2015 MODUL PANDUAN PRAKTIKUM
Riset Operasional 2
Oleh: Tim Pengembangan Laboratorium Manajemen Menengah Fakultas Ekonomi Universitas Gunadarma
Riset Operasional 2 2015 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat-Nya yang telah dilimpahkan kepada penulis, sehingga Modul Operasional Riset Dua ini telah berhasil kami selesaikan hingga dapat disajikan pada mahasiswa/i dan dapat menjadi sumber ilmu yang dapat dipahami oleh mahasiswa/i ataupun pembacanya. Untuk memudahkan penyelesaian masalah yang ada, modul ini juga dilengkapi dengan cara penggunaan aplikasi Quantative System for Bussines ( QSB ) sebagai software yang digunakan untuk mengurangi kesalahan penghitungan secara manual, dan mempertinggi keakuratan dalam memecahkan masalah yang ada. Dalam kesempatan ini, penyusun ingin mengucapkan terima kasih kepada Kedua Orang Tua kami, Staff Laboratorium Management Menengah Universitas Gunadarma, juga para Asisten senior dan rekan rekan asisten lainnya yang telah memberikan bantuan dalam penyusunan modul Operasional Riset Dua ini. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang terdapat dalam modul ini, oleh karena itu kami memohon kritik dan saran yang bersifat konstruktif demi perbaikkan dalam penyusunan modul yang akan datang. Semoga modul ini dapat memberikan manfaat positif pembacanya.
Depok, Febuari 2015
Litbang OR2
1
Riset Operasional 2 2015
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ............................................................................................................. 1 Deskripsi Modul ...................................................................................................................... 3 Tujuan Modul .......................................................................................................................... 3 Bab I ........................................................................................................................................ 4 Pengantar: Teori Antrian ...................................................................................................... 4 Antrian Multi Channel Single Phase .................................................................................... 5 Contoh Soal .......................................................................................................................... 7 Penggunaan Software ......................................................................................................... 10 Soal Praktikum ................................................................................................................... 15 BAB II ................................................................................................................................... 17 Pengantar: PERT ................................................................................................................ 17 Model Jaringan ................................................................................................................... 17 Distribusi Probabilitas Beta ............................................................................................... 17 Penjadwalan Kegiatan ........................................................................................................ 18 Contoh Soal ........................................................................................................................ 19 Penggunaan Software ......................................................................................................... 26 Soal Praktikum ................................................................................................................... 32 BAB III .................................................................................................................................. 40 Pengantar: Analisis Markov ............................................................................................... 40 Ciri-ciri Proses Markov ...................................................................................................... 40 Menyusun Probabilitas Transisi ......................................................................................... 41 Contoh Soal ........................................................................................................................ 41 Probabilitas Tree ................................................................................................................ 41 Pendekatan Matriks ............................................................................................................ 43 Probabilitas Steady State .................................................................................................... 45 Penggunaan Probabilitas Steady State ............................................................................... 46 Penggunaan Software ......................................................................................................... 48 Soal Praktikum ................................................................................................................... 53 BAB IV.................................................................................................................................. 58 Pengantar: Teori Pengambilan Keputusan ......................................................................... 58 Fungsi teori pengambilan keputusan .................................................................................. 58 Tujuan teori pengambilan keputusan ................................................................................. 59 Klasifikasi informasi yang diterima oleh manager ............................................................ 59 Konsep – konsep dasar TPK .............................................................................................. 60 Contoh soal ........................................................................................................................ 60 Penggunaan Software ......................................................................................................... 64 Soal Praktikum ................................................................................................................... 72 BAB V ................................................................................................................................... 76 Pengantar: Teori Permainan ............................................................................................... 76 Contoh Soal ........................................................................................................................ 76 Soal Praktikum ................................................................................................................... 82
2
Riset Operasional 2 2015 Deskripsi Modul Riset operasional merupakan cabang interdisiplin dari matematika terapan dan sains formal yang menggunakan model-model—seperti model matematika, statistika, dan algoritma untuk mendapatkan nilai optimal atau nyaris optimal pada sebuah masalah yang kompleks. Riset Operasional merupakan suatu metode/teknik/peralatan/cara manajemen yang digunakan oleh seorang manajer untuk menyelesaikan masalah-masalah yang sering muncul dalam kegiatan-kegiatan sehari-hari. Riset operasional biasanya digunakan untuk mencari nilai maksimal (profit, performa lini perakitan, hasil panen, bandwith dll) atau nilai minimal (kerugian, risiko, biaya, dll) dari sebuah fungsi objektif. Sehingga akhirnya permasalahan tersebut dapat dipecahkan secara optimal.
Tujuan Modul Setelah menyelesaikan praktikum pada modul ini, praktikan akan memahami: 1. Efektifitas dari suatu loket 2. Penjadwalan yang efisien dalam pengerjaan suatu proyek 3. Prediksi dari adanya perubahan-perubahan yang akan terjadi dari suatu permasalahan 4. Probabilitas atas resiko dari suatu kegiatan 5. Menyusun suatu strategi atas suatu kegiatan
Isi Pembelajaran: Teori Antrian Latihan 1 Menghitung Probabilitas atas suatu antrian Pembelajaran: Program Evaluastion and Review Technique Latihan 2 Menghitung Waktu optimal penyelesaian proyek Pembelajaran: Analisis Markov Latihan 3 Menghitung Prediksi prubahan suatu kegiatan Pembelajaran: Teori Pengambilan Keputusan Latihan 4 Menghitung Keputusan yang paling optima Pembelajaran: Teori Permainan Latihan 5 Menghitung Strategi optimal
3
Riset Operasional 2 2015 Bab I Teori Antrian (Queieng Theory – Multi Channel Single Phase) Pengantar: Teori Antrian Antrian adalah kejadian yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Seperti menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api, menunggu pengisian bahan bakar, menunggu di pintu jalan tol, menunggu pembayaran di kasir pada supermarket, dan beberapa kasus menunggu yang lain. Komponen dasar proses antrian adalah kedatangan, pelayanan, dan antri. Ada dua fungsi dasar model antrian yaitu: a. Meminimumkan biaya langsung Biaya langsung adalah biaya yang timbul akibat lamanya waktu pelayanan yang secara langsung membebani perusahaan. Contohnya, pembengkakan biaya akibat waktu ini adalah pekerja yang dibayar perjam dan diharuskan melayani sejumlah pelanggan, perusahaan harus membayar pekerja tersebut persatuan waktu. b. Meminimumkan biaya tidak langsung Biaya tidak langsung adalah terjadi apabila pelanggan harus menunggu lama sehingga mungkin membatalkan niat memakai jasa perusahaan tersebut. Proses antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas pelayanan, yaitu: 1. Single Channel - Single Phase (satu saluran satu tahap) 2. Single Channel - Multi Phase (satu saluran banyak tahap) 3. Multi Channel - Single Phase (banyak saluran satu tahap) 4. Multi Channel - Multi Phase (banyak saluran banyak tahap) Pada praktikum semester lalu kalian telah mempelajari antrian single channel single phase pada Manajemen Operasional. Kini pada praktikum Riset Operasional 2 pembahasan antrian masih berlanjut tepatnya antrian MULTI CHANNEL SINGLE PHASE.
4
Riset Operasional 2 2015 Antrian Multi Channel Single Phase a) Asumsi-asumsi dalam multi channel single phase (infinite) > Jumlah antrian tidak dibatasi > Kedatangan mengikuti distribusi poisson > Waktu pelayanan mengikuti distribusi exponential negative > First come, first served > Saluran dikalikan dengan tingkat pelayanan > dari tingkat kedatangan.
b) Ciri ciri distribusi poisson : > Tingkat kedatangan rata-rata dapat diduga berdasarkan data masa lalu > Tingkat kedatangan rata-rata persatuan waktu adalah konstan > Banyaknya kedatangan dalam suatu selang waktu tidak dipengaruhi apa yang terjadi pada selang waktu sebelumnya > Probabilitas suatu kedatangan dalam selang waktu yang sangat pendek adalah sangat kecil sehingga probabilitas > dari satu kedatangan dalam selang waktu yang pendek akan mendekati 0 (nol)
Multi channel single phase (infinite) = antrian tidak dibatasi
Model antrian
P
C
O O O O
C C
Rumus
:
Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system 1
Po = c-l
(λ / µ)n
∑ n=0
c-l
(λ /µ)c
+∑ n!
n=0
c! (1 – (λ /c.µ))
catatan : untuk yg diketahui C,dihitung dari 1 , 2 , 3 ,dst sampai ke C
5
Riset Operasional 2 2015
Probabilitas orang ke-n mengantri dalam system
(λ / µ)n
P (n ≤ c) =
. Po n! (λ / µ)n
P (n > c) =
. Po C! . C
n-c
Tingkat Kegunaan
λ R=
C×µ
Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian (Lq)
Po (λ / µ)c . [(λ / (c × µ)] Lq =
C! (1 – (λ / (c . µ))2 Atau Po (λ / µ)c . [R]
Lq =
C! (1 – (R)2
Rata-rata banyaknya pengantri dalam System (L)
L = Lq + λ / µ
Rata-rata waktu mengantri dalam antrian (Wq)
Wq = Lq / λ
Rata-rata waktu mengantri dalam System (W)
W = Wq + 1 / µ
6
Riset Operasional 2 2015 Contoh Soal Di KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ terdapat 3 dapur ‖
yang diketahui mampu
melayani 10 orang/20 menit serta memiliki tingkat kegunaan 90%. Dari data tersebut maka tentukan a. Tingkat kedatangan, b. Probabilitas tidak adanya pengantri dalam sistem, c. Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian, d. Rata-rata banyaknya pengantri dalam system, e. Rata-rata waktu menunggu dalam antrian, f. Rata-rata waktu menunggu dalam system, g. Probabilitas adanya orang ke-5 h. Probabilitas adanay 4 orang
JAWAB
a. λ = R x C x µ
= 0,9 x 3 x 30 = 81 Jadi, tingkat kedatangan pelanggan di KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ adalah 81 orang/jam
b.
1
Po = c-l
(λ / µ)n
∑ n=0
(λ /µ)c
c-l
+∑ n!
n=0
c! (1 – (λ /c.µ))
=
1 (81 / 30)0 + (81 / 30)1 + (81 / 30)2 + (81 / 30)3 0!
=
1! 1
2! =
1 + 2,7 + 3,64 + 32,80
7
1 40,14
3 ! (0,1)
Riset Operasional 2 2015 = 0,0249 Jadi, probabilitas tidak adanya pengantri dalam sistem pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ adalah 0,024
c. Lq = Po x (λ / µ) c x (R) C ! ( 1- (R)) 2 = 0,0249 x (81 / 30)3 x (0,9) = 0,441 = 7,35 >> 7 orang 3! (1-(0,9)) 2
0,06
Jadi, rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ adalah sebanyak 7 orang
d. L = Lq + (λ / µ)
= 7,35 + (81 / 30) = 7,35 + 2,7 = 10,016 >> 10 orang Jadi, rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ adalah sebanyak 10 orang
e. Wq = Lq / λ = 7,35 / 81 = 0,09 = 5,4 menit Jadi, rata-rata lamanya waktu menunggu untuk dilayani dalam antrian pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ selama 5,4 menit
f. W = Wq + (1 / µ) = 0,09 + (1 / 30) = 0,123 = 7,4 menit Jadi, rata-rata lamanya waktu menunggu untuk dilayani dalam sistem pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ selama 7,4 menit
8
Riset Operasional 2 2015 g. Probabilitas adanya orang ke-5 yang mengantri dalam sistem P5 =
(λ / µ) n
x Po
C ! x C n- C =
(81/ 30) 5
x 0,0249 = 0,06616
3 ! x 3 5- 3 Jadi, probabilitas adanya orang ke-5 yang mengantri dalam sistem pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ adalah 0,06616 h. Probabilitas adanya 4 orang yang mengantri dalam system
(λ / µ)n
P1=
x Po n! (81 / 30)1
=
x 0,0249 = 0,0672 1! (λ / µ)n
P2=
x Po n! (81 / 30)2
=
x 0,0249 = 0,0907 2! (λ / µ)n
P3=
x Po n! (81 / 30)3
=
x 0,0249 = 0,0816 3!
