METODE ESTIMASI SEEMINGLY UNRELATED REGRESSION PADA MODEL VECTOR AUTOREGRESSIVE - GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE SEEMINGLY UNRELATED REGRESSION ESTIMASTION METHOD ON VECTOR AUTOREGRESSIVE - GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE MODEL
Fachrul Nawawi, Dr. Erna Tri Herdiani, M. Si, Dr. Nurtiti Sunusi, M. Si Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin
Alamat Korespondensi: Fachrul Nawawi Jurusan Matematika Fakultas Matematika Universitas Hasanuddin Makassar, 90245 HP: 085299224030 Email:
[email protected]
Abstrak Parameter model Vector Autoregressive - Generalized Space Time Autoregressive (VAR-GSTAR) telah diestimasi sebelumnya dengan metode Ordinary Least Square (OLS) yang harus memenuhi asumsi linearitas, eksogenitas ketat, tidak terdapat multikolinearitas dan tidak terdapat heterokedastisitas atau korelasi serial. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji pendekatan dan sifat-sifat metode estimasi Seemingly Unrelated Regression (SUR) pada model VAR-GSTAR yang menyalahi salah satu asumsi regresi yaitu terdapat korelasi serial dan memeriksa sifat-sifat asimtotis estimator SUR. Metode estimasi SUR memanfaatkan adanya informasi korelasi error pada model VAR-GSTAR. Korelasi error pada model ini biasa dikenal dengan istilah adanya autokorelasi pada model. Korelasi error ini digunakan pada proses estimasi parameter untuk meningkatkan efisiensi estimasi. Estimator SUR diperoleh dengan meminimumkan galat dan mencari turunan parsial pertama dari fungsi galat terhadap parameter yang akan diestimasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa estimasi SUR pada model VAR-GSTAR memenuhi sifat penaksir yang baik yaitu Best (efisien), Linear (linier) dan Unbiassed (tidak bias). Kata kunci: VAR-GSTAR, Ordinary Least Square, Korelasi, Seemingly Unrelated Regression, BLUE
Abstract Parameters of Vector Autoregressive - Generalized Space Time Autoregressive (VAR-GSTAR) has been estimated before using Ordinary Least Square (OLS) method which must satisfy linearity, strict exogeneity, there is no multicollinearity and no heterokedastisitas or serial correlation assumptions.This study aims to assess the approach of Seemingly Unrelated Regression (SUR) estimation method on VARGSTAR model that violates one of the regression assumptions that is there is serial correlation and examine the asymptotic properties of the SUR estimator. SUR estimation method utilizing the information of error correlation in VAR-GSTAR model. This error correlation within the model commonly known by the term of existence of autocorrelation in the model. This error correlation is used in the parameter estimation process to improve the efficiency of estimation. SUR estimator obtained by minimize the error and calculate the first partial derivatives of the error function of parameters to be estimated. Study result shows that SUR estimation on VAR-GSTAR model is satisfy properties of the good estimator that is Best (efficient), Linear and Unbiassed. Keywords: VAR-GSTAR, Ordinary Least Square, Correlation, Seemingly Unrelated Regression, BLUE
PENDAHULUAN Peramalan merupakan suatu ilmu untuk memprediksi kejadian dimasa yang akan datang dimana dapat dilakukan dengan menggunakan data lampau kedalam suatu model matematis untuk meramalkan data kedepan. Data yang sering digunakan dalam peramalan adalah data time series yaitu suatu data yang memiliki dependensi terhadap waktu dimana diambil dalam kurun waktu tertentu dalam interval waktu yang sama. Lebih jauh, tidak hanya diperhitungkan dependensi lokasi dalam data yang digunakan pada peramalan, namun juga diperhitungkan pengaruh dari lokasi atau dalam hal ini dikenal sebagai data space time, yaitu data time series yang diukur terhadap beberapa lokasi pengamatan, sehingga selain memiliki dependensi terhadap waktu, data space time juga memiliki dependensi terhadap ruang (space). Hannan memperluas time series skalar (univariat) menjadi vektor time series (multivariate) (Hannan, 1970). Vector Autoregressive (VAR) merupakan perluasan vektor dari model autoregressive skalar. Time series
dikatakan mengikuti model
VAR(p) jika memenuhi = dimana
+
+⋯+
adalah vektor dimensi-k dan
+
adalah vektor acak yang tidak berkorelasi
serial dengan rata-rata 0 dan matriks kovarian x . Misalkan
=
−
, > 0
,
merupakan matriks berukuran
yang merupakan time series dengan rata-rata terkoreksi,
maka model VAR dapat dituliskan sebagai =
+ ⋯+
+
Bentuk khusus dari model VAR yang menggabungkan interdependensi waktu dan lokasi dikenal dengan model Space-Time Autoregressive (STAR), diperkenalkan oleh Pfeifer dan Deutsch pada tahun 1980 (Pfeifer dan Deutsch, 1980a). Model STAR yang lebih fleksibel dengan membolehkan bobot lokasi untuk bervariasi dikenal sebagai model Generalized Space-Time Autoregressive (GSTAR) yang diperkenalkan oleh Ruchjana pada tahun 2002 (Ruchjana, 2002). Bentuk umum model STAR maupun model GSTAR (Nurhayati, dkk., 2012) dapat dituliskan sebagai berikut =
( )
+
dengan
merupakan orde autoregressive,
autoregressive ke− ,
()
=
()
merupakan orde spasial pada orde
adalah matriks bobot spasial
x
untuk orde
spasial dengan elemen diagonal bernilai nol dan jumlah dari elemen tiap baris adalah satu. Matriks x
( )
didefinisikan sebagai matriks identitas . Matriks
merupakan matriks parameter dari lag temporal
elemen-elemen diagonal adalah ( waktu
( )
,…,
( )
).
