Open Source. Not For Commercial Use

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB

1

Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f (x, y) fungsi dua peubah dan (a, b) ∈ R2 . Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati kecendrungan nilai f (x, y) bila (x, y) mendekati titik (a, b). x2 −y 2 x2 +y 2

di bawah ini.

Tanpa melakukan proses perhitungan limit, perkirakanlah: • Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f (x, y) → ? • Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang sumbu y, f (x, y) → ? • Bila (x, y) → (0, 0) sepanjang garis y = x, f (x, y) → ? Dari pengamatan di atas, maka Sekarang, coba pikirkan

lim

(x,y)→(2,1)

lim

(x,y)→(0,0)

x2 −y 2 . x2 +y 2

x2 −y 2 x2 +y 2

......

Open Source Not For Commercial Use

Ilustrasi: Perhatikan grafik dan peta kontur f (x, y) =

Untuk menghitung limit fungsi tsb., kita gunakan rujukan sebagai berikut: Substitusikan titik limit yang dituju pada fungsi yang bersangkutan. Bila nilainya ”terdefinisi”, maka nilai tersebut adalah nilai limitnya. Tentukan

lim

(x,y)→(2,1)

x2 −y 2 x2 +y 2

URL:materikuliah.math.itb.ac.id

= ...

Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010


2

Definisi Limit Fungsi 2 Peubah Limit dari fungsi dua peubah f (x, y) untuk (x, y) mendekati (a, b) disebut L, ditulis lim f (x, y) = L artinya untuk setiap (x,y)→(a,b)

Catatan: • Fungsi f (x, y) tidak perlu terdefinisi pada titik (a, b). • Nilai limit f (x, y) tidak boleh bergantung pada arah (x, y) mendekati (a, b). (Pada fungsi dua peubah tidak ada istilah limit kiri atau limit kanan). Contoh2: 1. Tunjukan 2. Tunjukan

lim

(x,y)→(0,0)

x2 −y 2 x2 +y 2

tidak ada.

lim

x2 y x4 +y 2

tidak ada.

(x,y)→(0,0)


ǫ > 0, selalu dapat dicari δ > 0 sehingga 0 < |(x, y) − (a, b)| < δ ⇒ |f (x, y) − L < ǫ. p Catatan: |(x, y) − (a, b)| = (x − a)2 + (y − b)2

(Petunjuk: Hitung sepanjang garis y = mx dan parabola y = x2)




3

Kekontinuan di satu titik Fungsi f (x, y) disebut kontinu di (a, b) bila memenuhi

lim

(x,y)→(a,b)

= f (a, b)

Sifat2: • Bila f (x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f − g, f g dan f /g kontinu di (a, b). • Polinom dua peubah, p(x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + f y 2 + · · · kontinu di R2


• fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya.

• Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f (x) kontinu di g(a, b), maka f ◦ g(x, y) = f (g(x, y)) kontinu di (a, b). Contoh: Jelaskan kekontinuan fungsi f (x, y) = cos(x3 − 4xy + y 2 ). Kekontinuan di himpunan

Misalkan S ⊂ R2 . Fungsi dua peubah f (x, y) disebut kontinu pada S bila f kontinu pada setiap titik pada S. Perlu diperhatikan bila S memiliki batas (perhatikan gambar di samping ini), maka proses limit hanya dilakukan sepanjang jalur yang berada dalam S saja.

Sifat: Misalkan f (x, y) fungsi dua peubah. Bila fxy dan fy x kontinu pada himpunan buka S, maka fxy = fyx pada S.




