Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce

5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik VŠB-TU Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra Financí

Ostrava 8. - 9. září 2010

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce Martina Borovcová 1

Abstrakt V příspěvku jsou popsány vybrané metody vícekriteriálního hodnocení variant, jejich kategorizace a postupy řešení. Detailněji byly popsány metody stanovení vah kritérií a to metoda párového porovnání a Saatyho metoda. Uvedené metody jsou aplikovány na příkladu výběru optimálního produktu finanční instituce, konkrétně, produktu penzijního připojištění. Výběr optima je realizován na bázi funkce užitku využitím metody bazické varianty a výše uvedenými metodami stanovení vah kritérií. Klíčová slova Vícekriteriální hodnocení, varianta, váha, kritérium, finanční produkt, penzijní připojištění.

1 Úvod Při rozhodování o výběru produktů finančních institucí je vhodnější, stejně jako je tomu ve finančním rozhodování, brát v úvahu více než jedno rozhodovací kritérium. Může sice nastat situace, kdy by k výběru varianty bylo použito pouze jediného kritéria hodnocení a za podmínky kvantitativního charakteru kritéria by pak stačilo uspořádat varianty podle hodnot tohoto kritéria a varianta s nejvyšší (či nejnižší) hodnotou by byla variantou optimální. Existuje však poměrně málo rozhodovacích problémů, které by měly monokriteriální charakter. Podstatně častěji je možné setkat se s problémy, kdy varianty řešení je třeba posuzovat prostřednictvím většího počtu kritérií hodnocení. Takovéto rozhodovací problémy pak mají charakter vícekriteriální, multikriteriální. Pro aplikaci metod vícekriteriálního hodnocení variant je nutné určení rozhodovatele, cíle rozhodování, variant a kritérií rozhodování. Cílem příspěvku je popsat vybrané metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich aplikace při výběru optimálního produktu penzijního připojištění. V aplikační části příspěvku bude cílem rozhodování chápán výběr optimálního produktu penzijního připojištění. Variantami rozhodování budou produkty penzijních fondů, provozujících připojištění na území ČR a kritérii průměrné zhodnocení příspěvků účastníků penzijního připojištění, tržní podíl penzijního fondu dle počtu účastníků, průměrný výsledek hospodaření fondu na jednoho účastníka, průměrná hodnota aktiv na jednoho účastníka, podíl dluhopisů v portfoliu penzijního fondu a hodnota základního kapitálu.

2 Popis metod vícekriteriálního hodnocení variant Předností metod vícekriteriálního hodnocení variant je především usnadnění práce rozhodovatele při řešení úloh uspořádání variant s použitím rozsáhlejšího souboru kritérií, možnost vymezení jednotlivých kroků řešení této úlohy při zachování určitého racionálního 1

Ing. Martina Borovcová, Ph.D., VŠB-TU Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra financí, Sokolská třída 33, 702 21 Ostrava, [email protected].



postupu, nutnost explicitního vyjádření chápání důležitosti jednotlivých kritérií hodnocení rozhodovatelem a zviditelnění celého postupu tohoto hodnocení. Protože významnost kritérií hodnocení není dána objektivně, ale závisí na hodnotové soustavě rozhodovatele, nespočívá význam metod vícekriteriálního hodnocení variant v naprosté objektivnosti jejich výsledků. Cílem aplikace úloh vícekriteriálního hodnocení variant je především nalezení nejlepší (optimální) varianty a uspořádání variant od nejlepší po nejhorší. Nejlepší varianta je zpravidla variantou kompromisní, kompromistním řešením. Ta je nejméně vzdálena od ideální varianty nebo nejdále vzdálena od bazální varianty, přičemž ideální variantou je ta, která má ve všech kritériích nejlepší možné hodnoty. Naopak, varianta s nejhoršími hodnotami kritérií je bazální variantou. Ideální i bazální varianta bývají obvykle hypotetické. Pokud by ideální varianta opravdu existovala, byla by zároveň optimální variantou. Tato situace však nenastává a proto jakékoli vybrané řešení je řešením kompromisním. Ve všech úlohách musí být kompromisní varianta nedominovaná. Mezi variantami rozhodování tedy neexistuje varianta, která jí dominuje. Úlohy vícekriteriálního rozhodování je možné dělit dle typu informací, které vyjadřují preference kritérií nebo variant, následovně: • nevyžadující informaci o důležitosti kritérií, • vyžadující aspirační úroveň kritérií, • vyžadující ordinální informace o kritériích, • vyžadující kardinální informace o kritériích. Metody nevyžadující informaci o důležitosti kritérií nejsou často používány. Patří mezi ně např. prostá bodovací metoda či prostá metoda pořadí. Pro řešení úlohy vícekriteriálního hodnocení je zpravidla nutné znát normalizovanou (upravenou) kriteriální matici hodnocení variant X, kde xij je hodnota j-tého kritéria pro i-tou variantu, a vektor vah v, kde vj je normalizovaná váha j-tého kritéria,

