Na co mi ta matika bude?

19716939937510582097494459230 78164062862089986280348253421 17067982148086513282306647093 84460955058223172535940812848 11174502841027019385211055596 44622948954930381964428810975 Na co mi ta 66593344612847564823378678316 matika bude? 52712019091456485669234603486 10454326648213393607260249141 27372458700660631558817488152 09209628292540917153643678925 90360011330530548820466521384 14695194151160943305727036575 95919530921861173819326117931 05118548074462379962749567351 88575272489122793818301194912 98336733624406566430860213949 Pochopte význam matematiky. Nedělejte si starosti o budoucí povolání. Užijte si studium. 25.3.2015

Michal Trněný

Na co mi ta matika bude?

Život nemá smysl. Proč by ho teda měla mít matematika? Jenže ono ani není potřeba, aby život měl nějaký smysl. Užít si život se vším všudy, třeba i s matematikou, to umím a důvod ani účel k tomu nepotřebuji. Byly doby, kdy jsem matiku nesnášel. Proč je tak nenáviděná? Nebo proč je tak moc milovaná? Podívejme se spolu na její různé tváře. Která se vám zalíbí více? Úvahy kolem otázek jako: „Na co to proboha je?!“ vám udělají ze života peklo. Přestaňte si dělat starosti se smyslem studia nebo s využitím matematiky při budoucím povolání. Uvidíte, že matematické nástroje mají mnoho různých využití. Raději matematiku dělejte a užívejte si ji. Jak si ji užívat? Třeba tak, jak píšu o několik stran dál.

Na co TI ta matika bude? Ti, kteří se matematikou nezabývají, si pod slovem „matematika“ představí počítání nebo v lepším případě počítání a rýsování. Počítání je mechanická záležitost. Jakmile se to naučíte, začne to být nuda, kterou převedete na starost raději kalkulačce nebo počítači. Takovým způsobem mohou masy lidí nabýt dojmu, že matematika je vlastně nuda. Vždyť je to pouhé počítání! My zasvěcení ale víme, že je to jinak. Ta opravdová matematika je mnohem zábavnější, krásnější a užitečnější věc, než si mnozí dovedou představit. Tak člověka napadne otázka: „Co je to ta opravdová matematika?“ I toto se vám budu snažit přiblížit. Zatím jen prozradím, že opravdová matematika je umění, kterému nás ve škole neučili. A to je také důvod, proč mnozí lidé mají o matematice představu pouhého nudného počítání. Mimochodem i počítání může být zábavné, když víte jak na to. Ale to už je jiný příběh. Lidé spíše neví o existenci opravdové matematiky. A to je důvodem udivených výrazů vašich blízkých, když jim řeknete, že vás baví matematika. Je to takový ten výraz, který říká: „Fakt? Jak tě může bavit něco takového jako přehazování čísel?“ Nebo někteří z nich možná žasnou, jak jste dobří, že zvládáte dělat něco tak těžkého, jako je přehazování písmen ve složitých rovnicích. Ale účel a význam v té manipulaci se symboly nebo čísly už není vidět. Proto se vás ptají: „Na co ti ta matika bude?“ nebo „Co z tebe bude, až z tebe něco bude?“ A když řeknete, že chcete být profesorem na vysoké škole nebo vědcem, tak se můžou ptát dál: „Jak to prospěje společnosti?“ Nikdy jsem nevěděl, jak odpovědět, abychom já i tazatel byli s odpovědí spokojeni. I mě zajímaly odpovědi na tyto otázky. Proto jsem se využitím matematiky zabýval. Tak vznikl tento text, na který prostě odkážu své blízké, když se mě zase zeptají. A vy teď máte možnost dělat to podobně.

www.michaltrneny.cz

2


Na co MI ta matika bude? Vzpomínáte si na ten šok, který jste zažili, když jste přišli ze střední školy na vysokou a tam poprvé zjistili, jaká ta vysokoškolská matematika je? Je velmi hustá a detailní. Strašná záplava definic, vět a důkazů. V tom se jeden snadno ztratí. Závratným tempem dostáváte jeden dílek skládačky za druhým a postupně z dílků skládáte něco většího, ale nevíte co to bude, až to bude. Celek není vidět. Když se na využití nebo cíl všeho toho snažení zeptáte přednášejících, tak se mnohdy nedozvíte nic, co byste byli schopni srozumitelně převyprávět třeba své babičce. Skripta – tabule – sešit. A definice – věty – důkazy ve skriptech, na tabuli i v sešitě.

Kromě toho, že rychle dostáváte abstraktní dílky „definice, věta, důkaz“ jeden za druhým, možná si je ani nestíháte zabudovat do konkrétní podoby v hlavě. Tak informace plynou „jedním uchem tam a druhým ven“ a po cestě hlavou způsobí bolehlav. Nedává to smysl a bolí z toho hlava, když se snažíte přeložit si D-V-D do něčeho smyslového - představitelného. Navíc musíte psát rychle, aby vám neuniklo nic, co by mohlo být u zkoušky. Takže nevíte, k čemu všechna ta slova jsou, nevíte, co znamenají, nevíte jestli vůbec má cenu zabývat se těmi všemi pojmy, teorémy a důkazy. Nejspíš už sami pochybujete nad praktickou užitečností matematiky a možná dokonce uvažujete o změně oboru na takový, díky němuž se uplatníte na trhu práce a budete vydělávat peníze, jak to už dělá většina vašich vrstevníků. Ale ještě chvilku počkejte. Toto obkreslování symbolů ze skript na tabuli a z tabule do sešitů taky není opravdová matematika. To je prostě obkreslování. Vydržíte-li ještě chvíli, tak už brzy budete moci dělat matematiku. Tu opravdovou. Těším se, jak vás překvapí zjištění, že matematika není klíčem jen na jedny konkrétní dveře, ale spíše na všechny. Matematika tady trochu připomíná jednu hvězdu. Jde Sylvester Stallone s Chuckem Norrisem a ptá se ho: „Ty, Chucku, kolik uděláš kliků?“ A Chuck na to: „Všechny.“

www.michaltrneny.cz

3


NA CO SE MŮŽETE TĚŠIT? Osm tváří matematiky. Kterou z nich už znáte? Co je opravdová matematika? (s. 5)

Matematika nabízí nástroje k řešení problémů. Jak naplno využít vše, co máte? Jak získat více? V jakých všemožných oborech zaměstnají matematika? (s. 9)

Co se vám básník snaží říct? Pozor! Můžete být snadno oklamáni, často i sami sebou. Opravdová matematika ve všedním životě. (s. 11)

Pokladnice plná inspirace. Krása. Myšlenky, které jinde nenajdete. Nebo najdete? (s. 16) Matematika je dobrý sluha, ale zlý pán. Dozvíte se která matematika je zlým pánem a proč. (s. 20) Překvapení! Co se děje, necháte-li se vést svou zvědavostí? Matematiku používejte, studium přežijte a hlavně si vše užijte. (s. 21)

www.michaltrneny.cz

4


OSM TVÁŘÍ MATEMATIKY … které se mi postupně ukazovaly, když jsem matematiku dělal nebo studoval. Kterou z nich už znáte? A čemu říkám opravdová matematika?

(1) Počítání Počítání mě děsně nebavilo. Stále s tužkou a papírem, čísla pod sebou nebo vedle sebe, sčítání, odčítání, násobení, dělení, zlomky, zaokrouhlování … Měl jsem k tomu odpor. Blé! Nikdy by mě nenapadlo, že si někdy v budoucnu matematiku oblíbím. Pro mnohé lidi matematika zůstala synonymem pro počty, počítání, mechanické, nudné. To je první tvář matematiky. Možná jsem si tehdy řekl: „Matiku už nikdy v životě nechci ani vidět!“ Ale neměl jsem v úmyslu vyhýbat se jí. Nenapadlo mě to. Počítání jsem bral jako nutné zlo. Kdybych se úmyslně začal vyhýbat všemu spojenému se slovem matematika, tak bych možná nepoznal její další tváře. Naštěstí jsem vše bral, jak to přichází a odchází.

(2) Pozorování, detailní popisy a odvozování Matematice – tomu předmětu na základní škole, jsem začal věnovat více pozornosti, když jsem si všiml toho, že není potřeba pamatovat si zpaměti vzorce pro roznásobování mnohočlenů, ale že stačí jen zvyknout si na to, jak se používají. Stejné jako zvyknout si na jízdu na kole. Pak už nebylo potřeba učit se do matematiky tak moc, jako do ostatních předmětů. Když jsem v ní potřeboval nějaký vzorec, skoro každý šel znovu a znovu vytvořit podle vzpomínky na tvar tělesa. Jako kdyby byl zakódován přímo v té představě. Tak se mi odkryla další tvář matematiky. Tou bylo pozorování, popisování a odvozování. Tento předmět jsem si zamiloval. Najednou nebylo potřeba pamatovat si ani pojmy ani vzorce. Ty nebyly důležité. Důležité byly tvary, které se za danými pojmy skrývaly a ty proměny, které s tvary šly dělat. Nabyl jsem dojmu, že si lze celou matematiku vymyslet a vše bude fungovat správně.