4

Keterdiferensialan Perkuliahan ini tidak akan membahas konsep diferensial fungsi dua peubah secara teoritik. Pembahasan konsep akan langsung dianalogikan dengan konsep turunan di fungsi satu peubah. Perhatikan fungsi satu peubah f (x), p ∈ Df dan h ∈ R. Bila fungsi tersebut mempunyai turunan, maka berlaku f (p + h) = f (p) + f ′ (p)h + ǫ(h2 )

∇f (~p) = hfx (~p), fy (~p)i = fx (~p)î + fy (~p)ˆj


Untuk fungsi dua peubah hal yang analog berlaku. Misalkan f (x, y) fungsi dua peubah dan p = (x, y) ∈ Df . Untuk memudahkan notasi, kita akan menuliskan p sebagai vektor ~p = hx, yi. Pada fungsi dua peubah berlaku hubungan f (~p + ~h) = f (~p) + ∇f (~p) · ~h + ǫ(h2 ) dengan,

Catatan: Vektor ∇f dibaca grad dari f dan disebut vektor gradien dari fungsi dua peubah f (x, y). Sifat: Bila fx (x, y) dan fy (x, y) kontinu di lingkungan sekitar (a, b) maka f (x, y) terdiferensialkan di (a, b) dengan gradien ∇f (a, b). Contoh: Tunjukan f (x, y) = xey + x2y terdiferensialkan di mana-mana dan tentukan gradiennya. Sifat2 ∇: a. ∇[f (~p) + g(~p)] = ∇f (~p) + ∇g(~p) b. ∇[αf (~p)] = α ∇f (~p) c. ∇[f (~p) g(~p)] = ∇f (~p) g(~p) + f (~p) ∇g(~p) Sifat: Jika fungsi f (x, y) terdiferensial pada p~ maka f (x, y) kontinu di ~p.




5

Turunan berarah Popon berada pada sebuah keping dengan distribusi suhu seperti pada gambar di samping. a. Bila dia bergerak pada arah horizontal, berapakah laju perubahan suhunya ?


b. Pada arah manakah dia harus bergerak supaya penurunan suhunya maksimum? Pertanyaan (a) sudah dapat anda jawab yaitu · · · · · ·. Untuk menjawab pertanyaan (b), kita akan mempelajari konsep turunan berarah. Misalkan f (x, y) fungsi dua peubah dan ~p = hx, yi ∈ Df . f (~p + h î) − f (~p) fx(~p) = lim h→0 h

dan

ˆ − f (~p) f (~p + h j) fy (~p) = lim h→0 h

Misalkan ~u vektor satuan pada bidang, ˆ Turunan berarah dari f (x, y) ~u = hu1 , u2i = u1 î + u2 j. pada arah ~u di titik p adalah: D~uf (~p) =

∂f f (~p + h ~u) − f (~p) (~p) = lim h→0 ∂~u h

Perhatikan: fx(~p) = Diˆf (~p) dan fy (~p) = Djˆf (~p)

Secara fisis, turunan berarah menyatakan laju perubahan f (x, y) di titik ~p bila f begerak pada arah ~u. Secara umum, menghitung D~u f (~p) dari konsep limit di atas cukup menyulitkan. Biasanya perhitungan dilakukan melalui sifat berikut: Misalkan f (x, y) terdiderensialkan di p~, maka D~u f (~p) = ~u · ∇f (~p) Contoh: Misalkan f (x, y) = 4x2 − xy + 3y 2 , tentukan turunan berarah dari f di titik (2, −1) : (a.) pada arah ~a = h4, 3i. (b.) pada arah menuju titik (5, 3). Diskusi: Misalkan z = f (x, y), pada arah manakah D~u f (~p) naik dan turun paling cepat ? URL:materikuliah.math.itb.ac.id



6

Contoh: Seekor kutu berada pada titik (2,-1,21) di permukaan f (x, y) = 4x2 − xy + 3y 2 , tentukan pada arah mana dia harus bergerak agar tanjakannya maksimum dan berapa tanjakan tersebut ?