 x11   X =    x n1

xij

x1m    ,   x nm 

 v1      v = v j .     v n 

2.1 Kritéria a metody stanovení hodnot kritérií Pomocí kritérií jsou specifikovány varianty a je stanovena míra splnění cílů jednotlivými variantami. Stanovení kritérií je proces vyžadující určité znalosti dané oblasti. Kritéria, použitá k výběru nejvhodnější varianty, je možné dělit dle několika hledisek. Dle úrovně žádoucí hodnoty je možné rozlišit kritéria maximalizační (výnosy, zisk) a minimalizační (náklady, ztráta). Dle typu je možné kritéria dělit na kvalitativní a kvantitativní. Ta jsou vyjádřena v měrných jednotkách. Pro výpočty a porovnání je zpravidla žádoucí, aby zadané hodnoty kritérií yij byly normalizovány do jednotkového intervalu, tedy x ij ∈ [0;1] .

Obecně je možné tyto hodnoty kritérií získat z dílčích funkcí utility (hodnoty) jako

(1)


xij = u ( y ij ) .


(2)

Utilita kritéria, které nabývá nejhorších hodnot je rovna 0, nebo se blíží 0, a utilita kritéria s nejlepší hodnotou je rovna 1. K metodám, které mohou být použity pro stanovení hodnot kritérií, patří metoda váženého pořadí, metody založené na přímém (expertním) stanovení dílčích ohodnocení, metoda lineárních dílčích funkcí utility, metoda bazické varianty, metoda PATTERN. V aplikační části bude použita metoda bazické varianty. 2.2 Metody stanovení vah kritérií Stanovení vah kritérií hodnocení vyžaduje většina metod vícekriteriálního hodnocení variant. Váhy číselně vyjadřují význam těchto kritérií. Čím je kritérium pro rozhodovatele významnější, tím je jeho váha vyšší. Pro dosažení srovnatelnosti vah souboru kritérií stanovených různými metodami se tyto váhy zpravidla normují tak, aby jejich součet byl roven jedné. U některých metod stanovení vah jsou výsledkem již normované váhy, např. u Saatyho metody. Pokud jsou výsledkem nenormované váhy, normují se tak, že se stanoví součet vah všech kritérií v jejich souboru a váhy jednotlivých kritérií se dělí jejich součtem. K metodám využívaným ke stanovení vah kritérií patří metoda bodové stupnice, metoda alokace 100 bodů, metoda porovnání kritérií pomocí jejich preferenčního pořadí, metoda párového porovnání a Saatyho metoda. V kontextu příspěvku budou podrobněji popsány metod párového porovnání a Saatyho metoda. 2.2.1

Metoda párového porovnání

Základním principem metody párového porovnání je zjišťování preferenčních vztahů dvojic kritérií. Pro vyjádření preferencí se využívá tzv. Fullerův trojúhelník, proto je metoda někdy označována jako Fullerova metoda párového porovnání. V nejjednodušší modifikaci metody párového porovnání se pro každé kritérium zjišťuje počet jeho preferencí vzhledem ke všem ostatním kritériím souboru. V trojúhelníkové matici rozhodovatel u každé dvojice kritérií zjišťuje, zda preferuje kritérium uvedené v řádku před kritériem uvedeným ve sloupci. V případě preference označí hodnotu 1, v opačném případě 0. Pro každé kritérium je následně stanoven počet jeho preferencí ki, který je roven součtu jednotek v řádku uvažovaného kritéria zvětšenému o počet nul ve sloupci tohoto kritéria. Na základě počtu preferencí jednotlivých kritérií se jejich normované váhy stanoví podle vztahu vi =

ki

=

n

∑k j

j

ki . n ⋅ (n − 1) 2

(3)

Určitou nevýhodou stanovení vah kritérií v metodě párového porovnání je, že pokud počet preferencí určitého kritéria je nulový, bude i jeho váha rovna nule i když zdaleka nemusí jít o zcela bezvýznamné kritérium. 2.2.2