(3) Výbava pro řešení problémů Středoškolská matematika už byla rozsáhlejší. Stále v ní platilo odvozování a to předchozí, co jsem se naučil. Bylo v ní více pojmů a nových objektů a nápadů. Kvůli tomu množství témat v matematice jsem si pod pojmem „matematika“ začal představovat soubor nejrůznějších nástrojů: funkce, analytická geometrie, kombinatorika, pravděpodobnost, logika, rovnice, komplexní čísla, stereometrie, planimetrie, infinitezimální počet, … V té době se matematika pro mě stala souborem nástrojů pro řešení úloh. To je další možnost, jak se můžeme dívat na matematiku. Soubor nářadí, se kterým se učíme zacházet a tvořivě využívat

www.michaltrneny.cz

5


v různých situacích a dokonce i v různých předmětech, například ve fyzice, chemii, v zeměpise a snad i v právech (logika, soud).

(4) Prověřování pravdivosti tvrzení S příchodem na vysokou se mi začaly ukazovat i další tváře matematiky. Jednou z nich jsou dokazování nebo vyvracení tvrzení o různých virtuálních objektech žijících v mysli. Na SŠ jsem dostal soustavu lineárních rovnic a její řešení jsem získal odvozováním, ekvivalentními úpravami. Na VŠ ve fyzice jsem dostal parciální diferenciální rovnici (PDR) a její řešení jsem už neuměl odvodit, což se mi nelíbilo. PDR se řeší stylem, že řešení uhádnete (třeba díky fyzikálnímu kontextu) a pak v matematice dokážete nebo vyvrátíte, že uhodnutá funkce je skutečně řešením. Matematické teorie se staví tak, aby byly pravdivé. Tady vzniká jedno nebezpečí, na které upozorním v části: „Matematika je dobrý sluha, ale zlý pán.“ To, že matematika se buduje tak, aby vše do sebe perfektně zapadalo (aby vše bylo v souladu, aby bylo konzistentní), je také příčinou jedné její kouzelné vlastnosti, o které se rozepíšu v části „Pokladnice plná inspirace.“

(5) Modelování a simulace Řekněme, že jste si koupili pole a chcete z něj mít soukromou džungli, aby po vás něco zbylo vašim potomkům, kteří budou žít v příliš přetechnizované a umělé společnosti, v níž je vše instantní jako štěstí jehlou do žíly. Je to velká plocha. Procházíte se po ní. Občas zahodíte nějaký ohryzek a necháte přírodu, ať se stará sama. Přitom si představujete, co kde asi poroste, až to tam poroste. Všímáte si, které rostliny se mají rády, a které ne. V průběhu let sledujete vývoj vašeho ekosystému a učíte se. Když se snažíme porozumět světu a tomu, co se v něm děje, vytváříme si modely toho světa. Nakreslíme si tvar pole, na něj nakreslíme několik stromů, jejich druh a stáří podle skutečnosti. Rýsuje se před námi model naší soukromé džungle. Ještě by nás mohlo zajímat, který druh se rozšíří nejvíc, kolik rostlin tam bude jedlých, jací živočichové tam budou, jak se to vše bude vyvíjet v čase. I kdyby se nám podařilo sestavit rovnice, které věrohodně popisují naši džungli, tak je asi nebudeme umět vyřešit. Pak už jen zbývá nechat si náš model simulovat na počítači – vypočítat hodnoty, které nás zajímají pro každý den po dobu x let. Výsledek je potřeba brát s rezervou kvůli neúplnosti modelu, nepřesnosti dat a složitosti modelu a lze se z něj poučit i jinak, než zjištěním, co asi kde poroste. U složitých úloh, u nichž není možné získat exaktní řešení výpočtem podle vzorce, se simulace používají běžně. Pod pojem matematika jsem začal zahrnovat ještě navíc modelování a simulace. Mimochodem naše mozky modelují a simulují každou chvíli něco, jen o tom nevíme. Modelem může být: „Když je pondělí 7:55, běž na autobus.“ Simulací pak bude představa, jak se obouváte, zamykáte, odcházíte z domu, blížíte se k zastávce, nastupujete do autobusu, … Váš mozek stále dělá nějakou matiku, i když se o to nestaráte.

www.michaltrneny.cz

6


(6) Objevování nebo tvorba struktur a vztahů mezi nimi Jednou na přednášce z algebry nám přednášel učitel, který rád uvažuje i obecně o matematice. Bavili jsme se všichni navzájem – já, spolužáci, učitel. Zeptal jsem se: „Co je to matematika? Jak byste ji definovali?“ To víte, byli jsme zvyklí stále něco definovat, tvrdit a dokazovat, tak jsem se ptal na definici matematiky. Učitel váhavě odpověděl: „Matematika je věda o strukturách.“ Je to činnost objevování nebo tvorby abstraktních struktur a objevování vztahů mezi jednotlivými strukturami – jak která souvisí se kterou. Jak jsou si podobné, jak odlišné, je jedna částí druhé? Atd. Co je to struktura? Grupa, vektorový prostor, číslo, funkce, fraktál, míra, disjunkce, … Matematika jako věda o strukturách. Tato nová tvář matematiky se mi už líbila. Kudy jsem chodil, tam jsem si všímal společných vlastností (společných struktur) různých objektů a dějů. Okno, dveře. Budova, člověk. Zámková dlažba, květiny. Kapradí, strom. Analogie, metafory, paralely se vznášely všude ve vzduchu. Čím abstraktnější struktura, tím větší šance uvědomit si ji ve větším množství objektů, běžně i v konkrétnějších strukturách. Zase mi přišlo, že všechno souvisí se vším. Kromě toho jsem začal považovat matematiku za umění vidět abstraktní struktury. Nejen věda, ale i umění. Slovo matematika je řeckého původu. Máthema = to, co má být pochopeno; samotná podstata (=struktura) studované věci, kterou získáte jen pochopením. Wikipedie píše: máthema = věda, vědění, poznání. Máthematiká = množné číslo od řeckého slova máthema. Potom se o matematice dá říct, že je to souhrn podstat (=struktur) věcí, které jsme studovali. A studovat lze cokoliv. Tak mě napadá, nejen že se matematika zabývá strukturami, ale možná ona sama je strukturou, která stále roste. A roste v myslích lidí (snad i jiných tvorů).

(7) Jazyk pro pochopení světa Několikrát jsem zaslechl, že matematika je jazykem. Snad bych tomu i věřil. Umožňuje popisovat realitu přesněji, než jakýkoliv jiný jazyk. S vynaložením většího úsilí umožňuje také vytvářet nové reality tak, aby byly různými lidmi vnímány stejně. Hráči počítačových her by mohli vyprávět. Jazyk se definuje jako podmnožina množiny všech konečných posloupností symbolů dané abecedy. Stručněji lze jazyk generovat pomocí gramatiky. Za cvičení zjistěte, zda je matematika jazykem. Když se ukáže, že jazykem je, pak můžeme nacházet analogie mezi matematikou (vědou) a literaturou (uměním). Definice a věty by nás mohly seznamovat s postavami příběhu, teorie by mohly být paralelou k románům, k příběhům. A nebylo by potřeba věřit autorovi románu ani slovo. Stačilo by jen zahrát si na detektiva a provést důkazy tvrzení, která autor o aktérech pronáší. Jestli zjistíte, zda je matematika jazykem, tak objevíte její další tvář.

www.michaltrneny.cz

7


(8) Stavební materiál světa Jak vznikl svět? Co bylo před tím než vznikl? Proč? Jak je možné, že existuje? Z čeho vznikl? Fyzikové nám řeknou: „Z atomů, z energie.“ Co je to energie? Jak vypadá pod tím nejlepším možným mikroskopem? Odkud se vzala? Nebo vždy byla? Dovedu si představit, že vždy bylo nic, které zároveň bylo vším a začalo to vytvářet struktury, které nebyly hmotné, byly nijaké. Ale některé z nich začaly mít takové vlastnosti, že se nám navenek jeví jako elektrony, energie, hmota, světlo, … Jedna struktura (aspoň jedna) začala mít všechny vlastnosti, které se do detailu shodují s vlastnostmi vesmíru, ve kterém žijeme. A my jsme jejími podstrukturami. Možná že všechno vzniklo z ničeho, protože tomu nic nebránilo. Čísla v matematice taky vznikají z ničeho. Vezme se prázdná množina (=nic) a nazveme ji nulou. Vezmeme nulu, zabalíme ji do množiny a tu množinu nazveme „jedna“, protože obsahuje jeden prvek. Zabalením nuly a jedničky do množiny získáme „dva“. A tak dále. Z ničeho všechno. Třeba to tak bylo i s vesmírem. A třeba je všechno jinak. Jaká je podstata světa? Možná je jí nějaká matematika. Další možnost náhledu na matiku.

