Státní závěrečné zkoušky FEL ČVUT Okruhy pro obor ESD
Leoš Junek Praha 2006
Státní závěrečné zkoušky (dále jen SZZ) a obhajoba bakalářských prací na Fakultě elektrotechnické Českého vysokého učení technického v Praze (dále jen FEL ČVUT n. FEL) patří ke standardnímu ukončení bakalářské etapy studia. Tyto okruhy se týkají studijního programu Elektrotechnika a informatika, strukturovaný, Bakalářský, oboru Elektronika a sdělovací technika a studentů, kteří SZZ tohoto studijního programu a oboru skládají v září 2006. URL stránek FEL je http://www.fel.cvut.cz. Pro účely dalšího textu bude tato stránka považována za domovskou a v dále uváděných URL bude tato adresa nahrazena symbolem ∼. Tématické okruhy k výše uvedeným SZZ byly během měsíců leden – srpen 2006 ke stažení na stránkách FEL na URL = ∼/education/tematickeokruhy.html. Jednalo se o následující dva soubory s okruhy: – Společné tématické okruhy (URL = ∼/education/okruhy/Tema BSP spol.doc) – Odborné tém. okruhy oboru EST (URL = ∼/education/okruhy/Tema BSP EST.doc) Obsah uvedených souborů je součástí této práce. Na společném vypracování těchto okruhů se dohodli: Leoš Junek, Lukáš Pravda, Jiří Valnoha.
c Leoš Junek, 2006 Copyright ° Práce byla vytvořena pomocí programu TEX a implementace do československého prostředí CSTEX. Hlavním souborem při tomto zpracování byl modifikovaný soubor t.tex od RNDr. Petra Olšáka stažený 31.7.2006 z URL = ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/tst/t.tex.
Obsah 1. Společné tématické okruhy
7
2. Odborné tématické okruhy
9
1. Řešení soustav lineárních rovnic, Gaussův eliminační algoritmus. Vektorový prostor
13
řešení homogenní soustavy. Lineární závislost a nezávislost vektorů, báze vektorového prostoru. 1.1 Řešení soustav lineárních rovnic
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Gaussův eliminační algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Vektorový prostor řešení homogenní soustavy. 1.4 Lineární závislost a nezávislost vektorů 1.5 Báze vektorového prostoru
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Posloupnosti reálných a komplexních čísel. Vztah omezenosti a konvergence po-
25
sloupnosti. Číselné řady, kritéria pro absolutní konvergenci.
3.1 Výběr základních pojmů matematické analýzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Posloupnosti reálných čísel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Vztah omezenosti a konvergence posloupnosti reálných čísel 3.4 Posloupnosti komplexních čísel
. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Číselné řady, kritéria pro absolutní konvergenci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu. Metoda separace proměnných. Lineární rov-
39
nice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Variace konstant a metoda odhadu. Využití Laplaceovy transformace pro řešení soustavy diferenciálních rovnic. 7.1 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.2 Metoda separace proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.3 Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.4 Variace konstant a metoda odhadu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.5 Využití Laplaceovy transformace pro řešení soustavy diferenciálních rovnic 11. Harmonický ustálený stav, fázory napětí a proudu, komplexní imitance.
. . . . 62 67
11.1 Harmonický ustálený stav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3
11.2 Fázory napětí a proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 11.3 Komplexní imitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 16.
Základní vlastnosti polovodičů, elektronika číslicových obvodů. Přechod PN, bipo-
73
lární tranzistory PNP a NPN, unipolární tranzistory JFET, MOSFET. Struktury hradel, charakteristiky, parametry. Spojení více hradel. Budiče sběrnic. Klopné obvody, paměťové buňky SRAM, DRAM, EPROM, EEPROM, FLASH. 16.1 Základní vlastnosti polovodičů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 16.2 Elektronika číslicových obvodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 16.3 Přechod PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 16.4 Bipolární tranzistory NPN a PNP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 16.5 Unipolární tranzistor JFET
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
16.6 Unipolární tranzistor MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 16.7 Struktury hradel, charakteristiky, parametry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
16.8 Spojení více hradel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 16.9 Budiče sběrnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 16.10 Klopné obvody
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
16.11 Paměťové buňky SRAM, DRAM, EPROM, EEPROM, FLASH 17.
. . . . . . . . . . . . . . 93
Algoritmus a jeho vlastnosti, způsoby vyjádření algoritmů. Proměnná, výrazy,
97
řídící struktury, procedury, funkce, iterační a rekurzivní výpočty. Textové a binární soubory, 17.1 Algoritmus a jeho vlastnosti, způsoby vyjádření algoritmů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 17.2 Proměnná, výrazy, řídící struktury
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
17.3 Procedury, funkce, iterační a rekurzivní výpočty
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
17.4 Textové a binární soubory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 17.5 Ukazatele, statické a dynamické datové struktury
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
23. Aktivní polovodičové součástky — BJT, JFET, MOSFET, MESFET — struktury,
103
vlastnosti, aplikace.
23.1 BJT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 23.2 JFET
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
23.3 MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 23.4 MESFET
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4
27.
Použití z-transformace a Laplaceovy transformace. Přenosová funkce analogového
111
a diskrétního obvodu.
27.1 Použití z-transformace a Laplaceovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 27.2 Přenosová funkce analogového a diskrétního obvodu 28.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Charakteristiky dvojbranu, LC, RC a číslicové filtry, syntéza filtru, diskrétní ana-
117
logový filtr — spínané obvody.
28.1 Charakteristiky dvojbranu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
28.2 LC filtry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 28.3 RC filtry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 28.4 Syntéza filtru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 28.5 Číslicové filtry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 28.6 Diskrétní analogový filtr
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
28.7 Spínané obvody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 33.
Multiplexory, převodníky kódu, čítače, registry, posuvné registry, polovodičové pa-
133
měti, rozdělení, vlastnosti, organizace. Detekce a lokalizace poruch u kombinačních logických obvodů, způsoby generování úplných testů. 33.1 Multiplexory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
33.2 Převodníky kódu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 33.3 Čítače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 33.4 Posuvné registry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 33.5 Polovodičové paměti, rozdělení, vlastnosti, organizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 33.6 Detekce a lokalizace poruch u kombinačních logických obvodů
. . . . . . . . . . . . . . 137
33.7 Způsoby generování úplných testů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 34.
Elektromagnetické pole — statické, stacionární, nestacionární — zásady řešení v
143
jednoduchých geometrických strukturách, klasifikace prostředí (linearita, homogenita, disperze, anizotropie). 34.1 Elektrostatické pole
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
34.2 Stacionární proudové pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 34.3 Stacionární magnetické pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 34.4 Nestacionární elektromagnetické pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5
39.
Základní přehled vf a mikrovlnných měřicích prvků a přístrojů — vlastnosti a
161
použití, základy vysokofrekvenčních měření.
39.1 Přehled vf prvků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 39.2 Přehled vf přístrojů
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
39.3 Propojovací vedení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 39.4 Konektory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
39.5 Adaptéry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
39.6 Bezodrazové zátěže, zkraty, konce vedení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 39.7 Atenuátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 39.8 Směrový vazební člen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 39.9 Detektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 39.10 Směrový odporový můstek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
39.11 Rezonanční obvody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 39.12 Generátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 39.13 Měřiče výkonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 39.14 Měřiče frekvence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 39.15 Skalární analyzátory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
39.16 Vektorové analyzátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 39.17 Spektrální analyzátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 39.18 Základy vysokofrekvenčních měření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 40.
Signály, jejich vyjádření v časové a kmitočtové oblasti. Korelační funkce determi-
173
novaných a náhodných signálů a její aplikace. Vzorkování signálů a interpolace.
40.1 Signály a jejich základní charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 40.2 Korelační funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 40.3 Vzorkování signálů a interpolace 43.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Základy analogových a digitálních modulací. Principy zdrojového a kanálového
179
kódování.
43.1 Harmonické signály
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
43.2 Pojmy související s modulací
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
43.3 Klasifikace modulací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6
43.4 Amplitudové modulace
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
43.5 Úhlové modulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 43.6 Modulátory a demodulátory analogových modulací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 43.7 Diskrétní modulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 43.8 Principy zdrojového a kanálového kódování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7
8
1. Společné tématické okruhy Nadpis oficiálního dokumentu s těmito okruhy zní Tématické okruhy ke státní bakalářské zkoušce a podnadpis Teoretická část společná pro všechny bakalářské obory. Zde je uveden výčet okruhů doplněný o první písmeno příjmení studenta, který si daný okruh vzal na starost. Tedy [J]unek, [P]ravda, [V]alnoha. Okruhy jsou číslovány 1–20. 1. [J] Řešení soustav lineárních rovnic, Gaussův eliminační algoritmus. Vektorový prostor řešení homogenní soustavy. Lineární závislost a nezávislost vektorů, báze vektorového prostoru. 2. [P] Matice, základní operace s maticemi. Hodnost matice a Frobeniova věta o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic. Inverzní matice, determinant. Lineární zobrazení, jeho reprezentující matice v dané bázi. 3. [J] Posloupnosti reálných a komplexních čísel. Vztah omezenosti a konvergence posloupnosti. Číselné řady, kritéria pro absolutní konvergenci. 4. [V] Funkce jedné proměnné, limita a spojitost. Derivace, její vlastnosti a význam. Souvislost derivace sprůběhem funkce. Lokální a globální extrémy. 5. [P] Primitivní funkce, určitý integrál. Metody výpočtu: substituce a per partes. Užití a význam integrálu. 6. [V] Řady funkcí. Mocninná řada, poloměr konvergence. Rozvoj funkce v mocninnou řadu o daném středu. Fourierova řada, sinový kosinový a komplexní tvar. Periodické rozšíření funkce pomocí Fourierovy řady. 7. [J] Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu. Metoda separace proměnných. Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Variace konstant a metoda odhadu. Využití Laplaceovy transformace pro řešení soustavy diferenciálních rovnic. 8. [V] Mechanika — Newtonovy zákony, otáčivý pohyb, zákony zachování. Rychlost, zrychlení, hybnost, síla. Kinematika a dynamika hmotných bodů a tuhého tělesa. Pohybová rovnice a její řešení. Otáčivý pohyb (momenty sil, hybností, moment setrvačnosti). Práce a energie. Mechanické zákony zachování. 9. [P] Fyzikální pole — intenzita pole, potenciál, elektrické proudy. Pojem fyzikálního silového pole, popis pole pomocí intenzity a potenciálu; vztah mezi těmito veličinami. Gravitační pole a příklady jeho působení. Elektrické pole ve statickém případě. Stacionární elektrické pole. Elektrický proud a jeho hustota. Vedení elektřiny ve vodičích, kapalinách a plynech. Joulův zákon.
9
10. [P] Elektromagnetické pole a jeho energie, Maxwellovy rovnice. Maxwellovy rovnice vdiferenciálním a integrálním tvaru svysvětlením dílčích zákonů (Gaussova věta, Ampérův zákon, Biot-Savartův zákon) na jednoduchých geometrických příkladech elektromagnetických struktur) — nabité koule, vodič sproudem, vyzařování zotevřeného konce vedení. Síly a energie velektromagnetickém poli, hustota energie. Pohyb částic vsilových polích. Elektrické a magnetické vlastnosti látek. 11. [V] Elementy a analýza elektrických obvodů, rezistory, kapacitory, induktory, vázané induktory, obvodové rovnice — Kirchhoffovy zákony, smyčkové proudy, uzlová napětí. 12. [J] Harmonický ustálený stav, fázory napětí a proudu, komplexní imitance. 13. [V] Analýza přechodných jevů, impulsní a přechodová charakteristika, přechodný děj vobvodech prvého a vyšších řádů. 14. [P] Kmitočtové charakteristiky, souvislosti mezi časovou a kmitočtovou oblastí, amplitudové a fázové kmitočtové závislosti. 15. [V] Obvody s rozprostřenými parametry, bezeztrátové nekonečné vedení, vedení konečné délky, odrazy vln. 16. [J] Základní vlastnosti polovodičů, elektronika číslicových obvodů. Přechod PN, bipolární tranzistory PNP a NPN, unipolární tranzistory JFET, MOSFET. Struktury hradel, charakteristiky, parametry. Spojení více hradel. Budiče sběrnic. Klopné obvody, paměťové buňky SRAM, DRAM, EPROM, EEPROM, FLASH. 17. [J] Algoritmus a jeho vlastnosti, způsoby vyjádření algoritmů. Proměnná, výrazy, řídící struktury, procedury, funkce, iterační a rekurzivní výpočty. Textové a binární soubory, ukazatele, statické a dynamické datové struktury. 18. [P] Programovací jazyky: Syntaxe a sémantika, standardní datové typy, strukturované datové typy pole; funkce, a jejich parametry, procedury. Strukturované programování. Jazyk C; základní datové typy, koncepce jazyka. 19. [P] Objektově orientované programování, objekty, třídy, dědičnost, polymorfismus, výjimky. Jazyk Java, základní datové typy, koncepce jazyka. 20. [P] Programovací techniky: Abstraktní datový typ, jeho specifikace a implementace. Datový typ zásobník, fronta, tabulka, strom, seznam. Základní algoritmy řazení a vyhledávání. Složitost algoritmů.
10
2. Odborné tématické okruhy Nadpis oficiálního dokumentu s těmito okruhy zní Odborné tématické okruhy státní zkoušky bakalářského oboru Elektronika a sdělovací technika. Každý z okruhů je stejně jako v části 1. Společné tématické okruhy doplněn o první písmeno příjmení studenta, který si daný okruh vzal na starost. Číslování okruhů navazuje na společné tématické okruhy, proto jsou okruhy očíslovány 21–53. 21. [P] Polovodiče — základní pojmy, vlastnosti. Přechody, diody, jejich struktura, vlastnosti a aplikace. 22. [V] Základní polovodičové optoelektronické součástky — fotoodpor, fotodioda, svítivka, laserová dioda — struktury, vlastnosti, aplikace. 23. [J] Aktivní polovodičové součástky — BJT, JFET, MOSFET, MESFET — struktury, vlastnosti, aplikace. 24. [V] Silnoproudé spínací polovodičové součástky — tyristor, IGBT, GTO, triak — struktury, vlastnosti, aplikace. 25. [P] Vakuové elektronické součástky: zesilovací, optické, mikrovlnné, ochranné — princip činnosti, struktura, vlastnosti, aplikace. 26. [P] Modely vysokofrekvenčních a mikrovlnných polovodičových prvků a modely přenosových vedení. Algoritmy pro analýzu a optimalizaci vysokofrekvenčních a mikrovlnných obvodů. 27. [J] Použití z-transformace a Laplaceovy transformace. Přenosová funkce analogového a diskrétního obvodu. 28. [J] Charakteristiky dvojbranu, LC, RC a číslicové filtry, syntéza filtru, diskrétní analogový filtr — spínané obvody. 29. [V] Struktury elektronických obvodů, základní zesilovací stupně, kombinované stejnosměrně vázané stupně, reálné operační zesilovače. 30. [V] Operační zesilovače a jejich aplikace, parametry operačních zesilovačů, vlastnosti lineárních operačních sítí a sítí s nelineární zpětnou vazbou. 31. [V] Regenerativní obvody, oscilátory RC a LC, generátory impulsních signálů, bistabilní a monostabilní klopné obvody. 32. [P] Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. 11
33. [J] Multiplexory, převodníky kódu, čítače, registry, posuvné registry, polovodičové paměti, rozdělení, vlastnosti, organizace. Detekce a lokalizace poruch u kombinačních logických obvodů, způsoby generování úplných testů. 34. [J] Elektromagnetické pole — statické, stacionární, nestacionární — zásady řešení v jednoduchých geometrických strukturách, klasifikace prostředí (linearita, homogenita, disperze, anizotropie). 35. [P] Elektromagnetické vlny na vedení, příklady jednotlivých vedení (dvouvodičové, koaxiální, mikropáskové, štěrbinové), rozložení intenzit a základní charakteristiky (mezní kmitočty, útlum). 36. [V] Rovinná elektromagnetická vlna ve volném prostoru, odraz, lom, rozptyl — šíření vln v jednotlivých pásmech vatmosféře, radiokomunikační přenosový řetězec, bilance výkonů, pevný a mobilní spoj. 37. [V] Základy vyzařování elektromagnetických vln, přehled základních druhů antén a jejich základní parametry (vstupní impedance, směrový diagram, zisk) — liniové, plošné, reflektorové struktury, anténní řady. 38. [P] Základní vysokofrekvenční a mikrovlnné prvky (izolátor, cirkulátor) a obvody, jejich popis pomocí rozptylových prvků, Smithův diagram, postup přizpůsobování. 39. [J] Základní přehled vf a mikrovlnných měřicích prvků a přístrojů — vlastnosti a použití, základy vysokofrekvenčních měření. 40. [J] Signály, jejich vyjádření v časové a kmitočtové oblasti. Korelační funkce determinovaných a náhodných signálů a její aplikace. Vzorkování signálů a interpolace. 41. [P] Lineární časově invariantní soustava, systémová funkce. Spektrální reprezentace lineárních časově invariantních soustav, přenosová funkce. 42. [V] Měřicí přístroje a metody pro měření parametrů signálů v časové a kmitočtové oblasti. 43. [J] Základy analogových a digitálních modulací. Principy zdrojového a kanálového kódování. 44. [V] Základní koncepce rádiových vysílačů a přijímačů, softwarové rádio. Moderní radiokomunikační systémy: celulární telefony GSM, UMTS, družicové systémy 45. [J] Přenosová a modulační rychlost. Informační rychlost. Shannon — Hartleyův zákon. Propustnost kanálů. Entropie. 46. [J] Přenosové cesty a jejich charakteristiky (metalické, radiové, optické).
12
47. [P] Časové, kmitočtové a kódové dělení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí. 48. [V] Komunikační kanály a cesty. Komunikace na okruzích a paketová komunikace. Principy přenosových a spojovacích systémů. Pevné a mobilní rádiové služby. 49. [J] Signalizace v telekomunikačních sítích. Multiplexní principy a hierarchie. 50. [J] Státní správa telekomunikací. Standardizační organizace v telekomunikacích. Přenositelnost čísel. Zpřístupnění místního vedení. Univerzální služba. 51. [V] Pojem telekomunikační síť, Telekomunikační sítě — analogová, IDN, ISDN. Techniky spojování vtelekomunikačních sítích. 52. [P] Telefonní služby po pevné síti. Telefonní služby vmobilních sítích. Řízení telekomunikačních produktů. Služby přenosu dat. Trh telekomunikačních zařízení. Typická struktura telekomunikačního provozovatele. Podpůrné systémy (OSS/BSS, účtovací systémy) 53. [V] Liberalizace a státní regulace v telekomunikacích. Přehled síťových plánů, jejich role.
13
1. Řešení soustav lineárních rovnic, Gaussův eliminační algoritmus. Vektorový prostor řešení homogenní soustavy. Lineární závislost a nezávislost vektorů, báze vektorového prostoru. 1.1. Řešení soustav lineárních rovnic Lineární rovnice je rovnice, ve které se jedna nebo více neznámých vyskytuje v první mocnině. Soustava lineárních rovnic je jedna nebo (obvykle) více lineárních rovnic, které mají být splněny všechny současně. Když řešíme soustavu lineárních rovnic, hledáme řešení — hledáme taková reálná čísla, která po dosazení za neznámé v rovnicích splňují všechny rovnice současně. Takové řešení může pro danou soustavu existovat jediné, může jich být více nebo nemusí vůbec existovat. Metodu řešení rovnic si vysvětleme na jednoduchém příkladě soustavy dvou lineárních rovnic se dvěmi neznámými x a y: 3x − 2y = 8 −x+ y = −3 Soustavu můžeme řešit dvěmi způsoby známými ze SŠ: postupným dosazením, nebo násobením rovnic konstantami a vzájemným sčítáním rovnic. Metoda „postupného dosazeníÿ by mohla vypadat takto:
3x − 2y = 8 ⇒ 3(y + 3) − 2y = y + 9 = 8 ⇒ y = −1 −x+ y = −3 ⇒ x=y+3 ⇓ x = (−1) + 3 = 2, ale nemá s Gaussovou eliminační metodou moc společného. Pro rozsáhlejší soustavy (mnoho rovnic, mnoho neznámých) se nehodí. Zaměříme se proto na druhou metodu — „sčítání rovnicÿ. V této metodě měníme postupně soustavu rovnic na jinou soustavu se stejným řešením. Změny soustavy, které nemění řešení, jsou následující: (1) Prohození rovnic mezi sebou. (2) Vynásobení rovnice nenulovou konstantou. (3) Přičtení libovolného násobku nějaké rovnice k jiné. 15
Pomocí těchto úprav převedeme soustavu rovnic na jinou soustavu, ze které je již řešení snadno čitelné. Jednotlivé modifikace naší soustavy od sebe oddělujeme znakem „∼ÿ. 3x − 2y = 8 3x − 2y = 8 3x − 2y = 8 3x − 0y = 6 x= 2 ∼ ∼ ∼ ∼ −x+ y = −3 − 3x + 3y = − 9 0x + y = − 1 y = −1 y = −1 Nejprve jsme vynásobili druhou rovnici třema, pak jsme obě rovnice sečetli a výsledek napsali na místo druhé rovnice. Dále jsme druhou rovnici vynásobili dvěma a přičetli ji k první rovnici. Nakonec jsme první rovnici vynásobili číslem 1/3. Z poslední soustavy čteme přímo řešení.
1.2. Gaussův eliminační algoritmus Právě použitá metoda „sčítání rovnicÿ je shodná s Gaussovou eliminační metodou (GEM). Gaussova metoda navíc upřesňuje postup, jak rovnice násobit a sčítat mezi sebou, abychom se cíleně dobrali k výsledku a to i u rozsáhlých soustav mnoha rovnic s mnoha neznámými. Soustavy rovnic zapisujeme do matice, což je tabulka čísel obsahující koeficienty neznámých a hodnoty pravých stran rovnic. Námi řešená soustava měla v okamžiku zadání tento maticový zápis: µ
3 −2 8 −1 1 3
¶
V GEM operujeme s řádky matice stejným způsobem, jakým jsme operovali s rovnicemi v metodě „sčítání rovnicÿ. Úpravy, které nemění řešení soustavy jsou: (1) Prohození řádků matice mezi sebou. (2) Vynásobení řádku matice nenulovou konstantou. (3) Přičtení libovolného násobku jednoho řádku matice ke druhému. (4) Odstranění nulového řádku. Podstatou GEM je úprava matice soustavy na dolní trojúhelníkový tvar a posléze na horní trojúhelníkový tvar. Po úpravách zůstanou v matici nenulové pouze prvky na hlavní diagonále a (případně) pravé strany, z tohoto tvaru pak přímo čteme řešení soustavy. Postupnou eliminací dostáváme modifikované matice nové soustavy, ovšem se stejnou množinou řešení(!). Příklad 1. Řešme následující soustavu lineárních rovnic 6a + 2b 2a + b + c a − 3c 3a − c
− 10d = 2 − d = 4 + d = − 16 − 11d = − 2 16
Koeficienty této GEM: 6 2 0 −10 2 1 1 −1 1 0 −3 1 3 0 −1 −11 1 0 −3 1 2 1 1 −1 ∼ 6 2 0 −10 3 0 −1 −11
1 0 ∼ 0 0
0 −3 1 1 7 −3 2 18 −16 0 8 −14
soustavy přepíšeme do matice a matici budeme upravovat pomocí 2 4 ∼ −16 −2 −16 4 ∼ 2 −2
−16 36 ∼ 98 46
0 −3 1 −16 1 7 −3 36 ∼ 0 4 −10 −26 0 4 −7 23
−16 36 ∼ 13 −3 −16 36 ∼ 13 −1 −15 33 ∼ 8 −1 −3 5 ∼ 4 −1
1 0 ∼ 0 0
1 0 −3 1 0 1 7 −3 ∼ 0 0 2 −5 0 0 0 3 1 0 −3 1 0 1 7 −3 ∼ 0 0 2 −5 0 0 0 1 1 0 −3 0 0 1 7 0 ∼ 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ∼ 0 0 1 0 0 0 0 1
Nejprve potřebujeme sčítáním násobků řádků dostat nulu pod první prvek v prvním sloupci. Aby se nám to lépe dělalo, prohodíme první řádek s třetím. Pod jedničkou v prvním sloupci budeme postupně vytvářet nuly. Vezmeme dvojnásobek prvního řádku a odečteme jej od druhého. Podobně −6 násobek prvního řádku přičteme ke třetímu řádku a −3 násobek prvního řádku přičteme ke čtvrtému. V prvním sloupci máme pod jedničkou všude nuly, což bylo naším cílem. Nyní vytvoříme nuly pod jedničkou ve druhém sloupci. Dosáhneme toho přičtením −2 násobku druhého řádku ke třetímu řádku. Můžeme si také všimnout čtvrtého řádku plného sudých čísel. Vynásobíme tento řádek číslem 1/2, abychom dostali „menší číslaÿ(lépe se s nimi pracuje). Poslední sloupec, ve kterém v této fázi budeme vytvářet nuly, bude třetí sloupec. V tomto sloupci leží pouze jedno číslo pod diagonálou, které budeme eliminační metodou nulovat — čtyřka na čtvrtém řádku. Snadno se jí zbavíme, když od posledního řádku odečteme třetí řádek. Poté číslem 1/2 vynásobíme třetí řádek, abychom si opět zmenšili koeficinety. Získali jsme matici v dolním trojúhelníkovém tvaru (nuly pod diagonálou). Vynásobením posledního řádku číslem 1/3 již získáme hodnotu čtvrté proměnné(d). Vhodné násobky čtvrtého řádku budeme nyní přičítat ke všem zbývajícím řádkům tak, abychom ve čtvrtém sloupci nad jedničkou dostali nuly. Ze třetího řádku již můžeme vyčíst (po vynásobení 1/2) hodnotu třetí proměnné. Poté již zbývá jen přičíst k prvním dvěma řádkům vhodný násobek řádku třetího, abychom dostali matici s nulami pod i nad diagonálou. Z této matice soustavy lze snadno vyčíst řešení: [a, b, c, d] = {[−3, 5 , 4 , −1]}. Množinu řešení tvoří jedna uspořádaná čtveřice. 17
V uvedeném příkladu měla soustava rovnic právě jedno řešení. Podobné řešení nemá každá soustava lineárních rovnic. Rozeberme nyní typy řešení soustavy lineárních rovnic. Předpokládejme soustavu M lineárních rovnic o n neznámých, např. k11 x1 + k12 x2 + · · · + k1n xn = c1 k21 x1 + k22 x2 + · · · + k2n xn = c2 · · · kM 1 x1 + kM 2 x2 + · · · + kM n xn = cM kde ci je pravá strana i-té rovnice, i ∈ {1, 2, · · · , M }, c ∈ R, a kij je koeficient i-té rovnice u j-té neznámé, j ∈ {1, 2, · · · , n}. Hledejme řešení této soustavy pomocí GEM. Všímejme si řádků typu (0, 0, · · · , 0|c), c 6= 0 a v případě, že se takové řádky v průběhu eliminace nevyskytnou, si všimněme počtu rovnic po eliminaci. Počet řešení soustavy lineárních rovnic zjistíme z následujícího schématu: Vyskytuje se řádek (0, 0, · · · , 0|c), c 6= 0 ANO
NE
soustava nemá řešení
soustava má řešení
Uvažme nyní situaci, kdy soustava má řešení a po eliminaci zůstalo m rovnic z původního počtu M rovnic, m ≤ M . Počet řešení závisí na vztahu počtu zbylých rovnic m a počtu neznámých n: Počet zbylých rovnic
m
m=n
m>n
Počet řešení
∞
1
není možné
Počet parametrů
p=n−m
0
–
Parametrem může být každé reálné číslo. Příklad řešení soustavy rovnic s dvěma parametry u a v: (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = {(4 − u + v, v, −4 − u, 1 + 2u, v)}, u, v ∈ R.
1.3. Vektorový prostor řešení homogenní soustavy. Definice 1. Nechť A jematice reálných čísel typu (m, n), nechť dálex je jednosloupcová x1 b1 . . matice symbolů .. typu (n, 1) a b je matice reálných čísel .. typu (m, 1). xn bm 18
Pak maticovou rovnost Ax = b navýváme soustavou m lineárních rovnic o n neznámých. Matici A nazýváme maticí soustavy a vektor bT = (b1 , . . . , bm ) nazýváme vektorem pravých stran. Připíšemeli k matici soustavy do dalšího sloupce matici b oddělenou (pouze pro přehlednost) svislou čarou, dostáváme matici (A|b) typu (m, n + 1), kterou nazýváme rozšířenou maticí soustavy. Poznámka 1. V příkladu 1 jsme při GEM používali rozšířenou matici soustavy. Matice soustavy A z tohoto příkladu byla 2 6 2 0 −10 2 1 1 −1 4 A= a vektor pravých stran byl b= 1 0 −3 −16 1 3 0 −1 −11 2 Definice 2. Řešením soustavy A x = b je takový vektor a = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Rn , pro který platí: dosadíme-li hodnoty αi za symboly xi , pak je splněna požadovaná maticová rovnost, tj. α1 b1 α2 b2 A· ... = ... . αn
bm
Řešit soustavu A x = b znamená nalézt všechna její řešení, tj. nalézt podmnožinu Rn všech řešení této soustavy. Definice 3. Existuje-li v matici b aspoň jeden prvek nenulový, říkáme, že je soustava lineárních rovnic A x = b nehomogenní. Jsou-li všechny prvky v matici b nulové, nazýváme soustavu rovnic homogenní a zapisujeme ji takto:
Ax = o
(symbolem o nyní značíme jednosloupcovou nulovou matici).
Věta 1. Množina všech řešení homogenní soustavy A x = o s n neznámými tvoří lineární podprostor lineárního prostoru Rn . (bez důkazu) Příklad 2. Najdeme množinu všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic se šesti neznámými: x1 + x2 + 2x3 + 3x4 + 3x5 + 3x6 = 0 x1 + x2 + x3 + 3x4 + x5 + x6 = 0 2x1 + 2x2 + 2x3 + 6x4 + 2x5 + 8x6 = 0 Eliminujeme matici soustavy (vektor pravých stran je nulový, takže je zbytečné jej psát).
19
1 1 2 3 3 3 1 1 2 3 3 3 1 1 2 3 3 3 1 1 1 3 1 1 ∼ 0 0 −1 0 −2 −2 ∼ 0 0 1 0 2 2 2 2 2 6 2 8 0 0 −2 0 −4 2 0 0 0 0 0 6 Z poslední rovnice budeme počítat x6 , z předposlední rovnice x3 a z první rovnice x1 . Hodnoty neznámých x2 , x4 , x5 mohou být libovolné. Zaveďme pro ně parametry x2 = t, x4 = u, x5 = v. Z poslední rovnice máme x6 = 0, z předposlední rovnice x3 = −2v a konečně z první rovnice dostáváme x1 = −t + 4v − 3u − 3v = −t + v − 3u. Výsledek sumarizujeme takto:
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = (−t + v − 3u, t, −2v, u, v, 0) = = t (−1, 1, 0, 0, 0, 0) + u (−3, 0, 0, 1, 0, 0) + v (1, 0, −2, 0, 1, 0) Z tohoto zápisu vyplývá, že množina všech řešení dané homogenní soustavy je množinou všech lineárních kombinací uvedených tří vektorů, což můžeme zapsat pomocí lineárního obalu takto: ® M0 = (−1, 1, 0, 0, 0, 0), (−3, 0, 0, 1, 0, 0), (1, 0, −2, 0, 1, 0) Poznámka 2. Protože uvedené tři vektory z výsledku příkladu 2 jsou lineárně nezávislé, tvoří jednu z možných bází prostoru M0 . To se nestalo náhodou, ale platí to vždy, jak ukazuje následující věta. Věta 2. Nechť A x = o je homogenní soustava lineárních rovnic o n neznámých, k = n − hod A. Pak existuje k lineárně nezávislých vektorů u1 , u2 , . . . , uk z Rn takových, že pro množinu M0 všech řešení soustavy A x = o platí ® M0 = u1 , u2 , . . . , uk . Vektory u1 , u2 , . . . , uk tvoří jednu z možných bází lineárního prostoru všech řešení M0 . Poznámka 3. Počet lineárně nezávislých řádků matice A homogenní soustavy lineárních rovnic je hod A. Počet neznámých je n. Rozdíl těchto dvou čísel je k. Toto číslo odpovídá počtu parametrů p, o kterém jsme se zmínili na závěr minulé podkapitoly. Řešení homogenní rovnice můžeme zapsat třeba takto: (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = (−t + v − 3u, t, −2v, u, v, 0). Vidíme zde tři parametry, u, v a t; u, v, t ∈ R. Parametry můžeme vytknout před závorku, jak bylo ukázáno v příkladu 2: t (−1, 1, 0, 0, 0, 0) + u (−3, 0, 0, 1, 0, 0) + v (1, 0, −2, 0, 1, 0). Řešením homogenní soustavy lineárních rovnic jsou tedy všechny násobky uvedených vektorů, matematicky řečeno všechny lineární kombinace. Množina všech lineárních kombinací k vektorů se nazývá lineární obal. Řešením homogenní soustavy rovnic o n neznámých je tedy lineární obal k vektorů, kde k = n − hod A. Hodnost matice odpovídá počtu lineárně nezávislých řádků matice, tj. nenulových řádků zbylých po eliminaci. 20
Bez uvedení další věty si řekneme, že číslo k = n−hod A ve větě 2 odpovídá dimenzi lineárního prostoru řešení homogenní soustavy, z čehož vyplývá důležitý fakt: hod A = n hod A < n
pak soustava má jen nulové řešení, pak soustava má nekonečně mnoho řešení.
Jiný počet řešení homogenní soustavy lineárních rovnic než jedno (nulové) nebo nekonečno (lineární obal) neexistuje.
1.4. Lineární závislost a nezávislost vektorů V minulé podkapitole byly použity pojmy jako lineární nezávislost, vektor, lineární obal , aj. Některé nebyly vysvětleny, jiné se snažila vysvětlit poznámka 3. Následující dvě podkapitoly se pokusí v uvedených pojmech udělat jasněji. Definice 4. Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání + : L × L → L a násobení reálným číslem · : R × L → L a tyto operace splňují pro každé x ∈ L, y ∈ L, z ∈ L, α ∈ R, β ∈ R vlastnosti:
(1) x + y = y + x (2) (x + y) + z = x + (y + z)
(komutativní zákon sčítání) (asociativní zákon sčítání)
(3) (4) (5) (6) (7)
(asociativní zákon násobení) (dist. z. pro sčítání prvků z L) (distribut. z. pro sčítání čísel) (vlastnost reálného čísla 1) (existence nulového prvku).
α · (β · x) = (αβ) · x α · (x + y) = α · x + α · y (α + β) · x = α · x + β · x 1·x=x existuje o ∈ L, že pro každé x ∈ L je 0 · x = o
Prvky lineárního prostoru nazýváme vektory. Reálnému číslu v kontextu násobení · : R × L → L říkáme skalár.Prvku o ∈ L z vlastnosti (7) říkáme nulový prvek nebo nulový vektor. Poznámka 4. Zápis typu · : R × L → L (použitý v definici 4) obsahuje zcela vlevo znaménko definované operace a dvojtečku, za kterou následuje vlastní „vysvětleníÿ operace. Do operace vstupuje prvek z množiny R a prvek z množiny L, z operace vystupuje prvek množiny L. Tuto skutečnost zapisujeme pomocí kartézského součinu. Poznámka 5. Znakem Rn označíme množinu všech uspořádaných n-tic reálných čísel, (n je nějaké přirozené číslo, n ≥ 1). Jinými slovy: Rn = {(a1 , a2 , . . . , an ); a1 ∈ R, a2 ∈ R, . . . , an ∈ R}. Definujme + : Rn × Rn → Rn , · : R × Rn → Rn takto: pro každé (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn , α ∈ R je
21
df
(a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn ), df
α · (a1 , . . . , an ) = (α a1 , . . . , α an ). Množina Rn s takto definovanými operacemi tvoří lineární prostor. Důkaz bychom provedli ověřením sedmi vlastností z definice lineárního prostoru, čtenáře však odkážeme na literaturu (na konci kapitoly) a uvažujme, že byl důkaz proveden a o zmíněné množině je možno tvrdit, že tvoří lineární prostor. Vidíme tedy, že uspořádané n-tice s takto definovaným sčítáním a násobením skalárem můžeme nazývat vektory. Číslo ai nazýváme i-tou složkou vektoru a = (a1 , a2 , . . . , an ). Definice 5. Nechť x1 , x2 , . . . , xn jsou vektory (tj. prvky nějakého lineárního prostoru). Lineární kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xn rozumíme vektor α1 · x1 + α2 · x2 + · · · + αn · xn , kde α1 , α2 , . . . , αn jsou nějaká reálná čísla. Těmto číslům říkáme koeficienty lineární kombinace. Lineární kombinací vektorů x, y, z může být třeba vektor x + y + z (všechny tři koeficienty jsou rovny jedné), nebo vektor 2x − y + 18z (koeficienty jsou čísla 2; −1; 18), nebo také vektor α x + β y + γ z (koeficienty α, β, γ ∈ R jsme blíže neurčili). Definice 6. Triviální lineární kombinace vektorů x1 , x2 , . . . , xn je taková lineární kombinace, která má všechny koeficienty nulové, tj. 0x1 +0x2 +· · ·+0xn . Netriviální lineární kombinace je taková lineární kombinace, která není triviální, tj. aspoň jeden její koeficient je nenulový. Věta 3. Triviální lineární kombinace je vždy rovna nulovému vektoru. Definice 7. Skupinu vektorů x1 , x2 , . . . , xn nazýváme lineárně závislou, pokud existuje netriviální lineární kombinace vektorů x1 , x2 , . . . , xn , která je rovna nulovému vektoru. Stručně říkáme, že vektory x1 , x2 , . . . , xn jsou lineárně závislé. Poznámka 6. Pokud bychom rozvedli pojem netriviální lineární kombinace podle posledních dvou definic, můžeme říci, že vektory x1 , x2 , . . . , xn jsou lineárně závislé, pokud existují reálná čísla α1 , α2 , . . . , αn tak, že aspoň jedno z nich je nenulové, a přitom platí α1 · x1 + α2 · x2 + · · · + αn · xn = o. Definice 8. Skupinu vektorů x1 , x2 , . . . , xn nazýváme lineárně nezávislou, pokud není lineárně závislá. Stručně říkáme, že vektory x1 , x2 , . . . , xn jsou lineárně nezávislé. Poznámka 7. Vektory jsou lineárně nezávislé, pokud neexistuje netriviální lineární kombinace těchto vektorů, která je rovna nulovému vektoru. Jinak řečeno, jedině triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru, což matematicky vyjádříme takto: Vektory x1 , x2 , . . . , xn jsou lineárně nezávislé, pokud rovnost α1 · x1 + α2 · x2 + · · · + αn · xn = o. 22
nastává jen pro koeficienty α1 = α2 = · · · = αn = 0. Příklad 3. Uvažujme lineární prostor R3 . Jsou dány tři vektory z R3 : x = (1, 2, 3),
y = (1, 0, 2),
z = (−1, 4, 0)
Zjistíme z definice, zda jsou vektory x, y, z lineárně závislé či nezávislé. Podle poznámek 6 a 7 stačí zjistit, jaké mohou být koeficienty α, β, γ, pokud položíme α x + β y + γ z = o. Dosazením do této rovnice dostáváme α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−1, 4, 0) = (0, 0, 0). Zde jsme využili toho, že nulový vektor v R3 je roven trojici (0, 0, 0). Dále podle definice sčítání a násobení skalárem na R3 dostáváme (α + β − γ, 2 α + 4 γ, 3 α + 2 β) = (0, 0, 0). Dvě uspořádané trojice se rovnají, pokud se rovnají jejich odpovídající složky. Musí tedy platit tyto rovnice: α + β − γ = 0, 2α + 4 γ = 0, 3α + 2β = 0. Řešme soustavu pomocí GEM, přičtení α násobku n-tého řádku k příslušnému řádku značme α·[n]. µ ¶ 1 1 −1 1 1 −1 1·[3] 1 0 2 2 0 4 −2·[1] ∼ 0 −2 6 −2·[3] ∼ 0 0 0 ∼ 1 0 2 0 1 −3 3 2 0 −3·[1] 0 −1 3 0 −1 3 Tato soustava má nekonečně mnoho řešení, dimenze množiny řešení je k = n − hodA = 3 − 2 = 1, množinu řešení tvoří lineární obal jednoho vektoru. Zvolme jednu z proměnných za parametr, γ = t. Ze soustavy čteme 1α + 0β + 2γ = 0 a 0α + β − 3γ = 0, tedy α = −2t β = 3t ⇒ γ=t
(α, β, γ) = (−2t, 3t, t) = t(−2, 3, 1)
Mezi těmito řešeními je jediné triviální (řešení s t = 0), všechna ostatní jsou netriviální. Příkladem takového netriviálního řešení může být třeba α = −2, β = 3, γ = 1, takže 23
−2 (1, 2, 3) + 3 (1, 0, 2) + 1 (−1, 4, 0) = (0, 0, 0). Existuje tedy netriviální lineární kombinace vektorů x, y, z, která je rovna nulovému vektoru, což podle definice 7 znamená, že vektory x, y, z jsou lineárně závislé. Příklad 4. V lineárním prostoru R3 jsou dány tři vektory z R3 : x = (1, 2, 3),
y = (1, 0, 2),
z = (−2, 1, 0)
Zjistíme z definice, zda jsou vektory x, y, z lineárně závislé či nezávislé. Postupujeme obdobně jako v minulém příkladu. Zjišťujeme, jaké mohou být koeficienty α, β, γ, pokud položíme α x + β y + γ z = o. Dosazením do této rovnice dostáváme α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−2, 1, 0) = (0, 0, 0), (α + β − 2 γ, 2 α + γ, 3 α + 2 β) = (0, 0, 0). Dvě uspořádané trojice se rovnají, pokud se rovnají jejich odpovídající složky. Musí tedy platit tyto rovnice: α + β − 2 γ = 0, 2α + γ = 0, 3α + 2β = 0. Použijme opět GEM k řešení této homogenní soustavy. 1 0 0 1 0 −2 1 1 −1 1 0 2 2 0 1 −2·[1] ∼ 0 −2 5 −2·[3] ∼ 0 0 −7 ∼ · · · ∼ 0 1 0 0 0 1 3 2 0 −3·[1] 0 −1 6 0 1 −6 Z matice vzniklé po druhém kroku Gaussovy eliminační metody získáme poslední matici vydělením prostředního řádku −7, přičtením vhodných násobků tohoto řádku k řádkům ostatním a prohozením druhého a třetího řádku. Z poslední matice je zřejmé, že soustava má jediné řešení α = 0, β = 0, γ = 0. Vidíme tedy, že jedině triviální lineární kombinace vektorů x, y, z je rovna nulovému vektoru, což podle definice 8 znamená, že vektory x, y, z jsou lineárně nezávislé. Zároveň jsme se udedenými příklady přesvědčili o tom, že homogenní soustava má buď jedno řešení (vektor o) nebo nekonečně mnoho řešení.
1.5. Báze vektorového prostoru Definice 9. Nechť L je lineární prostor. Lineární obal skupiny vektorů x1 , x2 , . . . , xn je množina všech lineárních kombinací vektorů x1 , x2 , . . . , xn . Lineární obal konečné množiny K ⊆ L, K = {x1 , x2 , . . . , xn } ztotožňujeme s lineárním obalem skupiny vektorů x1 , x2 , . . . , xn . 24
Lineární obal nekonečné množiny M ⊆ L je sjednocení lineárních obalů všech konečných podmnožin množiny M . Lineární obal skupiny vektorů x1 , x2 , . . . , xn značíme hx1 , x2 , . . . , xn i. Lineární obal množiny M značíme symbolem hM i. Poznámka 8. Jsou-li x1 , x2 , . . . , xn vektory nějakého lineárního prostoru L, pak podle definice 9je hx1 , x2 , . . . , xn i = {α.x1 , α.x2 , . . . , α.xn ; α1 ∈ R, α2 ∈ R, . . . , αn ∈ R}. Příklad 5. Uvažujme lineární prostor R3 . Najdeme lineární obal vektorů x = (1, 2, 3), y = (2, −1, 0). Podle poznámky 8je h(1, 2, 3), (2, −1, 0)i = {α (1, 2, 3) + β (2, −1, 0); α ∈ R, β ∈ R} = = {(α + 2β, 2α − β, 3α); α ∈ R, β ∈ R} Příklad 6. Jsou dány x = (1, 2, 3), y = (1, 0, 2), z = (−2, 1, 0). Ukážeme, že hx, y, zi = R3 . Množina lineárních kombinací prvků nějakého lineárního prostoru L je vždy podmnožinou L. Jde tedy pouze o to ukázat, že R3 ⊆ hx, y, zi. Volme libovolný vektor (a, b, c) ∈ R3 . Ukážeme, že (a, b, c) ∈ hx, y, zi. K tomu je potřeba najít lineární kombinaci vektorů x, y, z, která je rovna vektoru (a, b, c). Hledejme tedy koeficienty α, β, γ, pro které platí (a, b, c) = α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−2, 1, 0). Po úpravě a porovnání jednotlivých složek dostáváme soustavu α + β − 2γ = a 2α + γ = b 3α + 2β = c. Například Gaussovou eliminační metodou zjistíme, že soustava má řešení pro všechna a, b, c ∈ R. Proto (a, b, c) ∈ hx, y, zi. Definice 10. Báze lineárního prostoru L je taková podmnožina B ⊆ L, pro kterou platí (1) B je lineárně nezávislá (2) hBi = L Příklad 7. Množina vektorů B = {(1, 2, 3), (1, 0, 2), (−2, 1, 0)} je bází lineárního prostoru R3 , protože je podle příkladu 4 lineárně nezávislá a podle příkladu 6 je hBi = R3 . Příklad 8. Množina vektorů B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} je bází lineárního prostoru R3 . Snadno zjistíme, že je lineárně nezávislá a navíc pro vektor (a, b, c) ∈ R3 je (a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1). 25
Každý vektor (a, b, c) lze tedy zapsat jako lineární kombinaci vektorů z B, neboli hBi = R3 . Všimněme si, že jsme už našli dvě báze lineárního prostoru R3 (v minulém příkladu a v tomto příkladu). Vidíme tedy, že báze není určena lineárním prostorem jednoznačně. Například množiny Bα = {α (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} jsou pro α 6= 0 různé báze lineárního prostoru R3 . Je jich nekonečně mnoho. Poznámka 9. Množina uspořádaných n-tic B = {(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 0, 1)} tvoří bázi lineárního prostoru Rn . Je lineárně nezávislá a platí hBi = Rn z analogických důvodů, jako v příkladu 8. Takovou bázi lineárního prostoru Rn nazýváme standardní bází.
