J. Sains Tek., Desember 2005, Vol. 11, No. 3
MENENTUKAN NILAI PREMI TUNGGAL AKTUARIA (ACTUARIAL PRESENT VALUE) PADA KASUS MULTI-STATE UNTUK DATA CCRC Rudi Ruswandi Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Jl. S. Brojonegoro No.1, Bandar Lampung 35145 Email:
[email protected] Diterima 19 September 2005, perbaikan 30 November 2005, disetujui untuk diterbitkan 6 Desember 2005
ABSTRACT This paper presents models that assume that, at any time, a resident is in a given state, which is determined by the individual’s care retirements. The resident may make transition between state at various times, and randomness is associated with both the transition times and the state entered. Continuing Care Retirement Communities (CCRC) offer a variety of services like housing and health-care, including long-term care. The appropriate models are required to describe the status of individual CCRC residents to carry out actuarial present value. Keywords: CCRC residents, Transition probability, Actuarial present value.
1. PENDAHULUAN Perawatan berkesinambungan bagi suatu komunitas penduduk pada umumnya menawarkan paket perawatan yang meliputi pengadaan perumahan, pemeliharaan rumah, perawatan sakit dan jenis perawatan lainnya. Actuarial Standard of Practice (ASOP) no.3 dalam Actuarial Standard Board medefinisikan CCRC sebagai suatu paket jasa yang menawarkan fasilitas tempat tinggal bagi pensiunan yang meliputi perumahan, tempat aktifitas sosial dan pelayanan perawatan kesehatan. Jika suatu jenis pelayanan perawatan dianggap sebagai suatu tempat bagi perawatan dengan kondisi tertentu, yang selanjutnya diistilahkan dengan states, kita kemudian dapat menganggap bahwa layanan dalam CCRC dapat terdiri dari banyak states (multi states), paling tidak lebih dari dua states. Berdasarkan hal itu dapat dikatakan bahwa CCRC merupakan bagian dari multi-states stokastik. Perpindahan atau transisi dari satu states yang satu ke states lainnya dapat diartikan sebagai membaiknya atau memburuknya kondisi kesehatan seseorang yang memerlukan jenis perawatan yang berbeda dengan perawatan yang dijalaninya sekarang. Perpindahan ini dapat terjadi setiap saat atau dalam sembarang waktu. Keacakan terjadi pada waktu transisi dan state yang dimasuki pada waktu kemudian, sehingga model ini dicirikan oleh state yang ditempati dan transisi yang mungkin terjadi dengan asumsi time homogeneous Markov1.
2005 FMIPA Universitas Lampung
Karena yang ditawarkan lebih dari satu jenis layanan perawatan, permasalahan yang kemudian timbul adalah bagaimana menentukan nilai tunai sekarang atau Actuarial Present Value (APV) yang layak bagi perusahaan asuransi, yang selain dapat menutup klaim yang terjadi sekaligus juga dapat membiayai pemeliharaan dan pengadaan fasilitas pelayanan perawatan yang diperlukan2. Kajian ini bertujuan untuk mendapatkan nilai tunai aktuaria atau premi tunggal bersih bila state yang ditempati oleh komunitas penduduk pensiunan (CCRC) lebih dari dua state. Pemodelan multi-state pada data CCRC mengasumsikan bahwa pada sembarang waktu seorang penduduk CCRC berada pada salah satu state dan pada suatu waktu kemudian pindah ke state lainnya. Perpindahan antar state ini yang dapat terjadi setiap saat dapat dipandang sebagai kasus multi-states stokastik3. Untuk menentukan nilai Actuarial Present Value (APV) yang sangat bergantung pada himpunan states yang mungkin akan ditempati pada waktu yang akan datang diperlukan pernyataan tentang nilai peluang pada suatu states yang akan ditempati. 1.1. Laju Transisi Jika S(t) menyatakan state yang ditempati pada waktu t, maka suatu proses Markov dengan himpunan statenya diskrit dengan waktu yang kontinu akan mempunyai suatu himpunan fungsi