Opravdová matematika je ta, kterou děláte. Ne ta, kterou studujete nebo o které čtete. Opravdová matematika je umění vidět, stavět a používat struktury. Což takhle napsáno může být nicříkající, ale více uvidíte ještě později. Když už víte, že matematika je zajímavější, než počítání, a rozsáhlejší, tak se můžeme zabývat tím, na co všechno se dá použít.

www.michaltrneny.cz

8


NÁSTROJE K ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ Člověk, který se matematikou nezabývá, si pod slovem problém obvykle představí něco nepříjemného, něco, čeho by se rád zbavil. Uvedu konkrétní příklad. Jste doma. Je pondělí ráno. Potřebujete se dostat do práce do 20km vzdáleného města. Vaše auto nejde nastartovat. Veřejná doprava jezdí, ale nemáte u sebe žádné peníze a ani žádnou jízdenku, protože obvykle jezdíte autem. Jak se teď dostanete do práce? Obvykle se to neděje. Není vám to příjemné. Je to problém. Tedy slovem „problém“ normální lidé označují nepříjemné situace. Matematici ale problémy mají rádi a vyhledávají je.  Ne že by vyhledávali situace, v nichž se cítí nepříjemně. Oni slovem problém totiž označují něco jiného. Problém v matematice je totéž, co otázka nebo úloha, úkol. Konkrétním příkladem problému je třeba tento. Jakým způsobem vytvarovat potrubí ve výměníku tepla tak, aby teplo z jednoho okruhu přecházelo co nejefektivněji do druhého okruhu? Na čem všem ten přenos závisí? Příkladem spíše teoretického problému je tento: Hypotéza kontinua. Každá nekonečná podmnožina množiny reálných čísel má mohutnost buď jako množina reálných čísel nebo jako množina přirozených čísel. Je to pravda? Matematici se snaží takové nebo podobné praktické nebo teoretické problémy řešit a vyvíjet k jejich řešení různé nástroje. Nástrojů už je mnoho. A teď pro představu uvedu jen některé prakticky využitelné nástroje a problémy, na které je lze využít:

Fourierova transformace Při uskladňování dat je potřeba mít co největší paměť a uskladňovat informace v co nejhustější podobě. K takové komprimaci dat posloužila například Fourierova transformace a její mnohé modifikace.

Strojové učení Je známo, že lidé se umí učit ze svých chyb na rozdíl od strojů. Jak udělat mozek robota, který se při procházce lesem naučí vyhýbat stromům? Učící se algoritmy využívají mix numerických metod, optimalizace, statistiky a pár dalších nápadů navíc.

Statistika Výsledky měření, experimentů, průzkumů jsou data. Správné použití vhodných statistických metod vám pomůže získat z těch dat informace. Snad celá věda používá nějakou statistiku. A nejen věda, ale i vývojáři, inženýři…

www.michaltrneny.cz

9


Sítě Jak se šíří epidemie? Jak se šíří viry? Jak se šíří výpadky elektřiny? Jak se šíří a vyvíjí informace? I na toto dává odpověď teorie sítí.

Optimalizace Najděte tvar objektu tak, aby vlastnost, která vás zajímá byla optimální. Navrhněte tvar nosníku, aby snesl co největší zatížení – to je příklad úlohy tvarové optimalizace.

Lineární programování Rozvrhněte práci strojů v továrně tak, abyste za měsíc vyrobili takové množství zvolených výrobků, které vám maximalizují zisk. To je jedna z typických úloh lineárního programování, které je podoborem optimalizace.

Diferenciální rovnice Jaký tvar by měly mít lopatky v turbínách ve vodní elektrárně, aby se při dané rychlosti vodního proudu rotor točil co nejrychleji a získalo se tak co největší množství energie? K tomu vás bude zajímat řešení diferenciálních rovnic. Ty se také často používají ve fyzice k popisu a pochopení různých jevů.

Kódování Informace vysíláme i v digitální podobě. Vlivem šumu se občas některá z číslic může změnit. Jak navrhnout kódová slova, abychom maximalizovali svou šanci na správné dekódování přijatého kódu? Tím se zabývá teorie kódování.

Další (i ty zatím neznámé) nástroje Je spousta aplikací matematiky, které neznám. Tisíce a tisíce dalších věcí, které by chtěly změřit, zpřesnit, změnit, zefektivnit, zlevnit, zpřístupnit, zbezpečnit, znázornit, zpopularizovat, zprůhlednit, zviditelnit, rozšířit, rozvinout, … Tam všude by šlo využít nějakou matematickou teorii nebo přinejmenším matematický způsob uvažování. Nebo ještě lépe: Vytvořit matematickou teorii na míru praktickému problému, který řešíte. Záleží na tom, co dalšího, kromě matematiky, vás zajímá. Kromě nástrojů použitelných ke „zlepšování světa“ se dá matematika využívat i jinými způsoby. O skutečné matematice ve všedním životě je další kapitola.

www.michaltrneny.cz

10


CO SE VÁM BÁSNÍK SNAŽÍ ŘÍCT? … aneb opravdová matematika ve všedním životě. Co vás čeká a nemine? Jak se (ne)nechat oklamat reklamou? Pozor! Můžete být snadno oklamáni i sami sebou. U lékaře. Jak mít z rozhovoru více a pomoct osobě blízké podívat se na věc z jiné stránky? Rozumíte politickým debatám? Co mi to básník říká? To je lehké. Prostě to pochopím. Nějak. Jenže někdo jiný básníkova slova může pochopit jinak, než já. Každý si za slovy může představit jiné významy. A z matematiky jsme na to zvyklí. Na místě proměnné v rovnici může být libovolné číslo, které rovnici splňuje. Rovnici může splňovat více, jedno nebo žádné číslo. Jsme opatrní, když takové číslo hledáme. Stejně tak opatrní můžeme být i v běžném životě a nespokojit se s tím, co si myslíme o básníkových slovech, protože on jimi ve skutečnosti mohl myslet něco úplně jiného, než my sami. A proto se básníka ptáme. Ptáme se tak, abychom zjistili, co si myslel před tím, než myšlenky přeložil do slov, která jsme slyšeli.

Reklamy (básníkem obchodník) „Milionáři používají telefony XXX.“ Krásná a jednoduchá věta. Vžili jste se do zážitku, který vám reklama prezentuje. Jste na pláži u moře pod slunečníkem. Vlny šumí, voda šplouchá. Horký vzduch vane. V jedné ruce držíte osvěžující meloun a v druhé ruce telefon XXX. Mluvíte s přáteli a s nadšením vyprávíte, jak si to tam užíváte. Milionáři používají telefony XXX. A vracíte se myšlenkami zpět před televizní obrazovku. „Já nejsem milionář. Ale chci být. Jak to udělám? Aha! Koupím si telefon XXX. A stane se ze mě milionář. Milionáři přece používají telefony XXX.“ Opravdu? Tak se na to podívejme poctivěji, důkladněji. Mohl bych se ptát: „Všichni milionáři bez výjimky používají telefon XXX? Existuje nějaký milionář, který telefon XXX nepoužívá?“ Možná nám ta reklama lže, ale možná skutečně říká pravdu. Nevíme a ani na tom teď nezáleží. Podívejme se, jak jste větu pochopili. Větu: „Milionáři používají telefony XXX.“ jste si přeložili do svého jazyka a vznikla z toho věta: „Když si koupím telefon XXX, stane se ze mě milionář.“ Tak teď se ptám: A: „Aby ses stal milionářem, jak ti k tomu ten telefon pomůže?“ B: „Nevím.“ A: „Dobře. Myslíš, že budeš potřebovat k tomu telefonu ještě něco navíc?“ B: „Ne.“ A: „A kdy myslíš, že tak ten milion korun budeš mít?“ B: „Asi tak za týden.“ A: „Dobře. Tak to jsem zvědavý, jestli ti to vyjde. Dej mi vědět.“ B: „Spolehni se.“ Zkušený matematik má jasno v tom, kde v uvažování se může objevit chyba. A také se může vyhnout zbytečným útratám za výrobky, které vůbec nepotřebuje, i když se www.michaltrneny.cz

11


obchodníkům podařilo spojit výrobky s lákavými představami. Ale to už je jiný příběh, který se týká hospodaření. Vraťme se ještě ke větě: „Milionáři používají telefony XXX.“ a podívejme se na ni jinak. Můžeme se též ptát: „Je to záležitost výhradně milionářů? Nebo i chudáci mají dost peněz na to, aby si telefon XXX koupili? Používají i chudáci telefon XXX? Jestli ano, tak kolik je chudáků používajících XXX a kolik je milionářů používajících XXX?“ Takhle urýpaný nejsem jenom kvůli zvyku na matematiku, ale také kvůli tomu, že mě štve, jak nepoctiví obchodníci dokážou prodávat, i když zatají normálním lidem některé informace, které pro lidi mohou být podstatné. Tyto informace člověk pak zjistí až si produkt koupí on nebo jeho blízký.

