NÁZORNOST A JEJÍ VYUŽITÍ PŘI VÝUCE MATEMATIKY

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA

KATEDRA MATEMATIKY

NÁZORNOST A JEJÍ VYUŽITÍ PŘI VÝUCE MATEMATIKY

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Vedoucí diplomové práce: RNDr. Růžena Blažková, CSc.

Vypracovala: Jitka Šimorová

Brno 2008

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracovala samostatně a použila jen prameny uvedené v seznamu literatury. Souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykově univerzitě v Brně v knihovně Pedagogické fakulty a zpřístupněna ke studijním účelům.

--------------------------Jitka Šimorová

Děkuji paní RNDr. Růženě Blažkové, CSc. za odborné rady a připomínky při tvorbě této diplomové práce.

Bibliografická citace: ŠIMOROVÁ, Jitka. Názornost a její využití při výuce matematiky: diplomová práce: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, 2008. 132s. Vedoucí diplomové práce RNDr. Růžena Blažková, CSc.

Anotace: Cílem mé práce je názornost a její využití při výuce matematiky a také využití pomůcek při přímé výuce některých matematických témat. Ve své práci se zaměřuji na problematiku názornosti v historickém pojetí i v dnešní době. Provedla jsem výzkumné šetření dotazníkovou formou, z něhož vyplynulo, jaké pomůcky používají učitelé při výuce matematiky.

Annotation: My aim of this thesis is clearness and its exploitation in math education and also use teaching aids in direct education in several mathematics topics. In my thesis I direct myself to the historic conception and also in their represent in this time. I did research in the form of questionnaires which was the result which teaching aids the teachers use in their education.

Klíčová slova: Princip názornosti, motivace, Rámcový vzdělávací program, školní vzdělávací program, výukové pomůcky.

Key words: Principle of clearness, motivation, Framework education programme, school education programme, teaching aids.

OBSAH: Úvod………………………………………………………….………..………………. 7

1. Historie principu názornosti……………………………..…………….…………...9 1.1. Od renesance ke koncepci Rousseauově…………………………………….…...9 1.2. Od Pestalozziho k Deweyovi..……………………...…………………………..13 1.3. Vývoj pojetí názornosti v českých zemích….…………………...……………..16

2. Motivace ve výuce…………………..………………………………...…………....19 2.1. Motivace v psychologii a pedagogice……..…………………………...…….....19 2.1.1. Motivace lidského chování……..……………………………..…….…..19 2.1.2. Motivace ve školní praxi…………….……………………....…........…..20 2.1.3. Motivace v matematice……..……………………………….…..……....22 2.2. Formalismus ve vyučování……………………………………………...……...23

3. Matematika a její postavení v rámcovém vzdělávacím programu..…..….…….25 3.1. Charakteristika vzdělávací oblasti…….………………………………..….…...25 3.2. Klíčové kompetence……………………………………………………..….….26 3.3. Školní vzdělávací program.……………………………………………...…......29 3.3.1. 6. ročník…………………………………………………………...…….29 3.3.2. 7. ročník…………………………………………………………...…….34 3.3.3. 8. ročník…………………………………………………………...…….38 3.3.4. 9. ročník…………………………………………………………...…….42

4. Klasifikace učebních pomůcek…...………………………………………...……..46

5. Využití názoru a pomůcek při praktické výuce matematiky..…………...……. 51 5.1. Využití názoru a pomůcek při budování základních pojmů v číselných oborech……………………………………………………………….....…..... 51 5.2. Témata navazující na číselné obory...……………………………….…..…..…61 5.3. Názornost v geometrii…………………………………………….……..……..69 5.4. Pracovní listy……………………………………….……………….…..….….97

6. Výzkumné šetření………………………………………………………....…….119

Závěr………………………………………………………………………..…..…..125

Resumé……………………………………………………………………....……..126

Seznam použité literatury…………………………………………………............127

Seznam příloh………………………………………………………………………130

ÚVOD V letech 2001 až 2004 vzniká v návaznosti na Bílou knihu Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Jedná se o zásadní dokument, který konkretizuje požadavky státu vymezením základního rámce v podobě cílů, obsahu a očekávaných výstupů v oblasti základního vzdělání. Rámcový vzdělávací program dává každé škole určitou míru volnosti v tom, kdy zařazovat které učivo, jaká bude jeho hodinová dotace, jak jej předávat žákům apod. Hlavní změnou je, že škola se mění směrem k žákovi. Pro svoji diplomovou práci jsem si vybrala téma Názornost a její využití ve výuce matematiky. Domnívám se, že aby vyučování matematice na školách nebylo pouze formální a málo zajímavé, je vhodné při něm využit názornosti a vhodných didaktických pomůcek, což výuku zefektivní. Využití vhodných didaktických pomůcek pro výuku matematiky je důležité tím, že když žáci něco jen slyší, tak to rychle zapomenou, ale co i vidí a můžou si vyzkoušet, to jim zůstane v paměti déle (užití základního principu - názornosti). Proto se ve své práci věnuji využití pomůcek při přímé výuce. Cílem mé diplomové práce je vytvoření portfolia příkladů pro výuku podporovanou pomůckami na 2. stupni základní školy a jejich zařazení do výuky podle školního vzdělávacího programu, který vypracuji podle Rámcového vzdělávacího programu a pravidel v něm vymezených. V teoretické části se věnuji historii principu názornosti – domnívám se, že když chce člověk něco rozvíjet, tak se nejdříve musí seznámit s jeho historií. Ve své práci se zabývám také pojmem motivace, která je důležitá při probírání nového učiva, ale i v dalších hodinách. Svoji pozornost zaměřím i na formalismus ve výuce, který s tímto tématem určitě souvisí. Jedna z kapitol je věnovaná Rámcovému vzdělávacímu programu a jeho oblasti Matematika a její aplikace. Na tuto kapitolu navazuje kapitola věnována školním pomůckám obecně a od obecného přejdu k jednotlivým pomůckám, které zařadím k učivu podle školního vzdělávacího programu. Všechny pomůcky jsem vyrobila a přiřadila jsem je k příkladům, které lze použít při výuce matematiky. Neomezuji se jen na pouhý výčet pomůcek, které lze při výuce využít, ale uvádím je ve spojení s učivem, pro které jsou používány.

7

V další části je rozbor mého šetření u učitelů na základních školách i u učitelů začátečníků, tím myslím nás studentů pedagogické fakulty. Formou dotazníků se snažím odpovědět na otázky týkající se používání pomůcek při výuce. Využívají učitelé pomůcky při výuce? Jaké pomůcky využívají nejčastěji? Používají učitelé při výuce metodické pomůcky (žák dojde k cíli svým poznáním)? Vyrábějí si učitelé pomůcky sami? U kterých témat využívají učitelé pomůcky nejčastěji a u kterých témat je nedostatek pomůcek?

8

1. Historie principu názornosti Princip názornosti je jedním ze základních pedagogických principů, který se uplatňuje „ve všech formách v celém výchovně vzdělávacím procesu na všech stupních škol. Rozbor názornosti umožňuje proniknout k podstatě pedagogického procesu, pochopit jeho komplexní podmíněnost i kořeny četných novodobých reformních tendencí, které postavily tento princip spolu s aktivností, systematičností a přiměřeností na čelné místo v pedagogickém myšlení“. [Jůva 1966]

1.1. Od renesance ke koncepci Rousseauově První zmínky o pedagogickém principu názornosti jsou již v antické výchově ve scholastické škole, ve které byly jediným pramenem poznání slovní výklad a studium textů. U renesančních filosofů a pedagogů byl princip názornosti jedním z vůdčích pedagogických principů, a to v těsné spojitosti s obecným požadavkem výchovného realismu, zdůrazňujícího znalost věcí před znalostí slov, a s požadavkem rozvoje aktivity žáků ve vyučovacím procesu.

V 16. století se objevily první snahy o nový výchovný systém v Itálii a v Německu, které vyústily v syntetičtější řešení výchovné problematiky především v dílech francouzských a anglických myslitelů. Ludvík Vives zdůrazňuje, že „při poznávání přírodních věd se nesmíme spokojovat snad jen tím, co podávají staří klasikové, nýbrž sami pozorovat a zkoumat přírodu, navštěvovat dílny řemeslníků, provádět pitvy atd. Všechno vyučování má vést k samočinnosti a samostatnosti žáků a postupovat přirozenou cestou psychologickou od dojmů k představám a myšlení.“ [Jůva 1966] Z dalších myslitelů je Francois Rabelais, který vyzvedá ve svém díle „Gargantua a Pantagruel“ vlastní žákovo pozorování přírody i soustavné pozorování pracovních činností v dílnách jako prostředek vzdělávání vedle čtení z knih a výkladu učebnice. Stejně s Rabelaisem klade ve svých pedagogicky zaměřených esejích důraz na pozorování okolí a skutečného života i Michel de Montaigne. „Při učení může nám být knihou všechno, co se odehrává před našima očima … Náš žák se bude vzdělávat v komnatě, v zahradě, za stolem i v posteli, o samotě i ve společnosti, ráno a večer, v každou hodinu a na každém místě“. [Jůva 1966] 9

Princip názornosti hraje i významnou roli v pedagogických názorech raných utopických socialistů. Např. Tomas More ve své „Utopii“ opírá veškeré vyučování mládeže o její vlastní pozorování a zkušenosti. Problematika názornosti prolíná i celé pedagogické dílo Jana Amose Komenského. Jan Amos Komenský se narodil 28. 3. 1592 v Uherském Brodě (jak je uvedeno v Naardenu na náhrobní desce). Po studiu na univerzitách v Herbornu a Heidelbergu učil od roku 1614 na bratrské škole v Přerově a od roku 1618 byl duchovním správcem ve Fulneku. Po bitvě na Bílé hoře v roce 1620 se musel skrývat před pronásledováním protireformace u svých přátel. Roku 1628 byl nucen odejít natrvalo z vlasti. Nejprve do polského Lešna, kde zvelebil bratrské školství a kde žil do roku 1656 s přestávkami vyplněnými pobytem v Anglii, ve Švédsku a v Blatném Potoce v Uhrách. Po požáru Lešna se roku 1656 uchýlil do Amsterodamu, kde 15. listopadu 1670 zemřel. Komenský podal ve svých pedagogických spisech ucelený výchovný systém, jehož prvky dodnes neztratily svou hodnotu. Rozpracoval základní didaktické principy, které jsou dosud platné (princip názornosti, systematičnosti, aktivnosti a přiměřenosti). Zajímavé podněty přinesl také v oblasti školské reorganizace. Doporučoval školu pro veškerou mládež členěnou na čtyři šestileté stupně: do 6 let škola mateřská (tzn. výchova v rodině), od 6 do 12 let škola obecná v mateřském jazyce, od 12 do 18 škola latinská v univerzálním světovém jazyce a od 18 do 24 let akademie. Doporučuje systém vyučování ve třídě. Mezi nejznámější díla patří: Informatorium školy mateřské, Brána jazyků otevřená, Nejnovější metoda jazyků, Škola na jevišti, Svět v obrazech, Velká didaktika. [Pažourková 2007] Podnětem k sepsání Velké didaktiky byl nedostatek kvalitních učitelů v českých zemích. Kniha vyšla v češtině i v latině a stala se pevným uceleným vědeckým dílem. Obsahuje 33 kapitol. V 17. kapitole se píše: „Nejdříve se mají cvičit smysly, pak paměť, potom porozumění a konečně soudnost. Neboť tak to jde za sebou, poněvadž vědění začíná názorem a přechází představováním v paměť, potom se postupem od jednotlivostí tvoří porozumění věcí, konečně se o věcech náležitě pochopených koná soud, aby vědění bylo pevné“. [Maňák 1990/1991] Pozoruhodná je i myšlenka o stupních názornosti, které začínají převáděním konkrétních předmětů a jevů, pokračují přes zobrazení a vedou až k schematickému 10

podchycení rysů poznávaného objektu. Ve 20. kapitole Komenský uvádí: „Někdy lze místo věcí, když jich není, užít bez náhrady, totiž modelů nebo obrazů, pořízených za účely školskými“. [Maňák 1990/1991] V 29. kapitole Komenský píše, jak by měla vypadat ideální škola, v níž se vyučuje v jazyce mateřském. Jedná se o školu pro žáky od 6 do 12 let. Mládež se má naučit tomu, co bude potřebovat po celý život. Hlavně číst, psát, počítat, měřit, ale i zpívat, vypravovat, dobře se chovat a znát také něco o řemeslech. Žáci by měli být rozděleni do 6 tříd – ty by měly být odděleny. Každá třída by měla mít vlastní knížky. Vzdělání by se měly věnovat 4 hodiny denně. Pedagogická činnost J. A. Komenského velmi prospěla vyučování počtům. V roce 1632 totiž Komenský početní vyučování přiřadil k čtení a psaní jako rovnocenný předmět a chtěl, aby se počtům učily děti již v obecné škole. Z jeho koncepce výchovy vyplývá zlaté pravidlo pro učitele: „Proto budiž učitelům zlatým pravidlem, aby všechno bylo předváděno všem smyslům, kolika možno“. [Maňák 1990/1991]. „Totiž věci viditelné zraku, slyšitelné sluchu, vonné čichu, chutnatelné chuti a hmatatelné hmatu, a může-li něco být vnímáno najednou více smysly, budiž to předváděno více smyslům“. [Jůva 1966] Podle Komenského usnadňuje současným působením na několik smyslových orgánů práci při výuce. Žádá, aby byl vždy spojován sluch se zrakem a jazyk s rukou. Klade totiž důraz na motorickou činnost žáků při učení. Doporučuje, aby žáci byli naváděni zapisovat všechno, co slyší nebo čtou v knihách, do svých deníků, což jednak podporuje jejich představivost a jednak usnadňuje vzpomínání. Princip názornosti zajišťuje Komenský nejen smyslovým vnímáním skutečných předmětů a motorickou manipulací s nimi, ale i bohatým využitím různých názorných pomůcek. „Někdy lze místo věcí, když jich není, užití náhrady, totiž modelů nebo obrazů, pořízených za účely školskými“. [Jůva 1966] Princip obrazného znázornění každého předmětu, o němž se žák učí, uplatňuje Komenský ve svém spise „Orbis pictus“, kde čísla u významných slov textu odkazují vždy k příslušnému obrázku. Princip názornosti zdůrazňuje jak při poznávání skutečnosti, tak i při rozvíjení dovedností a návyků. Úloha názornosti jako jednoho z hlavních principů je v celém didaktickém systému J. A. Komenského jasně patrna z jeho základního didaktického zákona: „Všemu vyučujeme a učíme se příklady, pravidly a cvičeními“. [Jůva 1966] 11

Ve svých dílech Komenský názornost nepřeceňuje, ale pouze ji po zásluze doceňuje. Správně ji chápe jako jedno hledisko celého pedagogického procesu, jako princip, který je spjatý s ostatními principy. Názornost je podmínkou chápání učiva, jeho rychlého a trvalého osvojování i radostného vyučování. Je jedním z výchozích principů, není ale určujícím principem, kterému by se přizpůsoboval celý vyučovací proces.

V 17. století rozpracoval pedagogický princip názornosti i anglický filosof John Locke. Jeho hlavní myšlenkou je, že všechno poznání vyvodíme ze zkušeností. Lidskou duši chápe při narození jako „prázdnou desku“, na kterou zkušenost zapisuje jednotlivé dojmy. Princip názornosti obecně Locke neformuluje, ale chápe ho jako těsnou spojitost s požadavkem přirozené, hravé a příjemné výchovně vzdělávací metody. Výchozím úkolem pedagoga je podle něj utvoření jasných a jednoduchých dětských představ, vzájemně navazujících logicky. Hlavní podmínkou v přístupnosti učebních oborů je možnost smyslového vnímání předmětů: „možno děti učiti všemu, co se naskytá jejich smyslům, zejména zraku, do té míry, jak jen paměť jejich jest vytříbena“. [Jůva 1966] Stejně jako Komenský si Locke uvědomuje nedostatky verbálního jazykového vyučování a žádá o spojitost jazykového učení s věcným vyučováním, které bude opřeno o názor.

V 18. století na základě Lockovy teorie vyrostla pedagogická koncepce francouzského filozofa Jeana Jaquesa Rousseaua. Tato koncepce se objevuje hlavně v jeho pedagogickém díle „Emil čili o výchově“, kde princip názornosti hraje hlavní úlohu. Podle Rousseaua je přímý smyslový názor skutečnosti východiskem veškeré výchovně vzdělávací práce. Základním úkolem pedagoga je podle něj soustavný rozvoj smyslů, pěstování citlivosti smyslových orgánů a stálé zásobení smyslů dostatečně bohatými a diferencovanými podněty vnějšího světa. Rousseau tvrdí, že smysly jsou našimi prvními učiteli, nelze je nahradit ani slovním výkladem či knihou. Prvním smyslem, který Rousseau rozvíjí, je hmat. Tento smysl má význam při poznávání velikosti, tvaru, váhy, tvrdosti i teploty předmětů. Vedle hmatu doporučuje pěstovat i ostatní smysly. Zrak zabírá velké prostory a proto klame nejvíce z našich smyslů, je třeba ho stále kontrolovat hmatem a rozvíjet v odhadování prostorových poměrů při praktických cvičeních: při kreslení, při rýsování i při pohybových hrách. Všechny 12

smyslové zkušenosti jako východiska poznání vedou Rousseaua k závěru, že vědomosti nemají být žáku sdělovány, ale že k nim má sám dospívat vlastní činností a vlastním objevováním. Jestliže u Komenského nebo u Locka byl názor skutečných předmětů a jevů pouze formou uplatnění principu názornosti, vedle níž rozpracovávali celý systém názorných pomůcek, u Rousseaua je názor skutečných předmětů a jevů jedinou formou názoru. Rousseau se staví skepticky proti názorným pomůckám. V jeho pedagogickém systému je základní vzdělávací metodou exkurze. Jaký je význam tohoto filozofa v historii principu názornosti? Rousseau povýšil názornost na ústřední pedagogický princip a jemu přizpůsobil celý výchovně vzdělávací proces. Ve svých dílech ukázal důležitost smyslů v životě člověka a vyvodil i zdůvodnil požadavek, aby byly stále soustavně rozvíjeny. Jeho úzké pojetí názornosti jako přímého nazírání skutečných předmětů a jevů a s tím spjaté negativní stanovisko k názorným pomůckám ho nutí omezit láku, kterou žák poznává, jen na okruh jevů přístupných přímému názoru a tím vyloučit systém z výchovně vzdělávací práce. Úloha učitele je omezena na roli pomocníka při objevitelské činnosti.

