ONDERZOEK NAAR DE MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN VAN MATRASSEN
mei 1972
P.C.M. v. Heugten
Het onderzoek is tot stand gekomen met medewerking van de N.V. DICO stalenmeubelenfabriek Uden. Begeleiders:
J. Neerincx en P. Sdpnel.
Onderzoek naar de mechanische eigenschappen van matrassen
~
~
mei 1972. P.C.M.v.Heugten.
Literatuur
: Mechanische Federn
A.M. Wahl ~~~~~
~~
~~
~~
~~~~~-
~-
~~
~~
~
~~
~~
C.B. Biezen0
: Anniversary volume on applied mechanic%
J.P. den Hartog
: Sterkteleer
W. L. Esmeijer
: Inleiding technische mechanica deel I1
P. C. Veenctra
: Grondslagen van de mechanische technologie
deel I Timoshenko
: Theory of elasticity
~
~~~
I
Inhoud : Bladzijde : 3
In1eiding
3
Empirisch onderzoek aan schroefveren
8
Bepaling van de wringkromme
12
Belasting van het veer-materiaal
13
Het verloop van de diameter van de veer Bepaling van de veerstijfheid
/5
Maximale combinaties van buiging en wringing
20
De elastische terugvering
21
Bepaling van de maximale elastische terugvering
22
Wanneer is P.R. maximaal?
23
De maximale gedaanteveranderingsenergie Samenvatting voorspellingsmethode Consequenties voor de matras Optimaliseren bij gegeven d en Ptmax Optimaliseren met variaties in d en Ptmax Resultaten van proefnemingen De mechanische eigenschappen van een stelsel schroefveren Afleiding differentiaal vergelijking Het geschikt maken van de diff. vergelijking voor de elementenmethode Korte beschrijving van het programna Beschrijving werkwijze berekening matras Onderwerpen die nader onderzocht kunnen wûrdeii.
I1
Gebruikte symbolen.
a.
: spoed in ongespannen toestand.
a
: spoed in belaste toestand.
Do Di
: Hartdiameter veer in onbelaste toestand. : inwendige diameter veer.
D
: Hartdiameter veer.
d
: draaddiameter.
f
: zakking veeruiteinde (= verlening veer).
G
: glijdingsmodulus
E
: elasticiteits modulus.
E
: rek.
.
~
~~
~
: lengte ongespannen veer.
IO
1
: lengte belaste veer.
50 5
: spoedhoek ongespannen veer. : spoedhoek belaste veer.
n
: aantal windingen.
Id
: draadlengte in één winding ( =y)
P
: centrale trekkracht.
W
: moment, nodig om de hoekverdraaiing van het veeruiteinde te
voorkomen. 1-i
: dwarscontractie coefficient
I = f 7rr4 P I = 4 7rr4 wP = 4 7rr3 3 Wb -- 1 5 7rr c = -P f R
= D/P
: polair traagheidsmoment veerdraad
: traagheidsmoment : weerstandsmoment tegen wringing : weerstandsmoment tegen buiging. : veer stijfheid. : r =
d/p
3.
Inleiding. Een matras bestaat uit een groot aantal in elkaar gevlochten schroefveren. Deze veren zitten gespannen in een kokerconstructie. Zie bij lage ns. 1 . O
Loodrecht op zijn vlak belast mag de matras niet veel door-
.
zakken
Nu is de vraag: Door welke constructie parameters (zoals: diameter draad, treksterkte draad, windingsdiameter veren, spoed van de veren, vorm en dikte van de kokers) wordt dat doorzakken beïnvloed en in welke mate? Door deze vraagstelling is het onderzoek beperkt gebleven
-
tot bovenbeschreven matrassen. Er is dus niet gezocht naar een optimale matrasconstructie in het älgemeen. ~~~~~
Teneinde de gestelde vraag te kunnen beantwoorden is de volg-E=d-eweg -doorkopen-:~
~
_
_
_
_
_
~
_
~
~
-
~
~~
~~
~~~~~
~- ~
~ - _ _ _ _ _ _ _ _ ~ _ _ _ _ _ _ _ ~
a. Empirisch onderzoek aan schroefveren. b. Opstellen van relaties ter beschrijving van de veerkarakteristiek van de gebruikte schroefveren. c.
Opstellen van relaties ter beschrijving van de mechanische eigenschappen van het veld van in elkaar gevlochten schroefver en.
d. Het opstellen van een computer programma waarmee m.b.v. de elementen-methode de matras doorgerekend kan worden.
Empirisch onderzoek aan schroefveren.
Doel:
oriëntatie in de problematiek. Het verkrijgen van inzicht in de verschijnselen die een
r o l spelen bij het gedrag van de veren.
!I
Bepaling van de veerstijfheid c d.m.v. het meten van de belasting P en de zakking f.
~
~
~
~
4.
Opstelling:
dit punt is geborgd tegen hoekverdraaing.
schroefveer met windingsdiameter DO = 0,715 cm en met spoed
a.
= 142
cm.
ZFqg-7
lengte in ongespannen toestand 1O
=
100 cm.
plastische vervorming:
1 2
3 Y 5
ps
140 N/m 2 10 N/m.
4Y2 5Y1
Als dezelfde schroefveer zo ver is uitgerekt, dat hij een blijvende (plastische) vervorming heeft, groot 4 0 % , dan volgt daor meting: meetlengte 1
= 100
cm.
O
9
]last
I
I
I
I
zakking
I
plastische ver-
I
hieruit volgt dat de E> veerstijfheid c .= -f 5 300 N 1 + 20 N/m
-
5.
Opmerking: de gevonden veerstijfheden gelden voor een veer met uiteinden, die tegen draaiing zijn geborgd. Echter: rekt men de veer, gebruikt bij de eerste serie metingen, op, totdat de lengte 1 na wegnemen van de belasting P gelijk is aan 140 cm (plastische vervorming 4 0 % ) terwijl de einden van de veer nog steeds niet kunnen verdraaien, dan zal, bij opnieuw belasten, niet dezelfde veerstijfheid gevonden worden als in de tweede serie metingen. En wel omdat nu in de veer een moment M
O'
gericht langs de veer-
as, heerst (als last P=o) terwijl dit moment aan het begin van de tweede serie metingen ontbrak. Bepaling van de veerstijfheid c d.m.v. meten van de eigen frequentie. Opstelling: -~~__________
-~
Schroefveer: dezelfde a l s in het voorgaande.
,
cl
=
niet plastisch gedeform. triïiingstijd .
100 cm c
-
l
iassa m [kgi
T [sec]
De eigenfrequentie W van dit massa-veersysteem is:
2,o.
10-1
0,25
3,O.
IO-'
0,28
4,O.
IO-'
O ,325
5,O.
IO-'
O ,360
waarin c in N/m
6,O.
IO-'
O ,400
en m in kg
7,O.
IO-'
O ,445
W
=
2 = T
+voor volgt:
O
= 100
cm.
r&d/sec.
=
2
Nsec /m.
de onvervormde veer CN
145 N/m + - 10 N/m.
40% plastisch gedeformeerd trillingstijd
lassa m [kg]
T [sec]
voor de 40% plastisch ver2,o.
10-1
O , 16
4,O.
IO-1
0,23
6,O.
IO-]
0,28
8,O.
10-1
O ,325
vormde veer volgt: C
2
290 N/m 2 20 N/m.
6.
Opmerking: De hier berekende waarden van de veerstijfheid gelden niet voor -
een veer waarvan de einden zijn geborgd tegen hoek-
verdraaiing. De hier gevonden waarden van de veerstijfheid moeten daarom kleiner zijn dan de waarden, gevonden bij de andere method e. Dat dit niet is gevonden bij de kleinste stijfheid is te wijten aan de meetfouten (van beide metingen).
l
Berekening van de veerstijfheid c
m.b.v. een bekende formule. De stijfheid
c
van een veer waarvan de einden vrij kunnen
draaien is: c = -P - --*Gd4 bnDo3
1 cos to + GIp
EI
sin2 5 r
cos
O
co
De-af l ~ e i ~ d ~ ~ g ~ v a n - d e z e f o r m u - l - e i s-vel-e-boekeni7i te vinden-
~
~
(zie ook literatuurlijst). Voor dezelfde veer als in het voorgaande wordt de veerstijfheid: onvervormd : C=
8. 106.8,54. iom8. 1,2
3
0,883 +
8.100. 0,715
1.10 2 0,222
1 17-3 0,883
=
40% plastisch gedeformeerd:
C=
6 4 -8 8.10 .8,5 . i 0 . 1 . 6 8 8.100.
