Open Source. Not For Commercial Use. Vektor

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB

1

Vektor Vektor adalah sebuah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Secara geometri vektor biasanya digambarkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di samping) dan namanya menggunakan sebuah huruf kecil dengan anak panah di atasnya (~u).

u

Ujung

Pangkal

Arah sebuah vektor ditentukan dari sudut yang dibentuk oleh sumbu-x positif dengan arah vektor tersebut. Dua buah vektor dikatakan sama bila panjang/besar dan arahnya sama, sedangkan posisi pangkalnya tidak perlu sama.

Penjumlahan dua buah vektor

Open Source Not For Commercial Use

Ilustrasi Perhatikan sebuah benda yang bergerak sepanjang sumbu-x dengan laju 10 m/detik dan benda kedua bergerak sepanjang lingkaran dengan laju yang sama. Apakah kedua benda tersebut mempunyai kecepatan yang sama? Apakah kedua benda tersebut mempunyai percepatan ? Ilustrasi ini memberikan gambaran bahwa kecepatan merupakan sebuah vektor.

Cara 1: Pangkal vektor ~v digeser ke ujung dari vek−−−→ tor ~u. Vektor u + v adalah vektor yang pangkalnya sama dengan pangkal vektor ~u dan ujungnya berada pada ujung vektor ~v. (lihat gambar sebelah kiri).

URL:ftp.math.itb.ac.id

Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010


2

Cara 2: Pangkal vektor ~v di geser ke pangkal vektor ~u, kemudian dibuat jajaran genjang sesuai dengan ujung-ujung vektor ~v dan ~u. Vektor −−−→ u + v adalah diagonal jajaran genjang yang berpangkal di pangkal vektor ~u (lihat gambar sebelah kanan).

Perkalian sebuah vektor dengan skalar/bilangan

Latihan: C B A

1.

v m

v u

450

Bila AB = 32 AC,


Sifat komutatif: ~u + ~v = ~v + ~u

Nyatakan vektor m ~ dalam ~u dan ~v

v v

600

v T1

v T2

2.

Sebuah benda digantung seperti pada gambar. Tentukan besarnya gaya tegangan tali T1 dan T2

200 N




3

Representasi Vektor secara Aljabar di R2 (Bidang) dan di R3 (Ruang) Sebuah vektor dapat kita representasikan pada koordinat kartesius sebagai berikut:

z

v u =< u1 , u2 , u3 >

P = (7, 5, −2) Q = (11, −2, −8) −→ P Q = h11−7, −2−5, −8+2i −→ P Q = h4, −7, −6i

y

x u1

x


u2

v u =< u1 , u2 >

y

Sebuah vektor di bidang yang berpangkal di pusat koordinat dan ujungnya pada titik (u1, u2) kita notasikan sebagai hu1 , u2i. Notasi ”kurung lancip” digunakan untuk membedakan dengan pengertian titik. Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang.

~u + ~v = hu1 + v1, u2 + v2i Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang. Bila ~a = ha1 , a2 , a3i dan ~b = hb1 , b2, b3i,

y u2+v2

v

u2 v2

u

Misalkan ~u = hu1 , u2i dan ~v = hv1, v2i. Untuk memperoleh rumus penjumlahan ~u + ~v , perhatikanlah gambar di samping kanan. Dari ilustrasi geometri tersebut diperoleh rumus:

~a + ~b = ha1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 i Misalkan c ∈ R, maka berlaku c~u = hcu1 , cu2i

u+

v

v

u1

v1

x

u1+v1

Sifat2 : Misalkan ~u, ~v, w ~ tiga buah vektor dan a, b ∈ R, maka berlaku: 1. ~u + ~v = ~v + ~u

(komutatif)

2. (~u + ~v ) + w ~ = ~v + (~u + w) ~

(asosiatif)

