maka pola 0,1,0,-1 akan berulang – ulang jika berturut – turut menurunkan lagi di x = 0 . Oleh karena itu akan diperoleh polinomial Maclaurin untuk sin x adalah

ρ1 ( x ) = 0 + x = x , ρ 2 ( x) = 0 + x + 0 = x, ρ 3 ( x) = 0 + x + 0 −

x3 x3 = x− , 3! 3!


ρ 4 ( x) = 0 + x + 0 −

x3 x3 +0= x− , 3! 3!

ρ 5 ( x) = 0 + x + 0 −

x3 x5 x3 x5 +0+ = x− + , 3! 5! 3! 5!

ρ 6 ( x) = 0 + x + 0 −

x3 x5 x3 x5 +0+ +0= x− + , 3! 5! 3! 5!

M Jadi polinomial Maclaurin ke-n untuk sin x adalah

ρ 2 n+1 ( x) = ρ 2 n + 2 ( x) = x −

x3 x5 x7 x 2 n +1 + − + L + (−1) n . 3! 5! 7! (2n + 1)!

Jika berminat pada pendekatan polinom untuk f (x ) pada suatu interval

x = a , maka idenya adalah memilih polinomial ρ (x ) pada

dengan pusat

x = a sehingga nilai – nilai ρ (x ) dan n turunan pertamanya bersesuaian dengan nilai – nilai f (x ) dan n turunan pertamanya pada x = a . Perhitungan paling sederhana bila pendekatan polinomial dinyatakan dalam bentuk : ρ( x ) = c 0 + c1 ( x − a ) + c 2 ( x − a ) 2 + c 3 ( x − a ) 3 + L + c n ( x − a ) n

ρ ' ( x ) = c1 + 2c 2 ( x − a ) + 3c3 ( x − a ) 2 + L + nc n ( x − a ) n −1 , ρ " ( x ) = 2c 2 + 3.2c 3 ( x − a ) + L + n(n − 1)c n ( x − a ) n − 2 , ρ ''' ( x ) = 3.2c 3 + L + n(n − 1)(n − 2)c n ( x − a ) n −3 , M

ρ ( n ) ( x ) = n( n − 1)(n − 2) L c n = n!c n . untuk x = a diperoleh

(3.5)


ρ (a ) = c0 , ρ ' (a) = c1 , ρ '' (a) = 2c 2 = 2!c 2 , ρ ''' ( a ) = 3.2c3 = 3!c3 , M

ρ ( n ) ( a ) = n( n − 1)( n − 2)( n − 3) L c n = n!c n . Jadi, bila diinginkan nilai dari ρ (x ) dan n turunan pertamanya bersesuaian dengan nilai – nilai f (x ) dan n turunan pertamanya pada x = a , akan diperoleh : c 0 = f ( a ), c1 = f ' (a ), c2 =

f '' (a) , 2!

c3 =

f ''' (a) , 3! M

cn =

f ( n ) (a) . n!

Selanjutnya jika nilai – nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan (3.5) akan diperoleh polinomial yang disebut polinomial Taylor ke – n untuk f di sekitar

x = a.


Definisi 3.2 Jika fungsi f berturunan n kali pada x = a , maka polinomial Taylor ke – n disekitar x = a didefinisikan sebagai :

ρ n ( x ) = f ( a ) + f ' ( a )( x − a ) +

f " (a ) f "' ( a ) ( x − a) 2 + ( x − a)3 + L 2! 3!

f ( n ) (a ) + ( x − a) n n!

(3.6)

Contoh 3.3

Tentukan Polinom Taylor ρ 4 ( x) untuk e x disekitar x = 1 . Penyelesaian:

Andaikan f ( x) = e x diperoleh f ' ( x) = f " ( x) = f "' ( x) = f ( 4 ) ( x) = e x dan f (1) = f ' (1) = f " (1) = f "' (1) = f ( 4) (1) = e . Jadi polinomial Taylor ke – 4 untuk e x disekitar x = 1 adalah f " (1) f "' (1) f ( 4 ) (1) ( x − 1) 2 + ( x − 1) 3 + ( x − 1) 4 2! 3! 4! e e e ρ 4 ( x) = e + e( x − 1) + ( x − 1) 2 + ( x − 1) 3 + ( x − 1) 4 2! 3! 4!

ρ 4 ( x) = f (1) + f ' (1)( x − 1) +

⎛ ⎝

ρ 4 ( x) = e⎜1 + ( x − 1) +

1 1 1 ⎞ ( x − 1) 2 + ( x − 1) 3 + ( x − 1) 4 ⎟ . 2! 3! 4! ⎠

Contoh 3.4

Tentukan polinomial Taylor ρ 4 ( x) untuk sin x disekitar x =

π 2

.