0,60 3
1.10
0,75 +
2
-
1 O ,44 1,3 0,75
=
334 N/m
als de waarde van de glijdingsmodulus G weer 8.106 N/cm2 genomen wordt. Beide waarden van de veerstijfheid zijn hoger dan de gemeten waarden ( 1 2 , 8 % resp 11,3% hoger). De oorzaak hiervan kan zijn dat d e glijdingsmodulus of de draaddiameter iets kleiner is dan aange-
nomen.
158 N/m
7.
Bij de berekening is aangenomen dat het veermateriaal niet verstevigt. In het hiervolgende zal een serie metingen worden beschreven, die aantonen dat deze aanname gerechtvaardigd is. OEjcc,gr;ondvan bovenstaande resultaten én de resultaten van soortgelijke proeven wordt de Conclusie: Voor het berekenen van de stijfheid c van schroefveren, zoals die gebruikt worden bij de fabricage van matrassen, mag gebruik gemaakt worden van de formule:
cos 5, +
-
70
cos
co
mits: -
~
a. de vervormingen in het elastische gebied blijven.b. t T h -momentMin de veer o is -äls-de--krächt-P -----.-O-=O
-.--
-
Opmerking: zie blz.8.
Bij de proeven met schroefveren bleek, dat de veren bij de vervaardiging van een matras tot ver in het plastische gebied worden opgerekt. %oor het berekenen van de voorspanning in de matras is het nodig het verloop van de veerkarakteristiek, juist izl
da+ plastische gebied, te kennen.
Het berekenen van deze veerkarakteristiek m.b.v. de bekende plasticiteitstheorieën, zou zeer veel tijd gekost hebben. Daarom i s gekozen voor een methode die wellicht sneller tot een bruikbaar resultaat zou leiden. Deze metbode komt hierop neer: bepaal de veerkarakteristiek van een aantal verschillende schroefveren. Bestudeer deze karakteristieken grondig en speur naar wetmatigheden. Formuleer hypothesen en toets deze aan daarvoor geschikte proefresultaten. Mcieteïi d z hypothesen
EU
verwQrpen worden, dan w e e r nieuwe hypothe-
sen formuleren. Anders de hypothesen voorlopig aannemen. Mocht in een later stadium blijken dat de aldus gedistileerde hypothesen toch onwaar zijn, dan weer opnieuw beginnen.
8.
Het spreekt vanzelf dat bij het zoeken naar mogelijke hypothesen, kennis van bestaande theorieën onontbeerlijk is en dat de hypothesen verifieerbaar (falcificeerbaar) moeten zijn.
Opmerking: Voor een veer waarvan de uiteinden vrij kunnen draaien geldt:
c =
P
1
Gd4
-=-*
8nDo
cos 5
2 sin 5
-+ GI
O
P
EI
O
cos 5
O
Voor een veer waarvan de einden niet vrij kunnen draaien geldt:
Het verschil tussen de resultaten van beide formules voor een onvervormde veer is zeer klein.
Bepaling van de wringkrome van het veermateriaal. gm ca te gaar,, eri ze J a , ~ G P V P Phet I veermateriaal verstevigt. 1
, , - . WSJ . * d e w ï i n g k ï û ü ì ì e vac d e veerdraad bepaald. u i e r t e e kon
negoen
handig gebruik gemaakt worden van een apparaat dat in het laboratorium aanwezig was.
9.
Meetmethode: men oefent een wringend moment MW uit op de veerdraad door gelijke gewichten op de twee schalen te plaatsen. Moment Mw
=
kracht
x
arm waarbij de arm maximaal is in de gete-
kende situatie. (de arm staat loodrecht op de werklijn van de krachten). Nu moet net zolang aan de knop gedraaid worden, totdat de arm weer maximaal is. Dan de hoekverdraaiing aflezen, opnieuw gewichten bijplaatsen, en de knop weer draaien totdat de arm maximaal is etc. Alle op deze manier bepaalde wringkrommen van het draad materiaal zagen er als volgt uit:
Waarbij Mw2
=
4 M 3 wl'
(vergelijk afleidingen blz.201.
Het geschetste verloop laat zien dat het materiaal niet verstevigt. Daar bovendien het maximale wringende moment Mw2 4 / 3
x
het maximale
elastisch toelaatbare wringende moment Mwl i s , concluderen wij: Voor het berekenen van de schroefveren, zoals deze worden toegepast bij de fabricage van matrassen, mag men aannemen dat het materiaal van deze veren zich elastisch-ideaal plastisch gedraagt.
10.
Toelichting.
Wil men uitspraken doen over de stijfheid van een bed-matras, bestaande uit in elkaar gevlochten schroefveren, dan zal men de veerkarakteristiek van deze schroefveren moeten kennen. Daar de veren van een matras zover worden opgerekt dat plastische deformatie optreedt, mag deze kennis zich niet beperken tot het -
elastische gebied.
In het hiervolgende zal getracht worden om van een schroefveer van elastisch-ideaal plastisch materiaal, uitgaande van materiaal eigenschappen en begingeometrie, het verloop van de veerkarakteristiek met redelijke nauwkeurigheid te voorspellen. De veer zal belast worden door een zuivere centrale trekkracht en de hoekverdraaing van de veeruiteinden zal tegengehouden worden. De veer ZFvervaard-i~dduittrondëdTäZd.
~~~-
- ~ ~ ~ ~ _ _ _ _ _ _ - ~ ~~
~
~
11.
Opmerking.
De bedoeling van dit onderzoek is: het beantwoorden van vragen betreffende de mechanica van schroefveer matrassen, Het ging hierbij dus niet op de eerste plaats om de schroefveren op zich. Daarom heb ik het onderzoek van de spiraalveren aangepakt op een manier, die wellicht het snelste resultaat zou hebben. Echter: deze gevolgde methode heeft een duidelijk nadeel. De grenzen waarbinnen de in het hiervolgende gegeven hypothesen gelden zijn niet altijd bekend. Misschien is er een theorie, die het hiervolgende betreffende schroefveren verklaart: tegelijk met deze verklaring zullen dan ook de begrenzingen van diverse gegeven relaties bekend
12.
Belasting,van het veermateriaal.
Op een doorsnede van de schroef-
veer werkt een moment P.R onder een hoek 5 met de draad en een 71
kracht P onder een hoek ( 2 -5). Verder i s er een moment M evenO
wijdig met de hartlijn van de veer.
D itmoment-ont staatdoordat-de-veeru iteinden-wi11en-verd-caa-ien-maar- d it niet kunnen. A l s de veer door een trekkracht wordt belast dan is de richting van
M
zodanig, dat het resulterend moment van M O
O
en P.R een hoek maakt
met de veer-draad die kleiner is dan 5. (Opm: bovenstaande i s nodig voor het gebruik van bijlage
111).
In het veermateriaal werken de volgende krachten en momenten: - - -
Af schuifkracht.trekkracht
____
. .-
_P .COS..~--
__
- ___
- --
- .- - - - - -
P sin 5
Wringend moment
PR cos 5 + Mo sin
Buigend moment
PR sin 5
- Mo
5
cos 5
In het hiervolgende zal de invloed van de afschuif- en de trekkracht op de diverse gegeven relaties verwaarloosd worden.
13.
Het verloop van de diameter D van de veer als functie van de uitrekking
(1-1 0- ).