3. ~u + ~0 = ~u dengan ~0 = h0, 0i 4. ~u + (−~u) = ~0

5. a(b~u) = (ab)~u = ~u(ab) URL:ftp.math.itb.ac.id



4

6. a(~u + ~v ) = a~u + a~v 7. (a + b)~u = a~u + b~u

z

y k$

$j

x

8. 1 ~u = ~u $i

y

$j

$i

x


| $i | = | $j | = | k$ | = 1 Vektor Basis Perhatikan : ~u = hu1 , u2i = u1h1, 0i + u2h0, 1i. Vektor2 bi = h1, 0i dan b j = h0, 1i disebut vektor2 basis di bidang. Dengan demikian, kita dapat menuliskan ~u = hu1, u2i sebagai ~u = u1 bi + u2 b j.

Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang. Vektor basisnya adalah: bi = h1, 0, 0i, b j = h0, 1, 0i, dan b k = h0, 0, 1i. Jadi ~u = hu1 , u2, u3i = u1 bi + u2 b j + u3 b k y

Panjang vektor: Panjang sebuah vektor ~u = hu1 , u2i, ditulis ||~u|| =

p u21 + u22.

Contoh: Diberikan ~u = h4, 3i, tentukan ||~u|| dan ||−2~u|| Hasil kali titik/dalam:

Misalkan ~u = hu1 , u2i, dan ~v = hv1 , v2i dua buah vektor. Hasil kali titik/dalam dari ~u dan ~v adalah ~u · ~v = u1v1 + u2v2 Perhatikan bahwa hasilnya merupakan sebuah skalar. Sifat2 Hasil Kali Titik: Misalkan ~u, ~v, w ~ tiga buah vektor dan c ∈ R, maka: 1. ~u · ~v = ~v · ~u (komutatif)

u2

r | u |= u12 + u22

u1

x

2. ~u · (~v + w) ~ = ~u · ~v + ~u · w ~ distributif 3. c(~u · ~v ) = (c~u) · ~v = ~u · (c~v ) 4. ~0 · ~u = 0.

5. ~u · ~u = ||~u||2 6. ~u · ~v = ||~u|| ||~v || cos(θ), θ sudut antara ~u dan ~v . Akibat: ~u ⊥ ~v ⇐⇒ ~u · ~v = 0




5

Vektor Proyeksi

v u

Perhatikan gambar di samping. Vektor ~u diproyeksikan pada ~v dan hasilnya adalah vektor w. ~ Bagaimana menentukan vektor w? ~

v v

v w

~u·~v ~ ||~u|| ||v||

w ~ = ||w|| ~ × vektor satuan dari vektor ~v .

v w ~ = ||~u|| ||~u~u||·~||~ v ||

~v ||~v ||

=

~u·~v ||~v || ||~v ||

~v =

Latihan: 1. Tentukan b supaya h8, 6i dan h3, bi saling tegak lurus. 2.

Bila A = (4, 3), B = (1, −1) dan C = (6, −4), gunakan konsep vektor untuk menentukan sudut ABC.

3. Cari vektor proyeksi ~u = h−1, 5i pada ~v = h3, 3i 4. Cari vektor proyeksi ~u = h4, 5, 3i pada ~v = h2, 2, −6i Persamaan Bidang di Ruang

z

~v

Perhatikan bidang v (warna pink).

Titik P = (x0, y0 , z0) terletak pada bidang v.

v

v n

Vektor ~n = hA, B, Ci tegak lurus terhadap v.

Akan ditentukan persamaan bidang v.