Saatyho metoda párového porovnání

Saatyho metodu stanovení vah kritérií lze rozdělit do dvou kroků. První krok je analogický metodě párového srovnávání, kdy se opět zjišťují preferenční vztahy dvojic kritérií a uvádějí se do tzv. Saatyho matice S, která je symetrická, s prvky sij. Na rozdíl od metody párového srovnávání se však kromě směru preference dvojic kritérií určuje také velikost této preference,



která je vyjádřena určitým počtem bodů ze zvolené bodové stupnice, přičemž Saaty doporučuje využít pro vyjádření velikosti preferencí bodové stupnice opatřené deskriptory, uvedené v Tab.č.1. Síla preferencí se vyjádří v intervalu si , j ∈ [1;9] . Výsledkem tohoto kroku je získání pravé horní trojúhelníkové části matice velikostí preferencí (Saatyho matice). Pro diagonální prvky pak platí, že si ,i = 1 a pro inverzní prvky (v levé dolní trojúhelníkové části matice) platí 1 si , j = . s j ,i

(4)

Prvky sij Saatyho matice jsou odhadem podílů vah kritérií vi a vj, takže platí

vi . vj Váhy se pak dají získat následujícím způsobem si , j ≅

2

 v  min F = ∑∑  s i , j − i  ,  v j  i j  n

n

n

∑v

za podmínky

(5)

i

(6)

= 1.

i

Z důvodu obtížnosti je možné získat váhy pomocí algoritmu založeného na geometrickém průměru. n

n

min F = ∑∑ [ln s

i, j

− (ln v

2

− ln v j

i

)] ,

(7)

i =1 j > i

za podmínky

n

∑v

i

= 1.

i

1

 n n ∏ s i , j  j  Řešením je vi =  , 1 n  n n s ∑i ∏j i, j    vycházející z geometrického průměru řádků. Počet bodů Deskriptor 1 Kritéria jsou stejně významná 3 První kritérium je slabě významnější než druhé 5 První kritérium je dosti významnější než druhé 7 První kritérium je prokazatelně významnější než druhé 9 První kritérium je absolutně významnější než druhé Tab.č.1: Saatym doporučená bodová stupnice s deskriptory

(8)



2.3 Aplikace metod při výběru optimálního produktu finanční instituce Pro ověření metod vícekriteriálního hodnocení je uvažována úloha výběru finančního produktu, konkrétně penzijního připojištění. 2.3.1

Stanovení variant a kritérií řešení úlohy

Variantami jsou uvažovány nabídky jednotlivých penzijních fondů, které provozují svou činnost na českém trhu s penzijním připojištěním. V1…AEGON Penzijní fond, V2…Allianz Penzijní fond, V3…AXA Penzijní fond, V4…ČSOB PF Progres, V5…ČSOB PF Stabilita, V6…Generali PF, V7…ING PF, V8…PF České pojišťovny, V9…PF České spořitelny, V10..PF Komerční banky. Kritéria výběru předpokládejme průměrné zhodnocení příspěvků účastníků penzijního připojištění (K1), tržní podíl penzijního fondu dle počtu účastníků (K2), průměrný výsledek hospodaření fondu na jednoho účastníka (K3), průměrnou hodnotu aktiv na jednoho účastníka (K4), podíl dluhopisů v portfoliu penzijního fondu (K5) a hodnotu základního kapitálu (K6). Varianta

K1 (v %)

K2 (v %)

K3 (v Kč)

4,00 1,04 V1 3,02 2,87 V2 2,30 13,05 V3 3,00 6,22 V4 9,51 2,71 V5 0,87 3,33 V6 2,57 10,52 V7 2,64 27,02 V8 2,86 17,46 V9 11,44 2,68 V10 Tab.č.2: Kriteriální matice hodnocení variant

2.3.2

K4 (v Kč)

-1 231 1 559 1 143 369 879 1 344 976 768 875 1 135

14 338 51 615 51 501 24 248 35 979 45 872 42 378 33 751 37 349 48 625

K5 (v %)

K6 (v tis. Kč)

78,6 98,1 76,2 80,7 78,6 86,4 79,3 86,9 61,1 82,9

Aplikace metody párového porovnání

Na základě preferencí budou pomocí Fullerova trojúhelníku určeny váhy kritérií. Obr.č. 1: Fullerův trojúhelník K1 K2

K1 K3 K2 K3

K1 K4 K2 K4 K3 K4

K1 K5 K2 K5 K3 K5 K4 K5

K1 K6 K2 K6 K3 K6 K4 K6 K5 K6

Dle výsledků párových porovnání budou stanoveny preference a váhy kritérií.

