Obsah
Obsah ´ 1 Uvod
3
2 Gotika 2.1 Z´akladn´ı u ´daje . . . . . . . . . . . 2.2 V´ yznamn´e evropsk´e gotick´e stavby 2.2.1 Francie . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Anglie . . . . . . . . . . . . 2.2.3 It´alie . . . . . . . . . . . . . 2.3 Gotika u n´as . . . . . . . . . . . . . 2.4 Znaky gotick´e architektury . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
3 Oblouky 3.1 Lomen´ y oblouk . . . . . . . . . 3.1.1 Z´akladn´ı lomen´ y oblouk 3.1.2 Lomen´ y oblouk zv´ yˇsen´ y 3.1.3 Lomen´ y oblouk sn´ıˇzen´ y. 3.2 P˚ ulkruhov´ y oblouk . . . . . . . 3.3 Segmentov´ y oblouk . . . . . . . 3.4 Tudorsk´ y oblouk . . . . . . . . 3.5 Osl´ı hˇrbet . . . . . . . . . . . . ´ 3.6 Ukoly pro studenty . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
8 . 8 . 8 . 9 . 9 . 9 . 9 . 10 . 10 . 11
4 Klenby 4.1 Klenba valen´a . . . 4.2 Klenba kˇr´ıˇzov´a . . 4.3 Klenba kl´aˇstern´ı . . 4.4 Klenba hvˇezdov´a . ´ 4.5 Ukoly pro studenty
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
12 12 13 13 14 14
. . . . .
15 15 16 17 17 17
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
5 Kruˇ zby 5.1 Trojl´ıstek, ˇctyˇrl´ıstek a pˇetil´ıstek v kruhu . 5.2 Sf´erick´ y troj´ uheln´ık a sf´erick´ y ˇctyˇru ´heln´ık 5.3 Mniˇska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Tˇri sf´erick´e troj´ uheln´ıky vepsan´e do kruhu ´ 5.5 Ukoly pro studenty . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
4 4 4 4 4 4 5 5
Obsah
6 Z´ avˇ er
19
Literatura
20
´ Kapitola 1. Uvod
Kapitola 1 ´ Uvod Mil´ı uˇcitel´e matematiky, pr´avˇe v ruce drˇz´ıte sb´ırku vˇenuj´ıc´ı se geometrii v gotick´e architektuˇre. Jedn´a se o studijn´ı text, kter´ y m˚ uˇzete poskytnout sv´ ym student˚ um, ˇci si podle nˇeho pˇripravit hodinu. Na konci kaˇzd´e kapitoly jsou pˇr´ıklady na procviˇcen´ı prob´ıran´ ych aplikac´ı. Tento text si neklade za c´ıl d´at pˇrehled historick´ ych dat a souvislost´ı, ale chtˇel bych uk´azat, ˇze z´akladn´ı architektonick´e prvky nejsou jen umˇeleck´a kouzla tehdejˇs´ıch mistr˚ u, ale ˇze se pˇrev´aˇznˇe jedn´a o sloˇzen´ı nˇekolika z´akladn´ıch geometrick´ ych konstrukc´ı. Uveden´e konstrukce jsou kresleny v programu GeoGebra. Za konstrukce model˚ u kleneb dˇekuji Mgr. Barboˇre Kutilov´e.
3
Kapitola 2. Gotika
Kapitola 2 Gotika V t´eto kapitole si ˇreknˇeme nˇekolik z´akladn´ıch u ´daj˚ u o tomto architektonick´em slohu a udˇelejme si pˇrehled staveb v tomto slohu postaven´ ych.
2.1
Z´ akladn´ı u ´ daje
Gotick´ y sloh vznikl pˇribliˇznˇe kolem roku 1150 ve Francii v oblastech okolo Paˇr´ıˇze. Samotn´ y n´azev se vˇsak jeˇstˇe v dobˇe gotiky nepouˇz´ıval. Pojem gotika byl pouˇzit poprv´e aˇz v It´alii v obdob´ı pozdn´ı renesance. Ve Francii byl tento sloh naz´ yv´an sloh lomen´ y. Z Francie se ˇs´ıˇrila gotika prakticky do cel´e Evropy. Jeˇstˇe ve 12. stolet´ı se dostala do ˇ Anglie, o sto let pozdˇeji pak do Nˇemecka, Spanˇ elska a It´alie. K n´am do ˇcesk´ ych zem´ı se gotika dostala koncem prvn´ı poloviny 13. stolet´ı. V t´e dobˇe u n´as vl´adli Pˇremyslovci.