59

Penyelesaian:

Andaikan f ( x) = sin x maka diperoleh f ' ( x) = cos x, f " ( x) = − sin x, f "' ( x) = − cos x, f ( 4) ( x) = sin x. dan ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ f ' ⎜ ⎟ = 0, f " ⎜ ⎟ = −1, f "' ⎜ ⎟ = 0, f ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠

( 4)

⎛π ⎞ ⎜ ⎟ = 1. ⎝2⎠

Jadi polinomial Taylor ke -4 untuk sin x disekitar x =

π 2

adalah

1 ⎛ π ⎞⎛ π ⎞ 1 ⎛ π ⎞⎛ π⎞ π⎞ ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞⎛ ρ 4 ( x) = f ⎜ ⎟ + f ' ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ + f " ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ + f "' ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ 2 ⎠ 2! ⎝ 2 ⎠⎝ 2⎠ 3! ⎝ 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2

1 π⎞ ⎛ π ⎞⎛ + f ( 4 ) ⎜ ⎟⎜ x − ⎟ 4! 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎝

4

1⎛ 1⎛ π⎞ π⎞ ⎜x− ⎟ + ⎜x − ⎟ . 2! ⎝ 2⎠ 4! ⎝ 2⎠ 2

=1 −

3

4

Kadang – kadang dalam mempermudah penyajian untuk menyatakan rumus definisi polinomial Taylor dengan menggunakan notasi sigma. Untuk melakukan hal ini digunakan notasi f ( k ) (a ) untuk menyatakan turunan tingkat k dari f pada x = a dan membuat penyajian tambahan bahwa f ( 0 ) ( a ) menyatakan f (a ). Hal ini akan memungkinkan untuk menulis polinomial dalam bentuk : n

∑ k =0

f ( k ) (a) f " (a ) f ( n ) (a) k ' 2 ( x − a) = f (a) + f (a)( x − a) + ( x − a) + L + ( x − a) n k! 2! n!

Karena nilai dari f

dan n

turunan pertamanya bersesuaian dengan nilai

polinomial Taylor dan n turunan pertama pada x = a akan menjadi lebih baik


60

dalam mendekati f (x ) , sekurang – kurangnya dalam suatu interval yang berpusat di x = a .

B. Deret Taylor

Sebelum memulai pembahasan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu dan dua variabel terlebih dahulu diberikan definisi tentang deret Taylor.

Definisi 3.3

Jika fungsi f berturunan pada semua tingkat pada x = a , maka didefinisikan deret Taylor untuk f disekitar x = a adalah n

∑ k =0

f ( k ) (a) f " (a) ( x − a) k = f (a) + f ' (a)( x − a) + ( x − a) 2 + L k! 2! +

f ( n ) (a) ( x − a) n + L n!

(3.7)

Definisi 3.4

Jika fungsi f berturunan pada semua tingkat pada x = 0 , maka didefinisikan deret Taylor untuk f disekitar x = 0 adalah n

∑ k =0

f ( k ) (0) k f " (0) 2 f "' (0) 3 f ( n ) (0) n x = f (0) + f ' (0) x + x + x +L+ x +L k! 2! 3! n! (3.8)

Contoh 3.5

Polinom Maclaurin ke – n untuk e x adalah


61

xk 1 1 1 = 1 + x + x2 + x3 + L + xn . ∑ 2! 3! n! k = 0 k! n

Jadi deret Maclaurin ke – n untuk e x adalah

xk 1 1 1 = 1 + x + x 2 + x 3 + L + x n + L. ∑ 2! 3! n! k = 0 k! n

Contoh 3.6

Tentukan deret Taylor di sekitar x = 1 untuk x =

1 x

Penyelesaian:

Andaikan f ( x) =

1 sehingga x

1 2 3 .2 f ' ( x) = − , f " ( x) = 3 , f "' ( x) = − 4 , f x x x

( 4)

( x) =

4 .3 .2 , x5

f ' (1) = −1, f " (1) = 2!, f "' (1) = −3!, f ( 4 ) (1) = 4! Subtitusikan kedalam (3.7) dengan a = 1 akan diperoleh hasil : ∞

∑ (−1) k =1

k

( x − 1) k = 1 − ( x − 1) + ( x − 1) 2 − ( x − 1) 3 + L

Selanjutnya akan dianalisa kesalahan hasil bila suatu fungsi f didekati dengan polinomial Taylor atau Maclaurin. Jika suatu fungsi f didekati oleh polinomial Taylor ke – n yaitu ρ n , maka kesalahan pada suatu titik x adalah selisih f ( x) − ρ n ( x). Selisih ini biasanya disebut sisa ke – n dan ditulis dengan Rn ( x) = f ( x) − ρ n ( x). C. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel


62

Berikut diberikan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel.

Teorema 3.1 Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel

Jika fungsi f (x ) berturunan n + 1 kali pada setiap titik dalam suatu interval yang memuat titik a dan

ρ n ( x ) = f ( a ) + f ' ( a )( x − a ) +

f " (a ) f (n) (a ) ( x − a) 2 + L + ( x − a) n 2! n!

adalah polinomial Taylor ke – n untuk f disekitar x = a. Maka untuk setiap x dalam interval, ada sekurang – kurangnya satu titik c antara a dan x sedemikian hingga

Rn ( x ) = f ( x ) − ρ n ( x ) =

f ( n +1) (c) ( x − a) n +1 . (n + 1)!

