Kombinatorik dan Peluang

I

TU

URI HANDAY

AN

TW

DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 2009

Kombinatorik dan Peluang

Matriks

GY

A

Y

O

M AT E M A

T AK A R

Shadiq, M.App.Sc.

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA 2009

TM

Quality System

TK

KA TI

PP PP

Oleh: Fadjar

Quality Endorsed Company ISO 9001: 2000 Lic no:QEC 23961

SAI Global

KATA PEN PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karunia-Nya, bahan ajar ini dapat diselesaikan dengan baik. Bahan ajar ini digunakan pada Diklat Guru Pengembang Matematika SMK Jenjang Dasar Tahun 2009, pola 120 jam yang diselenggarakan oleh PPPPTK Matematika Yogyakarta. Bahan ajar ini diharapkan dapat menjadi salah satu rujukan dalam usaha peningkatan mutu pengelolaan pembelajaran matematika di sekolah serta dapat dipelajari secara mandiri oleh peserta diklat di dalam maupun di luar kegiatan diklat. Diharapkan dengan mempelajari bahan ajar ini, peserta diklat dapat menambah wawasan dan pengetahuan sehingga dapat mengadakan refleksi sejauh mana pemahaman terhadap mata diklat yang sedang/telah diikuti. Kami mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah berpartisipasi dalam proses penyusunan bahan ajar ini. Kepada para pemerhati dan pelaku pendidikan, kami berharap bahan ajar ini dapat dimanfaatkan dengan baik guna peningkatan mutu pembelajaran matematika di negeri ini. Demi perbaikan bahan ajar ini, kami mengharapkan adanya saran untuk penyempurnaan bahan ajar ini di masa yang akan datang. Saran dapat disampaikan kepada kami di PPPPTK Matematika dengan alamat: Jl. Kaliurang KM. 6, Sambisari, Condongcatur, Depok, Sleman, DIY, Kotak Pos 31 YK-BS Yogyakarta 55281. Telepon (0274) 881717, 885725, Fax. (0274) 885752. email: [email protected]

Sleman, 11 Mei 2009 Kepala,

Kasman Sulyono NIP. 130352806

Daftar Isi Kata Pengantar ----------------------------------------------------------------------------------------------- i Daftar Isi

------------------------------------------------------------------------------------------------ ii

Kompetensi/Sub Kompetensi dan Peta Bahan Ajar ---------------------------------------------- iii Skenario Pembelajaran ----------------------------------------------------------------------------------- iv Bab I

Pendahuluan------------------------------------------------------------------------------ 1 A. Latar Belakang----------------------------------------------------------------------- 1 B. Tujuan --------------------------------------------------------------------------------- 1 C. Cara Penggunaan Modul --------------------------------------------------------- 2

Bab II

Notasi Faktorial -------------------------------------------------------------------------- 3 A. Mengapa Menggunakan Notasi Faktorial ------------------------------------ 3 B. Arti Faktorial------------------------------------------------------------------------- 3

Bab III

Permutasi dan Kombinasi ------------------------------------------------------------- 5 A. Prinsip Perkalian -------------------------------------------------------------------- 5 B. Permutasi ----------------------------------------------------------------------------- 6 C. Kombinasi ---------------------------------------------------------------------------- 7

Bab III

Peluang------------------------------------------------------------------------------------11 A. B. C. D.

Bab IV

Pengantar ke Peluang ------------------------------------------------------------11 Pengertian Peluang ---------------------------------------------------------------11 Relasi Antar Peristiwa------------------------------------------------------------13 Peristiwa Bersyarat----------------------------------------------------------------15

Penutup -----------------------------------------------------------------------------------19

Daftar Pustaka ----------------------------------------------------------------------------------------------19

ii

KOMPETENSI Memiliki kemampuan untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam menerapkan dan memecahkan masalah yang berkait dengan kaidah pencacahan, kombinatorik, dan peluang. SUB KOMPETENSI ‰ ‰

‰

‰

‰

Memiliki kemampuan membantu siswa dalam menggunakan notasi faktorial. Memiliki kemampuan membantu siswa dalam menggunakan prinsip perkalian. Memiliki kemampuan membantu siswa dalam menggunakan teori permutasi. Memiliki kemampuan membantu siswa dalam menggunakan teori kombinasi. Memiliki kemampuan membantu siswa dalam menggunakan teori peluang. PETA BAHAN AJAR

Mata diklat untuk jenjang dasar ini membutuhkan pengetahuan prasyarat tentang mengoperasikan bilangan asli dan bilangan pecahan. Pada diklat jenjang dasar ini, para peserta diklat diharapkan sudah dapat mengembangkan dan meningkatkan kemampuannya, dalam bentuk kemampuan memecahkan masalah atau soal-soal yang berkait dengan kaidah pencacahan, kombinatorik, dan peluang. Modul ini akan dimulai dengan membahas tentang notasi faktorial yang merupakan dasar mempelajari materi selanjutnya, diikuti dengan membahas tentang permutasi dan kombinasi, dan diakhiri dengan membahas tentang peluang. Dengan bekal seperti ini, diharapkan para peserta diklat jenjang dasar ini akan dapat membantu para siswa SMK-nya di lapangan. Pengetahuan dan keterampilan yang didapat pada mata diklat ini dapat digunakan untuk topik-topik atau materi-materi lainnya. Pada diklat jenjang lanjut, menengah, dan tinggi, kepada para peserta diharapkan sudah lebih mampu menerapakannya untuk digunakan memecahkan masalah pembalajaran dan dalam membantu teman guru di daerahnya masing-masing.

iii

SKENARIO PEMBELAJARAN

Penyampaian Mtr (20’) Diskusi: • Notasi Faktorial • Permutasi • Kombinasi • Peluang

Pendahuluan (5’) ‰ Tujuan ‰ Ruang Lingkup ‰ Langkah-langkah

Penugasan (60’) Penugasan • Mendiskusikan Penyelesaian Soal Mendiskusikan: yang Berkait dengan: ‰ Strategi yang dapat meningkatkan • Notasi Faktorial penalaran, pemecahan masalah, • Permutasi dan• komunikasi Kombinasi ‰ Cara menilai penalaran, • Peluang

Laporan (45’) Hasil diskusi Masalah yang belum terpecahkan

‰ ‰

pemecahan masalah, dan komunikasi

Penutup (5’) Rangkuman ‰ Refleksi ‰ Tugas

‰

iv

Bab I Pendahuluan A. Latar Belakang Lampiran Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 23 Tahun 2006 tentang Standar Kompetensi Lulusan (SKL) menyatakan bahwa salah satu SKL pada mata pelajaran matematika untuk Matematika Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran dan Akuntasi SMK/MAK serta untuk Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian SMK/MAK adalah; “Memahami konsep teori peluang dan penerapannya dalam pemecahan masalah.” Selanjutnya, Lampiran Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi menyatakan bahwa salah satu SK (Standar Kompetensi) adalah agar para siswa SMK dapat: “Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang.” Berikut ini adalah jabaran SK tersebut tadi berupa KD, Indikator dan Materi Pembelajaran untuk topik peluang. Kompetensi Dasar