P4 =
(λ / µ) n
x Po
C ! x C n- C =
(81/ 30) 4
x 0,0249 = 0,0735
3 ! x 3 4- 3 9
Riset Operasional 2 2015 Jadi, probabilitas adanya 4 orang yang mengantri dalam sistem pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ adalah P0+P1+P2+P3+P4 = 0,0249 + 0,0672 + 0,0907 + 0,0816 + 0,0735 = 0,3379
Penggunaan Software
Buka DosBox, kemudian pilih C
10
Riset Operasional 2 2015
Kemudian enter 2 kali, dan pilih (A) Queuing theory
Lalu pilih (2) Enter New Problem
11
Riset Operasional 2 2015
Masukkan nama serta satuan waktunya (H)
Kemudian input data sesuai dengan soal
12
Riset Operasional 2 2015
Kemudian enter, lalu pilih solve problem
13
Riset Operasional 2 2015 Hasil Software
14
Riset Operasional 2 2015 Soal Praktikum 1.) Pada penjualan tiket XXI khusus film Hunger Games : ―Catching Fire‖ diketahui memiliki 3 loket dengan tingkat pelayanannya yaitu 90 detik/orang mengikuti distribusi poisson. Serta diketahui juga tingkat kegunaan 80%
Maka tentukan : Tingkat
Kedatangan, Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system, Rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian, Rata – rata banyaknya pengantri dalam system, Rata – rata waktu mengantri dalam antrian, Rata – rata waktu mengantri dalam system, Probabilitas orang ke 7, beserta analisisnya ! a. 95 orang/jam; 0,054; 2 orang; 4 orang; 0,3 menit; 2 menit dan 0,051 b. 96 orang/jam; 0,056; 2 orang; 4 orang; 1,6 menit; 3 menit dan 0,052 c. 96 orang/jam; 0,056; 4 orang; 2 orang; 1,6 menit; 3 menit dan 0,052 d. 95 orang/jam; 0,054; 2 orang; 4 orang; 0,3 menit; 3 menit dan 0,051 2.) Sebuah tempat permainan anak bernama ‗Angry Bird‘ terdapat 6 kasir yang melayani pembelinya. Jika diketahui tingkat menganggur dari kasir tersebut sebesar 8% serta tingkat kedatangan pelanggan sebanyak 23 orang/10 menit (begitu seterusnya) mengikuti distribusi poisson. Tentukanlah : Tingkat pelayanan, Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system, Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian, Rata-rata banyaknya pengantri dalam system, Rata-rata waktu menunggu dalam antrian, Rata-rata waktu menunggu dalam system, Probabilitas adanya 2 pelanggan ! a. 25 orang/jam; 0,0012; 2 orang; 4 orang; 4 menit; 6,3 menit dan 0,234 b. 25 orang/jam; 0,0012; 9 orang; 14 orang; 4 menit; 6,3 menit dan 0,347 c. 25 orang/jam; 0,0016; 9 orang; 14 orang; 4 menit; 6,3 menit dan 0,347 d. 40 orang/jam; 0,0016; 2 orang; 5 orang; 4 menit; 6,3 menit dan 0,234
3.) Reporter Michael memantau pada acara Grammy Award 2013, diketahui tingkat kedatangan 120 orang / jam mengikuti distribusi poisson. Sedangkan tingkat pelayanan sebesar 30 orang/jam. Selain itu pula diketahui tingkat kegunaan sebesar 80%. Tentukan : Berapa loket yang dimiliki acara tersebut, Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system, Rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian, Rata – rata banyaknya pengantri dalam system, Rata – rata waktu menunggu dalam antrian, Rata – rata waktu menunggu dalam system, Probabilitas orang ke-10, Analisisnya ! a. 5 loket; 0,01298; 2 orang; 6 orang; 1,1 menit; 3 menit dan 0,0363 b. 5 loket; 1,298; 2 orang; 6 orang; 2,1 menit; 3 menit dan 0,0363 15
Riset Operasional 2 2015 c. 5 loket; 0,01298; 2 orang; 6 orang; 1,1 menit; 3 menit dan 0,344 d. 3 loket; 0,01298; 2 orang; 6 orang; 1,1 menit; 3 menit dan 0,344
4.) Suatu hari Tristan dan saudara-saudaranya pergi ke dufan diketahui tingkat kedatangan 18 orang / 5 menit mengikuti distribusi poisson. Sedangkan tingkat pelayanan mengikuti distribusi exponential negative sebesar 45 orang/jam. Selain itu pula diketahui tingkat kegunaan sebesar 80%. Tentukan : Berapa loket yang dimiliki oleh Dufan yang aktif waktu itu, Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system, Rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian, Rata – rata banyaknya pengantri dalam system, Rata – rata waktu menunggu dalam antrian, Rata – rata waktu menunggu dalam system, Probabilitas adanya orang ke 7, Analisis ! a. 5 loket; 0,006096; 2 orang; 6 orang; 0,5 menit; 0,2 menit dan 0,8284 b. 6 loket; 0,05776; 2 orang; 6 orang; 0,5 menit; 2 menit dan 0,1294 c. 6 loket; 0,006096; 2 orang; 6 orang; 0,5 menit; 2 menit dan 0,8284 d. 6 loket; 0,006096; 2 orang; 3 orang; 0,5 menit; 2 menit dan 0,8284 5.) Di Kerajaan Manajemen Menengah terdapat 3 dapur‖ yang diketahui mampu melayani setiap orangnya selama 80 detik serta memiliki tingkat menganggur 40%. Dari data tersebut maka tentukan: Tingkat kedatangan, Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system, Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian, Rata-rata banyaknya pengantri dalam system, Rata-rata waktu menunggu dalam antrian, Rata-rata waktu menunggu dalam system, Probabilitas orang ke-5, Analisis ! a. 81 orang/jam; 0,1459; 0 orang; 2 orang; 0,4 menit; 1,7 menit dan 0,051 b. 81 orang/jam; 0,249; 7 orang; 10 orang; 4 menit; 7,4 menit dan 0,06616 c. 81 orang/jam; 0,1459; 0 orang; 2 orang; 4 menit; 7,4 menit dan 0,051 d. 81 orang/jam; 0,249; 7 orang; 10 orang; 0,4 menit; 1,7 menit dan 0,06616
16
Riset Operasional 2 2015 BAB II PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE Pengantar: PERT Masalah penjadwalan, perencanaan, dan pengawasan suatu proyek dari segi waktu biasanya dianalisis dengan salah satu model jaringan yang dinamakan Critical Path Method (CPM) atau Program Evaluation And Review Tehnique (PERT). CPM dan PERT pada dasarnya serupa, bedanya CPM adalah teknik deterministic sedangkan PERT bersifat probabilistik. Pada teknik deterministic, waktu kegiatan diasumsikan diketahui dengan pasti, sehingga merupakan nilai tunggal. Sedangkan pada PERT waktu kegiatan merupakan variable random yang memiliki distribusi probabilistik. Salah satu tujuan dari analisis CPM/PERT adalah untuk menentukan waktu terpendek yang diperlukan untuk merampung proyek atau menentukan critical path, yaitu jalur dalam jaringan yang membutuhkan waktu penyelesaian paling lama. Kegiatankegiatan yang dilewati critical path dinamakan kegiatan kritis. Keterlambatan penyelesaian salah satu kegiatan ini akan menyebabkan keterlambatan penyelesaian proyek.
Model Jaringan Model Jaringan tersusun atas beberapa komponen utama: •
Kegiatan (activity), yaitu bagian dari keseluruhan pekerja yang dilaksanakan. Kegiatan
suatu
proyek
disimbolkan
dengan
garis.
Setiap
kegiatan
menghubungkan dua peristiwa. •
Peristiwa (event), yaitu permulaan dan akhir suatu kegiatan. Biasanya peristiwa digambarkan dengan suatu lingkaran atau nodes.
•
Kegiatan semu (dummy), yaitu kegiatan yang tidak nyata. Suatu dummy activity tidak memakan waktu dan sumber daya, jadi waktu kegiatan dan biaya sama dengan nol.
Distribusi Probabilitas Beta Seringkali waktu penyelesaian kegiatan tidak diketahui dengan pasti atau merupakan variabel random. Maka diperlukan asumsi tertentu tentang bentuk distribusi waktu penyelesaian kegiatan. Bentuk probabilistic waktu penyelesaian kegiatan tersebut dapat menggunakan distribusi beta. Setiap kegiatan diasumsikan memberikan tiga kemungkinan waktu
17
Riset Operasional 2 2015 penyelesaian, yaitu: A. Optimistic time (a), ialah waktu terpendek untuk menyelesaikan kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih pendek dan waktu ini sangat kecil. B. Most likely time (m), ialah waktu yang paling mungkin untuk menyelesaikan kegiatan. C. Pessimistic time (b), ialah waktu terlama untuk menyelesaikan kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih panjang dari waktu ini sangat kecil.
PERT mengasumsikan bahwa penyelesaian kegiatan mengikuti distribusi beta, dengan rata- rata (tij) dan varian (vij) seperti berikut:
tij =
vij =
aij + 4mij + bij 6 bij – aij
2
6
PERT juga mengasumsikan bahwa waktu kegiatan adalah Independen secara statistik, sehingga rata-rata dan varians waktu-waktu kegiatan itu dapat dijumlahkan untuk menghasilkan rata-rata dan varians waktu penyelesaian proyek. PERT juga mengasumsikan bahwa rata-rata dan varians waktu penyelesaian proyek mengikuti distribusi normal
Penjadwalan Kegiatan Analisis PERT juga bertujuan menentukan jadwal kegiatan yang dapat menerangkan kapan kegiatan ini dimulai dan berakhir. Penjadwalan itu juga dapat menentukan critical path (sekaligus waktu minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek) dan kegiatan apa saja yang dapat ditunda dan berapa lama.
18
Riset Operasional 2 2015 1.
Earliest Time
: Waktu minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek
Earliest Time (ETj) = Maks {ETj + tij} 2.
Latest Time
: Waktu terakhir (paling lama) suatu event dapat direalisasikan tanpa menunda waktu penyelesaian proyek
Latest Time (LTi) = Min { LTj - tij} 3. Slack Kegiatan
: Waktu dimana suatu kegiatan dapat ditunda tanpa mempengaruhi penyelesaian proyek dengan waktu minimum
Sij = LTj - ETi - tij Contoh Soal Di bawah ini table perkiraan waktu perakitan sebuah sepeda motor: Kegiatan
Kegiatan Sebelumnya
aij
mij
bij
A
-
1
3
5
B
-
2
4
6
C
B
3
6
9
D
A
4
5
6
E
C,D
5
7
9
F
C,D
6
6
6
G
C,D
7
8
9
H
E,F,G
8
8
8
Berdasarkan data diatas gambarkan jaringan dari perakitan di atas, distribusi beta, jalur kritis, dan peluang proyek dikerjakan diatas 30 minggu.
19
Riset Operasional 2 2015 Gambar Jaringan
Distribusi Beta Kegiatan E
Kegiatan A
5 + 4(7) + 9
1 + 4(3) + 5 t12 =
t45 =
=3
=7 6
6 5–1
v12 =
2
V45 =
=4/9
9–5
Kegiatan F
Kegiatan B
6 + 4(6) + 6
2 + 4(4) + 6 t13 =
t46 =
=4
=6 6
6 6–2
2
V46 =
=4/9
6–6
2
=0
6
6
Kegiatan G
Kegiatan C
7 + 4(8) + 9
3 + 4(6) + 9 t34 =
t47 =
=6
=8 6
6 9–3
V34 =
2
V47 =
=1
9–7
2
= 1/ 9
6
6
Kegiatan H
Kegiatan D
8 + 4(8) + 8
4 + 4(5) + 6 t24 =
t78 =
=5 6–4
=8 6
6 V24 =
=4/9
6
6
V13 =
2
2
V78 =
=1/9
8–8 6
6
20
2
=0
Riset Operasional 2 2015 Jalur Kritis Dalam menentukan jalur kritis, kita harus mengetahui terlebih dahulu earliest time (ET) dan latest time (LT) dari masing peristiwa/event atau node yang terjadi. Lalu pilih peristiwa mana yang memiliki nilai ET dan LT yang sama, maka itulah jalur kritisnya.