1.2. Od Pestalozziho k Deweyovi Z Rousseauova pojetí názornosti vyšel i švýcarský pedagog Johann Heinrich Pestalozzi. Stejně jako Komenský a Rousseau usiluje i on o výchovu, která by byla plně ve shodě s dětskou přirozeností. Všechna jeho pozorování vedou k závěru, že základním rušivým zásahem do dětského života je přervání přirozeného nazírání skutečnosti a její nahrazení bezduchými písmeny v okamžiku, kdy dítě vstupuje do školy. Pestalozzi, na rozdíl od Rousseaua, princip názornosti neabsolutizuje, ale pojímá ho v těsné souvislosti s principy jinými, hlavně s principem soustavnosti (který vyzdvihuje) a s principem uvědomělosti. Hovoří o názornosti jako o základním principu vzdělávacího procesu. „Stanovil jsem jako nejvyšší zásadu vyučování, že uznávám názor za absolutní základ veškerého poznání“. [Jůva 1966] Názorné vyučování má podle Pestalozziho současně vést žáka ke správnému, diferencovanému, analyticko-syntetickému vnímání skutečnosti, a to především z hlediska tří základních elementů vzdělání. Hlavními cíli při nazírání jsou: 13

a) „aby se děti naučily dívat se na každý vnímaný předmět jako na jednotu, tj. jako na předmět oddělený od toho, s čím je zdánlivě spojen, b) aby se naučily poznávat formu každého předmětu, tj. jeho míru a poměr (odhad), c) aby byly co nejdříve seznamovány s celým rozsahem slov a názvů všech předmětů, které poznaly“. [Jůva 1966] Formy názornosti chápe Pestalozzi široce. Jsou jimi samy předměty, jevy a názorné pomůcky, především obrázky, jimž přidává hlavní význam. Vyzvedá i význam názorných knih, kterým musí předcházet slabikáře, aby názorem ujasnily a osvětlily dětem ty pojmy, které jim chceme vštípit řečí. Názornosti můžeme dosáhnout tím, že se při vytváření nových představ opíráme o zásobu představ známých. Jeho pojetí názornosti je hodně podobné názorům J. A. Komenského. U obou se setkáváme s tím, že názornost chápou jako výchozí princip, těsně spjatý s ostatními principy, především s principem uvědomělosti a soustavnosti. Setkáváme se také s rozmanitostí forem a metod názorného vyučování. Přínos lze vidět v tom, že v procesu nazírání ukázal, že názorné poznávání je cestou k utváření vnitřních názorů žáka, cestou jak pronikat k podstatě jevů a utvářet pravdivé pojmy.

Z dalších zastánců pedagogického principu názornosti je německý pedagog Adolf Diesterweg. Tvrdí: „Všechno pravé vědění pochází z názorného poznávání“. Zásada „vyučuj názorně“ je „hlavní zásada

novějšího vyučování“. Při výchově

mládeže musí veškeré vyučování spočívat na principu názornosti“. [Jůva 1966] Zásada názornosti musí prostupovat veškerým výchovně vzdělávacím procesem a nelze ji omezovat na základní vyučování nebo jen na některé předměty. Názorně vyučovat znamená podle Diesterwega stejně jako u Komenského vycházet vždy z příkladu a nikoliv z pravidla. Pravidla jsou abstrakcemi příkladů, principů, reflexemi skutečnosti. Bez příkladů nemůžeme pochopit pravidla, bez skutečnosti principy. Z vůdčího principu názornosti Diesterweg vyvozuje další didaktická pravidla: od blízkého ke vzdálenému, od jednoduchého ke složitějšímu, od snadnějšího k těžšímu, od známého k neznámému i osobitý princip „nevyučuj vědecky, nýbrž elementárně“, čímž se rozumí nevycházet od obecných zákonů, ale od elementárních poznatků. 14

V 19. století v Rusku působí zakladatel ruské národní pedagogické školy Konstantin Dmitrijevič Ušinskij, který také věnuje velkou pozornost principu názornosti. Názorné vyučování chápe jako základní a neodlučitelnou součást učení se mateřskému jazyku. Podle Ušinského je názorné vyučování takové vyučování, které není postaveno na abstraktních představách a slovech, nýbrž na konkrétních obrazech, které dítě vnímá. Do pojmu názornosti zahrnuje skutečnosti i jejich obrazů, tak využití dosavadní zásoby žákových představ při výkladu nové látky. Představte si, že vysvětlujete dítěti velmi jednoduchý pojem a ono vám nerozumí, ale vysvětlujete-li dítěti složitý pojem a zároveň mu ukážete obrázek pochopí rychle. Názorné vyučování, odpovídající základním principům i zvláštnostem dětské psychiky a mimořádnému dětskému zájmu o obrázky, má podle Ušinského mnohostranný význam: a) „názorné vyučování je východiskem a podmínkou rozvoje žákova správného myšlení – musíme učit děti správně pozorovat, b) názorné vyučování podmiňuje hluboké a trvalé zapamatování předmětů a jevů i obecných závěrů, z nich vyvozených, c) názorné vyučování má velký význam i pro rozvoj samostatného dětského jazykového vyjadřování, d) názorné vyučování má konečně velký význam i z hlediska přípravy žáků pro život.“ [Jůva 1966] Z mnohostranného významu názornosti vyplývá Ušinskému, že názornost je „nezbytnou a nevyhnutelnou složkou“ elementárního vyučování. Chápe ji převážně opticky, a to především jako pozorování obrazů.

Komenský, Rousseau, Pestalozzi

a Ušinskij položili pevné základy pojetí

principu názornosti. I když se jejich koncepce v mnohém liší a jednotliví autoři vyzvedávají různé stránky principu názornosti, shodují se v uplatnění tohoto principu při výchovně vzdělávacím procesu. Další, kdo se zajímá o princip názornosti byl Herbert Spencer, který vidí názornost jako jeden ze základních principů, který je těsně spjat s principem aktivnosti a samostatné práce žáků a s požadavkem radostného a příjemného vyučování. Stejně jako Komenský a Pestalozzi spojuje princip názornosti s ideou přirozené výchovy. A obdobně jako Diesterweg žádá neomezovat názornost jen na jednoduché vyučování, jak se často v praxi činí, ale vyučovat názorně v každém oboru a v každém věku. 15

Z rousseauovských a spencerovských kořenů vyrůstá koncepce názornosti Johna Deweye. Jeho hlavním zdrojem poučení je kniha a vyprávění. Dewey je proti umělým formám názoru. Obdobně jako Rousseauovo pojetí i pojetí Deweyovo nese některé základní nedostatky: a) izoluje a přeceňuje zkušenost ve výchovně vzdělávacím procesu na úkor soustavného

myšlenkového

zpracování

získaného

materiálu

a

jeho

systematizace, b) nedoceňuje úlohu názorného živého slova a roli učitele vůbec, c) rozrušuje systém v osvojování učební látky, který tak vyzvedali již Komenský, Pestalozzi i Herbart, d) jednostranně vyzvedá v rozvoji poznávání úlohu pracovní činnosti žáků. Deweyovská koncepce názornosti, chápaná jako důležitá stránka aktivizace výchovně vzdělávacího procesu, se stala východiskem nebo inspirací pro mnoho dalších pedagogických koncepcí, ve kterých byla mnohdy názornost povyšována z pedagogického prostředku na vlastní cíl výchovně vzdělávací práce.

1.3. Vývoj pojetí názornosti v české pedagogice V naší pedagogice má princip názornosti velkou tradici, už koncepce Jana Amose Komenského představuje i dnes jedno z nepropracovanějších děl této pedagogické zásady. V duchu Komenského myšlenek a na základě znalostí jeho pedagogického díla píše Jan Vlastimír Svoboda svoji „Školku čili prvopočáteční, praktické, názorné, všestranné vyučování malých dítek…“. Již v titulu podtrhuje, že princip názornosti je jedním z hlavních principů celé koncepce předškolní výchovy a elementárního vyučování. [Jůva 1966] Principem názornosti se zabývá ve svých úvahách o výchově a vyučování ve spise „O nejlepším státě“ Bernard Bolzano. Vedle systematických a přístupných učebnic doporučuje názorné pomůcky – obrazy a modely. Celou pedagogickou činnost provází princip názornosti i Karla Slavoje Amerlinga. Názorné vyučování chápe nejen jako princip, ale i jako hlavní předmět. Velký přínos Amerlinga je v tom, že své pedagogické názory doplňuje vydáváním názorných pomůcek. Jan Kollár ve svém díle „Dobrozdání“ k reformě školy považuje názornost za hlavní podmínku přirozeného, jasného a trvalého vyučování. „Učení spočívá především 16

na smyslové názornosti. Kolik smyslů, tolik bran a cest k duši a rozumu. Vše, čemu se žáci učí, musí jim být přednášeno tak jasně a srozumitelně, aby to současně viděli před sebou a mohli to prsty uchopit. Aby se jim vše vštípilo hlouběji v paměť, nechť učitel při vyučování využívá všech smyslových pomůcek, které může potřebovat. Čím více smyslů je zaměstnáno, jimiž předmět vyučování vniká do duše, tím jasnější a trvalejší je vyučování.“ [Jůva 1966] Po J. A. Komenském rozpracoval problematiku principu názornosti v české pedagogice první profesor pedagogiky na české Karlově univerzitě Gustav Adolf Lindner. Z jeho děl je nejznámější Obecné vyučovatelství, Názornost a názorné vyučování, Diagram ve vyučování. Lindner řadí názornost k hlavním pedagogickým zásadám. Princip „vyučuj názorně“ vyplývá z výchozích principů jeho didaktiky: vyučuj přirozeně a vyučuj psychologicky. Názor je v jeho pojetí více než smyslové vnímání skutečnosti: je to syntetický výsledek soustavného záměrného pozorování, při jehož vzniku hrají úlohu dosavadní představy i základní myšlenkové operace – srovnání, analýza a syntéza. Názorné vyučování chápe jako samostatný základní vyučovací předmět i jako princip. Při rozboru metody názorného vyučování rozlišuje Lindner na sedm stupňů: 1. „předběžné orientační seznámení se s předmětem, který žáci sledují, a to způsobem volným a nenuceným, 2. pojmenování jednotlivých sledovaných předmětů, 3. uspořádání sledovaných předmětů do skupin z hlediska jejich počtu, hmoty a polohy, 4. stanovení účelu předmětů a jejich použití, 5. popis předmětů z hlediska základních vlastností, především fyzikálních (tvar, velikost, barva, tvrdost, …), 6. přirovnání a rozeznávání jednotlivých předmětů, 7. mravní ponaučení, pokud ze sledovaného předmětu nebo jevu vyplývá.“ [Jůva 1966] Z těchto uvedených stupňů názorného vyučování se znovu rýsuje jeho chápání názoru jako těsné spojitosti sledování, konkrétního myšlení a slovní formulace výsledků pozorování. Lindner rozlišuje názorné vyučování na přímé a nepřímé, podle toho zda vycházíme z přímého pozorování skutečných předmětů, jejich modelů a obrazů či již 17

z existujících představ ve vědomí žáků, na nichž budujeme výklad. Pomůcky názorného vyučování shrnuje Lindner do několika skupin: a) „vlastní předmět – poskytuje ihned úplný názor, který nelze ničím nahradit, předměty jsou buď ve škole, nebo v přírodě mimo školu, b) vzorek – se svým vzhledem se nejvíce přibližuje skutečnosti, bývá často v menším měřítku, jeho hlavní předností je to, že umožňuje všestranný pohled, c) obraz – jednobarevný či vícebarevný (barvou se účinnost obrazu zvyšuje), d) výkres – obsahuje jen obrys daného předmětu, praktická je kresba na tabuli, která je tvořena před očima žáků na tabuli, e) diagram – znázorňuje obecné vztahy a abstraktní pojmy.“ [Jůva 1966] Lindner doplňuje Komenského pojetí názornosti. Názorné vyučování chápe široce jako obecný princip, současně však i jako metodu výchovně vzdělávací práce a na nižším stupni jako samostatný učební předmět. Názornost řeší v těsné spojitosti s rozvíjením myšlení žáka a s uvědomělým osvojováním učiva, s aktivizací žáka i s požadavkem trvalosti vědomostí a dovedností. Názor se pro něj stává prostředkem, jak proniknout nejen na povrch, ale k podstatě věcí a jevů a jak současně i objasňovat abstraktní pojmy a vztahy. Po Lindnerovi se v naší pedagogice věnuje principu názornosti i Otakar Kádner. Největším přínosem jeho díla „Základy obecné pedagogiky“ je v kritickém pohledu na nedostatky a jednostrannosti v chápání a použití tohoto principu, jehož význam sám oceňuje a zdůvodňuje. Jako prostředky názoru vyzdvihuje hlavně skutečné předměty a modely. Základní nedostatky v uplatňování principu názornosti vidí Kádner v jeho nedocenění, ale i v jeho přecenění a samoúčelném užívání. Nedostatkem principu názornosti bývá, že obrázky často utlačují sledování skutečných předmětů. Jindy přemíra hotových názorných pomůcek znemožňuje rozvoj žákovy fantazie.

18

2. Motivace ve výuce Abychom dosáhli toho, že žáci budou chtít při výchovném procesu s učiteli spolupracovat, musíme je především nějak motivovat. Pokud bude výuka příliš teoretická, žáky nezaujme a ani o dané téma se nebudou blíže zajímat. Výběrem vhodné pomůcky aktivujeme u žáků zájem o danou problematiku.

2. 1. Motivace v psychologii a pedagogice 2.1.1. Motivace lidského chování „Termín motivace je odvozen z latinského slova moveo, hýbám, a vyjadřuje přeneseně hybné síly chování“. [Nakonečný 1997] „Znamená souhrn hybných momentů v osobnosti a činnosti“. [Čáp, Mareš 2001] Hybným momentem je myšleno to, co člověka podněcuje, pobízí jej nebo naopak, co ho tlumí, co mu zabraňuje něco konat. Otázkou motivace pro psychology je to, proč se člověk chová tím nebo jiným způsobem. Proto sám pojem motivace je v psychologii chápán různě. Shodou různých pojetí, autorit a škol je snad jen v tom, že v pojmu motivace jsou zahrnuty určité vnitřní a vnější jevy, které spouštějí, orientují a dynamizují naše chování a jednání. Tyto „spouštěče“ se od samotného procesu motivace liší. Proces motivace je třeba chápat velice široce jako něco co má nějaký vědomý účel. Veškeré chování člověka je motivováno. „Funkcí motivace je uspokojování potřeb individua, vyjadřujících nějaké nedostatky v jeho fyzickém a sociálním bytí“. [Nakonečný 1996] Vnější podněty mohou jedince podněcovat, ale nemusí ještě motivovat určité jeho chování. Motivace dodává naší činnosti, našemu prožívání i chování energii a určitý směr. Význam spočívá v tom, že aktivizuje a zároveň směřuje. Motivace žáků ve výuce je výsledkem procesu motivování, na němž se podílí jednak žák sám, jednak učitel, rodiče a spolužáci. Motivace chování žáka může vycházet: -

hlavně z vnitřní pohnutky (potřeby člověka),

-

hlavně z vnějšího popudu (incentivy).

Vnitřní motivace – dochází k ní tehdy, jestliže žák vykonává určitou činnost jen kvůli ní samé, pro potěšení z této činnosti. Žák potom tuto činnost vykonává rád a ochotně. Potřeby se projevují pocitem vnitřního nedostatku nebo přebytku. 19

Vnější motivace – činnost žák nevykonává z vlastního zájmu, ale pod vlivem vnějších činitelů, jako je např. odměna nebo vyhnutí se trestu. Incentivy mají schopnost vzbudit a většinou uspokojit potřeby člověka. Uplatňovat vhodné způsoby vnitřní a vnější motivace, přizpůsobovat ji cíli a obsahu vyučování i věku žáka, by měl každý učitel. Naopak špatným využitím motivačních činitelů můžeme u žáka vyvolat nezájem, nebo i odpor k předkládané látce či předmětu.

2.1.2. Motivace ve školní praxi Jedním z hlavních učitelových cílů učitelovy práce by mělo být to, aby se žák učit chtěl. Motivačními činiteli jsou: 1.

vnitřní činitelé

-

poznávací potřeby a zájmy,

-

potřeba vyhnutí se neúspěchu a dosažení úspěchu,

-

potřeba výkonu,

-

sociální potřeby,

2.

vnější činitelé

-

školní známky,

-

vztah žáka k jiným lidem,

-

odměna a trest.

Obecně rozlišujeme tři zdroje motivace poznávací činnosti: a)

poznávací potřeby,

b)

sociální potřeby,

c)

výkonové potřeby.