Indikator

Materi Pembelajaran

1. Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi

ƒ Kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi digunakan dalam menentukan banyaknya cara menyelesaikan suatu masalah

ƒ Kaidah pencacahan permutasi dan kombinasi

2. Menghitung peluang suatu kejadian

ƒ Peluang suatu kejadian dihitung dengan menggunakan rumus

ƒ Peluang suatu kejadian

Karenanya, kompetensi peluang akan menjadi materi yang sangat menentukan keberhasilan para siswa SMK dalam memecahkan masalah umum atau masalah dalam kehidupan sehari-hari. Itulah sebabnya, pada diklat jenjang dasar ini, materi peluang, sesuai dengan indikator dan materi di atas akan membahas tentang: B. Tujuan Modul ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan berupa wawasan bagi guru SMK yang mengikuti diklat jenjang dasar di PPPPTK Matematika tentang peluang, dengan harapan dapat digunakan sebagai salah satu sumber untuk memecahkan masalah-masalah pengajaran peluang di SMK. Selanjutnya, tujuan secara khusus adalah agar para peserta diklat dapat membantu atau memfasilitasi siswanya seemikian sehingga siswanya dapat atau mampu: 1. Menjelaskan pengertian kaidah pencacahan, faktorial, permutasi, dan kombinasi

1

2. Menentukan banyaknya cara meyelesaikan masalah dg kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi 3. Menyelesaikan masalah dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi 4. Menjelaskan pengertian kejadian, peluang, kepastian dan kemustahilan 5. Menghitung frekuensi harapan suatu kejadian 6. Menghitung peluang suatu kejadian 7. Menghitung peluang kejadian saling lepas 8. Menghitung peluang kejadian saling bebas 9. Menerapkan konsep peluang dalam menyelesaikan masalah program keahlian C. Cara Penggunaan Modul Pembahasan pada modul ini lebih menitik-beratkan pada diskusi identifikasi dan pemecahan masalah yang berkait dengan permutasi, kombinasi, dan peluang. Di samping itu, akan dibahas juga bagaimana memfasilitasi siswa agar dapat mempelajari materi peluang dengan lebih bermakna. Karenanya, setiap bagian modul ini dimulai dengan beberapa contoh diikuti dengan teori-teori, dan diakhiri dengan latihan atau tugas. Di samping itu, dikemukakan juga tentang hal-hal penting yang perlu mendapat penekanan para guru di saat membahas SK atau KD di kelasnya. Karenanya, para pemakai modul ini disarankan untuk membaca lebih dahulu teorinya sebelum mencoba mengerjakan latihan yang ada. Selama diskusi, para peserta diharapkan secara aktif mengemukakan keberhasilan maupun kegagalan selama proses pembelajaran. Jika para pemakai modul ini mengalami kesulitan maupun memiliki saran, sudi kiranya menghubungi penulisnya, melalui email: [email protected], website (situs): www.fadjarp3g.wordpress.com telepon (0274)880762; HP: 08156896973, atau melalui PPPPTK Matematika, Kotak Pos 31 YKBS, Yogyakarta dan fax (0274)885752.

2

Bab II Notasi Faktorial A. Mengapa Menggunakan Notasi Faktorial Para guru tentunya sudah mengetahui bahwa para matematikawan sering menggunakan notasi (lambang atau tanda) yang dapat menyingkat penulisan. Beberapa contohnya adalah: 1. 10×3 yaitu notasi perkalian yang digunakan untuk menyingkat penulisan 3+3+3+3+3+3+3+3+3+3; yaitu penjumlahan berulang dari bilangan 3 sebanyak 10 kali. Bayangkan sekarang, jika para matematikawan tidak mengembangkan notasi perkalian tersebut. Bagaimana sulitnya menulis penjumlahan berulang dari bilangan 3 sebanyak 1.000 kali atau lebih. Melelahkan bukan? 2. 310 yaitu notasi perpangkatan yang digunakan untuk menyingkat penulisan 3×3×3×3×3×3×3×3×3×3 yaitu perkalian berulang dari bilangan 3 sebanyak 10 kali. Apa yang akan terjadi jika para matematikawan tidak mengembangkan notasi perpangkatan tersebut. Bagaimana cara menulis penjumlahan berulang bilangan 3 sebanyak 1.000 kali atau lebih. Sulit dan melelahkan bukan? Pada saat menyelesaikan soal ataupun memecahkan masalah, para matematikawan sering menemui tuntutan untuk menghitung hasil perkalian beberapa bilangan asli berurutan, seperti: 1. 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × … × 100 2. 11 × 12 × 13 × 14 × 15 × 16 × … × 100 3.

1 × 2 × 3 × 4 × ... × 12 72 × 73 × 74

Untuk menyingkat penulisan perkalian beberapa bilangan asli berurutan di atas, para matematikawan lalu mengembangkan notasi faktorial yang akan dibahas pada Bab II ini. B. Arti Faktorial Perkalian seperti 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6, merupakan perkalian enam bilangan asli berurutan pertama. Untuk memudahkan penulisan, digunakan notasi faktorial, yaitu: 6!. Dengan cara yang sama; 10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10. Secara umum dapat disimpulkan bahwa:

n! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × ... × (n − 3) × (n − 2) × (n − 1) × n; n ∈ A Selanjutnya, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!

3

Dengan cara sama, didapat: 5! = 5 × 4! 6! = 6 × 5! 7! = 7 × 6! 8! = 8 × 7! Secara umum dapat disimpulkan bahwa:

n! = n × (n − 1)!, n ∈ A Latihan Bab II 1. Tentukan nilai dari: a. 5!

b.

2. Nyatakan dengan notasi faktorial. a. 12×11× ... ×6×5×4×3×2×1 b. 16×15×14×13×12×11

9×8 4×3 11 × 10 × 9 d. 5× 4×3

c.

3. Apakah benar bahwa

e. f.

10! 7! 9×8× 7 4×3 11 × 10 5× 4× 3

10! 10! . Tentukan generalisasinya. = 6! (10 − 6)!