50 000 60 000 398 501 320 000 297 167 50 000 50 000 213 700 350 000 200 000

5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik VŠB-TU Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra Financí Kritérium K1 K2 K3 K4 K5 K6 Celkem Tab.č.3: Stanovení vah kritérií


Preference 5 1 4 2 1 2 15

Váha 0,333 0,067 0,267 0,133 0,067 0,133 1,000

Váhami kritérií budou přepočteny prvky normalizované matice. Normalizovaná kriteriální matice je uvedena v Tab.č.4. Varianta

K1

K2

K3

1,000 0,038 0 V1 0,755 0,106 1,000 V2 0,575 0,483 0,733 V3 0,750 0,230 0,237 V4 0,678 0,352 0,564 V5 0,833 0,032 0,862 V6 0,643 0,389 0,626 V7 0,660 1,000 0,493 V8 0,715 0,646 0,561 V9 0,670 0,423 0,728 V10 Tab.č.4: Normalizovaná kriteriální matice hodnocení variant

K4

K5

0,278 1,000 0,998 0,470 0,697 0,889 0,821 0,654 0,724 0,942

K6

0,801 1,000 0,777 0,823 0,801 0,881 0,808 0,886 0,623 0,845

0,125 0,151 1,000 0,803 0,746 0,125 0,125 0,536 0,878 0,502

Po dosazení vah do normalizované kriteriální matice je stanoveno pořadí variant a je vybrána nejlepší varianta. Varianta Váhy

K1

K2

K3

K4

0,333 0,067 0,267 0,133 0,333 0,003 0 0,037 V1 0,251 0,007 0,267 0,133 V2 0,191 0,032 0,196 0,133 V3 0,015 0,063 0,063 0,250 V4 0,024 0,151 0,093 0,226 V5 0,277 0,002 0,230 0,118 V6 0,214 0,026 0,167 0,109 V7 0,220 0,067 0,132 0,087 V8 0,043 0,150 0,096 0,238 V9 0,223 0,028 0,194 0,125 V10 Tab.č.5: Výsledky metody párového porovnání

K5

0,067 0,054 0,067 0,052 0,055 0,054 0,059 0,054 0,059 0,042 0,057

K6

0,133 0,017 0,020 0,133 0,107 0,099 0,017 0,017 0,071 0,117 0,067

Celkové hodnocení -

Pořadí -

0,444 0,745 0,737 0,553 0,647 0,703 0,587 0,636 0,686 0,694

10 1 2 9 6 3 8 7 5 4

Na základě aplikace metody párového porovnání je možné jako nejlepší produkt penzijního připojištění doporučit produkt Allianz Penzijního fondu. Druhým nejlepším se dle hodnocených kritérií jeví produkt AXA Penzijního fondu a třetím nejlepším je penzijní připojištění nabízené Generali PF. 2.3.3

Aplikace Saatyho metody

Uplatněním Saatyho metody pro stanovení vah kritérií je vytvořena Tab.č.6. Velikost preference je vyjádřena přiřazením určitého počtu bodů z bodové stupnice opatřené deskriptory, uvedené v Tab.č.1. Pokud je kritérium uvedené v řádku významnější než kritérium uvedené ve sloupci, zapíše se do příslušného políčka počet bodů, kterým hodnotitel



vyjadřuje velikost preference kritéria v řádku vzhledem ke kritériu ve sloupci. Pokud je naopak kritérium ve sloupci významnější než kritérium v řádku, zapíše se do příslušného políčka převrácená hodnota zvoleného počtu bodů. Kritérium K1 K2 K3 K4 K5 K6

K1

K2

K3

K4

K5

K6

7

5 1/3

7 1/3 3

5 3 3 1/3

5 1/3 3 3 1/5

Geometrický průměr řádků

4,28 0,50 1,59 0,72 0,49 0,83

Tab.č.6: Preference dvojic kritérií v Saatyho metodě

Pomocí Tab.č.6 s využitím vztahu (4) stanovíme Saatyho matici. Prvky na diagonále této matice jsou jedničky, prvky nad diagonálou jsou obsaženy v Tab.č.6. Prvky pod diagonálou získáme jako převrácené hodnoty odpovídajících prvků nad diagonálou. Saatyho matice má tvar 7  1 1 / 7 1  1 / 5 3 S = 1 / 7 3 1 / 5 1 / 3  1 / 5 3