Úsudky (básníkem příroda či mysl) Teď vám ukážu chybu, kterou někdy dělají dokonce i někteří profesionální vědci (úmyslně nebo neúmyslně) – i lidé, které považujete za autority – i ti, kterým jste ochotni věřit každé slovo bez rozmýšlení. Tady je ta chyba: Mám doměnku „Pro všechny X platí Y“. Vidím několik jevů Y, které potvrzují moji doměnku. A tím považuji hypotézu za dokázánou (= platnou pro všechna X). Sliby a reference: Jedna základní škola chce přesvědčit rodiče, aby své děti posílali právě tam. Ředitel školy se pyšní tím, že jeho škola žáky dokáže naučit matematiku lépe, než ostatní školy. Jako doklad schopnosti svých matematikářů uvádí pět konkrétních jedinců z jedné třídy, z nichž dva vyhráli matematickou olympiádu a čtyři šli studovat matfyz. A takto vlastně rodičům říká: „Vidíš? Ze tvého dítěte uděláme matematika“. A nebo ani jim to takhle říkat nemusí, ale může to takhle být vnímáno. Pak, jako rodič, bych se já osobně ředitele zeptal: „Těch pět výborných žáků – byli by výborní i bez učitelů? Nebo je to zásluha především učitelů?“, „Jak je na tom zbývajících 25 žáků z téže třídy?“ „A co ostatní třídy?“ A zajímal bych se dál. „Jak konkrétně učíte matematiku? Ukažte mi to. Jak to dělají v jiných školách? S jakými výsledky?“ Rád bych získal informace, které mi ředitel neposkytl a při tom jsou důležité k rozhodnutí, zda své dítě poslat do jeho nebo do jiné školy. Sbírání hub: Chodím po lesích a sbírám houby. Krásné hnědé hřiby mám nejraději. Už to dělám několik let. Došel jsem k závěru: „Hřiby rostou v jehličnatých lesích.“ V listnatých jsem dosud žádný hřib neviděl. Takže prozatím je moje hypotéza: „Hřiby rostou pouze v jehličnatých lesích a nikde jinde.“ Mám pro ni důkazy: Vždy, když jsem našel hřib, tak to bylo v jehličnatém lese. S každým dalším nalezeným hřibem se zvýšila má jistota, že skutečně jinde, než v jehličnatých lesích, hřiby nerostou. Tak a teď je na místě otázka: „Kde v mém uvažování je chyba? A jsou tam ještě další chyby? Jaké?“ Soudím, že hřiby rostou pouze v jehličnatých lesích a nikde jinde. Tedy nerostou na polích, nerostou na zahradách a nerostou ani v listnatých lesích. Když jsem procházel mezi stromy listnatého lesa, existuje možnost, že jsem procházel kolem hřibu a nevšiml si ho, protože třeba na něj napadalo listí? Co když

www.michaltrneny.cz

12


opravdu roste nějaký hřib i v listnatém lese? Mezi těmi listmi, pokud tam nějaké hřiby jsou, se dají poznat hůře, než na jehličí. To může být důvod, proč jsem v listnatém lese dosud žádné hřiby neviděl. Ale možná, že tam skutečně nejsou. Nezbývá mi, než chodit jak do jehličnatého, tak do listnatého lesa a pozorně se dívat a opakovat to až do smrti. Možná, že pak najdu i v listnatém lese nějaký hřib. To by znamenalo, že hypotéza „Hřiby rostou pouze v jehličnatých lesích a nikde jinde.“ neplatí. Našel jsem totiž hřib rostoucí v listnatém lese. Podívejme se na hypotézu „Hřiby rostou v jehličnatých lesích.“ Ještě trochu jinak. Teď tím myslím něco jiného. Chodím všude možně po krajině a nacházím hřiby v různých prostředích. Prošel jsem už několikátým jehličnatým lesem a teprve teď poprvé tam uviděl hřib. Vyjádřím tedy hypotézu přesněji: „Existují jehličnaté lesy (aspoň 2, kvůli tomu množnému číslu), ve kterých rostou hřiby.“ Je to pravda? Není to pravda? Jak to zjistím? No tak, že chodím po lesích, sbírám houby, najdu hřiby, podívám se, v jakém lese to bylo a dělám si čárky, které odpovídají počtu jehličnatých lesů, v nichž jsem našel hřiby. Pak opravdu k důkazu této hypotézy stačí najít takové dva (ale klidně i více) jehličnaté lesy, v nichž rostou hřiby. Pokud jsem zatím žádné takové dva lesy nenašel, není tím hypotéza „Existují jehličnaté lesy, ve kterých rostou hřiby.“ dokázána ani vyloučena. Ale prostě jsem ještě nenašel takové jehličnany. Nezbývá mi, než hledat, hledat, hledat a mít se na pozoru. Nedostatek důkazů existence zkoumaného jevu není důkazem neexistence zkoumaného jevu. Ještě jiný příklad: Vidím člověka nekouřit. Je nekuřák? Jsem zaměstnaný v továrně teprve chvilku. Máme tam nějaké přestávky. Někteří lidé chodí ven kouřit. Jedna holka se mi tam líbí, ale nevím, jestli kouří. Nechci kuřačku. Měl bych se jí zeptat: „Kouříš?“ Ne. To je blbý. I kdyby mi to řekla, tak co když kecá? Vždyť ji neznám. Kdo mě znáte, víte, že na slova moc nedám. Jak teda zjistit, jestli kouří? Budu ji pozorovat! Když uvidím, že kouří, tak je to kuřačka. A když uvidím, že nekouří, tak je to … Moment. Tady něco nehraje. Co to je? Úkol pro vás. A co když tu nehraje ještě více věcí?  Všechny ty věci vám mohou být stále jasnější spolu s tím, jak budete matematické uvažování používat nejen ve svém oboru, ale i v obyčejném životě. Matematické uvažování se vyznačuje svou přesností, souladem myšlenek, abstrakcí od nepodstatného, systematičností, důsledností a v ideálním případě ještě elegancí. Elegancí myslím součinnost jednoduchosti, účinnosti a krásy. Mysl je malířka a myšlenky jsou cosi jako její multimediální obrazy malované podle reality. Běžně se stává, že uvěříme, že to, co myslíme, je skutečné. A při tom si neuvědomujeme, že máme v mysli ne celý svět, ale jenom jakési zobrazení malinké části skutečnosti, které jsme se účastnili.

U lékaře (básníkem bolest) Popis bolesti. Toto je zrovna případ, ve kterém vám matematické manýry mohou zachránit život. Představte si, že vás bolí záda. Je to nepříjemné. Chcete se toho zbavit. Přijdete za doktorem, řeknete něco jako: „Bolí mě záda. Chci vypnout bolest.“

www.michaltrneny.cz

13


Doktor vám předepíše tablety na utišení bolesti a je to. Není co řešit. Jíte tablety, záda už nebolí, je vám hej! Pak znenadání uděláte něco, co jste asi dělat neměli, protože najednou vám chybí cit v noze. Chcete ji ohnout, ale nejde to. Když na ni došlápnete, padáte na zem. Noha je jako z gumy. Co se to stalo? Vždyť doktor mi dal prášky! Jo, chtěli jste prášky, ale nezajímali jste se o příčinu bolesti. Dobře vám tak. V tom lepším případě máte dobrého doktora, který se o příčinu vaší bolesti zajímá a ptá se na všemožné detaily tak, až vám to možná připadá zbytečné a otravné. Pak třeba může určit správnou diagnózu a říct vám co dál udělat a co nedělat. Ale ve výjimečných případech, i když je to dobrý doktor, může se splést a říct například, že máte ztuhlé svaly v oblasti hrudníku, i když pravá příčina bolesti je vám oběma zatím skryta (třeba máte v hrudi vetřelce, který se klube ven přes záda). Proto mi přijde rozumné dát doktorovi tak přesný popis bolesti, jaký umím, aby si to ten doktor uměl představit. Prostě začnu vnímat, jak se bolest projevuje. Je statická nebo se mění? Jak se mění její intenzita v závislosti na čase? Jak se mění její intenzita v závislosti na prostoru (Přesouvá se po těle? Mezi několika stejnými místy?)? Jaké jsou její vlastnosti? Opakuje se periodicky? Je nepravidelná? Dokud můžu, udělám, co nejlepší umím. A potom taky. Lékaři se spíše ptají: „Je to tupá, ostrá, bodavá bolest nebo vystřeluje někam?“ Tak aby tomu normální lidé rozuměli. No jo, akorát nevím, jak tomu můžu rozumět, když jsem třeba to vystřelování nezažil. Nebo jsem to zažil a jen o tom nevím? Medicínu jsem nestudoval. A kdo z lidí ano? Ale napsat funkce popisující různé bolesti, na které si vzpomínám, to bych uměl. Matematika umožňuje vyjadřovat se tak přesně, že třeba zviditelní bolest, kterou šlo jen cítit. Díky tomu si druzí lidé (trochu matematicky vzdělaní) dokáží představit, jakou bolest prožíváte.