2.2 2.2.1
V´ yznamn´ e evropsk´ e gotick´ e stavby Francie
Pod´ıvejme se nejprve do Francie. Mezi nejv´ yznamnˇejˇs´ı francouzsk´e stavby patˇr´ı katedr´ala Notre-Dame v Paˇr´ıˇzi ˇci katedr´ala v Remeˇsi (obr. 2.1 a 2.2).
2.2.2
Anglie
V Anglii mezi nejv´ yznamnˇejˇs´ı stavby patˇr´ı katedr´ala v Salisbury a tak´e Westminstersk´e opatstv´ı v Lond´ ynˇe (obr. 2.3 a 2.4).
2.2.3
It´ alie
Z italsk´e architektury zmiˇ nme dvˇe stavby: Mil´ansk´ y d´om a katedr´alu v Sienˇe (obr. 2.5 a 2.6).
4
Kapitola 2. Gotika
Obr´azek 2.1: Notre-Dame v Paˇr´ıˇzi
2.3
Obr´azek 2.2: Katedr´ala v Remeˇsi
Gotika u n´ as
U n´as najdeme velk´e mnoˇzstv´ı gotick´ ych staveb. Ukaˇzme si ty nejv´ yznamnˇejˇs´ı. 1. Katedr´ala svat´eho V´ıta v Praze (obr. 2.7). 2. Chr´am svat´e Barbory v Kutn´e Hoˇre (obr. 2.8). 3. Bazilika Nanebevzet´ı Panny Marie v Brnˇe (obr. 2.9). 4. Porta Coeli v Pˇredkl´aˇstˇeˇr´ı u Tiˇsnova (obr. 2.10)
2.4
Znaky gotick´ e architektury
Mezi charakteristick´e znaky gotick´e architektury patˇr´ı oblouky, klenby a kruˇzby. Jednotliv´e znaky si rozebereme z geometrick´eho hlediska v dalˇs´ıch kapitol´ach. Mezi dalˇs´ı d˚ uleˇzit´e prvky patˇr´ı fi´aly ˇci chrliˇce. Charakteristick´a pro gotiku je vertik´alnost a ˇst´ıhlost.
Kapitola 2. Gotika
Obr´azek 2.3: Katedr´ala v Salisbury
Obr´azek 2.5: Mil´ansk´ y d´om
Obr´azek 2.4: v Lond´ ynˇe
Westminstersk´e
opatstv´ı
Obr´azek 2.6: Katedr´ala v Sienˇe
Kapitola 2. Gotika
Obr´azek v Praze
2.7:
Katedr´ala
svat´eho
V´ıta Obr´azek 2.8: Chr´am svat´e Barbory v Kutn´e Hoˇre
Obr´azek 2.9: Bazilika Nanebevzet´ı Panny Obr´azek 2.10: Porta Coeli v Pˇredkl´aˇsteˇr´ı u Tiˇsnova Marie v Brnˇe
Kapitola 3. Oblouky
Kapitola 3 Oblouky Tento konstrukˇcn´ı prvek nach´az´ıme u zejm´ena kleneb. Dalˇs´ı vyuˇzit´ı nach´azely tyto oblouky u oken, port´al˚ u ˇci opˇern´ ych syst´em˚ u. Pojd’me se pod´ıvat na jednotliv´e typy oblouk˚ u z geometrick´eho hlediska.
3.1
Lomen´ y oblouk
Rozliˇsujeme tˇri typy lomen´ ych oblouk˚ u: z´akladn´ı, zv´ yˇsen´ y a sn´ıˇzen´ y.
