MENENTUKAN PREMI TUNGGAL DAN RISIKO PADA KASUS MULTISTATE MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU HOMOGEN (Skripsi)
Oleh SUYANTI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PEGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2015
ABSTRACT DETERMINING SINGLE PREMIUM AND RISK IN MULTISTATE CASE BY USING HOMOGENEOUS CONTINOUS TIME MARKOV CHAIN
By SUYANTI
At the insurance company, single premium calculation and risk are usually based on two state with survival time probability gets from life table. However, survival time probability is determined by transition probability from one state to another. This transition probability is determined by homogeneous continuous time Markov Chain through Chapman Kolmogorov Forward and Backward Equation. Single Premium Calculation of Multisate is determined by initial state condition and amount of benefit, whereas risk calculation can be done with multi state variance according Hattendrof theorem.
Keyword : Multistate, Single Premium, risk, homogeneous continuous markov chain, Hattendorf.theorem
ABSTRAK MENENTUKAN PREMI TUNGGAL DAN RISIKO PADA KASUS MULTISTATE MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU HOMOGEN
Oleh SUYANTI
Pada perusahaan asuransi perhitungan premi tunggal dan risiko biasanya hanya berdasarkan pada kasus dua state dengan peluang sisa hidup didapatkan dari life table. Sedangkan pada kasus multistate peluang sisa hidup ditentukan oleh peluang transisi dari satu state ke state lainnya. Peluang transisi ini ditentukan berdasarkan rantai Markov waktu kontinu homogen melalui solusi dari persamaan Chapman Kolmogorov Forward dan Backward. Perhitungan premi tunggal untuk multistate ditentukan oleh keadaan state awal dan besarnya benefit yang harus dibayarkan, sedangkan perhitungan risiko dapat dicari dengan menghitung nilai varians pada multistate berdasarkan teorema Hattendorf.
Kata Kunci : Multistate, Premi Tunggal, Risiko, Rantai Markov Waktu Kontinu Homogen, teorema Hattendorf.
MENENTUKAN PREMI TUNGGAL DAN RISIKO PADA KASUS MULTISTATE MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU HOMOGEN
Oleh SUYANTI
Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Simpang Agung, Lampung Tengah pada tanggal 02 Juli 1994. Penulis merupakan anak kelima dari lima bersaudara dari pasangan Amad Ngali dan Wakinah. Penulis memulai pendidikannya dari TK pada tahun 1999 di Taman Kanak-Kanak Simpang Agung. Sekolah Dasar di SDN 1 Simpang Agung pada tahun 2000. Sekolah menengah pertama di SMPN 1 Seputih Agung pada tahun 2006. Sekolah Menengah Atas di SMAN 1 Terbanggi Besar pada tahun 2009. Pada tahun 2012, penulis mendaftar sebagai mahasiswi Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN tertulis. Selama menuntut ilmu diperkuliahan penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan tingkat jurusan yaitu Anggota Gematika 2012-2013, anggota bidang keilmuan HIMATIKA periode 2013-2014. Pada bulan Januari 2015 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Dinas Pendapatan Daerah Provinsi Lampung dibagian umum. Pada bulan Juli-September 2015 penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di desa Murni Jaya, Tulang Bawang Barat.
MOTTO
“Man Jadda Wa Jadda”
“Kecerdasan bukanlah tolak ukur kesuksesan, tetapi dengan menjadi cerdas kita bisa menggapai kesuksesan”
“The best sword that you have is a limitless patience”
“Sebesar apapun usaha yang kamu lakukan tak akan berarti tanpa do’a”
“maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan”
PERSEMBAHAN
Dengan rasa syukur kepada Allah SWT atas segala ridho dan berkat-Nya serta kerendahan hati kupersembahkan karya sederhana ini kepada semua orang yang senantiasa mendukung dan mendoakan kelancaran terciptanya karya ini. Ayah, mamas, mbak, adek, yang sangat kusayangi yang dengan tulus memberikan semangat serta dukungan dan doa demi keberhasilanku. Mas Budi dan sahabat-sahabat yang selalu hadir. Terimakasih atas kebersamaan, keceriaan, dan dukungan kepada penulis. Almamaterku tercinta……”Universitas Lampung”
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT atas izin serta ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Menentukan Premi Tunggal dan Risiko pada Kasus Multistate Menggunakan Rantai Markov Waktu Kontinu Homogen”. Shalawat teriring salam kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita semua pengikutnya. Penulisan skripsi ini juga tidak terlepas dari dukungan, bimbingan, kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis menyampaikan terimakasih kepada: 1.
Bapak Rudi Ruswandi, M.Si., selaku pembimbing pertama yang senantiasa memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis.
2.
Bapak Ir. Warsono, Ph.D., selaku pembimbing kedua yang juga memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis.
3.
Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku penguji yang memberikan kritik dan saran kepada penulis.
4.
Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku pembimbing akademik yang selalu memberikan masukan kepada penulis.
5.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
6.
Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
7.
Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8.