177
Rudi Ruswandi…Menentukan Nilai Premi Tunggal Aktuaria
peluang transisi rantai Markov1 dituliskan; Pij(t) = P{S(t+u) = j| S(u) = i}
yang
jika (1)
Jika nilai-nilai peluang tersebut mengabaikan waktu u, atau waktunya homogen fungsi tersebut haruslah memenuhi 0 ≤ pij ≤ 1, dan Pik =
∑
Pij ( v ) P jk ( t − v )
,(t
> v)
(2)
j
yang disebut persamaan Chapman-Kolmogorov untuk proses Markov dengan waktu homogen. Untuk tingkat transisi dengan selang waktu yang sangat pendek atau asumsi ∆t 0, maka Pij(∆t) = qij∆t + o(∆t) ;(i≠j) dan Pii(∆t) = 1 + qii∆t + o(∆t) ;(i = j)
(3)
Persamaan di atas dapat juga ditulis: q ij q ii
li m d = Pij ( 0 ) = ∆t → 0 dt li m d = Pii ( 0 ) = ∆t → 0 dt
Pij ( t )
(4)
∆t P ii ( t ) ∆t
(5)
Jika diketahui state i ditempati pada waktu t dan andaikan suatu state lainnya akan ditempati pada waktu t + ∆t maka (6) q + q = 0 ii
∑
i≠ j
ij
1.2 Model Multistate dengan Waktu Homogen Andaikan S = {S(t),t ≥ 0} merupakan proses stokastik. Dalam terapan aktuaria S(t) sering dinyatakan sebagai states yang ditempati pada waktu t oleh seorang individu, atau sekelompok individu atau bisa juga menyatakan kontrak suatu polis asuransi. Pada kasus tertentu t biasanya mengukur waktu terjadinya suatu kejadian seperti, kelahiran atau terjualnya polis asuransi. Himpunan kejadian yang mungkin terjadi, dalam hal ini banyaknya states yang ditawarkan, S, disebut ruang states dan diasumsikan terhingga4. Karena S(t) terdiri dari banyak state maka akan terdapat jalur-jalur atau lintasan transisi yang menggambarkan perpindahan antar state. Sejalan dengan banyaknya state, demikian juga akan terdapat banyak nilai laju transisi dalam suatu ruang states. Untuk mendapatkan nilai peluang transisi, secara teori dapat ditentukan dari bersaran laju transisinya. Tetapi pada praktiknya cara seperti ini sangat sulit untuk mendapatkan nilai-nilai peluang transisi untuk proses multistate yang umum. Untuk menyederhanakan permasalahan diperlukan suatu
178
asumsi yang dapat secara relatif memudahkan penyelesaian masalah. Model Markov dengan waktu homogen mengasumsikan bahwa model mempunyai laju transisi yang konstan. Artinya tingkat percepatan perpindahan penduduk antarstate hanya bergantung pada selang waktu yang diamati, tidak kepada kapan suatu kejadian terjadi2. Untuk mendapatkan fungsi peluang (laju) transisi dengan waktu kontinu (continuous parameter Markov chain) biasanya diselesaikan melalui system persamaan diferensial untuk fungsi peluang transisi. Untuk kasus rantai Markov nonhomogeneous {N(t), t ≥0} persamaan diferensialnya diperoleh dari fungsi peluang transisi berikut1: Pi,k(t,u) = P[S(u) = k | S(t) = j] (7) Diasumsikan untuk setiap state j terdapat fungsi kontinu non-negatif qjj(t) yang didefinisikan oleh limit; (8) lim 1 q
jj
(t ) =
h → 0 h
{1 − P jj ( t , t + h )}
yang merupakan laju transisi dari state j ke state j pada waktu t, dan untuk setiap pasangan states j dan k, (j ≠ k,) terdapat fungsi non negatif, lim 1 (9) q ij ( t ) =
h → 0h
{1 − Pij ( t , t + h )}