Každý žák má své potřeby a podle jejich uspořádání pak vzniká motivační zaměření. Důležitým faktorem vhodného motivování žáka je rozpoznat jeho potřeby a motivační zaměření (pozornost, motivace, …). Při zabývání se motivací je nutno ji chápat ve dvojím smyslu: a) jako prostředek zvyšování efektivity učebních činností žáků (motivování žáků při vyučování), b) jako jednoho z významných cílů výchovně vzdělávacího působení školy (rozvoj motivační sféry žáků). Toto dvojí pojetí motivace nelze ve výchovně vzdělávacím procesu oddělovat. 20

V dnešní době se forma či moment motivačních procesů neomezuje pouze na podnícení začátku činnosti, stejnou důležitost mají i motivační procesy udržování a pokračování v načaté činnosti. Učitel může ovlivňovat motivaci svých žáků několika způsoby, např.: a) probouzením poznávacích potřeb žáků – vyučování, které neaktualizuje potřeby poznávání, vede v mnoha případech k nudě, nezájmu apod., b) vytvářením adekvátního obrazu o žácích, c) probouzením sociálních potřeb žáků – motivační klima má své širší zázemí v klimatu školy a třídy, je jednou z důležitých proměnných, které tvoří spoj mezi strukturou třídy, stylem vedení učitele a motivačními stavy žáků, d) probouzením výkonové motivace – učitelé by se měli častěji věnovat jednotlivým žákům, hlavně při porovnávání jejich dnešních výsledků v učení s výsledky předchozími, e) eliminováním pocitu nudy, f) využitím odměn a trestů, g) předcházením strachu ze školy či předmětu, ze zkoušení. Při motivace žáků si musíme hlavně uvědomit to, že motivace není vrozená, ale naučená a co je naučené, tomu lze vyučovat (a naučit), a že vyučování je záležitostí učitele. Chceme-li jej tedy motivovat k učení, musíme v něm vyvolat zájem o probíranou látku. Možností, jak tento zájem nejen vzbudit, ale především jak ho udržet jsou i pomůcky při výuce. „Poté, co učitel použil model myšlenkového procesu a vedl třídu každým krokem, potřebují žáci látku procvičit s okamžitou zpětnou vazbou, tedy informací, zda jsou jejich odpovědi správné, či nikoliv a proč“. [Hunterová 1999] Pro zpětnou vazbu můžeme využít karty s příklady, kdy žáci si příklad vypočítají a hned zjistí výsledek, který s ostatními porovnají při zvednutí ruky (učitel řekne výsledek a kdo s ním souhlasí zvedne ruku).

Je potřeba zdůraznit, že škola by měla žáky motivovat, měla by být příjemným místem, kde má dítě možnost se vzdělávat. To však neznamená, že by škola měla být jen místem získání informací bez vlastního přičinění. Škola bez námahy, píle a určitého snažení není nejvhodnější školou, protože bez snahy a úsilí člověk v životě nikdy nic nedokáže. 21

2.1.3. Motivace v matematice Obsah učiva matematiky je náročný na představu a trvalé zapamatování si poznatků, proto je matematika náročným předmětem na žákovu pozornost, žák se musí více koncentrovat, přemýšlet, snažit se zvládnout početní i slovní úlohy. Proto je v matematice velice těžké žáka motivovat a připravit ho tak, aby se sám chtěl něčemu naučit. Motivaci v matematice můžeme členit na: A. Motivaci úvodní a)

motivační rozhovor,

b)

motivační vyprávění,

c)

motivační demonstrace,

d)

motivační příklad.

B. Průběžné motivační metody a)

aktualizace obsahu,

b)

uvádění příkladů z praxe, ilustrace,

c)

podněcování žáků pochvalou.

Úvodní motivace Hlavně při probírání nového tématu. Hodinu můžeme třeba začít vyprávěním ze života nebo rozhovorem či demonstrací (pozorování skutečných věcí a předmětů vzbudí vždy u žáka velkou pozornost a pokud může žák s předmětem pracovat, zůstane mu vzpomínka na tento předmět v hlavě déle – zde vidíme využití principu názornosti v praxi). Úvodní motivace může obsahovat poznatky z historie, zajímavé úlohy, manipulativní činnosti, soutěže a hry o některých se zmíním později.

Průběžná motivace Vzbuzení zájmu u žáků o probírané učivo na začátku hodiny však většinou nestačí. Pozornost začne brzy opadávat a proto je nutné ji neustále znovu probouzet a povzbuzovat žáky i během vyučovací hodiny. Pokud chceme žákovu pozornost upoutat znovu na zadaný úkol, můžeme se řídit těmito zásadami: a) Připomenutí – co jsme už dělali, a v čem tedy budeme pokračovat. b) Povzbuzení – dejme žákům najevo, že žádný učený z nebe nespadl, a že je normální, že chtějí pomoc, když něčemu nerozumí. 22

c) Posílení – znovu žákům vysvětlíme, co od nich očekáváme.

Mluvíme-li o motivaci, nesmíme zapomínat na to, že kromě kladné motivace se ve škole objevuje i motivace záporná. Mezi nemotivující činitele patří: -

Autokratický styl vyučování a výchovy – memorování je součástí každé školy a množství vyučovacích hodin matematiky, kdy učitel chce po žácích, aby se naučili nějaký vzoreček či matematickou větu.

-

Strnulost vyučovacích hodin – pro učitele je mnohem náročnější vymýšlet nové postupy a nápady, než jenom odříkávat naučenou látku.

-

Málo tvořivosti – originalita, fantazie, řešení problémů často ustupuje a dává přednost memorování, učení se daných poznatků zpaměti. Žáci chtějí vymýšlet, tvořit, zkoumat a sami přicházet na řešení.

-

Nízká připravenost do života – většinu informací, které se dozví na základní škole, nikdy v životě nevyužijí. V Rámcovém vzdělávacím programu je kladen důraz na využití učiva v praxi a

jeho propojení i v ostatních předmětech.

2.2. Formalismus ve vyučování Formalismus ve vyučování znamená, že si žák nevčlení informaci do sítě již předem vytvořených poznatků, ale pouze memorováním se jej naučí. Kritika dnešního vyučování se opírá v neposlední řadě o prvky formalismu, které se výuce projevují takto: -

V odtržení formy od obsahu – v matematice je málo používáno vědomostí a znalostí, které mají žáci ze života, často nemají vybudovaný základ pro určitý pojem, a proto jim je pouze sdělen, aniž by ho chápali. Bezobsažné učení, tedy takové, kdy se žáci učí něco, čemu vůbec nerozumí, na některých školách stále přetrvává.

-

Ve zdůrazňování pamětného učení bez porozumění – „Nauč se vzorec, pravidlo či větu.“ Odříkat nazpaměť vzorec, větu či pravidlo bývá často klasifikováno výborně, aniž by žák věděl, co daná věta a vzorec znamenají.

-

V šablonovitosti poznatků – žáci řeší úlohu podle určitého schématu, které je naučil učitel. Pokud dostanou úlohu, na kterou nemají schéma, nevědí jak ji vyřešit. 23

-

V nevhodném využívání názoru – přeceňování názoru a jeho využívání tam, kde není potřeba může více uškodit než prospět. Stejně tak i podceňování role názoru je velkou chybou. Učitel, který nezapojuje co nejvíce smyslů žáků je příliš nemotivuje. [Novotná 2002] Chceme-li zabránit formalismu ve vyučování, musíme dobudovat znalosti žáků,

a věnovat dostatečnou pozornost etapám modelů. Podle školního vzdělávacího programu, který bude vytvořen podle rámcového vzdělávacího programu by se učitelé neměli dopouštět těchto prvků formalismu ve výuce, protože školní vzdělávací programy umožňují propojenost učiva jednotlivých předmětů i užití vhodné názorné pomůcky.

24

3. Matematika a její postavení v rámcovém vzdělávacím programu 3.1. Charakteristika vzdělávací oblasti V rámcovém vzdělávacím programu se uvádí tato charakteristika výše uvedené vzdělávací oblasti: „Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je v základním vzdělávání založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích. Poskytuje vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě a umožňuje tak získávat matematickou gramotnost. Pro tuto svoji nezastupitelnou roli prolíná celým základním vzděláváním a vytváří předpoklady pro další úspěšné studium. Vzdělávání klade důraz na důkladné porozumění základním myšlenkovým postupům a pojmům matematiky a jejich vzájemným vztahům. Žáci si postupně osvojují některé pojmy, algoritmy, terminologii, symboliku a způsoby jejich užití. Vzdělávací obsah oboru Matematika a její aplikace je rozdělen na čtyři tematické okruhy. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a dále ho prohlubuje na druhém stupni tematický okruh Číslo a proměnná, si žáci osvojují aritmetické operace v jejich třech složkách: dovednost provádět operaci, algoritmické porozumění (proč je operace prováděna předloženým postupem) a významové porozumění (umět operaci propojit s reálnou situací). Učí se získávat číselné údaje měřením, odhadováním, výpočtem a zaokrouhlováním. Seznamují se s pojmem proměnná a s její rolí při matematizaci reálných situací. V dalším tematickém okruhu Závislosti, vztahy a práce s daty žáci rozpoznávají určité typy změn a závislosti, které jsou projevem běžných jevů reálného světa, a seznamují se s jejich reprezentacemi. Uvědomují si změny a závislosti známých jevů, docházejí k pochopení, že změnou může být růst i pokles a že změna může mít také nulovou hodnotu. Tyto změny a závislosti žáci analyzují z tabulek, diagramů a grafů, v jednoduchých případech je konstruují a vyjadřují matematickým předpisem nebo je podle možností modelují s využitím vhodného počítačového software nebo grafických kalkulátorů. Zkoumání těchto závislostí směřuje k pochopení pojmu funkce. V tematickém okruhu Geometrie v rovině a v prostoru žáci určují a znázorňují geometrické útvary a geometricky modelují reálné situace, hledají podobnosti a odlišnosti útvarů, které se vyskytují všude kolem nás, uvědomují si vzájemné polohy objektů v rovině (resp. v prostoru), učí se porovnávat, odhadovat, měřit délku, velikost 25

úhlu, obvod a obsah (resp. povrch a objem), zdokonalovat svůj grafický projev. Zkoumání tvaru a prostoru vede žáky k řešení polohových a metrických úloh a problémů, které vycházejí z běžných životních situací. Důležitou součástí matematického vzdělávání jsou Nestandardní aplikační úlohy a problémy, jejichž řešení může být do značné míry nezávislé na znalostech a dovednostech školské matematiky, ale při němž je nutné uplatnit logické myšlení. Tyto úlohy by měly prolínat všemi tematickými okruhy v průběhu celého základního vzdělávání. Žáci se učí řešit problémové situace a úlohy z běžného života, pochopit a analyzovat problém, utřídit údaje a podmínky, provádět situační náčrty, řešit optimalizační úlohy. Řešení logických úloh, jejichž obtížnost je závislá na míře rozumové vyspělosti žáků, posiluje vědomí žáka ve vlastní schopnosti logického uvažování a může podchytit i ty žáky, kteří jsou v matematice méně úspěšní. Žáci se učí využívat prostředky výpočetní techniky (především kalkulátory, vhodný počítačový software, určité typy výukových programů) a používat některé další pomůcky, což umožňuje přístup k matematice i žákům, kteří mají nedostatky v numerickém počítání a v rýsovacích technikách. Zdokonalují se rovněž v samostatné a kritické práci se zdroji informací.“ [VÚP Praha 2007]

3.2. Klíčové kompetence Klíčové

kompetence

v rámcovém

vzdělávacím

programu

představují

očekávanou úroveň komplexních vědomostí a dovedností u žáků, kteří prošli základním vzděláváním. Tímto oddílem bych chtěla popsat klíčové kompetence z hlediska metod a forem učitelovy práce.

Kompetence k učení – postupně rozvíjí žákovy schopnosti řídit vlastní učení Učitel •

učí žáky získávat číselné údaje měřením, odhadováním, výpočtem a zaokrouhlováním

•

rozvíjí paměť, představivost, logické a kombinatorické myšlení žáků

•

vede žáky k sebehodnocení

•

vede žáky k samostatnému řešení úloh, porozumění a analýze

•

vede žáky k účasti na soutěžích, olympiádách

26

Kompetence k řešení problémů Učitel •

rozvíjí jejich důvěru ve vlastní schopnosti a možnosti při řešení úloh

•

vede žáky k plánovanému řešení úkolů

•

vede je k sebekontrole i pravidelnému ověřování správnosti řešení, hledání chyb, chyby využívá k vyvození správného postupu

•

vede žáky k samostatnému objevování matematických zákonitostí, stanovení závěrů

Kompetence sociální a personální Učitel •

vede žáky k odpovědné práci ve skupinách, ke schopnosti pomocí členům skupiny

•

učí je hodnotit podíl vlastní práce na řešení úkolu (problému) a přínos druhých

•

vede žáky k respektu názoru a myšlenky jiných

Kompetence komunikativní Učitel •

vede žáky k hodnocení práce své i ostatních spolužáků

•

umožňuje žákům prezentovat výsledky své práce ostatním spolužákům i rodičům s použitím písemných prací, počítačů i interaktivní tabule

•

učí žáky formulovat otázky a problémy

•

vede žáky k tomu, aby naslouchaly jiným prezentacím (svých spolužáků)

Kompetence občanské Učitel •

učí žáky reagovat na požadavky praktického života

•

učí pracovat žáky s nejrůznějšími materiály a zdroji ze života celé společnosti, učí je pozorovat, zaznamenat je, porozumět jim, vyhodnocovat je i třídit

27

Kompetence pracovní Učitel •

vede žáky k přesné a pečlivé práci, přesnému ústnímu i písemnému projevu

•

umožňuje žákům práci s různými materiály, pomůckami, modely, zařízeními a vede je ke správným, šetrným a bezpečným způsobům použití

•

směřuje žáky k dovednostem, které budou moci využívat ve zvolené profesi a na trhu práce

Metody a formy práce s žáky při výuce Pro dosažení stanovených cílových kompetencí jsou doporučovány následující metody a formy práce. Metody vyučovacího procesu a) motivační – didaktické hry, rozhovor, demonstrace, modelování, … b) slovní – výklad, vysvětlování, rozhovor, beseda, diskuse, … c) demonstrační – demonstrace modelů, jevů, pomůcek, obrazů, činností, … d) dovednostně praktické – práce s pracovním sešitem (výpočty i rýsování), modelování, experimentování, zjišťování údajů, práce s knihou, tabulkami, mediálními informacemi, kalkulátorem, počítačem, interaktivní tabulí, … e) fixační – nácvik algoritmů a početních postupů f) ověřování – práce s průsvitkou, přeměřování, … g) hodnocení dovednosti a vědomostí – samostatné práce, písemné práce, testy, ústní zkoušení, soutěže, …

Formy výuky •

frontální, skupinové práce (skupiny prospěchově homogenní i heterogenní)

•

výuka individuální a ve dvojicích

•

výuka s využitím počítačů (výukové programy, internet a vlastní prezentace)

•

projektová výuka

•

práce v terénu – měření, statistické šetření, … 28

3.3. Školní vzdělávací program Při tvorbě školního vzdělávacího programu jsem se inspirovala ze školních vzdělávacích programů základních škol, které je mají zpřístupněny na internetu, a podle svého uvážení jsem je modifikovala.

3.3.1. 6. ročník Opakování z 5. ročníku Školní výstupy Žák -

si osvojí matematické operace (dovednost provádět operaci, algoritmické a významové porozumění)

-

využívá matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech

-

si vytváří zásoby matematických nástrojů (početních operací, algoritmů, metod řešení úloh)

-

efektivně využívá osvojeného matematického aparátu

-

je veden k soustavné sebekontrole

-

provede rozbor problému a plánu řešení, odhadne výsledek, zvolí správný postup

-

má rozvinutou geometrickou představivost

-

vnímá podobnosti a odlišnosti útvarů v rovině i v prostoru

-

si uvědomuje vzájemné polohy objektů v rovině a v prostoru

-

využívá matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech

Učivo: Počítání s přirozenými čísly -

početní operace

-

porovnávání, zaokrouhlování, slovní úlohy

Desetinná čísla -

sčítání, odčítání desetinných čísel

-

porovnávání, zaokrouhlování, slovní úlohy

29

Základní geometrické konstrukce -

bod, přímky, úsečka, kružnice, kruh

-

čtverec, obdélník

Obvody a obsahy -

čtverce a obdélníka

Tělesa -

povrch krychle a kvádru

Nové učivo 6. ročníku Školní výstupy Žák -

provádí početní operace v oboru přirozených čísel

-

provádí početní operace v oboru desetinných čísel

-

zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých praktických problémů, využívá potřebnou matematickou symboliku

-

určuje a charakterizuje základní prostorové útvary (tělesa), analyzuje jejich vlastnosti

-

načrtne a sestrojí sítě kvádru a krychle

-

charakterizuje a třídí základní rovinné útvary

-

odhaduje a vypočítá obsah a obvod čtverce a obdélníka

Desetinná čísla Školní výstupy Žák -


-

odhaduje a vypočítá obsah a obvod čtverce a obdélníka

Učivo: -

desetinné zlomky x desetinná čísla

-

zápis desetinných čísel

-

tisícíny, desetisíciny, … 30

-

porovnávání, zaokrouhlování

-

násobení a dělení

-

převody jednotek délky, obsahu, hmotnosti

-

slovní úlohy

Dělitelnost přirozených čísel Školní výstupy Žák -

provádí početní operace v oboru přirozených čísel

-

modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel

Učivo: -

násobek, dělitel

-

znaky dělitelnosti

-

prvočíslo, číslo složené

-

nejmenší společný násobek

-

největší společný dělitel (soudělná čísla)

-

slovní úlohy

Celá čísla Školní výstupy Žák -

provádí operace v oboru celých čísel

-

analyzuje a řeší aplikační úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu

Učivo: -

kladná, záporná čísla a nula

-

číselná osa

-

porovnávání

-

sčítání a odčítání

-

násobení a dělení

-

slovní úlohy

31

Objem kvádru a krychle Školní výstupy Žák -


-

účelně využívá kalkulátor

-


-

odhaduje a vypočítá objem a povrch krychle a kvádru

-

načrtne a sestrojí obraz jednoduchých těles v rovině

-

načrtne a sestrojí sítě kvádru a krychle

-

analyzuje a řeší aplikační úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu

Učivo: -

objem krychle a kvádru

-

jednotky objemu a jejich převody

-

slovní úlohy

Úhel a jeho velikost Školní výstupy Žák -

zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých praktických problémů

-

využívá potřebnou matematickou symboliku

-

určuje velikost úhlu měřením a výpočtem

Učivo: -

úhel (základní pojmy)

-

rýsování a měření úhlů

-

úhlový stupeň a minuta

-

sčítání a odčítání úhlů (početně i graficky)