P

y Q

~u·~v ||~v ||2


q

||w|| ~ = ||~u|| cos θ = ||~u||

Ambil sebarang titik Q = (x, y, z) pada bidang v. −→ Jelas vektor P Q = hx − x0, y − y0 , z − z0 i ⊥ ~n.

hx − x0, y − y0, z − z0 i · hA, B, Ci = 0

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.

x Latihan:

1. Misalkan P = (1, 2, 3) dan Q = (4, 4, −2). Tentukan persamaan bidang yang −→ melalui titik P dan tegak lurus terhadap vektor P Q. 2. Tentukan sudut antara bidang 3x − 4y + 7z = 5 dan bidang 2x + 4y + 3z = 8. 3. Buktikan jarak dari titik (x0, y0, z0 ) ke bidang Ax + By + Cz = D adalah |Ax0 +By0 +Cz0 −D| √ . A2 +B 2 +C 2 URL:ftp.math.itb.ac.id



6

Persamaan Garis di Ruang Diberikan titik P = (x0, y0, z0 ) dan vektor ~v = ha, b, ci

z

Akan ditentukan persamaan garis yang melalui titik P dan sejajar dengan vektor ~u.

hx − x0, y − y0 , z − z0 i = t ha, b, ci.

Q P

y x


Misalkan Q = (x, y, z) sebuah titik sebarang pada garis tersebut. −→ Vektor ~v sejajar dengan vektor P Q, sehingga −→ P Q = t ~v , dengan t ∈ R.

v v

Dengan demikian diperoleh persamaan parameter untuk garis, yaitu:   x = x0 + t a y = y0 + t b disebut sebagai Persamaan Parameter dari garis.  z = z0 + t c Bila parameter t dieliminasi diperoleh persamaan sebagai berikut: x−x0 a

=

y−y0 b

=

z−z0 c

Latihan:

disebut Persamaan Simetrik dari garis di atas.

1. Cari persamaan simetrik dari garis yang melalui titik (2, 5, −1) dan sejajar vektor < 4, −3, 2 >. 2. Cari persaman garis yang merupakan perpotongan antara bidang2 2x − y − 5z = −14 dan 4x + 5y + 4z = 28.




7

Hasil Kali Silang (Cross Product) Hasil kali silang hanya didefinisikan pada vektor di dan ~v = hv1 , v2, v3i dua buah vektor. Hasil kali sebagai: î ˆj kˆ î ˆj kˆ î ~u × ~v = u1 u2 u3 = u1 u2 u3 + u1 v1 v2 v3 v1 v2 v3 v1

ruang. Misalkan ~u = hu1 , u2, u3i silang dari ~u dan ~v didefinisikan ˆj u2 v2

kˆ u3 v3

î + u1 v1

Sifat2 Hasil Kali Silang: Misalkan ~u, ~v tiga buah vektor maka: 1. (~u × ~v ) ⊥ ~u dan (~u × ~v ) ⊥ ~v , akibatnya ~u · (~u × ~v ) = 0 dan ~v · (~u × ~v ) = 0

2. ~u, ~v , dan (~v × ~v ) membentuk ”right handed triple” 3. ||~u × ~v || = ||~u|| ||~v || sin θ, dengan θ sudut antara ~u dan ~v . Latihan:

kˆ u3 v3


~u × ~v = (u2 v3 − u3 v2)î − (u1 v3 − u3 v1)ˆj + (u1 v2 − u2 v1 )kˆ

ˆj u2 v2

1. Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik (1, −2, 3), (4, 1, −2), dan (−2, −3, 0). 2. Periksa, apakah hasil kali silang bersifat komutatif, yaitu ~u × ~v = ~v × ~u.

3. Tunjukkan, secara geometri, ||~u × ~v || adalah luas jajaran genjang seperti pada gambar di sebelah kiri bawah. 4. Tunjukkan, secara geometri, |w ~ · (~u × ~v )| adalah volume ”parallelepiped” seperti pada gambar di sebelah kanan bawah.

v w v u a


v v

v u

v v



8

Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

P

)

r(t

y x

Perhatikan sebuah titik P yang bergerak di ruang dengan lintasan seperti pada gambar di samping kiri. Posisi titik P pada saat t dinyatakan oleh vektor yang berpangkal di titik asal dan ujungnya di titik P. Posisinya tersebut dapat ditulis sebagai ~r(t) = hf (t), g(t), h(t)i. Vektor ~r merupakan fungsi dengan variabel real t dan nilainya adalah sebuah vektor. Fungsi demikian disebut fungsi bernilai vektor.