3.1.1
Z´ akladn´ı lomen´ y oblouk
Postup konstrukce 1. AB; |AB| = a 2. k; k(A; r = a) 3. l; l(b; r = a) 4. C; C ∈ k ∩ l
Na obr´azku m˚ uˇzete vidˇet uk´azku lomen´eho oblouku z katedr´aly ve Strasbourgu.
8
Kapitola 3. Oblouky
3.1.2
Lomen´ y oblouk zv´ yˇ sen´ y Postup konstrukce 1. AB; |AB| = a 2. S1 , S2 ; S1 ∈← AB, S2 ∈← BA 3. k; k(S1 ; r = |S1 B|) 4. l; l(S2 ; r = |AS2 |) 5. C; C ∈ k ∩ l
3.1.3
Lomen´ y oblouk sn´ıˇ zen´ y
Postup konstrukce 1. AB; |AB| = a . 2. S; S = A = B 3. S1 , S2 ; S1 ∈← AS, S2 ∈← SB 4. k; k(S1 ; r = |S1 B|) 5. l; l(S2 ; r = |AS2 |) 6. C; C ∈ k ∩ l
3.2
P˚ ulkruhov´ y oblouk
Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym obloukem je p˚ ulkruhov´ y. Jeho konstrukce nen´ı v˚ ubec sloˇzit´a. Jedn´a se o jednoduch´ y p˚ ulkruh. Postup konstrukce 1. AB; |AB| = a . 2. S; S = A = B 3. k; k(S; r = |AS|)
3.3
Segmentov´ y oblouk
Segmentov´ y oblouk takt´eˇz nen´ı v˚ ubec sloˇzit´ y. Jedn´a se pouze o kruhovou u ´seˇc.
Kapitola 3. Oblouky
Postup konstrukce 1. AB; |AB| = a 2. o; o = {X; |AX| = |XB|} 3. S1 ; S1 ∈ o 4. k; k(S; r = |AS|)
3.4
Tudorsk´ y oblouk
Uˇz m´ırnˇe sloˇzitˇejˇs´ım je Tudorsk´ y oblouk. Ten se vyuˇz´ıval pˇrev´aˇznˇe v obdob´ı pozdn´ı gotiky. 4. o; o = {X; |AX| = |XB|} 5. O; O ∈ o, |OS| = |SS1 | 6. k; k(O; r = |OS|) 7. S3 ; S3 ∈↔ OS2 ∩ k 8. S4 ; S4 ∈↔ OS1 ∩ k 9. k1 ; k1 (S1 ; r = |AS1 |) 10. k2 ; k2 (S2 ; r = |S2 B|) 11. C; C ∈ k1 ∩ OS1 . Postup konstrukce 1. AB; |AB| = a . 2. S; S = A = B . . 3. S1 ; S1 = A = S, S2 ; S2 = S = B
3.5
12. D; D ∈ k2 ∩ OS2 . 13. k3 ; k3 (S3 ; r = |S3 D|) 14. k4 ; k4 (S4 ; r = |S4 C|) 15. E; E ∈ k3 ∩ k4
Osl´ı hˇ rbet
Tento v gotice obl´ıben´ y oblouk na rozd´ıl od ostatn´ıch plnil pouze dekorativn´ı funkci, nikoliv nosnou. Postup konstrukce
. 3. S; S = A = B
1. AB; |AB| = a
4. p; p k↔ AB; C ∈ p
2. C; |AC| = |BC| = |AB|
5. q; q ⊥↔ AB; A ∈ q
Kapitola 3. Oblouky
6. r; r ⊥↔ AB; B ∈ r 7. D; D ∈ p ∩ q 8. G; G ∈ p ∩ r 9. k; k(S; r = |AS|) 10. k1 ; k1 (D; r = |AS|) 11. k2 ; k2 (G; r = |AS|)
3.6
´ Ukoly pro studenty
Pˇ r´ıklad 1. Pokuste se naj´ıt ve sv´em okol´ı pˇr´ıklady uveden´ ych oblouk˚ u.