-

vedlejší a vrcholové úhly

32

Osová souměrnost Školní výstupy Žák -

načrtne a sestrojí obraz rovinného útvaru v osové souměrnosti

-

určí osově souměrný útvar

Učivo: -

shodnost geometrických útvarů

-

vlastnosti osové souměrnosti

-

konstrukce útvarů v osové souměrnosti

-

osově souměrné útvary

Trojúhelník Školní výstupy Žák -


-


-


-

určuje velikost úhlu měřením a výpočtem

Učivo: - základní pojmy - vnitřní úhly trojúhelníku - rovnoramenný, rovnostranný a pravoúhlý trojúhelník - těžnice a výšky (konstrukce) - konstrukce trojúhelníků – sss, sus, usu - kružnice vepsaná a opsaná trojúhelníku

33

3.3.2. 7. ročník Zlomky Školní výstupy Žák -

užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek – část (přirozeným číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem)

-

provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

-

analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru celých a racionálních čísel

Učivo: -

zápis zlomků, celek

-

znázorňování zlomků na číselné ose

-

porovnávání, rovnost zlomků

-

krácení a rozšiřování zlomků, základní tvar

-

zlomek x desetinné číslo, smíšené číslo

-

početní operace se zlomky

-

početní operace v množině racionálních čísel

-

slovní úlohy

Poměr Školní výstupy Žák -

řeší modelováním a výpočtem situace vyjádřené poměrem

-

pracuje s měřítky map a plánů

-


Učivo: -

úprava poměru

-

počítání s poměry (zvětši, zmenši, rozděl)

-

postupný poměr

-

měřítko plánu a mapy

-

slovní úlohy 34

Přímá a nepřímá úměra Školní výstupy Žák -

provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

-


-

zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor

-

určuje vztah přímé a nepřímé úměrnosti

Učivo: -

pravoúhlá soustava souřadnic v rovině, souřadnice bodu

-

rovnice a graf přímé a nepřímé úměrnosti

-

trojčlenka

-

slovní úlohy

Procenta Školní výstupy Žák -

užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek – část (přirozeným číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem)

-

řeší aplikační úlohy na procenta

-


-


Učivo: -

základ, procento, procentová část

-

zlomek x desetinné číslo x procenta

-

základní výpočty

-

procenta a trojčlenka

-

slovní úlohy

-

promile

-

úrok, úroková míra 35

Shodnost Školní výstupy Žák -

načrtne a sestrojí obraz rovinného útvaru ve středové a osové souměrnosti

-

určí osově a středově souměrný útvar

Učivo: -

vlastnosti středové souměrnosti

-

konstrukce útvarů ve středové souměrnosti

-

středově souměrné útvary

Rovnoběžník Školní výstupy Žák -


-


-


-

odhaduje a vypočítá obsah a obvod základních rovinných útvarů

-

načrtne a sestrojí rovinné útvary

-

analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu

Učivo: -

rozdělení rovnoběžníků a jejich vlastnosti

-

výšky a úhlopříčky

-

konstrukce rovnoběžníků

-

kosodélník a kosočtverec

-

obvod a obsah rovnoběžníků

-

obsah trojúhelníku

-

slovní úlohy

36

Lichoběžník Školní výstupy Žák -


-


-


-

odhaduje a vypočítá obsah a obvod základních rovinných útvarů

-


-


Učivo: -

vlastnosti

-

konstrukce

-

obvod a obsah

-

slovní úlohy

Hranol Školní výstupy Žák -

odhaduje a vypočítá objem a povrch hranolů

-


-

načrtne a sestrojí sítě základních těles

Učivo: -

vlastnosti a druhy hranolů

-

síť a povrch, objem hranolů

-

převody jednotek objemu a obsahu

-

slovní úlohy

37

3.3.3. 8. ročník Druhá mocnina a odmocnina Školní výstupy Žák -

užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu

-

vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data

Učivo: -

druhá mocnina

-

druhá odmocnina

-

počítání s mocninami a odmocninami

-

pořadí početních operací

Pythagorova věta Školní výstupy Žák -

užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu

-


-


Učivo: -

vyvození Pythagorovy věty

-

využití Pythagorovy věty v rovině

-

využití Pythagorovy věty v prostoru

-

slovní úlohy

Mocniny s přirozeným mocnitelem Školní výstupy Žák -


-

zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností

-


38

Učivo: - třetí mocnina - mocniny s přirozeným mocnitelem - pravidla po počítání s mocninami - zápis čísla desítkové soustavě pomocí mocnin deseti

Výrazy Školní výstupy Žák -

matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných

-

určí hodnotu výrazu, sčítá a násobí mnohočleny

-

provádí rozklad mnohočlenu na součin pomocí vzorců a vytýkáním

Učivo: -

číselné výrazy a jejich hodnota

-

výrazy s proměnnými

-

mnohočleny a jejich úpravy

-

sčítání, odčítání, násobení mnohočlenů

-

vytýkání

-

vzorce

Rovnice Školní výstupy Žák -

formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic

-


-


Učivo: -

ekvivalentní úpravy rovnic

-

slovní úlohy

-

výpočet neznámé ze vzorce

39

Základy statistiky Školní výstupy Žák -


-

porovnává soubory dat

-


-


Učivo: -

základní pojmy

-

statistické šetření

-

diagramy, grafy

-

četnost

-

aritmetický průměr, modus, medián

-

úlohy z praxe

Kružnice, kruh Školní výstupy Žák -


-


-

odhaduje a vypočítá obsah a obvod kruhu

-


-

využívá pojem množina všech bodů dané vlastnostmi k charakteristice útvaru a k řešení polohových a nepolohových konstrukčních úloh

-


Učivo: -

základní pojmy

-

kružnice a přímka (tečna, sečna, vnější přímka)

-

vzájemná poloha dvou kružnic

-

Thaletova věta – konstrukce tečny z bodu ke kružnici 40

-

obvod a obsah kruhu

-

slovní úlohy

Válec Školní výstupy Žák -

odhaduje a vypočítá objem a povrch válce

-


-

řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z různých tematických a vzdělávacích oblastí

-


-


Učivo: -

síť a povrch válce

-

objem válce

-

slovní úlohy

Konstrukční úlohy Školní výstupy Žák -


-


-


Učivo: -

jednoduché konstrukce

-

konstrukce trojúhelníků s výškou a těžnicí

-

konstrukce čtyřúhelníků

41

Netradiční a logické úlohy Školní výstupy Žák -


-

užívá logickou úvahu a kombinační úsudek při řešení úloh a problémů a nalézá různá řešení předkládaných nebo zkoumaných situací

Učivo: -

složitější konstrukce geometrických útvarů

-

obsahy a obvody složitějších rovinných útvarů

-

objemy a povrchy těles

3.3.4. 9. ročník Lomené výrazy Školní výstupy Žák -

určí hodnotu lomeného výrazu, sčítá, odčítá, násobí a dělí lomené výrazy

-

krátí pomocí vzorců a vytýkání lomené výrazy

Učivo: -

smysl lomeného výrazu

-

krácení a rozšiřování lomených výrazů

-

násobení a dělení lomených výrazů

-

sčítání a odčítání lomených výrazů

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Školní výstupy Žák -

užívá logickou úvahu kombinační úsudek při řešení úloh a problémů a nalézá různá řešení předkládaných nebo zkoumaných situací

-

formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnice a jejich soustav

42

Učivo: -

rovnice s neznámou ve jmenovateli

-

soustavy dvou rovnic o dvou neznámých

-

slovní úlohy (směsi, společná práce)

Funkce Školní výstupy Žák -

matematizuje jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů

-


Učivo: -

pravoúhlá soustava souřadnic v rovině

-

lineární funkce, její rovnice a graf

-

grafické řešení soustavy dvou rovnic

-

lomená funkce, její rovnice a graf

Podobnost Školní výstupy Žák -

užívá k argumentaci a při výpočtech věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků

Učivo: -

podobnost geometrických útvarů

-

podobnost trojúhelníků (věty sss, sus, uu)

-

jednoduché slovní úlohy

Tělesa Školní výstupy Žák -

řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z různých tematických a vzdělávacích oblastí 43

-


-


-


-


-


Učivo: -

opakování – hranoly, válec (síť, povrch, objem)

-

jehlan – síť, povrch a objem

-

kužel - síť, povrch a objem

-

koule – povrch a objem

-

úlohy z praxe

Základy finanční matematiky Školní výstupy Žák -


-


-


Učivo: -

procenta – daně, úroky, poplatky

-

jednoduché a složené úročení

-

vklady a půjčky, splátky, certifikáty, dluhopisy

-

slovní úlohy

44

Netradiční a logické úlohy Školní výstupy Žák -


-


-


-


-


-


Učivo: -

výpočty objemů a povrchů složitějších jehlanů (podstavy tvaru pravidelných mnohoúhelníků)

45

4. Klasifikace učebních pomůcek „Učební pomůcky usnadňují a zintenzivňují práci a pomáhají žáku i učiteli vyrovnávat se s přírůstkem a zpracováním informací“. [Ondráček 1971] Pomůcky umožňují řídit vyučování a učební proces tak, aby se dosáhlo bez časových ztrát maximální účinnosti. Pomůcky totiž pomáhají žákovi osvojit si metody tvůrčí práce. Josef Ondráček uvádí, že sledujeme-li působnost jednotlivých druhů materiálních prostředků, dojdeme při hrubé klasifikaci k dělení na prostředky působící na žáka ve shodě s výchovným a vyučovacím cílem a obsahem přímo jako učební pomůcky, a na prostředky, sloužící k realizaci cíle a obsahu nepřímo, tj. takové, které umožňují či umocňují prezentaci učebních pomůcek nebo slouží učiteli k řízení učebních postupů.

Pomůcky totiž plní funkci informativní (jsou zdrojem informací), funkci formativní (vhodným uspořádáním rozvíjejí praktické i myšlenkové operace žáka) a funkci instrumentální (pomáhají žákovi k výkonu různých činností). Učební pomůcky většinou neplní všechny tyto funkce současně, ani postupně.

Každá učební pomůcka je považována za nositele informací. Pomůcky lze je považovat za pomocníky učitele. Většina autorů se snaží zefektivnit své pomůcky. Zefektivnění se obvykle dosahuje: -

zvýrazněním znaků vyvolávajících intenzivnější a prohloubenější vnímání (barevností, zvětšením, zmenšením, dynamikou, zrychlováním, a zpomalováním děje, stavebnicovým principem apod.),

-

usnadněním výběru informací (odlišením znaků podstatných a nepodstatných, zvyšováním kompaktnosti informací aj.),

-

orientací pozorování a srovnávání (konfigurací znaků, uspořádáním části a celku atd.),

-

algoritmizací (tj. prací s určitým druhem pomůcky podle metody, která je do její formy zašifrována). [Ondráček 1971] Josef Ondráček uvádí využití didaktických pomůcek ve dvou

základnách kategoriích: jako pomůcky pro individuální práci žáků a jako pomůcky prezentované při hromadném vyučování.

46

Pomůcky žákovské Materiály k pozorování jevů a k vyhledávání dat (náčrty, atlasy, tabulky). Materiály k předmětným operacím (obrázkové soubory, žákovské soupravy k experimentování, měřidla).

Pomůcky demonstrační Vizuální: předměty originální, modely, speciální pomůcky k experimentování (včetně měřidel), zobrazení statická a dynamický nepromítaná a promítaná, Auditivní: gramofonové desky, magnetofonové nahrávky, rozhlasové relace, Audiovizuální:

diafon,

zvukový film, televizní relace, videorekorderový záznam. Předměty originální (převzaté z praxe). [Ondráček 1971]

Přehled materiálních didaktických prostředku podle J. Machala Učební pomůcky 1.

Originální

předměty

a

reálné

skutečnosti: a)

přírodniny:

-

v původním

stavu

(minerály,

rostliny), -

upravené

(vycpaniny,

lihové

preparáty); b) výtvory a výrobky – v původním stavu (vzorky

výrobků,

přístroje,

umělecká

díla); b)

jevy a děje – fyzikální, chemické, biologické aj. 47

2.

Zobrazení a znázornění předmětů a skutečností:

a)

modely

–

statické,

funkcí,

stavebnicové; b)

zobrazení:

-

prezentovaná přímo (školní obrazy, fotografie, mapy),

-

prezentovaná

pomocí

didaktické

techniky

(statické,

dynamické); 3.

Textové pomůcky:

a)

učebnice – klasické, programované;

b)

pracovní

materiály

–

pracovní

sešity,

studijní

návody, sbírky úloh, tabulky, atlasy; c)

doplňková a pomocná literatura – časopisy, encyklopedie.

4.

Pořady a programy prezentované didaktickou technikou:

a)

pořady

–

diafonové,

televizní,

rozhlasové; b)

programy – pro vyučovací stroje, výukové soustavy či počítače.

I.

5.

Speciální pomůcky:

-

žákovské experimentální soustavy;

-

pomůcky pro tělesnou výchovu.

Technické výukové prostředky:

1. Auditivní technika – magnetofony, gramofony, školní rozhlas, sluchátková souprava, přehrávače CD. 48

2. Vizuální technika -

pro diaprojekci;

-

pro zpětnou projekci;

-

pro dynamickou projekci.

-

pro projekci diafonu;

-

filmové projektory;

-

magnetoskopy, videorekordéry;

-

videotechnika, televizní technika;

-

multimediální

3. Audiovizuální technika:

systémy

na

bázi

počítačů. 4. Technika řídící a hodnotící:

II.

-

zpětnovazební systémy;

-

výukové počítačové systémy;

-

osobní počítače;

-

trenažéry.

Organizační a reprografická technika: -

fotolaboratoře;

-

kopírovací a rozmnožovací stroje;

-

rozhlasová studia a videostudia;

-

počítače, počítačové sítě;

-

databázové systémy (CD ROM disky).

III.

Výukové prostory a jejich vybavení: -

učebny se standardním vybavením, tj.

tabule

magnetická),

(klasická, nástěnky,

skříň na knihy atd. -

učebny se zařízením pro reprodukci audiovizuálních pomůcek;

-

odborné učebny; 49

-

počítačové učebny;

-

laboratoře;

-

dílny, školní pozemky;

-

tělocvičny, hudební a dramatické sály.

IV.

Vybavení učitele a žáka -

psací potřeby;

-

kreslící a rýsovací potřeby;

-

kalkulátory,

přenosné

počítače,

notebooky; -

učební úbor, pracovní oděv.

[Skalková 2007]

Dělení pomůcek, které uvádí Maňák: Skutečné

předměty

(přírodniny,

preparáty,

výrobky). Modely (statické a dynamické). Zobrazení: a)

obrazy, symbolická zobrazení,

b)

statická projekce (diaprojekce, epiprojekce, zpětná projekce),

c)

dynamická projekce (film, televize, video). Zvukové

pomůcky

(hudební

nástroje,

gramofonové desky, magnetofonové pásky). Dotykové pomůcky (reliéfové obrazy, slepecké písmo). Literární pomůcky (učebnice, příručky, atlasy, texty). Programy pro vyučovací automaty a pro počítače. [Maňák 2003]

Dělení pomůcek podle Pettyho: 50

a. Vybavovací pomůcky - jde o takové pomůcky, které žákům učivo připomenou nebo názorně předvedou, řadí mezi ně učebnice, sešit, xeroxované materiály, tabule, zpětný projektor. b. Vizuální pomůcky – mezi tyto pomůcky řadí skutečné předměty, tabulky, vývěsky (grafy, diagramy, schémata, plakáty), ale také technika v podobě videa a počítače. c. Návštěvy a exkurze [Petty 2006]

51

5. Využití názoru a pomůcek při praktické výuce matematiky 5.1. Využití názoru a pomůcek při budování základních pojmů v číselných oborech Při budování základních pojmů jako je např.desetinné číslo, zlomek, celé číslo, záporné číslo je velice důležité postupovat podle principu názornosti. Žáci si tyto pojmy nedokáží představit a vhodná pomůcka jim pomůže tyto pojmy lépe a snáze analyzovat. Názorné vyučování pomáhá nejenom v tom, aby si žáci poznatky náležitě osvojili, ale také v tom, aby žáci byli o jejich správnosti přesvědčeni. Navíc stoupá potřeba propojení teoretické matematiky a reálných životních situací. Proto lze při výuce použít různé modely, např. model koláče, pizzy, čokolády a tyče, tyto modely aplikujeme do roviny v podobě kruhu, obdélníku, čtverce a úsečky. Vhodnými pomůckami při budování základních pojmů jsou např. teploměr, knoflíky, jízdní řád, váha a recepty, různé propagační materiály z bank a pošt, cestovních kanceláří, telefonních společností aj. K procvičení učiva můžeme použít různé obrazce, doplňovačky, řetězce, příklady a pracovní listy, které výuku zpestří. Pro představu jsem zpracovala několik pracovních listů z různých tématických oblastí, které jsem připojila v závěru této práce.

Desetinná čísla Při zavádění pojmu desetinné číslo vycházíme z toho, ze desetinné číslo je jiný zápis desetinného zlomku. Proto lze použít např. model čokolády, které aplikujeme do roviny v podobě obdélníku.

Budování pojmu desetinné číslo Pomůcka: model čokolády (obdélník) Petrova maminka dělila čokoládu. Rozdělila ji na deset stejných dílů. Petr s Honzou snědli čtyři díly. Jakou část čokolády snědli? Honza napsal:

4 snědli jsme fffffff čokolády. 10

Petr napsal:

snědli jsme 0,4 čokolády.

Který z nich měl pravdu?