yang merupakan laju transisi dari state k ke state j pada waktu t. Kedua fungsi di atas dapat ditafsirkan sebagai peluang transisi pada selang dengan panjang waktu h secara asimtotik proporsional terhadap h. Peluang transisi {1 – pjj(t + h)} dari state j ke state lainnya selama selang waktu (t, t + h) adalah sama dengan h.qjj(t) ditambah suatu sisa, yang bila dibagi h cenderung akan menuju 0, atau h 0. Peluang transisi Pjk(t, t+ h) dari state j ke state k selama selang waktu (t, t + h) adalah hqjk(t) ditambah suatu sisa yang jika dibagi h juga akan menuju 0, atau h 0. Fungsi intensitas qjj(t) dan qjk(t) disebut homogeneous jika tidak bergantung pada t, atau; qjj(t) = qjj dan qjk(t) = qjk (10) jika (10) dituliskan dalam bentuk matriks, misal Q(t), dengan entrinya qjk(t) jika j ≠ k dan –qjj(t) jika j = k, atau;
− q1 q12 ... q1n q 21 − q 2 ... q 2n Q(t ) = ... ... qn1 qn 2 ... − qn
(11)
2005 FMIPA Universitas Lampung
J. Sains Tek., Desember 2005, Vol. 11, No. 3
Andaikan state awal yang ditempati adalah i, atau S(0) = i, maka Pij(t) = P{S(t) = j |S(0)=i} (12)
menyatakan peluang transisi dari state h ke state i, dengan ahk adalah elemen matriks A dan cki menyatakan elemen matriks C = A-1
Persamaan forward diperoleh dengan argumen bahwa persamaan di atas digunakan secara berurutan terus menerus, sehingga untuk ∆t > 0,
2. METODE PENELITIAN
P ' ik (t ) = ∑ Pij (t )q jk j
Jika ditulis secara matriks: P’(t)=P(t)Q
(14)
dengan pij(t) menyatakan elemen ke (i,j) dan kondisi awal P(0) = i. Persamaan backward untuk Matriks Q dengan waktu konstan adalah: P{S(t) = j|S(-∆t) = i} = P{S(t+∆t)=j|S(0)=i) akan menjadi:
P' ik (t ) = ∑ q ik Pkj (t )
(15)
k
analog dengan (14), maka; P’(t) = QP(t)
(16)
Jika Q tidak konstan, yaitu masih tergantung pada fungsi t maka qij menjadi qij(t) dan Q menjadi Q(t). dari sini dapat diperoleh matriks P(t,u) untuk u > t dengan elemen-elemennya; P{S(u) = j |S(t) = i}, dalam bentuk matriks dapat dituliskan P(t,u) = P(u-t) (17) Persamaan forward menjadi ∂P (t , u ) = Q (t ) P (t , u ) ∂t dan persamaan backward menjadi ∂ P (t , u ) (19) = Q (t ) P(t , u ) − ∂t
(18)
Persamaan (18) dan (19) disebut persamaan diferensial Kolmogorov1. Dengan kondisi awal P(0) = I. Penyelesaian untuk (14) dan (16) adalah P(t) = exp Q(t) (20)
=
∞
∑Qr
r =0
tr r!
(21)
Jika Q mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda dan dinotasikan D = diag (d1, d2 …, dn) dan A menyatakan matriks eigen, maka Q = ADA-1 (22) Sehingga (20) menjadi P(t) = A diag(ed1t, ed2t, …, ednt) A-1 dan
Phi (t ) =
n
∑ ahk cki e
dks
2.1. Menentukan APV
(13)
(23) (24)
Perhitungan nilai sekarang (present value) atau premi tunggal suatu jenis asuransi yang biasa dilakukan dapat dianggap sebagai transisi yang hanya melibatkan dua buah state, misalnya pada asuransi seumur hidup, asuransi berjangka atau menentukan besarnya dana pensiun dengan decrement tertentu yang dibayarkan segera. Untuk menghitung anuitas hidup pembayaran benefit dan premi tunggal untuk asuransi seumur hidup dihitung dengan cara seperti berikut: Jika benefit yang dibayarkan sebesar bt = 1, untuk t ≥ 0, dan faktor diskonto VT = VT, untuk t ≥ 0, maka peubah acak Z = VT untuk t ≥ 0, sehingga premi tunggal bersihnya (Net Single Premium)5 adalah: ∞
E ( Z ) = E (V T ) = ∫ v t f (t )dt 0
(25)
∞
= ∫ e δt tPx µ x +t dt 0