N O D E
ET
LT
Berikut adalah langkah-langkah penjelasannya: 1. Node 1 selalu memiliki nilai ET1 = 0 minggu 0 1
2. Node 2 berasal dari kegiatan A (t12) maka nilai ET2 = ET1 + t12 = 0 + 3 = 3 minggu
3 2
A 0 1
3. Node 3 berasal dari kegiatan B (t13) maka nilai ET3 = ET1 + t13 = 0 + 4 = 4 minggu 3 2
A 3 A
2
0 1
0 1
B 4 3
21
Riset Operasional 2 2015 4. Node 4 berasal dari kegiatan D (t24) atau kegiatan C (t34) maka nilai ET4 = ET2 + t24 = 3 + 5 = 8 minggu Atau nilai ET4 = ET3 + t34 = 4 + 6 = 10 minggu √ Pilih yang jalur kegiatan C (t34) karena memiliki nilai ET yang lebih besar 3
D
2
A 3 A
2
0 1
10
0 4
1
B 4
C
3
5. Node 5 berasal dari kegiatan E (t45) maka nilai ET5 = ET4 + t45 = 10 + 7 = 17 minggu 17
3
D
2
A
E
5
3 A
2
0 1
10
0 4
1
B 4 3
C
6. Node 6 berasal dari dummy1 atau kegiatan F (t46) maka nilai ET6 = ET5 + dummy = 17 + 0 = 17 √ Atau nilai ET6 = ET4 + t46 = 10 + 6 = 16 Maka pilih kegiatan dummy1 karena memiliki nilai ET yang paling besar
22
Riset Operasional 2 2015 17
3
D
2
A
5
E
3 A
2
0 1
10
0 4
1
B 4
C
3
7. Begitu seterusnya sampai ET8 17
3
D
2
A
5
E
3 A
2
0
Dummy1
1
10
0
F
4
1
17
B
6 4 3
C
G
Dummy2
H 18
26
7
8
8. Selanjutnya tentukan LT. menentukan LT dengan cara mundur dari node yang paling belakang sehingga dimulai dari node 8, maka LT8 = 26 minggu 17
3
D
2
A
5
E
Dummy1
3 A
2
0 1
10
0 4
1
F 17
B
6 4 3
C
Dummy2
G
H 18
7
9. Node 7 penyebab dari kegiatan H Maka nilai LT7 = LT8 – t78 = 26 - 8 = 18
23
26
8 26
Riset Operasional 2 2015 17
3
D
2
A
5
E
3 A
2
Dummy 1
0 1
10
0
F
4
1
17
B
6 4
C
3
G
Dummy 2
H 18
26
7 18
8 26
10. Begitu seterusnya sampai LT1 *dalam menentukan LT, pilih yang memiliki nilai LT paling kecil 3 2 5
A
17
D
5 18
E
3 A
2
0
Dummy 1
1
10
0 1 0
F
4 10
17
B 4 3 4
6 18
C
G
Dummy 2
H 18
26
7 18
8 26
11. Lalu pilih jalur kritis yang memiliki nilai ET dan LT yang sama 3 2 5
A
17
D
5 18
E
3 A
2
0
Dummy 1
1
10
0 1 0
4 10
F 17
B 4 3 4
6 18
C
G
Dummy 2
H
24
18
26
7 18
8 26
Riset Operasional 2 2015 Jalur kritis pada perakitan sepeda motor adalah 1 – 3 – 4 – 7 – 8 (kegiatan B – C – G –H)
µ = t13 + t34 + t45 + t56 = 4 + 6 + 8 + 8 = 26 minggu 2
σ = v13 + v34 + v45 + v56 = 4/9 + 9/9 + 1/9 + 0 = 14/9 minggu Hitung P(tij ≥ 30) P (tij ≥ 30) = P z ≥ 30 - µ √σ2 = P z ≥ 30 - 26 √14/9 = P (z ≥ 3.207) (*)
Pembulatan 3.2 (**)
= 0,5 – 0,4993 = 0,0007
(*) 0,5 karena menggunakan table distribusi normal (**) lihat table distribusi normal (lihat pada kolom 0, baris 3,2) Note : Jika menggunakan software QSB hasilnya adalah P(tij ≤ 30) maka untuk mendapatkan jawaban P(tij ≥ 30) = 1 – (hasil hitung QSB)
25
Riset Operasional 2 2015 Penggunaan Software
Buka DosBox, Kemudian ketik C
26
Riset Operasional 2 2015
Enter 2 kali kemudian pilih (7) Project Sceduling-PERTH
Lalu pilih (2) Enter New Problem
27
Riset Operasional 2 2015
Kemudian isikan nama serta jumlah kegiatannya
Kemudian ENTER 2 kali dan masukan datanya
28
Riset Operasional 2 2015
Kemudian enter 1 kali dan spasi 2 kali, lalu pilih Solve Problem
Selanjutnya pilih solve and display the intermediate results
29
Riset Operasional 2 2015
30
Riset Operasional 2 2015
Kemudian pilih Perform Probability Analysis
31
Riset Operasional 2 2015 Soal Praktikum NOMOR 1
KEGIATAN
KEGIATAN SEBELUMNYA
aij
Mij
bij
A
-
16
17
18
B
-
7
7
7
C
-
8
11
14
D
A
19
21
23
E
B,C
22
23
24
F
D
10
10
10
G
E
6
9
12
H
F,G
16
18
20
tij
vij
Dari data diatas tentukanlah gambar jaringan, distribusi beta untuk kegiatan H, jalur kritis, probabilitas proyek dikerjakan 69 minggu a.
D21
2
A17
5 F10
1
B7
3
C11
H18 Dummy 1 E23
4 t78 = 18 V12 =
b.
A17
7
8
G9 6
, 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H), 0,0013
2
D21
5 F10
1
B7
3
C11 4 t78 = 17 V12 =
H18 Dummy 1 E23
7
8
G9 6
, 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H), 0,0013
32
Riset Operasional 2 2015 c.
D21
2
A17
5 F10
1
B7
3
C11
7
Dummy 1 E23
4
8
G9 6
, 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H), 0,0045
t78 = 18 V12 =
d.
H18
2
A17
D21
5 F10
1
B7
3
C11 4 t78 = 17 V12 =
H18 Dummy 1 E23
7
8
G9 6
, 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H), 0,0012
NOMOR 2 KEGIATAN KEGIATAN SEBELUMNYA
aij Mij bij
A
-
14
17
20
B
A
8
8
8
C
A
9
10
11
D
A
21
23
25
E
B
7
10
13
F
C,D
9
9
9
G
E,F
18
19
20
H
E,F
7
9
11
I
G,H
10
13
16
tij
vij
Dari data diatas tentukanlah gambar jaringan, distribusi beta untuk kegiatan G, jalur kritis, probabilitas proyek dikerjakan 85 minggu 33
Riset Operasional 2 2015 a.
3
E10
B8 A17
1
C10
2
7
G19 4
Dummy 2
6
Dummy 1 F9 5
D23
H9
I13 8
9
t78 = 19 V12 = , -2-5-6-7-8-9 ( kegiatan A-D-F-G-DUMMY 2-I ), 0,0062 b. 3
E10
B8 A17
1
C10
2
7
G19 4
Dummy 2
6
Dummy 1 F9 5
D23
H9
I13 8
9
t67 = 19 V67 = , -2-5-6-7-8-9 ( kegiatan A-D-F-G-DUMMY 2-I ), 0,0062 3 c.
E10
B8 1
A17
2
9
G19
C10 D23
4 Dummy 2
8
Dummy 1 F9 5
H9
I13 7
9
t67 = 19 V67 = , -2-5-6-7-8-9 ( kegiatan A-D-F-G-DUMMY 2-I ), 0,0066
5
d. B8 1
A17
2
C10 D23
E10
8
G19 4 Dummy 1 F9 3
Dummy 2
7 H9
I13 6
t67 = 19 V67 = , -2-5-6-7-8-9 ( kegiatan A-D-F-G-DUMMY 2-I ), 0,0062 34
9
Riset Operasional 2 2015 NOMOR 3 Kegiatan A B C D E F G H I
Kegiatan Sebelumnya A B,C D,E D,E F,G H
aij 3 12 18 10 10 14 19 26 6
bij 7 14 24 16 10 18 23 30 8
tij 5 13 20 13 10 16 21 28 7
Mij
Vij
Dari data diatas tentukanlah gambar jaringan, distribusi beta untuk kegiatan I, jalur kritis, probabilitas proyek dikerjakan 88 minggu
a.
2
A5
D13
B1 3
1
Dummy 1 4 E10
C20
6
F16
3
Dummy 2
5 G21 7
H28
8
I7
9
m89 = 7 V89 = , 1-4-5-7-8-9 ( kegiatan C-E-G-H-I), 0,0898
b. 4
A5 1
B1 3 C20
D13 F16
3 Dummy 1 2 E10
7 Dummy 2
5 G21 6
H28
m89 = 7 V89 = , 1-4-5-7-8-9 ( kegiatan C-E-G-H-I), 0,0899
35
8
I7
9
Riset Operasional 2 2015 c.
2
A5 B1 3
1
D13 Dummy 1 4 E10
C20
6
F16
3
Dummy 2
5 G21
H28
7
8
I7
9
m89 = 7 V89 = , 1-4-5-7-8-9 ( kegiatan C-E-G-H-I), 0,0808
d. 4
A5 B1 3
1
C20
D13 Dummy 1 2 E10
7
F16
3
Dummy 2
5 G21 6
H28
I7
8
9
m89 = 7 V89 = , 1-4-5-7-8-9 ( kegiatan A-D-G-H-I), 0,0808
NOMOR 4 Kegiatan A B C D E F G H I J
Kegiatan sebelumnya A,B D C E,F G G H,I
Aij
mij
bij
11 6 17 10 7 16 7 8 19 22
14 8 18 13 9 17 7 11 21 23
17 10 19 16 11 18 7 14 23 24
tij
Vij
Dari data diatas tentukanlah gambar jaringan, distribusi beta untuk kegiatan D, jalur kritis, probabilitas proyek dikerjakan 90 minggu 36
Riset Operasional 2 2015 a.
2 A14
Dummy 1 D13
B8
1
H11
G7
E9
3
5
6
8
7
C18
Dummy 2 J23
I21 F17
4
9
10
t35 = 16 V35 = 1, -2-3-5-6-7-9-10 ( kegiatan A-DUMMY 1-D-E-G-I-J), 0,04689 b.
2 A14
Dummy 2 D13
B8
1
3
H11
G7
E9 5
6
8
7
C18
Dummy 1 J23
I21 F17
4
9
10
t35 = 15 V35 = 1, -2-3-5-6-7-9-10 ( kegiatan A-DUMMY 1-D-E-G-I-J), 0,0466 2
c. A14
Dummy 2 D13
B8
1
3
H11
G7
E9 5
6
8
7
C18
Dummy 1 J23
I21 4
F20 9
10
t35 = 15 V35 = 1, -2-3-5-6-7-9-10 ( kegiatan A-DUMMY 1-D-E-G-I-J), 0,0490 d.
2 A14 1
Dummy 1 D13
B8 3
5
H11
G7
E9 6
C18
7
8 Dummy 2 J23
I21 4
F17 9
t35 = 13 V35 = 1, -2-3-5-6-7-9-10 ( kegiatan A-DUMMY 1-D-E-G-I-J), 0,0466 37
10
Riset Operasional 2 2015 NOMOR 5 Kegiatan sebelumnya A,B C C E A,B F G D,H I,J
Kegiatan A B C D E F G H I J K
aij
mij
bij
12 22 6 15 3 8 18 2 9 21 4
13 25 8 17 4 11 21 2 10 22 7
14 28 10 19 5 14 24 2 11 23 10
tij
vij
Dari data diatas tentukanlah gambar jaringan, distribusi beta untuk kegiatan H , jalur kritis, probabilitas proyek dikerjakan 83 minggu a.
