Part I
Peluang dan Distribusinya 1
Fungsi Himpunan Peluang
Misalkan B menyatakan himpunan dari setiap hasil yang mungkin (output) dari suatu eksperimen acak, maka B disebut ruang sampel. De…nition 1 : Jika P (C) terde…nisi untuk suatu tipe subset dari ruang B dan jika 1. P (C)
0;
2. P (C1 [ C2 [ C3 [ :::) = P (C1 ) + P (C2 ) + P (C3 ) + :::; dengan himpunan Ci ; i = 1; 2; 3; :::; masing-masing tidak mempunyai titik yang sama (masingmasing dua himpunan saling lepas), 3. P (B) = 1; maka P disebut fungsi himpunan peluang dari hasil eksperimen acak. Untuk setiap subset C dari B; banyaknya P (C) disebut peluang bahwa hasil dari eksperimen acak adalah suatu elemen dari himpunan C; atau peluang dari kejadian C; atau ukuran peluang dari himpunan C: Theorem 2 : Untuk setiap C 2 B; P (C) = 1 P (C ); dengan C = komplemen dari C: Proof. : Diketahui B = C [ C dan C \ C = ?: Berdasarkan de…nisi (3) dan (2), diperoleh P (B) = 1 = P (C [ C ) = P (C) + P (C ); sehingga P (C) = 1
P (C ) (terbukti)
Theorem 3 : Peluang dari himpunan kosong adalah nol, yaitu P (?) = 0: Proof. : Ambil C = ?; sehingga C = B: Dari teorema 1 diperoleh P (?) = 1
P (B) = 1
Jadi teorema terbukti.
1
1 = 0:
Theorem 4 : Jika C1 dan C2 adalah subset dari B sedemikian sehingga C1 P (C1 ) P (C2 ): Proof. : Tulis C2 sebagai gabungan himpunan yang saling lepas, yaitu
C2 ; maka
C2 = C1 [ (C1 \ C2 ) dan C1 \ (C1 \ C2 ) = ?: Dari de…nisi (2) diperoleh P (C2 ) = P (C1 ) + P (C1 \ C2 ): Berdasarkan de…nisi (1) diperoleh P (C1 \ C2 ) Jadi teorema terbukti.
0; sehingga P (C2 )
P (C1 ):
Theorem 5 : Untuk setiap C Proof. : Karena ? C
B; 0
P (C)
1:
B; maka berdasarkan teorema,
P (?)
P (C)
P (B) atau 0
P (C)
1:
Jadi teorema terbukti. Theorem 6 : Jika C1 dan C2 adalah subset dari B maka P (C1 [ C2 ) = P (C1 ) + P (C2 )
P (C1 \ C2 ):
Proof. : Himpunan C1 [ C2 dan C2 dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan yang tidak beririsan sebagai berikut: C1 [ C2 = C1 [ (C1 \ C2 ) dan C2 = (C1 \ C2 ) [ (C1 \ C2 ) : Dari de…nisi 2), P (C1 [ C2 ) = P (C1 ) + P (C1 \ C2 ) ; dan P (C2 ) = P (C1 \ C2 ) + P (C1 \ C2 ) : Maka P (C1 \ C2 ) = P (C2 )
P (C1 \ C2 ) ;
sehingga dengan substitusi diperoleh: P (C1 [ C2 ) = P (C1 ) + P (C2 ) Terbukti. 2
P (C1 \ C2 ) :
Example 7 : Dua koin dilantunkan dan hasilnya adalah pasangan terurut. Ruang sampelnya dapat dinyatakan sebagai B . Jika C1 adalah kejadian munculnya kepala (H) pada lantunan pertama dan C2 adalah kejadian munculnya kepala (H) pada lantunan ke dua, tentukan peluang munculnya H pada lantunan pertama atau kedua. Misalkan B menyatakan ruang sampel dan C1 ; C2 ; C3 ; ... adalah subset dari B . Jika subset-subset tersebut tidak mempunyai elemen yang sama, maka disebut himpunan yang saling lepas dan kejadian C1 ; C2 ; C3 ; ... disebut kejadian yang saling lepas.
2
Peluang dan Kebebasan Bersyarat
Misalnya fungsi himpunan peluang P (C) dide…nisikan pada ruang sampel B dan misalkan C1 adalah subset dari B , sehingga P (C1 ) > 0: Elemen dari C1 adalah keluaran (outcome) dari eksperimen acak. Ambil C1 sebagai ruang sampel. Misalkan C2 adalah subset lain dari B . Peluang bersyarat dari kejadian C2 ; diketahui kejadian C1 adalah P (C2 j C1 ) =
P (C1 \ C2 ) : P (C1 )
Exercise 8 : 1. Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu adalah P (B) = 0; 83; peluang sampai tepat waktu P (S) = 0; 82 dan peluang berangkat dan sampai tepat waktu P (B \ S) = 0; 78: Cari peluang bahwa pesawat: (a) Sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu, (b) Berangkat tepat waktu bila diketahui sampai tepat waktu. 2. Misalkan ada sekotak sekering berisi 20 sekering, lima di antaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu persatu secara acak tanpa pengembalian, berapakah peluang kedua sekering tersebut cacat? 3. Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hita, dan kantong kedua berisi 3 bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama dan dimasukkan ke kantong kedua tanpa melihatnya. Berapakah peluang mengambil bola hitam dari kantong kedua? 4. Dua dadu dilantunkan dua kali. Berapakah peluang jumlah 7 dan 11 dalam dua kali lantunan? 5. Tiga kartu diambil satu persatu tanpa pengembalian dari sekotak kartu yang berisi 52. Cari peluang bahwa kejadian A1 \ A2 \ A3 terjadi, bila 3
A1 adalah kejadian bahwa kartu pertama As berwarna merah, A2 adalah kejadian kartu kedua 10 atau Jack dan A3 adalah kejadian kartu ketiga lebih besar dari 3 tapi lebih kecil dari 7.
3
Variabel Acak
3.1
Bertipe Diskrit
De…nition 9 : Perhatikan sebuah eksperimen acak dengan ruang sampel B. Sebuah fungsi X, yang mengkaitkan sebuah elemen c 2 B satu dan hanya satu bilangan riil X(c) = c, disebut variabel acak. Ruang sampel X adalah himpunan bilanganbilangan riil A = fx : x = X(c); c 2 Bg. Bisa saja himpunan B mempunyai elemen bilangan riil. Jika ini terjadi, maka X(c) = c, sehingga A = B. Example 10 : Eksperimen acak: pelemparan sebuah koin. Ruang sampel yang berkaitan dengan eksperimen adalah B = fc : c =ekor (T ) atau kepala (H)g. Misalkan X suatu fungsi sehingga X(C) = 0, jika c = T dan X(C) = 1, jika c = H: Jadi X adalah fungsi bernilai riil yang terde…nisi pada ruang sampel B yang membawa kita dari ruang sampel B ke ruang bernilai riil A = f0; 1g. Dikatakan X adalah variabel acak dan ruang sampel yang berkaitan dengan X adalah A = f0; 1g. Misalkan X adalah variabel acak yang terde…nisi pada ruang sampel B dan misalkan A adalah ruang sampel dari X. Misalkan A adalah subset dari A. Peluang dari A adalah P (X 2 A) = Px (A) = P (C); dengan C = fc : c 2 B dan X(c) 2 Ag: Peluang Px (A) sering disebut sebagai peluang terinduksi. Fungsi Px (A) memenuhi kondisi 1, 2 dan 3 pada de…nisi fungsi himpunan peluang, sehingga P x(A) juga merupakan fungsi himpunan peluang, dengan sifat-sifat: 1. Px (A) = P (C)
0,
2. Px (A) = P (C) = 1, karena B = fc : c 2 B dan X(c) 2 Ag, 3. Px (A1 [ A2 ) = Px (A1 ) + Px (A2 ), dengan A1 dan A2 kejadian yang saling bebas dan A1 [ A2 = C, di mana C = fc : c 2 B dan X(c) 2 A1 g [ fc : c 2 B dan X(c) 2 A2 g.
