INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si.

Open Source Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2

Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 2010

Pengantar Kalkulus 1 & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua Program Studi di Institut Teknologi Bandung (kecuali Desain dan Seni Murni). Dari segi teori, materi yang tercakup merupakan materi dasar yang diperlukan bagi seluruh Program Studi di ITB, sehingga isinya dari tahun ke tahun tidak banyak mengalami perubahan.


Penyusunan diktat ini bertujuan untuk mengefektifkan proses pembelajaran yang berlangsung di kelas. Diktat dirancang untuk dipakai dosen dan juga mahasiswa. Dosen memanfaatkannya sebagai media untuk ceramah dan diskusi di kelas, sedangkan bagi mahasiswa, diktat ini sebagai pengganti catatan kuliah. Untuk itu, diktat dirancang dalam bentuk beningan (transparancies) yang cukup rinci. Untuk mengoptimalkan proses pembelajaran, materi yang akan dibahas sebaiknya sudah disebar ke mahasiswa sebelum perkuliahan dimulai. Dengan cara ini maka proses pembelajaran di kelas dapat lebih efektif, di mana waktu lebih banyak digunakan untuk berinteraksi (ceramah dan diskusi), dibandingkan dengan pola konvensional yang banyak menghabiskan waktu untuk mencatat. Perlu dipahami bahwa diktat ini bukanlah pengganti buku teks, tetapi merupakan perangkat bantu untuk meningkatkan proses pembelajaran, terutama dalam kelas. Selain itu konsep-konsep matematika yang ditulis di sini masih sangat memerlukan pemahaman dan penjelasan dari dosen pengajar. Soal-soal contoh dan latihan umumnya tidak dituliskan solusinya. Soal-soal ini sebagian untuk dibahas di kelas, sebagian lagi untuk latihan mahasiswa secara mandiri. Cara ini diterapkan untuk menghindari proses belajar yang hanya menghafal soal-jawab, tanpa memahami prosesnya. Diktat ini mulai disusun pada bulan Januari 2004 dan dapat diselesaikan pada akhir Mei 2004. Revisi dilakukan terus menerus secara kontinu. Revisi terakhir ini dilakukan pada tahun ajaran 2009. Penyusunan didasarkan pada buku teks yang digunakan yaitu: Calculus and Analytic Geometry, edisi 9, D. Varberg & E.J. Purcell . Semoga penulisan diktat ini dapat meningkatkan proses pembelajaran matematika pada mahasiswa tingkat 1 di ITB. Kritik dan saran atas isi diktat ini dapat disampaikan melalui e-mail ke [email protected]

Penyusun, Warsoma Djohan

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB

1

Teknik Pengintegralan

3.

Z

5.

Z

7.

Z

9.

Z

u

u

e du = e + c

sin u du = − cos u + c 2

sec u du = tan u + c

sec u tan u du = sec u + c

11.

tan u du = − ln | cos u| + c

13.

Z

du −1 u √ = sin +c a a2 − u2

15.

Z

du 1 √ = sec−1 a u u2 − a2

|u| a

4.

Z

au +c a du = ln a

6.

Z

cos u du = sin u + c

8.

Z

csc2 u du = − cot u + c

10.

Z


Mencari anti turunan dari sebuah fungsi f (x) secara umum sukar dilakukan. Pada bagian ini dibahas beberapa kelompok fungsi tertentu yang anti turunannya dapat dihitung secara analitis. Berikut ini disajikan beberapa rumus anti turunan yang telah dikenal dari pasal-pasal sebelumnya: ur+1 Z Z r 6= 1 r+1 + c 2. ur du = 1. k du = ku + c ln |u| + c r = 1 u

Z

a 6= 1, a > 0

csc u cot u du = − csc u + c

12.

Z

cot u du = ln | sin u| + c

14.

Z

du 1 −1 u = tan +c u2 + a2 a a

+c

Buktikan sifat no: 11 dan 13.

URL:ftp.math.itb.ac.id

Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010


2

Pengintegralan dengan Metode Substitusi R Perhatikan masalah f (x) dx. Pada metode ini, sebagian dari integran (fungsi yang diintegralkan) disubstitusikan menjadi variabel baru. Substitusi diatur agar bentuk integral dapat dibawa menjadi salah satu bentuk seperti pada halaman 1. Contoh-Contoh: Z x dx 1. cos2(x2) Z 2 2. √ dx 5 − 9x2 Z 1/x 6e 3. dx x2 Z ex 4. dx 4 + 9e2x Z p 5. x3 x4 + 11 dx Pengintegralan Fungsi Trigonometri Z

Z

cosn x dx dengan n ganjil sin x dx dan Z Z  n−1  x sin x dx = − sinn−1 x d(cos x)  sin Z Z • Tulis sebagai  n−1   cos x cos x dx = cosn−1 x d(sin x)

Bentuk

n


atan x 6. dx cos2 x Z 7 dx 7. 2 x − 6x + 25 Z 2 x −x 8. dx x+1 Z 9. sec x dx Z 10. csc x dx Z

• Dengan menggunakan rumus sin2 x + cos2 x = 1,

ubah sinn−1 x dalam cos x atau cosn−1 x dalam sin x

Contoh: Tentukan (a.)