D17
2
A13
Dummy 1 C8
1 3
B2 5
H2
F11
E4 4
6
8
7
K7
J2 2
9
1 0
G21 I10
5
t78 = 2 V78 = 0, 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H) dan 1-2-4-6-7-8-9-10 ( kegiatan B-C-EF-H-J-K), 0,0107dan 0,0179
b.
A13
D17
2 Dummy 1 C8
1 B2 5
3
6
H2
F11
E4
8
7
4
J2 2
K7 9
G21 5
I10
t78 = 2 V78 = 0, 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H) dan 1-2-4-6-7-8-9-10 ( kegiatan B-C-EF-H-J-K), 0,0107dan 0,0179
38
1 0
Riset Operasional 2 2015 c.
D17
2
A13
Dummy 1 C8
1 3
B2 5
H2
F11
E4 6
7
4
8
K7
J2 2
9
1 0
G21 I10
5
t78 = 10 V78 = 1, 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H) dan 1-2-4-6-7-8-9-10 ( kegiatan B-C-EF-H-J-K), 0,0107dan 0,0179
d.
A13
I17
2 Dummy 1 G8
1 B2 5
3
6
H2
F11
E4
8
7
4
J2 2
K7 9
C21 D10
5
t78 = 10 V78 = 1, 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H) dan 1-2-4-6-7-8-9-10 ( kegiatan B-C-EF-H-J-K), 0,0157dan 0,0189
39
1 0
Riset Operasional 2 2015 BAB III ANALISIS MARKOV Pengantar: Analisis Markov Model Rantai Markov dikembangkan oleh seorang ahli Rusia A.A. Markov pada tahun 1996. Pada umumnya Riset Operasional bertujuan untuk mengambil keputusan yang optimal atas suatu permasalahan. Namun Analisis markov digunakan untuk menghasilkan suatu informasi probabilistik yang dapat digunakan untuk membantu pengambilan keputusan. Dengan kata lain teknik-teknik yang lain dalam Riset Operasional pada umumnya merupakan teknik optimisasi sedangkan pada Analisis Markov merupakan teknik deskriptif. Rantai Markov adalah suatu teknik matematik yang biasa digunakan untuk melakukan pembuatan model bermacam-macam sistem dan proses bisnis. Teknik ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan-perubahan yang akan terjadi di waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis atas dasar perubahan-perubahan variabel tersebut di waktu lampau.
Ciri-ciri Proses Markov Probabilitas Transisi adalah perubahan dari satu status ke status yang lain pada periode (waktu) berikutnya dan merupakan suatu proses random yang dinyatakan dalam probabilitas. Untuk lebih jelasnya akan digunakan sebuah contoh kasus pada kendaraan umum. Dalam kasus ini terdapat dua buah state (kondisi / status) yaitu narik dan mogok. Jadi kendaraan umum tersebut akan selalu berada pada salah satu dari dua state tersebut, narik atau mogok. Agar dapat digunakan dalam proses Markov dibutuhkan beberapa asumsi seperti berikut : a. Jika state kendaraan saat ini adalah narik maka hanya ada dua kemungkinan untuk kondisi waktu (hari) berikutnya yaitu narik kembali atau mogok. Sehingga jumlah probabilitas transisi pada setiap baris adalah satu. b. Probabilitas transisi itu tidak akan berubah untuk selamanya. c. Probabilitas transisi hanya tergantung pada status sekarang bukan status periode sebelumnya.
40
Riset Operasional 2 2015 Menyusun Probabilitas Transisi Untuk menunjukkan cara penyusunan probabilitas transisi, akan digunakan contoh kasus diatas dengan probabilitas-probabilitas sebagai berikut:
Contoh Soal Banyaknya Mobil
Status (saat ini)
Hari l
Hari II
Narik
120
144
Mogok
100
76
Jumlah
220
220
Table 3.1
Hari l
Hari II
Jumlah
Narik Mogok
Narik
70
50
120
Mogok
74
26
100
Jumlah
144
76
220
Tabel 3.2
Dari tabel di atas dapat diperoleh Probabilitas Transisi sebagai berikut:
Hari II
Hari l Narik Narik Mogok
Mogok
70/120= 0,5833 50/120 = 0,4167 74/100 = 0,74
26/100 = 0,26
Tabel 3.3
Probabilitas Tree Probabilitas Tree merupakan cara yang mudah untuk menggambarkan sejumlah terbatas transisi dari suatu proses Markov. Agar lebih jelas kita masih akan mengambil contoh kasus di atas. Semisal ingin diketahui : a. Probabilitas hari ke-3 narik jika hari ke-1 narik b. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 narik 41
Riset Operasional 2 2015 c. Probabilitas hari ke-3 narik jika hari ke-1 mogok d. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 mogok Maka kita akan buat Probabilitas Tree dari kasus di atas sebagai berikut:
Hari ke-1
Hari ke-2
0,5833
0,5833
Hari ke-3 0,3402 Narik
0,4167
0,2431 Mogok
0,74
0,3084 Narik
Narik 0,5833 Narik
0,4167
Mogok 0,1083 0,26
Mogok
0,4167 Probabilitas Tree hari ke-1 narik
Hari ke-1
Hari ke-2
Hari ke-3 0,4316 0,5833
0,74
Narik
Narik 0,3084
0,74 0,4167
Mogok
0,74
0,192 4 Narik
Mogok
0,26 Mogok 0,0676
0,26
0,26
Probabilitas Tree hari ke-1 mogok
42
Mogok
Riset Operasional 2 2015 Dari gambar 3.1 dan Gambar 3.2 dapat kita jawab soal di atas, sehingga : a. Probabilitas hari ke-3 narik, jika hari ke-1 narik = 0,3402 + 0,3084 = 0,6486 b. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 narik = 0,2431 + 0,1083 = 0,3514 c. Probabilitas hari ke-3 narik, jika hari ke-1 mogok = 0,4316 + 0,1924 = 0,642 d. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 mogok = 0,3084 + 0,0676 = 0,376
Pendekatan Matriks Ada kalanya kita harus mencari probabilitas pada periode yang sangat besar, misalkan periode hari ke-9, ke-10 dan seterusnya, akan sangat menyulitkan dan membutuhkan media penyajian yang khusus jika kita menggunakan Probabilitas Tree. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Pendekatan Matriks Probabilitas Adapun Matriks Probabilitas dari contoh kasus di atas adalah sebagai berikut: 0,5833
0,4167
0,74
0,26
Probabilitas kendaraan narik pada periode ke-i jika pada periode ke-1 narik, dilambangkan dengan: Probabilitas Narik
Nn (i)
Periode ke-i
Status Awal Narik Probabilitas kendaraan mogok pada periode ke-3 jika pada periode ke-1 mogok, dilambangkan dengan: Probabilitas Mogok
Mm (3)
Periode ke-3
Status Awal Mogok Jika kendaraan pada hari ke-1 narik maka berlaku probabilitas sebagai berikut: Nn(l) = 1 sedangkan Mm(l) = 0 Jika probabilitas di atas disusun ke dalam vektor baris, maka kita dapatkan: (Nn(l)
Mm(l)) = (l
0)
Adapun rumus untuk mencari probabilitas periode berikutnya (i+1) adalah:
43
Riset Operasional 2 2015 (Nn(i+1)
Mn(i+1)) = (Nn(i)
Mn(i)) x Matriks Probabilitas Transisi
Bila rumus di atas kita gunakan untuk mencari probabilitas hari ke-2, maka:
(Nn(2) Mn(2)) = (Nn(1)
= (1
= (0,5833
Mn(1))
×
0,5833
0,4167
0,74
0,26
0,5833
0,4167
0,74
0,26
0) ×
0,4167)
Terlihat bahwa hasilnya sama dengan yang diperoleh dengan menggunakan metode Probabilities Tree. Dengan menggunakan cara yang sama kita akan dapatkan status untuk periode-periode berikutnya sebagai berikut:
(Nn(3)
Mn(3)) = (0,6486
0,3514)
(Nn(4)
Mn(4)) = (0,6384
0,3616)
(Nn(5)
Mn(5)) = (0,6400
0,3400)
(Nn(6)
Mn(6)) = (0,6397
0,3603)
(Nn(7)
Mn(7)) = (0,6398
0,3602)
(Nn(8)
Mn(8)) = (0,6398
0,3602)
Terlihat bahwa perubahan probabilitas semakin lama semakin mengecil sampai akhirnya tidak tampak adanya perubahan. Probabilitas tersebut tercapai mulai dari periode ke-7, dengan probabilitas status: (Nn(7)
Mn(7)) = (0,6398 0,3602)
Ini berarti pemilik kendaraan dapat menarik kesimpulan bahwa jika awalnya kendaraan berstatus narik, setelah beberapa periode di masa depan probabilitasnya narik adalah sebesar 0,6398 dan probabilitasnya mogok adalah sebesar 0,3602. Untuk perhitungan probabilitas status hari pertama mogok dapat kita cari dengan metode yang sama dan akan kita dapatkan probabilitas yang akan sama untuk periode selanjutnya, mulai dari periode ke-8. Adapun probabilitas pada periode ke-8 adalah: (Nm(8)
Mm(8)) = (0,6398
0,3602)
44
Riset Operasional 2 2015 Probabilitas Steady State Dalam banyak kasus, proses markov akan menuju pada Steady State (keseimbangan) artinya setelah proses berjalan selama beberapa periode, probabilitas yang dihasilkan akan bernilai tetap, dan probabilitas ini dinamakan Probabilitas Steady State. Dari contoh di atas Probabilitas Steady Statenya adalah probabilitas narik sebesar 0,6398 dan probabilitas mogok sebesar 0,3602. Untuk mencari Probabilitas Steady State dari suatu Matriks Transisi, maka kita dapat menggunakan rumus: (Nn(i+1) Mn(i+1)) = (Nn(i)
Mn(i)) x Matriks Probabilitas Transisi
Karena Steady State akan menghasilkan probabilitas yang sama pada periode ke depan maka rumus tersebut akan berubah menjadi: (Nn(i)
Mn(i)) = (Nn(i)
Mn(i)) x Matriks Probabilitas Transisi
Dari contoh kasus di atas dengan status hari ke-1 narik, maka kita dapatkan:
0,5833 0,4167 0,74
0,26
Untuk mengurangi keruwetan, periode (i) dapat kita hilangkan, karena pada saat Steady State tercapai periode tidak akan mempengaruhi perhitungan. Sehingga perhitungan di atas akan menjadi:
(Nn
Mn) = (Nn
Mn) x
0,5833
0,4167
0,74
0,26
Dari perhitungan di atas akan menghasilkan persamaan berikut: Nn = 0,5833Nn + 0,74Mn............................................... (1) Mn = 0,4167Nn + 0,26Mn .............................................. (2) Karena salah satu ciri proses markov adalah: Nn(i) + Mn(i) = 1, maka: Nn + Mn = 1
Mn = 1 - Nn
Dengan menstubstitusikan Mn = 1 -Nn ke persamaan (1) didapatkan: Nn = 0,5833Nn + 0,74(l -Nn) Nn = 0,5833Nn + 0,74 - 0,74Nn l,1567Nn = 0,74
45
Riset Operasional 2 2015 Nn = 0,6398 Lalu kita masukkan nilai Nn = 0,6398 ke dalam persamaan (2) didapatkan: Mn = 0,3602
Penggunaan Probabilitas Steady State Dari contoh kasus kita ketahui bahwa Pemilik Kendaraan memiliki 220 kendaraan. Dengan menggunakan Probabilitas Steady State yang sudah kita dapatkan, Pemilik dapat mengharapkan jumlah kendaraan setiap harinya narik atau mogok sebanyak: Narik
: Nn x 220 = 0,6398 x 220= 140,756 atau sebanyak 141 kendaraan
Mogok : Mn x 220 = 0,3602 x 220= 79,244 atau sebanyak 79 kendaraan Misalkan Pemilik kurang puas dengan tingkat operasi yang ada dan ingin meningkatkannya, sehingga Pemilik mengambil kebijakan untuk menggunakan suku cadang asli dalam setiap perawatan armada. Kebijakan ini membuat Matriks Probabilitas Transisi berubah menjadi: 0,7
0,3
0,74
0,26
Artinya kebijakan ini membuat Probabilitas saat ini narik, lalu hari berikutnya mogok menurun dari 0,4 menjadi 0,3. Probabilitas Steady State yang baru adalah:
(Nn
Mn) = (Nn
Mn) x
0,7
0,3
0,74
0,26
Sehingga kita adpatkan persamaan berikut: Nn = 0,7Nn + 0,74Mn………………………(1) Mn = 0,3Nn + 0,26Mn……………………(2)
Substitusikan Nn = 1 - Mn ke persamaan (2), sehingga kita dapatkan: Mn = 0,2885 dan Nn = 0,7116 Artinya setiap harinya Pemilik dapat mengharapkan kendaraan yang narik atau mogok sebanyak: Narik
: Nn x 220 = 0,7116 x 220 = 156,55 atau sebanyak 157 kendaraan
- 46 -
Riset Operasional 2 2015 Mogok : Mn x 220 = 0,2885 x 220 = 63,47 atau sebanyak 63 kendaraan Kebijakan tersebut menghasilkan kenaikan operasional dari 141 kendaraan perhari menjadi 157 kendaraan perhari. Dalam hal ini Pemilik harus mengevaluasi kebijakan ini, apakah kenaikan pendapatan operasional dapat menutupi kenaikan biaya operasional karena kebijakan ini. Misalkan karena kebijakan ini terjadi kenaikan biaya perawatan kendaraan sebesar Rp. 1.000.000,- setiap harinya. Jadi bila kenaikan pendapatan operasional lebih besar dari Rp. 1.000.000,- maka kebijakan tersebut layak untuk dijalankan. Dari contoh ini menunjukkan bahwa Analisis Markov tidak memberikan solusi atau keputusan, namun analisis tersebut memberikan informasi yang dapat membantu pembuatan keputusan.