Untuk keluarga tercinta Ayah, Mamas, Mbak, dan Adik yang telah memberikan semangat, dukungan dan doa yang tak pernah henti.
9.
Sahabat-sahabatku yang telah membantu dan selalu memberikan semangat dalam meyelesaikan skripsi ini terutama Gerry Alfa Dito, Ernia, Mbed, Anggy, Dwi, Candra, Anwar, Danar, Jorgi, Rendi, Imah, Riyama, Selvi, Maya, Pras, dan 7edu (Oma, Mput, Audi, Ute, Ompu, dan Emon).
10. Mas Budi Setyawan yang selalu memberikan doa, dukungan, dan semangat kepada penulis. 11. Teman-teman angkatan 2012 yang selalu menjadi semangat bagi penulis. 12. Dan seluruh pihak yang terlibat dalam penulisan skripsi ini.
Bandar Lampung, Penulis,
Suyanti
Juni 2016
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR GAMBAR ............................................................................................... ix DAFTAR TABEL .................................................................................................... x
I
PENDAHULUAN 1.1 1.2 1.3 1.4
II
Latar Belakang ............................................................................................ 1 Rumusan Masalah ........................................................................................ 3 Tujuan .......................................................................................................... 3 Manfaat Penelitian ....................................................................................... 4
TINJUAN PUSTAKA 2.1 Fungsi Marginal ........................................................................................... 5 2.1.1 Fungsi Peluang Marginal Diskrit ........................................................... 5 2.1.2 Fungsi Densitas Marginal Kontiu .......................................................... 5 2.2 Peluang Bersyarat ........................................................................................ 6 2.2.1 Peluang Bersyarat Diskrit ..................................................................... 6 2.2.2 Peluang Bersyarat Kontinu ................................................................... 7 2.3 Nilai Ekspektasi ........................................................................................... 7 2.3.1 Nilai Ekpektasi Diskrit .......................................................................... 7 2.3.2 Nilai Ekspektasi Kontinu ...................................................................... 8 2.3.3 Sifat-Sifat Nilai Ekspektasi ................................................................... 8 2.4 Ekspektasi Bersyarat .................................................................................... 9 2.4.1 Ekspektasi Bersyarat Diskrit ................................................................. 9 2.4.2 Ekspektasi Bersyarat Kontinu ............................................................... 9 2.5 Fungsi Kelangsungan Hidup ...................................................................... 10
2.6 Waktu Sisa Hidup ...................................................................................... 11 2.7 Laju Kematian ............................................................................................ 13 2.8 Tingkat Suku Bunga .................................................................................. 15 2.9 Premi Tunggal Asuransi Jiwa .................................................................... 17 2.10 Risiko (Varians) dalam Asuransi Jiwa ..................................................... 18 2.11 State.......................................................................................................... 19 2.12 Proses Stokastik ....................................................................................... 19 2.13 Proses Markov ......................................................................................... 20 2.13.1 Rantai Markov Waktu Diskrit ............................................................ 20 2.13.1.1 Peluang Transisi .......................................................................... 20 2.13.1.2 Rantai Markov Homogen ............................................................ 21 2.13.1.3 Peluang Transisi m-Langkah ...................................................... 22 2.13.2 Rantai Markov Waktu Kontinu ........................................................ 22 2.13.2.1 Peluang Transisi .......................................................................... 23 2.13.2.2 Rantai Markov Waktu Kontinu Homogen .................................. 23 2.13.2.3 Matriks Peluang Transisi ........................................................... 23 2.14 Laju Transisi Rantai Markov ................................................................... 24 2.15 Matriks Infinitesimal Generator ................................................................ 26 2.16 Klasifikasi State ........................................................................................ 26 2.17 Counting Process ...................................................................................... 27 2.18 Multivariate Counting Process ................................................................. 28 2.19 Martingale................................................................................................. 29 2.20 Diagonalisasi ............................................................................................. 32 2.21 Premi Tunggal dan Risiko Dalam Multistate............................................ 32 2.22 Risiko dalam Multistate ............................................................................ 33
III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................................... 36 3.2 Metode Penelitian ...................................................................................... 36
IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Laju dan Peluang Transisi dalam Persamaan Chapman Kolmogorov ....... 37 4.2 Peluang Transisi Berdasarkan Solusi Persamaan Chapman Kolmogorov Forward dan Backward .............................................................................. 40 4.3 Menentukan Premi Tunggal untuk Multistate ........................................... 41 4.4 Menentukan Risiko yang harus Dibayarkan oleh Insured ......................... 43 4.5 Aplikasi Perhitungan Premi dan Risiko pada Multistate ........................... 45
V KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
1. Premi Pada Multistate .................................................................................47 2. Risiko Pada Multistate ................................................................................47
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
1. Model Multistate Perubahan Risiko Manusia ...............................................2 2. Waktu Sisa Hidup .......................................................................................11
I.