(3.9)

Bukti :

Menurut hipotesis, f berturunan n + 1 kali pada setiap titik dalam interval yang memuat titik a . Pilih suatu titik b dalam interval ini dan kita anggap b > a. Andaikan ρ n (x) adalah polinomial Taylor ke – n untuk f di sekitar x = a dan didefinisikan H ( x) = f ( x) − ρ n ( x)

(3.10)

G ( x) = ( x − a) n +1

(3.11)

Karena f ( x ) dan ρ n (x) bernilai sama dan n turunan pertama juga sama di x = a , maka H (a ) = H ' (a ) = H " (a ) = L = H ( n ) (a ) = 0 G ( x) = ( x − a) n +1

(3.12)


63

G ' ( x) = n + 1( x − a ) n

(3.13)

G (a) = G ' (a) = G " (a) = L = G ( n ) (a ) = 0

(3.14)

G (x ) dan n turunan pertamanya tak nol bila x ≠ a .

Secara langsung dapat diperiksa bahwa fungsi H dan G memenuhi hipotesis dari teorema Perluasan Nilai Tengah pada interval [a, b] , sehingga ada titik c1 dalam interval (a, b ) sedemikian sehingga H (b) − H (a) H ' (c1 ) = G (b) − G (a) G ' (c1 )

(3.15)

atau dari (3.12) dan (3.14) didapat H (b) H ' (c1 ) = G (b) G ' (c1 )

(3.16)

Jika digunakan Teorema Perluasan Nilai Tengah untuk H ' dan G ' atas interval

[a, c1 ] ,

maka dapat diturunkan bahwa ada suatu titik c2 dengan

a < c2 < c1 < b sedemikian hingga H ′(c1 ) − H ′(a ) H ′′(c 2 ) = G ′(c1 ) − G ′(a) G ′′(c 2 ) atau dari (3.12) dan (3.14) didapat

H ′(c1 ) H ′′(c 2 ) = G ′(c1 ) G ′′(c 2 ) yang bila dikombinasikan dengan (3.16) akan menghasilkan

H (b) H ′′(c 2 ) = G (b) G ′′(c 2 )


64

Sekarang jelaslah bahwa bila diteruskan dengan cara ini dan dengan menggunakan Teorema Perluasan Nilai Tengah dengan menurunkan berturut – turut H dan G, akhirnya diperoleh hubungan dalam bentuk

H (b) H ( n +1) (c n +1 ) = G (b) G ( n +1) (c n +1 )

(3.17)

di mana a < c n +1 < b . Akan tetapi ρn (x) adalah polinomial berderajat n

sehingga turunan tingkat

( n + 1) adalah nol .

Jadi dari (3.10) didapat

H (n+1) (cn+1 ) = f (n+1) (cn+1 ) . Juga dari (3.11) , turunan tingkat

(3.18) ( n + 1) dari

G(x) adalah konstan

( n + 1)! sehingga

G ( n +1) (c n +1 ) = ( n + 1)!

(3.19)

Dengan subtitusi (3.18) dan (3.19) ke dalam (3.17) diperoleh

H (b) f ( n +1) (c n +1 ) = . G (b) (n + 1)! Dengan memisalkan c = c n +1 dan dengan menggunakan (3.10) dan (3.11) berlakulah bahwa

f (b) − ρ n (b) =

f ( n +1) (c) (b − a) n +1 (n + 1)!

Dan ini adalah tepat (3.9) dalam Teorema Taylor dengan pengecualian bahwa variabel disini bukan x . Jadi untuk menyelesaikannya perlu mengganti b dengan x.


65

Rn ( x ) = f ( x ) − ρ n ( x ) =

f ( n +1) (c) ( x − a ) n +1 (n + 1)!

Jika (3.9) ditulis kembali sebagai f ( x) = ρ n ( x) + Rn ( x) maka didapat hasil berikut yang disebut rumus Taylor dengan sisa : f ( x ) = f ( a ) + f ' ( a )( x − a ) +

+

f " (a ) f (n) (a) ( x − a) 2 + L + ( x − a) n 2! n!

f ( n +1) (c) ( x − a ) n +1 (n + 1)!

(3.20)

dimana c diantara a dan x .

D. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel

Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel merupakan perluasan dari Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel.