Z

3

sin x dx

(b.)

Z

cos5 x dx



• Tulis

sin x dx dan

  n    sin x =   n   cos x =


Bentuk

Z

Z

n

cosn x dx dengan n genap

sin2 x 2

n2

cos x R

n2

n2 1 1 = − cos(2x) 2 2 n2 1 1 = + cos(2x) 2 2

sin4 x dx

(b.)

R

lalu pangkatkan

cos6 x dx

sinm x cosn x dx dengan m atau n ganjil


Bentuk

Z

3

• Pisahkan satu suku dari yang berpangkat ganjil. Untuk ilustrasi, misalkan yang ganjil adalah m. Z Z m−1 n • Tulis sebagai sin x cos x sin x dx = sinm−1 x cosn x d(cos x)

• Ubah faktor sinn−1 x dalam cos x Z Contoh: Tentukan sin4 x cos3 x dx

Bentuk

Z

sinm x cosn x dx dengan m dan n genap

• Reduksilah pangkat m dan n dengan menggunakan identitas sin2 x =

− 12 cos(2x) dan cos2 x = Z Contoh: Tentukan sin2 x cos4 x dx

Bentuk

Z

1 2

tann x dx dan

Z

1 2

+ 12 cos(2x)

cotn x dx

• Untuk tann x keluarkan faktor tan2 x = sec2 x − 1

• Untuk cotn x keluarkan faktor cot2 x = csc2 x − 1 Z Z 4 Contoh: Tentukan (a.) tan x dx (b.) cos3 x dx URL:ftp.math.itb.ac.id



Bentuk

Z

m

n

tan x sec x dx dan

4

Z

cotm x cscn x dx n genap

• Untuk tanm x secn x keluarkan faktor sec2 x dx = d(tan x)

• Untuk cotm x cscn x keluarkan faktor csc2 x dx = −d(cot x) Z Contoh: Tentukan (a.) tan3/2 x sec4 x dx m

n

tan x sec x dx dan

Z

cotm x cscn x dx m ganjil


Bentuk

Z

• Untuk tanm x secn x keluarkan faktor sec x tan x dx = d(sec x)

• Untuk cotm x cscn x keluarkan faktor csc x cot x dx = −d(csc x) Z Contoh: Tentukan (a.) tan3 x sec−1/2 x dx Z

Z

sin(mx) cos(nx) dx,

sin(mx) sin(nx) dx,

Z

cos(mx) cos(nx) dx

• sin(mx) cos(nx) = 21 [ sin(m + n)x + sin(m − n)x ]

• sin(mx) sin(nx) = − 12 [ cos(m + n)x − cos(m − n)x ] • cos(mx) cos(nx) = 21 [ cos(m + n)x + cos(m − n)x ]


Z

(b.)

sin(2x) cos(3x) dx

Zπ

sin(mx) sin(nx) dx

−π




5

Substitusi yang Merasionalkan Bentuk ini digunakan untuk beberapa integran yang memuat tanda akar. p Bentuk n (ax + b)m, gunakan substitusi (ax + b) = un

Bentuk

p

a2

R

dx √ x− x

−

x2 ,

R √ (b) x 3 x − 4 dx

p

a2

+

x2 ,

dan

R p (c) x 5 (x + 1)2 dx p

x2 − a2

Pada ketiga bentuk tersebut, masing-masing gunakan substitusi: • x = a sin t

− π2 ≤ t ≤

• x = a sec t

0 ≤ t ≤ π, t 6=

• x = a tan t

− π2 < t

π 2 < π2

Diperoleh: √ • a2 − x2 = a cos t √ • a2 + x2 = a sec t √ a tan t • x2 − a2 = −a tan t

π 2

0 ≤ t < π2 π
Contoh: Tentukan integral-integral berikut Z p Z √ 4 − x2 (a) a2 − x2 dx (b) dx x2 Z Z dx 1 (c) √ dx (d) √ dx 9 + x2 x2 + 2x + 26 Z Z −3 √ 2 2x x −1 (e) √ dx (e) dx x3 x2 + 2x + 26 −2



Contoh: (a)



6

Pengintegralan Parsial Misalkan u = u(x) dan v = v(x) dua buah fungsi. Dx [uv] = u′ v + uv ′ Jadi

Z

u′ v dx +

Z

uv ′ dx Z

u dv = uv −

Contoh: Tentukan integral-integral berikut Z Z 2 (a) x cos x dx (b) ln x dx

Z

′

uv dx = uv −

Z

′

u v dx atau

(c)

1

(d)

Z

x sin x dx

(g)

Z

tan2 x sec3 x dx

2

(e)

Z

x

e sin x dx

(f)