Veronderstellingen a. Zowel de draaddiameter d a l s de lengte van de draad blijven constant b. De veer vervormt overal evenveel c.
Het aantal windingen van de veer n blijft constant. --D- cos-<--O Dan geldt: D = cos 5 -
~
-
O
of:
dzin geldt:
Breedte matras B = n.Di = n.(D-d).
--
14.
Bepaling van de veerstijfheid c. De veerstijfheid is alleen dan met een eenvoudige formule te berekenen als de veer ondervormd is. Denkt men dan in het veermateriaal slechts een buigend en een wringend moment (verwaarlozing trekkracht en afschuifkracht in de draaddoorsneden) dan volgt: I
ve-erstijfheid
I
c-= P
~-
--7:
G d4
1
- x
8n Do3
cos 5
O
+ GI
EI
sin2 50 cos 6
O
Veerkarakteristieken Van een aantal veren is de veerkarakteristiek bepaald. Een voorbeeld hiervan vindt U op bijlage 11. ~
~~~
~~~
Het verloop van deze kromme is te verdelen in drie-stukken: Gebied Gebied
I : Hier geldt
P =
c. (l-lo)
I1 : Overgangsgebied
gebied PI1 : Hier geldt: P.R = constant. (waarbij de grootte van R is berekend). De veerkarakteri'-s-tieitlrrgebi
_
'
d
~
~
i
~
~
e
~
v
o
u
Waar gebied i ophoudt en gebieà II begint is nu nog niet te zeggen. In gebied I11 is empirisch gevonden dat P.R. constant blijft, Dit wijst erop, dat het materiaal van de veer maximaal belast wordt. En dat geeft weer aanleiding te veronderstellen dat het materiaal hier volledig plastisch wordt vervormd. Vergroot men nu de trekkracht P dan gaat de veer niet kapot omdat hij zijn vorm zÓ kan aanpassen dat de belastingstoestand in de veer weer net verdragen kan worden. Het ligt voor de hand om nu te zoeken naar die combinaties van buiging en wringing in de draaddoorsneden van de veer die maximaal zijn.
b
~
Maximale combinaties van buiging en wringing. De hypothese der maximale gedaante veranderingsenergie stelt dat een materiaal begint te vloeien als er een maximale hoeveelheid (elastische) energie in zit. Deze energie wordt gedaante veranderingsenergie genoemd en is het verschil van de totale aanwezige energie in een volume materiaal en de hydrostatische energie. (= volume veranderingsenergie).
~
dz is onderhevig ~~~
~~
~
~~
aan drie hoofdspanningen
chte arbeid is: x
f
kracht
x
verlenging.
ax ~~~
~~
Evenzo voor o2 en 03. Deze drie uitdrukkingen gesommeerd geven: Totale energie: dWtot
= -dV
2
SE (
al
+
De hydrostatische energie dWhydr gesubstitueerd wordt:
O2
-
dWtot als voor o 1'
o2 en o 3
o = o l + o 2+ o3 3
dWhydr
-
dWgedaante verandering
dWged .verand
.-
(1
-
+ p)dV 3E
dWtotaal
dWhydrostatisch.
( o i 2 + 022+ o 3 2- o p 2 :
02035
op3 )
16.
Bij vlakspanningstoestand:
dWged.verand
. - 3E -
( o12+ o 2- o 5
7
2
1 2
) dv
Blokje dx dy dz is genomen uit een staaf die aan buiging en wringing onderhevig is.
I
Deze spanningstoestand is een vlakspanningstoestand met hoofdspanningen:
2
2
2
Hieruit volgt:
W
=-1 + F i
dWged.ver
3E
( Ob
2
+ 3
TW2, d v
Bij elastisch-ideaal plastisch materiaal is deze hoeveelheid energie maximaal even groot als dWged,ver.max bij een toestand met zuivere trek.
*
_-
- 1 + p
Dan is dWged.ver.max
3E
2
o trek max d v .
17.
/I
Hieruit volgt: ob m.a.w. die combinaties van ob e n ZW die nog net op kunnen treden in het materiaal. Aan de hand van deze betrekking kan in het ob -Twvlak een elips getekend worden. Hiervan stelt ieder punt een maximale combinatie van normaalspanning o en wringspanning< W voor. Nu kan ook een grafiek geb tekend worden van maximale combinaties van buigende en wringende --_momenten. -(ela_s_tk._sch)welke
Mb
eiaStisch max
Mw elastisch max
= Ob
max
=
Tw -
max
op
Wb =
een rónde draad werken.
.i
Ob
.
r3
Trr
max 3 . ; m .
.ww = 7-W
mam
-
_~
Dez e graf-iëk-t-s ra2t-uitd e-r-rTa&e k-di,or-d e b w 3 vermenigvuldigen met 7r/4 r3 en de W - as met 7r/2 r
5b
--a s-&+-
-
.
Nu moeten wij de in het plastische gebied maximaal optredende en Q W momenten nog uitdrukken incobmax max
= -2n 3
w
zw
.r
max
piast max
w eiast max
I
I
3
-
cw
m
“w, 4
2 3
r3
v r3
= 4/3
-
18.
-
Mb =
piast.maXe
2
7 p =o
= 4/3 r
3
-% p l a s t Mb e l a s t
ob max-
max -~4’3
r 3 Ob max
r3 o b max
max
-
Zodat we kunnen afleiden: a2
b
+
(“3 rr
2
3/rw = o
’elas
(5 16 3T
2 t max
j2+ max
Mbp i a s t
M 3 4 2 - 3
max
Tr
)
2 +
W
)r.-=gLe l a s t max
‘max
2 3 Mw 3 * ( 1 *4 p l a s t max rr
2
Ook h i e r i s de vorm van de gmfiek een e l i p s , waarvan een deel is gegeven i n b i j l a g e n
=” 111.
Deze g r a f i e k g e e f t dus d i e combinaties van Mwplast
en % p i a s t ,
welke maximaal kunnen optreden.
Opmerking: U i t d i v e r s e proeven i s gebleken d a t de g r o o t t e van P x R maximaal (LE gebied
I11 va:
d e v e r r k a r ô k t e r i s t i e k ) overeenkomt
met de g r o o t t e van h e t maximale wringende moment i n de veerdraad, Een verklaring hiervoor i s nog n i e t gevonden. = zijn: De consequenties van de gelijkheid PR max Mwpiast rnax
16
=--c
31T
19.
a.
b. Van een schroefveerkan, onder de gestelde voorwaarden, als in ongespannen toestand de geometrie en de maximale trekspanning gegeven zijn, al meteen worden geschetst, hoe de veerkarak-, teristiek bij grote vervormingen zal gaan lopen. c. Nu is ook d.m.v. een proef na te gaan of de grafiek op bijlage O
nr ~~~
I11
enigszins redelijk is. Een veer, 1O = l o 0 cm, IdW= 2,54 cm
d= 0,085 cm; PR = 7,4Ncm, werd hiertoe aan een zijde inge-maxp-pp -~~ klemd. Aan de andere kant van de veer werd een arm stijf aan de ~~
~~
~
~
-
p
~~
_
_
_
_
_
veerdraad verbonden. Zie schets.
f,
Als aan de draad getrokken
dan gaat het veeruleinde,
waar-de arm aan b m s - ti 8 - d i ' - c , v e r d r a a i ' e n . D a t - m ~ n ~ i ~ ~ - b r ~ ~ k ~ ~ baar vergelijkings materiaal te krijgen moet de veer op dezelfde manier vervormd worden als in een matras gebeurt (daar de belastingstoestand na vervorming tot in het plastisch gebied afhangt van de deformatieweg). Het moment M werd gemeten m.b.v. gevoelige krachtmeters (moment O
Mo
=
kracht
x
arm).
Resultaten:
spoedhoek 5
kracht op arm N
110,o
31'
2,08. O
123,5
35'30'
13,5.
139,O
41'
155,O
lengte 1
-2
moment M O qemeten
moment M uit graflek
1 = 100
CI
' 0,208
1,40
1,35
I ,50
17,7.