1.1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Asuransi jiwa merupakan suatu program atau produk asuransi yang memberikan benefit pengalihan risiko atas kehilangan nilai ekonomis hidup seseorang dari tertanggung kepada penanggung (Bowers, et al, 1997). Dalam asuransi jiwa terdapat premi yang harus dibayarkan oleh tertanggung untuk benefit yang akan diterima ketika tertanggung meninggal. Untuk menentukan premi pada asuransi jiwa dipengaruhi oleh tiga faktor, yaitu peluang sisa hidup, bunga, dan biaya. Dalam premi terdapat risiko yang ditanggung oleh nasabah apabila seorang nasabah meninggal sebelum pembayaran premi selesai sesuai dengan polis asuransi. Risiko tersebut dapat dihitung dengan mencari varians dari nilai sekarang pada premi. Perhitungan premi dan risiko ini biasanya hanya berdasarkan dua state, yaitu dari seseorang menutup polis asuransi (sehat) sampai dengan meninggal. Namun, pada kenyataannya keadaan seseorang yang diasuransikan dapat digambarkan sebagai perubahan risiko yang terjadi pada manusia, yaitu keadaan sehat, sakit, dan meninggal dengan setiap keadaan merupakan state.
2
Kemungkinan perpindahan dari setiap state dapat diartikan sebagai membaik atau memburuknya keadaan insured dan merupakan bentuk dari multistate. Kemungkinan perpindahan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:
Sakit 1
2
Sehat
meninggal
3
Gambar 1. Model Multistate Perubahan Risiko Manusia Perpindahan dari setiap state di atas merupakan bentuk dari proses Markov. Proses Markov adalah salah satu bentuk khusus dari proses stokastik yang mempunyai sifat Markov. Sifat Markov adalah perilaku probabilistik dari suatu proses yang hanya dipengaruhi oleh kejadian oleh kejadian
sebelum waktu atau
pada waktu
pada waktu dan tidak dipengaruhi
.
Proses stokastik merupakan kumpulan peubah acak, yaitu untuk suatu adalah peubah acak dan indeks t yaitu menyatakan waktu , sehingga dianggap sebagai state dari waktu t (Ross,2010).
, dapat
3
Perpindahan ini dapat terjadi setiap saat atau dalam sembarang waktu. Keacakan terjadi pada waktu transisi dan state yang dimasuki pada waktu kemudian,maka model ini dicirikan oleh state yang ditempati dan transisi yang mungkin terjadi dengan asumsi Markov waktu homogen.Untuk menentukan premi tunggal dan risiko perlu diketahui peluang seseorang berpindah (peluang transisi) dari kondisi sehat ke kondisi sakit lalu kekondisi meninggal sebagai peluang sisa hidup. Untuk menentukan peluang transisi ini dapat dihitung melalui solusi dari persamaan Chapman Kolmogorov Forward dan Backward yang diturunkan dari rantai Markov waktu kontinu homogen. Berkaitan dengan permasalahan di atas maka penulis akan membahas tentang bagaimana menentukan premi tunggal asuransi dan menentukan varians sebagai pengalihan risiko atas hilangnya nilai ekonomis hidup tertanggung pada kasus multistate menggunakan rantai Markov waktu kontinu homogen.
1.2
Rumusan Masalah
Bagaimana menentukan premi tunggal dan risiko pada kasus multistate menggunakan rantai Markov waktu kontinu homogen?
1.3
Tujuan
Menentukan premi tunggal dan risiko pada kasus multistate menggunakan rantai Markov waktu kontinu homogen.
4
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah: 1.
Menambah referensi tentang perhitungan premi tunggal dan risiko pada kasus multistate.
2.
Menambah pengetahuan tentang perhitungan premi tunggal dan risiko pada kasus multistate.
II.
2.1
TINJUAN PUSTAKA
Fungsi Marginal
2.1.1 Fungsi Peluang Marginal Diskrit Jika
dan
adalah dua peubah acak diskrit dan
peluang gabungannya di
adalah nilai dari fungsi
, maka fungsi yang dirumuskan dengan: ∑
Untuk setiap
dalam daerah hasil
dinamakan fungsi peluang marginal dari .
Adapun fungsi yang dirumuskan dengan: ∑ Untuk setiap
dalam daerah hasil
dinamakan fungsi peluang marginal dari .
2.1.2 Fungsi Densitas Marginal Kontinu Jika
dan
adalah dua peubah acak diskrit dan
peluang gabungannya di
adalah nilai dari fungsi
, maka fungsi yang dirumuskan dengan: ∫
6
Untuk setiap
dalam daerah hasil
dinamakan fungsi peluang marginal dari .
Adapun fungsi yang dirumuskan dengan: ∫ Untuk setiap
2.2
dalam daerah hasil
dinamakan fungsi peluang marginal dari .