Bentuk umum fungsi berbentuk vektor dengan variabel real: j = hf (t), g(t)i F~ (t) = f (t) bi + g(t) b

dengan t ∈ R

atau

F~ (t) = f (t) bi + g(t) b j + h(t) b k = hf (t), g(t), h(t)i


z

dengan t ∈ R

Untuk selanjutnya hanya akan dibicarakan fungsi bernilai vektor di ruang. Untuk fungsi bernilai vektor di bidang aturannya sama saja, hanya komponennya dua buah. Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor

Pengertian konsep limit untuk fungsi bernilai vektor ”sama” dengan konsep limit di fungsi real biasa. Untuk perhitungannya berlaku sifat berikut: Misalkan F~ (t) = hf (t), g(t), h(t)i, maka lim F~ (t) = hlim f (t), lim g(t), lim h(t)i t→c

t→c

t→c

t→c

Turunan dan Integral fungsi bernilai vektor juga mewarisi sifat-sifat di fungsi real sbb: Misalkan F~ (t) = hf (t), g(t)i, maka

a. F~ ′ (t) = hf ′ (t), g ′(t)i R R R b. F~ (t) dt = h f (t) dt , g(t) dti




9

Sifat2 Operasi Aljabar Fungsi Bernilai Vektor: ~ Misalkan F~ (t), G(t) fungsi bernilai vektor, h(t) fungsi real dan c ∈ R, maka: ~ ~ ′ (t) 1. Dt [F~ (t) + G(t)] = F~ ′ (t) + G 2. Dt [c F~ (t)] = c F~ ′ (t) 3. Dt [h(t) F~ (t)] = h(t) F~ ′ (t) + h′ (t)F~ (t)


~ ~ + F~ (t) G ~ ′ (t) 4. Dt [F~ (t) G(t)] = F~ ′ (t) G(t) 5. Dt [F~ (h(t))] = F~ ′ (h(t)) h′(t) j. Contoh: Diberikan F~ (t) = (t2 + t) bi + et b a. Tentukan F~ ′ (t) dan F~ ′′ (t) dan sudut antara F~ ′ (0) dan F~ ′′(0). R1 3~ b. Tentukan Dt [t F (t)] dan F~ (t) dt ♠ 0

Perhatikan sebuah titik P yang bergerak di bidang/ruang dengan posisi setiap saat ~r(t). Dari hukum Fisika, kecepatan ~v dan percepatannya ~a adalah: ~v (t) = ~r′ (t), dan ~a(t) = ~r′′ (t)

Latihan:

+h r(t

h→0

demikian arah ~v sama dengan arah garis singgung terhadap ~r(t).

)

r(t+h) - r(t)

Arah dari vektor kecepatan ~v dapat dikaji dari definr(t) . Dengan isi turunan r′ , yaitu ~v (t) = lim ~r(t+h)−~ h

r(t)

1. Sebuah titik P bergerak sepanjang lingkaran berjari-jari r dengan laju ω rad/detik. Bila kedudukan awalnya di (1, 0), tentukan kecepatan dan percepatannya pada saat t = 0, 5 dan gambarkan. 2. Sebuah titik P bergerak dengan posisi setiap saat (x, y) = (3 cos t, 2 sin t). a. Gambarkan grafik lintasan P dan arahnya. b. Tentukan kecepatan, laju dan percepatannya. c. Tentukan saat kapan lajunya maksimum dan berapa nilainya. d. Tunjukkan vektor percepatannya selalu menuju titik asal. 2

3

3. Diberikan sebuah kurva di ruang dengan persamaan ~r(t) =< t, t2 , t3 >. Carilah persamaan garis singgungnya pada saat t = 2. URL:ftp.math.itb.ac.id


Open Source. Not For Commercial Use. Vektor

Recommend Documents