Relasi antar dua variabel

Relasi antar dua variabel Penyusun: Bevina D.Handari

Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

Seorang pelanggan air minum setiap bulan membayar tagihan dengan perincian sebagai berikut: biaya pemeliharaan meter Rp 5.200, biaya beban tetap Rp 14.190, dan biaya pemakaian Rp 6.825/m3.

Bagaimana kita membantu pelanggan tersebut mengestimasi pengeluarannya setiap bulan? Dengan menggunakan fungsi yang tepat, kita dapat mengestimasi pengeluaran pelanggan air minum tersebut.


Sesuai dengan itu, lingkup subpokok bahasan adalah karakteristik grafik dan fungsi 2, khususnya karakteristik fungsi. Dalam karakteristik fungsi akan dipelajari jenis fungsi linier, fungsi berbanding lurus, fungsi berbanding terbalik, dan fungsi eksponensial yang dapat menjelaskan relasi antara peubah terikat dengan peubah bebas. Pengetahuan ini dapat memperkaya kita dalam menjelaskan/menganalisis suatu masalah. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

DAFTAR ISI

Pembahasan Fungsi: Fungsi

Fungsi linier

Fungsi Eksponensial

Fungsi Berbanding Terbalik

Fungsi Berbanding Lurus


KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2

Relasi antara temperatur dengan kedalaman bumi dalam bentuk tabel dan grafik batang merupakan sebuah fungsi, yaitu T=30 x. Pada fungsi tersebut, peubah terikat (T) adalah sama dengan sebuah konstanta (yaitu 30) dikali dengan peubah bebas (x). Dengan kata lain peubah terikat berbanding lurus dengan variabel bebas, dan fungsi tersebut dikenal sebagai fungsi berbanding lurus/langsung. Temperatur berbanding lurus dengan kedalaman bumi. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Peubah terikat adalah sama dengan perkalian sebuah konstanta dengan peubah bebas

Notasi simbolik y=c.x, c konstanta




Grafik fungsi berbanding lurus:

Grafik fungsi berbanding lurus adalah garis lurus melalui titik (0,0)



Fungsi berbanding lurus merupakan bagian dari fungsi linier. Pada fungsi linier relasi antara peubah dapat dinyatakan dalam sebuah garis lurus.

Fungsi linier tidak harus melalui (0,0) Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Relasi antara peubah x dan y dalam fungsi linier

y = c.x+b, Jika c=0, bagaimana grafik fungsinya?

c dan b konstanta

Jika b=0, bagaimana grafik fungsinya?



Berikut adalah grafik produksi x dalam 5 tahun (ton): Produksi x dalam 5 tahun (ton) 7 6

Produksi x (ton)

5 4 3 2 1 0 2010

2011

2012

2013

2014

2015

Tahun



Grafik tersebut menjelaskan jika hingga pada tahun 2010 sudah diproduksi produk x sebanyak 5 juta ton, dan diasumsikan produk x dapat diproduksi dengan jumlah yang sama tiap tahunnya sebesar 0,25 ton hingga lima tahun ke depan, maka dapat diestimasi total jumlah produk x setiap tahun hingga lima tahun ke depan.

Grafik menunjukkan relasi antara peubah terikat produksi (x) dengan peubah bebas tahun (t) sebagai berikut: x = 0,25 t + 5. Dalam hal ini produksi x merupakan fungsi linier terhadap waktu. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Produksi x dapat dinyatakan dalam tabel: Tahun

Produksi x (ton)

2010

5

2011

5,25

2012

5,5

2013

5,75

2014

6

2015

6,25

Laju perubahan produksi pada tahun 2010-2011: (5,25-5)/(2011-2010)=0,25. Berapakah laju perubahan produksi pada selang waktu yang lain? Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Perhatikan bahwa laju perubahan produksi x pada selang waktu yang lain adalah juga 0,25. Fungsi linier adalah satu-satunya fungsi dengan laju perubahan konstan. Pada fungsi linier, perubahan peubah terikat dibagi dengan perubahan peubah bebas pada sebarang selang waktu berupa sebuah konstanta yang disebut sebagai kemiringan garis (slope). Apa peranan kemiringan garis dalam sebuah grafik?