Oba mají pravdu. Zlomek, v jehož jmenovateli je číslo 10, 100, ... je možné napsat i pomocí desetinného čísla. Tyto zlomky se nazývají desetinné. 52

4 fffffff - čtyři desetiny 10

0,4 – žádná celá čtyři desetiny

[Šarounová a kol. 1996]

Porovnávání desetinných čísel Pomůcka: číselná osa V tabulce jsou teploty naměřené od sedmi hodin ráno do osmnácti hodin večer. čas

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

teplota

-6,9 -5,8 -5,3 -4,5 -3,8 -2,9 -2,7 -4,2 -5,4 -6

17

18

-6,5 -6,8

a) Zakresli na číselnou osu teploty naměřené v jednotlivých hodinách. b) Jsou všechny naměřené teploty v rozmezí od - 6 °C do – 2 °C? V kolik hodin je to jinak? c) V kolik hodin byla naměřena nejnižší teplota? d) V kolik hodin byla naměřena nejvyšší teplota? [Odvárko, Kadleček 1997]

Polední teploty v jednom týdnu Žáci si zjistí teploty ve 12 hodin v různých městech naší republiky (internet), včetně města, kde bydlí a zapíší si je to připravené tabulky. Otázky: a) Ve kterém městě byla nejnižší teplota v pondělí, ve kterém v úterý, ve středu, ve čtvrtek, v pátek a ve kterém v sobotu? b) Ve kterých městech byla v jednotlivé dny nejvyšší teplota? c) Zapiš rozdíly mezi nejvyšší a nejnižší teplotou v jednotlivých dnech. d) Zapiš nejnižší teploty ve sledovaném týdnu v jednotlivých městech. e) Zapiš nejvyšší teploty naměřené v jednotlivých městech. f) Zapiš rozdíly mezi nejvyššími a nejnižšími teplotami v jednotlivých městech. g) Ve kterém městě byla ve sledovaném týdnu naměřena vůbec nejnižší teplota? h) Ve kterém městě byla ve sledovaném týdnu naměřena vůbec nejvyšší teplota? [Odvárko, Kadleček 1997]

53

Sčítání desetinných čísel Pomůcky: kartičky na sčítání, číselná osa Kartičky na sčítání 2,3 + 0,5 =

a

1,23 + 2,45 =

a [Justová 1997]

Číselná osa

[Justová 1997]

Odčítání desetinných čísel Pomůcky: model teploměru (model číselné osy) Lenka byla nemocná a maminka jí naměřila teplotu 38,6°C. Normální teplota lidského těla je 36,4°C. O kolik stupňů měla Lenka zvýšenou teplotu? Nejprve provedeme odhad výsledku. Potom postupujeme stejně jako při odčítání přirozených čísel. Při odčítání desetinných čísel zapisuje desetinná čísla tak, aby byly desetinné čárky pod sebou a odčítáme – nejdříve desetiny, jednotky, …. Nesmíme zapomenou zapsat desetinnou čárku ihned, když na ni při odčítání narazíme. 38,6 - 36,4 2,2

Lenka měla teplotu zvýšenou o 2,2°C. [Šarounová a kol. 1996]

54

Násobení desetinných čísel Pomůcka: ceníky z obchodů z oddělení ovoce a zelenina Ve velkoprodejně potravin si každý zákazník vybrané ovoce a zeleninu může zvážit sám na automatické váze, která mu vytiskne lístek s cenou. Jakou cenu vytiskla váha jednotlivým zákazníkům? Zákazník Nákup Konečná

Ceník

jablka 0,65 kg banány 0,34 kg

Hájková

rajčata 0,97 kg jablka 1,45 kg grepy 0,23 kg

Šípková

jablka 3,45 kg žampiony 0,46 kg

Drozdová mandarinky 0,89 kg

Jablka

19,80 Kč

Banány

31,50 Kč

Rajčata

39,90 Kč

Grepy

27,90 Kč

Žampiony

49,90 Kč

Mandarinky 31,90 Kč Pomeranče 35,50 Kč

pomeranče 0,34 kg jablka 1,24 kg

[Odvárko, Kadleček 1998]

Zlomky Při počítání se zlomky lze použít několik modelů, ale ústřední postavení patří třem, které vystupují v úloze univerzálních modelů: 1. tyč (model úsečky), 2. koláč, dort, pizza (model kruhu), 3. čokoláda (model obdélníku). Každý z uvedených modelů představuje pevnou jednotku, kterou dělíme na části. [Hejný 1999] Na základní škole je většinou k dispozici zlomkovnice (plastové kruhové výseče), kterou lze také použít pro grafické znázornění početních operací se zlomky.

Zlomek jako část celku Pomůcka: model koláče a dortu (v rovině kruh), geometrické útvary Model koláče a dortu Babička upekla koláč a rozkrojila ho na osm stejných dílů. Lenka jeden díl snědla. Jakou část koláče snědla? 55

8 Celý koláč ....... 8 dílů ......... fff 8 1 Lenka snědla ....1 díl............ fff 8 čitatel (počet částí z celku) 1fff - zlomková čára 8 jmenovatel (určuje, na kolik stejných částí byl jeden celek rozdělen) [Šarounová a kol. 1996]

Devět děvčat s paní učitelkou peklo při pracovním vyučování ořechové dorty. Každá dívka i paní učitelka si po výuce vzaly stejný kousek dortu. b) Na kolik dílů musely rozkrájet jeden dort, aby se na každou dostalo a nic z dortu nezbylo? c) Dostala-li každá jednu šestinu dortu, kolik dortů musely nejméně upéct? d) Jaké množství dortů v úloze b) ještě zbylo? [Šarounová a kol. 1997]

Geometrické útvary Určete jaká část čtverce je vyšrafována:

[Čižmár a kol. 1991]

Rozšiřování zlomků Pomůcka: ořechy Tři sourozenci Kučerovi se dělili o 18 ořechů takto: Zuzka si vzala jednu třetinu, Tereza dvě šestiny a Marek tři devítiny všech ořechů. Kdo z nich si vzal nejvíce ořechů? [Šarounová a kol. 1997]

56

Sčítání zlomků Pomůcka: geometrické útvary (kruh, obdélník, úsečka), model čokolády (model obdélníku) Geometrické útvary Kruh



57

Obdélník



Úsečka


58

Model čokolády Tři sourozenci Luboš, Vláďa a Martin dostali čokoládu. Chtěli si ji spravedlivě rozdělit. Luboš radil: „Rozdělíme čokoládu na tři stejné díly a každý si vezme jednu třetinu.“ Vláďa rozbalil čokoládu a povídal: „To je jednoduché. Čokoláda je rozdělena na šest stejných obdélníků. Každý z nich je jedna šestina čokolády.“ „Tak kolik tedy dostaneme?“ ptal se Martin. „Přece dva dílky, dvě šestiny,“ odpověděl Vláďa. Chlapci si čokoládu rozdělili stejným dílem.


Dělení zlomků Pomůcky: kostky ze stavebnice, ořechy Kostky ze stavebnice V dřevěné dětské stavebnici je 36 kostek. Kolik kostek tvoří 1 stavebnice? 3 [Šarounová a kol. 1997]

Ořechy V košíku je 12 ořechů. Maminka z nich vzala polovinu a tu spravedlivě rozdělila svým třem dětem. Jakou část ořechů z celého košíku dostalo každé z dětí?

Celá čísla Pro znázornění celých čísel lez použít model teploměru (číselná osa). Využití ukazují následující příklady.

Znázorňování celých čísel Pomůcky: číselná osa Tabulka ukazuje teplotu ve stupních Celsia v některých hlavních městech Evropy ve 12 hodin.

59

Ve kterých městech byla teplota nad nulou? Ve kterých městech byla teplota pod nulou? Ve kterém městě byla naměřena 0°C?

Oslo

-8

Londýn 4 Paříž

0

Madrid

5

Praha

-2

Berlín

-3

Varšava -2 Vídeň

-2

Řím

12

Moskva -9 Sofie

1

Atény

7

Teploty ukazujte na modelu teploměru.

Uspořádání na číselné ose Pomůcky: číselná osa Vyznačte obrazy čísel předpovídaných teplot na číselnou osu. Jihlava

-2

Ostrava

0

Cheb

-3

Plzeň

-1

Brno

2

Praha

-1

Olomouc

-1

Liberec

-3

Hradec Králové

0

České Budějovice

1

Ústí nad Labem

1

Pardubice

2

Ve kterém městě je nejtepleji? Kde je teplota vyšší než - 1°C? Ve kterých městech je teplota nižší než v Jihlavě? Ve kterých městech je teplota nižší než - 2°C? Ve kterém městě je nejnižší/nejvyšší teplota? 60

Záporná čísla Jako modely lze k tomuto tématu použít teploměr, knoflíky (bílé a černé barvy pro znázornění kladných a záporných čísel). Zobrazením těchto modelů je číselná osa a kruhy se znaménky plus a minus.

Znázornění na číselné ose Pomůcka: model teploměru (číselná osa) V tabulce jsou teploty naměřené od sedmi hodin ráno do osmnácti hodin večer. čas

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

teplota

-6,9 -5,8 -5,3 -4,5 -3,8 -2,9 -2,7 -4,2 -5,4 -6

17

18

-6,5 -6,8

e) Zakresli do číselné osy teploty naměřené v jednotlivých hodinách. f) Jsou všechny naměřené teploty v rozmezí od - 6 °C do – 2 °C? V kolik hodin je to jinak? g) V kolik hodin byla naměřena nejnižší teplota? h) V kolik hodin byla naměřena nejvyšší teplota? [Odvárko, Kadleček 1998]

V tabulce jsou uvedeny průměrné teploty v lednu a v červenci v některých městech světa: leden

červenec

Praha

-0,8

19,9

Oslo

-4,4

17,1

Hamburg

0

17,1

Moskva

-10,2

18,2

Palermo

11,4

26,5

Rio de Janeiro

25,6

20,6

Peking

-5,2

25,8

a) Na první pohled se zdá, že ve všech uvedených městech je v lednu nižší průměrná teplota než v červenci. Je to skutečně tak? b) Ve kterém z měst je průměrná teplota v lednu nejvyšší a ve kterém nejnižší? Jak je to v červenci? 61

c) Kde je v lednu nižší průměrná teplota; v Oslu, nebo v Pekingu? A kde v červenci? d) Porovnávej průměrné teploty v jiných dvojicích měst. [Odvárko, Kadleček 1998]

Sčítání celých čísel Pomůcka: knoflíky černé a bíle barvy - tyto dva knoflíky dohromady dají 0 Výsledek 5+3

8

(- 5 ) + 3

-2

(-5)+(-3)

-8

5+(-3)

2

5.2. Témata navazující na číselné obory

Na budování základních pojmů navazují další témata matematiky, např. dělitelnost v oboru přirozených čísel, procenta, poměr a trojčlenka, statistika atd. O těchto tématech se zmiňuji v následujících odstavcích.

Dělitelnost v oboru přirozených čísel Při zavádění pojmu násobek a dělitel lze použít příkladů z praxe, ve kterém lze využít jízdní řád nebo sladkosti.

Násobek Pomůcka: jízdní řád Paní Nováková přišla po čtvrt na jedenáct na zastávku tramvaje číslo 2. Chce jet co nejdříve. Jízdní řád je ale potrhaný, ale ví, že tramvaj jezdí ve stejných intervalech. Poradíte ji, kdy ji jede tramvaj?

62

7 8 9 10 11 12 13 14

5 5 5 5 5 5 5 5

10 10 10 10 10 10 10 10

15 15 15 15 15 15 15

20 20 20 20 20 20

25 25 25 25 25 25

Tramvaj jezdí mezi 7:00 až 14:00 pravidelně po 5 minutách. Odjezdy tramvaje mezi 10:00 a 11:00 (v minutách): 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55

(násobky čísla 5)

Například číslo 50 je desetinásobek čísla 5.

Odpověď: Tramvaj jede paní Novákové v 11:20. [Coufalová a kol. 2007]

Dělitel Pomůcka: modely sladkostí, karty s čísly Modely sladkostí Lenka, Petr, Venda a Honza dostali od babičky bonbony. Mohli si vybrat: sáček hašlerek, který obsahoval 35 bonbonů, krabičku s 36 pralinkami, nebo krabičku želé s 37 bonbony. Proč se děti vybraly pralinky?

Řešení je jednoduché: aby se nehádaly. Pralinky obsahovaly 36 bonbonů a děti dokázaly rozdělit na 4 stejné díly. Číslo 36 je dělitelné 4, zatímco čísla 35 a 37 čtyřmi dělitelná nejsou. Rozhodnout o tom bylo jednoduché, znáte přece násobilku 4.

Karty s čísly Při výuce můžeme žáky zapojit i tak, že každý dostane sadu karet s čísly a učitel zadává čísla a žáci na lavici skládají všechny dělitele tohoto čísla. Určete všechny dělitele čísel: 28, 29, 30, 36, 31, 42, 32.

63

Prvočíslo, číslo složené Pomůcky: stovková tabule Číslo 1 má jen jednoho dělitele, a to samo sebe. Každé přirozené číslo větší než 1 má aspoň dva dělitele: číslo 1 a samo sebe. Kolik dělitelů má číslo 4?

Číslo 4 má tři dělitele (1, 2 a 4).

Čísla, která mají právě dva různé dělitele (číslo 1 a samo sebe), se nazývají prvočísla. Čísla, která mají více než dva dělitele, se nazývají složená čísla.

Určíme si z čísel od 1 do 100 prvočísla. Každý žák dostane tabulku:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Nejprve vyškrtneme číslo 1, to není ani číslo složené, ani prvočíslo. Dále vyškrtneme všechny násobky čísla 2, potom všechny násobky čísla 3 a takto pokračujeme dokud nám nezbudou jen prvočísla. Tento způsob vyhledávání prvočísel od 1 do 100 je znám z historie. Řecký matematik Eratosthenes si čísla do 100 poznačil na voskovou tabulku. Ve voskové tabulce vypaloval horkou jehlou tak dlouho, až mu zbyla jen prvočísla. Tabulka byla nakonec děravá, připomínala síto. Proto se této metodě hledání prvočísel říká Eratosthenovo síto.

64

Plakát s ukázkou rozkladu čísel na součin prvočísel Jak lze rozložit číslo 36 na součin prvočísel? 36

36

36

36

6 . 6

4 . 9

3 . 12

2 . 18

2.3 2.3

2.2 3.3

3.4 2.2

2.9 3.3

Ze všech možností rozkladu vyplývá, že rozklad čísla na součin prvočísel je 2 . 2 . 3 . 3.

Existuje několik způsobů zápisu rozkladu čísel na součin prvočísel. a) Metoda „vodopád“, která je uvedena výše, nebo „strom“, který se liší od vodopádu tím, že schéma je opačné.

2.3 2.3

2.2 3.3

6 . 6

4 . 9

36

36

b) Metoda postupného dělení 36 : 2 = 18 18 : 2 = 9 9:3=3 c) Metoda „žebříku“ 36 2 18 2 9

3

3

3

1 [Odvárko, Kadleček 1997]

Procenta S procenty se žáci setkávají v běžném životě téměř denně, v peněžní sféře. Mám na mysli nejen okolnosti, které se jich týkají přímo (slevy v obchodech na různé zboží), ale setkávají se i s různými reklamami na půjčky, leasingy, peněžní fondy apod. Proto vidím potřebu je na tyto reálné životní situace důkladně připravit, aby byli v budoucnosti schopni v těchto situacích jednat s přehledem. 65

Základní výpočty Pomůcky: nabídky cestovních kanceláří, ve kterých jsou zlevněny zájezdy Vypočtěte o kolik procent byly zlevněny jednotlivé zájezdy uvedené v nabídce cestovní kanceláře.

Úrok Pomůcky: propagační materiály o půjčkách z různých peněžních ústavů Ze 7. ročníku už víte, že úrok je „odměna“, kterou platí peněžní ústav občanovi za to, že si u něj uložil na nějakou dobu peníze. Občan zase platí úrok bance, pokud si od banky peníze na nějakou dobu půjčil. Výše úroku závisí: -

na uložené nebo půjčené částce,

-

na době, po kterou jsou peníze uloženy nebo půjčeny (této době se říká úroková doba, doba splatnosti, doba existence smluvního vztahu)

-

na výši úrokové sazby (úrokové míry) peněžního ústavu. [Šarounová a kol. 2000]

Poměr a trojčlenka Ředění různých tekutin v určitém poměru – voda a sirup, barva a voda, postřik a voda. K ředění tekutin potřebuji i různé typy odměrek. K ředění postřiků potřebujeme i návody, v jakém poměru postřik s vodou ředit, aby měl správný účinek. V běžném životě se s poměry setkáme také při vaření (pomůckou nám je váha a recepty). Jejich využití uvádí následující příklady.

Úměra Pomůcky: odměrky Pepa maluje kuchyň, Čenda s Aničkou míchají barvu podle návodu: Objemové díly: Malbyt 3

vody 2

„Ředíte barvu správně?“ ptá se Pepa. „Samozřejmě, do tří dílů Malbytu nalejeme dva díly vody,“ odpovídá Anička. „ Malbyt mícháme s vodou v poměru tři ku dvěma,“ dodává Čenda. 66

•

Anička nalila do prázdného kbelíku tři plné půllitrové odměrky Malbytu, Čenda přidal dvě plné půllitrové odměrky vody. Udělali správnou směs?

•

Anička do kbelíku nalila další tři odměrky Malbytu. Kolik odměrek vody doplní Čenda, aby rozředění bylo správné?

•

Čenda vodu doplnil a navíc přilil další dvě odměrky vody. Kolik odměrek Malbytu musí nalít Anička, aby byl Pepa s barvou spokojen? [Odvárko, Kadleček 1998]

Na štítku láhve s tekutým pracím přípravkem je uvedeno dávkování: 1 odměrka (100 ml) pracího přípravku na 5 l vody. Jaké množství tohoto přípravku je třeba na a) 10 l,

b) 15 l,

c) 20 l vody.