Kapitola 4. Klenby
Kapitola 4 Klenby Klenbou rozum´ıme nosnou konstrukci, kter´a uzav´ır´a ˇca´st prostoru. Prvn´ı doloˇzen´e klenby poch´az´ı jiˇz z roku okolo 3300 pˇred naˇs´ım letopoˇctem, nejstarˇs´ı dochovan´e pak z 12. stolet´ı pˇred naˇs´ım letopoˇctem. My se pod´ıv´ame na klenby opˇet z geometrick´eho hlediska. Prakticky se nejedn´a o nic jin´eho, neˇz o plochy ˇci pr˚ unik v´ıce ploch.
4.1
Klenba valen´ a
Valen´a klenba je nejjednoduˇsˇs´ı klenbou a jedn´a se o polovinu v´alcov´e plochy.
ˇ Na obr´azku vid´ıme uk´azku valen´e klenby z hradu Spilberk.
12
Kapitola 4. Klenby
4.2
Klenba kˇ r´ıˇ zov´ a
Kˇr´ıˇzov´a klenba vznikne pr˚ unikem dvou v´alcov´ ych ploch, kde se zachovaj´ı vnˇejˇs´ı ˇca´sti v´alcov´ ych ploch.
Na obr´azku vid´ıme uk´azku kˇr´ıˇzov´e klenby v katedr´ale v Remeˇsi.
4.3
Klenba kl´ aˇ stern´ı
Kl´aˇstern´ı klenba vznikne podobnˇe jako klenba kˇr´ıˇzov´a pr˚ unikem dvou v´alcov´ ych ploch, kde se ale tentokr´at zachovaj´ı vnitˇrn´ı ˇca´sti v´alcov´ ych ploch.
Kapitola 4. Klenby
4.4
Klenba hvˇ ezdov´ a
Hvˇezdov´a klenba je jiˇz o nˇeco sloˇzitˇejˇs´ı. Vznikne opˇet jako pr˚ unik v´alcov´ ych ploch, kter´e vˇsak maj´ı lomen´e oblouky jako sv´e podstavy.
ˇ eho Brodu. Na obr´azku vid´ıme uk´azku hvˇezdov´e klenby u hradu Tochuraz u Cesk´
4.5
´ Ukoly pro studenty
Pˇ r´ıklad 2. Vyhledejte ve sv´em okol´ı stavby, ve kter´ ych se vyskytuj´ı uveden´e klenby. Pˇ r´ıklad 3. Zn´ate i dalˇs´ı druhy kleneb? Pokuste se urˇcit, jak´ ym zp˚ usobem jsou konstruov´any.
Kapitola 5. Kruˇzby
Kapitola 5 Kruˇ zby Posledn´ım konstrukˇcn´ım prvkem, kter´ y si uk´aˇzeme, jsou kruˇzby. Ty maj´ı nejen zdobnou funkci, ale ˇreˇs´ı i ˇcistˇe technick´ y probl´em. Pro gotickou architekturu jsou typick´a velk´a okna, ovˇsem bylo probl´emem vyrobit tak velk´a skla. To vyˇreˇsily pr´avˇe kruˇzby.
Pojd’me se nyn´ı pod´ıvat na konstrukce kruˇzeb. Nejprve si uk´aˇzeme konstrukce nˇekter´ ych z´akladn´ıch prvk˚ u, kter´e se v kruˇzb´ach vyskytuj´ı. Prvn´ımi prvky budou trojl´ıstek, ˇctyˇrl´ıstek a pˇetil´ıstek vepsan´ y do kruhu. Tyto prvky jdou konstruovat dvˇema zp˚ usoby. V prvn´ım se vyuˇzije stejnolehlosti, ve druh´em vlastnosti kruˇznice vepsan´e troj´ uheln´ıku. Touto cestou se vyd´ame i my. Protoˇze je uveden´a konstrukce t´emˇeˇr stejn´a pro vˇsechny tˇri prvky, uved’me si ji hned na zaˇca´tku dalˇs´ı sekce.