Peluang Bersyarat
2.2.1 Peluang Bersyarat Diskrit Jika di
adalah nilai fugsi peluang gabungan dari dua peubah acak diskrit dan
adalah nilai fungsi peluang marginal dari
di , maka fungsi
yang dinyatakan dengan : | Untuk setiap diberikan Jika
dalam daerah hasil , dinamakan fungsi peluang bersyarat dari .
adalah nilai fungsi peluang marginal dari
di , maka fungsi yang
dinyatakan dengan : | Untuk setiap diberikan
dalam daerah hasil , dinamakan fungsi peluang bersyarat dari .
dan
7
2.2.2 Peluang Bersyarat Kontinu Jika dan
adalah nilai fungsi densitas gabungan dari dua peubah acak kontinu di
dan
adalah nilai fungsi densitas marginal dari
di , maka
fungsi yang dinyatakan dengan : | Untuk setiap diberikan Jika
dalam daerah hasil , dinamakan fungsi densitas bersyarat dari .
adalah nilai fungsi densitas marginal dari
di , maka fungsi yang
dinyatakan dengan : | Untuk setiap diberikan
2.3
dalam daerah hasil , dinamakan fungsi peluang bersyarat dari .
Nilai Ekspektasi
2.3.1 Nilai Ekspektasi Diskrit Jika
adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya di
maka rataan dari peubah acak , didefinisikan sebagai: ∑
adalah
,
8
2.3.2 Nilai Ekspektasi Kontinu Jika
adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi peluangnya di
adalah
,
maka rataan dari peubah acak , didefinisikan sebagai: ∫
2.3.3 Sifat-Sifat Nilai Ekspektasi i.
Jika adalah sebuah konstanta, maka
.
ii. Jika adalah sebuah konstanta dan
adalah fungsi dari , maka:
[ iii. Jika
dan
]
[
]
adalah dua buah konstanta dan
dan
adalah dua buah
fungsi dari , maka: [
]
[
]
[
]
Bukti: Misalnya
adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya adalah
i.
∑
ii.
[
iii.
[
]
∑
(terbukti)
∑
∑ ]
[
∑ [
] (terbukti)
]
∑
∑ ∑ [
∑ ]
[
] (terbukti).
.
9
2.4
Ekspektasi Bersyarat
2.4.1 Ekspektasi Bersyarat Diskrit Jika
dan
adalah dua peubah acak diskrit, dan
|
adalah nilai fungsi peluang
| adalah nilai fungsi peluang
bersyarat dari
diberikan
di
bersyarat dari
diberikan
di , maka ekspektasi bersyarat dari
diberikan
dirumuskan sebagai berikut: |
Dan ekspektasi bersyarat dari
|
∑
diberikan |
dirumuskan sebagai berikut:
∑
|
2.4.2 Ekspektasi Bersyarat Kontinu Jika
dan
adalah dua peubah acak kontinu, dan
|
adalah nilai fungsi peluang
| adalah nilai fungsi peluang
bersyarat dari
diberikan
di
bersyarat dari
diberikan
di , maka ekspektasi bersyarat dari
diberikan
dirumuskan sebagai berikut: | Dan ekspektasi bersyarat dari
∫
diberikan |
∫
| dirumuskan sebagai berikut: |
10
Dalil Ekpektasi Bersyarat [
|
]
Bukti: Berdasarkan definisi ekspektasi bersyarat diskrit, maka: |
∑
|
∑
Sehingga: |
[
]
∑
|
∑∑
∑ ∑
∑ ( terbukti)
2.5
Fungsi Kelangsungan Hidup
Misalkan
adalah usia seseorang meninggal dan
pada saat menutup polis asuransi (sehat), sehingga meninggal. Fungsi distribusi
dinyatakan dengan :
adalah usia seseorang yang hidup merupakan peubah acak waktu
11
Fungsi kelangsungan hidup (Survival Function) selanjutnya akan disingkat dengan istilah fungsi hidup dinyatakan dengan:
Jika dituliskan sehingga Fungsi
dan
.
dapat disebut fungsi kelangsungan hidup.
dapat diartikan sebagai
peluang seseorang yang baru lahir (berusia 0 tahun) akan bertahan hidup sampai pada usia ke . Dalam ilmu aktuaria dan demografi, fungsi kelangsungan hidup digunakan sebagai langkah awal perhitungan-perhitungan yang dilakukan. Seperti untuk menentukan peluang seseorang berusia seseorang berusia
akan tetap hidup atau peluang
akan meninggal pada suatu selang waktu tertentu (Bowers, et
al., 1997).
2.6
Waktu Sisa Hidup
Fungsi waktu sisa hidup dilambangkan dengan peubah acak kontinu dimana seseorang yang berusia
akan meninggal pada usia . Dapat dinyatakan
sebagai t
x
, yaitu
X
x+t
Gambar 2. Waktu Sisa Hidup
12
Dengan notasi peluangnya
Fungsi distribusi dari
adalah
| |
(
)
(
Maka,
*
+
)
13
Dalam ilmu aktuaria,
dapat dinyatakan sebagai peluang orang yang berusia
tahun akan meninggal sampai tahun. Sedangkan yang berusia
tahun akan hidup hingga
baru lahir (new born)
adalah peluang seseorang
tahun, sehingga untuk seseorang yang
merupakan survival function bagi
dan dituliskan
.