4. Mengapa didefinisikan 0! = 1? Dapatkah Anda menjelaskan?

4

Bab III Permutasi dan Kombinasi A. Prinsip Perkalian Perhatikan soal berikut. Misalkan saja Anda baru mempelajari kompetensi tentang peluang, sehingga baru akan belajar prinsip perkalian. Kerjakan soal berikut. Diketahui bahwa ada 4 alternatif jalan dari kota Alangbong ke kota Buloboyo. Selanjutnya ada 3 alternatif jalan dari kota Buloboyo ke kota Canget. Pak Archimedes akan mudik dari kota Alangbong ke kota Canget, ada berapa alternatif rute dari Alangbong ke kota Canget, dan harus melewati Buloboyo, yang dapat digunakan atau dipilih Pak Archimedes? 1. Dimisalkan posisi kota Alangbong, kota Buloboyo, dan kota Canget adalah seperti gambar berikut.

• Canget Alangbong • • Buloboyo 2. Gambarlah 4 alternatif jalan dari kota Alangbong ke kota Buloboyo. Sebutlah 4 alternatif jalan tersebut dengan jalan I, II, III, dan IV. 3. Gambarlah 3 alternatif jalan dari kota Buloboyo ke kota Canget. Sebutlah 3 alternatif jalan tersebut dengan jalan A, B, dan C. 4. Ada berapa alternatif rute jalan dari Alangbong ke kota Canget, yang dapat dipilih Pak Archimedes? Jelaskan. 5. Kerjakan soal berikut. Diketahui bahwa Amir memiliki 4 celana dengan warna berbeda. Diketahui juga bahwa ia memiliki 6 baju dengan warna atau motif yang berbeda. Daftarlah semua alternatif pasangan celana dan baju yang dapat dipilih Amir?

6. Jelaskan prinsip perkalian di bawah ini dengan menggunakan dua contoh di atas. Prinsip perkalian: ”Jika ada m cara melakukan kegiatan A dan dari setiap cara itu ada n cara melakukan kegiatan B maka akan ada m×n cara untuk melakukan kegiatan A diikuti melakukan kegiatan B Tempat menjelaskan

5

B. Permutasi Perhatikan soal berikut. Misalkan Anda baru akan mempelajari konsep permutasi. Kerjakan soal berikut. ANI, BUDI, CICA, DITA, EKO, dan FAHRI akan dipilih menjadi pengurus PGRI. Daftarkan seluruh susunan pengurus PGRI yang terdiri atas: a. Ketua dan Sekretaris. b. Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Tempat menjelaskan. a. .

b. .

Ada 20 orang akan dipilih menjadi pengurus PGRI. Tanpa mendaftar lebih dahulu, ada berapa susunan pengurus PGRI; lalu jelaskan jika pengurusnya terdiri atas: a. Ketua dan Sekretaris. b. Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Nyatakan hasilnya dalam bentuk faktorial. Tempat menjelaskan. a. .

b. .

Jika ada n orang yang akan dipilih menjadi pengurus PGRI. Ada beberapa susunan pengurus PGRI yang mungkin, jika pengurusnya terdiri atas: a. 2 orang, yaitu Ketua dan Sekretaris. b. 3 orang, yaitu Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. c. k orang (di mana k ≤ n) Nyatakan hasilnya dalam bentuk faktorial. Berdasar pengerjaan di atas, secara umum, dapat dinyatakan bahwa banyaknya cara memilih k elemen dari n elemen yang tidak memungkinkan adanya pengulangan elemen jika urutannya diperhatikan adalah permutasi k objek dari n objek. Banyaknya dapat dinyatakan dengan:

n! P = n k (n − k )! 6

Latihan Bab II.1 (Khusus Permutasi) 1. Dari empat siswa berikut: Ani, Budi, Cici, dan Dedi; dua siswa akan dipilih menjadi ketua dan wakil ketua kelas. Daftarkan seluruh pilihan (susunan) yang mungkin. 2. Dari 5 orang calon pengurus akan dipilih seorang ketua seorang wakil ketua dan seorang bendahara. Banyaknya susunan pengurus yang mungkin adalah .... A. 10 C. 20 E. 125 B. 15 D. 60 3. Banyaknya bilangan terdiri dari empat angka yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, serta tidak ada angka yang diulang adalah ... A. 15 C. 360 E. 1.296 B. 180 D. 648 4. Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata “KALKULUS” adalah .... A. 1.680 C. 8.400 E. 20.160 B. 5.040 D. 10.080 5. Suatu kelompok pengajian ibu-ibu mempunyai anggota 10 orang. Apabila setiap pengajian duduknya melingkar, banyak cara posisi ibu-ibu dalam duduk melingkar adalah ... . A. 720 cara C. 3.528 cara E. 3.628.800 cara B. 1.008 cara D. 362.880 cara C. Kombinasi Perhatikan soal berikut. Misalkan Anda baru akan mempelajari konsep kombinasi. Kerjakan dahulu soal berikut. Lima guru potensial di kota Merakjingga adalah ANI, BUDI, CICA, EKO, dan FAHRI. a. Jika akan dipilih pengurus PGRI. yang terdiri atas Ketua dan Sekretaris, daftarkan seluruh susunan pengurus PGRI yang mungkin. b. Jika akan dipilih suatu tim yang terdiri atas dua orang dari lima guru untuk mewakili guru di kota Merakjingga tersebut, daftarkan seluruh tim yang mungkin. c. Apa yang membedakan dua soal tersebut? d. Apa hubungan yang ada dari ha sil dua soal tersebut? e. Bagaimana jika yang akan dipilih adalah tiga guru dari lima guru? Tempat menjelaskan.

7

Pada pengerjaan soal nomor b di atas, susunan ANI-BUDI dianggap sama dengan susunan BUDI-ANI atau hanya mewakili satu susunan saja; yang merupakan contoh kombinasi. Susunan ANI-CICA juga dianggap sama dengan susunan CICA-ANI. Begitu seterusnya. Terakhir, susunan EKO-FAHRI dianggap sama dengan susunan FAHRI-EKO. Jika pada permutasi urutan diperhatikan maka pada kombinasi urutan tidak diperhatikan. Jadi, kombinasi adalah susunan elemen-elemen berlainan yang tidak memperhatikan urutan. Banyaknya kombinasi r unsur (elemen) dari n unsur yang disediakan (r ≤ n) dan dinyatakan

⎛n⎞

n!