Besar kemiringan dari garis menentukan seberapa curam garis lurus tersebut.

Fungsi linier dalam notasi simbolik y=c x+b, c,b konstanta

Grafik c<0?

Grafik c=-2?

Grafik c=0?

Grafik c=-5?

Grafik c>0?

Grafik c=2?


Grafik c=5?


Bandingkan kemiringan dari 3 grafik ini. y=3

y=2x+3

y=5x+3

3.5 3

30

30

25

25

2.5

20

20

15

15

10

10

5

5

0

0

2 1.5 1 0.5 0 0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

Grafik dengan nilai konstanta c manakah yang paling curam? Karakteristik grafik apakah yang dapat anda jelaskan? Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

5


Grafik pertama adalah grafik mendatar karena nilai konstanta c nol. Nilai grafik fungsi bergantung pada konstanta b. Dua grafik di kanannya adalah grafik fungsi naik.

Grafik dengan konstanta c yang lebih besar lebih curam dari pada grafik dengan konstanta c yang lebih kecil. Grafik yang lebih curam memiliki laju perubahan positif yang lebih besar. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Apa beda 2 grafik ini dengan grafik sebelumnya? y=-2x+3

y=-5x+3

5

5

0

0 0

1 2

3

4

5

0

-5

-5

-10

-10

-15

-15

-20

-20

-25

-25

1 2

3

4

Nilai konstanta c pada dua grafik di atas negatif. Karakteristik grafik apakah yang dapat anda jelaskan? Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

5


Dua grafik tersebut adalah grafik fungsi turun.

Grafik dengan konstanta c yang lebih kecil lebih curam dari pada grafik dengan konstanta c yang lebih besar. Grafik yang lebih curam memiliki laju perubahan negatif yang lebih besar.

Dapat disimpulkan bahwa konstanta c menunjukkan kemiringan garis, dan kecuraman grafik. Kemiringan garis merepresentasikan besar laju perubahan. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Bagaimana dengan grafik berikut? Apakah grafik ini merupakan grafik fungsi linier? Relasi Kuat Arus dan Hambatan 50 45 40 35 Hambatan (Amp)

30 25 20 15 10 5 0 5

10

15

20

25

Kuat Arus (Ohm)


30


Representasi tabel dari grafik tersebut adalah: Kuat Arus (Ohm)

Hambatan (Amp)

5

44

10

22

15

14,7

20

11

25

8,8

30

7,3

Perhatikan bahwa laju perubahan tidak sama di setiap selang. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Laju perubahan pada selang hambatan (5,10) adalah: (22-44)/(10-5)=-4,4. Laju perubahan pada selang hambatan (20,25) adalah: (8,8-11)/(25-20)=-0,44. Karena laju perubahan tidak sama maka grafik di atas bukan grafik fungsi linier. Dari grafik dapat dilihat bahwa semakin besar nilai peubah bebas hambatan, nilai peubah terikat kuat arus mengecil. Berarti grafik diatas adalah grafik fungsi turun.



Hal yang menarik, jika kita kalikan masing-masing nilai peubah bebas dengan nilai peubah terikatnya maka kita peroleh bilangan yang sama, yaitu 220. Kuat Arus (Ohm) (x)

Hambatan (Amp) (y)

Hasil Kali x.y

5

44

220

10

22

220

15

14,7

220

20

11

220

25

8,8

220

30

7,3

220



Jika nilai peubah terikat dikali dengan nilai peubah bebas adalah bilangan yang sama, maka fungsi dengan karakteristik tersebut disebut sebagai fungsi berbanding terbalik.