Perhatikan kurva ketinggian L dari z = f (x, y) yang melalui titik P (x0, y0). Misalkan ~u vektor singgung satuan terhadap L di titik P . D~u f (p) = 0 (mengapa ?). Dilain pihak D~u f (p) = ~u · ∇f (p). Dengan demikian ∇f (p) ⊥ ~u atau ∇f (p) ⊥ L di titik P . 2


Kurva Ketinggian vs Gradien

Contoh: Diberikan fungsi z = x4 + y 2 . Tentukan vektor gradien yang melalui titik (2, 1), lalu gambarkan kurva ketinggian yang melalui titik tersebut dan vektor gradiennya. Aturan Rantai Jenis 1 Misalkan z = f (x, y), dengan x = x(t) dan y = y(t). Di sini f merupakan fungsi dua peubah terhadap x dan y, tetapi terhadap t merupakan fungsi satu peubah. Aturan rantai memberikan formula untuk menghitung turunan f terhadap t: ∂z dx ∂z dy dz = + dt ∂x dt ∂y dt

Contoh: Misalkan z = x3y dengan x = 2t dan y = t2 . Tntukan

dz dt .

Aturan Rantai Jenis 2 Misalkan z = f (x, y), dengan x = x(s, t) dan y = y(s, t). Di sini f merupakan fungsi dua peubah terhadap x dan y, juga fungsi dua peubah terhadap s dan t. Aturan rantai memberikan formula untuk menghitung turunan parsial f terhadap s dan t: ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s

dan

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t

Contoh: Misalkan z = x3y dengan x = 2s + 7t dan y = 5st. ∂z Tentukan ∂z ∂s dan ∂t .




7

Penurunan Fungsi Implisit dengan aturan Rantai a. Untuk fungsi satu peubah Misalkan F (x, y) = 0 mendefinisikan y sebagai fungsi x secara implisit. Turunkan dx ∂F dy kedua ruas terhadap x, maka diperoleh: ∂F ∂x dx + ∂y dx = 0. ∂F /∂x dy =− dx ∂F /∂y

Turunkan terhadap y, diperoleh: Karena

∂x ∂y

= 0 dan

∂F /∂x ∂z =− ∂x ∂F /∂z

∂y ∂x

∂F ∂x ∂x ∂y

+

∂F ∂y ∂y ∂y

+

∂F ∂z ∂z ∂y

= 0 (mengapa ?), maka dan

∂z ∂F /∂y =− ∂y ∂F /∂z

Contoh:


b. Untuk fungsi dua peubah Misalkan F (x, y, z) = 0 mendefinisikan z sebagai fungsi x dan y secara implisit. ∂y ∂x ∂z Turunkan terhadap x, diperoleh: ∂F + ∂F + ∂F = 0. ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x = 0.

dy dari x3 + x2y − 10y 4 = 0 1. Tentukan dx (gunakan dua cara: aturan rantai dan penurunan implisit).

2. Tentukan

∂z ∂x

dan

∂z ∂y


dari x3 ey+z − y sin(x − z) = 0



8

Bidang Singgung Perhatikan permukaan F (x, y, z) = 0 dan V bidang singgung di titik p = (x0, y0, z0 ). ∇F (p) = hFx (p), Fy (p), Fz (p)i ⊥ V (?).

Misalkan (x, y, z) sebarang titik pada bidang V . Jelas ∇F (p) ⊥ hx − x0 , y − y0, z − z0 i (?).

∇F (p) · hx − x0, y − y0, z − z0 i = 0.

hFx(p), Fy (p), Fz (p)i · hx − x0 , y − y0, z − z0 i = 0 Fx(p)(x − x0) + Fy (p)(y − y0 ), Fz (p)(z − z0 ) = 0


Dengan demikian setiap titik pada bidang singgung memenuhi persamaan:

Hal khusus, bila z = f x, y). Tulis f (x, y) − z = 0 = F (x, y, z). ∇F = hfx , fy , −1i. Dengan demikian persamaan garis singgung terhadap f (x, y) di titik p adalah fx(p)(x − x0) + fy (y − y0) − (z − z0 ) = 0 Contoh:

1. Tentukan persamaan garis singgung terhadap x2 + y 2 + 2z 2 = 23 di titik (1, 2, 3). 2. Tentukan persamaan garis singgung terhadap z = x2 + y 2 di titik (1, 1, 2). 3. Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan bidang xoy terhadap z = x2 − 2xy − y 2 − 8x + 4y.