4
Example 11 : Perhatikan sebuah barisan dari pelemparan yang bebas dari sebuah koin, yang menghasilkan kepala (H) atau ekor (T ). Dalam setiap pelemparan, diasumsikan bahwa H dan T serupa, sehingga P (H) = P (T ) = 12 . Ruang sampel B terdiri dari barisan seperti T T HT HHT : : : Misalkan variabel acak X sama dengan banyaknya lemparan yang dibutuhkan untuk memperoleh kepala (H) yang pertama. Pada contoh barisan di atas, X = 3. Ruang sampel dari X adalah A = f1; 2; 3; : : :g. Dengan demikian X = 1, jika barisan mulai dengan H, sehingga P (X = 1) = 21 , dan X = 2 jika barisan mulai dengan T H, sehingga P (X = 2) = (1=2)(1=2) = 1=4. Secara umum, jika X = x, dengan x = 1; 2; 3; : : : ; maka ada x 1 ekor (T ) yang mengikuti kepala (H), yaitu T T T T : : : T H, di mana ada x 1 ekor dalam T T T : : : T . Jadi dari syarat kebebasan diperoleh: P (X = x) =
1 2
x 1
1 2
1 2
=
x
;
dengan x = 1; 2; 3; : : : Dari tiga ilustrasi variabel acak di atas, dapat dilihat bahwa banyaknya titik dalam ruang A adalah berhingga, seperti f0; 1g; f0; 1; 2g, dan f1; 2; 3; :::g: Ada sebuah fungsi, yaitu f (x) = P (X = x); yang menggambarkan bagaimana peluang didistribusikan terhadap ruang A:Dari tiga ilustrasi tersebut, ada rumus sederhana untuk fungsi tersebut, sebut saja f (x)
=
f (x)
=
f (x)
=
1 ; 2
x 2 f0; 1g; 1 2
2 x 1 2
2
;
x 2 f0; 1; 2g;
x
;
x 2 f1; 2; 3; :::g:
Selanjutnya, jumlah f (x) atas semua x 2 A sama dengan 1: 1 X
1 2
x=0 2 X
2 x
x=0
1 X
x=0
1 2
2
1 2
x
=
1 1 + = 1; 2 2
=
1 1 1 + + = 1; 4 2 4
=
1 + 2
1 2
2
+
1 2
3
+ ::: =
1 2
1
1 2
= 1:
Jika A A; P maka peluang dari X 2 A; dapat diketahui dengan penjumlahan P (X 2 A) = f (x): Untuk ilustrasi, dengan menggunakan variabel acak pada A
5
contoh sebelumnya, dapat dihitung peluang: P (X
=
1; 2; 3) =
3 X
x=1
P (X
=
1; 3; 5; :::) =
1 2 1 2
x
=
1 1 1 7 + + = ; 2 4 8 8 1 2
+
3
1 2
+
5
+ ::: =
1 2
1
1 4
=
2 : 3
Misalkan X menyatakan sebuah variabel acak dengan ruang berdimensi satu A: Perhatikan bahwa A memuat banyaknya titik yang terhitung. Dengan kata lain, A memuat berhingga banyak titik-titik dari A; sehingga dapat digolongkan ke dalam korespondensi satu-satu dengan bilangan bulat positif. Ruang yang demikian disebut himpunan titik-titik diskrit. Misalkan sebuah fungsi f (x) sedemikian sehingga f (x) > 0; x 2 A; dan X f (x) = 1: A
Jika fungsi himpunan peluang P (A); A
A , dapat dinyatakan dalam X P (A) = P (X 2 A) = f (x); A
maka X disebut variabel acak bertipe diskrit dan f (x) disebut fungsi kepadatan peluang (p.d.f) dari X: Misakan variabel acak X mempunyai fungsi himpunan peluang P (A); dengan A adalah himpunan satu dimensi. Ambil x adalah bilangan riil dan misalkan himpunan A adalah himpunan tidak terbatas dari - 1 sampai x; termasuk x sendiri. Untuk semua himpunan A, diketahui P (A) = P (X 2 A) = P (X x): Peluang tersebut bergantung pada titik x; sehingga disebut sebagai fungsi dari titik x: Fungsi titik ini dinyatakan dalam simbol F (x) = P (X x); dan disebut fungsi distribusi (kadang-kadang disebut sebagai fungsi distribusi kumulatif ) dari variabel acak X: Karena F (x) = P (X x); maka dengan f (x) fungsi kepadatan peluang bertipe diskrit, berlaku X F (x) = f (w): w x
Example 12 : Misalkan variabel acak bertipe diskrit X mempunyai fungsi kepadatan peluang x 6 ; untuk x = 1; 2; 3 : f (x) = 0; untuk x lainnya Maka fungsi distribusi dari X adalah 8 0; > > < 1 6; 1 F (x) = 3 ; 2 > > : 6 1; 6
x < 1; x < 2; x < 3; 3 x:
Bila fungsi distribusi tersebut dinyatakan dalam bentuk gra…k, maka bentuknya adalah fungsi tangga. Karena fungsi F (x) juga merupakan suatu peluang, maka sifat-sifat F (x) dapat dinyatakan sebagai berikut: 1. 0
F (x)
1:
2. F (x) merupakan fungsi takturun, 3. F (y) = 0; untuk setiap titik y yang kurang dari nilai terkecil dalam ruang X: 4. F (z) = 1 untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai terbesar dalam ruang X: 5. Jika X adalah variabel acak bertipe diskrit, maka F (x) adalah fungsi tangga dan ketinggian tangga pada x di ruang X sama dengan peluang f (x) = P (X = x):
3.2
Bertipe Kontinu
Misalkan X menyatakan variabel acak dengan ruang satu dimensi A; yang terdiri dari sebuah selang (interval) atau gabungan dari interval. Misalkan fungsi f (x) nonnegatif sedemikian sehingga Z f (x)dx = 1: A
Jika fungsi himpunan peluang P (A); A dengan
A , dapat dinyatakan oleh f (x) Z P (A) = P (X 2 A) = f (x)dx; A
maka X disebut variabel acak bertipe kontinu dan f (x) disebut fungsi kepadatan peluang (p.d.f) dari X: De…nition 13 : Fungsi f (x) adalah fungsi kepadatan peluang (p.d.f.) variabel acak bertipe kontinu X; yang dide…nisikan di atas himpunan semua bilangan real R; bila 1. f (x) 2.
1 R
0; untuk semua x 2 R
f (x) dx = 1:
1
Rb 3. P (a < X < b) = f (x) dx: a
7
Example 14 : Misalkan variabel acak bertipe kontinu X sama dengan jarak (dalam ukuran feet = kaki) di antara rekaman jelek dari suatu komputer bekas. Bila diketahui ruang dari X adalah A =fx : 0 < x < 1g: Misalkan model peluang untuk X diberikan oleh fungsi kepadatan peluang p.d.f f (x) =
1 e 40
x=40
;
x 2 A:
Fungsi tersebut selalu nonnegatif, atau f (x) Zx
1 e 40
x=40
dx =
0
h
e
0; untuk x 2 A; dan x=40
ix 0
= 1:
Jika ingin diketahui peluang bahwa jarak di antara rekaman yang jelek lebih besar dari empat puluh, maka A = fx : 40 < x < 1g dan P (X 2 A) =
Zx
1 e 40
x=40
dx = e
1
:
40
Misalkan ruang bertipe kontinu dari variabe acak X adalah A = fx : 0 < x < 1g dan fungsi kepadatan peluang dari X adalah e x ; x 2 A: Maka p.d.f dari X adalah 8 0 < x < 1; < e x; f (x) = : 0; untuk x lainnya
Dengan merujuk pada p.d.f dari X tersebut diperoleh Z1
f (x) dx =
1
Z0
0 dx +
1
Z1
e
x
dx = 1:
0
Jika f (x) adalah p.d.f dari variabel acak tipe kontinu X dan jika A adalah himpunan fx : a < x < bg; maka P (A) = P (X 2 A) dapat ditulis sebagai P (a < X < b) =
Zb
f (x) dx:
a
Jika A = fag; maka P (A) = P (X 2 A) = P (X = a) =
8
Za a
f (x) dx = 0:
Jadi jika X variabel acak bertipe kontinu, peluang dari setiap himpunan yang memuat satu titik adalah nol. Oleh sebab itu, dapat ditulis P (a < X < b) = P (a
X
b):
Hal ini dapat mengubah nilai p.d.f. dari variabel acak bertipe kontinu X di satu titik tanpa mengubah distribusi dari X: Sebagai contoh, p.d.f. 8 0<x<1 < e x; f (x) = : 0; untuk x lainnya dapat ditulis sebagai
f (x) = tanpa mengubah P (A):
8 < e :
x
;
0
x<1
0; untuk x lainnya
De…nition 15 : Fungsi Distribusi (kumulatif) F (x) suatu variabel acak bertipe kontinu X dengan fungsi kepadatan peluang p.d.f. f (x) diberikan oleh F (x) = P (X
x) =
Zx
f (t) dt; untuk
1
1 < x < 1:
Akibatnya de…nisi di atas dapat ditulis sebagai P (a < X < b) = F (b) dan f (x) =
F (a);
dF (x) ; dx
bila fungsi turunannya ada. Example 16 : Misalkan variabel acak X yang bertipe kontinu mempunyai p.d.f. 8 2 < x3 ; 1 < x < 1 f (x) = : 0; untuk x lainnya.