Untuk menentukan nilai premi tunggal bagi data penduduk CCRC yang melibatkan lebih dari dua state, timbul masalah dalam menentukan fungsi padat peluang (probability density function) yang dapat meliput semua anggota ruang state yang ditawarkan. Dengan memanfaatkan matriks peluang transisi sebagai peluang sisa hidup (survival function) yang dapat diturunkan dari matriks laju transisi melalui proses Markov (dalam kajian ini dengan asumsi waktu homogen), penghitungan nilai premi tunggal secara simultan yang melibatkan semua state yang ditawarkan dapat ditentukan. Andaikan Zh menyatakan rangkaian pembayaran premi dengan laju bunga (force of intersest) δ, dengan besarnya manfaat (benefit) bi yang dibayarkan per tahun secara kontinu bila seorang penduduk pada saat awal berada di state h, dan pada waktu t akan berada di state i untuk i = 1,2,3. Sedangkan manfaat sebesar bij akan dibayarkan bila terjadi transisi dari state i ke state j untuk i = 1,2,3 dan j = 1,2,3,46. Untuk menghitung nilai tunai sekarang (Actuarial Present Value) nilai peluangnya dinyatakan oleh
k =1
2005 FMIPA Universitas Lampung
179
Rudi Ruswandi…Menentukan Nilai Premi Tunggal Aktuaria
nilai peluang transisi sehingga rumus APV menjadi: E[Z h ] =
3 ∞
4 ∞
3
∑ ∫ e − δ t p hi ( t ) bi dt + ∑ ∑ ∫ e − δ t p hi ( t ) µ ij bij dt
i =1 0 3
3
=∑
∑
i =1 l =1
i =1 j =1 0
a hl . c li . b i δ − dt
3
+∑
4
3 a c µ b hl . li . ij ij
∑∑
i = 1 j = 1l = 1
δ − d1
(26)
dengan phi menyatakan peluang transisi dari state h ke state i dan ahl adalah elemen matriks A, sedangkan cli menyatakan elemen matriks C = A-1. µij menyatakan laju transisi dari state i ke state j. 2.2. Prosedur Penelitian Kajian pada makalah ini dilengkapi ilustrasi numerik yang dibatasi untuk transisi empat states. Adapun analisis untuk mendapatkan nilai tunai sekarang (APV) dilakukan melalui tahapantahapan sebagai berikut: a. Menentukan nilai-nilai matriks laju transisi untuk empat states dengan asumsi time homogenouos Markov. b. Menetapkan tingkat suku bunga yang akan digunakan. c. Menghitung nilai ekspektasi Zh atau APV, untuk masing-masing tingkat suku bunga yang digunakan pada berbagai transisi yang mungkin terjadi dalam empat states tersebut.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN Ilustrsi numerik tentang teori di atas didasarkan pada kasus seperti pada Gambar 1 berikut ini: Sakit (1)
Sakit (Temporer) (2)
Sakit (P ermanen) (3)
Meninggal (4)
Keterangan Gambar • State 1: menyatakan penduduk CCRC pada awal kontrak dalam keadaan sehat yang dapat bertransisi ke state 2,3 dan 4. • State 2: menyatakan penduduk CCRC dalam keadaan sakit (yang bersifat temporer) dan memerlukan perawatan medik, tetapi dapat bertransisi kembali ke state 1 (sembuh) selain ke state 3 dan 4. • State 3: menyatakan penduduk CCRC dalam keadaan sakit (dan bersifat permanent) dan memerlukan perawatan medik yang lebih instensif, dan hanya dapat bertransisi ke state 4 atau meninggal. • State 4: menyatakan state penyerapan atau menyatakan penduduk CCRC meninggal atau keluar. Pada ilustrasi ini nilai-nilai laju transisi diambil secara intuitif logis dikarenakan kesulitan dan ketersediaan informasi awal. Jones2 menetapkan besaran-besaran laju transisi sebagai berikut: µ12 = 0,12 µ13 = 0,05 µ14 = 0,08 µ21 = 0,05 µ23 = 0,07 µ24 = 0,12 µ34 = 0,20 maka matriks laju transisi dapat dituliskan seperti berikut:
− 0,25 0,12 0,05 0,08 0,05 − 0,24 0,07 0,12 Q= 0 0 − 0,2 0,2 0 0 0 0 Untuk berbagai tingkat laju suku bunga δ = 0, δ = 0,05 dan δ = 0,10 akan diperoleh nilai premi tunggal secara keseluruhan selain untuk masingmasing pilihan state. Hasilnya disajikan pada table di bawah ini :