5 1/ 3 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3

7

5

5  1 / 3 3 1 / 3 3 3 3  , 1 1/ 3 3  3 1 1 / 5  1/ 3 5 1 

Jestliže nyní tyto řádkové geometrické průměry znormujeme, dostaneme normované váhy souboru kritérií. Tyto váhy jsou pro srovnání uvedeny společně s vahami stanovenými metodou párového porovnání. Kritérium K1 K2 K3 K4 K5 K6 Tab.č.7: Váhy souboru kritérií

Váhy kritérií dle metody párového porovnání Saatyho 0,333 0,510 0,067 0,059 0,267 0,189 0,133 0,086 0,067 0,058 0,133 0,099

Po dosazení vah do normalizované kriteriální matice je stanoveno pořadí variant a je vybrána nejlepší varianta. Varianta Váhy

V1 V2 V3 V4 V5 V6

K1

0,510 0,510 0,385 0,293 0,383 0,346 0,425

K2

0,059 0,002 0,006 0,028 0,014 0,021 0,002

K3

0,189 0 0,189 0,139 0,045 0,107 0,163

K4

0,086 0,024 0,086 0,086 0,040 0,060 0,076

K5

0,058 0,046 0,058 0,045 0,048 0,046 0,051

K6

0,099 0,012 0,015 0,099 0,079 0,074 0,012

Celkové hodnocení -

Pořadí -

0,594 0,739 0,690 0,609 0,654 0,729

10 1 4 8 6 2

5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik VŠB-TU Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra Financí 0,328 0,023 V7 0,337 0,059 V8 0,365 0,038 V9 0,342 0,025 V10 Tab.č.8: Výsledky Saatyho metody

0,118 0,093 0,106 0,138

0,071 0,056 0,062 0,081

0,047 0,051 0,036 0,049

Ostrava 8. - 9. září 2010 0,012 0,053 0,087 0,050

0,599 0,649 0,694 0,685

9 7 3 5

Aplikací metody párového porovnání a Saatyho metody byly zjištěny váhy kritérií použité při výběru produktu finanční instituce, konkrétně, při výběru vhodného produktu penzijního připojištění. Na základě výsledků rozhodovací úlohy bylo dosaženo stejného výsledku pořadí nejlepšího a nejhoršího produktu. V pořadí ostatních produktů došlo v důsledku využití různých metod k mírným rozdílům.

3 Závěr Z výsledků aplikace obou metod stanovení vah souboru kritérií vyplývá, že při uplatnění Saatyho metody dochází k výraznější diferenciaci vah kritérií než u metody párového porovnání. To znamená, že váhy významnějších kritérií jsou vyšší a váhy méně důležitých kritérií jsou nižší než váhy stejných kritérií stanovených metodou párového porovnání. Příčinu je možné vidět v interpretaci bodové stupnice, uvedené v Tab.č.1, při posuzování intenzit preference jednotlivých dvojic kritérií.

Literatura [1] APF ČR: Vybrané ekonomické ukazatele. Dostupné na: http://www.apfcr.cz/cs/vybraneekonomicke-ukazatele/, 2010. [2] FOTR, P., DĚDINA, J., HRŮZOVÁ, H.: Manažerské rozhodování. EKOPRESS, Praha, 2000. [3] FIALA, P., JABLONSKÝ, J., MAŇAS, M.: Vícekriteriální rozhodování. VŠE, Praha, 1997. [4] RAMÍK, J.: Vícekriteriální rozhodování – analytický hierarchický process (AHP). Slezská univerzita v Opavě, Karviná, 1999. [5] ZMEŠKAL, Z.: Finanční modely. EKOPRESS, Praha, 2004.

Summary The Methods of Multiple Attribute Decision Making and their Using for Choice of Optimal Product of the Financial Institutions The selected methods of multiple atribute decision making, their classification and the solving procedure are described in this paper. The paired comparison method and Saaty´s method are desribed in detail. These methods are applied for choice of optimal product of the financial institutions, specifically supplementary pension insurance. The choice of the optimal product is made on the base of the utility function with the use of the basis variant method and described methods for determination of criteria weights.

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce

Recommend Documents