Rozhovory (básníkem osoba blízká) Obvykle může rozhovor probíhat například tímto způsobem: A: „Nechci zaměstnání. Chci dělat sám na sebe.“ B: „No to asi nikdo nechce. Ale co naděláš?“ A: „Nevím. Asi budu dál chodit do práce. A když budu mít volno, tak budu prodávat zeleninu.“ B: „Budeš vůbec mít nějaké volno?“ A: „To asi ne.“ B: „Tak proč to chceš dělat?“ A: „No jo. Blbost. Zapomeň na to.“ Jste-li zběhlí v odhalování neviditelného, může se hovor odvíjet jinak: A: „Nechci zaměstnání. Chci dělat sám na sebe.“ B: „Proč nechceš zaměstnání?“ A: „Vždycky mě naštve šéf.“ B: „Čím tě naštve? Co dělá, že tě to štve?“

www.michaltrneny.cz

14


A: „S příbuznými jsme se domluvili na návštěvě na středu, kdy mám volno. A když přijdu do práce, tak šéf nám změnil směny. Novou směnu mám ve středu. Takže musím zrušit návštěvu a přijít do práce.“ B: „Tak to by mě taky naštvalo. Něco blízkým slíbím a pak to nemůžu splnit.“ B: „Říkals: Vždycky mě naštve šéf.“ B: „Je to jen šéf, ten, kdo tě vždycky naštve? Už se někdy stalo, že tvé plány nebyly přerušeny zaměstnáním?“ A: „Tak jasně. Štvou mě i jiné věci. Ne jen šéf. Ale jo, většinou mi plány vychází. Ty změny se nedějí zase tak často.“ Slova nemají kapacitu zachytit myšlenky detailně, takže i důležité věci mohou zůstat nevysloveny. Snažím se přijít na to, co přesně, co konkrétního, osoba B myslela před tím, než to vyjádřila slovy. Stejně to přece děláme i v matematice nebo v jakékoliv přírodovědě. Když si pod vysloveným termínem nepředstavíme nic nám známého, tak zjišťujeme, „co tím termínem chtěl básník říct“. Ptáme se. Vyhledáváme.

Jak udržet tajemství a nelhat? Když lžu, tak to dělám výjimečně a velmi nerad. Protože buď je to špatná lež a na ni se brzy přijde díky vznikajícím nekonzistencím, rozporům, podivnostem … Nebo je to sice dobrá lež, ale chcete-li ji vydávat za pravdu bez prozrazení, musíte jí přizpůsobovat vše, co se děje, jako by ta lež skutečně byla pravdou. Pak je ale s přibývajícím časem stále těžší a těžší mít to pod kontrolou. Vyčerpávající. Jak to teda dělat, abych nelhal, ale ani neříkal pravdu (když zrovna nechci prozradit své tajemství)? Když se mě někdo na něco ptá, tak nevím, jak se skutečnost měla. To ale často je pravda, protože prostě opravdu nevím. Nebo když vím, tak odpovím vágně, obecně, aby bylo možno si pod odpovědí představit i jiné věci, než to, co jsem skutečně provedl (tak to dělávají i politici nebo diplomaté). A tazatel se s tím většinou spokojí, protože není zvyklý odhalovat neviditelné. Není zvyklý vyžadovat přesnou, konkrétní odpověď. To je nevýhoda těch, kteří se spokojí se slovy a místo toho, aby pátrali po jejich významech, dosadí si za ně něco svého nebo nic. Dosazovat si objekty podle míry jejich obecnosti (nebo specifičnosti) – k procvičení této aktivity nabízí studium matematiky mnoho příležitostí. Porovnejte toto: A: „Miláčku kdes byl a cos tam dělal?“ B: „Byl jsem v hospodě a tam chlastal s kámošama.“ S tímto: A: „Miláčku kdes byl a cos tam dělal?“ B: „Měl jsem sraz s kámošama a řešili jsme podnikání.“ Tvořivá diskuse o podnikání se dá provádět i v hospodě u piva. Proč ne? Koho by napadlo, že taková myšlenková zručnost souvisí nějak s matematikou? Ale souvisí. Stačí posunout svá slova na jinou úroveň obecnosti nebo je zaměřit na něco pro druhou osobu smysluplnějšího a třeba se vyhnete zbytečné hádce. Někdo tomu říká zobecňování nebo mlžení.

www.michaltrneny.cz

15


Nevím, nevím, jestli zrovna toto bych měl prozrazovat  ale slíbil jsem si, že vám dám to nejlepší, co mám. I ta diplomatická dovednost patří do mého repertoáru a snad i do vašeho. Ještě vás prosím: používejte ji moudře a jen k sebeobraně.

POKLADNICE PLNÁ INSPIRACE Na co mi přednášené teorie budou? Ptal jsem se přednášejících. Většinou jsem se dozvídal, že zmíněné pojmy a teorie se použijí v dalších teoriích. Některé další teorie se už daly využít v praxi nebo byly použity v ještě jiných teoriích a tak dále. Nevěděl jsem, k čemu to vše směřuje. Nevěděl jsem, jak tu mašinérii použít k řešení nějakého praktického problému. Ani jsem nevěděl kterou. Vlastně jsem ani nepřicházel do styku s problémy, které by tyto různé matematické teorie využívaly. Neměl jsem důvod počítat například v jakém okamžiku a jakým směrem vystřelit raketu s jakými parametry a jak průběžně upravovat její dráhu a parametry, aby dorazila na dané souřadnice na Měsíci. Ani mě to nenapadlo. A kdyby mě to napadlo, které z těch teorií by mi pomohly?

Je to všechno na nic. Opravdu mě chápete? Pseudoinverze, husté podmnožiny, svazy, filtry na množině … Na co to použiji? Přečtěte si pozorně předchozí větu. „Na co to použiji?“ Slyšíte svůj hlas, který vyslovil tu otázku? To je otázka přímo na vás. Na ni si odpovězte sami. Na co je ten pojem X? Na co je tužka? Na psaní. Na co ještě? Cože? Hloupá otázka? Ne. Opravdu. Na co ještě se dá použít tužka? A už to jede: Tužku můžu využít na psaní, jako oporu květiny v květináči, na drbání, jako zbraň, na kousání, jako elektrodu, jako palivo, jako stavební materiál, jako ozdobu, na žonglování, na kouzlení, a tak dál, a tak dál. A podobné to může být i s těmi teoriemi. Dopředu nevím, na co všechno je použiji. A už jsem jich snad 95% pozapomínal během pěti let. Ale děje se taková zvláštní věc. Dostávám zajímavé nápady. Nebo mívám nenormální pohledy na věc. A myslím, že za to z části mohou i ty teorie, které jsem tehdy musel pochopit a představit si, co znamenají. Na co ty své nápady nebo pohledy použiju, to už je další věc. Je to jako s tou tužkou. Záleží na situaci, v jaké se octnu. Tak jsem došel k závěru, že všechno je ve své podstatě na nic. Libovolný objekt, na který se zaměříte, vlastně nemá žádný význam. Je to buď nějaký shluk atomů nebo je to nějaká forma, abstraktní struktura – jakési noty, které vymezují všemožné tance atomů daného shluku. Ať už si vyberete libovolný objekt, na žádném nevidím štítek s nápisem: „Použij mě na to.“ Nebo „Použij mě na ono.“ Představte si, že se narodí dítě a má na sobě napsáno například: „Použij mě na uklízení domu.“ nebo „Jsem předurčen k tomu stát se fotbalistou.“ nebo „Narodil jsem se, abych spasil tento svět www.michaltrneny.cz

16


tím, že napíšu knihu.“ Ne. Věci, osoby, struktury, teorie, jakékoliv objekty … Nemají samy o sobě žádný účel. Jsou tu, protože je to možné a protože vznikly. Účel, význam, smysl – ten jim dáváme až my. A děláme to tak, že si danou věc představíme v nějakém kontextu. Například vysavač. Tak si představíme, jak s tím vysáváme koberce a už má pro nás tento stroj význam. Hm. Co když se ale dá použít ještě na něco jiného? Rozeberu ho na díly a použiji je na stavbu něčeho jiného tak, jak to dělal Mac Gyver nebo opuštěný Kevin ve filmu Sám doma. Je legrační si představit, co by s vysavačem mohli dělat indiáni, kteří žijí v chýších v Amazonii a nemají ani představu o (tom našem) účelu vysavačů. Když se na to dívám zpátky do minulosti, tak ty různé teorie jsou hromadou haraburdí, která mi propojila neurony v mozku takovým způsobem, který se mi líbí. Ale teorie mi v hlavě nezůstaly. Proč si je pamatovat všechny, když to za mě dělají knihovny, internet a kolegové? Jen zanechaly stopu. Zůstaly mi po nich různé způsoby uvažování. Na co je použiju? Jsem sám zvědavý, jaká různá využití, jaké různé aplikace, mě napadnou. Nechám se překvapit. A těším se.