. Rumus ini dengan lambang-lambang nCr; Cn,r; C n ; atau ⎜⎜ ⎟⎟ adalah C = r n k k!(n − k )! ⎝r ⎠ didapat dari rumus permutasi

n! P = dan membaginya dengan k!. Pada pengerjaan n k (n − k )!

soal nomor b di atas, hasil permutasi dibagi dengan 2! = 2. Alasan membagi tersebut adalah karena susunan ANI-BUDI dianggap sama dengan susunan BUDI-ANI. Begitu juga untuk susunan yang lain. Jadi, susunan ANI-BUDI dan susunan BUDI-ANI yang dihitung dua pada permutasi akan dihitung satu pada kombinasi. Pada pengerjaan soal nomor e di atas, susunan ANI-BUDI-CICA dianggap sama dengan susunan ANI-CICA-BUDI, BUDI-ANI-CICA, BUDI-CICA-ANI, CICA-ANI-BUDI, dan CICABUDI-ANI. Jadi, setiap susunan tiga elemen yang dihitung 3! pada permutasi akan dihitung satu pada kombinasi. Latihan Bab II.2 (Khusus kombinasi) 1. Kombinasi merupakan susunan elemen-elemen berlainan yang tidak membolehkan pengulangan, dan tanpa memperhatikan urutan. Karenanya, banyaknya kombinasi adalah sama dengan banyaknya himpunan bagian. Tentukan semua himpunan bagian dari {a, b, c, d} lalu kaitkan hasilnya dengan kombinasi dan permutasi. 2. Suatu perusahaan cat memiliki 20 warna cat baru. Perusahaan tersebut akan menggabungkan dua warna cat untuk mendapatkan warna cat baru. Ada berapa warna cat baru yang didapat? 3. Banyaknya garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris adalah .... A. 336 C. 56 E. 16 B. 168 D. 28 4. Suatu reuni dihadiri 20 orang peserta. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi adalah .... A. 100 C. 190 E. 380 B. 180 D. 360 5. Dari tujuh tangkai bunga yang berbeda-beda warnanya akan dibentuk rangkaian bunga yang terdiri dari 3 warna Banyaknya cara menyusun rangkaian bunga tersebut adalah .... A. 30 C. 42 E. 210 B. 35 D. 70 Latihan Bab II.3 (Gabungan) 1. Dari 6 orang tokoh masyarakat akan dipilih 5 orang untuk menjadi juri dalam suatu lomba. Banyaknya susunan berbeda yang mungkin terjadi adalah ....

8

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

A. 3 susunan C. 8 susunan E. 15 susunan B. 6 susunan D. 12 susunan Pada suatu konferensi hadir 7 negara, yaitu A, B, C, D, E, F, dan G. Bendera masing-masing negara akan dikibarkan pada tiang yang diatur menjadi satu baris (7 tiang). Ada berapa macam cara mengatur 7 bendera itu agar bendera negara A dan B terletak di ujung? A. 5!/2 C. 7!/2 E. 2(6!) B. 5! D. 2 (5!) Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap dua titik yang berbeda dapat dibuat sebuah garis lurus. Banyaknya garis lurus yang dapat dibuat adalah .... A. 210 C. 90 E. 65 B. 105 D. 75 Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang kurang dari 400 adalah .... A. 10 C. 40 E. 120 B. 20 D. 80 Ada 6 siswa baru yang belum saling mengenal satu sama lain. Apabila mereka ingin berkenalan dengan berjabat tangan, maka jabatan tangan yang akan terjadi sebanyak ... . A. 10 kali C. 13 kali E. 16 kali B. 12 kali D. 15 kali Untuk memperoleh padi jenis baru, dilakukan penyilangan terhadap 7 jenis padi yang berlainan satu dengan yang lain. Banyaknya macam penyilangan yang dapat dilakukan ada .... A. 11.880 C. 1.880 E. 295 B. 9.880 D. 495 Dari empat angka 1, 2, 3 dan 4 dibentuk bilangan-bilangan. Banyaknya bilangan yang terbentuk dengan nilai masing-masing lebih dari 2000 adalah .... A. 12 C. 18 E. 24 B. 16 D. 20 Seorang murid diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal nomor 1 sampai dengan nomor 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah .... A. 4 C. 6 E. 10 B. 5 D. 9 Dari 6 siswa akan dipilih 4 siswa sebagai pengurus OSIS. Banyaknya susunan pengurus yang berbeda yang mungkin dapat dibentuk adalah .... A. 6 C. 15 E. 30 B. 12 D. 24 Dari 10 siswa akan dipilih suatu tim yang terdiri atas 4 siswa mewakili daerahnya. Banyaknya susunan tim yang dapat dibentuk adalah .... A. 6 C. 15 E. 30 B. 12 D. 24 Ali, Bagong, Candra dan Dadang akan bekerja secara bergilir. Banyaknya urutan bekerja yang dapat disusun dengan Ali selalu pada giliran terakhir adalah .... A. 3 C. 12 E. 24 B. 6 D. 18 Sebuah organisasi akan memilih ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Jika ketua dan wakil ketua dipilih dari 5 orang sedangkan sekretaris dan bendahara dipilih dari 4 orang yang lain, banyak susunan pengurus yang terpilih adalah ... .

9

13.

14.

15.

16.

17.

18. 19.

20.

A. 20 C. 56 E. 3.024 B. 32 D. 240 Ada 6 orang pria dan 3 wanita. Mereka akan membentuk sebuah panitia yang terdiri dari 5 orang, Berapa cara panitia dapat terbentuk bila harus terdiri dari 3 pria dan 2 wanita? A. 20 C. 40 E. 70 B. 30 D. 60 Ada 10 orang tamu tetapi hanya tersedia 4 kursi. Jika salah seorang duduk dikursi tertentu, banyaknya cara duduk di kursi tersebut adalah ... . A. 504 cara C. 3.020 cara E. 6.480 cara B. 720 cara D. 5.040 cara Kode sebuah kartu ATM diketahui berupa bilangan 5 digit dengan ciri-ciri berikut : a. Digit puluhan adalah dua kali lipat digit ribuan, b. Jika digit ratusan dan satuan dipertukarkan maka nilai bilangan tersebut tidak berubah, dan c. Digit puluh ribuan adalah tidak nol. Jika pemilik kartu ATM tersebut lupa kodenya, tetapi ingat ciri-ciri tersebut, maka peluang ia dapat langsung menebaknya adalah .... (Soal Isian Singkat nomor 10 Seleksi Tingkat Provinsi Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP-MTs 2007, 19 Juli 2007) A. 1/225 C. 1/450 E. 1/600 B. 1/300 D. 1/500 Nomor polisi mobil-mobil di suatu negara selalu terdiri atas 4 angka. Jika disyaratkan bahwa jumlah keempat angka pada setiap nomor harus habis dibagi 5, maka banyaknya nomor mobil di negara itu adalah .... A. 2200 C. 1800 E. 1400 B. 2000 D. 1600 Suatu delegasi terdiri atas 3 pria dan 3 wanita yang dipilih dari himpunan 5 pria yang berbeda usia dan 5 wanita yang juga berbeda usia. Delegasi itu boleh mencakup paling panyak hanya satu anggota termuda dari kalangan wanita atau anggota termuda dari kalangan pria. Dengan persyaratan ini, banyak cara menyusun keanggotaan delegasi ini adalah .... A. 52 C. 60 E. 68 B. 56 D. 64 Tentukan banyaknya bilangan asli dari 1 sampai 2005 sedemikian sehingga jumlah angkaangka pada bilangan tersebut habis dibagi 5. Ada berapa cara (berapa macam hasil yang mungkin) bila kita menarik sekaligus dari kartu bridge (52 kartu) sebanyak (a) 3 kartu sembarang (b) 3 kartu dengan hasil semuanya As (c) 3 kartu dengan hasil semuanya sekop. Enam belas tim sepakbola mengikuti suatu turnamen. Pertama-tama mereka dikelompokkan ke dalam 4 kelompok dengan masing-masing 4 tim di setiap kelompoknya. Di setiap kelompok mereka saling bermain satu sama lain satu kali. Dua tim yang memiliki peringkat teratas selanjutnya maju babak berikutnya yang menggunakan sistim gugur (kalah langsung tereliminasi) sampai ditemukan juaranya. Berapa banyak pertandingan yang berlangsung dalam turnamen tersebut? (Soal Uraian Nomor 1 Olimpiade Matematika SMP Tahun 2004 Tingkat Propinsi).