O-2 -2 O
1,77
1,go
47 O
20,7.
O-2
2 ,O7
1,96
171 ,O
54O
22,6.
O-2
2,26
2,21
!87,0
02O
25,O.
2 $50
2,46
201 ,o
70'
26,5.
graden
Newton
Newtoncm
1
Y
O
arm A= 10
20.
Als de veer nog niet helemaal plastisch i s vervormd, is M
O
geme-
ten uiteraard kleiner dan moment M uit de grafiek O
Daarna blijken beide waarden echter minder dan 5% van elkaar af te wijken!
De elastische terugvering van schroefveren. Bij de proeven met diverse veren is gebleken dat de grootte van de elastische-~ terugvering bij ontlasten van de veren in goede
~~
~~~~~~~
-~
~~~~
~~
~
-
~
~
~
~
_
benadering recht evenredig toeneemt met het moment PR. Zie ook bijlage no_ IV. Echter: als PR= constant, dan neemt de elastische terugvering (âle1ast)weer af. Verklaring: Dat bij belasten zowel PxR als Alelast
. toenemen,
is heel normaal. Waarom zij rechtevenredig toenemen, is niet bekend.
Als P I R constant is, is het materiaal van de veer overal plastisch gedeformeerd, Daar het materiaal zich elastisch-ideaal plastisch gedraagt, is de (elastische) energiehoeveelheid
.
die dan bij ontlasten vrijkomt, maximaal en constant dWged.verand (= onafhankelijk van het oprekpercentage). Deze energie wordt voorgesteld door het oppervlak onder de ontlastingslijn van de veerkarakteristiek (zie bijlage 11). Dit oppervlak is -grof benaderd- een driehoek met basis A l P-l _ n s_ + __ en hoogte P. ~~~~~
~
Er geldt dus benaderd: - 1
dWged.ver.maxof: constante
=
'*
'lelast
Al elast *
Y
P
P
als de belasting P toeneemt, neemt de elastische rek af. Op
deze manier is de elastische terugvering niet exact te berekenen. Oorzaak: a. Het oppervlak onder de ontiastkigscüïve v m de veerkarakteristiek is geen driehoek. b. Na wegnemen van de belasting is de veer niet spanningsloos. Er werkt dan nog een uitwendig moment MO van on-
bekende grootte op de veer.
~~~~
_
_
21.
.
De hoek, waaronder de rechte P . R =
**leiast loopt, is te
voorspellen m.b.v. de betrekking: I
--
PR
"el ast
Gd4
1
1 6nDo2
'
-I.
2 GIP sin E o EI cos
5,
Deze relatie is gecontroleerd aan de hand van proefresultaten van schroefveren van verschillende geometrie. De grenzen van toepasbaarheid van deze betrekking
-
ook voor de beperkingen van andere formules
-
en dat geldt
zijn nu nog niet
te geven. Deze grenzen zullen pas vastgesteld kunnen worden als een verklaring voor de diverse gedragingen gevonden is.
Bepaling van de maximale elastische terugvering We weten nu dat Alelast toeneemt met P
K
A 1 elast
R totdat P
*
mäx
R= maximaal.
Daarna neemt 1' elast weer af. Hieruit volgt dat Al elast ergens een maximum heeft, en wel daar, waar P A R voor het eerst zijn maximale waarde bereikt. We kunnen Alelast vinden door de uitdrukking
1
te vermenigvuldigen met P
P.R/
Rmax
'leiast G.1
'leiast
max
=
2
16 n Do
G d
COS
Eo
-i.
p EI
sin25, ti ^ / . cos
1
4
O
G.I
2 - 27rlo.6tmaX.D, (cos 5, + EI 'leiast
max 3Y-7
I
G.r a.
5 n
L
P
sin 5, cos
5O
27T 3 n
3 %lmc
.
22.
Wanneer is P s R maximaal? Hiervoor moet een aanname gedaan worden. Stel: a. De ontlastingslijn is een rechte b. na ontlasten is de veer spanningsloos
d.w.z. als P=o dan is ook M Dan geldt:
4
P.Alelast max
=
; P.
O
P
2.rr104~~ax00 (cos E o + E I 3v
G
waarin: 1 dW n. 1 dW
cos 5,
= l + v 3E
rdo
~~~
at2 .nel IT/^ d2. dW
= lengte draad in één winding.
. ~ r / 4d2
=
Volume draad in veer
E
-
G
2(
1-i =
=o
dW ged.verand.max. GI sin25
2
~~
O
i
1+v)
v
= dwarseontractieeoëff.
GI 1 P = = Q - -
0,3
1Y
EI
3
Hieruit volgt dat P + i R is constant
ldw. r3 atmax als
7% 1,155 : D
(cos E o +
1 1,3
2
sin 50 cos E,
)
Deze formule is aan de hand van enkele proefresultaten getoetst en blijkt redelijk goed te voorspellen (binnen 5% nauwkeurig).
23.
De maximale (elastische) hoeveelheid gedaante veranderingsenergie.
Stel dat men een veer heeft, die zich slechts plastisch laat vervormen. Om deze veer een (blijvende) verlenging O-E te geven moet een energie, gelijk aan het oppervlak O-A-B-E-O in deze veer gestopt worden. ~~~~~
~~~~
Stel nu, dat men nog een veer heeft, met dezelfde geometrie en dezelfde plastische eigenschappen, die wel elastisch kan vervormen. Om deze veer in ontlaste toestand dezelfde verlenging te laten hebben als de vorige veer; moet aan energie worden geleverd: opp. O-B-C-E-O. Nu is wel aan te voelen dat benaderd zal gelden, dat deze twee energieën ongeveer even groot zijn. DUS: Opp. O-A-B-E-O opp. O-A-B-O
opp O-B-C-E-O. CI
opp E-B-C-E.
Verder zien we dat opp E-B-C-E
opp E-D-C-E.
En we weten dat opp E-D-C-E overeenkomt met de (indien in onbelaste toestand geheel ontlast) maximale (elastische) hoeveelheid gedaanteveranderings energie. Dit gedachtenexperiment leert ons, dat het opp. in de grafiek op bijlage no I1 tussen de kromme P.R.=const en de veerkarakteristiek overeenkomt met de maximale hoeveelheid gedaanteveranderingsenergie. Verder leert dit experiment ons het volgende; Waarop de karakteristiek de punten B en C ook genomen worden (eis: B op P.R.=constant),
het opp E-B-C-E moet gelijk zijn aan
opp.0-A-B-O. op? E-B-C-E i s dus constant (tenminste, als de veer na ontlas-
ten geen uitwendige krachten of momenten meer ondervindt). Dan is ook opp E-D-C-E gelijk aan de beide anderen en constant.
Dus het opp. onder de ontlastingskromme is de helft van het opp E-D-C-B-E. Dit is steeds zo, als B op P.R.=constant.
24.
Hierdoor is mooi te zien dat de ontlastingscurve onder de geldende voorwaarden geen rechte kán z $n. De ontlastingscurve zou alleen dán eventueel een rechte kunnen zijn als de elastische terugvering omgekeerd evenredig afnam met de kracht P.
Samenvatting voorspellingsmethode veerkarakteristiek. 3Lb-LiLage VI is een veerkarakteristiek getekend waarbij ook de diverse relaties zijn gegeven waarmee e.e.a. redelijk is te voorspellen. (binnen bepaalde grenzen).
Bij een matras is van belang de verplaatsing loodrecht op het e-l-astinpok-f-oodreehtvlakder veren d-Fe-dmor-rren-b-epaaFdcb ~
op het vlak der veren, wordt verkregen. Hoe kleiner dezeverplaatsing is, hoe beter is de matras (in eerste instantie). In het hiervolgende wordt, met behoud van de kwaliteit van de matras, het benodigde veermateriaal geminimaliseerd. Laten we voor het gemak aannemen dat de stijfheid van de matras loodrecht op het vlak der veren evenredig is met de voorspanning van de schroefveren. Dan moet deze voorspanning dezeifde biijven ais nu bij de huidige matrassen. Eis:
=
105 N/cm.
I _
in breedte-richting van de matras Stel: Door het voorspannen van de trekveren zijn we terechtge-
I__
komen in het deel der veerkarakteristiek waar geldt: PX
R= constant=
Mw piast max.