Na co mi ta čeština bude? Teď se ještě zamysleme nad češtinou. Když jsme se ji jako malé děti učili používat, asi nás ani nenapadlo ptát se, na co tu češtinu použijeme a k čemu nám to bude. Prostě jsme mluvili a psali a používali ji na cokoliv. A tak to můžeme dělat i s matematikou. Akorát že češtinu jsme nestudovali. Češtinu jsme používali. Přes dva tisíce let zpátky v minulosti jeden řecký matematik studoval v té době nové křivky – elipsy. K čemu to tehdy mohlo být použitelné? K výrobě křivého kola? Možná. Možná taky k ničemu. Ale až za staletí a staletí Kepler objevil, že planety ve sluneční soustavě obíhají kolem Slunce po křivkách, které jsou shodou okolností elipsy! Díky tomu teď jde přesněji spočítat kdy a kde na obloze danou planetu uvidíme. Takových příkladů z historie by se našlo více. Vaše matematická práce vám nemusí dávat vůbec žádný smysl a přesto ji za nějakou dobu můžete využít vy nebo někdo jiný. Nebo také nikdo. Musím vás zklamat, ale nelze vyloučit, že i to se může stát. Nevím, zda každá teorie bude v budoucnu využita. Z historie se učíme, že vznikaly i teorie, které byly překonány, vyvráceny, nevyužity… Matematické vědomosti a teorie – celá matematika – se rozrůstá jako strom. A některé větve zůstávají bez ovoce nebo dokonce i bez listů. Ale proč se nebavit děláním matematiky? Dopředu nemusí být zřejmé, k čemu bude použita. Ale pak se to někdy buď stane nebo nestane. (K analogii mezi stromem a matematikou: matematika vypadá spíše jako síť vztahů mezi abstraktními objekty, než jako strom) Takže teď se možná zdá, že studium teorií je tu pro pochopení dalších teorií, pro procvičení a pro případ potřeby. Je-li matematika jazykem, umožňuje vzniknout různým matematickým románům (=teoriím) a romány nás mohou inspirovat nebo

www.michaltrneny.cz

17


pobavit. Dostaneme nápady co udělat v praxi, nebo si užijeme ten příběh, který se před námi píše, vžijeme se do role aktérů, … Při procházce zvlněnou krajinou přes pole mě bavilo představovat si, že jsem bodem v prostoru, bodem, který se řídí optimalizačním algoritmem spádovou metodou a směřuje své kroky do lokálních extrémů. Důležité bylo uvědomit si, že bod v této metodě nevidí krajinu tak jako já, ale spíše „si vidí jen na špičku nosu“, jako kdyby byl v husté mlze a viděl jen, jak se mu pole svažuje pod nohama a podle toho hledal údolí nebo naopak vrcholky.

Studium pro studium Samoúčelné studium? Dříve jsem se na to díval tak: Něco jsem nastudoval, stal jsem se chytřejším a chtěl být blízkým ku prospěchu tím, že jim budu říkat své znalosti. Někdy jsem to fakt dělal. Mysleli si, že machruju, že dělám chytrého, když ve skutečnosti jsem neschopný a neposlouchali mě, ignorovali mnou dobře míněné rady (třeba jak si ušetřit energii a využít ji lepším způsobem). Děsně mě štvalo, jak si stěžují a přitom nejsou ochotni udělat nic pro to, aby se měli lépe. Stával jsem se více a více arogantní. Věděl jsem, že mám pravdu a že oni jsou ignoranti. Tak se ze mě stalo arogantní hovado, se kterým se nikdo nebaví, a od kterého si druzí nenechají pomoct. Do haj*** s tím vším! Na co mi teda vědomosti jsou, když jsou na nic? Teď se na studium dívám jinak. I kdybych si studoval prakticky nepoužitelné věci (třeba jak prověřit Collatzovu doměnku), tak to může být užitečné. Jednak dělám něco jen tak pro radost a jednak se při tom můžu naučit dívat se na svět tak, jak ještě nikdy dříve. Díky studiu se můžu naučit klást otázky takové a tak, abych blízké pochopil a aby oni časem našli další pohledy na jednu věc. To, co blízcí potřebují nejméně, je nějaká hromádka neštěstí ve tvaru osoby se jménem Michal – proto je lepší, když se bavím (třeba i tím studiem) a jsem v pohodě. A dál, když se umím dívat na svět „novýma očima“, můžou z toho mít prospěch i moji blízcí. Stačí jen mít na paměti, že oni ví i to, co nevím já, takže se od nich můžu leccos naučit. Potom, když budou mít s něčím problém, můžeme se na něj spolu podívat z takového úhlu, jakým jsme se na něj ještě nedívali. A tak přijít na řešení. Mnohdy stačí změnit úhel pohledu na problém a zjistíte, že to vlastně ani žádný problém není. Studovat se dá nejen z knih. Vědci studují z přírody, z vesmíru. Vesmír je pro ně otevřenou knihou, v níž rozpoznávají jednotlivá písmenka, slova, věty. Stejně tak pro nás mohou otevřenou knihou být i druzí lidé. Každý jsme trochu jiný (vzhledem, chováním, myšlením, prostředím, zájmy, věděním, uměním, …) a může být zajímavé tyto odlišnosti zkoumat jen tak ze zvědavosti a jen pro sebe. X se naučím dělat tím, že dělám X. Studovat se naučím studiem. Učení pro učení. Za X si dosaďte, cokoliv, co se chcete naučit. Řídit, plavat, přednášet, vařit, psát, …

www.michaltrneny.cz

18


Nepochopitelná účinnost matematiky Je Bůh matematik? Tak se jmenuje kniha, ve které Mario Livio píše o záhadách a fascinujících souvislostech matematiky, mysli a světa. Jednou z těch záhad je právě ta „nepochopitelná účinnost matematiky.“ Tak se k ní vyjádřím jen stručně. Vymyslíte strukturu, formu, která neexistuje a pak s překvapením zjistíte, že se ta struktura dá uvidět (objevit) abstrakcí v některých reálných objektech. Příkladem může být objev kuželoseček (zmíněný již dříve), které, jak se později zjistilo, se dají uvidět v oběžných drahách planet. Dalším příkladem je zobecnění klasické eukleidovské geometrie na riemannovské geometrie. Kdo mohl tušit, že se cca o půl století později bude riemannovská geometrie hodit k popisu časoprostoru a gravitace? Teorii grup vyvinul Évariste Galois jen proto, aby určil řešitelnost algebraických rovnic. Dnes grupy používají fyzikové, inženýři, jazykovědci a dokonce i antropologové k popisu veškerých symetrií, které ve světě existují. Teď tuto situaci zbagatelizuji. Představte si, že vidíte okno. Uvidíte, že to okno má tvar čtverce. Nakreslíte si čtverec. Ten má všechny čtyři strany stejně dlouhé. Teď jdete dělat nějakou matematiku – hrajete si se čtvercem. První, co vás možná napadne, je chytit čtverec za protější strany a natáhnout ho. Výborně! Zobecnili jste čtverec na obdélník. Obdélník je určen dvojicí délek – a,b, čtverec byl určen jen jednou délkou – a. Čtverec teď kdykoliv dostanete z obdélníku, když bude platit a=b. Na světě je nová struktura – obdélník. Jste nešťastní z toho, že je ten paskvil obdélník k ničemu. O to více vás pak překvapí, co se stane, když se pohledem matematika podíváte na dveře. Abstrakcí uvidíte v těch dveřích obdélník! A najednou je to vidět všude. Stůl, zeď, … Možná i to okno samotné, podle něhož jste viděli čtverec, se teď při přesnějším měření jeví jako obdélník. Proč je matika tak účinná? Protože ji takovou děláme. Takovou, aby to bylo to nejpřesnější, co máme k popisu světa a manipulaci s myšlenkami. A teď se divíme, jak je účinná.  Překvapuje nás. To je na ní krásné. Struktury, kterými se zabývá se objeví i tam, kde bychom je nečekali. Jako kdyby tam byly už odjakživa. Je tu ještě fantastičtější věc na matematice. Stává se, že ke stejnému výsledku se můžete dostat nejen jedním, ale dvěma nebo více různými způsoby. Představte si, že vás někdo vysadí v pro vás neznámé krajině někde na silnici. Vy jdete a dostanete se do nejbližší vesnice. O několik dní později vás někdo vysadí v neznámé krajině na polní cestě. Chvíli po ní jdete, dostanete se do jakési povědomé osady a pak si vlastně uvědomíte, že jste v ní byli už před pár dny a že do ní vede i ta silnice, po níž jste přišli minule. Příkladem může být důkaz Pythagorovy věty na 250 způsobů. (to číslo jsem si vymyslel, teď bych dal dohromady asi jen 2 způsoby) Toto vědomí, že jedna úloha se dá řešit různými způsoby, nám dává takovou „podnikatelskou“ možnost do života. Když řešíme problém způsobem X1 a stále to nejde, tak se nevzdáme tak snadno, ale vyzkoušíme X2. Třeba to už vyjde. A když ne, tak nás napadne X3, atd. než to vyřešíme. Tlučeme do toho ze všech stran tak

www.michaltrneny.cz

19


dlouho, než ten ořech rozlouskneme nebo tak dlouho, jak nás to baví. Když to nejde tak, tak to udělám jinak.