Fungsi distribusi dari X adalah F (x)
=
=
Z1
0 dw = 0;
x < 1;
1 Zx
2 dw = w3
1 w2
1
9
x
=1 1
1 ; x2
1
x:
Example 17 : Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam 0 C; pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan variabel acak X; yang mempunyai fungsi kepadatan peluang 8 2 < x3 ; 1<x<2 f (x) = : 0; untuk x lainnya. 1. (a) Tunjukkan bahwa de…nisi p.d.f. yang ke-2 berlaku. (b) Tentukan P (0 < x
1):
(c) Carilah F (x) dari p.d.f. di atas. (d) Dengan menggunakan akibat De…nisi distribusi kumulatif, hitunglah P (0 < x 1): Jawab: 1. (a)
1 R
f (x) dx =
1
R2
1
(b) P (0 < x
1) =
x2 3
R1 x2 0
(c) F (x) =
Rx
dx =
3
f (t) dt =
1
x3 9
dx = Rx
1
t2 3
F (x) =
2 1
x3 9
1 0
dt = 8 < :
=
8 9
1 9
= 1:
=
x3 +1 9
+
= 91 : t3 9
x
0; x3 +1 9 ;
1;
1
x 1 1 x<2 x 2:
(d) P (0 < x 1) = F (1) F (0) = 92 91 = 19 : Kesimpulan: dengan memperhatikan jawab b) dan d) disimpulkan bahwa menghitung peluang dengan menggunakan fungsi kepadatan peluang maupun akibat de…nisi fungsi distribusi, menghasilkan nilai yang sama. Exercise 18 : 1. Perhatikan beberapa variabel acak berikut. Tentukan mana yang kontinu dan mana yang diskrit. (a) A : banyaknya kecelakaan kendaraan bermotor per tahun di Bandung. (b) B : lamanya waktu pertandingan sepakbola. (c) C : banyaknya susu yang dihasilkan seekor sapi betina dalam setahun. (d) D : banyaknya telur yang dihasilkan seekor ayam betina dalam sebulan. 10
(e) E : banyaknya SIM yang dikeluarkan setiap bulan di kota X. (f) F : berat padi yang dihasilkan per hektar. 2. Misalkan Y suatu variabel acak yang menyatakan banyaknya muncul muka dikurangi banyaknya muncul belakang dalam tiga kali lantunan sebuah uang logam. Tuliskan unsur-unsur ruang sampel T untuk ketiga lantunan uang dan pada setiap titik sampel, kaitkan suatu nilai y dari Y: 3. Perhatikan fungsi berikut: (a) f (x) = c(x2 + 4); untuk x = 0; 1; 2; 3: (b) f (x) = c
2 x
3 3
x
; untuk x = 0; 1; 2:
Tentukan nilai c agar kedua fungsi tersebut dapat menjadi fungsi distribusi peluang dari variabel acak X: 4. Dari sebuah kantung yang berisi 4 uang logam ratusan dan 2 uang logam lima puluhan. 3 uang diambil secara acak tanpa pengembalian, Cari distribusi peluang jumlah J dari ketiga uang tersebut. 5. Carilah distribusi peluang banyaknya CD lagu2 jazz bila 4 CD dipilih secara acak dari suatu kumpulan CD yang terdiri atas 5 CD Jazz, 2 CD Klasik, dan 3 CD Rock. Nyatakan dalam suatu rumus. 6. Distribusi peluang X; banyaknya cacat per 10m serta sintetis dalam gulungan yang lebarnya seragam, diberikan oleh: x f (x)
0 0,41
1 0,37
2 0,16
3 0,05
4 0,01
Buatlah distribusi kumulatif dari variabel acak X tersebut. 7. Suatu bank menawarkan obligasi bagi langganannya dengan tahun jatuh tempo yang berlainan. Bila distribusi kumulatif T diketahui, lamanya dalam tahun sampai jatuh tempo, diberikan oleh 8 0; t < 1 > > > 1 > < 4; 1 t < 3 1 3 t<5 F (t) = 2; > 3 > ; 5 t<7 > > : 4 1; t 7 Carilah
(a) P (T = 5) (b) P (T > 3) (c) P (1; 4 < T < 6) 11
4
Sifat-sifat Fungsi Distribusi
Pada sub bab 3.1 sebelumnya, telah dide…nisikan fungsi distribusi dari suatu variabel acak X sebagai F (x) = P (X x): Konsep ini digunakan dalam sub bab 3.2 untuk mencari peluang distribusi variabel acak bertipe kontinu. Dalam istilah p.d.f. f (x) diketahui bahwa fungsi distribusi X F (x) = f (w); w x
untuk variabel acak bertipe diskrit , dan F (x) =
Zx
f (w) dw;
1
untuk variabel acak bertipe kontinu. Jadi fungsi distribusi F (x) bertipe kontinu atau diskrit, bergantung kepada apakah variabel acaknya bertipe diskrit atau kontinu. Remark 19 : Jika X adalah variabel acak bertipe kontinu, maka p.d.f. f (x) mempunyai paling banyak sejumlah berhingga diskontinuitas pada setiap interval berhingga. Hal ini berarti bahwa: 1. distribusi fungsi F (x) kontinu di mana-mana, dan 2. turunan F (x) terhadap x ada dan sama dengan f (x) pada setiap titik kontinuitas f (x); yaitu F 0 (x) = f (x) pada setiap titik kontinuitas f (x): Jika X adalah variabel acak bertipe diskrit, maka dapat dipastikan bahwa f (x) bukan turunan dari F (x) terhadap x; tetapi f (x) merupakan turunan dari F (x) terhadap ukuran penghitungan. Turunan ini sering disebut densitas (kepadatan). Dengan demikian, turunan-turunan ini disebut fungsi kepadatan peluang. Ada beberapa sifat dari fungsi distribusi yang dapat disebutkan sebagai konsekuensi dari sifat-sifat fungsi himpunan peluang. Beberapa di ataranya ada di bawah ini. Dalam menyebutkan sifat-sifat ini, sebaiknya kita tidak membatasi X sebagai variabel acak bertipe diskrit atau bertipe kontinu. Simbol F (1) dan F ( 1) digunakan dalam arti lim F (x) dan lim F (x): Simbol x!1
x! 1
fx : x < 1g dan fx : x < 1g merupakan limit dari himpunan fx : x dan fx : x bg; jika b ! 1: 1. 0
F (x)
1; karena 0
P (X
x)
12
1:
bg
2. F (x) fungsi tak turun dari x: Jika x0 < x00 ; maka fx : x
x00 g = fx : x
P (X
x00 ) = P (X
x0 g [ fx : x0 < x
x00 g;
dan Yaitu F (x00 )
F (x0 ) = P (x0
x0 ) + P (x0 < X x00 )
X
x00 ):
0:
3. F (1) = 1 dan F ( 1) = 0; karena himpunan fx : x 1g adalah ruang satu dimensi dan himpunan fx : x 1g adalah himpunan kosong. Dari bukti sifat 2, jika a < b; maka P (a < X
b) = F (b)
F (a):
Misalkan kita ingin menggunakan F (x) untuk menghitung peluang P (X = b): Untuk itu, misalkan h > 0; lim P (b
h!0
Secara intuitif lim P (b h!0
h<X
b) = lim [F (b) h!0
h < X
F (b
h)]:
b) ada dan sama dengan P (X = b);
karena jika h menuju nol, limit himpunan fx : b h < x bg adalah himpunan yang memuat titik tunggal x = b: Fakta bahwa limit ini adalah P (X = b) merupakan sebuah teorema yang diterima tanpa bukti. Dengan demikian, kita punya P (X = b) = F (b)
F (b );
di mana F (b ) adalah limit kiri dari F (x) di x = b: Peluang bahwa X = b adalah tinggi tangga dari F (x) pada x = b: Oleh sebab itu, jika fungsi distribusi F (x) adalah kontinu di x = b; maka P (X = b) = 0: 4. F (x) adalah kontinu dari kanan, atau dikatakan kontinu kanan. Untuk membuktikan sifat ini, dengan h > 0; lim P (a < X
h!0
Xa + h) = lim [F (a + h) h!0
F (a)]:
Pernyataan berikut diterima tanpa bukti teorema, dengan h > 0; lim P (a < X
h!0
a + h) = P (?) = 0:
Jika h ! 0; limit himpunan fs : a < x Dengan demikian kita menulis 0 = F (a+)
a + hg adalah himpunan kosong. F (a);
di mana F (a+) adalah limit kanan dari F (x) di x = a: Oleh sebab itu, F (x) kontinu kanan di setiap titik x = a: 13