2.7
Laju Kematian
Laju kematian diperlukan untuk memperhitungkan asuransi jiwa, misalnya rata-rata jumlah kematian yang akan terjadi setiap tahun dalam setiap kelompok usia. Kompilasi statistika dilakukan selama bertahun-tahun akan menunjukkan jumlah dan kapan usia orang umumnya diperkirakan meninggal. Hal ini sangat berpengaruh bagi perusahaan asuransi untuk menentukan taksiran lamanya kehidupan tertanggung, lama pembayaran premi, dan saat pembayaran manfaat (benefit). Peluang sesorang yang baru lahir akan meninggal antara usia bersyarat hidup pada usia
dapat dinyatakan dengan
| Jika Maka
dinyatakan dalam fungsi limit
dan
14
Untuk setiap usia
persamaan di atas adalah laju kematian seseorang berusia
dinyatakan dengan
Karena
Sehingga
Laju kematian untuk usia
Fungsi distribusi dari
*
+
tahun dinyatakan dengan
yaitu
, maka fungsi densitas dari
adalah
dan
15
*
+
(
2.8
)
Tingkat Suku Bunga
Untuk menentukan atau menghitung besarnya premi asuransi diperlukan factor suku bunga. Terdapat 2 tingkat suku bunga yaitu bunga sederhana dan bunga majemuk. Tingkat suku bunga sederhana dinyatakan dengan :
Sedangkan tingkat suku bunga majemuk dinyatakan dengan:
Dengan besarnya uang pada saat t 0, 1, 2…..tahun tingkat suku bunga efektif Tingkat suku bunga efektif (i) adalah suatu unit uang yang diinvestasikan pada awal periode akan bertambah sebesar selama periode tersebut (biasanya 1 tahun) yang akan dibayarkan pada akhir periode. Tingkat suku bunga efektif (i) dirumuskan dengan
16
Jenis bunga yang akan digunakan dalam kajian ini adalah bunga majemuk. Nilai sekarang (present value) dari nilai yang akan datang (future value) dari suku bunga majemuk yaitu
Dan nilai future value dinyatakan dengan
Dalam bunga majemuk didefinisikan faktor diskon yaitu
Dan diskon efektif d, yang didefinisikan dengan
Laju suku bunga dinyatakan dengan
Atau dapat dituliskan dalam bentuk :
17
Maka faktor diskon dari bunga majemuk dapat dituliskan dengan
(Bowers,
et al., 1997).
2.9
Premi Tunggal Asuransi Jiwa
Asuransi jiwa adalah suatu program atau produk asuransi yang memberikan manfaat (benefit) pengalihan risiko atas kehilangan nilai ekonomis hidup seseorang dari tertanggung (nasabah perusahaan asurasi) kepada penanggung (perusahaan asuransi). Jumlah dan waktu pembayaran benefit dalam kasus dua state dipengaruhi oleh panjang interval sejak asuransi diterbitkan sampai dengan tertanggung meninggal. Dalam hal ini, model akan dibentuk dari benefit function . Nilai
diasumsikan sebesar 1 satuan dan
dan factor discount
adalah faktor diskon dari bunga
majemuk dan diasumsikan laju bunga adalah deterministic sehingga tidak ada distribusi peluang untuk laju bunga, dan t adalah panjang interval sejak asuransi dikeluarkan sampai dengan meninggal. Model atau fungsi present value dinyatakan dengan
18
Dengan
adalah fungsi present value atau peubah acak pembayaran benefit pada
saat polis asuransi dikeluarkan. Jika benefit asuransi tersebut dibayarkan segera pada saat tertanggung meninggal kapan saja maka benefit asuransi tersebut berbentuk kontinu dan disebut asuransi jiwa seumur hidup yang kontinu. Premi tunggal bersih (actuaria present value) dari asuransi jiwa seumur hidup yang kontinu dapat ditentukan dengan rumus berikut: ∫ Selanjutnya,
merupakan fungsi densitas dari
∫
(2.1)
̅̅̅̅ Dalam asuransi, premi tunggal bersih dinotasikan dengan ̅̅̅̅ (Bowers, et al., 1997)
2.10 Risiko (Varians) dalam Asuransi Jiwa Dalam asuransi seseorang membeli asuransi tersebut karena dapat membagi risiko, membuat risiko tersebut kecil jika jumlah pembeli asuransi tersebut besar. Perusahaan asuransi berperan dalam mengatur pembagian risiko tersebut. Risiko tersebut dapat dihitung dengan mencari nilai varians dari premi yang harus dibayarkan oleh insured (nasabah) (Rotar, 2009). Varians atau ragam dari suatu data adalah ukuran penyebaran data. Yang diukur adalah seberapa jauh data tersebar disekitar rata-rata. Artinya apabila nilai varians tersebut besar maka datanya menyebar dan datanya relatif heterogen.
