APLIKASI RANTAI MARKOV MULTIVARIAT PADA NETWORK GENETIK SKRIPSI NORA ANGGRIYA

APLIKASI RANTAI MARKOV MULTIVARIAT PADA NETWORK GENETIK

SKRIPSI

NORA ANGGRIYA 070823008

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

Nova Anggriya : Aplikasi Rantai Markov Multivariat Pada Network Genetik, 2009.


SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains


DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009


PERSETUJUAN

Judul Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas

: APLIKASI RANTAI MARKOV MULTIVARIAT PADA NETWORK GENETIK : SKRIPSI : NORA ANGGRIYA : 070823008 : STATISTIKA : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM ( FMIPA ) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, 16 Juli 2009

Komisi Pembimbing

:

Pembimbing 2

Pembimbing 1

Drs. Marwan Harahap, M.Eng. NIP. 130 422 443

Dr. Sutarman, M.Sc. NIP. 131 945 359

Diketahui / Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP. 131 796 149


PERNYATAAN


SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.

Medan, 16 Juli 2009



PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala berkah, rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Skripsi ini. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat dalam menyelesaikan Program Studi S1 Statistika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Dr. Sutarman, M.Sc selaku pembimbing 1 dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku pembimbing 2 pada penyelesaian Skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas dan padat serta profesional telah diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Serta Drs. H. Haluddin Panjaitan dan Drs Pengarapen Bangun, M.Si yang telah bersedia menjadi dosen penguji skripsi ini. Terimakasi atas saran dan masukannya. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Hendri Rani Sitepu, M.Si. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, Pegawai di FMIPA USU, dan rekan – rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada kedua orang tua saya ayahanda (Syukri Raden) dan ibunda (Yusra), serta kedua kakanda (Denni Marhayuri dan Roni Riyadi) dan semua keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT akan membalasnya.


ABSTRAK

Metode pengambilan keputusan markov merupakan suatu metode yang telah dikenal luas untuk pengambilan keputusan dalam model-model stokastik. Dalam tulisan ini dibahas penggunaan salah satu metode pengambilan keputusan markov, yaitu aplikasi network genetik. Probabiliti Network Boolean (PBN) yaitu proses pada waktu diskrit, distribusi probabiliti pada gene ekspresi diwaktu t+1 dari gene i dapat diestimasi dengan gene ekspresi pada gene n yang lain diwaktu t-1 matriks transisi. Ini adalah proses markov framework. Diingat bahwa model rantai markov multivariat untuk menduga network genetik dari gene n. Pada network ini, tidak ada informasi sebelumnya pada hubungan gene-gene n diterima, model yang ditunjukkan tersebut digunakan untuk menemukan variasi hubungan gene yang utama, termasuk gene dan hubungan gene cyclic atau acyclic.


APPLICATIONS OF MULTIVARIATE MARKOV CHAIN TO GENETIC NETWORKS

ABSTRACT

Markov Decision process is one of the well-known metodes to solve optimisation problem in stochastic modelling theory. In this paper, we show one simple example of applications to genetic networks. The Probabilistict Boolean Networks (PBN) is a discrete-time process, the probability distribution of gene expression at time t + 1 of the i th gene can be estimated by the gene expression of other n genes at time t via one-lag transitio matrix. This is a Markov process framework. We consider the multivariate Markov chain model to inver the genetic network of n genes. In this network, no prior information on n genes relationships is assumed, our proposed model is used to uncover the underlying various gene relationships, including genes and gene cyclic or acyclic relationships.


DAFTAR ISI Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Tabel

ii iii iv v vi vii viii

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Kontribusi Penelitian 1.5 Tinjauan Pustaka 1.6 Metode Penelitian 1.7 Sistematika Penulisan

1 1 3 3 4 4 5 5

BAB 2 TINJAUAN TEORITIS 2.1 Rantai Markov 2.2 Model Rantai Markov Multivariat 2.3 Estimasi Pada Model Parameter 2.4 Aplikasi Rantai Markov Multivariat Pada Network Genetik

7 7 8 11 13

BAB 3 PEMODELAN RANTAI MARKOV UNTUK NETWORK GENETIK

17

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran

32 32 32

DAFTAR PUSTAKA


DAFTAR TABEL Halaman Tabel 3.1 Hasil Deret yang Pertama Tabel 3.2 Hasil Deret yang Kedua


22 29

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dengan berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi yang sangat cepat dan pesat ilmu statistik memegang peranan penting dalam kehidupan. Ilmu ini mampu membantu meningkatkan kreatifitas dan produktifitas manusia. Pada era globalisasi ini ilmu ini perlu diterapkan dengan cara yang lebih sederhana sehingga mudah digunakan dalam pengambilan keputusan.

Salah satu bagian dari statistika adalah rantai markov (markov chain). Rantai markov merupakan suatu proses stokastik yang digunakan untuk pembuatan model dengan bermacam-macam sistem. Rantai markov ini, salah satunya digunakan untuk membantu meramalkan kejadian-kejadian pada masa yang akan datang dengan pengambilan keputusan.

Rantai markov (Markov Chain) adalah suatu teknik matematika yang biasa digunakan untuk pembuatan model (modeling) bermacam-macam sistem dan proses bisnis. Teknik ini dapat memperkirakan perubahan-perubahan pada waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis pada waktu yang lalu. Teknik ini dapat juga digunakan untuk menganalisis kejadian-kejadian pada waktu mendatang secara matematis.

Penerapan rantai markov mula-mula digunakan untuk menganalisis dan memperkirakan perilaku partikel-partikel gas dalam suatu wadah tertutup serta meramalkan keadaan cuaca. Sebagai suatu peralatan riset operasi dalam pengambilan keputusan manajerial. Proses markov telah banyak diterapkan untuk menganalisis tentang perpindahan merek (brands switching) dalam pemasaran, perhitungan


rekening, jasa persewaan mobil, perencanaan penjualan, masalah-masalah persediaan, pemeliharaan mesin, antrian, perubahan harga pasar saham, dan administrasi rumah sakit.