Teorema 3.2 Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel

Jika f(x,y) adalah fungsi dengan dua variabel yang mempunyai turunan parsial hingga pangkat ke- (n + 1) yang kontinu pada suatu kitaran yang berpusat pada titik ( a,b) dan Polinomial Taylor ke-n untuk f disekitar titik (a,b) adalah : ⎛

ρ n ( x, y ) = f (a, b) + ⎜⎜ ( x − a ) ⎝

2( x − a)( y − b) n

∂ ∂ + ( y − b) ∂x ∂y

⎞ ⎟ f (a, b) + 1 ⎛⎜ ( x − a ) 2 ∂ + ⎟ 2! ⎝ ∂x 2 ⎠

1⎛ ∂ ∂2 ⎞ ∂ + ( y − b) 2 2 ⎟⎟ f (a, b) + ... ⎜ ( x − a) + n! ⎝ ∂x∂y ∂x ∂y ⎠

∂ ⎞ ( y − b) ⎟⎟ f (a, b), ∂y ⎠


66

maka untuk setiap (x.y) dalam kitaran, ada sekurang – kurangnya satu titik ( a1, b1 ) sedemikian hingga n +1 ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎜ Rn ( x, y ) = f ( x, y ) − ρ n ( x, y ) = ( x − a) + ( y − b) ⎟⎟ f (a1 , b1 ). ⎜ ∂x ∂y ⎠ ⎝

Bukti :

Diketahui f(x,y) adalah fungsi dengan dua variabel x dan y yang terdefinisi Pada himpunan tertutup dan terbatas dan turunan parsial f

( n +1)

kontinu dalam

suatu kitaran yang berpusat pada titik ( a,b). Jika variabel t dikenalkan dengan bantuan relasi x = a + ht , y = b + kt

dimana h dan k adalah konstanta, akan dihasilkan fungsi dari variabel tunggal t yaitu F (t ) = f ( x, y ) = f (a + ht , b + kt ) Dengan bantuan definisi turunan parsial diperoleh F ' (t ) = f x ( x, y )

dx dy + f y ( x, y ) dt dt

= hf x ( x, y ) + kf y ( x, y ).

⎡ dx dy ⎤ dx ⎡ dx dy ⎤ dy F ' ' (t ) = ⎢ f xx ( x, y ) + f yy ( x, y ) ⎥ + ⎢ f xy ( x, y ) + f yy ( x, y ) ⎥ dt dt ⎦ dt dt dt ⎦ dt ⎣ ⎣

[

[

]

= hf xx ( x, y ) + kf yx ( x, y )]h + hf xy ( x, y ) + kf yy ( x, y ) k

= h 2 f xx ( x, y ) + hkf yx ( x, y ) + hkf xy ( x, y ) + k 2 f yy ( x, y ) = h 2 f xx ( x, y ) + 2hkf yx ( x, y ) + k 2 f yy ( x, y ) .


67

⎡ d 2x dx dy d 2 y ⎤ dx F (t ) = ⎢ f xxx ( x, y ) 2 + 2 f xyx ( x, y ) + f yyx ( x, y ) 2 ⎥ + dt dt dt dt ⎦ dt ⎣ "'

⎡ d 2x dx dy d 2 y ⎤ dy = ⎢ f xxy ( x, y ) 2 + 2 f xyy ( x, y ) + f yyy ( x, y ) 2 ⎥ dt dt dt dt ⎦ dt ⎣

[

= h 2 f xxx ( x, y ) + 2hkf xyx ( x, y ) + k 2 f yyx ( x, y ) ]h +

[h

2

f xxy ( x, y ) + 2hkf xyy ( x, y ) + k 2 f yyy ( x, y ) ]k

= h 3 f xxx ( x, y ) + 2h 2 kf xyx ( x, y ) + k 2 hf yyx ( x, y ) +

h 2 kf xxy ( x, y ) + 2hk 2 f xyy ( x, y ) + k 3 f yyy ( x, y ) = h 3 f xxx ( x, y ) + 3h 2 kf xxy ( x, y ) + 3hk 2 f xyy ( x, y ) + k 3 f yyy ( x, y ). . .. Turunan fungsi di atas dapat ditulis dalam bentuk lain yaitu : ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂f ∂f F ' (t ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f ( x, y ) ≡ h + k , ∂y ⎠ ∂x ∂y ⎝ ∂x 2

⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂2 f ∂2 f ∂2 f + k2 2 , F " (t ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f ( x, y ) ≡ h 2 2 + 2hk ∂y ⎠ ∂x∂y ∂x ∂y ⎝ ∂x 3

3 3 3 ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂3 f 3 ∂ f 2 2 ∂ f 3 ∂ f + 3h k 2 + 3hk +k F (t ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f ( x, y ) ≡ h , ∂y ⎠ ∂x 3 ∂x ∂y ∂x∂y 2 ∂y 3 ⎝ ∂x "'

.. . n

F

(n)

⎛ ∂ ∂ ⎞ (t ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f ( x, y ), ∂y ⎠ ⎝ ∂x ≡ hn

n ∂n f ∂n f ∂n f n n −1 n n −1 n ∂ f + + + + C h k C hk k L , 1 n −1 ∂x n ∂x n −1∂y ∂x∂y n −1 ∂y n


68

F

( n +1)

