MINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA

MINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA



VARIABEL RANDOM Misalkan (Ω, A, P) ruang probabilitas dan R = {x| − ∞ < x < ∞} dan B : Borel field pada R. Andaikan X : Ω −→ R dan untuk setiap A ⊆ R, kita definisikan X −1 (A) = {w ∈ Ω|X (w ) ∈ A}. Untuk C keluarga himpunan bagian dari R X −1 (C) = {X −1 (A)|A ∈ C}. Mengingat sifat-sifat fungsi invers ! ∞ ∞ [ [ −1 X An = f −1 (An ) X −1

n=1 ∞ \

! An

=

n=1

X

−1

(A − B) = f

n=1 ∞ \

f −1 (An )

n=1 −1

(A) − f −1 (B)

X −1 (Ac ) = (f −1 (A))c


untuk C σ−fields maka f −1 (C) juga merupakan σ−fields. Definisi Misalkan (Ω, A, P) ruang probabilitas, R himpunan semua bilangan real, dan B Borel field maka X : Ω −→ R disebut variabel random bila X −1 (B) ⊆ A. Terdapat korespondensi 1-1 antara semua ukuran probabilitas P pada (R, B) dan fungsi titik pada F (x) yang didefinisikan sebagai F (x) = P((−∞, x]), x ∈ R


Fungsi distribusi kumulatif (1) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut. 1

F (−∞) = lim F (x) = 0.

2

F (∞) = lim F (x) = 1.

3

F (x) tidak turun dalam arti bila x1 ≤ x2 , maka F (x1 ) ≤ F (x2 ).

4

F (x) kontinu dari kanan, yaitu lim F (x + h) = F (x).

x→−∞

x→−∞

h↓0

(1)


Sebaliknya, bila ada fungsi F (x) pada R yang memenuhi 1 sampai dengan 4 maka F (x) adalah fungsi distribusi kumulatif suatu ukuran probabilitas pada (R, B). Untuk setiap variabel random X kita dapat menentukan ukuran probabilitas yang dibangkitkan oleh X dengan notasi Px pada (R, B) melalui Px (A) = P(X −1 (A)) = P({w : X (w ) ∈ A}) untuk setiap A ∈ B (2) Teorema Ruang (R, B, Px ) dengan Px (A) seperti yang didefinisikan pada (2) merupakan ruang probabilitas.


Definisi Variabel random X disebut diskret bila terdapat x1 , x2 , x3 ... ∈ R sedemikian hingga ∞ X Px (xn ) = 1 n=1

Dari definisi di atas kita melihat bahwa Px secara lengkap dapat ditentukan oleh fungsi px (xn ) = Px ({xn }), n = 1, 2, 3, ... Fungsi px (xn ) disebut fungsi massa probabilitas dari X .


Contoh 1 Misalkan x1 < x2 < x3 < ... barisan bilangan real dan pn , n = 1, 2, 3... barisan bilangan real nonnegatif sedemikian hingga ∞ P pn = 1. Kita definisikan n=1

F (x) =

 n X   pi i=1   0

xn 6 x < xn+1 , n = 1, 2, ...

(3)

− ∞ < x < x1


F (x) merupakan fungsi distribusi kumulatif tangga. F (x) pada (3) disebut fungsi distribusi kumulatif diskret dan variabel random yang bersesuaian disebut variabel random diskret. Sebaliknya, misalkan kita mempunyai fungsi distribusi kumulatif F (x) dalam (3) dan Ω = {x1 , x2 , x3 ...}, A = 2Ω , dan didefinisikan P(A) =

X

pi , A ∈ A

i:xi ∈A

dan X (w ) = w , maka P ukuran probabilitas dengan fungsi distribusi kumulatif F (x) pada (3).


Contoh Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu Fungsi distribusi kumulatif seragam berbentuk  −∞<x <0  0 06x <1 F (x) = x   1 16x <∞ Misalkan F (x) fungsi distribusi kumulatif dan F (x) mempunyai derivatif f (x). Menurut teorema fundamental dalam kalkulus Zx F (x) =

f (y )dy

,x ∈ R

−∞


Andaikan P adalah ukuran probabilitas yang berkorespondensi R dengan F . Untuk setiap B ∈ B berlaku F (B) = f (x)dx . f (x) B

disebut fungsi kepadatan probabilitas. Syarat perlu dan cukup agar fungsi distribusi kumulatif mempunyai fungsi kepadatan probabilitas adalah F (x) kontinu absolut.