5.1
Trojl´ıstek, ˇ ctyˇ rl´ıstek a pˇ etil´ıstek v kruhu
Nejprve rozdˇel´ıme kruh na tˇri (ˇctyˇri resp. pˇet) stejn´e v´ yseˇce. Sestrojme rovnoramenn´e troj´ uheln´ıky, jejichˇz ramena budou leˇzet na polopˇr´ımk´ach vymezuj´ıc´ıch jednotliv´e v´ yseˇce a jejichˇz pˇrepony se budou dot´ ykat z´akladn´ı kruˇznice. Nyn´ı jiˇz staˇc´ı do tˇechto troj´ uheln´ık˚ u vepsat kruˇznice. 15
Kapitola 5. Kruˇzby
5.2
Sf´ erick´ y troj´ uheln´ık a sf´ erick´ yˇ ctyˇ ru ´ heln´ık
Sf´erick´ y troj´ uheln´ık a sf´erick´ y ˇctyˇru ´heln´ık jsou ˇcast´ ymi prvky. Konstrukce sf´erick´eho troj´ uheln´ıku je snadn´a. Staˇc´ı sestrojit oblouky nad stranami rovnostrann´eho troj´ uheln´ıku se stˇredy v protˇejˇs´ıch vrcholech. Konstrukce sf´erick´eho ˇctyˇru ´heln´ıku je podobn´a. Staˇc´ı sestrojit oblouky nad stranami ˇctverce se stˇredy ve stˇredech protˇejˇs´ıch stran.
Kapitola 5. Kruˇzby
5.3
Mniˇ ska
Dalˇs´ım zaj´ımav´ ym prvkem je mniˇska. Konstrukce je ponˇekud sloˇzitˇejˇs´ı. V´ ychoz´ı konstrukc´ı je lomen´ y oblouk. Vych´azejme tedy z nˇeho. Postup konstrukce . 1. S1 ; S1 = A = B . 2. S2 ; S2 = A = S1 . 3. S3 ; S3 = S2 = S1 . 4. S4 ; S4 = S1 = B . 5. S5 ; S5 = S1 = S4
11. T1 ; T1 ∈ p ∩ lomen´ y oblouk 12. k; k(O; r = |OT1 |)
6. o; o = {X | |AX| = |BX|} 7. O; O ∈ o; |OS1 | = |BS2 | 8. k1 ; k1 (S3 ; r = |AS3 |) 9. k2 ; k2 (S5 ; r = |S5 B|) 10. ↔ p; p =↔ AO
5.4
Tˇ ri sf´ erick´ e troj´ uheln´ıky vepsan´ e do kruhu
Posledn´ı konstrukc´ı, na kterou se pod´ıv´ame, jsou tˇri sf´erick´e troj´ uheln´ıky vepsan´e do kruhu. Rozdˇelme kruh na ˇsest stejn´ ych v´ yseˇc´ı. Kaˇzd´a z nich reprezentuje rovnostrann´ y troj´ uheln´ık. Z kaˇzd´eho druh´eho potom udˇel´ame sf´erick´ y troj´ uheln´ık.
5.5
´ Ukoly pro studenty
Pˇ r´ıklad 4. Dok´azali byste navrhnout jeˇstˇe dalˇs´ı konstrukci trojl´ıstku, ˇctyˇrl´ıstku a pˇetil´ıstku? Pˇ r´ıklad 5. Sestrojte ˇsestil´ıstek vepsan´ y do kruhu.
Kapitola 5. Kruˇzby
Pˇ r´ıklad 6. Vyhledejte ve sv´em okol´ı pˇr´ıklad nˇejak´e kruˇzby. Pod´ıvejte se na z´akladn´ı prvky, ze kter´ ych je sloˇzena. Dok´aˇzete ji sestrojit?
Kapitola 6. Z´avˇer
Kapitola 6 Z´ avˇ er Vˇeˇr´ım, ˇze v´am tento text bude uˇziteˇcn´ y pˇri v´ yuce geometrie. Tento text n´am dal pˇrehled z´akladn´ıch konstrukˇcn´ıch prvk˚ u, ze kter´ ych se skl´adaj´ı prvky obt´ıˇznˇejˇs´ı a kter´e tak obdivujeme u gotick´e architektury.
19
Literatura
Literatura [1] Hylsk´a, B.: Geometrie ˇcesk´ych gotick´ych katedr´al, Masarykova univerzita, 2010. [2] Tesaˇrov´a, A.: Geometrie v gotick´e architektuˇre, Masarykova univerzita, 2008. [3] http://www.wikipedia.org
20