⎛ ∂ ∂ ⎞ (t ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ≡ h n +1

n +1

f ( x, y )

n +1 n +1 n +1 ∂ n +1 f f f n +1 n ∂ n +1 n ∂ n +1 ∂ + L C h k + + C hk + k . 1 1 n +1 n n n +1 ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y

Dapat digunakan rumus Maclaurin untuk fungsi F(t) dan menghasilkan

F " (0) 2 F "' (0) 3 F ( n ) (0) n F ( n +1) (θt ) n +1 F (t ) = F (0) + F (0)t + t + t +L+ t + t n! 2! 3! (n + 1)! '

(3.21) dimana 0 < θ < 1. Ambil t = 1, maka diperoleh :

F " (0) F "' (0) F ( n ) (0) F ( n +1) (θ) F (1) = F (0) + F (0) + + +L+ + 2! 3! n! (n + 1)! '

tetapi F (1) = f (a + h, b + k ). Jika t = 1 maka x = a dan y = b sehingga diperoleh F ( 0) = f ( a , b )

⎛ ∂ ∂ ⎞ F ' (0) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (a, b) ∂y ⎠ ⎝ ∂x

F "' (0) = h 2 f xx (a, b) + 2hkf xy (a, b) + k 2 f yy (a, b) 2

⎛ ⎛ ∂ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ ∂ ⎞ = ⎜⎜ h 2 2 + 2hk + k 2 2 ⎟⎟ f (a, b) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (a, b). ∂x∂y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂x

F "' (0) = h 3 f xxx (a, b) + 3h 2 kf xxy (a, b) + 3hk 2 f xyy (a, b) + k 3 f yyy (a, b),

(3.22)


69

3 ⎛ ∂3 ⎞ ∂3 ∂3 3 ∂ ⎟ f ( a, b) = ⎜⎜ h 3 3 + 3h 2 k 2 + 3hk 2 + k 2 3 ⎟ ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂x 3

⎛ ∂ ∂ ⎞ = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (a, b), ∂y ⎠ ⎝ ∂x M F

( n +1)

⎛ ∂ ∂ ⎞ (θ ) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x

n +1

f (a + θh, b + θk ).

Dari (3.22) diperoleh

⎛ ∂ 1⎛ ∂ ⎞ ∂2 ∂2 ∂2 f (a + h, b + k ) = f (a, b) + ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (a, b) + ⎜⎜ h 2 2 + 2hk + k2 2 2! ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x

n

∂ ⎞ ∂ ⎞ 1⎛ ∂ 1 ⎛ ∂ ⎜⎜ h + k ⎟⎟ + L + ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (a, b) + ∂y ⎠ ∂y ⎠ n! ⎝ ∂x (n + 1)! ⎝ ∂x

⎞ ⎟⎟ ⎠

n +1

f (a + θh, b + θk ) (3.23)

dimana 0 < θ < 1. Persamaan (3.23) merupakan fungsi f ( x, y ) = ρ n ( x, y ) + Rn ( x, y ) di sekitar titik (a,b) dengan mengganti x = a + h , y = b + k dan a1 = a + θh , b1 = b + θk di mana ( a + θh, b + θk ) dalam suatu kitaran yang berpusat pada titik (a,b) dan

0 < θ < 1.


BAB IV PENGGUNAAN TEOREMA TAYLOR UNTUK MENENTUKAN EKSTREM SUATU FUNGSI

A. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus f ′′(c ) = 0 Misalkan f (x ) adalah fungsi satu variabel yang mempunyai turunan pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik kritis c, dan f ( n+1) ( x) kontinu di c dengan f ( n +1) (c) ≠ 0 , maka f (x ) dapat diuraikan menjadi deret Taylor dengan sisa di sekitar titik x = c , yaitu :

h n +1 f (c + h ) − f (c ) = f ( n +1 (c + θh) (n + 1)! untuk suatu biangan θ dengan 0 < θ < 1 . Berdasarkan sifat kekontinuan, maka tanda f ( n +1) (c + θh) sama dengan tanda f ( n+1) (c ) . Apabilai n gasal maka: a.

f (x ) mencapai maksimum di c jika f

b.

f (x ) mencapai minimum di c jika f

( n +1)

( n +1)

(c ) < 0

(c ) > 0

Apabilai n genap maka tidak terjadi ekstrem di c.

Contoh 4.1 Periksa apakah fungsi f ( x) = 2 x 3 mempunyai nilai ekstrem atau tidak. Penyelesaian: Turunan-turunan fungsi f ( x) = 2 x 3 di titik kritis x = 0 adalah:


f ′( x) = 6 x 2 f ′(0) = 0 f ′′( x) = 12 x f ′′(0) = 0

Karena f ′′(0) = 0 , maka selanjutnya memeriksa turunan ketiga dari fungsi f ( x) = 2 x 3 di titik kritis x = 0 , dan didapat f ′′′( x ) = 12 f ′′′(0) = 12 ≠ 0

Kemudian digunakan rumus Taylor dengan sisa R3 ( x) di sekitar x = 0 , yaitu:

f (0 + h) − f (0) =

h 2+1 h3 f ( 2+1) (0 + θh) atau f (h) − f (0) = f ′′′(θh) di mana (2 + 1)! 3!