9

Diferensial dan Aproksimasi Misalkan fungsi z = f (x, y). (x0, y0 , z0) & (x, y, z) ∈ Df . Diferensial dari peubah bebas x dan y adalah: dx = ∆x = x − x0 dy = ∆y = y − y0


tetapi,

∆z = z − z0 = f (x, y) − f (x0, y0) dan diferensial dari peubah tak bebas z adalah dz = fx(x0, y0)dx + fy (x0, y0 )dy. Interpretasi geometri dari ∆z dan dz diperlihatkan pada gambar di atas.

Untuk dx dan dy yang cukup kecil ∆z ≈ dz. Diperoleh rumus aproksimasi ∆z = f (x, y, z) − f (x0, y0 , z0) ≈ fx(x0, y0)dx + fy (x0, y0)dy = dz Contoh2:

1. Misalkan z = 2x3 + xy − y 3 . Tentukan ∆z dan dz bila (x, y) berubah dari (2, 1) ke (2, 03 ; 0, 98). √ 2. Gunakan hampiran diferensial untuk menghitung 3,9 · 9,1.




10

Maksimum dan Minimum Fungsi 2 Peubah Misalkan z = f (x, y) dan p0 ∈ Df a. f disebut mencapai maksimum di p0 bila f (p0) ≥ f (p) ∀ p ∈ Df , nilai maksimumnya f (p0).

c. f disebut mencapai maksimum lokal di p0 bila f (p0) ≥ f (p) untuk semua titik p disekitar p0. d. f disebut mencapai minimum lokal di p0 bila f (p0) ≤ f (p) untuk semua titik p disekitar p0. Titik tempat terjadinya maksimum/minimum global/lokal disebut titik ekstrim. Titik ekstrem tidak selalu ada (berikan contoh). Bila daerah definisi dari f (x, y) berupa himpunan tertutup dan terbatas, maka titik ekstrim global selalu ada.


b. f disebut mencapai minimum di p0 bila f (p0) ≤ f (p) ∀ p ∈ Df , nilai minimumnya f (p0).

(Teorema titik kritis). Titik ekstrim selalu merupakan salah satu dari: a. Titik stasioner, yaitu titik yang memenuhi hubungan ∇F = 0 b. Titik singular, yaitu titik yang turunannya tidak ada. c. Titik batas dari Df

  

T itik   kritis

2

Contoh: Tentukan titik ekstrim lokal dari f (x, y) = x2 − 2x + y4 . fx(x, y) = 2x − 2 dan fy (x, y) = y2 . Titik stasioner (1, 0) dan f (1, 0) = −1. Titik singular dan titik batas tidak ada. Perhatikan bahwa: 2 2 2 f (x, y) = x2 − 2x + y4 = x2 − 2x + 1 + y4 − 1 = (x − 1)2 + y4 − 1 ≥ −1 Jadi (1, 0) merupakan titik minimum global, dan tidak ada titik maksimum. Teorema Pengujian titik ekstrim lokal Misalkan f (x, y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu disekitar titik sta2 sioner p0 = (x0, y0 ). tetapkan D = fxx (p0) fyy (p0) − fxy (p0), a. b. c. d.

Jika Jika Jika Jika

D > 0 dan fxx (p0) < 0, maka p0 titik maksimum lokal. D > 0 dan fxx (p0) > 0, maka p0 titik minimum lokal. D < 0, maka p0 titik pelana (bukan titik ekstrim). D = 0, tidak ada kesimpulan.




11

Latihan 1. Tentukan titik ekstrim lokal dan titik pelana dari z =

−x2 a2

+

y2 b2 .

2. Tentukan titik pada z 2 = x2y + 4 yang jaraknya paling dekat ke titik asal.


3. Tentukan titik ekstrim dari f (x, y) = 2 + x2 + y 2 pada daerah 2 S = {(x, y) : x2 + y4 ≤ 1} (petunjuk: untuk mencari titik ekstrim pada batas S, gunakan substitusi x = cos t dan y = 2 sin t dengan · · · ≤ t ≤ · · ·).