Použitá literatura: Petr Olšák, Lineární algebra. Praha, 2000-2002 URL = ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/linal.tex,∼/linal.pdf
26
3. Posloupnosti reálných a komplexních čísel. Vztah omezenosti a konvergence posloupnosti. Číselné řady, kritéria pro absolutní konvergenci. Než se pustíme do výkladu o posloupnostech, připomeňme si některé základní výrazy matematické analýzy.
3.1. Výběr základních pojmů matematické analýzy Považujme pojmy číslo, množina a pojmy popisující číselné obory odvozené z těchto dvou pojmů (např. množina přirozených, celých, racionálních, iracionálních, reálných, komplexních čísel) za známé. Chápeme, že reálná čísla umístěná na reálné číselné ose jsou uspořádána podle velikosti a to tak, že vlevo od nuly jsou umístěna záporná čísla a vpravo kladná. Vzdálenost čísla od bodu 0 vyjadřuje absolutní hodnota. Definice 1. Rozšířená množina reálných čísel je R = R ∪ {−∞, +∞}, kde −∞ a + ∞ se nazývají nevlastní čísla. Uspořádání a absolutní hodnotu rozšiřujeme na R (rozšiřujeme vzhledem k R) následujícím způsobem: 1) −∞ < x < +∞ pro každé reálné číslo x, pro nevlastní čísla platí −∞ < +∞, 2) | − ∞| = | + ∞| = +∞. Poznámka 1. Místo +∞ píšeme obvykle stručněji ∞. Definice 2. Pro každé a, b ∈ R, a < b, rozeznáváme tyto typy intervalů s krajními body a,b: 1) otevřený (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}; 2) uzavřený ha, bi = {x ∈ R : a < x ≤ b}
pro a, b ∈ R;
3) polouzavřený (polootevřený) (a, bi = {x ∈ R : a < x ≤ b}
pro b ∈ R,
ha, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
pro a ∈ R.
Body intervalu, které nejsou krajní, nazýváme vnitřní body. Definice 3. Okolí bodu a ∈ R o poloměru r > 0 je U (a, r) = {x ∈ R : |x − a| < r} = (a − r, a + r) . 27
Prstencové okolí bodu a ∈ R o poloměru r > 0 je P (a, r) = U (a, r) \ {a} = {x ∈ R : 0 < |x − a| < r} = (a − r, a) ∪ (a, a + r). Jednostranná okolí jsou následující: levé a pravé okolí (resp. levé a pravé prstencové okolí) bodu a ∈ R o poloměru r > 0 jsou intervaly U− (a, r) = (a − r, ai , P− (a, r) = (a − r, a),
U+ (a, r) = ha, a + r) , P+ (a, r) = (a, a + r).
resp.
Okolí bodů ±∞ jsou (r je reálné číslo): U (−∞, r) = {x ∈ R : x < R} = (−∞, r), U (+∞, r) = {x ∈ R : x > R} = (r, +∞, ). Příklad 1. Příklady různých typů okolí.
Obr. 1: Příklady okolí uvedených v definici 3. Poznámka 2. Připomeňme si pojmy shora/zdola omezená resp. omezená množina. Omezená množina je taková, která je současně shora i zdola omezená. Omezenost množiny (ať už shora nebo zdola) je úzce vázána na existenci horní (příp. dolní) meze. Horní mez je větší nebo rovna libovolnému prvku množiny, dolní mez je menší nebo nanejvýše rovna libovolnému prvku množiny.
3.2. Posloupnosti reálných čísel Posloupnost je uspořádáný soubor nejvýše spočetně mnoha prvků. Pojmem uspořádaný rozumíme, že máme dán počáteční prvek a ke každému prvku (s výjimkou posledního, pokud je posloupnost konečná) jeho následovníka. Prvky posloupnosti pak můžeme indexovat přirozenými čísly tak, že následník má větší index než jeho předchůdci. Toto pojetí je názorné, ale matematicky korektnější je definovat posloupnost jako zobrazení na množině přirozených čísel. Definice 4. (Nekonečná) posloupnost reálných čísel je zobrazení N → R. Označímeli an obraz čísla n (n-tý člen posloupnosti), pak posloupnost zapisujeme jako (a1 , a2 , a3 , . . .) = (an )∞ n=1 . Příklad 2. Příklady posloupností reálných čísel. 1 1 1) ( n1 )∞ n=1 = (1, 2 , 3 , . . .). 1 10 2) ((1 + 1/n)n )∞ n=1 = (2, 2 4 , 2 27 , . . .).
28
3) a1 = 1, an+1 = 2an , je posloupnost (1, 2, 4, . . .) = (2n )∞ n=1 ; obecně předpis a1 = a, an+1 = qan (a, q ∈ R), dává tzv. geometrickou posloupnost (a, aq, aq 2 , . . .) = 0 (aq n−1 )∞ n=1 s kvocientem q (q pokládáme rovno 1 pro každé q). 4) a1 = 3, an+1 = an + 2, je to posloupnost (3, 5, 7, . . .) = (2n + 1)∞ n=1 ; obecně předpis a1 = a; an+1 = an + d (a, d ∈ R), dává tzv. aritmetickou posloupnost (a, a + d, a + 2d, . . .) = (a + (n − 1)d)∞ n=1 s diferencí d. 5) a1 = a2 = 1, an+2 = an +an+1 , je tzv. Fibonacciho posloupnost (1, 1, 2, 3, 5 . . .). Vzorec pro n-tý člen je složitý, nebudeme jej uvádět. Poznámka 3. Posloupnost (reálných čísel) lze sčítat, odčítat, násobit konstantou či porovnávat člen po členu (stejně jako ostatní funkce nebo aritmetické vektory). Bude to tím, že nekonečná posloupnost reálných čísel splňuje 7 podmínek lineárního prostoru (viz podkapitola S1.4 Lineární závislost a nezávislost vektorů). Další vlastnosti závisejí na porovnávání prvků uvnitř posloupnosti. Definice 5. Posloupnost (an )∞ n=1 se nazývá: 1) rostoucí [neklesající ], pokud an < an+1 [an ≤ an+1 ] pro každé n ∈ N; 2) klesající [nerostoucí ], pokud an > an+1 [an ≥ an+1 ] pro každé n ∈ N. Posloupnosti všech těchto typů se nazývají monotónní, rostoucí a klesající posloupnosti se nazývají ryze monotónní. Příklad 3. 5 25 625 1) (( 25 )n )∞ n=1 = ( 2 , 4 , 8 , . . .) je rostoucí posloupnost.
2) (−n)∞ n=1 = (−1, −2, −3, . . .) je klesající posloupnost. 3) Fibonacciho posloupnost (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .) (viz. příklad 2.5 ) je neklesající, není ryze monotónní. 4) ((−1)n )n=1 není monotónní posloupnost. ∞
3.3. Vztah omezenosti a konvergence posloupnosti reálných čísel Definice 6. Posloupnost je omezená (resp. zdola omezená, shora omezená), pokud je omezená (resp. zdola omezená, shora omezená) množina jejích členů. Příklad 4. 5 25 625 1) (( 25 )n )∞ n=1 = ( 2 , 4 , 8 , . . .) je zdola omezená posloupnost, není omezená shora.
2) (−n)∞ n=1 = (−1, −2, −3, . . .) je shora omezená. 3) ((−1)n )n=1 ∞ = (−1, 1, −1, 1, . . .) je omezená. 4) ((−3)n )n=1 ∞ = (−3, 9, −27, 81, . . .) není omezená ani shora ani zdola.
29
Zajímejme se nyní o limity posloupnosti. Zavedeme najednou vlastní (z R) i nevlastní limity (rovny ±∞) pomocí okolí bodu. Definice 7. Posloupnost (an )∞ n=1 má limitu a ∈ R, pokud pro každé okolí U bodu a existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna přirozená n > n0 je an ∈ U . Značíme lim an = a,
n→∞
an → a pro n → ∞.
Posloupnost s vlastní limitou se nazývá konvergentní, s nevlastní limitou divergentní. Poznámka 4. Definice říká, že ať zvolíme jakkoliv malé okolí předpokládané limity, pak počínaje některým indexem všechny členy posloupnosti leží v tomto okolí. Jinak řečeno, jen konečně mnoho členů posloupnosti v tomto okolí neleží. Při výpočtu limity nezáleží tedy na konečném počtu členů posloupnosti. Věta 1. Podle definice 7 lze dokázat některé důležité limity. Uveďme si je bez důkazu. a < 0, 0, 1) lim a = a. 2) lim na = 1, a = 0, n→∞ n→∞ +∞, a > 0.
neexistuje, a ≤ −1, = 0, a ∈ (−1, 1), 3) lim an = 1, a = 1, n→∞ = +∞, a > 1.
3.4. Posloupnosti komplexních čísel Posloupnosti komplexních čísel jsou zobecněním posloupností reálných čísel (podkapitola S3.2 ) na obor komplexních čísel C. Komplexní čísla nelze (narozdíl od reálných čísel) uspořádat podle velikosti. Nemůžeme tedy o dvou prvcích posloupnosti říci, který je větší a který menší. To s sebou nese vážný důsledek: v komplexním oboru neexistují pojmy jako rostoucí posloupnost, neklesající, ryze monotónní, apod. Než si řekneme, co chápeme pod pojmem posloupnost komplexních čísel, zavedeme si několik nových pojmů. Podobně jako reálná čísla rozšiřujeme o dva body +∞ a −∞, rozšiřujeme také množinu komplexních čísel, ovšem pouze o jeden bod. Definice 8. Uzavřená Gaussova rovina představuje množinu komplexních čísel rozšířenou o bod v nekonečnu ∞ a značí se C. C = C ∪ {∞} Pro bod nekonečno definujeme následující operace: 1) pro všechna komplexní čísla z = x + jy definujeme |z| < ∞, 2) |∞| = ∞, 3) z + ∞ = ∞ + z = ∞ pro všechna z ∈ C, 4) z · ∞ = ∞ · z = ∞ pro všechna z ∈ C\{0}, 30
5) z/∞ = 0 pro všechna z ∈ C, 6) z/0 = ∞ pro všechna z ∈ C\{0}, 7) ∞/z = ∞ pro všechna z ∈ C, 8) 00 = 1, ∞0 = 1. Definice 9. 1) ε-okolí bodu z0 (čteme epsilon okolí) je množina bodů taková, že U (z0 , ε) = {z ∈ C | |z − z0 | < ε}. Geometricky se jedná o vnitřek kruhu se středem v bodě z0 a poloměrem ε. 2) Prstencové ε-okolí bodu z0 je množina bodů taková, že P (z0 , ε) = {z ∈ C | 0 < |z − z0 | < ε} = U (z0 , ε)\{z0 }. Je to tedy ε-okolí bodu z0 s vyjmutým středem. 3) ε-okolí bodu v nekonečnu je množina bodů z taková, že U (∞, ε) = {z ∈ C | |z| >
1 }. ε
Z geometrického hlediska představuje množina U (∞, ε) vnějšek kruhu se středem v počátku o poloměru 1/ε. Je zřejmé, že s ε → 0 poroste poloměr kruhu nade všechny meze. Uvedené definice nám umožní zavést pojem posloupnost komplexních čísel a její limity. Definice 10. Posloupnost komplexních čísel je zobrazení N → R. Jinak řečeno je to funkce, která každému přirozenému číslu přiřazuje nějaké komplexní číslo. Obraz čísla n označujeme zn a posloupnost zapisujeme jako (z1 , z2 , . . .) = (zn )∞ n=1 . Geometricky si můžeme posloupnost komplexních čísel představit jako množinu bodů v rovině, které jsou očíslovány přirozenými čísly. Definice 11. Řekneme, že posloupnost (zn )∞ n=1 má limitu z ∈ C (nebo konverguje k bodu z ∈ C), jestliže pro každé ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna přirozená čísla n > n0 platí zn ∈ U (z, ε). Jsou-li tyto podmínky splněny, píšeme: lim zn = z
n→∞
Poznámka 5. Význam této definice je analogický významu limity „jednorozměrnéÿ posloupnosti reálných čísel (definice 7). V tomto případě však neuvažujeme reálnou osu, ale Gaussovu rovinu.
31
Má-li posloupnost limitu z, znamená to, že pro kruh s libovolným (kladným) poloměrem ε se středem v bodě z jsme schopni nalézt takový index n0 , že všechny body s indexem vyšším než n0 musí ležet uvnitř tohoto kruhu. Mimo okolí U (ε, z) tedy leží členy posloupnosti z1 , z2 , . . . , zn0 . Těchto členů je konečně mnoho, ať už zmenšujeme okolí sebevíce. Naproti tomu členy posloupnosti zn0+1 , zn0+2 , . . . leží uvnitř kruhu a je jich nekonečně mnoho. Nezáleží na tom, jak velký kus začátku posloupnosti „ukrojímeÿ příslušným okolím, důležité je, že při každém libovolně zvoleném okolí nám od nějakého indexu začnou „padatÿ členy do okolím vymezeného kruhu. Věta 2. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Poznámka 6. Uvedená věta platí pro posloupnosti obecně, tj. pro posloupnosti reálných i komplexních čísel. Dokažme si ji. Důkaz plyne přímo z definice limity. Předpokládejme, že pro nějakou posloupnost existuje více limit, tedy alespoň dvě různé. Označme dvě limity zkoumané posloupnosti z a w. Vezmeme-li dostatečně malé poloměry, např. |z − w|/2, můžeme nalézt dva kruhy Kz a Kw se středy v z a w takové, že nemají žadný společný vnitřní bod. Z výše uvedené definice limity plyne, že uvnitř kruhu kruhu Kz se musí vyskytovat nekonečně mnoho bodů posloupnosti a vně jen konečně mnoho. Stejné tvrzení však plyne podle předpokladu i pro kruh Kw , což je spor, protože vnitřky kruhů nemají žádný společný bod. Nemůže tedy existovat nekonečně mnoho bodů uvnitř kruhu Kz společně s konečně mnoha body vně tohoto kruhu a současně nekonečně mnoho bodů uvnitř Kw . Konečně mnoho bodů vně Kz popírá možnost, aby v kruhu Kw , se kterým Kz nemá žádný společný bod, bylo nekonečně mnoho bodů (nutná podmínka existence limity w). Existence dvou rozdílných limit tedy není možná.
3.5. Číselné řady, kritéria pro absolutní konvergenci. Definice 12. Nechť (ak )∞ k=1 je posloupnost reálných nebo komplexních čísel. Potom symbol ∞ X ak = a1 + a2 + . . . k=1
nazýváme (nekonečnou) číselnou řadou, dále jen řadou. Číslo ak je k-tý člen řady. Poznámka 7. Řada ve smyslu definice 12 je symbol na pravé straně rovníka zastupující výraz, který obsahuje členy nějaké posloupnosti, mezi nimiž je znaménko +. Řadou tedy nerozumíme číslo, které vznikne, když členy řady sečteme. P∞ Definice k=1 ak je řada čísel z R nebo z C. Pro n ∈ N je číslo Pn 13. Nechť sn = k=1 ak n-tý částečný součet řady. Jestliže existuje lim sn = s (v R nebo v C),
n→∞
32
pak číslo s nazýváme součtem řady a píšeme s=
∞ X
ak .
k=1
Je-li s ∈ R nebo s ∈ C, říkáme, že řada je konvergentní nebo že řada konverguje. Je-li s = ±∞, resp. s = ∞ (v C), říkáme, že řada diverguje. Pokud lim sn
n→∞
neexistuje, říkáme, že řada osciluje. Příklad 5. Řada 2
a + aq + aq + . . . =
∞ X
a · q k−1
k=1
se nazývá geometrická řada. Číslo a je první člen, číslo q je kvocient řady, a, q ∈ C. Ze vztahu vidíme, že má smysl uvažovat situaci, kdy a 6= 0, q = 6 0. Pro n ∈ N dostaneme sn = a (1 + q + . . . + q n−1 ), 2
/·q
n
q · sn = a (q + q + . . . + q ). Odečteme-li druhý výraz od prvního, dojdeme ke vztahu sn (1 − q) = a (1 − q n ). Pro částečný součet řady tedy platí: q=1, a · n, sn = a · 1−qn , q 6= 1. 1−q O posloupnosti typu (q n )∞ n=1 , n 6= 1 víme z věty 1, že má konečnou limitu pouze pro |q| < 1, kdy platí lim q n = 0. n→∞
Užijeme-li definici 13, můžeme vyslovit tvrzení: Geometrická řada konverguje právě tehdy, když je |q| < 1. Pak s=
∞ X
a · q k−1 =
k=1
a 1−q
Příklad 6. Uvažujme řadu ∞ X k=1
1 1 1 1 = + + + .... k(k + 1) 2 6 12 33
Například metodou rozkladu na parciální zlomky můžeme upravit 1 1 1 = − k(k + 1) k k+1 Pro částečný součet řady sn potom platí: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1 sn = 1 − + − + + − + ... + − = 2 2 3 3 4 4 n n+1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 =1+ − + + − + + ... + − + − = 2 2 3 3 n n n+1 µ ¶ 1 1 =1− → lim sn = lim 1 − =1 n→∞ n→∞ n+1 n−1 Řada je tudíž konvergentní. Příklad 7.
∞ X k=1
µ ¶ 4 1 3 ln 1 + = ln 2 + ln + ln + . . . k 2 3
Vyjádříme částečný součet prvních n členů řady a najdeme jeho limitu: µ ¶ 3 4 n+1 3 4 n+1 sn = ln 2 + ln + ln + . . . + ln = ln 2 · · · · · = ln(n + 1) 2 3 n 2 3 n lim sn = lim n → ∞ln(n + 1) = ∞
n→∞
Řada, podle definice 13, diverguje. P∞
k+1 k=1 (−1)
konverguje, diverguje nebo [osciluje]
Příklad 8. Nechme čtenáře ověřit, zda řada osciluje.
VětaP3. Nechť (ck )∞ ck = ak + k=1 je posloupnost komplexních čísel aP Pj∞· bk . Potom ∞ ∞ řada k=1 ck konverguje právě tehdy, když konvergují řady k=1 ak a k=1 bk a platí vztah ∞ ∞ ∞ X X X ck = ak + j bk . k=1
k=1
k=1
Poznámka 8. Věta, kterou jsme si právě formulovali, nám dovoluje otázku konvergence komplexní řady převvést na problém konvergence dvou reálných řad. V následujícím textu se tedy budeme zabývat jen řadami s reálnými členy a pokud by nějaké tvrzení vylučovalo aplikaci této věty, upozorníme na to. P∞ Věta 4. (Nutná podmínka konvergence) Jestliže řada k=1 ak konverguje, pak lim ak = 0.
n→∞
Poznámka 9. Bystrý čtenář si všimne logické stavby poslední uvedené matematické věty. Jedná se o imlikaci: konverguje ⇒ limita členů je 0. Nejedná se o ekvivalenci (⇔), takže pokud členy nějaké řady jdou k nule, nemůžeme tvrdit, že řada nutně konverguje. 34
Vzniká „podezřeníÿ na konvergenci. Ovšem pokud je limita členů řady různá od nuly, můžeme s jistotou tvrdit, že řada nekonverguje. Kdyby konvergovala, byla by limita nulová. Podmínka ve větě 4 je „nutná, ale nikoli postačujícíÿ. Poslouží nám jako první síto, kterým propadnou některé nekonvergující řady. Věta 5. Je-li m ∈ N, pak řady ∞ X
ak
a
k=1
∞ X
ak+m
k=1
buď obě konvergují, nebo obě divergují, nebo obě nemají součet(oscilují). Poznámka 10. Větu 5 bychom mohli chápat takto: ∞ X k=1
1 1 1 1 1 = + + + + ... k(k + 1) 2 6 12 20
konverguje
∞ X k=m+1
(konverguje)
1 1 1 1 = + + + ... k(k + 1) 12 20 30
⇒
(m = 2),
tedy že druhá řada vznikne posunutím první řady o konečný počet (přesněji o m) členů. Větu lze chápat i tak, že se každý koeficient k zvětší o m. Je přitom jedno, v jaké mocnině se k vyskytuje. ∞ X k=1
1 1 1 1 1 = + + + + ... k(k + 1) 2 6 12 20
konverguje
∞ X k=1
(konverguje)
1 1 1 1 = + + + ... (k + m)(k + 1 + m) 12 20 30
⇒
(m = 2),
Obě naznačená chápání věty jsou správná, znamenají totéž. Čtenář si to může vyzkoušet na libovolné řadě. Příklad 9. Určete součet řady: 1−
1 1 1 + − + ... 10 100 1000
Jedná se o geometrickou řadu, a1 = 1, q = −1/10, takže s=
a1 11 1 ¡ 1¢= = 1−q 10 1 − − 10
Příklad 10. Nalezněte součet řady 1+
1 1 1 1 1 1 + + + + + + ... 2 3 6 9 18 27
35
V tomto případě to nebude tak jednoduché. Když se na řadu pozorně podíváme, všimneme si určitého vztahu mezi k-tým a (k + 1)-ním členem. Můžeme zapsat: 1
1 3
+ +
1 2
1 9
+ +
1 6
+ +
1 27
1 18
+ ... + ...
Zřejmé je, že řada napsaná na spodním řádku obsahuje tytéž členy jako řada vrchní, ovšem vynásobené 1/2. Vrchní řada je řada vybraná z původní řady, obsahuje každý (2n − 1) člen původní řady, n ∈ N. Spodní řada je také řadou vybranou z původní řady, obsahuje každý 2n-tý člen původní řady. Pojem vybraná řada jsme nedefinovali, ale nyní jsme intuitivně pochopili, o co se jedná. Obě vybrané řady můžeme vyjádřit známým způsobem: ∞ X k=1 ∞ X k=1
1 3k+1 1 2 · 3k+1
→
a1 = 1, q =
→
a1 =
1 a1 2 , s1 = = 3 1−q 3
1 a1 3 1 , q = , s2 = = 2 3 1−q 4
s = s1 + s2 =
3 3 9 + = 2 4 4
Věta 6. (Srovnávací kritérium) Nechť pro k ∈ N je 0 < ak < bk . Potom platí: a) Je − li řada
∞ X
bk konvergetní, pak je konvergentní i řada
k=1
b) Je − li řada
∞ X
∞ X
ak .
k=1
ak divergentní, pak je divergentní i řada
k=1
∞ X
bk .
k=1
Příklad 11. Rozhodněme o konvergenci řady
∞ X 1 . k2
k=1
Ověříme, zda řada vůbec může konvergovat: 1 = 0. k→∞ k 2
lim ak = lim
k→∞
Nutná podmínka konvergence je splněna. Jedná se o řadu s kladnými členy, takže má součet. Víme, že (k + 1)2 = (k + 1) · (k + 1) ≤ k(k + 1). Z toho plyne 0<
1 1 < 2 (k + 1) k(k + 1)
36
(1)
Z příkladu 5.2 víme, že řada
∞ X k=1
1 =1 k(k + 1)
je konvergentní. Podle srovnávacího kritéria a vztahu (1) proto konverguje i řada ∞ X k=1
1 (k + 1)2
Podle věty 5 tedy konverguje i řada ∞ X 1 (m = 1) k2
k=1
Příklad 12. ∞ X 1 Ukažme, že řada konverguje pro m ∈ N, m ≥ 2. km k=1
Pro m ≥ 2 je k m ≥ k 2 , odkud
1 1 ≤ 2 m k k Srovnávací kritérium a vztah (2) tedy dávají: 0≤
∞ X 1 konverguje k2
(2)
∞ X 1 (m ≥ 2) konverguje. km
⇒
k=1
k=1
Definice 14. (Absolutní konvergence) Jestliže konverguje řada ∞ X
|ak |, pak říkáme, že řada
k=1
∞ X
ak , ak ∈ C, konverguje absolutnˇ e.
k=1
Doposud jsme se zabývali obecnou konvergencí. Následující věty se budou týkat absolutní konvergence. Věta 7. Jestliže konverguje řada
∞ X
|ak |, pak konverguje řada
k=1
∞ X k=1
Jinými slovy „Absolutně konvergentní řada konverguje.ÿ Věta 8. (Podílové kritérium) Nechť ak 6= 0 pro každé n ∈ N. ¯ ¯ ∞ X ¯ ak+1 ¯ ¯ ¯ 1) Je − li ¯ ≤ q < 1, pak řada ak konverguje absolutně. ak ¯ k=1 ¯ ¯ ∞ X ¯ ak+1 ¯ ¯ ≥ 1, pak řada 2) Je − li ¯¯ ak nekonverguje. ak ¯ k=1
37
ak .
Poznámka 11. Při zkoumání konvergence nezáleží na prvních n členech řady, jak ostatně plyne z věty 5. Proto stačí, aby podmínka (ak+1 /ak ) ≤ q < 1 byla splněna pro k ≥ k0 . Jednodušší než hledat k0 je použít limitní tvar podílového kritéria. Věta 9. (Limitní tvar podílového kritéria) ¯ ¯ ∞ X ¯ ak+1 ¯ ¯ ¯ 1) Je − li lim ¯ < 1, pak řada ak konverguje absolutně. k→∞ ak ¯ k=1 ¯ ¯ ∞ X ¯ ak+1 ¯ ¯ ¯ 2) Je − li lim ¯ > 1, pak řada ak nekonverguje. k→∞ ak ¯ k=1 ¯ ¯ ¯ ak+1 ¯ ¯ = 1, mohou nastat obě možnosti. 3) Je − li lim ¯¯ k→∞ ak ¯ V následujících příkladech budeme rozhodovat, zda řada konverguje absolutně (pokud nebude řečeno jinak). Příklad 13.
∞ X 1 1 1 = 1 + 1 + + + ... k! 2 6
k=0
Podílové kritérium: ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ak+1 ¯ ¯ k! ¯ ¯ (k+1)! ¯ ¯ ¯ = lim 1 = 0 < 1 ⇒ konverguje ab. ¯ ¯ lim ¯ = lim ¯ 1 ¯ = lim ¯ ¯ ¯ k→∞ (k + 1)! ¯ k→∞ k + 1 k→∞ k→∞ ¯ ak k! Srovnávací kritérium (není kritériem absolutní konvergence!): ∞ ∞ ∞ X X X 1 1 1 1 =1+ ≤1+ =1+ k−1 k! k! 2 1− k=0 k=1 k=1
1 2
= 3 ⇒ konverguje absolutně
Příklad 14.
∞ X 1 1 3 3 k! = + + + + ... k 2 2 2 4 2 k=1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ak+1 ¯ ¯ (k + 1)! 2k ¯ ¯ = lim ¯ ¯ = lim k + 1 = ∞ > 1 ⇒ nekonverguje lim ¯¯ · ¯ ¯ k→∞ k→∞ ak 2k+1 k! ¯ k→∞ 2
Příklad 15.
∞ X 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + ... k 2 3 4 5
k=1
¯ ¯ ¯ ak+1 ¯ 1 ¯ ¯ = lim k = lim lim ¯ ¯ k→∞ k→∞ k + 1 k→∞ 1 + ak
1 k
= 1 ⇒ nelze rozhodnout
Jedná se o tzv. harmonickou řadu. Tato řada diverguje; čtenář se o tom může přesvědčit užitím Cauchyho konvergenčního kritéria nebo integrálního kritéria (obě zde neuvedené, nepatří mezi kritéria absolutní konvergence). nedokážeme pomocí podílového P∞ Podobně 2 kritéria rozhodnout o konvergenci řady k=1 (1/k ). 38
Věta 10. (Odmocninné kritérium) ∞ X p k 1) Je − li |ak | ≤ q < 1, pak řada ak konverguje absolutně. k=1
2) Je − li
p k
|ak | ≥ 1, pak řada
∞ X
ak nekonverguje.
k=1
Poznámka 12. Viz poznámka 11. Věta 11. (Limitní tvar odmocninného kritéria) ∞ X p 1) Je − li k |ak | ≤ q < 1, pak řada ak konverguje absolutně. k=1
2) Je − li
p k
|ak | ≥ 1, pak řada
∞ X
ak nekonverguje.
k=1
Příklad 16.
∞ X
3 ln (k + 1) k=1 k
√ k
p lim k |ak | = lim
k→∞
3 1 = lim = 0 < 1 ⇒ konverguje absolutně k→∞ ln(k + 1) k→∞ +∞
Příklad 17.
p lim k |ak | = lim
k→∞
s µ k
k→∞
¶k ∞ µ X k k+1
k=1
k k+1
¶k
k = 1 ⇒ nekonverguje k→∞ k + 1
= lim
Poznámka 13. Absolutně konvergentní řady jsou (podle věty 7) konvergentní. Obráceně to neplatí. Příklad 18.
∞ X (−1)k−1 k=1 ∞ X k=1
k |ak | =
=1−
1 1 1 1 + − + − . . . = ln 2 2 3 4 5
∞ X 1 (harmonická řada) k
k=1
O harmonické řadě jsme si v příkladu 15 řekli, že diverguje. Zadaná řada tedy absolutně nekonverguje, ale jinak je konvergentní, o čemž se lze přesvědčit užitím Leibnitzova kritéria (neuvedeno, nepatří mezi kritéria absolutní konvergence). Použitá literatura: Josef Tkadlec, Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. [skriptum], Vydavatelství ČVUT, Praha, 2004 Rostislav Horčík, Limita posloupnosti, funkce, derivace. [online] [cite 7.8.2006], URL=http://www.cs.cas.cz/∼horcik/Teaching/complex2.pdf Ladislav Průcha, Řady. [skriptum], Vydavatelství ČVUT, Praha, 2000 39
7. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu. Metoda separace proměnných. Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Variace konstant a metoda odhadu. Využití Laplaceovy transformace pro řešení soustavy diferenciálních rovnic. 7.1. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu. Diferenciální rovnice jsou takové rovnice, které obsahují derivaci. Řád diferenciální rovnice je dán řádem nejvyšší derivace. Příklad 1. 1) y 00 y + ln y 0 + 6x = 0 diferenciální rovnice 2.řádu 2) 2xy 0 − y 2 + 1 = 0 diferenciální rovnice 1.řádu 3) sin xy 000 + cos y 00 − 3x = 0 diferenciální rovnice 3.řádu Obyčejné diferenciální rovnice jsou funkce s jednou proměnnou. Liší se tak od parciálních diferenciálních rovnic, ve kterých je proměnných více. Obecný předpis obyčejné diferenciální rovnice je: F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0 Řešením diferenciální rovnice je nekonečně mnoho funkcí, které vyplňují rovinu. Jedno konkrétní řešení vybereme s pomocí počáteční podmínky. Počáteční podmínka je soubor hodnot derivací v bodě x0 až do n − 1 řádu. Poznámka 1. U diferenciálních rovnic 1.řádu je tedy počáteční podmínkou pouze hodnota nulté derivace funkce v bodě x0 , tedy funkční hodnota v bodě x0 , y(x0 ) = y0,0 . Řešíme-li však diferenciální rovnici 3.řádu, je počáteční podmínka dána funkční hodnotou druhé derivace, první derivace a nulté derivace v bodě x0 . Je tedy určena těmito rovnostmi y 00 (x0 ) = y2,0 , y 0 (x0 ) = y1,0 a y(x0 ) = y0,0 . Postupu, kdy hledáme konkrétní (jedno) řešení diferenciální rovnice, říkáme řešit Cauchyovu úlohu. Abychom mohli Cauchyovu úlohu řešit, musíme mít zadanou diferenciální rovnici a počáteční podmínku. Podívejme se, za jakých podmínek má Cauchyova úloha řešení a kdy je toto řešení jednoznačné.
41
Věta 1. Nechť I, J jsou intervaly, funkce f je spojitá na kartézském součinu I × J.
Obr. 1: Ilustrace k větě 1 Za těchto podmínek má Cauchyova úloha řešení. Je-li parciální derivace na I × J, pak je toto řešení jednoznačné.
∂f ∂y
omezená
Předpokládá se x0 ∈ I, y0 ∈ J. Poznámka 2. Intervaly I, J na obr. 1 (a větě 1) mohou být nekonečně dlouhé — pak určují pás, kvadrant, rovinu. Další text se bude týkat obyčejných diferenciálních rovnic 1.řádu, pokud nebude řečeno jinak. Zaměřme se na rovnice, u kterých lze vyjádřit derivaci. Definice 1. Diferenciální rovnice, která má tvar y 0 = g(x) · h(y),
s počáteční podmínkou y(x0 ) = y0
se nazývá rovnice se separovanými proměnnými. Věta 2. Rovnice se separovanými proměnnými y 0 = f (x, y) = g(x) · h(y) má řešení za předpokladu, že funkce g(x) je spojitá na intervalu I a funkce h(y) je spojitá na intervalu J, g ∈ I, h ∈ J. Toto řešení je jednoznačné, pokud je spojitá parciální derivace ∂f = g(x) · h0 (y). ∂y Poznámka 3. Součin funkcí g(x)·h0 (y) je spojitý, pokud jsou spojité funkce g(x), h0 (y) na intervalech, kde jsou definovány (jedná se o intervaly I a J). Příklad 2. Vyšetřeme existenci a jednoznačnost řešení funkce y 0 = f (x, y) =
1 y2 − 1 y2 − 1 = g(x) · h(y) = · 2x x 2
42
Nejprve určíme definiční obory funkcí g(x), h(y). x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞), y ∈ R. Definiční obor funkce g(x) má dvě části. Na obou těchto částech definičního oboru je funkce g(x) spojitá. Funkce h(y) je spojitá na celém svém definičním oboru. Užijeme-li terminologie vět 1 a 2, potom g(x) je spojitá na I = I1 ∪ I2 = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) a h(y) je spojitá na J = (−∞, +∞) = R. Podle věty 2 má Cauchyho úloha řešení. Dále spočítáme derivaci funkce h(y), protože ∂f = g(x) · h0 (y) ∂y rozhoduje o jednoznačnosti řešení funkce. µ 0
h (y) =
y2 − 1 2
¶0
1 2 1 (y − 1)0 = · 2y = y 2 2
=
Funkce h0 (y) je spojitá na celém intervalu J. Víme-li, že g(x) je spojitá na celém I, můžeme na základě poznámky 3 tvrdit, že řešení funkce f (x, y) je jednoznačné. Definice 2. Nechť y 0 = f (x, y) = g(x) · h(y) je diferenciální funkce. Existuje-li takové x, že h(y(x)) = 0, nazýváme funkci y(x) = konst. stacionárním řešením. Poznámka 4. Stacionární řešení hledáme obvykle tak, že položíme h(y) = 0 a zjišťujeme, zda existuje nějaké y = y(x), pro které je h(y) = 0. To může nastat pro y = konst., protože derivace funkce y 0 je nulová právě pro konstatní funkci. Příklad 3. Mějme diferenciální rovnice 1) f1 (x, y) = y 0 =
y2 − 1 2x
2) f2 (x, y) = y 0 =
1 . y2
Zjistíme, zda mají tyto rovnice stacionární řešení. f1 (x, y) = g(x) · h(y) =
1 y2 − 1 · ; x 2
h(y) =
y2 − 1 = 0 ⇔ y = ±1 2
1 ; y2
h(y) =
1 6= 0 y2
f2 (x, y) = g(x) · h(y) = 1 ·
∀y ∈ J
Vypočítali jsme, že funkce f1 (x, y) má dvě stacionární řešení — dvě konstatní funkce. Ale není to tak docela pravda. Vzpomeňme si na předchozí příklad, kde jsme určovali definiční obor funkce f (x, y). Jednalo se o funkci totožnou s naší funkcí f1 (x, y). Definiční obor funkce g(x) byl rozdělen na dva intervaly, funkce g(x) nebyla definována v bodě 0. V tomto bodě (resp. na přímce x = 0) se nemůže nacházet ani žádné řešení rovnice, protože funkce g(x) tam není definovaná. Situaci ilustruje obrázek.
43
Obr. 2: Ilustrace k příkladu 3, hledání stacionárního řešení Osa y je vyznačena čárkovaně, neboť na ní není funkce g(x) a potažmo řešení rovnice f1 (x, y) definováno. Stacionární řešení uvedené rovnice jsou čtyři: y1 = 1, y2 = −1 pro x ∈ (−∞, 0) a y3 = 1, y4 = −1 pro x ∈ (0, +∞). Řešení jsou vyznačena silnou čerchovanou čarou. Rovnice f2 (x, y) nemá žádné stacionární řešení, neboť pro žádné y ∈ R nenabývá funkce h(y) nulové hodnoty. Znamená to, že mezi řešeními této rovnice rozhodně nenajdeme konstantní funkci y = c, c ∈ R.
7.2. Metoda separace proměnných Postup řešení při použití metody separace proměnných je následující: 1) Určíme intervaly spojitosti funkcí g(x), h(y). 2) Najdeme stacionární řešení, tj. nulové body funkce h(y). 3) Máme-li počáteční podmínku, která neleží na stacionárním řešení, a x ∈ I, y ∈ J, řešíme separací proměnných a integrací. Vysvětleme si krok 3 postupu, protože s prvními dvěma kroky jsme se již seznámili v předchozí podkapitole. Separací proměnných je míněna úprava rovnice na rovnici se separovanými proměnnými. Integrace je operace opačná k derivaci. Vhodnou úpravou rovnice a následnou integrací nalezneme řešení rovnice. Než přejdeme k příkladu, ukažme si obecně, jak vypadá krok 3: Uvažujeme takové y(x), že h(y(x)) 6= 0, tedy vylučujeme z dalšího zkoumání případná stacionární řešení. y 0 (x) = g(x) · h(y(x)) y 0 (x) = g(x) h(y(x))
44
/ : h(y(x)) (1)
Rovnají-li se funkce na pravé a levé straně (rovnost (1)), rovnají se také primitivní funkce k těmto funkcím. Spočítáme si integrály. Z Z y 0 (x) = g(x) + c (2) h(y(x)) Integrační konstantu c v rovnosti (2) určíme pomocí počáteční podmínky. Poznámka 5. Známe-li integrační počet, může se nám rovnice (2) zdát nekorektní. Scházejí diferenciály. Jedná se však pouze o jiný zápis. Do korektnějšího tvaru z hlediska integračního počtu rovnici lehce převedeme, když si uvědomíme, co znamená zápis y 0 (x). Proměnná y je derivována podle proměnné x. Lze tedy psát y 0 = y 0 (x) =
dy dx
Rovnici (1) lze proto psát také ve tvaru dy dx
h(y(x)) takže lze upravovat
= g(x)
/ · dx
dy = g(x) dx h(y(x)) Z Z dy = g(x) dx + c h(y(x))
(3)
(4) (5)
S poslední uvedenou rovnicí již z formálního hlediska můžeme být spokojeni. Příklad 4.
1 −y ·e , y(0) = 0 x Je zadaná rovnice a počáteční podmínka. Nejprve určíme intervaly spojitosti funkcí g(x) a h(y). x ∈ (−∞, 0), x ∈ (0, +∞), y∈R y0 =
Zakresleme si do grafu oblasti, kde funkce jsou definovány, a vyznačme počáteční podmínku. Přímky, na kterých funkce nejsou definovány, vyznačme čárkovaně.
Obr. 3: Intervaly spojitosti, počáteční podmínka 45
Z obrázku je ihned zřejmé, že počáteční podmínka x0 = 0, y0 = 0 leží na přímce, kde není řešení rovnice definováno. Rovnice tedy (pro danou počáteční podmínku) nemá řešení. Příklad 5.
1 −y ·e , y(1) = 0 x Stejná rovnice jako v minulém příkladu, jiná počáteční podmínka. Intervaly spojitosti už známe: x ∈ (−∞, 0), x ∈ (0, +∞), y∈R y0 =
Počáteční podmínka nyní neleží na přímce, kde není definováno řešení.
Obr. 4: Intervaly spojitosti, počáteční podmínka Funkce g(x) je na obou intervalech, kde je definována, spojitá. Stejně tak funkce h(y). Cauchyho úloha tedy má řešení. Vyšetřeme, zda je toto řešení jednoznačné posouzením spojitosti funkce g(x) · h0 (y). g(x) · h0 (y) =
1 ¡ −y ¢ · −e x
(6)
Obě funkce v součinu (6) jsou spojité, spojitý je tudíž i součin a řešení je jednoznačné1 ). Hledejme stacionární řešení. e−y = 0 ⇔ y ∈ ∅ Stacionární řešení tedy neexistuje. Exponenciální funkce totiž nikdy nenabývá nulové hodnoty. Pokračujme krokem 3 zmíněného postupu. y0 =
1 dy = · e−y dx x
/ · (ey dx)
(7)
Odmyslíme si část rovnosti y 0 = a převedeme všechny proměnné s x rovnosti (7) na jednu stranu a proměnné s y na stranu druhou (jak značí úprava vpravo od rovnice). Rovnost potom zintegujeme. dx ey dy = x 1
) Pojem jednoznačnost bude vysvětlen v poznámce za příkladem.
46
Z
Z y
e dy =
dx x
ey = ln |x| + c ey = ln |x| + c
y(1)=0
e0 = ln |1| + c
−→
(8) ⇒c=1
Logaritmováním rovnice (8), použijeme-li právě vypočtenou integrační konstantu, dostáváme řešení rovnice: µ ¶ 1 y ln e = y(x) = ln (ln |x| + 1); x ∈ , +∞ (9) e Definiční obor řešení (tj. definiční obor výsledné funkce) je nedílnou součástí řešení. Zde jsme definiční obor našli řešením nerovnice ln |x| + 1 > 0
(10)
kdy tato nerovnice dává smysl vnějšímu přirozenému logaritmu funkce y(x) z (9) (logaritmus je definován jen pro kladná čísla). Úpravou (10) získáme sice nerovnost |x| > 1/e (neboli intervaly (−∞, −1/e), (1/e, +∞)), vybereme ovšem ten interval, který vyhovuje počáteční podmínce.
Obr. 5: Znázornění řešení příkladu 5 Poznámka 6. Někdy se stane, že jedním bodem (jednou počáteční podmínkou) prochází více křivek, které jsou řešením určité diferenciální rovnice. Řešení se tedy větví — křivky se v nějaké vzdálenosti od sebe oddělí a my jsme získali dvě nebo více řešení Cauchyho úlohy. Řešení je tedy nejednoznačné nebo jinak řečeno není jednoznačné. Všechna řešení na daném bodě a jeho malém okolí splynou v jedno. Jednoznačné řešení pak znamená, že daným bodem prochází jen jedna křivka (jedno řešení diferenciální rovnice).