10

Bab IV Peluang A. Pengantar ke Peluang Di dalam kehidupan nyata sehari-hari, sering dijumpai pernyataan tentang peristiwa atau kejadian yang akan datang yang sejatinya berkait dengan teori peluang, seperti: (1) Tidak ada peluang bagi Pak Ardi untuk lulus sertifikasi; (2) Peluangnya sangat besar, dan mendekati 100%, bagi Chelsea untuk menang melawan tim merah-putih Indonesia. Teori peluang muncul dari kehidupan nyata sehari-hari para penjudi yang melakukan penyelidikan untuk memenangkan permainan kartu (remi) dan dadu. Pada awalnya, matematikawan Tartaglia dan Cardano, memunculkan teori yang berkait dengan permainan judi. Namun teori peluang seperti yang muncul saat ini merupakan hasil kerja tiga Matematikawan Perancis pada pertengahan abad ke-17, yaitu: Chavalier de Mere, Blaise Pascal, dan Piere Fermat. Pada pernyataan nomor 1 di atas, jelas tidak ada peluang sama sekali (0% peluangnya) bagi Pak Ardi untuk lulus sertifikasi. Alasannya, ia belum memiliki ijazah S1 atau D4. Sebaliknya, peluang Chelsea untuk menang melawan tim Indonesia adalah 100%. Karena Chelsea pasti akan mengalahkan Indonesia. Secara singkat, peluang adalah nilai kemungkinan suatu kejadian atau peristiwa yang berupa bilangan. Lalu, berapa nilai kemungkinan yang akan diberikan kepada Pak Ardi maupun kepada klub Chelsea? Peluang suatu kejadian atau peristiwa dinyatakan dengan bilangan mulai 0 sampai dengan 1. Jika dinyatakan dengan persentase adalah mulai 0% sampai dengan 100%. Karena Pak Ardi belum memiliki ijazah S1 atau D4, maka tidak ada peluang sama sekali bagi Pak Ardi untuk lulus sertifikasi, sehingga peluangnya adalah 0 atau 0%, yang dikenal juga dengan istilah kemustahilan. Namun dapat dipastikan bagi Chelsea untuk memenangkan pertandingan melawan tim Indonesia, sehingga peluangnya adalah 1 atau 100%, yang dikenal juga dengan istilah kepastian. Latihan Bab IV.1 1. Berilah contoh lain lalu tentukan peluangnya untuk peristiwa yang: a. tidak mungkin (mustahil) terjadi. b. pasti terjadi. 2. Apa yang Anda dapatkan dari pengerjaan soal di atas. B. Pengertian Peluang Amir melempar dadu biasa seperti nampak pada gambar di kanan atas ini. Mata dadu yang mungkin muncul pada pelemparan dadu tersebut adalah salah satu dari mata 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Himpunan S = S{1, 2, 3, 4, 5, 6} disebut ruang sampel pada pelemparan dadu, sedangkan anggota suatu ruang sampel disebut titik sampel. Jadi, ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dalam suatu eksperimen atau percobaan. Beberapa himpunan bagian dari ruang sampel, seperti A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 3, 5}, D = {1} ataupun D = {5, 6} disebut dengan peristiwa atau kejadian. Notasi P(A) berarti peluang terjadinya peristiwa A. Pada contoh di atas adalah peluang munculnya mata dadu 2, 4, atau 6. Jika Amir melempar dadu biasa sebanyak 6.000 kali misalnya, apakah kemunculan mata dadu 6 akan mendekati 1.000 kali? Yakinkah Anda? Kemunculan mata dadu 6 dapat saja mendekati 1.000 kali, namun bisa saja jauh lebih dari atau kurang dari 1.000 kali; tergantung pada dadu yang dilemparkan. Namun jika dadu yang digunakan adalah dadu yang homogen atau setimbang. Jadi, pada pembahasan teori peluang ini, digunakan idealisasi berkait dengan dadu yang ada. Karena itu, pada definisi klasik, diebabkan oleh ddadunya dianggap homogen atau setimbang; maka setiap titik sampel mempunyai peluang yang sama untuk muncul; sehingga:

11

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) .... (1) Karena pada pelemparan dadu, munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6; merupakan suatu kepastian; sehingga didapat: P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 .... (2) Pada akhirnya, dari persamaan (1) dan (2) diapat: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6 Dengan cara sama, peluang untuk muncul angka genap, di mana A = {2, 4, 6} adalah:

P ( A) =

n( A) 3 1 = = . n( S ) 6 2

Secara umum dapat disimpulkan bahwa peluang terjadinya peristiwa atau kejadian A adalah:

P ( A) = Di mana:

P(A) n(A) n(S)

n( A) n( S )

= peluang terjadinya peristiwa atau kejadian A. = banyaknya elemen dalam A = banyaknya elemen dalam S