MATEMATIKA JE DOBRÝ SLUHA, ALE ZLÝ PÁN Když jsem dosud matematiku vychvaloval, může se zdát, že je všemocná. To asi není. A kromě toho, že může pomáhat, může i škodit. Podobně jako zbraně nebo sirky. Ne, že by škodila ona samotná. Nebezpečné může být spíše upřednostnění svých myšlenek (myšlenkami myslím i teorie, modely, vzorce) před tím, co právě teď probíhá ve skutečnosti.

Volba špatného modelu Když modelujete skutečnost, můžete udělat následující chybu. Vyberete nějakou co nejvhodnější matematiky již předpřipravenou strukturu a budete se ji snažit uvidět ve skutečnosti, kterou právě modelujete. Pak se snadno stane, že přehlédnete důležité části modelované skutečnosti a do svého modelu je vůbec nezahrnete. Lepší je dělat to naopak. Nemít žádnou představu, jaký model použít a vytvářet model na míru modelované skutečnosti, kterou pozorujete bez předsudků, bez očekávání. Nebezpečné může být, když máte data a prostě hned od začátku začnete předpokládat, že pochází z normálního rozdělení, i když ve skutečnosti třeba pochází z Cauchyho rozdělení pravděpodobnosti nebo z jiného. Jste přece matematik a matematika se staví tak, aby vše v ní bylo pravda. Matematika je neomylná. Takže ostatní vám budou věřit. Spolehnou se na vaše předpovědi. Zařídí se podle nich. Buch! A máme tady ekonomickou krizi. Chyba nebyla v matematice, ale ve špatném výběru modelu. Mysleli jste si, že vámi zvolený model popisuje skutečnost. Ale jenom jste si to mysleli. Ve skutečnosti modeloval možná jen vaši (zkreslenou) představu o skutečnosti. Matematika tady posloužila jako autorita, které věříte, že za vás vyřeší všechno a bez myšlení. Udělejte si test selektivní pozornosti! Trvá minutu a můžete se z něj naučit cennou věc. Třeba na YouTube do vyhledávání zadejte: Selective attention test. Měla by se v něm objevit skupinka basketbalistů a vašim úkolem je spočítat, kolikrát si bílí basketbalisté přehodí mezi sebou míč. Dál už vám nechci prozradit ani slovo, jinak byste se z něj asi nepoučili. Ale to je klasika. Si představte, že jste si domluvili s kamarádem sraz na nějakém místě a v nějakém čase. Už jste na tom místě, telefon jste zapomněli doma, čekáte a kamarád nikde. Co se děje? A začnete si myslet: „To je ale prevít! Zapomněl na mě. To už mu nestojím ani za schůzku? To je ale kamarád! Příště se na něj taky www.michaltrneny.cz

20


vykašlu…“ A máte blbou náladu. Prostě jste svoje myšlenky upřednostnili před skutečností, před tím neznámem, před nevědomím, co se děje, před tím vaším počátečním údivem: „Co se děje?“ Co když VHD má zpoždění? Nebo ho někdo přepadl? Nebo jste se vyjádřil(a) nesrozumitelně ohledně termínu schůzky? Nebo miliony jiných možných příčin. Ale vy jste si vybral(a) zrovna tu jednu! Chcete-li modelovat skutečnost, tak chcete modelovat skutečnost a ne modely. Proto byste si v tu chvíli měli více vážit, všímat, skutečnosti, než modelů nebo myšlenek, které o ní máte. Matematika není vaše starší sestra, která vás zachrání a postará se o vás. Matematika je spíše jako džin, který udělá, co si poručíte. Pozor, co poroučíte.

Virtuální past Cyklení se na hlavolamech. Dostanete hádanku, která vás zaujme. A stanete se posedlí řešením té hádanky až do konce života. Řešíte ji, i když vlastně už nechcete, i když vás to už nezajímá, i když z toho nemáte radost, i když byste chtěli dělat něco jiného. Řešíte ji, protože jste si ji zvykli řešit. Je to černá díra na vaši energii, je to past, do níž jste se chytili. Ta hádanka je totiž jednoduchá otázka, na niž je těžké odpovědět. Vůbec nevíte, jestli existuje řešení, ale hledáte ho. Jestli tím žijete, je vše OK. Jestli byste ale už konečně dělali něco jiného, než řešení hádanky, chytili jste se do pasti. Matematika obsahuje nebo generuje spoustu zajímavých jednoduchých otázek.  Velká Fermatova věta. Collatzova doměnka, …

PŘEKVAPENÍ! Co se děje, necháte-li se vést svou zvědavostí? Matematiku používejte, studium přežijte a hlavně si vše užijte. Být myšlenkami u probíhajícího Užívat si studium může být snadnější, než jste si dovedli představit. Stačí jen studovat a myšlenkami být u toho, co právě děláte. A nemá cenu snažit se myšlenkami být u něčeho. Myšlenky si dělají, co chtějí. Taky se vám stalo, že se učíte do školy, máte před sebou sešit s nějakým textem, čtete a za oknem je krásná modrá obloha, teplo a štěbetání ptáků? V tom vás napadlo, jak už jste venku, jak sportujete nebo se bavíte se svou druhou polovičkou, … Prožívali jste své myšlenky, jejichž obsahem bylo, že už děláte něco jiného, než co ve skutečnosti děláte. Ve skutečnosti jste byli v místnosti u stolu nad sešitem plným vzorců a vůbec se vám nechtělo zabývat se tím, protože „venku je tak krásně“. Ale víte, že musíte. Musíte se tu teorii naučit, protože zkoušky se blíží.

www.michaltrneny.cz

21


Test prožívání přítomnosti Vzpomenete si na nějaké okamžiky, kdy jste dělali činnost, která vás obvykle nebaví, které se třeba i vyhýbáte, ale kterou když jste v té chvíli dělali, tak vám bylo jedno, že právě neděláte něco jiného a ještě dokonce vám ta činnost šla sama bez toho, abyste se museli přemáhat? Vzpomínáte, jaké to bylo, když jste myšlenkami byli na 100% u toho, co jste právě dělali? Jak moc vám v tom okamžiku vadilo, že jste nedělali něco jiného? Baví vás cokoliv co děláte? Jakmile na vlastní kůži prožijete pochopení, jak funguje myšlení a prožívání, bude pro vás snadné vracet se myšlenkami do přítomnosti k tomu, čeho se v daném okamžiku účastníte, protože to vracení se se děje samo a vám akorát přestane dávat smysl bránit tomu. Pak nebudete potřebovat dělat věc X k tomu, abyste se bavili. Stane se něco úžasného. Budete se bavit čímkoliv, co děláte. Třeba právě i tím studováním. Není to nic nového pod sluncem. Jen si možná nevzpomínáte na své dětství. Přežít studium Studium máte velkou šanci přežít (zvládat), když se mu budete poctivě věnovat. Věnovat se studiu poctivě – to se dá, když se tomu nebráníte, když nemáte lepší důvod dělat něco jiného (pomáhat blízkým, zachraňovat životy, vydělávat si na živobytí, …) a když máte hlavu prostou hloupostí typu: „Mě to nebaví. Já to nezvládnu. To nemá cenu. K čemu to v životě použiju? Je to všechno na nic.“ Klid v hlavě Líbilo by se mi, kdyby vám tento text pomohl zbavit se těch virtuálních blbin typu „K čemu mi ta matika bude?“, které možná okupují vaši hlavu. Pak byste totiž mohli být v pohodě. Jen si to představte. Žádné starosti s tím, zda si najdete v budoucnu nějaké zaměstnání, protože to zatím není aktuální, a protože víte, že nějaká matematika se dá aplikovat snad na cokoliv. A i kdybyste žádnou práci využívající matematiku nenašli, tak vaše studium mělo smysl. Víte totiž, že matematické myšlení osvojené během studia můžete běžně využívat v každodenním životě mnoha nečekanými způsoby. Kromě toho jste připraveni studovat si, co chcete, i mimo školu. Užitečné během semestru Když si nezaměstnáváte svou hlavu zbytečnými starostmi každou chvíli, máte větší šanci užívat si, co děláte, věnovat se tomu naplno a dělat to nejlépe, jak vám to v danou chvíli jde. Kromě toho, že si studium samotné budete užívat, půjde vám to. Budete zvládat pamatovat si a chápat tolik, aby to stačilo na zvládnutí zkoušek. Známky a zaměstnání Na známce nezáleží. Částku získanou prospěchovým stipendiem si zvládnete vydělat i na nějaké brigádě. Rozumní zaměstnavatelé při výběru svých zaměstnanců hledí na známky až v druhé nebo některé další řadě. V první řadě je totiž zajímá, jestli umíte to, co se jim hodí, aby vás nemuseli dlouho zaškolovat, nebo aby věděli jestli tu práci máte tak rádi, že ji už děláte a to i zdarma, atd. Firmy chtějí lidi www.michaltrneny.cz