19
Misalkan varians dari atau
peubah acak, nilai rata-rata
dari
didefinisikan dengan
didefinisikan dengan [
, maka
] Dan biasanya dinotasikan dengan
(Hogg and Craig, 2013). dapat dinyatakan dengan: [
]
[
]
[
]
[
]
[
]
2.11 State State adalah kondisi yang merupakan peubah acak
, dimana jika suatu peubah acak
berada pada state tersebut maka dapat berpindah ke state lainnya (Cox and Miller,1965). Biasanya state dilambangkan dengan bilangan asli, yaitu 1,2,3,…N. himpunan atau kumpulan dari state-state tersebut membentuk ruang state dan dinyatakan dengan , maka
.
2.12 Proses Stokastik Proses stokastik adalah kumpulan dari peubah acak
yang didefinisikan
dalam ruang peluang bersama dengan nilai di R. T disebut indeks dari proses atau ruang parameter, yang biasanya himpunan bagian dari R. Himpunan bagian dari nilai pada peubah acak
dapat disebut sebagai ruang state dalam proses dan dinotasikan
dengan S (Ross,2010).
20
2.13 Proses Markov Misalkan
adalah proses stokastik yang didefinisikan dalam ruang peluang
dan ruang state
. Dikatakan bahwa
suatu
adalah Proses markov jika untuk
dan untuk {
, maka
|
}
{
|
}
2.13.1 Rantai Markov Waktu Diskrit Barisan peubah acak
dengan ruang state diskrit dikatakan Markov
Chain waktu diskrit jika memenuhi kondisi { Untuk semua
|
|
} dan untuk semua
dengan:
2.13.1.1 Peluang Transisi Misalkan
merupakan rantai Markov. Maka peluang |
Disebut sebagai peluang transisi. Sifat peluang transisi rantai Markov :
∑
21
2.13.1.2 Rantai Markov Homogen Rantai Markov
dikatakan homogen jika peluang transisinya tidak
bergantung pada t (Castaneda, Arunachalam, dan Dharmaraja, 2012).
Teorema 2.1 (Persamaan Chapman-Kolmogorov) Jika barisan semua
adalah rantai Markov dan jika
, maka untuk
: |
|
∑
Bukti: |
∑
|
∑
∑
∑
|
∑
|
|
|
|
22
2.13.1.3
Peluang Transisi m-Langkah
Peluang | Adalah peluang transisi
, -langkah dari ke .
1, jika 𝑖
Dengan sifat:
𝑗
0, jika 𝑖 ≠ 𝑗
Sedangkan peluang transisi untuk
langkah yaitu:
∑ Bukti: ∑
|
∑
|
∑
|
|
∑
2.13.2
Rantai Markov Waktu Kontinu
Misalkan
adalah proses stokastik dengan ruang state berhingga .
proses dapat dikatakan sebagai rantai Markov waktu kontinu jika: (
|
Untuk semua
|
23
2.13.2.1 Peluang Transisi Peluang | Dimana
disebut peluang transisi untuk rantai Markov waktu kontinu.
2.13.2.2 Rantai Markov Waktu Kontinu Homogen Dikatakan rantai Markov waktu kontinu homogen jika dan hanya jika peluang |
saling bebas terhadap untuk semua .
2.13.2.3 Matriks Peluang Transisi Peluang transisi rantai Markov dengan waktu kontinu dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:
[
]
Teorema 2.2 (Persamaan Chapman Kolmogorov Waktu Kontinu) Persamaan Chapman Kolmogorof untuk rantai markov dengan waktu kontinu dengan dinyatakan: ∑ Bukti : |
24
|
∑
∑
|
∑
|
|
|
∑
2.14 Laju Transisi Rantai Markov Menurut Jones (1993) laju transisi rantai Markov didefinisikan dengan :
Dengan
adalah kronecker delta yaitu : 1 ,
0, ≠ Sehingga laju transisi untuk
didefinisikan dengan :
Sedangkan untuk ≠ laju transisinya adalah :
Laju transisi untuk
dapat dinyatakan dalam bentuk:
25
Berdasarkan sifat peluang bahwa: ∑
∑
Jika persamaan di atas diubah dalam bentuk limit maka : ∑
∑
∑
∑
∑
26
2.15 Matriks Infinitesimal Generator Matriks [
]
Disebut infinitesimal generator (matriks pembangun) dalam Markov Chain
(Castaneda, Arunachalam, dan Dharmaraja, 2012).
2.16 Klasifikasi State State dapat diklasifikasikan sebagai berikut: 1. Accessible State j dikatakan accessible dari state i jika
untuk beberapa
. Ini
mengimplikasikan bahwa state j accessible dari state i jika dan hanya jika dimulai dari state dan akan berakhir di state . 2. Communicate State dan communicate jika
dan
. Ini ditulis dengan
. Catatan
bahwa ada state yang communicate dengan dirinya sendiri maka didefinsikan : | Dua state yang communicate berada dalam class yang sama. 3. Irreducible Markov chain dikatakan irreducible jika dalam ruang state ada hanya satu class, yaitu semua state communicate.