12

Ekstrim dengan Kendala, Metode Lagrange Masalah titik ekstrim pada fungsi 2 peubah ada dua macam: a. Masalah ekstrim bebas (yang telah dibahas pada pasal sebelumnya). b. Masalah ekstrim dengan kendala/syarat Masalah ekstrim dengan kendala membahas masalah mencari titik ekstrim sepanjang kurva z = f (x, y) dengan syarat titik-titik (x, y) berada sepanjang lengkunagn g(x, y) = 0. Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut: 2


Carilah nilai maksimum dari f (x, y) = 2+x2 +y 2 sepanjang g(x, y) = x2 + y4 −1 = 0.

Dengan mesubstitusikan kurva kendala pada f (x, y) akan diperoleh masalah ekstrim bebas (dengan jumlah peubah bebas yang lebih sedikit), selanjutnya dapat diselesaikan dengan metode pencarian ekstrim bebas. Namun demikian, tidak selalu kurva kendala dapat disubstitusikan ke dalam fungsi semula (cari contohnya).

Metode Pelipat Lagrange merupakan alternatif lain untuk mencari ekstrim dengan kendala. Perhatikan kurva ketinggian dari f (x, y) = k untuk k = 200, 300, · · · , 700 yang digambarkan bersama-sama dengan kendala g(x, y) = 0.

Yang harus ditentukan adalah titik pada kurva ketinggian dengan nilai k terbesar yang juga dilalui kendala g(x, y) = 0 (mengapa demikian ?). URL:materikuliah.math.itb.ac.id



13

Titik tersebut terletak pada kurva ketinggian yang bersinggungan dengan g(x, y) = 0. Pada ilustrasi, titik tersebut adalah p0 dengan nilai k = 600. ∇f (p0) ⊥ kurva ketinggian f (x, y) = 600 dan ∇g(p0) ⊥ g(x, y) = 0 (mengapa ?). Karena f (x, y) = 600 dan g(x, y) = 0 bersinggungan di p0 maka ∇f (p0) segaris dengan ∇g(p0). Jadi di titik maksimum diperoleh hubungan ∇f (p0) = λ∇g(p0 ) dengan λ suatu bilangan real. Hal yang sama juga berlaku di titik minimum (titik p1).

∇f (x, y) = λ∇g(x, y)

dan

g(x, y) = 0


Dengan demikian diperoleh kesimpulan sebagai berikut: (Metode Lagrange) Untuk mencari titik ekstrim dari z = f (x, y) dengan kendala g(x, y) = 0, carilah solusi dari sistem persamaan Titik-titik p yang memenuhi persamaan tersebut merupakan titik kritis dari masalah ekstrim terkendala. Bilangan λ disebut pelipat Lagrange. Diskusi:

1. Bila didapatkan n buah titik kritis, bagaimanakah menentukan titik maksimum dan minimumnya ? 2. Bila didapatkan 1 buah titik kritis, bagaimanakah menentukan titik maksimum dan minimumnya ? Contoh2:

2

1. Carilah nilai maksimum dari f (x, y) = 2+x2 +y 2 sepanjang g(x, y) = x2 + y4 −1 = 0. 2. Carilah titik-titik ekstrim dari f (x, y) = y 2 − x2 pada elips

x2 4

+ y 2 = 1.

3. Tentukan volume maksimum dari sebuah kotak yang dapat dibuat bila harga bahan alasnya tiga kali harga bahan sisi yang lain. Harga bahan alasnya Rp 6.000/m2 dan jumlah uang yang tersedia Rp. 120.000. (Catatan: ∇f (x, y, z) = hfx, fy , fz i).

4. Tentukan titik ekstrim dari f (x, y, z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan perpotongan silinder x2 + y 2 = 2 dengan bidang y + z = 1. Catatan: Masalah ini adalah masalah ekstrim dengan dua kendala yaitu g(x, y, z) = 0 dan h(x, y, z) = 0, rumus metode Lagrange-nya adalah:   ∇f (x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z) g(x, y, z) = 0  h(x, y, z) = 0



Open Source. Not For Commercial Use

Recommend Documents