dan lag spasial
berukuran dengan
merupakan vektor error terhadap
yang diasumsikan bebas dan normal dengan rata-rata nol dan variansi yang
konstan. Dhoriva dan Suhartono (2010) dalam penelitiannya mengkaji pendekatan baru pada model Vector Autoregressive-Generalized Space-Time Autoregressive (VARGSTAR) yaitu model VAR dengan skema respon prediktor yang direpresentasikan dalam skema pada model GSTAR. Dalam penelitiannya parameter diestimasi dengan menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS) dimana diperoleh bahwa asumsi white noise belum terpenuhi. Oleh karena itu Dhoriva dan Suhartono (2010) mengusulkan pendekatan metode estimasi Seemingly Unrelated Regression untuk mengestimasi parameter model VAR-GSTAR. Beberapa penelitian menunjukkan bahwa metode estimasi SUR lebih baik daripada metode estimasi OLS, diantaranya Ciaran (2010) mengemukakan bahwa salah satu kelebihan metode SUR adalah standar error estimasi direduksi sehingga merupakan estimator koefisien yang lebih efisien, Cadaves dan Henningsen (2011) menyimpulkan bahwa estimator SUR memberikan standar error yang paling kecil dengan ketelitian estimasi yang lebih tinggi daripada estimasi OLS. Ebukuyo, dkk., (2013) dalam penelitiannya menunjukkan bahwa standar error estimator SUR konsisten lebih kecil daripada estimator OLS ketika model diestimasi dengan koefisien AR(1) yang bervariasi. Olamide dan Adepoju (2013) memperoleh bahwa pada semua kasus yang diteliti, estimator SUR adalah yang terbaik dan secara konsisten paling efisien dibadingkan dengan OLS. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji pendekatan metode estimasi SUR untuk mengestimasi parameter model VAR-GSTAR untuk melihat apakah pendekatan metode
estimasi SUR dapat meningkatkan efisiensi
estimasi parameter pada model VAR-GSTAR
METODE PENELITIAN Lokasi dan Rancangan Penelitian Penelitian ini merupakan kajian teoritis. Kajian teoritis dilakukan pada estimasi parameter terhadap model Vector Autoregressive-Generalized Space - Time Autoregressive (VAR-GSTAR) dengan menggunakan metode Seemingly Unrelated Regression (SUR). Analisis Data Penelitian dilakukan dengan pertama-tama mentransformasi model agar memenuhi asumsi regresi klasik. Setelah asumsi regresi klasik dipenuhi selanjutnya dibangun estimator SUR untuk model VAR-GSTAR dimana dilakukan dengan meminimumkan galat dengan mencari turunan parsial pertama. Setelah itu sifat-sifat estimator SUR pada model VAR-GSTAR selanjutnya diselidiki untuk melihat apakah estimator SUR merupakan estimator yang baik untuk menaksir parameter model VARGSTAR yaitu estimator yang bersifat linear, tak bias dan efisien (Wooldridge, 2013). HASIL PENELITIAN Estimator SUR untuk menaksir parameter pada model VAR-GSTAR diperoleh dengan meminimumkan galat sehingga diperoleh =(
)
′
,
dimana vektor gangguan (disturbances) diasumsikan sebagai berikut: ⎡ = ⎢⎢ ⎢ ⎣
( ( (
, ) , ) ⋮ , )
( (
(
, ) , ) ⋮ , )
… … ⋱ …
( (
, ,
) )
(
⋮ ,
)
⎤ ⎥ = ⨂ ⎥ ⎥ ⎦
,
dengan inversnya diberikan oleh ⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎣
⋮
⋮
⋯ … ⋱ …
⋮
⎤ ⎥ ⎥= ⎥ ⎦
⨂
,
sehingga estimator SUR untuk model VAR-GSTAR dapat dituliskan sebagai berikut =( = ( ′( ⨂ )
)
′ )
, ′( ⨂ )
⎡ =⎢ ⎢ ⎣
⋮
⋯ … ⋱ …
⋮
Variansi dari estimasi parameter
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⋮
()
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
()
⋮ ()
⎤ ⎥ ⎥ ⎥∎ ⎥ ⎥ ⎦
dengan menggunakan metode SUR pada diberikan
sebagai berikut =
−
−
( ′
′ =
) .