V jakém poměru je množství pracího prostředku a množství vody v jednotlivých případech. [Šarounová a kol. 1998]

Počítání s poměry Pomůcky: recepty a váha Sýrový salát Předpis pro 4 osoby: 4 plátky eidamu, 2 jablka, 2 pomeranče, 1 bílý jogurt, cukr, citrónová šťáva. Napiš předpis a) pro 2 osoby, b) pro 6 osob, c) pro 9 osob. [Odvárko, Kadleček 1998]

Čaj pro dobrou pohodu Smíchej 1 díl pelyňku, 6 dílů kmínu, 8 dílů fenyklu, 4 díly kozlíku, 5 dílů heřmánku a 3 díly řebříčku. Dej 4 čajové lžičky směsi na půl litru vody. Vezmu 5 gramů pelyňku. Kolik mám přidat ostatních bylin? [Odvárko, Kadleček 1998]

Čaj proti nachlazení Smíchej 6 dílů drcených šípků, 1 díl listů černého rybízu a 1 díl listů kopřivy. a) Zapiš postupný poměr, ve kterém jsou ve směsi šípky, listy černého rybízu a listy kopřivy. 67

b) Pro směs jsme připravili 2 dkg listů černého rybízu. Kolik máme dát do směsi šípků a kolik kopřivy? [Odvárko, Kadleček 1998]

Zeleninová směs do bramborového salátu Smíchej mrkev, okurky, cibuli, celer a kapie v postupném poměru hmotností 3:2:1:1:1. a) Které suroviny se dává do směsi nejvíce? b) Zuzana připravila do zeleninové směsi 5 dkg cibule. Jaké hmotnosti budou mít ostatní druhy zeleniny? [Odvárko, Kadleček 1998]

Statistika Statistika učí žáky zpracovávat a vyhodnocovat údaje. Údaje získáme z různých tabulek, diagramů, které jsou zveřejňovány ve sdělovacích prostředcích.

Statistická šetření Pomůcka: tabulky se statistickými údaji (údaje nalezeme ve statistických ročenkách, na internetu) Žáci na základních školách v České republice V tabulce jsou uvedeny některé údaje o žácích na základních školách k 30. září 2004.

V 1. - 9. ročníku celkem z toho v 1. ročníku ve 2. ročníku ve 3. ročníku ve 4. ročníku v 5. ročníku v 6. ročníku v 7. ročníku v 8. ročníku v 9. ročníku

Počet žáků Počet procent 917 738 90 260 89 789 93 006 97 854 111 459 108 310 109 119 113 000 104 932

Tabulka byla sestavena na základě statistického šetření. Pozorně si ji prohlédněte a doplňte chybějící údaje. Pak odpovězte na těchto osm otázek: 1. Kolik žáků bylo 30. 9. 2004 v 1. až 9. ročníku celkem? 2. Kolik z nich bylo k tomuto datu v 8. ročníku? 3. Ve kterém ročníku bylo nejvíce žáků? A ve kterém nejméně? 68

4. Bylo více v 1. až 5. ročníku, nebo v 6. až 9. ročníku? 5. Které číslo tvoří základ pro výpočet počtů procent žáků v jednotlivých ročnících? 6. Jsou počty procent vypočítány správně? Zkontroluj, výsledky zaokrouhli na desetiny. 7. Kolik je ve vaší třídě chlapců a kolik dívek? 8. Kolik procent počtu žáků vaší třídy jsou chlapci a kolik procent dívky? [Odvárko, Kadleček 1999]

V naší republice existuje mnoho agentur, které provádí různá výzkumná šetření. Zahrajte si na agenturu a proveďte různá statistická šetření (např. Kolik sourozenců mají tvoji spolužáci? nebo Počet dopravních nehod na našich silnicích. atd.). Ke svým šetření sestrojte grafy.

Diagramy Žáci se především setkají s těmito základními typy diagramů: a) sloupcový b) kruhový c) obrázkový d) hůlkový

Několik návrhů na tvorbu diagramů pro žáky: Kolik bytů je v České republice, které byly dokončeny v letech 1995, 1996, 1997 a 1998. Počet dopravních nehod ve Vašem kraji, podle jednotlivých dnů. Počet uživatelů jednotlivých telefonních operátorů. …

69

5.3. Názornost v geometrii

V geometrii je potřeba použít co nejvíce názorných pomůcek. Protože řada pojmů je abstraktních a pro žáky těžko představitelných.

Zjišťování délky úsečky Pomůcky: měřidla, tabulky Měřidla Při měření úseček seznámíme žáky nejdříve s jednotkami délky, ukážeme jim různá měřidla (papírová měřítka, posuvný metr, dřevěný metr, …). Předměty, které mohou žáci měřit: délka lavice, sešitu, tužky, … atd. Těmito předměty můžeme vzbudit u žáků představu, že 1 metr je délka lavice, … atd.

Další využití měřidel je ukázáno na následujícím příkladu. Žáci 7.B dostali za úkol narýsovat podlahu třídy v měřítku 1 : 100. V tomto měřítku se zobrazí 1 metr jako 1 centimetr. Délka i šířka podlahy se v obrázku zmenší v poměru 1 : 100. [Odvárko, Kadleček 1998]

Tabulky K převodu jednotek můžeme žákům ukázat různé tabulky, které jim s převody pomohou. Někteří žáci pochopí převody jednotek pomocí následujícího schématu: 1 m = 10 dm = 100 cm 1 dm = 10 cm = 1000 mm 1 cm = 10 mm

Jiní potřebují k převodům tabulku přímé úměrnosti: m

1

2

3

…

cm

100

200

300

…

A nebo mřížku k převodu jednotek měr: km

0

0

0

0

0

m

dm

cm

mm

0

0

0

0

70

Žáci dosazují do tabulky čísla od 1 do 9 a desetinnou čárku.

1

2

3

…

9

,

Využití názoru a pomůcek při budování pojmu úhel Pomůcky: špejle, modely úhlů Špejle Každý žák dostane špejle a na lavici vymodeluje a) různoběžky, b) rovnoběžky, c) přímky, které splývají. Na kolik částí rozdělí rovinu příslušná dvojice přímek?

Úhel α můžeme vymodelovat jako průnik dvou polorovin (poloroviny BVA a

poloroviny AVB) viz. Obr. 1. [Odvárko, Kadleček 2004]

Obr. 1

Obr. 2

Polopřímky VA a VB, které úhel vymezují, nazýváme ramena úhlu. Bod V je vrchol úhlu. Úhel se označuje pomocí vrcholu a dvou bodů na ramenech. Náš úhel můžeme

popsat jako úhel AVB, používáme symbol ∠ (Obr. 2). Úhel označujeme třemi body, název vrcholu je vždy uprostřed. Nebo jej označujeme řeckými písmeny, např. α, β, γ. 71

Modely úhlů (papírové, plastové) Sčítání a odčítání úhlů Pomocí modelů úhlů můžeme modelovat grafické sčítání a odčítání úhlů.

Grafický součet Úhly α ,β graficky sčítáme přenášením úhlů. Úhly, jež chceme graficky sčítat přeneseme tak, aby měly vrchol a jedno rameno společné – vytvoříme dvojici styčných úhlů. Grafickým součtem je pak sjednocení obou úhlů. Krajní ramena přenesených úhlů svírají výsledný úhel, jehož velikost se rovná součtu úhlu α ,β .

Grafický rozdíl Úhly α ,β graficky odčítáme přenášením úhlů. Ramena úhlů α ,β , která spolu nesplývají, svírají úhel, jehož velikost se rovná rozdílu úhlu α ,β . Jeden úhel je podmnožinou druhého úhlu (na obrázku je úhel β podmnožinou úhlu α ).

72

Osa úhlu 1. Narýsujte na papír úhel KLM a vystřihněte ho. Přeložte ramena úhlu na sebe (splynou body K a M). Vrcholem L vede polopřímka, na polopřímce si zvolím bod X. Osa úhlu KLM je polopřímka LX taková, že ∠ KLX t ∠ MLX .

2. Na polopřímce LX si zvolím bod Q. Jaká je vzdálenost bodu Q od obou ramen? Odpověď: | PQ | = | QO | . Pokud zvolím na ose úhlu další body, tak zjistím, že i tyto body mají od obou ramen úhlu stejnou vzdálenost. Potom lze dokázat, že každý bod osy úhlu má od jeho ramen sobě rovné vzdálenosti.

73

Vystřihněte si z papíru modely dvou úhlů. Položte je na lavici tak, aby měly společný: a) jeden bod, b) úsečku, c) polopřímku, d) trojúhelník, e) čtyřúhelník. Výsledky si nakreslete do sešitu a porovnejte.

Využití názoru a pomůcek při výuce osové a středové souměrnosti Osová souměrnost Pomůcky: modely dopravních značek, modely geometrických útvarů Modely dopravních značek Vyberte dopravní značky, které jsou osově souměrné (např. dej přednost v jízdě, pozor zúžení vozovky, zákaz vjezdu, přikázaný směr jízdy aj.).

Modely geometrických útvarů Z geometrických útvarů vyberte ty, které jsou osově souměrné a určete počet os souměrnosti.

Osově souměrný obrázek Pomůcky: obrázek robota, špendlík Každý žák obdrží polovinu robota (obrázek 3) a má jej dokreslit tak, aby obě části byly osově souměrné.

74

Obr. 3

Postup: Žáci si zvolí osu souměrnosti (v obrázku je vyznačena), papír si přeloží a důležité body propíchnou špendlíkem. Potom spojí propíchnuté body a dostanou osově souměrný obrázek robota.

Středová souměrnost Pomůcky: geometrické útvary, čtvercová síť Geometrické útvary Žáci hledají ty geometrické útvary, které jsou středově souměrné. Např. Z útvarů znázorněných na obrázku vyberte útvary středově souměrné.

[Šarounová a kol. 1997] 75

Čtvercová síť Ve čtvercové síti narýsujte obrazce podle obrázku a sestrojte jeho obraz ve středové souměrnosti se středem S.


Na obrázku je obdélník ABCD a bod S. a) Obrázek si překreslete do čtvercové sítě. b) Určete souřadnice vrcholů A, B, C obdélníku a bodu S. c) Sestrojte obraz A´BĆ´Dóbdélníku ABCD ve středové souměrnosti se středem S. d) Zapište souřadnice bodů A´, B´, C´, D´.


76

Využití názoru a pomůcek u trojúhelníku Pomůcky: modely trojúhelníků, špejle, provázek Hlavní pomůckou v této kapitole jsou modely trojúhelníků (z papíru, plastu, dřeva apod.). Na tomto modelu žáky seznámíme se základními pojmy. Ukážeme jim vrcholy, strany, úhly (vnitřní a vnější). Na papírovém modelu trojúhelníku žákům vysvětlíme i vlastnosti rovnoramenných, rovnostranných, pravoúhlých, ostroúhlých a tupoúhlých trojúhelníků. Papírové modely trojúhelníků mají mnoho využití, jak ukazují následující příklady.

Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku Pomůcky: papírový model trojúhelníku a) Modelováním – z papíru vystřihneme trojúhelník. Jeden z vrcholů přehneme k základně, jak naznačuje obrázek 4.

Obr. 4 Ostatní vrcholy přehneme také k základně, podle obrázku 5. A dostaneme obrazec, který je na obrázku 6. Z toho žáci vyvodí, že součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven přímému úhlu, tedy 180°.

Obr. 5

Obr. 6

77

b) Grafický součet úhlů – vrcholem C vedeme rovnoběžku se základnou AB, úhly při vrcholech A a B přeneseme k vrcholu C. Na obrázku 7 vidíme, že součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven přímému úhlu, tedy 180°.

Obr. 7

c) Měřením – úhloměrem změříme všechny vnitřní úhly v trojúhelníku a sečteme jejich velikosti. Výpočet nám jen potvrdí předchozí dvě metody, tedy, že součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven přímému úhlu, tedy 180°.

Trojúhelníková nerovnost Pomůcky: špejle Trojúhelníkovou nerovnost můžeme modelovat pomocí barevných špejlí. Každý žák dostane barevné špejle (viz. obrázek 8).

Obr. 8

Žáci zkouší ze špejlí modelovat trojúhelníky. Zjistí, že vždy trojúhelník nedostanou. Aby vymodelovali trojúhelník, musí mít vždy součet velikostí dvou špejlí větší než velikost třetí špejle. Předchozí větu dokazuje obrázek 9.

78

Obr. 9

Pravoúhlý trojúhelník Pomůcky: provázek Zdůvodněte správnost vytyčení pravého úhlu, které je možno provést v praxi takto: na napjatém motouzu se uváže 13 uzlů tak, že vzdálenosti mezi jednotlivými uzly se sobě rovnají. Pak motouz vypneme tak, aby uzly 1, 4, 8 (a 13 upevněný na témže místě jako 1) se staly vrcholy trojúhelníku. Získáme tak pravoúhlý trojúhelník. (Tímto způsobem vytyčovali pravý úhel již staří Egypťané a Indové.)

[Müllerová a kol. 1990]

Papírový model trojúhelníku Na papírových modelech trojúhelníku žákům modelujeme střední příčky, těžnice, výšky v trojúhelníku, také jimi můžeme modelovat kružnici opsanou a vepsanou trojúhelníku.

Střední příčky v trojúhelníku Střední příčka trojúhelníku se nazývá úsečka spojující středy dvou sousedních stran trojúhelníku. Každá střední příčka je rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníku a její délka se rovná polovině délky této strany. [Odvárko, Kadleček 2004]

79

Těžnice trojúhelníku Těžnice trojúhelníku se nazývá úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a střed strany protější k vrcholu. [Odvárko, Kadleček 2004]

Čenda přichází s rozevřeným kružítkem a trojúhelníkem z tvrdého papíru. Pokládá opatrně trojúhelník na jehlu kružítka a roztáčí ho. Trojúhelník se točí a nepadá! Jak je to možné? Je to možné tak: spojením vrcholů se středy protějších stran dostanu průsečík, do kterého zapíchnu kružítko. [Odvárko, Kadleček 1997]

Výška v trojúhelníku Výška je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu Slovy výška trojúhelníku označujeme i délku této úsečky a někdy i přímku, na které tato úsečka leží.

Kružnice opsaná a vepsaná trojúhelníku Chloubou města Trojhranov je Trojný park, který má trojúhelníkový tvar. Zahradnické závody osely celý park travou. Aby tráva neuschla, je nutné někam umístit otočný zavlažovač, který lze nastavit tak, že rovnoměrně kropí jistou kruhovou plochu. Je požadováno, aby byla zavlažována celá parková plocha a současně nesmí docházet k zbytečnému plýtvání vodou. Kam má být zařízení umístěno. [Coufalová a kol. 2007]

Kružnice opsaná trojúhelníku je taková kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Středem kružnice opsané je průsečík os stran trojúhelníku.

Několik dní po uvedení zavlažovacího zařízení v Trojném parku do provozu, se na radnici objevily první stížnosti od lidí, kteří procházeli po chodnících kolem parku a byly zmáčeni rozstřikovanou vodou. Městská rada proto rozhodla, že zavlažování má být taková největší část parku, aby voda nedopadala na chodníky. Samozřejmě, že pak nebude zalévaná celá zatravněná plocha. Je nutné najít nové místo pro zavlažovač, anebo stačí jen zmenšit délku rozstřiku? [Coufalová a kol. 2007]

Kružnice vepsaná trojúhelníku je taková kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Středem kružnice vepsané je průsečík os vnitřních úhlů trojúhelníku. 80

Pythagorova věta Důkaz Pythagorovy věty Pomůcky: papírové modely čtverce Oba čtverce na obrázku jsou shodné a mají týž obsah. Jejich strana má délku a + b. Čtverec na obrázku vlevo je rozdělen na čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami délek a, b a na čtyřúhelník ABMN se stranou délky c. Úhel BAN je pravý. Totéž platí pro jeho zbývající úhly, takže vybarvený čtyřúhelník ABMN je čtverec s obsahem c2. Trojúhelníky očíslované stejnými čísly na obou obrázcích mají sobě rovné obsahy. Po jejich odstranění zbudou jen barevně vyznačené čtverce, pro jejichž obsahy zřejmě platí: c2 = a2 + b2


Dalšími možnostmi důkazů je dělení čtverců sestrojených nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku rozdělených na nepřekrývající se n-úhelníky tak, aby z nich bylo možné sestavit dvojici čtverců sestrojených nad odvěsnami tohoto pravoúhlého trojúhelníku. Několik takových rozdělení čtverců je uvedeno na obrázcích. Překreslete si je ve větším měřítku na tužší papír, největší čtverec rozstříhejte podle nákresu a získanými dílky pokryjte oba zbývající čtverce.

81


Využití názoru a pomůcek při budování pojmu obvod a obsah geometrického útvaru Pomůcky: provázek, trojúhelníková a čtvercová síť Obvod geometrického útvaru je délka křivky nebo lomené čáry, která je hranicí obrazce v rovině. [Sedláček a kol. 1981] Obvod geometrického útvaru můžeme zjistit experimentální činností (žáci si změří jednotlivé části geometrického útvaru a sečtou je) nebo si vymodelují hranici 82

pomocí provázku a vytvoří grafický součet všech jeho stran. Dále můžou určit obvod geometrického útvaru pomocí trojúhelníkové podložky nebo čtvercové sítě. Obsah geometrického útvaru je reálné nezáporné číslo, které udává kolika čtverečnými jednotkami můžeme útvar pokrýt.

Čtyřúhelníky Ve školské geometrii se žáci nejdříve seznamují s obdélníkem a čtvercem, později se učí o rovnoběžníku, kosočtverci a lichoběžníku.

Klasifikace čtyřúhelníků K procvičení učiva o čtyřúhelnících lze použít následující příklad. Pomůcky: papírové modely čtyřúhelníků Žáci se rozdělí do skupin. Každá skupina dostane obálku s různými čtyřúhelníky. Úkolem je rozdělit čtyřúhelníky podle vzájemné polohy dvojic protějších stran (rovnoběžníky, lichoběžníky, obecné čtyřúhelníky). [Šarounová a kol. 1998]

Modelace čtyřúhelníků Pomůcky: trojúhelníková a čtvercová síť K modelaci čtyřúhelníků mohou žáci použít trojúhelníkovou podložku nebo čtvercovou síť. Trojúhelníkovou podložku si žáci mohou vyrobit sami. Podložka je složena z rovnostranných trojúhelníků o stranách délky 1 cm podle obrázku. Jako čtvercovou síť můžeme použít listy ze čtverečkovaného sešitu.