Onder deze voorwaarden zal bepaald worden hoeveel materiaal nodig is om een oppervlakte eenheid matras op te spannen als van de veerdraad: a. de diameter d en de trekspanning crtmax bekend is b. de diameter d en de trekspanning o tmax nog v r i j te kiezen zijn.
25.
Optimaliseren bij gegeven d en otmax
d
Stel
Voorbeeld :
.
= 0,085 cm
o tmax
=
90.000 N/cm2
De matras wordt gevormd door in elkaar gevloehten enkele schroefver en 2n
Voorspanning = 105 N/cm =
p
- Mwpiast max
D-d
R(D-d)
3-~3r"
I zL
'
z D2
- 4
öt max Dd
3 . 0,0425 .90000 i v3 2Tr
+ 105
=
1 D2 - 0,0425 D -
105D2 - 8,92 D
15,9
= 0
D = 8,92 + l/s,922 + 4.105.15,9' 210
= o,445
rekpercentage 100 x. De veer in onbelaste toestand heeft een diameter Dn " en een spoed a9 , Als deze veer opgerekt is, is de diameter D = 0,445 cm en de spoed a
= (
l+x) a o .
De lengte van de draad n.y is constant gebleven.
(TD,)~ + a2 = 1,96 + a: O
x2 + 2x
=
(ITD~) - ~1,96 2
__
x =
-2 + 2
2 (1+2x +x )
26.
Volume d r a a d n o d i g om 1 m2 matras op t e spannen: Aantal v e r e n
x
l e n g t e draad/
veer
x Opp. draad
t. a2
1 O0
_ I
D-d
- 1O0
x.
x,rr
100 y
'74
0,445-0,085
= 50
J2
Y
-
Y 1,96'
2 cm
. 0,085 2
(y2 > 1 , 9 6 )
~~
_ _ _ _ _ ___ ~ ~
~~
~
{my
Deze h o e v e e l h e i d materiaal wordt minder, a l s y g r o t e r w o r d t , dus, daar
Y =
als
Do of
aLog r o t e r
wordt genomen.
g I d . = y , g r o t e r genomen wordt,
Maar a l s d e d r a a d l e n g t e p e r
W
wordt ook d e spoed i n o p g e r e k t e t o e s t a n d g r o t e r .
Dan gaan d e v e r e n meer en meer op r e c h t e draden l i j k e n . Maar dan v e r d w i j n t ook h e t verband i n d w a r s r i c h t i n g van de v e r e n o n d e r l i n g . en daardoor z a l d e k w a l i t e i t van de matras w a a r s c h i j n l i j k t o c h teruguitgaan.
W i j kunnen aan d e hand van bovenstaande formules h e t verband s c h e t sen van d e benodigde h o e v e e l h e i d materiaal a l s f u n c t i e v a n de
maximaal optredende spoed
a
(of de spoedhoek E ) .
Z i e voor deze g r a f i e k b i j l a g e T .
Hoe g r o t e r de maximaal t o e l a a t b a r e spoed (hoek) i s , hoe mrnder;ma-
t e r i a a l er n o d i g is.
~~~~~
27.
Stelt men met het oog op het verband in dwarsrichting van de veren een maximale spoed (hoek) vast, dan volgt uit de grafiek hoeveel materiaal nodig is om 9 m2 matras op te vSllen. Dan is dus de grootheid y bekend.
Als DO aangenomen wordt volgt nu a. en omgekeerd. Maar: de geometrie van de veer in onvervormde toestand moet dusdanig genomen worden dat de veren bij oprekking ook inderdaad in gebied
I11 van
de trekkromme zitten. Hieruit volgt de volgende eis: -€n-hemo o r b ee - l h oe w & e % P veer
= 105 x
~~
(D - d) 3 P op grens gebieden
I1
en
I11 van
de veer-
karakteristiek.
-
105 .(0,445
0,085) >,
Idw r3 otmâx 1
2 sin Co 2 Do (cos 50 waarin :
DO
+
1 1, 3
cos 5,
) >/ 0,159
+c
Idw
in cm
ldw in cm
Optimaliseren met variaties in d en ot max
.
Ook hier zijn de aannamen: De stijfheid van een matras wordt bepaald
door de voorspanning in lengterichting der veren, En: Door de gebezigde voorspanning zijn we met de veerkarakteristiek terchtgekomen in gebied
111,
waar P.R. = constant
Mwplast max. Eis: De voorspanning van de veren i s 105 N/cm.
Voorspanning
= 105 =
P.X.
R (D-d)
-
=
2-n 3 v 3
d3 *=.at LJ
JD (D
- d)
max
28.
-
D2
4Tr
dD =
d +
3
r/3
105.8.3
Otmax
= 2,88.10-3
d3 o t
max
1 / d 2 + 4.2,88.10 -3 d 3 oernix
D = 2
w a a r i n : D; r e n d i n cm; o t i n N/cm max
2
.
Z o a l s a l i s a f g e l e i d i s d e oprekking
2 Volume d r a a d p e r m matras: x l e n g t e draadjveer
V = a a n t a l veren I O0 D-d
+Volume
X
V = 2500
~r
x
1 O0
D-d
M.a.w.:
volume
b/
=
x
( 1+ x b o Y
d2
n opp.draad
Y
* 7JJz(,D>T
v ( y v d , o tmax )
T r 2 -d
4
29.
De optimale draaddiameter d volgt uit:
-d -v
en
- o
d2 > -
o
d d2
d d
=P
d otmax '
1 + 1,15
j2 = o
a
-.2Y
waarin Z =
+
1 ,15. 10-2.Z.ot max .2y
Stel:
T
2
x
2
x
b Z - -1
z2
-2 1,15.10
=
1 2 --
a Z
~ _ _
x
otmax
+
+*=O
7 r z
x
y = b.
bZ3 + 2 ? r Z - 1 = 0
z
In deze vergelijking is b >> 27r. Dûûr s y n t h e t i s c h e cieiin,g ksn m m proheren een wortel van deze
derdegraads vergelijking te vinden. 1 (benaderd). Deze wortel Z1 =
-b
Dan is de draaddiameter d
= 2Zy
=
Li
IT
d
opt
-
2Y -3 .2.1,15.10 o t .y max Li
1
N
T
2
-2 .1,15.10
Otmax
Hieruit volgt voor normale waarden van de maximale trekspanning een draaddiameter d in de orde van grootte van 0,Ol mm.
Maar: als de diameter d kleiner Wordt, wordt ook de windingsdiameter D kleiner. Bij de berekeningen i s aangenomen dat D > d; opt zelfs dat D 3 2d. Hieruit volgt een minimale diameter d: D
ld
(1
+
1 +
=
2d.
1/1+1,15.10 -2. d.ot
'
max
1,15.10-2
d.ot max
1 ~ 5 .
d.ot max
= 2d
De onder de geldende voorwaarden optredende trekspanning in het veermateriaal is dan:
Wat betreft dit aspect van de begrenzing der theorie i s er dus geen probleem, Daar nu nog te weinig bekend is over de begrenzingen van de in dit verslag gegeven formules wordt de conclusie: Naarmate men de draaddiameter kleiner neemt, heeft men minder draadvolume nodig om een matras te vullen. Wat betreft een verandering in treksterkte otmax: hierdoor verandert d
rriir,
:
31.
a l s otmax g r o t e r wordt dan wordt dmin k l e i n e r . H e t benodigde volume draad wordt dan minder. En: A l s atmax g r o t e r wordt, wordt ook P.R max g r o t e r : omeenzelfde spanning p e r cm. b r e e d t e t e k r i j g e n kan d e windings-
straal v a n d e veer g r o t e r genomen worden
+ minder
v e r e n nodig.