Analisis rantai markov adalah suatu teknik probabilitas yang menganalisis pergerakan probabilitas dari satu kondisi ke kondisi yang lainnya. Rantai markov ini dikenalkan oleh Andrei A. Markov, ahli matematika dari rusia yang lahir tahun 1856 (Ching dan Ng, 2006). Analisis markov hampir sama dengan decision analysis, bedanya adalah analisis rantai markov tidak memberikan keputusan rekomendasi, melainkan hanya informasi probabilitas mengenai situasi keputusan yang dapat membantu pengambilan keputusan. Dengan demikian, analisis rantai markov bukanlah teknik optimisasi, tetapi adalah teknik deskriptif yang menghasilkan informasi probabilitas dimasa mendatang.

Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilanganbilangan dalam susunan itu disebut anggota matriks tersebut.(Anton Howord, 2000:45). Ordo suatu matriks dinyatakan dengan jumlah baris dan kolom yang terkandung dalam matriks tersebut. Matriks yang berorde (m*n), dengan m menyatakan jumlah baris dan n menyatakan jumlah kolom. Di mana baris dalam matriks merupakan unit pengamatan atau subyek sedangkan kolom merupakan variabel yang diukur untuk setiap unit. Multivariat untuk menyelesaikan masalah atau problema yang berkaitan tiga variable atau lebih. Teknik analisis statistik yang melakukan sekelompok variabel kriteria yang saling berkorelasi sebagai satu sistem yang memperhitungkan korelasi antar variabel–variabel tersebut.

Analisis multivariat merupakan salah satu jenis analisis statistik yang digunakan untuk

menganalisis data

yang terdiri dari banyak peubah bebas

(independent variabel) dan juga banyak peubah tak bebas (dependent variabel). Data multivariat adalah data yang dikumpulkan dari dua atau lebih observasi dengan mengukur observasi tersebut dengan beberapa karakteristik.

1. Univariat meliputi satu variabel kriteria yang tergolong dalam himpunan data tunggal


2. Bivariat (pasangan variabel acak) dua variabel saling berkaitan 3. Multivariat terdiri dari beberapa variabel kriteria.

Jaringan kerja (model network) adalah suatu diagram yang digunakan untuk membantu menyelesaikan masalah matematika yang cukup rumit agar menjadi lebih sederhana dan mudah diamati. Masalah-masalah yang dapat diatasi dengan network antara lain masalah penjadwalan (network planing), masalah transportasi, masalah penggantian peralatan, dan masalah lintasan terpendek.

Genetik merupakan ilmu tentang pewarisan sifat individu kepada keturunannya, berkaitan dengan gen atau faktor keturunannya. Jadi network genetik merupakan tingkat hubungan fungsional untuk setiap kejadian pada waktu tertentu. Untuk menyelesaikan

suatu persoalan

dalam pengambilan keputusan ada tidaknya

hubungan antara kondisi satu dengan kondisi lain dengan menggunakan aplikasi rantai markov multivariat pada network genetik.

1.2 Perumusan Masalah

Masalah yang dibahas dalam penelitian ini adalah memodelkan rantai markov mutivariat pada network genetik dan memaparkan kaidah yang berhubungan dengannya.

1.3 Tujuan Penelitian

Menguraikan cara menentukan ada tidaknya hubungan tingkat sensivitas dari gene satu ke gene yang lain dengan menggunakan aplikasi rantai markov multivariate pada network genetik.


1.4 Kontribusi penelitian

Menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika yang berhubungan dengan model rantai markov multivariat.

1.5 Tinjauan Pustaka

Rantai markov multivariat telah digunakan diberbagai bidang. Pada bidang matematika keuangan Artzner dan Delbaen (1997) menggunakan rantai markov untuk menentukan risiko kegagalan hadiah dan pemasaran tidak lengkap. Sementara itu bidang biologi Mendoza, Thieffry dan Alvarez (1999) menggunakan genetik kontrol dari bunga morphogenesis pada Arabidopsis Thaliana. Rantai markov multivariat digunakan pada model network genetik oleh Ching, Fung dan Ng (2004) membangun network genetik pada contoh gene ekspresi. Salah satu penelitian gen yang penting adalah dapat memahami mekanisme cara menjalankan sel-sel dan pengendalian nomor besar pada operasi untuk fungsi normal, dan juga sistem sel-sel dalam penyakit. Model dasar seperti pada network neural, non-linier sederhana, Petri nets, persamaan differensial ditujukan untuk berbagai masalah, lihat pada Smoelen, Baxter dan Byrne (2000) menggunakan model matematik pada network gene, neuron, oleh Bower (2001) menggunakan model komputasi pada genetik dan network biokimia, oleh De Jong (2002) mengunakan model dan simulasi pada sistem regulatori genetik.(Ching dan Ng (2006)).

Pada model network ini, setiap gene adalah verteks pada network dan jumlahnya hanya dua tingkat (jelas (0) atau tiadak jelas (1)). Pada bidang bioinformasi oleh Akutsu, Miyano and Kuhara (2000) menggunakan penarikan kesimpulan menurut kwalitas relasi pada network genetik dan pergantian zat pada setiap barisan, ditujukan banyak network Boolean bersama dengan identifikasi algorithm.(Ching dan Ng (2006)).


Network Boolean adalah bagian dari pembuatan network genetik pada dasarnya, maka n sebagai nomor pada pertimbangan gene bawah, yang mana verteks vi

mewakili gene i, dan v i (t ) mewakili ungkapan tingkat gene i pada waktu t, ambil

salah satu 0 atau 1. ungkapan tingkat gen yang lain adalah hubungan fungsional untuk itu pada gene-gene lain. Perhitungan model-model itu menyatakan hubungan yang logis pada gagasan Bodnar (1997) menggunakan pemograman drosophila embryo. Pada jurnal Biologi, Mendoza, Thieffry dan Alvarez (1999) menggunakan genetik control dari bunga morphogenesis pada Arabidopsis Thaliana, dan oleh Huang dan Ingber

(2000)

menggunakan

model–bergantung

(dependent)

mengkontrol

pertumbuhan sel, differensial, dan apoptosis: perpindahan antara atractors pada sel network regulatori, percobaan pada penelitian sel.(Ching dan Ng (2006)).

1.6 Metode Penelitian

Uraian yang digunakan dalam penelitian secara rinci meliputi: 1. Mengestimasi P

jk

dan

jk

;

2. Menghitung frekuensi transisi dari keadan deret k sampai keadaan deret j, dari sini dapat disusun matriks frekuensi pada deret data; 3. Setelah dinormalisasi, diperoleh estimasi pada matriks transisi probability; 4. Menghitung pada setiap kejadian masing-masing gene; 5. Menghitung tingkat pengaruh dari gene j ke gene i.