Z

Z

v du


uv =

Z

sin−1 x dx sec3 x dx

Z − sinn−1 x cos x n − 1 + sinn−2 x dx (f) Tunjukkan: sin x dx = n n Z Z 2 (g) x cos x sin x dx (h) x sin3 x dx (tulis sin3 x = 1 − cos2 x sin x) Z


n



7

Pengintegralan Fungsi Rasional Pasal ini membahas pencarian anti turunan berbentuk: Z P (x) dx dengan P (x), Q(x) polinom. Q(x) Contoh: Tentukan

Z

x5 + 2x3 − x + 1 dx x3 + 5x

x5 + 2x3 − x + 1 14x + 1 2 = x − 3 + x3 + 5x x3 + 5x Jadi,

Z

x5 + 2x3 − x + 1 dx = x3 + 5x

Z

2

(x − 3) dx +

Z

(buktikan !) 14x + 1 dx x3 + 5x


Bila derajat pembilang ≥ derajat penyebut, lakukan proses pembagian.

Pada ruas kanan, integral pertama mudah diselesaikan. Kesulitan hanya pada integral kedua. Dengan demikian pembahasan cukup dibatasi pada bentuk fungsi rasional dengan derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut. Bentuk 1: Pembilang konstanta, penyebut terdiri dari satu faktor linear. Z 1 dx gunakan substitusi u = ax + b (ax + b)m Z Z 2 2 Contoh: (a) dx (b) dx (2x + 1)3 3x + 5

Bentuk 2: Pembilang polinom derajat ≥ 1, penyebut terdiri dari satu faktor linear dengan multiplisitas m. Kita uraikan seperti pada ilustrasi berikut: A1 A2 Am p(x) = + + ··· + m 2 (ax + b) (ax + b) (ax + b) (ax + b)m Contoh:

Z

x−3 dx (x − 1)2




8

Bentuk 3: Penyebut terdiri dari faktor2 linear dengan multiplisitas satu. S(x) A1 A2 An = + + ··· + (x − x1) (x − x2 ) · · · (x − xn ) x − x1 x − x2 x − x2 Z 6 dx Contoh: (x + 2)(x − 1)


Perhatikan bahwa penguraian di atas tidak bergantung pada polinom S(x), asalkan derajatnya lebih kecil dari derajat penyebut. Z Z 6 5x + 3 dx (b) dx Latihan: (a) (2x − 1)(x + 3) x3 − 2x2 − 3x Bentuk 4: Penyebut terdiri dari faktor2 linear dan beberapa faktor multiplisitasnya lebih dari satu. Uraikan faktor bermultiplisitas satu seperti pada bentuk 2, sedangkan untuk yang multiplisitasnya lebih dari satu kita uraikan sebanyak pangkatnya seperti contoh berikut: x2 − 11x + 15 A B C = + + (x − 2)2 (x + 1) (x − 2) (x − 2)2 x + 1

A(x − 2)(x + 1) + B(x + 1) + C(x − 2)2 x2 − 11x + 15 = (x − 2)2 (x + 1) (x − 2)2(x + 1) x2 − 11x + 15

= A(x − 2)(x + 1) + B(x + 1) + C(x − 2)2

Substitusikan secara beruntun nilai-nilai x = 2, x = −1 dan x = 0 pada persamaan di atas, maka diperoleh B = −1, C = 3 dan A = −2. Jadi x2 − 11x + 15 −2 −1 3 = + + (x − 2)2 (x + 1) x − 2 (x − 2)2 x + 1 Contoh: (a)

Z

8x2 + 5x − 8 dx (2x − 1)2(x + 3)

(b)

Z

(bentuk 1)

3x5 + 17x4 + 9x3 − 64x2 − 30x + 1 dx (x − 1)2(x − 2)(x + 3)3

Bentuk 5: Pembilang konstanta dan penyebut polinom kuadrat definit dengan multiplisitas 1. Z 1 Contoh: dx. x2 + 4x + 8 URL:ftp.math.itb.ac.id



9

Bentuk 6: Pembilang polinom derajat satu sedangkan penyebut polinom kuadrat definit dengan multiplisitas 1. p q − 2p b px + q 2 (2x + b) Ubah bentuknya sbb. 2 = + x + bx + c x2 + bx + c x2 + bx + c Z 2x + 10 dx Contoh: x2 + 4x + 8

S(x) (x−t)(x2 +bx+c)

Contoh:

Z

=

A x−t

+

Bx+C x2 +bx+c

7x2 + 2x − 7 dx (4x + 1)(x2 + 4x + 8)


Bentuk 7: Penyebut terdiri dari dua faktor atau lebih dan memuat faktor kuadrat definit bermultiplisitas 1.

Bentuk 8: Penyebut memuat faktor kuadrat definit bermultiplisitas 2. S(x) (x−t)(x2 +bx+c)2

Contoh:

Z

=

A1 x−t

+

A2 x+A3 x2 +bx+c

+

16x4 + 11x3 + 46x2 + 17x + 6 dx (4x + 1)(x2 + 1)2


A2 x+A3 (x2 +bx+c)2


INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

Recommend Documents