Hieruit volgt:
Naarmate men materiaal g e b r u i k t met een hogere t r e k s t e r k t e , h e e f t men minder materiaal nodig om een b e p a a l d e matras op t e spannen.
32.
Resultaten van proefnemingen met complete matrassen. Wij hebben twee matrassen berekend met de hiervoor beschreven theorie, die volgens deze theorie eenzelfde stijfheid zouden bezitten als de huidige matras. De twee berekende matrassen zijn vervaardigd en getest. Berekening nieuwe matrassen: Zoals reeds werd gegeven is bij de huidige matrassen de voor-
spanning in lengterichting van de schroefveren 105 N/cm. Deze waarde geldt voor matrassen met de volgende parameters: d = 0,085 cm.
draaddiameter
windingsdiameter Do= 0,715 cm. a = 1,2
spoed
o
cm.
40%
oprekpercentage
gevlochten met dubbele schroefveren en zonder verstevigingen (= banen met vierdubbel gevlochten schroefveren).
Voor de berekening van de nieuwe matrassen zijn wij uitgegaan van (in onvervormde toestand) windingsdiameter Do
=
0,565 cm met spoed
diameter Do
=
3
O
= 1 ,O8
0,715 cm en spoed
cm ....( 1) en van een windings-
go = 1,2
em. ..(2).
De reden voor het kiezen van deze uitgangsgegevens was, dat de gereedschappen, nodig om deze schroefveren ze viechten, ai in het bedrijf aanwezig waren. Beide matrassen worden samengesteld uit enkele schroefveren en zonder verstevigingen. De draaddiameter d = 0,085 mm. Berekening: Als de maximale treksterkte van het veerdraadmateriaal 2 Otrnax = 90000 N/cm , dan wordt voor beide matrassen de windingsdiameter in vervormde toestand D = 0,445 cm (zie hoofdstuk 11
optimaliseren bij gegeven ot en d.). max Het oprekpercentage wordt dan:
Voor matras
(1):
x =
-1
3,15-1,96
+
=
1,16
O
+ oprekpercentage =
100 x = 43%.
0,43
33.
Voor matras (2): x =
-it
-
vi+5905
'Yg6
= 0,78
1,44
+ oprekpercentage =
1 O O x = 78%.
De spoed A in opgerekte toestand wordt: Voor matras ( i )
:
a
=
(i+x) a.
=
i,43.1,08
Voor matras (2)
:
a
= 1,78.1,2
=
2,14 cm.
=
1,54 cm
Nu is nog een controle nodig. Bij het opstellen van de gebruikte betrekkingen is er n.1. vanuit gegaan dat de schroefveren zover worden opgerekt, dat de maximale waarde van P x R wordt bereikt, zodat moet gelden: 2
Do 2
(COS
5,
+
sin 1,3 cos 5,
) 3 0,i59&1dw
matras i :
0,351 2
0,332
klopt.
matras 2 :
0,545 3
0,404
klopt.
De matrassen die nu zijn berekend, zijn ook gemaakt en getest. Voor deze testresultaten zie bijlage n o m .
Als door alle meetpunten bn de grafiek een vloeiende lijn is getrokken, dan blijkt dat de sEijfheid van d e twee berekerlde matrassen inderdaad niet: veel afwijkt van de stijfheid va= d e huidige matras.
Kostprijs van de matras, Hoewel de stijfheid van de nieuwe matrassen ongeveer gelijk is aan de stijfheid van de huidige matras, wordt deze stijfheid bereikt met minder materiaal. Een indicatie hiervoor is het volgende: De kostprijs (materiaalkosten en vlechtkosten) van het net (is de schroefveren) van matras no.1 is 29% lager dan de theoretisch berekende kostprijs van de huidige matras. De kosprijs van het net van matras 2 is 34% lager dan de kostprijs van de huidige matras.
34.
Opm. De hier berekende matrassen hebben dezelfde stijfheid als en kosten minder dan de huidige matras. Het is met behulp van het voorgaande echter ook mogelijk, om een matras te berekenen die stijver is dan de huidige en toch niet meer kost.
p~~~
voor een vlakspanningstoestand:
---plpppApp cl
+Ell
OY
Wij passen deze relaties toe op een stukje dz-dy van de matras. is spoed v/d veren dxmin is de afstand tussen de dymin veren (3-d)
.
Als ay=O geldt:
35
Deze waarden kunnen benaderd worden door te stellen: a. de veren zijn opgerekt tot in gebied
I11 van
de veerkarakteristiek.
b. de ontlastingscurve is een rechte c. het oppervlak onder deze ontlastingscurve stelt de maximale elastische vormveranderingsenergie voor. Dan geldt:
.
w - 1 x $x P* - V7-"ged
E,=- O x = P
Ex
*
n.ldw cos5
.verand.max
Voor de gebruikte symbolen: zie figuur.
~~~~
~
=P en evenzo:
=P
L cos 5O
(cos 5
- cos 5,)
1
36.
Benadering E
Y
.
Denk e e n s c h r o e f v e e r t e z i j n opgebouwd u i t h a l v e c i r k e l b o g e n .
~ / C O S
Dan g e l d t :
(zie J.P.
:e
2
2EI
fb
* ( -1 + T
R+
1
1
3~r-8
)-9
1+1.i
den Hartog S t e r k t e l e e r b l z . 1 3 7 e . v . )
6
Y = %Y
p/ a fb/2R+- d
-
,
-
4c o s 5 . 2EI
a
I
4
1
(-9 T
1
.
(]+u) ( 3 ~ - 8 )
)
*
R+
Deze methode h e e f t v e e l zwakke punten. Maar b i j gebrek a a n e e n betere met‘riüde v d g t :
E
Y
=-
R+ 3
(
1 T
+
1 -
3~-8’ 1
1
+
~i
) (2 R + -
d)
cos
54-
a
Een manier om d e v i e r d e materiaal e i g e n s c h a p G t e b e p a l e n i s nog n i e t gevonden. Z o a l s z a l b l i j k e n i s d e z e waarde ook n i e t n o d i g .
L
(2R’
-
d)
37.
Afleiding differentiaalvergelijking.
Up een membraandeeitje dx-dy
Kunnen de spanningen weïken a l s
. .
a;aEgegeven in d e f i g ~ ~ rN.a d e f a r m a t i e v2ri h e t xexbraarr 1 s n e t d e e l t j e dx-dy g e z a k t o v e r e e n a f s t a n d W en maken d e z i j d e n een hoek met de x- en y as v a n r e s p .
@ en
0
radialen.
I n vervormde t o e s t a n d werken op h e t d e e l t j e de spanningen NX' en N NyS Nxy YX' D e p r o j e c t i e s van deze spanningen op h e t x-y v l a k z i j n r e s p .
- - -
Nx* Ny, Nxyy
N dx Y
=
en Ñ
dx Ny cos 8!
YX y
cos
zodat g e l d t :
e
"y
-
- y
cos e a
38
NxY d y = Nxy
dy cos e cos e
=D
FXY=
Nxy
Uit de evenwichtsbetrekkingen voor het onvervormde membraandeeltje volgt:
-
C
krachten in x- richting
C
krachten in y- richting =
C
momenten in x-y vlak
a Ñx + aNyx
= o =p
a
Ñy
=%y-
O
-
a ( ax
Nx- dy cos
a -
+ 3y (Ny
e
= o
cos 4 ) +
a ax
dx sin e > + LU3
y
:
aNxy +ax
= o
......
= o
......
(1)
a
=P Nxy'= Nyx
( x y
dy Gz-ê
sin
a e) + ay
- sin 4
( ~ y x dx cos 4
= 0
p_(x,Y> Y
We bezien nu de matras, opgebouwd uit in elkaar gevlochten schroefveren.
1'
Gezien de constructie van dit 11
membraan" 1i3 kt het aannemelijk
dat de spanningen sxy
en Ñyx veel
J
kleiner zijn dan de spanningen
-
I
Nx en Ñy. Als we nu ook nog veron-
x
-
derstellen dat aÑxy en ax dan Worden
aÑyx << ay
1
I
39.
vergelijking
(1)
en (2) :
-
aÑx
= ax
O
aÑy = o ay
-9-
zp ÑX = %(y)
*;y=
d.w.z. dat Ñx slechts een functie is van y.