7.3. Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty Nejprve si všimneme, pro snazší pochopení, lineárních dif. rovnic prvního řádu. 47
Definice 3. Rovnice tvaru a1 (x)y 0 + a0 (x)y = f (x);
a1 , a0 , f : I → R
(11)
za předpokladu a1 , a0 , f spojité na I, a1 (x) 6= 0 na I, se nazývá lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Poznámka 7. a1 , a0 , f : I → R znamená, že tři uvedené funkce jsou definovány na intervalu I a jejich funkční hodnoty jsou v R (zobrazují se do R). Platnost předpokladu a1 (x) 6= 0 nás oprávňuje rovnici (11) touto funkcí vydělit. Vzniknou jiné funkce u proměnné y a na pravé straně rovnice. Přistoupíme k definici speciálního případu lineární dif. rovnice 1. řádu. Definice 4. Rovnice tvaru y 0 + p(x)y = 0,
x ∈ I, p spojitá na I
(12)
se nazývá homogenní lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice 1.řádu Rovnici (12) upravíme odečtením p(x)y od obou jejích stran na rovnici se separovanými proměnnými y 0 = −p(x)y Řešení dále hledáme ve dvou krocích. Krok 1 Najdeme stacionární řešení. y(x) = 0
x∈I
Krok 2 Hledáme další řešení, pro které platí: 1) y(x0 ) 6= 0
⇒ y je nenulová na J 3 x0
2) y je funkce spojitá Hledáme tedy nenulové řešení (y(x) 6= 0) v bodě x0 a to metodou separace proměnných. y 0 (x) = −p(x) y(x) Z
Z
y 0 (x) = y(x) dy = y(x)
Z −p(x)
Z −p(x) dx 48
(13)
Z ln |y(x)| = −
p(x) dx + ln c,
|y(x)| = e
−
R
p(x) dx
c>0
·c
(14)
(15)
y(x) nemění znaménko na J (plyne z předpokladu, že je nenulová na J), a tak y(x) = e−
R
p(x) dx
· c,
c 6= 0
Stacionární řešení z kroku 1 můžeme zahrnout, připustíme-li c = 0. Obecným řešením (12) tedy je R − p(x) dx y(x) = c · e , x ∈ I, c ∈ R (16) Poznámka 8. 1) V rovnici (13) bylo užito náhrady diferenciálu y 0 (x) = dy/dx, jak bylo naznačeno v předchozí podkapitole. V rovnici (15) násobíme konstantou c. K tomu dospějeme například tak, že od obou stran rovnice (14) odečteme ln c, rozdíl logaritmů ln |y(x)| a ln c upravíme na základě pravidla pro rozdíl logaritmů, rovnici odlogaritmujeme a vynásobíme konstantou c. 2) Z výše uvedeného vyplývá, že každá homogenní lineární dif. rovnice má stacionární řešení y(x) = 0. Příklad 6.
xy 0 + y = 0,
počáteční podmínka : y(1) = 2
Úprava na rovnici (12) je možná pouze pro a1 (x) = x 6= 0. Zajímají nás tedy řešení pouze na intervalu x ∈ (−∞, 0) nebo na intervalu x ∈ (0, ∞). y0 +
y =0 x
y dy =− dx x Z
dy =− y
Z
dx x
ln |y| = − ln |x| + ln c, c |y| = |x| Obecné řešení : y(x) =
c>0
c , x ∈ (−∞, 0), x ∈ (0, ∞), c ∈ R x 49
Nyní hledejme (konkrétní) řešení s užitím počáteční podmínky. y(x) =
c , x
y(1)=2
−→
Řešení: y(x) =
2=
c ⇒ c=2 1
2 , x ∈ (0, ∞) x
Poznamenejme, že definiční obor řešení jsme vybrali na základě toho, v jakém ze dvou intervalů x ∈ (−∞, 0), x ∈ (0, ∞) ležela počáteční podmínka. Definice 5. Rovnice tvaru y 0 + p(x)y = q(x),
x ∈ I, p, q spojitá na I, q(x) 6= 0 na I
(17)
se nazývá nehomogenní lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice 1.řádu Rovnici (17) řešíme s pomocí přidružené homogenní dif. rovnice (16) R − p(x)dx y˜(x) = c · e
(18)
Mezi rovnicemi (16) a (18) je rozdíl jen ve vlnce nad proměnnou y. Rovnici (18) nazýváme řešením přidružené homogenní diferenciální rovnice. Stačí nalézt jedno partikulární řešení rovnice (17), partikulární řešení značíme yˆ. Celkové obecné řešení nehomogenní diferenciální rovnice je součtem řešení přidružené homogenní diferenciální rovnice y˜ a partikulárního řešení yˆ, tedy y(x) = y˜(x) + yˆ(x)
(19)
Řešení Cauchyho úlohy získáme dosazením počáteční podmínky do (19). Partikulární řešení yˆ hledáme metodou metodou variace konstanty. Při této metodě přecházíme od konstanty c k funkci c(x) c → c(x) Rovnice (18) proto přechází na tvar yˆ(x) = c(x) · e−
R
p(x)dx
(20)
Nyní rovnici (20) dosadíme přímo do definice (17). V definici se vyskytuje derivace funkce y. Spočítejme si nejprve derivaci funkce yˆ, aby se nám lépe dosazovalo. R R − p(x)dx − p(x)dx 0 0 yˆ (x) = c (x) · e + c(x) · e · (−p(x)) (21) 50
Snadno v tuto chvíli dosadíme (20) a (21) do (17). Za y v (17) dosazujeme yˆ. Zatím se zdá, že se situace pouze zkomplikovala, neboť neznáme c(x) ani derivaci této funkce. R R R h i h i − p(x)dx − p(x)dx − p(x)dx 0 c (x) · e + c(x) · e · (−p(x)) + c(x) · e · p(x) = q(x) Druhý a třetí sčítanec levé strany rovnice se nám odečtou. Zůstává R − p(x)dx 0 c (x) · e = q(x) R 0 c (x) = q(x) · e p(x)dx Z ³ R ´ c(x) = q(x) · e p(x)dx Poslední uvedený vztah dosadíme do (20) µZ R yˆ(x) = q(x) · e
¶ p(x)dx
· e−
R
p(x)dx
Neznámá konstanta c(x) nám při řešení vypadla (pokud nevypadla, udělali jsme někde chybu). Získali jsme partikulární řešení yˆ nehomogenní lineární diferenciální rovnice 1.řádu. Příklad 7.
y0 +
y = 1, x
počáteční podmínka : y(1) = 2
1) Přidružená homogenní rovnice je y0 +
y =0 x
Tuto rovnici jsme vyřešili v minulém příkladu, proto můžeme rovnou zapsat její řešení c y˜(x) = , c∈R x 2) Hledáme partikulární řešení yˆ metodou variace konstanty. yˆ =
c(x) 1 = c(x) · , x x
yˆ0 = c0 (x) ·
1 1 − c(x) · 2 x x
c(x) · x1 1 1 c (x) · − c(x) · 2 + =1 x x x 1 c0 (x) · = 1 x c0 (x) = x x2 c(x) = + 0 (c = 0, obecně c ∈ R) 2 x x2 1 · = yˆ = 2 x 2 0
51
Obecné řešení zadané rovnice tedy je y(x) = yˆ + y˜ =
x c + , 2 x
c ∈ R, x ∈ (−∞, 0), x ∈ (0, ∞)
(22)
3) Užití počáteční podmínky. y(x) =
x c + , 2 x y(x) =
y(1)=2
−→
x 3 + , 2 2x
2=
1 c 3 + ⇒ c= 2 1 2
x ∈ (0, ∞)
Obr. 6: Znázornění řešení příkladu 7 Na obrázku je znázorněno několik větví obecného řešení rovnice a je vyznačeno řešení Cauchyovy úlohy s příslušnou počáteční podmínkou. Úloha má stacionární řešení y(x) = x2 , x ∈ (−∞, 0), x ∈ (0, ∞) (obě jeho větve vyznačeny tučnou čerchovanou čarou). Stacionární řešení není řešením Cauchyho úlohy. Aby bylo, musela by být počáteční podmínka taková, aby konstanta c v (22) byla c = 0, tj. např. y(4) = 2. Zaměřme se na diferenciální rovnice vyšších řádů (2.řádu až n-tého). Definice 6. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu je každá rovnice tvaru y (n) + an−1 (x) · y (n−1) + . . . + a1 (x) · y 0 + a0 (x) · y = f (x)
(23)
kde an−1 , an−2 , . . . , a0 , f jsou koeficienty rovnice, jsou to funkce spojité na intervalu I. O homogenní lineární diferenciální rovnici hovoříme, pokud f (x) = 0 na I. Přidružená homogenní diferenciální rovnice má stejný tvar jako (23), místo funkce f (x) je však funkce g(x) = 0 na I. Pro zjednodušení zápisu „lineární diferenciální rovnice n-tého řáduÿ zaveďme zkratku LDR n-tého řádu.
52
Příklad 8. Řešme rovnici y 00 = 1 integrací. y 00 = 1 y0 = x + c x2 y= + cx + c˜ 2 Na základě tohoto příkladu je zřejmé, že k řešení rovnice n-tého řádu potřebujeme n konstant a n počátečních podmínek. Věta 3. Množina řešení homogenní lineární diferenciální rovnice řádu n tvoří lineární prostor dimenze n. Poznámka 9. Když spojíme poselství věty 3 s našimi znalostmi z lineární algebry, uděláme si přesnější obraz o množině řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu (zaveďme zkratku HLDR n-tého řádu). Dimenze je počet prvků báze, tedy počet vektorů, které bázi tvoří. Protože řešením diferenciálních rovnic jsou funkce, jsou bázovými vektory funkce. Sumarizujme: řešením HLDR n-tého řádu je lineární prostor, jehož bázi tvoří n funkcí. Tyto funkce jsou vzájemně lineárně nezávislé. Definice 7. Fundamentální systém řešení HLDR n-tého řádu je jakákoli báze řešení. Poznámka 10. V příkladech 7 a 8 podkapitoly S1.5 Báze vektorového prostoru jsme zjistili, že báze nějakého lineárního prostoru není tímto prostorem určena jednoznačně. Existuje tedy více (nekonečně mnoho) „právoplatnýchÿ bází lineárního prostoru. Hlavní požadavek na bázi je, aby její vektory byly lineárně nezávislé. K otestování, zda funkce y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) jsou nebo nejsou lineárně nezávislé a tvoří/netvoří tak fundamentální systém řešení, slouží wronskián neboli Wronského determinant. Hloubavější čtenáře odkážeme na literaturu v závěru kapitoly a wronskiánem se nebudeme zabývat. Příklad 9. Máme diferenciální rovnici x2 − 2 2x − 2 y 00 − 2 · y0 + 2 ·y =0 x − 2x x − 2x s fundamentálním systémem řešení {x2 , ex }. Ze tvaru rovnice poznáváme, že se jedná o HLDR 2.řádu. Koeficienty rovnice jsou spojité v celém svém definičním oboru x ∈ (−∞, 0),
x ∈ (0, 2),
x ∈ (2, +∞)
Množina řešení tvoří lineární prostor dimenze 2. Ověříme pro první funkci z fundamentálního systému, zda je opravdu řešením. 2−
x2 − 2 2x − 2 · 2x + · x2 = 0 x2 − 2x x2 − 2x −x2 + 2 + x2 − x 2 − 2x · =0 x2 − 2x 2 − 2x · 53
−(x − 2) =0 x · (x − 2)
Rovnost platí. Podobně lze ověřit, že i funkce ex (a její násobky) je řešením dané rovnice. Definice 8. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty je každá rovnice tvaru an · y (n) + an−1 · y (n−1) + . . . + a1 · y 0 + a0 · y = f (x),
an 6= 0
(24)
kde an−1 , an−2 , . . . , a0 jsou reálná čísla. Řešení rovnice existuje na intervalu spojitosti funkce f (x). HLDR n-tého řádu s konstatními koeficienty je pak taková rovnice, ve které f (x) = g(x) = 0. Řešení HLDR n-tého řádu s konstatními koeficienty Tuto rovnici řešíme tak, že místo proměnné y píšeme λ (lambda) a místo derivování píšeme mocninu. Z rovnice (24) pro f (x) = 0 (aby byla homogenní) pak vznikne rovnost an · λn + . . . + a1 · λ + a0 = 0 Této rovnici říkáme charakteristická rovnice. Jedná se o klasickou algebraickou rovnici n-tého stupně. Nevyskytují se v ní žádné derivace. Řešíme ji standardními postupy. Kořeny charakteristické funkce λi potom určují kořeny vlastní diferecniální rovnice. Z charakteristické funkce vyčteme n lineárně nezávislých řešení, tyto řešení tedy tvoří fundamentální systém řešení dané HLDR. Věta 4. (o kořenech charakteristické funkce) Nechť an · λn + . . . + a1 · λ + a0 = 0 je charakteristická funkce HLDR n-tého řádu s konstatními koeficienty. Má-li charakteristická funkce 1) reálný kořen λ násobnosti k, pak existuje k řešení dif. rovnice tvaru: eλx , xeλx , . . . , xk−1 eλx 2) imaginární kořen α + βj (α, β ∈ R) násobnosti k, je kořenem násobnosti k též číslo α − βj, pak existuje řešení ve tvaru: eαx cos βx x · eαx cos βx . . . eαx sin βx x · eαx sin βx . . .
xk−1 · eαx cos βx xk−1 · eαx sin βx
Tento seznam čítá n řešení, všechna jsou lineárně nezávislá a tvoří fundamentální systém. Poznámka 11. Druhá část věty 4 říká, že imaginární kořen λ1 = α + βj se nikdy nevyskytuje bez svého komplexního protějšku λ2 = α − βj. Ve výčtu bodu 2) věty 4 se však nevyskytuje žádné řešení, ve kterém by byla obsažena imaginární část kořenu λ2 (má opačné znaménko než imaginární část kořenu λ1 ). Je to proto, že goniometrické funkce cos βx a cos (−βx) představují tutéž funkci (vyplývá to ze 54
sudosti kosinu) a funkce sin βj, sin (−βj) jsou stejné až na znaménko. Kdyby byly ve fundamentálním systému řešení obsaženy všechny 4 tyto funkce, byly by zmíněné dvojice funkcí lineárně závislé, což odporuje definici fundamentálního systému (obsahuje lineárně nezávislé funkce). Proto jedné dvojici imaginárních kořenů charakteristické funkce odpovídá dvojice funkcí eαx cos βx, eαx sin βx, nikoli čtveřice eαx cos βx, eαx cos (−βx), eαx sin βx, eαx sin (−βx). Víme, jak vypadá fundamentální systém řešení (zaveďme pro něj zkratku FS). Dále si řekneme, jak s pomocí FS zjistíme řešení HLDR s konstatními koeficienty. Obecné řešení HLDR s konstatními koeficienty je dáno (lineární) kombinací řešení z FS: y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x), c1 , c2 , . . . , cn ∈ R (25) kde ci jsou reálná čísla, tzv. koeficienty, a yi (x) jsou funkce z FS, i ∈ {1, 2, . . . , n}. Když hledáme řešení Cauchyho úlohy, musíme znát pro HLDR n-tého řádu právě n počátečních podmínek — pro každou derivaci až do (n − 1) řádu jednu podmínku. Nalezneme derivace (25) až do (n − 1) řádu. Pro tyto derivace jsou dány počáteční podmínky. Když dosadíme počáteční podmínky do derivovaných řešení y(x), získáme soustavu n lineárních rovnic s n neznámými konstantami. Metodami z algebry dospějeme k řešení těchto rovnic, kterým jsou hodnoty všech konstant. Ty pak dosadíme do (25), čímž získáme hledané řešení. Příklad 10. Řešme
y 00 + 4y 0 + 20y = 0
Sestavíme charakteristickou rovnici, kterou následně řešíme. λ2 + 4λ + 20 = 0 D = 16 − 4 · 20 = −64 < 0 ⇒ nemá řešení v R √ D = 8j ( −2 + 4j √ −b ± D −4 ± 8j λ1,2 = = 2a 2 −2 − 4j FS :{e−2x cos(4x), e−2x sin 4x} Obecné řešení je y(x) = c1 e−2x cos(4x) + c2 sin(4x),
x∈R
Nebyla zadána počáteční podmínka, proto nelze počítat hodnoty konstant nějakého konkrétního řešení. Příklad 11. Řešme y 000 − 3y 0 + 2y = 0,
y(0) = 3, y 0 (0) = −4, y 00 (0) = 7 55
Sestavíme charakteristkou rovnici a řešíme. λ3 − 3λ + 2 = 0 (λ − 1)2 (λ + 2) = 0 λ1,2 = 1, λ3 = −2 FS : {ex , x · ex , e−2x } Kořen λ1,2 je dvojnásobný, proto se ve FS objevuje kromě ex také x · ex . Pokud bychom měli problémy s rozkladem polynomu na pravé straně charakteristické funkce, pomohli bychom si opět algebrou, např. tzv. Hornerovým schématem. Obecné řešení dané rovnice tedy je: y(x) = c1 ex + c2 x · ex + c3 e−2x
(26)
Abychom mohli dosadit počáteční podmínku, musíme nejprve nalézt derivace obecného řešení (26). Napišme po řadě nultou, první a druhou derivaci (26). y(x) = (c1 + c2 x)ex + c3 e−2x y 0 (x) = (c1 + c2 + c2 x)ex − 2c3 e−2x y 00 (x) = (c1 + 2c2 + c2 x)ex + 4c3 e−2x Dosadíme počáteční podmínky do těchto rovnic, získáváme soustavu 3 = c1 + c3 −4 = c1 + c2 − 2c3 7 = c1 + 2c2 + 4c3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 1 −2 −4 −1·[1] ∼ 0 1 −3 −7 ∼ 0 1 −3 −7 ∼ 1 2 4 7 −1·[1] 0 2 3 4 −2·[2] 0 0 9 18 · 19
1 0 1 3 −1·[3] 1 0 0 1 → c1 = 1 ∼ 0 1 −3 −7 3·[1] ∼ 0 1 0 −1 → c2 = −1 0 0 1 2 0 0 1 2 → c3 = 2 Konstanty dosadíme do obecného řešení (26), čímž dostaneme řešení Cauchyho úlohy: y(x) = (1 − x)ex + 2e−2x ,
x∈R
Řešení nehomogenní LDR n-tého řádu s konstatními koeficienty Řešení je dáno součtem obecného řešení y˜ přidružené homogenní rovnice a partikulárního řešení yˆ nehomogenní rovnice. y(x) = y˜(x) + yˆ(x) 56
K nalezení partikulárního řešení používáme metodu variace konstant a metodu odhadu.
7.4. Variace konstant a metoda odhadu Variace konstant Metodu používáme při řešení nehomogenní LDR s konstatními koeficienty, tedy rovnice tvaru (24),(26) pro f (x) 6= 0: an · y (n) + an−1 · y (n−1) + . . . + a1 · y 0 + a0 · y = f (x),
an 6= 0
(26)
1) Nalezneme obecné řešení přidružené homogenní rovnice. Obecným řešením přidružené HLDR jsou kombinace řešení z FS: y˜(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x),
c1 , c2 , . . . , cn ∈ R
V partikulární řešení yˆ uvažujeme (vzhledem k obecnému řešení přidružené homogenní rovnice) místo konstant ci funkce ci (x). Porovnejme to s řešením nehomogenní LDR 1.řádu — tam jsme místo konstanty c uvažovali funkci c(x). yˆ(x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) + . . . + cn (x)yn (x)
(27)
2) Nalezneme derivace (27) až do n tého řádu a dosadíme je do (26). yˆ0 (x) = [c1 (x)y10 (x) + c2 (x)y20 (x) + . . . + cn (x)yn0 (x)] + + [c1 (x)0 y1 (x) + c02 (x)y2 (x) + . . . + c0n (x)yn (x)] Rovnici yˆ(x) jsme derivovali podle pravidel pro derivaci součtu a součinu. Nejprve jsme derivovali funkci yi (x) a funkci ci (x) jsme ponechali beze změny (výsledek pro všechna i ∈ (1, 2, . . . , n) v první hranaté závorce) a potom jsme derivovali funkce ci (x) a funkce yi (x) ponechali beze změny. Druhou hranatou závorku, tj. závorku s derivovanými funkcemi ci (x), položíme rovnu 0. Takže potom yˆ0 (x) =c1 (x)y10 (x) + c2 (x)y20 (x) + . . . + cn (x)yn0 (x) !
0 =c1 (x)0 y1 (x) + c02 (x)y2 (x) + . . . + c0n (x)yn (x) Podobně postupujeme v dalších derivacích funkce yˆ. Jakékoli derivace funkcí ci (x) pokládáme rovny 0. yˆ00 (x) =c1 (x)y100 (x) + c2 (x)y200 (x) + . . . + cn (x)yn00 (x) !
0 =c1 (x)0 y10 (x) + c02 (x)y20 (x) + . . . + c0n (x)yn0 (x) 57
yˆ000 (x) =c1 (x)y1000 (x) + c2 (x)y2000 (x) + . . . + cn (x)yn000 (x) !
0 =c1 (x)0 y100 (x) + c02 (x)y200 (x) + . . . + c0n (x)yn00 (x) Takto derivujeme funkci až do (n − 1) řádu. V derivaci n-tého řádu uděláme výjimku. Nepoložíme derivace funkcí ci (x) rovny nule, takže dostaneme: (n)
(n)
yˆ(n) (x) =c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) + . . . + cn (x)yn(n) (x)+ (n−1)
+c1 (x)0 y1
(n−1)
(x) + c02 (x)y2
(x) + . . . + c0n (x)yn(n−1) (x)
Už známe všechny derivace partikulárního řešení yˆ(x), můžeme je dosadit do (26). V praxi to děláme tak, že máme všechny derivace yˆ(x) napsané pod sebou a poté každou z nich vynásobíme příslušným koeficientem z (26) a sečteme je. Jejich součet pak položíme roven f (x). Když jsme nikde neudělali chybu, všechny nederivované funkce ci (x) se nám odečtou a zůstanou nám pouze první derivace ci (x), které jsme nepoložili rovné 0 při n-té derivaci řešení yˆ(x). 3) Nalezneme funkce ci (x) a dosadíme do (27). Výše uvedeným dosazením derivací yˆ(x) do (26) jsme získali jeden vztah, kde figurují první derivace funkcí ci (x). Dalších (n − 1) vztahů s c0i (x) tvoří vztahy, které jsme při derivacích yˆ(x) pokládali rovny nule. Je jich (n − 1), protože první takový vztah se vyskytl u první derivace yˆ(x) a naposledy jsme vztah s c0i (x) pokládali rovný nule u (n − 1) derivace. Celkem tedy máme n vztahů pro c0i (x), máme tedy soustavu n rovnic o n neznámých. Vyjádříme každou z neznámých, tj. každou funkci ci0 (x). Najdeme k ní primitivní funkci. Tím získáme n konstant ci (x), které doplníme do (27). 4) Obecné řešení rovnice je y(x) = yˆ(x) + y˜(x). 5) Řešení Cauchyho úlohy nalezneme dosazením počáteční podmínky do obecného řešení. Příklad 12. Řešme y 00 − 2y 0 + y =
ex , x2 + 1
y(0) = 1, y 0 (0) = 2
1) Nalezneme obecné řešení přidružené HLDR. y 00 − 2y 0 + y = 0 λ2 − 2λ + 1 = 0
⇒ λ1,2 = 1
⇒ FS : {ex , xex }
y˜(x) = c1 ex + c2 xex = (c1 + xc2 )ex Partikulární řešení tedy je yˆ(x) = (c1 (x) + xc2 (x))ex 58
(28)
2) Nalezneme první a druhou derivaci partikulárního řešení a dosadíme do zadání. yˆ0 (x) = [c01 (x) + c02 (x)x + c2 (x)] ex + [c1 (x) + c2 (x)x] ex První derivace ci (x) však položíme rovny nule, takže ¡ ¢ yˆ0 (x) =ex c1 (x) + c2 (x)x + c2 (x) ¡ ¢ ! 0 =ex (c01 (x) + c02 (x)x
(29)
U druhé derivace yˆ(x) už derivace ci (x) nebudeme pokládat rovny nule, protože se jedná o poslední (n-tou) derivaci yˆ(x). ¡ ¢ ¡ ¢ yˆ00 (x) = ex c1 (x) + c2 (x)x + 2c2 (x) + ex c01 (x) + c02 (x)x + c02 (x) Sečteme násobky těchto derivací yˆ(x) a položíme rovny funkci f (x) ze zadání. ¡ ¢ +1 yˆ(x) = ex c1 (x) + xc2 (x) ¡ ¢ −2 yˆ0 (x) = ex c1 (x) + c2 (x)x + c2 (x) ¡ ¢ ¡ ¢ +1 yˆ00 (x) = ex c1 (x) + c2 (x)x + 2c2 (x) + ex c01 (x) + c02 (x)x + c02 (x) ¢ ¡ ex = ex c01 (x) + c02 (x) + c02 (x)x 2 x +1 3) Vyjádříme funkce ci (x) Ze soustavy rovnic jsme získali jeden vztah s derivacemi funkcí ci (x). Můžeme jej vydělit ex , protože exponenciála je vždy nenulová. Přidejme k tomuto vztahu ještě onen vztah s derivacemi ci (x), který jsme při derivování položili roven nule, tedy vztah (29), ovšem také vydělený ex . Řešme soustavu těchto dvou rovnic stejným způsobem, který jsme aplikovali na rovnice s derivacemi yˆ(x). +1 −1
x2
1 = c01 (x) + c02 (x) + c02 (x)x +1 0 = c01 (x) + c02 (x)x Z
1 = 2 x +1 ⇓ x c01 (x) = − 2 x +1 c02 (x)
→
c02 (x) dx = arctg x
c2 (x) = Z
→
c1 (x) =
1 c01 (x) dx = − ln(x2 + 1) 2
Konstanty dosadíme do (28) µ yˆ(x) =
¶ 1 2 − ln(x + 1) + x arctg x ex 2 59
4) Obecné řešení y(x) soustavy je y(x) =˜ y (x) + yˆ(x) µ ¶ 1 2 y(x) = − ln(x + 1) + x arctg x + c1 + c2 x ex 2 5) Dosadíme do obecného řešení počáteční podmínku. Abychom tak mohli učinit, potřebujeme znát první derivaci obecného řešení, protože jedna z podmínek určuje hodnotu první derivace v bodě x0 . µ ¶ 1 0 2 y (x) = − ln(x + 1) + x arctg x + c1 + c2 x ex + 2 µ ¶ x x + − 2 + arctg x + 2 + 0 + c2 ex x +1 x +1 Po dosazení počáteční podmínky dostáváme: y(x) : 0
y (x) :
1 = (0 + 0 + c1 + 0) · 1
→ c1 = 1
2 = c1 + c2
→ c2 = 1
Můžeme zapsat hledané řešení Cauchyho úlohy: µ ¶ 1 2 y(x) = − ln(x + 1) + x arctg x + x + 1 ex , 2
x∈R
Metoda odhadu Metodu používáme při řešení nehomogenní LDR s konstatními koeficienty, tedy rovnice tvaru (30), pokud funkce f (x) je kvazipolynomem. y (n) + an−1 · y (n−1) + . . . + a1 · y 0 + a0 · y = f (x),
an 6= 0
(30)
Definice 9. Kvazipolynom je výraz typu eαx (Pm (x) cos(βx) + Qn (x) sin(βx)) , kde Pm (x), Qn (x) jsou nějaké polynomy stupně m a n. Partikulární řešení yˆ(x) rovnice (30) pak můžeme hledat ve tvaru ³ ´ ˆ k sin(βx) yˆ(x) = xs eαx Pˆk (x) cos(βx) + Q
(31)
kde s je násobnost kořene charakteristické rovnice k (30), který má tvar α + βj. Číslo α + βj, které je plně určeno funkcí f (x) na pravé straně rovnice (30), se někdy nazývá číslo pravé strany (rovnice). Pokud kořen char. rovnice rovný číslu pravé strany ˆ k jsou (neznámé) polynomy stupně k = max(m, n). neexistuje, klademe s = 0. Pˆk , Q 60
Při řešení příslušné diferenciální rovnice tedy podle kořenů charakteristické rovnice přidružené HLDR sestavíme partikulární řešení (31). Dále zjistíme jeho derivace až do n-tého řádu a dosadíme je do zadání rovnice. Porovnáním koeficientů u kvazipolyonmů ˆ k (x). Tím určíme partikulární řešení yˆ(x). pak určíme neznámé polynomy Pˆk (x), Q Obecné řešení diferenciální rovnice je pak, jako obvykle, dáno součtem obecného řešení přidružené HLDR a partikulárního řešení y(x) = y˜(x) + yˆ(x) do kterého, když hledáme nějaké konkrétní řešení, dosazujeme počáteční podmínku. Než se pustíme do příkladů, řekněme si něco o případu, kdy je funkce f (x) vztahu (30) vyjádřitelná jako součet kvazipolynomů. Nastane-li tento případ, můžeme uvedený postup také použít. Využijeme principu superpozice: Jestliže yˆk (x), (k ≤ u) jsou řešení rovnic y (n) + an−1 · y (n−1) + . . . + a1 · y 0 + a0 · y = fk (x), (k ≤ m), pak funkce yˆk (x) =
u X
yˆk (x)
k=1
je řešením rovnice y
(n)
+ an−1 · y
(n−1)
0
+ . . . + a1 · y + a0 · y =
m X
fk (x).
k=1
Příklad 13. Nalezněme obecné řešení rovnice y 00 + y 0 = 4x2 e−x . Nejprve nalezneme obecné řešení přidružené homogenní rovnice. λ2 + λ = 0
⇒
λ1 = 0, λ2 = −1 ⇒ y˜(x) = c1 + c2 e−x
FS = {1, e−x }
Číslo pravé strany je −1 + 0j. Z pravé strany rovnice určíme i stupeň k polynomů ˆ k (x), k = 2. Partikulární řešení původní rovnice tedy můžeme hledat ve tvaru Pˆk (x), Q yˆ(x) = x(Ax2 + Bx + C)e−x Všimneme si, že v partikulárním řešení jakoby chybí goniometrické funkce, které se vyskytují ve vztahu (31). Nechybí, pouze β = 0 (z čísla pravé strany) a tak polynom ˆ k (x) se v našem partikulárním řešení je vlastně polynom Pˆk (x), zatímco polynom Q díky sin(βx) = 0 v partikulárním řešení vůbec nevyskytuje. Je třeba určit konstanty A, B, C. Derivací partikulárního řešení postupně dostáváme ¡ ¢ yˆ0 (x) = −Ax3 + (3A − B)x2 + (2B − C)x + C e−x ¡ ¢ yˆ00 (x) = Ax3 − (6A − B)x2 + (6A − 4B + C)x + 2B − 2C e−x 61
Po dosazení derivací yˆ(x) do původní rovnice vzniká −3Ax2 + (6A − 2B)x + 2B − C = 4x2 Odtud porovnáním koeficientů u polynomů získáváme −3A = 4,
6A − 2B = 0,
2B − C = 0.
Např. postupným dosazováním zjistíme, že A = −4/3, B = −4, C = −8. Dosadíme do partikulárního řešení a máme ¶ µ 4 2 x + 4x + 8 e−x . yˆ(x) = −x 3 Obecné řešení rovnice je součtem partikulárního řešení a obecného řešení přidružené homogenní rovnice, tedy µ ¶ 4 2 y(x) = −x x + 4x + 8 e−x + c1 + c2 , 3 kde c1 , c2 jsou nějaké konstanty. Příklad 14. Nalezněme partikulární řešení rovnice y 00 + 3y 0 + 2y = x cos x. Číslo pravé strany je rovno j. Z charakteristické rovnice λ2 + 3λ + 2 = 0 plyne, že násobnost čísla pravé strany j je 0 (číslo j není kořenem charakteristické rovnice). Vidíme také, že k = 1. Partikulární řešení tedy hledáme ve tvaru yˆ(x) = (Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x odkud dostáváme yˆ0 (x) = (Cx + A + D) cos x + (−Ax − B + C) sin x yˆ00 (x) = (−Ax − B + 2C) cos x − (Cx + 2A + D) sin x Dosazením do původní rovnice získáme poněkud delší vztah [(A + 3C)x + (3A + B + 2C + 3D)] cos x+ + [(−3A + C)x − (2A + 3B − 3C − D)] sin x = x cos x Z něho jasně vidíme
A 3A + B − 3A − 2A − 3B
+ + + +
3C 2C + 3D C 3C + D
62
= = = =
1 0 0 0
Soustavu řešíme například Gaussovou eliminační metodou: 1 1 0 3 0 1 1 0 3 0 1 0 3 1 2 3 0 −3·[1] 0 1 −7 3 −3 0 1 ∼ ··· ∼ −3 0 1 0 0 3·[1] ∼ 0 0 10 0 0 0 3 −2 −3 3 3 1 2·[1] 0 −3 9 1 2 0 0 Z toho plyne
0 0 1 0
1 0 + 10 12 0 + 100 3 0 + 10 34 1 − 100
1 3 3 17 , B= , C= , D=− 10 25 10 50 µ ¶ µ ¶ 3 17 1 3 yˆ(x) = x+ cos x + x+ sin x 10 25 10 50 A=
Příklad 15. Uvažujme diferenciální rovnici y¨ − 4y˙ + 5y = 5x2 + 2x − 6. Nalezněme řešení pro y(0) = 1 a y(0) ˙ = 3. Číslo pravé strany je 0 + 0j (jedná se o výskyt e0·x zároveň s cos(0 · x), sin(0 · x), pravou stranu tvoří polynom Pˆk (x)). Charakteristická rovnice λ2 −4λ+5 = 0 má kořeny λ1,2 = 2 ± j, odkud FS = {e2x cos x, e2x sin x}
⇒
y˜(x) = (c1 cos x + c2 sin x)e2x
Sestavíme odhadované partikulární řešení, najdeme jeho derivace a dosadíme do původní rovnice +5 −4 +1
yˆ(x) = Ax2 + Bx + C yˆ0 (x) = 2Ax + B yˆ00 (x) = 2A 5x2 − 2x − 6 = 5Ax2 + x(5B − 8A) + (5C − 4B + 2A)
Porovnáním koeficientů a vyřešením jednoduché soustavy rovnic zjistíme, že A = 1, B = 2, C = 0, proto yˆ(x) = x2 + 2x y(x) = x2 + 2x + (c1 cos x + c2 sin x)e2x y(x) ˙ = 2x + 2 + ((2c1 + c2 ) cos x + (−c1 + 2c2 ) sin x) e2x Po dosazení počátečních podmínek y(0) = 1 a y(0) ˙ = 3 dostaneme c1 = 1, c2 = −1, takže y(x) = x2 + 2x + (cos x − sin x)e2x , x ∈ R Příklad 16. Uvažujme diferenciální rovnici y¨ + 2y˙ + 5y = e−x sin x. 63
Najděme odpověď pouze na otázku, jak bude vypadat odhad partikulárního řešení. Číslo pravé strany je −1 + j. Kořeny charakteristické rovnice λ2 + 2λ + 5 = 0 jsou λ1,2 = −1 ± 2j, tedy s = 0. Proto yˆ = e−x (A cos x + B sin x) Čtenář si tuto úlohu může dopočítat pro počáteční podmínku y(0) = 1, y 0 (0) = −2/3. Pravděpodobně dospěje k řešení ¶ µ 1 y(x) = cos 2x + sin x e−x , x ∈ R 3
7.5. Využití Laplaceovy transformace pro řešení soustavy diferenciálních rovnic Laplaceova transformace je zobrazení, které jedné funkci přiřadí jinou. Definice 10. Laplaceův obraz funkce f (t) definované na < 0, +∞) je Z
+∞
F (p) =
f (t)e−pt dt
0
pokud tento integrál konverguje pro alespoň jedno p. Funkce f (t) se nazývá předmět, funkce F (p) obraz v Laplaceově transformaci. Transformaci funkce f na funkci F značíme těmito způsoby: f (t)=F, b
L{f } = F,
L{f (t)} = F (p)
Příklad 17. Najdeme obraz funkce f (t) = eat , a ∈ R. Z
∞
F (p) =
Z at −pt
e e
∞
dt =
0
e(a−p)t dt
0
a) p = a → e0·t = 1 Z
∞
=
1 dt = +∞
integrál nekonverguje
0
b) p 6= a
·
1 (a−p)t e = a−p
¸∞ = 0
+∞,
p
p>a
1 p−a ,
Laplaceův obraz funkce f (t) = eat je tedy definován jen pro p > a. Dále uveďme bez výpočtů obrazy některých „užitečnýchÿ funkcí. 64
f (t)
F(t)
Podmínka pro p
eat
p>a
1
1 p−a 1 p
0
0
p∈R
p>0
1 p2 +1 p p2 +1 n! pn+1
sin t cos t tn
p>0 p>0 p>0
Definice 11. Funkce f definovaná na < 0, +∞) se nazývá předmět standardního typu (říkáme, že patří do třídy L0 ), jestliže platí současně: 1) f je po částech spojitá (body nespojitosti jsou skokové, tj. mají konečné jednostranné limity zleva a zprava; těchto bodů je na každém omezeném intervalu konečně mnoho), 2) f je exponenciálního řádu, tj. existují konstanty M ∈ R, α ∈ R takové, že |f (t)| ≤ M · eαt , α je řád exponenciální funkce, f je funkce exponenciálního řádu α. Věta 5. (o existenci obrazu) Je-li f ∈ L0 (f je exponenciálního řádu α) pak Laplaceův obraz funkce f je definován pro p > α. Zároveň platí lim F (p) = 0.
p→∞
Příklad 18. f (t) = sin t Jedná se o spojitou funkci. Je to funkce exponenciálního řádu α = 0, protože | sin t| ≤ 1 · e0·t
→ M = 1, α = 0.
Obraz této funkce je tedy definován pro p > 0. Věta 6. (o linearitě) Jsou-li f, g ∈ L0 exponenciálního řádu α, a, b ∈ R, pak L{af + bg} = aL{f } + bL{g} a je definován pro p > α. Věta 7. (o derivaci obrazu) Je-li f ∈ L0 exponenciálního řádu α s Laplaceovým obrazem L{f } = F , pak L{t · f (t)} = −F 0 (p), p > α. Příklad 19. ·
¸ µ ¶0 1 1 −1 1 L{t} = L{t · 1} = 1= b ,p > 0 = − = − 2 = 2,p > 0 p p p p Věta 8. (o integraci obrazu) Je-li f ∈ L0 exponenciálního řádu α s Laplaceovým obrazem L{f } = F , pak limt→0+ f (t) t je vlastní (tj. ∈ R), pak ½
f (t) L t
¾
Z
∞
=
F (q) dq, p > α p
65
Příklad 20.
½
sin t L t
¾
Z = p
∞
q2
1 π dq = [arctg q]∞ − arctg p, p > 0 p = +1 2
Věta 9. (o substituci | posunu v obrazu) Je-li f ∈ L0 exponenciálního řádu α, F = L{f }, a ∈ R, pak L{eat f (t)} = F (p − a). (Vynásobení předmětu exponenciální funkcí způsobí posun obrazu.) Příklad 21. Víme, že L{tn } = n!/pn+1 . Podle věty 9 platí L{eat tn } =
n! . (p − a)n+1
Věta 10. (o změně měřítka) Je-li f ∈ L0 exponenciálního řádu α, F = L{f }, a > 0, pak ³p´ © ª 1 L f (at) = · F , p > a · α. a a Příklad 22. Víme, že L{sin t} = 1/p2 + 1, p > 0. Hledejme L{sin(ωt)} a) ω > 0 : L{sin(ωt)} =
1 1 ω · ¡ p ¢2 = 2 , p>0 ω p + ω2 +1 ω
b) ω < 0 : Sinus je lichá funkce, a tak bude-li ω záporná, využijeme linearitu Laplaceovy transformace a můžeme psát L{sin(ωt)} = −L{sin(−ωt)} = −
1 ·³ −ω
c) ω = 0 : L{sin(ωt)} = −L{0} = 0 =
p −ω
1 ´2
= +1
p2
ω , p>0 + ω2
ω , p∈R p2 + ω 2
Odtud můžeme zapsat Laplaceův obraz sin(ωt) a přidáme bez výpočtu obraz cos(ωt). ω , p > 0, ω ∈ R + ω2 p L{cos(ωt)} = 2 , p > 0, ω ∈ R p + ω2 L{sin(ωt)} =
p2
Zpětnou Laplaceovu tranformaci obvykle provádíme tak, že se snažíme převést Laplaceův obraz na obraz nějaké známé funkce. Využíváme uvedených vět, hlavně vět o linearitě, o posunu obrazu a o změně měřítka. Věta 11. (o obrazu derivace) Je-li f 0 ∈ L0 exponenciálního řádu α, F = L{f }, pak L{f 0 (t)} = pF (p) − f (0+ ), p > max(0, α) 66
Poznámka 12. Větu o obrazu derivace lze užít opakovaně, tedy f 00 ∈ L0
⇒
L{f 00 (t)} =pL{f 0 (t)} − f 0 (0+ ) = p [pF (p) − f (0+ )] − f 0 (0+ ) =p2 F (p) − pf (0+ ) − f 0 (0+ )
Pro n-tou derivaci lze dokonce psát f (n) ∈ L0 ⇒
L{f (n) (t)} = pn F (p) − pn−1 f (0+ ) − pn−2 f 0 (0+ ) − . . . − pf n−2 (0+ ) − f n−1 (0+ )
Přejděme k praktické aplikaci Laplaceovy transformace, konkrétně do oblasti diferenciálních rovnic. Příklad 23. Řešme s užitím Laplaceovy transformace: x ¨ + 2x˙ + x = t · e−t ,
x(0+ ) = 1, x(0 ˙ + ) = −1. 1 (p + 1)2 1 + (p + 1) (p + 1)2 1 p+1 + 4 (p + 1) (p + 1)2 1 1 + 4 (p + 1) p+1 1 3 −t t e + e−t 3!
p2 X(p) − p + 1 + 2pX(p) − 2 + X(p) = X(p)(p2 + 2p + 1) = X(p) = X(p) = x(t) = Řešením tedy je vztah
µ x(t) =
¶ 1 3 t + 1 e−t , 6
t≥0
Je vidět, že s využitím Laplaceovy transformace se řeší rovnice snadněji. Neplatí to jen o jednotlivých rovnicích, ale i o celých soustavách. Řešení soustav LDR s využitím Laplaceovy transformace Jednotlivé rovnice transformujeme pomocí Laplaceovy transformace, poté vyjádříme obrazy neznámých a zpětnou Laplaceovou transformací získáme řešení. Příklad 24. Pro počáteční podmínky x(0+ ) = 2, y(0+ ) = 2, řešme soustavu y˙ = 2x − 4y + 4e−2t x˙ = 2x − 2y Označme L{x(t)} = X(p), L{y(t)} = Y (p) a převeďme rovnice. I
pX(p) − 2 = 2X(p) − 4Y (p) +
II
pY (p) − 2 = 2X(p) − 2Y (p) 67
4 p+2
Upravujme nejdříve rovnici II. pY (p) + 2Y (p) = 2X(p) + 2 (p + 2)Y (p) = 2X(p) + 2 2 2 Y (p) = X(p) + p+2 p+2 Nyní můžeme Y (p) dosadit do rovnice I.
·
¸ 2 2 4 pX(p) − 2 = 2X(p) − 4 X(p) + + p+2 p+2 p+2
pX(p) − 2X(p) = 2 −
8 8 4 X(p) − + p+2 p+2 p+2
8 4 X(p) = 2 − p+2 p+2 µ ¶ 8 4 X(p) p − 2 + = 2− p+2 p+2 .. . 2p p X(p) = 2 = 2 2 p +4 p + 22
pX(p) − 2X(p) +
(32)
Vztah (32) dosadíme do vztahu pro Y (p) Y (p) = =
2 2 2 2p 2 4p + 2(p2 + 4) X(p) + = · 2 + = 2 p+2 p+2 p+2 p +4 p+2 (p + 4)(p + 2) 2p2 + 4p + 8 2(p + 2)2 p+2 = =2 2 2 2 (p + 4)(p + 2) (p + 4)(p + 2) p +4
Y (p) = 2
2 p + 2 p2 + 22 p2 + 22
(33)
Ze vztahů (32) a (33) pak pomocí věty 10 a příkladu 22 získáváme x(t) = 2 cos 2t y(t) = 2 cos 2t + 2 sin 2t Příklad 25. Pro počáteční podmínky x(0+ ) = 1, y(0+ ) = 1, řešme soustavu x˙ =x + y y˙ =3y − 2x Řešení nechme na čtenáři, výsledkem je x(t) =e2t cos t y(t) =e2t (cos t − sin t) Použitá literatura: Josef Tkadlec, Matematika 2. [přednášky, cvičení], FEL ČVUT, Praha, 2003-2004 Pavel Pták, Diferenciální rovnice, Laplaceova transformace. [skriptum], Vydavatelství ČVUT, Praha, 1997 68
11. Harmonický ustálený stav, fázory napětí a proudu, komplexní imitance. 11.1. Harmonický ustálený stav Nastává v obvodech buzených harmonickými zdroji napětí a proudu. Po doznění přechodných jevů vyvolaných připojením zdrojů se ustálí časový průběh sledovaných veličin na harmonický s konstantní amplitudou. K tomuto stavu může dojít výhradně v lineárních obvodech. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Lineární obvody (připomenutí) · · · · · · · · · · · · · · · · · · Vlastnosti obvodu závisí na vlastnostech prvků, které jej tvoří. Vztahy mezi napětími a proudy na svorkách prvků se nazývají charakteristiky. Je-li charakteristika lineární, platí pro ní toto: f (ax) = a · f (x), a ∈ R\{0}
a
f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ).
Obvody složené z prvků s lineárními charakteristikami (=lineární obvody) • jsou popsány soustavou lineárních rovnic • parametry prvků (např. odpor) jsou nezávislé na velikosti napětí a proudů • platí princip superpozice (!) Pokud obsahuje obvod alespoň jeden prvek s nelineární charakteristikou, je celý obvod nelineární a výše řečené o něm neplatí. ····························································· Harmonicky proměnná veličina je základním případem periodické funkce, kterou lze vyjádřit pomocí funkce sinus nebo kosinus.