Jadi, pada definisi klasik, setiap elemen hasil eksperimen (yang disebut S dengan ‘titik sampel’) diasumsikan berpeluang sama untuk muncul karena adanya idealisasi berkait dengan dadu ataupun koin yang ada. Di samping definisi klasik tentang peluang, definisi lainnya adalah definisi empirik yang menyatakan bahwa peluang munculnya suatu peristiwa dalam suatu percobaan (eksperimen) adalah nilai frekuensi relatif munculnya peristiwa itu jika banyaknya percobaan tak terhingga. Contohnya, jika dari hasil produksi bola lampu suatu perusahaan, dilakukan tes terhadap 10.000 bola lampu dan ternyata ada 2 bola lampu yang mati, rusak, atau cacat; maka dapat disimpulkan bahwa peluang terambil bola lampu adalah 0,0002. Akibat selanjutnya dari penggunaan idealisasi pada dadu yang dianggap benar-benar homogen atau setimbang tadi, maka bila sebuah dadu dilambungkan sebanyak 600 kali, diharapkan akan muncul mata 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 sebanyak 100 kali. Nilai 100 kali ini disebut dengan frekuensi harapan (Fh) peristiwa A yang dapat juga dicari dengan menggunakan rumus: Fh(A) = P(A) × n; di mana n menunjukkan banyaknya percobaan dilakukan. Dengan cara yang sama, jika dilambungkan sekeping mata uang logam sebanyak 100 kali, maka diharapkan akan muncul muka G (gambar) sebanyak 50 kali. Begitu juga jika diambil 40.000 bola lampu tadi maka frekuensi harapan (Fh) terambil lampu yang mati, rusak, atau cacat adalah 0,0002×40.000 = 8 bola lampu. Latihan Bab IV.2 Beberapa tahun lalu, Andi, Banu, Chandra, dan Deni senang bermain togel (judi buntut). Pada suatu hari, ketiganya menebak nomer-nomer yang terdiri atas dua angka. • Andi menebak nomer 15 dan 16; • Banu menebak nomer-nomer dengan angka puluhan 1; • Chandra menebak nomer-nomer genap; • Deni tidak menebak. 1. Siapa dari keempat orang tersebut yang pasti tidak mungkin mendapatkan hadiah? Mengapa? Berapa peluangnya? 2. Dari keempat orang tersebut, siapa yang memiliki kemungkinan paling besar pertama untuk mendapatkan hadiah? Mengapa? Berapa peluangnya?

12

3. Dari keempat orang tersebut, siapa yang memiliki kemungkinan paling besar kedua untuk mendapatkan hadiah? Mengapa? 4. Jika Andi mendapatkan hadiah, apakah Banu akan mendapatkan hadiah juga? Bagaimana dengan Chandra? 5. Aturan togel (judi buntut) menyatakan bahwa tebakan yang terdiri dari dua angka benar mendapat hadiah 60 kali uang taruhan, tebakan yang terdiri dari tiga angka benar mendapat hadiah 400 kali uang taruhan, dan tebakan yang terdiri dari empat angka benar mendapat hadiah 60 kali uang taruhan. 6. Dengan uang taruhan minimal sebesar Rp 5.000,00 untuk setiap nomer, berapa jumlah uang yang harus disiapkan agar seseorang dengan pasti akan mendapatkan hadiah untuk: • dua angka; • tiga angka; dan • empat angka? 7. Berapa hadiah yang ia terima? 8. Bisakah teori peluang membantu seseorang untuk memprediksi nomer-nomer yang akan keluar? 9. Dari contoh di atas, jelaskan hal-hal yang berkait dengan istilah berikut, lalu beri contoh. • Ruang sampel • Titik sampel • Peristiwa • Peluang 10. Tulislah hal-hal lain yang menurut Anda sangat penting untuk diketahui teman-teman lainnya yang berkait dengan peluang ini C. Relasi Antar Peristiwa Relasi atau hubungan antar peristiwa atau kejadian yang akan dibahas pada bagian ini adalah: • Relasi lepas (termasuk komplemen) • Relasi tak lepas • Relasi bebas • Relasi tak bebas 1. Relasi lepas dan relasi tak lepas Pada pelemparan dadu, jika ditentukan beberapa peristiwa atau kejadian berikut: A = {2, 4, 6} B = {1, 2, 3} C = {1, 5} D = {4, 5, 6} Perhatikan anggota-anggota pada peristiwa di atas. Kejadian A dan C disebut dua peristiwa atau kejadian yang saling lepas. Begitu juga kejadian B dan D. Sedangkan peristiwa A dan B, A dan D, B dan C, serta C dan D disebut dua peristiwa atau kejadian yang tidak saling lepas. Perhatikan sekali lagi anggota-anggota pada peristiwa di atas. Atribut atau kriteria khusus apa yang menyebabkan dua peristiwa disebut saling lepas atau tidak saling lepas? Bagaimana dengan peluang dua kejadian yang saling lepas dan yang tidak saling lepas? Perhatikan peristiwa A dan C yang saling lepas berikut ini. A = {2, 4, 6} dan C = {1, 5} Ternyata, pada dua kejadian yang saling lepas berlaku: P(A∪C) =

n{2, 4, 6, 1, 5} n{2, 4, 6} n{1, 5} = + = P(A) + P(S) n(S) n(S) n(S) 13

Jadi; P(A∪C) = P(A) + P(B) jika A∩B = ∅ Perhatikan sekarang peristiwa A dan D yang tidak saling lepas berikut ini. A = {2, 4, 6} dan D = {4, 5, 6} Ternyata, pada dua kejadian yang tidak saling lepas berlaku: P(A∪D) =

n{2, 4, 6, 5} 4 n{2, 4, 6} n{4, 5, 6} 3 3 6 = ≠ + = + = n(S) 6 n(S) n(S) 6 6 6

Ternyata yang berlaku adalah: P(A∪D) =

n{2, 4, 6, 5} n{2, 4, 6} n{4, 5, 6} n( A ∩ D) = + − n(S) n(S) n(S) n(S)

Secara umum, pada dua kejadian yang tidak saling lepas berlaku: P(A∪D) =

n{A} n{D} n( A ∩ D) + − n(S) n(S) n(S)

Jadi; P(A∪D) = P(A) + P(D) − P(A∩D) ; jika A∩B ≠ ∅ 2. Relasi bebas dan relasi tak bebas Amir melempar dadu dan koin. Ruang sampel dadu dan koin berturut-turut adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan {G, A). Tentukan peluang peristiwa K, yaitu terambil mata dadu genap dan angka (A). Ruang sampel untuk pelemparan dadu dan koin dapat dinyatakan dengan diagram berikut. Koin \ Dadu A G

1 (A,1) (G,1)

2 (A,2) (G,2)

3 (A,3) (G,3)

4 (A,4) (G,4)

5 (A,5) (G,5)

6 (A,6) (G,6)

Dari tabel di atas terlihat jelas bahwa n(S) = 12 dan n(K) = 3. Dengan demikian P(K) = Ternyata juga bahwa peluang terambil mata dadu genap adalah koin berupa angka (A) adalah

3 1 = . 12 4

3 dan peluang terambil mata 6

1 3 1 3 1 = = P(K). Dua peristiwa A dan B ; di mana × = 2 6 2 12 4

dalam ruang sampel S, seperti contoh ini dikatakan saling bebas karena P(A∩B) = P(A) × P(B). Namun dua peristiwa A dan B dikatakan tidak saling bebas jika P(A∩B) ≠ P(A) × P(B). Latihan Bab IV.3 1. Perhatikan diagram venn di sebelah kanan ini untuk peristiwa A dan B; di mana S = {e1, e2, e3, e4}. a. Tentukan P(A∪B) dengan menggunakan rumus di atas. b. Apakah A dan B merupakan 2 peristiwa bebas? Jelaskan. 2. Perhatikan diagram venn di sebelah kanan ini untuk peristiwa A dan B; di mana S = {e1, e2, e3, e4, e5}. a. Tentukan P(A∪B) dengan menggunakan rumus di atas. b. Apakah A dan B merupakan 2 peristiwa bebas? Jelaskan.