47
Riset Operasional 2 2015 Penggunaan Software 1. Buka software QSB
2. Pilih D – Markov Proses
48
Riset Operasional 2 2015 3. Enter new problem
4. Please name your problem : bebas isinya
49
Riset Operasional 2 2015 5. How many states are there in your problem ? isi 2 (Karena narik dan mogok) 6. Do you know initial state probability? N 7. Do you want to use teh default names of states ? N
8. Enter name state : 1 : < Narik> 2:<Mogok>
50
Riset Operasional 2 2015 9. Isi enter the transition probability ( isi datanya setelah data tersebut telah menjadi satuan decimal) misal : narik : 70/120 = 0.5833, isi di softwarenya 0.5833
10. Solve problem
51
Riset Operasional 2 2015 11. lalu pilih (2)- solve and display the final iteration
12. maka akan muncul hasil iterasinya
52
Riset Operasional 2 2015 Soal Praktikum 1. Sebuah kursus memasak yang telah berdiri beberapa tahun lalu ingin mengetahui perkembangan siswanya dalam membuat kue. Selama bergabung dalam 2 bulan terakhir, sering kali siswa-siswanya berhasil ataupun gagal dalam membuat kue. Pengajar ingin mengertahui kemungkinan keberhasilan ataupun kegagalan pada bulan ke-3 dengan melihat data dua bulan sebelumnya. Berikut adalah datanya: Keterangan
Bulan 1
Bulan 2
Berhasil
18
15
Gagal
17
20
Jumlah
35
35
Dalam waktu 2 bulan terakhir, terjadi perubahan jumlah siswa yang berhasil atau gagal dalam membuat kue. Untuk data lebih jelasnya, lihat tabel dibawah ini :
Bulan 2
Jumlah
Bulan 1
Berhasil
Gagal
Berhasil
10
8
18
Gagal
5
12
17
Jumlah
15
20
35
Dengan menggunakan probabilitas tree, tentukanlah probabilitas bulan ke-3 mengalami gagal apabila pada bulan ke-1 berhasil; probabilitas bulan ke-3 mengalami berhasil apabila pada bulan ke-1 gagal; mengalami berhasil apabila
probabilitas bulan ke-3
pada bulan ke-1 berhasil; probabilitas bulan ke-3
mengalami gagal apabila pada bulan ke-1 berhasil; dan terakhir tentukan pula probabilitas pada kondisi Steady State ! a. 0,629; 0,371; 0,4394; 0,5606; X1 = 0,3982 dan X2 = 0,6018 b. 0,726; 0,371; 0,4394; 0,4412; X1 = 0,1092 dan X2 = 0,6018 c. 0,629; 0,371; 0,556; 0,4412; X1 = 0,3982 dan X2 = 0,2104 d. 0,112; 0,371; 0,4394; 0,5606; X1 = 0,10922 dan X2 = 0,6018
53
Riset Operasional 2 2015 2. Seorang mahasiwa sedang melakukan penelitian di subuah panti jompo. Ia ingin mengetahui tingkat daya ingat para lansia disana akan dirinya selama 3 hari. Berikut adalah data daya ingat para lansia selama 2 hari pertama.
Keterangan
Hari 1
Hari 2
Ingat
365
350
Lupa
425
440
Jumlah
790
790
Adapun lebih lanjut perubahan daya ingat para lansia sebagai berikut:
Hari 1
Hari 2 Ingat
lupa
Jumlah
Ingat
300
65
365
Lupa
50
375
425
Jumlah
350
440
790
Dengan menggunakan probabilitas tree, tentukanlah Probabilitas pada hari ketiga lupa apabila pada hari pertama ingat ; Probabilitas pada hari ketiga lupa apabila pada hari pertama lupa ; Probabilitas pada hari ketiga ingat, jika pada hari pertama membeli ingat ; Probabilitas pada hari ketiga membeli ingat, jika pada hari pertama lupa dan terakhir tentukanlah Probabilitas pada kondisi steady state. a. 0,3036; 0,7995; 0,6617; 0,2005; X1 = 0,2656 dan X2 = 0,6984 b. 0,3036; 0,7995; 0,6964; 0,2005; X1 = 0,3977 dan X2 = 0,6023 c. 0,1865; 0,7995; 0,6617; 0,2005; X1 = 0, 2656 dan X2 = 0,6984 d. 0,1865; 0,7995; 0,6964; 0,2005; X1 = 0,1977 dan X2 = 08023
54
Riset Operasional 2 2015 3. Rumah karantina model berisi 475 wanita yang dididik untuk menjadi model professional. Untuk mendapatkan tubuh yang bagus, tidak sedikit dari mereka melakukan diet ketat. Berikut adalah data jumlah model yang diet dan yang tidak selama 2 bulan terakhir. Keterangan
Bulan 1
Bulan 2
Diet
325
235
Makan
150
240
Jumlah
475
475
Adapun perubahan model yang melakukan diet atau tetap makan secara lebih jelas terlihat pada table berikut:
Bulan 2
Bulan 1 Diet
Makan
Jumlah
Diet
200
125
325
Makan
35
115
150
Jumlah
235
240
475
Dengan menggunakan probabilitas tree, tentukanlah probabilitas model pada bulan ketiga makan apabila pada bulan pertama diet ; probabilitas model pada bulan ketiga diet apabila pada bulan pertama memilih diet ; probabilitas model pada bulan ketiga diet apabila pada bulan pertama memilih makan ; probabilitas model pada bulan ketiga makan, jika pada bulan pertama makan dan terakhir tentukanlah pada kondisi steady state a. 0,5316; 0,5316; 0,2333; 0,6775; X1 = 0,2247 dan X2 = 0,7753 b. 0,5316; 0,4684; 0,3225; 0,6775; X1 = 0,2247 dan X2 = 0,7753 c. 0,5316; 0,5316; 0,2333; 0,6775; X1 = 0,3776 dan X2 = 0,6224 d. 0,5316; 0,4684; 0,3225; 0,6775; X1 = 0,3776 dan X2 = 0,6224
55
Riset Operasional 2 2015 4. Seorang manager dari klinik JENG SUEK, ingin mengetahui perkembangan Kepuasan pelanggannya yang berjumlah 5250 pelanggan. Manager tersebut melakukan pendataan terhadap pelanggannya. Berikut ini data-data tersebut :
Keterangan
Minggu 1
Minggu 2
Puas
1550
2750
Tidak Puas
3700
2500
Jumlah
5250
5250
Selama 2 minggu terdapat perubahan terhadap kepuasan pelanggan di klinik tersebut. Di bawah ini data perubahan lebih jelasnya :
Minggu 1
Minggu 2
Jumlah
Puas
Tidak Puas
Puas
1000
550
1550
Tidak Puas
1750
1950
3700
Jumlah
2750
2500
5250
Dengan menggunakan probabilitas tree, tentukanlah probabilitas pelanggan pada minggu ketiga Puas apabila pada minggu pertama dia Tidak Puas ; Tentukanlah probabilitas pelanggan pada minggu ketiga Puas, bila pada minggu pertama dia Puas ; Tentukanlah probabilitas pelanggan pada minggu ketiga Tidak Puas apabila pada minggu pertama dia Tidak Puas ; Tentukanlah probabilitas pelanggan pada minggu ketiga Tidak Puas, bila pada minggu pertama dia Puas dan terakhir Tentukanlah probabilitas pada kondisi steady state ? a. 0,5545; 0,5841; 0,4455; 0,4159; X1 = 0,5714 dan X2 = 0,4286 b. 0,5545; 0,5841; 0,4455; 0,4159; X1 = 0,6978 dan X2 = 0,3022 c. 0,5545; 0,5841; 0,4455; 0,4159; X1 = 0,4286 dan X2 = 0,5714 d. 0,5545; 0,5841; 0,4455; 0,4159; X1 = 0,3022 dan X2 = 0,6978
56
Riset Operasional 2 2015 5. Ikatan istri tentara ingin mengetahui kemungkinan para suami pulang pada bulan Maret (bulan ke-3) ini dengan melihat data kepulangan jumlah suami pada dua bulan terakhir. Berikut adalah datanya Keterangan
Bulan 1
Bulan 2
Pulang
3400
4350
Tidak Pulang
5350
4400
Jumlah
8750
8750
Adapun perubahan terhadap kepulangan para suami selama 2 bulan terakhir berikut lebih jelasnya :
Bulan 1
Bulan 2 Pulang
Tidak Pulang
Jumlah
Pulang
2250
1150
3400
Tidak Pulang
2100
3250
5350
Jumlah
4350
4400
8750
Dengan menggunakan probabilitas tree, tentukanlah Probabilitas bulan ke-3 tidak pulang apabila bulan ke-1 pulang ; Probabilitas bulan ke-3 pulang apabila bulan ke-1 tidak pulang ; Probabilitas bulan ke-3 pulang, jika bulan ke-1 pulang ; Probabilitas bulan ke-3 tidak pulang apabila bulan ke-1 tidak pulang ! a. 0,4293; 0,4982; 0,5707; 0,5017; X1 = 0,5371 dan X2 = 0,4629 b. 0,4293; 0,4982; 0,5707; 0,5017; X1 = 0,1128 dan X2 = 0,8872 c. 0,4293; 0,4982; 0,5707; 0,5017; X1 = 0,5371 dan X2 = 0,4629 d. 0,4293; 0,4982; 0,5707; 0,5017; X1 = 0,2759 dan X2 = 0,7241
57
Riset Operasional 2 2015 BAB IV TEORI PENGAMBILAN KEPUTUSAN
Pengantar: Teori Pengambilan Keputusan Keputusan merupakan hasil proses pemikiran yang berupa pemilihan satu diantara beberapa alternative yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang dihadapinya, selain itu juga harus didasari atas logika dan pertimbangan, penetapan alternatif terbaik, serta harus mendekati tujuan yang telah ditetapkan. Pengambilan keputusan (decision making) adalah melakukan penilaian dan menjatuhkan pilihan. Pembuatan keputusan ini bertujuan mengatasi atau memecahkan masalah yang bersangkutan sehingga usaha pencapaian tujuan yang dimaksud dapat dilaksanakan secara baik dan efektif. Jadi teori pengambilan keputusan adalah ilmu yang mempelajari tentang cara memilih alternatif yang tepat yang akan dijadikan sebuah keputusan.Analisis ini berguna untuk menghasilkan keputusan yang baik dalam penyelesaian suatu masalah. Berikut adalah proses pengambilan keputusan dalam suatu penyelesaian masalah:
Identifikasi Masalah
Melakukan Analisa dari berbagai alternatif tersebut
Memilih Alternatif yang akan dipakai
Keputusan
Fungsi teori pengambilan keputusan Pengambilan keputusan sebagai suatu kelanjutan dari cara pemecahan masalah mempunyai fungsi antara lain: 1. Pangkal permulaan dari semua aktivitas manusia yang sadar dan terarah baik secara individual maupun secara kelompok, baik secara lnstitusional maupun secara organisasional. 2. Sesuatu yang bersifat futuristic, artinya menyangkut dengan hari depan/masa yang akan dating, dimana efeknya atau pengaruhnya berlangsung cukup lama.