Obr. 1: Harmonické napětí
69
Časový průběh harmonického napětí s periodou T [s] podle obr. 1 lze zapsat ve tvaru µ ¶ 2π u(t) = Um sin t + ψ = Um sin(ωt + ψ) T Význam symbolů je následující u(t)
okamžitá hodnota napětí [V]
Um
amplituda (maximální hodnota) [V]
ω = 2π/T = 2πf
úhlový kmitočet [rad/s]
(ωt + ψ)
fáze [rad]
ψ
počáteční fáze [rad]
11.2. Fázory napětí a proudu Pro plné určení harmonického průběhu stačí znalost tří parametrů • amplitudy • kmitočtu (nebo periody) • počáteční fáze Protože platí Um ej(ωt+ψ) = Um cos(ωt + ψ) + jUm sin(ωt + ψ) lze harmonickou funkci vyjádřit pomocí komplexní funkce reálné proměnné takto: ˆ m ejωt ] u(t) = Um sin(ωt + ψ) = Im[Um ej(ωt+ψ) ] = Im[Um ejψ ejωt ] = Im[U ˆ m — fázor. Je to komplexní číslo, které obsahuje informaci o amplitudě a počáteční U fázi. V komplexní rovině představuje vektor napětí v čase t = 0. ˆ m ejωt — rotující fázor. Nese informaci o amplitudě, počáteční fázi a kmitočtu. V komU plexní rovině je to vektor napětí rotující s časem v kladném smyslu. Jeho průmětem do imaginární osy získáme časový průběh napětí. ˆ m = |U ˆ m |ejψ = Um ejψ U ˆ m je roven amplitudě napětí ˆ m | = Um . . . modul fázoru U |U ˆ m je rovna počáteční fázi napětí (fáze pro t = 0) ˆ m } = ψ . . . fáze fázoru U arg{U Um U= √ , 2
Um = 70
√
2·U
ˆm ˆ = |U|e ˆ jψ = U ejψ = U √ U 2 ˆ je roven efektivní hodnotě napětí ˆ = U . . . modul fázoru U |U| ˆ je rovna počáteční fázi napětí (fáze pro t = 0) ˆ = ψ . . . fáze fázoru U arg{U} ˆ aU ˆ m se tedy liší jen velikostí modulu. S efektivními hodnotami harmoFázory U ˆ užívaný více. nických veličin pracujeme častěji, proto je fázor U Protože v harmonickém ustáleném stavu je kmitočet všech veličin stejný, stačí každou z nich reprezentovat pouze amplitudou a počáteční fází, takže stačí vyjádřit pomocí fázoru. Příklad 1. Obvod se skládá z rezistoru o velikosti R = 100 Ω a zdroje proudu s amplitudou 14,142 mA, počáteční fází π/2 a frekvencí 50 Hz. Zapiště časové průběhy a fázory napětí a proudu na rezistoru. Im Im = 14, 142 mA → I = √ = 10 mA 2 f = 50 Hz → ω = 2πf = 314, 16 rad · s−1 π ψ= 2 ³ π´ [mA] i(t) = Im sin(ωt + ψ) = 14, 142 · sin 314, 16t + 2 π ˆ Im = Im ejψ = 14, 142 · 10−3 ej 2 [A] π ˆ I = Iejψ = 10 · 10−3 ej 2 [A] π π ˆ = R ·ˆ U I = 100 · 10 · 10−3 ej 2 = 1 · ej 2 [V] √ ˆm = 2 · U ˆ = 1, 414 · ej π2 [V] U ³ ´ √ ˆ jωt ] = Im[U ˆ m ejωt ] = 1, 414 · sin 314, 15t + π [V] u(t) = Im[ 2 · Ue 2
Obecně se s fázory pracuje snáze než s časovými průběhy elektrických veličin (napětí, proudu), ačkoli v tomto příkladě bychom časový průběh napětí získali jednoduššeji pomocí vztahu u(t) = R · i(t). Výhody fázorů se projeví při analýze složitějších obvodů, kdy pracujeme s obvodovými rovnicemi nebo případně kreslíme fázorový diagram.
Rezistor ˆ = Rˆ U I ˆ ˆ I = GU ˆ ˆ U, I ve fázi
Induktor ˆ = jωL ˆ U I
Kapacitor ˆ = 1 ˆ U I
ˆ U ˆ předbíhá ˆ U I o π/2
ˆ ˆ I = jωC U
ˆ I =
1 jωL
jωC
ˆ zpožděné o π/2 za ˆ U I
Tab. 1 Vztahy mezi fázory napětí a proudu u základních obvodových prvků 71
11.3. Komplexní imitance Vztahy mezi fázory napětí a proudu uvedené v tabulce 1 jsou pro tři uvedené dvojˆ a ˆI. Převodní póly lineární. Pro každý pasivní dvojpól se dá vyjádřit vztah mezi U konstatou však již nebude pouze R nebo G, případně jωL, apod., ale nějaká jejich kombinace. Obecně to zapisujeme takto: ˆ =Z ˆˆ U I
nebo
ˆ ˆU ˆ I=Y
ˆ [Ω] . . . impedance dvojpólu Z ˆ [S] . . . admitance dvojpólu Y Souborně se impedance a admintance nazývají imitance (impedance + admitance). ˆ pasivního dvojpólu je definovaná jako poměr fázoru svorkového naImpedance Z ˆ pětí napětí U a proudu ˆI ˆ ˆ=U Z ˆ I ˆ je převrácenou hodnotou impedance, je to tedy poměr proudu ˆI a Admitance Y ˆ svorkového napětí napětí U ˆ ˆ = I Y ˆ U Imitance je definována jako podíl komplexních čísel, je to tedy také komplexní číslo (proto nad ní též můžeme dělat stříšku). Ale pozor! Imitance není fázor! Nelze ji ˆ admitance Y) ˆ lze používat převést do časové oblasti. Pojem imitance (tj. impedance Z, jen v komplexní rovině v souvislosti s fázory. Stejně jako fázory, lze imitance vzájemně sčítat a odčítat. Narozdíl od fázorů lze imitance také (vzájemně) násobit a dělit. Proto se využívá jak kartézského (složkového), tak exponenciálního tvaru. ˆ = R + jX = Zejϕ , Z
ˆ = G + jB = Y ejθ Y
ˆ . . . rezistance R = Re[Z] ˆ . . . reaktance X = Im[Z]
ˆ . . . konduktance G = Re[Y] ˆ . . . susceptance B = Im[Y]
ˆ . . . modul impedance Z = |Z| ˆ . . . úhel impedance ϕ = arg[Z]
ˆ . . . modul admitance Z = |Y| ˆ . . . úhel admitance θ = arg[Y]
72
Příklad 2. Převeďme na druhý (složkový, exponenciální) tvar tyto imitance: ˆ = 50 + j 86, 602 [Ω], Z
ˆ = Y
√
9
2 e− 4 π [S].
p
p R2 + X 2 = 502 + 86, 6022 = 100 µ ¶ µ ¶ X 86, 602 π ˆ ϕ = arg[Z] = arctg = arctg = R 50 3 π jϕ j ˆ = |Z|e ˆ Z = 100 e 3 [Ω]
ˆ = Z = |Z|
¶ µ ¶¸ · µ 9 9 ˆ = 2e = 2 cos − π + j sin − π Y 4 4 √ µ ¶ √ √ ˆ = 2 · cos − 9 π = 2 · 2 = 1 G = Re[Y] 4 2 à √ ! µ ¶ √ √ ˆ = 2 · sin − 9 π = 2 · − 2 = −1 B = Im[Y] 4 2 √
−j 49 π
√
ˆ = G + jB = 1 − j [S] Y ˆ na složkový tvar jsme nemuseli nutně využít Poznámka 1. Při převodu admitance Y mezikroku s konduktancí G a susceptancí B (bylo to provedeno pro názornost). Obvykle postupujeme takto: Ã√ √ ! · µ ¶ µ ¶¸ √ −j 9 π √ √ 9 9 2 2 ˆ = 2e 4 = 2 cos − π + j sin − π = 1 − j [S] Y = 2 −j 4 4 2 2
Použitá literatura: Milan Mikulec — Václav Havlíček, Základy teorie elektrických obvodů 1. [skriptum], Vydavatelství ČVUT, Praha, 2004
73
16. Základní vlastnosti polovodičů, elektronika číslicových obvodů. Přechod PN, bipolární tranzistory PNP a NPN, unipolární tranzistory JFET, MOSFET. Struktury hradel, charakteristiky, parametry. Spojení více hradel. Budiče sběrnic. Klopné obvody, paměťové buňky SRAM, DRAM, EPROM, EEPROM, FLASH. 16.1. Základní vlastnosti polovodičů Elektrony se mohou v atomech vyskytovat pouze na diskrétních energetických hladinách. Některé pevné látky, např. křemík, mají atomy uspořádány v krystalové mřížce, která se periodicky opakuje. Atomy v krystalové mřížce jsou blízko sebe, jejich energetické hladiny interagují a vytvoří se tzv. energetické pásy, tj. diskrétní pásy, ve kterých se elektrony mohou vyskytovat.
Obr. 1: Energetické hladiny a pásy atomu a krystalu křemíku Mezi každými dvěma pásy existuje zakázaný pás energií, kde se elektrony nemohou vyskytovat. Na obr. 1 je vyznačen pouze zakázaný pás mezi posledním plně obsazeným a neobsazeným, nebo jen částečně obsazeným pásem. Tento konkrétní zakázaný pás hraje v elektronice důležitou roli a bude-li řeč o zakázaném pásu, bude jím míněn tento pás. Nejužívanější polovodiče, křemík (Si ) a germanium (Ge) mají atomy v krystalové mříži vázané kovalentní vazbou. Znamená to, že vazba mezi dvěma atomy je zprostředkována dvěma elektrony s opačnými spiny. Samotný atom křemíku má v poslední 75
energetické hladině 4 valenční elektrony a 4 volná místa. Protože „snahouÿ atomu je zaujmout stav s nejnižší energií, přijme do valenčního pásu 4 elektrony od sousedních atomů. Zároveň každému okolnímu atomu jeden svůj elektron „půjčíÿ. Výsledkem jsou čtyři sdílené elektronové páry, čtyři dvojné stabilní vazby, plný nejvyšší energetický pás a nulová vodivost při T = 0 K. Vlastnost 1: Kovalentní vazba se alespoň částečně vyskytuje u všech polovodičů. GaAs má kovalentní vazbu s menším podílem vazby iontové. Na vodivost látek má zásadní vliv obsazenost dvou nejvyšších energetických pásů — valenčního a vodivostního pásu oddělených od sebe zmíněným zakázaným pásem.
Obr. 2: Přechod elektronu z valenčního do vodivostního pásu Plně obsazené stavy neumožňují transport elektronů, elektron se nemá „kde pohybovatÿ. Až dodáním energie se může elektron přesunout do vyššího pásu. S rostoucí teplotou tedy roste pravděpodobnost, že elektron se uvolní. Tuto pravděpodobnost kvatifikuje Fermi-Diracova rozdělovací funkce, kterou jen pro zajímavost uvádíme fF D =
1 1+e
W−WF kT
W . . . libovolná energetická hladina [J nebo eV] WF . . . Fermiho hladina, elektron se na ní vyskytuje s 50% pravděpodobností [J, eV] k . . . Boltzmanova konstanta, k = 1, 38 · 10−23 J · K−1 T . . . absolutní teplota [K] Ze vztahu je zřejmé, že pravděpodobnost obsazení energetické hladiny W a) exponenciálně závisí na teplotě, b) je tím nižší, čím vyšší je člen W − WF . S rostoucí šířkou zakázaného pásu Wg (z angl. gap) proto klesá pravděpodobnost obsazení energetického pásu nad ním (vodivostního pásu). Hraniční hodnotou je energetická šířka 2 ÷ 3 eV (eV. . . elektronvolt, 1 eV = 1, 602 · 10−19 J), při větší šířce zůstává zakázaný pás nepřekonán až do vysokých teplot. Wg > 2 ÷ 3 eV . . . izolanty; valenční pás plně obsazen, vodivostní pás neobsazen (až do vysokých teplot) Wg < 2 ÷ 3 eV . . . polovodiče; počet přešlých elektronů do vodivostního pásu exponenciálně závisí na teplotě, při T = 0 K stav jako u izolantů Wg neexistuje . . . kovy; valenční pás se s vodivostním překrývá 76
Vlastnost 2: Polovodiče mají šířku zakázaného pásu Wg menší než 2 ÷ 3 eV. Vodivost exponenciálně závisí na teplotě (vyšší teplota → více elektronů prošlých do vodivostního pásu). Dodáním (tepelné) energie atomu tedy způsobíme, že se elektron uvolní z kovalentní vazby a přejde přes zakázaný pás do vodivostního pásu. Stane se volným elektronem (e− ), není vázán na žádný atom a volně se pohybuje krystalem. Po takovém elektronu zůstává v krystalové mřížce prázdné místo, díra(h+ ). Procesu vzniku elekronu říkáme generace. Když se e− a h+ setkají, zaniknou a obnoví se původní vazba. Proces nazýváme rekombinací. Je zřejmé, že počet generovaných elektronů neporoste do nekonečna. Při nějaké konkrétní teplotě se ustálí počet volných elektronů (vznikajících generací, zanikajících rekombinací) na určité hladině. Hovoříme o intrinsické koncentraci ni volných nosičů. Např. pro křemík při T=300 K je ni = 1, 5 · 1016 m−3 . Obecně platí n = p = ni
a
n2i = n · p
kde n je koncentrace volných elektronů, p je koncentrace děr a ni je intrinsická koncentrace. Každý volný elektron vznikne generací, zároveň vždy vzniká díra. Proto rovnost n = p. Nemáme žádný vnější zdroj volných elektronů nebo děr. Takový polovodič je čistý, intrinsický. Vlastnost 3: Pro koncentrace volných nosičů náboje v intrinsickém polovodiči platí n = p, kde n je koncentrace volných elektronů a p je koncentrace děr. Tato koncentrace závisí na teplotě T a šířce zakázaného pásu Wg . Pro danou teplotu a polovodič je konstatní a platí pro ni n2i = p · n. Díru pokládáme (stejně jako e− ) za volný elektrický náboj. Přesouvá se tak, že je ~ jsou volné zaplněna elektronem ze sousední vazby. V přiloženém elektrickém poli E elektrony unášeny krystalem proti směru pole, zatímco díry driftují ve směru pole. Přesun volných nábojů z oblasti vysoké koncentrace do oblasti nižší koncentrace se nazývá difuze. Drift v důsledku vnějšího elektrického pole a difuze v důsledku koncentračního spádu se podílejí na pohybu volných nábojů polovodičem. Vlastnost 4: Na pohyb volných nosičů v polovodiči má vliv jejich koncentrace (difuzní pohyb) a vnější elektrické pole (drift). Přidáme-li do intrinsického polovodiče atomy prvků, které mají odlišný počet valenčních elektronů, vznikne excentrický polovodič. Učebnicovým příkladem je přidání pětimocného atomu fosforu do čtyřmocného křemíku. Čtyři valenční elektrony sdílí atom fosforu s okolními „křemíkyÿ, pátý valenční elektron je vázán jen na atom fosforu a navíc jen slabě. K jeho uvolnění stačí mnohem méně energie (u křemíku asi 20x) než k uvolnění elektronu z valenčního pásu. Osvobozením tohoto pátého elektronu se atom fosforu ionizuje (z neutrálního atomu vzniká kladný iont), díra však nevzniká. Fosforový atom daroval elektron, nazýváme jej tedy donorem(dárcem). 77
Opačná situace nastává, když křemíkové atomy nahradíme trojmocnými atomy bóru. Bór se třemi valenčními elektrony samozřejmě nemůže „uspokojitÿ všechny čtyři okolní atomy Si, nutně vzniká díra. Do ní může přeskočit nějaký z okolních elektronů a s dírou zrekombinovat. Z neutrálního atomu bóru se stal záporný iont, vznikla volná díra. Protože přijal elektron, je atom bóru nazýván akceptorem (příjemcem). Přidáním donorů do intrinsického polovodiče se výrazně zvýší počet volných elektronů. Elektrony z donorových atomů totiž vznikají mnohem snáze než rekombinací. Polovodič obsahuje přebytek záporného náboje, označujeme jej jako polovodič typu N (z angl. Negative). Polovodič s akceptorovými atomy má mnohem více volných děr než intrinsický polovodič, proto říkáme, že je to polovodič typu P (z angl. Positive). Koncentraci akceptorových atomů označujeme NA , koncentraci donorových atomů ND . Ionizované akceptorové příměsi mají koncentraci NA+ , ionizované donorové příměsi − se vyskytují v koncentraci ND . Při teplotě T > 0˚C jsou všechny příměsi ionizovány, pro koncentrace tedy platí NA− = NA
resp.
+ ND = ND
Je-li do krystalové mřížky přidán stejný počet akceptorů jako donorů, tj. NA = ND , volné příměsové elektrony a díry se vzájemně vyruší. Tento polovodič není typu PN, ale nazývá se kompenzovaný. Vlastnost 5: Dotujeme-li intrinsický polovodič atomy, které obsahují více valenčních elektronů než původní struktura, vzniká polovodič typu N. Obsahuje přebytek volných elektronů. Příměsové atomy nazýváme donory. Při dotaci polovodiče atomy s nižším počtem valenčních elektronů vzniká polovodič typu P. Obsahuje přebytek volných děr. Příměsové atomy se nazývají akceptory. Kompenzovaný polovodič má stejnou (nenulovou) koncentraci akceptorů a donorů. Důležité pojmy: Kovalentní vazba, zakázaný pás a jeho šířka Wg , díra, volný elektron, generace, rekombinace, intrinsický a excintrický polovodič, drif, difuze, polovodič typu P(N), donory(akceptory), kompenzovaný polovodič.
16.2. Elektronika číslicových obvodů Číslicové obvody zpracovávají digitální signál. Analogový signál si lze představit jako spojitě se měnící napětí nebo proud. Číslicový (digitální) signál má předem určená dvě úrovně: H (z angl. High level) a L (z angl. Low level).
Obr. 3: Analogový a digitální signál 78
Úrovním H a L odpovídají diskrétní hodnoty 0 a 1, se kterými se v číslicových obvodech dále pracuje. Základními prvky číslicových obvodů jsou hradla, která realizují logické funkce (např. AND, OR, XOR, aj.).
Obr. 4: Schématické značky hradel Hradla jsou kombinací obvykle několika základních eletronických prvků, aktivních i pasivních: • rezistor • kondenzátor • polovodičová dioda, Shottkyho dioda • bipolární tranzistor NPN, PNP • víceemitorový tranzistor • unipolární tranzistor JFET, MOSFET Kromě hradel a z nich složených integrovaných obvodů obsahují číslicové obvody další prvky zajišťující požadovanou činnost obvodu (operační zesilovače, odpory, kondenzátory, cívky, transformátory, aj.). Napětí signálů v číslicových obvodech je malé, pohybuje se v mezích ±10 V. Každá aktivní součástka v číslicovém obvodu má při překlápění mezi logickými úrovněmi po určitou dobu zvýšenou (impulsní) spotřebu. Amplituda a délka proudového impulsu se liší podle typu součástky. Vzhledem k tomu, že délka impulsu je srovnatelná se zpožděním průchodu proudu na plošném spoji od napájecího zdroje k součástce, je nutné u každého číslicového obvodu vytvořit lokální zdroj elektrické energie k pokrytí jeho impulsní spotřeby. K tomu se používá kapacitor, který musí být umístěn co nejblíže k napájecím vývodům obvodu. Příklad 1. Vypočtěte kapacitu blokovacího kapacitoru pro integrovaný obvod MC68HC11, víte-li, že maximální povolené zvlnění napájení je 0, 2 V při impulsní spotřebě 0, 1 A. Doba proudového impulsu je 10 ns. 79
Víme, že vztah mezi kapacitou a napětím je Q = C · U a že kapacita C je pro daný kondenzátor konstatní. Proud je definován jako změna náboje za čas. Odtud získáme vztah pro proud kondenzátorem, z něhož můžeme vyjádřit kapacitu I=
dQ dU =C dt dt
⇒
C=
I dU dt
Zbývá pouze dosadit C=
I dU dt
=
0, 1 0,2 10·10−9
= 5 · 10−9 F = 5 nF
Cívky se v číslicových obvodech používají zřídka. Jejich výroba je docela drahá, cívky jsou velké a šíří kolem sebe rušivé magnetické pole. Jsou proto nahrazovány např. syntetickou indukčností.
Obr. 5: Syntetická indukčnost Cívky, když už se v číslicových obvodech používají, tak ve spojení s kondenzátory jako vyhlazovací LC filtry napájecích obvodů (např. na základní desce PC nalezneme u procesoru obvykle 3 nebo více toroidních cívek).
16.3. Přechod PN Přechod PN (nebo také P-N přechod) vzniká tam, kde se velmi těsně stýkají polovodiče typu P a N. Prakticky se přechod vyrábí dotací jednoho typu polovodiče opačným typem.
Obr. 6: Vznik P-N přechodu předotováním části destičky s vodivostí typu N 80
Místu, kde se koncentrace akceptorů a donorů vyrovnají (na obr. 6 je to x = 10 µm), říkáme metalurgický přechod. Nábojová nerovnováha čerstvě vytvořeného přechodu způsobí přesun obou volných nosičů náboje, h+ i e− . Situaci si můžeme popsat takto: Polovodič typu P: • majoritní díry v okolí metalurgického přechodu difundují přes přechod a rekombinují s volnými elektrony v polovodiči typu N. Zůstávají po nich ionizované záporné ionty akceptorů (např. B− ) • minoritní elektrony, jsouce přitahovány kladnými ionty donorů druhé strany přechodu, driftují na druhou stranu. Polovodič typu N: • majoritní elektrony v okolí přechodu difundují na druhou stranu a rekombinují s volnými děrami v polovodiči typu P. Zůstávají po nich kladné nekompenzované ionty donorů (např. Ga+ ). • minoritní díry driftují na druhou stranu přechodu, protože je přitahuje záporný nekompenzovaný náboj akceptorů.
Obr. 7: Pohyb nosičů náboje a jejich koncentrační profil na přechodu Důsledkem popsaného hromadného přesunu volných nosičů náboje je vrstva v okolí metalurgického přechodu, kde nejsou volné nosiče náboje, ochuzená vrstva. Zůstaly v ní však ionizované akceptory a donory, jejichž nekompenzovaný náboj vytvoří silné elektrické pole (Emax = ˙ − 1 · 106 V·cm−1 ), proto se ochuzené vrstvě říká také oblast prostorového náboje (OPN). OPN více zasahuje do oblasti s nižší koncentrací náboje, aby velikost náboje byla stejná na obou stranách metalurgického přechodu. Nastane rovnováha. Přechod představuje pro majoritní nosiče obou polovodičů bariéru o velikosti e · UD (e = 1, 602 · 10−19 C, UD je difúzní napětí). Pro teploty nad 0˚C přibližně platí vztah µ ¶ NA · ND kT · ln UD = e n2i
81
Příklad 2. Vypočtěte difúzní napětí pro křemík, T = 300 K, ni = 1, 5 · 1016 m−3 , NA = ND = 1022 m−3 . Po dosazení do vztahu pro difúzní napětí dostáváme à ! µ ¶ kT 1, 38 · 10−23 · 300 NA · ND 1022 · 1022 UD = · ln = ln ∼ 0, 69 V 2 e n2i 1, 602 · 10−19 (1, 5 · 1016 ) Samotný přechod PN tvoří základní polovodičovou součástku polovodičovou diodu. Bez přiloženého napětí v ní díky energetické bariéře e · UD neteče proud. Oblast polovodiče P nazýváme anoda (mnemopomůcka: české a ruské vyjádření souhlasu, kladu — ano-da → je to ten kladnější polovodič), oblast polovodiče N pak katoda. Diodu můžeme připojit k vnějšímu napětí (polarizovat) dvěmi způsoby: • v propustném směru, na anodě je kladné napětí → dioda vede proud • v závěrném směru, na anodě je záporné napětí → proud neprochází
Obr. 8: Dva způsoby zapojení polovodičové diody V propustném směru působí vnější napětí Uext proti difúznímu napětí, sníží energetickou bariéru (vyruší elektrické pole OPN vytvořené nekompenzovanými akceptory a donory) a majoritní nosiče mohou procházet oběma směry. Mnemopomůckou pro tento stav může být „Pokud plus přijde na P, pak proud prochází.ÿ V závěrném směru se přiloženým napětím ještě zvýší energetická bariéra a přes přechod teče jen minimální závěrný proud I0 (tak malý, že na obr. 8 není vyznačen, řádově pA) tvořený minoritními nosiči. Vlastnost PN přechodu (resp. diody) vést proud jen jedné polarity se využívá v usměrňovačích.
82
V-A charakteristiku ideálního P-N přechodu popisuje Shockleyho rovnice publikovaná roku 1950. ´ ³ eU kT J = J0 · e − 1 J. . . celková proudová hustota jednoho typu nosiče náboje, např. elektronu; zahrnuje proud majoritních elektronů do P i minoritních elektronů do N J0 . . . saturační proudová hustota — proudová hustota minoritních elektronů (tj. elektronů z P do N) bez přiloženého napětí U . . . velikost přiloženého napětí Pouhým vynásobením Shockleyho rovnice plochou S průřezu P-N přechodu získáme matematický vztah pro charakteristiku přechodu. Proměnnými v něm jsou proud, saturační proud a napětí. ³ eU ´ kT I = I0 · e − 1
Obr. 9: Ideální charakteristika P-N přechodu IF , UF představují proud a napětí v propustném směru (z angl. Forward), IR , UR pak proud a napětí v závěrném směru (z angl. Reverse).
16.4. Bipolární tranzistory NPN a PNP Bipolární tranzistory využívají ke své činnosti jak elektrony, tak díry. Tím se BJT (z angl.Bipolar Junction Tranzistor) liší od unipolárních tranzistorů. BJT se skládá ze tří různě dotovaných oblastí (emitor-báze-kolektor), které vytvářejí dva přechody P-N těsně u sebe. Silně dotovaný emitor N++ (P++ ) „emitujeÿ, tj. vysílá, elektrony (díry) do úzké báze P + (N + ), kterou většina z nich projde a je sbírána kolektorem. Počet prošlých částí z emitoru do kolektoru lze ovládat velikostí proudu do báze. Šipka ve schematické značce BJT vyznačuje kladný směr proudu emitorem, který je opačný vzhledem k pohybu elektronů. 83
Obr. 10: Bipolární tranzistor - zjednodušená struktura a schematická značka Každý P-N přechod lze polarizovat v propustném nebo závěrném směru. Protože má BJT dva P-N přechody, existují 4 varianty polarizace jeho P-N přechodů, které označujeme jako režimy • nevodivý (oba přechody v závěrném směru) • normální aktivní (B-E v propustném směru, B-C v závěrném) • inverzní aktivní (B-E v závěrném směru, B-C v propustném) • saturace (oba přechody v propustném směru) Popišme pro tranzistor NPN z hlediska praktické aplikace nejvýznamnější normální aktivní režim. Předpokládejme toto zapojení:
Obr. 11: Bipolární tranzistor(NPN) - Normální aktivní režim Přiloženým napětím UBE > UT (UBE . . . napětí mezi svorkami B-E, UT . . . prahové napětí P-N přechodu, asi 0,65 V u křemíku) snížíme energetickou bariéru přechodu. Majoritní elektrony silně dotovaného emitoru jsou vstříknuty do báze. Je-li báze dostatečně úzká, prodifundují skrz ní elektrony až k přechodu B-C, aniž by stačily zkrekombinovat s děrami. Elektrické pole kolektoru pak elektrony vtáhne do kolektoru. Velikostí napětí UBE lze ovlivnit počet prošlých elektronů. V praxi je napětí UBE ∼ 0, 6 ÷ 0, 7 V a velikost kolektorového proudu ovlivňujeme proudem do báze IB . Této schopnosti tranzistoru ovlivňovat malým bázovým proudem mnohem větší kolektorový proud říkáme tranzistorový jev. Jeho předpokladem je existence úzké báze. Kdybychom od sebe přechody E-B a B-C oddělovali, tranzistorový jev by zanikl.
84
Tolik stručně k principu BJT. Děje v tranzistoru můžeme rozebrat podrobněji a z jiného úhlu. Můžeme se např. zaměřit na změnu kolektorového napětí UCE nebo na značení napětí u tranzistoru PNP. Dříve poučený čtenář může tuto (zhruba třístránkovou) analýzu přeskočit. ··············
Princip BJT krok za krokem (připomenutí) · · · · · · · · · · · · · ·
BJT se dá v prvním přiblížení modelovat jako dvě opačně polarizované diody. Budeme-li BJT zapojovat tak, že z každé strany (emitor, kolektor) připojíme jeden pól zdroje, musí být nutně jedna dioda polarizována záporně. Takto se BJT skutečně zapojuje. Např. v normálním aktivním režimu tranzistoru NPN připadne tento „černý Petrÿ na diodu B-C. Aby tato dioda mohla vést proud v propustném směru, museli bychom na kolektor připojit záporné napětí a na bázi kladný pól zdroje. To však neděláme, na kolektoru je napětí kladné. Podíváme se podrobněji na obvod s tranzistorem NPN v nevodivém režimu. Obvod je sestaven tak, že jeho jednoduchou modifikací přejdeme do normálního aktivního režimu.
Obr. 12: Tranzistor NPN - Nevodivý a normální aktivní režim Na kolektor je připojeno poměrně velké napětí UCC . Mezi kolektorem a svorkou napěťového zdroje je sice pracovní odpor RC , ale brzy zjistíme, že by se nic nestalo, kdyby tam nebyl (situace by byla stejná). Vysoké napětí UCC polarizuje v závěrném směru diodu báze-kolektor. Toto napětí působí v souhlasném směru s difúzním napětím P-N přechodu B-C, což způsobí zvětšení OPN do oblasti kolektoru i do oblasti báze, více však OPN zasahuje do kolektoru, protože je méně dotován (viz 2. odstavec pod obr. 7 tohoto okruhu). Na bázi ani na emitor není přivedeno žádné napětí. Přechod báze-emitor se chová jako běžný P-N přechod bez přivedeného napětí. Také vzniká OPN, ovšem mnohem tenčí, protože není zvětšena závěrně přiloženým napětím. A jak je to s volnými nosiči náboje? Nejvíce jich „čekáÿ v emitoru (je nejvíce dotován), je v něm poměrně dost volných elektronů. Jsou přitahovány kladným napětím UCC , ale nemohou překonat energetickou bariéru P-N přechodu báze-emitor. Podobně báze obsahuje vcelku dost volných děr, které však nemohou ani do emitoru ani do kolektoru. V emitoru je děr méně, proto kdyby bázové díry mohly, putovaly by přes přechod B-E spíše do emitoru než na druhou stranu do kolektoru.
85
Tranzistor se z hlediska svorek chová jako dvě diody obrácené anodami k sobě. Ačkoli je mezi svorkou zdroje UCC a emitorem potenciálový rozdíl +5 V, nemůže přes tranzistor — a tím pádem ani přes rezistor RC — téci žádný proud. Proto je na rezistoru RC nulový úbytek napětí URC = 0 V a veškeré napětí UCC se objeví na kolektoru, tedy UCE = UCEmax = UCC = +5 V
(nevodivý režim)
Dosud uzeměnou bázi připojme nyní ke zdroji napětí UCC . Odpor RB předřazený bázi má právě takovou velikost, aby na diodu B-E zbylo napětí UBE = 0, 65 V. Toto napětí je vzhledem k zemi, ovšem protože je na zem (příp. společný vodič) připojen emitor, je to napětí vzhledem k emitoru. Báze je tedy o 0,65 V kladnější než emitor. Tímto krokem jsme polarizovali diodu B-E do propustného směru. Zmenšila se OPN a energetická bariéra bránící pohybu volných nosičů náboje na obou stranách přechodu B-E byla vyrovnána. Nastala změna i na přechodu B-C, ovšem ne tak výrazná. Sice ze zmenšilo OPN přechodu báze-kolektor, trvající kladné napětí UCC však stále polarizuje tento přechod v závěrném směru. A co na to volné nosiče? Majoritních elektronů je v emitoru hodně. Padla bariéra přechodu B-E, elektrony se „řítíÿ (odborně jsou injektovány) do báze. Ta je však velmi úzká na to, aby se s tamějšími děrami stihly zrekombinovat. Dostanou se až k přechodu B-C. Silné elektrické pole kolektoru, které tam je díky připojenému kladnému napětí UCC , elektrony „vcucneÿ (odborně extrahuje). Tranzistorem protéká z emitoru do kolektoru proud tvořený elektrony, jedná se o kolektorový proud IC . Několik málo elektronů prošlých do báze (vzhledem k množství tekoucímu do kolektoru) nedorazí k přechodu B-C, ale pokračuje ven z tranzistoru směrem k odporu RB . Tomuto toku říkáme bázový proud IB . Součet bázového a kolektorového proudu, tedy všechny elektrony prošlé přes přechod B-E, tvoří emitorový proud IE . Tranzistorem teče proud, hovoříme o normálním aktivním režimu. Odpor mezi svorkami C-E se tedy snížil, protože při stejném napětí UCC v nevodivém režimu žádný proud netekl. Odtud dostal tranzistor své jméno — TRANsfer reSISTOR, tedy přenosový odpor, odpor závisející na proudu v řídicím obvodu. Tekoucí proud způsobí úbytek na odporu RC . Napětí UCC se tedy rozloží mezi odpor RC a svorky C-E. Pro napětí UCE pak platí 0, 5 V = UCEsat < UCE < UCC
(normální aktivní režim)
kde hodnota UCEsat nemá žádnou souvislost s napájecím napětím UCC . S rostoucím UBE se tranzistor více otevírá, teče větší proud IC a klesá napětí UCE . Je zřejmé, že větší napětí UBE způsobí větší bázový proud IB . Závislost bázového proudu na napětí UBE udává vstupní charakteristika tranzistoru, což je vlastně voltampérová charakteristika diody B-E ovlivněná přechodem B-C. Křivka je však tak strmá, že pro napětí 0, 6 ÷ 0, 7 V dosahuje bázový proud všech hodnot, které v normálním aktivním režimu používáme (přibližně 0 ÷ 100 µA), takže je praktičtější říkat, že tranzistor ovládáme bázovým proudem a že teče proud IB té a té velikosti, 86
protože proud se mění hodně, napětí UBE málo. Napětí mezi bází a emitorem proto obvykle pokládáme UBE = 0, 65 ± 0, 05 V. Otevíráním tranzistoru je míněno zvyšování bázového proudu, které způsobuje zvyšování proudu kolektoru. Když je tranzistor plně otevřen, je to hraniční stav normálního aktivního režimu. Mezi kolektorem a emitorem naměříme minimální napětí, tzv. saturační nebo zbytkové napětí UCEsat . To nezávisí na napájecím napětí a je přibližně rovno 0, 5 V. Další zvyšování napětí UBE , resp. bázového proudu, vede k takové „migraciÿ elektronů z emitoru do báze, že závěrně polarizovaný přechod B-C změní vlivem velkého množství elektronů svoji polaritu a stane se propustně polarizovaným. Tento stav se nazývá režim saturace a nebudeme se jím více zabývat. Prozraďme, že dalším zvýšováním napětí UBE způsobíme průtok takového proudu diodou B-E, který tento přechod (a tím i celý tranzistor) zničí. Z výše uvedeného plyne, že tranzistor NPN otevíráme kladným napětím na bázi vzhledem k emitoru. Kdybychom v obvodu na obr. 12 vpravo (normální aktivní režim) připojili k emitoru zdroj kladného napětí o velikosti 0,65 V (nebo vyšší), tranzistor by se zavřel a platilo by to, co bylo popsáno u nevodivého režimu. Zaměřme se nyní, i když zdaleka ne tak podrobně, na tranzistor PNP. Jeho kolektor a emitor tvoří polovodiče typu P. Na kolektor v tomto případě připojujeme záporné napětí UCC , aby byla dioda B-C polarizována v závěrném směru. Z toho vyplývá i fakt, že tranzistor PNP je otevírán záporným napětím na bázi vzhledem k emitoru.
Obr. 13: Tranzistor PNP - Nevodivý a normální aktivní režim V normálním aktivním režimu tranzistoru PNP tedy naměříme záporné napětí UBE mezi bází a emitorem a podobně záporné napětí UCE mezi kolektorem a emitorem. Je to způsobeno tím, že v tomto režimu je emitor kladnější než báze a než kolektor. Již na ZŠ jsme se učili, že proud teče od kladného pólu zdroje k zápornému. Stejně je orientováno také napětí. Protože je při provozu PNP obvykle nejkladnější elektrodou emitor, „začínajíÿ napětí u něj, tedy orientace napětí je od emitoru k bázi (UEB ) a od emitoru ke kolektoru (UEC ). Takto orientovaná napětí jsou potom kladná. ·····························································
87
Vzhledem ke třem vývodům BJT existují tři obvodová zapojení. Tranzistor zapojený jako dvojbran, tj. se dvěmi vstupními a dvěmi výstupními svorkami, musí mít nutně jednu svorku společnou pro vstup a výstup. Podle toho, kterou ze svorek připojíme vzhledem ke střídavému signálu na společný vodič, hovoříme o zapojení • se společným emitorem (SE) • se společným kolektorem (SC) • se společnou bází (SB) Rezistory RB1 , RB2 , RC , RE je v zapojení nastaven stejnosměrný pracovní bod tak, aby tranzistor pracoval v normálním aktivním režimu. Vstupní i výstupní signál jsou střídavé. Podle typu zapojení tranzistor zesiluje proud, napětí nebo obojí. Kromě zesilovačů se BJT uplatňují ve funkci spínačů.
16.5. Unipolární tranzistor JFET Unipolární tranzistory typu FET (z angl. Field-Effect Transistor) jsou řízeny napětím. Využívají jen jednoho typu nosiče náboje, tedy buď elektronů, nebo děr. JFET (z angl. Junction FET) se skládá podobně jako BJT ze tří oblastí dotovaných polovodičů, které jsou nakontaktovány elektrodami. Neleží však těsně za sebou, ale jsou volně umístěny v méně dotovaném polovodiči, kterým se nosiče náboje šíří (tzv. kanál). Elektroda source (S) je „zdrojemÿ volných nosičů přiváděných z vnějšího obvodu do kanálu. Po průchodu kanálem jsou nosiče „odsátyÿ elektrodou drain (D) zpět do vnějšího obvodu. Kanál je stejného typu vodivosti jako S a D, ovšem méně dotovaný. Třetí elektroda, gate (G), je umístěna mezi S a D a slouží k řízení toku nosičů kanálem. Je opačného typu vodivosti než S, D a kanál. Čím vyšší je na ní napětí, tím více zaškrcuje kanál a proud ID mezi S a D se tím zmenšuje.
Obr. 14: Struktura a schem. značka JFET. Pod elektrodou G vyznačen kanál N(P)
88
Na obrázku 14 jsou ve struktuře zobrazeny dvě vzájemně opačně polarizované diody. Tak se totiž dá modelovat JFET po připojení napájení a ovládacího signálu. Šipka ve schematické značce ukazuje směr propustného proudu P-N přechodem G-S. Zjedodušená značka (bez písmen popisujících elektrody) má šipku posunutou k elektrodě S. Princip fungování popíšeme na tranzistoru s kanálem N. Na drain přivedeme malé kladné napětí vzhledem k S, např. UDS = 0, 5 V. Kladné napětí přitahuje elektrody z elektrody S, mezi elektrodami S a D teče proud ID . Na G přiložíme záporné napětí vzhledem k S, tedy UGS < 0. Tím závěrně polarizujeme přechod G-S, resp. G-D. Do gate proto nemůže téci proud. V závěrně polarizovaném přechodu se však rozšíří ochuzená oblast (OPN) a mírně omezí kanál (např. pro UGS = −1 V). Čím zápornější je UGS , tím více OPN zasahuje do kanálu pod gate. Kanál se zaškrcuje, až při UGS = UGSOFF (okolo −0, 5 ÷ −10 V) je zaškrcen úplně po celé délce. Proud ID nemůže téci. Nejvyšší proud tedy teče při UGS = 0 V, nulový proud teče při UGS ≤ UGSOFF . Zvyšováním kladného napětí na drainu také více polarizujeme přechod G-S a G-D, ale zároveň se jsou více přitahovány elektrony ze source. Zvyšovaním UDS se tedy kanál částečně zaškrcuje a zvyšuje se proud ID . Od určitého napětí UDS = UDSsat , které nazýváme saturační, se proud ID prakticky nezvyšuje ani při dalším růstu UDS . Výstupní charakteristiky tranzistoru se stávají lineární. Největší proud tedy teče při nulovém napětí na hradle UGS = 0 V a napětí na drainu vyšším než saturační UDS ≥ UDSsat . V praktických aplikacích (např. ve funkci zesilovače střídavého signálu) odpory RD , RS a RG nastavíme stejnosměrný pracovní bod a mezi gate a společnou svorku přivádíme řídicí napětí. Tranzistor JFET se používá především jako zesilovač nebo spínač. Jeho výhodou je vysoký vstupní odpor a prakticky nulový proud hradlem.
16.6. Unipolární tranzistor MOSFET Zapojením se MOSFET (z angl. Metal Oxide Semiconductor FET) podobá JFET, ovšem podstatný rozdíl v konstrukci vede k odlišnému principu činnosti. MOSFET obsahuje (podobně jako JFET) dvě oblasti více dotovaného polovodiče, spojené s vnějším obvodem (obvykle hliníkovými) elektrodami source (S) a drain (D). Tyto oblasti jsou zapuštěny v substrátu opačného typu vodivosti. Mezi S a D vzniká za vhodných podmínek vodivý kanál, kterým tečou elektrony (díry). Řidicí elektroda gate (G) není přímo v substrátu. Nachází se nad kanálem, oddělena od substrátu tenkou vrstvou oxidu (SiO2 , oxid křemičitý). Tato vrstvička mezi elektrodou a substrátem se velmi snadno vyrábí, neboť křemík za přístupu kyslíku snadno oxiduje.
89
Substrát samotný je nakontaktovaný elektrodou body, bulk (B), která bývá u diskrétních tranzistorů spojena se source. Vodivý kanál pod G může existovat i při UGS = 0 V, pak mluvíme o tranzistoru se zabudovaným kanálem. V opačném případě je nutné určité napětí, aby se kanál mohl vytvořit (indukovat), proto existují MOSFET s indukovaným kanálem. Kanál může být typu P nebo N. Celkově tedy existují 4 různé typy MOSFET.
Obr. 15: Struktura a schematická značka MOSFET Uvažme MOSFET s kanálem N, indukovaným. Na drain přivedeme kladné napětí UDS vzhledem k source. Když na hradlovou elektrodu připojíme záporné napětí (zkoušíme, jestli to náhodou nefunguje jako JFET), začnou se pod hradlem akumulovat majoritní díry ze substrátu. Přes oxidovou vrstvu se nedostanou, elektroda S je „zkratovánaÿ s B a drain je nabit kladně. Proud neteče. Když na G připojíme kladné napětí UGS > 0, začnou se pod hradlem hromadit minoritní elektrony, aby se náboj vyrovnal. Při dostatečně velkém napětí (okolo 1÷2 V) nestačí minoritní elektrony ke kompenzaci náboje, začnou se (např. tepelnou generací) generovat další elektrony. Těch je tolik, že se substrátový polovodič typu P lokálně přemění na typ N. Ve vzniklé inverzní vrstvě bohaté na elektrony se vytváří vodivý kanál, teče proud ID z S do D. Podobně jako u JFET lze zvýšením napětí UDS zvětšit proud ID , protože vyšší rozdíl potenciálů více přitahuje elektrony ze S do D. S rostoucím UDS se však více závěrně polarizuje přechod D-substrát (S-substrát) a to více u elektrody D, protože tam je rozdíl potenciálů větší. Při UDS = UDSsat dochází k zaškrcení kanálu vrstvou OPN. Vysoké UDS však způsobí, že elektrony prolétávají i přes OPN. Proud ID teče dál, ale s dále rostoucím UDS se zvyšuje se pomaleji, což se projeví linearizací výstupních charakteristik. Výhody MOSFET jsou podobné jako u JFET. MOSFET má prakticky nekonečný vstupní odpor a do hradla přes oxid neteče žádný proud, tedy IG = 0. Vrstva oxidu je však velmi tenká (desítky nm), takže se dá prorazit napětím řádově desítky voltů. Při manipulaci s MOSFET hrozí proražení oxidu i od statické elektřiny lidského těla.
90
MOSFET se uplatňuje jako zesilovač malého signálu nebo jako analogový spínač, ovšem nejvýznamnější oblastí užití je technologie CMOS (z angl. Complementary MOS), využívající dvojice MOSFET s opačnými typy kanálů. CMOS je základním kamenem mnoha číslicových integrovaných obvodů.
16.7. Struktury hradel, charakteristiky, parametry Hradla operují s logickým signálem, který je reprezentován určitým napětím. Logická ”0” ani logická ”1” neodpovídají nějaké konkrétní hodnotě, ale jsou definovány v určitých pásech.