Misalkan pada sebuah eksperimen, seseorang memilih secara acak sebuah titik dari selang tertutup [a; b]; a < b; pada sebuah garis real. Jadi ruang sampel B adalah [a; b]: Misalkan variabel acak X adalah fungsi identitas yang terde…nisi pada B: Maka ruang A dari X adalah A = B: Misalkan diasumsikan bahwa jika sebuah interval A adalah subset dari A; maka peluang dari kejadian A adalah sebanding dengan panjang A: Oleh sebab itu, jika A adalah selang [a; x]; x b; maka P (A) = P (X 2 A) = P (a
X
x) = c(x
a);
di mana c adalah konstanta proporsionalitas. Pada ekspresi di atas, jika diambil x = b; maka 1 = P (a
X
b) = c(b
a);
sehingga c = 1=(b a): Jadi akan ada sebuah model peluang jika diambil fungsi distribusi dari X adalah F (x) = P (X x); menjadi 8 x
Turunan dari F (x) tidak ada di x = a ataupun di x = b; tetapi himpunan fx : x = a; bg adalah himpunan dari peluang berukuran nol, dan kita memilih untuk mende…nisikan f (x) sama dengan 1=(b a) pada dua titik, untuk kenyamanan. P.d.f ini konstan pada A: Jika p.d.f. dari satu atau lebih variabel bertipe kontinu atau bertipe diskrit adalah konstan pada ruang A; dikatakan bahwa peluang terdistribusi secara seragam atas A: Jadi dalam contoh di atas, dikatakan bahwa X mempunyai distribusi seragam atas selang [a; b]: Berikut ini adalah contoh distribusi yang bukan bertipe kontinu atauppun diskrit. Example 20 : Misalkan diketahui fungsi distribusi 8 x < 0; < 0; x+1 ; 0 x < 1; F (x) = 2 : 1; 1 x:
Sebagai contoh, P
3<X
1 2
=F
1 2 14
F ( 3) =
3 4
0=
3 4
dan
1 1 0= : 2 2 Kita lihat bahwa F (x) tidak selalu merupakan fungsi kontinu, ataupun fungsi diskrit. Dengan demikian, distribusi yang berkaitan juga bukan distribusi bertipe kontinu ataupun diskrit, tapi dapat digambarkan sebagai campuran dari kedua tipe. Distribusi yang merupakan campuran dari tipe kontinu dan diskrit kenyataannya sering dijumpai dalam praktek. Sebagai ilustrasi, dalam uji kehidupan, misalnya diketahui bahwa lama hidup, sebut saja X; melebihi bilangan b; tetapi nilai tepatnya tidak diketahui. Hal ini disebut ’censoring’. Sebagai contoh, hal ini dapat terjadi jika sebuah subyek dalam suatu penelitian kanker menghilang; peneliti tahu bahwa subyek tersebut hidup beberapa bulan, tetapi waktu tepatnya tidak diketahui. P (X = 0) = F (0)
F (0 ) =
Example 21 : Perusahaan reasuransi menaruh perhatian pada kerugian besar karena mereka setuju, sebagai ilustrasi, untuk menutup kerugian diakibatkan kerusakan angin, yaitu antara 2 juta dolar dan 10 juta dolar. Sebut saja X sama dengan ukuran kerugian akibat angin dalam jutaan dolar, dan misalkan X mempunyai fungsi distribusi 8 1 < x < 0; > < 0; F (x) = 3 > 10 : 1 ; 0 x < 1: 10+x
Jika kerugiannya di antara 10 juta dolar dilaporkan hanya sebagai 10, maka fungsi distribusi dari distribusi censor ini adalah 8 1 < x < 0; > < 0; 3 10 F (x) = ; 0 x < 10; 1 10+x > : 1; 10 x < 1; h i3 10 yang mempunyai loncatan (10+10) = 81 di x = 10: Misalkan X menyatakan variabel acak dengan ruang sampel A: Pandang fungsi Y = u(X) dari variabel acak X: Karena X adalah sebuah fungsi yang terde…nisi pada sebuah ruang sampel B maka Y = u(X) adalah fungsi komposit yang terde…nisi pada B: Yaitu Y = u(X) sendiri adalah variabel acak yang mempunyai ruang sampel sendiri C = fy : y = u(x); x 2 Ag dan mempunyai fungsi himpunan peluang sendiri. Jika y 2 C; maka kejadian Y = u(X) y muncul jika dan hanya jika kejadian X 2 A A; di mana A = fx : u(x) yg: Distribusi fungsi dari Y adalah G(y) = P (Y
y) = P [u(X)
y] = P (A):
Berikut ini adalah contoh yang menggambarkan sebuah metode pencarian fungsi distribusi dan p.d.f dari suatu fungsi variabel acak. Metode ini disebut teknik fungsi distribusi. 15
Example 22 : Misalkan f (x) =
8 < :
1 2;
untuk
0;
1 < x < 1;
untuk x yang lain.
adalah p.d.f. dari variabel acak X: De…nisikan variabel acak Y dengan Y = X 2 : Jika y 0; peluang P (Y y) adalah sama dengan p p P (X 2 y) = P ( y X y): Dengan demikian, fungsi distribusi dari Y , yaitu G(y) = P (Y oleh 8 0; y < 0; > > > < pR y p 1 dx = y; 0 y < 1; G(y) = p 2 > y > > : 1; 1 y:
y); diberikan
Karena Y adalah variabel acak bertipe kontinu, p.d.f. dari Y adalah g(y) = G0 (y) di semua titik kontinuitas dari g(y): Jadi dapat dituliskan 8 p1 0 < y < 1; < 2 y; g(y) = : 0; untuk y lainnya. Exercise 23 :
1. Diketahui fungsi distribusi F (x) =
8 < 0; :
x+2 4 ;
1;
1
x < 1; x < 1; 1 x:
Gambarkan gra…k F (x) dan kemudian hitung (a) P (
1 2
<X
1 2)
(b) P (X = 0) (c) P (X = 1) (d) P (2 < X
3):
2. Misalkan f (x)
= =
8 < 1; :
0;
0 < x < 1; untuk x lainnya,
adalah p.d.f. dari X; Tentukan fungsi distribusi dan p.d.f. dari Y = p Petunjuk: P (Y y) = P ( X y) = P (X y 2 ); 0 < y < 1: 16
p
X:
3. Misalkan f (x) = adalah p.d.f. dari X:
8 < :
4 x 16 ;
0;
2 < x < 2;
untuk x lainnya,
(a) Gambarkan fungsi distribusinya dan p.d.f. dari X pada himpunan sumbu yang sama. (b) Jika Y = jXj ; hitung P (Y 1): 1 2 (c) Jika Z = X ; hitung P Z 4 : 4. Misalkan X mempunyai p.d.f. 8 < f (x) = :
4x3 ; 0;
0 < x < 1;
untuk x lainnya.
Tentukan fungsi distribusi dan p.d.f dari Y =
5. Misalkan f (x) =
8 < :
1 3;
2 ln X 4 :
1<x<2 ;
0;
untuk x lainnya,
adalah p.d.f dari X: Tentukan fungsi distribusi dan p.d.f. dari Y = X 2 : Petunjuk: Perhatikan P (X 2 y) untuk dua kasus: 0 y < 1 dan 1 y < 4: 6. Jumlah jam, diukur dalam satuan 100 jam, suatu keluarga akan menggunakan mesin pengisap debu setahun, berbentuk peubah acak kontinu X dengan fungsi padat 8 0 < x < 1; < x; 2 x; 1 x < 2; f (x) = : 0; untuk x lainnya. Cari peluangnya bahwa dalam setahun keluarga itu akan menggunakan mesin penghisap debu (a) kurang dari 120 jam, (b) antara 50 dan 100 jam. 7. Umur penyimpanan (dalam hari) dari suatu obat tertentu dalam botol berbentuk peubah acak dengan fungsi padat 8 20:000 x > 0; < (x+100)3 ; f (x) = : 0; untuk x lainnya. Cari peluangnya bahwa suatu botol akan tahan disimpan 17
(a) paling sedikit 200 hari, (b) antara 80 sampai 120 hari.
18
5
Ekspektasi Variabel Acak
Misalkan X variabel acak yang mempunyai fungsi kepadatan peluang (p.d.f ) f (x) sehingga mempunyai konvergensi absolut yang tertentu, sebut saja, X jxj f (x) ada x
untuk kasus diskrit atau
Z1
1
jxj f (x) ada
untuk kasus kontinu. Ekspektasi variabel acaknya adalah X = E (X) = xf (x); untuk kasus diskrit, atau x
= E(X) =
Z1
xf (x);
untuk kasus kontinu.