58
Riset Operasional 2 2015 Tujuan teori pengambilan keputusan Tujuan pengambilan keputusan dapat dibedakan menjadi dua yaitu : 1. Tujuan yang bersifat tunggal. Tujuan pengambilan keputusan yang bersifat tunggal terjadi apabila keputusan yang dihasilkan hanya menyangkut satu masalah, artinya bahwa sekali diputuskan, tidak ada kaitannya dengan masalah lain. 2. Tujuan yang bersifat ganda. Tujuan pengambilan keputusan yang bersifat ganda terjadi apabila keputusan yang dihasilkan menyangkut lebih dari satu masalah, artinya keputusan yang diambil itu sekaligus memecahkan dua (atau lebih) masalah yang bersifat kontradiktif atau yang bersifat tidak kontradiktif.
Klasifikasi informasi yang diterima oleh manager Dalam Dunia bisnis para manager sering dipaksa untuk mengambil berbagai keputusan tanpa tersedianya informasi yang sempurna, keakurasian dan varibilitas informasi yang diterima oleh para manager pada hakikatnya di klasifikasikan menjadi tiga, yaitu : Kepastian, Resiko, dan Ketidakpastian. Model keputusan dalam kepastian (certainty) menggambarkan informasi yang menunjukkan bahwa setiap rangkaian (kegiatan) mempunyai suatu hasil (pay off) tertentu tunggal. Dalam hal ini tidak ada keacakan pada hasil keputusan-keputusan dengan kondisi kepastian atau dengan kata lain semua informasi dianggap pasti. Misalnya kita akan menyelesaikan masalah kombinasi dengan linear programming, maka besarnya kontribusi marginal tiap produk serta tersedianya sumber daya yang dibutuhkan untuk memproduksi produk tersebut dapat diketahui dengan pasti. Model seperti ini disebut model deterministik. Model keputusan dengan resiko menggambarkan informasi yang mengidentifikasi bahwa setiap rangkaian keputusan mempunyai sejumlah kemungkinan hasil dan probabilitas terjadinya. Model resiko seperti ini disebut model stokastik. Model keputusan ketidakpastian menggambarkan informasi yang menunjukkan, semua atau beberapa hasil dari berbagai keputusan yang berbeda, tetapi probabilitas terjadinya tersebut tidak dapat ditentukan.
59
Riset Operasional 2 2015 Konsep – konsep dasar TPK 1. Keadaan dasar, sekumpulan peristiwa atau kejadian acak yang mungkin mempengaruhi hasil keputusan. 2. Probabilitas, suatu probabilitas yang berkaitan dengan keadaan dasar. 3. Keputusan, sekumpulan kegiatan yang mungkin diambil oleh pengambil keputusan. 4. Payoff, sekumpulan laba atau biaya yang mungkin dihasilkan akibat dari kombinasi keputusan dan keadaan pasar yang acak.
Contoh soal Mc. Donald ingin membuka cabang baru yang berpusat didaerah Margonda, Kelapa Dua, dan Mekar Sari. Komponen-komponen situasi itu disajikan pada tabel berikut. Tabel Matriks pay off Prospek Ekonomi
Alternative investasi
High
Middle
Low
Margonda
1243
1457
1788
Kelapa Dua
1343
1413
1614
Mekar Sari
3500
4444
5000
Dari table Pay off diatas tentukan Maximin, Maximax, Minimax regret, Laplace investasi. Apabila probabilitas keuntungan yang diperoleh dari ketiga jenis investasi tersebut tergantung dari situasi pasar yaitu high, middle dan low yang masing-masing bernilai 15%, 30% dan 55%. Investasi manakah yang sebaiknya dipilih berdasarkan konsep expected value dan expected regret.
60
Riset Operasional 2 2015 JAWAB Langkah 1: Kriteria Maximin Kita buat matrik payoff minimum terlebih dahulu Matriks payoff minimum Alternative
Payoff terkecil
Investasi Margonda
(minimum) 1243
Kelapa Dua
1343
Mekar Sari
3500
Kriteria maximin adalah memilih keuntungan maksimal dari keuntungan yang minimal, maka dari keuntungan di atas kita memilih Mekar Sari karena memiliki keuntungan yang paling besar yaitu sebesar 3500 juta.
Langkah 2: Kriteria Maximax Kita buat matriks payoff maksimum terlebih dahulu. Matriks payoff maksimum Alternative Payoff terbesar Investasi Margonda
(maksimum) 1788
Kelapa Dua
1614
Mekar Sari
5000
Kriteria maximax adalah memilih keuntungan maksimal dari keuntungan yang maksimal, maka dari keuntungan di atas kita memilih Mekar Sari, karena memiliki keuntungan yang paling maksimal yaitu sebesar 5000 juta.
61
Riset Operasional 2 2015 Langkah 3: Kriteria Minimax (regret): Kita buat matrix regretnya terlebih dahulu. Matriks Regret Alternatif
Prospek Ekonomi
Investasi
High
Middle
Low
Margonda
2257
2987
3212
Kelapa Dua
2157
3031
3386
Mekar Sari
0
0
0
Matriks regret tersebut diperoleh dari mengurangkan antara keuntungan yang paling maksimum yang terdapat di dalam kolom matriks payoff dengan keuntungan yang lain, misalnya pada kolom High 3500 - 1243 maka akan menghasilkan 2257 ; 3500 1343 maka akan menghasilkan 2157 dan 3500 - 3500 akan menghasilkan 0. Langkah selanjutnya sama seperti pada kolom Naik. Pada kolom Middle dan Low pilih keuntungan yang paling maksimum dan kurangkan dengan keuntungan yang lain yang terdapat pada kolom tersebut. Matriks regret maksimum Alternative
Regret
Investasi Margonda
Maksimum
Kelapa Dua
3386
Mekar Sari
0
3212
Kriteria minimax atau regret adalah memilih kerugian atau tingkat penyesalan yang minimum dari kerugian atau penyesalan yang maksimum, maka dari hasil regret maksimum diatas kita memilih Mekar Sari yaitu sebesar 0 karena memiliki kerugian yang paling minimum.
Langkah 4: Kriteria Laplace Pada kriteria ini diasumsikan bahwa probabilitas tidak diketahui oleh karena itu probabilitas untuk setiap keuntungan dalam kondisi perekonomian dianggap sama. Margonda
: 1/3 (1243) + 1/3 (1457) + 1/3 (1788 ) = 1496
62
Riset Operasional 2 2015 Kelapa Dua
: 1/3 (1343) + 1/3 (1413) + 1/3 (1614) = 1456,67
Mekar Sari
: 1/3 (3500) + 1/3 (4444) + 1/3 (5000) = 4314,67
Dari kriteria laplace ini dipilih keuntungan yang paling besar yaitu Mekar Sari sebesar 4314,67.
Langkah 5: Konsep keputusan nilai yang diharapkan (Expected Value) Pada konsep ini nilai yang diharapkan diperoleh dari penjumlahan dari keuntungan yang sebelumnya dikalikan terlebih dahulu dengan probabilitas dari setiap kondisi.
Rumusnya adalah :
Persamaan matematisnya adalah :
Jawab: High 0,15 ; Middle 0,30 ; Low 0,55 E (Margonda) = 1243 (0,15) + 1457 (0,30) + 1788 (0,55) = 1606,95 E (Kelapa Dua) = 1343 (0,15) + 1413 (0,30) + 1614 (0,55) = 1513,05 E (Mekar Sari) = 3500 (0,15) + 4444 (0,30) + 5000 (0,55) = 4608,2 Dari hasil diatas maka pengambil keputusan sebaiknya memilih investasi pada Mekar Sari karena memiliki expected value yang paling besar yaitu sebesar 4608,2
Langkah 6: Konsep expected regret Pada konsep ini diperoleh hasil dengan menjumlahkan hasil perkalian antara matriks regret dengan probabilitas yang ada pada kondisi suatu masalah. E regret Margonda
= 2257 (0,15) + 2987 (0,30) + 3212 (0,55) = 3001,25
E regret Kelapa Dua = 2157 (0,15) + 3031 (0,30) + 3386 (0,55) = 3095,15 E regret Mekar Sari
= 0 (0,15)
+ 0 (0,30)
+
0 (0,55) = 0
Dari hasil diatas maka pengambilan keputusan sebaiknya memilih investasi pada Mekar Sari karena memiliki expected regret yang paling kecil yaitu 0. *Catatan yang perlu diingat bahwa expected value dan expected regret menghasilkan kesimpulan atau keputusan yang sama.
63
Riset Operasional 2 2015 Penggunaan Software 1.
Buka software QSB
2. Enter dua kali kemudian pilih C - Decision/probability theory
64
Riset Operasional 2 2015 3. Pilih 2- Enter New Problem
4. Please Name Your Ploblem using 20 character? Masukkan nama.
65
Riset Operasional 2 2015 5.
Setelah masukkan nama kemudian Enter. Pada tulisan Please enter the option number? 3
6.
How many state of nature (0 to return) berdasarkan prospek ekonomi yang ada ? 3
7.
How many alternative (0 to return) berdasarkan alternative investasi? 3
8.
Payoff represents :1—profit, 2—cost? 1 Maka akan muncul tampilan sebagai berikut (No. 6 - 8)
9.
Enter data for payoff table analysis—probabilitas for state of nature Isi S1 : 0.15
S2 : 0.3
0
S3 : 0.55
66
Riset Operasional 2 2015 Kemudian enter dan space
10.
Enter data for payoff table analysis—payoff values State
alternative 1
S1
A1: 1243
A2: 1343
A3: 3500
S2
A1: 1457
A2: 1413
A3: 4444
S3
A1: 1788
A2: 1614
A3: 5000
Kemudian space dan enter
11.
Pilih 5 – Solve problem
67
Riset Operasional 2 2015
12.
Pada payoff table analysis, pilih option yg diinginkan, Kriteria maximin : no. 1 Kriteria maximax : no. 2 Kriteria minimax regret : no. 3 Kriteria Laplace : no. 5 Kriteria expected value : no. 4 Kriteria expected regret : no. 6
Nb : Coba perhatikan apakah hasilnya sama dengan perhitungan manual?? Untuk lebih
68
Riset Operasional 2 2015 jelas silahkan perhatikan tutor dengan baik.. Output Softwarenya : 1. Maximin
2. Maximax
69
Riset Operasional 2 2015 3. Minimax (regret)
4. Laplace
70
Riset Operasional 2 2015 5. Expected value
6. Expected regret
71
Riset Operasional 2 2015 Soal Praktikum 1. Ny. Elisabeth ingin menanamkan modalnya pada salah satu salon ternama dengan harapan dapat memberikan keuntungan yang maksimal untuknya. Masing-masing salon akan memberikan hasil yang berbeda tergantung dari kondisi perekonomian yang terjadi seperti ditunjukkan dalam table berikut. Tabel Matriks pay off Prospek Ekonomi
Alternative investasi
Naik
Sedang
Turun
Jhony Andrean
4242
3232
2121
Salon Rudy
3010
3050
3080
Beauty salon
2424
3010
4100
Dari table Pay off diatas tentukan Maximin, Maximax, Minimax regret, Laplace investasi. Apabila dalam kondisi resiko probabilitas dari prospek ekonomi tersebut adalah Naik 60%, Sedang 25% dan sisanya Turun, investasi manakah yang sebaiknya dipilih berdasarkan konsep expected value dan expected!
a. 3010, 2424, 1232, 3198,33. Margonda ( 3671,35), regret Margonda (296,85) b. 3010, 2424, 1232, 3198,33. Margonda (296,85 ), regret Margonda 3671,35) c. 3010, 2424, 1232, 3671,35. Margonda ( 3671,35), regret Margonda (296,85) d. 3671,35, 2424, 1232, 3198,33. Margonda (3010), regret Margonda (296,85)
2. Cla sciffi ingin membuka cabang untuk restaurantnya yang berpusat di daerah Jakarta, Medan, Singapura, dan Malaysia. Diasumsikan dana tersebut akan diinvestasikan terhadap 4 alternatif tersebut. Pada saat investasi, kondisi pasar berdasarkan atas High, Middle dan Low. Dan probabilitas kondisi pasar 0.50 pada kondisi high, 0.25 pada kondisi middle dan sisanya pada kondisi low.