Obr. 16: a) průběh logického signálu, b) typy logiky v závislosti na signálovém napětí Když tedy budeme uvádět, že nějaké napětí UX odpovídá logické proměnné X, budeme vědět, že kolem hodnoty napětí UX existuje určitý toleranční pás (UXmin , UXmax ) a všechny hodnoty z tohoto pásu odpovídají logické proměnné X (viz obr. 16 a)). Podle toho, jaká logická proměnná se přiřazuje jakému napětí, rozlišujeme dva druhy logiky. Negativní druh logiky přiřazuje kladnější hodnotě signálu logickou proměnnou 0, zatímco v pozitivní logice je kladnějšímu napětí přiřazena logická 1. Uvážíme-li, že operujeme s napětím o velikosti 0 V a druhým signálovým napětím je napětí U0 , buď kladné (+U0 ) nebo záporné (−U0 ), dostáváme 4 možnosti, které nám ilustruje obr. 16 b). Vpravo je signálové napětí, vlevo jemu přiřazená logická proměnná a dole je druh použité logiky. Logické obvody se skládají v drtivé většině z tranzistorů (bipolárních, unipolárních), případně diod s P-N přechodem a Shottkyho diod. Elementárním logikým obvodům říkáme logické členy. Podle složení a struktury dělíme logické členy do několika systémů: DCTL (Direct-Coupled-Transistor-Logic) přímo vázaná tranzistorová logika RTL (Resistor-Transistor-Logic) odporově tranzistorová logika DTL (Diode-Transistor-Logic) diodová tranzistorová logika TTL (Transistor-Transistor-Logic) tranzistorová logika STTL (Shottky-Transistor-Transistor-Logic) tranzistorová logika se Shottkyho diodou ECL (Emitter-Coupled-Logic) emitorově vázaná tranzistorová logika MOS (Metal-Oxide-Semiconductor) využívá tranzistory MOS
91
Jedním ze základních prvků logických obvodů a hradel je tranzistorový spínací obvod, který plní funkci invertoru.
Obr. 17: Tranzistorový spínací obvod Skládá se z tranzistoru PNP v zapojení se společným kolektorem (SC). Zapojení pracuje s negativním druhem logiky. Při nulovém napětí na vstupu (proměnná a = 0) je tranzistor plně uzavřen. Jeho napětí UCE je tedy rovno napájecímu napětí −UCC . Záporná výstupní proměnná znamená při negativním druhu logiky logickou ”1”. V případě záporného napětí na vstupu se tranzistor plně otevírá a na kolektoru naměříme jen saturační napětí UCEsat , které musí být minimální — musí se co nejvíce blížit nule. Uveďme si některé vlastnosti výše jmenovaných logických systémů. DTCL Systém s přímo vázanými tranzistorovými členy. Lze ho snadno připravit z diskrétních členů. Výhoda: Lze sestavit libovolnou námi žádanou logickou funkci. Nevýhoda: Značná spotřeba BJT. RTL K modelování Booleovy funkce n proměnných použijeme jeden tranzistor (BJT).
Obr. 18: Ukázka logických členů systémů DCTL a RTL (u obou negativní druh logiky) 92
Logické členy s unipolárními tranzistory Využívají se MOSFET a MiSFET. JFET se nepoužívá, protože se špatně realizuje v integrovaném provedení. Základní zapojení s unipolárními tranzistory se podobá obvodům s přímo vázanými tranzistorovými členy (DCTL). Logickou funkci n nezávisle proměnných realizujeme pomocí n tranzistorů. Odpor realizujeme pomocí MOSFET a to ze dvou důvodů: a) velký odpor (řádově MΩ) zabere na plošném spoji poměrně dost místa, b) použitý tranzistor má podobné teplotní vlastnosti jako okolní tranzistory, takže se zvýší tepelná stabilita. DTL Systém diodové tranzistorové logiky (DTL)je jedním z obvodů, které se pro speciální účely ještě vyrábějí. Základním hradlem tohoto systému je NAND a vzniklo v podstatě kombinací diodového obvodu AND s invertorem. Vzhledem malému výstupnímu odporu se hradla dají snadno řadit za sebe, typické zpoždění signálu na jedno hradlo je 25 ns. DTL využívá pozitivní druh logiky.
Obr. 19: Hradlo NAND systému DTL TTL Ze systému DTL se vyvinul mnohem známější TTL. Používá výhradně pozitivní druh logiky. Napájení hradel je asi 5 V, signálové napětí je maximálně 5,5 V. Systém TTL dosáhl velkého rozmachu. V dnešní době je však nahrazován systémy STTL, MOS a CMOS, které mají nižší spotřebu a srovnatelnou rychlost. V TTL jsou vstupní diody systému DTL nahrazeny víceemitorovým tranzistorem. Víceemitorový tranzistor se totiž relativně snadno vyrábí standardní planární technologií a jeho výroba je ekonomičtější než výroba několika izolovaných diod. Navíc jsou hradla TTL rychlejší než DTL, typická hodnota zpoždění se pohybuje okolo 12 ns.
93
16.8. Spojení více hradel Spojujeme-li více hradel, měli bychom si dát pozor na hazardy. Jsou to chybné výstupní hodnoty logického obvodu. Jsou způsobeny různou dobou šíření signálu přes (i stejné) logické členy. Příklad 3. Máme na vstupu logickou proměnnou a i a ¯. Jeden ze stavů se na výstup dostane pomaleji než druhý stav. a. . . přenese se na výstup za x ns (nanosekund) a ¯. . . přenese se na výstup za (x + n) ns, n > 0 Odstranění hazardu: upravíme logickou funkci (tzv. zneminimalizujeme) tak, aby nebyla citlivá na nezávisle proměnnou, která hazard způsobuje. V praxi to znamená úpravu funkce např. v Karnaughově1 ) mapě a přidání dalšího logického členu (hradla).
16.9. Budiče sběrnic Budič (angl. driver) je obvod, který generuje elektrické signály v potřebné síle a určitého tvaru (viz obr. 16 a)). Díky tomu je možné výstup jednoho logického obvodu použít jako vstup několika dalších obvodů, protože signál má dostatečnou sílu. Logický zisk je číslo, které určuje, kolik vstupů lze připojit na konkrétní výstup. Například logický zisk 10 znamená, že na jeden výstup s tímto logickým ziskem lze připojit až deset vstupů. Použití budičů je nezbytné, když připojujeme nějaký obvod (např. mikroprocesor) s malým logickým ziskem na systémové sběrnice. Samostatný obvod připojený mezi výstup obvodu s malým logickým ziskem a sběrnici nazýváme budičem sběrnice (angl. bus driver).
16.10. Klopné obvody Vztah výstupní proměnné vzhledem ke vstupní popisuje u klopných obvodů transformace.
Obr. 20: Transformace klopných obvodů 1
) čti [karnafově]
94
Při určité kombinaci vstupních proměnných nemusí být nalezen odpovídající výstupní stav. Zakázané stavy jsou právě takové kombinace vstupních proměnných, kdy výstup není definován. Snažíme se jim vyhýbat. Klopné obvody bychom mohli rozdělit na ty, které nemají jeden ze vstupů tzv. hodinový vstup C (clock, taktovací pulsy) a ty, které tento vstup mají. Příkladem prvních (bez C) je bistabilní klopný obvod (BKO). Ke klopným obvodům s hodinovým vstupem patří např. klopné obvody • typu S-R • typu T • typu D • typu J-K Tyto jmenované klopné obvody mají dva výstupy — na jednom je logická ¯ proměnná Q v normálním stavu a na druhém ve stavu negovaném (Q).
16.11. Paměťové buňky SRAM, DRAM, EPROM, EEPROM, FLASH Paměť je zařízení pro uchování dat a programů (nejen) v počítači. Paměti se dají dělit podle různých hledisek. Zaměřme se na dělení podle způsobů a možností změny uložené informace. • paměti pro čtení a zápis .................................... RWM (Read Write Memory) • obsah lze volně přepisovat ........................... RAM (Random Access Memory) SRAM ............ statická RAM DRAM ...... dynamická RAM • permanentní — obsah určen při výrobě ...................... ROM (Read Only Memory) — obsah lze jednorázově naprogramovat .................................. PROM • semipermanentní — obsah lze naprogramovat, EPROM, EEPROM, FLASH
vymazat
i
přeprogramovat
• volatilní — energeticky závislé (uložená informace zanikne po vypnutí napájení) SRAM, DRAM • nonvolatilní ROM, PROM, EEPROM, FLASH
95
Podívejme se nyní na popisované paměti podrobněji. Typy pamětí RAM Rodina RAM zahrnuje dvě paměťová zařízení: statickou RAM (SRAM) a dynamickou RAM (DRAM). Podstatný rozdíl mezi nimi je v době uchování uložených dat. SRAM uchovává svůj obsah po celou dobu připojení napájení. Při odpojejí napájení (dočasně nebo trvale) se ztrácí obsah paměti. DRAM uchovává data jen velmi krátkou dobu, typicky 4 ms. Napájení je k uchování dat nezbytnou podmínkou. DRAM controller periodicky obnovuje data obsažená v DRAM. Data, jejichž platnost vypršela, obnovena nejsou, takže není plýtváno paměťovým místem. Paměť DRAM je levnější než SRAM. Přístupová rychlost k datům je však lepší u SRAM. Typy pamětí ROM Paměti rodiny ROM se vzájemně odlišují metodou, kterou se do nich zapisují data (obvykle hovoříme o programování), a počtem možných cyklů přepsání. Původní paměti ROM, složené z tranzistorů a neměnné od výroby, se pro odlišení od následujících typů označují maskované ROM (angl. masked ROM). Od maskovaných se moc neodlišují programovatelné ROM (PROM, Programmable ROM). Po výrobě tato paměť není naprogramována, obsahuje samé logické jedničky (”1”). Speciálním zařízení paměť programuje tak, že na vstupní nožky čipu přivede elektrický náboj. Jednou naprogramovaná PROM uchová svůj obsah navždy. Chcemeli data v PROM změnit, musíme daný čip vyhodit a pořídit nový. Podobně se programují paměti EPROM (z angl.Erase-and-Programmable ROM). Ovšem EPROM můžeme smazat a znovu naprogramovat. Paměť typu EPROM vymažeme tak, že ji vystavíme zdroji silného ultrafialového záření. Skrz škvíru v zařízení se dostane UV záření až ke křemíku. Hybridní paměti Vývoj pamětí dospěl k zařízením, které kombinují výhody pamětí RAM a ROM. Hybridní paměti lze podle přání číst a do nich zapisovat, stejně jako do RAM, ovšem uchovávají svůj obsah i bez napájení, stejně jako ROM. Dvě hybridní zařízení, EEPROM a FLASH jsou následníky ROM, třetí hybridní pamět, NVRAM, vznikla modifikací SRAM. Paměti typu EEPROM (z angl.Electrically-Erase-and-Programmable ROM) fungují stejně jako paměti EPROM, mažou se však elektrickým napětím, nikoli UV zářením. Pokud nejsou přemazány, uchovávají svůj obsah navěky. Také paměť typu FLASH je nonvolativní, tzn. nepotřebuje k uchování svého obsahu trvalé napájení. Narozdíl od EEPROM, na které se zapisuje po bytech, se na paměť FLASH zapisuje po blocích. Cenově je FLASH oproti EEPROM výhodnější. Rychlost čtení je u těchto dvou typů pamětí vysoká, mazání a zápis trvají oproti čtení delší dobu (delší než u pamětí typu RAM).
96
Použitá literatura: Jan Vobecký — Vít Záhlava, Elektronika. Grada, Praha, 2001 NEC Electronics Corporation, Basic Knowledge. [online] [cite 12.8.2006] \ URL=http://www.necel.com/en/faq/e base.html Milan Tichý, Elektronika. [online] [cite 12.8.2006] \ URL=http://lucy.troja.mff.cuni.cz/∼tichy/ Jiří Chytil, Cívky 1.část, 2.část. [online] [cite 12.8.2006] \ URL=http://programujte.com/view.php?cisloclanku=2006021601 \ URL=http://programujte.com/view.php?cisloclanku=2006042204 Václav Malina, Poznáváme elektroniku I. Kopp, České Budějovice, 2001 Jiří Sýkora, Základy číslicové techniky. [přednášky], FEL ČVUT, 2005 Jiří Peterka, Driver [online] [cite 15.8.2006], \ URL=http://earchiv.isdn.cz//a93/a334c120.php3 Hana Kubátová, Úvod do počítačových systémů. [online] [cite 15.8.2006] \ URL=https://service.felk.cvut.cz/courses/X36UPS/pdf-web/ups-8-mem.pdf Michael Barr, Introductions to Memory Types. [online] [cite 15.8.2006], \ URL=http://www.netrino.com/Publications/Glossary/MemoryTypes.html
97
17. Algoritmus a jeho vlastnosti, způsoby vyjádření algoritmů. Proměnná, výrazy, řídící struktury, procedury, funkce, iterační a rekurzivní výpočty. Textové a binární soubory, 17.1. Algoritmus a jeho vlastnosti, způsoby vyjádření algoritmů Algoritmus je postup řešení určité třídy úloh tvořený seznamem jednoznačných příkazů, který pro každou přípustnou kombinaci vstupních dat zaručuje požadovaný výsledek po provedení konečného počtu kroků. Lidsky řečeno, je to „receptÿ, jak nějakou úlohu zpracovat. Vlastnosti algoritmu: • hromadnost v určených mezích jsou vstupní data měnitelná • determinovanost každý krok je jednoznačně definován • konečnost skončí po provedení konečného počtu kroků • resultativnost vede k vydání správného výsledku • opakovatelnost pro stejná vstupní data vrací vždy stejný výsledek Způsobů pro zápis algoritmu je několik: přirozený jazyk, vývojové diagramy, struktogramy, pseudojazyk, programovací jazyk.
17.2. Proměnná, výrazy, řídící struktury Při návrhu algoritmů a psaní programů ve vyšších programovacích jazycích pracujeme s daty jako s hodnotami různých datových typů, které jsou uloženy v datových objektech.
99
Datový typ (zkráceně jen typ) je určen: • množinu hodnot • množinu operací, které lze s hodnotami daného typu provádět Příklad 1. Celočíselný typ int v jazyku Java. Množinou hodnot jsou celá čísla z intervalu −2 147 483 648 ÷ 2 147 483 647. Množinu operací tvoří: aritmetické operace +, −, ∗, /, jejichž výsledkem je hodnota typu int relační operace ==, ! =, >, >=, <, <=, jejichž výsledkem je hodnota typu boolean a další operace. Typ int je jednoduchý typ, jehož hodnoty jsou atomické (z hlediska operací dále nedělitelné). Proměnná je datový objekt, který je označen jménem a je v něm uložena hodnota nějakého typu, která se může měnit. Příklad 2. V jazyce Java deklarujeme (vytvoříme) proměnnou alfa (celočíselného datového typu) s hodnotou 0. Později tuto proměnnou změníme na hodnotu 337. int alfa = 0; alfa = 337; Deklaraci jsme provedli těmito kroky: 1. uvedli jsme jméno datového typu (následovala mezera) 2. uvedli jsme jméno proměnné 3. napsali jsme znak přiřazení, tj. znak rovnosti (=) 4. uvedli jsme hodnotu proměnné 5. napsali jsme ukončovací znak, tj. středník (;) Změnu hodnoty proměnné jsme provedli stejným způsobem až na vynechání kroku 1. První i druhý řádek našeho „programováníÿ v příkladu 2 obsahuje příkaz. Je to množina jmen proměnných a jejich typů, operátorů a klíčových slov, případně deklarovaných funkcí, zakončená ukončovacím znakem. Může obsahovat znak přiřazení. Výraz předepisuje výpočet hodnoty určitého typu. Může obsahovat • proměnné • konstanty • volání funkcí • binární a unární operátory • závorky
100
Jak vidíme, výraz je podmnožinou příkazu. Takže zatímco alfa + 337
nebo
alfa − −
jsou výrazy, tak v případě beta = alfa + 337;
nebo
alfa − −;
se jedná o příkazy. Řídicí struktura je programová konstrukce, která se skládá z dílčích příkazů a předepisuje pro ně způsob provedení. Druhy řídících struktur jsou tři: • posloupnost, předepisující postupné provedení dílčích příkazů • větvení, předepisující provedení dílčích příkazů v závislosti na splnění určité podmínky • cyklus, předepisující opakované provedení dílčích příkazů v závislosti na splnění určité podmínky Řídící struktury mají obvykle formu strukturovaných příkazů. Posloupnost je vlastně uspořádání příkazů v takovém pořadí, v jakém se mají vykonávat. Je zřejmé, že v programu kombinujeme všechny tři typy řídících struktur. Např. v určité fázi posloupnosti nastane větvení a pro určitou větev programu se provede cyklus. Větvení se v programovacím jazyce Java realizuje složenými příkazy if, if-else a switch. Cykly lze realizovat např. složenými příkazy while, do-while nebo for.
17.3. Procedury, funkce, iterační a rekurzivní výpočty Souhrnně nazýváme procedury a funkce metodami. Metoda je úsek programu, který řeší nějaký dílčí úkol. Pro zvýšení přehlednosti programu je vhodné metody používat. Deklarace metody tvoří: hlavička metody tělo metody Hlavička metody obsahuje název metody, typ vstupních a výstupních parametrů. Tělo metody je pak vlastní soubor příkazů metody. Přesná specifikace hlavičky záleží na použitém programovacím jazyku. Příklad 3. Hlavička metody v jazyku Java: modifikátor typ jméno( specifikace parametrů ) kde modifikátor bývá public static apod. typ je typ výsledku metody (pro fukce typ funkční hodnoty, pro procedury void) jméno je identifikátor metody 101
specifikací parametrů se deklarují parametry metody, každá deklarace má tvar: typ parametru jméno parametru a oddělují se čárkou. Specifikace může být i prázdná. Funkce má (v obecném případě) volitelný počet vstupních proměnných. Výstupem je obvykle jedna proměnná (méně často více proměnných). Procedura má volitelný počet vstupních parametrů. Výstupní proměnnou nemá. Slovo „volitelnýÿ je nutné brát s rezervou. Metoda má tolik vstupních proměnných, kolik je uvedeno v deklaraci. Příklad 4. Uveďme si implementaci funkce, která zjistí největší číslo ze zadaných vstupních parametrů. V jazyku Java funkci deklarujeme například takto: static int max(int x, int y) { if (x>y) return x; else return y; } A v jazyku Matlab takto: function m=maxim(x,y); if (x>y) m=x; else m=y; end; Rekurzivní metoda v některém svém příkazu volá sama sebe (i nepřímo). Takové metody jsou přímou realizací rekurzivních algoritmů. Příklad 5. Učebnicovým příkladem rekurzivní funkce je výpočet faktoriálu. V jazyku Java ho lze provést touto rekurzivní funkcí: static int fakt(int n) { if (n<=0) return 1; return n*fakt(n-1); } Rekurzivní algoritmus předepisuje výpočet „shora dolůÿ v závislosti na velikosti vstupních dat • pro nejmenší data je výpočet předepsán přímo • pro obecná data je výpočet předepsán s využitím téhož algoritmu pro menší data Výhodou rekurzivních algoritmů je jednoduchost a přehlednost. Nevýhodou pak časová náročnost způsobená např. zbytečným opakováním výpočtu. Iterační algoritmus může v řadě případů náhradou časově náročného rekurzivního algoritmu. Iterace je založena na počítání výsledku „zdola nahoruÿ, tj. od menších dat k větším.
102
Příklad 6. Faktoriál iteračně, opět v Javě (příkaz f *= n; dělá totéž co f = f*n;). static int fakt(int n) { int f=1; while (n>1) { f *= n; n--; } return f; }
17.4. Textové a binární soubory Soubor obecně je množina údajů uložená ve vnější paměti — obvykle na disku. Pro soubor jsou typické tyto operace. • otevření souboru • čtení údaje • zápis údaje • uzavření souboru Textový soubor je posloupnost znaků členěná na řádky. Pro člověka je textový soubor čitelný (srozumitelný). Každý znak je reprezentován jedním bajtem (8 bitů), jehož obsah je dán nějakým kódováním znaků. Členění na řádky je závislé na platformě, řádek je ukončen obvykle jedním nebo dvěma znaky (CR, CR LF, ”\r\n”). Programovací jazyk Java používá 16 bitové kódování Unicode, tj. jeden znak spotřebuje 2 bajty. Příkladem textových souborů jsou soubory se zdrojový kódy (prakticky čehokoli), tj. soubory s příponami .html, .php3, .tex, .m, .java, .sh, .htaccess, aj. Široce rozšířený je textový soubor s příponou .txt, obsahující čistý text. Binární soubory nelze číst obyčejnými textovými editory. Vznikají obvykle jako produkt nějakého programu nebo překladu zdrojových kódů (např. z textového souboru .java vznikne po překladu překladačem javac binární soubor .class).
17.5. Ukazatele, statické a dynamické datové struktury Datová struktura je množina dat (prvků, složek, datových objektů) s definovanými operacemi a způsobem reprezentace (implementace) Datová struktura je statická, je-li počet jejich složek neměnný. Tyto struktury jsou ve vyšších jazycích přímo podporovány strukturovanými datovými typy (pole, řetěz, třída, interface).
103
Datová struktura je dynamická, je-li počet jejích složek proměnný. Mezi operace patří např. vložení nového prvku, odebrání určitého prvku atd. Takovou strukturou je např. zásobník, fronta, tabulka apod. Ukazatel se může uplatnit např. ve spojových seznamech. V těchto seznamech se každý prvek skládá ze dvou elementů a) vlastního obsahu, b) odkazu na další prvek (ukazatel). Ukazatelem je tedy odkaz na nějaké místo v paměti. Příklad 6. Spojový seznam je typickým příkladem datové struktury. Jeho prvky tvoří posloupnost a každý prvek obsahuje odkaz na další prvek v seznamu. Spojový seznam obsahující znaky (typ char) může vypadat v Javě např. takto
Obr. 1: Spojový seznam — implementace v Javě Dále bychom mohli pro třídu Prvek deklarovat metody vloz(char z), odeber() a jePrazdny(), abychom ji mohli vůbec používat. Pro ilustraci spojového seznamu si však vystačíme s obr. 1.
Použitá literatura: Algoritmizace. [online] [cite 15.8.2006] [přednášky 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 12], \ URL=http://service.felk.cvut.cz/courses/X36ALG/alg prednasky/
104
23. Aktivní polovodičové součástky — BJT, JFET, MOSFET, MESFET — struktury, vlastnosti, aplikace. Poznámka 1. Tato kapitola (okruh) předpokládá znalost kapitoly 16.
23.1. BJT Struktura Bipolární tranzistor je polovodičová struktura se dvěma usměrňujícími přechody P-N, vyrobenými na monokrystalu polovodiče ve vzdálenosti podstatně menší než je difúzní délka1 ) minoritních nosičů polovodičové oblasti společné oběma nosičům (báze). Není-li tento předpoklad splněn, chová se taková struktura jako dva P-N přechody bez vzájemné interakce.
Obr. 1: Struktura BJT typu NPN: a) diskrétní provedení, b) integrované provedení Nejméně dotovanou oblastí BJT je kolektor. Na obr. 1 a) i b) je kolektor připojen k elektrodě pomocí více dotované oblasti N+ resp. N++ . Tato realizace způsobí, že kontakt kolektor-elektroda kolektoru je ohmický, nikoli usměrňující (u Shottkyho diody se vyskytují oba tyto kontakty). Vlastnosti V inverzním režimu (oba P-N přechody polarizovány závěrně) teče jen malý, tzv. zbytkový proud (řádově nA). Je-li v tomto režimu na kolektoru vysoké napětí (50 V a více), může dojít k průrazu a) nárazovou ionizací, b) stykovým průrazem, kdy se OPN rozšíří do celé báze. 1
) Difúzní délka L je vzdálenost, kterou urazí nosič náboje během doby života maniu může být difúzní délka minoritních nosičů až několik milimetrů.
105
τ . V křemíku a ger-
Obr. 2: Zbytkové proudy BJT v nevodivém režimu a příslušná průrazná napětí Kdy dojde k průrazu záleží na způsobu připojení báze a emitoru. Např. u tranzistoru NPN je nejnižší průrazné napětí U(BR)CE0 , kdy tranzistorem teče proud ICE0 . Indexy říkají, že proud teče z kolektoru do emitoru při nulovém proudu do báze (elektroda báze není zapojena). Pokud bázi uzemníme přes odpor R, dojde k průrazu při vyšším napětí UCC . Situaci ilustruje obr. 2. Pro vyznačená průrazná napětí platí U(BR)CE0 < U(BR)CER < U(BR)CES (< U(BR)CB0 ) (U(BR)CB0 . . . analogie k U(BR)CE0 , nezapojen emitor, báze na zem) V normálním aktivním režimu teče obvodem kolektor-emitor velký proud. Jeho velikost lze řídit malým proudem do báze, resp. napětím mezi bází a emitorem. V tom tkví podstata tranzistorového jevu. Proud do báze teče • je-li na bázi kladnější napětí než na emitoru a to o zhruba 0,6 V2 ) (NPN) • je-li na bázi zápornější napětí než na emitoru, opět zhruba o 0,6 V (PNP) Teče-li do báze velký proud (je-li napětí |UBE | příliš velké), teče i velký kolektorový proud. Hovoříme o režimu saturace. Zesílení v tomto stavu klesá. Z technologických důvodů (silně dotovaný emitor) je zesílení v inverzním aktivním režimu (kolektor a emitor zaměněny) menší než v normálním aktivním režimu. Zesílení BJT kvantifikuje stejnosměrný proudový zesilovací činitel h21E definovaný jako podíl kolektorového a bázového proudu v zapojení SE h21E =
IC = β = hF E IB
Další parametry zapojení (vstupní/výstupní odpor, napěťové/výkonové zesílení) lze zjistit pomocí náhradního lineárního obvodu (NLO) s h-parametry. Vysoké napěťové a proudové (a proto nejlepší výkonové) zesílení má tranzistor v zapojení SE. Tranzistor se v tomto zapojení chová jako invertor - kladné napěťové půlvlně na vstupu odpovídá záporná napěťová půlvlna na výstupu. 2
) 0,6 V je prahové napětí křemíkového P-N přechodu báze-emitor
106
Při zapojení tranzistoru jako zesilovače střídavého napětí • galvanicky oddělujeme vstup a výstup vazebními kondenzátory Cv1 , Cv2 , aby nedocházelo k vzájemnému ovlivňování připojených obvodů (projde jen střídavé napětí) • nastavujeme klidový proud do báze rezistory RB1 , příp. RB2 • pracovním rezistorem RC nastavíme napětí na kolektoru (obvykle UCE = 12 UCC ) • odporem RE nastavíme zápornou proudovou zpětnou vazbu (teplotní stabilizace pracovního bodu, tzv. můstková) Aplikace Napěťový a proudový zesilovač, výkonový zesilovač. Spínač. Sledovač napětí, proudové zrcadlo. Jednočinný koncový stupeň zesilovače s NPN pracující ve třídě A Dvojčinný koncový stupeň zesilovače s komplementární dvojicí tranzistorů (NPN a PNP) pracující ve třídě B nebo AB. Tento typ obvodu lze nalézt na výstupu klasických operačních zesilovačů. V uvedených aplikacích se kombinují různá zapojení (SE, SB, SC), aby se dosáhlo potlačení nežádoucích parametrů nebo naopak využilo některých dobrých vlastností BJT, např. diferenční zesilovač obsahuje tranzistory v zapojení a SC-SB.
23.2. JFET Struktura Tři elektrody • source (S), obdoba emitoru u BJT, zdroj volných nosičů náboje • drain (D), obdoba kolektoru u BJT, zachytává volné nosiče náboje • gate (G), česky hradlová elektroda, ovlivňuje proud mezi S a D
Obr. 3: Struktura JFET s kanálem N a kanálem P
107
Kovové kontakty elektrod jsou od sebe odděleny oxidem křemičitým (SiO2 ). V tranzistoru s kanálem N je proud ID realizován elektrony a tranzistor nazýváme zkráceně NJFET. V tranzistoru s kanálem P tečou mezi S a D díry, tranzistor nazýváme PJFET. Vlastnosti Proud tekoucí mezi elektrodami S-D ovlivňuje napětí na řidící elektrodě G a napětí na drainu vzhledem k source UDS (v praxi je UDS konstatní a kolektorový proud ID se řídí pouze napětím UGS ). Protože ovládacími (vstupními) veličinami jsou napětí (UDS , UGS ) a ovládané (výstupní) veličiny jsou proudy tekoucí tranzistorem (IG , ID ), popisujeme elektrické veličiny JFET pomocí y-parametrů IG = y1 (UGS , UDS )
(1)
ID = y1 (UGS , UDS )
(2)
Výstupní charakteristiky tranzistoru dané (1) se v katalogu obvykle neuvádí, protože proud do gate je v řádu pikoampérů (jedná se o závěrný proud přechodu P+ N). Typické jsou výstupní charakteristiky podle (2), tj. závislost proudu drainu na napětích UDS a UGS .
Obr. 4: Výstupní charakteristiky tranzistoru NJFET NJFET - princip Zapojeny jsou elektrody G (UGS ≤ 0) a D (UDS > 0). Obě tato napětí polarizují P-N přechody v tranzistoru závěrně. Největší proud ID teče tranzistorem při UGS = 0V a UDS > UDSsat . Nejmenší proud (žádný) teče při UGS ≤ UGSOFF , kde velikost UGSOFF záleží na typu tranzistoru a leží v rozmezí −0, 5 V ÷ −10 V. Proud ID se snižuje při snižování napětí UGS (snižování směrem k −∞) a to vlivem zaškrcování kanálu rozšiřováním OPN záverně polarizovaného přechodu ve vertikální rovině. Při zvyšování UDS (UDS → +∞) se proud ID zároveň zvyšuje a snižuje. Zvyšuje vlivem rostoucího rozdílu potenciálů mezi S-D, snižuje vlivem horizontálního zaškrcování 108
kanálu postupujícího od D k S. Zcela se kanál zaškrtí při UDS = UDSsat , při vyšším UDS se zaškrcení rozšiřuje k S. Proud ID teče dál, elektrony překonávají OPN díky vysokému UDS . Princip PJFET je stejný jako NJFET, proud ID je tvořen děrami, napětí UDS je záporné a řidicí napětí UGS je kladné. Další vlastnosti • vysoký vstupní odpor (protože IG ≈ 0) • nízký šum • nízký příkon • menší napěťové zesílení vzhledem k BJT • vysoká mezní frekvence Aplikace Aplikace vyplývá z vlastností, které předurčují užití JFET mj. ve vf aplikacích (díky vysokému Rvst , nízkému šumu, nízkému příkonu a v některých případech lepší teplotní stabilitě). Další aplikace (s uvedením vlastnosti JFET, které se využívá) • audiotechnika (nízký šum na akustických kmitočtech) • operační zesilovače (vysoký Rvst ) • elektrotové mikrofony, IR fotodetektory (schopnost zesilovat signál ze zdrojů s vysokým Rvýst ) • VHF zesilovače, oscilátory, směšovače (vysoká mezní frekvence)
23.3. MOSFET Struktura Tři elektrody • source (S), obdoba emitoru u BJT, zdroj volných nosičů náboje • drain (D), obdoba kolektoru u BJT, zachytává volné nosiče náboje • gate (G), česky hradlová elektroda, ovlivňuje proud mezi S a D Podobně jako u JFET existuje vodivý kanál, kterým teče kolektorový proud ID tvořený u NMOSFET elektrony, u PMOSFET děrami.
109
Obr. 5: Struktura a schematická značka MOSFET Elektroda G je od substrátu oddělena vrstvou oxidu křemičitého (SiO2 ), který hraje důležitou roli. Existuje-li vodivý kanál i při UGS = 0 V, hovoříme o MOSFET se zabudovaným kanálem, neexistuje-li, pak o tranzistoru s indukovaným kanálem. Vlastnosti Proud IG do hradla (elektrody G) je vždy nulový, přes oxid proud neprochází. Velikost proudu ID ovlivňuje napětí UGS řidící elektrody G. Je-li kladné a větší než prahové, pak se v substrátu P mezi S a D vytvoří v NMOSFET inverzní vrstva, která obsahuje tolik elektronů, že vzniká vodivý kanál. Podobně jako u JFET rostoucí napětí UDS způsobuje zároveň zvyšování ID a zároveň jeho snižování, protože se podélně zaškrcuje kanál. Při UDS = UDSsat je OPN přechodu N+ P tak široká, že zaškrtí vodivý kanál, ale proud ID teče dál. Tranzistor je v režimu saturace. Pracuje-li MOSFET se střídavým signálem, je třeba nastavit stejnosměrný pracovní bod. To platilo u BJT a taktéž u JFET, ačkoli to u něj nebylo zmíněno. Dělá se to vhodným obvodovým zapojením s využitím rezistorů.
Obr. 6: Nastavení pracovního bodu MOSFET Jak vidíme na druhém a čtvrtém obrázku zleva na obr. 6, není na drain PMOSFET připojeno záporné napětí, jak bychom čekali. Místo toho je source a body zapojeno na kladné napětí UDD . Toto zapojení je ekvivalentní zmíněnému zápornému napětí na drain. Vystačíme si s kladným napětím +UDD pro oba kanály.
110
Další vlastnosti: S a D jsou od substrátu odděleny OPN přechodu S-substrát a D-substrát, elektroda G je oddělena vrstvou G. Tato izolace je výhodná v IO, kde pak nemůže dojít k vzájemnému ovlivňování tranzistorů MOSFET a proto je možná vysoká hustota integrace. Vstupní kapacita oxidové vrstvy v řádu pF. Velmi vysoký vstupní odpor Rvst → ∞, v praxi 1013 ÷ 1017 Ω, zatímco BJT v zapojení SE Rvst = 103 ÷ 106 Ω. Snadné proražení oxidové vrstvy statickou elektřinou lidského těla ⇒ nutná zvýšená opatrnost. Vývody zkratujeme (svorkou, alobalem), tranzistory dáváme do připravených objímek (při bastlení). Nižší příkon. Aplikace Zesilovač malého signálu, analogový spínač. Integrované obvody (MOSFET i CMOS). Výkonový MOSFET: koncový zesilovač, spínání velkých zátěží (pracovní napětí 25 V ÷ 1 000 V , proudy až 100 A).
23.4. MESFET MEtal Semiconductor FET — obsahuje kontakt kov-polovodič. Struktura V tranzistoru NJFET nahradíme oblast pod elektrodami Shottkyho diodou tak, že pod elektrodami S a D zůstává oblast N+ , pod elektrodou G je oblast N− (vrstvy od sebe nejsou odděleny oblastí N). Materiál: GaAs (místo obvyklého křemíku).
Obr. 7: Struktura MESFET
111
Vlastnosti GaAs má asi 3x větší pohyblivost elektronů vzhledem k Si. Elektrony proletí rychleji kanálem a struktura má proto lepší dynamické vlastnosti než třeba JFET. Pro dosažení vysoké mezní frekvence (jednotky až desítky GHz) je nutné zajistit • vysokou pohyblivost elektronů v kanálu • velmi malé parazitní kapacity mezi elektrodami — lze dosáhnout přesnými rozměry Shottkyho diod (u GaAs je to technologicky snazší) Velká mezní frekvence, malý šum. Aplikace Vf zesilovače. Číslicové obvody, zejména pak datové komunikace. Např. přepínač datových kanálů pro optické kabely, kde jsou požadovány rychlosti přenostu v řádu jednotek GBps a vyšší.
Použitá literatura: Jan Vobecký — Vít Záhlava, Elektronika. Grada, Praha, 2001 František Vaníček, Elektronické součástky. [skriptum] Vydavatelství ČVUT, Praha, 1999 Přemek Neumann — Jan Uhlíř, Elektronické obvody a funkční bloky 1., Vydavatelství ČVUT, Praha, 2005 Václav Malina, Poznáváme elektroniku I., Kopp, České Budějovice, 2001
112
27. Použití z-transformace a Laplaceovy transformace. Přenosová funkce analogového a diskrétního obvodu. 27.1. Použití z-transformace a Laplaceovy transformace Použití Laplaceovy transformace zjednodušuje • řešení diferenciálních rovnic (homogenních, nehomogenních) • řešení soustavy diferenciálních rovnic • řešení obvodové rovnice (uzlová napětí, smyčkové proudy) • analýzu přechodných jevů • určování přenosových charakteristik Dále se Laplaceova transformace užívá při • realizaci LC filtrů • realizaci aktivních RC filtrů (LC fitry s indukčností nahrazenou zobecněným imitančním konvertorem GIC, aktivní filtry s operačními zesilovači) Pro harmonický ustálený stav a čas t > 0 lze provést substituci p = jω. Poznámka 1. 1) Zmíněné oblasti použití navzájem souvisejí. Zřejmě bychom o existenci Laplaceovy transformace nevěděli, kdybychom neřešili obvodové rovnice a přechodné jevy, a to i kdybychom současně řešili diferenciální rovnice (viz provázanost předmětů Matematika 2 a Elektrické obvody 2). 2) Není účelné zde uvádět, čím nahrazujeme obvodové prvky v Laplaceově transformaci. Zájemce o praktickou aplikaci této transformace může prostudovat níže uvedenou literaturu. Připomeneme jen L{1} = L{1(t)} = p1 a odkaz na podkapitolu S7.5. Příklad 1. Cívka relé, která má ohmický odpor R = 5 kΩ a vlastní indukčnost L = 5, 5 H se v čase t = 0 připojí na zdroj stejnosměrného napětí U0 = 18 V přes zpožďovací obvod tvořený rezistorem s odporem R1 = 10 kΩ a kapacitorem s kapacitou C = 30 µF (viz schéma pod zadáním). Vypočítejte, za jakou dobu t2 bude dosaženo zapínacího proudu iz = 0, 9 mA v obvodu cívky relé.
113
Obr. 1: Obvodové schéma k příkladu 1 Řešení: Pro obvod na obr. 1 vede metoda smyčkových proudů i uzlových napětí na stejný počet rovnic (dvě). Protože počítáme prud relé, zvolíme metodu smyčkových proudů. Pro vyznačené smyčkové proudy a nulové počáteční podmínky platí operátorové rovnice1 ): µ ¶ 1 1 U0 R1 + I1 (p) − I2 (p) = pC pC p µ ¶ 1 1 I1 (p) + R2 + pL + I2 (p) = 0 − pC pC Řešením této soustavy dostaneme: U0 ³ I2 (p) = p R + 1 =
p [p2 CLR
1 pC
1 pC
´³
R + pL +
1 pC
´ −
1 p2 C 2
U0 1 + p(L + CR1 R) + R1 + R]
a po dosazení zadaných hodnot: 18 p(1, 65p2 + 1505p + 1, 5 · 104 ) 18 = . 1, 65p(p + 10, 07)(p + 902, 4)
I2 (p) =
Zpětnou Laplaceovu transformaci lze provést rozkladem obrazu proudu I2 (p) na parciální zlomky a poté použitím slovníku Laplaceovy transformace. Pro t ≥ 0 platí: i2 (t) = 1, 2(1 − 1, 011e−10,07t + 0, 011e−902,4t ) [mA] Člen 0, 011e−902,4t se uplatní jen pro velmi malé hodnoty t. V čase t = t2 , kdy i2 (t2 ) = 0, 9 mA (jt. blízko ustáleného stavu) je již zanedbatelný. 1
) operátorová rovnice je rovnice s proměnnou
p Laplaceovy transformace 114
K určení okamžiku t2 můžeme proto použít rovnice: ¡ ¢ i2 (t2 ) = 0, 9 ≈ =1, 2 1 − 1, 01e10,07t2 ⇒ t2 = −
1 ln 0, 2472 ≈ 0, 139 s. 10, 07
Z-transformaci používáme k řešení diferenčních rovnic popisujících diskrétní kauzální systém. Řešení takové diferenční rovnice spočívá ve vyjádření funkcí Y (z) = Z{y[n]} a X(z) = Z{x[n]} a následně hledáme kořeny přenosové funkce H(z) = Y (z)/X(z). Impulsní odezvu h[n] systému popsaného původní diferenční rovnicí obdržíme inverzní z-transformací přenosové funkce H(z). Aplikaci z-transformace nacházíme v syntéze číslicových filtrů. Z přenosové funkce H(z) můžeme lze určit blokové schéma filtru a naopak. Příklad 2. Nalezněte přenosovou funkci číslicový filtr druhého řádu popsaný diferenční rovnicí y[n] = bx[n] − a1 y[n − 1] − a2 y[n − 2] (1) Uvažujte počáteční podmínky y[−1] = y[−2] = 0. Řešení: Rovnici (1) nejprve formálně upravíme na tvar y[n] + a1 y[n − 1] + a2 y[n − 2] = bx[n]
(2)
a poté řešíme pomocí z-transformace. Protože platí Z{y[n]}
=
Y (z),
Z{y[n − 1]}
=
z −1 Y (z) + y[−1],
Z{y[n − 2]}
=
z −2 Y (z) + z −1 y[−1] + y[−2],
nalezneme z-transformací algebraický tvar diferenční rovnice (2) Y (z)(1 + a1 z −1 + a2 z −2 ) = bX(z) Přenosová funkce H(z) je definována jako podíl obrazu výstupu k obrazu vstupu pro nulové počáteční podmínky a tedy H(z) =
Y (z) b = −1 X(z) 1 + a1 z + a2 z −2
115
(3)
Filtr realizujeme obvodem
Obr. 2: Realizace číslicového filtru 2.řádu, který odpovídá rovnici (1) Povšimněme si opačných znamének u koeficientů jmenovatele přenosové funkce H(z) (v obvodu −a1 a − a2 , ve jmenovateli +a1 , +a2 ), která vyplývají z transformace diferenční rovnice na přenosovou funkci. Vztah mezi vstupy a výstupy číslicového filtru popisuje v diskrétní časové oblasti rovnice (1), ve frekvenční oblasti rovnice (3). Vzhledem k jednoznačnosti z-transformace odpovídá konkrétní diferenční rovnici přenosová funkce a naopak. Z-transformace je diskrétním ekvivalentem Laplaceovy transformace.
27.2. Přenosová funkce analogového a diskrétního obvodu Přenosová funkce H(p) analogového obvodu je definována jako podíl obrazu výstupu v Laplaceově transformaci k obrazu vstupu Y (p)/X(p) pro nulové počáteční podmínky, tedy Y (p) H(p) = , X(p) kde Y (p) = L{y(t)} je obraz spojitého výstupního signálu y(t), X(p) = L{x(t)} obraz spojitého vstupního signálu x(t). Inverzní Laplaceovou transformací přenosové funkce H(p) získáme impulsní odezvu systému h(t) h(t) = L−1 {H(p)}. Přenosová funkce H(z) diskrétního obvodu je definována jako podíl obrazu výstupu v z-transformaci k obrazu vstupu Y (z)/X(z) pro nulové počáteční podmínky, tedy takto Y (z) H(z) = , X(z) kde Y (z) = Z{y[n]} je obraz diskrétního výstupního signálu y[n], X(z) = Z{x[n]} je obraz diskrétního vstupního signálu x[n]. 116
Inverzní Z-transformací přenosové funkce H(z) získáme impulsní odezvu systému h[n] h[n] = Z −1 {H(p)}. Impulsní odezva je reakce systému na jednotkový impuls δ(t) resp. na diskrétní jednotkový impuls δ[n]. Jednotkový impuls ve spojité oblasti δ(t) se také nazývá Diracův impuls.