1.7 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan Tugas Akhir secara garis besar dibagi dalam 4 bab masing-masing bab dibagi atas beberapa sub-sub bab yaitu:

BAB 1

: PENDAHULUAN


Bab ini menjelaskan latar belakang, perumusan masalah, tujuan penelitian, kontribusi penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan tugas akhir.

BAB 2

: TINJAUAN TEORITIS Bab ini menguraiakan tentang teori-teori dan tinjauan tentang segala sesuatu yang menyangkut terhadap penyelesaian masalah yang dihadapi, sesuai judul yang diutarakan.

BAB 3

: PEMODELAN RANTAI MARKOV UNTUK NETWORK GENETIK Bab ini menguraikan persoalan menggunakan pemodelan rantai markov multivariat pada network genetik.

BAB 4

: KESIMPULAN DAN SARAN Bab ini berisikan kesimpulan dari pembahasan didalam penyelesaian skripsi serta saran-saran yang diberikan peneliti berdasarkan simpulan yang diambil.


BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Rantai Markov

Rantai markov (Markov Chain) adalah suatu model teoritis yang menjelaskan keadaan sebuah sistem pada suatu tahap tertentu. Model ini dapat memperkirakan perubahanperubahan pada waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis pada waktu yang lalu. Teknik ini dapat juga digunakan untuk menganalisis kejadian-kejadian pada waktu mendatang secara sistematis.

Penerapan rantai markov mula-mula digunakan untuk menganalisis dan memperkirakan perilaku partikel-partikel gas dalam suatu wadah tertutup serta meramalkan keadan cuaca. Sebagai suatu peralatan riset operasi dalam pengambilan keputusan manajerial. Proses markov telah banyak diterapkan untuk menganalisa tentang perpindahan merek (brands witching) dalam pemasaran, perhitungan rekening, jasa persewaan mobil, perencanaan penjualan,

masalah-masalah persediaan,

pemeliharaan mesin, antrian, perubahan harga pasar saham, dan administrasi rumah sakit.

Rantai markov ini dikenalkan oleh Andrei A. Markov, ahli matematika dari Rusia yang lahir tahun 1856 (Ching dan Ng, 2006). Analisis markov menghasilkan suatu informasi probabilistik yang dapat digunakan untuk membantu pembuatan keputusan, jadi analisis ini bukan suatu teknik optimisasi melainkan suatu teknik deskriptif. Analisis markov merupakan suatu bentuk khusus dari model probabilistik yang lebih umum dinamakan dengan Stochastic process, yaitu proses perubahan perubahan probabilistik yang terjadi terus-menerus.


Untuk dapat menerapkan analisis rantai markov kedalam suatu kasus, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi : 1. jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama dengan 1(satu), 2. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem, 3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu, 4. kondisi merupakan kondisi yang independent sepanjang waktu.

Dalam realita, penerapan analisis markov biasa terbilang cukup terbatas karena sulit menemukan masalah yang memenuhi semua sifat yang diperlukan untuk analisis markov, terutama persyaratan bahwa probabilitas transisi harus konstan sepanjang waktu (probabilitas transisi adalah probabilitas yang terjadi dalam pergerakan perpindahan kondisi dalam sistem).

2.2 Model Rantai Markov Multivariat

Pada bagian ini, dibahas model rantai markov mutivariat menggambarkan

deret

multiple kategorik dengan hasil yang sama. Diasumsikan s deret kategorik dan yang lain m kemungkinan keadan dalam himpunan M = {1,2,…,m}.

Misalnya X n j l

keadan vektor deret j pada waktu n. jika deret j dalam keadaan

pada waktu n maka dapat ditulis t

Xn

j

0 ,  ,0 ,

el

1 ,0  ,0  masukkan

j

Pada persaman model rantai markov multivariat , diasumsikan sebagai berikut: s

Xn

j 1

jk

P

jk

k

X n , untuk j

1, 2 ,..., s

(1)

k 1

Dengan

jk

0, 1

j, k

(2)

s

s

Dan

jk

1, untuk j

1, 2 ,..., s .

k 1


(3)

Pada keadaan probability distribusi deret k pada waktu t (n+1) bergantung pada ratak

jk

rata bobot P

Xn . P

jk

adalah matriks transisi probability dari keadaan deret k

sampai keadaan deret j, dan X nk adalah keadaan distribusi probability deret k pada waktu n. Bentuk matriks dapat ditulis 1

Xn

11

P

11

1

21

P

21

1

2

Xn

Xn

1



atau

Xn

1

P

22

22



s

Xn

P

12

12

1

s1



P

s1 s2

P



P

1s

1s

Xn



P

2s

2s

Xn

 s2

1 2





ss

QX n

 ss

P

s

Xn

QX n .

Walaupun jumlah kolom Q tidak sama dengan satu (jumlah kolom P

jk

sama dengan

satu), sebagaimana menurut dalil : Dalil 1. jika parameter

0 , untuk 1

jk

s,

j, k

maka matriks Q mempunyai nilai

eigen sama dengan satu dan nilai eigen pada Q memiliki aturan lebih kecil dari atau sama dengan satu.

Bukti.

Dari

persaman

1 ,1

2 ,1



s ,1

1, 2

2,2



s,2





1, s

2,s

 

terjabarkan.



adalah satu. Sejak

jk

Perron-Frobenius,

y

y1 , y 2 ,  , y s

T

dengan

1m P

ij

i, j

s,

mudah menunjukkan

jumlah

kolom

pada

matriks

tidak negative dan tak

0,

s ,s

Theorema

1m , 1

(2)

dimana

demikian

y

T

y

T

ada .

Dinotasikan

yaitu vektor 1*m semuanya satu, 1 m

y 1 1 m , y 2 1 m ,..., y s 1 m Q

sebuah

y 1 1 m , y 2 1 m ,..., y s 1 m

1,1,  ,1 .

vektor dengan Maka

. Dan dari sini

harus satu nilai eigen pada Q.

Untuk menunjukkan semua nilai eigen pada Q kurang dari atau sama dengan satu. z v

Misalnya max 1 i

s

zi

1

:z

z 1 , z 2 ,..., z s , z

defenisi m

j

R ,1

pada j

s.


vektor-norm

Jelas untuk menunjukkan . v

adalah vektor-norm pada Q ij

P

adalah

Dengan P

kurang ij

zj 1

z

j

ms

. Dapat didefenisikan menurut matriks norm

1 . Sejak P

sup Q z v : z v

M

R

ij

matriks transisi, yang mana anggotanya

dari 1, 1

1

atau

i, j

sama

Disini

s.