72
Riset Operasional 2 2015 Tabel Matriks pay off Prospek Pasar
Alternative Investasi
High
Middle
Low
Jakarta
1768
1342
1231
Medan
4100
3010
2424
Singapura
2330
3420
4050
Malaysia
3386
3212
3031
Dari table Pay off diatas tentukan Maximin, Maximax, Minimax regret, Laplace investasi. Apabila dalam kondisi resiko probabilitas dari prospek pasar tersebut, investasi manakah yang sebaiknya dipilih berdasarkan konsep expected value dan expected regret! a. 3408,5, 4100, 1091, 3266,67, Medan ( 3408,5), Regret Medan (509) b. 3031, 4100, 1091, 3266,67, Medan (4100), Regret Medan (509) c. 3031, 4100, 1091, 3266,67, Medan ( 3408,5), Regret Medan (509) d. 3031, 4100, 1091, 3266,67, Jakarta ( 3408,5), Regret Jakarta (509)
3. Gaudi seorang pengusaha sukses yang ingin membuka cabang untuk perusahaannya yang berpusat didaerah Medan, Palembang, Yogyackarta, Kalimantan dan Papua. Pada saat investasi, kondisi pasar berdasarkan atas Naik, Sedang dan Turun. Dan probabilitas kondisi pasar 0.7 pada kondisi Naik, 0.2 pada kondisi Sedang dan sisanya pada kondisi Turun. Tabel Matriks pay off Prospek Pasar
Alternative Investasi
Naik
Sedang
Turun
Medan
1175
1100
1030
Palembang
1818
1700
1500
Yogyakarta 1700
1600
1515
Kalimantan 1334
1567
1679
1485
1680
Papua
1212
Dari table Pay off diatas tentukan Maximin, Maximax, Minimax regret, Laplace investasi. Apabila dalam kondisi resiko probabilitas dari prospek pasar tersebut, investasi manakah yang sebaiknya dipilih berdasarkan konsep expected value dan expected regret! a. 1515, 1818, 165, 1672,67, Yogyakarta (1762,6), Regret Yogyakarta (18) b. 1515, 1818, 165, 1672,67, Palembang (1762,6), Regret Palembang (18) 73
Riset Operasional 2 2015 c. 1672,67, 1818, 165, 1515, Palembang (1762,6), Regret Palembang (18) d. 1672,67 1818, 165, 1515, Palembang (1762,6), Regret Palembang (18)
4. Seorang investor memiliki dana sebsesar 500 juta dan ingin menannmkan pada salah satu dari 5 rencana investasi alternative yaitu Obligasi, Deposito, Properti, Emas, dan Berlian. Diasumsikan bahwa investor bersedia menginvestasikan seluruh dananya pada salah satu rencana. Pay off dari ketiga investasi tersebut didasarkan pada tiga ekonomi potensial yaitu 0.44 pada kondisi cerah, 0.32 pada kondisi sedang dan sisanya pada kondisi lesu. Tabel Matriks pay off Prospek Pasar
Alternative Investasi
Cerah
Sedang
Lesu
Obligasi
200
132
15
Deposito
212
165
65
Properti
175
100
40
Emas
141
150
179
Berlian
250
170
100
Dari table Pay off diatas tentukan Maximin, Maximax, Minimax regret, Laplace investasi. Apabila dalam kondisi resiko probabilitas dari prospek pasar tersebut, investasi manakah yang sebaiknya dipilih berdasarkan konsep expected value dan expected regret! a. 141, 250, 79, 173.33, Berlian (188), Regret Berlian (18.96) b. 141, 250, 79, 173.33, Deposito (188), Regret Deposito (18.96) c. 141, 250, 79, 173.33, Properti (188), Regret Properti (18.96) d. 141, 250, 79, 173.33, Emas (188), Regret Emas (18.96)
5. Chiel Phantomhive ingin membuka cabang untuk perusahaannya yang berpusat di daerah Kanada, Prancis, Roma, Jerman, dan Brittania. Diasumsikan dana tersebut akan diinvestasikan terhadap 5 alternatif tersebut. Pada saat investasi, kondisi pasar berdasarkan atas High, Middle dan Low. Dan probabilitas kondisi pasar 0.45 pada kondisi high, 0.25 pada kondisi middle dan sisanya pada kondisi low.
74
Riset Operasional 2 2015 Tabel Matriks pay off Prospek Pasar
Alternative Investasi
High
Middle
Low
Kanada
1842
1567
1132
Prancis
1919
1475
1216
Roma
1771
1402
1173
Jerman
1413
1614
1776
Brittania
1457
1768
1788
Dari table Pay off diatas tentukan Maximin, Maximax, Minimax regret, Laplace investasi. Apabila dalam kondisi resiko probabilitas dari prospek pasar tersebut, investasi manakah yang sebaiknya dipilih berdasarkan konsep expected value dan expected regret! a. 1457, 1919, 162, 1671, Prancis (1634,05), Regret Prancis (207,9) b. 1457, 1919, 162, 1671, Britania (1634,05), Regret Britania (207,9) c. 1457, 1919, 1671, 162, Jerman (1634,05), Regret Jerman (207,9) d. 1457, 1919, 1671, 162, Britania (1634,05), Regret Britania (207,9)
75
Riset Operasional 2 2015 BAB V TEORI PERMAINAN (GAME THEORY) Pengantar: Teori Permainan Teori permainan adalah suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai persaingan. Teori ini dikembangkan untuk menganalisa proses pengambilan keputusan dari situasi persaingan yang berbeda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan. Kepentingan-kepentingan yang bersaing dalam permainan disebut pemain (players). Anggapan yang digunakan adalah bahwa setiap pemain mempunyai kemampuan untuk mengambil keputusan secara bebas dan rasional. Teori permainan mula-mula dikemukakan oleh seorang ahli matematika Perancis yang bernama Emile Borel pada tahun 1921. Kemudian, John Von Neumann dan Oskar Morgenstern mengembangkan lebih lanjut sebagai alat untuk merumuskan perilaku ekonomi yang bersaing. Model teori permainan dapat diklasifikasikan dengan sejumlah cara seperti jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian serta jumlah strategi yang digunakan dalam permainan. Sebagai contoh, bila jumlah pemain adalah dua, permainan disebut sebagai permainan dua-pemain. Begitu juga, bila jumlah pemain adalah N (dengan N>3), ini disebut permainan N-pemain. Jika jumlah keuntungan dan kerugian adalah nol, disebut permainan jumlah-nol atau
jumlah-konstan. Sebaliknya bila tidak sama dengan nol, permainan disebut
permainan bukan jumlah nol (non zero - zum game).
Contoh Soal Untuk pembahasan teori ini digunakan contoh permainan dua pemain jumlah nol. Tabel 4.1 Matriks permainan dua pemain jumlah nol Pemain A
Pemain B B1
B2
B3
A1
1
9
2
A2
8
5
4
76
Riset Operasional 2 2015 Dari tabel diatas beberapa unsur dasar permainan ini adalah: a. Angka-angka dalam matriks pay off (matriks permainan), menunjukkan hasil dari strategi permainan yang berbeda. Dalam permainan dua pemain jumlah nol ini, bilangan positif menunjukkan keuntungan bagi
pemain baris
dan
merupakan kerugian dari pemain kolom. b. Anggapan yang digunakan adalah bahwa suatu strategi tidak dapat dirusak oleh pesaing atau faktor lain. c. Suatu trategi dikatakan dominan bila setiap pay off dalam strategi adalah superior terhadap setiap pay off yang berhubungan
dalam
suatu strategi
alternatif. Contoh dalam permainan diatas untuk pemain A, strategi permainan A1 didominasi oleh strategi A2. d. Suatu
strategi
optimal
adalah
rangkaian
kegiatan atau
rencana yang
menyeluruh yang menyebabkan seorang pemaian dalam posisi yang paling menguntungkan tanpa memperhatikan kegiatan-kegiatan pesaingnya. e. Tujuan model permainan adalah mengidentifikasikan strategi atau
rencana
optimal untuk setiap pemain.
PERMAINAN STRATEGI MURNI (PURE-STRATEGY GAME) Dalam permainan strategi murni, strategi optimal untuk setiap pemain adalah dengan menggunakan strategi tunggal. Pemain baris mengidentifikasikan strategi optimalnya melalui aplikasi kriteria maksimin(maximin) dan pemain kolom dengan kriteria minimaks (minimax). Nilai yang dicapai harus merupakan maksimum dari minimaks baris dan minimum dari maksimin kolom, titik ini dikenal sebagai titik pelana (saddle point). Bila nilai minimaks tidak sama dengan nilai maksimin maka permainan tidak dapat dipecahkan dengan strategi murni harus menggunakan strategi campuran. Langkah-langkah penyelesaian: 1. Carilah nilai minimum baris dan maksimum kolom. 2. Dari nilai-nilai minimum setiap baris cari nilai maksimalnya atau disebut nilai maksimin. Sedangkan dari nilai maksimum kolom tentukan satu nilai minimal sebagai nilai minimaks. 3. Bila nilai minimaks sama dengan nilai maksimin, berarti strategi yang paling optimal untuk masing-masing pemain telah ditemukan.
77
Riset Operasional 2 2015 Dari contoh soal (tabel 4.1), penyelesaian teori permainannya adalah seperti tabel berikut: Pemain B
Pemain A
Minimum Baris
B1
B2
B3
A1
1
9
2
1
A2
6
5
(4)
4*(maks)
6
9
4*(min)
Maksimum kolom
Dari hasil tabel diatas nilai maksimin dan minimaks sama, sehingga strategi yang optimal untuk A adalah strategi A2 (baris dimana terdapat nilai maksimin) dan untuk B adalah strategi B3 (strategi dimana terdapat nilai minimaks).