Použitá literatura: Roman Čmejla — Václav Havlíček — Ivan Zemánek, Základy teorie obvodů 2, cvičení. [skriptum], Vydavatelství ČVUT, Praha, 2003 Václav Davídek — Miloš Laipert — Miroslav Vlček, Analogové a číslicové filtry, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2004
117
28. Charakteristiky dvojbranu, LC, RC a číslicové filtry, syntéza filtru, diskrétní analogový filtr — spínané obvody. 28.1. Charakteristiky dvojbranu Dvojbran má vstupní bránu a výstupní bránu. Vztahy mezi napětími u1 (t), u2 (t) a proudy i1 (t), i2 (t) na těchto branách lze snadno vyjádřit za předpokladu, že v dvojbranu není pro čas t < 0 akumulována energie, jako vztah mezi Laplaceovými obrazy těchto proudů a napětí. Obrazy (pro nulové energetické počáteční podmínky) definujeme takto U1 (p) = L{u1 (t)},
U2 (p) = L{u2 (t)},
I1 (p) = L{i1 (t)},
I2 (p) = L{i2 (t)}
Dvě z těchto veličin volíme za nezávisle proměnné a vyjádříme z nich dvě zbývající. Celkem existuje šest různých možností. Zvolíme-li za nezávisle proměnné proudy, budou obě napětí jejich lineárními kombinacemi, tj. U1 = Z11 I1 + Z12 I2 ,
U2 = Z21 I1 + Z22 I2
(1)
Rozměr parametrů Z11 , Z12 , Z21 , Z22 je [Ω] a proto je označujeme jako impedanční charakteristiky dvojbranu. Rovnice (1) nazýváme impedanční a v maticovém tvaru je zapisujeme takto · ¸ · ¸ · ¸ U1 Z11 Z12 I = · 1 U2 Z21 Z22 I2 Matici
·
Z11 [Z] = Z21
Z12 Z22
¸
nazýváme impedanční maticí dvojbranu. Takto matice obecně charakterizuje dvojbran. Pro stanovení dvojbranových charakteristik je nutné určit kladné smysly obvodových veličin. Obecně se se používá volby dané obrázkem 1
Obr. 1: Kladné smysly napětí a proudů dvojbranu Při vstupu nebo výstupu naprázdno (I1 = 0, I2 = 0) dostáváme z (1) vztahy pro impedanční charakteristiky ¯ ¯ ¯ ¯ U1 ¯¯ U1 ¯¯ U2 ¯¯ U2 ¯¯ Z11 = , Z12 = , Z21 = , Z22 = . I1 ¯ I2 =0 I2 ¯ I1 =0 I1 ¯ I2 =0 I2 ¯ I1 =0 119
Prvky Z11 , Z22 jsou vstupní a výstupní impedance dvojbranu naprázdno, které lze zjistit přímým měřením impedance mezi svorkami. Prvky Z12 a Z21 jsou poměrem napětí a proudů různých bran, proto je nazýváme přenosové impedance. Podobnou analýzu lze provést pro další impedanční charakteristiky a příslušné matice. Z definic charakteristik lze usoudit na jejich fyzikální rozměr (jednotku). Např. u admitančních charakteristik je to siemens. · · · · ·
I1 I2
U1 I2 I1 U2 U1 I1 U2 I2
¸
· =
¸
· =
¸
· =
¸
· =
¸
· =
Y11 Y21 H11 H21 K11 K21 A11 A21 B11 B21
¸ · ¸ Y12 U1 · Y22 U2 ¸ · ¸ H12 I · 1 H22 U2 ¸ · ¸ K12 U1 · K22 I2 ¸ · ¸ A12 U2 · A22 −I2 ¸ · ¸ B12 U1 · B22 −I1
(admitanční rovnice) (smíšené sériově paralelní rovnice) (smíšené paralelně sériové rovnice) (kaskádní rovnice) (zpětně kaskádní rovnice)
U kaskádních (a zpětně kaskádních) rovnic, které slouží k popisu dvojbranů zakončených dvojpólem nebo vstupem dalšího dvojbranu, více vyhovuje, když proud I2 vystupuje ven z dvojbranu (narozdíl od obr. 1, kde I2 vstupuje dovnitř). Proto zavádíme I20 = −I2 , popř. I10 = −I1 . Výše uvedené (zpětně-)kaskádní rovnice respektují původně dohodnutou orientaci proudů a napětí dvojbranu.
28.2. LC filtry LC filtry nejčastěji realizujeme příčkovými dvojbrany. Tyto dvojbrany získáme z LC dvojpólů. Imitance pasivního dvojpólu je Z(p) = Y −1 (p) =
U (p) I(p)
kde Z(p) je impedance a Y (p) admitance dvojpólu. Obě tyto imitance jsou podle Bruneho věty pozitivně reálnými funkcemi. Bruneho pozitivně reálnou funkcí nazýváme funkci komplexní proměnné F (p), která má následující vlastnosti: 1. F je racionální funkce,
120
2. F zobrazuje body z pravé poloroviny komplexní roviny p opět do pravé poloviny komplexní roviny, tj. Re{p} > 0 ⇒ Re{F (p)} > 0, 3. F zobrazuje reálnou osu opět na reálnou osu. Aby funkce F (p) byla imitanční funkcí dvojpólu, musí pro ní platit: • funkce F (p) má jednoduché póly a nulové body, které leží výlučně na imaginární ose kmitočtové roviny p, • rezidua v těchto pólech jsou reálná a kladná. Další vlastností imitancí dvojpólů LC jsou : • nulové body a póly se střídají, • F (p) je tvořena podílem lichého a sudého nebo sudého a lichého polynomu. V praxi realizujeme impedanci zvst nebo admitanci yvst (souhrnně F (p)), pro které musí platit výše uvedené. Pro realizaci F (p) užíváme dva algoritmy: rozklad na částečné zlomky (Fosterův algoritmus) nebo rozklad v řetězový zlomek (Cauerův algoritmus). Realizace LC dvojpólů jsou tyto:
Obr. 2: a) první Fosterův tvar, b) druhý FT, c) první Cauerův tvar, d) druhý CT
28.3. RC filtry Začaly se vyvíjet, protože induktory v LC filtrech nejsou slučitelné s mikroelektronickými technologiemi. Náhrada induktoru byla realizována pomocí zapojení s operačními zesilovači. To jsou aktivní prvky (narozdíl od samotného induktoru a kapacitoru), proto hovoříme o aktivních filtrech. Existují dvě metody, jak realizovat RC filtr 1. přímou aplikací GIC1 ) v příčkových strukturách LC filtrů 1
) GIC = Generalized Impedance Converter, překládáný jako Zobecněný imitanční konvertor
121
2. kaskádovým spojením (kaskáda - spojení dvojbranů za sebou, „v sériiÿ) GIC Vlastní GIC je obvodové zapojení 5 obecných impedancí a dvou OZ. Pokud jednu z impedancí nahradíme kapacitorem a zbylé rezistorem, dostáváme zapojení simulující induktor:
Obr. 3: Modifikace GIC představující indukčnost Můžeme též použít Brutonovy transformace, která mění charakter prvků: • rezistor→ kapacitor • induktor → rezistor • kapacitor → dvojný kapacitor Dvojný kapacitor pak realizujeme vhodným zapojením GIC. Syntéza RC filtrů využívající tyto dvě metody vychází z Normované dolní propusti. Kaskádové spojení filtrů Přenosovou funkci H(p) rozložíme na několik dílčích přenosových funkcí Hi (p), které pak realizujeme kaskádním spojením. Například přenosovou funkci třetího řádu lze rozložit na přenosovou funkci prvního řádu a přenosovou funkci druhého řádu. V následné realizaci se objeví filtr 1.řádu kaskádně spojený s filtrem 2.řádu. Filtr 1.řádu realizuje • dolní propust(DP): integrační RC článek • horní propust(HP): derivační RC článek Jedná se tedy o pasivní struktury.
Filtr 2.řádu realizuje • DP: Sallen-Keyovo zapojení
122
• HP: modifikace Sallen-Keyovova zapojení DP • PP: Deliyannisovo zapojení Každé z těchto zapojení obsahuje rezistory, kapacitory a operační zesilovač. Jsou to aktivní filtry.
Obr. 4: RC filtry: a) integrační článek, b) derivační článek, c) Sallen-Keyovo zapojení
28.4. Syntéza filtru Výchozí zadání pro syntézu filtru obsahuje parametry tolerančního schématu: • ap [dB] . . . útlum v propustném pásmu (permeable) • as [dB] . . . útlum v nepropustném pásmu (subdued, selective) • fp , f−p [Hz] . . . meze propustného pásma • fs , f−s [Hz] . . . meze nepropustného pásma • R0 [Ω] . . . impedance, kterou se normuje Příslušné meze záleží na typu filtru, např. HP má meze f−s a f−p . Příklad 1. Navrhněte LC filtr, dolní propust, pomocí Butterworthovy aproximace. Zadání: • Útlum v propustném pásmu ap = 0, 5 dB • Útlum v nepropustném pásmu as = 50 dB • Mez propustného pásma fp = 500 Hz • Mez nepropustného pásma fs = 3 000 Hz • Vnitřní impedance zdroje Ri = R0 = 50 Ω
123
Toleranční schéma dolní propusti vypadá takto:
Obr. 5: Výchozí toleranční schéma filtru Toleranční schéma normované dolní propusti: Filtr navrhujeme pomocí tolerančního schématu normované dolní propusti (NDP ). Když máme NDP navrženou, pak vhodně odnormujeme s ohledem na to, zda se jedná o DP, HP, PP nebo PZ (pásmová zádrž ). Převedeme zadané frekvence fp a fs (meze propustného a nepropustného pásma) na odpovídající kruhové frekvence ωp a ωs : ωp = 2 · π · 500 = 1 000 π ωs = 2 · π · 3 000 = 6 000 π Zadanou dolní propusť normujeme na NDP. Měřítko frekvence přitom měníme pomocí vztahu Ω = ω/ωp takže ωs 6 000 π = =6 ωp 1 000 π ωp 6 000 π Ωp = = =1 ωp 6 000 π Ωs =
Primární parametry tolerančního schématu NDP jsou následující: 10−0,05ap = 10−0,05·0,5 = 0, 944 06 10−0,05as = 10−0,05·50 = 3, 162 · 10−3 Sekundární parametry tolerančního schématu NDP nabývají hodnot p ε = 100,05ap − 1 = 0, 349 311 4 1 1 k= = = 0, 16 Ω 6 rs r 0,1a 10 p − 1 100,05 − 1 k1 = = = 0, 001 104 625 100,1as − 1 105 − 1
124
Dospěli jsme k tolerančnímu schématu:
Obr. 6: Toleranční schéma NDP Butterworthova aproximace: Při návrhu filtru nás zajímá průběh přenosové funkce H(s). Během aproximace dospějeme k charakteristické rovnici, jejíž obecný tvar je H(jΩ)H(−jΩ) =
1+
1 = |H(jΩ)| + Ω2n
ε2
Této rovnici pak odpovídá charakteristická funkce LC dvojbranu ϕ(s) = εsn (všímáme si jmenovatele v charakteristické rovnici ). Nejprve je nutné určit stupeň aproximace. Toto číslo bude určovat řád filtru. Čím vyšší řád, tím bude filtr složitejší, ale o to lépe bude splňovat požadované parametry. Stupeň aproximace určíme ze vztahu n≥
log
1 k1
log Ωs
=
1 k1 log k1
log
pro náš případ dostaneme: n≥
log
1 k1
log Ωs
=
log
1 0,001 104 625
log 6
=
905, 284 ≈ 3, 799 8 ⇒ n = 4 0, 778 151
Zaokrouhlením stupně aproximace na celé číslo nutně vede ke změně některých parametrů as a Ωs tolerančního schématu NDP. Zde se můžeme rozhodnout mezi dvěmi variantami: • zachovat parametry k a ε, takže se nezmění Ωs ; upravíme parametr k1 a podle něj i parametr ap • zachovat parametr k1 a s ním související útlum v nepropustném pásmu; vypočítat nový parametr k a poupravit hodnotu Ωs 125
Oba případy vedou ke zpřísnění tolerančního schématu (bude se filtrovat více, než jsme požadovali), protože jsme zvolili „vyššíÿ řád filtru (stupeň aproximace). √ Vypočtěme nový parametr k podle vztahu k = n k1 a k němu příslušný normovaný kmitočet Ωs k=
p n
k1 =
p 1 4 0, 001 104 625 ≈ 0, 182 31 ⇒ Ωs = = 5, 48. k
Póly přenosové funkce jsou rovnoměrně rozloženy na kružnici o poloměru 1 r= √ , n ε a vypočítají se podle vztahu · ¸ 1 (2µ − 1)π (2µ − 1)π sµ = √ + j cos − sin = αµ + jβµ , n 2n 2n ε kde µ = 1, 2, . . . , n Zajímají nás ovšem jen reálné části těchto kořenů, protože z nich a z koeficientu α0 1 α0 = − √ n ε sestavíme přenosovou funkci NDP, tj. funkci H(s). Ta nabývá tvaru pro n liché H(s) =
H0 , m Y ¡ 2 ¢ 2 (s − α0 ) s − 2αµ s + α0
H0 =
1 , ε
m=
n−1 2
µ=1
Pro n sudé nabývá funkce tvaru H(s) =
H0 m Y
¡
s2 − 2αµ s + α02
¢
,
H0 =
1 , ε
m=
n 2
µ=1
Situace se značně zjednoduší, požadujeme-li ap = 3 dB. Potom H(s) =
1 , bn (s)
kde bn (s) je tzv. Butterworthůw polynom n-tého stupně tvaru bn (s) = b0 + b1 s + . . . + bn sn . Koeficienty b0 , b1 , . . . , bn lze vyčíst z tabulky. Poloměr kružnice, na kterém leží póly přenosové funkce v komplexní rovině, je 1 1 = √ ≈ 1, 3 r= √ 4 n ε 0, 349 311 4
126
Ze známého poloměru r a stupně aproximace snadno určíme póly přenosové funkce H(s) s1,4 = − 0, 49777 ± j 1, 20174 s2,3 = − 1, 20174 ± j 0, 49777 Parametr H0 přenosové funkce je převrácenou hodnotou ε a činí 2,8628. Se znalostí všech těchto parametrů lze sestavit přenosovou funkci NDP (n = 4, tj. volíme funkci pro n sudé) H(s) =
=
(s2
s4
2, 8628 + 0, 9956s + 1, 69197)(s2 + 2, 40349s + 1, 69197)
+
3, 39905s3
2, 86278 + 5, 7768s + 5, 75110s + 2, 86278
Charakteristická funkce LC filtru je dána vztahem εϕ(s), kde ϕ(s) odpovídá sn pro daný stupeň n aproximace. Takže dostáváme εϕ(s) = 0, 3493 s4 Tím je ukončena aproximační část syntézy NDP. Z přenosové funkce H(s) lze konkrétní strukturu dvojbranu získat pomocí Fosterova nebo Cauerova algoritmu rozkladu této funkce. Přidržme se Cauerova rozkladu na řetězové zlomky, který provádíme postupným dělením polynomů v čitateli a jmenovateli. Tento algoritmus neaplikujeme přímo na H(s) — to by ani nešlo —, ale na vstupní impedanci Zvst dvojpólů H(s)−1 ± εϕ(s) Zvst = , H(s)−1 ∓ εϕ(s) přičemž v tomto vztahu volíme buď horní nebo dolní znaménka a proto vztah vede na dva tvary dvojpólu. Tímto způsobem získáme LC dvojpól, který musí být přizpůsobený na vstupu i na výstupu, tj. vnitřní impedance zdroje musí být shodná se zakončovací impedancí. Převrácená hodnota přenosové funkce H(s)−1 je H(s)−1 = 0, 3493s4 + 1, 1873s3 + 2, 018s2 + 2, 00892s + 1 Vstupní impedance Zvst navrhovaného dvojpólu je pro náš případ Zvst (s) =
H(s)−1 ± εϕ(s) 1, 18733s3 + 2, 07189s2 + 2, 00892s + 1 = H(s)−1 ∓ εϕ(s) 0, 698623s4 + 1, 18733s3 + 2, 07189s2 + 2, 00892s + 1
Tuto funkci rozvedeme v řetězový zlomek 1 1
0, 588398s +
1
1, 420514s + 1, 420514s + 127
1 0, 588398s + 1
U prvního Cauerova tvaru musí mít buď impedance z(s) nebo admitance y(s) pól v s = ∞, stručně říkáme „pól v nekonečnuÿ. U impedance z(s) tento pól odštěpíme podélným induktorem, tj. induktorem v sérii. Cauerův algoritmus v tomto případě vede k dvojpólu na obr. 2 c). Pokud impedance z(s) nemá v ∞ pól, má ho tam admitance y(s) = 1/z(s). Struktura je shodná s obr. 2 c), ale začíná příčným kapacitorem. Admitance nebo impedance má v nekonečnu buď pól nebo nulu. Co má taková funkce v nekonečnu zjistíme porovnáním stupně čitatele PČ a jmenovatele PJ . PČ > PJ
→
v ∞ je pól
∞ =∞ N
PJ > PČ
→
v ∞ je nula
N =0 ∞
Druhý Cauerův tvar je k prvnímu duální. Nebudeme se jím zabývat. Funkce Zvst má polynom vyššího stupně ve jmenovateli. Má tedy v bodě s = ∞ nulový bod a admitance Yvst má v nekonečnu pól. Struktura bude začínat příčným kapacitorem, kapacitory a induktory se budou střídat. Dostaneme tedy tento tvar NDP
Obr. 7: LC dvojbran NDP Prvky musíme kmitočtově a impedančně odnormovat. Slouží k tomu tabulka, ve které je uvedeno, jakým prvkům NDP odpovídají jaké prvky požadovaného filtru. Uvedeme jen zkrácenou tabulku (pouze pro DP a HP). Celá tabulka i postup normování a odnormování pro jiné filtry než DP jsou uvedeny v použité literatuře.
Obr. 8: Vztahy pro odnormované hodnoty prvků filtru. Vypočítejme hodnotu prvního příčného kapacitoru (zleva), u dalších prvků jen uveďme jejich hodnoty:
128
c1 = 0, 588398 → C1 =
0, 588398 c1 = = 3, 8 µF ωp R0 1000π · 50
L1 = 23 mH C2 = 9, 04 µF L2 = 9, 4 mH Rz = 50 Ω Prvky jsou číslovány od vstupní brány (zleva pro obr. 7) k výstupu. Na výstupu je připojena zátěž o impedanci Rz . Mnohem snáze se dělá syntéza filtru, je-li ve jmenovateli přenosové funkce H(z) Butterworthův polynom, tj. jedná-li se o filtr s útlumem 3 dB v propustném pásmu (ap = 3 dB). Takové filtry se nazývají Butterworthovy. Existují tabulky s normovanými hodnotami prvků Butterworthových filtrů a to nejen pro jednotková zakončení, ale i pro filtry naprázdno (Rz → ∞) nebo nakrátko (Ri = 0). Pro Čebyševovu aproximaci platí podobný postup. Kořeny H(s) ovšem neleží na kružnici, ale na elipse. Poté, co se získá tvar H(s), se postupuje stejně jako ve výše uvedeném příkladu. Syntéza filtru je mnohoznačná úloha i v rámci jedné aproximace. Jednotlivé aproximace se od sebe liší zvlněním přenosové funkce. Nejméně zvlněná je přenosová funkce získaná Butterworthovým algoritmem. Butterworthova aproximace se proto nazývá maximálně plochá.
28.5. Číslicové filtry Tyto filtry zpracovávají signál diskrétní v čase. Vstupuje do nich vstupní diskrétní signál x[n] a na jejich výstupu je výstupní diskrétní signál y[n]. Základní dělení číslicových filtrů (ČF) je na základě impulsní odezvy h[n], kterou získáme z přenosové funkce H(z) zpětnou z-transformací. • filtry s konečnou impulsní odezvou FIR (z angl. Finite Impulse Response) • filtry s nekonečnou impulsní odezvouIIR (Infinite Impulse Response) Impulsní odezva diskrétních systémů FIR (a tedy i filtrů) má jen konečný počet prvků. Je to např. systém s odezvou h[n] = 2δ[n] − 0, 5δ[n − 1], kde odezva má dva nenulové prvky. Impulsní odezva systémů IIR má nekonečný počet prvků. Příklad impulsní charakteristiky takového systému je µ ¶n 3 h[n] = − u[n], 4 129
kde u[n] je jednotkový skok. Stavebními prvky ČF jsou sčítačky, násobičky a paměťové členy pro uložení zpožděných hodnot posloupnosti. Číslicové filtry přímo realizují diferenční rovnici. Příklad 2. Určete diferenční rovnici, která popisuje systém s přenosovou funkcí H(z) =
b Y (z) = . −1 X(z) 1 + a1 z + a2 z −2
(2)
Řešení: Zpětnou z-transformací přenosové funkce (2) lze odvodit vztah pro impulsní odezvu systému: h[n] = b0 an u[n] + b1 an−1 u[n − 1]. Z impulsní odezvy potom získáme diferenční rovnici y[n] = bx[n] − a1 y[n − 1] − a2 y[n − 2]. Jak je vidět podle impulsní odezvy, systém má nekonečnou impulsní odezvu (IIR). Diferenční funkce ČF y[n] =
M X
bk x[n − k] −
k=0
N X
ak y[n − k]
(3)
k=1
odpovídá přenosové funkci PM H(z) =
1+
−k k=0 bk z PN −k k=1 ak z
Tuto funkci rozložíme na H1 (z) a H2 (z) H(z) = H1 (z) · H2 (z) =
Ã
1
1+
PN
k=1
ak z −k
M X
! bk z
−k
k=0
Funkci H(z) potom realizujeme tak, že vytvoříme blok odpovídající H1 (z), následovaný blokem odpovídajícím H2 (z). Dostáváme přímou nekanonickou formu číslicového filtru N -tého řádu.
130
Obr. 9: Nekanonická forma číslicového filtru Protože pro stupně čitatele M a jmenovatele N funkce H(z) platí • N určuje řád filtru, • počet zpožďovacích členů v nekanonické formě ČF je M + N , • M ≤ N, můžeme ČF realizovat také pomocí pouze N zpožďovacích členů. Taková struktura obsahuje minimální počet zpožďovacích členů a nazýváme ji přímou kanonickou formou číslicového filtru N -tého řádu.
Obr. 10: Kanonická forma číslicového filtru Obě přímé struktury se vyskytují u filtrů FIR i IIR. Filtry FIR Přenosovou funkci H(z) lze různě upravit a pak i odlišně relizovat. Např. můžeme najít nuly a póly přenosové funkce a pak ji vyjádřit v součinovém tvaru, nebo rozložíme H(z) na parciální zlomky, . . . Tyto úpravy vedou k realizaci filtru určitou strukturou 131
• kaskádní struktura • paralelní struktura Podrobněji se jimi nebudeme zabývat. Filtry FIR nemají obdobu v analogové technice, protože jejich modulová kmitočtová charakteristika by s kmitočtem divergovala. Používají se proto výhradně ke zpracování číslicových signálů. Vlastnosti, které činí tyto filtry výhodné pro užití v mnoha aplikacích, jsou např. tyto • mají lineární fázi v celém kmitočtovém pásmu, tzn. skupinové zpoždění je konstatní • jsou vždy stabilní, při jejich návrhu nemusíme brát zřetel na stabilitu • implementace je relativně jednoduchá užitím transverzální struktury Filtry IIR Kromě přímých struktur se tyto ČF realizují pomocí • kaskádových struktur • křížových struktur Přenosová funkce tohoto filtru je H(z) =
N X
hk z −k =
k=0
N X hk z N −k k=0
zN
(4)
FIR filtry navrhujeme tak, že vhodně transformujeme analogový filtr. Jedná se o transformaci z roviny p do roviny z, zkráceně p − z transformace. Nejčastěji používanou transformací je bilineární transformace. Při této a ostatních p − z transformacích transformujeme přenosovou funkci H(p) (s proměnnou p) na funkci s proměnnou ej ωˆ , tedy H(p) → H(ej ωˆ ).
28.6. Diskrétní analogový filtr Analogový filtr lze navrhnout přímou realizací struktury číslicového FIR filtru přímo v analogové rovině. FIR lze realizovat přímo z rovnice (4). Tyto filtry pak lze v analogové rovině realizovat pomocí spínaných obvodů
132
Obr. 11: a) přímá realizace ČF typu FIR, b) realizace ČF pomocí SC SC — spínané kapacitory
28.7. Spínané obvody Spínané obvody se dělí na tří dílčí podskupiny. • obvody se spínanými kapacitory (angl. Switched Capacitor networks - SC), což jsou obvody s přenosem náboje. Tyto obvody vykazují vysokou přesnost dosažené přenosové funkce, neboť tyto funkce závisí pouze na impedanci kapacitorů (tedy na kmitočtu a hodnotě kapacitorů). Základními prvky tohoto typu obvodů jsou kapacitory (napěťové paměťové buňky), spínače a aktivní prvky (např. OA, CFA, OTA a zesilovače). • obvody se spínanými proudy - základními prvky jsou proudové paměťové buňky, proudová zrcadla a aktivní prvky. • spínané zdroje - vysoce účinné napájecí zdroje. Obsahují diody, tranzistory a tyristory které jsou pro zjednodušení a zrychlení simulace nahrazovány modely s ideálními spínači. Používají se nelineární modely obvodových prvků, protože se pracuje s velkými rozsahy obvodových veličin.
Použitá literatura: Roman Čmejla — Václav Havlíček — Ivan Zemánek, Základy teorie obvodů 2, cvičení. [skriptum], Vydavatelství ČVUT, Praha, 2003 Václav Davídek — Miloš Laipert — Miroslav Vlček, Analogové a číslicové filtry, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2004 Tomáš Jukl — Vít Novotný — a další, Software pro simulaci spínaných obvodů. [online][cite 20.8.2006], FEI VUT Brno, \ URL=http://www.elektrorevue.cz/clanky/03049/ Karel Zaplatílek — Dalibor Biolek, Návrh analogových kmitočtových filtrů na základě diskrétních FIR prototypů. [online] [cite 20.8.2006], \ URL=http://www.elektrorevue.cz/clanky/00006/ 133
33. Multiplexory, převodníky kódu, čítače, registry, posuvné registry, polovodičové paměti, rozdělení, vlastnosti, organizace. Detekce a lokalizace poruch u kombinačních logických obvodů, způsoby generování úplných testů. 33.1. Multiplexory Multiplexor (nebo také MUX , případně muldex ) je zařízení, které kóduje nebo slučuje („multiplexujeÿ) data z jednoho nebo více zdrojů do jediného kanálu (přenosové cesty). Užívají se v případech, kdy je mnohem dražší vyrobit a provozovat několik separátních datových kanálů. Multiplexor v elektronice slučuje několik elektrických signálů v jeden. Existuje mnoho typů multiplexorů pro analogové i číslicové obvody. Při zpracování číslicového signálu je na vstup multiplexoru přivedeno několik datových toků, které multiplexor sloučí do jednoho datového toku s vyšší datovou rychlostí. Tato metoda umožní přenos datových toků z jednoho místa na druhý po jedné fyzické lince, což ušetří peníze.
Obr. 1: Digitální multiplexor 4-to-1 Na obr.1 je multiplexor, který 4 datové toky Ii slučuje do jednoho. Důležité jsou kontrolní vstupy označené C1 , C2 . Ty řídí vlastní proces multiplexování, které je popsáno pravdivostní tabulkou. Tato tabulka udává, co bude na výstupu pro danou kombinaci vstupních bitů. Vnitřní uspořádání multiplexoru nás nemusí zajímat.
135
Opakem multiplexoru je demultiplexor , který převádí data jednoho kanálu do několika dílčích datových toků nižší datové rychlosti. Je umístěn na konci datového kanálu, kterým se multiplexovaný signál přenáší.
33.2. Převodníky kódu
Obr. 2: Převodník z kódu BCD na kód jedna z deseti (MH7442) BCD — Binar Code Decimal
33.3. Čítače Čítač je sekvenční obvod s jedním nebo dvěma vstupy u kterého se mění výstup jen do sousedního stavu při jedné změně vstupu. Slouží k počítání impulsů, pro dělení frekvence, atd. Jedná se o speciální typ registru, který v sobě zahrnuje funkci inkrementu (dekrementu) — může čítat nahoru nebo (i) dolů Čítače dělíme na úplné a neúplné: • úplné čítače M(modulo) 2n — čítají do 4, 8, 16, 32, . . . • neúplné čítače — čítají např. do 10, 60, 80, 97 Obvykle čítají v binárním kódu, ale jsou i čítače v jiných kódech, např. v kódu 1 z n nebo v Grayově kódu. Jsou čítače synchronní a asynchronní.
Obr. 3: Blokové schéma čítače M16 se třemi vstupy Vstupy čítače M16: • vstup E — při 0 se stav čítače nezmění, při 1 čítač „čítneÿ (změní stav) • vstup > — hodinový vstup, vstup synchronizačních pulsů • vstup Clear — nulovací vstup 136
33.4. Posuvné registry Sekvenční obvody realizují sekvenční logické funkce. Existují dvě definice sekvenčních obvodů: 1. Hodnoty výstupních proměnných y1 , y2 , . . . , ym závisejí jen na okamžitých hodnotách vstupních proměnných x1 , x2 , . . . , xn , ale i na jejich minulých hodnotách (na jejich časovém sledu). To znamená, že sekvenční obvody obsahují paměťové prvky (klopné obvody). 2. Jestliže některé kombinaci vstupů odpovídají dvě nebo více kombinací výstupů, pak se jedná o sekvenční obvod. Synchronní obvody mají jeden ze vstupů hodinový vstup (vstup synchronizačních pulsů), synchronizační pulsy mají vliv na činnost obvodu. Obvody bez hodinových vstupů nazývame asynchronní. Registr Skládá se z N-klopných obvodů D, řízených společným hodinovým signálem, tj. je to synchronní obvod. Datové řídící vstupy mohou zařídit, aby obvod nic nedělal, jinak se při každém hodinovém pulsu přenáší vstup D-klopného obvodu na výstup. Zdroj hodinového signálu jde do každého z klopných obvodů typu D. Do klopných obvodů se vstupy Ii a hodinovým vstupem C přechází vstup na výstup Q. Vstup Clear umí nulovat registr a vstup P reset přednastavuje jedničku. Vstupy Preset a Clear jsou asynchronní a mají přednost před hodinovým signálem. Vstup Load umožňuje uchování binární hodnoty určitého klopného obvodu. Použití registrů: • dočasné paměti • převod sériového kódu na paralelní (posuvné registry) • převod paralelního kódu na sériový (posuvné registry) Poslední dvě užití znamenají, že paralelně vkládáme číslo (současně na vstupy) a sériově jej odebíráme (jeden výstup) nebo naopak. Posuvné registry — při hodnotě 1 vstupu Shift se binární hodnota D-klopného obvodu nahradí binární hodnotou (stavem) předchozího D-klopného obvodu, dojde k posunu hodnoty. Při hodnotě 0 na Shift se stav registru nemění. Přenos je jednosměrný a vždy o jednu pozici. V posuvných registrech s řízením zápisu a směrem posuvu lze předávat stavy D-klopných obvodů oběma směry.
137
33.5. Polovodičové paměti, rozdělení, vlastnosti, organizace Polovodičové paměti lze rozdělit podle několika hledisek, a to podle 1. způsobu provozu ♠ statické, ♠ dynamické 2. základní technologie ♥ bipolární, ♥ MOS 3. způsobu záznamu a čtení dat ♦ paměti s měnitelným obsahem dat, ♦ paměti s neměnitelným obsahem dat, 4. způsobu přístupu k zaznamenaným datům ♣ paměti s libovolným přístupem, ♣ paměti se sériovým přístupem Příklad 1. RAM (Random Access Memory) je paměť s libovolným přístupem. Je to paměť s určitým typem přístupu nejedná se o označení paměti, do které lze zapisovat i číst. Libovolný přístup znamená přístup na libovolnou adresu, není třeba čekat, až na paměťovou buňku „přijde řadaÿ v nějaké časové posloupnosti. ROM-RAM (Read Only Memory—Random Access Memory) je paměť, ze které lze pouze číst. Přístup do jejího prostoru je libovolný. Statické paměti 1. BKO1 ) s BJT, 6 bipolárních tranzistorů 2. BKO s MOS, dvojice invertorů MOS Každé místo, které nese informaci jednoho bitu, je realizováno jedním BKO skládajícím se z několika tranzistorů. Dynamické paměti Využívá technologie MOS v dynamickém režimu. Data jsou uchována na gate tranzistorů ve formě náboje. Tento náboj musí být periodicky obnovován, protože se vybíjí i při zapnutém napájení. 1
) BKO — bistabilní klopný obvod
138
Paměťové místo pro uchování jednoho bitu (paměťová buňka) je realizováno jedním tranzistorem. Porovnáme statické vs. dynamické paměti na konkrétním příkladu statických pamětí RAM (SRAM) a dynamických RAM (DRAM). Pro DRAM platí: • při stejné kapacitě jsou levnější (než SRAM) • vyžadují externí logické obvody • mají větší spotřebu v klidovém stavu • poněkud pomalejší než statické • jejich technologie (MOS) umožňuje vysokou hustotu integrace na čipu Poznámka 1. Zdroj [Hana Kubátová, přednáška X36UPS ] uvádí, že DRAM jsou poněkud pomalejší než statické a dále píše: Zpoždění a doba přístupu je dána velikostí paměti , čím větší paměť, tím pomalejší, logické řízení bere čas. Zdroj [Jiří Sýkora, přednáška X32ZCT ] uvádí u dynamických pamětí jako jeden z parametrů vyšší rychlost. Bipolární paměti Jejich základem je BKO, technika TTL. Jsou pouze statické. Vlastnosti bipolárních pamětí: • menší hustota integrace než u MOS • cenově dražší Paměti MOS Výhodou je, že se tranzistory nemusí vzájemně izolovat, jak je to nutné u BJT ⇒ vyšší hustota integrace.
33.6. Detekce a lokalizace poruch u kombinačních logických obvodů Detekce a lokalizace chyb kombinačních logických obvodů se souhrnně nazývá diagnostika a v praxi ji uvádějí diagnostické testy. S touto problematikou se pojí následující pojmy Test číslicového obvodu je jednoznačné přiřazení kombinací hodnot vstupních a výstupních proměnných. Krok testu — jedna kombinace vstupních proměnných a jí odpovídající kombinace výstupních proměnných. Délka testu je dána počtem kroků testu.
139
Diagnostické pokrytí je počet poruch detekovaných (pokrytých) testem. Vyjadřuje se • absolutně • relativně (v procentech) Úplný test — jeho pokrytí je 100%. Obsahuje tolik kroků, že je schopen popsat všechny uvažované poruchy v číslicovém obvodu. Porucha typu T — porucha způsobená vadným propojením logických členů. Nebere se ohled na vlastní vnitřní fungování logických členů (předpokládá se, že logické členy fungují správně). Porucha typu T má dva typy: • typu t0 (trvalá nula) — simuluje situaci, jako kdyby byla v obvodu v místě poruchy vložena hodnota logické nuly, tj. pomyslný zdroj o napětí „logická nulaÿ • typu t1 (trvalá jednička) — charakterizuje situaci, kdy je v místě poruchy vložen zdroj napětí o velikosti odpovídající logické jedničce.
33.7. Způsoby generování úplných testů 1. Princip citlivé cesty (metoda intuitivního zcitlivění cesty) 2. Metoda Booleovské derivace (metoda Booleovských diferencí) — má dvě možné realizace: a) metoda algebraická: řešíme vztahy, kterými získáme kroky testu b) metoda s využitím map (Carnaughova, Svobodova): pomocí map získáme kroky testu Popišme si, jak nalezneme krok testu v principu citlivé cesty. Pojmy související s metodou: Cesta — posloupnost vodičů a logických členů, která začíná a končí vodičem. Např. se jedná o propojení vstupu s výstupem. Citlivá cesta — taková posloupnost vodičů a logických členů, která je schopna z místa vzniku poruchy přenést na výstup jak správnou tak chybnou hodnotu logické proměnné. Není-li cesta citlivá, říkáme, že je blokována. Podmínky průchodu citlivé cesty základními logickými členy: • logické členy typu OR, NOR: na (n − 1) vstupů se musí přivést hodnota logické 0 • logické členy typu AND, NAND: na (n − 1) vstupů se musí přivést hodnota logické 1
140
Příklad 2. Máme třívstupové hradlo NOR. Na vstupu A máme detekovat poruchu t0 nebo t1 .
Obr. 4: Hradlo NOR s poruchou na vodiči A Cestu zkrz toto hradlo zcilivíme, přivedeme-li na vodiče B a C napětí odpovídající logické 0, tj. B = C = 0. Postup nalezení jednoho kroku testu pro určitou poruchu: 1. přivedeme hodnotu logická 0 do místa vzniku poruchy t1 , resp. přivedeme hodnotu logická 1 do místa vzniku poruchy t0 2. sestavíme citlivou cestu (od místa vzniku poruchy) na výstup 3. odvodíme hodnoty proměnných na vstupech Body 2 a 3 silně závisejí na struktuře testovaného obvodu. Jiné je hledání citlivé cesty v obvodu bez rozvětvení a jiné s rozvětvením. U obvodu bez rozvětvení je citlivá cesta na výstup dána jednoznačně propojením vodiče s chybou na výstup. U obvodů s větvením musíme vyzkoušet (numericky), která z možných cest je citlivá, jen jedna cesta může být citlivá, ostatní cesty jsou blokovány. Příklad 2. Nalezněte krok testu pro detekci poruchy t0 na vodiči F (stručně psáno F/0) podle schématu
Obr. 4: Detekce poruchy t0 na vodiči F — schéma
141
1. krok: Přivedeme ”1” do místa poruchy, tj. na vodič F přivedeme 1. Abychom toho dosáhli, přivedeme na vstupy A, B hradla AND logické ”1”, tj. F=1⇒A=B=1 2. krok: Sestavíme citlivou cestu na výstup obvodu. Protože se jedná o obvod bez rozvětvení, takže je cesta dána jednoznačně spojením místa poruchy s výstupem. Je to tedy cesta F→G→J (je vyznačena ve schématu). 3. krok: Citlivou cestu zcitlivíme, jinak řečeno vypočteme odpovídající hodnoty vstupů, aby cesta byla citlivá. Na vstup C přivedeme ”0”, protože na (n − 1) vstupů hradla OR přivádíme ”0”, takže C = 0. Protože na (n − 1) vstupů hradla na AND se musí pro zcitlivění přivést ”1”, musíme na vstup H přivést logickou ”1”, takže H = 1. Této hodnotě odpovídají tři kombinace vstupů D, E hradla OR, tj. D = 0, E = 1 ⇒ H = 1 D = 1, E = 0 ⇒ H = 1 D = 1, E = 1 ⇒ H = 1 Řešení: Zjistili jsme jeden krok úplného diagnostického testu pro detekci poruchy t0 na vodiči F. Skládá se z těchto kombinací vstupů: 110 01 ABCDE = 110 10 110 11 K těmto vstupům vypočítáme podle schématu obvodu odpovídající výstupní proměnnou J. Pokud se na výstupu obvodu pro nějaký krok testu objeví jiná hodnota než očekávaná, je na zkoumaném vodiči opravdu příslušná chyba. Věta 1. Test kombinačního logického obvodu (KLO) bez větvení sestaveného ze základních logických členů je úplný, jestliže detekuje všechny poruchy t1 a t0 na vstupech KLO. 142
Příklad 3. Sestavte úplný test obvodu s tímto schématem
Obr. 5: Obvod, jehož úplný test máme sestavit Řešení: Podle věty 1 musí úplný test detekovat tyto chyby: A/0
A/1
B/0
B/1
C/0
C/1
D/0
D/1
Sestavíme tedy detekční testy pro vstupy obvodů, podle minulého příkladu. Některé detekční kroky se budou opakovat, např. • detekce A/0 současně detekuje B/0 • detekce A/1 současně detekuje D/1 • atd. Soubor všech kroků získanách těmito detekčními testy dává úplný test KLO. Test, který detekuje všechny chyby a zároveň obsahuje minimální počet kroků, nazýváme úplný minimální test. Poznámka 2. Metodě Booleovských derivací se nebudeme věnovat.
Použitá literatura: Multiplexer. [online][cite 20.8.2006], Wikipedia — otevřená encyklopedie, \ URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplexer Hana Kubátová, Úvod do počítačových systémů. [přednášky] [online] [cite 20.8.2006], \URL=https://service.felk.cvut.cz/courses/X36UPS/pdf-web/ups-6-typical.pdf \URL=ftp://media.sh.cvut.cz/avc/Prednasky FEL/x36UPS/ Integrované obvody - IO. [online] [cite 21.8.2006], \ URL=http://www.fme.vutbr.cz/win/opory/html/LRaPA/lr.htm Jiří Sýkora, Základy číslicové techniky. [přednášky], FEL ČVUT, Praha, 2005 143
34. Elektromagnetické pole — statické, stacionární, nestacionární — zásady řešení v jednoduchých geometrických strukturách, klasifikace prostředí (linearita, homogenita, disperze, anizotropie). Elektrické síly • projevují se mezi protony a elektrony • z hlediska charakteru rozdělujeme síly na elektrické a magnetické; magnetické se projevují jen mezi pohybujícími se částicemi
34.1. Elektrostatické pole Je buzeno nepohyblivými (statickými) náboji. Bodový náboj je konečné velikosti, přičemž vzdálenost, ze které pozorujeme jeho účinky, dovoluje pokládat zdroj náboje za nekonečně malý bod. Například náboj rozmístěný na tělese velikosti tenisového míčku budeme moci na druhé straně fotbalového hřiště s úspěchem považovat za bodový. Coulombův zákon je základním zákonem elektrostatického pole. Popisuje vzájemné působení dvou bodových nábojů a je podobný Newtonově gravitačnímu zákonu. Říká: Síla, kterou na sebe vzájemně působí dva nepohyblivé náboje, je přímo úměrná velikosti nábojů a nepřímo úměrná kvadrátu vzájemné vzdálenosti. Směr síly záleží na polaritě nábojů (náboje opačné polarity se přitahují). Q1 Q2 1 F~12 = ~r12 4πε0 r2 Silou F~12 působí náboj Q1 na náboj Q2 , vektor ~r12 je orientován od budícího náboje k tomu, na kterém pozorujeme účinky. Pokud mají náboje stejná znaménka (polaritu), udává směr vektoru F~12 . Konstanty při řešení úloh elektrostatického pole: ε0 ≈ 8, 854 · 10−12 ≈
10−9 36π
[F/m]
µ0 = 4π · 10−7 [H/m] c=
√ 1 ε0 µ0
permitivita vakua permeabilita vakua
[m/s]
rychlost světla ve vakuu
145
Intenzita elektrického pole udává jak osamocený bodový náboj Q1 budí elektrické pole. ~ 12 = Q1 1 ~r12 E (1) 4π²0 r2 ~ je [V/m]. Intenzita elektrického pole odpovídá síle působící na jednotJednotkou E ~ lze přepsat Coulombův zákon kový náboj (v poli vyvolaném nábojem Q1 ). Pomocí E na tvar ~ 12 Q2 . F~12 = E Bodový elektrický náboj vybudí kolem sebe elektrické pole, jehož intenzita je dána vztahem (1). Velikost vektoru intenzity je přímo úměrná velikosti náboje a klesá s kvadrátem vzálenosti od náboje. ~ konstatní absolutní Princip 1. Ve vzdálenosti o konstatním poloměru r má vektor E ~ konstantní. hodnotu. Jinak řečeno: na kulové ploše příslušné poloměru r je vektor E ~ plochou popisuje vektorové pole, konkrétně elektrostatické. Zjistíme Tok vektoru E jej tak, že zkoumanou plochu S rozdělíme na elementární plošky dS a v každém místě ~ do směru kolmého k plošce. spočítáme součin této složky a průmětu vektoru E ~ vyjádřit pomocí skalárního součinu orientované Matematicky lze tok vektoru E plošky a vektoru intentzity elektrického pole ZZ ~ ~ dS ψ= E S
Gaussova věta:. Tok vektoru intenzity elektrického pole uzavřenou plochou je úměrný celkovému náboji, který je v ploše uzavřen. V tomto případě se jedná o celkový náboj (volný i vázaný). Záleží pouze na jeho celkové velikosti a ne na tom, v jakém místě a s jakou hustotou je v dané uzavřené ploše rozmístěn. Gaussova věta je popsána vztahem : ZZ ~ = Q ~ · dS °E ε0 S
Princip 2. Gaussovu větu lze použít v případech, kdy dokážeme jednoduše řešit integrál ZZ ~ = Q ~ · dS °E ε0 S
To je možné v případě, kdy známe tvar elektrického pole, ale neznáme jeho velikost. Směr vektorů intenzity elektrického pole lze graficky zobrazit pomocí linií, která se nazývají siločáry. Vektor intenzity je v každém místě tečný k siločáře. Siločára ukazuje směr, ve kterém by se v elektrickém poli pohyboval bodový náboj.
146
Příklad 1. Najděte podle Gaussovy věty vztah pro intenzitu elektrické pole kolem bodového náboje. (Tento vztah už známe, takže se bude jednat o ověření Gaussovy věty.) Řešení: Obalíme-li bodový náboj Q0 kulovou plochou, zjistíme, že vektory intenzity elekrického pole (znázorněné pomocí siločar) protínají tuto kulovou plochu vždy kolmo.