1
Kadang-kadang ekspektasi E(X) disebut ekspektasi matematik dari X atau nilai harapan dari X:atau rataan X: Example 24 : Misalkan variabel acak X yang bertipe diskrit mempunyai p.d.f.seperti ditunjukkan dalam tabel berikut: x f (x)
1
2
3
4
4 10
1 10
3 10
2 10
f (x) = 0; jika x tidak sama dengan salah satu dari empat bilangan bulat positif pertama. Hal ini menggambarkan bahwa tidak diperlukan rumus untuk menggambarkan p.d.f. E(X) = (1)
4 10
1 10
+ (2)
+ (3)
3 10
+ (4)
2 10
=
Example 25 : Misalkan X mempunyai p.d.f. 8 0 < x < 1; < 4x3 ; f (x) = : 0; untuk x lainnya
Maka
E(X) =
Z1 0
3
x 4x
dx =
Z1 0
19
4x4 dx =
4x5 5
1
= 0
4 : 5
23 = 2; 3: 10
Misalkan suatu fungsi variabel acak X dengan ruang sampel A: Sebut saja fungsi ini Y = u(X): Untuk kemudahan, misalkan X bertipe kontinu dan y = u(X) adalah fungsi dari X yang kontinu naik, dengan fungsi inversnya x = w(y); yang juga naik. Sehingga Y adalah variabel acak dan fungsi distribusinya adalah G(y) = P (Y
y) = P (u(X)
y) = P [X
w(y)] =
w(y) Z
f (x)dx;
1
dengan f (x) merupakan p.d.f. dari X: Berdasarkan teorema dasar kalkulus, 8 0 < G (y) = f [w(y)] w0 (y); y 2 B; g(y) = : 0; untuk yang lainnya,
dengan B = fy : y = u(x); x 2 Ag : Berdasarkan de…nisi, diketahui konvergensi absolut, maka nilai harapan dari Y adalah E(Y ) =
Z1
y g(y)dy:
1
Karena y = u(x); bagaimana E(Y ) dibandingkan dengan integral I=
Z1
u(x) f (x)dx:
1
Untuk menjawab itu, ubah variabel integrasi melalui y = u(x) atau x = w(y): Karena dy = w0 y > 0; dx maka Z1 Z1 I= y f [w (y)] w0 (y)dy = yg(y)dy: 1
1
Dalam kasus ini, E(Y ) =
Z1
yg(y)dy =
1
Z1
u(x)f (x)dx:
1
Hal ini secara umum benar dan juga tidak membuat perbedaan apakah X bertipe diskrit atau kontinu dan Y = u(x) tidak perlu merupakan fungsi naik dari X: Jika Y = u(x) mempunyai ekspektasi, maka dapat dicari dari E[u(X)] =
Z1
u(x)f (x)dx;
1
20
(1)
dalam kasus kontinu dan E[u(X)] =
X
u(x)f (x);
(2)
x
dalam kasus diskrit. Dikatakan E [u(X)] ad.alah ekspektasi (ekspektasi matematik atau nilai harapan) dari u(X): Remark 26 : Jika ekspektasi matematik dari Y ada, maka integral (atau jumlah) dari Z1
1
j yj g(y) dy atau
X
y g(y)
x
ada. Oleh sebab itu, keberadaan E [u(X)] menyebabkan integral (jumlah) yang berkaitan konvergen absolut. Fakta-fakta yang berguna tentang ekspektasi, jika mereka ada: 1. Jika k suatu konstanta, maka E(k) = k: Dengan mengganti u = k; dan mengingat bahwa integral (jumlah) dari suatu konstanta kali sebuah fungsi adalah konstanta kali integral (jumlah) suatu fungsi. Tentu saja, integral (jumlah) dari fungsi f adalah 1. 2. Jika k suatu konstanta dan v adalah suatu fungsi, maka E(kv) = k E(v): Dengan mengganti u = kv dan menulis kembali ekspresi pada persamaan di atas k kali integral (jumlah) dari hasil vf: 3. Jika k1 dan k2 adalah konstanta dan v1 dan v2 adalah fungsi, maka E(k1 v1 + k2 v2 ) = k1 E(v1 ) + k2 E(v2 ): Dengan mengganti u = k1 v1 + k2 v2 ; maka integral (jumlah) dari (k1 v1 +k2 v2 ) f sama dengan integral (jumlah) dari k1 v1 f plus integral (jumlah) dari k2 v2 f: Aplikasi yang berulang dari sifat ini menunjukkan bahwa jika k1 ; k2 ; :::; km adalah konstanta dan v1 ; v2 ; ..., vm adalah fungsi, maka E(k1 v1 + k2 v2 + ::: + km vm ) = k1 E(v1 ) + k2 E(v2 ) + ::: + km E(vm ): Sifat ekspektasi ini mengarahkan kita ke simbol E sebagai operator linier. Example 27 : Misalkan X mempunyai p.d.f. f (x) =
2(1 0;
x); untuk 0 < x < 1; untuk x yang lainnya.
21
Maka E(X)
=
Z1
xf (x)dx =
=
Z1
2x
=
Z1
2
x f (x)dx =
=
Z1
2x2
Z1
1
(x) 2 (1
x) dx
0
2 3 x 3
2x2 dx = x2
0
2
E(X )
Z1
1
x2 2 (1
1
1 ; 3
= 0
x) dx
0
2x3 dx =
2 3 x 3
1 4 x 2
0
1
= 0
1 ; 6
sehingga 1 3
E(6X + 3X 2 ) = 6
+3
1 6
=
5 : 2
Example 28 : Misalkan X mempunyai p.d.f. f (x) = Maka E(X 3 ) =
X
x 6;
untuk x = 1; 2; 3; 0; untuk x yang lain.
x3 f (x) =
x
3 X
x3
x=1
x 1 16 81 98 = + + = : 6 6 6 6 6
Example 29 : Misalkan sebuah segmen garis horisontal yang panjangnya 5 dibagai secara acak menjadi 2 bagian. Jika X adalah panjang sisi yang sebelah kiri, maka masuk akal bila diasumsikan bahwa X mempunya p.d.f. f (x) =
1 5;
0<x<5 ; 0; untuk x yang lain.
Nilai harapan dari panjang X adalah E(X) =
Z1
xf (x)dx =
1
Z5
x
0
22
1 5
dx =
x2 10
5
= 0
5 25 = 10 2
dan nilai harapan dari panjang 5 E(5
X)
=
Z1
(5
Z5
1
X adalah x) f (x)dx =
1
=
Z5
(5
x)
1 5
dx
0
x dx = x 5
x2 10
0
5
25 5 = : 10 2
=5 0
Namun, nilai harapan dari perkalian dua panjang tersebut sama dengan E [X(5
X)]
=
Z1
=
Z5
x (5
x) f (x)dx =
1
Z5
x (5
1 5
dx
0
x
x2 5
dx =
x2 2
x3 15
0
=
x)
25 2
125 125 25 = = 6= 15 30 6
5 0
5 2
2
:
Jadi secara umum, nilai harapan dari suatu hasil kali tidak sama dengan hasil kali nilai harapan. Example 30 : Carilah nilai harapan atau ekspektasi dari banyaknya kimiawan dalam panitia 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 kimiawan dan 3 biolog. Solution 31 : Misalkan X menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia. Distribusi peluang X adalah f (x) =
4 x
3 3 x 7 3
;
x = 0; 1; 2; 3:
Dengan perhitungan sederhana diperoleh f (0) = 1=35; f (1) = 12=35; f (2) = 18=35 dan f (3) = 4=35: Jadi nilai harapan dari X adalah 1 12 +1 +2 35 35 12 + 36 + 12 12 = = 1; 7: 35 7
= E(X) = 0 =
18 35
+3
4 35
Jadi bila suatu kepanitian beranggotakan 3 orang yang dipilih secara acak berulang-ulang dari 4 kimiawan dan 3 biolog, maka ekspektasinya atau rataratanya akan beranggotakan 1,7 kimiawan.