Ketika matriks varian kovarian tidak diketahui maka vektor gangguan pada estimator SUR harus diestimasi terlebih dahulu. Vektor gangguan (disturbances) untuk matriks varian kovarian yang tidak diketahui diasumsikan sebagai berikut: ⎡ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1 − 1 − 1 −
(
,
)
(
,
)
1 − 1 −
⋮ (
,
,
)
(
,
)
1 − … 1 … ⋱ − … 1 −
⋮
1 −
)
(
(
)
,
(
,
)
(
,
)
,
)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ = ⨂ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⋮ (
,
dengan inversnya diberikan oleh ⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎣
⋮
⋯ … ⋱ …
⋮
⋮
⎤ ⎥ ⎥= ⎥ ⎦
⨂
.
Sehingga estimator SUR ketika matriks varian kovarian tidak diketahui akan diberikan oleh =( =
⎡ =⎢ ⎢ ⎣
⋮
)
′( ⨂
⋮
′
)
⋯ … ⋱ …
,
′( ⨂
⋮
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
)
, ()
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
()
⋮ ()
Variansi dari estimator SUR yang telah diperoleh diberikan sebagai berikut: =
−
−
′ =
′
⎤ ⎥ ⎥ ⎥∎ ⎥ ⎥ ⎦
Selanjutnya dilakukan pemeriksaan terhadap estimator SUR pada model VAR-GSTAR baik untuk kasus dimana matriks varian kovarian diketahui maupun ketika matriks varian kovarian tidak diketahui. Sifat pertama adalah linear, dimana estimator SUR merupakan estimator yang linear yaitu dengan =( ′ dimana
)
merupakan fungsi linear dari . Sifat kedua yaitu tidak bias dimana = [( ′
)
= [( ′
)
= [( ′
)
], (
+ )], +( ′
)
],
= .
Sifat ketiga yaitu efisien dimana estimator SUR merupakan estimator yang efisien karena memiliki variansi yang paling kecil yang mana ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa estimator SUR merupakan estimator dengan variansi yang paling kecil diantara estimator linear tak bias lainnya. Misalkan terdapat estimator linear tak bias lainnya selain
∗
, misalkan
, maka akan ditunjukkan bahwa
Var dengan estimator linear tak bias ∗ ∗
Variansi dari estimator Var
∗
∗
≤ Var
∗
,
diberikan oleh
= [( ′
)
+ ] ,
diberikan sebagai berikut
=
∗
−
∗
−
′
=
∗
−
∗
−
′ ,
= [{[( ′ =
[( ′
karena Var
+ ] }{[( ′
)
= [( ′ =
)
)
(
)
)
+ ] }′],
+ ]
′[( ′
)
+ ]′
+ ] [
′][( ′
)
+ ]
[
+
(
=
( ′
)
[
( ′
) ] +
) ] +
(
dan dapat dituliskan ( ′
)
sehingga Var
)
∗
= Var
+
+
=
+
menunjukkan bahwa Var
≤ Var
∗
atau dengan kata lain estimator SUR
merupakan estimator linear tak bias dengan variansi yang paling minimum sehingga estimator SUR merupakan estimator yang efisien. Sifat-sifat yang sama berlaku untuk kasus matriks varian kovarian yang diketahui, dimana vektor gangguan pada kasus matriks varian kovarian diestimasi terlebih dahulu. PEMBAHASAN Penelitian ini menghasilkan rumusan estimator untuk mengestimasi parameter dari model VAR-GSTAR, dimana diperoleh dengan meminimumkan galat dari model yang diperoleh sebagai hasil dari turunan parsial pertama dari fungsi galat terhadap parameter yang diestimasi. Estimator SUR untuk menaksir parameter model VARGSTAR terdiri atas dua rumusan umum, dimana pertama merupakan estimator SUR ketika matriks varian kovarian diketahui dan yang kedua merupakan estimator SUR ketika matriks varian kovarian tidak diketahui. Estimator SUR ketika matriks varian kovarian diketahui jarang ditemukan dalam praktiknya karena pada penelitian sering diambil sampel untuk mewakili populasi. Oleh karena itu matriks varian kovarian harus diestimasi berdasarkan sampel yang ada