VARIABEL RANDOM DISKRET Definisi Suatu variabel random disebut variabel random diskret bila jelajahnya berhingga atau tak terhingga terhitung. Definisi Misalkan X variabel random diskret dengan jelajah D. Fungsi massa probabilitas (f .m.p.) dari X adalah px (x) = P(X = x)

untuk x ∈ D

Perhatikan bahwa fungsi massa probabilitas memenuhi dua sifat 1. 0 6 px (x) 6 1 untuk setiap x ∈ D X 2. px (x) = 1 x∈D


Contoh 2 Diketahui px (x) = 13 untuk x = −1, 0, 1 adalah fungsi massa probabilitas dari variabel random X . Fungsi distribusi kumulatif dari X adalah  0 x < −1     1    −16x <0 3 F (x) = 2    06x <1   3   1 x >1


TRANSFORMASI Kita mempunyai variabel random X dan diketahui distribusinya. Kita ingin menyelidiki distribusi variabel random Y dengan Y = g (X ). Kasus g fungsi satu-satu. Fungsi massa probabilitas dari Y adalah py (y ) = P[{Y = y }] = P[g (x) = y ] = P[X = g −1 (y )] = px (g −1 (y ))


Contoh 3 Misal X mempunyai f.m.p. 1 p(x) = ( )x , x = 1, 2, 3, ... 2 Bila Y = X − 1 atau g (X ) = X − 1 maka g (X ) fungsi 1-1 dengan invers g −1 (y ) = y + 1 sehingga f.m.p. dari Y adalah 1 py (y ) = px (x + 1) = ( )y +1 untuk y = 0, 1, 2, 3, ... 2 Kasus g tidak satu-satu. Pada umumnya, kita tidak membangun aturan umum, namun pada hampir semua kasus yang menyangkut variabel random diskret, fungsi massa probabilitas Y ditentukan secara langsung.


Contoh 4 Misalkan X variabel random geometrik dengan fungsi massa probabilitas. Andaikan Z = (X − 2)2 . Ruang Z adalah Dz = {0, 1, 4, 9, 16...}. Perhatikan Z = 0 bila dan hanya bila X = 2.Z = 1 bila dan hanya bila X = 1 atau X = 3. Sedangkan untuk harga-harga lain dalam ruang Dz terdapat korespondensi √ satu-satu dengan Dx melalui x = z + 2 untuk z ∈ {4, 9, 16...}. Akibatnya, fungsi massa probabilitas dari Z adalah  1  px (2) = untuk z = 0    4    5 p (1) + p (3) = untuk z = 1 x x pz (z) = 8   √z   √  1 1   px ( z + 2) = untuk z = 4, 9, 16 4 2


VARIABEL RANDOM KONTINU Variabel random X disebut kontinu bila fungsi distribusi kumulatif dari X , yaitu Fx (x) merupakan fungsi kontinu untuk setiap x ∈ R. Hampir semua variabel random kontinu adalah kontinu absolut dalam arti terdapat fungsi fx (x) ≥ 0 sedemikian hingga Zx fx (u) du

Fx (x) = −∞

fx (x) disebut fungsi kepadatan probabilitas (f.k.p) dengan sifat-sifat: 1 2

fx (x) > 0 dan R∞ fx (x)dx = 1 −∞


Contoh 5 Misalkan X variabel random dengan fungsi distribusi kumulatif  0    1 Fx (x) = x  2   1

x <0 06x 62 x >2

f.k.p fx (x) yang bersesuaian adalah fx (x) =

1 0≤x ≤2 2


TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM KONTINU Misalkan X variabel random kontinu dengan f.k.p fx (x). Kita ingin menentukan f.k.p. Y , hasil transformasi Y = g (X ). Kita sering mendapatkan f.k.p. dari Y dengan cara menentukan fungsi distribusi kumulatifnya terlebih dahulu. Contoh 6 Misal X mempunyai f.k.p. f (x0 = 2x 0 ≤ x ≤ 1 dan fungsi distribusi kumulatif  x <0  0 Fx (x) = x 2 0 6 x < 1   1 x >1