23
Example 32 : Dalam suatu permainan, seseorang mendapat Rp 5 bila dalam lantunan 3 uang logam muncul semua muka atau semua belakang, dan membayar Rp 3 bila muncul muka satu atau dua. Berapakah harapan kemenangannya? Solution 33 : Ruang sampel untuk kemungkinan hasil bila 3 uang dilantunkan sekaligus, atau sama saja dengan bila 1 uang dilantun 3 kali, ialah T = fM M M; M M B; M BM; BM M; M BB; BM B; BBM; BBBg: Dapat dilihat bahwa tiap titik sampel berpeluang sama dan masing-masing terjadi dengan peluang 1/8. Cara lain adalah dengan menggunakan aturan perkalian peluang kejadian bebas pada semua unsur T. Sebagai contoh, P (M BB) = P (M )P (B)P (B) =
1 2
1 2
1 2
=
1 : 8
Peubah acak yang menjadi perhatian adalah Y; besarnya kemenangan, dan kemungkinan nilai Y adalah Rp 5 bila kejadian E1 = fM M M; BBBg yang muncul dan -Rp3, bila kejadian E2 = fM M B; M BM; BM M; M BB; BM B; BBM g yang muncul. Karena E1 dan E2 terjadi masing-masing dengan peluang 1/4 dan 3/4, maka 3 1 + ( 3) = 1: = E(Y ) = 5 4 4 Dalam permainan tersebut, si pemain rata-rata akan kalah Rp 1 per lantunan 3 uang logam. Suatu permainan dianggap ”adil” bila si pemain, rata-ratanya tidak menang atau kalah. Dengan kata lain, nilai harapannya sama dengan nol. Example 34 : Sebuah mangkok berisi 5 chips, yang tidak dapat dibedakan hanya dengan menyentuh. Tiga chips tersebut masing-masing ditandai dengan $1 dan sisanya ditandai $4. Seorang pemain yang ditutup matanya mengambil dua chip tersebut dari dalam mangkuk secara acak dan tanpa pengembalian. Pemain tersebut dibayar dengan uang yang nilainya sama dengan banyaknya nilai dua chips yang ia ambil dan permainan selesai. Jika untuk memainkan game tersebut biayanya $4,75, apakah kita mau berpartisipasi untuk waktu yang lama? Karena kita tidak dapat membedakan chipsnya dengan sentuhan, kita asumsikan bahwa masing-masing dari 10 pasangan yang dapat diambil tersebut, mempunyai peluang yang sama untuk diambil. Misalkan variabel acak X merupakan banyaknya chips dari dua chip yang dipilih, yang ditandai $1, maka berdasarkan asumsi, X mempunyai distribusi hipergeometrik p.d.f. ( 3 2 (x)(2 x) ; x = 0; 1; 2 (52) f (x) = ; 0; untuk x yang lain 24
Dengan perhitungan sederhana diperoleh " # f (0)
f (1) f (2)
3 0
=
= =
" "
2 2
5 2
3 1
2 1 5 2
3 2
2 0 5 2
# #
=
1:1 1 = ; 10 10
=
6 3:2 = ; 10 10
=
3:1 3 = : 10 10
Jika X = x; maka pemain tersebut menerima u(x) = x + 4(2 dolar. Oleh sebab itu, ekspektasi matematikanya sama dengan E (8
3x)
=
2 X
(8
3x) f (x) =
x=0
2 X
(8
3 x
3x)
x=0
1 +5 = 8 10 8 + 30 + 6 = = 10
x) = 8
3x
2 2 x 5 2
6 3 +2 10 10 44 = 4; 4 10
atau sama dengan $4,40. Exercise 35 : 1. Misalkan X mempunyai p.d.f. f (x) = (x+2)=18; untuk 2 < x < 4; dan 0 untuk x yang lainnya. Tentukan E(X); E[(X +2)3 ] dan E[6x 2(X +2)3 ]: 2. Misalkan f (x) = 51 ; x = 1; 2; 3; 4; 5; dan 0 untuk x lainnya, adalah p.d.f. dari variabel acak bertipe diskrit. Hitung E(X) dan E(X 2 ): Dari hasi 2 tersebut, carilah E[(X + 2)2 ] dengan menuliskan (X + 2) = X 2 + 4X + 4: 3. Banyaknya mobil X yang masuk ke suatu pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00-14.00 mempunyai distribusi peluang x P (X = x)
4
5
6
7
8
9
1 12
1 12
1 4
1 4
1 6
1 6
Misalkan g(X) = 2X 1 menyatakan upah (dalam ribuan rupiah) para karyawan yang dibayar perusahaan dalam jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut. 4. Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi kepadatan f (x) =
x2 3 ;
1<x<2 0; untuk x yang lain.
Hitunglah nilai harapan dari g(X) = 4X + 3: 25
5. Sebuah mangkuk berisi 10 chips, di mana 8 di antaranya ditandai dengan $2 dan dua sisanya ditandai dengan $5. Misalkan seseorang memilih 3 chips dari dalam mangkuk secara acak tanpa pengembalian, Jika orang tersebut menerima sejumlah uang dari nilai chips yang diperoleh, tentukan ekspektasinya. 6. Misalkan X peubah acak yang menyatakan umur (jam) sejenis bola lampu. Fungsi kepadatan peluangnya (p.d.f.) diberikan oleh f (x) =
20:000 x3 ;
jika x > 100 : untuk x lainnya.
0;
Hitunglah harapan umur jenis bola lampu tadi.
26
6
Beberapa Ekspektasi Khusus
Misalkan X adalah variabel acak bertipe diskrit yang mempunyai fungsi kepadatan peluang (p.d.f.) f (x): Maka X E (X) = xf (x): x
Jika titik-titik diskrit dari ruang kepadatan peluang positif adalah a1 ; a2 ; a3 ; ... maka E (X) = a1 f (a1 ) + a2 f (a2 ) + a3 f (a3 ) + ::: Nilai rata-rata (mean) (jika ada) dari variabel acak X bertipe diskrit atau kontinu adalah = E (X) : 2 Bila u (X) = (X ) ; dengan X adalah variabel acak bertipe diskrit yang mempunyai p.d.f. f (x), maka X 2 E (X )2 = (x ) f (x) =
(a1
2
) f (a1 ) + (a2
2
) f (a2 ) + :::
Variansi dari X; dinyatakan dengan 2 ; dan dide…nisikan dengan adalah 2 = E (X )2 = E X 2 2 X + 2 :
2
(jika ada)
Karena E adalah operator linier, maka 2
= E X2
2 E (X) +
= E X2
2
= E X2
2 2
+
2
2
:
2
Akar dari variansi adalah ; dan dinyatakan sebagai deviasi standar dari X: Bilangan kadang-kadang dinyatakan sebagai ukuran dispersi dari titik-titik suatu ruang, relatif terhadap nilai rata-rata : Jika ruangnya hanya memuat satu titik x di mana f (x) > 0; maka = 0: Remark 36 : 1. Misalkan variabel acak X bertipe kontinu mempunyai p.d.f. 8 1 a < x < a; < 2a ; f (x) = : 0; untuk x lainnya, p maka = a= 3 adalah deviasi standar dari distribusi X: 2. Misalkan variabel acak Y bertipe kontinu mempunyai p.d.f. 8 1 2a < y < 2a < 4a ; g(y) = : 0; untuk x lainnya, p maka = 2a= 3; yang merupakan deviasi standar dari distribusi Y: 27
Perhatikan bahwa deviasi standar dari Y lebih besar dari X: Hal ini menunjukkan bahwa peluang untuk Y lebih terdistribusi secara luas (relatif terhadap rata-rata nol) daripada peluang untuk X: Misalkan ada bilangan positif h, sehingga untuk h < t < h ekspektasi matematik E(etX ) ada. Jadi tX
E(e
)=
Z1
etX f (x)dx;
1
jika X variabel acak bertipe kontinu atau X E(etX ) = etX f (x); x
jika X variabel acak bertipe diskrit. Ekspektasi ini disebut fungsi pembangkit moment (m.g.f.) dari X dan dinyatakan dengan M (t); yaitu M (t) = E(etX ): Jika t = 0; maka M (0) = 1: Jika dua variabel mempunyai m.g.f. yang sama, maka mereka mempunyai distribusi yang sama. Berikut ini adalah contoh fungsi pembangkit momen (m.g.f.) dari suatu variabel acak X bertipe diskrit untuk semua bilangan riil t: M (t) =
1 t 2 3 4 e + e2t + e3t + e4t : 10 10 10 10
Jika dimisalkan f (x) adalah p.d.f. dari X dan misalkan a; b; c; d; ::: merupakan titik-titik diskrit di ruang X dengan f (x) > 0; maka X M (t) = etx f (x); x
atau
2 3 4 1 t e + e2t + e3t + e4t = f (a)eat + f (b)ebt + ::: 10 10 10 10 Dengan membandingkan kedua ruas, dapat diambil a = 1; f (a) =
1 2 3 4 ; b = 2; f (b) = ; c = 3; f (c) = ; d = 4; f (d) = : 10 10 10 10
Atau lebih sederhana, p.d.f. dari X adalah 8 x < 10 ; x = 1; 2; 3; 4; f (x) = : 0; untuk x lainnya.