θh di dalam interval (−δ,δ ) . Karena n genap dan f

(n)

(c) = 0 maka tanda dari f (h) − f (0) =

h3 f ′′′(θh) 3!

berubah, yaitu: • Jika h < 0 maka untuk setiap x = h di dalam interval ( −δ,0) berlaku f ( h ) − f ( 0) < 0 .

• Jika h > 0 maka untuk setiap x = h di dalam interval (0 ,δ ) berlaku f ( h ) − f ( 0) > 0 .

Karena tanda dari f (h) − f (0) =

h3 f ′′′(θh) berubah-ubah, maka f (0) bukan 3!

merupakan nilai ekstrem. Jadi fungsi f ( x) = 2 x 3 tidak memiliki nilai ekstrem.


Contoh 4.2 Periksa apakah fungsi f ( x) = x 4 mempunyai nilai ekstrem atau tidak. Penyelesaian: Turunan-turunan fungsi f ( x) = x 4 di titik kritis x = 0 adalah: f ′( x) = 4 x 3 f ′(0) = 0

f ′′( x) = 12 x 2 f ′′(0) = 0 f ′′′( x) = 24 x f ′′′(0) = 0

f ( 4 ) ( x) = 24 f ( 4) (0) = 24 ≠ 0 Karena diperoleh f ′(c) = f ′′(c ) = f ′′′(0) = 0 dan f ( 4 ) (0) ≠ 0 , maka digunakan rumus Taylor dengan sisa R4 ( x) di sekitar x = 0 , yaitu:

f (0 + h) − f (0) =

f (h) − f (0) = Tanda dari

h 3+1 f (3+1) (0 + θh) (3 + 1)!

h 4 ( 4) f (θh) 4!

di mana θh di dalam interval ( −δ , δ ) .

f ( h) − f (0) akan sama dengan tanda dari

f

( 4)

(θh) . Karena

f ( 4 ) (θh) > 0 , maka untuk setiap x = h di dalam interval ( −δ , δ ) berlaku f ( h) − f (0) > 0 . Jadi fungsi f ( x) = x 4 memiliki nilai ekstrem minimum.


B. Penyelesaian Ekstrem Fungsi untuk Kasus H ( a, b) = 0 Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang bagaimana menentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi f ( x, y ) dengan menggunakan uji turunan kedua. Namun apabila nilai H = f xx (a, b). f yy (a, b) − f xx2 (a, b) = 0 , maka belum dapat disimpulkan tentang nilai ekstrem fungsi f ( x, y ) . Untuk fungsi dua variabel f ( x, y ) jika semua turunan parsialnya mulai order pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka f (a + h, b + k ) − f (a, b) = Rn +1 (a + θh, b + θk ) untuk suatu bilangan θ dengan 0 < θ < 1 dan 1 ⎡ ∂ ∂⎤ Rn +1 ( x, y ) = h +k ⎥ ⎢ (n + 1)! ⎣ ∂x ∂y ⎦

n +1

f ( x, y ) .

Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa apabila

untuk

nilai-nilai

h

dan

k

cukup

kecil

dan

tanda

dari

Rn +1 (a + θh, b + θk ) tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk mengadakan penyelidikan pada keadaan Rn +1 (a + θh, b + θk ) untuk n > 1 . Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan n = 1 , yaitu untuk: R2 (a + θh, b + θk ) =

[

]

1 2 h f xx + 2hkf xy + k 2 f yy ( a + θh, b + θk ) 2!

dengan f xx , f xy dan f yy tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini tanda dari R2 (a + θh, b + θk ) ditentukan oleh tanda dari R2 (a, b) , karena pada pembahasan ini diasumsikan bahwa R2 ( x, y) kontinu di titik (a,b). Jika H (a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) , maka :


i. Jika H (a, b) > 0 dan f xx (a, b) > 0 terjadi minimum di (a,b) ii. Jika H (a, b) > 0 dan f xx (a, b) < 0 terjadi maksimum di (a,b) iii. Jika H (a, b) < 0 tidak terjadi ekstrem di (a,b) iv. Jika H ( a, b) = 0 belum ada keputusan, mungkin terjadi atau mungkin tidak terjadi ekstrem di (a,b).