83

Obsah obdélníku a čtverce Pomůcky: čtvercová síť Pomocí čtvercové sítě načrtněte čtverec a dva obdélníky s obvodem 16 cm. a) Vypočítejte jejich obsahy. Co pozorujete? b) Čtverec rozdělte na dva obdélníky s obsahem 8 cm2. určete obvod těchto obdélníků. [Šarounová a kol. 1997]

Pomocí čtvercové sítě načrtněte několik obrazců složených ze 16 čtverečků. Říkáme, že tyto obrazce mají obsah 16 centimetrů čtverečných. Určete obvody všech obrazců, které jste načrtli. [Šarounová a kol. 1997]

Obsah rovnoběžníku a lichoběžníku Při počítání obsahů těchto čtyřúhelníků nám pomůže čtvercová síť, pomocí které můžeme žákům vyvodit vzorce pro výpočet.



Obsah trojúhelníku Obsah trojúhelníku lze vyvodit z obsahu rovnoběžníku. Rovnoběžník rozdělíme úhlopříčkou na dva shodné trojúhelníky.

84

[Šarounová a kol. 1997] Z toho nám vyplývá vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku: a . va .

2 Kružnice a kruh Pomůcky: předměty denní potřeby, papírový model kružnice, špejle, provázek, měřidlo, papírový model kruhu

Pojem kruh a kružnice Pomůcky: předměty denní potřeby K vytvoření představy o pojmech kruhu a kružnice nám mohou posloužit předměty denní potřeby. Například prstýnek, proužek papíru, obruč, mince, tlačítko na ovládači…

Vzájemná poloha kružnice a přímky Pomůcky: papírový model kružnice a špejle Různé možnosti vzájemné polohy kružnice a přímky si žáci modelují pomocí kružnice z papíru a špejle nebo obruče a ukazovátka. Takto vyvodíme pojmy: sečna, tětiva, tečna, vnější přímka.

Vzájemná poloha dvou kružnic Pomůcky: papírové modely kružnic, obruče Pomocí dvou kružnic z papíru nebo dvou obručí žáci vymýšlejí různé možnosti a počty řešení. Případy, kdy kružnice nemají společný bod, jsou soustředné kružnice, mají vnitřní dotyk, protínají se, mají vnější dotyk, nemají žádný společný bod.

85

Délka kružnice a obvod kruhu Pomůcky: provázek, předměty (láhev, sklenička, mince, obruč), měřidlo Na papír si narýsujte tabulku: Délka o kružnice Průměr d kružnice Podíl o : d

Do tabulky zapište tyto údaje: 1. Změřte průměr d kružnice (kruhu) a zapište ho do tabulky. 2. Niť nebo provázek naviňte na obvod kruhu (kružnici) a změřte délku o navinuté nitě. Zapište ji do tabulky do stejného sloupce jako změřený průměr d. 3. Vypočítejte podíl o : d a zapište ho do stejného sloupce jako údaje o a d. Zopakujte tento postup pro několik modelů. Při přesném měření je podíl o : d pro všechny kružnice (kruhy) přibližně číslo 3,1. Tento podíl je pro všechny kružnice (kruhy) stálý a jeho hodnota se označuje písmenem řecké abecedy π (čti pí). Ze vztahu o : d = π dostáváme pro délku kružnice o = π d. [Čižmár a kol. 1990]

Vhodnou pomůckou k určení délky kružnice jsou i etikety z pet lahví. Při jejich sejmutí z lahve získají žáci reálnou představu o délce kružnice.

Délka kružnice

Obsah kruhu Pomůcky: papírový model kruhu Narýsujte kruh s poloměrem r = 5 cm a rozdělte ho na 12 shodných kruhových výsečí. Tyto kruhové výseče střídavě vybarvěte. Kruh rozstříhejte na kruhové výseče a sestavte je do útvaru podle obrázku b). Útvar je přibližně rovnoběžník, jehož dvě protilehlé

86

strany jsou složeny z oblouků kružnice. Celková délka těchto oblouků na jedné straně je rovna π r. Výška „rovnoběžníku“ se rovná r. Pro obsah S tohoto „rovnoběžníku“ platí: S = (π r) . r = π r2. Obsah „rovnoběžníku“ se rovná obsahu kruhu.

Rozdělíme-li kruh na větší počet kruhových výsečí, bude se útvar sestavený z výsečí blížit rovnoběžníku. [Müllerová a kol. 1990]

Využití názoru a pomůcek ve stereometrii Ve stereometrii využíváme převážně různých modelů. Modely mohou být drátěné, plné (dřevěné, papírové), rozkládací (plastové, papírové). Rozkládací modely jsou vhodné k názorné ukázce sítí, podle kterých žákům vysvětlíme výpočty povrchů těles.

87

Drátěné

Dřevěné

88

Rozkládací

89

Krychle a kvádr Pomůcky: modely těles, papírové krabičky (od čaje, bonboniér, …) Kde se v praxi můžeme setkat s kvádrem nebo krychlí? (panelový dům, skříň, krabice,…)

Ve skupině dostanou úkol: rozdělte krabičky na krychle a kvádry. Podle čeho jste poznali, že jde o krychli či kvádr.

Krychle je pravidelný čtyřboký hranol, jehož hranice je sjednocením šesti čtverců. Krychli lze definovat i jako pravidelný šestistěn, popř. jako kvádr s třemi stejnými rozměry atd. [Sedláček a kol. 1981] Kvádr je kolmý hranol, jehož podstavou je pravoúhelník. [Sedláček a kol. 1981]

Síť krychle a kvádru Pomůcky: papírové krabičky, sítě kvádru a krychle Rozstříháním papírových krabiček dostaneme sítě krychle a kvádru. Vybarvěte si shodné obrazce stejnými barvami. Vypočítejte obsah jednotlivých obrazců (vyvození vzorce na povrch krychle a kvádru). Součet obsahů všech barevných obrazců sítě krychle nebo kvádru dává povrch krychle či kvádru. Uvádí se v jednotkách obsahu.

90

91

Objem krychle a kvádru Objem krychle je kladné reálné číslo, které udává kolika jednotkovými krychlemi těleso vyplním.

Na podstavu tělesa klademe vedle sebe bez mezer jednotkové krychličky do pásů. Počet krychliček v pásu udává délku. Počet jednotkových krychlí v jedné vrstvě je pak dán součinem délky a šířky. Výška udává, kolik vrstev jednotkových krychlí těleso vyplní. U krychle je to jednodušší v tom, že má všechny hrany stejně dlouhé. Objem kvádru vypočítáme, když vynásobíme jeho délku, šířku a výšku. (V = a . b . c) Objem krychle vypočítáme stejně. (V = a . a . a)

Jednotky objemu Základní jednotkou je 1 m3 -

pro vzájemné převody mezi jednotkami objemu je důležité číslo 1000.

1 cm3 = 1000 mm3

1 dm3 = 1000 cm3

1 m3 = 1000 dm3

1 mm3 = 0,001 mm3

1 cm3 = 0,001 cm3

1 dm3 = 0,001 m3

92

V praxi se používají pro měření objemu kapalin další jednotky. Nejčastěji se používá 1 litr. 1 l = 1 dm3

Jednotkou větší než 1 litr je 1 hektolitr. 1 hl = 100 l

Jednotky menší než 1 litr jsou decilitr, centilitr, mililitr. 1 l = 10 dl

1 l = 100 cl

1 l = 1 000 ml

1 dl = 0,1 l

1 cl = 0,01 l

1 ml = 0,001 l

Válec Pomůcky: papírové krabičky (krabička od lentilek, sýrů), modely válce

Síť válce Pomůcky: papírové krabičky Síť válce dostaneme rozstříháním papírových krabiček. Pomocí sítě válce vyvodíme žákům povrch tohoto tělesa.

93

Objem válce Pomůcky: obrázek Na obrázku je znázorněn válec, který je rozdělen na 12 shodných dílů. Z těchto částí je sestaveno těleso ABCDA´BĆ´D´. Pomocí tohoto tělese odůvodněte, že objem válce V = π r2 v.

[Šedivý a kol. 1991]

Jehlan Síť a povrch jehlanu Pomůcky: síť jehlanu

Obr. 10

Povrch jehlanu se skládá z podstavy a pláště. Na obrázku 10 vidíme síť pravidelného čtyřbokého jehlanu. Je zřejmé, že plášť jehlanu se skládá ze shodných rovnoramenných 94

trojúhelníků se základnou a a s výškou vs stěny. Proto se obsah pláště rovná součtu obsahů trojúhelníků, které tvoří plášť. [Šedivý a kol. 1991]

Objem jehlanu Na obrázku 11 je krychle ABCDGVEF. Krychli můžeme vhodnými řezy rozdělit na tři čtyřboké jehlany se společným vrcholem V; jsou to ABCDV, CEFDV, ADFGV. Objem každého z nich se rovná jedné třetině objemu krychle.

Obr. 11

Na fotografii vidíme, že i kvádr můžeme rozložit na tři jehlany stejného objemu.

Na další fotografii je pravidelný trojboký hranol opět rozložený na tři jehlany stejného objemu.

95

Nepravidelný trojboký hranol rovněž můžeme rozložit na tři jehlany stejného objemu.

Můžeme usoudit, že objem jehlanu je jedna třetina objemu hranolu se stejnou podstavou a výškou. [Šedivý a kol. 1992]

Kužel Síť kužele Pomůcky: síť kužele

Objem kužele Pro objem kužele platí podobný vztah jako pro objem jehlanu, jen je třeba porovnat objem kužele a objem válce, jejichž podstava a výška jsou stejné. Tedy objem kužele se rovná jedné třetině objemu válce. [Šedivý a kol. 1992]

Povrch kužele Síť rotačního kužele se skládá z podstavy a pláště. Podstavou kužele je kruh, jehož obsah Sp = π r2. Rozvineme-li plášť kužele do roviny, dostaneme kruhovou výseč, jejímž poloměrem je strana kužele s a jejíž oblouk má délku 2πr (obrázek vlevo). Obsah 96

Spl tohoto útvaru je π r s (obrázek vpravo), což je obsah pláště kužele. Povrch kužele tedy je π r2 + π r s, po úpravě dostaneme vzorec: S = π r (r + s).

97

5.4. Pracovní listy

Tyto listy můžeme použít k opakování učiva nebo jeho procvičení. Pracovní listy si může každý učitel vytvořit sám tak, aby pokrývaly dovednosti jeho žáků. Ve své práci uvádím několik možností pracovních listů. Mé pracovní listy jsou k procvičení učiva, ale také k jeho zpestření.

Pracovní list 1

Počítání s desetinnými čísly Zapiš čísla do tabulky řádů a rozlož je na součet desítek, jednotek, desetin, setin.

desítky jednotky , desetiny setiny

2,4

2

2,4

, 4

=

2

+

0,4

12,07 6,05 4,72 0,73 5,97 32,8 [Justová 1997]

a

0,5

0,7

4

5,6

9,8

a + 0,4 a + 3,6 a - 0,2 11,4 - a

: 10

: 100

2,68

444

13,4

17,5

0,5

3,87

826

200,9

98

x

2

2,4

0,36

6

0,096

52,8

3

2,5

0,45

6

0,085

64,5

x:4

x x:5

: 0,03

: 0,05

0,96

2,5

0,018

0,95

5,1

0,135

90

10

7,2

6,5

Početní šachy A

B

C

D

E

1

1,8

1,25

20,4

0,64

6

2

16,9

0,14

0,63

1,96

9

3

0,3

1,5

8,1

2,25

0,8

4

4

25

0,48

17

0,5

5

0,24

1,2

3

0,6

0,21

1. součet čísel ve sloupci A 2. 4B – 2A 3. 2E – 5E 4. 3A . 5D 5. 4C : 3E 6. 3B . 5C 7. 3D : 3B 8. 1C : 5B 9. 3C : 2E 10. 1B : 4B 11. 4D . 4E 12. součet čísel v řádku 5 13. součet čísel ve sloupci E [Šarounová a kol. 1996] 99

Doplňte: 0,064 : 2 = …… : ….. = 0,08 . 9 = ……. : 0,6 = …… : 4 … : ….. = 3 . 0,3 = ……

1,6 : 2 = … - 0,2 = … . 0,7 = … + 2,8 = … : 2 = : 8 = … . 1,4 = … + 9,38 = … : 2 = … : 3 =

výsledky jsou stejná čísla

Doplňte výsledky naznačených početních výkonů:


100

Pracovní list 2

Počítání se zlomky Vyjádřete zlomkem, jaké části celku jsou vyšrafovány na obrázku:


Zapište zlomkem, jaká část obrazce je vyznačena barevně:


Vypočtěte jakou částí obdélníku ABCD je: čtverec KLMN, obdélník ABEF, trojúhelník ABD, obdélník VXYZ, obdélník AXVD.

[Šarounová a kol. 1997] 101

[Justová 1997]

Doplňte tabulku tak, že zlomky v řádku rozšíříte čísly v prvním sloupci.


Doplňte tabulku o výsledek početní operace, kterou naznačuje šipka:


102

Doplňte sčítací pyramidy.

Početní šachy

[Šarounová a kol. 1997] Další výrazy si můžou žáci vytvořit sami.

103

Pracovní list 3

Počítání s celými čísly Doplňte tabulky: x

7

-2

31

-x

12

y

4

-9

-2

-18

-y

-63

13 2

-56

1

-16


x

14

-7

0

6

-10

25

x + (- 6) -9+x [Odvárko, Kadleček 1998]

. (- 6)

. (- 7)

-8

8

11

-11

-1

1

-12

12

1

-1

0

0

10

-10

-9

9

.

-12

-14

6

10

.

-5

2

3

-6

-8

7

9

-1

-4

10

-17

3

-9

18


104

Doplňte:


Doplňte barevná políčka:

Doplňte:

105

Pracovní list 4

Absolutní hodnota čísla Matematické sudoku Za písmena dosaďte čísla, která dostanete vypočítáním příkladů. Do volných políček doplňte čísla tak, aby vždy bylo v každé silně označené oblasti číslo od 1 do 6.

| - 2 | + | -3 | = A

|-2+|-3||=B

|4–7|=C

|(- 4): (- 2)| = D

||-3|-|9||=E

|3|+|-4|-|-2|+|-1|-|-2|=F

( | - 36 | : | - 3 | ) : | 28 : 7 | = G

|2–3|+(-2).2|=H

| 4 – 10 | = I

| 3 . ( - 8 ) + 20 | = J

| ( - 23 – 35 ) : 29 | = K

|6-|-9|+|-4|-|2||=L

Řešení:

106

Pracovní list 5

Počítání se zápornými čísly Doplňte tabulky: x

14

-7

0

1

-16

6

-10

25

14

-7

0

1

-16

6

-10

25

14

-7

0

1

-16

6

-10

25

5

-2

8

3

-11

7

-12

27

14

-7

0

1

-16

6

-10

25

14

-7

0

1

-16

6

-10

25

x + (- 6) -9+x

x x + (- 4) -5+x

x x - (- 2) -7+x

x x - (- 2) -7+x

x x + (- 4) -5+x

x x + (- 2) -7+x

107

Pracovní list 6

Dělitelnost v oboru přirozených čísel Zapiš za sebou písmena u pravdivých tvrzení. Jaké slovo jste dostali? Jaké slovo vznikne z písmen u nepravdivých tvrzení?

80 je násobkem 16

N 56 je násobkem 7

O

43 je násobkem 7

Č 24 je násobkem 2

L

15 je násobkem 15

Á 576 je násobkem 24

B

425 není násobkem 17

Í


A

5 je násobek 25

S

30 je násobkem 6

K

19 je násobkem 1

S


Y

[Coufalová a kol. 2007]

Dělitelnost číslem

342

528

735

860

930

1 265

2 681

2 3 4 5 6 12 15

Násobky čísel Násobky čísel 3 a 7 Násobky čísla 3 jsou 3, 6, 9, 12, 15, 18, … atd. V obrázku začnu od 0 a pokračuji podle násobků čísla 3, k číslu 3, 6, 9, u čísla 12 je na místě jednotek 2, a proto pokračuji k dvojce u dalších násobků je to stejné (15 má na místě jednotek, tak k číslu pět). Po spojení všech násobků od 0 do 30 dostanu zajímavý obrazec. Pokud stejný postup zopakuji pro číslo 7, zjistím, že obrazec je stejný.

108

Pro násobky čísel 4 a 6 vyjde hvězda, pro násobky čísel 2 a 8 pětiúhelník.

Pro násobky čísel 1 a 9 desetiúhelník.

109

Pracovní list 7

Procenta Dopočítejte údaje tam, kde nejsou zapsány.

Část základu vyjádřená Základ

zlomkem

procenty

Skutečnost

100 kg

1/100 ze 100 kg

1% ze 100 kg

1kg

4 jablka ¾ ze 4 jablek 200 Kč

75% ze 4 jablek

2/5 z 200 Kč

25 dětí

80 Kč 40% z dětí

1/10 z x Kč 100 Kč

10 Kč 150 Kč

Určete v % jaká část útvaru je vybarvena.



110


Ve kterých útvarech na obrázcích a) až f) je obsah vybarvené části A – menší než 25 % obsahu útvaru, B – větší než 25 % obsahu útvaru, C – menší než 75 % obsahu útvaru, D – větší než 75 % obsahu útvaru?

[Čižmár a kol. 1990] 111

Pracovní list 8

Souřadnice bodu Utajené obrázky Zvolte osy souřadnic a na obou osách stejné jednotky délky. Vyznačte body o souřadnicích uvedených v závorkách. Spojením těchto bodů v uvedeném pořadí úsečkami dostane obrysy známých českých hradů. Při troše fantazie je jistě poznáte.


112

Řešení a):

Obměna: Žáci si nakreslí obrázky a zapíšou stěžejní body pomocí souřadnic a předají spolužákům, kteří mají zjistit, co je na utajeném obrázku.

113

Pracovní list 9

Výrazy Zapiš číselný vyraz daný diagramem a určete jeho hodnotu.

= 25.

114

[Müllerová a kol. 1990]

115

Pracovní list 10

Čtyřúhelníky Hádanky Petr řekl: „Hádejte jaký čtyřúhelník ABCD mám, když má všechny strany a jednu úhlopříčku stejně dlouhou.“ Honza řekl: „Hádejte, jaký čtyřúhelník mám, když má tři strany stejné délky.“ Vendulka: „Představuji si čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou kolmé navzájem a protínají se v bodě, který je středem jedné úhlopříčky, ale ne té druhé.“ Lenka: „A já si myslím na všechny čtyřúhelníky, jejichž úhlopříčky jsou k sobě kolmé. I na ten tvůj Vendulko.“ Vyberte z obrázku ty čtyřúhelníky, o kterých děti mluvily.