dan mengarahkan untuk menggunakan estimator SUR ketika matriks varian kovarian tidak diketahui. Estimator SUR ketika matriks varian kovarian tidak diketahui pada dasarnya sama dengan estimator SUR ketika matriks varian kovarian tidak diketahui, perbedaannya hanya terletak pada matriks varian kovarian yang harus diestimasi terlebih dahulu berdasarkan sampel yang ada sebelum melakukan proses estimasi. Hasil pemeriksaan sifat-sifat estimator SUR untuk penaksiran parameter model VAR-GSTAR ditemukan bahwa estimator memenuhi sifat linier, yaitu estimator yang diperoleh merupakan fungsi linier dari variabel responnya, memenuhi sifat tak bias, yaitu nilai ekspektasi atau harapan estimator yang diperoleh sama dengan nilai parameter yang akan diestimasi dan memenuhi sifat efisien, yaitu estimator yang diperoleh memiliki variansi yang paling minimum, ketika terdapat estimator linear tak bias lainnya selain estimator SUR.
KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa estimator SUR untuk menaksir parameter model VAR-GSTAR memenuhi sifat-sifat estimator yang baik yaitu memenuhi sifat linier, tak bias dan memiliki variansi paling minimum (efisien). Hasil penelitian ini masih dapat dikembangkan lagi antara lain pada sifat distribusi asimtotis estimator SUR, baik pada sampel kecil maupun sampel besar, ataupun mencoba pendekatan metode estimasi yang berbeda, sehingga dapat menjadi peluang penelitian kedepan. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis menyampaikan terimakasih kepada Komisi Penasehat Dr. Erna Tri Herdiani, M. Si dan Dr. Nurtiti Sunusi, M. Si yang telah memberikan pengarahan dan petunjuk dalam menyelesaikan jurnal ilmiah ini, serta kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan dan fasilitas dalam penulisan jurnal ilmiah ini.
DAFTAR PUSTAKA Cadaves, V. A. P, and Henningsen, Arne. (2011). The Use of Seemingly Unrelated Regression (SUR) to Predict the Carcass Composition of Lambs. FOI Working Paper 2011/12. 1-12. Ciaran, M. B. (2010). Resourcing Small and Medium Sized Enterprises: A Financial Growth Life Cycle Approach. Springer: New York. Dhoriva, U. W. dan Suhartono. (2010). Peramalan Deret Waktu Multivariate Seasonal pada Data Pariwisata Dengan Model VAR-GSTAR. Jurnal Ilmu Dasar. 11: 933-949. Ebukuyo, O. B., Adepoju, A. A., dan Olamide, E. I. (2013). Bootstrap Approach for Estimating Seemingly Unrelated Regressions with Varying Degrees of Autocorrelated Disturbances. Applied Mathematics. 5: 55-63. Hannan, E. J. (1970). Multiple Time Series. John Wiley and Sons, Inc. New York. Nurhayati, N., Pasaribu, U. S., dan Neswan, O. (2012). Application of Generalized Space-Time Autoregressive Model on GDP Data in West European Countries. Journal of Probability and Statistics. 01-16. Olamide, E. I and Adepoju, A. A. (2013). Estimating Seemingly Unrelated Regressions with First Order Autoregressive Disturbances. Studies in Mathematical Sciences. 6: 40-57. Pfeifer, P. E. and Deutsch, S. T. (1980a). A three stage iterative procedure for spacetime modeling.Technometrics. 22: 35–47. Ruchjana B. N. (2002). Pemodelan Kurva Produksi Minyak Bumi menggunakan Model Generalisasi S-TAR. Forum Statistika dan Komputasi. 01-06. Wooldridge, J, M. (2013). Introductory Econometrics: A Modern Approach. USA: South-Western Cengage Learning.