Misalkan Y = X 2 . Penyokong Y sama dengan penyokong X yaitu [0, 1] FY (y ) = P[Y 6 y ] = P[X 2 6 y ] = P[X 6 p √ = Fx ( y ) = y 2 = y

√

y]

Akibatnya fy (y ) =

dFY (y ) =1 dy

0≤y ≤1


Contoh 7 Misalkan fx(x) = 12 , −1 < x < 1, merupakan f.k.p. dari variabel random X . Kita definisikan variabel random baru Y dengan Y = X 2 . Kita ingin menentukan f.k.p. dari Y . Bila y ≥ 0, probabilitas P(Y ≤ y ) ekuivalen dengan √ √ P(X 2 ≤ y ) = P[− y ≤ X ≤ y ] Akibatnya, fungsi distribusi kumulatif dari Y , Fy (y ) = P[Y ≤ y ] diberikan oleh  0 y <0    √   y   Z 1 √ dx = y 06y <1 FY (y ) =  2  √  − y     1 y >1


sehingga fy (y ) =

1 d d √ y= √ Fy (y ) = dy dy 2 y

0 < y < 1.

Teorema Misalkan X variabel random kontinu dengan f.k.p. fx (x) dan penyokong Sx . Andaikan Y = g (X ), dengan g (x) fungsi satu-satu yang terdiferensialkan pada Sx , x = g −1 (y ) menyatakan invers dari −1(y )

dx = d(gdy ) . g dan dy Maka, f.k.p. dari y diberikan oleh dx −1 fy (y ) = fx (g (y )) , untuk y ∈ Sy dy

(4)

dengan Sy = {y = g (x) : x ∈ Sx }


Teorema Misalkan X variabel random kontinu dengan f.k.p. fx (x) dan penyokong Sx . Andaikan Y = g (x) dengan g (x) terdiferensialkan r S Siy pada Sx . Bila {Six , i = 1, 2, ...r } partisi dari Sx dan Sy = i=1

dan g (x) satu-satu dari Six −→ Siy , i = 1, 2, ...r , maka

fy (y ) =

 r X   Si (y )fy (y ), i

i=1   0

y ∈ Sy

yang lain

dengan d fyi (y ) = fx [gi−1 (y )] gi−1 (y ) , y ∈ Siy dy dan Si (y ) = 1 bila y ∈ Siy dan Si (y ) = 0 untuk y yang lain.


Contoh 8 Misalkan X variabel random kontinu dengan f.k.p. fx (x) dan Y = g (X ) = X 2 . Kita ingin menentukan f.k.p. fy (y ) dari Y . Dengan mengandaikan fx (x) > 0 untuk setiap x ∈ R, maka S1x = (−∞, 0], S2x = (0, ∞), S1y = [0, ∞), S2y = (0, ∞). Fungsi invers yang bersesuaian dari g adalah √ √ g1−1 (y ) = − y , g2−1 (y ) = y


sehingga d −1 1 d −2 1 g (y ) = − √ dan g (y ) = √ . dy 2 y dy 2 y Akibatnya, √ √ 1 1 fy1 (y ) = fx (− y ) √ , fy2 (y ) = fx ( y ) √ 2 y 2 y untuk y > 0. Akibatnya, kita mendapat √ √ 1 fy (y ) = √ [fx ( y ) + fx (− y )] 2 y


Contoh 9 Misalkan X variabel random dengan f.k.p. 1 2 fx (x) = √ e −x 2π

, −∞ < x < ∞

Andaikan Y = X 2 . Dengan argumentasi yang sama seperti dalam contoh di atas  1  √ {f (√y ) + f (−√y )} , y > 0 2 y fy (y ) =  0, y 60   √ 1 e − y2 , y > 0 2πy =  0, y 60


VARIABEL RANDOM CAMPURAN Contoh 10 Misalkan F (x) fungsi distribusi kumulatif dengan bentuk  0 x <0    x +1 F (x) = 06x <1  2   1 x >1 Sebagai contoh 1 P(−3 < x 6 ) = F 2

1 3 3 − F (−3) = − 0 = 2 4 4

dan P(X = 0) = F (0) − F (0− ) =

1 1 −0= 2 2


Contoh 11 Misalkan X variabel random campuran dengan fungsi distribusi kumulatif  0 x <0      x2   06x <1     4 F (x) = 1 16x <2   2   x   26x <3    3   1 x >3

MINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA

Recommend Documents