A

B

S

. e1 . e2 . e3 . e4 S

A

B

. e1

. e2 . e4 . e3 . e5 14

3. Buktikan secara deduktif bahwa P(A∪D) = P(A) + P(D) − P(A∩D) ; jika A∩B ≠ φ. 4. Buktikan bahwa pada dua peristiwa A dan B yang saling berkomplemen (dengan notasi AC = B atau BC = A; di mana A∩B = ∅ dan A∪B = S; maka berlaku rumus P(AC) = 1 − P(A). D. Peristiwa Bersyarat Peristiwa bersyarat dengan notasi ‘A⏐B’ yang dibaca: “peristiwa munculnya peristiwa A setelah diketahui munculnya peristiwa B”; atau dibaca: “peristiwa munculnya A dengan syarat B.” Perhatikan contoh berikut ini. Suatu kotak berisi 7 bola (terdiri atas 4 bola merah dan 3 bola kuning). Dari dalam kotak diambil 2 bola satu demi satu. Tentukan peluang terambilnya 1 bola merah dan 1 bola kuning jika cara pengambilannya adalah: a. tanpa pengembalian b. dengan pengembalian Berikut ini jawaban soal di atas. a. Pengambilan tanpa pengembalian Pada pengambilan bola pertama, dapat terambil bola merah dan dapat juga terambil bola kuning yang peluangnya berturut-turut adalah

4 7

4 3 dan . Diagram pohonnya adalah: 7 7 3 Merah 3 Kuning

B Merah

•

4 Merah 3 Kuning

3 7

B Kuning

4 Merah 2 Kuning

Perhatikan pada gambar di sebelah kanan atas bahwa jika pada pengambilan bola pertama, yang terambil adalah bola merah maka di dalam kotak tersisa 3 bola merah dan 3 bola kuning. Namun jika pada pengambilan bola pertama, yang terambil adalah bola kuning maka di dalam kotak tersisa 4 bola merah dan 2 bola kuning, seperti nampak pada gambar di sebelah kanan bagian bawah. Selanjutnya, dengan cara sama, pada pengambilan bola kedua, dari setiap cabang yang ada akan dapat terambil bola merah dan dapat juga terambil bola kuning; seperti ditunjukkan dengan diagram pohon peluang berikut.

4 7

B Merah

• 3 7

B Kuning

3 6

4 6

B Merah

3 6

B Kuning B Merah

2 6

B Kuning

Perhatikan bahwa P(M,M) + P(M,K) + P(K,M) + P(K,K) =

4 3 12 × = 7 6 42 4 3 12 Æ P(M,K)= × = 7 6 42 3 4 12 Æ P(K,M)= × = 7 6 42 3 2 6 Æ P(K,K)= × = 7 6 42 Æ P(M,M)=

12 12 12 6 42 + + + = =1 42 42 42 42 42

15

Jadi, peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola kuning tanpa pengembalian adalah: P(M,K) + P(K,M) =

12 12 24 + = 42 42 42

b. Pengambilan dengan pengembalian Dengan cara seperti yang dilakukan di atas; akan didapat:

4 7

B Merah

• 3 7

B Kuning

4 7

4 7

B Merah

3 7

B Kuning B Merah

3 7

B Kuning

4 4 16 × = 7 7 49 4 3 12 Æ P(M,K)= × = 7 7 49 3 4 12 Æ P(K,M)= × = 7 7 49 3 3 9 Æ P(K,K)= × = 7 7 49

Æ P(M,M)=

Perhatikan juga bahwa P(M,M) + P(M,K) + P(K,M) + P(K,K) = 1 juga. Jadi, peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola kuning tanpa pengembalian adalah: P(M,K) + P(K,M) =

12 12 24 + = 49 49 49

Suatu kotak berisi 7 bola (terdiri atas 4 bola merah dan 3 bola kuning). Dari dalam kotak diambil 2 bola sekaligus. Tentukan peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola kuning.

4 Merah 3 Kuning Diketahui bahwa suatu kotak berisi 7 bola, lalu diambil 2 bola sekaligus. Dengan demikian, urutannya tidak diperhatikan. Jadi, ruang sampelnya berupa himpunan 2 bola dari 7 bola yang ada. Dengan demikian, didapat: n(S) = 7C2 =

7! = 21 5! 2!

Jika A adalah terambilnya 1 bola merah dari 4 bola merah dan 1 bola kuning dari 3 bola kuning, maka didapat: n(A) = 4C1 × 3C1= 4×3 = 12

Jadi, peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola kuning adalah

n( A) 12 24 = = n(S) 21 42

Latihan Bab IV.4 Jelaskan mengapa peluang terambilnya 1 bola merah dan 1 bola kuning tanpa pengembalian adalah sama dengan peluang terambil 1 bola merah dan 1 bola kuning dengan mengambil 2 bola sekaligus. Latihan Bab IV.5 (Gabungan) 1. Dua buah dadu dilempar sekali. Peluang muncul kedua mata dadu berjumlah 5 adalah .... A. 1/9 C. 1/3 E. 5/6 B. 5/36 D. 5/12