27
4. Absorbing state State disebut absorbing state jika
atau equivalen dengan
untuk
semua ≠ . Suatu state dikatakan absorbing state jika pada saat masuk ke state maka dari state tidak akan bisa bertransisi ke state lainnya. Berdasarkan gambar 1 dan 2 maka state 3 adalah absorbing state. 5. Reccurent State dikatakan recurrent jika 6. Transient Suatu state dikatakan transient jika peluang pindah dimulai dari state dan akan kembali lagi ke statae untuk pertama kalinya dalam satu waktu adalah tidak pasti atau dinotasikan dengan
.
Peluang pindah dari state ke state dalam n waktu dinyatakan dengan ≠ Sehingga untuk state transient
yaitu :
| (Ross, 2010).
2.17 Counting Process Stokastik proses
dikatakan counting proses jika
banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu . Dengan i) ii) iii)
merupakan bilangan bulat positif Jika
maka
menjelaskan total
harus memenuhi:
28
iv)
Untuk
,
sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi
dalam selang [
]
(Ross, 2010).
2.18 Multivariate Counting Process Suatu Multivariate Counting Process
adalah stokastik proses dengan transisi
dari ke yang merupakan kejadian counting pada saat dengan ≠ . Parameter waktu diasumsikan berbeda-beda dalam interval berhingga, yang umumnya yaitu [
]. Diasumsikan bahwa setiap proses
mempunyai transisi sebesar 1 dan tidak
ada dua kejadian yang dapat terjadi secara simultan. Pembangun waktu dalam multivariate counting process process
, yang diberikan sebagai berikut:
misalkan
interval waktu kecil dengan panjang adalah peluang bersyarat bahwa
kejadian sebelum waktu . Jika dimisalkan dan misalkan
ditentukan oleh intensity
disekitar [
bertransisi pada
] , maka diberikan semua
adalah increment dari
merupakan semua yang telah terjadi sampai waktu tetapi tidak
termasuk , sehingga { Misalkan
pada
|
merupakan survival time. Dan
Untuk survival time didefinisikan:
adalah indicator function.
29
Sehingga dapat didefinisikan bahwa; | Dengan
adalah laju kematian dari state kestate .
Dari (2.4) dan (2.5) diperoleh bahwa multivariate counting process [
[ komponen
]] mempunyai intensity process
dengan
yang didefinisikan:
2.19 Martingale Stokastik proses
dikatakan martingale proses jika: [
Increment
dari
waktu adalah {
|
]
pada interval kecil
yang panjangnya
variabel. Oleh karena itu dapat didefinisikan:
|
Ini berimplikasi bahwa jika didefinisikan stokastik proses increment:
Pada
disekitar
(dan diasumsikan
, maka
≠ dengan
30
{
|
Sehingga proses
∫
[
≠
]; adalah martingale dengan
Varians bersyarat dari martingale
untuk semua
[
].
diberikan oleh predictable variation process
(atau variance process) 〈 〉, didefinisikan dalam bentuk increment 〈 〉
|
Untuk martingale 〈
〉
{ {
Karena
| |
adalah predictable yang diberikan pada
variable dengan nilai 〈
didefinisikan:
. Karena
adalah
, maka
〉
Dan oleh karena itu,
〈
〉
Misalkan
∫
adalah predictable stokastik proses, dan didefinisikan proses baru
adalah stokastik integral yaitu
31
∫
Maka pada
adalah martingale dirinya sendiri, karena increment mempunyai ekspektasi bersyarat nol, yaitu: |
|
Predictable variation process dari (2.12) dapat didefinisikan: |
〈 〉
Sehingga
〈
〉
〈 〉
∫
Suatu predictable covariation process (atau covarians process) 〈
〉
didefinisikan dalam bentuk increment 〈
〉
Pada
, dan
〈
{ dan
| dikatakan orthogonal jika
〉
Untuk dua martingale
dan
≠
,
yang merupakan multivariate
counting process diperoleh 〈
〉
{ {
| |
32
Ini karena
dan
adalah predictable, dan fakta bahwa
dan
tidak dapat
berpindah secara bersamaan. Jadi martingale yang didefinisikan pada (2.10) adalah orthogonal (Andersen,dkk, 1985).
2.20 Diagonalisasi Matriks kuadrat
dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks
sehingga
diagonal; matriks
yang dapat dibalik
dikatakan mendiagonalisasi . Dalam
pembahasan, bagian ini digunakan untuk menentukan peluang transisi (Anton,2000).