Secara simbolik dapat dinyatakan sebagai y x = c, dimana y peubah terikat, x peubah bebas dan c konstanta. Notasi yang lebih umum digunakan 𝑐 adalah y = 𝑥 . Kuat arus berbanding terbalik terhadap hambatan. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Sampai saat ini kita sudah mempelajari:

Fungsi linier

Bentuk khusus





Bagaimana dengan grafik berikut? Fungsi apa yang direpresentasikannya? Pertumbuhan Hutang 12000

Hutamg (ribu rupiah)

10000 8000 6000

4000 2000 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Bulan


12


Banyak dijumpai data yang merepresentasikan pertumbuhan atau penurunan suatu besaran. Grafik sebelumnya merepresentasikan pertumbuhan. Grafik di atas adalah grafik pertumbuhan hutang seseorang dalam 1 tahun, jika ia meminjam uang sejumlah Rp 200.000 rupiah dengan bunga 40% per bulan. Grafik dapat dinyatakan dalam tabel dan grafik batang sebagai berikut:


KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 2 Bulan ke

Besar Hutang

0

200

1

280

2

392

12000

3

548,8

10000

4

768,3

5

1075,6

6

1505,9

7

2108,3

8

2951,6

9

4132,2

10

5785,1

11

8099,1

12

11338,8

Hutamg (ribu rupiah)

Pertumbuhan Hutang

8000 6000 4000 2000 0 0

1

2

3

4

5

6

7

Bulan


8

9 10 11 12

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI

Laju perubahan tidak sama pada setiap selang waktu

Hasil kali antar dua peubah tidak konstan

Bukan fungsi linier

Bukan fungsi berbanding terbalik

Fungsi apakah yang mungkin?


2


Perhatikan tabel berikut:

Rasio adalah perbandingan besar hutang bulan ini dengan besar hutang bulan lalu

Bulan ke

Besar Hutang

Rasio

0

200

-

1

280

1,4

2

392

1,4

3

548,8

1,4

4

768,3

1,4

5

1075,6

1,4

6

1505,9

1,4

7

2108,3

1,4

8

2951,6

1,4

9

4132,2

1,4

10

5785,1

1,4

11

8099,1

1,4

12

11338,8

1,4



𝐵𝑒𝑠𝑎𝑟 ℎ𝑢𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑖 𝐵𝑒𝑠𝑎𝑟 ℎ𝑢𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑙𝑢

=1,4

Besar hutang bulan ini= 1,4 x Besar hutang bulan lalu

Berarti laju pertumbuhan hutang adalah 40% karena besar hutang bulan ini = (1+0,40) x besar hutang bulan lalu



Grafik tadi menunjukkan bahwa nilai suatu besaran di waktu berikutnya adalah besaran saat ini di kali dengan konstanta lebih besar dari 1, yaitu 1,4. Karakteristik tersebut merupakan ciri dari pertumbuhan eksponensial. Grafik berbentuk melengkung ke atas sehingga laju pertumbuhan besar hutang meningkat. Pertumbuhan hutang tumbuh secara eksponensial.



Jika suatu grafik menunjukkan bahwa nilai suatu besaran di waktu berikutnya adalah besaran saat ini di kali dengan konstanta lebih kecil dari 1, misalnya 0,5. Maka karakteristik ini menunjukkan penurunan eksponensial. Fungsi Eksponensial

Pertumbuhan Eksponensial

Penurunan Eksponensial


KESIMPULAN

Fungsi Linier, Fungsi Berbanding Lurus

Apa yang sudah kita pelajari?

Karakteristik Fungsi


Fungsi Eksponensial



SARAN

Gunakan pengetahuan kita mengenai karakteristik fungsi dalam menjelaskan/menganalisa suatu masalah. Gunakan data untuk membentuk grafik fungsi jika memungkinkan. Gunakan grafik fungsi untuk menjelaskan suatu perubahan, misalnya laju perubahan yang berbanding lurus/terbalik atau meningkat/menurun secara eksponensial.


DAFTAR PUSTAKA



Angel, A.R., Abbot, C.D., Runde, D.C., A Survey of Mathematics with Applications, Pearson Addison Wesley, 8Ed, 2009.  Blitzer, R., Thinking Mathematically, New Jersey, Pearson Prentice Hall, 4Ed, 2008.  Pirnot, T., Mathematics All Around, Boston, Addison Wesley, 3Ed, 2006.  Sevilla A., Sommers K., Quantitave Reasoning Tools For Today’s Informed Citizen, Key College Publishing, 2007. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

Sekian


Relasi antar dua variabel

Recommend Documents