.

dengan

satu.

adalah 1-norm untuk sebuah

1

s

vektor. Q

P i1

i1

z1

i2

P i2

z2

...

is

P is

zs

z v.

1, 1

ij

1

i

s

dan dari sini

j 1

1 . Sejak spectral radius pada Q selalu kurang dari atau sama setiap matriks

M

norm pada Q, dengan hasil sebagai berikut.

Dalil 2. menduga matriks P 0 , untuk 1

jk

x

x

1

,x

2

, , x

j, k s T

s.

jk

(1≤ i, j ≤ s) adalah tak terjabarkan (irreducible) dan

Maka

disana

adalah

sebuah

vektor

tunggal

m

dengan demikian x

Q x dan

x

j

1, 1

i

j

s.

i 1

Bukti. Dalil 1, di atas adalah tepat suatu nilai eigen pada Q sama dengan satu. Ini tercantum lim Q n

vu

T

setiap barisan matriks positif seperti Q

adalah tak

n

terjabarkan (irreducible). Karena itu

lim x n

n

Disini

adalah positif sejak x

1

lim Q x n

n

n

lim Q x 0

n

T

vu x 0

v.

0 dan tidak negative. Pada x n cenderung menuju

pada sebuah vektor stasionary seperti n menuju tak hingga. Akhirnya, dinotasikan jika m

x0

adalah vektor dengan demikian

x0

j i

1, 1

j

s , maka Q x dan x juga

i 1

memiliki vektor-vektor.

Sekarang andaikan bahwa ada y dengan demikian y

x

dan y

lim x n .

n

Maka didapat x

y

x

Qx

0 . Ini adalah suatu penyangkalan dan karena itu

vektor x harus tunggal. Kemudian didapatkan hasilnya.

Dinotasikan x bukan vektor distribusi probability, tetapi x

j

vektor distribusi

probability. Berdasarkan dalil di atas menyarankan suatu kemungkinan cara untuk


mengestimasi model parameter minimisasi Q xˆ

ij

. Andaikan untuk mendapatkan

ij

yang mana

xˆ tentu dibawah vektor norm . .

2.3 Estimasi Pada Model Parameter

Pada bagian ini, dibahas metode untuk estimasi P jk

transisi probability P

jk

dan

jk

. Mengestimasi matriks

dengan mengikuti metode. Pertama menghitung frekuensi

transisi pada keadan deret k. Setelah menormalisasikan, diperoleh estimasi pada matriks probability transisi. Mengestimasi n demikian m dengan m matriks transisi probability untuk mendapat estimasi pada P

F

jk

f 11

jk





f m1

f 12

jk





fm2









jk 1m





f mm

f

Dari F

Pˆ

jk

jk

jk

jk

jk pˆ 11





jk pˆ m 1

jk pˆ 12





jk pˆ m 2









jk 1m





jk pˆ mm

fi

jk

Dengan pˆ i jki

jika

ik

Pada Pˆ

jk

seperti dibawah ini:

jk

fi ik

j ik

0

1

j ik

1

0 dengan

j k

jk

m

j ik

m

fi

seperti dibawah ini:

jk

dapat mengestimasi untuk P

pˆ

jk

cara lain

, sulit untuk mengestimasi parameter

jk

. Dapat membentuk model

markov multivariate yang memiliki “vektor stasionary” x pada dalil 2. Vektor x


dapat mengestimasi dari deretan gene ekspresi dengan menghitung proporsi pada kejadian masing-masing gene dan dinotasikan dengan: xˆ

xˆ

, xˆ

1

2

s T

,  , xˆ

Karena itu diharapkan bahwa

P

11

11

P

21

21

P

12

12

P

22

22

 s1

P



P

1s

1s



P

2s

2s

 s1 s2

 s2

P

xˆ





ss

P

xˆ

(4)

ss

Dari persaman (4) mengangap satu kemungkinan untuk estimasi parameter . Dalam fakta, dengan

jk

seperti vektor norm untuk mengukur

.

perbedaan pada persamaan (4), dapat diselesaikan dengan cara minimisasi;

m

min max

jk

i

Pˆ

jk

xˆ

k

xˆ

j

i

k 1

s

subject

to

jk

1,

0,

k.

(5)

k 1

dan jk

Persamaan (5) dapat dirumuskan seperti s masalah linier programming sebagai berikut, dapat dilihat (Chvatal V (1983)). Untuk j lain: min w j wj

j1

wj

xˆ



j

B

j2



wj subjectto

js

wj

j1

wj

xˆ



j

j2

B



wj wj

js 0,

s jk

1,

jk

0,

k

k 1


Dengan Pˆ

B

j1

xˆ

1

Pˆ

j2

xˆ

2

 Pˆ

js

xˆ

s

.

Dengan F

( jk )

Pˆ

jk

= matriks frekuensi pada keaadan deret k ke keadaan deret j = matriks transisi probability pada keadaan deret k ke keadaan deret j = parameter

jk

2.4 Aplikasi Rantai Markov Multivariat Pada Network Genetik

Pada bagian ini, model rantai markov multivariat yaitu memodelkan network genetik. Network Boolean merupakan faktor yang menentukan, keadaan tak pasti. Pada umumnya network Boolean G V , F

terdiri dari himpunan V

v1 , v 2 ,  , v n

dan

menggambarkan keadaan (0 atau 1) v i pada waktu t. Fungsi Boolean

vi t F

f

vi t

1

1

, f

2

f

i

, , f

n

v t , i

menggambarkan aturan regulatori interaksi antara simpul: 1, 2 ,  , n

,

dengan

Pada

v1 t , v 2 t ,  , v n t .

v t

umumnya, sebagian simpul tak perlu pada fungsi Boolean. Untuk fungsi Boolean f

j

f

j

,

variabel

v1 t ,  , v i

1

t ,0 , v i

disebut

vi t 1

t , , v n t

f

j

semua nilai kemungkinan pada v 1 t ,  , v i

tak

v1 t ,  , v i 1

t , vi

1

1

benar

jika untuk

t ,1, v i 1 ,  , v n t

t , , v n t .