Ny (x)
De diff.vg1. is hiermee geworden:
of,geschreven met andere symbolen:
Voor dit type diff,vgl. zijn oplossingen te vinden m.b.v.
variatie-principes. De bij de diff.vg1. behorende randvoorwaarden zijn: op
deel s 1 van de rand:
Q,
=
Q,O
(X,Y).
M.a.w. op de rand is Óf de waarde van Q, voorgeschreven, Óf de waarde van
-.aQ, an
Het geschikt maken van de diff.vg1. voor het gebruik van de elementenmethode.
-
In plaats van door de hiervoor gegeven diff.vg1. met de bijbehorende randvoorwaarden, kan het probleem ook beschreven worden door middel van de bewering dat de functionaal (form.(3))
sta-
tionair is voor bepaalde variaties van de gezochte functie.
~~
~
Neem @ zodanig dat geldt:-@
= @
O
(x,y) op deel s p van de-rand.
-
~~~
Als nu 6 I = o gesteld wordt voor alle toelaatbare variaties van 4 +, dan volgt hieruit de oplossing van het probleem. Voor het rekenen met de elementen-methode moet het gebied G verdeeld worden in elementen. Gekozen is voor een element in de vorm van een driehoek met drie knooppunten. (zie figuur).
Het Gerloop van 4 over een element wordt lineair genomen. Deze keuze vereenvoudigt het rekenwerk, terwijl een grote nauwkeurigheid toch bereikt kan worden (door een fijne elementenverdeling te nemen.)
+
k
= c
1
+ c2x + c3y waarin 4
k (xj)
= de waarde van
nen element k.
4 bin-
~
41.
of uit geschreven voor de knooppunten 1,2 en 3:
zodat:
waarbij A
=
opp.van element k
Z o a l s gesteld geldt:
dus: 1
I
L
x3-2
De functionaal I is te schrijven als: 9
z E = c 4
alle elementen
waarin:
Ik (9
42.
k S2
is dat deel van S2 dat tevens rand is van element k.
k (vaak zal dus S2 niet aanwezig zijn).
Op grond van de veronderstellingen 6ver 4
'k waarin $.:,=
de getransponeerde van
@
k
is (XYY)
en waarin g 1 en 8.2 con-
stanten zijn per element (zie blz 5 4 ) .
Matrix
iK is dus symmetrisch.
J Wij willen het programma de mogelijkheid geven om in elk element een f(x,y)
te laten heersen, die dan constant i s binnen dat element.
Dan wordt//
f(x,y) (9
A
k
dxdy
k
= f
.W
4lf
47
3
f43
,
A
43.
Waarin fk
is de waarde van f(x,y) binnen element k
en $i is de waarde van $ in knooppunt i en d
is
de oppervlakte van element k.
*
Y
Anders geschreven:
met
f(x,y) $k dxdy
Ok
=
fk
fk --k f fk
We hebben nu:
-Al s we nu dëwäärdën-van-$irral-l-ekm
oppnnten-van +e t-geb&e&
inclusief de randpunten, samenvoegen tot de vector
5 dan geldt:
P 'k k* Waarin determ f afkomstig is van de term $ f en de integraal k over S2 van alle elementen, zoals zal worden aangetoond. a
In het programma zal b kend moeten zijn tussen welke knooppunten deel sk 2 ligt. Hierbij is de volgorde van belang i.v.m. de richting van de normaa1.n. -
44.
D e knooppuntnummers i en
dienen zodanig i n g e l e z e n t e worden
d a t men, g e z i e n v a n u i t g e b i e d G, vanaf i naar r e c h t s moet gaan
om i n
i
t e komen. ( z i e f i g u u r l .
Ook moeten i n h e t programma(-) a+" J
an J_..
M e t deze afspraken g e l d t : e
n
n
Y
en
(%I
gegeven z i j n . J
x.-x.
=
j l c
k
w a a r i n c = a f s t a n d t u s s e n knooppunt i en j = S,. L
V e r d e r maken w i j d e keuze, d a t g , (y) -q .--33 -3 k vë?ïoop hebben op de rand S 2' Dan g e l d t :
, g , ( x ) q ( a n ) -&&-ee-&&ne&
-1
g2Ws = g 2 q
S
+
;{gz(x)j
- g2(x);j
-
w a a r i n s i s de a f s t a n d t u s s e n h e t bekeken punt en knooppunt i . z o d a t : i n knooppunt i:
i n knooppunt j:
s=o
s=c.
Verder g e l d t :
en :
3%
=
~YL .n an x
-
= yi
yj
c
Z o a l s a l e e r d e r werd gekozen, v e r l o o p t ook beschouwde gebied, z o d a t :
+
lineair over het
45.
Deze waarden g e s u b s t i t u e e r d i n d e i n t e g r a a l o v e r s;
s=o
+
1 12 g , ( y >
.L
geeft:
46
of, in vectornotatie
Genomen over de hele rand s2 van gebied G wordt de bijdrage van voornoemde integraal fY -
Zodat de functional wordt:
Nu moet voor alle toegelaten variaties van $ gelden dat:
=ai
1m
=
['
f $1,
1
go]
[
Hl1
1
HlO]
HO 0
[ "'I $0
-
[i1
a0
[
fl] fO
waarin (a-0 de voorgeschreven of onderdrukte waarden van $ bevat. g & = o . -Le
Daar van elk element de matrix Hk symmetrisch is, is ook de matrix H symmetrisch, zodat H10 = -
47.
o f , d a a r ook H I 1 en H
10
symmetrisch z i j n : v o o r a l l e 631
v o o r a l l e 631
~~
~
~
~-
~~
~~
-
~
~
D i t i s een l i n e a i r s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n d a t o p g e l o s t kan worden. N.B.:
de oplossing van d i t stelsel v e r g e l i j k i n g e n i s niet-exact,
-
omdat we n i e t a l l e t o e l a a t b a r e v a r i a t i e s van
+
hebben bekeken.
Gekozen i s v o o r een $ d i e l i n e a i r v e r l o o p t o v e r een element, en a l l e e n h i e r v a n z i j n d e t o e l a a t b a r e v a r i a t i e s bekeken.
~
~
_
_
_
48.
O
Korte bes,chrijvingvan het programma (n= O506 - 5243) Het programma is in staat om differentiaal vgl. op te lossen van het type
over een w&llekeurig gebied G .
Langs deel s 1 van de rand is de waarde van (p voorgeschreven Langs deel s2 van de rand is de afgeleide van (p in de richting van de narmaal voorgeschreven. Bij gebruik van het programma moet gebied G verdeeld worden in elementen. Wij hebben de volgende-keuzen gemaakt: a. De elementen zijn driehoeken met drie knooppunten (n.1. de hoekpunten van de driehoek). b. In elk element heeft de waarde van $I een lineair verloop. c. In elk knooppunt moet de waarde van g i (x,y) en gz(xyy) bekend zijn. Dit is iniheto~ragxammazo geregeld, dat alleen in dié .:zsknooppunten,mwaar gl(xyy) of g2 (x,y) niet gelijk is aan de in(vaak voorkomende) waarde 1, de waarden van g,(x,y) én g2(x3y) gelezen moeten worden. Het programma rekent met voor elk element de gemiddelde waasde van gl(xyy) en g2(xyy) in de knooppunten van dat element. d. Over elk element wordt de waarde van f(x,y) constant genomen-;Het zal vaak voorkomen dat bij een groot deel van de elementen de waarde van f(x,y) dezelfde is. Dan hoeft in het programma deze waarde slet-ts éénmaal ingevoerd te worden. Van alle elementen met een andere waarde van f$x,y) moet deze waarde dan weer wel ingevoerd worden. e. Van elk knooppunt kan de waarde van (p worden voorgeschreven of onderdrukt.