PERMAINAN STRATEGI CAMPURAN (MIXED-STRATEGY GAME) Seperti dikatakan sebelumnya bahwa bila nilai maksimin dan minimaks tidak sama. Penyelesaian
soal adalah dengan
strategi
campuran. Untuk memperjelas
penjelasan strategi ini digunakan contoh berikut: Tabel 4.3 Pemain A
Pemain B
Minimum Baris
B1
B2
B3
A1
2
5
7
2*(maks)
A2
-1
2
4
-1
A3
6
1
9
1
Maksimum kolom
6
5*(min)
9
Dari tabel diatas diketahui bahwa nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks. Dengan menerapkan aturan dominan maka strategi B3 didominasi oleh strategi B2 sehingga kolom B3 dihapuskan. Demikian juga strategi A2 didominasi oleh strategi A1 sehingga baris A2 dihilangkan. Matriks permainan berubah menjadi seperti berikut :
78
Riset Operasional 2 2015 Tabel 4.4 Pemain A
Pemain B
Minimum Baris
B1
B2
A1
2
5
2
A3
6
1
1
Maksimum Kolom
6
5
Karena nilai maksimin tetap tidak sama dengan nilai minimaks maka penyelesaian
permainan strategi ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode
grafik, metode aljabar matriks, metode analitis atau linear programming. Dibawah ini hanya akan dijelaskan mengenai metode analitis dan linier programming. a. Metode Analitis Dalam pola ini kita menentukan suatu distribusi probabilitas untuk strategistrateg yang berbeda. Nilai-nilai probabilitas pay off dapat dihitung dengan cara berikut: * Untuk pemain A Anggap bahwa digunakan strategi A1 dengan probabilitas P, dan untuk strategi A3 probabilitasnya 1-p. Jika strategi yang digunakan oleh B adalah B1 maka keuntungan yang diharapkan A adalah: 2p + 6(1 -P) = 6 - 4p Bila B menggunakan strategi B2, maka keuntungan yang diharapkan A adalah: 5p + 1(1 - p) = 1 + 4p Strategi optimal untuk A diperoleh dengan menyamakan kedua payoff yang diharapkan, sehingga diperolehnya: 6 - 4p = 1 + 4p p = 0,625 Ini berarti pemain A harus menggunakan strategi A1 62,5% dan strategi A3 37,5%. Keuntungan yang diharapkan pemain A : = 0,625 ( 2 ) + 0,375 ( 6 ) = 0,625 ( 5 ) + 0,375 ( 1 ) = 3,5
79
Riset Operasional 2 2015 * Untuk pemain B Dengan cara yang sama dapat dihitung pay off yang diharapkan untuk pemain B. Probabilitas untuk strategi B1 adalah q dan B2 adalah 1 - q. maka : Kerugian B, jika A menggunakan strategi A1 adalah : 2q + 5 (1 - q) = 5 - 3q Kerugian B, jika A menggunakan strategi A3 adalah : 6q + 1 (1 - q) = 1 + 5q Strategi optimal untuk pemain B adalah : 5 - 3q = 1 + 5q q = 0,50 Hasil ini berarti pemain B seharusnya menggunakan strategi B1 50% dan strategi B2. Kerugian yang diharapkan untuk pemain B: = 0,50 ( 2 ) + 0,50 ( 5 ) = 0,50 ( 6 ) + 0,50 ( 1 ) = 3,5
b. Metode Linear Programming Metode sebelumnya dalam penggunaan mempunyai ruang lingkup terbatas. Untuk menyelesaikan permainan strategi campuran 3 x 3 atau dimensi yang lebih besar dapat digunakan metode linier programming. Untuk menerangkan teknik ini digunakan contoh permainan dua pemain jumlah nol dalam tabel 4.4. Notasi yang digunakan : V
= nilai permainan
X1 dan X2 = probabilitas pemilihan strategi A1 dan strategi A3 Y1 dan Y2 = probabilitas pemilihan strategi B1 dan strategi B2 Dengan A sebagai maximizing player maka keuntungan yang diharapkan oleh A dalam tanda ketidaksamaan >. Dengan demikian nilai keuntungan yang diharapkan untuk pemain A adalah : 2X1 + 6X2 V (bila pemain B menggunakan strategi B1 seterusnya) 5X1 + 1X2 V (bila pemain B menggunakan strategi B2 seterusnya) Diketahui bahwa : X1 + X2 = 1 DAN X1 , X2 0
80
Riset Operasional 2 2015 Dengan B sebagai minimazing player maka dapat dinyatakan kerugian yang diharapkan oleh B dalam tanda ketidaksamaan ò. Dengan demikian nilai kerugian yang diharapkan untuk pemain B adalah : 2Y1 + 5Y2 V (bila pemain A menggunakan strategi A1 seterusnya) 6Y1 + 1Y2 V (bila pemain A menggunakan strategi A3 seteturnya) Diketahui bahwa : Y1 + Y2 = 1 DAN Y1 , Y2 0 Dengan membagi setiap ketidaksamaan dan persamaan diatas dengan V diperoleh : * Untuk pemain A:
* Untuk pemain B:
2X1 + 6X2 1
2Y1 + 6X2 1
5X1 + 1X2 1
5Y1 + 1Y2 1
X1 + X2 = 1/V
Y1 + Y2 = 1/V
Kemudian dari masalah diatas diselesaikan dengan linear programming. Rumusan masalah linear programming untuk A adalah : Min
: X1+ X2
Batasan-batasan : 2X1 + 6X2 1 5X1 + 1X2 1 X1 , X2 0
Rumusan masalah linear programming untuk B adalah : Maks
: Y1 + Y2
Batasan-batasan: 2Y1 + 5Y2 1 6Y1 + 1Y2 1 Y1 , Y2 Dengan
0
menggunakan metode simpleks, nilai permainannya (V) diketahui
sebesar 3,5. Dari hasil nilai permainan ini selanjutnya dapat dicari nilai probabilitas dari pemilihan masing-masing strategi sebagai berikut : X1 = V . X1
Y1 = V . Y1
X2 = V . X2
Y2 = V . Y2
81
Riset Operasional 2 2015 Soal Praktikum 1.) Dua buah Tim Sepak Bola dalam bertanding di Barcalys Premier League mempunyai masing-masing alternatif yang berbeda untuk dapat menjadi pemenang dalam pertandingan tersebut. Berikut ini formasi yang digunakan oleh kedua tim Sepak Bola tersebut : Tim MU
Tim MC Formasi 1
Formasi 2
Formasi 3
Formasi 1
313
237
220
Formasi 2
245
281
255
Formasi 3
310
349
208
Tentukanlah taktik mana yang harus dipilih dan berapa jumlah kemenangan yang didapat masing-masing Tim tersebut ? a. MU Formasi 1 (9,7%) formasi 2 (90,3%) ; MC formasi 1 (34%) formasi 3 (66%) dengan kemenangan masing-masing 251,6 b. MC Formasi 1 (7,9%) formasi 2 (90,3%) ; MC formasi 1 (34%) formasi 3 (66%) dengan kemenangan masing-masing 251,6 c. MC Formasi 1 (9,7%) formasi 2 (90,3%) ; MU formasi 1 (40%) formasi 3 (60%) dengan kemenangan masing-masing 251,6 d. MU Formasi 1 (9,7%) formasi 2 (90,3%) ; MC formasi 1 (34%) formasi 2 (66%) dengan kemenangan masing-masing 251,6
2.) Dua perusahaan yang bergerak di bidang Manufaktur, mempunyai 3 strategi dalam bersaing untuk menambah laba bagi kedua perusahaan tersebut. 3 strategi yang digunakan sebagai berikut : PT.Enuy
PT.Astri Strategi 1
Strategi 2
Strategi 3
Strategi 1
630
682
642
Strategi 2
654
625
666
Strategi 3
692
670
610
Strategi mana yang akan dipilih oleh kedua perusahaan tersebut dan berapa 82
Riset Operasional 2 2015 customer yang didapatkan ? a. PT.enuy Strategi 1 (49,4%) Strategi 2(50,6%); PT.Astri strategi 2 (29,6%) strategi 3 (70,4%). Masing-masing customer sebanyak 653,8 b. PT.enuy Strategi 1 (50,6%) Strategi 2 (49,4%); PT.Astri strategi 2 (29,6%) strategi 3 (70,4%). Masing-masing customer sebanyak 653,8 c. PT.enuy Strategi 1 (49,4%) Strategi 2 (49,4%); PT.Astri strategi 2 (29,6%) strategi 3 (70,4%). Masing-masing customer sebanyak 653,8 d. PT.enuy Strategi 1 (50,6%) Strategi 2 (49,4%); PT.Astri strategi 2 (29,6%) strategi 3 (70,4%). Masing-masing customer sebanyak 653,8. 3.) Dua perusahaan game, pada waktu yang bersamaan meluncurkan produksi game terbarunya. Kedua perusahaan saling bersaing agar penjualan game terbarunya tersebut menduduki posisi tertinggi dalam pasar dan mendapatkan rating yang besar. Untuk itu, kedua perusahaan menyiapkan alternatif strategi berbeda untuk mempromosikan game terbarunya. Berikut adalah alternatif strategi dari kedua perusahaan dan perkiraan jumlah rating yang diperoleh :
Plants Vs Zombie Candy Crush Strategi 1
Strategi 2
Strategi 3
Strategi 1
2245
1991
2012
Strategi 2
2221
2012
1134
Strategi 3
2122
2629
2232
Tentukanlah strategi mana yang harus dipilih dan berapa jumlah nilai/rating yang didapat oleh masing-masing perusahaan? a. Candy Crash strategi 1 (32,1%) Strategi 3 (67,9%); Plants Vs Zombie strategi 1 (64,1%) strategi 3 (35,9%); Masing-masing customer sebanyak 653,8. b. Candy Crash strategi 1 (32,1%) Strategi 3 (67,9%); Plants Vs Zombie strategi 1 (35,9%) strategi 3 (64,1%); Masing-masing customer sebanyak 653,8. c. Candy Crash strategi 1 (38,1%) Strategi 3 (67,9%); Plants Vs Zombie strategi 1 (64,1%) strategi 3 (35,9%); Masing-masing customer sebanyak 653,8.
83
Riset Operasional 2 2015 d. Candy Crash strategi 1 (67,9%) Strategi 3 (33,1%); Plants Vs Zombie strategi 1 (64,1%) strategi 3 (35,9%); Masing-masing customer sebanyak 653,8.
4.) Kedua calon Walikota saat pemilihan walikota yang baru harus mempersiapkan topik untuk kampanye keduanya agar terpilih menjadi walikota yang baru. Kedua calon tersebut mempunyai 3 solusi untuk pembangunan yang berbeda. Berikut ini perkiraan suara yang akan didapat kedua calon dari ketiga solusi yang dimiliki :
Walikota 2 Walikota 1 Solusi 1
Solusi 2
Solusi 3
Solusi 1
40
27
22
Solusi 2
18
41
25
Solusi 3
29
42
15
Tentukan solusi mana yang akan dipilih oleh kedua calon walikota dan berapa nilai permainan "Kampanye walikota" tersebut ? a. Walikota 1 solusi 1 (42%), Solusi 2 (58%); Walikota 2 formasi 1 (64,1%) formasi 2 (35,9%); permainan "Kampanye walikota" tersebut masing-masing 24,16 b. Walikota 1 solusi 1 (28%), Solusi 2 (72%); Walikota 2 formasi 1 (64,1%) formasi 2 (35,9%); permainan "Kampanye walikota" tersebut masing-masing 24,16 c. Walikota 1 solusi 1 (38%), Solusi 2 (72%); Walikota 2 formasi 1 (64,1%) formasi 2 (35,9%); permainan "Kampanye walikota" tersebut masing-masing 24,16 d. Walikota 1 solusi 1 (58%), Solusi 2 (72%); Walikota 2 formasi 1 (64,1%) formasi 2 (35,9%); permainan "Kampanye walikota" tersebut masing-masing 24,16
5.) Kedua calon Bupati saat pemilihan Bupati yang baru harus mempersiapkan topik untuk kampanye keduanya agar terpilih menjadi Bupati yang baru. Kedua calon tersebut mempunyai 3 topik yang saling berbeda. Berikut ini perkiraan suara yang
84
Riset Operasional 2 2015 akan didapat kedua calon dari ketiga topik yang dimiliki :
Bupati 2 Bupati 1 Topik 1
Topik 2
Topik 3
Topik 1
315
235
222
Topik 2
245
287
255
Topik 3
310
338
202
Tentukan topik mana yang akan dipilih oleh kedua calon Bupati dan berapa nilai permainan "Kampanye Bupati" tersebut ? a. Bupati 1 topik 1 = 9,7% dan topik 2 = 90,3% ; Bupati 2 menggunakan topik 1 = 32% dan topik 3 = 68%; nilai permainan "Kampanye Bupati" tersebut masingmasing 251,8 b. Bupati 1 topik 2 = 9,7% dan topik 2 = 90,3% ; Bupati 2 menggunakan topik 1 = 32% dan topik 3 = 68%; nilai permainan "Kampanye Bupati" tersebut masingmasing 251,8 c. Bupati 1 topik 1 = 99,7% dan topik 2 = 2,3% ; Bupati 2 menggunakan topik 1 = 32% dan topik 3 = 68%; nilai permainan "Kampanye Bupati" tersebut masingmasing 245,8 d. Bupati 1 topik 2 = 9,7% dan topik 2 = 90,3% ; Bupati 2 menggunakan topik 1 = 32% dan topik 3 = 68%; nilai permainan "Kampanye Bupati" tersebut masingmasing 242,8
85