Dengan kata lain, misalkan X adalah variabel acak bertipe kontinu dan diketahui 1 ; t<1 M (t) = 1 t 28
adalah m.g.f. dari X: Berdasarkan de…nisi, 1 1
t
=
Z1
etx f (x)dx;
t < 1:
1
Suatu distribusi dengan p.d.f f (x) =
8 < e :
x
;
0 < x < 1;
0; untuk x lainnya 1
mempunyai m.g.f. M (t) = (1 t) ; t < 1: Jadi variabel acak X mempunyai distribusi dengan p.d.f. ini sesuai dengan penekanan pada ketunggalan m.g.f. Karena distribusi yang mempunyai m.g.f. M (t) ditentukan oleh M (t); maka tidak mengherankan jika memperoleh beberapa sifat dari distribusi langsung dari M (t): Sebagai contoh, eksistensi M (t) untuk h < t < h menyebabkan turunan dari semua orde ada di t = 0: Jadi dengan menggunakan teorema yang membolehkan kita untuk mengubah orde turunan dan integrasi, diperoleh dM (t) = M 0 (t) = dt
Z1
x etx f (x)dx;
1
jika X bertipe kontinu, atau X dM (t) = M 0 (t) = xetx f (x); dt x jika X bertipe diskrit. Dengan mengambil t = 0; diperoleh M 0 (0) = E(X) = : Turunan kedua dari M (t) adalah 00
M (t) =
Z1
x2 etx f (x)dx
atau
X
x2 etx f (x);
x
1
sehingga M "(0) = E X 2 : Dengan demikian, var (X) sama dengan 2
= E(X 2 )
2
= M 00 (0)
[M 0 (0)]2 :
Sebagai contoh, jika M (t) = (1 t) 1 ; t < 1; seperti dijelaskan sebelumnya, maka M 0 (t) = (1 t) 2 dan M 00 (t) = 2(1 t) 3 : Oleh sebab itu, = M 0 (0) = 1 dan M 00 (0) = 2 29
sehingga 2
= M 00 (0)
2
=2
1 = 1:
Cara lain untuk menentukan dan 2 adalah dengan menghitungnya dari p.d.f., yaitu: Z1 Z1 2 2 x2 f (x) dx : x f (x) dx dan = = 1
1
Secara umum, jika m adalah bilangan bulat positif dan jika M (m) (t) berarti turunan ke m dari M (t); diperoleh: M (m) (0) = E(X m ); sehingga m
E(X ) =
Z1
xm f (x) dx atau
X
xm f (x)
x
1
Karena M (t) membangkitkan nilai-nilai dari E(X m ); dengan m = 1; 2; 3; ::: maka M (t) disebut fungsi pembangkit momen (m.g.f. = moment-generating function). Namun kadang-kadang E(X m ) disebut momen distribusi ke-m atau momen ke-m dari X: Example 37 : Misalkan X mempunyai p.d.f. 8 1 1<x<1 < 2 (x + 1); f (x) = : 0 untuk x lainnya.
Maka nilai rata-rata (mean) dari X adalah Z1
x f (x) dx =
=
1 2
1 3 1 2 x + x 3 2
=
1 2
=
1
1 1 + 3 2
Z1
1 1 x (x + 1) dx = 2 2
1 1
Z1
x2 + x dx
1
= 1
1 2
1 1 + 3 2
1 1 3 2 (1) + (1) 3 2 =
1 2
30
2 3
=
1 : 3
1 1 3 2 ( 1) + ( 1) 3 2
Variansi dari X adalah 2
=
Z1
2
2
x f (x) dx
Z1
=
1
=
1 2
Z1
x2
(x + 1) dx 2
1 3
1
x3 + x2
1 1 = 9 2
dx
1 4 1 3 x + x 4 3
1
= =
1 2 1 2 1 3
1 1 4 3 (1) + (1) 4 3 1 1 1 + 4 3 4 1 2 = 9 9
1 4 ( 1) + 4 1 1 = 9 2
1 3
1 9
1
1
=
2
1 3 ( 1) 3 2 1 3 9
1 9
Example 38 : Jika X mempunyai p.d.f. f (x) =
8 <
1 x2 ;
:
1 < x < 1;
0;
untuk x lainnya.
maka nilai rata-rata dari X tidak ada, karena =
Z1
x f (x) dx =
1
=
lim
b!1
Z1
1 x 2 dx = x
1
Zb
Z1
1 dx x
1
1 dx = lim (ln b b!1 x
ln 1) :
1
Example 39 : Misalkan X mempunyai fungsi pembangkit momen m.g.f. 2
M (t) = et
=2
;
1 < t < 1:
Fungsi M (t) ini dapat dinyatakan dengan deret MacLaurin sebagai berikut: t2 =2
e
=
1 1+ 1!
=
1+
=
t2 2
1 + 2!
t2 2
2
1 + 3!
t2 2
3
1 + ::: + k!
t2 2
k
+ :::
t2 t4 t6 t2k + + + ::: + + ::: (1!) :2 (2!) :4 (3!) :8 (k!) :(2)k 1 (3) (1) 4 (5) : (3) : (1) 6 (2k 1) ::: (3) (1) 2k 1 + t2 + t + t + ::: + t + ::: 2! 4! 6! (2k)! 31
Keterangan: t4 (2!) :4 t6 (3!) :8
1 4 (3) (1) 4 (3) (1) 4 t = t = t ; 8 (3) : (8) 4! 1 6 (5) (3) (1) 6 (5) (3) (1) 6 = t = t = t ; 2:4:6 1:2:3:4:5:6 6! dan seterusnya. =
Secara umum, deret MacLaurin untuk M (t) adalah M (t)
M 00 (0) 2 M 000 (0) 3 M (m) (0) m M 0 (0) t+ t + t + ::: + t + ::: 1! 2! 3! m! E X2 2 E X3 3 E (X m ) m E (X) t+ t + t + ::: + t + ::: 1+ 1! 2! 3! m!
= M (0) + =
Jadi koe…sien (tm =m!) dalam representasi deret MacLaurin dari M (t) adalah E(X m ); sehingga E(X 2k ) E(X 2k
1
)
=
(2k
=
0;
1) (2k
3) :::(3)(1) =
(2k)! ; dengan k = 1; 2; 3; :::dan 2k k!
dengan k = 1; 2; 3; :::
Exercise 40 : 1. Carilah nilai rata-rata (mean) dan variansi (jika ada), dari setiap distribusi berikut ini: ( 3! 1 3 ; untuk x = 0; 1; 2; 3 x!(3 x)! 2 (a) f (x) = 0; untuk xlainnya: (b) f (x) =
6x(1 x); 0 < x < 1; 0; untuk x lainnya.