49.
f. Als men inplaats van een f(x,y) die constant is binnen een
element, een oneindig grote f(x,y) wil laten werken op een oneindig klein oppervlak, dan kan dat,mits de integraal van f (x,y) over dat oppervlak eindig is. De plaats van dat oppervlakje wordt dan aangegeven door eenknooppunt. g. In die randpunten waar de waarde van 4 nog niet is voorgeschreven of onderdrukt, kan men de waarde van de normale afgeleide van 4 uoorschrijven. Hiertoe moet men eerst invoeren hoeveel randstukken (= elementzijden aan de rand van gebied G) er zijn, die zich bevinden tussen twee randknooppunten waar men de waarde van de normaleafgeleide wil (en)voorschrijven. Stel: men wil in de knooppunten
a'
i, j en k de waarde % voorschrijven.
O
n= knooppunt i : de waarde van .?.k an in punt i; O in n= knooppunt j : de waarde van -a4 an
punt j.
Waarbij de normaal dezelfde richting heeft ais de normaal op lijnstuk 3 : en voor randstuk b: O
n knooppunt j ; de waarde van @in O
punt j ;
n knooppunt k; de waarde van an in punt k,
u am
Waarbij de normaal dezelfde richting heeft als de normaal
OP
lijnstuk b.
a4 h. De waarde van -over een randstuk verloopt lineair. aw i. Op dié randstukken waar de waarde van an is vrijgelaten en
ace
d i e begreïìsd worden dûor twee rzndkmqpmten waarvari de
waarde van
@
a34 an de waarde
is vrijgelaten, neemt het programma voor o.
Opmerking: wat er gebeurt als in een randknooppunt, dat gelegen is tussen twee randknooppunten waarvan de 4 is voorgeschreven, niets wordt voorgeschreveE, zal nog worden uitgezocht.
50.
Beschrijving werkwijze berekening matras. De stijfheid van een matras wordt niet alleen bepaald door de mechanische eigenschappen van het veld van veren, maar ook van de mechanische eigenschappen van de constructie waartussen deze veren zitten opgespannen. Wij denken het probleem langs de volgende weg tot een oplossing te brengen. Kies voor het "membraan" een belastingstoestand en kies de benodigde randvoorwaarden. Nu berekent het programma de vormverandering van het membraan, maar zó, dat alle knooppunten slechts verplaatsen loodrecht op het vlak van hetkmembraan. Om de koppeling tussen membraan en omringende constructie te verkrijgen moeten we nu de verplaatsingen van de randen van het membraan zien te benaderen. 1
Dit kan als volgt gebeuren: ~
~~~~
~~
~~
~
~~~~
~~
~
~~
~ ~
~~~
Het membraandeeltje dx-dy komt na vervorming van het membraan volgens het programma terecht als aangegeven in de figuur. Hierdoor heeft de zijde met lengte dx een lengte gekregen du van en zijde met Leiigte cos @ il-d is nu x--- Yiang. Y e -2-
r
Het materiaal heeft dus een rek E X
= (
1
-i) cos @ Deze rekken zullen in werkelijkheid niet optreden. -
en E
y
=
1 (cos
e
-3). '
Wij zullen nu de werkelijk opgetreden rekken benaderen. DaartOe benaderen wij eerst de spanning in x-richting op het vervormde membraanelement, Oa:
- gl(y) en cos @
-
O X
spanning o
Y
door: door
O
y
=
8.2 (5)cos e
Deze spanningen waren in onvervormde toestand resp. g,(y) de toename van de spanningen is:
en g,(x),
zodat
51.
Deze spanningsveranderingen veroorzaken -2 rekken in het materiaal. Laten we aannemen dat deze rekken elastisch zijn. Dan kunnen wij schrijven: g
=-
1
n o X
+a o Ell Y
waarin de waarden van Ex ~
~~~
, EY
en E'* bekend zijn.
De nieuwe afmetingen van het membraan deeltje zijn nu: dx( 1 +
1
+
E
cos 4 en dy ( 1 +
E
) cos
)
geprojecteerd op het x dx(1 +
en dy (
-
Y
~
~~
>,
y vlak:
E ~ )
Y
e-
A l s de benaderingen die we hebben moeten invoeren enigszins rede-
rijk zijn, dan zuiien deze geprojecteerde afmetingen kleiner z i j n dan de oorspronkelijke afmetingen. e
dx
I
A l s we nu (zie figuur) vanuit
een punt met bekende zakking
Wo gaan terugrekenen met van elk element de nieuwe lengte en de hoek 4 (of
e),
dan hou-
den wij aan de randen van het membraan een zakking w en een verplaatsing u (of v) over. De krachten die op de randen van het "membraan" werken worden geleverd door het frame. Ook het frame zal daarom van vorm veranderen. Bereken deze vormverandering m.b.v. een elementenmethode programa. Dan zal blijken dat overeenkomstige (gekoppelde) verplaatsingen van het frame en van de membraanrand niet gelijk zijn.
52.
Dit geeft ons de mogelijkheid de hele berekening nogmaals te maken, nu echter met andere beginvoorwaarden, om zo dichter bij de exacte oplossing te komen.
r
invoergegevens
membraan pr ogramma
-
pr ogramma ter bepaling + verplaatsing randen membraan
~
pr ogramma ter berekening v.h.frame.
*
b
vervaardigen van nieuwe ~~~~
J
*
~
Onderwerpen die nader onderzocht kunnen worden: a. Het in dit verslag gestelde over het moment P x R dat constant ~~
~~~
~~
~
zou worden in het volledig plastische gebied, vraagt om een ~-
~
~
-~
- -~
~
~-~
-
s-lmkterrd e-verksaringr(aJ+han s-een-gheaxi
welk gebied in goede benadering P
* Rmax
-~
~
e-d-&-aan
=
geeftLn .geMw piast max ”
steld mag worden). Om
hierover nadere informatie te verkrijgen zal een nauwkeurige
berekening , met als achtergrond bekende p 1asticit eit s-theori e& moeten worden uitgevoerd. Zulk een berekening zal veel tijd kosten, terwijl het nog niet zeker is of wel een oplossing gevonden kan worden. b. In dit verslag is een poging beschreven om de veerkarakteristiek van schroefveren, waarvan de einden niet kunnen verdraaien, te bepalen. Daarvoor is onder andere een grafiek getekend (zie bijlage 111) waarin de maximale combinaties van buiging en wringing in de veerdraad zijn aangegeven. Dit deel van het verrichte onderzoek is ook te gebruiken voor het voorspellen van de veerkarakteristiek van schroefveren waarvan de einden vrij kunnen verdraaien. Bij het voorspellen van deze karakteristiek zal de geometrie van de veer de grootste moeilijkheden opleveren. Immers: het aantal windingen van de veer is dan niet meer constant zodat de windingsdiameter en de spoed niet meer eenvoudig in de verlenging (of de spoedhoek) uit te drukken zijn.
53.
c. In dit verslag is aangegeven, hoe het stelsel van in elkaar gevlochten schroefveren, opgevat kan worden als een membraan met bepaalde elastische eigenschappen. Deze eigenschappen ( E
E en E x’ Y
11)
zijn in dit verslag
slechts ruw geschat.
Als nodig mocht blijken dat deze eigenschappen beter bepaald moeten worden, moet de vorm van de ontlastingscurve berekend worden. De moeilijkheid hierbij is het moment Mo waarvan de grootte niet bekend is (als de trekkracht P nul i s ) .
B i j l a g e i.
I
Aan kop-
i i
en v o e t e i n d e wordt de matras ingeklemd. I ,
* I
De matras i s op d r i e p l a a t s e n aan d e z i j l e g g e r s gekoppeld. -
D a a r t o e i s door een d e r b u i t e n s t e s c h r o e f v e r e n een d r a a d ges t o k e n , -d-ie-door--middel
van-haakj es a a n d e -z-i<-ligger--%s verbonden,
~~
I
. .
...
.
.~
..
~