Contoh 4.3 Tunjukkan bahwa fungsi f ( x, y ) = x 4 − x 2 y 2 + y 4 mempunyai nilai minimum pada titik (0,0) di mana f xx f yy − f xy2 = 0 . Penyelesaian : Langkah pertama, mencari titik stasioner dari fungsi f ( x, y ) = x 4 − x 2 y 2 + y 4 . Titik stasioner fungsi di atas didapat dengan menyelesaikan persamaan-persamaan f x ( x, y ) = 4 x 3 − 2 xy 2 = 0 dan f y ( x, y ) = −2 x 2 y + 4 y 3 = 0 dan diperoleh titik

(0,0) sebagai titik stasionernya. Kemudian turunan-turunan parsial dari fungsi f ( x, y ) = x 4 − x 2 y 2 + y 4 di titik stasioner (0,0) adalah : f x ( x, y ) = 4 x 3 − 2 xy 2 , f x (0,0) = 0

f y ( x, y ) = −2 x 2 y + 4 y 3 , f y (0,0) = 0 f xx ( x, y ) = 12 x 2 − 2 y 2 , f xx (0,0) = 0

f yy ( x, y ) = −2 x 2 + 12 y 2 , f yy (0,0) = 0 f xy ( x, y ) = −4 xy , f xy (0,0) = 0


Kemudian digunakan turunan ketiga dan rumus Taylor dengan sisa suku ketiga untuk menentukan jenis ekstrem fungsi f ( x, y ) = x 4 − x 2 y 2 + y 4 , yaitu : f xxx ( x, y ) = 24 x f yyy ( x, y ) = 24 y f xxy ( x, y ) = −4 y f xyy ( x, y ) = −4 x ⎡ ∂ ∂ ∂2 ⎤ ∂⎤ ∂2 1⎡ + k ⎥ f (0,0) + ⎢h 2 2 + 2hk + k 2 2 ⎥ f (0,0) + R3 f (h, k ) − f (0,0) = ⎢h ∂y ⎦ ∂x∂y 2! ⎣ ∂x ∂y ⎦ ⎣ ∂x

di mana 3 ⎞ 1 ⎛ ∂3 ∂3 ∂3 3 ∂ ⎟ f (θh, θk ) , 0 < θ < 1 R3 = ⎜⎜ h 3 3 + 3h 2 k 2 + 3hk 2 + k 2 3 ⎟ 6 ⎝ ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ⎠

f (h, k ) − f (0,0) =

3 ⎞ 1 ⎛ 3 ∂3 ∂3 ∂3 2 2 3 ∂ ⎟ f (θh, θk ) ⎜⎜ h 3 h k 3 hk k + + + 3 2 2 3 ⎟ 6 ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂x ∂y ∂x∂y

(

=

1 3 h (24θh) + 3h 2 k ( −4θk ) + 3hk 2 ( −4θh) + k 3 (24θk ) 6

=

1 (24θh 4 − 12θh 2 k 2 − 12θh 2 k 2 + 24θk 4 ) 6

)

= 4θ (h 4 − h 2 k 2 ) 2 + h 2 k 2 4θ (h 4 − h 2 k 2 ) 2 + h 2 k 2 > 0 , untuk setiap (h, k) di dalam kitaran titik (0,0). Ini berarti bahwa f ( h, k ) − f (0,0) bernilai positif untuk setiap (h, k) di dalam kitaran titik (0,0). Jadi f ( x, y ) mempunyai nilai minimum pada titik (0,0) dengan nilai minimumnya adalah nol.


Contoh 4.4 Tunjukkan bahwa fungsi f ( x, y ) = x 4 − y 4 tidak mempunyai nilai ekstrem pada (0,0) di mana f xx . f yy − f xy2 = 0 . Penyelesaian: Seperti langkah pada contoh sebelumnya, titik stasioner fungsi f ( x, y ) = x 4 − y 4 diperoleh dengan menyelesaikan persamaan-persamaan f x ( x, y ) = 4 x 3 = 0 dan

f y ( x, y ) = −4 y 3 = 0 dan diperoleh titik (0,0) sebagai titik stasionernya. Kemudian turunan-turunan parsial fungsi f ( x, y ) = x 4 − y 4 pada titik stasioner (0,0) adalah: f x ( x, y ) = 4 x 3 , f x (0, 0) = 0

f y ( x, y ) = −4 y 3 , f y (0, 0) = 0 f xx ( x, y ) = 12 x 2 , f xx (0, 0) = 0

f yy ( x, y ) = −12 y 2 , f yy (0, 0) = 0 f xy ( x, y ) = 0 , f xy (0, 0) = 0

dan akan diperoleh f xx . f yy − f xy2 = 0 . Kemudian digunakan turunan parsial ketiga dan rumus Taylor dengan sisa suku ketiga untuk menentukan ada tidaknya nilai ekstrem dari fungsi f ( x, y ) = x 4 − y 4 , yaitu: f xxx ( x, y ) = 24 x f xxy ( x, y ) = 0 f xyy ( x, y ) = 0

f yyy ( x, y) = −24 y


⎛ ∂ ∂ ⎞ 1⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ f (h, k ) − f (0,0) = ⎜⎜ h + k ⎟⎟ f (0,0) + ⎜⎜ h 2 2 + 2hk + k 2 2 ⎟⎟ f (0,0) + R3 ∂y ⎠ 2 ⎝ ∂x ∂x∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂x

di mana 3 ⎞ 1 ⎛ ∂3 ∂3 ∂3 3 ∂ ⎟ f (θh, θk ) , 0 < θ < 1 R3 = ⎜⎜ h 3 3 + 3h 2 k 2 + 3hk 2 + k 2 3 ⎟ 6 ⎝ ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ⎠

f (h, k ) − f (0,0) =

3 ⎞ 1 ⎛ 3 ∂3 ∂3 ∂3 2 2 3 ∂ ⎟ f (θh, θk ) ⎜⎜ h 3 h k 3 hk k + + + 3 2 2 3 ⎟ 6 ⎝ ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ⎠