Dengan menganggap

bahwa ketika network boolean digunakan dalam penyusunan pada network genetik utama, maka n melambangkan jumlah dari gene-gene berdasarkan pertimbangan, setiap verteks v i mewakili gene i, dan v i (t ) melambangkan tingkat ekspresi gene i pada waktu t, salah satunya 0 atau 1. Tingkat ekspresi pada setiap gene adalah relasi fungsional untuk gene lainnya.

Model network genetik regulatori dapat ditulis seperti: F i

fj

i j 1 , , l i ,

dimana setiap prediktor f j i adalah sebuah prediktor penentuan nilai pada gene v i


n

dan l i jumlah kemungkinan prediktor untuk gene v i . Ini jelas bahwa F mencapai kesalahan optimal dengan f j i dan

i j

Misalnya

i

 i 1 Fi .

adalah kesalahan pada

estimasi terbaik dari gene i dalam ketidakadaan suatu kondisi variabel, maka didapat i j

i

i

i

. Untuk

j

j

semua positif, dapat diperoleh c ji dengan:

i i

c

l i

j

i j

. Di dapat bahwa, c ji haruslah

l i i

{

k

i

:

1.

untuk

i

1,..., n .

j 1

0}

k

i

cj

k 1

pada setiap waktu tertentu, tingkat ekspresi pada gene i ditentukan oleh salah satu predictor yang memungkinkan yaitu f j i untuk 1 v t

hingga v t

diperoleh

l i , probabiliti transisi dari

sebagai

berikut:

l i

n

i

{c k : f k i 1

dapat

1

j

i

v t

vi t

1}

.

k 1

Pada tingkat pengaruh dari gene j ke gene i dapat ditaksir dengan I j vi

l i k 1

i

Pr ob f k v 1 ,..., v j 1 , 0 , v j 1 ,..., v n

fk

i

v 1 ,..., v j 1 ,1, v j 1 ,..., v n c k

i

(6)

Sebelum mengevaluasi salah satu keadaan transisi probability atau I j v i

,

pertama dibutuhkan untuk memperoleh semua prediktor  ni 1 F i Dianggap bahwa untuk setiap himpunan dari F i dengan 1 n

adalah sama pada 2 2 seperti 1

l i

2

i 2

n

n

, jumlah maksimum dari prediktor

, ini adalah benar untuk penyesuaian

probabilitas c 1 i ,  , c l ii .

Probabiliti Network Boolean (PBN) yaitu proses pada waktu diskrit, distibusi probability pada gene ekspresi diwaktu t+1 dari gene i dapat diestimasi dengan gene ekspresi pada gene n yang lain diwaktu t-1 matriks transisi. Ini adalah proses markov framework. Diingat bahwa model rantai markov multivariat untuk menduga network genetik dari gene n. Pada network ini, tidak ada informasi sebelumnya pada hubungan gene-gene n diterima, model yang ditunjukkan tersebut digunakan untuk menemukan variasi hubungan gene yang utama, termasuk gene dan hubungan gene cyclic atau acyclic. Ini dapat mengestimasi kondisi distribusi probability X i d,..., i untuk d output 1


n

ekspresi pada dasar t+1 yang diberikan dengan suatu himpunan pada gene input ekspresi pada dasar t, d

X i1 ,..., i n

Pr ob V t

d 1

Vt

k

E i k untuk k

n

1,..., n

n dk

dk

P

dk

E ik

dk

k 1

P ., i k

k 1

dk

Dengan i k

0 ,1 dan P ., i

merupakan kolom i pada P

dk

. Dengan jelas, setiap

vektor probability X i d,..., i yaitu unit vektor dan untuk setiap d, disana 2 n jumlah pada 1

n

vektor probability sulit untuk diestimasi. Jika

dk

=0 untuk beberapa j

,

1,..., n

menggambarkan gene j tidak memiliki suatu pengaruh untuk gene d, dan d

d

X i1 ,..., i j

X i1 ,..., i j

1 , 0 , i j 1 ,..., i n

1 , 0 , i j 1 ,..., i n

jumlah pada estimasi vektor probability dapat direduksi separuh. Setelah semuanya penting X i d, , i telah diestimasi, probability c gd dari prediktor f g d dapat diestimasi 1

n

dengan d

cg

X ik

d i1 ,..., i n

fg

d

i1 ,..., i n

1

0 ,1 , k 1 ,..., n

dengan

fg

d

i1 ,..., i n

0 ,1

dan X i d, , i (h) ditunjukkan h entry pada vektor 1

n

d

d

X i1 , , i n . Jika c g = 0 prediktor f g

d

tidak ada dan bentuknya tereliminasi. Ini menarik untuk membenarkan bagaimana ekspresi dari gene i dipengaruhi oleh ekspresi gene j, oleh karena itu, tingkat sensitivitas dari gene j ke gene i dapat diestimasi dengan persamaan (6) yang disinggung pada bagian sebelumnya. Perhatikan dua kondisi I j v i

1. Jika

dk

0

,

=0, maka gene j tidak memberikan suatu pengaruh pada gene i.

2. Pertama kedua kolom pada matriks P

jk

adalah sama, artinya ekspresi pada

gene j tidak begitu penting, hasil pada vektor probability adalah tidak berpengaruh.

Dengan: I

j

vi

= penghitungan keadaan (state) transisi probability tingkat pengaruh gene i ke gene j


fk ck

i

= prediktor gene i jika c k i positif

i

= estimasi dari training data = nilai variabel ke n

vn d

X i1 , , i n

=estimasi kondisi probability untuk d output ekspresi pada t+1 dengan himpunan gene input ekspresi t

Vt

d 1

= distribusi probability pada gene d pada waktu t+1

Vt

k

= tingkat pada gene k pada waktu t

dk

d

= estimasi probability pada prediktor f g d

cg

fg

= parameter

d

= prediktor gene d tidak ada dan bentuknya tereliminasi jika c gd =0


BAB 3

PEMODELAN RANTAI MARKOV UNTUK NETWORK GENETIK

Pada bab ini akan dibahas pemodelan rantai markov untuk network genetik. Metode pengambilan keputusan markov merupakan suatu metode yang telah dikenal luas untuk pengambilan keputusan dalam model-model stokastik. Dalam bab ini dibahas penggunaan salah satu metode pengambilan keputusan markov, yaitu aplikasi network genetik, untuk menyelesaiakan ada tidaknya hubungan antara baris pertama dengan baris kedua pada waktu t dalam pengambilan keputusan.