Obr. 1: Siločáry elektrického pole bodového náboje. ~ v Gaussově větě potom platí: ~ · dS Pro skalární součin E ³ ´ ~ = E · dS · cosα = E · dS · cos π = E · dS. ~ · dS E 2 Ve vzdálenosti r je velikost intenzity elektrického pole v libovolném směru od bodového náboje stejná, protože pole je symetrické (viz princip 1). ~ = E = konst. Odtud lze psát Pro zvolený poloměr r tedy platí |E| ZZ ZZ ZZ ~ = ° E dS = E ° dS = E · S = E · 4πr2 = Q ~ · dS °E ε0 S
S
S
Úpravou poslední rovnosti dostáváme vztah pro intenzitu elektrického pole bodového náboje v závislosti na poloměru r: E(r) =
Q . 4πr2 ε0
Podobným způsobem řešíme intenzitu elektrického pole kolem nekonečně dlouhého vodiče nebo intenzitu pole vodivých desek. Náboj Q lze v případě dlouhého vodiče vyjádřit jako součin délky a hustoty náboje na jednotku délky Q = l · τ , v případě vodivých desek jako součin plochy a plošné hustoty náboje Q = S · σ. Princip 3. Vlivem odpudivých sil nosičů náboje stejného znaménka se elektrostatický náboj rozmístí na povrchu vodivého tělesa. Nezáleží na tom, zda je těleso duté nebo ~ nulová, maximální intenzita je na (nekonečně tenkém) plné. Uvnitř tělesa je intenzita E povrchu tělesa. Práce je z fyzikálního hlediska dána integrací síly po určité dráze. Síla působící na bodový náboj v elektrickém poli je rovna ~ F~ = QE 147
a potom práce W potřebná k přenesení bodového náboje Q mezi body A a B je dána vztahem ZB ~ dl W =Q E A
Napětí mezi body A a B je definováno jako práce nutná k přenesení jednotkového náboje mezi těmito dvěma body. ZB ~ dl E
UAB = A
Vykonaná práce se projeví jako změna potenciálů. Potenciál a potenciální energie je veličina nejednoznačná, ale napětí (dané rozdílem potenciálů) má jednoznačnou hodnotu. ~ a potenciálem ϕ platí vztah Mezi intenzitou elektrického pole E ~ = E = −grad ϕ |E| Pro dielektrická prostředí ε 6= ε0 používáme zobecněnou Gaussovu větu ve tvaru ZZ ~ = Q0 ~ · dS °D S
kde:
~ = ε0 E ~ + P~ D
[C/m2 ]
Q0 P P~ = lim p~ ∆V →0 ∆V
p~ = Q · d~
[C] [C/m2 ] [Cm]
elektrická indukce volný náboj polarizace dipólový moment
Dipólový moment p~ směřuje od kladného náboje k zápornému. V dielektriku vloženém do elektrického pole dojde k orientaci náboje v rámci atomu, přičemž tento stav je popsán lokálně dipólovým momentem a globálně vektorem indukce. S rostoucím ~ elektrickým polem se elektronový obal atomů natáčí více a více. Závislost P~ = P~ (E) ~ lze pokládat za konstantní. Vyjádříme-li vhodně konstantu lze pro běžné intenzity E úměrnosti, dostaneme ~ P = χ ε0 E ~ vyjádřit jako (χ je susceptibilita) a proto můžeme elektrickou indukci D ~ = ε0 E ~ + χε0 E ~ = ε0 (χ + 1)E ~ = ε0 εr E ~ = εE ~ D Ve vztahu poznáváme relativní permitivitu εr [-] a celkovou permitivitu látky ε[F/m]. ~ = εE. ~ Proto lze jednoduše psát D 148
~ spočívá v tom, že je závislý Výhoda nově zavedeného vektoru elektrické indukce D pouze na volných nábojích, které jsou zdrojem elektrostatického pole. Rozložení elektrické indukce lze tedy určit na základě rozložení volného náboje a není třeba uvažovat, jestli jsou v daném místě přítomny nějaké dielektrické materiály s vázanými náboji. Vliv vázaných nábojů na skutečnou výslednou intenzitu elektrického pole se potom ve výpočtu respektuje velice jednoduše pomocí jediné konstanty — relativní permitivity dielektrika. ~ je jednoznačně závislá na volných nábojích, nikoli na Princip 4. Elektrická indukce D jejich rozložení. Elektrická indukce a intenzita elektrického pole obecně nemusejí být spojité veličiny, potenciál ϕ je vždy spojitý, protože odpovídá potenciální energii.
~ D ~ a ϕ nabité vodivé koule s dielektrickým pláštěm Obr. 2: Průběh E, Princip 5 (princip superpozice). Silový účinek bodových nábojů známého rozložení na náboj v určitém místě je dán součtem dílčích příspěvků těchto nábojů. Princip 6 (metoda zrcadlení). Rozložení elektrického pole vyvolaného nabitým tělesem nad vodivou rovinou zjistíme takto: 1) symetricky k rovině umístíme těleso (bodový náboj, vodič) nabité stejným nábojem opačné polarity 2) výsledné elektrické pole nabitého tělesa je dáno součtem účinků obou těles (reálného a fiktivního) Kapacitu mezi dvěma nabitými tělesy počítáme pomocí vztahu Q = C · U Rb a U = a E dr. Příklad 2. Nalezněte vztah pro kapacitu koaxiálního kabelu s průměrem vnitřního vodiče a a vnějšího vodiče b. Situaci ilustruje obrázek
149
Obr. 3: Koaxiální kabel s dielektrikem ε Uvažujme, co se stane, když na vodiče koaxiálního kabelu přivedeme náboje +Q a −Q. Tyto náboje se rovnoměrně rozloží na povrchu s délkovou hustotou τ . Pomocí Gaussovy věty bychom zjistili, že závislost elektrické indukce na poloměru popisuje τ vztah D(r) = 2πr . Potom lze psát E(r) =
D(r) τ 1 = ε 2πε r
Napětí mezi vnitřním a vnějším vodičem koaxiálního kabelu odpovídá práci elektrických sil, které mezi těmito vodiči přenesou jednotkový náboj. Z definice napětí pak můžeme psát Zb U=
Zb E dr =
a
a
τ 1 τ τ dr = [ln r]ba = ln 2πε r 2πε 2πε
µ ¶ b 2πε ⇒ τ = ¡ b ¢U a ln a
Mezi kapacitou, nábojem a napětím platí známý vztah Q = C · U . Q= C ·U τ ·l = C ·U C τ= ·U l
&
τ=
2πε ¡ ¢ ·U ln ab
⇓ C 2πε = ¡b¢ l ln a Vypočetli jsme kapacitu koaxiálního kabelu na jednotku délky C/l [F/m]. Princip 6 (sférická nebo válcová symetrie). Je-li elektrostatické pole sféricky nebo válcově symetrické a všechny veličiny jsou pouze funkcí poloměru r, přechází grad ϕ v obyčejnou derivaci dϕ/dr. Příklad 3. Stanovte průběh potenciálu v elektrickém poli nabité vodivé koule o poloměru a, která je umístěna v homogenním prostředí s permitivitou εr . 150
Řešení: Obecně je vztah mezi potenciálem a intenzitou elektrického pole dán rovnicí ~ = −grad ϕ, E ovšem vzhledem k principu 6 přejde tento vztah na Z
dϕ d E(r) = − = − ϕ(r) dr dr
⇒
ϕ(r) =
E(r) dr + K,
kde r představuje vzdálenost od středu koule. Celý problém je nutno rozdělit na intervaly, ve kterých je intenzita pole spojitá (části se stejnými parametry): Úsek 1 — vnitřek koule (r < a) Intenzita uvnitř vodivé koule je všude nulová (viz princip 3). E1 (r) = 0 a pro potenciál Z ϕ1 (r) = −
Z E1 (r) dr + K1 = −
0 dr + K1 = K1
Úsek 2 — vnější oblast kolem koule (r ≥ a) ~ bodového náboje Intenzita elektrického pole vodivé koule je shodná s intenzitou E (lze ověřit). 1 Q E2 (r) = 4πε0 εr r2 Pro potenciál platí Z Z Q 1 Q 1 ϕ2 (r) = − E2 (r) dr + K2 = − dr + K = + K2 2 4πε0 εr r2 4πε0 εr r Konstantu K1 a K2 lze určit parametrizací potenciálu (přiřazením jedné konkrétní hodnoty potenciálu jednomu bodu). Zvolíme-li vztažný bod v nekonečnu a přiřadímu mu nulový potenciál, bude ϕ(r = ∞) = 0. Takto specifikovaný bod se známým potenciálem se v našem případě nachází v úseku 2 a platí: ϕ2 (r = ∞) =
Q 1 + K2 = K2 = 0 4πε0 εr ∞
Konstanta K2 je nulová a potenciál v oblasti 2 má průběh ϕ2 (r) =
Q 1 4πε0 εr r
Při určení konstanty K1 a potenciálu v oblasti 1 je nutné vycházet ze skutečnosti, že se potenciál mění ve všech oblastech i na hranicích mezi nimi spojitě (narozdíl 151
od intenzity elektrického pole a indukce, které se mohou měnit skokově). Vyplývá to z toho, že potenciál souvisí s potenciální energií, která se také musí měnit spojitě. Na hranici mezi povrchem koule a okolím musí platit rovnost ϕ1 (r = a) = ϕ2 (r = a) Po dosazení platí pro potenciál na povrchu koule: ϕ1 (r = a) = ϕ1 (r) = konst. = K1 =
Q 1 4πε0 εr a
Obr. 4: Průběh intenzity elektrického pole a potenciálu vodivé nabité koule Příklad 4. Stanovte kapacitu mezi dvěma kulovými dostatečně vzdálenými elektrodami.
Obr. 5: Elektrody se vzájemnou kapacitou C Řešení: Přiložíme-li mezi elektrody napětí U , objeví se na elektrodách stejně veliký, ale opačný náboj Q, např. tak, jak je to na obr. 5. Mezi elektrodami vznikne elektrické pole. Výsledné elektrické pole lze snadno vypočítat za předpokladu, že se náboj na elektrodách rozloží rovnoměrně se sférickou symetrií podobně jako u samostatných kulových elektrod. To platí v případě, že poloměr kulových elektrod a jsou podstatně menší než vzdálenost s: a < s. 152
Výsledné elektrické pole je poté možno spočítat jako superpozici polí dvou osamocených kulových elektrod. Z veličin vzniklého elektrockého pole lze zpětně dopočítat velikost napětí a tím získat závislost mezi napětím a nábojem. Pro výpočet napětí mezi elektrodami je možné v tomto případě využít potenciály elektrického pole. Potenciály od jednotlivých nábojů lze v každém bodě sčítat, napětí mezi elektrodami je dáno rozdílem potenciálů těchto bodů. V bodě 1 na elektrodě A je: je příspěvek potenciálu od vlastní elektrody A a příspěvek od elektrody B ϕA1 =
Q 1 · + K1 4πεr ε0 a
ϕB1 =
−Q 1 · + K2 4πεr ε0 s − a
V bodě 1 je výsledný potenciál ϕ1 = ϕA1 + ϕB1 =
Q −Q 1 1 · + K1 + · + K2 4πεr ε0 a 4πεr ε0 s − a
V bodě 2 na elektrodě B je: je příspěvek potenciálu od elektrody A a příspěvek od vlastní elektrody B ϕA2 =
Q 1 · + K1 4πεr ε0 s − a
ϕB2 =
−Q 1 · + K2 4πεr ε0 a
V bodě 2 je výsledný potenciál ϕ2 = ϕA2 + ϕB2 =
Q 1 −Q 1 · + K1 + · + K2 4πεr ε0 s − a 4πεr ε0 a
Mezi elektrodami (mezi bodem 1 a 2) je napětí: µ ¶ Q 1 1 1 1 U = ϕ1 − ϕ2 = · − − + 4πεr ε0 a s−a s−a a Poloměr a můžeme ve srovnání se vzdáleností zanedbat, což je důležitý výchozí předpoklad tohoto výpočtu. Lze je tedy zanedbat i ve výsledném vztahu pro napětí. (Jejich uvažováním bychom přesnost výpočtu nezlepšili): µ ¶ Q 2 2 U= · − 4πεr ε0 a s Na konstantách K1 , K2 vůbec nezáleží, použijeme-li potenciál pro výpočet napětí, konstanty se vzájemně odečtou. Mezi nábojem a napětím platí vztah Q = C·U . Úpravou odvozeného vztahu pro napětí dostaneme Q=
4 π ε0 εr 2 2 ·U a − s 153
Z toho vyplývá vztah pro velikost kapacity mezi dvěma kulovými elektrodami stejného poloměru 2 π ε0 εr C= 1 1 . a − s Princip 7 (podmínky na rozhraní dielektrik). Podmínky na rozhraní dvou dielekRR ~ = Q0 a potenciálového ~ · dS trik můžeme určit s užitím (zobecněné) Gaussovy věty ◦ D S
charakteru elektrického pole1 ).
Pro normálové složky pole lze volbou uzavřené plochy ve tvaru válečku s podstavou dS ležící v rozhraní odvodit z Gaussovy zobecněné věty D2n dS − D1n dS = σ0 dS, ~ dS je elementární ploška tvořící podstavu válečku kde D1n,2n jsou normálové složky D, a σ0 je případný volný náboj ležící na dS. Pro případ rozhraní bez náboje (σ0 = 0) platí: ~ = εE ~ ⇒ E1n = εr2 D1n = D2n D E2n εr1
Obr. 6: Rozhraní dvou dielektrik v elektrostatickém poli Při určování tečných složek vektorů na rozhraní vyjdeme z potenciálového charakteru elektrického pole, použijeme vztah I E dl = 0. l
Integrujeme-li těsně podél rozhraní, tak pro orientaci vektorů na obr. 6 platí, že E1t má stejný směr jako E2t , takže se při integraci po uzavřené dráze odečtou E1t dl − E2t dl = 0. Odtud dostáváme E1t = E2t
~ ~ =D E ε
1
⇒
D1t εr1 = D2t εr2
) Elektrostatické H pole je potenciálové, protože platí: Přesunem náboje po uzavřené dráze se nevykoná žádná práce, tj. Edl = 0. Totéž platí např. v gravitačním poli tělesa. l
154
34.2. Stacionární proudové pole Elektrostatické pole Nabijeme-li vodivé těleso elektrickým nábojem tím, že přidáme nebo odebereme nabité částice, přeskupí se během krátkého okamžiku elektrické náboje tak, aby nastal ustálený stav. V ustáleném stavu se již částice nepohybují, nepůsobí na ně uvnitř vodiče žádné síly, intenzita elektrického pole uvnitř vodičů je tedy nulová. Vložený kladný nebo záporný náboj se usadí na povrchu vodiče, kde na něj působí pouze síla kolmá k povrchu tělesa. Intenzita elektrického pole vystupuje kolmo z vodiče. Stacionární proudové pole Obdobná situace nastane po vložení tělesa do vnějšího elektrického pole. I zde dojde k pohybu částic pouze do okamžiku, než bude dosaženo ustáleného stavu. Dodáváme-li pomocí vnějšího zdroje, kterým může být například elektrický článek nebo indukované napětí, elektrickou energii tak, abychom dosáhli v každém okamžiku nenulové intenzitu elektrického pole a tedy i nenulového potenciálového spádu ve vodiči, nedojde jen k přechodnému pohybu částic, ale k jejich ustálenému pohybu. V této souvislosti hovoříme o elektrickém proudu. Ve stacionárním proudovém poli zavádíme tyto veličiny a platí následující zákony: Elektrický proud
dQ [A] dt jedná se o náboj prošlý nějakým průřezem za jednotku času. I=
Proudová hustota
dI [A/m2 ] dS I je ustálený proud a dS je průřez elementární proudové trubice kolmé k proudovým vláknům J=
Proud I lze také zapsat pomocí proudové hustoty ZZ I= J~ dS, S
kdy je zohledněn směr tekoucího proudu (nemusí být nutně kolmý na průřez vodiče). Rovnice kontinuity proudu ZZ dQ ° J~ dS = − dt S
Pro uzavřenou plochu platí, že tok vektoru proudové hustoty, tj. elektrický proud, a náboj v této ploše jsou svázány právě rovnicí kontinuity. Tok vtékající do uzavřené plochy má znaménko minus, tok vytékající má znaménko plus. Integrál proudové hustoty po
155
uzavřené ploše potom značí celkovou bilanci vtékajícího a vytékajícího náboje za jednotku času. Přiteče-li jiné množství náboje, než odteče či naopak, musí se to projevit změnou množství náboje v uzavřeném objemu. Bude-li integrál vektoru proudové hustoty kladný, znamená to s ohledem na zvolené smysly, že větší množství náboje za jednotku času odteklo, než přiteklo. To se projeví časovou změnou náboje v daném objemu, v tomto případě zmenšením náboje. Ve stacionárním proudovém poli (ustálené proudy) se náboje nikde nehromadí, ani se nikde neztrácejí, kolik částic do uzavřené plochy vteče, tolik i vyteče. Platí rovnice kontinuity stacionárního proudu: ZZ ° J~ dS = 0 S
Tato rovnice popisuje 1.Kirhoffův zákon v elektrických obvodech, protože lze psát ZZ X ° J~ dS = 0 = J1 S1 + J2 S2 + · · · + Jn Sn = I1 + I2 + · · · + In = I=0 S
Ohmův zákon (v diferenciálním a integrálním tvaru) ~ J~ = σ E,
U =R·I
Princip 1 (analogie s elektrostatickým polem). Pro řešení homogenních a nehomogenních stacionárních elektrických polí ve vodivém prostředí používáme často jeho analogie s polem elektrostatickým. ~ = εE ~ a J~ = σ E, ~ což znamená, že Analogie vyplývá formálně z podobnosti vztahů D ~ elektrické indukci D odpovídá proudová hustota J~ ~ ~ intenzitě pole E ∼ intenzita pole E permitivitě
ε
∼
měrná vodivost
σ
Další analogie vyplývají z dalších vztahů, uvedeme však jen jediný ZZ ZZ ~ ψ = ° D dS odpovídá I = ° J~ dS S
S
Z tohoto a dalších uvedených vztahů vyplývají tyto analogie posuvný tok
ψ
odpovídá
elektrickému proudu
I
napětí
U
∼
napětí
U
kapacita (dielekrická vodivost)
C
∼
vodivost
G
Příklad 5. Stanovte odpor mezi kulovými elektrodami, které jsou dostatečně blízko u sebe, ale hodně hluboko v zemi. 156
Řešení: Tato úloha je zcela identická s výpočtem kapacity mezi dvěma kulovými elektrodami (viz minulý příklad).
Obr. 7: Elektrody, mezi nimiž teče proud Rozdíl oproti minulému příkladu je, že elektrody jsou v zemi s měrnou vodivostí přibližně σ = 1 Sm−1 , proto mezi elektrodami teče proud. Vzduchem za běžných okolností proud téci nemůže. Mezi elektrodami v zemi tedy po připojení napětí začne téci proud. V tomto případě není elektrické pole elektrod ovlivněno povrchem země. Pro intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti r od elektrody platí E(r) =
J(r) I 1 = · 2 σ 4πσ r
(platí za předpokladu, že vzdálenost mezi elektrodami s je podstatně větší než poloměr elektrod a) Výše uvedený vztah vyplývá z analogie εE(r) = D(r) ↔ σE(r) = J(r). Podobně jako v elektrostatickém poli lze zavést potenciál: ϕ(r) =
I 1 · +K 4πσ r
Pro potenciál na povrchu levé elektrody platí (poloměry a vůči vzdálenosti s zanedbáme) I 1 I 1 ϕ1 = · + K1 − · + K2 4πσ a 4πσ s Pro potenciál na povrchu pravé elektrody platí ϕ2 =
I I 1 1 · + K1 − · + K2 4πσ s 4πσ a
Napětí mezi elektrodami lze určit jako rozdíl potenciálů µ ¶ I 1 1 U = ϕ1 − ϕ2 = · − 2πσ a s 157
Z podílu napětí a proudu mezi elektrodami plyne velikost odporu µ ¶ U 1 1 1 R= = · − I 2πσ a s Princip 2 (podmínky na rozhraní). Proudové pole je potenciálové. Platí rovnice kontinuity. Z těchto dvou tvrzení se dají odvodit pro stacionární proudové pole podmínky na rozhraní dvou vodičů I ZZ ~ ~ ° J~ dS = 0 E · dl = 0, S
l
Odvození je podobné jako u elektrostatického pole.
Obr. 8: Rozhraní dvou vodičů ve stacionárním proudovém poli Pro tečné složky platí: E1t = E2t ,
~ ~ =J E σ
⇒
J1t σ1 = J2t σ2
~ J~ = σ E
⇒
E1n σ2 = E2n σ1
Pro normálové složky platí: J2n = J1n ,
H ~ = 0, v proudovém poli ~ dl Poznámka 1. V elektrostatickém poli platí (všude) E l H ~ = Uz , kde Uz je napětí zdroje. Proudové pole je vírové a může odpovídat ~ dl platí E l
~ = 0, tj. mimo oblast zdrojů. Absence potenciálovému poli pouze tam, kde platí rot E zdrojů se při odvozování podmínek na rozhraní mlčky předpokládala.
34.3. Stacionární magnetické pole Mezi dvěma pohybujícími se náboji působí magnetická síla. Velikost a směr této síly ~ [T] = [kg s−2 A−1 ]. Obecně lze psát, že letící lze popsat veličinou magnetická indukce B náboj vybudí kolem sebe magnetické pole s indukcí ~ = µ0 · Q (~v × r~0 ), B 4 π r2 158
kde ~v je rychlost letícího náboje, r je vzdálenost ke vztažnému místu a r~0 jednotkový vektor směřující od letícího náboje ke vztažnému místu. Dále jsou definovány tyto veličiny a platí následující vztahy: I X ~ = ~ dl H Ii Ampérův zákon celkového proudu i
l
ZZ ~ ~ dS B
Φ= S
~ = µ0 (H ~ +M ~ ) = µ0 (H ~ + χm H) ~ B ~ = µ0 µr H ~ = µH ~ = µ0 (χm + 1)H ui = −
dΦ dt
Uvedené veličiny pak mají následující význam a jednotku: ~ H
[A · m−1 ]
intenzita magnetického pole
Φ ~ B
[Wb] = [V · s]
magnetický indukční tok
[T]
magnetická indukce
χm
[−]
magnetická susceptibilita
µr
[−]
relativní permeabilita
ui
[V]
napětí indukované v nehybné smyčce v časově proměnném mag. poli
~ nebo H ~ v těch Princip 1. Ampérův zákon celkového prouduH lze použítpro výpočet B P ~ = I. To je v případě, kdy známe ~ dl případech, kdy lze jednoduše vyjádřit integrál H tvar pole, ale neznáme jeho velikost. Příklad 6. Jaké je magnetické pole uvnitř a vně válcového vodiče o poloměru r? Řešení:
Obr. 9: Magnetické pole kolem vodiče s proudem: a) příčný řez, b) siločáry Siločáry magnetického pole tvoří koncentrické kružnice se středy na ose proudovodiče. Smysl intenzity magnetického pole a siločar je dán pravidlem pravé ruky (vodič v dlani, palec po směru proudu, směr siločar ukazují prsty). Intenzita magnetického pole (popřípadě magnetická indukce) je v každém bodě tečná k siločáře. 159
Pro stanovení intenzity magnetického pole na různých poloměrech je vhodné použít Ampérova zákona a jako integrační dráhu volit siločáru s poloměrem o vzdálenosti místa, ve kterém pole počítáme. I I ³π ´ I ~ ~ = H dl = I. H dl = H · dl · cos 2 l
Velikost integrálu bude rovna celkovému proudu, který oběhová dráha obemyká. Výpočet se rozpadne na dva intervaly: uvnitř a vně vodiče. Uvnitř vodiče: (r ≤ a) V tomto případě obemyká oběhová dráha pouze část celkového proudu I I I I H dl = |H = konst.| = H dl = H(r) · 2πr = πr2 πa2 intenzita pole je tedy přímo úměrná poloměru H(r) =
Ir , 2πa2
H(r = 0) = 0,
H(r = a) =
I 2πa
Vně vodiče: (r ≤ a) V tomto případě oběhová dráha obemyká celý proud I a platí H(r) · 2πr = I
⇒ H(r) =
Na povrchu vodiče platí H(r = a) =
I 2πr
I 2πa
Pro poloměry jdoucí k nekonečnu je intenzita magnetického pole nulová.
Obr. 10: Intenzita magnetického pole vodiče s proudem
160
Princip 2 (metoda zrcadlení). Používáme ji při výpočtu magnetického pole vodiče nad feromagnetickou rovinou (rovina, jejíž permeabilita se blíží nekonečnu, µr → ∞). Podmínkou použití metody je, že siločáry vstupují do feromagnetické roviny kolmo. Feromagnetickou rovinu pak můžeme nahradit zrcadlovým obrazem vodiče s proudem stejné orientace a počítat velikost magnetické indukce pomocí superpozice. Metodu zrcadlení můžeme použít při výpočtu magnetického pole dlouhého vodiče s proudem nebo magnetického pole cívky.
34.4. Nestacionární elektromagnetické pole Nestacionární elektromagnetické pole je buzeno průtokem nestacionárního (tj. nestejnosměrného) proudu. Smysl i amplituda proudu se mění, mění se proto i intenzita elektrického a magnetického pole. Faradayův indukční zákon Časová změna magnetického pole vyvolá v určité oblasti i časově proměnné elektrické pole. Zákon patří mezi Maxwellovy rovnice. Matematické vyjádření: I ~ · dl = − dφ E dt l
Na svorkách vodivé smyčky, vložené do proměnného magnetického pole, se v důsledku tohoto zákona objevuje indukované napětí Ui I ~ · dl = − dφ Ui = E dt l
Praktické užití: alternátor u kola (lidově „dynamoÿ), alternátor v elektrárnách. Lenzův zákon Směr indukovaného proudu působí proti změně, které jej vyvolala. Zobecněný Ampérův zákon celkového proudu Tento zákon obsahuje vzhledem k definici i složku, tzv. posuvný proud, který vysvětluje průchod střídavého proudu kondenzátorem. Jedná se o člen dψ/dt. Vztah má tvar I ~ dl = I + dψ H dt l
~ a formálně odpovídá magVeličina ψ(t) je tok vektoru intenzity elektrického pole E netickému indukčnímu toku φ ZZ ZZ ~ ~ ~ dS, ~ dS ψ= E φ= B S
S
161
Použitá literatura: Vítězslav Pankrác, Teorie elektromagnetického pole. [přednášky, cvičení] [zápisky, slidy], FEL ČVUT, Praha, 2004-2005, Božena Coufalová — Václav Havlíček, aj. Teorie elektromagnetického pole I., Příklady [skriptum], Vydavatelství ČVUT, Praha, 2000
162
39. Základní přehled vf a mikrovlnných měřicích prvků a přístrojů — vlastnosti a použití, základy vysokofrekvenčních měření. 39.1. Přehled vf prvků • propojovací vedení • koaxiální vedení • vlnovody • mikropásková vedení • konektory • adaptéry • bezodrazové zátěže, zkraty, otevřené konce vedení • atenuátory • rozbočovače, slučovače • směrové vazby • detektory • směrové můstky • rezonanční obvody
39.2. Přehled vf přístrojů • generátory (vf a mw, volně běžící rozmítané) • měřiče výkonu (bolometrické, termočlánkové, diodové) • měřiče frekvence • skalární analyzátory • vektorové analyzátory • spektrální analyzátory
163
39.3. Propojovací vedení Koaxiální vedení Výhodou je ohebnost. Používá se k propojování. Přenáší vlnu TEM.
Obr. 1: Koaxiální kabel Přenáší elektromagnetické vlnění od 0 Hz až do cca 100 GHz, na FEL ČVUT se používají kabely až do 50 GHz. Obecně je pásmo použitelnosti shora ohraničeno mezní frekvencí dominantního vlnovodného vidu TE11 , jehož šíření ve vlnovodu je nežádoucí. Hlavními parametry koaxiálních vedení jsou: • charakteristická impedance Z0 • PSV (poměr stojatých vln) • kapacita na jednotku délky C/l • odpor na jednotku délky R/l • indukčnost na jednotku délky L/l • vodivost (svod) na jednotku délky G/l Útlum se měří v dB/m, se zvyšující se frekvencí roste. Vlnovody Ve vf a mw technice se používají převážně vícevidové vlnovody, tj. kovové trubky obdélníkového nebo kruhového průřezu. Mají podstatně menší průchozí útlum než koaxiální kabely, proto se používají pro přenos výkonu. Vedou elmag. vlnění až od kritické frekvence, vlnění nižší frekvence do vlnovodu neprostoupí. Při kritické frekvenci fkrit je vlnová délka λkrit nekonečná. Kritická frekvence a pásmo jednovidovosti závisí na rozměrech vlnovodu. Ve vlnovodech se šíří vidy TE a TM, vid TEM se ve vlnovodech šířit nemůže. Mikropásková vedení Snadno se vyrábí a osazuje součástkami.
164
Dielektrická destička vyrobená ze substrátu (teflon, laminát) s kovovým proužkem navrchu, spodní část destičky pokovená. ~ H ~ Šíří se po něm vlna podobná TEM, ale s rostoucí frekvencí přibývají složky E, i ve směru šíření — nazýváme kvazi TEM. Elektromagnetické pole se šíří vzduchem i dielektrickým substrátem destičky.
Obr. 2: Mikropáskové vedení Charakteristická impedance Z0 závisí na permitivitě subtrátu a rozměrech vedení.
39.4. Konektory Slouží k připojení vstupů, výstupů u přístrojů (přístrojové ) nebo k propojení kabelů (kabelové ). Stejných elektrických parametrů lze dosáhnout různými rozměry a tvary. Vnitřní průměr vnějšího vodiče označujeme D, průměr vnitřího vodiče pak d. Standardy: • D = 21 mm → do 5 GHz • D = 14 mm → do 8 GHz • D = 7 mm → do 18 GHz ⇒ pro přenos vyšších frekvencí nutný menší průměr konektoru. Průměr vnitřního vodiče d se dopočítá podle vztahu pro charakteristickou impedanci Z0 1 ), která nejčastěji nabývá hodnot 50 Ω, méně častěji 75 Ω. Typy kontektorů: • 14 mm: velmi přesné, podle specifikace IEEE • 7 mm: velmi přesné, podle specifikace IEEE, čelní kontakt středních vodičů • N konektory: rozšířené, méně přesné, spojení stř. vodičů: kolík-dutinka, časem se opotřebí • BNC konektory: rozšířené, méně přesné, spojení stř. vodičů: kolík-dutinka • subminiaturní konektory: pásmo 0 GHz–36 GHz √ 1 ) Z0 = (60/ εr ) · ln (D/d) [Ω] → z toho se vypočte d, když je D dané frekvencí a Z0 je 50 Ω nebo 75 Ω. 165
39.5. Adaptéry Slouží k propojování konektorů různých rozměrů. Tři typy podle zakončení: • samec-samec (barrel adapter) • samec-samice (conector saver) • samice-samice (bullet adapter) Conector saver je obvykle našroubován na konektoru nějakého drahého zařízení, u něhož hrozí poškození měřícího (vstup, výstup) konektoru. Při poškození adaptéru se jednoduše adaptér vymění, nevznikne taková škoda jako při poškození konektoru na přístroji. Obvykle propojují kontektory se stejnou charakteristickou impedancí (Z0 = 50 Ω nebo 75 Ω). Adaptéry koaxiál-vlnovod se realizují pomocí kolíku nebo hrazdičky.
Obr. 3: Adaptér koaxiál-vlnovod
39.6. Bezodrazové zátěže, zkraty, konce vedení Bezodrazové zátěže Přizpůsobují vedení pro široké frekvenční pásmo (např. až 0 GHz–50 GHz), tj. vykazují v daném pásmu nízký koeficient odrazu. Bezodrazové zátěže se používají: • při měření s-parametrů • jako součásti směrových vazeb (směrový vazební člen) • jako součásti směrových můstků Střední vodič je zakončen keramickou tyčkou nebo trubkou, průměr vnějšího vodiče exponenciálně klesá.
166
Obr. 4: Bezodrazová zátěž (koncovka) Zkraty a otevřené konce vedení Používají se ke kalibraci skalárních a vektorových analyzátorů.
39.7. Atenuátory Opak zesilovačů, snižují amplitudu. Existují i proměnné atenuátory, kde lze velikost útlumu měnit. Útlum se udává v decibelech [dB], bežně útlum 1–40 dB. Užití: • skalární analyzátor • měření odrazů směrovým vazebním členem (SVČ) nebo směrovým odporovým můstkem (SOM) • měření s-parametrů vektorovým analyzátorem — měnitelný útlum jednoho z atenuátorů v rozsahu 1–70 dB
39.8. Směrový vazební člen Taktéž nazývaný směrová vazba nebo směrová vazební odbočnice, zavedeme zkratku SVČ. SVČ tvoří dvě koaxiální vedení, která ve vazebním úseku délky l přecházejí v pásková vedení obdélníkového průřezu. Mezi páskami je mezera šířky s, šířka ovlivňuje přenosové vlastnosti vazby.
Obr. 5: Směrový vazební člen Užití v měřící technice: 167
• měření činitele odrazu Γ • odděluje signální generátor od měřících obvodů • rozděluje výkon • umožňuje připojení dalších přístrojů (wattmetr, analyzátor, vlnoměr, aj.)
39.9. Detektory Vyrábějí se jako samostatné měřící komponenty, ale jsou také součástí měřících přístrojů: • měřiče výkonu • skalární analyzátory • spektrální analyzátory (důležitá součást SpA) Jsou tvořeny detekční diodou a dále běžnými pasivními prvky (rezistor, kondenzátor). Širokopásmové detektory používají diodu ZBS (z angl. Zero Bias Shottky), jejíž V-A charakteristika prochází bodem [0,0].
Obr. 6: V-A charakteristika diody ZBS
39.10. Směrový odporový můstek SOM dosahuje vzhledem k SVČ větší šíře pásma, např. pásmo v rozsahu 10 MHz– 50 GHz2 ). Jedná se o modifikované zapojení klasického Wheatstoneova můstku, místo jednoho z odporů je zapojena měřená zátež. Je-li meřená zátěž nepřizpůsobená, dojde k odrazu vlny a na detektoru uprostřed můstku se objeví napětí. Měří se s ním koeficient odrazu Γ. 2
) jedná se o můstek HP 85027D
168
39.11. Rezonanční obvody Jsou to základní prvky oscilátorů a filtrů. Thompsonův vztah frez =
1 √
2 π LC
Podle kmitočtu, na kterém se používají, se realizují: • 0 MHz–stovky MHz: prvky se soustředěnými parametry (cívka, kondenzátor) • stovky MHz: LC rezonanční obvod s kluzným kontaktem, motýlkový obvod, koaxiální vedení s kondenzátorem • jednotky–desítky GHz: koaxiální rezonátory, dutinové rezonátory LC rezonanční obvod s kluzným kontaktem: při točení se mění plocha desek kondenzátoru a zároveň kluzným kontaktem plocha závitu jednozávitové cívky
Obr. 7: LC rezonanční obvod s kluzným kontaktem Motýlkový obvod: okraje desek tvoří cívku, překrývající se desky kondenzátor, při otáčení se mění L i C
Obr. 8: LC rezonanční obvod — motýlkový obvod S rostoucí frekvencí směrem k pásmu mikrovln jsou prvky se soustředěnými parametry nahrazovány úseky vedení. Na vysokých frekvencích (GHz) se silně projevují parazitní kapacity a indukčnosti přívodů a prvků, je nutno používat jiné typy pasivních prvků (rezistor, kondenzátor, cívka) než při nižších frekvencích. Užití rezonančních obvodů: 169
• generátory • vlnoměry • spektrální analyzátory • laděné detektory
39.12. Generátory Většinou elektricky přeladitelné (sweepers) — generovaný kmitočet se dá změnit. Tyto se pak dělí na • volně běžící: řízené analogově, frekvenčně stabilizované jen jednoduchým způsobem • syntetizátory: řízené digitálně, frekvence stabilizována krystalovým oscilátorem
39.13. Měřiče výkonu Výkon ve vf a mw technice se měří na základě • tepelných účinků výkonu elmag. vlnění • detekce vf napětí Wattmetry využívají jako senzory • bolometry (senzor zapojen místo jednoho z odporů Wheatstoneova můstku) • termočlánky (dva kovy s různou teplotní roztažností, na ně poštíme vf výkon) • detekční diody (měří velmi malé výkony kolem -70 dBm, diody ZBS) Výše popsané metody se používají „naostroÿ při měření malých výkonů, pro měření velkých výkonů je nutno použít navíc atenuátory nebo SVČ.
39.14. Měřiče frekvence Měřit frekvenci lze buď pasivní metodou pomocí LC rezonančního obvodu navázaného na detektor a indikátor. Využívají výše popsané rezonátory v závislosti na kmitočtu. Elektronická metoda využívá čítačů. Jednou z takových metod je metoda nulového zázněje, která umožňuje proměřit široké kmitočtové pásmo a přesně určit vybrané kmitočty vzálené od sebe o stejný krok → užívá se při kalibraci.
170
Obr. 9: Metoda nulového zázněje Důležitou součástí je krystalový oscilátor 1 MHz a směšovač, který vypočítá rozdílový kmitočet, jenž se na osciloskopu zobrazí. Jsou-li frekvence měřeného generátoru a generátoru zařízení shodné, je rozdílový kmitočet nulový — na stínítku osciloskopu se zobrazí vodorovná čára, která představuje zázněj nulového kmitočtu.
39.15. Skalární analyzátory Skalární analyzátory měří jen amplitudu, nikoli fázi. Skládá se z několika částí, některé bývají externí (2,3): 1. generátor + vyhodnocovací-zobrazovací obvody 2. detektor 3. směrový můstek nebo směrový vazební člen
Obr. 10: Skalární analyzátor Užití SkA: • meření odrazů • měření přenosu • současné měření přenosu a odrazů
171
Co lze (⊕) a nelze (ª) korigovat u SkA: ⊕ závislost výkonu generátoru na frekvenci ⊕ útlumy propojovacích kabelů a atenuátorů ª vliv odrazů v měřící trase → způsobují navlnění přenosových charakteristik a útlumy odrazů Všechny komponenty měřících soustav proto musí být velmi dobře impedančně přizpůsobené!
39.16. Vektorové analyzátory Měří amplitudu i fázi (přímé, odražené) vlny. Jádrem VA je jednotka určující komplexní poměr a jednotka pro oddělení dopadající a odražené vlny. Přístroj se propojí s jednotkou na měření s-parametrů, na tu se potom připojí vlastní zátež.
Obr. 11: Vektorový analyzátor Vektorové analyzátory: • měří moduly a fáze přenosu a odrazů • často složitá a zdlouhavá kalibrace (SkA se kalibruje snáze) • náročná obsluha • lze korigovat téměř všechny systematické chyby (tj. i chyby způsobené odrazy)
39.17. Spektrální analyzátory Slouží k měření frekvenčního spektra. Jedná se o cyklicky přelaďované přijímače s nastavitelnou šířkou mezifrekvenčního pásma a vizuálním výstupem.
172
Obr. 12: Blokové schéma rozmítaného spektrálního analyzátoru Základní ovládací prvky: FREQ — nastavení střední frekvence rozmítání, tj. výběr spektrální čáry zobrazené na střední svislé ose displeje SPAN — nastavení šířky rozmítání, frekvenční rozsah zobrazený na stínítku RBW (resolution bandwidth) — nastavení vodorovné rozlišitelnosti. Když chci zobrazit čárové spektrum, musím nastavit malé RBW. Tím nastavím úzký rozlišovací filtr (pásmovou propust). RWB určuje, po jak širokých frekvenčních úsecích skenuju spektrum. SpA přejíždí například po 10 kHz nastavené frekvenční pásmo. Při malém RBW je nutno zpomalit běh časové základny SWEEP TIME a zúžit pásmo rozmítání SPAN. SWEEP TIME — doba běhu časové základny, resp. doba jednoho zobrazení; pohybuje se v rozmezí 50 ms–800 s Užití SpA: • analýza výstupních signálů oscilátorů nebo modulátorů • analýza vstupních signálů přijímačů (měření antén) • meření výkonu, frekvence, poměru signál/šum • aj. — užití je široké
39.18. Základy vysokofrekvenčních měření Vlnová délka λ elektromagnetického vlnění frekvence f je • ve vakuu a ve vzduchu λ0 = c0 /f • v dielektriku λε = cε /f , λ0 > λε • ve vlnovodu λg , λ0 < λg λε < λ 0 < λ g Jedná se o nejmenší vzdálenost dvou míst elmag. vlny se stejnou fází. 173
Další pojmy: • Smithův impedanční diagram • měření odrazu pomocí SVČ • činitel jakosti Q — charakterizuje ztráty LC kmitavého obvodu při kmitání, tj. ~ a cívkou (H); ~ čím je Q vyšší, tím při přelévání energie mezi kondenzátorem (E) jsou ztráty menší • činitel převýšení QM : odpovídá činiteli jakosti Q, počítá s reálnými vlastnostmi prvků (vlastní kapacita cívky, indukčnosti přívodů, aj.) • Q a QM měříme Q-metrem nebo pomocí sériového rezonančního obvodu metodou rozlaďování kapacity nebo rozlaďování frekvence • s-parametry: charakerizují dvojbran pomocí dopadajících (a1 , a2 ) a odražených (b1 , b2 ) vln na vstupní/výstupní bránu Stručně o vf měření: nelze měřit obyčejnými voltmetry, ale vf voltmetry. Při vysokých frekvencích se výrazně projevují parazitní vlastnosti prvků (indukčnosti, kapacity). Čím vyšší frekvence, tím menší součástky (adaptéry, konektory, průměr kabelů) a tím více se používá úseků vedení ve vhodných násobcích vlnové délky vlnění (λ/4, λ/2, λ).
Použitá literatura: Karel Hoffmann — Přemysl Hudec: Vysokofrekvenční a mikrovlnná měření. [skriptum], Vydavatelství ČVUT, Praha, 2006, Leoš Junek: Základní měření ve sdělovací technice. [příprava ke zkoušce], FEL ČVUT, Praha, červen 2006,
174
40. Signály, jejich vyjádření v časové a kmitočtové oblasti. Korelační funkce determinovaných a náhodných signálů a její aplikace. Vzorkování signálů a interpolace. 40.1. Signály a jejich základní charakteristiky Signál je fyzikální veličina (např. napětí, proud, světlo, . . . ), která je funkcí času. Nese informaci. Klasifikace signálů • determinované (známá funkce času), náhodné (nelze říci, jakou hodnotu má signál v určitém čase) • ve spojitém čase, v diskrétním čase • se spojitým oborem hodnot, s diskrétním oborem hodnot • energetické (E < ∞, Pavg = 0), výkonové (E → ∞, Pavg 6= 0) • kauzální, nekauzální • finitní, nefinitní Základní charakteristiky diskrétních i spojitých signálů jsou • energie E, vzájemná energie dvou signálů E12 • výkon P • střední hodnota v čase sss (jen u výkonových signálů, energetické ji mají nulovou) Z∞ |s(t)|2 dt,
E=
E=
∞ X
|s(k)|2 dt
n=−∞
−∞
1 P = Av[|s(t)| ] = lim T →∞ 2T
ZT |s(t)|2 dt
2
N X 1 |s(k)|2 N →∞ 2N + 1
P = lim
k=−N
−T
Časová oblast — signál je popsán časovým průběhem a výše zmíněnými charakteristikami. Časový průběh je závislost amplitudy na čase, píšeme s(t).
175
Kmitočtová oblast — signál je popsán kmitočtovým spektrem. Spektrum vyjadřuje závislost amplitudy na kmitočtu, resp. znázorňuje, jakou amplitudu má konkrétní kmitočtová složka. Píšeme S(ω), kde ω je kruhový kmitočet, ω = 2 π f . Spektrum periodických signálů získáme rozkladem signálu do Fourirerovy řady. Spektrum neperiodických signálů zjistíme aplikací Fourierovy transformace na časový průběh funkce.
40.2. Korelační funkce Náhodné signály Korelační funkci dvou (různých) signálů značíme R12 (τ ). Hovoříme o vzájemné korelační funkci a počítáme: Z
+∞
R12 (τ ) = −∞
s1 (t + τ ) · s∗2 (t) dt,
R12 (0) = E12 .
Signál s∗2 (t) je komplexně sdružený k původnímu signálu s2 (t). Vidíme, že korelační funkce má pro τ = 0 hodnotu vzájemné energie signálů. Korelační funkce mezi dvěma kopiemi téhož signálu značíme R(τ ), hovoříme o autokorelační funkci a počítáme: Z∞ s(t + τ )s∗ (t) dt,
R(τ ) =
R(0) = E.
−∞
Pro bod τ = 0 má funkce hodnotu energie signálu. Poznámka 1. Podobné vztahy jako pro spojité signály existují také pro diskrétní signály. Vzhledem k přehledovému charakteru tohoto textu však uvedeme jen vztah pro vzájemnou korelační funkci dvou diskrétních signálů R12 (m) =
N X
s1 (k + m) · s∗2 (k)
k=−N
a dále budeme pamatovat na to, že vztahy pro diskrétní signály existují, ačkoli je neuvádíme. Determinované signály Pro periodické signály se výpočet korelační funkce zjednoduší Z Z 1 1 ∗ R12 (τ ) = s1 (t + τ ) · s2 (t) dt, R(τ ) = s(t + τ ) · s∗ (t) dt. T0 T0 (T0 )
(T0 )
176
Význam korelační funkce • nalezení společné složky ve dvou signálech • určení zpoždění kopie signálu oproti předloze (tj. určení posunu) • korelační příjem signálu Význam autokorelační funkce Pokud signál obsahuje periodickou složku, obsahuje periodickou složku i autokorelační funkce → lze využít k nalezení periodické složky signálu. Maximum autokorelační funkce je rovno energii signálu.