(

)

=

1 3 h ( 24 θh ) + 3 h 2 k ( 0 ) + 3 hk 2 ( 0 ) + k 3 ( − 24 θk ) 6

=

1 ( 24θh 4 − 24θk 4 ) = 4θ (h 4 − k 4 ) = 4θ (h 2 − k 2 )(h 2 + k 2 ) 6

Nilai f (h, k ) akan lebih besar atau lebih kecil dari f (0,0) tergantung dari h dan k yang diberikan. Karena memberikan tanda yang berbeda untuk setiap ( h, k ) yang diberikan, maka f (0,0) bukan merupakan nilai ekstrem dan titik stasioner (0,0) bukan merupakan titik ekstrem.


BAB V

PENUTUP

Teorema Taylor dapat digunakan dalam penyelidikan nilai ekstrem untuk fungsi dari satu dan dua variabel. Jika fungsi satu variabel f (x ) mempunyai turunan pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik c, dan f ( n+1) ( x) kontinu di c dengan f ( n +1) (c) ≠ 0 maka f (x ) dapat diuraikan menjadi deret Taylor dengan sisa di sekitar titik x = c , yaitu:

f (c + h ) − f (c ) =

h n +1 f ( n +1 (c + θh) (n + 1)!

untuk suatu bilangan θ dengan 0 < θ < 1 . Berdasarkan sifat kekontinuan, maka tanda f

( n +1

(c + θh) akan sama dengan tanda

f ( n+1 (c) . Apabilai n gasal maka: a.

f (x ) mencapai maksimum di c jika f

b.

f (x ) mencapai minimum di c jika f

( n +1)

( n +1)

(c ) < 0

(c ) > 0

Apabilai n genap maka tidak terjadi ekstrem di c. Untuk fungsi dua variabel f ( x, y ) jika semua turunan parsialnya mulai order pertama sampai dengan order ke – n bernilai nol di titik (a,b), maka


f (a + h, b + k ) − f (a, b) = Rn +1 (a + θh, b + θk ) untuk suatu bilangan θ dengan 0 < θ < 1 dan ∂⎤ 1 ⎡ ∂ Rn +1 ( x, y ) = h +k ⎥ ⎢ (n + 1)! ⎣ ∂x ∂y ⎦

n +1

f ( x, y ) .

Secara teoritis ada atau tidak adanya nilai ekstrem di titik (a,b) dapat diperiksa apabila untuk nilai-nilai h dan k cukup kecil dan tanda dari Rn +1 (a + θh, b + θk ) tetap atau tidak tetap. Dalam praktek tidak mudah untuk mengadakan penyelidikan pada keadaan Rn +1 (a + θh, b + θk ) untuk n > 1 . Dalam skripsi ini hanya dibahas untuk keadaan n = 1 , yaitu untuk: R2 (a + θh, b + θk ) =

[

]

1 2 h f xx + 2hkf xy + k 2 f yy (a + θh, b + θk ) 2!

dengan f xx , f xy dan f yy tidak semuanya bernilai nol di titik (a,b). Dalam hal ini tanda dari R2 (a + θh, b + θk ) ditentukan oleh tanda dari R2 (a, b) , karena pada pembahasan ini diasumsikan bahwa R2 ( x, y) kontinu di titik (a,b). Jika H (a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) − f xy2 (a, b) , maka : i. Jika H ( a, b) > 0 dan f xx (a, b) > 0 terjadi minimum di (a,b) ii. Jika H ( a, b) > 0 dan f xx (a, b) < 0 terjadi maksimum di (a,b) iii. Jika H ( a, b) < 0 tidak terjadi ekstrem di (a,b) iv. Jika H ( a, b) = 0 belum ada keputusan, mungkin terjadi atau mungkin tidak terjadi ekstrem di (a,b).


DAFTAR PUSTAKA

N. Piskunov. 1969. Differential and Integral Calculus. Moscow : Mir Publishers. Dale Varberg, Edwin J. Purcell. 1997. Calculus. Mexico : Prentice Hall. Martono, K. 1987. Kalkulus. Bandung : Alva Gracia. Louis Lithold. 1986. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta : P.T. Bina Aksara. Tutoyo, A, M.Sc, Kalkulus I, II dan IV (disadur dari Calculus with Analytic Geometri, Howard Anton). Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma.

PEMBAHASAN EKSTREM FUNGSI SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL DENGAN TEOREMA TAYLOR SKRIPSI

Recommend Documents