Andaikan suatu persoalan penentuan model parameter yaitu menggunakan dua deret binary, yang mana anggotanya 0 dan 1.(Ching dan Ng, 2006). Dalam hal ini dipertimbangkan terdapat 12 gene yang masing-masing baris diasumsikan 0 dan 1 (state-statenya). Pada waktu pertama, gene-1 bernilai 0, gene-2 bernilai 0, gene-3 bernilai 1, gene-4 bernilai 0, gene-5 bernilai 0, gene-6 bernilai 0, gene-7 bernilai 0, gene-8 bernilai 0, gene-9 bernilai 1, gene10 bernilai 1, gene11 bernilai 0, dan gene-12 bernilai 0. Pada waktu kedua gene-1 bernilai 1, gene-2 bernilai 1, gene-3 bernilai 0, gene-4 bernilai 0, gene-5 bernilai 1, gene-6 bernilai 0, gene-7 bernilai 0, gene-8 bernilai 0, gene-9 bernilai 0, gene10 bernilai 1, gene11 bernilai 0, dan gene-12 bernilai 1. Berdasarkan hal diatas gene-gene tersebut diformulasikan sebagai berikut: s1

0 , 0 ,1, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1,1, 0 , 0

dan s2

1,1, 0 , 0 ,1, 0 , 0 , 0 , 0 ,1, 0 ,1

Karena anggotanya hanya 0 dan 1 maka gambar network hanya mengunakan tanda panah saja. Dengan menghitung frekuensi transisi sebagai berikut: s1 : 0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

dan s2 :1


s1 : 0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

s2 :1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

s1 : 0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

s2 :1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

dan

Diperoleh matriks frekuensi sebagai berikut: F

F

11

21

6

2

2

1

5

2

3

1

Setelah Pˆ

Pˆ

11

21

,

,

F

F

12

22

5

3

2

1

4

3

3

1

menormalisasi 3

2

4 1

3 , 1

4

3

5

2

8 3

3 , 1

8

3

Pˆ

Pˆ

12

22

diperoleh 5

3

7 2

4 , 1

7

4

4

3

7 3

4 . 1

7

4

matriks

transisi

probability:

Dan diperoleh Vˆ1

3

1

4

4

T

dan Vˆ2

7

5

12

12

T

Setelah menyelesaikan persoalan diatas, model Markov multivariate pada dua deret binary adalah dengan membuat

Vt

1 1

Vt

2 1

0 ,5 Pˆ 1, 0 Pˆ

11

Vt

1

21

Vt

1


0 ,5 Pˆ 0 , 0 Pˆ

12

Vt

2

22

Vt

2

Kondisi distribusi probability vektor X 01, 0 dapat menaksir seperti: 1

X 0,0

0 . 5 Pˆ

11

1, 0

3

2

0 .5 4 1

3 1

4

3

0 . 5 Pˆ

T

1 0

3

5

0 .5 4 1

0 .5 7 2

4

7

3

5

8 1

14 2

8

14

12

1, 0 5

3

0 .5 7 2

4 1

7

4

T

1 0

41 56 15 56

Dengan cara yang sama diperoleh: 1

X 0 ,1

0 . 5 Pˆ

11

3

1, 0

0 . 5 Pˆ

T

2

0 .5 4 1

3 1

4

3

1 0

3

3

0 .5 4 1

0 .5 4 1

4

4

3

3

8 1

8 1

8

8

6

3

8 2

4 1

8

4

12

0 ,1

5

3

0 .5 7 2

4 1

7

4

T

0 1


1

X 1, 0

0 . 5 Pˆ

11

0 ,1

3

0 . 5 Pˆ

T

2

0 .5 4 1

3 1

4

3

0 1

2

5

0 .5 3 1

0 .5 7 2

3

7

2

5

6 1

14 2

6

14

12

1, 0

5

3

0 .5 7 2

4 1

7

4

T

1 0

29 42 13 42

1

X 1 ,1

0 . 5 Pˆ

11

0 ,1

3

0 . 5 Pˆ

T

2

0 .5 4 1

3 1

4

3

0 1

2

3

0 .5 3 1

0 .5 4 1

3

4

2

3

6 1

8 1

6

8

12

0 ,1

5

3

0 .5 7 2

4 1

7

4

T

0 1

17 24 7 24


Seperti 2

X 0 ,0

0,

2,2

1 . 0 Pˆ

21

5

Karena itu didapat,

1, 0

0 . 0 Pˆ

T

22

1, 0

4

3

0 .0 7 3

4 1

7

4

22

0 ,1

4

3

0 .0 7 3

4 1

7

4

22

1, 0

2

1 .0 8 3

3 1

8

3

1 0

5

4

1 .0 8 3

0 .0 7 3

8

7

T

1 0

5 8 3 8

2

X 0 ,1

1 . 0 Pˆ

21

5

1, 0

0 . 0 Pˆ

T

2

1 .0 8 3

3 1

8

3

1 0

5

3

1 .0 8 3

0 .0 4 1

8

4

T

0 1

5 8 3 8 2

X 1, 0

1 . 0 Pˆ 5

21

0 ,1

0 . 0 Pˆ

T

2

1 .0 8 3

3 1

8

3

0 1

2

4

1 .0 3 1

0 .0 7 3

3

7

4

3

0 .0 7 3

4 1

7

4

T

1 0

2 3 1 3


1 . 0 Pˆ

2

X 1 ,1

5

21

0 ,1

0 . 0 Pˆ

T

22

0 ,1

4

3

0 .0 7 3

4 1

7

4

2

1 .0 8 3

3 1

8

3

0 1

2

3

1 .0 3 1

0 .0 4 1

3

4

T

0 1

2 3 1 3

Dari bagian sebelumnya, probability c ji dapat memperoleh suatu hasil di dalam Tabel Tabel 3.1 Hasil deret yang pertama

v1

v2

f1

1

f2

1

f3

1

f4

1

f5

1

f6

1

f7

1

f8

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0.26

0.11

0.12

0.05

0.08

0.04

0.04

0.02

1

f 15

1

cj

v1

v2

f9

1

1

f 10

1

f 11

1

f 12

1

f 13

1

f 14

1

f 16

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0.1

0.04

0.04

0.02

0.03

0.01

0.02

0.01

1

cj


Untuk mendapatkan hasil deret pertama berdasarkan table diatas dapat diuraikan sebagai berikut: c1