40.3. Vzorkování signálů a interpolace Spektrum spojitého signálu S(ω) získáme Fourierovou transformací, původní signál s(t) získáme ze spektra zpětnou (inverzní) Fourierovou transformací. Z∞ s(t)e−jωt dt,
S(ω) = F [s(t)] =
s(t) = F −1 [S(ω)]
−∞
Existuje další veličina popisující (spojitý) signál — spektrální hustota energie C(ω) energetických signálů nebo spektrální hustota výkonu C(ω) výkonových signálů. Pro energetické signály se spočítá C(ω) = |S(ω)|2 , pro výkonové signály obdobně. Důležité však je, že spektrálná hustotu energie lze vypočítat jako Fourierovu trasformaci autokorelační funkce, C(ω) = F [R(τ )]. Mezi časovým průběhem signálu s(t), autokorelační funkcí R(τ ), kmitočtovým spektrem S(ω) a spektrální hustotou energie existují tyto vztahy:
Obr. 1: Vztah mezi veličinami spojitého signálu s(t) Podobné vztahy platí i pro diskrétní signál s časovým průběhem s(k), kmitočtovým spektrem S(Ω) vzniklým pomocí diskrétní Fourierovy transformace (DFT), spektrální hustotou energie C(Ω) a autokorelační funkcí R(m):
177
Obr. 2: Vztah mezi veličinami diskrétního signálu s(k) Vzorkovaný signál sd (k) lze získat ze signálu ss (t) ve spojitém čase jednoznačně: sd (k) = ss (k · Tv ). Naším cílem je jednoznačná interpolace, abychom jednoznačně z navzorkovaného signálu sd (k) získali původní spojitý signál ss (t). Aby se to stalo, musí existovat vzájemně jednoznačný vztah mezi časovým a spektrálním průběhem signálu, s(t) ↔ S(ω). To bude náš předpoklad. Lze odvodit, že spektrum navzorkovaného signálu znásobí spektrum původního signálu Ss (ω). Navzorkovaný signál sd (k) má spektrum S(Ω) složené z opakujících se spekter Ss (ω) od −∞ do ∞. Pokud je vzorkovací frekvence ωv blízká nejvyšší frekvenci ωmax obsažené v původním spektru Ss (ω), složky spektra Sd (Ω) navzorkovaného signálu se překrývají a obnova původního signálu není možná!
Obr. 3: Příliš nízký vzorkovací kmitočet ωv — překryv spekter Lze odvodit podmínku pro vzorkovací kmitočet ωv , při kterém se spektra v Sd (Ω) dotýkají nebo je mezi nimi na kmitočtové ose mezera. Tento vztah je známý jako Shannon-Kotělnikův teorém a říká: vzorkování bez ztráty informace je možné, pokud vzorkovací kmitočet ωv je alespoň dvojnásobkem nejvyššího kmitočtu obsaženého ve vzorkovaném signálu s(t), resp. spektru S(ω) ωv ≥ 2 · ωmax
178
Obr. 4: Dostatečný vzorkovací kmitočet ωv , dotyk spekter Shrňme: při vzorkování dochází ke sčítání spekter. Pokud dojde k překrytí částí spektra, nelze již původní spektrum obnovit a nelze obnovit ani původní časový průběh signálu. Vhodnou volbou vzorkovacího kmitočtu ωv vzhledem k hraničnímu kmitočtu oblasti (ωmax ), ve které je spektrum nenulové (nezanedbatelné), lze dosáhnout toho, že se jednotlivé periody spektra nebudou překrývat. Interpolace Je to způsob, jak ze vzorků původního signálu obnovit původní signál. Postup: sd (k) → Sd (Ω) → Ss (ω) → ss (t) Výchozí vztahy jsou tyto: Vztah mezi signálem ve spojitém čase a spektrem: 1 ss (t) = F −1 [Ss (ω)] = 2π
Z∞ Ss (ω) · ejωt dω −∞
Vztah mezi spektry spojitého a diskrétního signálu (spektrum spojitého signálu je úměrné základní periodě spektra diskrétního signálu): Tv Sd (ωTv ), pro |ω| < ω2v Ss (ω) = 0, jinde Vztah mezi diskrétním signálem a spektrem: ∞ Sd (Ω) = F [sd (k)] = σk=−∞ sd (k) · e−jΩk
Následně bychom poněkud delším odvozením dospěli ke vztahu, který pro zajímavost tento předpis ss (t) =
∞ X k=−∞
sd (k)Sa
³ω
v
2
´ (t − k · Tv ) =
∞ X k=−∞
179
ss (k · Tv )Sa
³ω
v
2
´ (t − k · Tv )
Sa(t) je vzorkovací funkce definovaná sin(t) t , t 6= 0 Sa(t) = 1, t=0
Obr. 5: Interpolace: Vzorky (a) proložíme vzorkovacími funkcemi (b) Pro proklad bodů (interpolaci) použijeme vzorkovacích funkcí s vrcholy v bodech představujících vzorky signálu sd (k).
Použitá literatura: Libor Seidl: Signály a soustavy. [online] [cite 29.8.2006] [přednášky], FEL ČVUT Praha, \ URL=http://radio.feld.cvut.cz/courses/X37SAS/literatura.php3 Leoš Junek: Signály a soustavy. [příprava ke zkoušce], FEL ČVUT, Praha, červen 2005,
180
43. Základy analogových a digitálních modulací. Principy zdrojového a kanálového kódování. 43.1. Harmonické signály V radioelektronice se často vyskytují signály, které lze vyjádřit kosinovou (nebo sinovou) funkcí času f (t) = A cos(ωt + θ0 ) = A cos(2 πf t + θ0 )
(1)
kde A
je amplituda (maximální hodnota) funkce f (t) [-]
ω
úhlová frekvence [rad · s−1 ], resp. f = ω/2π frekvence [Hz]
(ωt + θ0 )
celková okamžitá fáze (fázový úhel) v čase t [rad]
θ0
počáteční fáze v čase t = 0 [rad]
S využitím trigonometrických vzorců lze vztah (1) psát též ve tvaru (2) s převodními vztahy (3). f (t) = A cos θ0 cos(ωt) − A sin θ0 sin(ωt) = a cos(ωt) + b sin(ωt) a = A cos θ0 , b = − A sin θ0 ,
p
a2 + b2 µ ¶ b θ0 = arctg − a A=
(2)
(3)
Kromě reálných tvarů (1), (2) vyjadřujeme harmonický signál jako fázor v(t) rotující v komplexní rovnině kolem počátku konstatní úhlovou rychlostí ω [rad · s−1 ] v(t) = Aej(ωt+θ0 ) = A cos(ωt + θ0 ) + jA sin(ωt + θ0 ) = x(t) + y(t) Projekce fázoru do reálné osy x(t) vyjadřuje reálnou funkci (1). Přitom reálná složka x(t) se nazývá soufázová složka (rozumí se s průběhem (1)), anglicky inphase, složka I. Imaginární složka y(t), posunutá vůči průběhu (1) o π/2, se potom nazývá kvadraturní, anglicky quadrature, složka Q.
181
(4)
Obr. 1: Rotující fázor a jeho projekce do reálné a imaginární osy Reálnou funkci f (t) lze konečně vyjádřit ve tvaru polovičního součtu komplexně sdružených fázorů f (t) = A cos(ωt + θ0 ) 1 = [A cos(ωt + θ0 ) + j sin(ωt + θ0 ) + A cos(ωt + θ0 ) − j sin(ωt + θ0 )] 2 1 1 1 = [v(t) + v ∗ (t)] = Aej(ωt+θ0 ) + Aej(−ωt−θ0 ) 2 2 2 z nichž prvý rotuje kladnou úhlovou rychlostí ω a druhý zápornou rychlostí −ω; tím je zaveden pojem záporná frekvence. Poznámka 1. 1) Fázor v ∗ (t) je komplexně sdružený k fázoru v(t). Hledíme-li na fázor v ∗ (t) v určitém čase t jako na komplexní číslo a přepisujeme-li jej z exponenciálního do složkového tvaru, dostaneme díky sudosti kosinu a lichosti sinu v ∗ (t) = Ae−j(ωt+θ0 ) = Aej(−ωt−θ0 ) = A cos(−ωt − θ0 ) + j sin(−ωt − θ0 ) = A cos(ωt + θ0 ) − j sin(ωt + θ0 ) Tím je objasněn jeden z kroků při odvození vztahu (5). 2) Při popisu reálné funkce (1) nás zajímá velikost v čase t. Ve vztahu (1) velikost počítáme jako součin amplitudy A, která má stejnou velikost po celou dobu, a kosinové funkce představující měnící se fázi, kdy obor hodnot kosinové funkce kolísá v intervalu (−1, +1). Zmíněnou funkci (1) lze též popsat pomocí dvou komplexně sdružených fázorů rotujících vzájemně opačnými úhlovými 182
(5)
rychlostmi ω a −ω (5). Jejich součet leží v komplexní rovině vždy v reálné ose, takže fáze je vždy 0˚ nebo 180˚. Velikost součtu těchto fázorů se s časem mění. Dostáváme tedy popis velikosti funkce v čase, kdy se v každém okamžiku mění velikost amplitudy, zatímco fáze je konstatní (resp. má dvě ustálené polohy). Vztah (5) se může vyjádřit ve tvaru f (t) = Cejωt + C ∗ e−jωt kde C a C ∗ jsou tzv. komplexní amplitudy, dané vztahy C=
1 jθ0 Ae , 2
C∗ =
1 −jθ0 Ae 2
Mezi komplexními amplitudami a jejich reálným protějškem A platí relace A = |C| + |C ∗ | = 2|C| Vztahy vyjadřující harmonické signály je možné vyjádřit graficky. Vztah (1) je zobrazen jako funkce času na obr. 2a). Taková interpretace se nazývá zobrazením v časové oblasti. Tentýž průběh je možné znázornit ve frekvenční oblasti, a to přiřazením amplitudy A a fáze θ0 určité frekvenci f0 nebo ω0 = 2 π f0 , čímž se získá jeho reálné fázové a amplitudové spektrum podle obr. 2b). Zobrazení harmonického signálu pomocí fázoru v(t) je uvedeno na obr. 2c); na obr. 2d) je konečně znázorněno tzv. dvoustranné amplitudové a fázové spektrum odpovídající vztahům (5) resp. (6).
Obr. 2: Znázornění harmonického signálu: a) v časové oblasti; b) ve frekvenční oblasti; c) pomocí fázoru v(t); d) v podobě dvoustranného spektra 183
(6)
Tento rozsáhlý úvod měl za úkol vysvětlit, že jednu reálnou harmonickou funkci lze v kmitočtové oblasti vyjádřit jak reálným jednostranným spektrem, tak oboustranným spektrem s komplexními amplitudami. Jedná se stále o tutéž funkci, jen jinak vyjádřenou.
43.2. Pojmy související s modulací Princip modulace: Nosný signál je modulován modulačním signálem; parametry nosného signálu jsou ovlivňovány na základě modulačního signálu. • Nosný signál sc (t) — např. vf harmonický nebo optický signál • Modulační signál sm (t) — zdrojový nositel informace, např. zvukový signál z mikrofonu, data, . . . • Modulovaný signál — nositel informace ve formě vhodné pro přenos prostředím, signál vzniklý z sc (t) a sm (t) • Modulátor — funkční blok vykonávající modulaci nosného signálu signálem modulačním • Demodulátor — funkční blok pro získání odhadu modulačního signálu sˆm (t) na základě přijatého modulovaného signálu • Modem = modulátor + demodulátor, užívá se v obousměrných spojích • Informační kapacita — kanálem nelze přenášet neomezené množství dat, teoreticky nejvyšší informační kapacita C [bit·s−1 ] závisí na šířce použitého pásma B [Hz] a poměru výkonu signálu a šumu S/N [dB] µ ¶ S C = B · log2 1 + N Signál v základním pásmu (akustické kmitočty) modulujeme ze dvou důvodů: 1. radiokomunikační kanál (volný prostor, koax, optické vlákno) mohou přenášet signály v širokém pásmu; kdyby se přenášely signály jen v základním pásmu, rušily by se; modulací lze signály přesunout do několika vyšších pásem, kde mohou koexistovat bez rušení 2. přenášet vf signál je energeticky mnohem méně náročné (s rostoucím kmitočtem je energetická účinnost vyšší)
184
43.3. Klasifikace modulací • analogové modulace — amplitudové modulace - AM (amplitude modulation) • AM, DSB, SC, SSB (USB, LSB), VSB, QAM, . . . — úhlové modulace (s konstatní obálkou) • fázové — PM (phase modulation) • kmitočtové — FM (frequency modulation) — pulsní modulace (pulse modulation) • digitální modulace — amplitudové — ASK, BPSK, QAM (16-QAM, 64-QAM, 256-QAM), ... — úhlové — PSK (BPSK, QPSK, 8-PSK, . . . ), FSK, MSK, GMSK, ... — kombinované — OFDM, . . . • další kritéria: bez paměti × s pamětí, lineární × nelineární, . . .
43.3. Amplitudové modulace Amplitudová modulace s oběma postranními pásmy a nosnou vlnou Značí se AM, je vývojově ze všech modulací nejstarší.
185
Obr. 3: Amplitudová modulace: a) modulační signál, b) nosná vlna, c) modulovaný signál Podstatu této modulace ukazuje obr. 3, přičemž na obr. 3a) je zobrazeno harmonické modulační napětí um (t) o amplitudě Um a úhlové frekvenci ωm , resp. frekvenci fm = ωm /2π, tedy um (t) = Um cos(ωm t) = Um cos(2 π fm t) Na obr. 3b) je znázorněna vysokofrekvenční nosná vlna uc (t), která má amplitudu Uc a úhlovou frekvenci ωc , resp. frekvenci fc = ωc /2π, tedy uc (t) = Uc cos(ωc t) = Uc cos(2 π fc t), při tom je splněna podmínka fc >> fm . Princip AM: Amplituda nosné vlny se mění v rytmu modulačního napětí kolem své střední hodnoty Uc , přičemž amplituda těchto změn se rovná amplitudě modulačního napětí a frekvence změn je rovna frekvenci modulačního napětí fm = ωm /2π. Obálka modulované nosné vlny je [Uc + Um cos(ωm t)], tedy v okamžicích, kdy cos(ωm t) = −1 dosahuje minima Umin = Uc − Um a v okamžicích, kdy cos(ωm t) = +1, potom maxima Umax = Uc + Um . Okamžitá hodnota modulovaného napětí je rovna uam (t) = [Uc + Um cos(ωm t)] cos(ωc t)
(7)
Tento vztah lze užitím goniometrických vzorců upravit na Um Um uam (t) = Uc cos(ωc t) + cos(ωc + ωc )t + cos(ωc − ωm )t (8) 2 2 Ze vztahu (8) lze odhadnout, že kmitočtové spektrum modulovaného signálu obsahuje tři složky s odlišnými kmitočty: • vlastní nemodulovanou nosnou vlnu o kmitočtu fc = ωc /2π • horní postranní složku o kmitočtu fc + fm = (ωc + ωm )/2π • dolní postranní složku o kmitočtu fc − fm = (ωc − ωm )/2π
Obr. 4: Frekvenční spektrum signálu AM: a) při harmonickém modulačním signálu, b) při obecném modulačním signálu 186
Spektrum modulovaného signálu, skládající se z uvedených tří složek, je znázorněno na obr. 3a). Samotný modulační signál o frekvenci fm v něm samozřejmě přítomen není. Modulované napětí uam (t) (7) lze vyjádřit také následovně: · ¸ Um uam (t) = Uc 1 + cos(ωm t) cos(ωc t) = Uc [1 + m cos(ωm t)] cos(ωc t) Uc Parametr m=
Uc Umax − Umin = ≤1 Um Umax + Umin
se nazývá index (činitel ) amplitudové modulace [-]; často se vyjadřuje v procentech, pak hovoříme o hloubce modulace m [%]. Je-li m < 1, je obálka modulovaného signálu věrným obrazem modulačního signálu. V případě m > 1 dochází k tzv. přemodulování doprovázenému nepřijatelným zkreslením modulační obálky. Obecně není zdrojovým modulačním signálem harmonická funkce, ale nějaký neharmonický signál. Fourierovou transformací tohoto signálu získáme dvoustranné spektrum s horním postranním pásmem a dolním postranním pásmem. Vyjádříme-li celkový výkonm signálu Pt pomocí výkonu nosné vlny Pc a indexu modulace m, získáme vztah Pt = Pc (1 + m2 /2). Při maximálním činiteli m = 1 je celkový výkon Pt 1,5krát větší než výkon samotné nosné vlny Pc . V tomto případě tedy nosná vlna, která nenese žádnou informaci, zabírá dvě třetiny celkového výkonu, na postranní pásma zbyde jedna třetina výkonu. V praxi je poměr ještě nevýhodnější (protože m ≈ 0, 3 u AM rozhlasu). Z hlediska výkonových relací je tedy amplitudová modulace nevýhodná. Na závěr si uveďme, jak demonstrovat AM modulaci v prostředí MATLAB. Tímto způsobem byl vytvořen obrázek 3. •
• • • • • • • •
t=0:1/65536:2.125 pi; Uc=10; Um=7; omega m=0.5; omega c=10; s m=Um cos(omega m t-pi/8); s c=Uc cos(omega c t); s am=(Um cos(omega m t+pi/8)+Uc). cos(omega c t); subplot(3,1,1); plot(s m); subplot(3,1,2); plot(s c); subplot(3,1,3); plot(s am); 187
(9)
Demodulace AM se snadno provádí diodovým obálkovým detektorem. Tento druh demodulátoru lze levně sériově vyrábět, proto jsou jím vybaveny rozhlasové přijímače krátkých, středních a dlouhých vln.
Obr. 4: Diodový obálkový dektektor — demoduluje AM Odvozené amplitudové modulace DSB, SSB, VSB, ISB a QAM Kromě amplitudové modulace s oběma postranními pásmy a nepotlačenou nosnou (AM) se v praxi používají i odvozené amplitudové modulace, které mohou být v některých konkrétních aplikacích výhodnější než základní modulace AM. Uveďme si je ve stručném přehledu. DSB = Double Side Bands, amplitudová modulace s oběma postranními pásmy a potlačenou nosnou • nosná vlna je úplně potlačena, což se značí SC (Supressed Carrier), tuto modulaci některé prameny označují zkratkami SCDSB nebo DSBSC • lze ji uskutečnit v tzv. součinovém modulátoru, kde se analogově násobí nosná vlna uc (t) a modulační signál um (t), vzniká signál udsb (t) = uc (t) · um (t), který má vlastnosti — spektrum signálu udsb (t) obsahuje jen postranní pásma, nikoli nosnou — modulační obálka se neshoduje s modulačním signálem (narozdíl od AM) • protože nepřenáší nosnou, je výkon postranních pásem při zachovaném výkonu vysílače třikrát vyšší než při modulaci AM • nutno při demodulaci obnovit nosnou ⇒ složitější demodulátor • pro snazší obnovu nosné se přenáší pilotní nosná, což je vzorek původní nosné vlny • zabírá stejnou šíří pásma jako AM SSB = Single Side Band, amplitudová modulace s jedním postranním pásmem a potlačenou nosnou • nosná vlna úplně potlačena; jiné značení SCSSB, SSBSC • přenáší se buď jen dolní postranní pásmo (LSB=Lower Side Band), nebo horní postranní pásmo (USB=Upper Side Band) • problematické odstranění jednoho a nezkreslení druhého postranního pásma 188
• využívá poloviční šířku pásma než AM a DSB • složitý modulátor i demodulátor • užití: analogový přenos telefonního signálu VSB = Vestigial Side Band, amplitudová modulace s jedním částečně potlačeným postranním pásmem a potlačenou nosnou • nosná zcela potlačena; • využívá jen o málo širší pásmo než SSB • podle stupně potlačení jednoho postranního pásma se její vlastnosti blíží buď SSB nebo DSB • užití: přenos obrazového signálu analogové televize (v tomto případě signál VSB doplněn o nosnou pro snazší demodulaci) QAM = Quadrature Amplitude Modulation, kvadraturní amplitudová modulace • dvě nosné, obvykle se stejnou frekvencí fc , pootočené o 90˚ • lze přenášet dva nezávislé signály jedním pásmem ⇒ úspora šířky pásma • při potlačení obou nosných energeticky výhodná • k demodulaci potřeba synchronní demodulátor, aby se signály oddělily • užití: přenos obrazového signálu barevné analogové televize — systémy NTSC a PAL
43.4. Úhlové modulace Amplituda nosné vlny se nemění. Modulační signál um (t) ovlivňuje fázi nosné vlny uc (t). Modulovaný signál těchto modulací se dá souhrnně vyjádřit jako uf (t) = Uc sin [ωc t + ϕ(t)] ,
(10)
kde ϕ(t) je okamžitá odchylka fáze nosné vlny od nominální hodnoty. Mezi úhlové (exponenciální) modulace řadíme kmitočtovou modulaci a fázovou modulaci. Kmitočtová modulace FM = Frequency modulation
189
Amplituda nosné vlny Uc je konstantní, frekvence se mění v závislosti na modulačním signálu. Okamžitá frekvenční odchylka nosné vlny od nominální hodnoty je přitom přímo úměrná velikosti modulačního signálu, frekvence změn odpovídá frekvenci modulačního signálu. Pro harmonickou nosnou vlnu uc (t) = Uc sin(ωc t) a harmonický modulační signál um (t) = Um cos(ωm t) je vyjádřen frekvenčně modulovaný signál relací uFM (t) = Uc sin [ωc + kFM Um cos(ωm t)] t = Uc sin [ωc + ∆ω cos(ωm t)] t
(11)
kde kFM je napěťová citlivost modulátoru FM, ∆ω = kFM Um je frekvenční zdvih neboli deviace. Při zvyšování frekvenčního zdvihu se zvyšuje i potřebná šířka vf kanálu. Protože úhlový kmitočet ω(t) je definován jako změna fáze s časem, tedy derivace fáze podle času (ω(t) = dϕ(t)/dt), lze zapsat Z ∆ω sin(ωt) = β sin(ωt) ϕ(t) = ∆ω cos(ωm t) dt = ωm ∆ω ∆f kFM Um β= = = ωm fm ωm Parametr β nazýváme index (činitel ) frekvenční modulace. Jeho číselná hodnota není nijak limitována a může být buď menší než jedna nebo vyšší než jedna. Při frekvenční modulaci se nestane, že bychom vlnu přemodulovali. Čím vyšší β, tím využíváme nižší/vyšší kmitočty na obě strany od ωc , takže se může stát, že se náš signál dostane mimo vyhrazené pásmo. Frekvenční modulace vyžaduje mnohem širší pásmo než AM. Na „oplátkuÿ poskytuje mnohem vyšší kvalitu přenosu, protože většina poruch při šíření modulovaného signálu je amplitudového charakteru. Příklad 1. U rozhlasového vysílání se v dlouhovlnném, středovlnném a krátkovlnném pásmu používá modulace AM s pásmem širokým 9 kHz. V pásmu velmi krátkých vln se používá modulace FM, kanál zabírá pásmo 100 kHz. AM modulace neumožňuje přenos vyšších kmitočtů (nad 10 kHz), takže není vhodná pro přenos hudby.
190
Obr. 5: Úhlové modulace: a) nosná vlna; b) modulační harmonický signál; c) modulovaný signál FM; d) modulovaný signál PM Zatímco u amplitudové modulace vznikají dvě postranní pásma po obou stranách nosného kmitočtu, při frekvenční modulaci vznikají postranní složky a je jich celá řada. A to i v případě, že modulujeme čistě sinusovým průběhem. Tyto postranní složky jsou symetricky rozloženy po obou stranách nosného kmitočtu, přičemž vzdálenost mezi nimi odpovídá modulačnímu kmitočtu. Jejich amplituda ani množství není vždy stejné a mění se podle velikosti modulačního napětí a modulačního kmitočtu.
Obr. 6: a) Postranní pásmo při frekvenční modulaci jedním nf kmitočtem 8 kHz; b) Postranní pásmo při modulačním kmitočtu 2 kHz Na obr. 6 jsou znázorněny dvě možnosti rozložení postranních složek. V obou případech nosnou vlnu modulujeme jedním kmitočtem. V prvním případě je nf modulační kmitočet 8 kHz a frekvenční zdvih 40 kHz. Ve druhém případě je modulační kmitočet nižší, tj. 2 kHz, avšak modulační napětí je stejně velké, takže frekvenční zdvih je rovněž 40 kHz. Amplitudy jednotlivých složek jsou dány Besselovými funkcemi prvního až n-tého řádu a indexem modulace β. Při určitých indexech modulace β se může stát, že nosná vlna může mít menší amplitudu než postranní pásma nebo může zcela vymizet. Fázová modulace PM = Phase modulation Amplituda nosné vlny zůstává konstatní, fáze nosné vlny se mění v závislosti na modulačním signálu. Okamžitá hodnota fáze je přímo úměrná modulačnímu signálu a frekvence jejích změn odpovídá frekvenci modulačního signálu.
191
Pro harmonickou nosnou vlnu uc (t) = Uc sin(ωc t) a harmonický modulační signál um (t) = Um cos(ωm t) je vyjádřen fázově modulovaný signál relací uPM (t) = Uc sin [ωc + (kPM Um ) cos(ωm t)] t = Uc sin [ωc + ∆ϕ cos(ωm t)] t
(12)
kde kPM je tzv. napěťová citlivost modulátoru PM a ∆ϕ = kPM Um je fázový zdvih nebo fázová deviace, odpovídající maximální fázové odchylce v okamžicích, kdy cos(ωm t) = 1. Podobnost vztahů (11), (12) svědčí o těsné příbuznosti modulací FM a PM. Tato skutečnost svědčí i z obr. 5d), kde je znázorněn signál PM, daný vztahem (12). Zobrazený průběh se liší od průběhu podle obr. 5c) zřejmě jen časovým posuvem odpovídajícím 1/4 periody modulačního signálu. Fázová modulace nenašla v praxi takové uplatnění jako kmitočtová modulace (FM). Důvody jsou následující: • u PM je třeba referenční nosná vlna s vysokou frekvenční i fázovou stabilitou • PM hůře využívá přidělené frekvenční pásmo
43.5. Modulátory a demodulátory analogových modulací Kvadratický modulátor AM Používá se k modulaci signálu AM, tj. s oběma postranními signály a nepotlačenou nosnou. K modulaci zde dochází na nelineárním prvku, kterým je • polovodičová dioda • BJT • FET - dobře aproximuje kvadratický průběh (13)
Obr. 7: Kvadratický modulátor AM Vztah mezi vstupním napětím u1 (t) a výstupním napětím u2 (t) tohoto prvku lze aproximovat kvadratickou závislostí u2 (t) = a1 u1 (t) + a2 u21 (t), 192
(13)
kde konstanty a1 , a2 závisí na charakteristikách použitého prvku. Na nelineární prvek přivádíme vstupní napětí u1 (t), jež je součtem nosné vlny a modulačního signálu; v případě sinusové modulace u1 (t) = Uc sin(ωc t) + Um sin(ωm t). Dosazením vstupního napětí u1 (t) do (13) dostáváme signál se složkami • známými ze spektra AM (nosná + dvě postranní složky ωc ± ωm ) • o kmitočtech ω = 0, ω = 2ωm , ω = 2ωc (složky navíc) Modulátory pro úhlové modulace
Obr. 8: Modulátory FM/PM: a) Oscilátor, jehož kmitočet je řízen napětím (VCO), vhodný pro přímou kmitočtovou modulaci; b) modulátor pro přímou fázovou modulaci; c) modulátor pro nepřímou frekvenční modulaci; d) modulátor pro nepřímou fázovou modulaci Dva základní typy modulátorů: • pro přímou úhlovou modulaci — napětím řízený oscilátor1 ); modulačním napětím se řídí oscilační kmitočet, napětí mění kapacitu Cv varikapu; obr. 7 a) — modulační napětí ovlivňuje kapacitu Cv varikapu; obr. 7 b) • pro nepřímou úhlovou modulaci — modulační napětí um (t) se integruje, přivede do PM modulátoru a je z toho FM; obr. 7 c) — modulační napětí um (t) se derivuje, přivede do FM modulátoru a je z toho PM; obr. 7 d) 1
) VCO = Voltage Controled Oscilator
193
Demodulátor AM Nejjedodušším demodulátorem AM a také VSB, SSB, pokud nemají potlačenu nosnou vlnu, je již zmíněný obálkový detektor. Dioda usměrní vf signál, na kapacitoru se objevuje napětí sledující amplitudy vln AM. Důležitá je vhodná časová konstanta τ = RC. Je-li příliš velká, kapacitor se vybíjí přes rezistor pomalu a nestačí sledovat změny amplitudy uAM (t).
Obr. 8: Detektor obálky pro demodulaci signálů AM, VSB, SSB Složitější demodulátory AM, SSB a VSB jsou synchronní demodulátory, ve kterých se přijímaný signál dělí do dvou větví a v násobiči zase slučuje. Nebudeme se jím zbývat. Demodulátor FM Nejjednodušší FM demodulátor je tvořen LC rezonančním obvodem, jehož rezonanční frekvence frez je volena tak, aby nominální hodnota frekvence nosné vlny fc padla do inflexního bodu sestupné hrany amplitudové frekvenční charakteristiky tohoto LC rezonančního obvodu.
Obr. 9: Demodulátor signálů FM „na bokuÿ rezonanční křivky Demodulátor konvertuje FM signál na signál AM (přesněji FM+AM), složka AM se pak demoduluje následným obálkovým dekektorem. Při malých deviacích ∆f téměř nedochází ke zkreslení.
194
43.6. Diskrétní modulace Diskrétní modulace můžeme rozdělit na 1. diskrétní modulace v základním pásmu: PAM (Pulse Amplitude Modulation), PPM, PDM, PFM, PCM (Pulse Code Modulation) 2. diskrétní modulace s nosnou vlnou — dvojstavové: 2-ASK, 2-PSK, 2-FSK — vícestavové: 4-PSK, 8-PSK, 16-QAM, 64-QAM U první skupiny modulací se převádí analogový signál, ležící v základním pásmu, na diskrétní (ipulsový) signál, který je rovněž umístěn v základním pásmu. Některé prameny naznačují, že by se mělo tomuto procesu říkat spíše kódování, protože modulace bývá chápána jako transformace signálu ze základního pásma do pásma vf. Přidržme se ustálené terminologie a označujme převod analogových signálů na diskrétní v rámci jednoho pásma za modulaci. Z těchto „modulacíÿ patří k nejvýznamnějším PCM. Analogový signál je nejprve přeměněn na signál PAM, což odpovídá vzorkování. Následně jsou úrovně vzorků přiřazeny konečnému počtu úrovní, dochází tedy ke kvantování. Kvantovaný signál PAM je poté kódován. Kódováním se rozumí převod jeho skutečné velikosti, vyjádřené v desítkové soustavě, do soustavy binární. Tím se vytvoří signál odpovídající modulaci PCM. Příklad 2. Je-li signál PAM kvantován do 8 úrovní, dá se každá úroveň vyjádřit v binární soustavě jako posloupnost tří bitů, protože 23 = 8. Výsledný signál PCM se pak skládá z trojic bitů, kdy každá trojice odpovídá určité úrovni zdrojového signálu. Je zřejmé, že při kvantování dochází k chybě způsobené zaokrouhlováním na nejbližší diskrétní stav. Této chybě říkáme kvantizační šum. Signály s diskrétními modulacemi v základním pásmu lze přenášet v elektrické podobě po metalických vedeních n. v optické podobě optickými vlákny. Tyto signály můžeme namodulovat na vf nosnou vlnu. Proč? • využijeme plně přenosové kapacity metalických/optických vedení - lze přenášet více signálů současně • můžeme přenášet radiovým kanálem (přenos vzduchem v základním pásmu není vůbec možný) Dále se budeme zabývat jen signály modulovanými na vf nosnou vlnu. Přehled dvojstavových diskrétních modulací Zdrojovým signálem je nejčastěji PCM. Nosná vlna je ovlivňována jen v rámci dvou diskrétních stavů. Tomuto procesu se také říká klíčování.
195
Podle toho, jaký parametr nosné ovlivňujeme, rozlišujeme • amplituda: ASK - Amplitude Shift Keying, klíčování amplitudovým zdvihem (posuvem) • fáze: PSK - Phase Shift Keying, klíčovaní fázovým posuvem • frekvence: FSK - Frequency Shift Keying, klíčovaní frekvenčním posuvem Pro zdůraznění skutečnosti, že uvedené modulace jsou dvojstavové, pro ně užíváme symboly: 2-ASK, 2-PSK a 2-FSK.
Obr. 10: Dvojstavové diskrétní modulace s nosnými vlnami v časové oblasti a) modulační signál PCM; b) klíčování amplitudovým zdvihem; c) klíčování frekvenčním zdvihem; d) klíčování fázovým zdvihem 2-ASK Při logické ”0” nabývá vlna pouze minimální (nulové) amplitudy. Maximální amplitudu má signál 2-ASK při logické úrovni ”1” zdrojového signálu. Tato modulace má ze všech tří uvedených dvojstavových modulací nejhorší vlastnosti, proto se v praxi užívá zřídka. 2-FSK Také BFSK, Binary Frequency Shift Keying. Střídají se dvě frekvence nosné. 2-PSK Také BPSK, Binary Phase Shift Keying. Logické úrovni ”1” zdrojového signálu odpovídá fázový stav nosné vlny např. 0˚ (uvažováno vůči pomyslné nemodulované nosné vlně), úrovni ”0” pak fázový stav 180˚. V konstelačním diagramu lze tyto stavy znázornit koncovými body fázorů. V tomto diagramu je reálná osa označena I (z angl. in-phase, tj. synfázní složka), imaginární osa symbolem Q (quadrature, kvadraturní, neboli o 90˚ pootočená složka), proto se tato rovina také nazývá rovina IQ. Mezi stavy v IQ diagramu je velký rozestup (v porovnání s vícestavovými modulacemi) ⇒ modulace je odolná vůči rušení.
196
Další vlastnosti: • pouze dva stavy: lze modulovat jen 1 bit/symbol ⇒ nehodí se pro aplikace s velkým přenosem dat • značné nároky na šířku pásma, která musí být mnohem větší než u analogových modulací Tuto modulaci využívá např. systém družicové navigace GPS.
Obr. 11: Spektrum modulovaného signálu BPSK: a) lineární zobrazení; b) logaritmické zobrazení Vícestavové diskrétní modulace Byly zavedeny, aby se lépe využila přenosová kapacita kanálu (vzhledem k dvojstavovým modulacím). Princip je podobný jako u dvojstavových modulací. Parametr nosné vlny (amplituda, frekvence, fáze) nabývá jednoho z M = 2n stavů, kde n ≥ 2. Stavy se nazývají také symboly. Každému symbolu (stavu) odpovídá skupina o n bitech, n = log2 M . Při stejné bitové rychlosti jako u dvojstavové modulace je symbolová rychlost fM nižší, což umožňuje zúžit potřebné frekvenční pásmo. Vzhledem k dvojstavovým modulacím vícestavové modulace umožňují: • zvýšení přenosové kapacity při zachování šířky pásma, nebo • zúžení potřebného frekvenčního pásma při zachování bitové rychlosti
197
Srovnání dvojstavových a vícestavových modulací parametr nosné: frekvence
dvojstavová
vícestavové
modulace
2-FSK
4-FSK
8-FSK
alternativní název
BFSK
—
—
2
4
8
symbol
bit
dibit
tribit
pásmo
BF
BF /2
BF /3
symbolová rychlost
fM
fM /2
fM /3
stavů
Podobné je to s šířkou pásma, symbolovou rychlostí i názvem symbolu u dalších vícestavových modulací. Fázové modulace: • 2-PSK (BFSK) • 4-PSK (QPSK) • 8-PSK Kvadraturní modulace — ovlivňuje se současně amplituda i fáze nosné: • 2-QAM, odpovídá BPSK • 4-QAM, odpovídá QPSK • 8-QAM • 16-QAM • 64-QAM • 256-QAM
198
Obr. 12: Diskrétní modulace FSK zobrazené ve frekvenční oblasti: a) 2-FSK; b) 4-FSK; c) 8-FSK; diskrétní modulace PSK zobrazené v rovině IQ: d) 2-PSK; e) 4-PSK; f ) 8-PSK; diskrétní kvadraturní modulace M-QAM: g) 16-QAM; h) 64-QAM
43.6. Principy zdrojového a kanálového kódování
Obr. 12: Schéma digitálního komunikačního řetězce Zdroj zpráv Zdroj zpráv je zařízení, které generuje posloupnosti A1 , A2 , . . .. Prvky těchto posloupností nabývají hodnot ai , i ∈ (1, 2, . . . , q).
199
{ai }qi=1
zdrojová abeceda
ai
znak
q
velikost abecedy
A1 , A2 , . . .
zpráva
Ak
symbol
Z(A)
zdroj zprávy sestavené ze symbolů A
Zdroj vysílá symboly symbolovou rychlostí vs (Z(A)) [Bd]. Protože symbol se skládá z n bitů, n = log2 (q), je bitová rychlost vb (Z(A)) = vs (Z(A)) · log2 (q)
[bit · s−1 ]
Entropie H [bit/symbol] vyjadřuje střední množství informace připadající na jeden symbol. Maximální entropii Hmax má zdroj vysílající nezávislé symboly se stejně pravděpodobnými znaky (optimální zdroj) Hmax = log2 (q) Redundance (nadbytečnost) R [-] vyjadřuje, jakou část symbolů zdroj generuje zbytečně. Kodér zdroje Kodér zdroje Z(X) převádí znaky ai zdrojové abecedy na jiné znaky xj , j ∈ (1, 2, . . . , Q). {xj }Q i=1
kódová abeceda
xj
kódové znaky
kód
způsob přiřazení kódových znaků xj zdrojovým znakům ai
kódové slovo
kombinace kódových znaků, jimiž je vyjádřen zdrojový znak
délka kódového slova počet L kódových znaků této kombinace X
kódový symbol Jednoznačný kód dovoluje ze znalosti zakódované zprávy jednoznačně určit zdrojovou zprávu. Prefixový kód je příkladem jednoznačného kódu. Žádné kódové slovo není prefixem jiného slova, kódové slovo lze dekódovat po přijetí posledního symbolu.
200
Příklad 3.
Obr. 13: Prefixový kód Střední délka kódového slova L [-] odpovídá počtu kódových symbolů připadajících na jeden zdrojový symbol dlouhé zprávy. Kodér zdroje se stejně jako zdroj vyznačuje určitou entropií a redundancí. Nejkratší kód se vyznačuje nulovou redundancí, tj. R (Z(X)) = 0. Při jeho odvozování zjistíme, že pravděpodobné (často vyskytované znaky) se kódují krátkými kódovými slovy, řídce se vyskytující znaky se kódující dlouhými slovy. Tento druh přiřazování kódových slov zdrojovým znakům nazýváme nerovnoměrné kódování. Pro délku i-tého kódového slova Li lze odvodit vztah » ¼ log2 (pA (ai )) Li = − , log2 (Q) kde pA (ai ) je pravděpodobnost výskytu znaku ai a znaky de znamenají zaokrouhlení na nejbližší vyšší celé číslo. Nejkratší kód lze najít užitím Huffmanovy konstrukce nejkratšího kódu. Užíváme následující algoritmus 1. seřadíme zdrojové znaky podle klesající pravděpodobnosti 2. poslední 2 znaky sloučíme do jednoho, jehož pravděpodobnost se rovná součtem pravděpodobnosti sloučených znaků 3. opakujeme kroky 1 a 2 tak dlouho, až dostaneme dva sloučené znaky, kterým přiřadíme kódové znaky x1 a x2 4. vraťme se o krok zpět a znakům, které byly v daném kroku sloučeny, přidejme kódovou kombinaci x1 a x2 5. krok 4 opakujeme tak dlouho, až přiřadíme kódové slovo všem zdrojovým znakům. Kodér kanálu Úloha kodéru zdroje: • digitalizuje, tj. převádí spojitou fyzikání veličinu na elektrickou veličinu o diskrétních hodnotách • vynímá redundantní a irelevantní informaci (nadbytečnou a nepodstatnou) 201
Úloha kodéru kanálu: • zabezpečuje signál před chybou při přenosu rádiovým prostředím • provádí ochranné kanálové kódování, vkládá redundantní bity Typy kódů: • Blokové kódy — kódovaná data jsou rozdělena do bloků, které se kódují samostatně • Konvoluční kódy — kódování se provádí operací diskrétní konvoluce, kódová slova jsou závislá až do tzv. omezující délky kodéru Lineární blokové kódy Pro tyto kódy platí: součet nebo rozdíl dvou kódových slov je opět kódové slovo. Minimální Hammingová vzdálenost dmin - nejmenší vzdálenost mezi kódovými slovy, tj. počet jedniček, o které se liší nulové slovo a slovo s nejmenším (nenulovým) počtem jedniček. Počet detekovatelných chyb tdek a počet opravitelných chyb topr závisí na minimální Hammingově vzálenosti. tdek = dmin − 1,
topr =
dmin − 1 2
Kódové slovo X (dlouhé n symbolů) získáme jako součin generující matice G a zdrojového slova Z (k-tice zdrojových symbolů). X=Z·G Kontrolní slovo R je m-tice kontrolních (paritních) symbolů. Z = [z1 z2 . . . zk ] R = [r1 r2 . . . rm ] V systematických kódech jsou zdrojové a kontrolní bity odděleny, kódové slovo systematikého kódu X pak vzniká X = [x1 x2 . . . xn ] = [z1 . . . zk r1 . . . rm ] = [Z|R] Z hlediska zabezpečení není žádný rozdíl mezi systematickými a nesystematickými kódy, každž nesystematický kód lze najít systematický kód). X= Z·G [Z|R] = Z · G ⇒ G = [Ik |A] kde Ik je jednotková matice typu k × k. Matice A typu k × m určuje vztah mezi kontrolními a zdrojovými symboly. 202
Kontrolní matici H vypočteme takto H = [AT |Im ]. Tuto kontrolní matici lze využít při výpočtu syndromu S. Je-li syndrom přijatého slova nenulový, je přijaté slovo dozajista chybné. Je-li syndrom nulový, je přijaté slovo Y správné nebo je v něm tolik chyb, že přijaté kódové slovo přejde do jiného (sousedního) kódového slova. H = [AT |Im ], Y = X + E, S = (X + E) · H T , kde E je chybové slovo. Příklad 3. Mějte matici G nebo GT . Určete matici A určující vztah mezi kontrolními a zdrojovými symboly a matici H. 10 01 01 G0 = 01 10 10 Protože víme, že matice G se skládá z matice Ik typu k ×k a matice A, je zřejmé, že zadaná matice je transponovaná generující matice, tj. G0 = GT . Odtud µ ¶ ¡ T ¢T 1 0 0 0 1 1 G= G = = [Ik |A] 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 01 0 1 µ ¶ 0 1 0 1 0 0 0011 01 A= ⇒ AT = ⇒ H = [AT |Im ] = 1 0 0 0 1 0 1100 10 10 1 0 0 0 0 1 Cyklické kódy jsou podmnožinou lineárních blokových kódů. Cyklickým posuvem kódového slova vzniká další kódové slovo, takže je-li např. kódovým slovem X=[a b c d e], je kódovým slovem také [b c d e a]. Příklad 4. Systém GPS využívá Hammingův kód (26,4). Kódové slovo obsahuje 24 zdrojových bitů a 4 paritní bity, celkem tedy 30 bitů. Jedná se o systematický lineární blokový kód. Kód umožňuje opravit jednu chybu (jeden chybný bit), umí detekovat dvě chyby, ale neumí je opravit. GLONASS využívá Hammingův kód (84,8). Konvoluční kódy V kodéru vzniká kódové slovo. V registrech kodéru se uchovává i určitý počet předešlých bitů. Výstupní bity jsou nějakou kombinací bitů ze zdrojových registrů. 203
Příklad 5.
Obr. 13: Konvoluční kodér Zobrazený kodér lze charakterizovat takto: • k = 2 je počet zdrojových bitů • n = 3 představuje počet kódových bitů • K = 2 udává počet registrů zdrojových bitů • 2k(K−1) = 22(2−1) = 22 = 4 je počet vnitřních stavů kodéru; toto číslo závisí na počtu předcházejících (neaktuálních) bitů, v našem případě 2 bitů • stavy kodéru jsou: 00, 01, 10, 11 Při dekódování konvolučních kódů můžeme zdrojové bity získat pomocí • tvrdého rozhodování: o tom, zda je přijatý bit 0 nebo 1, rozhoduje blízkost přijatého napětí definovaným úrovním ”0” nebo ”1”; jednoduchý algoritmus • měkkého rozhodování: příkladem je Vitterbiho algoritmus, kde kreslíme diagram stavů, počítáme tzv. Hammingovu vzdálenost a dále analyzujeme; složitý algoritmus, ale úspěšnější než tvrdé rozhodování
204
Použitá literatura: Libor Seidl: Signály a soustavy. [online] [cite 29.8.2006] [přednáška 10], FEL ČVUT Praha, \ URL=http://radio.feld.cvut.cz/courses/X37SAS/literatura.php3 Leoš Junek: Komunikační technika — rádiové systémy. [příprava ke zkoušce], FEL ČVUT, Praha, červen 2006, Václav Žalud: Radioelektronika. [skriptum] Vydavatelství ČVUT, Praha, 1993 Václav Malina: Poznáváme elektroniku V., Kopp, České Budějovice, 2000 Pavel Kovář: Komunikační technika — rádiové systémy. [přednáška] [online] [cite 1.9.2006] \ URL=http://radio.feld.cvut.cz/courses/X37KTR/materialy.php
205