22


s takovými znalostmi a zkušenostmi, které ve školách nejspíš nezískáte, protože školy nestíhají reagovat na rychle se měnící poptávku. Na to jsou školy „příliš velké“ a „příliš úřední“. Takže i když nebudete mít dobré známky, práci u firmy máte větší šanci získat, když budete mít to, co firma chce a nemá. Známky Tak buďte v klidu a ani se známkami si příliš nelamte hlavu. Svět zůstane světem i když vaše známky budou nic moc. Samozřejmě mít výborné známky je vaším plusem, kterým třeba ukážete píli (i když i ta se dá ukázat i jinak). Možná pokud budete chtít zůstat na VŠ nebo v akademii a dělat vědu, tak se výborné známky asi budou hodit více. Ale stejně to není nutná podmínka. A ani postačující. Matika z rozmaru Měl jsem tehdy hlavu příliš plnou nejrůznějších blbostí ohledně budoucnosti, stále si stěžoval na něco, vymýšlel jak studovat matematiku efektivně a jak ušetřit čas a tak dělání matematiky samotné jsem se věnoval příliš málo. Ale když jsem se uvolnil a dovolil si dělat nějakou třeba i svou matiku jen tak z rozmaru, protože chci, tak to vždy stálo za to. Kéž bych si už tehdy uvědomoval, že má nespokojenost má původ jakýchsi mých myšlenkách o školní matematice a ne v ní samotné. Pak bych té školní matematice ve stejném časovém období věnoval třeba i destkrát více pozornosti, mnohem více bych si ji užil a ještě by mi zůstalo dost času na jiné věci. Rozptýlení pozornosti Blízcí viděli, že jsem stále „v knížkách“ jako kdybych neměl čas na nic jiného. Jenže myšlenkami jsem cestoval po (virtuálním) světě, ve kterém jsem sháněl práci, létal na závěsném kluzáku nad horami, psal krásnější a interaktivnější učebnice matematiky a jen sem tam se vrátil do skutečnosti pochopit nějakou tu definici abstraktního objektu ze skript pomocí konkrétních příkladů … Všímáte si té neefektivity? Občas se zasnít, je OK. To se stává každému. Jenže já to jaksi začal záměrně uměle upřednostňovat před realitou, protože mi přišla málo zajímavá. Takže teď všichni máme znova šanci být u toho, co děláme a užívat si to.

Nechte se vést svou radostí, svou zvědavostí Nechat se vést svou radostí – co to neznamená? Často mě napadne: „Teď by se mi líbilo udělat toto X.“ a bleskově na to: „Ale to je blbost, nechce se mi, protože Y.“ takže „Kašlu na X a jedu podle původního plánu.“ To není následování své radosti. Nenecháváte se vést svou radostí. Nechat se vést svou radostí – co to znamená? Jak by vypadalo, kdybych se nechal vést svou radostí? Tak: Hlavou mi bleskne: „Teď by se mi líbilo udělat X.“ a ještě dřív, než mě stihne napadnout ta blbina Y, už dělám X. Pak mě napadne, že by se mi líbilo dělat X2, tak dělám X2. Dělám krok za krokem, co mi radí má vnitřní navigace a nehodnotím, jestli je to dobré nebo špatné. Najednou všechno jde úplně skvěle a užívám si to. Jasně, že třeba když řeším nějakou těžkou úlohu, tak to třeba drhne a dlouho na nic nemůžu přijít a třeba jsem naštvaný nebo mě bolí hlava nebo mám blbou náladu nebo … Ale pak zaslechnu tu www.michaltrneny.cz

23


svou nápovědu – řekne mi třeba: „Běž ven.“ Nebo „Ukliď si v pokoji.“ Nebo „Pomož blízkým.“ Nebo … Tak jdu a prostě to dělám. Skákám, jak si píská. Často jsem pak překvapen, že právě když nemyslím, tak mě napadají úžasné věci nebo řešení, která se jindy ztrácí v záplavě myšlenek, které mám, když přemýšlím. Inteligentní síla Ta moje vnitřní navigace, ta nápověda, ta radost, ta zvědavost, to, kam mě to aktuálně táhne, to je boží. Ono si to vždycky ví rady. Určitě to taky máte. A občas se tím necháváte i vést, aniž byste nutně trvali na svých plánech nebo výmyslech. Vzpomínáte? Přichází to, když to vůbec nečekáte. Někdo by to mohl nazývat osvícení. Když se tím necháváte vést, tak možná prožíváte úžas, ohromení, sílu, radost, víte, že žijete a milujete to. V těch momentech víte, že jste šťastní. Možná vás ještě napadá, že v tom momentě prožíváte skutečné štěstí, to nejlepší, co v životě chcete. Žádné štěstí v podobě tělesné rozkoše nebo radosti z výhry nebo pocitu, že vám život dává smysl, se s tím opravdovým štěstím nedá srovnávat. Opravdové štěstí trvá. Doopravdy šťastní jsme neustále, ale jen si toho nevšímáme a ani si toho všímat nepotřebujeme. Kudy mě vedla moje radost Co to má společného s matematikou? Všechno. Ostatně jako se vším jiným. Radost je to, co je schopno reagovat na přítomnost, ne na to, o čem jste si před chvílí mysleli, že se za chvíli stane. Nevím, jak se bude vyvíjet váš život, ani nevím, jak by se vyvíjel ten můj, kdybych více dal na to, co mi radí radost. Ale i těch pár chvilek, kdy jsem poslechl a nechal se vést, dohromady umožnilo prožít situace, za něž jsem rád. Například jsem si jen tak ze zvědavosti listoval knihami v knihovně a netušil, co tam najdu. Neuronové sítě. Co to je? Jak modelovat neuronové sítě? To jako dokážeme udělat počítačový program, který myslí a který by tím pádem mohl dělat nějakou matematiku podobně jako lidé? A lákalo mě to. Ani mě nenapadlo, že bych se tím neměl zabývat. Prostě jsem jen dělal, co mi radost napovídala. Zašlo to tak daleko, že jsem si začal hrát (modelovat a simulovat) s neuronovými sítěmi, díky čemuž jsem se jen tak mimochodem, neúmyslně, naučil programovat v Matlabu (vždy před tím jsem se programování spíše vyhýbal). Pak z toho byla bakalářská práce. Zkušenosti se zpracováním dat. Zaměstnání. A další nečekané události. Dopředu jsem nemohl vědět, co všechno se bude dít. Když se necháte vést svou radostí, tak se vám nejspíš nestane to, co mně. Stane se vám něco vašeho, co ještě nemusíte vůbec ani tušit. Ale i kdybyste prožívali něco jiného, než já, určitě to bude stát za to. Už jen z toho důvodu, že si to užijete.

www.michaltrneny.cz

24


CO DÁL? Jestli vám kniha pomohla ujasnit si některé záležitosti a nebo jestli myslíte, že může pomoci i někomu vám známému, tak se o ni podělte. Můžete ji prostě přeposlat. Snažil jsem se, aby v tomto textu bylo vše, co se týká využití matematiky, o kterém vím. A zároveň jsem ale nechtěl, aby tento text měl třeba 200 stran. Udělali byste si pak čas na jeho čtení? Také je potřeba uvědomit si, že spoooooustu toho nevím a ani nikdy vědět nebudu. Ale to mi nebrání stále nějakou matematiku na něco používat a ještě k tomu si to užívat. Asi by do tohoto dokumentu mohly být doplněny ještě další a možná užitečnější věci, o nichž zatím nevím, nebo na něž si zatím nevzpomínám. Hádám, že některé části textu nebo některé myšlenky jsem napsal tak, že jsou pro vás možná málo srozumitelné nebo úplně nesrozumitelné. Pokud vás zajímá, co jimi básník chtěl říct, můžete se mě zeptat třeba i přes e-mail [email protected]. Přijímám i náměty na zlepšení. Jestli máte ještě jiný problém, než „K čemu všechna ta matika je?!“, dejte mi o něm vědět. Možná mám řešení. Nejnovější verzi této e-knihy lze získat na webové stránce www.michaltrneny.cz/na-co-mi-ta-matika-bude/ Nechte se vést svou zvědavostí a užijte si matiku! Těším se na vaše objevy a výtvory. Michal Trněný. www.michaltrneny.cz

www.michaltrneny.cz

25

Na co mi ta matika bude?

Recommend Documents