1

1

X 0 ,0

1

1

1

X 0,0

X 1, 0

1

41

41

29

29

56

56

42

42

1

1

X 1, 0

1

X 1 ,1

2

X 1, 0

2

X 1 ,1

1

1413721 5531904 0 . 26

1

c2

1

X 0,0

1

1

1

X 0,0

X 1, 0

1

41

41

29

7

56

56

42

24

1

2

341243 3161088 0 . 11

1

c3

1

X 0,0

1

1

1

X 0,0

X 1 ,1

1

41

41

7

29

56

56

24

42

1

1

341243 3161088 0 . 12

1

c4

1

X 0,0

1

1

1

X 0 ,0

X 1 ,1

1

41

41

7

7

56

56

24

24

1

2

8239 1806336 0 . 05

1

c5

1

X 0,0

1

1

1

X 0 ,1

41

1

29

29

56

4

42

42

2

X 1, 0

1

1

X 1, 0

1

34481 395136 0 . 08


1

c6

1

X 0,0

1

1

1

X 0 ,1

X 1, 0

41

1

29

7

56

4

42

24

2

1

1

X 1 ,1

2

X 1, 0

2

X 1 ,1

1

X 1, 0

1

X 1 ,1

2

8323 225792 0 . 04

1

c7

1

X 0,0

1

1

1

X 0 ,1

2

X 1 ,1

41

1

7

29

56

4

24

42

1

1

8323 225792 0 . 04

1

c8

1

1

X 0,0

1

1

X 0 ,1

X 1 ,1

41

1

7

7

56

4

24

24

2

1

2

2009 129024 0 . 02

1

c9

1

X 0 ,1

1

2

X 0 ,0

1

1

1

41

29

29

4

56

42

42

X 1, 0

1

1

34481 395136 0 .1

1

c 10

1

X 0 ,1

1

2

X 0,0

1

1

1

41

29

7

4

56

42

24

X 1, 0

1

2

24969 225792 0 . 04


1

c 11

1

X 0 ,1

1

2

1

X 0,0

1

1

41

7

29

4

56

24

42

X 1 ,1

1

2

X 1, 0

2

X 1 ,1

1

X 1, 0

1

X 1 ,1

2

X 1, 0

1

8323 225792 0 . 04

1

c 12

1

1

X 0 ,1

2

X 0,0

1

1

1

41

7

7

4

56

24

24

X 1 ,1

1

2

2009 129024 0 . 02

1

c 13

1

1

X 0 ,1

2

X 0 ,1

1

2

1

1

29

29

4

4

42

42

X 1, 0

1

1

841 28224 0 . 03

1

c 14

1

X 0 ,1

1

2

X 0 ,1

1

2

1

1

29

7

4

4

42

24

X 1, 0

1

2

203 16128 0 . 01

1

c 15

1

X 0 ,1 3 4

1

1

X 0 ,1

1

2

1

7

13

4

24

42

X 1 ,1

1

2

273 16128 0 . 02


1

c 16

1

X 0 ,1

1

X 0 ,1

2

1

2

1

1

7

7

4

4

24

24

X 1 ,1

1

2

X 1 ,1

2

49 9216 0 . 01

Dengan cara yang sama, diperoleh: c1

2

2

X 0,0

2

X 1, 0

1

5

2

5

2

8

3

8

3

2

1

X 0,0

1

X 0 ,0

1

X 0 ,1

1

X 0 ,1

2

1

X 1, 0

1

X 1 ,1

2

X 1, 0

2

X 1 ,1

1

100 576 0 . 17

c2

2

2

X 0 ,0

2

X 1, 0

1

5

2

5

1

8

3

8

3

2

2

2

50 576 0 . 09

c3

2

2

X 0 ,0

2

X 1, 0

1

5

2

3

2

8

3

8

3

2

2

1

60 576 0 .1

c4

2

2

X 0,0

2

X 1, 0

1

5

2

3

1

8

3

8

3

2

2

2

30 576 0 . 05


c5

2

2

X 0 ,0

2

X 1 ,1

1

5

1

5

2

8

3

8

3

2

2

X 0,0

2

X 0,0

2

X 0 ,1

2

X 0 ,1

1

X 0 ,0

2

1

X 1, 0

1

X 1 ,1

2

X 1, 0

2

X 1 ,1

1

X 1, 0

1

50 576 0 . 09

c6

2

2

X 0,0

2

X 1 ,1

1

5

1

5

1

8

3

8

3

2

2

2

25 576 0 . 04

c7

2

2

X 0,0

2

X 1 ,1

1

5

1

3

2

8

3

8

3

2

2

1

30 576 0 . 05

c8

2

2

X 0,0

2

X 1 ,1

1

5

1

3

1

8

3

8

3

2

2

2

15 576 0 . 03

c9

2

2

X 0 ,1

2

X 1, 0

2

3

2

5

2

8

3

8

3

2

2

1

60 576 0 .1


2

c 10

2

X 0 ,1

2

X 1, 0

2

3

2

5

1

8

3

8

3

2

1

X 0,0

1

X 0 ,1

1

X 0 ,1

2

X 0,0

2

X 0 ,0

2

1

X 1 ,1

2

X 1, 0

2

X 1 ,1

1

X 1, 0

1

X 1 ,1

2

30 576 0 . 05

2

c 11

2

X 0 ,1

2

X 1, 0

2

3

2

3

2

8

3

8

3

2

2

1

36 576 0 . 04

2

c 12

2

X 0 ,1

2

X 1, 0

2

3

2

3

1

8

3

8

3

2

2

2

18 576 0 . 03

2

c 13

2

X 0 ,1

2

X 1 ,1

2

3

1

5

2

8

3

8

3

2

2

1

30 576 0 . 05

2

c 14

2

X 0 ,1

2

X 1 ,1

2

3

1

5

1

8

3

8

3

2

2

2

15 576 0 . 03


2

c 15

2

X 0 ,1

2

X 1 ,1

2

3

1

3

2

8

4

8

3

2

2

2

X 0 ,1

2

X 0 ,1

2

X 1, 0

2

X 1 ,1

1

18 576 0 . 03

2

c 16

2

X 0 ,1

2

X 1 ,1

2

3

1

3

1

8

3

8

3

2

2

2

9 576 0 . 02

Karena pada

0 , tentu pada prediktor untuk deret yang kedua dapat memperkecil

22

signifikan. dapat memperoleh dengan

Dari tabel 3.1 dan 3.2 tingkatan kesensitifan I j v i menunjukkan perhitungan.