116

Pracovní list 11

Rýsování kružnice Ornamenty Při rýsování ornamentů si žáci procvičí techniku rýsovaní kružnic a také práci s kružítkem. Tato forma procvičení je pro žáky zábavná, protože jim vzniknou pěkné obrázky. Můžou si vytvářet i vlastní ornamenty. Úkolem je dokreslit ornamenty podle vzorů.

[Justová 1997]

117

Pracovní list 12

Pythagorova věta Na obrázku vyhledejte pravoúhlé trojúhelníky. Pro každý z nich nejdříve určete odvěsny a přeponu, pak zapište vzorec pro výpočet délky přepony.

118

Pracovní list 13

Stereometrie Na obrázku jsou ve čtvercové síti narýsovány podstavy hranolů, jejichž výška je 7 cm. Čtvercová síť je centimetrová. Vypočítejte objemy těchto hranolů.


119

6. Výzkumné šetření Cílem mého výzkumného šetření bylo zjistit, zda se učitelé snaží vysvětlit učivo názorně. Ve svém šetření provádím srovnání mezi učiteli s praxí a bez praxe (tím myslím nás, studenty vysoké školy). Hypotéza Na základě vlastní zkušenosti jsem stanovila základní předpoklad šetření takto: Předpokládám, že učitelé matematiky na 2. stupni ZŠ mají dostačující znalosti o názornosti a jejím uplatnění při výuce, a proto se snaží učit s využitím všech vhodných pomůcek. U studentů pedagogické fakulty předpokládám to stejné, akorát s tím rozdílem, že mají méně profesních zkušeností. Analýza získaných poznatků Pro získávání poznatků jsem použila dotazník zaměřený na využívání pomůcek při výuce matematiky na 2. stupni ZŠ. Dotazníky jsem přiložila do příloh. Dotazníky mi pomohli vyplnit spolužáci při svých praxích. Šetření se tedy zúčastnilo 38 učitelů matematiky na 2. stupni ZŠ různého věku, různě dlouhé praxe a různých škol. Odpovědi na jednotlivé otázky z dotazníků jsou v následujících grafech.. Z mých spolužáků vyplnilo dotazník 20 lidí.

Otázka: Délka praxe? Z mého šetření nelze jednoznačně říci, že by délka praxe ovlivnila používání pomůcek při výuce matematiky. Většina učitelů používá při výuce pomůcky. Z dotazníků vyplývá, že nejvíce používají pomůcky starší učitelé, kteří mají více než 21 let praxe. Domnívám se že to je tím, že dotazník vyplnilo celkem 17 učitelů s touto praxí. Ostatní zastoupení podle délky praxe uvádí graf 1.

120

Délka praxe

11%

18% 44%

0 - 5 let 6 - 10 let 11 - 15 let 16 - 20 let 21let a více

16% 11%

Graf 1

Otázka: Používáte při výuce matematiky pomůcky? Všech 38 učitelů s praxí uvedlo, že používají při výuce matematiky pomůcky. I všichni učitelé z řad studentů uvedli, že používají pomůcky.

Otázka: Které pomůcky používáte při výuce? V této otázce bylo několik možností základních pomůcek pro výuku matematiky, ze kterých si učitelé mohli vybrat. Uvádím dva grafy, ve kterých je vidět, které pomůcky učitelé používají nejvíce a které méně. V grafu 1 uvádím pomůcky, které používají učitelé s praxí a v grafu 3 pomůcky, které používají učitelé začátečníci.

Pomůcky, které učitelé používají při výuce matematiky

Kl a In sic te ká M rak ta ag tiv bu n e ní le tic tab ká u t a le bu U M Pr at ac čeb le em o Xe a vn n ice ro tick í s e x é š G ova ta ity eo n b u m é m lk y et r ic ate ká riá tě ly le Pr sa av Kr itko u Sc ž ít hé k o m G ra P ata fy lá , d ka Do iag ty pl ram ňo y va Ka č rty Mo ky Zp s de ět př í ly ný kl p a Da ro dy ta jek pr to oj r ek to Vi r de Po o č CD íta ,D č VD

40 35 30 25 20 15 10 5 0

Graf 2 121

Pomůcky, které používají začínající učitelé při výuce matematiky 25 20 15 10 5

Kl a In sic te ká M rak ta ag tiv b ne ní ule tic ta ká bu ta le P U b M r at ac če b ule Xe em ov ni ro at ní ce x i c se G ova ké šit eo né ta y m m bu et a l ky ric te k á ri á tě ly Pr lesa av Kr itko Sc uží hé tko m G ra P ata fy lá ,d k D iag at y op ra lň m ov y ač Ka rt y M ky Zp s od ět př el y ný ík D pr la d at oj y ap ek ro to je r kt o Vi r de Po o Vý uk C čít o v D, a č é D pr VD og ra m y

0

Graf 3

Z grafu 2 a 3 vyplývá, že nejvíce učitelé používají při výuce matematiky klasickou tabuli, učebnice a rýsovací potřeby (pravítko a kružítko). Na možnost jiných pomůcek odpověděli pouze učitelé s praxí, kteří využívají při výuce např. hrací kostky, karty, zlomkovnici, čtvercovou síť, krabičky, reklamní letáky, váhu, noviny a další.

Otázka: Používáte metodické pomůcky? Metodické pomůcky jsou takové, při jejichž použití dojde žák k cíli sám svým poznáním. V této otázce je vidět rozdíl mezi učiteli s praxí a začínajícími učiteli, kteří moc praxe ještě nemají. Protože u učitelů s praxi odpověděli všichni na tuto otázku ANO, tedy 38 respondentů používá metodické pomůcky. A jak to vypadá u učitel bez praxe uvádí graf 4.

122

Metodické pomůcky

5%

30%

Ano Ne Neodpověděl 65%

Graf 4

Celkem 13 začínajících učitelů odpovědělo ANO, že používají metodické pomůcky a 6 odpovědělo, že NE. Jeden respondent neodpověděl vůbec.

Otázka: Vyrábíte si vlastní pomůcky? Z mého šetření vyplývá, že většina učitelů si vyrábí vlastní pomůcky. U učitelů s praxí je to téměř 89%, což je 34 respondentů a u začínajících učitelů je to 75%, což je 15 respondentů.

Otázka: U kterých témat matematiky probíraných na ZŠ používáte pomůcky nejčastěji? Zastoupení pomůcek, které používají učitelé při výuce nejčastěji uvádí graf 5 (učitelé s praxí) a graf 6 (učitelé začátečníci).

Celá geometrie

Celá čísla

Goniometrické funkce

Slovní úlohy

Mocniny

Výrazy

Dělitelnost

Aritmetika

Algebra

Procenta

Statistika

Pythagorova věta

14 12 10 8 6 4 2 0 Zlomky

Počet

Témata, u kterých používají pomůcky nejčatěji učitelé s praxí

Témata

Graf 5 123

Témata, u kterých se používají pomůcky nejčastěji učitelé začátečníci 20 Počet

16 12 8 4 Desetinná čísla

Stereometrie

Pythagorova věta

Dělitelnost

Funkce

Mocniny a odmocniny

Zlomky

Geometrie

Tělesa

0

Témata

Graf 6

Obě skupiny učitelů se shodly v odpovědi na otázku, že nejčastěji používají pomůcky u témat geometrie a zlomků. Graf 7 uvádí u kterých témat geometrie nejvíce.

Shodnost

Trojúhelníky

Převody jednotek

Obsahy a obvody

Konstrukce

Objemy a povrchy

Úhel

Středová souměrnost

Osová souměrnost

Obrazce

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Tělesa

Počet

Geometrie

Témata

Graf 7

Otázka: Ke kterým tématům je nejméně pomůcek pro výuku? Na této otázce se také obě skupiny učitelů shodly, že nejméně pomůcek pro výuku je pro témata výrazy, algebra a rovnice. U začínajících učitelů se objevily i odpovědi, že neví nebo nemohou posoudit (jako důvod uváděli nedostačující zkušenosti). 124

Závěr Mohu konstatovat, že moje hypotéza se potvrdila a tedy jsem předpokládala správně, že učitelé matematiky na 2. stupni ZŠ využívají všechny dostupné prostředky, aby učivo předali žákům názorněji.

125

ZÁVĚR: Ve své práci jsem se snažila proniknout do problematiky názornosti a jejího využití při výuce matematiky. Na základě analýzy dostupných materiálů k tomuto tématu jsem vytvořila soubor příkladů, které lze ve spojení s vhodnými pomůckami využít při přímé výuce. Provedla jsem výzkumné šetření dotazníkovou formou z jejichž vyhodnocení vyplynulo, jaké pomůcky používají při své výuce učitelé na základních školách, a to nejen učitelé s delší pedagogickou praxí, ale i učitelé začátečníci (tím myslím studenty pedagogické fakulty). Jsem přesvědčena, že dobrá a kvalitní výuka se neobejde bez názorných pomůcek a příkladů, zvlášť v hodinách matematiky. Při využití názornosti se matematika stává zajímavější, přístupnější, lépe pochopitelnou a v neposlední řadě zábavnou. Některým žákům usnadňuje názornost pochopení učiva. Byla bych ráda, kdyby některé z příkladů uvedených v mé diplomové práci mohly posloužit mým budoucím kolegům – učitelům při jejich pedagogické činnosti.

126

Resumé Ve své diplomové práci pojednávám o názornosti a jejím využití při přímé výuce matematiky. Zaměřuji se na výuku dětí staršího školního věku, zhruba od 12 do 15 let. Zabývám se pomůckami, které lze využít u některých témat matematiky. Pomůcky, které jsou v mé práci uvedeny jsou zaměřeny na manipulativní činnost žáků. Provedla jsem výzkumné šetření dotazníkovou formou, z něhož vyplynulo, jaké pomůcky používají učitelé při výuce nejčastěji.

Resumé In my thesis I occupy by clearness and its exploitation in math education. I aim myself to the children from elementery school from 12 to 15 years of age. I angle of teaching aid, which use in some mathematics topics. Teaching aid in my thesis are direct for manipulating activity of schoolchildren. I did research in the formo f questionnaires which was the result which teaching aid the teachers use in their education.

127

Seznam použité literatury: COUFALOVÁ, J. a kol.: Matematika pro 6. ročník základní školy, Fortuna, Praha 2007. 215 s. ISBN 978-80-7168-992-8 ČÁP, J., MAREŠ, J.: Psychologie pro učitele, Portál, Praha 2001. 655 s. ISBN 807178463X ČERMÁK, P., ČERVINKOVÁ, P.: Odmaturuj z matematiky, Didaktis, Brno 2003. 208 s. ISBN 80-86285-97-9 ČIŽMÁR, J. a kol.: Matematika pro 6. ročník základní školy, 1. díl, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1991. 237 s. ISBN 80-04-25028-9 ČIŽMÁR, J. a kol.: Matematika pro 6. ročník základní školy, 2. díl, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1990. 204 s. ISBN 80-04-25029-7 HUNTEROVÁ, M.: Účinné vyučování v kostce, Portál, Praha 1999. 101 s. ISBN 8071782203 JUSTOVÁ, J.: Matematika pro 5. ročník základních škol, 1. díl, ALTER, Všeň 1996. 62 s. ISBN 80-85775-70-0 JUSTOVÁ, J.: Matematika pro 5. ročník základních škol, 2. díl, ALTER, Všeň 1997. 62 s. ISBN 80-85775-71-9 JŮVA, V.: Pedagogický princip názornosti. Brno: UJEP Brno, 1966. 95 s. KOTYRA, D., SIVOŠOVÁ, A.: Úlohy se zlomky, Fragment, Havlíčkův Brod 2004. 83 s. ISBN 80-7200-905-2 MAŇÁK, J.: J. A. Komenský o názorném vyučování, Komenský, 1990/1991, č. 1, s. 3-6. MAŇÁK, J.: Nárys didaktiky, Masarykova univerzita v Brně, Brno 2003. 104 s. ISBN 8021031239 MÜLLEROVÁ, J. a kol.: Matematika pro 7. ročník základní školy, 1. díl, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1990. 187 s. ISBN 80-04-24008-9 MÜLLEROVÁ, J. a kol.: Matematika pro 7. ročník základní školy, 2. díl, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1990. 173 s. ISBN 80-04-24008-7 NAKONEČNÝ, M.: Motivace lidského chování, Academia, Praha 1996. 270 s. ISBN 8020005927 NAKONEČNÝ, M.: Encyklopedie obecné psychologie, Academia, Praha 1997. 437 s. ISBN 8020006257

128

NOVOTNÁ, H.: Úloha motivace ve výuce matematiky : diplomová práce. Brno: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, 2002 ODVÁRKO, O., KADLEČEK, J.: Matematika pro 6. ročník základní školy. 2. Desetinná čísla, dělitelnost, Prometheus, Praha 1997. 88s. ODVÁRKO, O., KADLEČEK, J.: Matematika pro 6. ročník základní školy. (3) Úhel, trojúhelník, osová souměrnost, krychle a kvádr, Prometheus, Praha 1997. 88s. ODVÁRKO, O., KADLEČEK, J.: Matematika pro 7. ročník základní školy. Zlomky, celá čísla, racionální čísla, Prometheus, Praha 1998. 88s. ODVÁRKO, O., KADLEČEK, J.: Matematika pro 7. ročník základní školy. Poměr, přímá a nepřímá úměrnost, procenta, Prometheus, Praha 1998. 84s. ODVÁRKO, O., KADLEČEK, J.: Matematika pro 8. ročník základní školy. (2) Lineární rovnice, základy statistiky, Prometheus, Praha 1999. 71s. ODVÁRKO, O., KADLEČEK, J.: Přehled matematiky pro základní školy a nižší ročníky víceletých gymnázií, Prometheus, Praha 2004. 270s. ISBN 80-7196-276-7 ONDRÁČEK, J.: K úloze a místu učebních pomůcek a didaktické techniky v moderní škole, VÚP Praha, 1971. 44 s. PAŽOURKOVÁ, E.: Historie vyučování matematice v českých zemích : diplomová práce. Brno: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, 2007. PETTY, G.: Moderní vyučování, Portál, Praha 2006. 380 s.ISBN 8073671727 SEDLÁČEK, J. a kol.: Slovník školské matematiky, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1981. 239 s. SKALKOVÁ, J.: Obecná didaktika, Grada, Praha 2007. 322 s. ISBN 9788024718217 ŠAROUNOVÁ, A. a kol.: Matematika 6, 1. díl, Prometheus, Praha 1996. 166 s. ISBN 80-7196-022-5 ŠAROUNOVÁ, A. a kol.: Matematika 7, 1. díl, Prometheus, Praha 1997. 190 s. ISBN 80-7196-085-3 ŠAROUNOVÁ, A. a kol.: Matematika 7, 2. díl, Prometheus, Praha 1997. 167 s. ISBN 80-7196-059-4 ŠAROUNOVÁ, A. a kol.: Matematika 7, 2. díl, Prometheus, Praha 1998. 212 s. ISBN 80-7196-106-X ŠAROUNOVÁ, A. a kol.: Matematika 8, 1. díl, Prometheus, Praha 1998. 127 s. ISBN 80-7196-124-8 ŠAROUNOVÁ, A. a kol.: Matematika 9, 2. díl, Prometheus, Praha 2000. 212 s. ISBN 80-7196-175-2 129

ŠEDIVÝ, O. a kol.: Matematika 8, 2. díl, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1992. 249 s. ISBN 80-04-26285-6 Výzkumný ústav pedagogický v Praze [online]. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Dostupný s WWW: http://www.vuppraha.cz/clanek/110

130

Seznam příloh: 1. Dotazník pro učitele matematiky 2. Dotazník pro začínající učitele matematiky

131

DOTAZNÍK PRO UČITELE MATEMATIKY

1. Aprobace: 2. Délka praxe: 3. Používáte při výuce matematiky pomůcky?

ANO – NE

4. Pokud ano, které? (zatrhnout jaké) o Klasická tabule

o Plakáty

o Interaktivní tabule

o Grafy, diagramy

o Magnetická tabule

o Doplňovačky

o Učebnice

o Modely

o Pracovní sešity

o Karty s příklady

o Matematické tabulky

o Zpětný projektor

o Xeroxované materiály

o Dataprojektor

o Geometrická tělesa

o Video

o Pravítko

o Počítač

o Kružítko

o CD, DVD

o Schémata o Jiné (vypište):

5. Používáte metodické pomůcky (žák dojde k cíli svým poznáním)? ANO – NE 6. Vyrábíte si vlastní pomůcky?

ANO – NE

7. U kterých témat matematiky probíraných na ZŠ používáte pomůcky nejčastěji? (vypište)

8. Ke kterým tématům je nejméně pomůcek pro výuku? (vypište)

DOTAZNÍK PRO ZAČÍNAJÍCÍ UČITELE MATEMATIKY

1. Aprobace: 2. Délka praxe: 3. Používáte při výuce matematiky pomůcky?

ANO – NE

4. Pokud ano, které? (zatrhnout jaké) o Klasická tabule

o Plakáty

o Interaktivní tabule

o Grafy, diagramy

o Magnetická tabule

o Doplňovačky

o Učebnice

o Modely

o Pracovní sešity

o Karty s příklady

o Matematické tabulky

o Zpětný projektor

o Xeroxované materiály

o Dataprojektor

o Geometrická tělesa

o Video

o Pravítko

o Počítač

o Kružítko

o CD, DVD

o Schémata o Jiné (vypište):

5. Používáte metodické pomůcky (žák dojde k cíli svým poznáním)? ANO – NE 6. Vyrábíte si vlastní pomůcky?

ANO – NE

7. U kterých témat matematiky probíraných na ZŠ používáte pomůcky nejčastěji? (vypište)

8. Ke kterým tématům je nejméně pomůcek pro výuku? (vypište)

NÁZORNOST A JEJÍ VYUŽITÍ PŘI VÝUCE MATEMATIKY

Recommend Documents