2.21 Premi Tunggal dalam Multistate Untuk menentukan premi tunggal dari kasus multistate perlu diketahui fungsi kepadatan peluang yang dapat meliputi semua anggota ruang state. Dengan memanfaatkan matriks peluang transisi sebagai peluang sisa hidup yang diperoleh dari solusi persamaan Chapman Kolmogorov Forward dan Backward, perhitungan nilai premi tunggal secara simultan dapat ditentukan. Misalkan
menyatakan rangkaian pembayaran premi dengan laju
dengan benefit
yang dibayarkan pertahun secara kontinu bila seseorang pada state awal berada di state , dan pada waktu sebesar
untuk
sedangkan benefit
akan dibayarkan bila terjadi transisi dari state ke state , untuk nilai dan
rumus:
akan berada di state
. Menurut Jones (1993) nilai premi tunggal dapat dicari dengan
33
∑∫
∑∑∫
2.22 Risiko dalam Multistate Risiko dalam multistate ditentukan dengan mencari varians dari multistate tersebut. Dalam hal ini varians dari multistate dapat ditentukan berdasarkan Teorema Hattendorf. Pada teorema Hattendorf didefinisikan gain obtain (laba yang diperoleh) perusahaan selama insured berada di state pada [ ∑∫
∑∫
], yaitu ∑∫
∑∫
∑∫
∑∫
Dengan
didefinisikan sebagai berikut:
Teorema Hattendorf Gain process
, adalah zero mean square orthogonal martingale,
sehingga varians process sebagai berikut:
34
〈 〉
∑∫
Bukti: Diketahui
merupakan gain process maka
∑∫
(1) Akan ditunjukkan
merupakan zero mean square martingale
(
)
( ∑∫
)
∑∫
Karena
(
)
merupakan zero mean martingale
∑∫
Karena (
)
(2) Akan ditunjukkan Karena
jadi
orthogonal
mengandung
process maka
merupakan zero mean square martingale.
dimana
duturunkan dari multivariate counting
35
{
}
≠
Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa
merupakan zero mean square
orthogonal martingale. Maka varians process dari
〈
〉
dapat didefinisikan
〈
∑∫
〉
Persamaan di atas diperoleh dari: 〈
〉 [
]
[ 〈
Kemudian dari (2.19) didapat:
〈
〉
∑∫
∑∫ (Ramlau-Hansen, 1988).
〈
〉
〉
]
III.
3.1
METODOLOGI PENELITIAN
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada Semester Genap Tahun Akademik 2015/2016, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2
Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku atau media lain untuk mendapatkan informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1.
Menentukan peluang transisi secara simultan melalui solusi persamaan Chapman Kolmogorov Forward dan Backward yang diturunkan dari persamaan (2.2).
2.
Menentukan premi tunggal dari semua state secara simultan dengan rumus pada (2.17).
3.
Menentukan varians sebagai risiko yang ada dalam premi tunggal berdasarkan teorema Hattendorf pada (2.19).
V.
KESIMPULAN
Dari hasil dan pembahasan dalam skripsi ini maka dapat disimpulkan bahwa perhitungan premi tunggal dan risiko pada kasus multistate ditentukan berdasarkan fungsi peluang transisi dari rantai markov dengan waktu kontinu homogen. Fungsi peluang transisi ditentukan berdasarkan solusi persamaan Chapman Kolmogorov Forward dan Backward, sehingga diperoleh rumus premi tunggal pada (4.6) dan besarnya risiko diperoleh rumus seperti pada (4.8). Dan untuk matriks laju transisi pada (4.9) dengan menggunakan rumus (4.6) dan (4.8) diperoleh nilai premi dan risiko masing-masing sebesar 21,19 dan 8,48 untuk lainnya dapat dilihat pada Tabel 1 dan Tabel 2.
. Sedangkan untuk hasil
DAFTAR PUSTAKA
Andersen, K.P., dkk. 1985. Counting Process Models for Lifes History Data: A Review (with Discussion and Reply). Scandinavian Journal of Statistics.
Anton, H. 2000. Aljabar Linear Elementer. Ed. Ke-7. Jilid 1. Interaksa, Batam Center.
Bowers, N.L., et al. 1997. Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries, Itasca, Illionis.
Castaneda, L.B., Arunachalam, V., and Dharmaraja, S. 2012. Introduction to Probability and Stochastic Process with Aplications, First Edition. US.
Cox, D.R., Miller, H.D., 1965. The Theory of Stochastic Process. Chapman and Hall. London.
Henrik Ramlau-Hansen. 1988. Hattendorff’s Theorem: A Markov Chain and Counting Process Approach, Scandinavian Actuarial Journal.
Hogg, R.V., McKean, J.W., and Craig, A.T. 2013. Introduction to Mathematical Statistics. US, Pearson Education, Inc.
Jones, B.L. 1993. Modelling Multistate Process Using A Markov Assumption. ARCH(Proceeding of the 27th Annual Research Conference), Lowa City.
Promislow, S.D. 2015. Fundamntals of Actuarial Mathematics Third Edition. John Wiley and Sons.
Ross, S. 1996. Stochastic Processes. John Wiley & Sons Inc. New York
Ross, S. 2010. Introduction to Probability Model. John Wiley & Sons Inc. New York.
Rotar, V.I. 2009. Actuarial Models The Mathematics of Insurance, Second Edition. CRC Press, Francis.