Tabel 3.2 Hasil deret yang kedua

2

2

X 0,0 5

2

8

3

2

2

0

-

0

0

1

1

1

-

0

1

0

1

0.42

0.2

0.25

0.13

2

f1

f2

f3

2

1

X 1, 0

2

v2

cj

c1

2

v1

1

10 24 0 . 42


f4

c2

2

2

2

X 0,0 5

1

8

3

1

X 1 ,1

2

X 1, 0

2

X 1 ,1

2

5 24 0 .2

c3

2

2

2

X 0 ,1 3

2

8

3

1

6 24 0 . 25

c4

2

2

2

X 0 ,1 3

1

8

3

2

3 24 0 . 13

Dengan pembahasan diatas diperoleh hasil: I 1 v1

1

0 0 . 26

1

0 . 11

2 1

0 . 08

0 . 12

0 . 05

2 0 0 . 04

1

0 . 04

2 1

0 .1

0 . 04

1

0 0 . 04

2

0 . 02

2 1

0 . 03

0 . 01

2 0

0 . 02

2

0 . 055 0 . 05

1

0 . 02

0 0 . 01

2 0 . 06

0 . 04

0

0 . 05

0 . 04

0

0 . 04

0 . 01

0 . 03

0 . 005

0 . 01 0 . 01

0 .4


0

Dan I1 v2

1

0 0 . 17

1

0 . 09

2 1

0 . 09

0 .1

0 . 05

2 0 0 . 04

1

0 . 05

2 1

0 .1

0 . 05

1

0 0 . 06

2

0 . 03

2 1

0 . 05

1

0 . 03

2 0

0 . 03

2

0 . 045 0 . 05

0 . 03

0 0 . 02

2 0 . 05

0 . 05

0

0 . 05

0 . 045

0 . 015

0 . 05

0

0 . 05

0 . 015

0 . 015 0 . 015

0

0 . 45

Dengan cara yang sama, diperoleh: I 2 v1

0 .4

dan

I 2 v2

0

Sesuai dengan perhitungan nilai I i v j , diketahui deret yang pertama bagaimanapun menentukan deret yang kedua. Tetapi, kejadian-kejadian ini telah diilustrasikan dengan fakta

22

0

21

1 pada model rantai markov multivariat.


BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dari perhitungan dan pembahasan yang telah dikemukakan pada bab-bab sebelumnya, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Pada tingkat sensitifitas I 1 ( v 1 ) 0 . 4 yang artinya ekspresi dari gene 1 dipengaruhi oleh ekspresi gene 1 sebesar 0.4, 2. Pada tingkat sensitifitas I 1 ( v 2 ) 0 . 45 yang artinya ekspresi dari gene 1 dipengaruhi oleh ekspresi gene 2 sebesar 0.45, 3. Pada tingkat sensitifitas I 2 ( v1 ) 0 . 4 yang artinya ekspresi dari gene 2 dipengaruhi oleh ekspresi gene 1 sebesar 0.4, 4. Pada tingkat sensitifitas I 2 ( v 2 ) 0 yang artinya gene 2 tidak memberikan suatu pengaruh pada gene 2, 5. Mengestimasi matriks frekuensi dapat menormalisasikan suatu keadan matriks transisi probabiliti.

4.2 Saran

Ada baiknya jika ingin melanjutkan skripsi ini dengan menggunakan Model Markov Tersembunyi atau lebih dikenal dengan Hidden Markov Model (HMM) adalah sebuah model statistik dari sebuah sistem yang diasumsikan sebuah Markov Proses dengan parameter yang tidak diketahui, dan tantangannya adalah menentukan parameterparameter tersembunyi (hidden) dari parameter-parameter yang dapat diamati. Parameter-parameter yang ditentukan kemudian dapat digunakan untuk analisis yang lebih jauh, misalnya untuk aplikasi Pattern Recoginition. Sebuah HMM dapat dianggap sebuah Bayesian Network dinamis yang paling sederhana.


DAFTAR PUSTAKA

Akutsu, T., Miyano, S., dan Kuhara, S. 2000. Inferring Qualitative Relation in Genetic Networks and Metabolic Arrays. Bioinformatic. Artzner, P., dan Delbaen, F. 1997. Default Risk Premium and Incomplkete Markets. Mathematical Finance. Bharucha-Reid, A.T. 1983. Probabilistic Analysis and Related Topics. New York London: Academic Press. Bodnar, J. 1997. Programming the Drosophila Embryo. Journal of Theoretical Biology. Bower, J. 2001. Computational Modeling of Genetik and Biochemical Networks. MIT Press, Cambridge, M.A. Ching, W., Fung, E., dan Ng, M. 2004. Building Genetic Networks in Gene Expression Pattern. IDEAL2004. Lecture Notes in Computer Science. (Yang, Z., Everson, R., dan Yin H(Eds.)). Springer. Ching, W., dan Ng, M. 2006. Markov Chain: Models, Algorithms and Application. New York: Springer Science + Business Media, Inc. Clarke, A., Bruce, dan Disney Ralph, L. 1970. Probability and Random Processes. New York: Jhon Wiley & Sons,Inc. Chvatal, V. 1983. Linier Programming. Freeman. New York. De Jong, H. 2002. Modeling and Simulation of Genetic Regulatory System:A Literature Review. Journal Computational. Biology. Hines William, W., dan Montgomery Douglas, C. 1990. Probabilita dan Statistik Dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Jakarta: UI-Press. Huang, S., dan Ingber, D. 2000. Shape-dependent Control of Cell Growt Differentiation, and Apoptosis: Switching Between Atractors in Cell Regulatory Networks. Experimental Cell Research. Mendoza, L., Thieffry, D., dan Alfarez-Buylla, E. 1999. Genetic Control of Flower Morphogenesis in Arabidopsis Thaliana: A Logical Analisys, Bioinformatics. Preston Gordon, dan Watterson Geoffrey. 1972. Probability and Statistics. Adelaide, Sydney, Melbourne, Brisbane, Perth.


Smolen, P., Baxter, D., dan Byrne, J. 2000. Mathematical Modeling of Gene Network, Neuron. http://www.google.com/markov-chain. 25 Maret 2009


APLIKASI RANTAI MARKOV MULTIVARIAT PADA NETWORK GENETIK SKRIPSI NORA ANGGRIYA

Recommend Documents