(c) f (x) =
2=x3 ; 1 < x < 1; 0; untuk x lainnya. 1 x 2
; x = 1; 2; 3; ::: merupakan p.d.f dari variabel 0; untuk x lainnya acak X: Tentukan m.g.f., nilai rata-rata dan variansi dari X:
2. Misalkan f (x) =
3. Untuk setiap fungsi kepadatan P( 2 < X < + 2 ): (a) f (x) = (b) f (x) =
6x(1 x); 0 < x < 1; 0; untuk x lainnya. 0;
1 x 2
; x = 1; 2; 3; ::: untuk x lainnya. 32
peluang
berikut,
hitunglah
4. Tunjukkan bahwa m.g.f. dari variabel acak X yang mempunyai p.d.f. 1=3; 1 < x < 2; f (x) = adalah 0; untuk x lainnya, M (t) =
e2t e 3t
1;
33
t
;
t 6= 0; t = 0:
7
Ketaksamaan Chebyshev
Theorem 41 : Misalkan u(X) adalah fungsi tak negatif dari suatu variabel acak X: Jika E(u(X)) ada, maka untuk setiap kontanta positif c; berlaku P [u(X) Proof. : Misalkan A = fx : u(x) (p.d.f.) dari X: Maka E[u(x)] =
Z1
E[u(X)] : c
c]
cg dan f (x) menyatakan fungsi kepadatan peluang
u(x) f (x) dx =
1
Z
u(x) f (x) dx +
Z
u(x) f (x) dx
A
E[u(x)]
Z
u(x) f (x) dx
A
A
Jika x 2 A; maka u(x)
c; sehingga Z E[u(x)] u(x) f (x) dx
Z c f (x) dx:
A
Karena
Z
A
f (x) dx = P (X 2 A) = P [u(x)
c];
A
maka E[u(x)]
c P [u(x)
P [u(x)
c]
Jadi terbukti
c]:
E[u(x)] : c
Theorem 42 : Ketaksamaan Chebyshev Misalkan variabel acak X mempunyai distribusi peluang, dengan variansi dan mean ; maka untuk setiap k > 0; berlaku P (jX
j
1 ; k2
k )
atau P (jX
j
34
1
1 : k2
2
Proof. : Pada teorema di atas, jika diambil u(X) = (X )2 dan c = k 2 diperoleh E[(X )2 ] : P [(X )2 k 2 2 ] k2 2 Karena (X )2 k 2 2 () jX j k dan E[(X )2 ] = ketaksamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk 2
P (jX
j
k )
k2 2
=
2
2
; maka
; maka
1 : k2
Dari ketaksamaan Chebyshev tersebut terlihat bahwa 1=k 2 merupakan batas atas dari peluang P [jX j k :Jadi ketaksamaan Chebyshev di atas terbukti. Keterangan: 1 P (jX j k ) = P (X + k atau X k ) k2 : Dengan kata lain, 1=k 2 merupakan batas atas dari peluang P (jX j k ) : Demikian pula untuk P (jX j < k ) = P( k < X < +k ) 1 1=k 2 : Dengan 2 demikian, 1 1=k merupakan batas bawah dari peluang P (jX j < k ). Example 43 : Misalkan X mempunyai p.d.f sebagai berikut: p p 1 p ; 3<x< 3 2 3 f (x) = 0; untuk x lainnya. Maka p
Z3
= E(X) =
p
p
x f (x) dx =
p
3 p
= =
Z3
3
p
x
2 3
1 dx = p 2 3
3
p
1 1 1 2 p x = p p 2 3 2 4 3 3 1 p (3 3) = 0: 4 3
1 p
p
2
3
Z3 p
x dx
3
2
3
Dan p 2
2
= E(X
2
2
) = E(X )
=
Z3 p
p
=
Z3 p
=
x2 f (x) dx
2
3
p 2
x
1 p 2 3
dx
1 0= p 2 3
3
1 p 6 3
p
3
3
p
3
3
Z3 p
3
1 x dx = p 2 3 2
1 3 x 3
p
3
p
3
p p p 1 6 3 p = 3 3 + 3 3 = p = 1: 6 3 6 3 35
Jika k = 1=2; maka peluang eksaknya adalah P (jX
j
k ) = P (jXj =
1=2 Z
1
1=2) = 1
f (x) dx = 1
1=2
=
1
=
1
P (jXj < 1=2)
1=2 Z
1 p dx = 1 2 3
1 p (x)j1=2 1=2 2 3
1=2
1 1 1 p 2 2 3 2 1p 3 = 0; 711: 6
1 p (1) = 1 2 3
=1
1 p
2 3
Berdasarkan ketaksamaan Chebyshev, peluang di atas mempunyai batas atas 1=k 2 = 1= (1=4) = 4: Jadi nilai peluang eksaknya jauh lebih kecil daripada batas atasnya. Jika k = 1; maka peluang eksaknya adalah P (jX
j
k ) = P (jXj 1) = 1 P (jXj < 1) Z1 Z1 1 1 p dx = 1 p (x)j1 1 = 1 f (x) dx = 1 2 3 2 3 1
=
1
=
1
1
1 p [1 ( 1)] = 1 2 3 1p 3 = 0; 423: 3
1 p (2) = 1 2 3
1 p 3
Berdasarkan ketaksamaan Chebyshev, peluang tersebut di atas mempunyai batas atas 1=k 2 = 1=1 = 1: Jadi nilai peluang di atas masih lebih kecil daripada batas atasnya. Jika diambil k = 32 ; maka peluang eksaknya adalah P (jX
j
k )=P
=
1
3=2 Z
jXj
3 2
f (x) dx = 1
3=2
=
1
=
1
=1 3=2 Z
P
jXj <
3 2
1 p dx = 1 2 3
1 p (x)j3=2 3=2 2 3
3=2
1 3 3 p 2 2 3 2 p 3 = 0; 134: 2
=1
1 p 2 3
6 2
=1
3 p 2 3
Jadi nilai peluang di atas masih lebih kecil daripada batas atasnya, yaitu 1=k 2 = 1= (9=4) = 94 = 0; 444.
36
Jika diambil k = 2; maka peluang eksaknya adalah P (jX
j
2 ) = P (jXj =
=
=
1
P (jXj < 2) = 1
1
0
1
0
B @
1
Z
1
=
1
f (x) dx
p
3
Z3
f (x) dx +
p
2
f (x) dx +
3
B @0 +
Z3 p
Z3
3
Z2
p
C f (x) dx + 0A = 1
C f (x) dxA
p
f (x) dx
3
p 1 3 p (x)j p 3 2 3
1 p dx = 1 2 3
3
1 hp p 3 2 3 1 = 0:
1
3 p Z3
1
p
p
=
Z2
2
p
p
=
2)
p
i
3
=1
p 2 3
1 p
2 3
Jadi nilai peluang eksaknya masih lebih kecil daripada batas atasnya, yaitu 1=k 2 = 14 = 0; 25 Jika diambil k = 3; maka nilai peluang eksaknya adalah P (jX
j
3 ) = P (jXj =
=
=
1
P (jXj < 3) = 1
1
0
1
0
B @
1
Z
1
=
1
f (x) dx
p
3
f (x) dx +
Z3 p
3
f (x) dx +
3
p
B @0 + Z3 p
=
Z3
3
p
Z3 p
3
p
=
3)
1
Z3
p
p
f (x) dx
3
p 1 3 p (x)j p 3 2 3
1 p dx = 1 2 3
3
p
C f (x) dxA
3 p Z3
C f (x) dx + 0A = 1
1 hp p 3 2 3 1 = 0:
1
3
i
=1
1 p
2 3
p 2 3
Jadi nilai peluang eksaknya masih lebih kecil daripada batas atasnya, yaitu 37
1=k 2 = 1=9: Dari beberapa nilai k yang diberikan, nilai peluang eksak P (jX dan batas atas 1=k 2 selalu berbeda, berapapun nilai k yang diambil.
j
k )
Example 44 : Misalkan variabel acak X bertipe diskrit dan mempunyai peluang x f (x)
1 1 8
0
1
6 8
1 8
Nilai rata-ratanya adalah 1 X
= E(X) =
xf (x) = ( 1)
x= 1
1 8
+ (0)
1 8
+ 02
6 8
+ (1)
1 8
=0
dan variansinya adalah 2
)2 = E(X 2 )
= E(X =
1 X
x2 f (x)
2
2 2
= ( 1)
x= 1
=
6 8
+ 12
1 8
0
1 2 = : 8 4
Fungsi distribusinya adalah 8 0; > > < 1 8; F (x) = 7 > 8; > : 1;
Jika k = 1; dan standar deviasi P (jX
j
1
=
1
=
1
P
0j
jXj <
1 2 1 6 = 8 4 F
x< 1 x<0 x<1 1 x:
= 1=2; maka peluang eksaknya adalah
k ) = P jX =
1 0
1 2 F
1:
1 2
=1
P
1 2
=P
jXj
1 2
1 1 <X< 2 2 7 1 =1 8 8
Dapat dilihat bahwa nilai peluang eksaknya masih lebih kecil daripada batas atasnya, yaitu 1=k 2 = 1.
38
Jika k = 2; maka peluang eksaknya adalah P (jX
j
1 = P (jXj 2 P (jXj < 1) = 1 P ( 1 < X < 1) 7 1 [F (1 ) F ( 1)] = 1 8 8 6 2 1 = = : 8 8 4
k ) = P jX =
1
=
1
=
1
0j
2:
1)
Dapat dilihat bahwa nilai peluang eksaknya sama dengan batas atasnya, yaitu 1=k 2 = 1=4: Remark 45 : Teorema Chebyshev berlaku untuk setiap distribusi pengamatan, sehingga hasilnya lemah. Tanpa mengetahui distribusi peluangnya, nilai peluangnya hanya dapat diketahui dari batas atas atau bawah bawahnya saja. Namun bila distribusi peluangnya diketahui, maka nilai peluangnya secara eksak dapat diketahui. Exercise 46 : 1. Jika X adalah suatu variabel acak dengan E(X) = 3 dan E(X 2 ) = 13; gunakan ketaksamaan Chebyshev untuk menentukan batas bawah peluang P ( 2 < X < 8): 2. Suatu variabel acak X mempunyai rataan = 8; variansi sedangkan peluang distribusinya tidak diketahui. Tentukan
2
= 9;
(a) P ( 4 < X < 20) (b) P (jX
8j
6):
3. Misalkan fungsi kepadatan peluang dari variabel acak X berbentuk: a: f (x)
=
b: f (y)
=
Hitung P ( 2 <X< tidaksamaan Chebyshev.
x 15 ;
x = 1; 2; 3; 4; 5: 0; untuk x lainnya 1 8
(y + 1) ; 2 < y < 4 0; untuk x lainnya
+ 2 ) dan bandingkan hasilnya dengan per-
39