Gambar 1. Transisi antar state Tabel 1. Hasil APV State i {1,2,3} {1} {2} {3}
δ=0 Ekspektasi (APV) 8,56 4,44 2,22 1,89
δ = 0,05 Ekspektasi(APV) 6,19 3,58 1,48 1,13
Interprestasi Hasil Untuk δ = 0 Nilai premi tunggal yang harus dibayarkan pada saat menjadi anggota komunitas CCRC atau memasuki state 1 adalah 8,56 dengan imbalan
180
δ = 0,10 Ekspektasi(APV) 4,82 3,01 1,06 0,75
benefit sebesar 1 untuk setiap transisi yang dilalui. Sedangkan perusahaan akan: a. Membayar benefit sebesar 1 (b1) per tahun selama penduduk tinggal di state 1 dan
2005 FMIPA Universitas Lampung
J. Sains Tek., Desember 2005, Vol. 11, No. 3
b. Membayar benefit sebesar 1 (b12) pada saat penduduk bertransisi ke state 2 dan c. Membayar benefit sebesar 1 (b2) selama penduduk tinggal di state 2 dan d. Membayar benefit sebesar 1 (b23) pada saat penduduk bertransisi ke state 3 dan e. Membayar benefit sebesar 1 (b3) selama penduduk tinggal di state 3 dan f. Membayar benefit sebesar 1 (b34) pada saat penduduk bertransisi ke state 4 atau g. Membayar benefit sebesar 1 (b13) pada saat penduduk bertransisi ke state 3 dari state 1 Jadi nilai tunai sebesar 8,56 merupakan pembayaran dari peserta asuransi untuk mendapatkan seluruh klaim manfaat (benefit) untuk semua state. Dengan kata lain nilai ekspektasi tersebut diperoleh dari peubah acak yang membangun model secara simultan untuk seluruh state yang ditawarkan. Secara parsial kita dapat menjalankan model ini berdasarkan masing-masing state, tetapi hal ini hanya dipandang dari faktor teori saja. Hal ini karena masing-masing state merupakan bagian dari ruang (space) state yang sama, sehingga merupakan suatu kejadian bersyarat (conditional). Sebagai contoh kita dapat memandang bahwa bila kita ingin dirawat sampai state 2 saja maka nilai tunai yang harus dibayar sebesar 4,4 + 2,2 = 6,6 dengan imbalanatau manfaat; akan menerima anuitas benefit sebesar 1 = (b1) selama di state 1, dan pada saat transisi ke state 2 akan menerima benefit 1 = b12, dan selama tinggal distate 2 akan menerima auitas benefit sebesar 1 = (b2). Cara yang sama juga berlaku untuk pilihan state lainya. Interpretasi yang sama (analog) berlaku juga untuk nilai-nilai δ = 0,05 dan 0,10.
2005 FMIPA Universitas Lampung
4. KESIMPULAN Menentukan Nilai Premi Tunggal, APV, melalui pendekatan multi-state stokastik memberikan beberapa hal diantaranya adalah: • Dengan pendekatan multi-state yang melibatkan peluang transisi antarstate dan membentuk distribusi peluang, penghitungan APV menjadi lebih praktis dan menyeluruh. • Walaupun sebatas kajian teori, nilai-nilai APV partial dapat dihitung sehingga membuka peluang untuk dikaji lebih dalam, khususnya berkaitan dengan terapannya.
DAFTAR PUSTAKA 1.
Ross, S.M.1996. Stochastic Processes 2nd ed. John Wiley& Sons Inc.
2.
Jones, B.L., 1995. Stochastic Model for Continuing Care Retirement Communities. North American Actuaril J. 1: 50-73.
3.
Jones, B.L.1994. Actuarial Calculation Using a Markov Model. Trans.Soc.Actuaries. XLVI: 227-250.
4.
Cairns, A.J.G., Dickson, D.C.M., Mc. Donald, A.S., Waters, H.R., and Wilder, M. 1997. Stochastic Processes: Learning The Language. Trans. Soc. Actuaries. XL(1):34.
5.
Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A. and Nesbitt, C.J. 1986. Actuarial Mathematics. Society of Actuaries, Itasca.
6.
Moorhead, E.J. and Fisher, N.H. 1995. Testing Financial Stability of CCRC. Trans.Soc.Actuaries . 47: 307 - 332
181