16

2. Dari 7 orang pria dan 5 orang wanita akan dipilih 4 orang yang terdiri dari tiga pria dan seorang wanita. Peluang terpilihnya 4 orang tersebut adalah .... A. 9/198 C. 35/396 E. 37/99 B. 8/99 D. 35/99 3. Suatu kelas terdiri dari 40 siswa, 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA dan 9 siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA adalah .... A. 25/40 C. 9/40 E. 3/40 B. 12/40 D. 4/40 4. Dari 100 orang mahasiswa, terdaftar 45 orang mengikuti kuliah bahasa Indonesia, 50 orang mengikuti kuliah Sejarah dan 25 orang mengikuti kedua mata kuliah itu. Dipanggil seorang di antara 100 mahasiswa itu. Berapakah peluangnya agar mahasiswa yang dipanggil itu tidak mengikuti kuliah bahasa Indonesia maupun Sejarah ? A. 0,10 C. 0,20 E. 0,30 B. 0,15 D. 0,25 5. Peluang siswa A dan B lulus UMPTN berturut-turut adalah 0,98 dan 0,95. Peluang siswa A lulus UMPTN dan B tidak lulus adalah .... A. 0,019 C. 0,074 E. 0,978 B. 0,049 D. 0,935 6. Peluang Nico dapat mengalahkan Rio dalam permainan catur di sekolah adalah 0,60. Jika mereka bermain sebanyak 20 kali, harapan Rio menang terhadap Nico sebanyak .... A. 4 kali C. 8 kali E. 12 kali B. 6 kali D. 10 kali 7. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah .... A. 3/36 C. 8/36 E. 11/36 B. 7/36 D. 9/36 8. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilempar undi sekali. Peluang munculnya angka pada mata uang dan bilangan prima pada dadu adalah .... A. 5/6 C. 1/3 E. 1/6 B. 2/3 D. 1/4 9. Suatu percobaan lempar undi tiga mata uang logam sebanyak 104 kali. Frekuensi harapan munculnya minimal sisi dua angka adalah .... A. 26 C. 52 E. 78 B. 36 D. 65 10. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu bridge. Peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau As adalah .... A. 2/52 C. 28/52 E. 32/52 B. 26/52 D. 30/52 11. Didalam suatu kotak terdapat 6 bola warna putih, 3 bola warna merah dan 1 bola warna kuning. Akan diambil 3 buah bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola warna merah dan 1 warna kuning adalah .... A. 3/100 C. 3/120 E. 4/5 B. 6/100 D. 9/20 12. Sebuah kotak berisi 6 kelereng merah dan 3 hijau. Secara acak diambil dua kelereng satu demi satu tanpa pengembalian. Peluang terambilnya kelereng keduanya hijau adalah .... A. 1/24 C. 1/12 E. 1/6 B. 2/27 D. 1/9 13. Dalam sebuah kotak terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng putih. Dua kelereng diambil satu demi satu dengan pengembalian. Peluang terambilnya kelereng putih kemudian kelereng merah adalah .... A. 2/15 B. 4/15 C. 3/25

17

D. 6/25 E. 2/5 14. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng putih adalah .... A. 7/44 C. 34/44 E. 37/44 B. 10/44 D. 35/44 15. Sebuah kotak berisi 3 buah kelereng putih dan 2 buah kelereng hitam. Pada pengambilan dua kali berurutan, peluang untuk mendapatkan sebuah kelereng hitam pada pengambilan pertama dan sebuah kelereng hitam lagi pada pengambilan yang kedua adalah .... A. 0,08 C. 0,16 E. 0,30 B. 0,10 D. 0,20 16. Sebuah kotak berisi lima bola merah dan tiga bola putih. Kita ambil dua bola sekaligus dari kotak itu. Berapa peluang (probabilitas) bahwa bola yang terambil bola merah dan putih? A. 1/15 C. 10/28 E. 1/3 B. 1/4 D. 1/2 17. Dalam suatu kantong terdapat 5 bola merah dan 5 bola putih. Jika diambil dua bola sekaligus secara acak, maka frekuensi harapan mendapatkan dua bola berlainan dari 180 kali percobaan adalah ... . A. 18 C. 40 E. 100 B. 36 D. 72 18. Dua dadu bersisi enam diberi nomor baru pada setiap sisinya. Dadu pertama diberi nomor 1, 1, 2, 3, 3, 3 dan dadu kedua diberi nomor −1, −1, −1, −2, −2, −3. Jika kedua dadu dilempar bersamaan, maka peluang terjadinya jumlah bilangan pada kedua sisi atas dadu bernilai positif adalah .... A. 1/4 C. 2/3 E. 4/5 B. 1/2 D. 3/4 19. Tiga orang hendak makan siang di suatu rumah makan. Untuk menentukan siapakah yang membayar mereka membuat suatu permainan. Masing-masing mengetos satu koin secara bersama-sama. Jika hasilnya muka semua atau belakang semua, maka mereka mengetos lagi. Jika tidak demikian, maka ’orang ganjil’ (yaitu orang yang koinnya muncul berbeda dari dua orang lainnya) yang membayar. Tentukan banyaknya semua hasil yang mungkin jika permainan berakhir pada pengetosan: a. Pertama. b. Kedua. c. Ketiga. d. Kesepuluh. 20. Satu set soal terdiri dari 3 soal Benar (B) atau Salah (S), serta 3 soal pilihan ganda dengan jawaban A, B, C, dan D. Seseorang menjawab semua soal secara acak. Berapa peluang ia hanya menjawab benar 2 butir soal?

18

Bab VI Penutup Modul ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan berupa wawasan bagi para guru matematika SMK yang mengikuti diklat jenjang dasar di PPPPTK Matematika. Harapannya, modul ini dapat digunakan sebagai salah satu sumber untuk dapat memecahkan masalah-masalah selama proses pembelajaran di kelas yang berkait dengan permutasi, kombinasi, dan peluang. Materi ini menjadi sangat penting, karena banyak hal di dalam kehidupan sehari-hari yang berkait dengan teori peluang ini. Contoh konkretnya, teori peluang banyak digunakan terutama di bidang asuransi, perbankan, dan bisnis. Kecenderungan umur manusia Indonesia pada umumnya akan sangat menentukan premi yang harus dibayar para peserta asuransi. Begitu juga kecenderungan umur mesin mobil atau motor akan sangat menentukan masa dan besarnya angsuran yang harus dilunasi para pelanggan. Hal se perti itu akan mengikut sertakan teori-teori peluang.

Peluang adalah cara untuk mengkuantifikasi tingkat kepastian suatu peristiwa atau kejadian akan muncul. Mulai dari nilai 0 (0%) jika tidak ada peluang sama sekali bagi suatu peristiwa atau kejadian akan muncul, yang dikenal juga dengan istilah kemustahilan. Yang terbesar adalah nilai 1 (100%) jika suatu peristiwa atau kejadian diyakini passti akan muncul, yang dikenal juga dengan kepastian. Selanjutnya, Anda diharapkan dapat mencobakan materi yang ada pada paket ini yang sesuai dengan kondisi di sekolahnya masing-masing. Untuk soal yang terlalu sulit bagi para siwa di tempat Anda dapat dimodifikai dengan mempermudah ataupun dengan menyederhanakan soalnya. Namun perlu diingatkan bahwa modul ini masih jauh dari kesempurnaan. Karenanya, bapak dan ibu guru diharapkan dapat mencari pustaka lainnya untuk meningkatkan profesionalisme dan kompetensinya.

Daftar Pustaka Bergamini, D. (1965). Life Science Library. Mathematics. Nederland: Time-Life International. Depdiknas (2006). Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 Tentang Standar Isi Sekolah Menengah Atas. Jakarta: Depdiknas. Raharjo, Marsudi. (2007). Kombinatorik dan Peluang (Makalah Penataran). PPPPTK Matematika: Yogyakarta. Spiegel, MB. (1982). Probability and Statistics (Theory and Problem). Mac Graw – Hill Book Company: Singapore. Sutjijana, Al. (1998). Paket Pembinaan Calon Peserta IMO. Kombinatorik dan Algoritma. Yogyakarta: PPPG Matematika

19